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3.2 图形的旋转
题型一 旋转图形和中心对称图形的识别
1．（25-26七年级上·上海宝山·月考）下列生活中的现象是旋转的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．飞驰的汽车 B．匀速转动的摩天轮
C．运动员投掷标枪 D．乘坐升降电梯
2．（25-26九年级上·河北邢台·月考）下列运动形式属于旋转的是（）
A．火箭升空 B．钟摆的摆动 C．传送带移动 D．电梯的运行
3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列选项中属于旋转运动的是（ ）
A．小华向西走10米再向北走10米 B．传送带传送货物
C．电梯从1楼到11楼再回到1楼 D．小亮正在荡秋千
4．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）如图，将立方体绕它的对角线 旋转，应该形成（ ）种立
体图形．
A． B． C． D．
5．（25-26七年级上·江苏常州·月考）2025年苏超联赛火爆全网，图①是苏超联赛标志图，经过一次运动
得到图②，这次运动可以是（ ）
A．平移 B．翻折 C．旋转 D．以上都可以
6．（2025九年级上·全国·专题练习）北京冬奥会于 年2月4日在北京和张家口联合举行．下图是冬
奥会的吉祥物“冰墩墩”，将该图片按顺时针方向旋转 后得到的图片是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
7．（2026·山东临沂·模拟预测）2024年巴黎奥运会是第33届夏季奥林匹克运动会，于2024年7月26日
至8月12日在法国巴黎举行，以下为巴黎奥运会项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
A． B． C． D．
8．（四川省凉山彝族自治州2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题）2025年12月2日是第14个
“全国交通安全日”，学习交通标志是学校安全教育的重要组成部分，下列交通标志中既是轴对称图形又
是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
9．（25-26九年级上·甘肃陇南·期末）围棋是中华民族发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动之一，
下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
10．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
（ ）
A． B． C． D．
11．（25-26九年级上·山东滨州·月考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
12．（25-26七年级上·江苏南京·月考）在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，你正确的动作应是以
左脚跟为旋转中心，沿着 （填“顺时针”或“逆时针”）方向旋转 度．
题型二 找旋转中心、旋转角、对应点
1．（北京市大兴区2025-2026学年上学期九年级期末考试数学试卷）如图，在正方形网格中，点 ， 和
， 的顶点均在格点上，将 绕旋转中心旋转得到 ，则旋转中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
2．（25-26九年级上·全国·假期作业）如图，在正方形网格中，△ 绕某一点旋转某一角度得到△
，则旋转中心可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
3．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图， 绕点 逆时针旋转 后得到 （点B、C的对
应点分别为点 、 ），则 等于（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司4．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，在 的正方形网格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格
点三角形乙，则其旋转中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
5．（25-26九年级上·湖北孝感·月考）如图，将 绕O逆时针旋转一定的角度后得到 ，若
， ，则旋转角的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26七年级上·上海·月考）如图，将三角形 绕点 按逆时针方向旋转一定的角度得到三角形
，则旋转中心和旋转角是（ ）
A．点B， B．点O，
C．点B， D．点O，
7．（25-26八年级上·山东泰安·月考）如图，在 的正方形网格中， 绕某点旋转 ，得到
，则其旋转中心可以是点 ．
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学科网（北京）股份有限公司8．（2025九年级上·全国·专题练习）如图， 的顶点都在方格纸的格点上，将 绕点 按顺时
针方向旋转得到 ，使各顶点仍在格点上，则旋转角的度数是 ．
9．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为
，点D的坐标为 ，线段 绕某点经过旋转后得到 （点A与点C对应），则旋转角为
．
题型三 求旋转中心的个数
1．（23-24七年级上·上海宝山·期末）如图，正方形 旋转后能与正方形 重合，那么图形所在
的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
2．（20-21九年级上·四川南充·期末）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心
的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型四 成中心对称
1．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）已知点 与点B关于点 成中心对称，则点B的坐标
是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·河南安阳·月考）下列图形中， 与 成中心对称的是（ ）
A． B． C．
D．
3．（18-19九年级上·全国·单元测试）将 绕点 旋转 得到 ，则下列作图正确的是（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
4．（25-26九年级上·广西钦州·期中）如图，若 与 关于点 成中心对称，则下列结论不成立
的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025九年级上·全国·专题练习）如图， 与 成中心对称，点O是对称中心，则下列结论
不正确的是（ ）
A．点A与点D是对应点 B．
C． D．
6．（23-24八年级下·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，点 与点B关于点 成中心对称，
则点B的坐标是 ．
7．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在四边形 中， ，点E是 上一点，点D与
点C关于点E成中心对称，连接 并延长，与 的延长线交于点F．证明：点A与点F关于点E成中心
对称．
题型五 确定两个图形的对称中心
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学科网（北京）股份有限公司1．（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知 与 成中心对称，则对称中心是点 ．
2．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中， 和 关于点P成中心对称，
则点P的坐标是 ．
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，四边形 与四边形 是成中心对称的两个图形．
请试着确定其对称中心的位置．
4．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图， 和 关于点 成中心对称，若 ， ，
，请在图中画出它们的对称中心 ，并求出 的周长．
5．（25-26八年级上·全国·课后作业）在如图所示的四张扑克牌中，哪一张的牌面是中心对称图形？是中
心对称图形的，请画出它的对称中心．
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学科网（北京）股份有限公司题型六 求关于原点对称点的坐标
1．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）点 关于原点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·河南信阳·月考）平面直角坐标系内与点 关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26九年级上·天津·月考）在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点坐标为 ．
5．（25-26八年级上·四川成都·月考）与点 关于 轴对称的点的坐标为 ，关于原点对称的点
的坐标为 ．
6．（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点位于第 象限．
题型七 已知两点关于原点对称求参数
1．（25-26九年级上·四川德阳·期中）在平面直角坐标系中，若点 关于原点对称的点的坐标是 ，
则坐标 关于x轴对称的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如果点 关于原点的对称点为 ，则
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学科网（北京）股份有限公司．
3．（25-26九年级上·甘肃定西·期末）已知点 ， 关于原点中心对称，则 ．
4．（宁夏吴忠三中、四中、六中、九中2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷）已知点 和
点 关于原点对称，则 ．
5．（25-26九年级上·安徽·期末）已知点 ， ．
(1)若 ， 两点关于原点对称，求 ， 的值；
(2)若 ， 两点关于 轴对称，求 ， 的值．
题型八 根据中心对称的性质求面积、长度、角度
1．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图， 与 关于点O成中心对称，则下列结论不成立的
是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图， 与 关于点D中心对称，连接 ，以下结论错误
的是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图， ，曲线 和曲线 关于点 成中心对称，曲线
和曲线 关于点 成中心对称，曲线 和曲线 关于点 成中心对称 如果 ，那么
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学科网（北京）股份有限公司图中所示的封闭图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·河南许昌·期中）如图，直线 于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点
是点 于点 于点D．若 ，则阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．6 C．12 D．无法确定
5．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在等边三角形 中，O为 的中点， ， 与
关于点B中心对称，连接 ，则 的面积为 ．
6．（2025九年级上·全国·专题练习）如图， 和 关于点C中心对称，连接 ．若 ，
， ，则 的长是 ．
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学科网（北京）股份有限公司7．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图，在等腰三角形 中， 是底边 的中线， 与
关于点 C 成中心对称，连接 ，若 则 的长为 ．
8．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在 中， ， 是 上一点， 和
关于点 对称，连接 ， 求证：四边形 是平行四边形．
9．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）如图， 与 关于点 成中心对称．
(1)连接 ，证明四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ，求 的长．
题型一 旋转的性质运用
1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）平移、轴对称、旋转所具有的共同性质不包括（ ）
A．变换前后两个图形重合 B．对应线段相等
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学科网（北京）股份有限公司C．对应角相等 D．对应线段平行或在一条直线上
2．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，若 、 、
三点共线，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图， 中， ，在 边的同侧作等边三角形
， ， ，连接 ．以下结论中正确的有（ ）
①四边形 是平行四边形；
② ；
③ ；
④ 可以看成是 绕点C顺时针旋转 得到的．
A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④
4．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在矩形 中， ，将矩形 绕着点D逆
时针旋转得到矩形 ， 与 相交于点M，当点 落在 延长线上时，若 ，则四边形
的面积为 ．
5．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 落在 的
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学科网（北京）股份有限公司延长线上．
(1)求证： 为等边三角形；
(2)求证： ．
6．（25-26九年级上·全国·月考）如图，在 中，点 在 边上， ，将边 绕点 旋转到
的位置，使得 ，连接 与 交于点 ，且 ， ．
(1)求证： ；
(2)求 的度数．
7．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图， 是等边 内的任意一点，将 绕点 顺时针旋转
到 的位置，连接 ．请判断 的形状，并说明理由．
8．（25-26八年级上·全国·课后作业）在 中， ． 是任意一点，连接 ，再将 绕点
顺时针旋转至 ，使 ，连接 ， ．
(1)如图（ ），若点 在 的内部，则 与 相等吗？若相等，请给出证明．
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学科网（北京）股份有限公司(2)如图（ ），若点 在 的外部，则 与 相等吗？若相等，请给出证明．
9．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）已知 是 内部的一条射线，M，N分别是边 ， 上的
点，线段 ， 分别以 ， 的速度同时绕点O逆时针旋转．
(1)如图①若 ，当 、 逆时针旋转2s时，分别到 、 处，求 的值；
(2)如图②，若 分别在 内部旋转时，总有 ，求 的值
(3)如图③，C是线段 上一点，点M从点A出发沿线段 向点C运动，同时点N从点C出发沿线段
向点B运动，M，N两点的速度比是 ．若运动过程中始终有 ，求 的值．
10．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）【情境知识技能】学校数学兴趣小组活动时，小红给小波出了一道
题：
（ ）如图 ，在等腰 中， ， ，点 在边 上，且 ，小红
对小波说：“图中线段 、 和 有一定的数量关系，你知道吗？”
小波毫不思索的回答道：“太简单了，把 绕点 逆时针转 得到 ，连接 ，就能证出
”．小红微笑着点了点头，并给小波竖起了大拇指．
【解决问题】
①若 ， ，则 ______；
②请你帮助小波证明他的结论．
【情境理解应用】
（ ）小波接着对小红说：“如图 ，在四边形 中， 度， ，
，若 ， ，你知道 的长吗？”，小红会意点了头．请帮小红求出 的长度．
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学科网（北京）股份有限公司题型二 画旋转图形
1．（宁夏吴忠三中、四中、六中、九中2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷）如图，正方形网
格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， 的三个顶点
均在格点上．
(1)画出 以原点 为中心的中心对称图形 ，并写出点 的坐标；
(2)画出将 绕原点 顺时针旋转 得到的 ，并写出点 的坐标．
2．（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点坐标分别是
， ， ．将 绕原点O顺时针旋转 后得到 ，画出 ．（点A、
B、C的对应点分别为点 、 、 ）
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学科网（北京）股份有限公司3．（25-26九年级上·山西大同·月考）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中， ABC的顶点
均在格点（网格线的交点）上，直线 经过小正方形的边．
(1)画出 关于直线 成轴对称的 ；
(2)将（1）中的 绕点 逆时针旋转 得到 ，画出 ．
4．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为点
， ， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)画出将 先向左平移4个单位，再向下平移3个单位得到的 ，其中点A、B、C的对应点分
别为点 、 、 ；
(2)画出将 绕原点O顺时针旋转 得到的 ，其中点A、B、C的对应点分别为点 、 、 ，
并直接写出点 的坐标．
5．（25-26九年级上·甘肃天水·期末）已知在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为 ，
， ．
(1)画出与 关于原点对称的 ；
(2)将 绕点C顺时针旋转 得到 ，画出 ，并写出点 的坐标．
6．（25-26九年级上·青海海西·期末）在图中分别画出 绕点O顺时针旋转 的 和 后的
．
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学科网（北京）股份有限公司7．（24-25九年级上·云南红河·期末）如图， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
(1)请画出 以点O为旋转中心，顺时针旋转 后得到的图形 （A的对应点为 ，B的对应
点为 ，C的对应点为 ）；
(2)求 的面积．
题型三 旋转中的规律性问题
1．（25-26九年级上·河南开封·期中）如图所示，把正方形铁片 置于平面直角坐标系中，顶点 的
坐标为 ，点 ，在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转 ，
第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……则正方形铁片连续旋转2025次后，点 的坐标为
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，将等边 绕点A旋转 ，得到
，再将 绕点 旋转 ，得到 ，再将 绕点 旋转 ，得到 ，
…，按此规律进行下去，若点 且等边 的高为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ， ， ， ， ， ……都是
平行四边形的顶点，点 ， ， ……在 轴正半轴上， ， ， ， ，
， ， ……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中
心的坐标是( )
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司4．（25-26九年级上·甘肃临夏·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形 绕点 逆时针旋转
后得到正方形 ，依此方式，绕点 连续旋转2026次得到正方形 ，如果点 的坐标为
，那么点 的坐标为 ．
5．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在直角坐标系中，已知点 ， ，对 连续
作旋转变换，依次得到 ， ， ， ，…，那么 的直角顶点的坐标为 ．
6．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形 是边长为2的正方形，
A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为 ，将P点关于A对称得到 ，将 关于O点对
称得到 ，将 关于C点对称得到 ，将 关于B点对称得到 ，将 关于A点对称得到 ，……，按
照顺序以此类推，则 的坐标为 ．
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学科网（北京）股份有限公司题型四 坐标系中的旋转
1．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）如图，在平面直角坐标系中， ， ，连接 ．将线段
绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，则线段 的函数表达式为 ．
2．（25-26八年级上·辽宁阜新·期末）如图， 三个顶点的坐标分别为 ．
(1)画出 关于 轴对称的 ；
(2)点 坐标为____________；
(3)计算 的面积；
(4)若 为平面内一点，使 是以 为直角边的等腰直角三角形，直接写出 点坐标．
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学科网（北京）股份有限公司3．（25-26八年级上·江西萍乡·期中）美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰 的直
角顶点A作直线l，过点C作 于点D，过点B作 于点E，研究图形，不难发现：
．如图2，图3，在平面直角坐标系中，点 为x轴正半轴上一点，点B为y轴上一点，
将线段 绕点A顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．
(1)如图2，若点B在y轴正半轴上且B点坐标为 ，则点C的坐标为_______．
(2)如图3，若点B在y轴负半轴上且B点坐标为 ，请求出 的面积．
(3)点B在y轴上运动过程中（点B不与点O重合）， 的面积是否发生变化？若不变，请直接写出
的面积；若变化，请说明理由．
4．（25-26八年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中， ， ，点 为 轴上的动点，连
接 ，将 绕点 逆时针方向旋转 到 ，连接 交 于点 ．
(1)如图1，当点 与点 重合时，请直接写出点 的坐标；
(2)如图2，当点 运动到 中点处时，求证： ；
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学科网（北京）股份有限公司(3)已知点F（0，4），当点 在 轴上运动时，连接 、 ，在射线 上取一点 ，连接 、 ，
使得 ．请补充完图形并直接写出 、 、 三者的数量关系．
题型五 线段旋转问题
1．（25-26八年级上·福建泉州·月考）在 中， ， ，点 在 边上，
．若 ， ，则 的长为（ ）
A．9 B． C．10 D．
2．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）如图，平面直角坐标系中，已知 ， ， 为 轴正半轴
上一个动点，将线段 绕点 逆时针旋转 ，点 的对应点为 ，则线段 的最小值是（ ）
A． B．12 C． D．
3．（24-25九年级上·安徽芜湖·月考）如图， 是等边 内一点， ， ， ．将线段
以点 为旋转中心按逆时针方向旋转 得到线段 ，则 的度数为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
4．（25-26九年级上·北京·期中）如图，平面直角坐标系中，点 ， ， ，连接 ，并
将线段 绕点A顺时针旋转 ，点B旋转到点 ，连接 ．则 周长的最小值为 ．
5．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，边长为8的等边三角形 中，M是高 所在直线上的一
个动点，连接 ，将线段 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 ．则在点M运动过程中，线段
长度的最小值是 ．
6．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在四边形 中， ， ， ，且
， 的值为 ．
7．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，已知正方形 ， 是正方形 内一点．若 ，
，将 绕点 顺时针旋转至 处，此时点 、 、 三点正好在同一直线上．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求 的度数；
(2)求 的长；
(3)求 的面积．
题型六 面积旋转问题
1．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，已知长方形 ， ， ， 是 的中点，连
接 ，将 绕点 旋转（其中 、 分别与 、 对应）使得 落在直线 上，得 ，连接
，那么 的面积是 ．
2．（23-24八年级下·四川成都·月考）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，
， ， ，将 绕点C顺时针旋转一定角度
，如果在旋转的过程中 有一边与 平行，那么此时 的面积是 ．
3．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图， 为等边 内一点；将 绕点 顺时针旋转 至
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学科网（北京）股份有限公司的位置，连接 ．
(1)试判断 的形状，并说明理由；
(2)若 ，求 的长与 的面积．
4．（24-25九年级上·湖南长沙·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ．
(1)画出 关于原点 成中心对称的 ，并写出点 的对应点 的坐标_______；
(2)画出将 绕原点 顺时针旋转 后得到的 ；
(3)求 的面积．
5．（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知：如图1，四边形 中， ， ，
．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图2，连接 ，由于 ，所以可将 绕点 顺时针方向旋转 ，得到 ，则
的形状是_______．
(2)若 ， ，在（1）的基础上，求四边形 的面积．
(3)如图3，四边形 中， ， ， ， ， ，则四边形
的面积为_______．
6．（22-23八年级下·江苏南京·月考）（1）问题背景
如图甲， ， ，垂足为 ，且 ， ，求四边形 的面积．
小明发现四边形 的一组邻边 ，这就
为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过
程：
第一步：将 绕点 逆时针旋转 ；
第二步：利用 与 互补，
证明 三点共线，
从而得到正方形 ；
进而求得四边形 的面积．
请直接写出四边形 的面积为 ．
（2）类比迁移如图乙， 为等边 外一点， ， ，且 ，求四边形 的面
积．
（3）拓展延伸
如图丙，在五边形 中， ， ， ， ， ，求五边形
的面积．
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学科网（北京）股份有限公司题型七 角度旋转问题
1．（24-25七年级下·辽宁鞍山·月考）将一副直角三角板 和 如图放置，此时 ， ， ， 四
点在同一条直线上，点 在边 上，其中 ， ， ．将图中的
三角板 绕点 以每秒 的速度，按顺时针方向旋转一定的角度 后，记为三角板
，设旋转的时间为 秒．若在旋转过程中，三角板 的某一边恰好与 所在的直线平行，则
的值为
2．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图，已知 ，射线 从 开始，绕点 逆时针旋转，
旋转的速度为每秒 ，射线 从 开始，绕点 顺时针旋转，旋转的速度为每秒 ， 和 同时
开始旋转，当射线 第一次与射线 重合时，射线 和 同时停止旋转，设旋转的时间为 秒．
(1)射线 和 重合时，求 的值．
(2)射线 与 重合时，求 的值．
(3)求 为何值时， ．
3．（2025七年级上·全国·专题练习）已知 ， ，按如图①所示摆放，将 ，
边重合在直线 上， ， 边在直线 的两侧．
(1)保持 不动，将 绕点 旋转至如图②所示的位置，则 ________，
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学科网（北京）股份有限公司________；
(2)若 按每分钟5°的速度绕点 逆时针方向旋转， 按每分钟2°的速度也绕点 逆时针方向旋
转， 旋转到射线 上时都停止运动，设旋转时间为 分钟．求 的大小（用含 的整式
表示）．
4．（23-24七年级下·四川资阳·开学考试）如图1，点 ， ， 依次在直线 上，将射线 绕点 沿
顺时针方向以每秒 的速度旋转，同时射线 绕点 沿顺时针方向以每秒 的速度旋转（如图2），设
旋转时间为 （ ，单位秒）．
(1)当 时， ______°．
(2)在旋转过程中是否存在这样的 ，使得射线 是由射线 、射线 组成的角（指大于 而不超过
的角）的平分线？如果存在，请求出 的值；如果不存在，请说明理由．
(3)在运动过程中，当 时，求 的值．
题型八 画中心对称图形
1．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，已知 和其内一点 ．
(1)求作 ，使 与 关于点 成中心对称；
(2)指出各对应边以及各对应角．
2．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 ， ．
将 绕点A逆时针旋转 后得到 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)画出 ，点 的坐标为______；
(2)画出 关于点O对称的图形 ；
(3)连接 ，求 的度数．
3．（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）如图，已知 的顶点 在格点上，在网格中按下列要求作
图：
(1)将 绕点 逆时针旋转 得到 ；
(2)作出与 关于点 成中心对称的 ．
4．（25-26七年级上·上海普陀·月考）（1）画出 关于直线 成轴对称的图形；
（2）画出四边形 关于点O成中心对称的图形．
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学科网（北京）股份有限公司题型九 说出一个图形到另一个图形的变换过程
1．（2022·河北石家庄·一模）在平面内，由图1经过两次图形变换后得到图2，下列说法错误的是（ ）
A．只需经过两次轴对称变换
B．只需经过两次中心对称变换
C．先经过轴对称变换，再进行中心对称变换
D．先经过中心对称变换，再进行轴对称变换
2．（18-19九年级上·全国·单元测试）以如图（1）（以 为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，
分别经历如下变换能得到图（2）的有 （只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分）．
①只要向右平移1个单位；
②先以直线 为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；
③先绕着点 旋转 ，再向右平移一个单位；
④绕着 的中点旋转 即可．
3．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）轴对称、平移和旋转是三种重要的图形变换方式，它们的共同点就
是图形的大小和形状都不变，只是改变了图形的位置．这三种图形变换之间是否存在一定的联系，小明做
了如下探索：
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图①在方格纸上作 ，作 关于直线m对称的 ，再作 ，关于直线n对称的
， ，发现 ，通过作图小明发现轴对称变换与平移变换之间的关系是什
么？请你画图并写出小明发现的结论．
(2)如图②在方格纸上作 ，作 关于直线m对称的 ，再作 关于直线n对称的
， ，发现 ，通过作图小明发现轴对称变换与旋转变换之间的关系是什
么？请你画图并写出小明发现的结论．
4．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长
度， 和 的顶点均在格点上，且 ．
(1)画出 关于直线 对称的 ．
(2)画出 ，使 与 关于点 成中心对称．
(3) 与 是否对称？若对称，请在图中画出对称轴或对称中心．
(4)写出一种由 经过轴对称、平移和旋转变换得到 的过程．
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学科网（北京）股份有限公司题型一 旋转的综合运用
1．（25-26九年级上·江苏·假期作业） 如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ，点 在以
为圆心， 为半径的圆上， 关于 的对称点为 ．连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ．连
接 ．则 的最小值是（ ）
A．14 B．15 C． D．
2．（25-26七年级上·重庆·月考）如图1，点 在直线 上， ，射线 平分 ，
若 ．
(1)求 的度数；
(2)如图2， 的两边 ， 分别与射线 ， 重合，现将 绕点 以每秒 的速度顺时
针方向旋转，当射线 与射线 重合时， 停止运动，设运动时间为 秒．
①在运动过程中，若射线 为 的平分线，请猜想 与 的数量关系，并说明理由；
②如图3，在 运动的同时，射线 从射线 开始，绕着点 以每秒 的速度逆时针方向旋转，
当射线 与射线 重合时，立即以原速反方向顺时针方向旋转，当 停止运动时，射线 也停止
运动．当 时，请直接写出的值．
3．（25-26八年级上·广东广州·期中）汉代数学家赵爽在《周髀算经》利用弦图最早严谨证明了勾股定理：
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．即在如图1所示的直角三角形中，其三边关系满
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学科网（北京）股份有限公司足：
(1)如图1，已知 ， ，则 ______；
(2)如图2，点 从点 出发，以每秒1个单位长度沿 轴正半轴运动；与此同时，点 从点 出发，以每
秒2个单位长度沿 轴正半轴运动；点 从点 出发，以每秒2个单位长度沿 轴负半轴运动．连接 ，
将 绕点 逆时针旋转 至 ，连接 交 轴于点 ．当 时，求运动时间 ．
(3)如图3，已知 ，点 是 中点，过点 作直线 轴，点 是直线 上的动点，连接
，作 ，且 ，若 达到最小，且最小值为 时，求此时 的值．
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