文档文本内容
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第十三章 三角形
13.1 三角形的概念
１
………………………………………………………………
13.2 与三角形有关的线段
２
………………………………………………………
13.2.1 三角形的边
２
……………………………………………………………
13.2.2 三角形的中线、角平分线、高
４
………………………………………
13.3 三角形的内角与外角
６
………………………………………………………
13.3.1 三角形的内角
６
…………………………………………………………
第1 课时 三角形的内角和
６
……………………………………………………
第2 课时 直角三角形的两个锐角互余
８
………………………………………
13.3.2 三角形的外角
９
…………………………………………………………
专项突破１ 三角形中角度计算的常见模型
１１
…………………………………
模型１ Ａ字型 模型２ 飞镖型 模型３ ８字型
专项突破２ 与三角形的高、角平分线有关的模型
１２
…………………………
模型１ 过同一顶点的角平分线与高线模型
模型２ 两内角平分线模型
模型３ 内角平分线与不相邻外角平分线模型
模型４ 两外角平分线模型
第十三章自主检测
１４
…………………………………………………………………
综合与实践 确定匀质薄板的重心位置
１６
………………………………………
第十四章 全等三角形
14.1 全等三角形及其性质
１７
……………………………………………………
14.2 三角形全等的判定
１９
………………………………………………………
第1 课时 两边及其夹角证全等（SAS）
１９
……………………………………
第2 课时 两角及一边证全等（ASA、AAS）
２１
………………………………
第3 课时 三边证全等（SSS）
２３
………………………………………………
第4 课时 尺规作图
２４
……………………………………………………………
第5 课时 斜边及一直角边证全等（HL）
２５
…………………………………
专项突破３ 全等三角形的难点模型
２７
…………………………………………
模型１ 手拉手模型 模型２ 一线三等角模型
14.3 角的平分线
２８
…………………………………………………………………
第1 课时 角的平分线的性质
２８
…………………………………………………
第2 课时 角的平分线的判定
３０
…………………………………………………
专项突破４ 构造全等三角形的常用辅助线作法
３２
……………………………
作法１ 利用“角平分线”构造全等三角形
作法２ 利用“截长补短法”构造全等三角形
作法３ 利用“倍长中线法”构造全等三角形
第十四章自主检测
３３
…………………………………………………………………
第十五章 轴对称
15.1 图形的轴对称
３５
………………………………………………………………
15.1.1 轴对称及其性质
３５
………………………………………………………
15.1.2 线段的垂直平分线
３６
……………………………………………………
第1 课时 线段的垂直平分线的性质
３６
…………………………………………
第2 课时 线段的垂直平分线的作法
３８
…………………………………………
ጒ
（部分展示）
微专题
对角互补模型
Ｐ３１
角平分线＋平行线→等腰三角形
Ｐ４４
利用完全平方公式及其变形求
式子的值
Ｐ７２
新课标
推理能力
Ｐ３
Ｔ１６
模型观念
Ｐ５
Ｔ１４
中华优秀传统文化
Ｐ１０
Ｔ１０
几何直观
Ｐ１８
Ｔ１６
推理能力
Ｐ２９
Ｔ１３
中华优秀传统文化
Ｐ３５
Ｔ３
几何直观
Ｐ４０
Ｔ８
运算能力
Ｐ５９
Ｔ１０
运算能力
Ｐ７０
Ｔ１８
抽象能力
Ｐ７３
Ｔ９
应用意识
Ｐ８０
Ｔ１８
推理能力
Ｐ８７
Ｔ２１
运算能力
Ｐ９１
Ｔ２０
中华优秀传统文化
Ｐ９４
Ｔ２
运算能力
Ｐ９７
Ｔ１７
爱国教育
Ｐ９８
Ｔ３
模型观念
Ｐ９９
Ｔ７
—
１
—
ጒ
（部分展示）
新考向
结论开放题
Ｐ２
Ｔ７
规律探究题
Ｐ１３
Ｔ４
尺规作图
Ｐ２８
Ｔ２
操作实践题
Ｐ３９
Ｔ１
数学文化
Ｐ４２
Ｔ１２
条件开放题
Ｐ５６
Ｔ１２
新定义题
Ｐ５７
Ｔ２４
代数推理
Ｐ６１
Ｔ２０
阅读理解题
Ｐ７７
Ｔ１７
结论开放题
Ｐ８４
Ｔ１１
尺规作图
Ｐ１１１
Ｔ７
跨学科
跨物理·凸透镜
Ｐ１４
Ｔ４
跨美术·剪纸
Ｐ４０
Ｔ２
跨物理·串联电路Ｐ７７
Ｔ１３
跨物理·照相机成像
Ｐ９１
Ｔ１３
跨化学·水分子质量
Ｐ９４
Ｔ８
跨物理·受力分析Ｐ１０３
Ｔ１
跨物理·平面镜反射
Ｐ１０３
Ｔ２
跨语文·甲骨文
Ｐ１０３
Ｔ３
跨生物·免疫作用Ｐ１０３
Ｔ４
跨化学·稀释酒精Ｐ１０３
Ｔ５
跨信息技术·内存容量
Ｐ１０３
Ｔ６
跨音乐·音调高低Ｐ１０３
Ｔ７
跨语文·诗词
Ｐ１１２
Ｔ１２
15.2 画轴对称的图形
３９
……………………………………………………………
第1 课时 画轴对称的图形
３９
……………………………………………………
第2 课时 用坐标表示轴对称
４０
…………………………………………………
15.3 等腰三角形
４１
…………………………………………………………………
15.3.1 等腰三角形
４１
……………………………………………………………
第1 课时 等腰三角形的性质
４１
…………………………………………………
第2 课时 等腰三角形的判定
４３
…………………………………………………
15.3.2 等边三角形
４５
……………………………………………………………
第1 课时 等边三角形的性质与判定
４５
…………………………………………
第2 课时 含30°角的直角三角形的性质
４７
……………………………………
专项突破５ 分类讨论思想在等腰三角形中的应用
４８
…………………………
题型１ 底角或腰不确定时分类讨论
题型２ 高的位置不确定时分类讨论
题型３ 腰的垂直平分线不确定时分类讨论
专项突破６ 构造等腰三角形的常用方法
４９
……………………………………
方法１ 等腰三角形＋平行线→等腰三角形
方法２ 角平分线＋垂线→等腰三角形
方法３ 截长补短→等腰三角形
方法４ 倍角关系→等腰三角形
第十五章自主检测
５１
…………………………………………………………………
综合与实践 最短路径问题
５３
………………………………………………………
期中综合检测
５５
………………………………………………………………………
第十六章 整式的乘法
16.1 幂的运算
５９
……………………………………………………………………
16.1.1 同底数幂的乘法
５９
………………………………………………………
16.1.2 幂的乘方与积的乘方
６０
…………………………………………………
16.2 整式的乘法
６２
…………………………………………………………………
第1 课时 单项式乘单项式
６２
……………………………………………………
第2 课时 单项式乘多项式
６３
……………………………………………………
第3 课时 多项式乘多项式
６４
……………………………………………………
第4 课时 同底数幂的除法
６６
……………………………………………………
第5 课时 单（多）项式除以单项式
６７
…………………………………………
16.3 乘法公式
６９
……………………………………………………………………
16.3.1 平方差公式
６９
……………………………………………………………
16.3.2 完全平方公式
７１
…………………………………………………………
第1 课时 完全平方公式
７１
………………………………………………………
第2 课时 添括号法则
７３
…………………………………………………………
第十六章自主检测
７４
…………………………………………………………………
第十七章 因式分解
17.1 用提公因式法分解因式
７６
…………………………………………………
17.2 用公式法分解因式
７８
…………………………………………………………
第1 课时 用平方差公式分解因式
７８
……………………………………………
第2 课时 用完全平方公式分解因式
７９
…………………………………………
—
２
—
专项突破７ 特殊的因式分解法
８１
…………………………………………………
方法１ 用换元法进行因式分解 方法２ 用十字相乘法进行因式分解
方法３ 用拆项添项法进行因式分解
第十七章自主检测
８２
…………………………………………………………………
第十八章 分式
18.1 分式及其基本性质
８４
…………………………………………………………
18.1.1 从分数到分式
８４
…………………………………………………………
18.1.2 分式的基本性质
８５
………………………………………………………
第1 课时 分式的基本性质
８５
……………………………………………………
第2 课时 分式的约分与通分
８６
…………………………………………………
18.2 分式的乘法与除法
８８
………………………………………………………
第1 课时 分式的乘除
８８
…………………………………………………………
第2 课时 分式的乘除混合运算及乘方
８９
………………………………………
18.3 分式的加法与减法
９０
………………………………………………………
第1 课时 分式的加减
９０
…………………………………………………………
第2 课时 分式的混合运算
９２
……………………………………………………
18.4 整数指数幂
９３
…………………………………………………………………
第1 课时 负整数指数幂
９３
………………………………………………………
第2 课时 用科学记数法表示绝对值小于1 的数
９４
……………………………
专项突破８ 分式化简求值的常见类型
９５
………………………………………
类型１ 化简后直接求值 类型２ 整体代入求值 类型３ 把条件化简后求值
类型４ 自选条件代入求值
类型５ 倒数法求值
18.5 分式方程
９６
……………………………………………………………………
第1 课时 分式方程及其解法
９６
…………………………………………………
第2 课时 列分式方程解应用题
９８
………………………………………………
专项突破９ 分式中的易错点
１００
…………………………………………………
易错点１ 忽视分式中的隐含条件致错
易错点２ 分式运算时符号出错或顺序出错
易错点３ 讨论方程的解时考虑问题不全面致错
易错点４ 解分式方程时漏乘或不验根致错
第十八章自主检测
１０１
…………………………………………………………………
专项突破１０ 跨学科试题
１０３
………………………………………………………
类型１ 跨物理学科 类型２ 跨语文学科 类型３ 跨生物学科
类型４ 跨化学学科 类型５ 跨信息技术学科 类型６ 跨音乐学科
期末专题复习
专题精练１ 三角形
１０４
………………………………………………………………
专题精练２ 全等三角形与轴对称
１０５
……………………………………………
专题精练３ 整式的乘法与因式分解
１０７
…………………………………………
专题精练４ 分式
１０８
…………………………………………………………………
中考风向标
１０９
…………………………………………………………………………
期末综合检测
１１１
………………………………………………………………………
答案全解全析 教材练习答案
ጒ
（部分展示）
学科特色
教材变式
Ｐ１
Ｔ４
方程思想
Ｐ６
Ｔ２
多解法
Ｐ９
Ｔ８
分类讨论思想
Ｐ１５
Ｔ１３
平移模型
Ｐ１７
Ｔ５
旋转模型
Ｐ１８
Ｔ１４
对称模型
Ｐ２０
Ｔ９
一线三垂直模型
Ｐ２２
Ｔ１２
多解法
Ｐ３２
Ｔ２
易错题
Ｐ４１
Ｔ５
手拉手模型
Ｐ５８
Ｔ２５
整体思想
Ｐ６３
Ｔ９
多解法
Ｐ７２
Ｔ１１
易错题
Ｐ７３
Ｔ６
几何画板
作三角形的高
Ｐ４
两内角平分线模型
Ｐ１２
内角平分线与不相邻外角平分
线模型
Ｐ１３
两外角平分线模型
Ｐ１３
异侧一线三等角全等模型
Ｐ２２
手拉手模型
Ｐ２７
一线三等角模型
Ｐ２７
对角互补模型
Ｐ３１
倍长中线模型
Ｐ３２
—
３
—
᮰
6
三角形的分类：按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；按边分类可分为不等边三角形和等腰三
角形．
第
十
三
章
三
角
形
１
第十三章
三角形
１３．１ 三角形的概念
ۻᆱ݆
知识点１ 三角形及其相关概念
１．「2025 四川内江六中月考」将一副三角尺按如图所示的
方式叠放在一起，以ＢＣ为边的三角形共有（Ｃ）
Ａ．１个
Ｂ．２个
Ｃ．３个
Ｄ．４个
$
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#
"
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第１题图
第２题图
２．如图，点Ｄ，Ｅ在线段ＢＣ上，在△ＡＢＥ中，∠Ｂ所对的
边是ＡＥ；在△ＡＤＥ中，ＤＥ是∠ＤＡＥ
的对边；在
△ＡＤＣ中，ＡＣ边所对的角是∠ＡＤＣ．
知识点２ 三角形的分类
３．选项中给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中
不能判断三角形类型的是
（Ｃ）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
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+̵>ᒎ
1
2
４．
学科
特色
教材
变式三角形按常见关系进
行分类如图所示，则关于Ｐ、
Ｑ区域的说法正确的是
（Ｂ）
Ａ．Ｐ是等边三角形，Ｑ是等
腰三角形
Ｂ．Ｐ是等腰三角形，Ｑ是等边三角形
Ｃ．Ｐ是直角三角形，Ｑ是锐角三角形
Ｄ．Ｐ是钝角三角形，Ｑ是等腰三角形
５．「2025 新疆吐鲁番期中」若△ＡＢＣ的三边长分别是ａ，
ｂ，ｃ，且（ａ－ｂ）
２＋｜ｂ－ｃ｜＝０，则△ＡＢＣ的形状是等边
三角形．
ᑧү Ӭ
６．「2024 河北沧州月考，
」将一个三角形纸片剪开分成
两个三角形，这两个三角形不可能
（Ａ）
Ａ．都是锐角三角形
Ｂ．都是直角三角形
Ｃ．都是钝角三角形
Ｄ．是一个锐角三角形和一个钝角三角形
７．「2025 福建厦门期末，
」如图，已知点Ａ，Ｂ在直线ａ
上，点Ｃ，Ｄ，Ｅ在直线ｂ上．以点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ中的
任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形
共有
（Ｄ）
Ａ．３个
Ｂ．４个
Ｃ．６个
Ｄ．９个
" #
$
%
& C
B
第７题图
"
&
#
$
%
第８题图
８．「2025 贵州毕节八中月考，
」如图，ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ＝ＥＢ
＝ＣＤ，则图中等腰三角形有４
个，等边三角形有
１个．
９．「2025 山西临汾月考，
」如图，在△ＡＢＣ中，
ＡＥ⊥ＢＣ，点Ｅ是垂足，点Ｄ是边ＢＣ上的
一点，连接ＡＤ．
（１）写出△ＡＢＥ的三个内角．
（２）在△ＡＢＤ中，∠Ｂ的对边是
；在
△ＡＢＣ中，∠Ｂ的对边是
．
（３）图中共有几个三角形？把它们分别写出来．这些
三角形中，哪些是直角三角形？哪些是锐角三
角形？哪些是钝角三角形？
"
&
#
$
%
见答案册Ｄ１
᮰
6
三条线段能否构成三角形，关键是看较短两线段的和是否大于最长线段．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
２
１３．２ 与三角形有关的线段
１３．２．１ 三角形的边
ۻᆱ݆
知识点１ 三角形的三边关系
１．「2025 浙江台州期末」给出下列长度的三条线段，能组
成三角形的是
（Ｃ）
Ａ．２，３，５
Ｂ．６，７，１５
Ｃ．３，４，５
Ｄ．５，５，１１
２．「2024 江苏淮安中考」用一根小木棒与两根长度分别
为３ｃｍ，５ｃｍ的小木棒组成三角形，则这根小木棒
的长度可以是
（Ｂ）
Ａ．９ｃｍ
Ｂ．７ｃｍ
Ｃ．２ｃｍ
Ｄ．１ｃｍ
３．满足下列条件的三条线段ａ，ｂ，ｃ能组成三角形的是
（Ｃ）
Ａ．ａ∶ｂ∶ｃ＝１∶２∶３
Ｂ．ａ＋ｂ＝４，ａ＋ｂ＋ｃ＝９
Ｃ．ａ＝７，ｂ＝９，ｃ＝１２
Ｄ．ａ＝３ｔ，ｂ＝２ｔ，ｃ＝ｔ
４．如图，数轴上Ａ，Ｂ两点到原点的距离是某三角形
两边的长，则该三角形第三边长不可能是
（Ｄ）
"
#
Ａ．２
Ｂ．４
Ｃ．６
Ｄ．８
５．
学科
特色
教材
变式用一条长为１５ｃｍ的细绳围成一个等腰三
角形．
（１）设等腰三角形的腰长为ａｃｍ，求ａ的取值
范围．
（２）若等腰三角形的一边长为３ｃｍ，求另两边长．
解析 （１）∵腰长为ａｃｍ，周长为１５ｃｍ，
∴底边长为（１５－２ａ）ｃｍ，
∴ａ＋ａ＞１５－２ａ，１５－２ａ＞０，∴１５
４＜ａ＜１５
２．
（２）①当３ｃｍ为底边长时，腰长为６ｃｍ，６＋３＞６，能
组成三角形．
②当３ｃｍ为腰长时，底边长为９ｃｍ，３＋３＜９，不能
组成三角形．
故另两边长分别为６ｃｍ，６ｃｍ．
知识点２ 三角形的稳定性
６．「2025 贵州铜仁期中」如图，一扇窗户打开后，用窗钩
ＡＢ可将其固定，这里所运用的几何原理是（Ｄ）
"
#
Ａ．三角形的内角和等于１８０°
Ｂ．两点之间，线段最短
Ｃ．两点确定一条直线
Ｄ．三角形具有稳定性
７．新
考向
结论开放题六边形钢架ＡＢＣＤＥＦ由６条钢管铰接而
成，如图所示，为使这一钢架稳固，试用三条钢管连
接使之不能活动，方法很多，请至少画出三种方法．
（只需画图，不必写出作法）
见答案册Ｄ２
ᑧү Ӭ
８．「2025 内蒙古乌兰察布期中，
」如图，下面的四个盒
子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根
小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段
小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三
角形的是
（Ｂ）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
᮰
6
三角形有稳定性，不在一线三线段，首尾顺次相接连，三角形状是固定，承受多少都稳定．
第
十
三
章
三
角
形
３
９．「2025 湖北荆州月考，
」为方便劳动技术小组实践
教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三
段篱笆ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，这三段篱笆的长度如图所示，
其中篱笆ＡＢ，ＣＤ可分别绕轴ＢＥ和ＣＦ转动．若要
围成一个三角形的空地，则在篱笆ＣＤ上接上新的
篱笆的长度可以为
（Ｂ）
%
&
$
#
'
N
N
N
"
Ａ．３ｍ
Ｂ．４ｍ
Ｃ．８ｍ
Ｄ．９ｍ
１０．「2025 福建厦门集美期中，
」某中学九年级（２）班
学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是
５ｋｍ和３ｋｍ，那么杨冲，李锐两家的直线距离不
可能是
（Ａ）
Ａ．１ｋｍ
Ｂ．２ｋｍ
Ｃ．３ｋｍ
Ｄ．８ｋｍ
１１．新
考向
结论开放题「2024 青海西宁中考，
」若长度分别为
３，６，ａ的三条线段能组成一个三角形，则整数ａ
的值可以是４（答案不唯一）．（写出一个即可）
１２．「2024 江苏徐州联考，
」若实数ｍ，ｎ满足｜ｍ－２｜＋
ｎ－４＝０，且ｍ，ｎ恰好是等腰△ＡＢＣ的两条边的
边长，则△ＡＢＣ的周长是１０．
１３．「2025 北京实验学校期中，
」三个数３ａ－２１，２ａ－１０，
３ａ－１６所对应的点在数轴上从左到右依次排列，三
个数均大于０，且以这三个数为边长能构成三角
形，则整数ａ的值为８或９或１０．
１４．「2025 黑龙江哈尔滨月考，
」已知ａ，ｂ，ｃ分别为
△ＡＢＣ的三边长（ａ＞ｂ），且满足ａ＋ｂ＝３ｃ－２，ａ－ｂ＝
２ｃ－６．
（１）求ｃ的取值范围．
（２）若△ＡＢＣ的周长为１４，求ｃ的值，并判断
△ＡＢＣ的形状．
见答案册Ｄ２
１５．「2025 安徽安庆期末，
」已知ａ，ｂ，ｃ是△ＡＢＣ的三
边长．
（１）化简：｜ａ－ｂ＋ｃ｜＋｜ａ－ｂ－ｃ｜．
（２）若ａ和ｂ满足方程组
ａ＋２ｂ＝１２，
２ａ－ｂ＝－１，
{
且ｃ为偶数，
求这个三角形的周长．
解析 （１）∵ａ，ｂ，ｃ是△ＡＢＣ的三边长，
∴ａ＋ｃ＞ｂ，ｂ＋ｃ＞ａ，
∴ａ－ｂ＋ｃ＞０，ａ－ｂ－ｃ＜０，
∴｜ａ－ｂ＋ｃ｜＋｜ａ－ｂ－ｃ｜＝（ａ－ｂ＋ｃ）－（ａ－ｂ－ｃ）＝ａ－ｂ＋ｃ
－ａ＋ｂ＋ｃ＝２ｃ．
（２）解方程组
ａ＋２ｂ＝１２，
２ａ－ｂ＝－１
{
得
ａ＝２，
ｂ＝５，
{
根据三角形的三边关系得５－２＜ｃ＜２＋５，即３＜ｃ＜７，
∵ｃ为偶数，
∴ｃ＝４或６，
当ｃ＝４时，三角形的周长为２＋５＋４＝１１；
当ｃ＝６时，三角形的周长为２＋５＋６＝１３．
∴这个三角形的周长为１１或１３．
б ͞
１６．新
课标
推理能力「2024 湖北鄂州期中」有一道题如下：
如图１，填空：
由三角形两边的和大于第三边，得ＡＢ＋ＡＤ＞
，ＰＤ＋ＣＤ＞
．将不等式左边、右
边分别相加，得ＡＢ＋ＡＤ＋ＰＤ＋ＣＤ＞
，即ＡＢ
＋ＡＣ＞
．
（１）补全横线上的内容．
（２）仿照所给方法，请你利用图２（Ｍ，Ｎ，Ｐ三点共
线）证明ＡＢ＋ＡＣ＞ＰＢ＋ＰＣ．
（３）如图３，点Ｏ是△ＡＢＣ内一点，连接ＯＢ和ＯＣ．
若ＡＢ＝６，ＡＣ＝５，ＢＣ＝７，你能写出ＯＢ＋ＯＣ的
取值范围吗？
"
%
$
1
#
图１
"
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.
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1
#
图２
"
0
$
#
图３
见答案册Ｄ２
᮰
6
三角形的中线的最大作用是将三角形分为两个面积相等的三角形．三条中线的交点是三角形的重心．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
４
１３．２．２ 三角形的中线、角平分线、高
ۻᆱ݆
知识点 三角形的中线、角平分线、高
１．用一块含４５°角的透明直角三角尺画已
知△ＡＢＣ的边ＡＢ上的高，下列三角尺
的摆放位置正确的是
（Ｃ）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
２．「2025 福建福州期中」如图，若∠１＝∠２，∠３＝∠４，下
列结论中错误的是
（Ｄ）
Ａ．ＣＤ是△ＡＢＣ的角平分线
Ｂ．ＡＥ是△ＡＣＤ的角平分线
Ｃ．∠１＋∠３＝１
２（∠ＢＡＣ＋∠ＢＣＡ）
Ｄ．ＡＥ是△ＡＢＣ的角平分线
$
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"
第２题图
"
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#
第３题图
３．
学科
特色
教材
变式如图，ＡＤ，ＡＥ，ＡＦ分别是△ＡＢＣ的中线，角平
分线，高线，下列结论中错误的是
（Ｄ）
Ａ．ＣＤ＝１
２ＢＣ
Ｂ．２∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＣ
Ｃ．∠ＡＦＣ＝９０°
Ｄ．ＡＥ＝ＡＣ
４．「2025 河北邯郸月考」如图所示的网格由边长相同的
小正方形组成，点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ在小正方形的
格点上，则△ＡＢＣ的重心是
（Ａ）
%
(
&
'
$
#
"
Ａ．点Ｄ
Ｂ．点Ｅ
Ｃ．点Ｆ
Ｄ．点Ｇ
５．
学科
特色易错题如图所示，在△ＡＢＣ中，∠１＝∠２，Ｇ是ＡＤ
的中点，连接ＢＧ并延长，交ＡＣ于点Ｅ，Ｆ为ＡＢ边
上一点，ＣＦ⊥ＡＤ交ＡＤ于点Ｈ．有下列说法：①ＡＤ
是△ＡＢＥ的角平分线；②ＢＥ是△ＡＢＤ的边ＡＤ上
的中线；③ＣＨ为△ＡＣＤ的边ＡＤ上的高；
④ＡＨ是△ＡＣＦ的角平分线和高．其中说法正确的
有③④．（填序号）
"
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(
)
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%
$
第５题图
"
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'
#
第６题图
６．「2025 甘肃嘉峪关期中」如图，在△ＡＢＣ中，ＡＤ为ＢＣ
边上的中线，ＤＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，ＤＦ⊥ＡＣ于点Ｆ，ＡＢ＝
３，ＡＣ＝４，ＤＦ＝１．５，则ＤＥ＝２．
７．「2025 云南昆明期中」如图，ＣＤ，ＣＥ分别是△ＡＢＣ的高
和中线，若ＡＣ＝３，ＡＢ＝５，ＢＣ＝４，∠ＡＣＢ＝９０°．
（１）求ＣＤ的长．
（２）求△ＥＢＣ与△ＡＣＥ的周长之差．
&
#
$
%
"
见答案册Ｄ３
ᑧү Ӭ
８．「2024 安徽合肥期末，
」如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，
Ｄ，Ｅ是ＡＣ上两点，且ＡＥ＝
ＤＥ，ＢＤ平分∠ＥＢＣ，那么下
列说法中不正确的是
（Ｃ）
Ａ．ＢＥ是△ＡＢＤ的中线
Ｂ．ＢＤ是△ＢＣＥ的角平分线
Ｃ．∠１＝∠２＝∠３
Ｄ．ＢＣ是△ＢＤＥ的高
᮰
6
三角形主要线段口诀：中线高线角平分线，各有三条是线段．中线或角平分线，形内交于同一点．高线特殊需记
清，形内形外考虑全．
第
十
三
章
三
角
形
５
"
#
%
&
'
$
９．「2025 北京海淀月考，
」如图，在直
角三角形ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，点
Ｄ沿ＣＢ自点Ｃ向点Ｂ运动（点Ｄ
与点Ｃ，Ｂ不重合），作ＢＥ⊥ＡＤ于
点Ｅ，ＣＦ⊥ＡＤ，交ＡＤ的延长线于点Ｆ，在点Ｄ的运
动过程中，ＢＥ＋ＣＦ的值
（Ｂ）
Ａ．逐渐变小
Ｂ．逐渐变大
Ｃ．不变
Ｄ．无法确定
１０．「
」如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ，Ｆ分别为ＢＣ，
ＡＤ，ＣＥ的中点，且Ｓ△ＡＢＣ＝４ｃｍ
２，则阴影部分的面
积为１ｃｍ
２．
"
#
%
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'
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第１０题图
"
#
.
$
第１１题图
１１．「2024 广东惠州月考，
」如图，△ＡＢＣ的三边长均
为整数，且周长为２４，ＡＭ是边ＢＣ上的中线，
△ＡＢＭ的周长比△ＡＣＭ的周长大３，则ＢＣ长的
可能值有４个．
１２．「2024 山东东营期末，
」如图，已知△ＡＢＣ的面积
为１２，Ｄ，Ｅ分别是ＢＣ，ＡＤ的中点，连接ＢＥ，ＥＦ⊥
ＢＣ于点Ｆ，ＢＤ＝３．
（１）求ＥＦ的长．
（２）若ＣＦ＝２，求四边形ＡＥＦＣ的面积．
见答案册Ｄ３
１３．「
」如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＞ＡＣ，ＡＤ为
ＢＣ边上的中线．
（１）Ｓ△ＡＢＤ
Ｓ△ＡＣＤ（填“＞”“＜”或“ ＝”）．
（２）△ＡＢＤ的周长比△ＡＣＤ的周长大４．
①若ＡＢ＝１０，则ＡＣ＝
．
②若ＡＢ＋ＡＣ＝１４，则ＡＣ＝
．
（３）△ＡＢＣ的周长为２７，ＡＢ＝９，ＡＤ＝６，△ＡＣＤ的
周长为１９，求ＡＣ的长．
见答案册Ｄ３
б ͞
１４．新
课标
模型观念如图，有一块三角形菜地．
（１）如图１，若从顶点Ａ修一条笔直的小路交ＢＣ
于点Ｄ，小路正好将菜地分成面积相等的两
部分，画出Ｄ点的位置并说明理由．
（２）假设在菜地中有一点Ｅ，如图２所示，ＢＣ上是
否存在点Ｆ，使折线Ａ→Ｅ→Ｆ将△ＡＢＣ分为
面积相等的两部分？若存在，请画出Ｆ点的
位置，并说明理由．
"
$
#
图１
"
$
&
#
图２
见答案册Ｄ４
᮰
6
三角形的内角和，等于平角永不变；平行性质作用大，拼合方法显易见．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
６
１３．３ 三角形的内角与外角
１３．３．１ 三角形的内角
第1 课时 三角形的内角和
ۻᆱ݆
知识点１ 三角形内角和定理
１．
学科
特色
教材
变式在探究证明“三角形的内角和是１８０°”时，综
合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能
证明“三角形内角和是１８０°”的是
（Ｃ）
&
'
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"
#
过点Ｃ作ＥＦ∥ＡＢ
"
#
$
&
'
延长ＡＣ到点Ｆ，过点Ｃ
作ＣＥ∥ＡＢ
Ａ Ｂ
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#
$
过点Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ
于点Ｄ
&
'
"
%
#
$
过ＡＢ上一点Ｄ，作ＤＥ∥ＢＣ
交ＡＣ于点Ｅ，ＤＦ∥ＡＣ交ＢＣ
于点Ｆ
Ｃ Ｄ
２．
学科
特色
方程
思想在△ＡＢＣ中，∠Ａ∶∠Ｂ∶∠Ｃ＝１∶３∶４，则
△ＡＢＣ中最大的内角度数为
（Ｂ）
Ａ．８０°
Ｂ．９０°
Ｃ．１００°
Ｄ．１２０°
&
"
%
#
$
３．
学科
特色多解法「2025 天津津南月考」如
图，点Ｅ，Ｄ分别在ＡＢ，ＡＣ上，若
∠Ｂ＝３０°，∠Ｃ＝５５°，则∠１＋∠２
的度数为
（Ａ）
Ａ．８５°
Ｂ．８０°
Ｃ．７５°
Ｄ．７０°
知识点２ 三角形内角和定理的应用
#
"
４．「2025 广西来宾期中」如图，△ＡＢＣ缺
了一个角，测得∠Ａ＝７０°，∠Ｂ＝２４°，
则∠Ｃ的度数是
（Ｂ）
Ａ．８４°
Ｂ．８６°
Ｃ．９６°
Ｄ．６６°
５．如图，∠Ａ＝７０°，ＢＰ，ＣＰ分别平分∠ＡＢＣ和∠ＡＣＢ，
则∠Ｐ的度数是１２５° ．
"
#
$
1
第５题图
"
%
#
&
'
$
第６题图
６．「2023 湖北十堰中考」一副三角尺按如图所示的方式
放置，点Ａ在ＤＥ上，点Ｆ在ＢＣ上，若∠ＥＡＢ＝３５°，
则∠ＤＦＣ＝１００° ．
７．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝４６°，ＣＥ是∠ＡＣＢ的平分
线，交ＡＢ于点Ｅ，点Ｂ，Ｃ，Ｄ在同一条直线上，ＦＤ
∥ＥＣ交ＡＢ于点Ｆ，∠Ｄ＝４２°，求∠Ｂ的度数．
解析 ∵ＦＤ∥ＥＣ，∠Ｄ＝４２°，∴∠ＢＣＥ＝∠Ｄ＝４２°，
∵ＣＥ是∠ＡＣＢ的平分线，∴∠ＡＣＢ＝２∠ＢＣＥ＝８４°，
∵∠Ａ＝４６°，∴∠Ｂ＝１８０°－８４°－４６° ＝５０°．
８．
学科
特色
教材
变式如图，轮船在Ｂ处观测灯塔Ａ位于南偏东
７５°方向上，轮船从Ｂ处以每小时５０海里的速度沿
南偏东３０°方向匀速航行，半小时到达Ｃ处，在Ｃ
处观测灯塔Ａ位于北偏东６０° 方向上，求∠Ａ的
度数．
"
#
$
c
c
c
͈
见答案册Ｄ５
᮰
6
三角形三个内角和等于１８０°，当已知三角形中两内角度数时，可利用三角形内角和定理直接求第三个内角的度数；
当三角形中未直接给出两内角的度数时，可以建立方程模型求解．
第
十
三
章
三
角
形
７
ᑧү Ӭ
９．「2025 河北唐山月考，
」如图，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝
７０°，∠Ｃ＝３０°，ＢＤ平分∠ＡＢＣ交ＡＣ于点Ｄ，ＤＥ∥
ＡＢ，交ＢＣ于点Ｅ，则∠ＢＤＥ的度数是
（Ｂ）
Ａ．３０°
Ｂ．４０°
Ｃ．５０°
Ｄ．６０°
"
#
&
%
$
第９题图
第１０题图
１０．「2024 河南南阳月考，
」如图，在三角形纸片ＡＢＣ
中，∠Ａ＝６０°，∠Ｂ＝８０°，将纸片的一角折叠，使
点Ｃ落在△ＡＢＣ外的点Ｃ′处．若∠２＝３５°，则∠１
的度数为
（Ａ）
Ａ．１１５°
Ｂ．１０５°
Ｃ．９５°
Ｄ．８５°
１１．「2023 江苏徐州中考，
」如图，在△ＡＢＣ中，若ＤＥ
∥ＢＣ，ＦＧ∥ＡＣ，∠ＢＤＥ＝１２０°，∠ＤＦＧ＝１１５°，则
∠Ｃ＝５５°．
１２．「
」当三角形中一个内角β 是另外一
个内角α 的１
２时，我们称此三角形为“友
好三角形”，其中α 是这个“友好三角形”的“友好
角”．如果一个“ 友好三角形” 中有一个内角为
５４°，那么这个“友好三角形”的“友好角”α 的度
数为５４°或１０８°或８４°．
１３．「2024 甘肃兰州期末，
」如图，在△ＡＢＣ中，ＣＤ平
分∠ＡＣＢ，ＣＤ交边ＡＢ于点Ｅ，在ＡＥ上取点Ｆ，连
接ＤＦ，使∠Ｄ＝∠１．
（１）求证：ＤＦ∥ＢＣ．
（２）当∠Ａ＝３６°，∠ＤＦＥ＝３４°时，求∠２的度数．
解析
（１）证明：∵ＣＤ平分∠ＡＣＢ，∴∠ＤＣＢ
＝∠１，
∵∠Ｄ＝∠１，∴∠ＤＣＢ＝∠Ｄ，∴ＤＦ∥ＢＣ．
（２）∵ＤＦ∥ＢＣ，∠ＤＦＥ＝３４°，∴∠Ｂ＝∠ＤＦＥ
＝３４°，
在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝３６°，∠Ｂ＝３４°，
∴∠ＡＣＢ＝１８０°－３６°－３４° ＝１１０°，
∵ＣＤ平分∠ＡＣＢ，∴∠１＝１
２∠ＡＣＢ＝５５°，
∴∠２＝１８０°－３６°－５５° ＝８９°．
б ͞
１４．新
课标
推理能力已知，如图１，线段ＡＢ、ＣＤ相交于点Ｏ，连
接ＡＤ、ＣＢ，我们把形如图１的图形称为“８字形”．
试解答下列问题：
（１）在图１中，请直接写出∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ、∠Ｄ之
间的数量关系： ．
（２）仔细观察，在图２中，“ ８字形” 的个数为
．
（３）在图２中，若∠Ｄ＝４０°，∠Ｂ＝３６°，∠ＤＡＢ和
∠ＢＣＤ的平分线ＡＰ和ＣＰ相交于点Ｐ，并且
与ＣＤ、ＡＢ分别相交于点Ｍ、Ｎ，利用（１）的结
论，试求∠Ｐ的度数．
（４）当图２中∠Ｄ和∠Ｂ为任意角时，其他条件不
变，试问∠Ｐ与∠Ｄ、∠Ｂ之间存在着怎样的
数量关系？（直接写出结论即可）
图１
图２
见答案册Ｄ５
᮰
6
有一个内角为９０°的三角形（或有两个内角互余的三角形）是直角三角形．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
８
第2 课时 直角三角形的两个锐角互余
ۻᆱ݆
知识点１ 直角三角形的性质
１．「2024 广西南宁期中」如图，已知ＡＣ⊥ＢＣ于点Ｃ，ＣＤ
⊥ＡＢ于点Ｄ，∠Ａ＝５６°，则∠ＤＣＢ的度数是（Ｃ）
Ａ．３０°
Ｂ．４５°
Ｃ．５６°
Ｄ．６０°
第１题图
B
C
第２题图
２．如图，直线ａ∥ｂ，将直角三角尺按如图所示的方式
摆放，直角三角尺两个顶点分别在直线ａ，ｂ上，则
图中与∠１互余的角有
（Ｃ）
Ａ．１个
Ｂ．２个
Ｃ．３个
Ｄ．４个
３．「2025 河南郑州期中」如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝４６°，
∠ＢＡＣ＝８０°，△ＡＢＣ的高ＡＤ和角平分线ＢＥ交于
点Ｆ．求∠ＡＦＥ的度数．
"
'
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#
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解析 ∵∠Ｃ＝４６°，∠ＢＡＣ＝８０°，∴∠ＡＢＣ＝１８０°－
∠Ｃ－∠ＢＡＣ＝５４°，∵ＢＥ是∠ＡＢＣ的平分线，
∴∠ＤＢＦ＝１
２∠ＡＢＣ＝２７°，∵ＡＤ是△ＡＢＣ的高，
∴ＡＤ⊥ＢＣ，∴∠ＢＦＤ＝９０°－∠ＤＢＦ＝６３°，
由对顶角相等得∠ＡＦＥ＝∠ＢＦＤ＝６３°．
知识点２ 直角三角形的判定
４．
学科
特色
教材
变式如图，点Ｅ是△ＡＢＣ中ＡＣ边上的一点，过Ｅ
作ＥＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｄ，若∠１＝∠２，则△ＡＢＣ是
（Ａ）
Ａ．直角三角形
Ｂ．锐角三角形
Ｃ．钝角三角形
Ｄ．无法确定
５．如图，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∠ＡＤＢ＝６０°，∠ＢＤＣ＝８０°，
∠Ｃ＝７０°，则△ＡＢＤ是直角三角形．
ᑧү Ӭ
６．「2024 福建漳州一模，
」下列条件：①∠Ａ＋∠Ｂ＝
∠Ｃ；②∠Ａ∶∠Ｂ∶∠Ｃ＝１∶５∶６；③∠Ａ＝９０°－∠Ｂ；
④∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ．其中能确定△ＡＢＣ是直角三角
形的条件有
（Ｃ）
Ａ．１个
Ｂ．２个
Ｃ．３个
Ｄ．４个
７．「2025 山西忻州期中，
」如图，小明在计算机上用
“几何画板”画了一个Ｒｔ△ＡＢＣ，∠Ｃ＝９０°，并画出了
两锐角的平分线ＡＤ，ＢＥ及其交点Ｆ．小明发现，无论
怎样变动Ｒｔ△ＡＢＣ的形状和大小，∠ＡＦＢ的度数是
定值，则这个定值为
（Ａ）
Ａ．１３５°
Ｂ．１５０°
Ｃ．１２０°
Ｄ．１１０°
"
'
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#
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第７题图
"
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%
#
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第８题图
８．「2024 四川凉山州中考，
」如图，△ＡＢＣ中，∠ＢＣＤ＝
３０°，∠ＡＣＢ＝８０°，ＣＤ是边ＡＢ上的高，ＡＥ是∠ＣＡＢ
的平分线，则∠ＡＥＢ的度数是１００° ．
９．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，点Ｄ在
ＡＢ边上，将△ＣＢＤ沿ＣＤ折叠，使点Ｂ恰
好落在ＡＣ边上的点Ｅ处．若∠Ａ＝２５°，则∠ＣＤＥ＝
７０° ．
᮰
6
三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫作三角形的外角．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
第
十
三
章
三
角
形
９
１３．３．２ 三角形的外角
ۻᆱ݆
知识点１ 三角形的外角
１．下列选项中，∠１为△ＡＢＣ的外角的是
（Ｂ）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
知识点２ 三角形的外角性质
２．
学科
特色
教材
变式「2025 广东珠海期中」如图，∠Ａ＝４０°，∠ＣＢＤ是
△ＡＢＣ的外角，∠Ｃ＝６０°，则∠ＣＢＤ的大小是（Ｃ）
Ａ．１８０°
Ｂ．１２０°
Ｃ．１００°
Ｄ．８０°
"
$
#
%
第２题图
"
$
#
%
&
第３题图
３．如图，下列说法中错误的是
（Ｃ）
Ａ．∠１不是三角形ＡＢＣ的外角
Ｂ．∠ＡＣＤ是三角形ＡＢＣ的外角
Ｃ．∠ＡＣＤ＞∠Ａ＋∠Ｂ
Ｄ．∠Ｂ＜∠１＋∠２
４．「2025 浙江杭州期中」将一副三角尺按照如图所示的
方式摆放，点Ｃ、Ｂ、Ｅ共线，∠ＦＥＢ＝６２°，则∠ＥＤＢ
的度数为
（Ｂ）
Ａ．１２°
Ｂ．１３°
Ｃ．１７°
Ｄ．１８°
"
$
#
%
'
&
第４题图
"
$
#
c
͈
c
第５题图
５．某数学兴趣小组在学校操场上进行实地测量．如
图，在Ａ处测得建筑物Ｃ在南偏西５７°的方向上，
在Ｂ处测得建筑物Ｃ在南偏西２０°的方向上．在建
筑物Ｃ处测得Ａ，Ｂ两处的视角∠Ｃ的度数为
（Ｄ）
Ａ．６７°
Ｂ．５７°
Ｃ．４７°
Ｄ．３７°
６．如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ分别在边ＡＢ，ＡＣ上，将
△ＡＤＥ沿ＤＥ折叠至△ＦＤＥ的位置，点Ａ的对应点
为Ｆ．若∠Ａ＝１５°，∠ＢＤＦ＝１２０°，则∠ＣＥＤ的度数为
（Ｃ）
Ａ．３０°
Ｂ．４０°
Ｃ．４５°
Ｄ．５０°
"
$
#
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'
(
&
第６题图
第７题图
７．将一张三角形纸片ＥＦＧ按如图所示的方式摆放，已
知ＡＢ∥ＣＤ，顶点Ｆ，Ｇ分别落在直线ＡＢ，ＣＤ上，ＧＥ
交ＡＢ于点Ｈ，ＧＥ平分∠ＦＧＤ．若∠ＥＦＧ＝９０°，∠Ｅ＝
３５°，则∠ＥＦＢ的度数为２０° ．
８．
学科
特色多解法如图，在△ＡＢＣ中，Ｄ是ＢＣ边上一点，∠１
＝∠２，∠３＝∠４，∠ＢＡＣ＝７５°，求∠ＤＡＣ的度数．
"
$
#
%
解析 【解法一】设∠１＝∠２＝ｘ，则∠４＝∠３＝∠１＋
∠２＝２ｘ．
∵∠ＢＡＣ＝７５°，∴∠２＋∠４＝１８０°－７５° ＝１０５°，即ｘ＋
２ｘ＝１０５°，解得ｘ＝３５°，∴∠１＝３５°，
∴∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＣ－∠１＝７５°－３５° ＝４０°．
【解法二】设∠ＤＡＣ＝ｙ，则∠１＝∠２＝７５°－ｙ，∠３＝
∠４＝１
２（１８０°－ｙ）．
∵∠３＝∠１＋∠２，∴１
２（１８０°－ｙ）＝７５°－ｙ＋７５°－ｙ，
解得ｙ＝４０°．
故∠ＤＡＣ＝４０°．
９．如图，△ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ，ＢＥ平分∠ＡＢＣ，若
∠ＡＢＣ＝６４°，∠ＡＥＢ＝７０°．求∠ＣＡＤ的度数．
"
&
$
#
%
见答案册Ｄ７
᮰
6
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
１０
ᑧү Ӭ
１０．新
课标
中华优秀传统文化「2025 河南漯河期中，
」为增强学生
体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物
质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，图１
是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象
成图２，已知ＡＢ∥ＣＤ，∠ＥＡＢ＝８０°，∠ＥＣＤ＝
１１０°，则∠Ｅ的度数是
（Ａ）
&
$
%
#
"
Ａ．３０°
Ｂ．３５°
Ｃ．４０°
Ｄ．４５°
１１．「2025 江西南昌期中，
」如图，已知点Ｐ是射线ＯＮ
上一动点（不与点Ｏ重合），∠Ｏ＝３０°，若△ＡＯＰ
为钝角三角形，则∠Ａ的取值范围是
（Ｄ）
Ａ．０°＜∠Ａ＜６０°
Ｂ．９０°＜∠Ａ＜１８０°
Ｃ．０°＜∠Ａ＜３０°或９０°＜∠Ａ＜１３０°
Ｄ．０°＜∠Ａ＜６０°或９０°＜∠Ａ＜１５０°
0
1
/
"
第１１题图
#
%
$
'
&
"
第１２题图
１２．「2025 江苏泰州月考，
」如图，△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝
３∠Ｃ，点Ｄ，Ｅ分别在边ＢＣ，ＡＣ上，∠ＥＤＣ＝２０°，
∠ＡＤＥ＝３∠ＡＥＤ，∠ＡＢＣ的平分线与∠ＡＤＥ的平
分线交于点Ｆ，则∠Ｆ的度数是
（Ａ）
Ａ．５０°
Ｂ．５５°
Ｃ．６０°
Ｄ．６５°
１３．「
」如图，ＣＥ是△ＡＢＣ的外角∠ＡＣＤ的平分
线，且ＣＥ交ＢＡ的延长线于点Ｅ．
（１）求证：∠ＢＡＣ＝∠Ｂ＋２∠Ｅ．
（２）若∠Ｂ＝３０°，∠ＡＣＢ＝４０°，求∠Ｅ的度数．
解析 （１）证明：∵ＣＥ平分∠ＡＣＤ，
∴∠ＥＣＤ＝∠ＡＣＥ．
∵∠ＢＡＣ＝∠Ｅ＋∠ＡＣＥ，∴∠ＢＡＣ＝∠Ｅ＋∠ＥＣＤ，
∵∠ＥＣＤ＝∠Ｂ＋∠Ｅ，∴∠ＢＡＣ＝∠Ｅ＋∠Ｂ＋∠Ｅ，
∴∠ＢＡＣ＝∠Ｂ＋２∠Ｅ．
（２）∵ＣＥ平分∠ＡＣＤ，∴∠ＡＣＥ＝∠ＥＣＤ，
∵∠ＡＣＢ＝４０°，∴∠ＥＣＤ＝１
２×（１８０°－４０°）＝７０°，
∴∠Ｅ＝∠ＥＣＤ－∠Ｂ＝７０°－３０° ＝４０°．
б ͞
１４．新
课标
推理能力「2024 河南南阳期末」【概念认识】
如图①，在∠ＡＢＣ中，若∠ＡＢＤ＝∠ＤＢＥ＝
∠ＥＢＣ，则ＢＤ，ＢＥ叫作∠ＡＢＣ的“三分线”，其中，
ＢＤ是“邻ＡＢ三分线”，ＢＥ是“邻ＢＣ三分线”．
【问题解决】
（１）如图②，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝７０°，∠Ｂ＝４５°，若
∠Ｂ的“三分线” ＢＤ交ＡＣ于点Ｄ，则∠ＢＤＣ
的度数为
．
（２）如图③，在△ＡＢＣ中，ＢＰ和ＣＰ分别是∠ＡＢＣ
的“邻ＡＢ三分线” 和∠ＡＣＢ的“ 邻ＡＣ三分
线”，且ＢＰ⊥ＣＰ，求∠Ａ的度数．
【延伸推广】
（３）如图④，直线ＡＣ、ＢＤ交于点Ｏ，∠ＡＤＢ的“三
分线”所在的直线与∠ＡＣＢ的“三分线” 所在
的直线交于点Ｐ．若∠Ａ＝６６°，∠Ｂ＝４５°，
∠ＡＤＢ＝ｍ°，直接写出∠ＤＰＣ的度数．
见答案册Ｄ７
᮰
6
三角形的外角性质可以把不在同一个三角形中的几个内角联系起来，它是不同三角形的内角相互转化的“纽带”．
第
十
三
章
三
角
形
１１
专项突破１ 三角形中角度计算的常见模型练模型
模型１ A 字型
１．「2025 河南商丘期中」如图，Ｄ是△ＡＢＣ的ＡＣ边上一
点，∠Ａ＝∠ＡＢＤ，∠ＢＤＣ＝１５０°，∠ＡＢＣ＝８５°．则∠Ａ
的度数为７５° ；∠Ｃ的度数为２０° ．
#
%
$
"
２．如图，ＢＤ是△ＡＢＣ的角平分线，ＤＥ∥ＢＣ，交ＡＢ于
点Ｅ．若∠Ａ＝３０°，∠ＢＤＣ＝５０°，则∠ＢＤＥ的度数为
２０° ．
#
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"
模型２ 飞镖型
模型总结
#
%
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"
∠Ｄ＝∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ
３．「2024 湖南常德期末」如图，∠Ａ＝７０°，∠Ｂ＝４０°，∠Ｃ＝
２０°，则∠ＢＯＣ＝
（Ａ）
Ａ．１３０°
Ｂ．１２０°
Ｃ．１１０°
Ｄ．１００°
#
0
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"
第３题图
#
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"
第４题图
４．「2025 浙江丽水期中」如图，在△ＣＥＦ中，∠Ｅ＝８０°，
∠Ｆ＝５０°，ＡＢ∥ＣＦ，ＡＤ∥ＣＥ，连接ＢＣ，ＣＤ，则∠Ａ
的度数是５０° ．
模型３ 8 字型
模型总结
#
%
0
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"
∠Ａ＋∠Ｂ＝∠Ｃ＋∠Ｄ
５．如图，∠Ａ＝∠Ｃ＝９０°，ＡＤ，ＢＣ交于点Ｅ，∠２＝２３°，
则∠１的度数为
（Ｄ）
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Ａ．７７°
Ｂ．６７°
Ｃ．４５°
Ｄ．２３°
６．「2025 陕西西安月考」如图①，已知ＡＤ与ＢＣ相交于
点Ｏ，连接ＡＢ，ＣＤ，有如下数量关系：∠Ａ＋∠Ｂ＝
∠Ｃ＋∠Ｄ．
（１）如图②，ＡＰ，ＣＰ分别平分∠ＢＡＤ，∠ＢＣＤ，若
∠ＡＢＣ＝３６°，∠ＡＤＣ＝１８°，求∠Ｐ的度数．
（２）如图③，ＡＰ平分△ＯＡＢ的外角∠ＦＡＤ，ＣＰ平分
△ＯＣＤ的外角∠ＢＣＥ，猜想∠Ｐ与∠Ｂ，∠Ｄ的
数量关系，并说明理由．
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图①
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图②
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图③
见答案册Ｄ８
᮰
6
面积法是数学中很重要的解题方法，在涉及垂线段（或三角形的高）时，常将线段的关系转化为面积的关系来解决．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
１２
专项突破２ 与三角形的高、角平分线有关的模型练模型
模型１ 过同一顶点的角平分线与高线
模型
１．「2024 河北石家庄期末」如图，在△ＡＢＣ中，ＡＥ是角平
分线，ＡＤ是高，∠Ｃ＝４０°，∠Ｂ＝７０°，ＤＦ⊥ＡＥ，垂足
为Ｆ．
（１）求∠ＣＡＥ的度数．
（２）求∠ＡＤＦ的度数．
解析 （１）∵∠Ｃ＝４０°，∠Ｂ＝７０°，
∴∠ＢＡＣ＝１８０°－（∠Ｃ＋∠Ｂ）＝７０°，
∵ＡＥ是∠ＢＡＣ的平分线，∴∠ＣＡＥ＝１
２∠ＢＡＣ＝３５°．
（２）∵ＡＤ是△ＡＢＣ的高，
∴∠ＣＡＤ＝９０°－∠Ｃ＝５０°，
∴∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＤ－∠ＣＡＥ＝１５°，
∵ＤＦ⊥ＡＥ，∴∠ＡＤＦ＝９０°－∠ＤＡＥ＝７５°．
２．「2025 河南新乡月考」已知△ＡＢＣ中，∠Ｂ＞∠Ｃ，射线
ＡＥ平分∠ＢＡＣ，点Ｆ为射线ＡＥ上一点，过点Ｆ作
ＦＤ⊥ＢＣ于点Ｄ．
（１）若∠Ｂ＝６５°，∠Ｃ＝３５°．
①如图１，当点Ｆ与点Ａ重合时，∠ＤＡＥ＝
．
②如图２，当点Ｆ在线段ＡＥ上（不与端点重
合）时，求∠ＤＦＥ的度数．
（２）设∠Ｂ＝ｘ，∠Ｃ＝ｙ，如图３，当点Ｆ在射线ＥＦ上
时（不与点Ｅ重合），直接写出∠ＤＦＥ的度数．
（用含ｘ、ｙ的式子表示）
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图１
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图２
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图３
见答案册Ｄ９
模型２ 两内角平分线模型
模型总结
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1
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条件：如图，点Ｐ是△ＡＢＣ的内角
∠ＡＢＣ与∠ＡＣＢ的平分线的交点．
结论：∠Ｐ＝９０°＋１
２∠Ａ．
３．「2025 广东东莞期中」在△ＡＢＣ中，ＢＤ，ＣＥ分别是
∠ＡＢＣ，∠ＡＣＢ的平分线，ＢＤ，ＣＥ相交于点Ｐ．
（１）如图１，若∠Ａ＝６０°，∠ＡＣＢ＝９０°，则∠ＢＰＣ＝
．
（２）如图２，若∠Ａ＝６０°，∠ＡＣＢ不是直角，求∠ＢＰＣ
的度数．
（３）有位同学在解答（１）（２）后得出∠ＢＰＣ＝９０°＋
１
２∠Ａ的规律，你认为正确吗？请给出理由．
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图１
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图２
见答案册Ｄ９
᮰
6
中线高线角（平）分线，各有三条是线段，有高可得线垂直，中线可得等线段，平分内角角（平）分线，灵活运用
真简单．
第
十
三
章
三
角
形
１３
模型３ 内角平分线与不相邻外
角平分线模型
模型总结
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0
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条件：如图，点Ｏ是△ＡＢＣ的内角
∠ＡＢＣ的平分线与外角∠ＡＣＤ的平
分线的交点．
结论：∠Ｏ＝１
２∠Ａ．
４．新
考向
规律探究题如图１，在△ＡＢＣ中，ＢＡ１平分∠ＡＢＣ，ＣＡ１
平分∠ＡＣＤ，ＢＡ１，ＣＡ１相交于点Ａ１．
（１）若∠Ａ１＝３０°，求∠Ａ的度数．
（２）求证：∠Ａ１＝１
２∠Ａ．
（３）如图２，继续作∠Ａ１ＢＣ和∠Ａ１ＣＤ的平分线交
于点Ａ２，得∠Ａ２；作∠Ａ２ＢＣ和∠Ａ２ＣＤ的平分
线交于点Ａ３，得∠Ａ３；……，依次得到∠Ａ２０２４，
若∠Ａ＝α，则∠Ａ２０２４＝
．
图１
图２
见答案册Ｄ９
模型４ 两外角平分线模型
模型总结
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条件：如图，点Ｏ是△ＡＢＣ的两外角
∠ＤＢＣ与∠ＢＣＥ的平分线的交点．
结论：∠Ｏ＝９０°－１
２∠Ａ．
５．「2025 山东烟台期中」已知∠ＭＯＮ，点Ａ，Ｂ分别在射线
ＯＮ，ＯＭ上移动（不与点Ｏ重合），ＡＤ平分∠ＢＡＮ，ＢＣ
平分∠ＡＢＭ，直线ＡＤ，ＢＣ相交于点Ｃ．
（１）如图１，若∠ＭＯＮ＝９０°，试猜想∠ＡＣＢ的度数，
并说明理由．
（２）如图２，若∠ＭＯＮ＝α，问：点Ａ，Ｂ在射线ＯＮ，
ＯＭ上运动的过程中，∠ＡＣＢ的度数是否改变？
若不改变，求出其值（用含α 的式子表示）；若
改变，请说明理由．
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图１
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图２
解析
（１）∠ＡＣＢ＝４５°．理由：∵∠ＭＯＮ＝９０°，
∴∠ＮＡＢ＝∠ＡＯＢ＋∠ＡＢＯ＝９０° ＋∠ＡＢＯ，∠ＡＢＭ＝
∠ＡＯＢ＋∠ＢＡＯ＝９０°＋∠ＢＡＯ，∠ＯＡＢ＋∠ＡＢＯ＝９０°，
∴∠ＮＡＢ＋∠ＭＢＡ＝９０°＋∠ＡＢＯ＋９０°＋∠ＢＡＯ＝９０°＋
１８０° ＝２７０°，∵ＡＤ平分∠ＢＡＮ，ＢＣ平分∠ＡＢＭ，
∴∠ＣＡＢ＋∠ＣＢＡ＝１
２×２７０° ＝１３５°，
∴∠ＡＣＢ＝１８０°－（∠ＣＡＢ＋∠ＣＢＡ）＝１８０°－１３５°＝４５°．
（２）∠ＡＣＢ的度数不改变．
因为ＡＤ平分∠ＢＡＮ，ＢＣ平分∠ＡＢＭ，
所以∠ＣＡＢ＝１
２∠ＢＡＮ，∠ＣＢＡ＝１
２∠ＡＢＭ．
因为∠ＢＡＯ＋∠ＡＢＯ＝１８０°－∠ＡＯＢ＝１８０°－α，
所以∠ＣＡＢ＋∠ＣＢＡ＝１
２（∠ＢＡＮ＋∠ＡＢＭ）＝
１
２［３６０°－（１８０°－α）］＝９０°＋１
２α，
所以∠ＡＣＢ＝１８０°－（∠ＣＡＢ＋∠ＣＢＡ）＝９０°－１
２α．
６．如图，在△ＡＢＣ中，ＢＤ，ＣＤ分别是∠ＡＢＣ，∠ＡＣＢ
的平分线，ＢＰ，ＣＰ分别是∠ＥＢＣ，∠ＦＣＢ的平分线．
（１）当∠ＡＢＣ＝６４°，∠ＡＣＢ＝６６°时，∠Ｄ＝
°，
∠Ｐ＝
°．
（２）当∠Ａ＝５６°时，求∠Ｄ，∠Ｐ的度数．
（３）当∠Ａ的大小发生变化时，∠Ｄ＋∠Ｐ的值是否
发生变化？请说明理由．
见答案册Ｄ１０
᮰
6
三角形中任意一条边大于其他两边之差而小于其他两边之和．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
１４
第十三章自主检测
范围：三角形
满分
１００分
限时
４０分钟
一、选择题（每小题５分，共４０分）
１．「2024 陕西中考」如图，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＤ
是ＢＣ边上的高，Ｅ是ＢＣ的中点，连接ＡＥ，则图中
的直角三角形共有
（Ｃ）
Ａ．２个
Ｂ．３个
Ｃ．４个
Ｄ．５个
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第１题图
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第２题图
２．如图，Ｄ，Ｅ分别为ＡＣ，ＢＤ的中点，若△ＡＢＣ的面积
为２４，则△ＡＤＥ的面积为
（Ｂ）
Ａ．３
Ｂ．６
Ｃ．９
Ｄ．１２
３．「2025 广东肇庆期中」如图，ＡＤ是△ＡＢＣ的中线，已知
△ＡＢＤ的周长为２８ｃｍ，ＡＢ比ＡＣ长６ｃｍ，则
△ＡＣＤ的周长为
（Ｃ）
Ａ．３１ｃｍ
Ｂ．２５ｃｍ
Ｃ．２２ｃｍ
Ｄ．１９ｃｍ
第３题图
'
1
0
第４题图
４．跨
物理
凸透镜「2025 四川成都期末」如图，一束平行于主光轴
（图中的虚线）的光线经凸透镜折射后，其折射光
线与一束经过光心Ｏ的光线相交于点Ｐ，Ｆ为焦
点．若∠１＝１５０°，∠２＝２５°，则∠３的度数为（Ｃ）
Ａ．７５°
Ｂ．６５°
Ｃ．５５°
Ｄ．４５°
５．「2025 重庆期中」如图，∠ＢＡＣ＝９０°，且ＡＤ，ＡＥ，ＢＦ分
别是△ＡＢＣ的高线，中线和角平分线，下列结论错
误的是
（Ｄ）
Ａ．∠ＢＡＤ＝∠Ｃ
Ｂ．∠ＡＢＦ＝∠ＣＢＦ
Ｃ．Ｓ△ＡＢＥ＝Ｓ△ＡＥＣ
Ｄ．ＡＦ＝ＣＦ
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第５题图
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第６题图
６．「2025 北京顺义期末」如图，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，
ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ，ＢＥ平分∠ＡＢＣ，交ＡＣ于点Ｅ．若
∠ＢＡＤ＝３４°，则∠ＡＥＢ的度数为
（Ｃ）
Ａ．５６°
Ｂ．６０°
Ｃ．６２°
Ｄ．６５°
７．「2025 安徽亳州期中」如图，在△ＡＢＣ中，Ｅ，Ｆ分别是
ＡＢ，ＡＣ上的点，且ＥＦ∥ＢＣ，ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分
线，分别交ＥＦ，ＢＣ于点Ｈ，Ｄ，则∠１、∠２和∠３之
间的数量关系为
（Ｃ）
Ａ．∠１＝∠２＋∠３
Ｂ．∠１＝２∠２＋∠３
Ｃ．∠１＋∠３＝２∠２
Ｄ．∠１＋∠２＝２∠３
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第７题图
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第８题图
８．「2025 江苏苏州期中」如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＢＣ
上，点Ｅ，Ｆ在ＡＢ上，点Ｇ在ＤＦ的延长线上，且
∠Ｂ＝∠ＤＦＢ，∠Ｇ＝∠ＤＥＧ，若∠ＢＥＧ＝２９°，则
∠ＢＤＥ的度数为
（Ｂ）
Ａ．６１°
Ｂ．５８°
Ｃ．６５．５°
Ｄ．５９．５°
二、填空题（每小题５分，共２０分）
９．「2023 吉林中考」钢架桥的设计中采用了三角形的结
构，其数学道理是三角形具有稳定性．
１０．「2025 福建厦门期末」若一个三角形三边的长分别为
４，７，ｘ，则ｘ的值可以为６（答案不唯一，满足３＜
ｘ＜１１即可）．（写出一种情况即可）
᮰
6
三角形内角和定理与三角形外角的性质是角的有关计算及推理论证时经常使用的理论依据．运用三角形的外角性质时
一定要特别注意“不相邻”这三个字，否则极易产生错误．
第
十
三
章
三
角
形
１５
１１．图①是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图②是其示
意图．已知调整前、后的灯杆ＡＢ∥ＣＤ，调整前臂杆
之间的夹角∠ＯＡＢ＝７５°，调整后臂杆之间的夹角
∠ＯＣＤ＝１００°，则调整前、后同一臂杆变化的角度
∠ＡＯＣ＝２５°．
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１２．「2025 河北唐山九中月考」如图，ＡＤ是
△ＡＢＣ的角平分线，ＣＥ是△ＡＢＣ
的高，∠ＢＡＣ＝６０°，∠ＢＣＥ＝５０°，
点Ｆ为边ＡＢ上一点，当△ＢＤＦ为
直角三角形时，∠ＡＤＦ的度数为２０°或６０°．
三、解答题（共４０分）
１３．
学科
特色
分类讨论
思想
「2025 山东德州期中」（８分）在△ＡＢＣ中，已
知ＡＢ＝１４，ＢＣ＝８，ＡＣ＝２ｍ－２．
（１）求ｍ的取值范围．
（２）若△ＡＢＣ是等腰三角形，求△ＡＢＣ的周长．
见答案册Ｄ１１
１４．（８分）如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＋∠Ｃ＝９０°，ＡＤ是
△ＡＢＣ的中线，ＡＥ是△ＡＢＣ的高，Ｆ为ＡＤ上一点，
过点Ｆ作ＦＧ⊥ＢＣ于点Ｇ，且ＡＥ＝４ＦＧ．
（１）求证：△ＡＢＣ是直角三角形．
（２）若∠Ｂ＝∠ＢＡＤ，∠Ｃ＝６０°，求∠ＤＦＧ的度数．
（３）若ＤＣ＝５，ＦＧ＝６
５，求△ＡＢＣ的面积．
解析 （１）证明：∵∠Ｂ＋∠Ｃ＝９０°，
∴∠ＢＡＣ＝１８０°－（∠Ｂ＋∠Ｃ）＝９０°，
∴△ＡＢＣ是直角三角形．
（２）∵∠Ｃ＝６０°，∠ＢＡＣ＝９０°，∴∠Ｂ＝∠ＢＡＤ＝３０°，
∴∠ＡＤＣ＝∠Ｂ＋∠ＢＡＤ＝６０°，
∵ＦＧ⊥ＢＣ，∴∠ＦＧＤ＝９０°，∴∠ＤＦＧ＝３０°．
（３）∵ＡＥ是△ＡＢＣ的高，∴∠ＡＥＣ＝９０°，
∵ＡＥ＝４ＦＧ，ＦＧ＝６
５，
∴ＡＥ＝２４
５，
∵ＡＤ是△ＡＢＣ的中线，ＤＣ＝５，
∴ＢＣ＝１０，∴Ｓ△ＡＢＣ＝１
２ＢＣ·ＡＥ＝１
２×１０×２４
５＝２４．
１５．（１２分）如图，在△ＡＢＣ中，Ｐ是线段ＢＣ上的一个动
点，且不与Ｂ，Ｃ重合，ＰＤ⊥ＡＢ，ＰＥ⊥ＡＣ．
（１）如图１，已知∠ＢＡＣ＝８０°，∠Ｂ＝∠Ｃ．
①∠ＤＰＥ＝
°．
②若∠ＡＰＢ＝３∠ＰＡＣ，则∠ＡＰＤ＝
°．
（２）如图２，已知ＡＢ＝ＡＣ，作ＢＦ⊥ＡＣ于Ｆ，试探究
ＢＦ，ＰＥ，ＰＤ之间的关系．
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图１
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图２
见答案册Ｄ１１
１６．「2025 河南平顶山期末」（１２分）如图，点Ｃ，
Ｄ分别在射线ＯＡ，ＯＢ上，ＣＥ是∠ＡＣＤ
的平分线，ＣＥ的反向延长线与∠ＯＤＣ的平分线
交于点Ｐ．
（１）如图１，当∠ＡＯＢ＝∠ＯＣＤ＝６０° 时，∠Ｐ＝
°．
（２）如图２，当∠ＡＯＢ＝６０°，点Ｃ，Ｄ在射线ＯＡ，ＯＢ
上任意移动时（不与点Ｏ重合），∠Ｐ的大小
是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请
求出∠Ｐ的度数．
（３）如图３，若∠ＯＣＤ＋∠ＯＤＣ＝α（０°＜α＜１８０°），
请直接写出∠Ｐ的度数（用含α 的式子表
示）．
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图１
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图２
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图３
见答案册Ｄ１１
᮰
6
重心：三角形的三条中线的交点；垂心：三角形的三条高所在直线的交点．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
１６
综合与实践 确定匀质薄板的重心位置
实验名称
确定匀质薄板的重心位置
实验目的
使学生在实验探究过程中，感受到数学活动的乐趣，培养学生动手、交流和推理的能力，并在学
习活动中获得积极向上的情感体验，从而促进学生形成科学的价值观
实验要求
经历寻找几何图形重心的过程，领会物体重心的内在含义，提高操作应用能力，发展几何识图
意识
实
验
实验１
准备材料：质地均匀的木棒、铅笔、细绳．
第一步：把一根质地均匀的木棒悬挂在一根细绳上；
第二步：不断调整悬挂点的位置，直至木棒处于水平状态（如
图①）；
第三步：记下悬挂点的位置，用刻度尺测量该点在木棒上的位置
图①
当木棒处于水平状态时，悬
挂点的位置与木棒的长度、
粗细以及质量大小有关系吗
实验２
准备材料：质地均匀的三角形纸板、铅笔、细绳．
第一步：取一块质地均匀的三角形纸板，画出它的两条中线；
第二步：用一根细绳在两条中线的交点处将三角形纸板悬挂起
来（如图②）
0
图②
此时纸板处于水平状态吗？
如果改变悬挂点，纸板还会
平衡吗
实验３
准备材料：不规则薄纸板、铅笔、细绳．
第一步：在薄纸板边缘任选一点Ａ扎一个小孔，将细绳穿过小孔
系好；
第二步：沿细绳方向画一条竖直线ＡＢ（如图③）；
第三步：重复步骤一和二，再得到一条直线ＣＤ，与ＡＢ交于点Ｏ
（如图④）；
第四步：将铅笔的笔尖放在点Ｏ处，将此薄纸板支撑起来
"
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34
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此时纸板处于水平状态吗？
你发现了什么？请结合实验
进行总结
见答案册Ｄ１２
᮰
6
能完全重合的两个平面图形叫全等图形，能完全重合的两个三角形叫全等三角形．
第
十
四
章
全
等
三
角
形
１７
第十四章
全等三角形
１４．１ 全等三角形及其性质
ۻᆱ݆
知识点１ 全等形
１．「2025 浙江嘉兴期中」下列各组的两个图形属于全等
形的是
（Ｂ）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
２．「2025 山西吕梁月考」下列说法：①如果两个图形全
等，那么它们的形状和大小一定相同；②面积相等
的两个图形是全等形；③全等形与图形的位置无
关；④平移、旋转前后的图形是全等形．其中说法正
确的有３个．
知识点２ 全等三角形及有关概念
３．
学科
特色
教材
变式「2025 河南信阳期中」如图，△ＡＯＣ≌△ＢＯＤ，Ｃ，
Ｄ是对应点，下列结论错误的是
（Ｃ）
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0
Ａ．∠Ａ与∠Ｂ是对应角
Ｂ．∠ＡＯＣ与∠ＢＯＤ是对应角
Ｃ．ＯＣ与ＯＢ是对应边
Ｄ．ＡＣ与ＢＤ是对应边
４．「2025 湖北黄冈月考」如图，若把△ＡＢＣ绕点Ａ旋转
一定的角度得到△ＡＤＥ，则图中全等的三角形记
为
△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ
，∠ＢＡＣ
的对应角为
∠ＤＡＥ
，ＤＥ的对应边为ＢＣ
．
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知识点３ 全等三角形的性质
５．
学科
特色
平移
模型「2024 广西来宾兴宾期中」如图，△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，点
Ｂ，Ｅ，Ｃ，Ｆ在同一条直线上，ＢＣ＝６，ＣＦ＝２，则ＣＥ
的长是
（Ｂ）
Ａ．３
Ｂ．４
Ｃ．５
Ｄ．６
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第５题图
第６题图
６．如图，已知△ＡＢＣ≌△ＡＤＣ，延长ＤＡ交ＢＣ于点Ｅ，
若∠ＢＡＥ＝７０°，则∠ＤＡＣ的度数为
（Ｃ）
Ａ．１００°
Ｂ．１１０°
Ｃ．１２５°
Ｄ．１３５°
７．「2025 福建福州期中」如图所示的是纸飞机的示意图，
在折纸的过程中，使得△ＡＢＣ与△ＡＤＥ能够重合．
如果∠ＢＡＣ＝２５°，∠Ｂ＝６５°，那么∠ＤＥＡ＝９０°．
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第７题图
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第８题图
８．「2025 山东临沂期中」如图，△ＡＢＣ≌△ＤＥＣ，点Ａ和点
Ｄ是对应顶点，点Ｂ和点Ｅ是对应顶点，过点Ａ作
ＡＦ⊥ＣＤ，垂足为点Ｆ，若∠ＢＣＥ＝５５°，则∠ＣＡＦ的
度数为３５° ．
９．「2025 湖北天门期末」如图，已知△ＡＢＣ≌△ＤＢＥ，点Ｄ
在边ＡＣ上，ＢＣ与ＤＥ交于点Ｐ．
（１）若∠ＡＢＥ＝１６２°，∠ＣＢＤ＝３６°，求∠ＣＢＥ的
度数．
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1
᮰
6
全等三角形的对应边相等，对应角相等；全等三角形的面积相等，周长相等．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
１８
（２）若ＡＤ＝ＤＣ＝５，ＢＣ＝８，求△ＣＤＰ与△ＢＥＰ的周
长之和．
解析 （１）∵∠ＡＢＥ＝１６２°，∠ＣＢＤ＝３６°，
∴∠ＡＢＤ＋∠ＣＢＥ＝１２６°．
∵△ＡＢＣ≌△ＤＢＥ，∴∠ＡＢＣ＝∠ＤＢＥ，
∴∠ＡＢＣ－∠ＣＢＤ＝∠ＤＢＥ－∠ＣＢＤ，即∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＥ，
∴∠ＣＢＥ＝１
２×１２６° ＝６３°．
（２）∵△ＡＢＣ≌△ＤＢＥ，
∴ＤＥ＝ＡＣ＝ＡＤ＋ＤＣ＝１０，ＢＥ＝ＢＣ＝８，
∴△ＣＤＰ与△ＢＥＰ的周长之和＝ＤＣ＋ＤＰ＋ＰＣ＋ＢＰ＋
ＰＥ＋ＢＥ＝ＤＣ＋ＤＥ＋ＢＣ＋ＢＥ＝５＋１０＋８＋８＝３１．
ᑧү Ӭ
１０．「2025 河北廊坊期中,
」如图，已知△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，
ＤＦ∥ＢＣ，且∠Ｂ＝６０°，∠Ｆ＝４０°，点Ａ在ＤＥ上，
则∠ＢＡＤ的度数为
（Ｂ）
Ａ．１５°
Ｂ．２０°
Ｃ．２５°
Ｄ．３０°
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第１０题图
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第１１题图
１１．「2025 山东日照联考,
」将两个全等的直角三角形
纸板ＡＢＣ和ＤＥＣ按如图所示的方式放置，且Ｂ，
Ｃ，Ｄ三点共线，连接ＡＤ，若ＣＤ＝８，ＢＣ＝５，则
△ＡＤＥ的面积为
（Ｄ）
Ａ．４０
Ｂ．２０
Ｃ．１５
Ｄ．１２
１２．「2024 四川成都中考，
」如图，△ＡＢＣ≌△ＣＤＥ，若
∠Ｄ＝３５°，∠ＡＣＢ＝４５°，则∠ＤＣＥ的度数
为１００° ．
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第１２题图
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第１３题图
１３．「2025 江苏无锡期中，
」如图，△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ，线
段ＢＣ的延长线过点Ｅ，与线段ＡＤ交于点Ｆ，
∠ＡＣＢ＝∠ＡＥＤ＝１０８°，∠ＣＡＤ＝１２°，∠Ｂ＝４８°，则
∠ＤＥＦ的度数为３６° ．
１４．
学科
特色
旋转
模型
「2024 广东深圳外国语学校月考，
」如图，将
△ＡＢＣ绕点Ｃ旋转一定角度得到△ＤＥＣ，点Ｅ恰
好落在ＡＢ上，ＤＥ交ＡＣ于点Ｆ，则下列结论：①ＡＢ
＝ＣＤ；②ＣＥ＝ＣＢ；③∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ；④∠ＡＥＤ＝
∠ＢＣＥ．其中正确的是②③④（填写序号）．
１５．「2025 广东东莞期中，
」如图，Ａ，Ｅ，Ｃ三点在同一
直线上，且△ＡＢＣ≌△ＤＡＥ．
（１）若∠ＢＡＤ＝９０°，请判断ＡＣ与ＤＥ的位置关系．
（２）线段ＤＥ，ＣＥ，ＢＣ有怎样的数量关系？请说明
理由．
"
#
%
&
$
解析 （１）ＡＣ⊥ＤＥ，理由如下：
∵△ＡＢＣ≌△ＤＡＥ，∴∠ＢＡＣ＝∠Ｄ，
∵∠ＢＡＣ＋∠ＤＡＥ＝９０°，∴∠Ｄ＋∠ＤＡＥ＝９０°，
∴∠ＡＥＤ＝９０°，∴ＡＣ⊥ＤＥ．
（２）ＤＥ＝ＣＥ＋ＣＢ，理由如下：
∵△ＡＢＣ≌△ＤＡＥ，
∴ＤＥ＝ＡＣ，ＢＣ＝ＡＥ，
∵ＡＣ＝ＣＥ＋ＡＥ＝ＣＥ＋ＢＣ，
∴ＤＥ＝ＣＥ＋ＢＣ．
б ͞
１６．新
课标
几何直观「2025 山东德州期末」如图，在△ＡＢＣ中，点
Ａ的坐标为（０，１），点Ｂ的坐标为（０，４），点Ｃ的
坐标为（４，３），且△ＡＢＤ与△ＡＢＣ全等，点Ｄ不与
点Ｃ重合，则点Ｄ的坐标是（－４，３）或（－４，２）或
（４，２）．
"
#
0
$
Z
Y
᮰
6
在写两个三角形全等时，一定要把对应顶点的顺序写一致，为找对应边、对应角提供方便．
第
十
四
章
全
等
三
角
形
１９
１４．２ 三角形全等的判定
第1 课时 两边及其夹角证全等（SAS）
ۻᆱ݆
知识点 用“边角边（ＳＡＳ）”判定两个三
角形全等
１．「2025 江苏常州期中」下列与如图所示的三角形全等
的是
（Ｄ）
c
DN
DN
c
DN
DN
①
cDN
DN
②
c
DN
DN
③
Ａ．①②
Ｂ．②③
Ｃ．①③
Ｄ．只有①
２．「2025 湖北宜昌期中」如图，ＡＣ和ＢＤ相交于点Ｏ，ＯＡ
＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ，下列说法错误的是
（Ｂ）
"
#
$
%
0
Ａ．ＡＢ∥ＣＤ
Ｂ．ＡＢ≠ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ
Ｃ．ＡＢ＝ＣＤ
Ｄ．ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ
３．「2025 北京东城期末」如图，点Ｅ，Ｆ在ＢＣ上，ＡＢ＝ＣＤ，
ＡＦ＝ＤＥ，ＡＦ，ＤＥ相交于点Ｇ，若添加一个条件，可
使得△ＡＢＦ≌△ＤＣＥ，则添加的条件可以是∠Ａ＝
∠Ｄ（答案不唯一）．
"
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(
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第３题图
"
#
0
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第４题图
４．「2025 河南洛阳期中改编」在生物实验课上，老师布置了
“测量锥形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到
了以下方案：如图，用螺丝钉将两根长度相等的小棒
ＡＤ，ＢＣ的中点Ｏ固定，利用全等三角形的性质，只
要测得Ｃ，Ｄ之间的距离，就可知道内径ＡＢ的长．此
方案中，判定△ＡＯＢ和△ＤＯＣ是全等三角形的依据
是ＳＡＳ．
５．
学科
特色
教材
变式「2025 山东青岛月考」如图，ＯＡ＝ＯＢ，ＯＣ＝ＯＤ，∠Ｏ
＝６０°，∠Ｃ＝３５°，则∠ＤＡＯ的度数是８５° ．
"
#
&
0
%
$
６．在台风来临之前，园林管理人员用钢管加固树木
（如图），树干固定点为Ｐ点，树干ＰＯ垂直于地面
ＡＢ，地面固定点Ａ，Ｂ到树干底部点Ｏ的距离相等，
此时两钢管ＰＡ，ＰＢ的长度相等吗？为什么？
解析 ＰＡ＝ＰＢ．
理由：在△ＰＯＡ和△ＰＯＢ中，
ＰＯ＝ＰＯ，
∠ＰＯＡ＝∠ＰＯＢ＝９０°，
ＡＯ＝ＢＯ，
ì
î
í
ïï
ïï
∴△ＰＯＡ≌△ＰＯＢ（ＳＡＳ），∴ＰＡ＝ＰＢ．
７．「2025 广东韶关期末」如图，点Ａ，Ｄ，Ｂ，Ｆ在一条直线
上，ＡＣ∥ＥＦ，ＡＣ＝ＥＦ，ＡＤ＝ＢＦ．
（１）求证：△ＡＢＣ≌△ＦＤＥ．
（２）若∠Ａ＝３０°，∠ＡＢＣ＝７５°，求∠Ｅ的度数．
"
#
&
'
%
$
见答案册Ｄ１３
᮰
6
两边夹角边角边，边角顺序不能变．隐含条件要挖掘，恰如其分来判断．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
２０
ᑧү Ӭ
８．「2025 河南信阳质检，
」如图，在由４个相同的小正
方形组成的网格中，∠１与∠２的和为
（Ｃ）
Ａ．４５°
Ｂ．６０°
Ｃ．９０°
Ｄ．１００°
９．
学科
特色
对称
模型「2025 江苏南京一中月考，
」如图，点Ｄ，Ｅ分
别在ＡＢ，ＡＣ上，若ＡＢ＝ＡＣ，ＢＥ＝ＣＤ，ＢＤ＝ＥＣ，∠Ｂ
＝３２°，∠Ａ＝４１°，则∠ＢＯＣ的度数是
（Ｄ）
Ａ．１３５°
Ｂ．１２５°
Ｃ．１１５°
Ｄ．１０５°
"
#
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0
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第９题图
第１０题图
１０．「2024 河南焦作一中期末，
」如图，在△ＡＢＣ中，
∠Ｂ＝∠Ｃ，ＢＦ＝ＣＤ，ＢＤ＝ＣＥ，∠ＦＤＥ＝６４°，则∠Ａ
的度数是
（Ｂ）
Ａ．４２°
Ｂ．５２°
Ｃ．６２°
Ｄ．５１°
１１．「2024 山东淄博中考改编，
」如图，已知ＡＢ＝ＣＤ，点
Ｅ，Ｆ在线段ＢＤ上，且ＡＦ＝ＣＥ．请从①∠ＢＡＦ＝
∠ＤＣＥ；②ＡＦ＝ＣＦ中，选择一个合适的选项作为
已知条件，使得△ＡＢＦ≌△ＣＤＥ．
你添加的条件是
（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明ＡＥ∥ＣＦ．
"
#
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'
%
$
解析 当选择①∠ＢＡＦ＝∠ＤＣＥ时，
在△ＡＢＦ和△ＣＤＥ中，
ＡＢ＝ＣＤ，
∠ＢＡＦ＝∠ＤＣＥ，
ＡＦ＝ＣＥ，
ì
î
í
ïï
ïï
∴△ＡＢＦ≌△ＣＤＥ（ＳＡＳ），∴∠Ｂ＝∠Ｄ，ＢＦ＝ＤＥ，
同理可证△ＡＢＥ≌△ＣＤＦ（ＳＡＳ），
∴∠ＡＥＢ＝∠ＣＦＤ，∴ＡＥ∥ＣＦ．
当选择②ＡＦ＝ＣＦ时，不能判定△ＡＢＦ≌△ＣＤＥ．
б ͞
１２．新
课标
推理能力「2025 河南周口期中」如图１，ＡＢ＝４ｃｍ，ＡＣ
⊥ＡＢ，ＢＤ⊥ＡＢ，ＡＣ＝ＢＤ＝３ｃｍ；点Ｐ在线段ＡＢ上
以１ｃｍ／ｓ的速度由点Ａ向点Ｂ运动，同时，点Ｑ
在线段ＢＤ上由点Ｂ向点Ｄ运动，它们运动的时
间为ｔ（ｓ）．
（１）若点Ｑ的运动速度与点Ｐ的运动速度相等，
当ｔ＝１时，△ＡＣＰ与△ＢＰＱ是否全等？请说
明理由，并判断此时线段ＰＣ和线段ＰＱ的位
置关系．
（２）如图２，将图１中的“ＡＣ⊥ＡＢ，ＢＤ⊥ＡＢ” 改为
“∠ＣＡＢ＝∠ＤＢＡ”，其他条件不变．设点Ｑ的
运动速度为ｘｃｍ／ｓ，是否存在实数ｘ，使得
△ＡＣＰ与△ＢＰＱ全等？若存在，求出相应的ｘ
的值；若不存在，请说明理由．
"
#
2
1
%
$
图１
"
1
2
#
%
$
图２
解析 （１）全等，ＰＣ⊥ＰＱ，理由如下：
当ｔ＝１时，ＡＰ＝ＢＱ＝１ｃｍ，∴ＢＰ＝ＡＢ－ＡＰ＝３ｃｍ＝ＡＣ，
在△ＡＣＰ和△ＢＰＱ中，
ＡＰ＝ＢＱ，
∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°，
ＡＣ＝ＢＰ，
ì
î
í
ïï
ïï
∴△ＡＣＰ≌△ＢＰＱ（ＳＡＳ），∴∠ＡＣＰ＝∠ＢＰＱ，
∴∠ＡＰＣ＋∠ＢＰＱ＝∠ＡＰＣ＋∠ＡＣＰ＝９０°，
∴∠ＣＰＱ＝１８０°－（∠ＡＰＣ＋∠ＢＰＱ）＝９０°，即线段
ＰＣ与线段ＰＱ互相垂直．
（２）存在，
①若△ＡＣＰ≌△ＢＰＱ，则ＡＣ＝ＢＰ，ＡＰ＝ＢＱ，
∴
３＝４－ｔ，
ｔ＝ｘｔ，
{
解得
ｔ＝１，
ｘ＝１．
{
②若△ＡＣＰ≌△ＢＱＰ，则ＡＣ＝ＢＱ，ＡＰ＝ＢＰ，
∴
３＝ｘｔ，
ｔ＝４－ｔ，
{
解得
ｔ＝２，
ｘ＝３
２．
ì
î
í
ïï
ïï
综上所述，ｘ＝１或ｘ＝３
２时，△ＡＣＰ与△ＢＰＱ全等．
᮰
6
判定两个三角形全等的条件中，“边”是不可少的．
第
十
四
章
全
等
三
角
形
２１
第2 课时 两角及一边证全等（ASA、AAS）
ۻᆱ݆
知识点１ 用“角边角（ＡＳＡ）”判定两个
三角形全等
１．小明不小心把一块三角形的玻璃打碎成了三块，如
图，他想到玻璃店配一块大小、形状完全一样的玻
璃，则他应
（Ｃ）
Ａ．带①去
Ｂ．带②去
Ｃ．带③去
Ｄ．带①和②去
２．如图，ＡＢ∥ＤＥ，且ＡＢ＝ＤＥ，∠Ｂ＝∠Ｅ，若ＡＦ＝１，ＦＤ
＝４，则ＦＣ的长是３．
３．「2025 甘肃武威期末」如图，四边形ＡＢＣＤ中，对角线
ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｅ是ＢＤ上一点，且
∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＤ，∠ＥＡＤ＝∠ＢＡＣ．
（１）求证：ＡＥ＝ＡＤ．
（２）若ＢＤ＝８，ＤＣ＝５，求ＥＤ的长．
"
&
0
#
%
$
解析 （１）证明：∵∠ＢＡＣ＝∠ＥＡＤ，
∴∠ＢＡＣ－∠ＥＡＣ＝∠ＥＡＤ－∠ＥＡＣ，
即∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＤ，
在△ＡＢＥ和△ＡＣＤ中，
∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＤ，
ＡＢ＝ＡＣ，
∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＤ，
ì
î
í
ïï
ïï
∴△ＡＢＥ≌△ＡＣＤ（ＡＳＡ），
∴ＡＥ＝ＡＤ．
（２）∵△ＡＢＥ≌△ＡＣＤ，
∴ＢＥ＝ＣＤ，
∵ＢＤ＝８，ＤＣ＝５，
∴ＥＤ＝ＢＤ－ＢＥ＝ＢＤ－ＣＤ＝８－５＝３．
知识点２ 用“角角边（ＡＡＳ）”判定两个
三角形全等
４．「2025 湖北荆州联考」如图，已知△ＡＢＣ的六个元素，
则甲、乙、丙三个三角形中和△ＡＢＣ全等的是
（Ｂ）
"
C
D
B
#
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c
cc
B
c
*
΅
D
B
c
ͅ
C
B
c
c
Ａ．甲、乙
Ｂ．乙、丙
Ｃ．甲、丙
Ｄ．乙
５．如图，在△ＡＣＤ中，∠ＣＡＤ＝９０°，ＡＣ＝５，ＡＤ＝１２，ＡＢ
∥ＣＤ，点Ｅ是ＣＤ上一点，ＢＥ交ＡＤ于点Ｆ，若ＡＢ
＝ＤＥ，则图中阴影部分的面积为
（Ａ）
"
#
'
%
&
$
Ａ．３０
Ｂ．４０
Ｃ．４５
Ｄ．６０
６．「2024 江苏镇江中考」如图，∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°，∠ＣＢＡ
＝∠ＤＡＢ．
（１）求证：△ＡＢＣ≌△ＢＡＤ．
（２）若∠ＤＡＢ＝７０°，则∠ＣＡＢ＝
°．
"
#
%
$
见答案册Ｄ１４
᮰
6
由于“角角边”和“角边角”是可以互相转化的，故能用“角角边”证明的问题，一般也可以用“角边角”证明．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
２２
ᑧү Ӭ
７．「2023 四川凉山州中考，
」如图，点Ｅ，点Ｆ在ＢＣ
上，ＢＥ＝ＣＦ，∠Ｂ＝∠Ｃ，添加一个条件，不能证明
△ＡＢＦ≌△ＤＣＥ的是
（Ｄ）
Ａ．∠Ａ＝∠Ｄ
Ｂ．∠ＡＦＢ＝∠ＤＥＣ
Ｃ．ＡＢ＝ＤＣ
Ｄ．ＡＦ＝ＤＥ
８．「2025 河北沧州质检，
」如图，在△ＡＢＣ
中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＢ＞ＢＣ，点Ｄ在边ＢＣ上，
ＣＤ＝２ＢＤ，点Ｅ，Ｆ在线段ＡＤ上，∠１＝
∠２＝∠ＢＡＣ，若△ＡＢＣ的面积为１８，则△ＡＣＦ与
△ＢＤＥ的面积之和为
（Ａ）
Ａ．６
Ｂ．９
Ｃ．１２
Ｄ．１６
"
#
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第８题图
"
"ĉ
#
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第９题图
９．「2025 广东东莞期中，
」海盗船是一种模拟
海盗冒险场景的游乐项目．如图，当海盗船
静止时，转轴Ｂ到地面的距离ＢＤ＝１５ｍ．当海盗船
的船头在Ａ处时，ＡＣ⊥ＢＤ，此时测得点Ａ到地面的
距离ＡＥ＝９ｍ．当船头从Ａ处摆动到Ａ′ 处时，
Ａ′Ｂ⊥ＡＢ，则点Ａ′到ＢＤ的距离为６ｍ．
１０．「2024 四川南充中考，
」如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ
为ＢＣ边的中点，过点Ｂ作ＢＥ∥ＡＣ交ＡＤ的延长
线于点Ｅ．
（１）求证：△ＢＤＥ≌△ＣＤＡ．
（２）若ＡＤ⊥ＢＣ，求证：ＢＡ＝ＢＥ．
"
#
$
%
&
见答案册Ｄ１５
１１．「
」如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ，∠Ｂ＝９０°，点
Ｄ是ＢＣ边上一点，ＤＥ⊥ＡＤ，ＣＥ⊥ＡＣ，ＤＥ和ＣＥ交
于点Ｅ．求证：ＡＤ＝ＤＥ．
证明：如图，在ＡＢ上取一点Ｆ，使ＢＦ＝ＢＤ，连接ＤＦ．
∵∠ＡＢＣ＝９０°，∴△ＢＦＤ是等腰直角三角形，
∴∠ＢＦＤ＝４５°，……
请将此证明过程补充完整．
解析 补充证明过程如下：
∵∠ＡＦＤ＋∠ＢＦＤ＝１８０°，∴∠ＡＦＤ＝１３５°，
∵ＡＢ＝ＢＣ，∠Ｂ＝９０°，ＣＥ⊥ＡＣ，
∴∠ＡＣＢ＝４５°，∠ＡＣＥ＝９０°，
∴∠ＤＣＥ＝４５°＋９０° ＝１３５°，∴∠ＡＦＤ＝∠ＤＣＥ，
∵∠Ｂ＝９０°，∠ＡＤＥ＝９０°，
∴∠ＢＡＤ＋∠ＡＤＢ＝９０°，∠ＡＤＢ＋∠ＣＤＥ＝９０°，
∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＤＥ．
∵ＡＢ＝ＢＣ，ＢＦ＝ＢＤ，∴ＡＦ＝ＤＣ，
∴△ＡＦＤ≌△ＤＣＥ（ＡＳＡ），∴ＡＤ＝ＤＥ．
б ͞
１２．新
课标
推理能力
学科
特色
一线三
垂直模型如图，在△ＡＣＢ中，∠ＡＣＢ＝
９０°，ＡＣ＝ＢＣ，点Ｃ的坐标为（－２，０），点Ａ的坐标
为（－６，３），求点Ｂ的坐标．
见答案册Ｄ１５
᮰
6
运用“ＳＳＳ”证明两个三角形全等主要就是找边相等，边相等除了题目中已知的边相等以外，还有一些相等的边隐含
在题设或图形中．
第
十
四
章
全
等
三
角
形
２３
第3 课时 三边证全等（SSS）
ۻᆱ݆
知识点 用“边边边（ＳＳＳ）”判定两个三
角形全等
１．
学科
特色
教材
变式「2025 山东济南期中」如图，在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ
中，ＡＢ＝ＤＥ，ＡＣ＝ＤＦ，要利用“ ＳＳＳ” 判定△ＡＢＣ≌
△ＤＥＦ，则可添加的条件为
（Ｂ）
"
#
$
%
&
'
Ａ．ＢＦ＝ＣＦ
Ｂ．ＢＦ＝ＣＥ
Ｃ．ＣＦ＝ＣＥ
Ｄ．∠Ａ＝∠Ｄ
２．「2024 四川内江中考改编」如图，点Ａ，Ｄ，Ｂ，Ｅ在同一条
直线上，ＡＤ＝ＢＥ，ＡＣ＝ＤＦ，ＢＣ＝ＥＦ．若∠Ａ＝５５°，∠Ｅ
＝４５°，则∠Ｆ的度数为８０° ．
"
#
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３．「2023 西藏中考」如图，已知ＡＢ＝ＤＥ，ＡＣ＝ＤＣ，ＣＥ＝
ＣＢ．求证：∠１＝∠２．
"
#
$
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&
证明 在△ＡＢＣ和△ＤＥＣ中，
ＡＢ＝ＤＥ，
ＡＣ＝ＤＣ，
ＣＢ＝ＣＥ，
ì
î
í
ï
ï
ïï
∴△ＡＢＣ≌△ＤＥＣ（ＳＳＳ），
∴∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ，
∴∠ＡＣＢ－∠ＡＣＥ＝∠ＤＣＥ－∠ＡＣＥ，∴∠１＝∠２．
４．「2025 重庆渝北月考」如图，已知ＡＢ＝ＡＤ，ＢＣ＝ＤＥ，ＡＣ
＝ＡＥ，∠１＝４２°，求∠２的度数．
"
#
$
%
&
解析 ∵在△ＡＢＣ和△ＡＤＥ中，
ＡＢ＝ＡＤ，
ＢＣ＝ＤＥ，
ＡＣ＝ＡＥ，
ì
î
í
ïï
ïï
∴△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ（ＳＳＳ），
∴∠ＡＤＥ＝∠Ｂ，
∵∠１＋∠Ｂ＋∠ＡＤＢ＝１８０°，∠２＋∠ＡＤＥ＋∠ＡＤＢ＝１８０°，
∴∠２＝∠１＝４２°．
ᑧү Ӭ
５．「2025 广东深圳联考，
」如图，在四边形ＡＢＣＤ中，
对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ．已知ＡＤ＝ＢＣ，ＡＣ＝ＢＤ，
若∠ＡＣＤ＝３０°，则∠ＡＯＤ的度数为
（Ｂ）
Ａ．５０°
Ｂ．６０°
Ｃ．７０°
Ｄ．８０°
"
#
$
%
0
第５题图
第６题图
６．「2024 安徽合肥月考，
」如图，ＣＡ＝ＣＢ，ＡＤ＝ＢＤ，Ｍ，Ｎ
分别是ＣＡ，ＣＢ的中点，若△ＡＤＭ的面积为３，则图
中阴影部分的面积为６．
７．新
考向
结论开放题「2025 江苏镇江模拟，
」如图，已
知ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ，ＢＤ＝ＣＥ，Ｂ，Ｄ，Ｅ三点
共线，ＡＣ与ＢＥ相交于点Ｆ，请从结论①∠ＡＤＥ＝
∠ＣＡＥ＋∠ＡＣＥ，②∠ＢＡＣ＝∠ＢＥＣ中选择一个进行
证明．
"
#
$
%
&
'
见答案册Ｄ１６
᮰
6
作三角形的实质就是画已知边和已知角，需要运用的基本作图技能就是作一条线段等于已知线段和作一个角等于已
知角．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
２４
第4 课时 尺规作图
ۻᆱ݆
知识点１ 用直尺和圆规作一个角等于已
知角
１．「2025 山东聊城月考」如图，小明在学习用尺规作一个
角等于已知角时，作了∠Ａ′Ｏ′Ｂ′＝∠ＡＯＢ，在作图痕
迹中，弧ＥＦ是
（Ｄ）
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#
0
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"ĉ
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%ĉ
Ａ．以点Ｏ′为圆心，ＯＤ长为半径的弧
Ｂ．以点Ｏ′为圆心，ＣＤ长为半径的弧
Ｃ．以点Ｄ′为圆心，ＯＤ长为半径的弧
Ｄ．以点Ｄ′为圆心，ＣＤ长为半径的弧
２．「2025 河南商丘期中改编」用直尺和圆规作一个角等于
已知角的示意图如图所示，其中说明△Ｏ′Ｃ′Ｄ′≌
△ＯＣＤ的依据是ＳＳＳ．
0
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0
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３．「2024 山东淄博沂源月考」尺规作图：
如图，光线ＣＯ射到镜面ＡＢ上的
Ｏ点处，反射光线与镜面ＡＢ的夹
角等于∠ＡＯＣ，请作出ＣＯ经过镜
面反射后的光线ＯＤ．（保留作图痕迹，不写作法）
见答案册Ｄ１６
知识点２ 用直尺和圆规作直线的平行线
４．「2025 陕西西安期末」如图，点Ｄ是△ＡＢＣ的ＢＣ边上
一点，请用尺规作图的方法在ＡＣ边上求作一点Ｅ，
连接ＤＥ，使得ＤＥ∥ＢＡ．（保留作图痕迹，不写作法）
"
#
%
$
见答案册Ｄ１６
知识点３ 用直尺和圆规作三角形
５．已知：线段ａ，ｂ及∠ＭＯＮ．
求作：△ＡＢＣ，使得ＡＢ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，∠Ａ＝∠ＭＯＮ．（保
留作图痕迹，不写作法）
B
C
/
.
0
见答案册Ｄ１６
ᑧү Ӭ
#
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'
0
"
６．「2025 四川成都期末，
」如图，已知
∠ＡＯＢ，以点Ｏ为圆心，以任意长为
半径画弧，分别交ＯＡ，ＯＢ于点Ｅ，Ｆ，
再以点Ｅ为圆心，以ＥＦ长为半径画
弧，交前弧于点Ｄ，画射线ＯＤ，若∠ＡＯＢ＝２８°，则
∠ＢＯＤ的度数为５６° ．
７．「2025 福建泉州期末，
」尺规作图：如图，已知∠α ＝
４０°，过点Ｏ在直线ＡＢ上方作一条射线ＯＤ，使得
∠ＡＯＤ＝１４０°（保留作图痕迹，不写作法）．
ĉ
0
"
#
解析 如图，射线ＯＤ为所求．
ĉ
0
"
#
%
８．「2024 山东淄博张店期末，
」尺规作图：已知∠α 和
线段ａ，作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另
一个内角等于２∠α，且这两个内角的夹边等于ａ．
（不写作法，但要保留作图痕迹）
B
ĉ
解析 如图，△ＡＢＣ即为所求．
B
"
#
&
/
.
$
ĉ
᮰
6
若应用“ＨＬ”判定两个直角三角形全等，则在书写时两个三角形符号前一定要加上“Ｒｔ”．
第
十
四
章
全
等
三
角
形
２５
第5 课时 斜边及一直角边证全等（HL）
ۻᆱ݆
知识点１ 用“斜边、直角边（ＨＬ）”判定
两个三角形全等
１．「2025 辽宁沈阳期中」如图，已知ＡＢ⊥ＢＤ，ＣＤ⊥ＢＤ，
ＡＤ＝ＢＣ．能直接判定△ＡＢＤ和△ＣＤＢ全等的依据是
（Ｄ）
"
#
$
%
Ａ．ＡＡＳ
Ｂ．ＳＡＳ
Ｃ．ＡＳＡ
Ｄ．ＨＬ
２．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝９０°，Ｄ是ＡＢ上一点，过点
Ｄ作ＤＥ⊥ＡＣ于点Ｅ，ＤＢ＝ＤＥ，连接ＣＤ．若ＢＣ＝８，
ＡＥ＝２，则ＡＣ的长为１０．
"
#
$
&
%
３．
学科
特色
教材
变式如图，在△ＡＢＣ中，过点Ａ向ＢＣ作垂线，垂
足为Ｅ，Ｄ为ＣＡ延长线上一点，过点Ｄ作ＤＦ∥ＡＥ
交ＢＣ于点Ｆ，交ＡＢ于点Ｐ，若ＤＦ＝ＢＥ，ＢＡ＝ＤＣ．请
判断ＡＢ与ＣＤ的位置关系，并说明理由．
解析 ＡＢ⊥ＣＤ．理由如下：
∵ＡＥ⊥ＢＣ，ＤＦ∥ＡＥ，∴ＤＦ⊥ＢＣ，∴∠ＤＦＣ＝９０°，
在Ｒｔ△ＡＢＥ和Ｒｔ△ＣＤＦ中，
ＡＢ＝ＣＤ，
ＢＥ＝ＤＦ，
{
∴Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ＣＤＦ（ＨＬ），∴∠Ｂ＝∠Ｄ，
∵∠ＢＰＦ＝∠ＡＰＤ，∴∠ＤＡＰ＝∠ＢＦＤ＝９０°，∴ＡＢ
⊥ＣＤ．
知识点２ 全等三角形判定方法的灵活
应用
４．「2025 安徽马鞍山期末」如图，ＡＢ∥ＤＥ，Ａ，Ｃ，Ｆ，Ｄ在同
一直线上，添加下列条件仍不能判定△ＡＢＣ≌
△ＤＥＦ的是
（Ｃ）
Ａ．ＢＣ∥ＥＦ，ＡＦ＝ＣＤ
Ｂ．ＡＢ＝ＤＥ，ＡＦ＝ＣＤ
Ｃ．ＡＢ＝ＤＥ，ＢＣ＝ＥＦ
Ｄ．ＢＣ∥ＥＦ，ＢＣ＝ＥＦ
"
'
#
$
&
%
第４题图
第５题图
５．如图，ＡＤ＝ＡＥ，∠１＝∠２，请你添加一个条件：ＡＢ＝
ＡＣ（答案不唯一）（只填一个即可），使△ＡＢＤ≌
△ＡＣＥ．
６．「2025 广东潮州期末」王强同学用１０块高度都是
２ｃｍ的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直
的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角
尺，点Ｃ在ＤＥ上，点Ａ和点Ｂ分别与木墙的顶端
重合．由题意知ＡＣ＝ＢＣ，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＤ⊥ＤＥ，ＢＥ
⊥ＤＥ．
（１）求证：△ＡＤＣ≌△ＣＥＢ．
（２）求两堵木墙之间的距离．
"
#
$
&
%
见答案册Ｄ１７
᮰
6
证明两个三角形全等时，常有如下隐含条件：（１）公共边相等；（２）等边加（或减）等边，其和（或差）仍相等；
（３）由中线的定义得出边相等．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
２６
ᑧү Ӭ
７．「2024 安徽中考，
」在凸五边形ＡＢＣＤＥ中，ＡＢ＝
ＡＥ，ＢＣ＝ＤＥ，Ｆ是ＣＤ的中点．下列条件中，不能推
出ＡＦ与ＣＤ一定垂直的是
（Ｄ）
Ａ．∠ＡＢＣ＝∠ＡＥＤ
Ｂ．∠ＢＡＦ＝∠ＥＡＦ
Ｃ．∠ＢＣＦ＝∠ＥＤＦ
Ｄ．∠ＡＢＤ＝∠ＡＥＣ
８．「2025 云南昆明期末，
」如图，Ｄ是∠ＭＡＮ内部一
点，ＤＥ⊥ＡＭ于Ｅ，ＤＦ⊥ＡＮ于Ｆ，且ＤＥ＝ＤＦ，点Ｂ
是射线ＡＭ上一点，ＡＢ＝６，ＢＥ＝２，在射线ＡＮ上取
一点Ｃ，使得ＤＣ＝ＤＢ，则ＡＣ的长为６或１０．
#
&
'
/
.
"
%
９．「2023 江苏南通中考，
」如图，点Ｄ，Ｅ分别
在ＡＢ，ＡＣ上，∠ＡＤＣ＝∠ＡＥＢ＝９０°，ＢＥ，
ＣＤ相交于点Ｏ，ＯＢ＝ＯＣ．求证：∠１＝∠２．
小虎同学的证明过程如下：
#
&
"
%
0
$
证明：∵∠ＡＤＣ＝∠ＡＥＢ＝９０°，
∴∠ＤＯＢ＋∠Ｂ＝∠ＥＯＣ＋∠Ｃ＝９０°．
∵∠ＤＯＢ＝∠ＥＯＣ，
∴∠Ｂ＝∠Ｃ．……第一步
又ＯＡ＝ＯＡ，ＯＢ＝ＯＣ，
∴△ＡＢＯ≌△ＡＣＯ．……第二步
∴∠１＝∠２．……第三步
（１）小虎同学的证明过程中，第
步出现
错误．
（２）请写出正确的证明过程．
解析 （１）二．
（２）证明：∵∠ＡＤＣ＝∠ＡＥＢ＝９０°，
∴∠ＢＤＣ＝∠ＣＥＢ＝９０°，
在△ＤＯＢ和△ＥＯＣ中，
∠ＢＤＯ＝∠ＣＥＯ，
∠ＤＯＢ＝∠ＥＯＣ，
ＯＢ＝ＯＣ，
ì
î
í
ïï
ïï
∴△ＤＯＢ≌△ＥＯＣ（ＡＡＳ），∴ＯＤ＝ＯＥ，
在Ｒｔ△ＡＤＯ和Ｒｔ△ＡＥＯ中，
ＯＡ＝ＯＡ，
ＯＤ＝ＯＥ，
{
∴Ｒｔ△ＡＤＯ≌Ｒｔ△ＡＥＯ（ＨＬ），
∴∠１＝∠２．
１０．「2025 江西南昌期末，
」如图，ＡＤ是△ＡＢＣ的中
线，ＢＥ⊥ＡＤ，垂足为Ｅ，ＣＦ⊥ＡＤ，交ＡＤ的延长线
于点Ｆ，Ｇ是ＤＡ延长线上一点，连接ＢＧ．
（１）求证：ＢＥ＝ＣＦ．
（２）若ＢＧ＝ＣＡ，求证：ＧＡ＝２ＤＥ．
#
&
'
(
"
%
$
证明 （１）∵ＡＤ是△ＡＢＣ的中线，
∴ＢＤ＝ＣＤ，
∵ＢＥ⊥ＡＤ，ＣＦ⊥ＡＦ，
∴∠ＢＥＤ＝∠Ｆ，
在△ＢＥＤ和△ＣＦＤ中，
∠ＢＥＤ＝∠ＣＦＤ，
∠ＢＤＥ＝∠ＣＤＦ，
ＢＤ＝ＣＤ，
ì
î
í
ïï
ïï
∴△ＢＥＤ≌△ＣＦＤ（ＡＡＳ），∴ＢＥ＝ＣＦ．
（２）在Ｒｔ△ＢＧＥ和Ｒｔ△ＣＡＦ中，
ＢＧ＝ＣＡ，
ＢＥ＝ＣＦ，
{
∴Ｒｔ△ＢＧＥ≌Ｒｔ△ＣＡＦ（ＨＬ），
∴ＧＥ＝ＡＦ，∴ＧＡ＝ＥＦ，
∵△ＢＥＤ≌△ＣＦＤ，
∴ＤＥ＝ＤＦ，∴ＧＡ＝ＥＦ＝２ＤＥ．
б ͞
１１．新
课标
几何直观如图，△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝６０°，ＡＤ，ＣＥ分
别平分∠ＢＡＣ，∠ＡＣＢ，ＡＤ，ＣＥ相交于点Ｐ．
（１）求∠ＡＰＣ的度数．
（２）若ＡＥ＝３，ＣＤ＝４，求线段ＡＣ的长．
见答案册Ｄ１８
᮰
6
共顶点的等腰三角形中，一般都隐含着一组全等三角形，因此需找出这组全等三角形，从而解决问题．
第
十
四
章
全
等
三
角
形
２７
专项突破３ 全等三角形的难点模型练模型
模型１ 手拉手模型
模型解读
条件：ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ，∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ．
结论：△ＡＢＤ≌△ＡＣＥ．
１．如图，ＡＥ＝ＡＢ，ＡＣ＝ＡＦ，∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＦ＝９０°，ＥＣ，
ＢＦ相交于点Ｍ．
（１）求证：ＥＣ＝ＢＦ．
（２）求证：ＥＣ⊥ＢＦ．
（３）若将条件∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＦ＝９０° 改为∠ＢＡＥ＝
∠ＣＡＦ＝ｍ°，则（１）（２）中的结论还成立吗？
（１）中的结论
，（２）中的结论
（填“成立”或“不成立”）．
见答案册Ｄ１８
模型２ 一线三等角模型
模型解读
通过“三等角”信息得到一组相等的角，另找一组边
相等，即可证全等．
２．已知，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ，Ａ，Ｅ三点都在直线
ｍ上，且ＤＥ＝９ｃｍ．
（１）若∠ＢＤＡ＝∠ＡＥＣ＝∠ＢＡＣ．
①如图１，若ＡＢ⊥ＡＣ，则ＢＤ与ＡＥ的数量关系
为
．
②如图２，判断并说明线段ＢＤ，ＣＥ与ＤＥ的数
量关系．
（２）如图３，若∠ＢＤＡ＝∠ＡＥＣ，ＢＤ＝ＥＦ＝７ｃｍ，点Ａ
在线段ＤＥ上以２ｃｍ／ｓ的速度由点Ｄ向点Ｅ
运动，同时，点Ｃ在线段ＥＦ上以ｘｃｍ／ｓ的速度
由点Ｅ向点Ｆ运动，它们运动的时间为ｔ（ｓ）．
是否存在ｘ，使得△ＡＢＤ与△ＥＡＣ全等？若存
在，求出相应的ｔ的值和ｘ的值；若不存在，请
说明理由．
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图１
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图２
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图３
见答案册Ｄ１８
᮰
6
角的平分线的性质是由三个条件“一条角的平分线，两条垂线”得到一个结论（线段相等），但不要误认为角的平分
线上的点与角的两边上的任意一点连线的长度都相等．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
２８
１４．３ 角的平分线
第1 课时 角的平分线的性质
ۻᆱ݆
知识点１ 作已知角的平分线
１．如图所示的是用直尺和圆规作已知角的平分线的
示意图，则说明∠ＣＡＤ＝∠ＤＡＢ的依据是
（Ｄ）
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'
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Ａ．ＳＡＳ
Ｂ．ＡＳＡ
Ｃ．ＡＡＳ
Ｄ．ＳＳＳ
２．新
考向
尺规作图用尺规分别画出图１、图２中∠ＡＯＢ的平
分线．
图１ 图２
见答案册Ｄ１９
知识点２ 角的平分线的性质
３．「2025 海南海口期末」如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＤ
平分∠ＢＡＣ，ＤＥ⊥ＡＢ于Ｅ，ＢＥ＝３，ＢＣ＝７，则△ＢＤＥ
的周长为
（Ｃ）
Ａ．６
Ｂ．８
Ｃ．１０
Ｄ．１４
#
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"
%
$
第３题图
第４题图
４．
学科
特色
教材
变式如图，Ｄ是∠ＡＢＣ平分线上的一点，ＤＥ⊥ＢＣ，
ＤＦ⊥ＡＢ，垂足分别为Ｅ，Ｆ，连接ＥＦ，交ＢＤ于点Ｏ．
已知∠ＥＤＦ＝１２０°，则∠ＤＥＦ的度数为
（Ｃ）
Ａ．４０°
Ｂ．３５°
Ｃ．３０°
Ｄ．２５°
５．「2025 重庆西南大学附中期末」如图，ＯＣ平分∠ＡＯＢ，Ｐ
是ＯＣ上一点，过点Ｐ作ＰＭ⊥ＯＡ于Ｍ，ＰＭ＝４，Ｎ
是ＯＢ上任意一点，连接ＮＰ，则ＮＰ的最小值
为４．
#
.
"
0
/
1
$
第５题图
#
"
%
$
第６题图
６．「2025 福建厦门期中」如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，
ＢＤ平分∠ＡＢＣ，ＡＢ＝１０，Ｓ△ＡＢＤ＝１５，则ＣＤ的长
为３．
７．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＤ平分∠ＣＡＢ，ＤＥ⊥
ＡＢ于点Ｅ，点Ｆ在ＡＣ上，ＢＤ＝ＤＦ．求证：ＢＥ＝ＦＣ．
#
&
'
"
%
$
证明 ∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＤＥ⊥ＡＢ，∠Ｃ＝９０°，
∴ＤＣ＝ＤＥ，∠Ｃ＝∠ＤＥＡ＝９０°，
在Ｒｔ△ＤＣＦ和Ｒｔ△ＤＥＢ中，
ＤＦ＝ＤＢ，
ＤＣ＝ＤＥ，
{
∴Ｒｔ△ＤＣＦ≌Ｒｔ△ＤＥＢ（ＨＬ），∴ＦＣ＝ＢＥ．
知识点３ 证明几何文字命题的一般步骤
８．求证：三角形互为同旁内角的两个外角的平分线的
交点到三角形三边（或所在直线）的距离相等．
解析
已知：如图，ＢＤ为△ＡＢＣ的外角∠ＣＢＧ的
平分线，ＣＥ为△ＡＢＣ的外角∠ＢＣＨ的平分线，ＢＤ，
ＣＥ相交于点Ｐ．
求证：点Ｐ到△ＡＢＣ的三边（或所在直线）的距离
相等．
证明：如图，过点Ｐ作ＰＦ⊥ＢＣ，ＰＭ⊥ＡＧ，ＰＮ⊥ＡＨ，
垂足分别为Ｆ，Ｍ，Ｎ．
∵ＰＦ⊥ＢＣ，ＰＭ⊥ＡＧ，且ＢＤ平
分∠ＣＢＧ，∴ＰＦ＝ＰＭ．同理ＰＦ＝
ＰＮ，∴ＰＦ＝ＰＭ＝ＰＮ，即点Ｐ到
△ＡＢＣ的三边（或所在直线）的
距离相等．
᮰
6
角平分线的性质是证明线段相等的一个重要方法，应用时要注意两点：一是不要漏掉垂直关系这个关键条件；二是
直接得到线段相等，而不必再证两个三角形全等．
第
十
四
章
全
等
三
角
形
２９
ᑧү Ӭ
９．「2025 河南安阳期末，
」如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ，
∠ＡＣＢ的平分线交于点Ｏ，连接ＡＯ，过点Ｏ作ＯＤ
⊥ＢＣ于Ｄ，ＯＥ⊥ＡＢ于Ｅ，△ＡＢＣ的面积是１６，周
长是８，则ＯＤ的长是
（Ｄ）
Ａ．１
Ｂ．２
Ｃ．３
Ｄ．４
#
0
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"
%
$
第９题图
#
0
1
Z
Y
"
第１０题图
１０．「
」如图，在平面直角坐标系的ｘ轴，ｙ轴上分
别截取ＯＡ，ＯＢ，使ＯＡ＝ＯＢ，再分别以点Ａ，Ｂ为圆
心，以大于１
２ＡＢ长为半径画弧，两弧交于点Ｐ，若
点Ｐ的坐标为（ａ，２ａ－３），则ａ的值为３．
１１．「2025 辽宁本溪期中，
」如图，ＢＤ是△ＡＢＣ的角平
分线，ＤＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＢＣ，垂足分别为Ｅ，Ｆ．
（１）求证：ＤＥ＝ＤＦ．
（２）若△ＡＢＣ的面积为８０，ＡＢ＝１６，ＤＥ＝４，求ＢＣ
的长．
#
&
%
$
'
"
解析
（１）证明：∵ＢＤ是△ＡＢＣ的角平分线，ＤＥ
⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＢＣ，垂足分别为Ｅ，Ｆ，
∴ＤＥ＝ＤＦ．
（２）∵ＤＥ⊥ＡＢ，ＡＢ＝１６，ＤＥ＝４，
∴Ｓ△ＡＢＤ＝１
２ＡＢ·ＤＥ＝３２，
∵ＤＦ⊥ＢＣ，ＤＦ＝ＤＥ＝４，
∴Ｓ△ＢＣＤ＝１
２ＢＣ·ＤＦ＝１
２ＢＣ×４＝Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ△ＡＢＤ＝８０－
３２＝４８，∴ＢＣ＝２４．
１２．「2025 重庆巴南实验中学月考，
」如图，△ＡＢＣ中，
∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＤ⊥ＡＢ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ交ＡＤ于Ｄ
点，交ＡＣ于Ｅ点．
（１）求证：∠ＡＤＥ＝∠ＡＥＤ．
（２）若ＡＢ＝６，ＣＥ＝２，求△ＡＢＥ的面积．
解析 （１）证明：∵ＡＤ⊥ＡＢ，
∴∠ＤＡＢ＝９０°，∴∠Ｄ＋∠ＡＢＤ＝９０°，
∵∠Ｃ＝９０°，∴∠ＣＥＢ＋∠ＣＢＥ＝９０°，
∵ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∴∠ＣＢＥ＝∠ＡＢＥ，∴∠Ｄ
＝∠ＣＥＢ，
∵∠ＣＥＢ＝∠ＡＥＤ，∴∠ＡＤＥ＝∠ＡＥＤ．
（２）如图，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＢ，垂足为Ｆ，
∵ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∠ＡＣＢ＝９０°，∴ＥＦ＝ＣＥ＝２，
∵ＡＢ＝６，∴△ＡＢＥ的面积＝１
２ＡＢ·ＥＦ＝１
２×６×２
＝６．
б ͞
１３．新
课标
推理能力「2025 山东德州期中改编」角平分线
定理：三角形一个内角的平分线与其对
边相交，交点将该边分成的两条线段与这个角的
两邻边对应成比例，即如图，△ＡＢＣ的角平分线
ＢＰ交ＡＣ于点Ｐ，则ＡＰ
ＣＰ＝ＡＢ
ＢＣ．
（１）求证：ＡＰ
ＣＰ＝ＡＢ
ＢＣ．
（２）若ＡＢ＝８，ＢＣ＝１２，ＣＰ＝６，求ＡＰ的长．
#
1
$
"
见答案册Ｄ２０
᮰
6
学习角的平分线，性质、判定是关键，性质条件与结论，交换位置是判定，灵活运用两关系，边、角对等关系现．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
３０
第2 课时 角的平分线的判定
ۻᆱ݆
知识点 角的平分线的判定
１．
学科
特色
教材
变式「2025 湖北武汉期中」两个完全一样的三角尺按
如图所示的方式摆放在△ＡＢＣ内，它们的顶点重
合于点Ｍ，则点Ｍ一定在
（Ａ）
#
.
$
"
Ａ．∠Ａ的平分线上
Ｂ．ＡＣ边的高上
Ｃ．ＢＣ边的垂直平分线上
Ｄ．ＡＢ边的中线上
２．「2025 江西赣州质检」已知，如图，ＯＣ是∠ＡＯＢ内部的
一条射线，Ｐ是射线ＯＣ上任意一点，ＰＤ⊥ＯＡ，ＰＥ
⊥ＯＢ，下列条件：①∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＣ，②ＰＤ＝ＰＥ，③
ＯＤ＝ＯＥ，④∠ＤＰＯ＝∠ＥＰＯ．其中，能判定ＯＣ是
∠ＡＯＢ的平分线的有
（Ｄ）
#
$
"
%
1
&
0
Ａ．１个
Ｂ．２个
Ｃ．３个
Ｄ．４个
３．「2025 陕西榆林期中」如图，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝７３°，
∠Ｃ＝４７°，点Ｄ是ＡＣ上一点，连接ＢＤ，ＤＥ⊥ＡＢ于
Ｅ，ＤＦ⊥ＢＣ于Ｆ，若ＤＥ＝ＤＦ，则∠ＤＢＦ的度数是
３０° ．
#
'
$
"
%
&
４．「2025 安徽合肥月考」如图，Ｏ是△ＡＢＣ内一点，且点
Ｏ到ＡＢ，ＡＣ，ＢＣ三边的距离相等，即ＯＦ＝ＯＥ＝
ＯＤ，若∠ＢＡＣ＝１００°，则∠ＢＯＣ的度数是１４０° ．
#
'
$
"
%
&
0
５．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＣ⊥ＢＣ，Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是边ＡＣ，
ＡＢ，ＢＣ上的点，已知ＤＥ⊥ＡＢ，ＡＤ＝ＦＤ，ＡＥ＝ＦＣ，求
证：ＢＤ为∠ＡＢＣ的平分线．
#
'
$
"
%
&
证明 ∵ＡＣ⊥ＢＣ，ＤＥ⊥ＡＢ，∴∠ＡＥＤ＝∠ＦＣＤ＝９０°，
在Ｒｔ△ＡＥＤ和Ｒｔ△ＦＣＤ中，
ＡＤ＝ＦＤ，
ＡＥ＝ＦＣ，
{
∴Ｒｔ△ＡＥＤ≌Ｒｔ△ＦＣＤ（ＨＬ），∴ＤＥ＝ＤＣ，
又∵ＡＣ⊥ＢＣ，ＤＥ⊥ＡＢ，
∴ＢＤ为∠ＡＢＣ的平分线．
ᑧү Ӭ
６．「2025 山东临沂期中，
」如图，直线ｌ１，ｌ２，ｌ３表示三
条公路．现要建造一个中转站Ｐ，使Ｐ到三条公路
的距离都相等，则中转站Ｐ可选择的位置有
（Ｄ）
Ａ．１处
Ｂ．２处
Ｃ．３处
Ｄ．４处
M
M
M
第６题图
$
"
%
&
#
第７题图
７．「2025 河北邢台期末，
」如图，在四边形
ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝９０°，ＢＣ＝３，连接ＡＣ，ＡＣ⊥
ＣＤ，垂足为Ｃ，并且∠ＡＣＢ＝∠Ｄ，点Ｅ是ＡＤ边上
一动点，则ＣＥ的最小值是
（Ｂ）
Ａ．１．５
Ｂ．３
Ｃ．３．５
Ｄ．４
᮰
6
角平分线的性质与角平分线的判定都离不开“点到角的两边的距离”，所以过点作角两边的垂线段是运用角平分线
的性质和判定定理最常见的作辅助线的方法．
第
十
四
章
全
等
三
角
形
３１
８．「2025 福建厦门期末，
」如图，在△ＡＢＣ中，ＡＰ平分
∠ＢＡＣ，ＣＰ平分∠ＡＣＢ，作ＰＤ⊥ＡＢ于点Ｄ，连
接ＢＰ．
（１）求证：ＢＰ平分∠ＡＢＣ．
（２）若△ＡＢＣ的面积为１５，ＡＢ＝４，ＡＣ＝４，ＢＣ＝２，求
ＰＤ的长．
（３）若ＡＢ＝７，ＢＣ＝５，ＡＣ＝８，求ＢＤ的长．
$
"
%
1
#
见答案册Ｄ２０
б ͞
９．新
课标
推理能力在△ＡＢＣ中，Ｄ是ＢＣ边上的点（不与点
Ｂ，Ｃ重合），连接ＡＤ．
（１）如图①，当点Ｄ是ＢＣ边的中点时，Ｓ△ＡＢＤ∶Ｓ△ＡＣＤ
＝
．
（２）如图②，当ＡＤ平分∠ＢＡＣ时，若ＡＢ＝ｍ，
ＡＣ＝ｎ，求Ｓ△ＡＢＤ∶Ｓ△ＡＣＤ（用含ｍ，ｎ的式子表
示）．
（３）如图③，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，延长ＡＤ到Ｅ，使得ＤＥ
＝ＡＤ，连接ＢＥ，如果ＡＣ＝２，ＡＢ＝４，Ｓ△ＢＤＥ＝６，
求Ｓ△ＡＢＣ．
见答案册Ｄ２１
微专题
对角互补模型
１．如图，已知∠ＡＯＢ＝９０°，ＯＣ平分
∠ＡＯＢ，点Ｐ在射线ＯＣ上，点Ｅ在射
线ＯＡ上，点Ｆ在射线ＯＢ上，且
∠ＥＰＦ＝９０°．求证：ＰＥ＝ＰＦ．
证明
如图，过Ｐ作ＰＧ⊥ＯＢ于Ｇ，ＰＨ⊥ＡＯ于
Ｈ，则∠ＰＧＦ＝∠ＰＨＥ＝９０°，
∵ＯＣ平分∠ＡＯＢ，∴ＰＨ＝ＰＧ，
∵∠ＡＯＢ＝∠ＥＰＦ＝９０°，
∴∠ＰＦＧ＋∠ＰＥＯ＝１８０°，
又∵∠ＰＥＨ＋∠ＰＥＯ＝１８０°，
∴∠ＰＥＨ＝∠ＰＦＧ，
∴△ＰＥＨ≌△ＰＦＧ（ＡＡＳ），∴ＰＥ＝ＰＦ．
２．如图，ＯＣ平分∠ＡＯＢ，Ｐ是ＯＣ上任意一点，点Ｍ，
Ｎ分别在射线ＯＢ和射线ＯＡ上，连接ＰＭ和ＰＮ，
若∠ＰＭＯ＋∠ＰＮＯ＝１８０°，求证：ＰＭ＝ＰＮ．
证明
如图，过点Ｐ作ＰＥ⊥ＯＢ于Ｅ，ＰＦ⊥ＯＡ
于Ｆ，
∵ＯＣ平分∠ＡＯＢ，
∴ＰＥ＝ＰＦ，
∵∠ＰＭＯ＋∠ＰＭＥ＝１８０°，
∠ＰＭＯ＋∠ＰＮＯ＝１８０°，
∴∠ＰＭＥ＝∠ＰＮＯ，
在△ＰＭＥ和△ＰＮＦ中，
∠ＰＭＥ＝∠ＰＮＦ，
∠ＰＥＭ＝∠ＰＦＮ＝９０°，
ＰＥ＝ＰＦ，
ì
î
í
ïï
ïï
∴△ＰＭＥ≌△ＰＮＦ（ＡＡＳ），∴ＰＭ＝ＰＮ．
᮰
6
三角形全等顺口溜：角平分，作垂线；垂线等，角平分；有中点，必倍长；证中点，可倍长；半搬角，贴边角；倍角
在，延边线；求等边，证等角；平行移，证线等．
初
中
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学
八
年
级
上
册
人
教
版
３２
专项突破４ 构造全等三角形的常用辅助线作法练方法
作法１ 利用“角平分线”构造全等三角形
方法指导
当题目条件或结论出现角平分线时，常向角的两边
作垂线，构造全等三角形来解题．
１．「2025 重庆育才中学期中」如图，在△ＤＢＣ中，ＤＢ＝ＤＣ，
Ａ为△ＤＢＣ外一点，且∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＣ，ＤＭ⊥ＡＣ
于Ｍ．
（１）求证：ＡＤ平分△ＡＢＣ的外角．
（２）判断ＡＭ，ＡＣ，ＡＢ有怎样的数量关系，并证明你
的结论．
$
.
"
%
#
见答案册Ｄ２１
作法２ 利用“截长补短法”构造全等三
角形
方法指导
用截长补短法可证明一条线段等于另两条线段的和
或差．
（１）截长法：先在长线段上取一段，使其等于其中一
条短线段，再证明剩下的线段等于另一条短线段．
（２）补短法：①先延长其中一条短线段，使延长部分
等于另一条短线段，再证明延长后的线段等于长线
段；②先延长其中一条短线段，使其等于长线段，再
证明延长的部分等于另一条短线段．
２．
学科
特色多解法「2025 河南驻马店月考」如图，ＡＢ∥ＣＤ，ＢＥ平
分∠ＡＢＣ，ＣＥ平分∠ＢＣＤ，点Ｅ在ＡＤ上，求证：ＢＣ
＝ＡＢ＋ＣＤ．
$
"
%
&
#
见答案册Ｄ２１
作法３ 利用“倍长中线法”构
造全等三角形
方法指导
先将三角形的中线延长一倍，构造出全等三角形
（“８”字形），再利用全等三角形的知识解题．
３．「2025 四川攀枝花期中」
（１）如图１，ＡＤ是△ＡＢＣ的中线，且ＡＢ＞ＡＣ，延长
ＡＤ至点Ｅ，使ＥＤ＝ＡＤ，连接ＢＥ，可证得△ＡＤＣ
≌△ＥＤＢ，其中判定全等的依据为
．
（２）如图２，ＡＤ是△ＡＢＣ的中线，点Ｅ在ＢＣ的延
长线上，ＣＥ＝ＡＢ，∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ，求证：ＡＥ
＝２ＡＤ．
$
"
%
&
#
图１
$
"
%
&
#
图２
见答案册Ｄ２２
᮰
6
对于几何证明题，“因为”和“所以”要符合严格的因果关系，要有正确的理论依据．“因为”不能连续，“所以”可
以成为下一个“所以”的“因为”．
第
十
四
章
全
等
三
角
形
３３
第十四章自主检测
范围：全等三角形
满分
１００分
限时
４０分钟
一、选择题（每小题６分，共３６分）
'
& )
.
(
/
１．「2025 北京房山期末改编」如图，
△ＥＦＧ≌△ＮＭＨ，ＥＦ＝
２．１ｃｍ，ＥＨ＝１．１ｃｍ，ＮＨ＝
３．３ｃｍ，则线段ＨＧ的长度是
（Ｃ）
Ａ．２．１ｃｍ
Ｂ．３．３ｃｍ
Ｃ．２．２ｃｍ
Ｄ．１．１ｃｍ
２．「2025 天津和平期末」如图，在∠ＡＯＢ的两边上，分别
取ＯＭ＝ＯＮ，再分别过点Ｍ，Ｎ作ＯＡ，ＯＢ的垂线，
交点为Ｐ，画射线ＯＰ，则ＯＰ平分∠ＡＯＢ的依据是
（Ｃ）
Ａ．ＳＡＳ
Ｂ．ＳＳＳ
Ｃ．ＨＬ
Ｄ．ＡＡＳ
.
#
1
"
0
/
第２题图
"
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'
#
%
$
第３题图
３．如图，已知ＡＢ∥ＣＦ，Ｅ为ＤＦ的中点，若ＡＢ＝
１３ｃｍ，ＣＦ＝６ｃｍ，则ＢＤ的长为
（Ｂ）
Ａ．６ｃｍ
Ｂ．７ｃｍ
Ｃ．１２ｃｍ
Ｄ．１３ｃｍ
４．「2025 浙江杭州期末」如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝∠Ｃ＝
５０°，ＢＤ＝ＣＦ，ＢＥ＝ＣＤ，则∠ＥＤＦ的度数是（Ｂ）
Ａ．４０°
Ｂ．５０°
Ｃ．６０°
Ｄ．３０°
"
&
'
#
%
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第４题图
"
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1
#
$
第５题图
５．「2025 广东广州期末」如图，△ＡＢＣ的两外角的平分线
ＢＰ，ＣＰ交于点Ｐ，ＰＥ⊥ＡＣ交ＡＣ的延长线于点Ｅ．
若△ＡＢＣ的面积为１０，△ＢＰＣ的面积为７，ＰＥ＝４，
则△ＡＢＣ的周长为
（Ｄ）
Ａ．８
Ｂ．１０
Ｃ．１１
Ｄ．１２
"
& '
%
#
$
６．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ，过点Ｂ作
射线ＢＦ，在射线ＢＦ上取一点Ｅ，连
接ＡＥ，使得∠ＣＢＦ＝∠ＣＡＥ，过点Ｃ作
射线ＢＦ的垂线，垂足为Ｄ，若ＤＥ＝２，
ＡＥ＝４，则ＢＤ的长度为
（Ｂ）
Ａ．７
Ｂ．６
Ｃ．４
Ｄ．２
二、填空题（每小题６分，共２４分）
７．「2024 山东德州中考」如图，Ｃ是ＡＢ的中点，且ＣＤ＝
ＢＥ，请添加一个条件：ＡＤ＝ＣＥ（答案不唯一），
使得△ＡＣＤ≌△ＣＢＥ．
$
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#
第７题图
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#
$
第８题图
８．「2025 广东惠州期末」如图，∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ，ＣＢ＝ＣＤ，
ＤＡ的延长线交ＢＣ于点Ｅ，若∠ＥＡＣ＝４９°，则
∠ＢＡＥ＝８２°．
９．「2025 天津期末」如图，ＣＢ⊥ＡＤ，ＡＥ⊥ＣＤ，垂足分别为
Ｂ，Ｅ，ＡＥ，ＢＣ相交于点Ｆ，若ＡＢ＝ＢＣ＝１６，ＣＦ＝８，连接
ＤＦ，则图中阴影部分的面积为３２．
"
'
&
%
#
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第９题图
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%
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/
.
第１０题图
１０．「2025 山东临沂月考」如图，ＣＡ⊥ＡＢ，垂足为点Ａ，射
线ＢＭ⊥ＡＢ，垂足为点Ｂ，ＡＢ＝１５ｃｍ，ＡＣ＝６ｃｍ．动
点Ｅ从Ａ点出发以３ｃｍ／ｓ的速度沿射线ＡＮ运动，
动点Ｄ在射线ＢＭ上，随着Ｅ点的运动而运动，始
终保持ＥＤ＝ＣＢ．若点Ｅ的运动时间为ｔｓ（ｔ＞０），则
当以Ｂ，Ｅ，Ｄ为顶点的三角形与△ＡＣＢ全等时，ｔ＝
３或７或１０．
᮰
6
三角形两个内角的平分线相交所成的钝角的度数等于第三个内角的一半与９０°的和．
初
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人
教
版
３４
三、解答题（共４０分）
１１．新
考向
尺规作图（８分）如图，已知△ＡＢＣ，∠Ａ＝６０°，∠Ｃ
＝４５°．
（１）在ＡＣ边上求作一点Ｐ，使∠ＰＢＣ＝４５°．
（２）在ＢＰ上求作一点Ｍ，使得ＡＭ平分∠ＢＡＣ．
（保留作图痕迹，不写作法）
"
#
$
解析 （１）如图，点Ｐ即为所求．
（２）如图，点Ｍ即为所求．
"
#
$
1
.
１２．「2025 云南昭通期中」（１０分）如图，在△ＡＢＣ和
△ＤＢＣ中，∠ＡＣＢ＝∠ＤＢＣ＝９０°，点Ｅ是ＢＣ的中
点，ＥＦ⊥ＡＢ于点Ｆ，Ｅ，Ｆ，Ｄ三点共线，且ＡＢ＝ＤＥ．
（１）求证：△ＡＣＢ≌△ＥＢＤ．
（２）若ＤＢ＝１０，求ＡＣ的长．
"
#
&
'
%
$
见答案册Ｄ２３
１３．「2025 河南南阳期末」（１０分）如图１，ＡＰ平分
∠ＢＡＣ，ＰＤ⊥ＡＢ，ＰＥ⊥ＡＣ，垂足分别为点Ｄ，Ｅ．
（１）求证：ＡＤ＝ＡＥ．
（２）在图１的条件下，如图２，点Ｍ，Ｎ分别在ＡＢ，
ＡＣ上，且ＰＭ＝ＰＮ，ＡＭ＝５，ＡＮ＝３，求ＡＤ
的长．
"
#
&
%
$
1
图１
"
#
.
/
&
%
$
1
图２
解析
（１）证明：∵ＡＰ平分∠ＢＡＣ，ＰＤ⊥ＡＢ，ＰＥ
⊥ＡＣ，
∴ＰＤ＝ＰＥ，
在Ｒｔ△ＡＰＤ和Ｒｔ△ＡＰＥ中，
ＡＰ＝ＡＰ，
ＰＤ＝ＰＥ，
{
∴Ｒｔ△ＡＰＤ≌Ｒｔ△ＡＰＥ（ＨＬ），
∴ＡＤ＝ＡＥ．
（２）在Ｒｔ△ＰＥＮ和Ｒｔ△ＰＤＭ中，
ＰＮ＝ＰＭ，
ＰＥ＝ＰＤ，
{
∴Ｒｔ△ＰＥＮ≌Ｒｔ△ＰＤＭ（ＨＬ），
∴ＮＥ＝ＭＤ，
∵ＡＭ＝ＡＤ＋ＭＤ＝５，ＡＤ＝ＡＥ＝ＡＮ＋ＮＥ＝ＡＮ＋ＭＤ，
∴ＡＮ＋ＭＤ＋ＭＤ＝５，
∵ＡＮ＝３，
∴ＭＤ＝１，
∴ＡＤ＝ＡＭ－ＭＤ＝４．
１４．（１２分）在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ，∠ＢＡＤ＝
１２０°，∠Ｂ＝∠ＡＤＣ＝９０°，Ｅ，Ｆ分别是ＢＣ，ＣＤ上的
点，且∠ＥＡＦ＝６０°，试探究图１中线段ＢＥ，ＥＦ，ＦＤ
之间的数量关系．
（１）小亮同学认为：延长ＦＤ到点Ｇ，使ＤＧ＝ＢＥ，连
接ＡＧ，如图１，先证明△ＡＢＥ≌△ＡＤＧ，再证明
△ＡＥＦ≌△ＡＧＦ，则可得到ＢＥ，ＥＦ，ＦＤ之间的数
量关系：
．
（２）如图２，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ，∠Ｂ＋∠Ｄ
＝１８０°，Ｅ，Ｆ分别是ＢＣ，ＣＤ上的点，∠ＥＡＦ＝
１
２∠ＢＡＤ，（１）中的结论是否仍然成立？请说
明理由．
见答案册Ｄ２３
᮰
6
如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，轴对称图形的对称轴是任何一对对
应点所连线段的垂直平分线．
第
十
五
章
轴
对
称
３５
第十五章
轴对称
１５．１ 图形的轴对称
１５．１．１ 轴对称及其性质
ۻᆱ݆
知识点１ 轴对称图形
１．「2024 湖北武汉中考」现实世界中，对称现象无处不
在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字
是轴对称图形的是
（Ｃ）
E
Ａ
>
Ｂ
Ｃ
ສ
Ｄ
２．学习完轴对称图形知识后，小明在３×３的正方形
网格中通过填充阴影来设计轴对称图形，其中是轴
对称图形且有
·４·条
·对称轴的是
（Ｂ）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
知识点２ 轴对称
３．新
课标
中华优秀传统文化「2025 陕西咸阳质检」二胡始于唐朝，是
中国传统拉弦乐器．下列选项中左右两个二胡成轴
对称的是
（Ｃ）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
知识点３ 轴对称及轴对称图形的性质
"
#
$
'
&
%
.
/
４．「2025 四川乐山月考」如图，△ＡＢＣ
与△ＤＥＦ关于直线ＭＮ对称，则
以下结论中不一定正确的是
（Ａ）
Ａ．ＢＣ＝ＤＥ
Ｂ．∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＦ
Ｃ．ＡＤ∥ＢＥ
Ｄ．ＡＤ被ＭＮ垂直平分
５．《周髀算经》中提出了“方属地，圆属
天”，就是人们常说的“天圆地方”．我
国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外
圆内方”“天地合一”的哲学思想，现
将铜钱抽象成如图所示的图形，ＡＣ，ＢＤ为圆Ｏ的
直径，ＡＣ⊥ＢＤ，若圆Ｏ的面积为１６π ｃｍ
２，则图中
阴影部分的面积为４π
ｃｍ
２．
ᑧү Ӭ
６．「
」小强从镜子中看到镜子对面墙
上挂着的电子表，其读数如图所示，则
电子表的实际时刻是
（Ｃ）
Ａ．１５：０１
Ｂ．１０：５１
Ｃ．１０：２１
Ｄ．１２：０１
"
%
$
#
.
/
７．「2025 山东聊城期末，
」如图，在
△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝５０°，∠Ｃ＝８０°，点
Ｄ是ＢＣ上任意一点，点Ｍ和点Ｎ
分别是点Ｄ关于ＡＢ和ＡＣ的对称点，连接ＡＭ和
ＡＮ，则∠ＭＡＮ的度数为１００° ．
８．「2025 浙江衢州质检，
」如图，△ＡＢＣ和
△ＡＤＥ关于直线ＭＮ对称，ＢＣ和ＤＥ的交
点Ｆ在直线ＭＮ上．
（１）若ＥＤ＝１５，ＢＦ＝９，求ＥＦ的长．
（２）若∠ＡＢＣ＝３５°，∠ＡＥＤ＝６５°，∠ＢＡＥ＝１６°，求
∠ＢＦＮ的度数．
（３）连接ＢＤ和ＥＣ，判断ＢＤ和ＥＣ的位置关系，并
说明理由．
"
$
/
.
& '
%
#
见答案册Ｄ２４
᮰
6
线段垂直平分线，上面一点连两端，不用全等来证明，可得线段长相等．
初
中
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八
年
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版
３６
１５．１．２ 线段的垂直平分线
第1 课时 线段的垂直平分线的性质
ۻᆱ݆
知识点１ 线段垂直平分线的性质
１．「2025 广西南宁月考」如图所示的是小明绘制的“箭在
弦上”的简笔画，已知箭杆ＣＤ垂直平分ＡＢ，ＡＣ＝
５ｃｍ，则ＢＣ的长为
（Ｂ）
Ａ．４ｃｍ
Ｂ．５ｃｍ
Ｃ．６ｃｍ
Ｄ．７ｃｍ
"
$
%
#
第１题图
"
$
&
%
#
第２题图
２．「2025 江苏南京期中」如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ垂
直平分ＢＤ，垂足为Ｅ，则下列结论不一定成立的是
（Ｃ）
Ａ．ＡＢ＝ＡＤ
Ｂ．ＣＡ平分∠ＢＣＤ
Ｃ．ＡＢ＝ＢＤ
Ｄ．△ＢＥＣ≌△ＤＥＣ
３．「2024 四川凉山州中考」如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝
９０°，ＤＥ垂直平分ＡＢ交ＢＣ于点Ｄ，连接ＡＤ，若
△ＡＣＤ的周长为５０ｃｍ，则ＡＣ＋ＢＣ＝
（Ｃ）
"
$
&
%
#
Ａ．２５ｃｍ
Ｂ．４５ｃｍ
Ｃ．５０ｃｍ
Ｄ．５５ｃｍ
知识点２ 线段垂直平分线的判定
４．「2025 广东汕头期末」如图，若ＡＣ＝ＡＤ，ＢＣ＝ＢＤ，则下
列结论正确的是
（Ｂ）
"
$
%
#
Ａ．ＣＤ垂直平分ＡＢ
Ｂ．ＡＢ垂直平分ＣＤ
Ｃ．ＣＤ平分∠ＡＣＢ
Ｄ．∠ＣＡＤ＝∠ＣＢＤ
５．「2025 江苏南通月考」如图，将△ＡＢＣ放在每个小正方
形边长均为１的网格中，点Ａ、Ｂ、Ｃ均落在格点上，
若点Ｂ的坐标为（３，－１），点Ｃ的坐标为（２，２），则到
△ＡＢＣ三个顶点距离相等的点的坐标为（１，０）．
"
$
#
６．「2025 广东广州期中」如图，△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＤ
平分∠ＢＡＣ，ＤＥ⊥ＡＢ于Ｅ．
（１）若∠ＢＡＣ＝４８°，求∠ＥＤＡ的度数．
（２）求证：直线ＡＤ是线段ＣＥ的垂直平分线．
"
#
$
%
&
解析 （１）∵∠ＢＡＣ＝４８°，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，
∴∠ＥＡＤ＝１
２∠ＢＡＣ＝２４°，
∵ＤＥ⊥ＡＢ，
∴∠ＡＥＤ＝９０°，∴∠ＥＤＡ＝９０°－２４° ＝６６°．
（２）证明：∵ＤＥ⊥ＡＢ，
∴∠ＡＥＤ＝９０° ＝∠ＡＣＢ，
∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，
∴∠ＤＡＥ＝∠ＤＡＣ，
∵ＡＤ＝ＡＤ，∴△ＡＥＤ≌△ＡＣＤ（ＡＡＳ），
∴ＡＥ＝ＡＣ，ＤＥ＝ＤＣ，∴ＡＤ垂直平分线段ＥＣ，
即直线ＡＤ是线段ＣＥ的垂直平分线．
知识点３ 互逆命题
７．写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否
成立．
（１）两直线平行，同旁内角互补．
（２）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距
离相等．
（３）如果两个实数相等，那么它们的绝对值也相等．
见答案册Ｄ２５
᮰
6
证明一条直线为一条线段的垂直平分线的基本思路：找到到这条线段两个端点的距离相等的两个点，且这两个点都
在这条直线上．
第
十
五
章
轴
对
称
３７
ᑧү Ӭ
８．「2025 山东潍坊期末改编，
」下列命题的逆命题是真
命题的是
（Ｃ）
Ａ．全等三角形的面积相等
Ｂ．如果ａ＝ｂ，那么ａ
２＝ｂ
２
Ｃ．两直线平行，内错角相等
Ｄ．两个全等三角形的三对对应角相等
９．「2024 湖北孝感期中，
」如图，在△ＡＢＣ中，ＢＣ＝１０，
ＡＢ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｄ，交ＢＣ于点Ｅ，ＡＣ
的垂直平分线交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ于点Ｆ，连接
ＡＥ，ＡＦ，则△ＡＥＦ的周长为１０．
１０．「
」如图，在△ＡＢＥ中，ＡＤ⊥ＢＥ，Ｃ是ＤＥ上一
点，且ＢＤ＝ＣＤ，若Ｃ是ＡＥ垂直平分线上一点，ＡＢ
＝５，ＡＤ＝４，ＢＣ＝６，则△ＡＢＥ的面积为２２．
１１．「2024 山东烟台一中月考，
」如图，△ＡＢＣ中，
∠ＢＡＣ的平分线与边ＢＣ的垂直平分线交于点
Ｄ，ＤＥ⊥ＡＢ于Ｅ，ＤＦ⊥ＡＣ于Ｆ，试猜想线段ＡＢ，
ＡＥ，ＣＦ之间的数量关系，并说明理由．
解析 ＡＢ＝ＡＥ＋ＣＦ．
理由：如图，连接ＤＢ，
∵点Ｄ在∠ＢＡＣ的平分线
上，ＤＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＡＣ，
∴ＤＥ＝ＤＦ，
∵点Ｄ在ＢＣ的垂直平分线上，∴ＤＢ＝ＤＣ，
在Ｒｔ△ＤＢＥ与Ｒｔ△ＤＣＦ中，
ＤＢ＝ＤＣ，
ＤＥ＝ＤＦ，
{
∴Ｒｔ△ＤＢＥ≌Ｒｔ△ＤＣＦ（ＨＬ），∴ＢＥ＝ＣＦ，
∴ＡＢ＝ＡＥ＋ＢＥ＝ＡＥ＋ＣＦ．
１２．「2025 湖南师大附中期末，
」如图，在△ＡＢＣ中，ＡＤ
⊥ＢＣ，ＥＦ垂直平分ＡＣ，交ＡＣ于点Ｆ，交ＢＣ于点
Ｅ，且ＢＤ＝ＤＥ，连接ＡＥ．
（１）求证：ＡＢ＝ＥＣ．
（２）若△ＡＢＣ的周长为３２ｃｍ，ＡＣ＝１２ｃｍ，求ＤＣ
的长．
"
#
$
% &
'
解析 （１）证明：∵ＥＦ垂直平分ＡＣ，
∴ＡＥ＝ＥＣ，
∵ＡＤ⊥ＢＣ，ＢＤ＝ＤＥ，
∴ＡＤ垂直平分ＢＥ，
∴ＡＢ＝ＡＥ，
∴ＡＢ＝ＥＣ．
（２）由题意可得ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ＝３２ｃｍ，
∵ＡＣ＝１２ｃｍ，
∴ＡＢ＋ＢＣ＝２０ｃｍ，
∵ＡＢ＝ＥＣ，ＢＤ＝ＤＥ，
∴ＤＣ＝ＤＥ＋ＥＣ＝１
２ＢＥ＋ＡＢ＝１
２（ＢＣ－ＣＥ）＋ＡＢ
＝１
２（ＢＣ－ＡＢ）＋ＡＢ＝１
２（ＡＢ＋ＢＣ）＝１０ｃｍ．
б ͞
１３．新
课标
推理能力「2025 湖北荆门月考改编」如图，四边
形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°，ＡＢ＝２５ｃｍ，
ＤＡ＝１５ｃｍ，ＣＢ＝１０ｃｍ．动点Ｅ从Ａ点出发，以
２ｃｍ／ｓ的速度向Ｂ点移动，设移动的时间为ｘ秒．
（１）求证：当ｘ＝５时，点Ｅ在线段ＣＤ的垂直平分
线上．
（２）在（１）的条件下，判断ＤＥ与ＣＥ的位置关系，
并说明理由．
"
#
$
%
&
见答案册Ｄ２５
᮰
6
作线段的垂直平分线时，一定要注意两点：一是画弧的半径要大于线段的一半的长；二是线段的垂直平分线是一条
直线．
初
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版
３８
第2 课时 线段的垂直平分线的作法
ۻᆱ݆
知识点１ 线段的垂直平分线的作法
１．「2025 四川成都月考」如图，在△ＡＢＣ中，用尺规作图，
分别以点Ａ和Ｃ为圆心，以大于１
２ＡＣ的长为半径
作弧，两弧相交于点Ｍ和Ｎ．作直线ＭＮ交ＡＣ于点
Ｄ，交ＢＣ于点Ｅ，连接ＡＥ．则下列结论不一定正确
的是
（Ａ）
"
#
$
%
.
/
&
Ａ．ＡＢ＝ＡＥ
Ｂ．ＡＤ＝ＣＤ
Ｃ．ＡＥ＝ＣＥ
Ｄ．∠ＡＤＥ＝∠ＣＤＥ
２．「2025 山东德州期中」如图，在△ＡＢＣ中，分别以点Ｂ
和点Ｃ为圆心，大于１
２ＢＣ的长为半径画弧，两弧相
交于点Ｍ，Ｎ．作直线ＭＮ，交ＡＣ于点Ｄ，交ＢＣ于点
Ｅ，连接ＢＤ．若ＡＢ＝７，ＡＣ＝１２，则△ＡＢＤ的周长为
（Ｃ）
"
#
$
%
.
/
&
Ａ．２５
Ｂ．２２
Ｃ．１９
Ｄ．１８
３．
学科
特色
教材
变式如图，Ａ、Ｂ表示两个仓库，要在Ａ、Ｂ同侧的
河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相
等，码头应建造在什么位置？
"
#
见答案册Ｄ２６
知识点２ 作对称轴
４．如图，△ＡＢＣ与△ＤＦＥ关于直线ｌ对称，请仅用无
∙
刻度
∙∙的直尺，在图（１）与图（２）中分别作出直线ｌ．
见答案册Ｄ２６
ᑧү Ӭ
５．「2025 河北石家庄期末，
」已知△ＡＢＣ（ＡＣ＜ＢＣ），用
尺规作图的方法在ＢＣ上确定一点Ｐ，使ＰＡ＋ＰＢ＝
ＢＣ，则符合要求的作图痕迹是
（Ｃ）
"
#
$
1
Ａ
"
#
$
1
Ｂ
"
#
$
1
Ｃ
"
#
$
1
Ｄ
６．新
考向
尺规作图「2023 山东青岛中考，
」请用无刻度的直
尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：△ＡＢＣ．
求作：点Ｐ，使ＰＡ＝ＰＣ，且点Ｐ在△ＡＢＣ的边ＡＢ的高上．
"
#
$
见答案册Ｄ２６
７．「2025 广东潮州期末，
」随着新能源共享汽车的普
及，某新能源共享汽车公司计划在如图所示的
△ＡＢＣ空地上建立一个集中充电点Ｐ，设计要求：
集中充电点Ｐ到公路ＡＢ，ＡＣ的距离相等，并且到
Ｄ，Ｅ两个小区的距离也相等．请在图中确定点Ｐ的
位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
#
$
%
&
"
见答案册Ｄ２６
᮰
6
进行轴对称作图时，往往先确定关键点的对称点，以局部带动整体．
第
十
五
章
轴
对
称
３９
１５．２ 画轴对称的图形
第1 课时 画轴对称的图形
ۻᆱ݆
知识点１ 轴对称变换
１．新
考向
操作实践题如图，将一张长方形纸对折，再对折，然
后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到
（Ｃ）
Ａ．三角形
Ｂ．梯形
Ｃ．正方形
Ｄ．五边形
２．如图，△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′关于直线ＭＮ对称，△Ａ′
Ｂ′Ｃ′和△Ａ″Ｂ″Ｃ″关于直线ＥＦ对称．
（１）作出直线ＥＦ．
（２）直线ＭＮ，ＥＦ相交于点Ｏ，试探究∠ＢＯＢ″与直
线ＭＮ，ＥＦ所夹锐角α 的数量关系．
#
$
"
"ĉ
#ĉ
$ĉ
$Ċ
"Ċ
#Ċ
/
.
见答案册Ｄ２６
知识点２ 画轴对称的图形
３．
学科
特色
教材
变式下面是四位同学作△ＡＢＣ关于直线ＭＮ对称
的图形，其中正确的是
（Ｂ）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
４．如图，在８×８的正方形网格中有一个△ＡＢＣ，点Ａ、
Ｂ、Ｃ、Ｍ、Ｎ、Ｐ、Ｑ都在格点上，分别画出△ＡＢＣ关于
直线ＰＱ对称的△Ａ１Ｂ１Ｃ１和关于直线ＭＮ对称
的△Ａ２Ｂ２Ｃ２．
见答案册Ｄ２６
ᑧү Ӭ
５．「2024 湖北武汉模拟，
」下列每个网格中均有两个
图形，其中一个图形可以由另一个进行轴对称变换
得到的是
（Ｂ）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
６．「2025 山东泰安月考，
」作图题：如图所示的是由９
个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中２
个小正方形涂灰，请用３种不同的方法分别在图中
再将２个小正方形涂灰，使图案成为轴对称图形．
见答案册Ｄ２６
７．「2025 上海静安期末，
」如图所示的是３×３的正方
形网格，图中三角形ＡＢＣ为格点三角形．
（１）在图中画出三角形ＡＢＣ关于直线ｌ成轴对称
的三角形．
（２）在该网格中是否还存在与三角形ＡＢＣ成轴对称
的其他格点三角形？如果存在，请在备用图中画
出该三角形，并画出相应的对称轴．
"
$
#
M
"
$
#
备用图
见答案册Ｄ２７
᮰
6
点（ｘ，ｙ）关于ｘ轴对称的点的坐标为（ｘ，－ｙ）；点（ｘ，ｙ）关于ｙ轴对称的点的坐标为（－ｘ，ｙ）．
初
中
数
学
八
年
级
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版
４０
第2 课时 用坐标表示轴对称
ۻᆱ݆
知识点１ 关于坐标轴对称的点的坐标
１．「2024 四川雅安中考」在平面直角坐标系中，将点
Ｐ（１，－１）向右平移２个单位后，得到的点Ｐ１关于ｘ
轴的对称点的坐标是
（Ｂ）
Ａ．（１，１）
Ｂ．（３，１）
Ｃ．（３，－１）
Ｄ．（１，－１）
２．跨
美术
剪纸如图所示的是美术老师
的一幅剪纸作品《风筝剪纸》，
它是轴对称图形，将其放在平
面直角坐标系中，如果图中点
Ｍ的坐标为（－３ｍ，－ｎ），其关于ｙ轴对称的点Ｎ的
坐标为（３－ｎ，ｍ＋１），则（ｍ＋ｎ）
２０２５的值为
（Ｃ）
Ａ．５
２０２４
Ｂ．１
Ｃ．－１
Ｄ．０
３．「2025 湖北黄冈月考」若点Ａ（３ａ＋３，２ａ＋６）关于ｘ轴对
称的点Ｂ在第三象限，且ａ为整数．则点Ａ的坐标
为（－３，２）．
知识点２ 坐标与图形变换
４．
学科
特色
教材
变式△ＡＢＣ在平面直角坐标系中的位置如图
所示．
（１）画出△ＡＢＣ关于ｙ轴对称的△Ａ１Ｂ１Ｃ１．
（２）将△ＡＢＣ向右平移６个单位，作出平移后的
△Ａ２Ｂ２Ｃ２，并写出△Ａ２Ｂ２Ｃ２各顶点的坐标．
（３）观察△Ａ１Ｂ１Ｃ１和△Ａ２Ｂ２Ｃ２，它们是否关于某条
直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴．
见答案册Ｄ２７
ᑧү Ӭ
５．「
」在平面直角坐标系ｘＯｙ中，点Ａ与点Ａ１关于
ｘ轴对称，点Ａ与点Ａ２关于ｙ轴对称．已知点Ａ１（１，
２），则点Ａ２的坐标是
（Ｄ）
Ａ．（－２，１）
Ｂ．（－２，－１）
Ｃ．（－１，２）
Ｄ．（－１，－２）
６．「2025 广东东莞期末改编，
」如图，在平面直角坐标
系ｘＯｙ中，∠Ａ＝９０°，ＯＡ＝２，∠１＝∠２，点Ｂ（ａ－１，ａ－
２）关于ｘ轴的对称点的坐标是（２，－１）．
0
"
#
Y
Z
第６题图
"
$
#
%
第７题图
７．「
」如图，在３×３的正方形网格中有四个格点Ａ，
Ｂ，Ｃ，Ｄ，以其中一个点为原点，网格线所在直线为
坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存
在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是点Ｄ
．
б ͞
８．新
课标
几何直观在直角坐标系中，△ＡＢＯ的顶点坐标分别
为Ｏ（０，０），Ａ（２ａ，０），Ｂ（０，－ａ），线段ＥＦ两端点的
坐标分别为Ｅ（－ｍ，ａ＋１），Ｆ（－ｍ，１）（２ａ＞ｍ＞ａ），直
线ｌ∥ｙ轴交ｘ轴于Ｐ（ａ，０），线段ＥＦ与ＣＤ关于ｙ
轴对称，线段ＣＤ与ＭＮ关于直线ｌ对称．
（１）求点Ｎ，Ｍ的坐标（用含ｍ，ａ的式子表示）．
（２）△ＡＢＯ与△ＭＦＥ通过平移能重合吗？能与不能
都要说明其理由，若能，请你说出一个平移方案
（平移的单位数用ｍ，ａ表示）．
见答案册Ｄ２７
᮰
6
“等边对等角”是针对同一个三角形而言的，若在两个三角形中，这个结论不成立．在没有给出图形（即无图题）或
某些元素（三角形的边、内角）不明确时，应注意分类讨论．
第
十
五
章
轴
对
称
４１
１５．３ 等腰三角形
１５．３．１ 等腰三角形
第1 课时 等腰三角形的性质
ۻᆱ݆
知识点１ 等腰三角形性质１“等边对等角”
１．「2025 浙江杭州期末」如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ
平分∠ＡＢＣ，若∠Ａ＝４０°，则∠ＤＢＣ的度数为（Ｂ）
"
$
%
#
Ａ．３０°
Ｂ．３５°
Ｃ．４０°
Ｄ．４５°
２．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＤ，∠Ｂ＝２∠Ｃ，∠ＢＡＤ＝
３２°，则∠Ｃ的度数为
（Ｃ）
"
$
%
#
Ａ．３２°
Ｂ．３５°
Ｃ．３７°
Ｄ．４０°
３．「2025 北京门头沟期末」如图，在△ＡＢＣ中，ＤＥ垂直平
分ＡＢ，垂足为Ｄ，交ＢＣ于点Ｅ，连接ＡＥ．如果ＡＥ＝
ＡＣ，∠Ｂ＝２５°，那么∠Ｃ的度数是５０° ．
"
$
%
#
&
４．如图，点Ｄ是ＢＣ上的一点，若△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ，且
∠Ｂ＝５５°，则∠ＥＡＣ＝７０°．
"
$
%
#
&
５．
学科
特色易错题若等腰三角形中有一个角等于４０°，则这
个等腰三角形顶角的度数为４０°或１００°．
６．
学科
特色
教材
变式如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＢＣ上，ＡＢ＝ＡＣ＝
ＣＤ，且ＡＤ＝ＢＤ．求△ＡＢＣ的三个内角的度数．
解析 设∠Ｂ＝ｘ，∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠Ｃ＝∠Ｂ＝ｘ，
∵ＡＤ＝ＢＤ，∴∠ＢＡＤ＝∠Ｂ＝ｘ，
由三角形外角的性质得∠ＣＤＡ＝∠Ｂ＋∠ＢＡＤ＝２ｘ，
∵ＡＣ＝ＣＤ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＣＤＡ＝２ｘ，
∵∠Ｃ＋∠ＣＡＤ＋∠ＣＤＡ＝１８０°，
∴ｘ＋２ｘ＋２ｘ＝１８０°，解得ｘ＝３６°，
∴∠Ｃ＝３６°，∠Ｂ＝３６°，
∴∠ＢＡＣ＝１８０°－３６°－３６° ＝１０８°．
∴△ＡＢＣ的三个内角的度数分别是１０８°，３６°，３６°．
知识点２ 等腰三角形性质２“三线合一”
７．「2025 江苏苏州期中」如图，某园林中一亭子的顶端可
看成等腰△ＡＢＣ，其中ＡＢ＝ＡＣ，若Ｄ是ＢＣ边上的
一点，则下列不能说明ＢＤ＝ＣＤ的是
（Ｃ）
"
$
%
#
Ａ．ＡＤ⊥ＢＣ
Ｂ．∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ
Ｃ．∠Ｂ＝∠Ｃ
Ｄ．△ＡＢＤ≌△ＡＣＤ
８．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ，Ｅ分别是边ＢＣ，ＡＣ
上的点，连接ＡＤ，ＢＥ．若ＡＤ和ＢＥ分别是△ＡＢＣ的
中线和角平分线，∠ＣＡＤ＝２０°，求∠ＣＢＥ的度数．
见答案册Ｄ２８
᮰
6
等腰三角形“三线合一”的性质常常用来证明角相等、线段相等和线段垂直．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
４２
ᑧү Ӭ
９．「2024 甘肃兰州中考，
」如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，
∠ＢＡＣ＝１３０°，ＤＡ⊥ＡＣ，则∠ＡＤＢ＝
（Ｂ）
"
$
%
#
Ａ．１００°
Ｂ．１１５°
Ｃ．１３０°
Ｄ．１４５°
１０．「2025 重庆期末，
」如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，
ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ，ＤＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，ＢＦ⊥ＡＣ于点
Ｆ，ＢＦ＝１６，则ＤＥ的长为
（Ｃ）
Ａ．６
Ｂ．７
Ｃ．８
Ｄ．９
"
$
&
'
%
#
第１０题图
"
$
%
#
第１１题图
１１．「2025 河北石家庄二中月考，
」如图，△ＡＢＣ与
△ＢＣＤ均为等腰三角形，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ＝ＢＣ，ＡＣ∥
ＢＤ．若∠ＡＢＤ＝４０°，则∠Ｄ的度数为
（Ｂ）
Ａ．２０°
Ｂ．３５°
Ｃ．４０°
Ｄ．６０°
１２．新
考向
数学文化「2025 浙江台州期末，
」“三等分角”大约
是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如
图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三
等分角仪由两根有槽的棒ＯＡ，ＯＢ组成，两根棒在
Ｏ处相连并可绕Ｏ转动，Ｃ固定，ＯＣ＝ＣＤ＝ＤＥ，
Ｄ，Ｅ可在槽中滑动，若∠ＢＤＥ＝６９°，则∠ＣＤＥ的
度数是
（Ｄ）
"
$
%
&
0
#
Ａ．６０°
Ｂ．６９°
Ｃ．７６°
Ｄ．８８°
１３．「2024 四川内江中考，
」如图，在△ＡＢＣ中，∠ＤＣＥ
＝４０°，ＡＥ＝ＡＣ，ＢＣ＝ＢＤ，则∠ＡＣＢ的度数
为１００° ．
"
$
%
&
#
１４．「2024 山西太原十五中月考，
」如图，已知∠ＢＡＣ＝
８０°，Ａ１，Ｂ１分别是射线ＡＣ，线段Ａ１Ｂ上的点，且
Ａ１Ｂ＝ＡＢ，Ａ２，Ｂ２分别是射线Ａ１Ｃ，线段Ａ２Ｂ１上的
点，且Ａ１Ａ２＝Ａ１Ｂ１，以此类推．
（１）根据上述条件，∠Ａ３Ａ４Ｂ３的度数为１０° ．
（２）∠Ａｎ－１ＡｎＢｎ－１（ｎ≥２）的度数为
１
２
ｎ－１×８０° ．
б ͞
１５．新
课标
推理能力「2025 山东日照期中」探究与发现：
如图①，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ
＝ＡＣ，点Ｄ在底边ＢＣ上，ＡＥ＝ＡＤ，连接ＤＥ．
（１）当∠ＢＡＤ＝６０°时，求∠ＣＤＥ的度数．
（２）当点Ｄ在ＢＣ（点Ｂ、Ｃ除外）上运动时，试猜
想并探究∠ＢＡＤ与∠ＣＤＥ的数量关系．
（３）深入探究：若∠ＢＡＣ≠９０°，其他条件不变，试
就图②探究∠ＢＡＤ与∠ＣＤＥ的数量关系．
"
$
%
&
#
图①
"
$
%
&
#
图②
见答案册Ｄ２９
᮰
6
等腰三角形的判定方法有两种：（１）定义法，证三角形中有两条边相等；（２）判定定理法，证一个三角形有两个角
相等．
第
十
五
章
轴
对
称
４３
第2 课时 等腰三角形的判定
ۻᆱ݆
知识点 等腰三角形的判定
１．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＝３６°，ＢＤ是△ＡＢＣ
的角平分线，则图中的等腰三角形共有
（Ｃ）
"
$
%
#
Ａ．１个
Ｂ．２个
Ｃ．３个
Ｄ．４个
２．在△ＡＢＣ中，∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ所对的边分别是ａ，ｂ，ｃ，则
下列条件中，不能判定△ＡＢＣ是等腰三角形的是
（Ｂ）
Ａ．∠Ａ∶∠Ｂ∶∠Ｃ＝２∶２∶５
Ｂ．ａ∶ｂ∶ｃ＝３∶４∶５
Ｃ．ａ＝５，ｂ＝６，ｃ＝５
Ｄ．∠Ａ＝４０°，∠Ｂ＝１００°
３．
学科
特色
教材
变式如图，一艘海轮位于灯塔Ｐ的南偏东７０°方
向的Ｍ处，它以每小时４０海里的速度向正北方向
航行，２小时后到达位于灯塔Ｐ的北偏东４０°的Ｎ
处，则Ｎ处与灯塔Ｐ的距离为８０海里．
第３题图
"
$
%
&
#
第４题图
４．「2025 广东潮州期末」如图，在△ＡＢＣ的ＢＣ边上截取
ＢＥ＝ＡＢ，连接ＡＥ，作△ＡＢＥ的角平分线ＢＤ交ＡＥ
于点Ｄ，若∠ＥＡＣ＝∠Ｃ，ＢＣ＝９，ＡＢ＝５，则ＡＤ＝２．
５．新
考向
尺规作图「2024 山东济南期末」尺规作图：已知一个等
腰三角形底边及底边上的高，求作这个等腰三
角形．
已知：如图，线段ａ，ｈ．
求作：△ＡＢＣ，使ＡＢ＝ＡＣ，且ＢＣ＝ａ，高ＡＤ＝ｈ．
（要求：保留作图的痕迹，写出结论，但不要求写出
作法）
见答案册Ｄ２９
６．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｍ、Ｎ分别是ＡＢ、ＡＣ边
上的点，并且ＭＮ∥ＢＣ．
（１）求证：△ＡＭＮ是等腰三角形．
（２）点Ｐ是ＭＮ上的一点，并且ＢＰ平分∠ＡＢＣ，求
证：△ＢＰＭ是等腰三角形．
证明 （１）∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠ＡＢＣ＝∠Ｃ，
∵ＭＮ∥ＢＣ，∴∠ＡＭＮ＝∠ＡＢＣ，∠ＡＮＭ＝∠Ｃ，
∴∠ＡＭＮ＝∠ＡＮＭ，∴ＡＭ＝ＡＮ，
∴△ＡＭＮ是等腰三角形．
（２）∵ＢＰ平分∠ＡＢＣ，∴∠ＭＢＰ＝∠ＣＢＰ，∵ＭＮ∥ＢＣ，
∴∠ＭＰＢ＝∠ＣＢＰ，∴∠ＭＢＰ＝∠ＭＰＢ，∴ＭＢ＝ＭＰ，
∴△ＢＰＭ是等腰三角形．
ᑧү Ӭ
７．「2025 内蒙古呼和浩特期中，
」如图，在△ＡＢＣ中，ＢＤ
平分∠ＡＢＣ，ＡＤ⊥ＢＤ，∠ＣＡＤ＝∠Ｃ，若ＡＢ＝５，ＡＤ＝
２，则ＢＣ的长为
（Ｄ）
Ａ．６
Ｂ．７
Ｃ．８
Ｄ．９
"
$
%
#
第７题图
0
1
Y
Z
第８题图
８．「2025 山西晋中期末，
」如图，在平面直角坐标系中
有一点Ｐ（４，３），连接ＯＰ，ＯＰ＝５，在ｘ轴上找一点
Ｑ，使△ＯＰＱ是以ＯＰ为腰的等腰三角形，则点Ｑ
的坐标不能是
（Ｄ）
Ａ．（－５，０）
Ｂ．（５，０）
Ｃ．（８，０）
Ｄ．２５
８，０
æ
è
ç
ö
ø
÷
᮰
6
在有关等腰三角形的角度计算中，如果题目中的相等关系比较多，常利用方程思想求解．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
４４
９．
学科
特色
分类讨论
思想
「2025 浙江杭州月考改编，
」如图，在△ＡＢＣ
中，ＡＢ＝２，∠Ｂ＝∠Ｃ＝４０°，点Ｄ在线段ＢＣ上运动
（Ｄ不与Ｂ、Ｃ重合），连接ＡＤ，作∠ＡＤＥ＝４０°，ＤＥ
交线段ＡＣ于点Ｅ．
（１）当ＤＣ等于多少时，△ＡＢＤ≌△ＤＣＥ？请写出
完整的证明过程．
（２）在点Ｄ的运动过程中，△ＡＤＥ的形状也在改
变，问当∠ＢＤＡ等于多少度时，△ＡＤＥ为等腰
三角形？
"
&
$
#
%
cc
见答案册Ｄ３０
б ͞
１０．新
课标
几何直观如果一个三角形能被一条线段分割成两
个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的
特异线，称这个三角形为特异三角形．
（１）如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝２∠Ｃ，线段ＡＣ的垂直
平分线交ＡＣ于点Ｄ，交ＢＣ于点Ｅ，连接ＡＥ，求
证：ＡＥ是△ＡＢＣ的一条特异线．
（２）若△ＡＢＣ是特异三角形，∠Ａ＝３０°，∠Ｂ为钝
角，求出所有可能的∠Ｂ的度数．
见答案册Ｄ３０
微专题
角平分线＋平行线→等腰三角形
１．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ的平分线与△ＡＢＣ的
外角平分线交于点Ｄ，过点Ｄ作ＥＦ∥ＢＣ，交ＡＢ
于Ｅ，交ＡＣ于Ｆ，若ＢＥ＝８，ＣＦ＝６，则ＥＦ的长
是２．
２．「2025 湖北襄阳期中」如图，在△ＡＢＣ中，ＡＤ平分
∠ＢＡＣ，过线段ＣＤ上一点Ｅ作ＥＧ∥ＡＤ，交ＡＣ于
点Ｆ，交ＢＡ的延长线于点Ｇ．
（１）求证：△ＡＦＧ是等腰三角形．
（２）若ＣＥ＝ＥＦ，∠ＢＡＣ＝８０°，求∠Ｂ的度数．
"
'
(
& $
#
%
解析 （１）证明：∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，
∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ．
∵ＥＧ∥ＡＤ，
∴∠ＢＡＤ＝∠Ｇ，∠ＣＡＤ＝∠ＡＦＧ，
∴∠Ｇ＝∠ＡＦＧ，
∴ＡＧ＝ＡＦ，
∴△ＡＦＧ是等腰三角形．
（２）∵ＣＥ＝ＥＦ，
∴∠ＣＦＥ＝∠Ｃ．
∵∠ＡＦＧ＝∠ＣＦＥ，∠ＡＦＧ＝∠ＣＡＤ，
∴∠Ｃ＝∠ＣＡＤ．
∵∠ＢＡＣ＝８０°，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，
∴∠Ｃ＝∠ＣＡＤ＝４０°，
∴∠Ｂ＝１８０°－∠ＢＡＣ－∠Ｃ＝６０°．
᮰
6
等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质，特别是“三线合一”的性质，在每条边上都成立．
第
十
五
章
轴
对
称
４５
１５．３．２ 等边三角形
第1 课时 等边三角形的性质与判定
ۻᆱ݆
知识点１ 等边三角形的概念及性质
１．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边
△ＡＢＣ上，若∠１＝２４°，则∠２的度数为
（Ｂ）
Ａ．２４°
Ｂ．３６°
Ｃ．４８°
Ｄ．５６°
"
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#
第１题图
"
$
%
&
#
第２题图
２．「2025 贵州黔东南州期末」如图，ＡＤ是等边△ＡＢＣ的一
条中线，若在边ＡＣ上取一点Ｅ，使得ＡＥ＝ＡＤ，连接
ＤＥ，则∠ＥＤＣ的度数为
（Ｄ）
Ａ．３０°
Ｂ．２０°
Ｃ．２５°
Ｄ．１５°
３．
学科
特色
一线三等
角模型
如图，点Ｄ，Ｅ，Ｆ分别为
等边△ＡＢＣ三边ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ上
的动点，当△ＤＥＦ为等边三角
形时，ＡＤ＝３，则线段ＣＦ的长为
３．
４．
学科
特色
教材
变式如图，△ＡＢＣ是等边三角形，ＢＤ是ＡＣ边上
的高，延长ＢＣ至Ｅ，连接ＤＥ，使ＤＢ＝ＤＥ．
（１）求∠ＢＤＥ的度数．
（２）求证：△ＣＥＤ是等腰三角形．
解析 （１）∵△ＡＢＣ是等边三角形，
∴∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ＝６０°，
∵ＢＤ是ＡＣ边上的高，∴∠ＤＢＥ＝３０°，
∵ＤＢ＝ＤＥ，∴∠Ｅ＝∠ＤＢＥ＝３０°，
∴∠ＢＤＥ＝１８０°－３０°－３０° ＝１２０°．
（２）证明：∵∠ＡＣＢ＝６０°，∠Ｅ＝３０°，
∴∠ＣＤＥ＝∠ＡＣＢ－∠Ｅ＝３０°，∴∠ＣＤＥ＝∠Ｅ，
∴ＣＤ＝ＣＥ，∴△ＣＥＤ是等腰三角形．
知识点２ 等边三角形的判定
５．「2025 云南昆明期末」下列条件不能判定△ＡＢＣ是等
边三角形的是
（Ｄ）
Ａ．∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ
Ｂ．ＡＢ＝ＢＣ，ＡＣ＝ＢＣ
Ｃ．ＡＢ＝ＢＣ，∠Ｂ＝６０°
Ｄ．ＡＢ＝ＢＣ，∠Ａ＝∠Ｃ
６．「2025 天津和平期末」如图，工人在某施工现场作业，有
一个长为１．６米的梯子（图中ＣＭ）斜靠在墙上，此时
梯子的倾斜角为７５°，如果梯子底端不动，顶端靠在对
面的墙上，此时梯子（图中ＣＮ）的倾斜角为４５°，那么
ＭＮ的长是１．６米．
"
.
/
$
#
c c
７．「2025 江苏南京师大附中月考」如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝
ＡＣ，∠ＢＡＣ＝１２０°，ＡＢ、ＡＣ边的垂直平分线分别交
ＢＣ于点Ｅ、Ｄ，连接ＡＥ、ＡＤ．求证：△ＡＥＤ是等边三
角形．
"
$
%
&
#
证明 ∵ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝１２０°，
∴∠Ｂ＝∠Ｃ＝１
２×（１８０°－１２０°）＝３０°，
∵ＡＢ、ＡＣ边的垂直平分线分别交ＢＣ于点Ｅ、Ｄ，
∴ＡＥ＝ＢＥ，ＡＤ＝ＣＤ，
∴∠ＢＡＥ＝∠Ｂ＝３０°，∠ＣＡＤ＝∠Ｃ＝３０°，
∴∠ＡＥＤ＝∠Ｂ＋∠ＢＡＥ＝６０°，∠ＡＤＥ＝∠Ｃ＋∠ＣＡＤ
＝６０°，
∴∠ＤＡＥ＝１８０°－∠ＡＥＤ－∠ＡＤＥ＝６０°，
∴△ＡＤＥ是等边三角形．
᮰
6
等边三角形的判定：三角形有三等边，可由定义去判断；一角等于六十度，两边相等也能判；若有两角六十度，必为
等边三角形．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
４６
ᑧү Ӭ
８．「2024 山东泰安中考，
」如图，直线ｌ∥ｍ，等边三角
形ＡＢＣ的两个顶点Ｂ，Ｃ分别落在直线ｌ，ｍ上，若
∠ＡＢＥ＝２１°，则∠ＡＣＤ的度数是
（Ｂ）
Ａ．４５°
Ｂ．３９°
Ｃ．２９°
Ｄ．２１°
"
$
N
M
%
&
#
第８题图
第９题图
９．「2023 江西中考，
」将含３０°角的直角三角尺和直
尺按如图所示的方式放置，已知∠α ＝６０°，点Ｂ，Ｃ
表示的刻度分别为１ｃｍ，３ｃｍ，则线段ＡＢ的长为
２ｃｍ．
１０．「
」如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝６０°，ＡＢ＝５，ＢＥ
平分△ＡＢＣ的外角∠ＡＢＤ，ＡＥ∥ＢＤ交ＢＥ于Ｅ，
则△ＡＢＥ的周长是１５．
１１．「2025 山东聊城期末，
」如图所示的是某种落地
灯的简易示意图，已知悬杆的ＣＤ部分的长度与
支杆ＢＣ的长度相等，点Ｅ在ＤＣ的延长线上，
且∠ＢＣＥ＝２∠ＢＣＤ，若ＣＤ的长度为３０ｃｍ，则此
时Ｂ，Ｄ两点之间的距离为３０
ｃｍ．
"
$
%
&
#
１２．「2025 河南开封期末，
」如图，在四边形ＡＢＣＤ中，
ＡＢ＝ＡＤ，ＣＢ＝ＣＤ，∠Ａ＝６０°，点Ｅ为ＡＤ上一点，
连接ＢＤ，ＣＥ交于点Ｆ，ＣＥ∥ＡＢ．
（１）判断△ＤＥＦ的形状，并说明理由．
（２）若ＡＤ＝１２，ＣＥ＝７，求ＣＦ的长．
"
$
%
&
'
#
解析 （１）△ＤＥＦ是等边三角形．理由：
∵ＡＢ＝ＡＤ，∠Ａ＝６０°，
∴△ＡＢＤ为等边三角形，
∴∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＤ＝６０°，
∵ＣＥ∥ＡＢ，
∴∠ＤＥＦ＝∠Ａ＝６０°，∠ＥＦＤ＝∠ＡＢＤ＝６０°，
∴△ＤＥＦ是等边三角形．
（２）如图，连接ＡＣ交ＢＤ于点Ｏ，
"
$
%
&
'
0
#
∵ＡＢ＝ＡＤ，ＣＢ＝ＣＤ，
∴ＡＣ垂直平分ＢＤ，
∴ＡＯ⊥ＢＤ，
∴∠ＢＡＯ＝∠ＤＡＯ＝３０°，
∵ＣＥ∥ＡＢ，
∴∠ＡＣＥ＝∠ＢＡＯ＝∠ＤＡＯ，
∴ＡＥ＝ＣＥ＝７，∴ＤＥ＝ＡＤ－ＡＥ＝１２－７＝５，
∵△ＤＥＦ是等边三角形，
∴ＥＦ＝ＤＥ＝５，∴ＣＦ＝ＣＥ－ＥＦ＝２．
б ͞
１３．新
课标
几何直观「2025 河南信阳期中」如图，点Ｏ是
等边△ＡＢＣ内的一点，Ｄ是△ＡＢＣ外的
一点，∠ＡＯＢ＝１１０°，∠ＢＯＣ＝α，△ＢＯＣ≌△ＡＤＣ，
连接ＯＤ．
（１）求证：△ＯＣＤ是等边三角形．
（２）当α＝１５０°时，试判断△ＡＯＤ的形状，并说明
理由．
（３）当α 为多少度时，△ＡＯＤ是等腰三角形？
"
$
%
0
c
#
ĉ
见答案册Ｄ３２
᮰
6
若已知条件中出现３０°或６０°角，通常考虑作垂线，构造直角三角形．当出现１５°角时，可以通过作等腰三角形的外角
得到３０°的角．
第
十
五
章
轴
对
称
４７
第2 课时 含30°角的直角三角形的性质
ۻᆱ݆
知识点 含３０°角的直角三角形的性质
１．「2023 贵州中考」２０２３年５月２６日，“２０２３中国国际
大数据产业博览会” 在贵阳开幕，在“自动化立体
库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模
型（示意图如图所示），它的顶角为１２０°，腰长为１２
ｍ，则底边上的高是
（Ｂ）
Ａ．４ｍ
Ｂ．６ｍ
Ｃ．１０ｍ
Ｄ．１２ｍ
"
$
#
第１题图
"
$
%
#
第２题图
２．「2025 四川广安期末」如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，
∠Ａ＝１５°，∠ＤＢＣ＝６０°，ＢＣ＝１，则ＡＤ的长为
（Ｂ）
Ａ．１．５
Ｂ．２
Ｃ．３
Ｄ．４
３．
学科
特色
教材
变式如图所示的是屋架设计图的一部分，点Ｄ是
斜梁ＡＢ的中点，立柱ＢＣ，ＤＥ分别垂直于横梁ＡＣ，
若ＤＥ＝１．８ｍ，∠Ａ＝３０°，则斜梁ＡＢ的长为
７．２ｍ．
４．「2025 河南商丘月考」如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝３０°，ＢＣ
的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，垂足为Ｄ，ＣＥ平
分∠ＡＣＢ．
（１）求∠Ａ的度数．
（２）若ＢＥ＝４，求ＡＥ的长．
"
&
$
%
#
解析 （１）∵ＥＤ垂直平分ＢＣ，
∴ＥＣ＝ＥＢ，
∴∠ＥＣＤ＝∠Ｂ＝３０°，
又∵ＣＥ平分∠ＡＣＢ，
∴∠ＡＣＥ＝∠ＥＣＢ＝３０°，
∴∠Ａ＝１８０°－（∠Ｂ＋∠ＡＣＥ＋∠ＥＣＢ）＝９０°．
（２）∵ＥＤ垂直平分ＢＣ，
∴ＥＣ＝ＥＢ＝４，
由（１）知∠Ａ＝９０°，∠ＡＣＥ＝３０°，
∴ＡＥ＝１
２ＥＣ＝２．
ᑧү Ӭ
５．「2025 天津外国语学校期末，
」如图所示，在△ＡＢＣ
中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ，若∠Ｂ＝３０°，ＢＣ＝
８ｃｍ，则ＢＤ的长为
（Ｂ）
"
$
%
#
Ａ．７ｃｍ
Ｂ．６ｃｍ
Ｃ．５．５ｃｍ
Ｄ．５ｃｍ
６．「
」如图，杆ＡＢ可以绕转轴Ａ点在竖直平面内
自由转动，在Ａ点正上方固定一个小定滑轮，细绳
通过定滑轮与杆的另一端Ｂ相连，并将杆ＡＢ从水
平位置缓慢向上拉起．已知ＡＢ＝ＡＣ，当杆ＡＢ与水
平面夹角为３０°时，测得ＢＣ＝８ｄｍ，则点Ｂ到ＡＤ
的距离为４ｄｍ．
７．「2025 山东威海期中，
」在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是
ＢＣ边上任意一点，过点Ｄ分别向ＡＣ，ＡＢ作垂线，
垂足分别为Ｅ，Ｆ．
（１）当点Ｄ在ＢＣ的什么位置时，ＤＥ＝ＤＦ？并说明
理由．
（２）在（１）的条件下，若∠ＢＡＣ＝１２０°，ＡＥ＝８，求ＣＥ
的长．
" &
'
$
%
#
见答案册Ｄ３３
᮰
6
等腰三角形：已知两边求周长，底腰未定需思量．出现两边先判定，底腰大小要分清．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
４８
专项突破５ 分类讨论思想在等腰三角形中的应用
练题型
题型１ 底角或腰不确定时分类讨论
１．等腰三角形的一个外角等于１００°，则与它不相邻
的两个内角的度数分别为
（Ｄ）
Ａ．２０°，８０°
Ｂ．５０°，５０°
Ｃ．８０°，８０°
Ｄ．２０°，８０°或５０°，５０°
２．「2025 广西钦州期中」如图，在３×３的正方形网格中，
Ａ，Ｂ两点都在小方格的格点上，若点Ｃ也在格点
上，且△ＡＢＣ是等腰三角形，那么符合题意的点Ｃ
共有
（Ｃ）
"
#
Ａ．１个
Ｂ．２个
Ｃ．３个
Ｄ．４个
３．「2025 山东青岛二十六中月考」数学课上，张老师举了下
面的例题：
例１：在等腰三角形ＡＢＣ中，∠Ａ＝１１０°，求∠Ｂ的
度数．（答案：３５°）
例２：在等腰三角形ＡＢＣ中，∠Ａ＝４０°，求∠Ｂ的度
数．（答案：４０°或７０°或１００°）
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式：在等腰三角形ＡＢＣ中，∠Ａ＝８０°，求∠Ｂ的
度数．
（１）变式中∠Ｂ的度数为
．
（２）解答完（１）后，小敏发现，∠Ａ的度数不同，得
到∠Ｂ的度数的个数也可能不同．如果在等腰
三角形ＡＢＣ中，设∠Ａ＝ｘ°，当∠Ｂ有三个不同
的度数时，请你探索ｘ的取值范围．
解析 （１）若∠Ａ为顶角，则∠Ｂ＝１
２×（１８０°－８０°）
＝５０°，
若∠Ａ为底角，∠Ｂ为顶角，则∠Ｂ＝１８０° －２× ８０°
＝２０°，
若∠Ａ为底角，∠Ｂ为底角，则∠Ｂ＝８０°，
∴∠Ｂ＝５０°或２０°或８０°．
（２）分两种情况：
①当９０≤ｘ＜１８０时，∠Ａ只能为顶角，
∴∠Ｂ的度数只有一个；
②当０＜ｘ＜９０时，
若∠Ａ为顶角，则∠Ｂ＝１８０－ｘ
２
æ
è
ç
ö
ø
÷ °，
若∠Ａ为底角，则∠Ｂ＝ｘ°或∠Ｂ＝（１８０－２ｘ）°，
当１８０－ｘ
２
≠１８０－２ｘ且１８０－ｘ
２
≠ｘ且１８０－２ｘ≠ｘ，即ｘ
≠６０时，∠Ｂ有三个不同的度数．
综上，当０＜ｘ＜９０且ｘ≠６０时，∠Ｂ有三个不同的
度数．
题型２ 高的位置不确定时分类讨论
４．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为４５°，求
这个三角形的底角的度数．
见答案册Ｄ３３
题型３ 腰的垂直平分线不确定时分类讨论
５．「2025 四川成都七中月考」等腰△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＢ
边的垂直平分线交ＡＢ于点Ｄ，交直线ＡＣ于点Ｅ，
连接ＢＥ，若∠ＢＥＤ＝５０°，求∠ＡＢＣ的度数．
见答案册Ｄ３３
᮰
6
图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对折以后关系现．角平分线平行线，等腰三角形来添；角平分
线加垂线，三线合一试试看．
第
十
五
章
轴
对
称
４９
专项突破６ 构造等腰三角形的常用方法练方法
方法１ 等腰三角形＋平行线→等腰三角形
模型总结
①作腰的平行线 ②作底边的平行线
"
#
$
%
&
若ＡＢ＝ＡＣ，ＤＥ∥ＡＣ，
则△ＢＤＥ为等腰三
角形．
&
"
#
$
%
若ＡＢ＝ＡＣ，ＤＥ∥ＢＣ，
则△ＡＤＥ为等腰三
角形．
１．「2025 四川自贡期末」如图，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ在
ＡＢ边上，点Ｅ在ＡＣ的延长线上，连接ＤＥ交ＢＣ于
点Ｆ，ＥＦ＝ＤＦ，求证：ＣＥ＝ＢＤ．
"
#
$
%
'
&
见答案册Ｄ３４
２．「2025 浙江宁波外国语学校月考」如图，△ＡＢＣ中，ＣＡ＝
ＣＢ，Ｄ在ＡＣ的延长线上，Ｅ在ＢＣ上，且ＣＤ＝ＣＥ，
求证：ＤＥ⊥ＡＢ．
"
#
$
%
&
"
#
$
.
%
&
证明 如图，过点Ｄ作ＤＭ∥ＡＢ
交ＢＣ的延长线于点Ｍ．
∵ＣＡ＝ＣＢ，∴∠Ａ＝∠Ｂ．
∵ＣＤ＝ＣＥ，∴∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ．
∵ＤＭ∥ＡＢ，∴∠ＣＭＤ＝∠Ｂ＝∠Ａ＝∠ＭＤＡ．
∵∠ＭＤＣ＋∠ＣＤＥ＋∠ＤＥＣ＋∠ＤＭＣ＝１８０°，
∴２∠ＭＤＣ＋２∠ＣＤＥ＝１８０°．
∴∠ＭＤＣ＋∠ＣＤＥ＝９０°．
∴∠ＭＤＥ＝９０°，∴ＤＥ⊥ＭＤ．
∵ＤＭ∥ＡＢ，∴ＤＥ⊥ＡＢ．
方法２ 角平分线＋垂线→等腰三角形
模型总结
若ＯＣ平分∠ＡＯＢ，ＥＤ⊥ＯＣ，延长ＥＤ交ＯＢ于点Ｆ，
则△ＯＥＤ≌△ＯＦＤ，△ＯＥＦ是等腰三角形．
'
0
"
#
$
%
&
３．「2025 江苏南京一中月考」如图，Ｄ为△ＡＢＣ内一点，ＣＤ
平分∠ＡＣＢ，ＢＤ⊥ＣＤ，∠Ａ＝∠ＡＢＤ，若ＢＤ＝１，ＢＣ＝
３，则ＡＣ的长为５．
"
#
$
%
４．「2025 重庆西南大学附中月考」如图，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，
∠ＢＡＣ＝９０°，ＣＤ平分∠ＡＣＢ，ＢＥ⊥ＣＤ于Ｅ，求证：
ＣＤ＝２ＢＥ．
"
#
&
$
%
证明 如图，延长ＢＥ交ＣＡ的延长线于Ｆ，
"
'
#
&
$
%
∵ＣＤ平分∠ＡＣＢ，∴∠ＦＣＥ＝∠ＢＣＥ，
在△ＣＥＦ和△ＣＥＢ中，
∠ＦＣＥ＝∠ＢＣＥ，
ＣＥ＝ＣＥ，
∠ＣＥＦ＝∠ＣＥＢ＝９０°，
ì
î
í
ïï
ïï
∴△ＣＥＦ≌△ＣＥＢ（ＡＳＡ），∴ＦＥ＝ＢＥ＝１
２ＢＦ，
∵∠ＤＡＣ＝∠ＣＥＦ＝∠ＢＡＦ＝９０°，∴∠ＡＣＤ＋∠Ｆ＝
∠ＡＢＦ＋∠Ｆ＝９０°，∴∠ＡＣＤ＝∠ＡＢＦ，
在△ＡＣＤ和△ＡＢＦ中，
∠ＡＣＤ＝∠ＡＢＦ，
ＡＣ＝ＡＢ，
∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＦ，
ì
î
í
ïï
ïï
∴△ＡＣＤ≌△ＡＢＦ（ＡＳＡ），∴ＣＤ＝ＢＦ，∴ＣＤ＝２ＢＥ．
᮰
6
等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半；等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上
的高（可用等面积法证明）．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
５０
方法３ 截长补短→等腰三角形
模型总结
如果题干中或待证明的问题中出现几条线段之间的
和差关系，一般考虑截长补短作辅助线解题．
在△ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ．
如图１，在线段ＢＤ上取一点Ｅ，使ＤＥ＝ＤＣ，连接ＡＥ，
则△ＡＣＥ是等腰三角形．
如图２，延长ＢＣ到点Ｅ，使ＤＥ＝ＢＤ，连接ＡＥ，则
△ＡＢＥ是等腰三角形．
"
#
$
%
&
图１
"
#
$
%
&
图２
５．如图，ＡＤ⊥ＢＣ于Ｄ，且ＤＣ＝ＡＢ＋ＢＤ，若∠Ｃ＝２６°，
求∠ＢＡＣ的度数．
"
#
$
%
请按所给思路分别解答：
思路一：在ＤＣ上截取ＤＥ＝ＢＤ，连接ＡＥ．
思路二：延长ＤＢ到Ｆ，使得ＢＦ＝ＡＢ，连接ＡＦ．
解析 思路一：如图，
"
#
$
%
&
∵ＤＣ＝ＡＢ＋ＢＤ，ＢＤ＝ＤＥ，∴ＡＢ＝ＣＥ．
∵ＡＤ⊥ＢＥ，ＢＤ＝ＤＥ，
∴ＡＢ＝ＡＥ．∴∠Ｂ＝∠ＡＥＤ，ＡＥ＝ＣＥ．
∴∠ＥＡＣ＝∠Ｃ＝２６°．
∴∠ＡＥＤ＝∠ＥＡＣ＋∠Ｃ＝５２°．∴∠Ｂ＝５２°．
∴∠ＢＡＣ＝１８０°－∠Ｂ－∠Ｃ＝１８０°－５２°－２６° ＝１０２°．
思路二：如图，
"
#
'
$
%
∵ＢＦ＝ＡＢ，ＤＣ＝ＢＤ＋ＡＢ，∴ＤＦ＝ＣＤ．
∵ＡＤ⊥ＢＣ，∴ＡＦ＝ＡＣ．∴∠ＢＡＦ＝∠Ｆ＝∠Ｃ＝２６°．
∴∠ＢＡＣ＝１８０°－∠Ｃ－∠Ｆ－∠ＢＡＦ＝１８０°－２６°－２６°
－２６° ＝１０２°．
方法４ 倍角关系→等腰三角形
模型总结
在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝２∠ＡＣＢ．
如图１，作ＢＤ平分∠ＡＢＣ，则△ＤＢＣ是等腰三角形．
如图２，延长ＣＢ至点Ｄ，使ＢＤ＝ＢＡ，连接ＡＤ，则
△ＡＤＢ，△ＡＤＣ是等腰三角形．
如图３，作∠ＡＣＤ＝∠ＡＣＢ，交ＢＡ的延长线于点Ｄ，则
△ＤＢＣ是等腰三角形．
"
#
$
%
图１
"
#
$
%
图２
"
#
$
%
图３
６．数学老师给爱好学习的小敏和小洁提出这样一个
问题：如图１，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝２∠Ｃ，ＡＤ是∠ＢＡＣ
的平分线．求证：ＡＢ＋ＢＤ＝ＡＣ．
小敏的证明思路：在ＡＣ上截取ＡＥ＝ＡＢ，连接ＤＥ
（如图２）．
小洁的证明思路：延长ＣＢ至点Ｅ，使ＢＥ＝ＡＢ，连接
ＡＥ（如图３）．
请你任意选择一种思路完成证明．
"
#
$
%
图１
"
#
$
%
&
图２
"
#
$
%
&
图３
见答案册Ｄ３５
᮰
6
成功者一遇到问题就会马上动手去解决，他们不花费时间去发愁，因为发愁不能解决任何问题，只会不断增加忧
虑，浪费时间．
第
十
五
章
轴
对
称
５１
第十五章自主检测
范围：轴对称
满分
１００分
限时
４０分钟
一、选择题（每小题５分，共４０分）
１．新
课标
中华优秀传统文化「2025 云南昆明期末」窗花是中国古老的
民间艺术之一，美术老师让同学们设计窗花，下列
的窗花图案为轴对称图形的是
（Ｃ）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
"
%
#
$
２．如图，衣架可以看成一个等腰三角
形ＡＢＣ，其中ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ于点
Ｄ，若ＢＣ＝４４ｃｍ，则ＢＤ的长为
（Ｃ）
Ａ．４４ｃｍ
Ｂ．４０ｃｍ
Ｃ．２２ｃｍ
Ｄ．２０ｃｍ
３．「2025 山西太原期末」已知点Ａ（ｍ－１，３）与点Ｂ（２，ｎ－
１）关于ｘ轴对称，则（ｍ＋ｎ）
２０２５的值为
（Ｂ）
Ａ．０
Ｂ．１
Ｃ．－１
Ｄ．３
２０２５
４．如图，直线ａ∥ｂ，直线ｌ与直线ａ，ｂ分别相交于点
Ａ，Ｂ，点Ｃ在直线ｂ上，且ＣＡ＝ＣＢ．若∠１＝３２°，则
∠２的度数为
（Ｃ）
Ａ．３２°
Ｂ．５８°
Ｃ．７４°
Ｄ．７５°
"
M
B
C
#
$
第４题图
%
&
#
"
$
第５题图
５．「2025 福建漳州期末」如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ
在ＢＣ的延长线上，观察图中尺规作图的痕迹，则
下列结论正确的是
（Ｄ）
Ａ．ＡＢ∥ＣＥ
Ｂ．∠Ｂ与∠ＡＣＥ是同旁内角
Ｃ．∠ＤＣＥ＝６０°
Ｄ．∠Ａ＝∠ＤＣＥ
６．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｃ＝７０°，△ＡＦＧ与
△ＡＢＣ关于直线ＤＥ成轴对称，∠ＣＡＥ＝１０°，连接
ＢＦ，则∠ＡＢＦ的度数是
（Ｃ）
Ａ．３０°
Ｂ．３５°
Ｃ．４０°
Ｄ．４５°
%
&
#
$
(
'
"
第６题图
%
&
#
$
'
"
第７题图
７．如图，△ＡＢＣ中，Ｄ点在ＢＣ上，且ＢＤ的垂直平分
线与ＡＢ相交于Ｅ点，ＣＤ的垂直平分线与ＡＣ相交
于Ｆ点，已知△ＡＢＣ的三个内角都不相等，根据图
中标示的角，判断下列叙述正确的是
（Ｃ）
Ａ．∠１＝∠３，∠２＝∠４
Ｂ．∠１＝∠３，∠２≠∠４
Ｃ．∠１≠∠３，∠２＝∠４
Ｄ．∠１≠∠３，∠２≠∠４
８．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ和
∠ＡＣＢ的平分线相交于点Ｏ，
过点Ｏ作ＥＦ∥ＢＣ交ＡＢ于Ｅ，
交ＡＣ于Ｆ，过点Ｏ作ＯＤ⊥ＡＣ于Ｄ，下列结论错误
的是
（Ｄ）
Ａ．ＥＦ＝ＢＥ＋ＣＦ
Ｂ．∠ＢＯＣ＝９０°＋１
２∠Ａ
Ｃ．点Ｏ到△ＡＢＣ各边的距离相等
Ｄ．设ＯＤ＝ｍ，ＡＥ＋ＡＦ＝ｎ，则Ｓ△ＡＥＦ＝ｍｎ
二、填空题（每小题５分，共２０分）
%
#
$
&
"
1
９．「2025 江苏盐城期末」如图，在△ＡＢＣ
中，ＡＣ的垂直平分线ＰＤ与ＢＣ的
垂直平分线ＰＥ交于点Ｐ，垂足分别
为Ｄ，Ｅ，连接ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ，若∠ＡＢＣ
＝４８°，则∠ＰＡＤ＝４２°．
᮰
6
等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形的重心、内心、外心、垂心重合于一点，该点称为等边三角形的中心．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
５２
%
#
$
"
1
１０．新
考向
尺规作图如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，
∠Ａ＝３６°，点Ｄ、Ｐ分别是图中所作直
线和射线与ＡＢ、ＣＤ的交点．根据图中
尺规作图的痕迹推断，∠ＢＰＣ
＝１０８°．
１１．「2025 广东佛山期末」如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝３０°，
点Ｄ是ＡＣ的中点，ＤＥ⊥ＡＣ交ＢＣ于Ｅ，点Ｏ在
ＤＥ上，ＯＡ＝ＯＢ，ＯＤ＝１，ＯＥ＝２，则ＢＥ的长为４．
#
$
"
%
&
0
第１１题图
#
$
"
2
0
1
第１２题图
１２．「2025 山东青岛期末」如图，∠ＡＯＢ＝６０°，Ｃ是ＢＯ延
长线上的一点，ＯＣ＝１０ｃｍ，动点Ｐ从点Ｃ出发沿
ＣＢ以２ｃｍ／ｓ的速度移动，动点Ｑ从点Ｏ出发沿
ＯＡ以１ｃｍ／ｓ的速度移动，如果点Ｐ、Ｑ同时出发，
用ｔ（ｓ）表示移动的时间，当ｔ＝
１０
３或１０
时，
△ＰＯＱ是等腰三角形．
三、解答题（共４０分）
１３．（１２分）如图，在平面直角坐标系中，Ａ（－２，２），Ｂ
（－４，－２）．
（１）用无刻度直尺作出线段ＡＢ的垂直平分线．
（２）将点Ｂ先向右平移９个单位，再向上平移１
个单位得到点Ｃ，则点Ｃ的坐标为
．
（３）点Ｄ与点Ａ关于ｙ轴对称，在直角坐标系中找
#
Z
Y
"
0
一点Ｐ，使它到Ａ，Ｄ，Ｃ
三点的距离相等，则Ｐ
点坐标为
，
并将点Ｐ在图中表示
出来．
见答案册Ｄ３６
１４．「2025 江西南昌期末」（１４分）在△ＡＢＣ中，点Ｅ、Ｆ分
别是边ＡＣ、ＡＢ上的点，且ＡＥ＝ＡＦ，连接ＢＥ、ＣＦ交
于点Ｄ，∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＦ．
（１）求证：△ＢＣＤ是等腰三角形．
（２）若∠Ａ＝３８°，ＢＣ＝ＢＤ，求∠ＢＥＣ的度数．
#
$
%
&
'
"
解析
（１）证明：∵∠Ａ＝∠Ａ，∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＦ，ＡＥ
＝ＡＦ，
∴△ＡＢＥ≌△ＡＣＦ（ＡＡＳ），
∴ＡＢ＝ＡＣ，
∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ，
∴∠ＡＢＣ－∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＢ－∠ＡＣＦ，
即∠ＤＢＣ＝∠ＤＣＢ，
∴△ＢＣＤ是等腰三角形．
（２）∵ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＝３８°，
∴∠ＡＢＣ＝１
２×（１８０°－３８°）＝７１°，
∵ＢＣ＝ＢＤ，∴∠ＢＤＣ＝∠ＢＣＤ，
由（１）知∠ＤＢＣ＝∠ＤＣＢ，
∴△ＤＢＣ是等边三角形，
∴∠ＤＢＣ＝６０°，∴∠ＡＢＥ＝１１°，
∴∠ＢＥＣ＝∠Ａ＋∠ＡＢＥ＝３８°＋１１° ＝４９°．
１５．「2025 广东广州华侨外国语学校期末」（１４分）
如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是ＡＣ右
侧的线段，且ＡＤ＝ＡＣ，∠ＣＡＤ的平分线ＡＥ与ＢＤ
交于点Ｅ，ＢＤ与ＡＣ交于点Ｆ．
（１）求证：∠ＢＡＣ＝∠ＢＥＣ．
（２）若∠ＡＢＣ＝６０°，则线段ＡＥ，ＣＥ，ＢＥ之间存在
怎样的数量关系？并写出你的理由．
#
$
%
&
'
"
见答案册Ｄ３６
᮰
6
“两点一线”最短路径问题：当两点在直线异侧时，连接两点，与直线的交点即为所求点；当两点在直线同侧时，
连接其中某一点关于直线的对称点与另一点，与直线的交点即为所求点．
综
合
与
实
践
最
短
路
径
问
题
５３
综合与实践 最短路径问题
ۻᆱ݆
活动１ 牧民饮马问题
１．
学科
特色
教材
变式「2025 云南昆明外国语学校期中」小王准备在红旗
街道旁建一个送奶站，向居民区Ａ，Ｂ提供牛奶，要
使居民区Ａ，Ｂ到送奶站的距离之和最小，则送奶
站Ｃ的位置应该在
（Ｃ）
ᅱ! "
ᅱ! #
=E
$
Ａ
ᅱ! "
ᅱ! #
=E
$
Ｂ
ᅱ! "
ᅱ! #
=E
$
"ĉ
Ｃ
ᅱ! "
ᅱ! #
=E
$
Ｄ
２．如图，在正方形网格中有Ｅ，Ｆ两点，在直线ｌ上找
一点Ｐ，使ＰＥ＋ＰＦ最短，则点Ｐ应选在
（Ｃ）
M
&
'
%
$
#
"
Ａ．Ａ点
Ｂ．Ｂ点
Ｃ．Ｃ点
Ｄ．Ｄ点
３．「2025 云南大理州期末」如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝５，ＡＣ＝
６，ＢＣ＝７，ＥＦ垂直平分ＢＣ，点Ｐ为直线ＥＦ上的动
点，则ＡＰ＋ＢＰ的最小值是
（Ｂ）
"
#
'
&
1
$
Ａ．５
Ｂ．６
Ｃ．７
Ｄ．１１
活动２ 牧民饮马问题的拓展
４．「2025 湖北咸宁联考」如图，ＯＡ，ＯＢ分别是线段ＭＣ，
ＭＤ的垂直平分线，ＭＤ＝５ｃｍ，ＭＣ＝７ｃｍ，ＣＤ＝
１０ｃｍ，一只小蚂蚁从点Ｍ出发爬到ＯＡ边上任意
一点Ｅ，再爬到ＯＢ边上任意一点Ｆ，然后爬回Ｍ
点处，则小蚂蚁爬行的路径最短为
（Ｂ）
"
#
%
.
0 '
&
$
Ａ．１２ｃｍ
Ｂ．１０ｃｍ
Ｃ．７ｃｍ
Ｄ．５ｃｍ
５．如图，若∠ＡＯＢ＝４４°，Ｐ为∠ＡＯＢ内一定点，点Ｍ
在ＯＡ上，点Ｎ在ＯＢ上，当△ＰＭＮ的周长取得最
小值时，∠ＭＰＮ的度数为
（Ｄ）
"
#
/
1
.
0
Ａ．８２°
Ｂ．８４°
Ｃ．８８°
Ｄ．９２°
活动３ 造桥选址问题
６．「2025 天津南开期末」直线ｌ１，ｌ２表示一条河的两岸，
且ｌ１∥ｌ２，若村庄Ｐ和村庄Ｑ在这条河的两岸．现要
在这条河上建一座桥ＥＦ（桥ＥＦ与河的两岸ｌ１，ｌ２
垂直），使得从村庄Ｐ经桥ＥＦ过河到村庄Ｑ的路
径Ｐ→Ｅ→Ｆ→Ｑ最短，即ＰＥ＋ＥＦ＋ＦＱ最小．则下列
满足条件的是
（Ａ）
M
M
2
'
&
1ĉ
1
Ａ
M
M
2
'
&
1
Ｂ
M
M
2
'
&
1
Ｃ
M
M
2
'
&
1
Ｄ
᮰
6
解决连接河两边两地的最短路径问题时，可以通过平移桥的方法转化为求直线异侧两点到直线上一点所连线段的和
最小的问题．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
５４
７．如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河
上建一座桥，桥的方向与河岸垂直，设河的宽度不
变，试问：桥架在何处，才能使从Ａ到Ｂ的距离
最短？
见答案册Ｄ３７
ᑧү Ӭ
８．「2025 河北廊坊期中，
」如图，ｌ是△ＡＢＣ的边ＡＢ
的垂直平分线，Ｄ为垂足，Ｅ是ｌ上任意一点，且ＡＣ
＝５，ＢＣ＝８，ＡＢ＝６，则△ＡＥＣ的周长的最小值为
（Ｄ）
%
#
"
$
&
M
Ａ．６
Ｂ．８
Ｃ．１１
Ｄ．１３
９．「2025 山东德州期中，
」如图，在五边形ＡＢＣＤＥ中，
∠ＢＡＥ＝１４２°，∠Ｂ＝∠Ｅ＝９０°，ＡＢ＝ＢＣ，ＡＥ＝ＤＥ，在
ＢＣ，ＤＥ上分别找一点Ｍ，Ｎ，使得△ＡＭＮ的周长最
小，此时∠ＡＭＮ＋∠ＡＮＭ的度数为
（Ａ）
"
&
/
.$
#
%
Ａ．７６°
Ｂ．８４°
Ｃ．９６°
Ｄ．１０９°
"
&
'
$
%
#
１０．「2025 河南周口期中，
」如图，在
△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝１０，Ｄ是ＢＣ
的中点，ＥＦ垂直平分ＡＢ，交ＡＢ于
点Ｅ，交ＡＣ于点Ｆ，在ＥＦ上确定一
点Ｐ，使ＰＢ＋ＰＤ最小，则ＰＢ＋ＰＤ的最小值为
１０．
１１．「2025 四川泸州月考，
」如图，Ｐ，Ｑ两村之间隔着
两条河，需要架设两座桥，桥与河岸垂直．设两条
河的宽度相同，则桥建在何处才能使两村之间的
路程最短？
1
2
M
M
M
M
解析 如图，作ＰＨ⊥ｌ１，使得ＰＧ＝ＧＨ＝河的宽度，
连接ＱＨ交直线ｌ４于点Ｆ，作ＦＥ⊥ｌ４交直线ｌ３于
点Ｅ，连接ＥＧ交直线ｌ２于点Ｎ，作ＮＭ⊥ｌ２交直
线ｌ１于点Ｍ，连接ＰＭ，线路Ｐ→Ｍ→Ｎ→Ｅ→Ｆ→Ｑ
即为两村之间的最短路线．∴桥建在ＭＮ和ＥＦ处
才能使两村之间的路程最短．
1
2
M
( M
M
)
/
.
&
'
M
б ͞
１２．新
课标
推理能力已知：Ｍ，Ｎ分别是∠ＡＯＢ的边ＯＡ，ＯＢ上
的定点．
（１）如图１，若∠Ｏ＝∠ＯＭＮ，过Ｍ作射线ＭＤ∥
ＯＢ，点Ｃ是射线ＭＤ上一动点，∠ＭＮＣ的平
分线ＮＥ交射线ＯＡ于Ｅ点，试探究∠ＭＥＮ与
∠ＭＣＮ之间的数量关系．
（２）如图２，若Ｐ是线段ＯＮ上一动点，Ｑ是射线
ＭＡ上一动点，∠ＡＯＢ＝２０°，当ＭＰ＋ＰＱ＋ＱＮ取
得最小值时，求∠ＯＰＭ＋∠ＯＱＮ的值．
图１
图２
备用图
见答案册Ｄ３８
᮰
6
判断全等图形的方法：全等图形要学好，完全重合要记牢，位置变化不影响，形状大小皆相同．平移旋转又翻折，
前后图形均全等．
期
中
综
合
检
测
５５
期中综合检测
范围：第十三章至第十五章
满分
１２０分
限时
１００分钟
一、选择题（每小题３分，共３０分）
１．「2025 福建福州期末」下列各组中的三条线段，能组成
三角形的是
（Ｄ）
Ａ．１，２，３
Ｂ．１，２，４
Ｃ．２，２，４
Ｄ．４，５，６
２．「2024 广西中考」端午节是中国传统节日，下列与端
午节有关的文创图案中，是轴对称图形的是
（Ｂ）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
３．如图，将△ＡＢＣ折叠，使ＡＣ边落在ＡＢ边上，展开
后得到折痕ｌ，则ｌ是△ＡＢＣ的
（Ｄ）
Ａ．中线
Ｂ．边的垂直平分线
Ｃ．高线
Ｄ．角平分线
"
$
M
#
第３题图
"
$
%
#
第４题图
４．「2023 四川眉山中考」如图，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＝
４０°，则∠ＡＣＤ的度数为
（Ｃ）
Ａ．７０°
Ｂ．１００°
Ｃ．１１０°
Ｄ．１４０°
５．「2023 山东青岛育才中学期末」如图，点Ｂ，Ｄ，Ｃ，Ｆ在同
一条直线上，ＡＢ∥ＥＦ，ＡＢ＝ＥＦ，ＡＣ∥ＤＥ，如果ＢＦ＝
６，ＤＣ＝３，那么ＢＤ的长等于
（Ｂ）
Ａ．１
Ｂ．３
２
Ｃ．２
Ｄ．３
第５题图
"
#
%
&
'
$
第６题图
６．「2025 河北沧州期末」如图，ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，
ＤＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，ＤＦ⊥ＡＣ于点Ｆ．若Ｓ△ＡＢＣ＝２８，ＤＥ
＝４，ＡＢ＝８，则ＡＣ的长是
（Ｃ）
Ａ．８
Ｂ．７
Ｃ．６
Ｄ．５
７．「2025 福建师大附中期末」如图所示的正方形网格中，
像点Ａ、点Ｂ这样网格线的交点称为格点．以ＡＢ为
边的等腰三角形ＡＢＣ的三个顶点都是格点，这样
的等腰三角形有
（Ａ）
Ａ．１０个
Ｂ．８个
Ｃ．６个
Ｄ．４个
"
#
第７题图
"
#
$
%
&
1
第８题图
８．如图，在△ＡＣＤ和△ＢＣＥ中，ＣＡ＝ＣＢ，ＡＤ＝ＢＥ，ＣＤ
＝ＣＥ，∠ＡＣＥ＝５０°，∠ＢＣＤ＝１５０°，ＡＤ与ＢＥ相交于
点Ｐ，则∠ＢＰＤ的度数为
（Ｂ）
Ａ．１４０°
Ｂ．１３０°
Ｃ．１２０°
Ｄ．１１０°
９．如图，点Ｐ是∠ＡＯＢ内任意一点，ＯＰ＝５ｃｍ，点Ｍ
和点Ｎ分别是射线ＯＡ和射线ＯＢ上的动点，
△ＰＭＮ周长的最小值是５ｃｍ，则∠ＡＯＢ的度数是
（Ｂ）
Ａ．２５°
Ｂ．３０°
Ｃ．３５°
Ｄ．４０°
/
1
#
"
.
0
第９题图
#
$
%
&
(
'
)
"
第１０题图
１０．如图，已知△ＡＢＣ与△ＣＤＥ都是等边三角形，点Ｂ，
Ｃ，Ｄ在同一条直线上，ＡＤ与ＢＥ相交于点Ｇ，ＢＥ与
ＡＣ相交于点Ｆ，ＡＤ与ＣＥ相交于点Ｈ，连接ＦＨ．给
出下列结论：①△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ；②∠ＡＧＢ＝６０°；
③ＢＦ＝ＡＨ；④△ＣＦＨ是等边三角形．其中正确结论
的个数是
（Ｄ）
Ａ．１
Ｂ．２
Ｃ．３
Ｄ．４
᮰
6
折叠前后的两个图形全等，它们的对应角相等，对应边相等．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
５６
二、填空题（每小题３分，共２４分）
１１．「2024 北京东城期中」如图所示，人字梯中间一般会
设计一“拉杆”，这样做的依据是三角形具有稳
定性．
៵ᱲ
第１１题图
#
$
%
0
"
第１２题图
１２．新
考向
条件开放题「2025 山东烟台期末」如图，ＡＣ，ＢＤ相交于
点Ｏ，∠ＡＣＢ＝∠ＤＢＣ，请你再补充一个条件，使得
△ＡＣＢ≌△ＤＢＣ，这个条件可以是∠Ａ＝∠Ｄ（答
案不唯一）．
１３．如图，为了测量池塘两侧Ａ，Ｂ间的
距离，在Ｂ点同侧选取点Ｃ，经测量
∠Ａ＝７０°，然后在ＢＣ的一侧找到一
点Ｄ，使得ＢＣ为∠ＡＢＤ的平分线，
且∠Ｄ＝７０°，若ＢＤ的长为８米，则池塘两侧Ａ，Ｂ
之间的距离为８米．
１４．如图，ｘ轴是△ＡＯＢ的对称轴，ｙ轴是△ＢＯＣ的对
称轴，点Ａ的坐标为（１，２），则点Ｃ的坐标为
（－１，－２）．
第１４题图
ĉ
$
%
"
&
2
1
'
#
.
第１５题图
１５．新
考向
尺规作图
「2025 山东青岛育才中学质检」如图，在
Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ｂ＝２０°，ＰＱ垂直平分
ＡＢ，垂足为Ｑ，交ＢＣ于点Ｐ．按以下步骤作图：①以
点Ａ为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边
ＡＣ，ＡＢ于点Ｄ，Ｅ；②分别以点Ｄ，Ｅ为圆心，以大于
１
２ＤＥ的长为半径作弧，两弧相交于点Ｆ；③作射线
ＡＦ，与直线ＰＱ交于点Ｍ．若ＡＦ与ＰＱ的夹角为α，
则α＝５５°．
１６．「2025 重庆长寿期末」如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，
∠Ｂ＝３０°，线段ＡＣ的垂直平分线交ＡＣ于点Ｅ，交
ＢＣ于点Ｆ，连接ＡＦ，若ＢＣ＝９，则ＡＦ＝３．
$
"
&
'
#
第１６题图
$
"
#
0
.
/
第１７题图
１７．「2025 广东汕头期末」如图，等边△ＡＢＣ中，点Ｍ，Ｎ
分别在ＡＢ，ＡＣ上，且ＢＭ＝ＡＮ，连接ＣＭ，ＢＮ交于
点Ｏ，则∠ＢＯＣ的度数为１２０° ．
１８．在△ＡＢＣ中，ＡＨ是ＢＣ边上的高，若ＣＨ－ＢＨ＝ＡＢ，
∠ＡＢＨ＝７０°，则∠ＢＡＣ＝７５°或３５° ．
三、解答题（共６６分）（答案含评分细则）
１９．（６分）如图，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝３０°，∠ＡＢＣ＝７０°，
△ＡＢＣ的外角∠ＢＣＤ的平分线ＣＥ交ＡＢ的延长
线于点Ｅ．
（１）求∠ＢＣＥ的度数．
（２）过点Ｄ作ＤＦ∥ＣＥ，交ＡＥ的延长线于点Ｆ，求
∠Ｆ的度数．
解析 （１）∵∠Ａ＝３０°，∠ＡＢＣ＝７０°，
∴∠ＢＣＤ＝∠Ａ＋∠ＡＢＣ＝１００°，
（１分）
…………
∵ＣＥ是∠ＢＣＤ的平分线，
∴∠ＢＣＥ＝１
２∠ＢＣＤ＝５０°．
（３分）
………………
（２）∵∠ＢＣＥ＝５０°，∠ＡＢＣ＝７０°，
∴∠ＢＥＣ＝∠ＡＢＣ－∠ＢＣＥ＝２０°，
（４分）
………
∵ＤＦ∥ＣＥ，
∴∠Ｆ＝∠ＢＥＣ＝２０°．
（６分）
……………………
᮰
6
等腰三角形是轴对称图形，最少有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴．
期
中
综
合
检
测
５７
２０．「2025 河南郑州期末」（６分）如图所示，在平面直角
坐标系中，已知Ａ（０，１），Ｂ（２，０），Ｃ（４，３）．
（１）在平面直角坐标系中画出△ＡＢＣ，以及与
△ＡＢＣ关于ｙ轴对称的△ＤＥＦ．
（２）求出△ＡＢＣ的面积．
（３）已知Ｐ为ｘ轴上一点，若△ＡＢＰ的面积为２，
求点Ｐ的坐标．
Z
Y
0
见答案册Ｄ４０
２１．「2025 四川成都质检」（６分）如图，ＣＤ是△ＡＢＣ的高
线，Ｅ为ＢＣ边上的一点，连接ＡＥ交ＣＤ于点Ｆ，
∠ＢＣＤ＝１０°，∠ＡＥＢ＝７５°．
（１）求∠ＢＡＥ的度数．
（２）若ＡＥ平分∠ＢＡＣ，求∠ＡＣＤ的度数．
"
%
#
&
'
$
见答案册Ｄ４０
２２．「2024 湖南长沙中考」（８分）如图，点Ｃ在线段ＡＤ
上，ＡＢ＝ＡＤ，∠Ｂ＝∠Ｄ，ＢＣ＝ＤＥ．
（１）求证：△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ．
（２）若∠ＢＡＣ＝６０°，求∠ＡＣＥ的度数．
"
#
&
%
$
见答案册Ｄ４０
２３．「2025 山东日照期中」（８分）如图，在△ＡＢＣ中，边
ＡＢ的垂直平分线分别交ＡＢ，ＢＣ于点Ｍ，Ｄ，边ＡＣ
的垂直平分线分别交ＡＣ，ＢＣ于点Ｎ，Ｅ，ＭＤ，ＮＥ
的延长线交于点Ｏ．
（１）若ＢＣ＝１２，求△ＡＤＥ的周长．
（２）试判断点Ｏ是否在ＢＣ的垂直平分线上，并说
明理由．
"
.
#
%0
$
/
&
解析 （１）∵ＡＢ，ＡＣ的垂直平分线分别交ＢＣ于
点Ｄ，Ｅ，∴ＡＤ＝ＢＤ，ＡＥ＝ＣＥ，
（２分）
……………
∴ＡＤ＋ＤＥ＋ＡＥ＝ＢＤ＋ＤＥ＋ＣＥ＝ＢＣ＝１２，
∴△ＡＤＥ的周长为１２．
（４分）
…………………
（２）点Ｏ在ＢＣ的垂直平分线上，理由如下：
如图，连接ＡＯ，ＢＯ，ＣＯ，
"
.
#
% 0
$
/
&
∵ＯＭ，ＯＮ分别垂直平分ＡＢ，ＡＣ，
∴ＯＡ＝ＯＢ，ＯＡ＝ＯＣ，
（６分）
……………………
∴ＯＢ＝ＯＣ，
∴点Ｏ在ＢＣ的垂直平分线上．
（８分）
…………
２４．新
考向
新定义题「2025 福建厦门期中」（１０分）若等腰三角形的
顶角为３６°，则这个三角形称为黄金三角形．如图，在
△ＡＢＣ中，ＢＡ＝ＢＣ，点Ｄ在边ＣＢ上，且ＤＢ＝ＤＡ＝ＡＣ．
（１）如图１，求∠Ｂ的度数，并直接写出图中所有
的黄金三角形．
（２）若Ｍ为线段ＢＣ上的一点，过Ｍ作直线ＭＨ⊥
ＡＤ于Ｈ，分别交直线ＡＢ，ＡＣ于点Ｎ，Ｅ，如图
２，猜想线段ＢＮ，ＣＥ，ＣＤ之间的数量关系，并
说明理由．
"
#
%
$
图１
"
#
%
)
.
&
/
$
图２
见答案册Ｄ４０
᮰
6
解决平面内的最短路径问题，需综合利用“过一点作已知直线的垂线”“轴对称的基本性质”“两点之间，线段最
短”“垂线段最短”等知识加以解决．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
５８
２５．
学科
特色
手拉手
模型
（１０分）在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ是直线
ＢＣ上一点（不与Ｂ，Ｃ重合），以ＡＤ为一边在ＡＤ
的右侧作△ＡＤＥ，使ＡＤ＝ＡＥ，∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＣ，连
接ＣＥ．
（１）如图①，若△ＡＢＣ是等边三角形，点Ｄ在线段
ＢＣ上，求证：∠ＢＡＣ＋∠ＢＣＥ＝１８０°．
（２）若∠ＢＡＣ≠６０°，点Ｄ在ＢＣ的延长线上，如图
②，则（１）中的结论是否仍然成立？请说明
理由．
图①
图②
解析 （１）证明：∵△ＡＢＣ是等边三角形，
∴∠ＡＢＣ＝∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＢ＝６０°，
（１分）
………
∵∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＣ，
∴∠ＢＡＣ－∠ＣＡＤ＝∠ＤＡＥ－∠ＣＡＤ，
即∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ，
（２分）
………………………
在△ＢＡＤ和△ＣＡＥ中，
ＡＢ＝ＡＣ，
∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ，
ＡＤ＝ＡＥ，
ì
î
í
ïï
ïï
∴△ＢＡＤ≌△ＣＡＥ（ＳＡＳ），
（３分）
………………
∴∠ＡＣＥ＝∠ＡＢＣ＝６０°．
（４分）
…………………
∴∠ＢＡＣ＋∠ＢＣＥ＝６０°＋６０°＋６０° ＝１８０°．
（５分）
………
…………………………………………
（２）（１）中的结论仍然成立．
（６分）
……………
理由：如图，设ＡＤ与ＣＥ交于Ｆ点，
∵∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＣ，
∴∠ＢＡＣ＋∠ＣＡＤ＝∠ＤＡＥ＋∠ＣＡＤ，
即∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ，
（７分）
………………………
在△ＢＡＤ和△ＣＡＥ中，
ＡＢ＝ＡＣ，
∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ，
ＡＤ＝ＡＥ，
ì
î
í
ïï
ïï
∴△ＢＡＤ≌△ＣＡＥ（ＳＡＳ），
∴∠ＡＤＢ＝∠ＡＥＣ，
（８分）
………………………
∵∠ＡＦＥ＝∠ＣＦＤ，∴∠ＤＡＥ＝∠ＥＣＤ，
∵∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ，∴∠ＢＡＣ＝∠ＥＣＤ，
（９分）
…
∵∠ＥＣＤ＋∠ＢＣＥ＝１８０°，
∴∠ＢＡＣ＋∠ＢＣＥ＝１８０°．
（１０分）
………………
２６．（１２分）如图，在△ＡＢＣ中，过点Ａ，Ｂ分别作直线
ＡＭ，ＢＮ，且ＡＭ∥ＢＮ，过点Ｃ作直线ＤＥ交直线
ＡＭ于Ｄ，交直线ＢＮ于Ｅ．
（１）如图１，若ＡＣ，ＢＣ分别平分∠ＤＡＢ和∠ＥＢＡ，
求∠ＡＣＢ的度数．
（２）在（１）的条件下，若ＡＤ＝１，ＢＥ＝５
２，求ＡＢ
的长．
（３）如图２，若ＡＣ＝ＡＢ，且∠ＤＥＢ＝∠ＢＡＣ＝６０°，Ｈ
是线段ＥＢ上一点，ＥＨ＝ＥＣ，连接ＣＨ，如果
ＡＤ＝ａ，ＢＥ＝ｂ，求ＢＨ的长．（用含ａ，ｂ的式子
表示）
图１
图２
见答案册Ｄ４１
᮰
6
同底数幂的乘法口诀：先看底数是否同，底数相同好应用，指数相加底不变；底数不同化相同，互为相反符号变．
第
十
六
章
整
式
的
乘
法
５９
第十六章
整式的乘法
１６．１ 幂的运算
１６．１．１ 同底数幂的乘法
ۻᆱ݆
知识点１ 同底数幂的乘法法则
１．「2025 重庆期末」计算ｘ
２·ｘ
５的结果是
（Ａ）
Ａ．ｘ
７
Ｂ．ｘ
９
Ｃ．ｘ
１０
Ｄ．ｘ
１２
２．「2025 北京怀柔期末」下列计算正确的是
（Ｂ）
Ａ．ａ
４·ａ
３＝ａ
Ｂ．ａ
４·ａ
３＝ａ
７
Ｃ．ａ
４·ａ
３＝ａ
１２
Ｄ．ａ
４·ａ
３＝ａ
６４
３．「2025 福建厦门期末」已知ｘ＋ｙ－３＝０，则３
ｘ·３
ｙ的值是
（Ｂ）
Ａ．９
Ｂ．２７
Ｃ．１
９
Ｄ．１
２７
４．
学科
特色
教材
变式电子文件的大小常用Ｂ，ＫＢ，ＭＢ，ＧＢ等作为
单位，其中１ＧＢ＝２
１０ＭＢ，１ＭＢ＝２
１０ＫＢ，
１ＫＢ＝２
１０Ｂ．某视频文件的大小约为１ＧＢ，１ＧＢ等
于
（Ａ）
Ａ．２
３０Ｂ
Ｂ．８
３０Ｂ
Ｃ．８×１０
１０Ｂ
Ｄ．２×１０
３０Ｂ
５．计算：
（１）－１
３
æ
è
ç
ö
ø
÷ × －１
３
æ
è
ç
ö
ø
÷
３
． （２）ｘ
３·ｘ
９－ｘ·ｘ
３·ｘ
８．
（３）（－ａ
３）·（－ａ）
２－（－ａ）
４·ａ．
解析 （１）－１
３
æ
è
ç
ö
ø
÷ × －１
３
æ
è
ç
ö
ø
÷
３
＝－１
３
æ
è
ç
ö
ø
÷
１＋３
＝－１
３
æ
è
ç
ö
ø
÷
４
＝１
８１．
（２）ｘ
３·ｘ
９－ｘ·ｘ
３·ｘ
８＝ｘ
１２－ｘ
１２＝０．
（３）（－ａ
３）·（－ａ）
２－（－ａ）
４·ａ＝（－ａ
３）·ａ
２－ａ
４·ａ
＝－ａ
５－ａ
５＝－２ａ
５．
知识点２ 同底数幂的乘法法则的逆用
６．已知ｘ
ａ＝２，ｘ
ｂ＝５，则ｘ
ａ＋ｂ等于
（Ｂ）
Ａ．７
Ｂ．１０
Ｃ．２０
Ｄ．５０
ᑧү Ӭ
７．「2023 四川德阳中考，
」已知３
ｘ＝ｙ，则３
ｘ＋１＝（Ｄ）
Ａ．ｙ
Ｂ．１＋ｙ
Ｃ．３＋ｙ
Ｄ．３ｙ
８．「2025 上海长宁期末，
」已知２
ｘ× １６＝２
７，那么ｘ
＝３．
９．新
考向
新定义题「2025 山东济南质检改编，
」规定新运算
“∗”：ａ∗ｂ＝２
ａ×２
ｂ，如：１∗３＝２×２
３＝１６．
（１）求２∗３的值．
（２）若２∗（２ｘ＋１）＝６４，求ｘ的值．
解析 （１）由ａ∗ｂ＝２
ａ×２
ｂ可得２∗３＝２
２×２
３＝２
５
＝３２．
（２）由ａ∗ｂ＝２
ａ× ２
ｂ可得２∗（２ｘ＋１）＝２
２× ２
２ｘ＋１
＝２
２ｘ＋３．
因为２∗（２ｘ＋１）＝６４＝２
６，
所以２ｘ＋３＝６，解得ｘ＝３
２．
б ͞
１０．新
课标
运算能力「2025 四川眉山期末」规定两数ａ，ｂ之间的
一种运算，记作（ａ，ｂ）：如果ａ
ｃ＝ｂ，那么（ａ，ｂ）＝ｃ．
例如：因为２
３＝８，所以（２，８）＝３．
（１）根据上述规定，填空：（３，９）＝
．
（２）令（２，６）＝ｘ，（２，７）＝ｙ，（２，４２）＝ｚ，试说明等式
（２，６）＋（２，７）＝（２，４２）成立的理由．
解析 （１）∵３
２＝９，
∴（３，９）＝２．故答案为２．
（２）∵（２，６）＝ｘ，（２，７）＝ｙ，（２，４２）＝ｚ，
∴２
ｘ＝６，２
ｙ＝７，２
ｚ＝４２．
∴２
ｘ·２
ｙ＝２
ｘ＋ｙ＝２
ｚ，
∴ｘ＋ｙ＝ｚ，
∴（２，６）＋（２，７）＝（２，４２）．
᮰
6
幂的乘方是底数不变，指数相乘，而同底数幂相乘是底数不变，指数相加．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
６０
１６．１．２ 幂的乘方与积的乘方
ۻᆱ݆
知识点１ 幂的乘方法则
１．「2025 湖南长沙期末」计算（ａ
２）
５的结果为
（Ａ）
Ａ．ａ
１０
Ｂ．ａ
７
Ｃ．２ａ
５
Ｄ．５ａ
２
２．下列计算中，结果不等于ａ
１２的是
（Ａ）
Ａ．（ａ
６）
６
Ｂ．ａ
２·ａ
３·ａ
４·ａ
３
Ｃ．（ａ
２）
３·ａ
６
Ｄ．ａ
２·（ａ
２）
５
３．「2025 山东省实验中学月考」小聪在做幂的乘方的相关
计算时，不小心将墨汁滴到了等式（ｘ
４）
６＝（■）
３
上，则被墨汁覆盖的部分应为
（Ｄ）
Ａ．ｘ
５
Ｂ．ｘ
６
Ｃ．ｘ
７
Ｄ．ｘ
８
４．计算：
（１）（ａ
３）
２·（ａ
４）
３＋（ａ
２）
５．
（２）２ｘ
４＋ｘ
２＋（ｘ
３）
２－５ｘ
６．
（３）－（ｘ
３）
４＋３×（ｘ
２）
４·ｘ
４．
解析 （１）原式＝ａ
６·ａ
１２＋ａ
１０＝ａ
１８＋ａ
１０．
（２）原式＝２ｘ
４＋ｘ
２＋ｘ
６－５ｘ
６＝－４ｘ
６＋２ｘ
４＋ｘ
２．
（３）原式＝－ｘ
１２＋３×ｘ
８·ｘ
４＝－ｘ
１２＋３ｘ
１２＝２ｘ
１２．
知识点２ 幂的乘方法则的逆用
５．「2025 山东临沂质检」给出下列等式：①ａ
２ｍ＝（ａ
２）
ｍ；②
ａ
２ｍ＝（ａ
ｍ）
２；③ａ
２ｍ＝（－ａ
ｍ）
２；④ａ
２ｍ＝（－ａ
２）
ｍ．其中正
确的有
（Ｃ）
Ａ．１个
Ｂ．２个
Ｃ．３个
Ｄ．４个
６．已知３ｍ＋４ｎ＝５，则８
ｍ×１６
ｎ的值为
（Ｃ）
Ａ．１０
Ｂ．１２
Ｃ．３２
Ｄ．３６
７．「2025 上海格致初中月考」已知３
ｘ＝ｍ，３
ｙ＝ｎ，用ｍ，ｎ表
示３
３ｘ＋４ｙ－５×８１
ｘ＋２ｙ为ｍ
３ｎ
４－５ｍ
４ｎ
８
．
知识点３ 积的乘方法则
８．「2023 江西中考」计算（２ｍ
２）
３的结果为
（Ａ）
Ａ．８ｍ
６
Ｂ．６ｍ
６
Ｃ．２ｍ
６
Ｄ．２ｍ
５
９．「2025 山东潍坊月考」计算（－２ａ
３ｂ）
２－３ａ
６ｂ
２的结果是
ａ
６ｂ
２
．
１０．
学科
特色
教材
变式计算：
（１）－（－２ａ
２ｂ
３）
４＋（３ａ
４ｂ
６）
２．
（２）ａ
２·ａ
３＋（ａ
２）
３－（－２ａ
３）
２．
（３）（－２ｘ
２）
３＋（－３ｘ
３）
２＋（ｘ
２）
２·ｘ
２．
解析
（１）－（－２ａ
２ｂ
３）
４＋（３ａ
４ｂ
６）
２＝－１６ａ
８ｂ
１２＋
９ａ
８ｂ
１２＝－７ａ
８ｂ
１２．
（２）ａ
２·ａ
３＋（ａ
２）
３－（－２ａ
３）
２＝ａ
５＋ａ
６－４ａ
６＝ａ
５－３ａ
６．
（３）（－２ｘ
２）
３＋（－３ｘ
３）
２＋（ｘ
２）
２·ｘ
２＝－８ｘ
６＋９ｘ
６＋ｘ
６
＝２ｘ
６．
知识点４ 积的乘方法则的逆用
１１．「2025 四川成都七中期末」已知３
ｘ＋１·２
ｘ＋１＝３６
ｘ－２，则ｘ
的值是５．
１２．计算：
（１）８
２０２５×（－０．１２５）
２０２５．
（２）１２
５
æ
è
ç
ö
ø
÷
２０２４
× －５
６
æ
è
ç
ö
ø
÷
２０２５
× １
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
２０２６
．
解析 （１）８
２０２５×（－０．１２５）
２０２５＝（－８×０．１２５）
２０２５＝
－１．
（２）１２
５
æ
è
ç
ö
ø
÷
２０２４
× －５
６
æ
è
ç
ö
ø
÷
２０２５
× １
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
２０２６
＝－１２
５× ５
６× １
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
２０２４
× －５
６
æ
è
ç
ö
ø
÷ × １
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
＝－５
６× １
４＝－５
２４．
᮰
6
在进行积的乘方运算时，要将括号内每个系数和字母都进行乘方运算，特别是系数，不要漏乘．
第
十
六
章
整
式
的
乘
法
６１
ᑧү Ӭ
１３．「2024 四川眉山中考，
」下列运算中正确的是
（Ｂ）
Ａ．ａ
２－ａ＝ａ
Ｂ．ａ·ａ
２＝ａ
３
Ｃ．（ａ
２）
３＝ａ
５
Ｄ．（２ａｂ
２）
３＝６ａ
３ｂ
６
１４．「2025 福建福州期末，
」若ａ，ｂ是正整数，且满足
３
ａ＋３
ａ＋３
ａ＝３
ｂ×３
ｂ×３
ｂ，则下列ａ与ｂ的关系正确的
是
（Ｂ）
Ａ．ａ＝ｂ
Ｂ．ａ＋１＝３ｂ
Ｃ．ａ＋１＝ｂ
３
Ｄ．３ａ＝ｂ
３
１５．「2025 云南昆明期末，
」已知ａ＝３
１３，ｂ＝９
６，ｃ＝２７
５，
则ａ，ｂ，ｃ的大小关系为
（Ａ）
Ａ．ｃ＞ａ＞ｂ
Ｂ．ｂ＞ａ＞ｃ
Ｃ．ａ＞ｂ＞ｃ
Ｄ．ａ＞ｃ＞ｂ
１６．「2025 河南洛阳期末，
」已知２
ｎ＝ａ，３
ｎ＝ｂ，２４
ｎ＝ｃ，
那么ａ，ｂ，ｃ之间满足的等量关系是
（Ｄ）
Ａ．ｃ＝３ａ＋ｂ
Ｂ．ｃ＝ａ
３＋ｂ
Ｃ．ｃ＝３ａｂ
Ｄ．ｃ＝ａ
３ｂ
１７．「2025 江苏南京质检，
」化简（ｘ
２）
３－ｘ
３· ｘ
３＋
（２ｘ
３）
２的结果为４ｘ
６
．
１８．「2025 天津外国语学校期末，
」若２
ｎ＋１·２
３＝４
１０（ｎ
为正整数），则ｎ＝１６．
１９．「2025 河南南阳期末，
」
（１）若ａ
ｍ＝２，ａ
ｎ＝３，求ａ
２ｍ＋ｎ的值．
（２）已知ｘ
２ｎ＝２，求（３ｘ
３ｎ）
２－４（ｘ
２）
２ｎ的值．
解析 （１）∵ａ
ｍ＝２，ａ
ｎ＝３，
∴ａ
２ｍ＋ｎ＝ａ
２ｍ·ａ
ｎ＝（ａ
ｍ）
２·ａ
ｎ＝２
２×３＝４×３＝１２．
（２）∵ｘ
２ｎ＝２，
∴（３ｘ
３ｎ）
２－４（ｘ
２）
２ｎ＝９ｘ
６ｎ－４ｘ
４ｎ＝９（ｘ
２ｎ）
３－４（ｘ
２ｎ）
２
＝９×２
３－４×２
２＝９×８－４×４＝７２－１６＝５６．
２０．新
考向
代数推理「2024 河南郑州五十七中月考，
」试说明７
２
×９
ｍ＋２－３
２ｍ－１×６
５（ｍ为正整数）能被１７整除．
证明
∵７
２×９
ｍ＋２－３
２ｍ－１× ６
５＝７
２× ３
２ｍ＋４－３
２ｍ－１× ２
５
×３
５
＝７
２×３
２ｍ＋４－３
２ｍ＋４×２
５＝（７
２－２
５）×３
２ｍ＋４＝１７×３
２ｍ＋４，
∴７
２×９
ｍ＋２－３
２ｍ－１×６
５（ｍ为正整数）能被１７整除．
б ͞
２１．新
课标
运算能力在比较２
１６和３
１２的大小时，我们可以这样
来处理：
２
１６＝（２
４）
４＝１６
４，３
１２＝（３
３）
４＝２７
４．
∵１６＜２７，∴１６
４＜２７
４，即２
１６＜３
１２．
根据上述材料，回答下列问题：
（１）请比较下列两组数的大小：
①２
１００和３
７５．②２
４４４，３
３３３和４
２２２．
（２）（１）中的两道题都是通过“幂的乘方”公式构造
了相同的
，从而比较大小，试用类
似的方法，比较８１
３１，２７
４１，９
６１的大小．
解析
（１）①２
１００＝（２
４）
２５＝１６
２５，３
７５＝（３
３）
２５
＝２７
２５，
∵１６＜２７，∴１６
２５＜２７
２５，即２
１００＜３
７５．
②２
４４４＝（２
４）
１１１＝１６
１１１，３
３３３＝（３
３）
１１１＝２７
１１１，４
２２２＝
（４
２）
１１１＝１６
１１１，
∵１６＜２７，∴１６
１１１＜２７
１１１，即２
４４４＝４
２２２＜３
３３３．
（２）指数．
８１
３１＝（３
４）
３１＝３
１２４，２７
４１＝（３
３）
４１＝３
１２３，９
６１＝（３
２）
６１
＝３
１２２，
∵１２２＜１２３＜１２４，∴３
１２２＜３
１２３＜３
１２４，即９
６１＜２７
４１
＜８１
３１．
２２．新
课标
运算能力若ａ
ｍ＝ａ
ｎ（ａ＞０且ａ≠１，ｍ，ｎ是
正整数），则ｍ＝ｎ．利用上面的结论解决
下面的问题：
（１）如果２×４
ｘ×８
ｘ＝２
２１，求ｘ的值；
（２）如果３
ａ＋２×５
ａ＋２＝１５
３ａ－４，求ａ的值．
解析 （１）∵２×４
ｘ×８
ｘ＝２
２１，
∴２×（２
２）
ｘ×（２
３）
ｘ＝２
２１，∴２×２
２ｘ×２
３ｘ＝２
２１，
∴２
１＋２ｘ＋３ｘ＝２
２１，∴２
１＋５ｘ＝２
２１，∴１＋５ｘ＝２１，解得ｘ
＝４．
（２）∵３
ａ＋２×５
ａ＋２＝１５
３ａ－４，∴（３×５）
ａ＋２＝１５
３ａ－４，
∴１５
ａ＋２＝１５
３ａ－４，∴ａ＋２＝３ａ－４，解得ａ＝３．
᮰
6
单项式乘单项式，变换结合两相宜；系数之积积系数，同底数幂求乘积，剩余因式全复制，粘贴后边当因式．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
６２
１６．２ 整式的乘法
第1 课时 单项式乘单项式
ۻᆱ݆
知识点 单项式乘单项式
１．「2024 湖北中考」计算２ｘ·３ｘ
２的结果是
（Ｄ）
Ａ．５ｘ
２
Ｂ．６ｘ
２
Ｃ．５ｘ
３
Ｄ．６ｘ
３
２．「2025 河南开封期中」下列计算正确的是
（Ｂ）
Ａ．６ｘ
２·３ｘｙ＝９ｘ
３ｙ
３
Ｂ．（２ａｂ
２）·（－３ａｂ）＝－６ａ
２ｂ
３
Ｃ．ｍ
２ｎ·（－ｍ
２ｎ）＝－ｍ
３ｎ
３
Ｄ．（－３ｘ
３ｙ）·（－３ｘｙ）＝９ｘ
３ｙ
２
３．卫星绕地球运动的速度是７．９×１０
３米／秒，则卫星
绕地球运行２×１０
２秒走过的路程用科学记数法表
示正确的是
（Ｂ）
Ａ．１４．８×１０
５米
Ｂ．１．５８×１０
６米
Ｃ．１．４８×１０
６米
Ｄ．１．５８×１０
５米
４．「2025 河南郑州八中期末」若ａ
ｍ＋１ｂ
ｎ＋２·ａ
２ｎ－１ｂ
２ｎ＝ａ
５ｂ
８，
则ｍ＋ｎ的值为３．
５．计算：
（１）（３ａ）
２·ａ
４＋ａ·ａ
５－（－ａ
３）
２．
（２）ａ
３ｂ
２·（－ｂ
２）
２＋（－２ａｂ
２）
３．
解析 （１）（３ａ）
２·ａ
４＋ａ·ａ
５－（－ａ
３）
２＝９ａ
２·ａ
４＋ａ
６
－ａ
６＝９ａ
６＋ａ
６－ａ
６＝９ａ
６．
（２）ａ
３ｂ
２·（－ｂ
２）
２＋（－２ａｂ
２）
３＝ａ
３ｂ
２·ｂ
４－８ａ
３ｂ
６＝
ａ
３ｂ
６－８ａ
３ｂ
６＝－７ａ
３ｂ
６．
６．先化简，再求值：－２ａ
２ｂ
３·（－ａｂ
２）
２＋－１
２ａ
２ｂ
３
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
·４ｂ，
其中ａ＝２，ｂ＝１．
解析 原式＝－２ａ
２ｂ
３·ａ
２ｂ
４＋１
４ａ
４ｂ
６·４ｂ
＝－２ａ
４ｂ
７＋ａ
４ｂ
７＝－ａ
４ｂ
７．
当ａ＝２，ｂ＝１时，原式＝－２
４×１
７＝－１６．
ᑧү Ӭ
７．「2025 广东湛江期末，
」下列各式正确的是（Ｂ）
Ａ．ａ
４·ａ
５＝ａ
２０
Ｂ．２ａ
２·３ａ
２＝６ａ
４
Ｃ．（－ａ
２ｂ
３）
２＝ａ
４ｂ
９
Ｄ．ａ
４·（－ａ）＝－４ａ
８．「2024 四川绵阳期末，
」在一块边长为５ａ
３ｃｍ的正
方形纸板中，将四个角分别剪去边长为ａ
３ｃｍ的小
正方形，然后将四周凸出部分折起，折成一个无盖
的盒子，则该无盖盒子的容积为
（Ａ）
Ａ．９ａ
９ｃｍ
３
Ｂ．１６ａ
９ｃｍ
３
Ｃ．９ａ
８ｃｍ
３
Ｄ．１６ａ
８ｃｍ
３
９．「2025 河南南阳月考，
」已知单项式３ｘ
２ｙ
３与
－２ｘｙ
２的积为ｍｘ
３ｙ
ｎ，那么ｍｎ的值为－３０．
１０．「2025 北京十一中期中，
」计算：
（１）（－ａｂ
２）
３＋ａｂ
２·（ａｂ）
２·（－２ｂ）
２．
（２）１
２ａ
３ｂ· ２
３ａｂ
æ
è
ç
ö
ø
÷
３
－－１
３ａ
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
·（ａｂ）
４．
解析 （１）原式＝－ａ
３ｂ
６＋ａｂ
２·ａ
２ｂ
２·４ｂ
２
＝－ａ
３ｂ
６＋４ａ
３ｂ
６
＝３ａ
３ｂ
６．
（２）原式＝１
２ａ
３ｂ· ８
２７ａ
３ｂ
３－１
９ａ
２·ａ
４ｂ
４
＝４
２７ａ
６ｂ
４－１
９ａ
６ｂ
４
＝１
２７ａ
６ｂ
４．
１１．「2025 山东烟台一中期末，
」已知ｘ
ｎ＝２，ｙ
ｎ＝３．
（１）求（－ｘｙ）
２ｎ· １
４ｘ
２ｎｙ
ｎ的值．
（２）若ｘ
３ｎ＋１·ｙ
３ｎ＋１＝６４，求ｘｙ的值．
解析 （１）∵ｘ
ｎ＝２，ｙ
ｎ＝３，
∴（－ｘｙ）
２ｎ· １
４ｘ
２ｎｙ
ｎ＝ｘ
２ｎｙ
２ｎ· １
４ｘ
２ｎｙ
ｎ＝１
４ｘ
４ｎｙ
３ｎ＝
１
４（ｘ
ｎ）
４·（ｙ
ｎ）
３＝１
４×２
４×３
３＝１
４×１６×２７＝１０８．
（２）∵ｘ
３ｎ＋１·ｙ
３ｎ＋１＝６４，
∴ｘ
３ｎ·ｘ·ｙ
３ｎ·ｙ＝６４，
∴（ｘ
ｎ）
３·（ｙ
ｎ）
３·ｘｙ＝６４，
∴２
３×３
３ｘｙ＝６４，
∴２１６ｘｙ＝６４，
∴ｘｙ＝８
２７．
᮰
6
单项式乘多项式，利用乘法分配律；单单相乘做加法，各积求和要排序．
第
十
六
章
整
式
的
乘
法
６３
第2 课时 单项式乘多项式
ۻᆱ݆
知识点 单项式乘多项式
１．「2024 甘肃兰州中考」计算２ａ（ａ－１）－２ａ
２＝
（Ｄ）
Ａ．ａ
Ｂ．－ａ
Ｃ．２ａ
Ｄ．－２ａ
２．
学科
特色
教材
变式若一个长方体的长、宽、高分别为２ｘ、ｘ、３ｘ－
４，则该长方体的体积为６ｘ
３－８ｘ
２
．
３．「2025 山东济南月考」某同学计算一个多项式乘
－３ｘ
２时，因抄错符号，算成了加上－３ｘ
２，得到的答
案是ｘ
２－２ｘ＋１．则正确的计算结果应该是
－１２ｘ
４＋６ｘ
３－３ｘ
２
．
４．计算：
（１）２ｘ１
２ｘ
２－１
æ
è
ç
ö
ø
÷ －３ｘ１
３ｘ
２＋２
３
æ
è
ç
ö
ø
÷ ．
（２）（－２ａ
２）·（ａｂ＋ｂ
２）－５ａ（ａ
２ｂ－ａｂ
２）．
解析 （１）原式＝ｘ
３－２ｘ－ｘ
３－２ｘ＝－４ｘ．
（２）原式＝－２ａ
２·ａｂ－２ａ
２·ｂ
２－５ａ·ａ
２ｂ＋５ａ·ａｂ
２
＝－２ａ
３ｂ－２ａ
２ｂ
２－５ａ
３ｂ＋５ａ
２ｂ
２
＝－２ａ
３ｂ－５ａ
３ｂ＋（－２ａ
２ｂ
２＋５ａ
２ｂ
２）
＝－７ａ
３ｂ＋３ａ
２ｂ
２．
５．「2025 陕西西安质检」已知Ａ＝－２ｘ
２，Ｂ＝ｘ
２－３ｘ－１，Ｃ＝
－ｘ＋１，求：
（１）Ａ·Ｂ＋Ａ·Ｃ．
（２）Ａ·（Ｂ－Ｃ）．
（３）Ａ·Ｃ－Ｂ．
解析 （１）Ａ·Ｂ＋Ａ·Ｃ＝－２ｘ
２·（ｘ
２－３ｘ－１）－２ｘ
２·
（－ｘ＋１）
＝－２ｘ
４＋６ｘ
３＋２ｘ
２＋２ｘ
３－２ｘ
２
＝－２ｘ
４＋８ｘ
３．
（２）Ａ·（Ｂ－Ｃ）＝－２ｘ
２（ｘ
２－３ｘ－１＋ｘ－１）
＝－２ｘ
２（ｘ
２－２ｘ－２）
＝－２ｘ
４＋４ｘ
３＋４ｘ
２．
（３）Ａ·Ｃ－Ｂ
＝－２ｘ
２（－ｘ＋１）－（ｘ
２－３ｘ－１）
＝２ｘ
３－２ｘ
２－ｘ
２＋３ｘ＋１
＝２ｘ
３－３ｘ
２＋３ｘ＋１．
ᑧү Ӭ
６．「2025 四川绵阳期中，
」若计算（ｘ
２＋ａｘ＋５）·
（－２ｘ）－６ｘ
２的结果中不含ｘ
２项，则ａ的值为
（Ａ）
Ａ．－３
Ｂ．－１
３
Ｃ．０
Ｄ．３
７．
学科
特色易错题「2025 山东泰安月考，
」下列计算错误
的是
（Ｂ）
Ａ．－４ａ（２ａ
２＋３ａ－１）＝－８ａ
３－１２ａ
２＋４ａ
Ｂ．ａ
ｍ（ａ
ｍ－ａ
２＋１）＝ａ
ｍｍ－ａ
２ｍ＋ａ
ｍ
Ｃ．（－３ｘ
２）· ４ｘ
２－４
９ｘ＋１
æ
è
ç
ö
ø
÷ ＝－１２ｘ
４＋４
３ｘ
３－３ｘ
２
Ｄ．２ａ
２－２
３ａ－４
９
æ
è
ç
ö
ø
÷ ·（－９ａ）＝－１８ａ
３＋６ａ
２＋４ａ
８．「2025 江苏盐城期末，
」有一个魔术盒，当任意数对
（ａ，ｂ）进入其中时，会得到一个新的数３ｂ（ａ－２）．现
将数对（ｍ，２）放入其中，得到数ｎ，再将数对（ｎ，ｍ）
放入其中后，最后得到的数是１８ｍ
２－４２ｍ．（结果
化为最简）
９．
学科
特色
整体
思想「2025 山东青岛质检，
」阅读下列文字，并解
决问题．
已知ｘ
２ｙ＝３，求２ｘｙ（ｘ
５ｙ
２－３ｘ
３ｙ－４ｘ）的值．
解：因为ｘ
２ｙ＝３，
所以２ｘｙ（ｘ
５ｙ
２－３ｘ
３ｙ－４ｘ）＝２ｘ
６ｙ
３－６ｘ
４ｙ
２－８ｘ
２ｙ
＝２（ｘ
２ｙ）
３－６（ｘ
２ｙ）
２－８ｘ
２ｙ＝２×３
３－６×３
２－８×３＝－２４．
请你用上述方法解决问题：已知ａｂ＝３，求（２ａ
３ｂ
２－
３ａ
２ｂ＋４ａ）·（－２ｂ）的值．
解析 因为ａｂ＝３，
所以（２ａ
３ｂ
２－３ａ
２ｂ＋４ａ）·（－２ｂ）
＝－４ａ
３ｂ
３＋６ａ
２ｂ
２－８ａｂ
＝－４（ａｂ）
３＋６（ａｂ）
２－８ａｂ
＝－４×３
３＋６×３
２－８×３
＝－７８．
᮰
6
多项式乘多项式，其一当成单项式；单多相乘做加法，变成单乘多项式；单单相乘积相加，同类各项合并之．
初
中
数
学
八
年
级
上
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６４
第3 课时 多项式乘多项式
ۻᆱ݆
知识点１ 多项式乘多项式
１．「2025 河南南阳月考」计算（２ｍ＋１）（３ｍ－２），结果正确
的是
（Ａ）
Ａ．６ｍ
２－ｍ－２
Ｂ．６ｍ
２＋ｍ－２
Ｃ．６ｍ
２－２
Ｄ．５ｍ－１
２．如图，下列整式中不能正确表示图中阴影部分的面
积的是
（Ｃ）
Ａ．ｘ
２＋３（ｘ＋２）
Ｂ．ｘ（ｘ＋３）＋６
Ｃ．ｘ（ｘ＋３）＋２（ｘ＋３）
Ｄ．（ｘ＋３）（ｘ＋２）－２ｘ
３．「2025 湖南师大附中期末」设Ｍ＝（ｘ－３）（ｘ－４），Ｎ＝（ｘ－
２）（ｘ－５），则Ｍ与Ｎ的关系为
（Ａ）
Ａ．Ｍ＞Ｎ
Ｂ．Ｍ＜Ｎ
Ｃ．Ｍ＝Ｎ
Ｄ．无法确定
４．「2025 湖南衡阳期中」若（２ｘ＋ｍ）（ｘ－３）展开后的结果
不含ｘ的一次项，则ｍ的值是６．
５．若２ｘ
３－ａｘ
２－５ｘ＋５＝（２ｘ
２＋ａｘ－１）（ｘ－ｂ）＋３，其中ａ，ｂ
为整数，则ａ＋ｂ的值为４．
６．计算：
（１）（２ａ＋ｂ）（ａ－２ｂ）＋２ａ（ｂ－ａ）．
（２）２ｘ（ｘ－４）－（２ｘ－３）（ｘ＋２）．
解析 （１）（２ａ＋ｂ）（ａ－２ｂ）＋２ａ（ｂ－ａ）
＝２ａ
２－４ａｂ＋ａｂ－２ｂ
２＋２ａｂ－２ａ
２＝－ａｂ－２ｂ
２．
（２）２ｘ（ｘ－４）－（２ｘ－３）（ｘ＋２）
＝２ｘ
２－８ｘ－（２ｘ
２－３ｘ＋４ｘ－６）
＝２ｘ
２－８ｘ－２ｘ
２＋３ｘ－４ｘ＋６＝－９ｘ＋６．
７．
学科
特色
教材
变式先化简，再求值：２ｘ（ｘ－１）＋（ｘ－２）（ｘ＋７），其
中ｘ＝－４．
解析 原式＝２ｘ
２－２ｘ＋ｘ
２＋７ｘ－２ｘ－１４＝３ｘ
２＋３ｘ－１４．
当ｘ＝－４时，原式＝３×（－４）
２＋３×（－４）－１４＝２２．
８．「2025 云南大理州期末」如图，某小区有一块长为（３ａ＋
２ｂ）米，宽为（２ａ－３ｂ）米的长方形地块，角上有四个
边长为ｂ米的小正方形空地，开发商计划将阴影部
分进行绿化．
（１）求该小区绿化的总面积．
（２）若ａ＝１０，ｂ＝２，绿化成本为５０元／平方米，则完
成绿化共需要多少钱？
C
C
BC
B C
解析 （１）（３ａ＋２ｂ）（２ａ－３ｂ）－４ｂ
２
＝６ａ
２＋４ａｂ－９ａｂ－６ｂ
２－４ｂ
２
＝６ａ
２－５ａｂ－１０ｂ
２．
答：该小区绿化的总面积为（６ａ
２－５ａｂ－１０ｂ
２）平
方米．
（２）当ａ＝１０，ｂ＝２时，
６ａ
２－５ａｂ－１０ｂ
２＝６×１０
２－５×１０×２－１０×２
２＝４６０，
５０×４６０＝２３０００（元）．
答：完成绿化共需要２３０００元．
知识点２ （ｘ＋ｐ）（ｘ＋ｑ）型多项式的乘法
９．「2025 湖南长沙期末」若（ｙ＋２）（ｙ－３）＝ｙ
２＋ｍｙ＋ｎ，则
ｍ，ｎ的值分别为
（Ａ）
Ａ．－１，－６
Ｂ．１，－６
Ｃ．１，６
Ｄ．５，－６
１０．「2025 海南儋州期中」若（ｘ－１）（ｘ＋６）＝ｘ
２＋ｐｘ＋ｑ，则ｐ
＋ｑ的值为
（Ｃ）
Ａ．１１
Ｂ．－１１
Ｃ．－１
Ｄ．１
ᑧү Ӭ
１１．「2025 福建福州期末，
」已知ａ，ｂ是常数，若化简
（ｘ－ａ）（２ｘ
２＋ｂｘ－４）的结果不含ｘ的二次项，则１２ａ
－６ｂ－１的值为
（Ｂ）
Ａ．１
Ｂ．－１
Ｃ．５
Ｄ．－１３
᮰
6
整式化简求值主要分两步：第一步：化简，利用整式的运算法则进行化简；第二步：求值，将已知字母或已知整体
的取值代入化简的结果中计算．
第
十
六
章
整
式
的
乘
法
６５
１２．「2023 湖北随州中考，
」设有边长分别为ａ和ｂ（ａ
＞ｂ）的Ａ类和Ｂ类正方形纸片、长为ａ，宽为ｂ的
Ｃ类长方形纸片若干张．如图，要拼一个边长为ａ
＋ｂ的正方形，需要１张Ａ类纸片、１张Ｂ类纸片
和２张Ｃ类纸片．若要拼一个长为３ａ＋ｂ，宽为２ａ＋
２ｂ的长方形，则需要Ｃ类纸片的张数为
（Ｃ）
C
C
C
C
C
B
"
"
$
#
#
$
$
B
B
B
B
Ａ．６
Ｂ．７
Ｃ．８
Ｄ．９
１３．「2025 福建泉州期末，
」对于多项式ｘ－ａ，ｘ－ｂ，ｘ－
ｃ，ｘ－ｄ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ是常数），若ｘ－ａ与ｘ－ｂ的积减去
ｘ－ｃ与ｘ－ｄ的积，差为常数，则ａ，ｂ，ｃ，ｄ应满足的
关系是
（Ｃ）
Ａ．ａ＋ｂ＝－ｃ－ｄ
Ｂ．ａ－ｂ＝ｃ－ｄ
Ｃ．ａ＋ｂ＝ｃ＋ｄ
Ｄ．ａｂ＝ｃｄ
１４．「2025 湖南岳阳质检，
」４个数ａ、ｂ、ｃ、ｄ排列成
ａ
ｂ
ｃ
ｄ
，我们称之为二阶行列式，规定它的运算
法则为
ａ
ｂ
ｃ
ｄ
＝ａｄ－ｂｃ，若
２（ｘ－２） ｘ＋３
２ｘ－１
ｘ＋２
＝１５，
则ｘ＝－４．
１５．「2025 四川泸州期中，
」小马和小睿两人
共同计算一道整式乘法题：（３ｘ＋
ａ）（２ｘ＋ｂ），由于小马抄错了ａ的符号，得到的结果
为６ｘ
２－１７ｘ＋１２；由于小睿漏抄了第二个多项式中ｘ
的系数，得到的结果为３ｘ
２－５ｘ－１２．
（１）求ａ，ｂ的值．
（２）请你计算出这道整式乘法题的正确结果．
解析 （１）∵小马抄错了ａ的符号，得到的结果
为６ｘ
２－１７ｘ＋１２，
∴（３ｘ－ａ）（２ｘ＋ｂ）＝６ｘ
２－１７ｘ＋１２，
∴６ｘ
２＋（３ｂ－２ａ）ｘ－ａｂ＝６ｘ
２－１７ｘ＋１２，∴３ｂ－２ａ＝
－１７．
∵小睿漏抄了第二个多项式中ｘ的系数，得到的
结果为３ｘ
２－５ｘ－１２，
∴（３ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）＝３ｘ
２－５ｘ－１２，
∴３ｘ
２＋（ａ＋３ｂ）ｘ＋ａｂ＝３ｘ
２－５ｘ－１２，∴ａ＋３ｂ＝－５，
∴
３ｂ－２ａ＝－１７，
ａ＋３ｂ＝－５，
{
解得
ａ＝４，
ｂ＝－３．
{
（２）∵ａ＝４，ｂ＝－３，
∴（３ｘ＋ａ）（２ｘ＋ｂ）＝（３ｘ＋４）（２ｘ－３）
＝６ｘ
２－９ｘ＋８ｘ－１２
＝６ｘ
２－ｘ－１２．
１６．「2025 河南焦作期末，
」已知（ｘ
３＋ｍｘ＋ｎ）（ｘ
２＋ｘ－
２）展开式中不含ｘ
３项和ｘ
２项．
（１）求ｍ，ｎ的值．
（２）在（１）的条件下，求代数式（ｍ－ｎ）（ｍ
２＋ｍｎ＋
ｎ
２）的值．
解析 （１）（ｘ
３＋ｍｘ＋ｎ）（ｘ
２＋ｘ－２）＝ｘ
５＋ｘ
４＋（－２＋ｍ）ｘ
３
＋（ｍ＋ｎ）ｘ
２＋（－２ｍ＋ｎ）ｘ－２ｎ，
根据展开式中不含ｘ
３项和ｘ
２项得－２＋ｍ＝０，ｍ＋ｎ
＝０，解得ｍ＝２，ｎ＝－２．
（２）（ｍ－ｎ）（ｍ
２＋ｍｎ＋ｎ
２）＝ｍ
３＋ｍ
２ｎ＋ｍｎ
２－ｍ
２ｎ－ｍｎ
２
－ｎ
３＝ｍ
３－ｎ
３，
当ｍ＝２，ｎ＝－２时，原式＝２
３－（－２）
３＝８－（－８）
＝１６．
б ͞
１７．新
课标
运算能力你能化简（ａ－１）（ａ
９９＋ａ
９８＋ａ
９７＋…＋ａ
２＋ａ＋
１）吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，
归纳结论．
（１）先填空：（ａ－１）（ａ＋１）＝
；
（ａ－１）（ａ
２＋ａ＋１）＝
；
（ａ－１）（ａ
３＋ａ
２＋ａ＋１）＝
；……
由此猜想：（ａ－１）（ａ
９９＋ａ
９８＋ａ
９７＋…＋ａ
２＋ａ＋１）
＝
．
（２）利用这个结论，请你解决下面的问题：
①求２
１９９＋２
１９８＋２
１９７＋…＋２
２＋２＋１的值．
②若ａ
７＋ａ
６＋ａ
５＋ａ
４＋ａ
３＋ａ
２＋ａ＋１＝０，则ａ等于
多少？
见答案册Ｄ４５
᮰
6
零指数幂是由同底数幂的运算转换来的，当底数不为０的同底数幂相除时，被除式指数与除式的指数相等时即转化
成零指数幂，它的结果为１．
初
中
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八
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６６
第4 课时 同底数幂的除法
ۻᆱ݆
知识点１ 同底数幂的除法
１．「2024 江苏连云港中考」下列运算结果等于ａ
６的是
（Ｃ）
Ａ．ａ
３＋ａ
３
Ｂ．ａ·ａ
６
Ｃ．ａ
８÷ａ
２
Ｄ．（－ａ
２）
３
２．在算式ａ
ｍ＋ｎ÷（ ）＝ａ
ｍ－２中，括号内的式子应是
（Ｄ）
Ａ．ａ
ｍ＋ｎ－２
Ｂ．ａ
ｎ－２
Ｃ．ａ
ｍ＋ｎ＋３
Ｄ．ａ
ｎ＋２
３．若２
ｍ＝６，２
ｎ＝３，则２
ｍ－ｎ的值是
（Ａ）
Ａ．２
Ｂ．３
Ｃ．１８
Ｄ．９
４．「2025 上海静安期末」计算（－ａ）
４·ａ
３÷（－ａ
２）＝
－ａ
５
．
５．已知ａ
ｍ＝２，ａ
ｎ＝３，ａ
ｐ＝５，则ａ
２ｍ＋ｎ－ｐ的值是１２
５
．
６．计算：
（１）（－ｘ
２）
５÷（－ｘ
３）
２． （２）（ａ
２·ａ
５）÷（ａ·ａ
４）．
（３）［（ａ
２）
５·（－ａ
２）
３］÷（－ａ
４）
４．
解析 （１）（－ｘ
２）
５÷（－ｘ
３）
２＝－ｘ
１０÷ｘ
６＝－ｘ
４．
（２）（ａ
２·ａ
５）÷（ａ·ａ
４）＝ａ
７÷ａ
５＝ａ
２．
（３）［（ａ
２）
５·（－ａ
２）
３］÷（－ａ
４）
４
＝［ａ
１０·（－ａ
６）］÷ａ
１６＝－ａ
１６÷ａ
１６＝－１．
知识点２ 零指数幂
７．「2025 四川雅安中考」计算（１－３）
０的结果是
（Ｃ）
Ａ．－２
Ｂ．０
Ｃ．１
Ｄ．４
８．下列说法正确的是
（Ｄ）
Ａ．（π－３．１４）
０没有意义
Ｂ．任何数的０次幂都等于１
Ｃ．ａ
２·（２ａ）
３＝８ａ
６
Ｄ．若（ｘ＋４）
０＝１，则ｘ≠－４
９．计算：
（１）２×（－３）＋（－２０２５）
０＋（－２）
２．
（２）－１
２０２５×４＋（－３）
２＋（π－５）
０．
解析 （１）２×（－３）＋（－２０２５）
０＋（－２）
２＝－６＋１＋４＝
－１．
（２）－１
２０２５×４＋（－３）
２＋（π－５）
０
＝－１×４＋９＋１＝－４＋９＋１＝６．
ᑧү Ӭ
１０．「2024 浙江中考，
」下列式子运算正确的是
（Ｄ）
Ａ．ｘ
３＋ｘ
２＝ｘ
５
Ｂ．ｘ
３·ｘ
２＝ｘ
６
Ｃ．（ｘ
３）
２＝ｘ
９
Ｄ．ｘ
６÷ｘ
２＝ｘ
４
１１．「2025 湖南怀化期末，
」若ａ
ｘ＝８，ａ
ｙ＝４，则ａ
２ｘ－３ｙ的
值为１．
１２．「
」已知３
ｍ＝６，３
２ｍ－４ｎ＝２．若９
ｎ＝ｘ，则ｘ的值为
１８．
１３．「2024 湖南衡阳一中月考，
」先化简，再求值：（ｍ＋
２ｎ）
１５÷［（ｍ＋２ｎ）
３］
３÷［（－２ｎ－ｍ）
２］
２，其中ｍ＝３，ｎ
＝－２．
解析 原式＝（ｍ＋２ｎ）
１５÷（ｍ＋２ｎ）
９÷（ｍ＋２ｎ）
４
＝（ｍ＋２ｎ）
１５－９－４＝（ｍ＋２ｎ）
２，
当ｍ＝３，ｎ＝－２时，原式＝［３＋２×（－２）］
２＝（－１）
２
＝１．
１４．「2025 江苏镇江月考，
」若ａ
ｍ＝ａ
ｎ（ａ＞０，ａ≠１，ｍ，ｎ
都是正整数），则ｍ＝ｎ，利用上面结论解决下面的
问题：
（１）如果２
ｘ·２
３＝３２，求ｘ的值．
（２）如果２÷８
ｘ·１６
ｘ＝２
５，求ｘ的值．
（３）若ｘ＝５
ｍ－２，ｙ＝３－２５
ｍ，用含ｘ的代数式表
示ｙ．
解析 （１）∵２
ｘ·２
３＝３２，
∴２
ｘ＋３＝２
５，∴ｘ＋３＝５，∴ｘ＝２．
（２）∵２÷８
ｘ·１６
ｘ＝２
５，
∴２÷（２
３）
ｘ·（２
４）
ｘ＝２
５，
∴２÷２
３ｘ·２
４ｘ＝２
５，
∴２
１－３ｘ＋４ｘ＝２
５，
∴１－３ｘ＋４ｘ＝５，解得ｘ＝４．
（３）∵ｘ＝５
ｍ－２，∴ｘ＋２＝５
ｍ，
∴ｙ＝３－２５
ｍ＝３－（５
２）
ｍ＝３－（５
ｍ）
２＝３－（ｘ＋２）
２＝３－
ｘ
２－４ｘ－４＝－ｘ
２－４ｘ－１，即ｙ＝－ｘ
２－４ｘ－１．
᮰
6
单项式除以单项式最终转化为同底数幂相除．
第
十
六
章
整
式
的
乘
法
６７
第5 课时 单（多）项式除以单项式
ۻᆱ݆
知识点１ 单项式除以单项式
１．计算－３ａ
６ｂ
２ｃ÷９ａ
２ｂ的结果是
（Ｄ）
Ａ．－１
３ａ
３ｂ
２ｃ
Ｂ．－３ａ
４ｂｃ
Ｃ．－３ａ
３ｂ
２ｃ
Ｄ．－１
３ａ
４ｂｃ
２．「2025 海南海口期末」若ａ
５ｂ
２÷ １
２ａ
ｍｂ
ｎ＝２ａ，则ｍ，ｎ的
值分别为
（Ａ）
Ａ．４，２
Ｂ．４，０
Ｃ．５，２
Ｄ．５，０
３．「2025 四川成都质检」计算－３
４ａ
６ｂ
７
æ
è
ç
ö
ø
÷ ÷
１
２ａ
２ｂ
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
＝
－３ａ
２ｂ
５
．
４．计算：
（１）（３ａ
２ｂ）
３·（－２ａｂ
４）
２÷６ａ
５ｂ
３．
（２）７ｘ
３ｙ
２÷ （－７ｘ
５ｙ
３）÷ －１
３ｘ
３ｙ
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
é
ë
êê
ù
û
úú ．
解析
（１）（３ａ
２ｂ）
３·（－２ａｂ
４）
２÷６ａ
５ｂ
３＝２７ａ
６ｂ
３·
４ａ
２ｂ
８÷６ａ
５ｂ
３＝１０８ａ
８ｂ
１１÷６ａ
５ｂ
３＝１８ａ
３ｂ
８．
（２）７ｘ
３ｙ
２÷ （－７ｘ
５ｙ
３）÷ －１
３ｘ
３ｙ
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
é
ë
êê
ù
û
úú ＝７ｘ
３ｙ
２÷２１ｘ
２ｙ＝
１
３ｘｙ．
５．已知（－３ｘ
４ｙ
３）
３÷ －３
２ｘ
ｎｙ
２
æ
è
ç
ö
ø
÷ ＝－ｍｘ
８ｙ
７，求ｍ，ｎ的值．
解析
因为（－３ｘ
４ｙ
３）
３÷ －３
２ｘ
ｎｙ
２
æ
è
ç
ö
ø
÷ ＝－２７ｘ
１２ｙ
９÷
－３
２ｘ
ｎｙ
２
æ
è
ç
ö
ø
÷ ＝（－２７）÷ －３
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
é
ë
êê
ù
û
úú ·ｘ
１２－ｎｙ
９－２＝１８ｘ
１２－ｎｙ
７
＝－ｍｘ
８ｙ
７，所以－ｍ＝１８，１２－ｎ＝８，解得ｍ＝－１８，ｎ
＝４．
６．「2025 河南驻马店月考」观察下面依次排列的单项式：
ｘ，－２ｘ
２，４ｘ
３，－８ｘ
４，１６ｘ
５，…
（１）从第二个单项式起，计算每一个单项式与它前
面的单项式的商，你有什么发现？
（２）如果按你发现的规律继续写下去，第１０个单
项式是什么？
解析 （１）－２ｘ
２÷ｘ＝－２ｘ，
（４ｘ
３）÷（－２ｘ
２）＝－２ｘ，
（－８ｘ
４）÷４ｘ
３＝－２ｘ，
（１６ｘ
５）÷（－８ｘ
４）＝－２ｘ，
……
所以从第二个单项式起，每一个单项式与它前面的
单项式的商都是－２ｘ．
（２）ｘ，－２ｘ
２，４ｘ
３＝２
２ｘ
３，－８ｘ
４＝－２
３ｘ
４，１６ｘ
５＝
２
４ｘ
５，……
所以第１０个单项式是－２
９ｘ
１０．
知识点２ 多项式除以单项式
７．「2025 云南昆明期末」计算（１２ｘ
３－８ｘ
２＋４ｘ）÷（－４ｘ）＝
（Ｃ）
Ａ．－３ｘ
２＋２ｘ
Ｂ．－３ｘ
２－２ｘ
Ｃ．－３ｘ
２＋２ｘ－１
Ｄ．３ｘ
２－２ｘ＋１
８．小明把弟弟的作业本撕掉了一角，留下一道残缺
不全的题目，如图所示，请你帮他推测出被除式
应等于
（Ｂ）
Ａ．ｘ
２－８ｘ＋６
Ｂ．５ｘ
３－１５ｘ
２＋３０ｘ
Ｃ．５ｘ
３－１５ｘ
２＋６
Ｄ．ｘ
２＋２ｘ＋６
９．计算：（９ａ
３ｂ－６ａ
２ｂ
２＋３ａｂ）÷３ａｂ＋３ａｂ．
解析 （９ａ
３ｂ－６ａ
２ｂ
２＋３ａｂ）÷３ａｂ＋３ａｂ
＝３ａ
２－２ａｂ＋１＋３ａｂ
＝３ａ
２＋ａｂ＋１．
１０．先化简，再求值：（１５ｘ
３ｙ
５－１０ｘ
４ｙ
４－２０ｘ
３ｙ
２）÷
（－５ｘ
３ｙ
２），其中ｘ＝１
２，ｙ＝－２．
解析
（１５ｘ
３ｙ
５－１０ｘ
４ｙ
４－２０ｘ
３ｙ
２）÷ （－５ｘ
３ｙ
２）＝
１５ｘ
３ｙ
５÷（－５ｘ
３ｙ
２）－１０ｘ
４ｙ
４÷ （－５ｘ
３ｙ
２）－２０ｘ
３ｙ
２÷
（－５ｘ
３ｙ
２）＝－３ｙ
３＋２ｘｙ
２＋４．当ｘ＝１
２，ｙ＝－２时，原式
＝－３×（－２）
３＋２× １
２×（－２）
２＋４＝３２．
１１．「2025 江苏泰州月考」已知多项式ｘ
３－ｘ
２＋ａｘ＋３除以
ｂｘ，商式是ｘ
２－ｘ－５，余式为３，求ａ＋ｂ的值．
见答案册Ｄ４６
᮰
6
多项式除以单项式时，商的项数与多项式的项数相同．
初
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６８
ᑧү Ӭ
１２．「
」小亮在计算（６ｘ
３ｙ－３ｘ
２ｙ
２）÷３ｘｙ时，错把括
号内的减号写成了加号，那么正确结果与错误结
果的乘积是
（Ｃ）
Ａ．２ｘ
２－ｘｙ
Ｂ．２ｘ
２＋ｘｙ
Ｃ．４ｘ
４－ｘ
２ｙ
２
Ｄ．无法计算
１３．「2025 四川眉山期末，
」已知三角形的面积为
－９ｍ
４－３ａ
２ｍ
３＋ａｍ
２，一边长为３ｍ
２，则这条边上的
高为－６ｍ
２－２ａ
２ｍ＋２
３ａ．
１４．「2025 河北石家庄二中质检，
」信息时代确保信息
的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密
传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，
接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加
密规则如图所示，当发送方发出ａ＝３，ｂ＝２时，解
密后ｍｎ＝１１．
ܦB C
?ჲܦN O
N B BC
O BCB p B
C
１５．「2025 广东中山质检，
」已知ｘ
ｍ＝２，ｘ
ｎ＝－３，ｙ
ｍ＝
１
２，ｙ
ｎ＝１，化简并求值：（－４ｘ
ｍ＋２ｎｙ
３ｍ－ｎ）÷
（－２ｘ
３ｍｙ
ｍ－ｎ）．
解析
原式＝［（－４）÷（－２）］·（ｘ
ｍ＋２ｎ÷ｘ
３ｍ）·
（ｙ
３ｍ－ｎ÷ｙ
ｍ－ｎ）＝２ｘ
２ｎ－２ｍｙ
２ｍ，
当ｘ
ｍ＝２，ｘ
ｎ＝－３，ｙ
ｍ＝１
２，ｙ
ｎ＝１时，
原式＝２ｘ
２ｎ÷ｘ
２ｍ·（ｙ
ｍ）
２＝２（ｘ
ｎ）
２÷（ｘ
ｍ）
２·（ｙ
ｍ）
２
＝２×（－３）
２÷２
２×
１
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
＝２×９÷４× １
４＝２×９× １
４× １
４
＝９
８．
б ͞
１６．新
课标
运算能力观察下列式子：
（ｘ
２－１）÷（ｘ－１）＝ｘ＋１；
（ｘ
３－１）÷（ｘ－１）＝ｘ
２＋ｘ＋１；
（ｘ
４－１）÷（ｘ－１）＝ｘ
３＋ｘ
２＋ｘ＋１；
（ｘ
５－１）÷（ｘ－１）＝ｘ
４＋ｘ
３＋ｘ
２＋ｘ＋１；
……
（１）猜想：（ｘ
７－１）÷（ｘ－１）＝ ．
（２）计算：（ｘ
ｎ－１）÷（ｘ－１）＝ ．
（３）计算：１＋２＋２
２＋２
３＋２
４＋…＋２
２０２５．
解析 （１）（ｘ
７－１）÷（ｘ－１）＝ｘ
６＋ｘ
５＋ｘ
４＋ｘ
３＋ｘ
２＋ｘ
＋１．
（２）由题意得（ｘ
ｎ－１）÷（ｘ－１）＝ｘ
ｎ－１＋ｘ
ｎ－２＋…＋ｘ
２＋ｘ
＋１．
（３）由题意得１＋２＋２
２＋２
３＋２
４＋…＋２
２０２５＝（２
２０２６－
１）÷（２－１）＝２
２０２６－１．
１７．新
课标
运算能力我们已经学习过多项式除以单项式，多
项式除以多项式一般可用竖式计算．
例如：计算（６ｘ
４－７ｘ
３－ｘ
２－１）÷（２ｘ＋１），可用竖式除
法，如图：
所以６ｘ
４－７ｘ
３－ｘ
２－１除以（２ｘ＋１）的商式为３ｘ
３－
５ｘ
２＋２ｘ－１，余式为０．
根据所给材料，请回答下列问题：
（１）（ｘ
３－４ｘ
２＋７ｘ－５）÷（ｘ－２）的商式是
，
余式是
．
（２）ｘ
３－ｘ
２＋ａｘ＋ｂ能被（ｘ
２＋２ｘ＋２）整除，求ａ，ｂ
的值．
见答案册Ｄ４７
᮰
6
两数和乘两数差，等于两数平方差，同项平方被减数，相反平方作减数．
第
十
六
章
整
式
的
乘
法
６９
１６．３ 乘法公式
１６．３．１ 平方差公式
ۻᆱ݆
知识点１ 平方差公式
１．「2025 湖北武汉期末」下列整式乘法中，能用平方差公
式简便计算的是
（Ｂ）
Ａ．（２ａ＋ｂ）（ａ－２ｂ）
Ｂ．（ａ＋２ｂ）（２ｂ－ａ）
Ｃ．（－ａ＋ｂ）（ｂ－ａ）
Ｄ．（－ａ－ｂ）（ａ＋ｂ）
２．计算（１－２ｘ）（１＋２ｘ）的结果是
（Ｂ）
Ａ．４ｘ
２＋１
Ｂ．１－４ｘ
２
Ｃ．４ｘ
２
Ｄ．－４ｘ
２－１
３．
学科
特色
教材
变式下列运算正确的是
（Ｄ）
Ａ．（ｘ－ｙ）（－ｘ－ｙ）＝－ｘ
２－ｙ
２
Ｂ．（－１＋ｘｙ）（１＋ｘｙ）＝－１－ｘ
２ｙ
２
Ｃ．（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）＝ｘ
２＋ｙ
２
Ｄ．（２ｘ＋３）（２ｘ－３）＝４ｘ
２－９
４．「2025 湖北武汉期末」从图１到图２的变化过程中可
以发现的结论是
（Ｂ）
BC
C
B
图１
BC
B
C
C
图２
Ａ．（ａ－ｂ）
２＝ａ
２－２ａｂ＋ｂ
２
Ｂ．（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ
２－ｂ
２
Ｃ．（ａ＋ｂ）
２＝ａ
２＋２ａｂ＋ｂ
２
Ｄ．ａ
２＋２ａｂ＋ｂ
２＝（ａ＋ｂ）
２
５．在横线上添上适当的整式：（４ｘ－３ｙ）·（－４ｘ－
３ｙ）＝９ｙ
２－１６ｘ
２．
６．「2025 北京门头沟期末」当ｍ
２＋２ｍ－２＝０时，代数式（ｍ
＋１）（ｍ－１）＋２ｍ的值为１．
７．「2025 北京丰台期末」计算：
（１）２ａ（ａ－１）＋（ａ＋３）（ａ－３）．
（２）（３ｘ＋ｙ）（ｙ－３ｘ）－ｘ（３ｙ－９ｘ）．
解析 （１）２ａ（ａ－１）＋（ａ＋３）（ａ－３）
＝２ａ
２－２ａ＋ａ
２－９
＝３ａ
２－２ａ－９．
（２）（３ｘ＋ｙ）（ｙ－３ｘ）－ｘ（３ｙ－９ｘ）＝ｙ
２－（３ｘ）
２－（３ｘｙ－
９ｘ
２）
＝ｙ
２－９ｘ
２－３ｘｙ＋９ｘ
２＝ｙ
２－３ｘｙ．
８．运用平方差公式计算：
（１）（ｘ＋３）（ｘ－３）（ｘ
２＋９）．
（２）ｘ－１
２
æ
è
ç
ö
ø
÷ ｘ
２＋１
４
æ
è
ç
ö
ø
÷ ｘ＋１
２
æ
è
ç
ö
ø
÷ ．
解析 （１）（ｘ＋３）（ｘ－３）（ｘ
２＋９）＝（ｘ
２－９）（ｘ
２＋９）＝
ｘ
４－８１．
（２）ｘ－１
２
æ
è
ç
ö
ø
÷ ｘ
２＋１
４
æ
è
ç
ö
ø
÷ ｘ＋１
２
æ
è
ç
ö
ø
÷ ＝ｘ
２－１
４
æ
è
ç
ö
ø
÷ ｘ
２＋１
４
æ
è
ç
ö
ø
÷
＝ｘ
４－１
１６．
知识点２ 平方差公式的应用
９．若ａ＝２０２２
０，ｂ＝２０２５×２０２３－２０２４
２，ｃ＝－２
３
æ
è
ç
ö
ø
÷
２０２５
× ３
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
２０２６
，则ａ，ｂ，ｃ的大小关系是
（Ｄ）
Ａ．ｂ＜ａ＜ｃ
Ｂ．ａ＜ｂ＜ｃ
Ｃ．ａ＜ｃ＜ｂ
Ｄ．ｃ＜ｂ＜ａ
１０．请利用平方差公式进行简便计算：
（１）１０３×９７． （２）５０１
７×４９６
７．
见答案册Ｄ４７
１１．如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为ａ，ｂ的
正方形秧田Ａ，Ｂ，其中不能使用的面积为Ｍ．
（１）用含ａ，Ｍ的式子表示Ａ中能使用的面积：
．
（２）若ａ＋ｂ＝１０，ａ－ｂ＝５，求Ａ比Ｂ多出的使用
面积．
见答案册Ｄ４７
᮰
6
运用平方差公式的前提是两个因式具有两数和与两数差的积的形式，有的要经过适当变形才具有公式的特征，因此
在计算前应仔细观察或灵活变化．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
７０
ᑧү Ӭ
１２．「2024 四川遂宁中考，
」下列运算结果正确的是
（Ｄ）
Ａ．３ａ－２ａ＝１
Ｂ．ａ
２·ａ
３＝ａ
６
Ｃ．（－ａ）
４＝－ａ
４
Ｄ．（ａ＋３）（ａ－３）＝ａ
２－９
１３．「2024 山东菏泽期末，
」从前，一位地主把一块边
长为ａ米（ａ＞６）的正方形土地租给租户张老汉．
第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加
６米，相邻的另一边减少６米，变成长方形土地继
续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”
如果这样，你觉得张老汉的租地面积会
（Ｃ）
Ａ．没有变化
Ｂ．变大了
Ｃ．变小了
Ｄ．无法确定
１４．「2025 贵州毕节期末，
」如图，点Ｄ，Ｃ，Ｈ，Ｇ分别在
长方形ＡＢＪＩ的边上，点Ｅ，Ｆ在ＣＤ上，若正方形
ＡＢＣＤ的面积等于１０，图中阴影部分的面积和为
４，则正方形ＥＦＧＨ的面积为
（Ｃ）
"
#
%
&
'
$
+
(
)
*
Ａ．３
Ｂ．２．５
Ｃ．２
Ｄ．１．５
１５．新
考向
代数推理「2025 重庆南开中学月考，
」下列选项中，
对于任意的整数ｎ，能整除（ｎ＋３）（ｎ－３）－（ｎ＋２）·
（ｎ－２）的整数是
（Ｃ）
Ａ．４
Ｂ．３
Ｃ．５
Ｄ．２
１６．「2025 山东青岛二中期末，
」３（２
２＋１）（２
４＋１）（２
８＋
１）（２
１６＋１）（２
３２＋１）＋１计算结果的个位数字是
（Ｂ）
Ａ．４
Ｂ．６
Ｃ．２
Ｄ．８
１７．「
」如图所示的是一道例题及部分解答过程，
其中Ａ，Ｂ是两个关于ｘ，ｙ的二项式．
请仔细观察例题及解答过程，解答下列问题：
（１）直接写出多项式Ａ和Ｂ，并求出该例题的运
算结果．
（２）求多项式Ａ与Ｂ的平方差．
解析 （１）Ａ＝２ｘ－３ｙ，Ｂ＝２ｘ＋３ｙ，
原式＝４ｘ－６ｙ－６ｘ－９ｙ＝－２ｘ－１５ｙ．
（２）Ａ
２－Ｂ
２＝（２ｘ－３ｙ）
２－（２ｘ＋３ｙ）
２＝（２ｘ－３ｙ＋２ｘ＋３ｙ）
·（２ｘ－３ｙ－２ｘ－３ｙ）＝４ｘ·（－６ｙ）＝－２４ｘｙ．
б ͞
１８．新
课标
运算能力乘法公式的探究与应用：
（１）如图甲，边长为ａ的大正方形中有一个边长
为ｂ的小正方形，则阴影部分的面积是
．
（２）小颗将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，
如图乙，则长方形的长是
，宽是
，面积是
（写成多项式
乘法的形式）．
（３）比较甲、乙两图阴影部分的面积，可以得到恒
等式：
．
（４）运用你所得到的公式计算：１０．３×９．７．
（５）若４９ｘ
２－ｙ
２＝２５，７ｘ－ｙ＝５，则７ｘ＋ｙ的值为
．
图甲
图乙
解析 （１）阴影部分的面积＝大正方形的面积－
小正方形的面积＝ａ
２－ｂ
２．故答案为ａ
２－ｂ
２．
（２）长方形的长是ａ＋ｂ，宽是ａ－ｂ，面积＝长×宽＝
（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）．故答案为ａ＋ｂ；ａ－ｂ；（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）．
（３）由（１）（２）可得（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ
２－ｂ
２．
（４）１０．３×９．７＝（１０＋０．３）×（１０－０．３）＝１０
２－０．３
２＝
１００－０．０９＝９９．９１．
（５）∵４９ｘ
２－ｙ
２＝２５，∴（７ｘ＋ｙ）（７ｘ－ｙ）＝２５．
∵７ｘ－ｙ＝５，∴（７ｘ＋ｙ）×５＝２５，∴７ｘ＋ｙ＝５．
故答案为５．
᮰
6
形如ａ
２±２ａｂ＋ｂ
２的式子，即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的２倍的式子，称为完全平方式．
第
十
六
章
整
式
的
乘
法
７１
１６．３．２ 完全平方公式
第1 课时 完全平方公式
ۻᆱ݆
知识点１ 完全平方公式
１．计算（ｘ＋２ｙ）
２＝
（Ａ）
Ａ．ｘ
２＋４ｘｙ＋４ｙ
２
Ｂ．ｘ
２＋２ｘｙ＋４ｙ
２
Ｃ．ｘ
２＋４ｘｙ＋２ｙ
２
Ｄ．ｘ
２＋４ｙ
２
２．「2025 浙江杭州质检」下列运算：①（３ｘ＋ｙ）
２＝９ｘ
２＋ｙ
２；
②（ａ－２ｂ）
２＝ａ
２－４ｂ
２；③（－ｘ－ｙ）
２＝ｘ
２＋２ｘｙ＋ｙ
２；
④ｘ－１
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
＝ｘ
２－２ｘ＋１
４．其中，运算错误的有（Ｃ）
Ａ．１个
Ｂ．２个
Ｃ．３个
Ｄ．４个
３．新
考向
新定义题设ａ，ｂ是实数，定义Φ 的一种运算如下：
ａΦｂ＝（ａ＋ｂ）
２－（ａ－ｂ）
２，则下列结论中不正确的是
（Ｂ）
Ａ．ａΦｂ＝ｂΦａ
Ｂ．若ａΦｂ＝０，则ａ＝０且ｂ＝０
Ｃ．若ａΦｂ＝（－ａ）Φｂ，则ａ＝０或ｂ＝０
Ｄ．若ａΦ（ｂ＋ｃ）＝ａΦｂ＋ａΦｃ
４．如图，两个阴影部分都是正方形，
用两种方式表示这两个正方形的
面积和，可以得到的等式为
ａ
２＋
ｂ
２＝（ａ＋ｂ）
２－２ａｂ
．
５．计算：
（１）（２ａ＋５ｂ）
２． （２）１
２ｘ－２ｙ
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
．
（３）（－４ａ＋３ｂ）
２．
（４）（－ｘ－ｙ）
２．
解析 （１）原式＝４ａ
２＋２０ａｂ＋２５ｂ
２．
（２）原式＝１
４ｘ
２－２ｘｙ＋４ｙ
２．
（３）原式＝（３ｂ－４ａ）
２＝９ｂ
２－２４ａｂ＋１６ａ
２．
（４）原式＝（ｘ＋ｙ）
２＝ｘ
２＋２ｘｙ＋ｙ
２．
知识点２ 完全平方公式的应用
６．
学科
特色
教材
变式运用完全平方公式计算：
（１）２０１
２． （２）９９．８
２．
解析
（１）２０１
２＝（２００＋１）
２＝４００００＋４００＋１＝
４０４０１．
（２）９９．８
２＝（１００－０．２）
２
＝１００００－４０＋０．０４
＝９９６０．０４．
７．「2025 河南驻马店期末」已知ｘ＋ｙ＝４，ｘｙ＝２，求下列各
式的值：
（１）ｘ
２＋ｙ
２． （２）ｙ
ｘ＋ｘ
ｙ．
解析 （１）∵ｘ＋ｙ＝４，ｘｙ＝２，
∴ｘ
２＋ｙ
２＝（ｘ＋ｙ）
２－２ｘｙ＝４
２－２×２＝１６－４＝１２．
（２）由（１）知ｘ
２＋ｙ
２＝１２，
∵ｘｙ＝２，∴ｙ
ｘ＋ｘ
ｙ＝ｙ
２＋ｘ
２
ｘｙ
＝１２
２＝６．
８．「2025 福建厦门月考」如图，某中学校园内有一块长为
（４ａ＋ｂ）米，宽为（３ａ＋ｂ）米的长方形地块，学校计划
在中间留一块边长为（ａ＋ｂ）米的正方形地块修建一
座雕像，然后将阴影部分进行绿化．
（１）求绿化部分的面积（用含ａ，ｂ的代数式表示）．
（２）当ａ＝３，ｂ＝２时，求绿化部分的面积．
B C
B C
B C
B C
解析 （１）根据题意可得绿化部分的面积＝（４ａ＋
ｂ）·（３ａ＋ｂ）－（ａ＋ｂ）
２＝（１１ａ
２＋５ａｂ）平方米．
（２）当ａ＝３，ｂ＝２时，绿化部分的面积＝１１ａ
２＋５ａｂ＝
１１×３
２＋５×３×２＝１２９（平方米）．
ᑧү Ӭ
９．「2025 安徽芜湖期末，
」已知ａ
２＋ｂ
２＝１６，且１
２ａｂ＝
－３，则ａ＋ｂ的值是
（Ｄ）
Ａ．４
Ｂ．±４
Ｃ．２
Ｄ．±２
１０．「2025 重庆八中月考，
」设ａ＝ｘ－２０２４，ｂ＝ｘ－
２０２６，ｃ＝ｘ－２０２５，若ａ
２＋ｂ
２＝５６，则ｃ
２＝
（Ａ）
Ａ．２７
Ｂ．２４
Ｃ．２２
Ｄ．２０
᮰
6
完全平方公式：两数和或差的平方，展开后共有三项，首平方，尾平方，乘积的２倍在中央，积的符号看前方．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
７２
１１．
学科
特色多解法「2024 陕西延安月考，
」给等式中的某些
字母赋予一定的特殊值，可以解决一些问题．比如
对于等式（ｘ＋３）
２＝ａｘ
２＋ｂｘ＋ｃ，当ｘ＝０时，可得３
２＝
ｃ，计算得ｃ＝９．请你再给ｘ赋不同的值，可计算得
４ａ＋２ｂ＝１６．
１２．「
」先化简，再求值：
［（２ｘ＋ｙ）
２＋（ｙ＋２ｘ）（ｙ－２ｘ）－２ｙ（４ｘ－ｙ）］÷４ｙ，其中
ｘ＝２０２６，ｙ＝２０２５．
见答案册Ｄ４９
１３．「2025 山西太原三十六中月考，
」解下列方程或不
等式：
（１）（２ｘ－１）
２＝４（ｘ－２）（ｘ＋２）．
（２）（３ｘ－１）
２－（２ｘ－１）
２＞５（ｘ－１）（ｘ＋１）．
见答案册Ｄ４９
б ͞
１４．新
课标
运算能力「2025 广东佛山调研」
（１）从图１～３中任意选择一个，通过计算图中阴
影部分的面积，可得到关于ａ，ｂ的等量关系
是
．
（２）尝试解决：
①若ｍ＋ｎ＝３，ｍ
２＋ｎ
２＝８，则ｍｎ＝
．
②若ａ－３ｂ＝３，ａｂ＝２，求（ａ＋３ｂ）
２的值．
③若（７－ｘ）（８－ｘ）＝６，求（７－ｘ）
２＋（８－ｘ）
２
的值．
（３）填数游戏：如图４，把数字１～９填入构成三角
形形状的９个圆圈中，使得各边上的四个数
字的和都等于１７，将每边四个数字的平方和
分别记为Ａ，Ｂ，Ｃ，已知Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝２９９．如果将
位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数
字分别表示为ｘ，ｙ，ｘ＋ｙ，求ｘｙ的值．
B
B
C
C
图１
B
B
C
C
图２
B
C
图３
Z
Y
Y Z
图４
见答案册Ｄ４９
微专题
利用完全平方公式及其变形求式子的值
"
#
$
%
方法指引 （ａ＋ｂ）
２，（ａ－ｂ）
２，ａ
２＋ｂ
２，ａｂ有如下关系：
BC
B C
B C
BC
BC
BC
因此，已知其中两个量的值，可根据它们之间的关
系求解其余两个量的值．
１．「2025 河南南阳期末」已知（ｘ＋ｙ）
２＝２５，（ｘ－ｙ）
２＝９，
则ｘｙ，ｘ
２＋ｙ
２的值分别为４，１７．
２．「2025 山西吕梁期末」已知ｘ
４＋１
ｘ
４＝１４，则ｘ
２＋１
ｘ
２的值
为４．
３．「2025 广东广州期末」如图，以长方形
ＡＢＣＤ的四条边为边向外作四个正
方形，设计出“中”字图案，若四个
正方形的周长之和为４０，面积之和为２６，则长方形
ＡＢＣＤ的面积为６．
᮰
6
去、添括号法则：去括号、添括号，关键看符号，括号前面是正号，去、添括号不变号；括号前面是负号，去、添
括号都变号．
第
十
六
章
整
式
的
乘
法
７３
第2 课时 添括号法则
ۻᆱ݆
知识点 添括号法则
１．「2025 北京海淀质检」下列添括号错误的是
（Ａ）
Ａ．－ｘ＋５＝－（ｘ＋５）
Ｂ．－７ｍ－２ｎ＝－（７ｍ＋２ｎ）
Ｃ．ａ
２－３＝＋（ａ
２－３）
Ｄ．２ｘ－ｙ＝－（ｙ－２ｘ）
２．下列各式中，去括号或添括号正确的是
（Ｂ）
Ａ．ａ
２－（ｂ＋ｃ）＝ａ
２－ｂ＋ｃ
Ｂ．ａ－［１－（ｂ＋ｃ）］＝ａ＋ｂ＋ｃ－１
Ｃ．ａ－２ｘ＋ｙ＝ａ＋（－２ｘ－ｙ）
Ｄ．ｘ－ａ＋ｙ－ｂ＝（ｘ＋ｙ）－（ａ－ｂ）
３．「2025 广西南宁八中月考」下列添括号错误的是（Ｄ）
Ａ．３－４ｘ＝－（４ｘ－３）
Ｂ．（ａ＋ｂ）－２ａ－ｂ＝（ａ＋ｂ）－（２ａ＋ｂ）
Ｃ．－ｘ
２＋５ｘ－４＝－（ｘ
２－５ｘ＋４）
Ｄ．－ａ
２＋４ａ＋ａ
３－５＝－（ａ
２－４ａ）－（ａ
３＋５）
４．在括号内填上适当的项．
（１）ａ－２ｂ＋ｃ＋ｄ＝ａ－（２ｂ－ｃ－ｄ）．
（２）－ａ－３ｂ＋ｃ＝－（ａ＋３ｂ－ｃ）．
（３）ｘ
２－２ｙ
２＋２ｘ－３ｙ＝（ｘ
２－２ｙ
２）＋２ｘ－３ｙ．
（４）ｘ
２－ｙ
２－ｘ－ｙ＝ｘ
２－ｘ－（ｙ
２＋ｙ
）．
５．
学科
特色
教材
变式计算：
（１）（ａ＋ｂ－１）
２． （２）（ｘ－２ｙ－１）
２．
（３）（ａ
２－ａ＋１）（ａ
２＋ａ＋１）．
（４）（３ｍ＋２ｎ－ｐ）（３ｍ－２ｎ＋ｐ）．
解析 （１）（ａ＋ｂ－１）
２＝（ａ＋ｂ）
２－２（ａ＋ｂ）＋１
＝ａ
２＋２ａｂ＋ｂ
２－２ａ－２ｂ＋１．
（２）（ｘ－２ｙ－１）
２＝（ｘ－２ｙ）
２－２（ｘ－２ｙ）＋１
＝ｘ
２－４ｘｙ＋４ｙ
２－２ｘ＋４ｙ＋１．
（３）（ａ
２－ａ＋１）（ａ
２＋ａ＋１）＝［（ａ
２＋１）－ａ］［（ａ
２＋１）＋ａ］
＝（ａ
２＋１）
２－ａ
２＝ａ
４＋２ａ
２＋１－ａ
２＝ａ
４＋ａ
２＋１．
（４）（３ｍ＋２ｎ－ｐ）（３ｍ－２ｎ＋ｐ）
＝［３ｍ＋（２ｎ－ｐ）］［３ｍ－（２ｎ－ｐ）］
＝（３ｍ）
２－（２ｎ－ｐ）
２＝９ｍ
２－４ｎ
２＋４ｎｐ－ｐ
２．
ᑧү Ӭ
６．
学科
特色易错题「2025 河北廊坊月考，
」若（ａ
２＋ｂ
２＋１）（ａ
２＋
ｂ
２－１）＝３５，则ａ
２＋ｂ
２＝
（Ｂ）
Ａ．３
Ｂ．６
Ｃ．±３
Ｄ．±６
７．「2025 河北廊坊月考，
」当ｘ＝－１时，ａｘ＋ｂ＋１的值
为－３，求（ａ－ｂ－１）（１－ａ＋ｂ）的值．
解析 ∵当ｘ＝－１时，ａｘ＋ｂ＋１的值为－３，∴－ａ＋ｂ＋
１＝－３，∴－ａ＋ｂ＝－４，∴ａ－ｂ＝４，
∴（ａ－ｂ－１）（１－ａ＋ｂ）
＝［（ａ－ｂ）－１］［１－（ａ－ｂ）］
＝（４－１）×（１－４）＝－９．
８．新
考向
代数推理「
」若ｍ≠０，Ｑ＝（ｍ
２－ｍ＋１）（ｍ
２＋ｍ＋１），
Ｐ＝（ｍ＋１）
２（ｍ－１）
２，猜想Ｑ与Ｐ的大小关系，并证
明你的猜想．
解析 Ｑ＞Ｐ．证明如下：
Ｑ－Ｐ＝（ｍ
２－ｍ＋１）（ｍ
２＋ｍ＋１）－（ｍ＋１）
２（ｍ－１）
２
＝（ｍ
２＋１）
２－ｍ
２－（ｍ
２－１）
２
＝（ｍ
２＋１＋ｍ
２－１）（ｍ
２＋１－ｍ
２＋１）－ｍ
２
＝４ｍ
２－ｍ
２＝３ｍ
２．
∵ｍ≠０，∴３ｍ
２＞０．∴Ｑ－Ｐ＞０．∴Ｑ＞Ｐ．
б ͞
９．新
课标
抽象能力
学科
特色
教材
变式我国古代数学的许多发现都曾位居
世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三
角形的构造法则：两腰上的数都是１，其余每个数
均为其上方左右两数之和，它给出了（ａ＋ｂ）
ｎ（ｎ为
正整数）的展开式（按ａ的次数由大到小的顺序排
列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数
１，２，１，恰好对应着（ａ＋ｂ）
２＝ａ
２＋２ａｂ＋ｂ
２展开式中的
系数；第四行的四个数１，３，３，１，恰好对应着
（ａ＋ｂ）
３＝ａ
３＋３ａ
２ｂ＋３ａｂ
２＋ｂ
３展开式中的系数等等．
B C
B C
B C
ćććććć
ćććććć
ćććććć
ćć
（１）根据上面的规律，写出（ａ＋ｂ）
６的展开式．
（２）利用上面的规律计算：２
６－６×２
５＋１５×２
４－２０×２
３
＋１５×２
２－６×２＋１．
见答案册Ｄ５０
᮰
6
求与完全平方式有关的字母取值的方法：可根据首项、尾项和中间项三者之间的关系，由其中两项求出字母的值，
要注意中间项的符号有“±”两种情况．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
７４
第十六章自主检测
范围：整式的乘法
满分
１００分
限时
４０分钟
一、选择题（每小题５分，共４０分）
１．「2025 江苏南通期末」下列运算正确的是
（Ｂ）
Ａ．ａ
３·ａ
３＝ａ
９
Ｂ．ａ
６÷ａ
２＝ａ
４
Ｃ．（ａ
３）
２＝ａ
５
Ｄ．（ａｂ）
３＝ａｂ
３
２．「2025 广东湛江期末」若（
）·２ａ
２ｂ＝４ａ
３ｂ，则括号
内应填的单项式是
（Ｂ）
Ａ．ａ
Ｂ．２ａ
Ｃ．ａｂ
Ｄ．２ａｂ
３．下列运算正确的是
（Ｄ）
Ａ．ａ
４＋ａ
３＝ａ
７
Ｂ．（ａ－１）
２＝ａ
２－１
Ｃ．（２ａ
３ｂ）
２＝２ａ
６ｂ
２
Ｄ．ａ（２ａ＋１）＝２ａ
２＋ａ
４．下列各式不能用平方差公式计算的是
（Ｄ）
Ａ．（５ｘ－２ａｂ）（５ｘ＋２ａｂ）
Ｂ．（ａｘ－ｙ）（－ａｘ－ｙ）
Ｃ．（－ａｂ－ｃ）（ａｂ－ｃ）
Ｄ．（ｍ＋ｎ）（－ｍ－ｎ）
５．「2025 云南文山州期中」数学课上，老师讲了单项式乘
多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现
一道题：－３ｘｙ（４ｙ－２ｘ－１）＝－１２ｘｙ
２＋６ｘ
２ｙ＋■，■的
地方被钢笔水弄污了，你认为■处应为
（Ａ）
Ａ．３ｘｙ
Ｂ．－３ｘｙ
Ｃ．－１
Ｄ．１
６．如图，在边长为ａ的正方形中挖掉一个边长为ｂ的
小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠
部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可
以验证的一个等式是
（Ａ）
Ａ．（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ
２－ｂ
２
Ｂ．ａ（ａ－ｂ）＝ａ
２－ａｂ
Ｃ．（ａ－ｂ）
２＝ａ
２－２ａｂ＋ｂ
２
Ｄ．ａ（ａ＋ｂ）＝ａ
２＋ａｂ
７．若３
ｘ＝５，３
ｙ＝４，３
２ｚ＝２，则３
２ｘ－ｙ＋４ｚ的值为
（Ｄ）
Ａ．２５
４
Ｂ．１０
Ｃ．２０
Ｄ．２５
８．图①是由４个全等的白色的长方形和１个灰色的
正方形构成的正方形，图②是由５个全等的白色的
长方形（每个长方形的大小和图①相同）和１个灰
色的不规则图形构成的长方形．已知图①②中灰色
图形的面积分别为３５和１０２，则每个白色长方形
的面积为
（Ｃ）
图①
图②
Ａ．３２
Ｂ．１６
Ｃ．８
Ｄ．２
二、填空题（每小题５分，共２０分）
９．「2025 河北衡水月考」若１
３ｘ－６ｙ
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
＝１
９ｘ
２－４ｘｙ＋ｋ
２ｙ
２，
则ｋ的值为±６．
１０．「2025 上海宝山期末」如果８ｘ
４ｙ
ａ÷（－２ｘ
ｂｙ
３）
２＝２ｙ，那
么ａ
ｂ＝４９．
１１．「2025 四川眉山期中」若ｍ－ｎ＝４，ｍｎ＝－３，则（ｍ
２－４）·
（ｎ
２－４）的值为－１５．
１２．
学科
特色多解法若（ｘ
２－２ｘ－３）（ｘ
３＋５ｘ
２－６ｘ＋７）＝ａ５ｘ
５＋
ａ４ｘ
４＋ａ３ｘ
３＋ａ２ｘ
２＋ａ１ｘ＋ａ０，则ａ０＋ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＋ａ５＝
－２８．
᮰
6
在解决某数是ｎ的倍数（或能被ｎ整除）时，基本方法是把原式变形，使之变形为ｎ与一个整数乘积的形式，若这
个变形能够实现，则该数是ｎ的倍数（或能被ｎ整除）．
第
十
六
章
整
式
的
乘
法
７５
三、解答题（共４０分）
１３．（９分）计算：
（１）ｘ
３ｙ·ｘ
３ｙ
２－（－２ｘ
２ｙ）
３．
（２）ａ
２·ａ
４＋（－２ａ
２）
３＋ａ
８÷ａ
２．
（３）（－ａ
２ｂ）
３＋（２ａ
７ｂ
４＋ａｂ）÷ａｂ．
（４）「2025 湖北荆州期末」（ｘ＋２－３ｙ）（ｘ＋２＋３ｙ）．
解析
（１）ｘ
３ｙ· ｘ
３ｙ
２－（－２ｘ
２ｙ）
３＝ｘ
６ｙ
３＋８ｘ
６ｙ
３
＝９ｘ
６ｙ
３．
（２）ａ
２·ａ
４＋（－２ａ
２）
３＋ａ
８÷ａ
２＝ａ
６＋（－８ａ
６）＋ａ
６＝
－６ａ
６．
（３）（－ａ
２ｂ）
３＋（２ａ
７ｂ
４＋ａｂ）÷ａｂ＝－ａ
６ｂ
３＋２ａ
６ｂ
３＋１＝
ａ
６ｂ
３＋１．
（４）（ｘ＋２－３ｙ）（ｘ＋２＋３ｙ）＝［（ｘ＋２）－３ｙ］［（ｘ＋２）＋３ｙ］
＝（ｘ＋２）
２－（３ｙ）
２＝ｘ
２＋４ｘ＋４－９ｙ
２．
１４．（８分）先化简，再求值：
（１）（２＋ｘ）（２－ｘ）＋（ｘ－１）（ｘ＋５），其中ｘ＝３
２．
（２）（２ａ－ｂ）
２－（４ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）－２ｂ
２，其中ａ＝１
２，
ｂ＝－１
３．
解析 （１）（２＋ｘ）（２－ｘ）＋（ｘ－１）（ｘ＋５）
＝４－ｘ
２＋ｘ
２＋５ｘ－ｘ－５＝４ｘ－１，
当ｘ＝３
２时，原式＝４× ３
２－１＝５．
（２）（２ａ－ｂ）
２－（４ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）－２ｂ
２
＝４ａ
２－４ａｂ＋ｂ
２－（４ａ
２－３ａｂ－ｂ
２）－２ｂ
２
＝４ａ
２－４ａｂ＋ｂ
２－４ａ
２＋３ａｂ＋ｂ
２－２ｂ
２＝－ａｂ，
当ａ＝１
２，ｂ＝－１
３时，原式＝－１
２× －１
３
æ
è
ç
ö
ø
÷ ＝１
６．
１５．新
考向
代数推理「2025 浙江宁波外国语学校质检」（１０分）
（１）代数式（ｓ－２ｔ）（ｓ＋２ｔ＋１）＋４ｔｔ＋１
２
æ
è
ç
ö
ø
÷ 的值与ｓ，ｔ
的取值有关系吗？请说明理由．
（２）已知多项式ａｘ－ｂ与２ｘ
２－ｘ＋２的乘积展开式
中不含ｘ的一次项，且常数项为－４，试求ａ
ｂ
的值．
解析 （１）代数式的值与ｔ的取值没有关系，与ｓ
的取值有关系．理由如下：
∵（ｓ－２ｔ）（ｓ＋２ｔ＋１）＋４ｔｔ＋１
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
＝ｓ
２＋２ｓｔ＋ｓ－２ｓｔ－４ｔ
２－２ｔ＋４ｔ
２＋２ｔ
＝ｓ
２＋ｓ，
∴代数式的值与ｔ的取值没有关系，与ｓ的取值
有关系．
（２）（ａｘ－ｂ）（２ｘ
２－ｘ＋２）
＝２ａｘ
３－ａｘ
２＋２ａｘ－２ｂｘ
２＋ｂｘ－２ｂ
＝２ａｘ
３－（ａ＋２ｂ）ｘ
２＋（２ａ＋ｂ）ｘ－２ｂ，
∵展开式中不含ｘ的一次项，且常数项为－４，
∴２ａ＋ｂ＝０，－２ｂ＝－４，∴ａ＝－１，ｂ＝２．
∴ａ
ｂ＝１．
１６．「2025 河南郑州联考」（１３分）我们将（ａ＋ｂ）
２＝ａ
２＋
２ａｂ＋ｂ
２进行变形，如：ａ
２＋ｂ
２＝（ａ＋ｂ）
２－２ａｂ，ａｂ＝
（ａ＋ｂ）
２－（ａ
２＋ｂ
２）
２
等．根据以上变形解决下列
问题：
（１）已知ａ
２＋ｂ
２＝８，（ａ＋ｂ）
２＝４８，则ａｂ＝
．
（２）若ｘ满足（２５－ｘ）（ｘ－１０）＝－１５，求（２５－ｘ）
２＋
（ｘ－１０）
２的值．
（３）如图，四边形ＡＢＥＤ是梯形，ＤＡ⊥ＡＢ，ＥＢ⊥
ＡＢ，ＡＤ＝ＡＣ，ＢＥ＝ＢＣ，连接ＣＤ，ＣＥ．若ＡＣ·ＢＣ
＝１０，求图中阴影部分的面积．
%
"
$
#
&
解析 （１）∵ａ
２＋ｂ
２＝８，（ａ＋ｂ）
２＝４８，
∴ａｂ＝（ａ＋ｂ）
２－（ａ
２＋ｂ
２）
２
＝４８－８
２
＝２０．
故答案为２０．
（２）∵ａ
２＋ｂ
２＝（ａ＋ｂ）
２－２ａｂ，
∴（２５－ｘ）
２＋（ｘ－１０）
２
＝［（２５－ｘ）＋（ｘ－１０）］
２－２（２５－ｘ）（ｘ－１０）
＝１５
２－２×（－１５）＝２２５＋３０＝２５５．
（３）设ＡＤ＝ＡＣ＝ａ，ＢＥ＝ＢＣ＝ｂ，
则题图中阴影部分的面积为１
２（ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ）－
１
２（ａ
２＋ｂ
２）＝１
２［（ａ＋ｂ）
２－（ａ
２＋ｂ
２）］＝１
２×２ａｂ＝ａｂ
＝１０．
᮰
6
判断是不是因式分解要注意以下几个条件：（１）等号左边为多项式，右边为整式的乘积；（２）两边相等；（３）因式
分解时必须分解到每个因式都不能再分解为止．
初
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７６
第十七章
因式分解
１７．１ 用提公因式法分解因式
ۻᆱ݆
知识点１ 因式分解的概念
１．「2025 重庆期末」下列变形是因式分解的是
（Ｃ）
Ａ．ａ
２＋ａ－１＝（ａ－１）（ａ＋１）＋ａ
Ｂ．ｍ＋１＝ｍ１＋１
ｍ
æ
è
ç
ö
ø
÷
Ｃ．ｍ
２＋４ｍ＋４＝（ｍ＋２）
２
Ｄ．（ｘ＋１）（ｘ－１）＝ｘ
２－１
２．若多项式ｘ
２＋ａｘ＋ｂ分解因式的结果为（ｘ＋１）·（ｘ－
２），则ａ＋ｂ的值为－３．
知识点２ 用提公因式法分解因式
３．
学科
特色
教材
变式多项式８ａ
３ｂ
２＋１２ａ
３ｂｃ－４ａ
２ｂ中，各项的公因式
是
（Ｃ）
Ａ．ａ
２ｂ
Ｂ．－４ａ
２ｂ
２
Ｃ．４ａ
２ｂ
Ｄ．－ａ
２ｂ
４．「2025 上海浦东新区期末」把－９ｘ
３＋６ｘ
２－３ｘ因式分解
时，提出公因式后，另一个因式是
（Ｄ）
Ａ．３ｘ
２－２ｘ
Ｂ．３ｘ
２－２ｘ－１
Ｃ．－９ｘ
２＋６ｘ
Ｄ．３ｘ
２－２ｘ＋１
５．下列各式中，没有公因式的是
（Ｂ）
Ａ．３ｘ－２与６ｘ
２－４ｘ
Ｂ．ａｂ－ａｃ与ａｂ－ｂｃ
Ｃ．２（ａ－ｂ）
２与３（ｂ－ａ）
３
Ｄ．ｍｘ－ｍｙ与ｎｙ－ｎｘ
６．「2025 天津期末」若长、宽分别为ａ、ｂ的长方形周长
为１６，面积为１２，则ａ
２ｂ＋ａｂ
２的值为
（Ｂ）
Ａ．８０
Ｂ．９６
Ｃ．１９２
Ｄ．２４０
７．计算：６４×１．９８－２１×１．９８＋５７×１．９８＝１９８．
８．「2025 河南郑州一中质检改编」把下列各式分解因式：
（１）－８ａ
２ｂ＋１２ａｂ
２－４ａ
３ｂ
３．
（２）－１４ａｂｃ－７ａｂ＋４９ａｂ
２ｃ．
（３）（２ｘ＋１）（３ｘ－２）－（２ｘ＋１）
２．
解析 （１）－８ａ
２ｂ＋１２ａｂ
２－４ａ
３ｂ
３
＝－４ａｂ（２ａ－３ｂ＋ａ
２ｂ
２）．
（２）－１４ａｂｃ－７ａｂ＋４９ａｂ
２ｃ＝－７ａｂ（２ｃ＋１－７ｂｃ）．
（３）（２ｘ＋１）（３ｘ－２）－（２ｘ＋１）
２
＝（２ｘ＋１）（３ｘ－２－２ｘ－１）＝（２ｘ＋１）（ｘ－３）．
９．
学科
特色
整体
思想「2025 河南开封期末」不解方程组
２ｘ＋ｙ＝６，
ｘ－３ｙ＝１，
{
求
７ｙ（ｘ－３ｙ）＋２（３ｙ－ｘ）
２的值．
解析 ∵
２ｘ＋ｙ＝６，
ｘ－３ｙ＝１，
{
∴７ｙ（ｘ－３ｙ）＋２（３ｙ－ｘ）
２
＝７ｙ（ｘ－３ｙ）＋２（ｘ－３ｙ）
２
＝（ｘ－３ｙ）［７ｙ＋２（ｘ－３ｙ）］
＝（ｘ－３ｙ）（２ｘ＋ｙ）
＝１×６
＝６．
１０．新
考向
过程学习题分解因式：４ｘｙ－８ｙ＋６ｘ－３ｘ
２．下面是小邦
同学分解因式的过程，请认真阅读并完成相应
任务．
解：原式＝４ｙ（ｘ－２）＋３ｘ（２－ｘ）
第一步
……………
＝（ｘ－２）（４ｙ＋３ｘ）．
第二步
………………………
任务一：以上分解过程中，第
步开始
出现错误，错误原因是 ．
任务二：请写出该多项式的正确因式分解过程．
解析
任务一：第二步开始出现错误，错误原因
是２－ｘ转化为ｘ－２，前面应该添加“－”．
任务二：４ｘｙ－８ｙ＋６ｘ－３ｘ
２＝４ｙ（ｘ－２）＋３ｘ（２－ｘ）
＝４ｙ（ｘ－２）－３ｘ（ｘ－２）＝（ｘ－２）（４ｙ－３ｘ）．
᮰
6
确定公因式的步骤：①定系数；②定字母；③定指数．
第
十
七
章
因
式
分
解
７７
ᑧү Ӭ
１１．「
」已知ｍ为有理数，则整式ｍ
２（ｍ
２－１）－ｍ
２＋１
的值
（Ａ）
Ａ．不是负数
Ｂ．恒为负数
Ｃ．恒为正数
Ｄ．不等于０
１２．「
」下列何者为多项式５ｘ（５ｘ－２）－４（５ｘ－２）
２的
因式分解？
（Ｃ）
Ａ．（５ｘ－２）（２５ｘ－８）
Ｂ．（５ｘ－２）（５ｘ－４）
Ｃ．（５ｘ－２）（－１５ｘ＋８）
Ｄ．（５ｘ－２）（－２０ｘ＋４）
１３．跨
物理
串联电路「2025 安徽芜湖一中期末，
」如图，把Ｒ１，
Ｒ２，Ｒ３三个电阻串联起来，线路ＡＢ上的电流为Ｉ，
电压为Ｕ，则Ｕ＝ＩＲ１＋ＩＲ２＋ＩＲ３，当Ｒ１＝１８．４，Ｒ２＝
１６．７，Ｒ３＝２０．９，Ｉ＝３．５时，Ｕ的值为１９６．
"
#
3
3
3
*
１４．「2025 广东深圳模拟，
」已知（２ｘ－２１）（３ｘ－７）－
（３ｘ－７）（ｘ－１３）可分解因式为（３ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ），其中
ａ，ｂ均为整数，则ａ＋３ｂ的值为－３１．
１５．「
」设ａ＝４０４６－２０２２×２＋３０１，ｂ＝２０２３×２０２４－
２０２１×２０２５，则ａ，ｂ的大小关系为ｂ＞ａ．（用
“＞”连接）
１６．「2025 湖南娄底质检，
」因式分解：
（１）２ｘ（ａ－ｂ）＋３ｙ（ｂ－ａ）．
（２）ｘ（ｘ
２－ｘｙ）－（４ｘ
２－４ｘｙ）．
（３）３（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）－（ｘ－ｙ）
２．
（４）２ａｂ
２－６ａ
２ｂ
２＋４ａ
３ｂ
２．
解析 （１）原式＝２ｘ（ａ－ｂ）－３ｙ（ａ－ｂ）
＝（ａ－ｂ）（２ｘ－３ｙ）．
（２）原式＝ｘ
２（ｘ－ｙ）－４ｘ（ｘ－ｙ）＝ｘ（ｘ－ｙ）（ｘ－４）．
（３）原式＝（ｘ－ｙ）［３（ｘ＋ｙ）－（ｘ－ｙ）］
＝（ｘ－ｙ）（３ｘ＋３ｙ－ｘ＋ｙ）
＝（ｘ－ｙ）（２ｘ＋４ｙ）
＝２（ｘ－ｙ）（ｘ＋２ｙ）．
（４）原式＝２ａｂ
２（１－３ａ＋２ａ
２）
＝２ａｂ
２［（１－ａ）－２ａ（１－ａ）］
＝２ａｂ
２（２ａ－１）（ａ－１）．
б ͞
１７．新
课标
运算能力新
考向
阅读理解题阅读理解：把多项式ａｍ＋ａｎ＋ｂｍ
＋ｂｎ分解因式．
解法一：ａｍ＋ａｎ＋ｂｍ＋ｂｎ＝（ａｍ＋ａｎ）＋（ｂｍ＋ｂｎ）＝
ａ（ｍ＋ｎ）＋ｂ（ｍ＋ｎ）＝（ｍ＋ｎ）（ａ＋ｂ）．
解法二：ａｍ＋ａｎ＋ｂｍ＋ｂｎ＝（ａｍ＋ｂｍ）＋（ａｎ＋ｂｎ）＝
ｍ（ａ＋ｂ）＋ｎ（ａ＋ｂ）＝（ｍ＋ｎ）（ａ＋ｂ）．
（１）分解因式：ｍ
２ｘ－３ｍ＋ｍｎｘ－３ｎ．
（２）已知ａ，ｂ，ｃ为△ＡＢＣ的三边长，且ａ
３－ａ
２ｂ＋
５ａｃ－５ｂｃ＝０，试判断△ＡＢＣ的形状．
解析 （１）原式＝ｍ（ｍｘ－３）＋ｎ（ｍｘ－３）
＝（ｍｘ－３）（ｍ＋ｎ）．
（２）∵ａ
３－ａ
２ｂ＋５ａｃ－５ｂｃ＝０，
∴ａ
２（ａ－ｂ）＋５ｃ（ａ－ｂ）＝０，∴（ａ－ｂ）（ａ
２＋５ｃ）＝０，
∵ａ，ｂ，ｃ为△ＡＢＣ的三边长，∴ａ
２＋５ｃ≠０，
∴ａ－ｂ＝０，∴ａ＝ｂ，∴△ＡＢＣ是等腰三角形．
１８．新
课标
运算能力阅读下列因式分解的过程，再回答所提
出的问题．
（ｘ＋１）＋ｘ（ｘ＋１）＋ｘ（ｘ＋１）
２＝（１＋ｘ）［１＋ｘ＋ｘ（ｘ＋１）］
＝（１＋ｘ）
２（１＋ｘ）＝（１＋ｘ）
３．
（１）上述因式分解的方法是
，共应用
了
次．
（２）若分解因式１＋ｘ＋ｘ（ｘ＋１）＋ｘ（ｘ＋１）
２＋… ＋
ｘ（ｘ＋１）
２０２５，则需应用上述方法
次，
结果是
．
（３）分解因式：１＋ｘ＋ｘ（ｘ＋１）＋ｘ（ｘ＋１）
２＋… ＋
ｘ（ｘ＋１）
ｎ（ｎ为正整数）．
解析 （１）提公因式法；２．
（２）２０２５；（１＋ｘ）
２０２６．
（３）由（１）和（２）知，最终分解因式的结果的次数
是原式最高次数加１，
∴１＋ｘ＋ｘ（ｘ＋１）＋ｘ（ｘ＋１）
２＋…＋ｘ（ｘ＋１）
ｎ
＝（１＋ｘ）
ｎ＋１．
᮰
6
用平方差公式分解因式的要点：两式平方符号异，因式分解你别惧．两底和乘两底差，分解结果就是它．
初
中
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八
年
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教
版
７８
１７．２ 用公式法分解因式
第1 课时 用平方差公式分解因式
ۻᆱ݆
知识点 用平方差公式分解因式
１．「2023 浙江杭州中考」分解因式：４ａ
２－１＝
（Ａ）
Ａ．（２ａ－１）（２ａ＋１）
Ｂ．（ａ－２）（ａ＋２）
Ｃ．（ａ－４）（ａ＋１）
Ｄ．（４ａ－１）（ａ＋１）
２．「2025 湖南岳阳期末」下列多项式中，不能用平方差公
式进行因式分解的是
（Ｂ）
Ａ．ａ
２－ｂ
２
Ｂ．－ｘ
２－ｙ
２
Ｃ．－ｘ
２＋９
Ｄ．４ｍ
２－２５ｎ
２
３．在一次课堂练习中，小颖同学做了如下４道因式分
解题，其中不够完整的一题是
（Ｄ）
Ａ．ｘ
２－ｙ
２＝（ｘ－ｙ）（ｘ＋ｙ）
Ｂ．ｘ
２－２ｘｙ＝ｘ（ｘ－２ｙ）
Ｃ．ｘ
２ｙ－ｘｙ
２＝ｘｙ（ｘ－ｙ）
Ｄ．ｘ
３－ｘ＝ｘ（ｘ
２－１）
４．「2025 山东烟台期末」将多项式“４ｍ
２－？”因式分解，结
果为（２ｍ＋３）（２ｍ－３），则“？”是
（Ｃ）
Ａ．３
Ｂ．－３
Ｃ．９
Ｄ．－９
５．多项式３ｘ
２ｙ－６ｙ在实数范围内分解因式正确的
是
（Ａ）
Ａ．３ｙ（ｘ＋２）（ｘ－２）
Ｂ．３ｙ（ｘ
２－２）
Ｃ．ｙ（３ｘ
２－６）
Ｄ．－３ｙ（ｘ＋２）（ｘ－２）
６．因式分解：ｘ
２－４ｙ
２＝（ｘ＋２ｙ）（ｘ－２ｙ）．
７．分解因式：２ｍ
２－１８＝２（ｍ＋３）（ｍ－３）．
８．「2024 北京中考」分解因式：ｘ
３－２５ｘ＝ｘ（ｘ＋５）（ｘ－
５）．
９．「2025 北京西城期末」因式分解：
（１）（２ｘ＋ｙ）
２－（ｘ＋２ｙ）
２．
（２）ａ
２（ｘ－ｙ）－４ｂ
２（ｘ－ｙ）．
（３）ｘ
２－ｙ
２＋２ｘ－２ｙ．
解析 （１）（２ｘ＋ｙ）
２－（ｘ＋２ｙ）
２
＝（２ｘ＋ｙ＋ｘ＋２ｙ）（２ｘ＋ｙ－ｘ－２ｙ）
＝（３ｘ＋３ｙ）（ｘ－ｙ）
＝３（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）．
（２）ａ
２（ｘ－ｙ）－４ｂ
２（ｘ－ｙ）
＝（ｘ－ｙ）（ａ
２－４ｂ
２）
＝（ｘ－ｙ）（ａ＋２ｂ）（ａ－２ｂ）．
（３）ｘ
２－ｙ
２＋２ｘ－２ｙ
＝（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）＋２（ｘ－ｙ）
＝（ｘ－ｙ）（ｘ＋ｙ＋２）．
ᑧү Ӭ
１０．「2024 云南中考，
」分解因式：ａ
３－９ａ＝
（Ａ）
Ａ．ａ（ａ－３）（ａ＋３）
Ｂ．ａ（ａ
２＋９）
Ｃ．（ａ－３）（ａ＋３）
Ｄ．ａ
２（ａ－９）
１１．「2023 河北中考，
」若ｋ为任意整数，则（２ｋ＋３）
２－
４ｋ
２的值总能
（Ｂ）
Ａ．被２整除
Ｂ．被３整除
Ｃ．被５整除
Ｄ．被７整除
１２．「
」若５
８－１可以被２０到３０之间的某两个整数
整除，则这两个整数是
（Ａ）
Ａ．２４，２６
Ｂ．２５，２７
Ｃ．２６，２８
Ｄ．２７，２９
１３．「2025 内蒙古联考，
」如果一个正整数可以表示
为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为
“和谐数”．如８＝３
２－１
２，１６＝５
２－３
２，即８，１６均为
“和谐数”．在不超过２０２４的正整数中，所有“和
谐数”之和等于
（Ｃ）
Ａ．２５５０２５
Ｂ．２５５０２４
Ｃ．２５７０４８
Ｄ．２５７０４９
１４．「2025 湖北武汉期末，
」已知ａ，ｂ，ｃ是△ＡＢＣ的三
边长，且满足ａ
２－ｂ
２＝ａｃ－ｂｃ，则△ＡＢＣ的形状是
等腰三角形．
１５．「
」已知ｍ≠ｎ，且满足ｍ
２－５ｎ＝２０２５
２，ｎ
２－５ｍ＝
２０２５
２，则ｍ＋ｎ的值为－５．
᮰
6
能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或整式）的平方和的形式，另一
项是这两个数（或整式）的积的２倍．
第
十
七
章
因
式
分
解
７９
第2 课时 用完全平方公式分解因式
ۻᆱ݆
知识点１ 完全平方式的概念
１．「2025 四川成都月考」观察下列多项式，是完全平方式
的是
（Ｄ）
Ａ．ｘ
２－４ｘ＋２
Ｂ．ｘ
２＋ｘ＋１
Ｃ．ｘ
２－４ｘ－４
Ｄ．４ｘ
２＋４ｘ＋１
２．
学科
特色
教材
变式若４ｘ
２＋ｋｘ＋９是完全平方式，则ｋ的值是
（Ｂ）
Ａ．６
Ｂ．±１２
Ｃ．±３６
Ｄ．－６
知识点２ 用完全平方公式分解因式
３．多项式ｘ
２－４ｘ＋４因式分解的结果是
（Ｄ）
Ａ．ｘ（ｘ－４）＋４
Ｂ．（ｘ＋２）（ｘ－２）
Ｃ．（ｘ＋２）
２
Ｄ．（ｘ－２）
２
４．「2025 福建泉州期末」小明利用完全平方公式进行因
式分解“ｘ
２
＋４ｙ
２＝（ｘ＋２ｙ）
２”时，墨迹将“ｘ
２
＋
４ｙ
２”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项是
（Ａ）
Ａ．＋４ｘｙ
Ｂ．＋２ｘｙ
Ｃ．－４ｘｙ
Ｄ．－２ｘｙ
５．下列因式分解正确的是
（Ｄ）
Ａ．３ａｘ
２－６ａｘ＝３（ａｘ
２－２ａｘ）
Ｂ．ｘ
２＋ｙ
２＝（－ｘ＋ｙ）（－ｘ－ｙ）
Ｃ．ａ
２＋２ａｂ－４ｂ
２＝（ａ＋２ｂ）
２
Ｄ．－ａｘ
２＋２ａｘ－ａ＝－ａ（ｘ－１）
２
６．「2024 山东淄博中考」若多项式４ｘ
２－ｍｘｙ＋９ｙ
２能用完全
平方公式因式分解，则ｍ的值是±１２．
７．「2025 浙江杭州建兰中学月考」用简便方法计算：５０×９．
５
２－１００×９．５×７．５＋５０×７．５
２＝２００．
８．将下列各式分解因式：
（１）ａ
２－１４ａｂ＋４９ｂ
２．
（２）１
９ｍ
２＋２
３ｍｎ＋ｎ
２．
（３）９（ａ＋ｂ）
２－１２（ａ＋ｂ）＋４．
解析 （１）原式＝ａ
２－２·ａ·７ｂ＋（７ｂ）
２＝（ａ－７ｂ）
２．
（２）原式＝
１
３ｍ
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
＋２· １
３ｍ·ｎ＋ｎ
２＝
１
３ｍ＋ｎ
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
．
（３）原式＝［３（ａ＋ｂ）］
２－２×３（ａ＋ｂ）×２＋２
２＝［３（ａ＋ｂ）－
２］
２＝（３ａ＋３ｂ－２）
２．
知识点３ 综合利用提公因式法、公式法分
解因式
９．「2024 内蒙古通辽中考」分解因式：３ａｘ
２－６ａｘｙ＋３ａｙ
２＝
３ａ（ｘ－ｙ）
２
．
１０．「2025 福建厦门一中月考」已知ｘｙ＝２，ｘ－３ｙ＝３，则
２ｘ
３ｙ－１２ｘ
２ｙ
２＋１８ｘｙ
３＝３６．
１１．把下列各式因式分解：
（１）ｘ
２（ｙ
２－１）＋２ｘ（ｙ
２－１）＋（ｙ
２－１）．
（２）（ｘ
２－１）
２－６（ｘ
２－１）＋９．
（３）（ｘ
２＋１６ｙ
２）
２－６４ｘ
２ｙ
２．
解析 （１）ｘ
２（ｙ
２－１）＋２ｘ（ｙ
２－１）＋（ｙ
２－１）
＝（ｙ
２－１）（ｘ
２＋２ｘ＋１）
＝（ｘ＋１）
２（ｙ＋１）（ｙ－１）．
（２）（ｘ
２－１）
２－６（ｘ
２－１）＋９
＝（ｘ
２－１－３）
２
＝（ｘ
２－４）
２
＝（ｘ＋２）
２（ｘ－２）
２．
（３）原式＝（ｘ
２＋１６ｙ
２）
２－（８ｘｙ）
２＝（ｘ
２＋１６ｙ
２＋８ｘｙ）
·（ｘ
２＋１６ｙ
２－８ｘｙ）＝（ｘ＋４ｙ）
２（ｘ－４ｙ）
２．
᮰
6
“一提”“二套”“三查”是因式分解的步骤，即有公因式的先提取公因式，然后套用公式，最后检查乘积中每一个
多项式是否能继续分解．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
８０
ᑧү Ӭ
１２．「2024 广西中考，
」如果ａ＋ｂ＝３，ａｂ＝１，那么ａ
３ｂ＋
２ａ
２ｂ
２＋ａｂ
３的值为
（Ｄ）
Ａ．０
Ｂ．１
Ｃ．４
Ｄ．９
１３．「2025 重庆渝中月考，
」若多项式４ｘ
２－（ｋ－１）ｘｙ＋
２５ｙ
２是关于ｘ，ｙ的完全平方式，则ｋ的值为
（Ｃ）
Ａ．２１
Ｂ．１９
Ｃ．２１或－１９
Ｄ．－２１或１９
１４．「2025 福建泉州期中，
」设６８１×２０１９－６８１×２０１８
＝ａ，２０１５× ２０１６－２０１３× ２０１８＝ｂ，
６７８
２＋１３５８＋６９０＋６７８＝ｃ，则ａ，ｂ，ｃ的大小关系是
（Ｂ）
Ａ．ａ＜ｃ＜ｂ
Ｂ．ｂ＜ｃ＜ａ
Ｃ．ｂ＜ａ＜ｃ
Ｄ．ｃ＜ｂ＜ａ
１５．「2025 山东淄博期中，
」若ａ，ｂ，ｃ是直角三角形
ＡＢＣ的三边长，且ａ
２＋ｂ
２＋ｃ
２＋２００＝１２ａ＋１６ｂ＋２０ｃ，
则△ＡＢＣ斜边上的高为
（Ｂ）
Ａ．２．４
Ｂ．４．８
Ｃ．６
Ｄ．９．６
１６．「
」已知ｘ＝２＋２，ｙ＝２－２，则代数式ｘ
２＋３ｘｙ＋
ｙ
２的值为１８．
１７．
学科
特色
整体
思想「2025 浙江宁波期末，
」先阅读材
料，再回答问题：
分解因式：（ａ－ｂ）
２－２（ａ－ｂ）＋１．
解：设Ｍ＝ａ－ｂ，
则原式＝Ｍ
２－２Ｍ＋１＝（Ｍ－１）
２，
将Ｍ＝ａ－ｂ代入，可得原式＝（ａ－ｂ－１）
２．
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常
用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题：
（１）分解因式：（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ－４）＋４．
（２）若ａ为正整数，则（ａ－１）（ａ－２）（ａ－３）（ａ－４）
＋１为整数的平方，试说明理由．
解析 （１）设Ｍ＝ｘ＋ｙ，
则原式＝Ｍ（Ｍ－４）＋４＝Ｍ
２－４Ｍ＋４＝（Ｍ－２）
２，
将Ｍ＝ｘ＋ｙ代入，可得原式＝（ｘ＋ｙ－２）
２．
（２）原式＝（ａ－１）（ａ－４）（ａ－２）（ａ－３）＋１
＝（ａ
２－５ａ＋４）（ａ
２－５ａ＋６）＋１，
设Ｎ＝ａ
２－５ａ＋４，
则原式＝Ｎ（Ｎ＋２）＋１
＝Ｎ
２＋２Ｎ＋１＝（Ｎ＋１）
２，
∵ａ为正整数，
∴Ｎ＝（ａ－１）（ａ－４）＝ａ
２－５ａ＋４是整数，
∴（ａ－１）（ａ－２）（ａ－３）（ａ－４）＋１为整数的平方．
б ͞
１８．新
课标
应用意识「2025 浙江宁波质检」我们把二次三项式ａｘ
２
＋ｂｘ＋ｃ恒等变形为ａ·（ｘ＋ｈ）
２＋ｋ（ｈ，ｋ为常数）的
形式叫作配方．巧妙地运用配方法不仅可以将一
个多项式进行因式分解，也能求一个二次三项式
的最值，还能结合非负数的意义来解决一些实际
问题．例如，分解因式：ｘ
２＋４ｘ－５．
解：ｘ
２＋４ｘ－５＝ｘ
２＋４ｘ＋４－９
＝（ｘ＋２）
２－３
２＝（ｘ＋５）（ｘ－１）．
请用配方法解答下列问题：
（１）分解因式：
①ｘ
２＋２ｘ－３．
②ａ
２＋４ａｂ－５ｂ
２．
（２）求多项式２ｘ
２－４ｘ＋５的最小值．
（３）已知ａ，ｂ，ｃ是△ＡＢＣ的三边长，且满足ａ
２＋ｂ
２
＋ｃ
２＝ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ，判断△ＡＢＣ的形状．
解析 （１）①原式＝ｘ
２＋２ｘ＋１－４
＝（ｘ＋１）
２－４
＝（ｘ＋１＋２）（ｘ＋１－２）＝（ｘ＋３）（ｘ－１）．
②原式＝ａ
２＋４ａｂ＋４ｂ
２－９ｂ
２
＝（ａ＋２ｂ）
２－９ｂ
２
＝（ａ＋２ｂ＋３ｂ）（ａ＋２ｂ－３ｂ）＝（ａ＋５ｂ）（ａ－ｂ）．
（２）原式＝２（ｘ
２－２ｘ＋１）－２＋５
＝２（ｘ－１）
２＋３，
∵（ｘ－１）
２≥０，∴２（ｘ－１）
２＋３≥３，
∴多项式２ｘ
２－４ｘ＋５的最小值为３．
（３）∵ａ
２＋ｂ
２＋ｃ
２＝ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ，
∴ａ
２＋ｂ
２＋ｃ
２－ａｂ－ｂｃ－ｃａ＝０，
∴２ａ
２＋２ｂ
２＋２ｃ
２－２ａｂ－２ｂｃ－２ｃａ＝０，
∴ａ
２＋ｂ
２－２ａｂ＋ｂ
２＋ｃ
２－２ｂｃ＋ａ
２＋ｃ
２－２ｃａ＝０，
∴（ａ－ｂ）
２＋（ｂ－ｃ）
２＋（ｃ－ａ）
２＝０，
∴ａ－ｂ＝０，ｂ－ｃ＝０，ｃ－ａ＝０，
∴ａ＝ｂ＝ｃ，∴△ＡＢＣ的形状为等边三角形．
᮰
6
因式分解时，涉及的多项式不止三项时，通常要对多项式进行分组，例如多项式有四项，我们通常进行“二、二”
或“一、三”的分组．
第
十
七
章
因
式
分
解
８１
专项突破７ 特殊的因式分解法练方法
方法１ 用换元法进行因式分解
１．「2025 山东烟台期末」下面是某同学对多项式（ｘ
２－４ｘ）·
（ｘ
２－４ｘ＋８）＋１６进行因式分解的过程．
解：设ｘ
２－４ｘ＝ｍ，
则原式＝ｍ（ｍ＋８）＋１６＝ｍ
２＋８ｍ＋１６＝（ｍ＋４）
２
＝（ｘ
２－４ｘ＋４）
２＝［（ｘ－２）
２］
２＝（ｘ－２）
４．
请根据上述材料将下列多项式进行因式分解：
（１）（ｘ
２－２ｘ）（ｘ
２－２ｘ＋２）＋１．
（２）（４ａ
２－１２ａ＋６）（４ａ
２－１２ａ＋１２）＋９．
解析 （１）设ｘ
２－２ｘ＝ｎ，
则（ｘ
２－２ｘ）（ｘ
２－２ｘ＋２）＋１
＝ｎ（ｎ＋２）＋１＝ｎ
２＋２ｎ＋１＝（ｎ＋１）
２
＝（ｘ
２－２ｘ＋１）
２＝［（ｘ－１）
２］
２＝（ｘ－１）
４．
（２）设４ａ
２－１２ａ＝ｂ，
则（４ａ
２－１２ａ＋６）（４ａ
２－１２ａ＋１２）＋９
＝（ｂ＋６）（ｂ＋１２）＋９
＝ｂ
２＋１８ｂ＋７２＋９
＝ｂ
２＋１８ｂ＋８１
＝（ｂ＋９）
２
＝（４ａ
２－１２ａ＋９）
２
＝［（２ａ－３）
２］
２
＝（２ａ－３）
４．
方法２ 用十字相乘法进行因式分解
２．「2025 河南驻马店期中」阅读：用“十字相乘法”分解因
式２ｘ
２－ｘ－３的方法．
二次项系数２＝１×２．
常数项－３＝－１×３＝１×（－３），验算：“交叉相乘之
和”．
Ŗ
ŗ
ř
Ř
①１×３＋２×（－１）＝１，②１×（－１）＋２×３＝５，
③１×（－３）＋２×１＝－１，④１×１＋２×（－３）＝－５．
发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系
数－１，即（ｘ＋１）（２ｘ－３）＝２ｘ
２－３ｘ＋２ｘ－３＝２ｘ
２－ｘ－３，
则２ｘ
２－ｘ－３＝（ｘ＋１）（２ｘ－３）．
像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解
因式的方法，叫作十字相乘法．
仿照所给方法，分解因式：
（１）ｘ
２＋８ｘ＋１５．
（２）３ｘ
２－５ｘ－１２．
（３）３（ｘ＋２）
２－５（ｘ＋２）－１２．
解析 （１）ｘ
２＋８ｘ＋１５＝（ｘ＋３）（ｘ＋５）．
（２）３ｘ
２－５ｘ－１２＝（３ｘ＋４）（ｘ－３）．
（３）３（ｘ＋２）
２－５（ｘ＋２）－１２
＝［３（ｘ＋２）＋４］［（ｘ＋２）－３］
＝（３ｘ＋１０）（ｘ－１）．
方法３ 用拆项添项法进行因式分解
３．「2025 江西南昌模拟」在对某些多项式进行因式分解
时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或
者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解
因式的方法称为拆项添项法．如：
例１：分解因式：ｘ
４＋４．
解：原式＝ｘ
４＋４ｘ
２＋４－４ｘ
２＝（ｘ
２＋２）
２－４ｘ
２
＝（ｘ
２－２ｘ＋２）（ｘ
２＋２ｘ＋２）．
例２：分解因式：ｘ
３＋５ｘ－６．
解：原式＝ｘ
３－ｘ＋６ｘ－６
＝ｘ（ｘ
２－１）＋６（ｘ－１）＝（ｘ－１）（ｘ
２＋ｘ＋６）．
请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
（１）分解因式：ｘ
２＋１６ｘ－３６＝
．
（２）运用拆项添项法分解因式：
①ｘ
４＋４ｙ
４．
②ｘ
３－ｘ
２－４．
见答案册Ｄ５４
᮰
6
提公因式法分解因式的要点：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留１把家守，提负要变号，变形看奇偶．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
８２
第十七章自主检测
范围：因式分解
满分
１００分
限时
４０分钟
一、选择题（每小题５分，共４０分）
１．「2025 江西南昌期末」下列各式中，从左到右的变形是
因式分解的是
（Ｄ）
Ａ．ｘ
２＋２ｘ＋１＝ｘ（ｘ＋２）＋１
Ｂ．ａ（２ａ－４ｂ）＝２ａ
２－４ａｂ
Ｃ．ｘ（ｘ＋２ｙ）＝ｘ
２＋２ｘｙ
Ｄ．ｘ
２－２ｘｙ＝ｘ（ｘ－２ｙ）
２．「2025 湖南长沙期末」多项式９ａ
２ｘ
２－１８ａ
４ｘ
３各项的公
因式是
（Ｂ）
Ａ．９ａｘ
Ｂ．９ａ
２ｘ
２
Ｃ．ａ
２ｘ
２
Ｄ．９ａ
４ｘ
３
３．「2025 广东湛江期末」下列各式中，能用平方差公式分
解因式的是
（Ｄ）
Ａ．ｘ
２＋ｙ
２
Ｂ．－ｘ
２－ｙ
２
Ｃ．ｘ
２－ｙ
２＋１
Ｄ．－ｘ
２＋４ｙ
２
４．「2025 广东汕尾期末」已知ａ＋ｂ＝３，ａｂ＝－２，则代数式
ａ
２ｂ＋ａｂ
２的值是
（Ａ）
Ａ．－６
Ｂ．１
Ｃ．０
Ｄ．－８
５．「2025 山西太原十五中期末」因式分解（ｘ－１）
２－９的结
果是
（Ｄ）
Ａ．（ｘ－１０）（ｘ＋８）
Ｂ．（ｘ＋８）（ｘ＋１）
Ｃ．（ｘ－２）（ｘ＋４）
Ｄ．（ｘ＋２）（ｘ－４）
６．「2025 天津河东期末」多项式ａ
２－５ａ－６因式分解的结
果是
（Ｂ）
Ａ．（ａ－２）（ａ＋３）
Ｂ．（ａ－６）（ａ＋１）
Ｃ．（ａ＋６）（ａ－１）
Ｄ．（ａ＋２）（ａ－３）
７．「2025 四川成都期末」若ｍ为自然数，则（２ｍ＋３）
２－
４ｍ
２的值总能
（Ａ）
Ａ．被３整除
Ｂ．被４整除
Ｃ．被５整除
Ｄ．被６整除
８．「2025 河南驻马店期末」一位密码编译爱好者，在他的
密码手册中有这样一条信息：ａ－ｂ，ｘ－１，３，ｘ
２－１，ａ，
ｘ＋１分别对应下列六个字：我，数，爱，国，祖，学，现
将代数式３ａ（ｘ
２－１）－３ｂ（ｘ
２－１）因式分解，结果呈
现的密码信息可能是
（Ａ）
Ａ．我爱数学
Ｂ．我爱祖国
Ｃ．爱数学
Ｄ．爱祖国
二、填空题（每小题５分，共２０分）
９．「2023 江苏南京中考」分解因式３ａ
２－６ａ＋３的结果是
３（ａ－１）
２
．
１０．「2024 河南郑州郑东新区期末」多项式ｘ
２＋１添加一个
单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可
以是
１
４ｘ
４（或２ｘ或－２ｘ）．（任写一个符合条件
的即可）
１１．若ａ＋ｂ＝３，ｘ＋ｙ＝１，则代数式ａ
２＋２ａｂ＋ｂ
２－ｘ－ｙ＋
２０２５的值为２０３３．
１２．「2023 浙江绍兴诸暨期末」如图，六块纸板拼成一张大
长方形纸板，其中一块是边长为ａ的正方形，两块
是边长为ｂ的正方形，三块是长为ａ，宽为ｂ的长
方形（ａ＞ｂ）．观察图形，发现多项式ａ
２＋３ａｂ＋２ｂ
２可
因式分解为（ａ＋ｂ）（ａ＋２ｂ）．
三、解答题（共４０分）
１３．「2025 陕西西安期末」（９分）分解因式：
（１）１２ｘ
２ｙ
３－３ｘ
２ｙ
５． （２）（２ａ－ｂ）
２＋８ａｂ．
解析 （１）１２ｘ
２ｙ
３－３ｘ
２ｙ
５
＝３ｘ
２ｙ
３（４－ｙ
２）＝３ｘ
２ｙ
３（２＋ｙ）（２－ｙ）．
（２）（２ａ－ｂ）
２＋８ａｂ
＝４ａ
２－４ａｂ＋ｂ
２＋８ａｂ
＝４ａ
２＋４ａｂ＋ｂ
２＝（２ａ＋ｂ）
２．
᮰
6
因式分解总结：分解必须要彻底（即分解之后的因式均不能再分解）；结果只留下小括号；结果的多项式首项为
正，首项为负时提出负号；相同因式的乘积写成幂的形式．
第
十
七
章
因
式
分
解
８３
（３）９ｘ
２－３（２ｘｙ＋３）＋ｙ
２．
解析 （３）９ｘ
２－３（２ｘｙ＋３）＋ｙ
２
＝９ｘ
２－６ｘｙ－３
２＋ｙ
２＝９ｘ
２－６ｘｙ＋ｙ
２－３
２
＝（３ｘ－ｙ）
２－３
２＝（３ｘ－ｙ－３）（３ｘ－ｙ＋３）．
１４．（１０分）利用简便方法计算：
（１）２３×２．７１８＋５９×２．７１８＋１８×２．７１８．
（２）２０１６
２－４０３４×２０１６＋２０１７
２．
解析
（１）原式＝（２３＋５９＋１８）× ２．７１８＝１００×
２．７１８＝２７１．８．
（２）原式＝２０１６
２－２×２０１６×２０１７＋２０１７
２＝（２０１６
－２０１７）
２＝１．
１５．新
考向
代数推理「2025 新疆乌鲁木齐期末」（１０分）
【学习与思考】
如果用ａｂ表示一个两位数（即十位上的数字为ａ，
个位上的数字为ｂ），那么当ａ＝ｂ时，ａｂ能被１１整
除（如１１，２２，３３，…能被１１整除）．理由如下：
ａｂ＝１０ａ＋ｂ，当ａ＝ｂ时，ａｂ＝１０ａ＋ａ＝１１ａ，因为１１ａ
是１１的倍数，所以ａｂ能被１１整除．
【探索与应用】
如果用ａｂｃ表示一个三位数．
（１）写出两个能被１１整除的三位数．
（２）写出ａ，ｂ，ｃ满足什么条件时，ａｂｃ能被１１整
除，并说明理由．
解析 （１）１１０，１２１（答案不唯一）．
（２）ａ－ｂ＋ｃ是１１的倍数时，ａｂｃ能被１１整除，理由
如下：
ａｂｃ＝１００ａ＋１０ｂ＋ｃ
＝９９ａ＋１１ｂ＋ａ－ｂ＋ｃ
＝１１（９ａ＋ｂ）＋（ａ－ｂ＋ｃ），
∵１１（９ａ＋ｂ）是１１的倍数，
∴ａ－ｂ＋ｃ是１１的倍数时，ａｂｃ能被１１整除．
１６．（１１分）
（１）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公
式分解的方法是分组分解法．
例如：ａｍ＋ａｎ＋ｂｍ＋ｂｎ＝（ａｍ＋ａｎ）＋（ｂｍ＋ｂｎ）＝
ａ（ｍ＋ｎ）＋ｂ（ｍ＋ｎ）＝（ａ＋ｂ）（ｍ＋ｎ）．
①分解因式：ａｂ－２ａ－２ｂ＋４．
②若ａ，ｂ（ａ＞ｂ）都是正整数且满足ａｂ－２ａ－２ｂ
－４＝０，求２ａ＋ｂ的值．
（２）若ａ，ｂ为实数且满足ａｂ－ａ－ｂ－１＝０，整式Ｍ＝
ａ
２＋３ａｂ＋ｂ
２－９ａ－７ｂ，求整式Ｍ的最小值．
解析 （１）①ａｂ－２ａ－２ｂ＋４＝（ａｂ－２ａ）－（２ｂ－４）＝
ａ（ｂ－２）－２（ｂ－２）＝（ｂ－２）（ａ－２）．
②∵ａｂ－２ａ－２ｂ－４＝ａｂ－２ａ－２ｂ＋４－８＝０，
∴（ｂ－２）（ａ－２）＝８，
∵ａ，ｂ（ａ＞ｂ）都是正整数，
∴ａ－２＞ｂ－２≥－１，且ａ－２，ｂ－２都为整数，
∴
ａ－２＝８，
ｂ－２＝１
{
或
ａ－２＝４，
ｂ－２＝２，
{
解得
ａ＝１０，
ｂ＝３
{
或
ａ＝６，
ｂ＝４，
{
当ａ＝１０，ｂ＝３时，２ａ＋ｂ＝２×１０＋３＝２０＋３＝２３；
当ａ＝６，ｂ＝４时，２ａ＋ｂ＝２×６＋４＝１２＋４＝１６．
∴２ａ＋ｂ的值为２３或１６．
（２）由ａｂ－ａ－ｂ－１＝０得ａｂ＝ａ＋ｂ＋１，
∴Ｍ＝ａ
２＋３（ａ＋ｂ＋１）＋ｂ
２－９ａ－７ｂ＝ａ
２＋３ａ＋３ｂ＋３＋ｂ
２
－９ａ－７ｂ＝（ａ
２－６ａ＋９）＋（ｂ
２－４ｂ＋４）－９－４＋３＝（ａ－
３）
２＋（ｂ－２）
２－１０，
∵（ａ－３）
２≥０，（ｂ－２）
２≥０，
∴整式Ｍ的最小值是－１０．
᮰
6
判断一个代数式是不是分式，不能将原代数式进行变形后再判断，必须按照原来的形式进行判断．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
８４
第十八章
分式
１８．１ 分式及其基本性质
１８．１．１ 从分数到分式
ۻᆱ݆
知识点１ 分式的概念
１．若
ｘ
２－□是分式，则□可能是
（Ｂ）
Ａ．３
Ｂ．ｙ
Ｃ．３
４
Ｄ．２０２５
２．如图，甲、乙、丙、丁、戊五人手中各有一张正方形卡
片，则卡片上的式子是分式的有
（Ｃ）
Ａ．１个
Ｂ．２个
Ｃ．３个
Ｄ．４个
３．
学科
特色
教材
变式一艘轮船在静水中的最大航速为３０千米／
时，设江水的流速为ｘ千米／时，则它沿江以最大航
速顺流航行１００千米所用时间为
１００
ｘ＋３０小时．
知识点２ 分式有（无）意义的条件
４．若分式ｘ＋１
ｘ－１有意义，则ｘ的取值范围是
（Ｄ）
Ａ．ｘ＞１
Ｂ．ｘ≠－１
Ｃ．ｘ＜１
Ｄ．ｘ≠１
５．对于分式ｘ－２
ｘ－ａ来说，当ｘ＝－１时无意义，则ａ的值是
（Ｃ）
Ａ．１
Ｂ．２
Ｃ．－１
Ｄ．－２
６．「2025 重庆綦江期末」当ｘ为任意实数时，下列分式一
定有意义的是
（Ａ）
Ａ．ｘ＋１
｜ｘ｜＋１
Ｂ．ｘ＋１
ｘ
２
Ｃ．ｘ－１
ｘ
２
Ｄ．ｘ＋１
ｘ
２－４
知识点３ 分式值为０的条件
７．
学科
特色易错题「2025 山东聊城期末」若分式ｘ
２－１６
ｘ＋４的值为０，
则ｘ的值为
（Ａ）
Ａ．４
Ｂ．－４
Ｃ．±４
Ｄ．１６
８．已知分式２ｘ－ｍ
ｘ＋ｎ，当ｘ＝２时，分式的值为０；当ｘ＝１
时，分式无意义，则ｍ＋ｎ＝３．
ᑧү Ӭ
９．「2025 上海黄浦期末，
」根据下表中的信息，ｙ代表
的分式可能是
（Ｃ）
ｘ
…
－２
－１
０
１
２
…
ｙ
…
∗
无意义
∗
－１
∗
…
Ａ．ｘ＋３
ｘ－１
Ｂ．ｘ－３
ｘ－１
Ｃ．ｘ－３
ｘ＋１
Ｄ．ｘ＋３
ｘ＋１
１０．「2024 甘肃甘南州中考，
」若分式
｜ｘ｜－２
（ｘ＋１）（ｘ－２）的
值为０，则ｘ的值为－２．
１１．新
考向
结论开放题「2025 贵州遵义月考，
」有七张写着不同
整式的卡牌，如图所示：
－１
２
－３
ｘ
ｘ＋２
ｘ－２
ｘ
２－４
（１）从中选择两张卡牌分别放在分子、分母的位
置上，拼出一个“分式”．
（２）当ｘ满足什么条件时，你拼出的“分式” 有意
义？它的值可能为０吗？
（３）拼出一个当ｘ＝２时分式的值为０的分式．
解析 答案不唯一．
（１）由分式的定义可知ｘ
ｘ＋２是分式．
（２）当ｘ≠－２时，分式ｘ
ｘ＋２有意义，当ｘ＝０时，分
式ｘ
ｘ＋２的值为０．
（３）当ｘ＝２时，分式ｘ－２
ｘ＋２的值为０．
᮰
6
分子、分母、分式本身的符号，改变其中的两个，分式的值不变，即ａ
ｂ＝－ａ
－ｂ＝－－ａ
ｂ＝－ａ
－ｂ．
第
十
八
章
分
式
８５
１８．１．２ 分式的基本性质
第1 课时 分式的基本性质
ۻᆱ݆
知识点 分式的基本性质
１．「2025 福建福州十九中期末」下列各式从左到右的变
形，一定正确的是
（Ｄ）
Ａ．ｘ＋１
ｙ＋１＝ｘ
ｙ
Ｂ．－ｘ
ｘ－ｙ＝－ｘ
ｙ－ｘ
Ｃ．ｘ
２
ｙ
２＝ｘ
ｙ
Ｄ．ｘｙ
ｙ
２＝ｘ
ｙ
２．根据分式的基本性质，分式－ａ
ａ＋ｂ可变形为
（Ｃ）
Ａ．ａ
ａ＋ｂ
Ｂ．
ａ
－ａ＋ｂ
Ｃ．－ａ
ａ＋ｂ
Ｄ．－ａ
ａ－ｂ
３．「2025 浙江嘉兴期末」如果把分式ｘ＋ｙ
ｘ中的ｘ和ｙ都扩
大到原来的３倍，那么分式的值
（Ｂ）
Ａ．扩大到原来的３倍
Ｂ．不变
Ｃ．缩小到原来的１
３
Ｄ．扩大到原来的９倍
４．
学科
特色
教材
变式在括号里填上适当的整式：
（１）３ｃ
２ａｂ＝
１５ａｃ
（１０ａ
２ｂ
）
．
（２）３ｘｙ
ｘ
２－２ｘ
＝（３ｙ
）
ｘ－２
．
（３）３ａｂ
ａ＋ｂ＝
６ａ
２ｂ
（２ａ
２＋２ａｂ
）
（ａ≠０）．
５．不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含
“－”号．
（１）－ｘ
５ｙ． （２）－ａ
２
－４ｂ． （３）６ｍ
－５ｎ．
解析 （１）－ｘ
５ｙ＝－ｘ
５ｙ．（２）－ａ
２
－４ｂ＝ａ
２
４ｂ．（３）６ｍ
－５ｎ＝－６ｍ
５ｎ．
６．「2025 江西宜春月考」不改变分式的值，把下列各分式
的分子和分母中各项系数化为整数．
（１）０．０２－０．２ｘ
０．３ｘ－０．０３． （２）
１
２ｘ－１
３ｙ
２
３ｘ－１
２ｙ
．
解析 （１）原式＝（０．０２－０．２ｘ）×１００
（０．３ｘ－０．０３）×１００＝２－２０ｘ
３０ｘ－３．
（２）原式＝
１
２ｘ－１
３ｙ
æ
è
ç
ö
ø
÷ ×６
２
３ｘ－１
２ｙ
æ
è
ç
ö
ø
÷ ×６
＝３ｘ－２ｙ
４ｘ－３ｙ．
ᑧү Ӭ
７．「2025 山东济宁期末，
」下列各式从左到右的变形
正确的是
（Ｄ）
Ａ．－ｘ－ｙ
ｘ
＝－ｘ－ｙ
ｘ
Ｂ．ａ＋ｂ
ａ－ｂ＝ａ－ｂ
ａ＋ｂ
Ｃ．０．２ａ＋ｂ
０．２ｂ＝２ａ＋ｂ
２ｂ
Ｄ．
ｘ－１
２ｙ
ｘ
＝２ｘ－ｙ
２ｘ
８．「2025 江西南昌期末，
」把分式５ｘ□ｙ
３ｘ＋２ｙ中的ｘ，ｙ同时
扩大为原来的３倍，分式的值也扩大为原来的３
倍，则在□中添加的运算符号为
（Ｃ）
Ａ．＋
Ｂ．－
Ｃ．×
Ｄ．÷
９．「2025 江苏泰州月考，
」不改变分式的值，使分子、
分母中的最高次项系数都是正数，则－ｘ－２ｘｙ＋ｙ
－ｘ
２－ｙ
＝
ｘ＋２ｘｙ－ｙ
ｘ
２＋ｙ
．
１０．「2025 广西玉林质检，
」不改变分式的值，使下列
分式的分子、分母中各项的系数都化为整数，并
使次数最高项的系数为正数．
（１）
０．５ｍ－１
３ｎ
２
２ｍ＋０．２５ｎ． （２）
４
３－１
４ａ
３＋ａ
２
１
２ａ
２－ａ＋１
３
．
解析 （１）
０．５ｍ－１
３ｎ
２
２ｍ＋０．２５ｎ＝－６ｍ＋４ｎ
２
－２４ｍ－３ｎ．
（２）
４
３－１
４ａ
３＋ａ
２
１
２ａ
２－ａ＋１
３
＝－１６＋３ａ
３－１２ａ
２
－６ａ
２＋１２ａ－４
．
᮰
6
最简分式是约分后的形式，判定是最简分式的唯一标准就是分式的分子与分母没有公因式．
初
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年
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８６
第2 课时 分式的约分与通分
ۻᆱ݆
知识点１ 分式的约分
１．「2025 山东聊城期末」下列是最简分式的是
（Ｃ）
Ａ．ｘ－１
１－ｘ
Ｂ．ｘ－１
ｘ
２－１
Ｃ．ｘ＋１
ｘ
２
Ｄ．４
２ｘ
２．「2025 四川成都期末」约分－ａ
２ｂ
５ａｂ
２的结果是
（Ｂ）
Ａ．－１
５
Ｂ．－ａ
５ｂ
Ｃ．－１
５ｂ
Ｄ．－１
５ａ
３．下列分式的约分中，正确的是
（Ｃ）
Ａ．－２ｂｃ
－ａｃ＝－２ｂ
ａ
Ｂ．２ｘ－ｙ
２ｘ＝１－ｙ
Ｃ．
１－ａ
ａ
２－２ａ＋１
＝１
１－ａ
Ｄ．ｘｙ－ｘ
２
（ｘ－ｙ）
２＝ｘ
ｘ－ｙ
４．「2025 山东临沂期末」化简－ｍ＋２ｎ
ｍ
２－４ｎ
２的结果是
（Ｃ）
Ａ．１
ｍ＋ｎ
Ｂ．－１
ｍ＋ｎ
Ｃ．－
１
ｍ＋２ｎ
Ｄ．－
１
ｍ－２ｎ
５．「2025 江苏南通期末」小明化简分式∗
ｘ
２－１
＝ｘ＋１
ｘ－１时，∗
部分不小心滴上了墨水，请你推测，∗部分的式子
应该是
（Ｂ）
Ａ．ｘ
２－２ｘ＋１
Ｂ．ｘ
２＋２ｘ＋１
Ｃ．ｘ
２－１
Ｄ．ｘ
２－２ｘ－１
６．「2025 北京景山学校月考」将分式６ａ
４
９ａ
２ｂ
２化为最简分式
的结果为２ａ
２
３ｂ
２．
７．已知三张卡片上面分别写有６，ｘ－１，ｘ
２－１，从中任选
两张卡片，组成一个最简分式为
６
ｘ－１或６
ｘ
２－１
æ
è
ç
ö
ø
÷ ．
（写出一个分式即可）
８．「2025 江苏宿迁月考」约分：
（１）－２４ｘ
２ｙ
３ｚ
８ｙ
２ｚ
． （２）ａ
２－２ａ＋１
ａ
２－１
．
解析 （１）－２４ｘ
２ｙ
３ｚ
８ｙ
２ｚ
＝－３ｘ
２ｙ．
（２）ａ
２－２ａ＋１
ａ
２－１
＝
（ａ－１）
２
（ａ＋１）（ａ－１）＝ａ－１
ａ＋１．
知识点２ 分式的通分
９．「2025 湖南娄底期末」分式２
２ｘ－４，３
２ｘ的最简公分母是
（Ｄ）
Ａ．２ｘ
Ｂ．２ｘ（２ｘ－４）
Ｃ．２ｘ－４
Ｄ．２ｘ（ｘ－２）
１０．「2025 山西临汾一中月考」把
１
ｘ－２，
１
（ｘ－２）（ｘ＋３），
２
（ｘ＋３）
２通分的过程中，不正确的是
（Ｄ）
Ａ．最简公分母是（ｘ－２）（ｘ＋３）
２
Ｂ．１
ｘ－２＝
（ｘ＋３）
２
（ｘ－２）（ｘ＋３）
２
Ｃ．
１
（ｘ－２）（ｘ＋３）＝
ｘ＋３
（ｘ－２）（ｘ＋３）
２
Ｄ．
２
（ｘ＋３）
２＝
２ｘ－２
（ｘ－２）（ｘ＋３）
２
１１．分式
１
ｘ
２－３ｘ
与
１
ｘ
２－９
通分后的结果是
ｘ＋３
ｘ（ｘ＋３）（ｘ－３），
ｘ
ｘ（ｘ＋３）（ｘ－３）．
１２．通分：
（１）４ａ
５ｂ
２ｃ
，３ｃ
１０ａ
２ｂ
，５ｂ
－２ａｃ
２．
（２）
２
９－３ａ，ａ－１
ａ
２－９
．
（３）２ａ
ａ
２－９
，
３
ａ
２－６ａ＋９
．
见答案册Ｄ５７
᮰
6
分子分母多项式，因式分解排第一；约去母子公因式，分式化简好处理；结果（最简）分式或整式，因题而异不
稀奇．
第
十
八
章
分
式
８７
ᑧү Ӭ
１３．「2023 甘肃兰州中考，
」计算ａ
２－５ａ
ａ－５＝
（Ｄ）
Ａ．ａ－５
Ｂ．ａ＋５
Ｃ．５
Ｄ．ａ
１４．「2025 山东淄博期中，
」将分式
１
１－ａ
２与分式
ａ＋１
ａ
２－２ａ＋１
通分后，
ａ＋１
ａ
２－２ａ＋１
的分母变为
（１＋ａ）（１－ａ）
２，则１
１－ａ
２的分子变为
（Ａ）
Ａ．１－ａ
Ｂ．１＋ａ
Ｃ．－１－ａ
Ｄ．－１＋ａ
１５．「
」下列约分错误的是
（Ｄ）
Ａ．－２５ａ
２ｂｃ
３
１５ａｂ
２ｃ
＝－５ａｃ
２
３ｂ
Ｂ．
ｘ
２－９
ｘ
２＋６ｘ＋９
＝ｘ－３
ｘ＋３
Ｃ．６ｘ
２－１２ｘｙ＋６ｙ
２
３ｘ－３ｙ
＝２ｘ－２ｙ
Ｄ．ｘ
２－ｙ
２
ｘ－ｙ＝ｘ－ｙ
１６．「
」当１＜ｘ＜２时，化简｜ｘ－１｜
１－ｘ＋｜ｘ－２｜
ｘ－２的值是
－２．
１７．
学科
特色多解法「
」若ａ
２＝ｂ
３，则ａ
２－４ｂ
２
ａ
２－２ａｂ
的值是４．
１８．新
考向
新定义题「2025 上海浦东新区月考，
」如果一个分
式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可
约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．如分
式ａ－２ｂ
ａ
２－ｂ
２就是“ 和谐分式”．若ａ为正整数，且
ｘ－１
ｘ
２＋ａｘ＋９
为“和谐分式”，则ａ的值为６或１０．
１９．（１）「2025 北京文汇中学质检，
」先化简，再求值：
３ａ
２－ａｂ
９ａ
２－６ａｂ＋ｂ
２，其中ａ＝３
４，ｂ＝－２
３．
（２）「2023 北京中考，
」已知ｘ＋２ｙ－１＝０，求
２ｘ＋４ｙ
ｘ
２＋４ｘｙ＋４ｙ
２的值．
解析 （１）
３ａ
２－ａｂ
９ａ
２－６ａｂ＋ｂ
２＝ａ（３ａ－ｂ）
（３ａ－ｂ）
２＝
ａ
３ａ－ｂ，
当ａ＝３
４，ｂ＝－２
３时，原式＝
３
４
９
４＋２
３
＝９
３５．
（２）
２ｘ＋４ｙ
ｘ
２＋４ｘｙ＋４ｙ
２＝２（ｘ＋２ｙ）
（ｘ＋２ｙ）
２＝
２
ｘ＋２ｙ，
由ｘ＋２ｙ－１＝０，得ｘ＋２ｙ＝１，所以原式＝２
１＝２．
２０．「2025 陕西西安期末，
」通分：
（１）－ｙ
４ｘ
２，ｘ
２
３ｙ
３，２
５ｘｙ．
（２）
１
４＋２ｘ，ｘ
ｘ
２－４
，
１
ｘ
２－４ｘ＋４
．
解析 （１）最简公分母为６０ｘ
２ｙ
３，
－ｙ
４ｘ
２＝－１５ｙ
４
６０ｘ
２ｙ
３，ｘ
２
３ｙ
３＝２０ｘ
４
６０ｘ
２ｙ
３，２
５ｘｙ＝２４ｘｙ
２
６０ｘ
２ｙ
３．
（２）最简公分母为２（ｘ＋２）（ｘ－２）
２，
１
４＋２ｘ＝
（ｘ－２）
２
２（ｘ＋２）（ｘ－２）
２，
ｘ
ｘ
２－４
＝
２ｘ
２－４ｘ
２（ｘ＋２）（ｘ－２）
２，
１
ｘ
２－４ｘ＋４
＝
２ｘ＋４
２（ｘ＋２）（ｘ－２）
２．
б ͞
２１．新
课标
推理能力新
考向
代数推理“约去”指数：
如３
３＋１
３
３
３＋２
３＝３＋１
３＋２，５
３＋２
３
５
３＋３
３＝５＋２
５＋３，……
你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑
之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是
什么原因？仔细观察式子，我们可作如下猜想：
ａ
３＋ｂ
３
ａ
３＋（ａ－ｂ）
３＝
ａ＋ｂ
ａ＋（ａ－ｂ），试说明此猜想的正确性．
［供参考：ｘ
３＋ｙ
３＝（ｘ＋ｙ）（ｘ
２－ｘｙ＋ｙ
２）］
证明 ∵
ａ
３＋ｂ
３
ａ
３＋（ａ－ｂ）
３
＝
（ａ＋ｂ）（ａ
２－ａｂ＋ｂ
２）
（ａ＋ａ－ｂ）（ａ
２－ａ
２＋ａｂ＋ａ
２－２ａｂ＋ｂ
２）
＝
ａ＋ｂ
ａ＋ａ－ｂ，
∴
ａ
３＋ｂ
３
ａ
３＋（ａ－ｂ）
３＝
ａ＋ｂ
ａ＋（ａ－ｂ）正确．
᮰
6
分式相除时，要做到“一变一倒”，即“变”除法为乘法，颠倒除式的分子、分母，再按分式的乘法法则进行计算．
分式的乘除，结果都必须是最简分式或整式．
初
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教
版
８８
１８．２ 分式的乘法与除法
第1 课时 分式的乘除
ۻᆱ݆
知识点１ 分式的乘法
１．化简５ａｂ
３ｃ·１２ｃ
２
５ａｂ
２的结果是
（Ｂ）
Ａ．４
３
Ｂ．４ｃ
ｂ
Ｃ．４ａ
３ｂ
Ｄ．４ｂ
ａｃ
２．「2025 广西北海期中」计算ｘ
ｍ＋２·ｍ
２－４
２ｘ的结果是
（Ａ）
Ａ．ｍ－２
２
Ｂ．ｍ＋２
２
Ｃ．ｍ－２
２ｘ
Ｄ．ｍ－２
２ｍ＋４
３．「2025 江西南昌期末」计算６ａｂ
５ｃ
２· １５ｃ
４ａ
２ｂ
＝
９
２ａｃ．
４．「2025 山东聊城月考」计算：
（１）３ａｂ
２
２ｃｄ·４ｃ
２ｄ
３
３ａ
２ｂ
４．（２）ｘ
３－２ｘ
２＋４ｘ
ｘ
２－４ｘ＋４
·
ｘ－２
ｘ
２－２ｘ＋４
．
解析 （１）原式＝１２ａｂ
２ｃ
２ｄ
３
６ａ
２ｂ
４ｃｄ
＝２ｃｄ
２
ａｂ
２．
（２）原式＝ｘ（ｘ
２－２ｘ＋４）
（ｘ－２）
２
·
ｘ－２
ｘ
２－２ｘ＋４
＝ｘ
ｘ－２．
知识点２ 分式的除法
５．「2025 四川成都七中期中」计算２ａ
ａ＋１÷ ａ
ａ＋１的结果是
（Ａ）
Ａ．２
Ｂ．１
２
Ｃ．１
Ｄ．
２ａ
２
（ａ＋１）
２
６．「2025 山西太原三十六中月考」化简
４ｘ
２
ｘ
２－２ｘ＋１
÷
２ｘ
ｘ＋３－ａ的
结果为２ｘ
ｘ－１，则ａ＝４．
７．「2025 河南郑州八中月考」计算：
（１）ａ
ａ＋３÷ ａ
２
ａ
２－９
．
（２）
ｘ＋３
ｘ
２－２ｘ＋１
÷ ｘ
２＋３ｘ
（ｘ－１）
２．
解析 （１）原式＝ａ
ａ＋３÷
ａ
２
（ａ＋３）（ａ－３）
＝
ａ
ａ＋３·（ａ＋３）（ａ－３）
ａ
２
＝ａ－３
ａ．
（２）
ｘ＋３
ｘ
２－２ｘ＋１
÷ ｘ
２＋３ｘ
（ｘ－１）
２
＝
ｘ＋３
（ｘ－１）
２÷ｘ（ｘ＋３）
（ｘ－１）
２＝
ｘ＋３
（ｘ－１）
２·（ｘ－１）
２
ｘ（ｘ＋３）＝１
ｘ．
８．富强超市买了西兰花（ｘ－３）
２ｋｇ，莲菜（ｘ
２－９）ｋｇ，其
中ｘ＞３，售完后，西兰花和莲菜都卖了２７０元．
（１）请用含ｘ的式子分别表示这两种蔬菜的单价．
（２）西兰花的单价是莲菜单价的多少倍？
解析
（１）根据题意得，西兰花的单价为
２７０
（ｘ－３）
２
元，莲菜的单价为２７０
ｘ
２－９
元．
（２）
２７０
（ｘ－３）
２÷ ２７０
ｘ
２－９
＝
２７０
（ｘ－３）
２·（ｘ＋３）（ｘ－３）
２７０
＝ｘ＋３
ｘ－３，
所以西兰花的单价是莲菜单价的ｘ＋３
ｘ－３倍．
ᑧү Ӭ
９．「2025 河北邯郸期中，
」若ｍ－ｎ＝２，则代数式ｍ
２－ｎ
２
ｍ
· ２ｍ
ｍ＋ｎ的值是
（Ｄ）
Ａ．－２
Ｂ．２
Ｃ．－４
Ｄ．４
１０．「
」美琪在做数学作业时，不小心将式子中除
号后边的式子污染了，即４－ｘ
２
３ｘ
２－２ｘｙ
÷ ，通过查看得
知答案为ｘ＋２
３ｘ－２ｙ，则被污染的式子为２－ｘ
ｘ
．
１１．「2023 湖北宜昌中考，
」先化简，再求值：ａ
２－４ａ＋４
ａ
２－４
÷ ａ－２
ａ
２＋２ａ
＋３，其中ａ＝３－３．
见答案册Ｄ５９
᮰
6
分式乘除混合运算：乘除同级运算，除法符号需变（乘）；乘法进行化简，因式分解在先；分子分母相约，然后再
行运算．
第
十
八
章
分
式
８９
第2 课时 分式的乘除混合运算及乘方
ۻᆱ݆
知识点１ 分式的乘除混合运算
１．计算１２ａ
２ｂ
４· －３ａ
２ｂ
３
æ
è
ç
ö
ø
÷ ÷ －ａ
２ｂ
２
æ
è
ç
ö
ø
÷ 的结果为
（Ｄ）
Ａ．－９ａ
Ｂ．９ａ
Ｃ．－３６ａ
Ｄ．３６ａ
２．「2025 北京海淀期末」计算８１－ａ
２
ａ
２＋６ａ＋９
÷ ａ－９
２ａ＋６·ａ＋３
ａ＋９的结
果为
（Ｄ）
Ａ．１
２
Ｂ．１
Ｃ．－１
Ｄ．－２
３．计算：
（１）－ｂ
２
２７ａ
３÷２ｂ
９ａ·３ａｂ
ｂ
４．
（２）
ｘ
２－１
ｘ
２－４ｘ＋４
÷（ｘ＋１）·ｘ
２－３ｘ＋２
ｘ－１
．
解析 （１）原式＝－ｂ
２
２７ａ
３·９ａ
２ｂ·３ａｂ
ｂ
４＝－１
２ａｂ
２．
（２）原式＝（ｘ＋１）（ｘ－１）
（ｘ－２）
２
·
１
ｘ＋１· （ｘ－１）（ｘ－２）
ｘ－１
＝ｘ－１
ｘ－２．
４．「2025 陕西西安质检」先化简，再求值：
２ａ－２
ａ＋２·
ａ
２－４
ａ
２－２ａ＋１
÷ １
１－ａ
２，其中ａ
２－ａ－３＝０．
解析
２ａ－２
ａ＋２·
ａ
２－４
ａ
２－２ａ＋１
÷
１
１－ａ
２＝２（ａ－１）
ａ＋２
·
（ａ＋２）（ａ－２）
（ａ－１）
２
·［－（ａ＋１）（ａ－１）］＝－２（ａ－２）（ａ＋１）
＝－２ａ
２＋２ａ＋４．由ａ
２－ａ－３＝０得ａ
２－ａ＝３，则原式＝
－２（ａ
２－ａ）＋４＝－２．
知识点２ 分式的乘方
５．「2023 河北中考」化简ｘ
３ｙ
３
ｘ
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
的结果是
（Ａ）
Ａ．ｘｙ
６
Ｂ．ｘｙ
５
Ｃ．ｘ
２ｙ
５
Ｄ．ｘ
２ｙ
６
６．
学科
特色易错题「2025 山东烟台期中」计算－ａ
ｂ
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
÷ ２ａ
２
５ｂ
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
·
－ａ
２
５ｂ
æ
è
ç
ö
ø
÷ 的结果是－５
４ｂ．
７．计算：
（１）２ｍ
３ｎ· －２ｎ
ｐ
æ
è
ç
ö
ø
÷
３
÷ｍｎ
ｐ
３．
（２）２ｘ
ｙ
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
３
· ２ｙ
ｘ
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
÷ －２ｙ
ｘ
æ
è
ç
ö
ø
÷ ．
解析
（１）原式＝２ｍ
３ｎ· －８ｎ
３
ｐ
３
· ｐ
３
ｍｎ＝－１６ｍｎ
３ｐ
３
３ｍｎ
２ｐ
３
＝
－１６ｎ
３．
（２）原式＝８ｘ
３
ｙ
６·４ｙ
２
ｘ
２· －ｘ
２ｙ
æ
è
ç
ö
ø
÷ ＝－１６ｘ
２
ｙ
５．
ᑧү Ӭ
８．「2025 云南昆明质检，
」如果ｎ为正整数，则
ｘ
ｙ
æ
è
ç
ö
ø
÷
２ｎ
· －ｙ
ｘ
æ
è
ç
ö
ø
÷
２ｎ－１
的结果是
（Ｂ）
Ａ．ｘ
ｙ
Ｂ．－ｘ
ｙ
Ｃ．ｙ
ｘ
Ｄ．－ｙ
ｘ
９．「2025 山西长治月考，
」已知ｘ
ｙ＝３，则
１
ｘ
２－ｙ
２÷
１
ｘ－ｙ
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
的值是
（Ｃ）
Ａ．３
４
Ｂ．２７
２６
Ｃ．１
２
Ｄ．１４
１３
１０．「
」计算ａ－ｂ
ａｂ
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
· －ａ
ｂ－ａ
æ
è
ç
ö
ø
÷
３
÷
１
ａ
２－ｂ
２＝ａ
２＋ａｂ
ｂ
２
．
１１．「2025 广东佛山期末，
」计算：
（１）ａ
３ｂ
２
２ｃ
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
· －ｂｃ
ａ
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
３
÷ －３ｂ
２ｃ
２ａ
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
．
（２）
２ｘ－６
ｘ
２－４ｘ＋４
÷ ３－ｘ
４ｘ
２－１６
· ｘ－２
ｘ＋２
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
．
见答案册Ｄ５９
１２．「
」有这样一道题：“计算ｘ
２－２ｘ＋１
ｘ
２－１
÷ ｘ－１
ｘ
２＋ｘ
· １
ｘ
３的
值，其中ｘ＝－４．”小聪同学把“ｘ＝－４”错抄成“ｘ＝
４”，但他的计算结果也是正确的．你说这是怎么回
事呢？
见答案册Ｄ６０
᮰
6
异分母分式相加减的一般步骤：①通分；②加减；③合并；④约分．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
９０
１８．３ 分式的加法与减法
第1 课时 分式的加减
ۻᆱ݆
知识点１ 同分母分式的加减
１．「2023 河南中考」化简ａ－１
ａ＋１
ａ的结果是
（Ｂ）
Ａ．０
Ｂ．１
Ｃ．ａ
Ｄ．ａ－２
２．「2025 江苏南通期末」计算２ｍ
ｍ－１－２
ｍ－１的结果是（Ｄ）
Ａ．
２
ｍ
２－１
Ｂ．ｍ
ｍ－１
Ｃ．ｍ
Ｄ．２
３．「2025 湖南株洲期末」化简４ａ
２ａ－ｂ－２ｂ
２ａ－ｂ的结果为２．
４．计算：
（１）ａ
ａ－１＋１
１－ａ＋１．
（２）ｍ＋２ｎ
ｎ－ｍ＋ｎ
ｍ－ｎ－２ｍ
ｎ－ｍ．
解析 （１）ａ
ａ－１＋１
１－ａ＋１
＝ａ
ａ－１－１
ａ－１＋１＝ａ－１
ａ－１＋１＝１＋１＝２．
（２）ｍ＋２ｎ
ｎ－ｍ＋ｎ
ｍ－ｎ－２ｍ
ｎ－ｍ
＝ｍ＋２ｎ
ｎ－ｍ－ｎ
ｎ－ｍ－２ｍ
ｎ－ｍ
＝ｍ＋２ｎ－ｎ－２ｍ
ｎ－ｍ
＝ｎ－ｍ
ｎ－ｍ＝１．
５．已知：ｘ≠ｙ，ｙ＝－ｘ＋８，求ｘ
２
ｘ－ｙ＋ｙ
２
ｙ－ｘ的值．
解析
原式＝ｘ
２
ｘ－ｙ－ｙ
２
ｘ－ｙ＝ｘ
２－ｙ
２
ｘ－ｙ＝（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）
ｘ－ｙ
＝ｘ
＋ｙ，
当ｘ≠ｙ，ｙ＝－ｘ＋８时，原式＝ｘ＋ｙ＝ｘ＋（－ｘ＋８）＝８．
知识点２ 异分母分式的加减
６．「2023 天津中考」计算１
ｘ－１－２
ｘ
２－１
的结果等于
（Ｃ）
Ａ．－１
Ｂ．ｘ－１
Ｃ．１
ｘ＋１
Ｄ．１
ｘ
２－１
７．「2025 河北沧州质检」化简４
ａ＋２＋ａ－２的结果是（Ｂ）
Ａ．１
Ｂ．ａ
２
ａ＋２
Ｃ．ａ
２
ａ
２－４
Ｄ．ａ
ａ＋２
８．「2025 四川广安一模」如图，在数轴上，表示ｘ
２－２ｘ＋１
ｘ
２－１
＋
２
ｘ＋１的结果的点是
（Ｃ）
/
.
2
1
Ａ．Ｐ点
Ｂ．Ｑ点
Ｃ．Ｍ点
Ｄ．Ｎ点
９．计算２４ｍ
４ｍ
２－９
＋２ｍ－３
２ｍ＋３的结果是２ｍ＋３
２ｍ－３．
１０．「2025 上海松江期末」计算：
（１）ｘ＋２
ｘ
２－２ｘ
－ｘ－１
ｘ－２＋ｘ＋１
ｘ．
（２）２ｘ
ｘ－１＋１
ｘ＋３－３ｘ＋５
ｘ
２＋２ｘ－３
．
解析 （１）ｘ＋２
ｘ
２－２ｘ
－ｘ－１
ｘ－２＋ｘ＋１
ｘ
＝
ｘ＋２
ｘ（ｘ－２）－ｘ（ｘ－１）
ｘ（ｘ－２）＋（ｘ＋１）（ｘ－２）
ｘ（ｘ－２）
＝ｘ＋２－ｘ
２＋ｘ＋ｘ
２－ｘ－２
ｘ（ｘ－２）
＝
１
ｘ－２．
（２）２ｘ
ｘ－１＋１
ｘ＋３－３ｘ＋５
ｘ
２＋２ｘ－３
＝２ｘ
ｘ－１＋１
ｘ＋３－
３ｘ＋５
（ｘ＋３）（ｘ－１）
＝２ｘ（ｘ＋３）＋ｘ－１－（３ｘ＋５）
（ｘ＋３）（ｘ－１）
＝
２ｘ
２＋４ｘ－６
（ｘ＋３）（ｘ－１）＝２（ｘ＋３）（ｘ－１）
（ｘ＋３）（ｘ－１）＝２．
１１．「2024 山东济南外国语学校期末」先化简，再求值：ｍ
ｍ＋ｎ
－ｎ
ｍ－ｎ＋２ｎ
２
ｍ
２－ｎ
２，其中ｍ＝２，ｎ＝３．
见答案册Ｄ６０
᮰
6
分式的加减运算要注意将异分母的分式转化为同分母的分式，分式的乘除运算要注意分解因式、约分，计算结果要
化为最简分式或整式．
第
十
八
章
分
式
９１
ᑧү Ӭ
１２．「2025 河北衡水中学月考，
」如图，一个正确的运算
过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是（Ｄ）
B
B
B
Ａ．ａ＋２
ａ＋１
Ｂ．ａ
Ｃ．ａ
ａ＋１
Ｄ．１
１３．跨
物理
照相机成像「2022 浙江杭州中考，
」照相机成像应用
了一个重要原理，用公式１
ｆ＝１
ｕ＋１
ｖ（ｖ≠ｆ）表示，
其中ｆ表示照相机镜头的焦距，ｕ表示物体到镜
头的距离，ｖ表示胶片（像）到镜头的距离．已知ｆ，
ｖ，则ｕ＝
（Ｃ）
Ａ．ｆｖ
ｆ－ｖ
Ｂ．ｆ－ｖ
ｆｖ
Ｃ．ｆｖ
ｖ－ｆ
Ｄ．ｖ－ｆ
ｆｖ
１４．「2024 青海西宁中考，
」计算２ａ
ａ
２－ｂ
２－１
ａ＋ｂ＝
１
ａ－ｂ．
１５．「2024 山西太原十五中期末，
」如图，在数轴上，Ａ，Ｂ
两点分别表示－２
１＋ａ，ａ
２
ａ
２＋ａ
，若ａ表示正整数，则
ＡＢ的长为
ａ＋２
ａ＋１．
B
B B
B
"
#
１６．「2025 天津河西期末，
」已知
ｘ＋５
（ｘ＋１）（ｘ－３）＝
Ａ
ｘ＋１－
Ｂ
ｘ－３，则Ａ＝－１，Ｂ＝－２．
１７．「2025 浙江宁波期末，
」已知实数ｘ，ｙ，ｚ满足１
ｘ＋ｙ＋
１
ｙ＋ｚ＋１
ｚ＋ｘ＝７
６，且ｚ
ｘ＋ｙ＋ｘ
ｙ＋ｚ＋ｙ
ｚ＋ｘ＝１１，则ｘ＋ｙ＋ｚ的值
为１２．
１８．「2024 浙江嘉兴一中期末，
」先化简，再求值：
ａ
２－４ａ＋４
ａ
２－４
＋４－ａ
ａ＋２，请从０、１、２三个数中选取一个合
适的数代入求值．
解析 ａ
２－４ａ＋４
ａ
２－４
＋４－ａ
ａ＋２＝
（ａ－２）
２
（ａ＋２）（ａ－２）＋４－ａ
ａ＋２
＝ａ－２
ａ＋２＋４－ａ
ａ＋２＝２
ａ＋２．
∵ａ
２－４≠０，ａ＋２≠０，∴ａ≠±２，∴ａ可取０或１．
当ａ＝０时，原式＝２
０＋２＝１．
当ａ＝１时，原式＝２
１＋２＝２
３．
１９．「2025 江西九江质检，
」请阅读下面的计算过程，
再回答所提出的问题．
ｘ－７
ｘ
２－１
－３
１－ｘ＝
ｘ－７
（ｘ＋１）（ｘ－１）－３
ｘ－１
第１步
…………
＝
ｘ－７
（ｘ＋１）（ｘ－１）－
３（ｘ＋１）
（ｘ－１）（ｘ＋１）
第２步
…………
＝ｘ－７－３（ｘ＋１）
第３步
……………………………
＝－２ｘ－１０．
第４步
…………………………………
（１）上述计算过程中，从哪一步开始出现错误？
（２）请你写出正确的解题过程．
解析 （１）计算过程中，从第１步开始出现错误．
（２）ｘ－７
ｘ
２－１
－３
１－ｘ＝
ｘ－７
（ｘ＋１）（ｘ－１）＋３
ｘ－１
＝
ｘ－７
（ｘ＋１）（ｘ－１）＋
３（ｘ＋１）
（ｘ＋１）（ｘ－１）＝
ｘ－７＋３ｘ＋３
（ｘ＋１）（ｘ－１）
＝
４ｘ－４
（ｘ＋１）（ｘ－１）＝
４（ｘ－１）
（ｘ＋１）（ｘ－１）＝
４
ｘ＋１．
б ͞
２０．新
课标
运算能力「2025 北京昌平期中」已知Ｍ＝ｘ＋１
２，Ｎ＝ｘ
ｘ＋１．
（１）当ｘ＞０时，判断Ｍ－Ｎ与０的关系，并说明
理由．
（２）设ｙ＝２＋ｘ
Ｍ－２Ｎ．
①代入Ｍ，Ｎ，化简得ｙ．
②若ｙ是正整数，求整数ｘ的值．
见答案册Ｄ６１
᮰
6
分式混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的．
初
中
数
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八
年
级
上
册
人
教
版
９２
第2 课时 分式的混合运算
ۻᆱ݆
知识点１ 分式的混合运算
１．「2025 山东菏泽期中」计算１
ａ
２－１
æ
è
ç
ö
ø
÷ · ２ａ
ａ＋１的结果是
（Ａ）
Ａ．２－２ａ
ａ
Ｂ．－２－２ａ
ａ
Ｃ．２＋２ａ
ａ
Ｄ．－２＋２ａ
ａ
２．「2025 河北石家庄期中」阳阳同学在复习老师已经批
阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞（如
图所示），
表示破损的部分，则破损部分的式子
可能是
（Ａ）
Y
Y
Y
Y
Y
0U
Ĵ
p
Ａ．ｘ－３
ｘ－１
Ｂ．ｘ＋３
ｘ－１
Ｃ．ｘ
２－ｘ＋１
ｘ
２－ｘ
Ｄ．ｘ
２＋５ｘ＋１
ｘ
２－ｘ
３．化简
１
ｘ－４－
８
ｘ
２－１６
æ
è
ç
ö
ø
÷ ·（ｘ＋４）＝
１．
４．「2025 山东泰安新泰期末」化简：
（１）ｘ＋１
ｘ－１＋
１
ｘ
２－２ｘ＋１
æ
è
ç
ö
ø
÷ ÷ ｘ
ｘ－１．
（２）１－４
ｘ＋２
æ
è
ç
ö
ø
÷ ÷ ｘ
２－２ｘ
ｘ
２＋４ｘ＋４
．
解析 （１）ｘ＋１
ｘ－１＋
１
ｘ
２－２ｘ＋１
æ
è
ç
ö
ø
÷ ÷ ｘ
ｘ－１＝ｘ
２－１＋１
（ｘ－１）
２·ｘ－１
ｘ
＝
ｘ
２
（ｘ－１）
２·ｘ－１
ｘ＝ｘ
ｘ－１．
（２）１－４
ｘ＋２
æ
è
ç
ö
ø
÷ ÷ ｘ
２－２ｘ
ｘ
２＋４ｘ＋４
＝ｘ＋２－４
ｘ＋２·（ｘ＋２）
２
ｘ（ｘ－２）
＝ｘ－２
ｘ＋２·（ｘ＋２）
２
ｘ（ｘ－２）＝ｘ＋２
ｘ．
知识点２ 分式的化简求值
５．「2025 福建厦门一中质检」如果ｍ＋ｎ＝１，那么代数式
２ｍ＋ｎ
ｍ
２－ｍｎ
＋１
ｍ
æ
è
ç
ö
ø
÷ ·（ｍ
２－ｎ
２）的值为
（Ｄ）
Ａ．－３
Ｂ．－１
Ｃ．１
Ｄ．３
６．「2022 山东菏泽中考」若ａ
２－２ａ－１５＝０，则代数式
ａ－４ａ－４
ａ
æ
è
ç
ö
ø
÷ · ａ
２
ａ－２的值是１５．
７．「2024 内蒙古中考」先化简，再求值：
４
ｘ＋２＋ｘ－２
æ
è
ç
ö
ø
÷ ÷
ｘ
２－２ｘ
ｘ
２－４
＋３，其中ｘ＝－７
２．
解析 原式＝
４
ｘ＋２＋ｘ
２－４
ｘ＋２
æ
è
ç
ö
ø
÷ · ｘ
２－４
ｘ
２－２ｘ
＋３
＝ｘ
２
ｘ＋２·（ｘ＋２）（ｘ－２）
ｘ（ｘ－２）
＋３
＝ｘ＋３，
当ｘ＝－７
２时，原式＝－７
２＋３＝－１
２．
ᑧү Ӭ
８．「2023 湖北武汉中考，
」已知ｘ
２－ｘ－１＝０，计算
２
ｘ＋１－１
ｘ
æ
è
ç
ö
ø
÷ ÷
ｘ
２－ｘ
ｘ
２＋２ｘ＋１
的值是
（Ａ）
Ａ．１
Ｂ．－１
Ｃ．２
Ｄ．－２
９．「2024 黑龙江绥化中考，
」化简ｘ－ｙ
ｘ÷ ｘ－２ｘｙ－ｙ
２
ｘ
æ
è
ç
ö
ø
÷ ＝
１
ｘ－ｙ．
１０．「2024 四川达州中考，
」先化简：
ｘ
ｘ－２－ｘ
ｘ＋２
æ
è
ç
ö
ø
÷ ÷ｘ
２＋ｘ
ｘ
２－４
，再从－２，－１，０，１，２中
选择一个合适的数作为ｘ的值代入求值．
见答案册Ｄ６２
１１．「2024 山东日照中考，
」先化简，再求值：
ｘ＋３
ｘ
２－ｘ
－
ｘ
ｘ
２－２ｘ＋１
æ
è
ç
ö
ø
÷ ÷２ｘ－３
ｘ
，其中ｘ满足ｘ
２－２ｘ－１＝０．
见答案册Ｄ６２
᮰
6
负整数指数幂与零指数幂都要保证底数不为０．进行负整数指数幂的运算时，要注意三点：一是运算顺序；二是运算
法则；三是运算结果要化为正整数指数幂的形式．
第
十
八
章
分
式
９３
１８．４ 整数指数幂
第1 课时 负整数指数幂
ۻᆱ݆
知识点１ 负整数指数幂
１．「2025 山东日照模拟」下列各数中，最小的是
（Ｄ）
Ａ．｜－２｜
Ｂ．１
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
－２
Ｃ．（－３）
０
Ｄ．－２
２
２．若（ｘ－４）
０－２（ｘ－２）
－１有意义，则ｘ的取值范围是
（Ｄ）
Ａ．ｘ≠４
Ｂ．ｘ≠２
Ｃ．ｘ≠４且ｘ≠－２
Ｄ．ｘ≠４且ｘ≠２
３．「2025 宁夏吴忠期末」计算１
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
－３
－（π－３．１４）
０－｜－５｜
＝２．
４．「2025 上海闵行期末」将２ｘ
－２ｙ
－１（ｘ＋ｙ）表示成只含正整
数指数幂的形式是２ｘ＋２ｙ
ｘ
２ｙ
．
知识点２ 整数指数幂的相关运算
５．计算－２ａ
－２ｂ
３÷ －３ａ
３
２ｂ
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
－２
的结果为
（Ａ）
Ａ．－９ａ
４
２ｂ
Ｂ．９ａ
４
２ｂ
Ｃ．－９ａ
２
２ｂ
Ｄ．９ａ
２
２ｂ
６．化简下列各式，使结果只含有正整数指数幂．
（１）（－３ｍ
２ｎ
－３）
－２·（－２ｍ
－１ｎ
２）
－３．
（２）（２ｍ
２ｎ
－３）
２÷（－ｍｎ
－２）
－２．
解析 （１）原式＝（－３）
－２ｍ
－４ｎ
６·（－２）
－３ｍ
３ｎ
－６＝１
９
× －１
８
æ
è
ç
ö
ø
÷ ｍ
－１＝－１
７２ｍ．
（２）原式＝４ｍ
４ｎ
－６÷ｍ
－２ｎ
４＝４ｍ
６ｎ
－１０＝４ｍ
６
ｎ
１０．
７．计算下列各题：
（１）ａ
－２ｂ
２·（－３ａ
－３ｂ
３）
６ａ
－４ｂ
－５
．（２）（２ｘ
２ｙ
２）
２·（－３ｘ
－１ｙ
３）
６ｘ
－２ｙ
－３·３ｘ
２ｙ
３
．
解析 （１）原式＝－３ａ
－５ｂ
５
６ａ
－４ｂ
－５＝－１
２ａ
－１ｂ
１０＝－ｂ
１０
２ａ．
（２）原式＝４ｘ
４ｙ
４·（－３ｘ
－１ｙ
３）
６ｘ
－２ｙ
－３·３ｘ
２ｙ
３
＝－２ｘ
３ｙ
７
３
．
８．已知１０
－２α ＝３，１０
－β ＝１
５，求１０
６α＋２β的值．
解析 ∵１０
－２α ＝１
１０
２α ＝３，１０
－β ＝１
１０
β ＝１
５，
∴１０
２α ＝１
３，１０
β ＝５，
∴１０
６α＋２β ＝（１０
２α ）
３· （１０
β ）
２＝
１
３
æ
è
ç
ö
ø
÷
３
× ５
２＝１
２７× ２５
＝２５
２７．
ᑧү Ӭ
９．「2024 青海西宁中考，
」下列计算正确的是（Ｄ）
Ａ．－５
２＝２５
Ｂ．（－５）
３＝－１５
Ｃ．５
－２＝－２５
Ｄ．５
４÷５
３＝５
１０．「2024 湖北恩施州期末，
」在算式（－３）□（－４）
－２×
－１
５中的“□”里填入一个运算符号，使得它的
结果最小
（Ｄ）
Ａ．＋
Ｂ．－
Ｃ．×
Ｄ．÷
１１．「2025 湖南长沙期末，
」计算ｘ
－２ｙ
３（ｘ
２ｙ
－２）
－３＝
ｙ
９
ｘ
８．
１２．「2023 山西太原十五中月考，
」如果ａ
－ｐ＝１
３６，且ａ，ｐ
为整数，则满足条件的ａ，ｐ的值分别是
３６，１（答案不唯一）．（写出一组即可）
１３．「2025 江苏扬州质检，
」已知ａ＞０，ｂ＞０，且ａ，ｂ为
整数，如果ａ
ｂ＋ａ
－ｂ＝ｘ，ａ
ｂ－ａ
－ｂ＝ｙ．
（１）试探究ｘ，ｙ之间满足的关系．
（２）当ｙ＝１时，求ｘ
２的值．
解析 （１）由ａ
ｂ＋ａ
－ｂ＝ｘ，ａ
ｂ－ａ
－ｂ＝ｙ得
ａ
２ｂ＋２＋ａ
－２ｂ＝ｘ
２①，ａ
２ｂ－２＋ａ
－２ｂ＝ｙ
２②，
②－①得ｙ
２－ｘ
２＝－４．
（２）当ｙ＝１时，１－ｘ
２＝－４，解得ｘ
２＝５．
᮰
6
用科学记数法表示绝对值小于１的数，就是把它写成ａ×１０
－ｎ（１≤｜ａ｜＜１０，ｎ是正整数）的形式，ｎ的值等于数据左
起第一个非０数字前０的个数（包括小数点前的那个０）．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
９４
第2 课时 用科学记数法表示绝对值小于1 的数
ۻᆱ݆
知识点１ 科学记数法
１．「2025 安徽淮南期末」将数据０．００００００００２８用科学
记数法表示为
（Ｃ）
Ａ．０．２８×１０
－８
Ｂ．２．８×１０
－８
Ｃ．２．８×１０
－９
Ｄ．２８×１０
－７
２．新
课标
中华优秀传统文化香包刺绣又称陇绣，是一项传统技艺．
绣线多采用产地范围生产的蚕丝线、棉线、麻线等，
织成蚕丝线的蚕丝截面可近似地看成圆，直径约为
１０μｍ，蚕丝线的截面面积约为０．００００００７８５ｃｍ
２，
其中数据０．００００００７８５用科学记数法可表示为
（Ｃ）
Ａ．７．８５×１０
６
Ｂ．７．８５×１０
－６
Ｃ．７．８５×１０
－７
Ｄ．７．８５×１０
７
３．「2024 山东日照莒县二模」苏轼《赤壁赋》中记载：“寄
蜉蝣于天地，渺沧海之一粟”，比喻非常渺小．据测
量，２００粒粟的质量大约为１克，用科学记数法表
示１粒粟的质量约为
（Ｄ）
Ａ．２×１０
２克
Ｂ．２×１０
－２克
Ｃ．５×１０
－２克
Ｄ．５×１０
－３克
４．数据０．０００００２５用科学记数法表示成２．５×１０
－ｎ，则
２．５×１０
ｎ表示的原数为
（Ｂ）
Ａ．２５００００
Ｂ．２５０００００
Ｃ．２５００００００
Ｄ．－２５０００００
５．已知空气的单位体积质量为１．２４×１０
－３ｇ／ｃｍ
３，把
１．２４×１０
－３用小数表示为０．００１２４．
知识点２ 科学记数法的应用
６．已知一个水分子的直径约为３．８５×１０
－１０米，某花粉
的直径约为５×１０
－４米，用科学记数法表示一个水
分子的直径是这种花粉直径的
（Ｃ）
Ａ．０．７７×１０
－６倍
Ｂ．７７×１０
－５倍
Ｃ．７．７×１０
－７倍
Ｄ．７．７×１０
－６倍
７．计算（结果用科学记数法表示）：
（１）（－３．５×１０
－１３）×（－４×１０
－７）．
（２）（５．２×１０
－９）÷（－４×１０
－３）．
解析
（１）原式＝（３．５× ４）×（１０
－１３× １０
－７）＝１４×
１０
－２０＝１．４×１０
－１９．
（２）原式＝［５．２÷（－４）］×（１０
－９÷１０
－３）＝－１．３×１０
－６．
ᑧү Ӭ
８．跨
化学
水分子质量「2024 江苏南京中考，
」水由氢、氧两种元
素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原
子．一个氢原子的质量约为１．６７４×１０
－２７ｋｇ，一个氧
原子的质量约为２．６５７× １０
－２６ｋｇ，一个水分子的质
量大约是
（Ｃ）
Ａ．３．６１３７×１０
－２５ｋｇ
Ｂ．２．８２４４×１０
－２６ｋｇ
Ｃ．２．９９１８×１０
－２６ｋｇ
Ｄ．３．６１３７×１０
－２７ｋｇ
９．「
」已知１毫米＝１百万纳米，０．０１５毫米等于多
少纳米？将结果用科学记数法表示为
（Ｂ）
Ａ．０．１５×１０
３纳米
Ｂ．１．５×１０
４纳米
Ｃ．１５×１０
－５纳米
Ｄ．１．５×１０
－６纳米
１０．「2025 宁夏银川三中月考，
」一个正方体集装箱的
棱长为０．８ｍ．
（１）这个集装箱的体积是多少（用科学记数法表
示）？
（２）若有一个小立方块的棱长为２×１０
－２ｍ，则需
要多少个这样的小立方块才能将集装箱
装满？
解析 （１）∵一个正方体集装箱的棱长为０．８ｍ，
∴这个集装箱的体积是０．８× ０．８× ０．８＝０．５１２＝
５．１２×１０
－１（ｍ
３）．
答：这个集装箱的体积是５．１２×１０
－１ｍ
３．
（２）５．１２×１０
－１÷（２×１０
－２）
３＝６４０００（个）．
答：需要６４０００个这样的小立方块才能将集装箱
装满．
᮰
6
分式求值是整式运算、因式分解、分式运算的综合应用，涉及的知识点多，题型灵活多变．
第
十
八
章
分
式
９５
专项突破８ 分式化简求值的常见类型练题型
类型１ 化简后直接求值
１．「2024 江苏淮安中考」先化简，再求值：１＋３
ｘ－２
æ
è
ç
ö
ø
÷ ÷
ｘ＋１
ｘ
２－４ｘ＋４
，其中ｘ＝３．
解析
１＋３
ｘ－２
æ
è
ç
ö
ø
÷ ÷
ｘ＋１
ｘ
２－４ｘ＋４
＝ｘ－２＋３
ｘ－２·（ｘ－２）
２
ｘ＋１
＝ｘ＋１
ｘ－２·（ｘ－２）
２
ｘ＋１
＝ｘ－２．
当ｘ＝３时，原式＝３－２＝１．
类型２ 整体代入求值
２．先化简，再求值：
ｘ
ｘ＋１－２
ｘ－１
æ
è
ç
ö
ø
÷ ÷ １
ｘ
２－１
，其中ｘ满足ｘ
２－
３ｘ－４＝０．
解析
ｘ
ｘ＋１－２
ｘ－１
æ
è
ç
ö
ø
÷ ÷ １
ｘ
２－１
＝
ｘ（ｘ－１）
（ｘ＋１）（ｘ－１）－
２（ｘ＋１）
（ｘ＋１）（ｘ－１）
é
ë
êê
ù
û
úú ÷ １
ｘ
２－１
＝
ｘ
２－３ｘ－２
（ｘ＋１）（ｘ－１）·（ｘ＋１）（ｘ－１）
＝ｘ
２－３ｘ－２，
∵ｘ
２－３ｘ－４＝０，
∴ｘ
２－３ｘ＝４，∴原式＝４－２＝２．
３．先化简，再求值：
ｙ
２
ｘｙ＋２ｙ
２－１
ｙ－１÷
ｘ＋２ｙ
ｙ
２－２ｙ＋１
，其中３ｘ＋６ｙ
－１＝０．
见答案册Ｄ６３
类型３ 把条件化简后求值
４．先化简，再求值：２
ｍ＋ｎ－ｍ－ｎ
ｍ－２÷ ｍ＋２－ｎ
２－４
ｍ－２
æ
è
ç
ö
ø
÷ ，其中ｍ，
ｎ满足（ｍ－１）
２＋ｎ
２＋６ｎ＋９＝０．
见答案册Ｄ６３
５．「2025 重庆綦江期末」先化简，再求值：
１
ｘ－１＋１
æ
è
ç
ö
ø
÷ ÷
ｘ
２＋２ｘ＋１
ｘ
２－１
，其中ｘ＝
１
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
－２
＋３．１４
０．
解析 原式＝
１
ｘ－１＋ｘ－１
ｘ－１
æ
è
ç
ö
ø
÷ ÷
（ｘ＋１）
２
（ｘ＋１）（ｘ－１）
＝１＋ｘ－１
ｘ－１÷ｘ＋１
ｘ－１＝ｘ
ｘ－１·ｘ－１
ｘ＋１＝ｘ
ｘ＋１，
∵ｘ＝
１
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
－２
＋３．１４
０＝４＋１＝５，
∴原式＝５
５＋１＝５
６．
类型４ 自选条件代入求值
６．「2024 四川广安中考」先化简ａ＋１－３
ａ－１
æ
è
ç
ö
ø
÷ ÷ａ
２＋４ａ＋４
ａ－１
，再
从－２，０，１，２中选取一个适合的数代入求值．
见答案册Ｄ６４
类型５ 倒数法求值
７．已知：ｘ
ｘ
２＋１
＝１
３，求ｘ
２
ｘ
４＋１
的值．
解：由ｘ
ｘ
２＋１
＝１
３知ｘ≠０，∴ｘ
２＋１
ｘ
＝３，即ｘ＋１
ｘ＝３．
∴ｘ
４＋１
ｘ
２＝ｘ
２＋１
ｘ
２＝ｘ＋１
ｘ
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
－２＝３
２－２＝７．
∴
ｘ
２
ｘ
４＋１
＝１
７．
该题的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法” 解
决下面的题目：
已知：
ｘ
ｘ
２＋３ｘ＋１
＝１
６，求
ｘ
２
ｘ
４－ｘ
２＋１
的值．
见答案册Ｄ６４
᮰
6
分式方程的两个特征：①是方程；②分母中含有未知数．
初
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年
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版
９６
１８．５ 分式方程
第1 课时 分式方程及其解法
ۻᆱ݆
知识点１ 分式方程的概念
１．「2025 广东湛江期末」下列是分式方程的是
（Ｄ）
Ａ．ｘ
ｘ＋１＋ｘ＋４
３
Ｂ．ｘ
４＋ｘ－５
２＝０
Ｃ．３
４（ｘ－２）＝４
３ｘ
Ｄ．１
ｘ＋１＋１＝０
知识点２ 分式方程的解
２．「2025 海南三亚期末」下列ｘ的值是分式方程２
ｘ－６＝１
的解的是
（Ｃ）
Ａ．ｘ＝６
Ｂ．ｘ＝－８
Ｃ．ｘ＝８
Ｄ．ｘ＝－６
３．「2023 山东淄博中考」已知ｘ＝１是方程ｍ
２－ｘ－１
ｘ－２＝３的
解，那么实数ｍ的值为
（Ｂ）
Ａ．－２
Ｂ．２
Ｃ．－４
Ｄ．４
知识点３ 解分式方程
４．
学科
特色
教材
变式
「2024 山东济宁中考」解分式方程１－
１
３ｘ－１＝
－
５
２－６ｘ时，去分母变形正确的是
（Ａ）
Ａ．２－６ｘ＋２＝－５
Ｂ．６ｘ－２－２＝－５
Ｃ．２－６ｘ－１＝５
Ｄ．６ｘ－２＋１＝５
５．「2025 山东潍坊期末」解分式方程２
ｘ＋１＋３
ｘ－１＝
６
ｘ
２－１
分以
下四步，其中错误的一步是
（Ｄ）
Ａ．最简公分母是（ｘ＋１）（ｘ－１）
Ｂ．去分母，得２（ｘ－１）＋３（ｘ＋１）＝６
Ｃ．解整式方程，得ｘ＝１
Ｄ．原方程的解为ｘ＝１
６．「2025 天津河西质检」分式方程
５
ｘ
２＋ｘ
－
１
ｘ
２－ｘ
＝０的解
是
（Ｄ）
Ａ．ｘ＝２
３
Ｂ．ｘ＝３
Ｃ．ｘ＝３
２
Ｄ．ｘ＝３
２
７．「2024 湖北武汉中考」分式方程ｘ
ｘ－３＝ｘ＋１
ｘ－１的解是
ｘ＝－３．
８．「2025 甘肃武威八中期末」已知关于ｘ的方程ｘ－２
ｘ－３＝２＋
ａ
ｘ－３有增根，那么ａ＝１．
９．解分式方程．
（１）２
ｘ＋３＝１
ｘ．
（２）ｘ
ｘ＋１＝３ｘ
２ｘ＋２－１．
（３）１
ｘ＋１＋２
ｘ－１＝
４
ｘ
２－１
．（４）１
ｘ＋１－１
１－ｘ＝１－ｘ
２
ｘ
２－１
．
见答案册Ｄ６４
１０．「2025 河北沧州期末」小华在解分式方程２ｘ
ｘ－２＋？
ｘ－２＝３
时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚．
（１）他把这个数“？” 猜成－３，请你帮小华解这个
分式方程．
（２）小华的妈妈说：“我看到的标准答案是原分式
方程无解．” 请你求出原分式方程中“？” 代表
的数．
解析
（１）把“？” 猜成－３时，分式方程为２ｘ
ｘ－２＋
－３
ｘ－２＝３，两边同时乘（ｘ－２）得２ｘ－３＝３（ｘ－２），
解得ｘ＝３，经检验，ｘ＝３是原分式方程的解．
所以分式方程的解为ｘ＝３．
（２）设“？”代表的数为ｍ，则分式方程为２ｘ
ｘ－２＋ｍ
ｘ－２
＝３，
方程两边同时乘（ｘ－２）得２ｘ＋ｍ＝３（ｘ－２），
整理得ｘ＝ｍ＋６，
因为原分式方程无解，所以ｘ－２＝０，即ｘ＝２．
把ｘ＝２代入ｘ＝ｍ＋６得２＝ｍ＋６，解得ｍ＝－４，
所以原分式方程中“？”代表的数是－４．
᮰
6
分式方程要解出，常规方法先用熟；分母去掉需注意，乘分式最简公分母；整式方程思路明，增根失根有可能；求
得方程未知值，检验步骤不能省．
第
十
八
章
分
式
９７
ᑧү Ӭ
１１．「2024 四川泸州中考，
」分式方程１
ｘ－２－３＝２
２－ｘ的
解是
（Ｄ）
Ａ．ｘ＝－７
３
Ｂ．ｘ＝－１
Ｃ．ｘ＝５
３
Ｄ．ｘ＝３
１２．「2025 河北秦皇岛期中，
」在分式方程ｘ
２－２
ｘ
＋２ｘ
ｘ
２－２
＝３中，若设ｘ
２－２
ｘ
＝ｙ可将原方程化为关于ｙ的整
式方程，那么这个整式方程是
（Ａ）
Ａ．ｙ
２－３ｙ＋２＝０
Ｂ．ｙ
２－３ｙ－２＝０
Ｃ．ｙ
２＋３ｙ＋２＝０
Ｄ．ｙ
２＋３ｙ－２＝０
１３．「2024 黑龙江龙东地区中考，
」已知关于ｘ的分式
方程ｋｘ
ｘ－３－２＝３
３－ｘ无解，则ｋ的值为
（Ａ）
Ａ．２或－１
Ｂ．－２
Ｃ．２或１
Ｄ．－１
１４．「2025 湖北荆门期末，
」已知关于ｘ的分
式方程ｘ－ａ
ｘ－２＋２ａ
２－ｘ＝２的解为非负数，则ａ
的取值范围为
（Ｃ）
Ａ．ａ≤４
３
Ｂ．ａ≥２
３且ａ≠４
３
Ｃ．ａ≤４
３且ａ≠２
３
Ｄ．ａ≥１
３且ａ≠２
３
１５．「2025 新疆乌鲁木齐质检，
」在数轴上点Ａ，Ｂ表示
的数分别为２，ｘ－５
ｘ＋１，且点Ａ，Ｂ到原点的距离相等，
则ｘ＝－７或１．
１６．「2025 山东淄博期末，
」解方程：
（１）
２
２ｘ－１－３ｘ
１－２ｘ＝２．
（２）１８
ｘ
２－９
＋１＝ｘ
ｘ－３．
解析 （１）原方程两边同乘（２ｘ－１），得２＋３ｘ＝
２（２ｘ－１），解得ｘ＝４，
经检验，ｘ＝４是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为ｘ＝４．
（２）原方程变形得
１８
（ｘ＋３）（ｘ－３）＋１＝ｘ
ｘ－３，
方程两边同乘（ｘ＋３）（ｘ－３）得１８＋（ｘ＋３）（ｘ－３）＝
ｘ（ｘ＋３），解得ｘ＝３，
经检验，ｘ＝３是方程的增根，
所以原分式方程无解．
б ͞
１７．新
课标
运算能力「2023 重庆中考B 卷」若关于ｘ的不等式组
ｘ＋２
３＞ｘ
２＋１，
４ｘ＋ａ＜ｘ－１
ì
î
í
ïï
ïï
的解集为ｘ＜－２，且关于ｙ的分式方
程ａ＋２
ｙ－１＋ｙ＋２
１－ｙ＝２的解为正数，则所有满足条件的
整数ａ的值的和为１３．
１８．新
课标
运算能力对ｘ，ｙ定义一种新运算Ｔ，规定Ｔ（ｘ，ｙ）＝
ａｘ
２＋ｂｙ
２
ｘ＋ｙ
（其中ａ，ｂ是非零常数，且ｘ＋ｙ≠０）．
如：Ｔ（３，１）＝ａ×３
２＋ｂ×１
２
３＋１
，Ｔ（ｍ，－２）＝ａｍ
２＋４ｂ
ｍ－２．
（１）填空：Ｔ（４，－１）＝
（用含ａ，ｂ的代
数式表示）．
（２）若Ｔ（－２，０）＝－２，Ｔ（５，－１）＝６．
①求ａ与ｂ的值．
②若Ｔ（３ｍ－１０，ｍ）＝Ｔ（ｍ，３ｍ－１０），求ｍ
的值．
解析 （１）Ｔ（４，－１）＝ａ×４
２＋ｂ×（－１）
２
４＋（－１）
＝１６ａ＋ｂ
３
．
（２）①根据题意，得
４ａ
－２＝－２，
２５ａ＋ｂ
４
＝６，
ì
î
í
ï
ïï
ï
ï
解得
ａ＝１，
ｂ＝－１．
{
②∵ａ＝１，ｂ＝－１，∴Ｔ（ｘ，ｙ）＝ｘ
２－ｙ
２
ｘ＋ｙ＝ｘ－ｙ．
由Ｔ（３ｍ－１０，ｍ）＝Ｔ（ｍ，３ｍ－１０），得（３ｍ－１０）－ｍ
＝ｍ－（３ｍ－１０），解得ｍ＝５，
检验：当ｍ＝５时，３ｍ－１０＋ｍ＝４ｍ－１０＝１０≠０，
∴ｍ＝５．
᮰
6
列分式方程常用的等量关系（１）：①行程问题：速度×时间＝路程；②利润问题：利润＝售价－进价；利润率＝利润÷
进价×１００％．
初
中
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八
年
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教
版
９８
第2 课时 列分式方程解应用题
ۻᆱ݆
知识点 列分式方程解应用题
１．小阳参与“ 半程马拉松” （约２１ｋｍ）项目，前
１２ｋｍ以原计划的平均速度ｖｋｍ／ｈ完成，之后身
体竞技状态下降，以０．７５ｖｋｍ／ｈ的平均速度完成
剩下赛程，最终比原计划晚１５ｍｉｎ到达目的地，则
小阳前１２ｋｍ的平均速度为
（Ｃ）
Ａ．９ｋｍ／ｈ
Ｂ．１０ｋｍ／ｈ
Ｃ．１２ｋｍ／ｈ
Ｄ．２１ｋｍ／ｈ
２．新
考向
数学文化「2025 北京怀柔期末」我国明代《永乐大典》记
载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八
百九十六文，只绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问
绫、罗尺价各几何？”其大意为“现在有绫布和罗布
长共３丈（１丈＝１０尺），已知绫布和罗布分别出售
均能收入８９６文，每尺绫布和每尺罗布一共需要
１２０文．问绫布有多少尺，罗布有多少尺？” 设绫布
有ｘ尺，则可列方程为８９６
ｘ＋８９６
３０－ｘ＝１２０．
３．新
课标
爱国教育中国空间站作为国家太空实验室，也是重
要的太空科普教育基地，为激发学生的钻研精神，
某校计划购买Ａ，Ｂ两种不同的物理实验仪器供学
生使用，经调查发现，分别用２４００元，２０００元购进
Ａ，Ｂ两种不同的仪器，Ｂ种的数量是Ａ种数量的２
倍，但单价比Ａ种仪器便宜７０元，请问购进Ａ，Ｂ
两种不同的仪器各多少个？
解析 设购进Ａ种仪器ｘ个，则购进Ｂ种仪器２ｘ
个，由题意得２４００
ｘ
－７０＝２０００
２ｘ，解得ｘ＝２０，
经检验，ｘ＝２０是所列方程的解，且符合题意，故２ｘ
＝４０．
答：购进Ａ种仪器２０个，Ｂ种仪器４０个．
４．新
考向
项目式学习题「2025 山西忻州联考」山西某中学为提升学
生的劳动能力，开辟一块菜地供学生实践使用，为
保护菜地，需要利用护栏将菜地圈起来，李老师以
招募工人，发放劳动报酬的方式来完成该项工作．
小组的同学把“劳动基地菜地护栏建设”作为一项
课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成
了活动报告．请根据活动报告计算支付给工人的总
费用．
课题
劳动基地菜地护栏建设
调查
方式
走访调研、实地测量
测量
过程
及计
算
调
研
内
容
及
图
示
0
ᵥ
ὖ
ᵥ
相关数据及说明：
①护栏安装工作包括安装横杠
和安装竖杠两部分，且要求所
有的安装工作在一天内完成，
安装横杠的工人每人每天的费
用为２００元，安装竖杠的工人每
人每天的费用为２４０元．
②共招募６名工人，每名工人
在相同的时间内安装横杠２
根或竖杠３根，且每名工人只
完成一项工作，要求两项安装
任务同时开始，并在当天同时
完成
计算结果
……
解析 设招募安装横杠的工人ｘ名，则招募安装竖
杠的工人（６－ｘ）名．
由题意，得４００
２ｘ＝１２００
３（６－ｘ），解得ｘ＝２，
经检验，ｘ＝２是原方程的解，且符合题意，
则６－ｘ＝４，
支付给工人的总费用为２× ２００＋４× ２４０＝１３６０
（元）．
答：支付给工人的总费用为１３６０元．
᮰
6
列分式方程常用的等量关系（２）：③工程问题：工作量＝工作时间×工作效率；总工作量＝各个工作量之和；④储蓄
问题：本息＝本金＋利息．
第
十
八
章
分
式
９９
ᑧү Ӭ
５．「2024 四川雅安中考，
」某市为治理污水，保
护环境，需铺设一段全长为３０００米的污水
排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影
响，实际施工时每天的工效比原计划增加２５％，结
果提前１５天完成铺设任务．
（１）求原计划与实际每天铺设管道各多少米．
（２）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工
资进行了初步的预算，工人每天人均工资为
３００元，所有工人的工资总金额不超过１８万
元．该公司原计划最多安排多少名工人施工？
解析 （１）设原计划每天铺设管道ｘ米，则实际每
天铺设管道（１＋２５％）ｘ＝１．２５ｘ米，
根据题意得３０００
１．２５ｘ＋１５＝３０００
ｘ
，
解得ｘ＝４０，
经检验，ｘ＝４０是分式方程的解，且符合题意，
∴１．２５ｘ＝５０，
则原计划与实际每天铺设的管道为４０米与５０米．
（２）设该公司原计划安排ｙ名工人施工，
根据题意得３００×（３０００÷４０）ｙ≤１８００００，
解得ｙ≤８，
则该公司原计划最多安排８名工人施工．
６．「2025 山东济南模拟，
」为了促进学生加强体育锻
炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了
“足球俱乐部１小时” 活动，去年学校通过采购平
台在某体育用品店购买Ａ品牌足球共花费２８８０
元，Ｂ品牌足球共花费２４００元，且购买Ａ品牌足
球数量是Ｂ品牌足球数量的１．５倍，每个Ａ品牌足
球的售价比每个Ｂ品牌足球的售价便宜１２元．
（１）求去年Ａ品牌足球和Ｂ品牌足球的单价．
（２）今年由于参加俱乐部的人数增加，需要从该店
再购买Ａ、Ｂ两种足球共５０个，已知今年该店
对每个足球的售价进行了调整，Ａ品牌比去年
降低了５％，Ｂ品牌比去年提高了１０％，如果今
年购买Ａ、Ｂ两种足球的总费用不超过去年总
费用的一半，那么学校至少要购买多少个Ａ品
牌足球？
解析 （１）设去年Ａ品牌足球的单价为ｘ元，则Ｂ
品牌足球的单价为（ｘ＋１２）元，
由题意得２８８０
ｘ
＝２４００
ｘ＋１２×１．５，
解得ｘ＝４８．
经检验，ｘ＝４８是原分式方程的解，且符合题意，
∴ｘ＋１２＝６０．
答：Ａ品牌足球的单价为４８元，Ｂ品牌足球的单价
为６０元．
（２）设学校要购买ｙ个Ａ品牌足球，则学校要购买
（５０－ｙ）个Ｂ品牌足球，
由题意得４８×（１－５％）ｙ＋６０×（１＋１０％）（５０－ｙ）≤１
２
×（２８８０＋２４００），解得ｙ≥５５０
１７，
∵ｙ为整数，∴ｙ的最小值为３３．
答：学校至少要购买３３个Ａ品牌足球．
б ͞
７．新
课标
模型观念１月份，甲、乙两商店从批发市场购进了相
同单价的某种商品，甲商店用１０５０元购进的商品
数量比乙商店用１２６０元购进的商品数量少１０件．
（１）求该商品的单价．
（２）２月份，两商店以ａ元／件（低于１月份单价）再
次购进该商品，购进总价不变．
①试比较两家商店两次购进该商品的平均单
价的大小．
②已知ａ＝１５，甲商店１月份以每件３０元的标
价售出了一部分，剩余部分与２月份购进的商
品一起售卖，２月份第一次按标价９折售出一
部分且未超过１月份售出数量的一半，第二次
在第一次基础上再降价２元全部售出，两个月
的总利润为１０５０元，求甲商店１月份可能售
出该商品的数量．
见答案册Ｄ６６
᮰
6
分式有意义的条件是分母不等于０，分式无意义的条件是分母等于０．分式的值为０要满足两个条件：一是分子等于
０，二是分母不等于０．
初
中
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教
版
１００
专项突破９ 分式中的易错点练易错
易错点１ 忽视分式中的隐含条件致错
１．「2025 山东临沂期末」若分式ｘ
２－９
２ｘ＋６的值为０，则ｘ的值为
（Ａ）
Ａ．３
Ｂ．－３
Ｃ．±３
Ｄ．０
２．「2024 四川遂宁中考」先化简：１－１
ｘ－１
æ
è
ç
ö
ø
÷ ÷
ｘ－２
ｘ
２－２ｘ＋１
，再
从１，２，３中选择一个合适的数作为ｘ的值代入
求值．
解析
１－１
ｘ－１
æ
è
ç
ö
ø
÷ ÷
ｘ－２
ｘ
２－２ｘ＋１
＝ｘ－１－１
ｘ－１÷
ｘ－２
（ｘ－１）
２
＝ｘ－２
ｘ－１·（ｘ－１）
２
ｘ－２
＝ｘ－１，
∵ｘ－１≠０且ｘ－２≠０，∴ｘ≠１且ｘ≠２，∴ｘ只能取
３，当ｘ＝３时，原式＝２．
易错点２ 分式运算时符号出错或顺序出错
３．计算：ｘ＋３ｙ
ｘ
２－ｙ
２－ｘ＋２ｙ
ｘ
２－ｙ
２＋２ｘ－３ｙ
ｘ
２－ｙ
２．
见答案册Ｄ６７
４．计算：
ａ
２－９
ａ
２－４ａ＋４
÷２ａ＋６
ａ－２·ａ－２
ａ＋３．
解析
ａ
２－９
ａ
２－４ａ＋４
÷２ａ＋６
ａ－２·ａ－２
ａ＋３
＝（ａ＋３）（ａ－３）
（ａ－２）
２
·
ａ－２
２（ａ＋３）·ａ－２
ａ＋３＝
ａ－３
２（ａ＋３）．
易错点３ 讨论方程的解时考虑问题不全
面致错
５．「2022 四川遂宁中考」若关于ｘ的方程２
ｘ＝
ｍ
２ｘ＋１无解，
则ｍ的值为
（Ｄ）
Ａ．０
Ｂ．４或６
Ｃ．６
Ｄ．０或４
６．「2025 山东东营期末」若关于ｘ的分式方程２
ｘ＋ｍ＝３
ｘ＋３
的解为负数，则ｍ的取值范围为ｍ＞２且ｍ≠３．
易错点４ 解分式方程时漏乘或不验根致错
７．「2023 浙江嘉兴中考」小丁和小迪分别解方程ｘ
ｘ－２－
ｘ－３
２－ｘ＝１的过程如下：
小丁：
解：去分母，得ｘ－（ｘ－３）＝ｘ－２，
去括号，得ｘ－ｘ＋３＝ｘ－２，
合并同类项，得３＝ｘ－２，
解得ｘ＝５，
原方程的解是ｘ＝５．
小迪：
解：去分母，得ｘ＋（ｘ－３）＝１，
去括号，得ｘ＋ｘ－３＝１，
合并同类项，得２ｘ－３＝１，
解得ｘ＝２，
经检验，ｘ＝２是方程的增根，原方程无解．
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在
框内打“√”；若错误，请在框内打“✕”，并写出你
的解答过程．
解析 小丁和小迪的解法都不正确．正确过程如下：
方程两边同乘（ｘ－２）得ｘ＋ｘ－３＝ｘ－２，
移项、合并同类项，得ｘ＝１，
经检验，ｘ＝１是分式方程的解，
故原分式方程的解是ｘ＝１．
８．解分式方程：
４
ｘ
２－２ｘ
＋１
ｘ＝２
ｘ－２．
解析
４
ｘ
２－２ｘ
＋１
ｘ＝２
ｘ－２，
去分母，得４＋（ｘ－２）＝２ｘ，
去括号，得４＋ｘ－２＝２ｘ，
解得ｘ＝２．
检验：当ｘ＝２时，ｘ（ｘ－２）＝２×（２－２）＝０．
故ｘ＝２不是原方程的解．
所以原分式方程无解．
᮰
6
分式约分的依据是分式的基本性质，约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式．
第
十
八
章
分
式
１０１
第十八章自主检测
范围：分式
满分
１００分
限时
４０分钟
一、选择题（每小题５分，共４０分）
１．「2025 河北邯郸期末」若分式｜ｘ｜－２
ｘ－２的值为０，则ｘ应满
足的条件是
（Ａ）
Ａ．ｘ＝－２
Ｂ．ｘ＝２
Ｃ．ｘ≠－２
Ｄ．ｘ＝±２
２．「2023 山东日照中考」芯片内部有数以亿计的晶体管，
为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设
计体积更小的晶体管．某品牌手机自主研发了最新
型号芯片，其晶体管栅极的宽度为０．０００００００１４
米，将数据０．０００００００１４用科学记数法表示为
（Ａ）
Ａ．１．４×１０
－８
Ｂ．１４×１０
－７
Ｃ．０．１４×１０
－６
Ｄ．１．４×１０
－９
３．「2025 湖北武汉期末」下列等式中，从左向右的变形不
正确的是
（Ｄ）
Ａ．２ｂｃ
ａｃ＝２ｂ
ａ
Ｂ．－２－ｘ
ｘ＝ｘ－２
ｘ
Ｃ．ｘｙ－ｘ
２
（ｘ－ｙ）
２＝ｘ
ｙ－ｘ
Ｄ．ｘ
２＋９
ｘ
２－９
＝ｘ＋３
ｘ－３
４．「2025 广东汕头期末」若ａ＝－３
－２，ｂ＝
－１
３
æ
è
ç
ö
ø
÷
－２
，ｃ＝
－１
５
æ
è
ç
ö
ø
÷
０
，则ａ，ｂ，ｃ的大小关系为
（Ｂ）
Ａ．ａ＜ｂ＜ｃ
Ｂ．ａ＜ｃ＜ｂ
Ｃ．ｂ＜ａ＜ｃ
Ｄ．ｃ＜ａ＜ｂ
５．「2025 河北邯郸一模」小敏在做数学作业时，不小心将
式子“ ａ
２－２ａ
ａ
２－１
－１
æ
è
ç
ö
ø
÷ ÷∗”中除号后边的代数式污染，
通过查看答案知，答案为１
１－ａ，则被污染的代数式
∗为
（Ｃ）
Ａ．２ａ＋１
ａ＋１
Ｂ．ａ＋１
２ａ－１
Ｃ．２ａ－１
ａ＋１
Ｄ．ａ＋１
２ａ－２
６．「2025 河北石家庄期末」对于实数ａ，ｂ，定义一种新运
算“☆”为ａ☆ｂ＝
１
ａ－ｂ
２．例如：１☆３＝
１
１－３
２＝－１
８，则
方程ｘ☆（－２）＝
２
ｘ－４－１的解是
（Ｃ）
Ａ．ｘ＝７
Ｂ．ｘ＝６
Ｃ．ｘ＝５
Ｄ．ｘ＝４
７．「2025 江苏苏州立达中学月考」已知分式
１
２ｘ
２－２
，２
ｘ＋１，ａ
是这两个分式中分母的公因式，ｂ是这两个分式的
最简公分母，且ａ
ｂ＝３，则ｘ的值为
（Ｂ）
Ａ．６
７
Ｂ．７
６
Ｃ．６
５
Ｄ．５
６
８．瓜达尔港是我国实施“一带一路”倡议构想的一个
重要节点，为了增进中巴友谊，促进全球经济一体
化发展，我国施工队预计把距离港口４２０ｋｍ的普
通公路升级成同等长度的高速公路，升级后汽车行
驶的平均速度比原来提高５０％，行驶时间缩短２ｈ，
那么汽车原来的平均速度为
（Ｂ）
Ａ．８０ｋｍ／ｈ
Ｂ．７０ｋｍ／ｈ
Ｃ．７５ｋｍ／ｈ
Ｄ．６５ｋｍ／ｈ
二、填空题（每小题５分，共２０分）
９．「2024 江苏镇江中考」要使分式１
ｘ－２有意义，则ｘ的取
值范围是ｘ≠２．
１０．「2025 河南新乡月考」计算２ｘ
ｙ
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
３
· ２ｙ
ｘ
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
÷ －２ｙ
ｘ
æ
è
ç
ö
ø
÷ 的结
果是－１６ｘ
２
ｙ
５
．
᮰
6
列分式方程解应用题：分式方程应用题，审设列解检验答，审题弄清已未知，设元直间两方法，列表画图建方程，解
方程时守章法，检验准且符题意，问求同一再作答．
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１０２
１１．「2024 江西九江二模」乡村振兴，交通先行．近年来，
某县高质量推进“四好”农村公路建设，着力打通
农村交通基础设施．该县准备修一条道路，在修建
６００米后，剩下的４８００米道路采用新的修建技
术，每天修建的长度是原来的２倍，结果共用１５
天完成了全部任务．设原来每天修建道路ｘ米，则
根据题意可列方程为６００
ｘ＋４８００
２ｘ
＝１５．
１２．已知分式方程１
ｘ－２－ａ
ｘ＋２＝
１
ｘ
２－４
的解为整数，则整
数ａ的值为４或－２或２或０．
三、解答题（共４０分）
１３．（８分）解分式方程：
（１）２ｘ＋９
３ｘ－９＝４ｘ－７
ｘ－３＋２．
（２）ｘ－２
ｘ＋２＋４０
４－ｘ
２＝ｘ＋２
ｘ－２．
解析 （１）方程两边同时乘３（ｘ－３），
得２ｘ＋９＝３（４ｘ－７）＋６（ｘ－３），解得ｘ＝３，
检验：当ｘ＝３时，３（ｘ－３）＝０，
∴ｘ＝３是方程的增根，原方程无解．
（２）方程两边同时乘（ｘ
２－４），
得（ｘ－２）
２－４０＝（ｘ＋２）
２，
去括号，得ｘ
２－４ｘ＋４－４０＝ｘ
２＋４ｘ＋４，
移项、合并同类项，得－８ｘ＝４０，解得ｘ＝－５，
检验：当ｘ＝－５时，ｘ
２－４＝２１≠０，
所以ｘ＝－５是分式方程的解．
１４．「2025 河北保定期末」（８分）先化简
ａ
２
ａ＋１－ａ＋１
æ
è
ç
ö
ø
÷ ÷
ａ
２－１
ａ
２＋２ａ＋１
，再从不等式－２＜ａ＜３中选择一个适当的
整数代入求值．
解析
ａ
２
ａ＋１－ａ＋１
æ
è
ç
ö
ø
÷ ÷
ａ
２－１
ａ
２＋２ａ＋１
＝ａ
２－ａ
２＋１
ａ＋１
·
（ａ＋１）
２
（ａ＋１）（ａ－１）＝
１
ａ－１．
∵－２＜ａ＜３且ａ≠±１，ａ为整数，
∴ａ可取０或２．
当ａ＝０时，原式＝１
０－１＝－１．
当ａ＝２时，原式＝１
２－１＝１．
１５．（１０分）已知关于ｘ的分式方程２
ｘ－２＋ｍｘ
ｘ
２－４
＝３
ｘ＋２．
（１）若这个方程的解是负数，求ｍ的取值范围．
（２）若这个方程无解，求ｍ的值．
解析 分式方程２
ｘ－２＋ｍｘ
ｘ
２－４
＝３
ｘ＋２，
去分母得２（ｘ＋２）＋ｍｘ＝３（ｘ－２），
整理得（ｍ－１）ｘ＝－１０．
（１）∵方程的解是负数且ｘ≠±２，
∴ｍ－１＞０且ｍ－１≠±５，
∴ｍ＞１且ｍ≠６．
（２）当ｍ－１≠０时，∵方程无解，
∴ｍ－１＝±５，∴ｍ＝－４或６，
当ｍ－１＝０时，方程无解，此时ｍ＝１，
∴ｍ＝１或－４或６．
１６．新
考向
条件开放题「2025 广东深圳质检」（１４分）某商店准备
购买Ａ，Ｂ两种商品，
，并且花费３００
元购买Ａ商品和花费１００元购买Ｂ商品的数量
相等．
请先在横线上补充条件：从“①购买１个Ａ商品
比购买１个Ｂ商品多花１０元”和“②Ａ，Ｂ两种商
品各购买１个共需２０元” 这两个条件中任选一
个，补充条件后，再解答下列问题．（注：如果选择
两个条件分别解答，按第一个解答计分）
（１）求购买一个Ａ商品和一个Ｂ商品各需要多
少元．
（２）商店准备购买Ａ，Ｂ两种商品共８０个，若Ａ商
品的数量不少于Ｂ商品数量的４倍，并且购
买Ａ，Ｂ两种商品的总费用不低于１０００元且
不高于１０５０元，则该商店有哪几种购买
方案？
见答案册Ｄ６８
᮰
6
一个人只有具备了更多的知识，才会发现原来自己未知的更多，正所谓学海无涯．
专
项
突
破
１０
跨
学
科
试
题
１０３
专项突破１０ 跨学科试题练趋势
类型１ 跨物理学科
１．「2024 山西中考」一只杯子静止在斜面上，其受力分
析如图所示，重力Ｇ的方向竖直向下，支持力Ｆ１的
方向与斜面垂直，摩擦力Ｆ２的方向与斜面平行．若
斜面的坡角α＝２５°，则摩擦力Ｆ２与重力Ｇ方向的
夹角β 的度数为
（Ｃ）
Ａ．１５５°
Ｂ．１２５°
Ｃ．１１５°
Ｄ．６５°
'
'
(
Ċ
ĉ
第１题图
"
%
0
&
$
1
#
第２题图
２．「2025 广东汕头期末」如图，一面镜子斜固定在地面
ＯＢ上，且∠ＡＯＢ＝６０°，Ｐ为一光源，其到地面ＯＢ
的距离ＰＣ为８ｃｍ，Ｐ射出的光线经过镜面Ｄ处反
射到地面Ｅ点，当光线经过的路径长最短为１０ｃｍ
时，ＰＤ的长为４ｃｍ．
类型２ 跨语文学科
３．「2025 河南郑州八中质检」“一片甲骨惊天下”，甲骨文
是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，
是汉字的源头、中华优秀传统文化的根脉．下列甲
骨文图画中，是轴对称图形的是
（Ｃ）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
类型３ 跨生物学科
４．维生素Ｃ能够促进白细胞的产生，且帮助其发挥
免疫作用，成年人每天维生素Ｃ的摄入量最少为
８０ｍｇ，已知１ｇ＝１０００ｍｇ，则将数据８０ｍｇ用科学
记数法可表示为
（Ｂ）
Ａ．８×１０
４ｇ
Ｂ．８×１０
－２ｇ
Ｃ．８０×１０
－３ｇ
Ｄ．０．８×１０
－４ｇ
类型４ 跨化学学科
５．「2022 山东临沂中考」将５ｋｇ浓度为９８％的酒精，稀释
为７５％的酒精．设需要加水ｘｋｇ，根据题意可列方
程为
（Ｂ）
Ａ．０．９８×５＝０．７５ｘ
Ｂ．０．９８×５
５＋ｘ
＝０．７５
Ｃ．０．７５×５＝０．９８ｘ
Ｄ．０．７５×５
５－ｘ
＝０．９８
类型５ 跨信息技术学科
６．「2024 江苏无锡新吴月考」王老师有一个实际内存容量
为２．１ＧＢ（１ＧＢ＝２
２０ＫＢ）的Ｕ盘，内有三个文件
夹，已知课件文件夹占用了１．１ＧＢ的内存，照片文
件夹内有３２张内存大小都是２
１１ＫＢ的旅行照片，
音乐文件夹内有若干首内存大小都是２
１５ＫＢ的音
乐，若该Ｕ盘内存恰好用完，则音乐文件夹内有音
乐３０首．
类型６ 跨音乐学科
７．「2025 福建福州模拟」数学的美无处不在．数学家们研
究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦
的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够
表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三
根弦长度之比是１５∶１２∶１０，把它们绷得一样紧，
用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声
ｄｏ、ｍｉ、ｓｏ．研究１５、１２、１０这三个数的倒数发现：１
１２－
１
１５＝１
１０－１
１２．我们称１５、１２、１０这三个数为一组调和
数．现有一组调和数：ｘ、８、５（ｘ＞８），则ｘ的值是
（Ｄ）
Ａ．９
Ｂ．１０
Ｃ．１５
Ｄ．２０
᮰
6
诚实是人世间最珍贵的宝物，是每个人都应当坚守的伟大情操．就算是向人承认自己的错误，而受到严厉惩罚，你也
应该这样做，因为做人理应如此．
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１０４
期末专题复习
专题精练1 三角形
考点１三角形的三边关系
１．「2025 浙江杭州期末」木工师傅要做一个三角形木架，
有两根木条的长度为７ｃｍ和１４ｃｍ，第三根木条的
长度可以是
（Ｂ）
Ａ．５ｃｍ
Ｂ．１８ｃｍ
Ｃ．２１ｃｍ
Ｄ．２３ｃｍ
２．「2025 广东惠州月考」已知三角形的三边长分别为１，ａ－
１，３，则化简｜ａ－３｜＋｜ａ－５｜的结果为２．
３．「2025 安徽安庆期中」已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝８，且ＢＣ＝
２ａ＋２，ＡＣ＝１８．
（１）求ａ的取值范围．
（２）若△ＡＢＣ为等腰三角形，求这个三角形的周长．
解析 （１）由题意得
２ａ＋２＞１８－８，
８＋１８＞２ａ＋２，
{
解得４＜ａ＜１２．
（２）∵△ＡＢＣ是等腰三角形，两边长为８，１８，
∴第三边长为８或１８，
∵８＋８＜１８，８＋１８＞１８，∴第三边长只能为１８．
∴△ＡＢＣ的周长为８＋１８＋１８＝４４．
考点２三角形的重要线段
４．如图，ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ分别是△ＡＢＣ的中线，高和角平
分线，∠ＡＢＣ＝９０°，ＣＦ交ＡＤ于点Ｇ，交ＢＥ于点Ｈ，
ＡＢ＝ＢＤ．给出下列结论：①ＡＢ＝ＣＤ；②ＦＧ＝ＧＣ；③
∠ＡＢＥ＝２∠ＦＣＢ；④∠ＢＦＨ＝∠ＢＨＦ．其中一定正确
的是
（Ａ）
Ａ．①③④
Ｂ．②③④
Ｃ．①②③
Ｄ．①②④
"
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)
(
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第４题图
"
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#
第５题图
考点３三角形中角度的计算
５．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，点Ｅ在射线ＢＣ
上，ＥＦ⊥ＡＤ于Ｆ，∠Ｅ＝３４°，∠ＡＣＥ＝７２°，则∠Ｂ的
度数为４０° ．
６．「2025 上海普陀期末」如图，在△ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ，ＡＥ
平分∠ＢＡＣ，若∠１＝４０°，∠２＝２５°，则∠Ｂ＝３５° ．
"
$
%
&
#
７．「2025 河南商丘月考」我们在小学已经学习了“三角形
内角和等于１８０°”．在三角形纸片中，点Ｄ，Ｅ分别
在边ＡＣ，ＢＣ上，将∠Ｃ沿ＤＥ折叠，点Ｃ落在点Ｃ′
的位置．
（１）如图１，当点Ｃ落在边ＢＣ上时，若∠ＡＤＣ′＝５８°，
则∠Ｃ＝
°，可以发现∠ＡＤＣ′与∠Ｃ的
数量关系是
．
（２）如图２，当点Ｃ落在△ＡＢＣ内部，且∠ＢＥＣ′ ＝
４２°，∠ＡＤＣ′＝２０°时，求∠Ｃ的度数．
（３）如图３，当点Ｃ落在△ＡＢＣ外部时，若设
∠ＢＥＣ′的度数为ｘ，∠ＡＤＣ′的度数为ｙ，请求出
∠Ｃ与ｘ，ｙ之间的数量关系．
"
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图１
"
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#
图２
"
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#
图３
见答案册Ｄ６９
᮰
6
学习既要有铁棒磨成针的精神，又要有举一反三的学习方法；读书既要有勇于攀登的志气，又要有乐于思考的精神．
期
末
专
题
复
习
１０５
专题精练2 全等三角形与轴对称
考点１全等三角形的性质与判定
１．如图，ＢＤ＝ＢＣ，ＢＥ＝ＣＡ，∠ＤＢＥ＝∠Ｃ＝６２°，∠ＢＤＥ
＝７５°，则∠ＡＦＤ的度数为
（Ｂ）
Ａ．３０°
Ｂ．３２°
Ｃ．３３°
Ｄ．３５°
"
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'
&
#
第１题图
"
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'
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#
第２题图
２．「2025 江苏连云港期末」如图，已知点Ａ，Ｄ，Ｂ，Ｆ在一条
直线上，ＡＣ＝ＥＦ，ＢＣ＝ＤＥ，要使△ＡＢＣ≌△ＦＤＥ，还
需添加一个条件，这个条件可以是∠ＡＣＢ＝∠ＦＥＤ
（答案不唯一）．
３．「2025 山东淄博期末」如图，点Ｄ，Ｅ是△ＡＢＣ内两点，
且∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＤ，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ．
（１）请说明：ＢＤ＝ＣＥ．
（２）延长ＢＤ，ＣＥ交于点Ｆ，若∠ＢＡＣ＝８０°，∠ＡＢＤ
＝２０°，求∠ＢＦＣ的度数．
"
$
%
'
&
#
解析 （１）证明：∵∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＤ，
∴∠ＢＡＥ－∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＤ－∠ＤＡＥ，∴∠ＢＡＤ
＝∠ＣＡＥ，
在△ＡＢＤ和△ＡＣＥ中，
ＡＢ＝ＡＣ，
∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ，
ＡＤ＝ＡＥ，
ì
î
í
ïï
ïï
∴△ＡＢＤ≌△ＡＣＥ（ＳＡＳ）．∴ＢＤ＝ＣＥ．
（２）∵∠ＢＡＣ＝８０°，
∴∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝１８０°－８０° ＝１００°，
∵△ＡＢＤ≌△ＡＣＥ，∴∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＥ＝２０°，
∴∠ＦＢＣ＋∠ＦＣＢ＝１００°－２０°－２０° ＝６０°，
∴∠ＢＦＣ＝１８０° －（∠ＦＢＣ＋∠ＦＣＢ）＝１８０° －６０°
＝１２０°．
４．「2025 福建厦门一中质检改编」如图，已知在△ＡＢＣ中，
∠ＡＢＣ＝６０°，ＡＤ，ＣＥ分别平分∠ＢＡＣ，∠ＡＣＢ，ＡＤ，
ＣＥ交于点Ｏ．求证：ＡＣ＝ＡＥ＋ＣＤ．
"
0
%
$
&
#
见答案册Ｄ７０
考点２角平分线的性质与判定
５．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ⊥
ＤＣ，ＢＥ⊥ＤＣ，交ＤＣ的延长线于
点Ｅ，ＢＣ平分∠ＡＢＥ，Ｃ为ＤＥ的
中点，若∠ＡＢＥ＝６０°，则∠ＣＡＤ
的度数为６０° ．
６．「2025 河南洛阳期末」如图，在△ＡＢＣ中，ＢＤ平分
∠ＡＢＣ，ＣＤ平分∠ＡＣＢ，ＤＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，ＤＦ⊥ＢＣ
于点Ｆ．
（１）若∠ＡＢＣ＝４０°，∠ＡＣＢ＝７０°，求∠ＢＤＣ的度数．
（２）若ＤＥ＝２，ＢＣ＝９，求△ＢＣＤ的面积．
"
%
'
$
&
#
见答案册Ｄ７０
考点３轴对称及轴对称图形
７．「2024 江苏徐州中考」古汉字“雷”的下列四种写法中，
可以看作轴对称图形的是
（Ｄ）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
８．如图，已知△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′关于直线ＭＮ对称，
点Ｐ是直线ＭＮ上一点，连接ＰＡ，ＰＡ′，ＡＡ′，下列结
论错误的是
（Ｃ）
.
1
$
#
"
/
$ĉ
#ĉ
"ĉ
Ａ．∠Ｂ＝∠Ｂ′
Ｂ．ＰＡ＝ＰＡ′
Ｃ．ＢＣ＝ＡＡ′
Ｄ．ＭＮ是线段ＡＡ′的垂直平分线
᮰
6
什么样的学习方法最有效？适合你的方法，就是最有效的方法．你需要了解别人的学习方法，但不是照搬，而是在别
人方法的启发下，量身定制成适合自己的方法，才会产生最大的效应．
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１０６
考点４线段的垂直平分线的性质与判定
９．已知：如图，在△ＡＢＣ中，边ＡＢ，ＢＣ的垂直平分线交
于点Ｐ，则下列结论一定成立的有
（Ｂ）
①ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ；②点Ｐ在ＡＣ的垂直平分线上；
③∠ＢＡＰ＝∠ＣＡＰ；④∠ＢＰＣ＝９０°＋１
２∠ＢＡＣ．
Ａ．１个
Ｂ．２个
Ｃ．３个
Ｄ．４个
第９题图
"
#
%
$
&
第１０题图
１０．「2025 广东东莞期中」如图，△ＡＢＣ中，直线ＤＥ是线
段ＡＣ的垂直平分线，ＡＢ＝５，ＢＣ＝８，则△ＡＢＤ的
周长是１３．
考点５关于坐标轴对称的点的坐标
１１．「2025 云南红河州期末改编」如图，在平面直角坐标系
中，△ＡＢＣ的三个顶点的坐标分别为Ａ（０，３），
Ｂ（－４，４），Ｃ（－２，１）．
（１）在图中作出△ＡＢＣ关于ｘ轴对称的
△Ａ１Ｂ１Ｃ１，并写出Ａ１，Ｂ１，Ｃ１的坐标．
（２）尺规作图：在ｘ轴上找一点Ｐ，使得ＰＡ＝ＰＣ．
（要求：保留作图痕迹，不写作法）
Z
"
#
$
0
Y
见答案册Ｄ７１
考点６等腰三角形的性质与判定
%
&
#
$
"
１２．如图，Ｄ为△ＡＢＣ内一点，ＣＤ
平分∠ＡＣＢ，ＢＥ⊥ＣＤ，垂足为
Ｄ，交ＡＣ于点Ｅ，∠Ａ＝∠ＡＢＥ．
若ＡＣ＝７，ＢＣ＝４，则ＢＤ的长为
３
２．
１３．「2025 广东东莞期末」如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ
是ＢＣ边的中点，连接ＡＤ，ＢＥ平分∠ＡＢＣ交ＡＣ
于点Ｅ．
（１）若∠Ｃ＝４０°，求∠ＢＡＤ的度数．
（２）过点Ｅ作ＥＦ∥ＢＣ交ＡＢ于点Ｆ．
①求证：△ＢＥＦ是等腰三角形．
②若ＢＥ平分△ＡＢＣ的周长，△ＡＥＦ的周长为
１５，求△ＡＢＣ的周长．
%
#
'
&
$
"
见答案册Ｄ７１
考点７等边三角形的性质与判定
１４．「2025 甘肃兰州期末」如图，在△ＡＢＣ中，ＢＤ是高，点
Ｄ是ＡＣ边的中点，点Ｅ在ＢＣ边的延长线上，ＥＤ
的延长线交ＡＢ于点Ｆ，且ＥＦ⊥ＡＢ，∠Ｅ＝３０°．
（１）求证：△ＡＢＣ是等边三角形．
（２）请判断线段ＡＤ与ＣＥ的大小关系，并说明
理由．
%
#
'
&
$
"
见答案册Ｄ７１
考点８尺规作图
１５．「2025 湖南常德期末」如图，点Ｃ在∠ＡＯＢ的ＯＢ边
上，用尺规作出了ＣＮ∥ＯＡ，连接ＥＮ，ＭＤ，可知
△ＯＤＭ≌△ＣＥＮ，其根据的是
（Ｂ）
Ａ．ＳＡＳ
Ｂ．ＳＳＳ
Ｃ．ＡＳＡ
Ｄ．ＡＡＳ
%
"
.
/
$
&
#
0
第１５题图
%
"
.
/
$
#
第１６题图
１６．「2025 湖南长沙月考」如图，已知∠ＭＡＮ＝６０°，ＡＢ＝
６，依据尺规作图的痕迹可得ＢＤ的长为３．
᮰
6
当你学到一个数学难点的时候，尝试着对别人讲解这个数学难点并让他理解，你能讲清楚才说明你真的理解了这个
难点．
期
末
专
题
复
习
１０７
专题精练3 整式的乘法与因式分解
考点１幂的运算
１．「2024 山东青岛中考」下列计算正确的是
（Ｂ）
Ａ．ａ＋２ａ＝３ａ
２
Ｂ．ａ
５÷ａ
２＝ａ
３
Ｃ．（－ａ）
２·ａ
３＝－ａ
５
Ｄ．（２ａ
３）
２＝２ａ
６
２．「2025 四川绵阳期末」若２
ｍ＝ａ，３２
ｎ＝ｂ，ｍ，ｎ为正整数，
则２
３ｍ＋１０ｎ＝ａ
３ｂ
２
．
３．「2025 江苏扬州月考」计算：
（１）ａ
３·ａ
５＋（ａ
２）
４＋（２ａ
４）
３÷（－２ａ
２）
２．
（２）（－２ｘ
２）
３＋ｘ
２·ｘ
４－（－３ｘ
３）
２．
解析 （１）ａ
３·ａ
５＋（ａ
２）
４＋（２ａ
４）
３÷（－２ａ
２）
２
＝ａ
８＋ａ
８＋８ａ
１２÷４ａ
４＝ａ
８＋ａ
８＋２ａ
８＝４ａ
８．
（２）（－２ｘ
２）
３＋ｘ
２·ｘ
４－（－３ｘ
３）
２
＝－８ｘ
６＋ｘ
６－９ｘ
６＝－１６ｘ
６．
考点２整式的运算
４．若单项式－３ｘ
３ｙ
ａ与１
３ｘ
ｂ－３ｙ
３是同类项，则这两个单
项式的积是－ｘ
６ｙ
６
．
５．一个长方体的长，宽，高分别是２ａ，ａ
２，（３ａ＋１），则
这个长方体的体积是６ａ
４＋２ａ
３
．
６．「2025 江西南昌期末」计算：
（１）（ｘ＋３）（ｘ－２）－ｘ（ｘ－１）．
（２）（ａ
２ｂ＋ａｂ
２－３ｂ
３）·４ａｂ
２－（－２ａｂ
２）
２．
解析 （１）原式＝ｘ
２－２ｘ＋３ｘ－６－ｘ
２＋ｘ＝２ｘ－６．
（２）原式＝４ａ
３ｂ
３＋４ａ
２ｂ
４－１２ａｂ
５－４ａ
２ｂ
４
＝４ａ
３ｂ
３－１２ａｂ
５．
考点３乘法公式
７．「2024 云南楚雄州期末」如图，大正方形与小正方形的
面积之差是４０，则阴影部分的面积是
（Ｃ）
Ａ．８０
Ｂ．４０
Ｃ．２０
Ｄ．１０
８．已知ａ＋ｂ＝２，ａｂ＝－２４．
（１）求ａ
２＋ｂ
２的值．
（２）求（ａ－ｂ）
２的值．
解析 （１）因为ａ＋ｂ＝２，ａｂ＝－２４，
所以ａ
２＋ｂ
２＝（ａ＋ｂ）
２－２ａｂ＝４＋２×２４＝５２．
（２）因为ａ＋ｂ＝２，ａｂ＝－２４，
所以（ａ－ｂ）
２＝ａ
２－２ａｂ＋ｂ
２＝（ａ＋ｂ）
２－４ａｂ
＝４＋４×２４＝１００．
９．先化简，再求值：
（１）（３ｘ－ｙ）
２－（ｘ＋５－ｙ）（ｘ＋５＋ｙ）＋（ｘ＋５）
２，其中ｘ＝
－１，ｙ＝３．
（２）（２ｍ＋１）（２ｍ－１）－（ｍ－１）
２＋（２ｍ）
３÷（－８ｍ），其
中ｍ满足ｍ
２＋ｍ－２＝０．
解析 （１）原式＝９ｘ
２－６ｘｙ＋ｙ
２－［（ｘ＋５）
２－ｙ
２］＋ｘ
２＋
１０ｘ＋２５＝９ｘ
２－６ｘｙ＋ｙ
２－ｘ
２－１０ｘ－２５＋ｙ
２＋ｘ
２＋１０ｘ＋２５
＝９ｘ
２－６ｘｙ＋２ｙ
２，
当ｘ＝－１，ｙ＝３时，
原式＝９×（－１）
２－６×（－１）×３＋２×３
２
＝９×１＋１８＋２×９＝９＋１８＋１８＝４５．
（２）原式＝４ｍ
２－１－（ｍ
２－２ｍ＋１）＋８ｍ
３÷（－８ｍ）
＝４ｍ
２－１－ｍ
２＋２ｍ－１－ｍ
２
＝２ｍ
２＋２ｍ－２＝２（ｍ
２＋ｍ－１），
∵ｍ
２＋ｍ－２＝０，∴ｍ
２＋ｍ＝２，∴原式＝２×（２－１）＝２．
考点４分解因式
１０．「2025 山东淄博张店期末」如果ａ－ｂ＝２，那么代数式ａ
３
－２ａ
２ｂ＋ａｂ
２－４ａ的值是
（Ｂ）
Ａ．－１
Ｂ．０
Ｃ．１
Ｄ．２
１１．因式分解：８ａｂ＋８ａ
２ｂ＋２ｂ＝２ｂ（２ａ＋１）
２
．
１２．「2025 福建泉州期末」已知长方体的长，宽，高分别为
正整数ａ，ｂ，ｃ，且满足ａｂ－２ｂｃ＝２，ａ＋ｃ＝２ｂ，则长方
体的表面积是２２．
１３．分解因式：
（１）６ａ
２ｍ－３ａｍ．
（２）ｍ（ａ－２）＋ｎ（２－ａ）．
（３）（ａ
２＋１）
２－４ａ
２．
（４）９（２ｘ－１）
２－６（２ｘ－１）＋１．
（５）４（ａ＋ｂ）
２－１２（ａｂ＋ｂ
２）＋９ｂ
２．
见答案册Ｄ７２
᮰
6
积极的人在每次忧患中都会看到机会，而消极的人在每个机会中都会看到某种忧患．
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１０８
专题精练4 分式
考点１分式的意义及性质
１．下列分式是最简分式的是
（Ａ）
Ａ．３ｍ＋２
ｍ
Ｂ．－１０ｍｎ
２
５ｍｎ
Ｃ．ｍ
２－ｍ
ｍ－１
Ｄ．ｍ＋２
ｍ
２－４
２．「2025 四川广元期末」若分式ｘ
２－１
ｘ＋１的值为０，则ｘ的值
为１．
３．「2024 湖南长沙中考」要使分式
６
ｘ－１９有意义，则ｘ需满
足的条件是ｘ≠１９．
４．「2025 上海浦东新区期末」在括号里填上使等式成立的式
子：
２ｘ＋１
３ｙ
５
６ｘ－ｙ
＝（ ）
５ｘ－６ｙ，括号内的式子为１２ｘ＋２ｙ．
考点２负整数指数幂及其应用
５．「2025 湖南郴州期中」已知ａ＝（－２）
０，ｂ＝（－２）
－２，ｃ＝
１
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
－１
，那么ａ，ｂ，ｃ的大小关系为
（Ｄ）
Ａ．ａ＞ｂ＞ｃ
Ｂ．ｃ＞ｂ＞ａ
Ｃ．ｂ＞ａ＞ｃ
Ｄ．ｃ＞ａ＞ｂ
６．电子元件是现代科技的核心组成部分，它们构成了
整个电子工业的基础．某种电子元件的面积大约为
０．００００５７平方毫米，将０．００００５７这个数用科学记
数法表示为５．７×１０
－５．
考点３分式的运算
７．化简１
ａ－３－
６
ａ
２－９
的结果是
（Ａ）
Ａ．１
ａ＋３
Ｂ．ａ－３
Ｃ．ａ＋３
Ｄ．１
ａ－３
８．「2025 山西吕梁期末」计算
ａ
ａ－ｂ－２ｂ
ａ－ｂ
æ
è
ç
ö
ø
÷ ÷ａ－２ｂ
ａｂ·（ａ－ｂ）
＝
ａｂ
．
９．「2025 云南大理州期末」先化简，再求值：ｘ
２＋４
ｘ
－４
æ
è
ç
ö
ø
÷ ÷
ｘ
２－４
ｘ
２＋２ｘ
，再在－２，０，１，２中选择一个合适的数作为ｘ
的值代入求值．
解析 原式＝ｘ
２＋４－４ｘ
ｘ
·
ｘ（ｘ＋２）
（ｘ＋２）（ｘ－２）
＝（ｘ－２）
２
ｘ
· ｘ
ｘ－２＝ｘ－２，
∵ｘ≠０，ｘ－２≠０，ｘ＋２≠０，∴ｘ≠０，２，－２，∴ｘ只能
取１，
当ｘ＝１时，原式＝１－２＝－１．
考点４分式方程的解法及其应用
１０．「2025 安徽淮南期末」若关于ｘ的分式方程３ｘ－２
ｘ＋１＝
ｍ
ｘ＋１＋１无解，则ｍ的值是－５．
１１．「2025 河北保定期末」解分式方程：
（１）３
ｘ＋１＝ｘ
ｘ－１－１． （２）
３
２（ｘ－２）＋ｘ
２－ｘ＝１
２．
见答案册Ｄ７２
１２．「2025 湖北襄阳期末」随着电子技术的快速发展，小型
无人机越来越受到孩子们的青睐，元旦前夕，某玩
具商店用２４００元购进一批小型无人机，销售时发
现供不应求，销售完后又用６４００元购进一批同型
号的小型无人机，已知第二批小型无人机的数量是
第一批的２倍，且单价比第一批贵１０元．
（１）第一批小型无人机的单价是多少元？
（２）若两次购进的小型无人机按同一价格销售，要
使小型无人机全部售完后利润不少于３２００元，
那么销售单价至少为多少元？
解析 （１）设第一批小型无人机的单价是ｘ元．
根据题意得２×２４００
ｘ
＝６４００
ｘ＋１０，解得ｘ＝３０，
经检验，ｘ＝３０是原分式方程的解，且符合题意．
答：第一批小型无人机的单价是３０元．
（２）设小型无人机的销售单价为ｙ元．
根据题意，得２４００
３０×ｙ＋２４００
３０×２×ｙ－２４００－６４００≥
３２００，解得ｙ≥５０．
答：销售单价至少为５０元．
᮰
6
学数学要注重动脑、动手．“动脑”是要学会观察分析问题，学会思考，不要拿到题就做，要找到已知和未知之间
有什么联系，多问几个为什么．“动手”是多实践，多做题，“题不离手”．
中
考
风
向
标
１０９
中考风向标
考向１生活情境
１．「2024 重庆中考A 卷」为促进新质生产力的发展，某企
业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共３０条生
产线的设备进行更新换代．
（１）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台
了相应的补贴政策．根据相关政策，更新１条甲
类生产线的设备可获得３万元的补贴，更新１
条乙类生产线的设备可获得２万元的补贴．这
样更新完这３０条生产线的设备，该企业可获
得７０万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各
有多少条？
（２）经测算，购买更新１条甲类生产线的设备比购
买更新１条乙类生产线的设备需多投入５万
元，用２００万元购买更新甲类生产线的设备数
量和用１８０万元购买更新乙类生产线的设备
数量相同，那么该企业在获得７０万元的补贴
后，还需投入多少资金更新生产线的设备？
见答案册Ｄ７３
考向２尺规作图
２．「2024 广东深圳中考」在如图所示的三个图形中，根据
尺规作图的痕迹，能判断射线ＡＤ平分∠ＢＡＣ的是
（Ｂ）
"
#
$
%
①
"
$
#
%
②
%
#
$
"
③
Ａ．①②
Ｂ．①③
Ｃ．②③
Ｄ．只有①
３．「2024 天津中考」如图，Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ｂ＝
４０°，以点Ａ为圆心，适当长为半径画弧，交ＡＢ于
点Ｅ，交ＡＣ于点Ｆ，再分别以点Ｅ，Ｆ为圆心，大于
１
２ＥＦ的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）
在∠ＢＡＣ的内部相交于点Ｐ，画射线ＡＰ，与ＢＣ相
交于点Ｄ，则∠ＡＤＣ的大小为
（Ｂ）
Ａ．６０°
Ｂ．６５°
Ｃ．７０°
Ｄ．７５°
"
&
'
$
%
#
1
第３题图
N
O
第４题图
考向３数学文化
４．「2024 江苏南通中考」“赵爽弦图”巧妙利用面积关系
证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个
全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大
正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为ｍ，ｎ
（ｍ＞ｎ）．若小正方形的面积为５，（ｍ＋ｎ）
２＝２１，则大
正方形的面积为
（Ｂ）
Ａ．１２
Ｂ．１３
Ｃ．１４
Ｄ．１５
考向４中华优秀传统文化
５．「2024 甘肃中考」围棋起源于中国，古代称为“弈”．如
图所示的是两位同学的部分对弈图，轮到白方落
子，观察棋盘，白方如果落子于点
Ａ（或Ｃ）的位
置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ
中的一处即可，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ位于棋盘的格点上）
%
$
" #
᮰
6
期末复习是对整个学期的知识进行复习，在此基础上要注重各章节知识的串联和综合．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
１１０
考向５开放性试题
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'
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#
６．「2024 黑龙江牡丹江中考」如图，△ＡＢＣ
中，Ｄ是ＡＢ上一点，ＣＦ∥ＡＢ，Ｄ，Ｅ，
Ｆ三点共线，请添加一个条件：ＤＥ
＝ＥＦ（答案不唯一），使得ＡＥ＝ＣＥ．
（只添一种情况即可）
考向６代数推理
７．「2024 重庆中考A 卷」我们规定：若一个正整数Ａ能写
成ｍ
２－ｎ，其中ｍ与ｎ都是两位数，且ｍ与ｎ的十
位数字相同，个位数字之和为８，则称Ａ为“方减
数”，并把Ａ分解成ｍ
２－ｎ的过程，称为“ 方减分
解”．例如：因为６０２＝２５
２－２３，２５与２３的十位数字
相同，个位数字５与３的和为８，所以６０２是“方减
数”，６０２分解成６０２＝２５
２－２３的过程就是“方减分
解”．按照这个规定，最小的“方减数”是８２．把一
个“方减数” Ａ进行“方减分解”，即Ａ＝ｍ
２－ｎ，将ｍ
放在ｎ的左边组成一个新的四位数Ｂ，若Ｂ除以１９
的余数为１，且２ｍ＋ｎ＝ｋ
２（ｋ为整数），则满足条件
的正整数Ａ为４５６４．
考向７综合与实践
８．「2024 甘肃兰州中考」观察发现：劳动人民在生产生活
中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木
匠刘师傅的“木条画直角法”．如图１，他用木条能
快速画出一个以点Ａ为顶点的直角，具体作法
如下：
①木条的两端分别记为点Ｍ，Ｎ，先将木条的端点
Ｍ与点Ａ重合，任意摆放木条后，另一个端点Ｎ的
位置记为点Ｂ，连接ＡＢ；
②木条的端点Ｎ固定在点Ｂ处，将木条绕点Ｂ顺
时针旋转一定的角度，端点Ｍ的落点记为点Ｃ（点
Ａ，Ｂ，Ｃ不在同一条直线上）；
③连接ＣＢ并延长，将木条沿点Ｃ到点Ｂ的方向平
移，使得端点Ｍ与点Ｂ重合，端点Ｎ在ＣＢ延长线
上的落点记为点Ｄ；
④用另一根足够长的木条画线，连接ＡＤ，ＡＣ，则画
出的∠ＤＡＣ是直角．
操作体验：
（１）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法．
如图２，ＢＡ＝ＢＣ．请画出以点Ａ为顶点的直角，
记作∠ＤＡＣ．
推理论证：
（２）如图１，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你
补全括号里的证明依据：
证明：∵ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤ，
∴△ＡＢＣ与△ＡＢＤ是等腰三角形．
∴∠ＢＣＡ＝∠ＢＡＣ，∠ＢＤＡ＝∠ＢＡＤ．（依据１）
∴∠ＢＣＡ＋∠ＢＤＡ＝∠ＢＡＣ＋∠ＢＡＤ＝∠ＤＡＣ．
∵∠ＤＡＣ＋∠ＢＣＡ＋∠ＢＤＡ＝１８０°，（依据２）
∴２∠ＤＡＣ＝１８０°．
∴∠ＤＡＣ＝９０°．
依据１：
；依据２：
．
拓展探究：
（３）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在
一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可
以减少误差．如图３，点Ｏ在直线ｌ上，请用无刻
度的直尺和圆规在图３中作出一个以Ｏ为顶
点的直角，记作∠ＰＯＱ，使得直角边ＯＰ（或
ＯＱ）在直线ｌ上．（保留作图痕迹，不写作法）
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# /
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图１
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图２
0
M
图３
解析 （１）如图，∠ＤＡＣ即为所求．
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"
$
（２）等边对等角；三角形内角和定理．
（３）如图，∠ＰＯＱ即为所求．
0
2
1
M
᮰
6
困难是一块顽石，对于弱者它是绊脚石，对于强者它是垫脚石．
期
末
综
合
检
测
１１１
期末综合检测
范围：第十三章至第十八章
满分
１２０分
限时
１００分钟
一、选择题（每小题３分，共３０分）
１．「2025 安徽亳州期末」下列计算正确的是
（Ｄ）
Ａ．ａ
３·ａ
４＝ａ
１２
Ｂ．ａ
６÷ａ
２＝ａ
３
Ｃ．（２ａｂ）
３＝６ａ
３ｂ
３
Ｄ．（ａ
３）
２＝ａ
６
２．“天有日月，道分阴阳”，从古至今，中国传统图形
比较注重对称，其集中体现在文字和建筑、绘画上，
下列图形、文字可以看成轴对称图形的是
（Ｃ）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
３．「2025 河南郑州期末」已知三角形三边长分别为２，９，
ｘ，若ｘ为整数，则这样的三角形有
（Ｃ）
Ａ．１个
Ｂ．２个
Ｃ．３个
Ｄ．４个
４．「2025 广东深圳实验学校期中」若点Ａ（４，ｍ＋５）与点
Ｂ（ｎ－５，３）关于ｙ轴对称，则（ｍ＋ｎ）
２０２５的值为
（Ｂ）
Ａ．１
Ｂ．－１
Ｃ．２０２５
Ｄ．－２０２５
５．「2025 河北唐山期末」如图，这是某商场一楼与二楼之
间的手扶电梯的平面示意图，其中ＡＢ，ＣＤ分别表
示一楼、二楼地面的水平线．若∠ＡＢＣ＝１５０°，ＢＣ＝
１０ｍ，则乘电梯从点Ｂ到点Ｃ上升的高度ｈ是
（Ｃ）
%
I
"
c
$
#
Ａ．３３ｍ
Ｂ．４２ｍ
Ｃ．５ｍ
Ｄ．５３ｍ
６．「2025 山东济宁期末」如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝３１°，
∠ＡＢＣ的平分线ＢＤ交ＡＣ于点Ｄ，如果ＤＥ垂直平
分ＢＣ，那么∠Ａ的度数为
（Ａ）
Ａ．８７°
Ｂ．６２°
Ｃ．９０°
Ｄ．９３°
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#
第６题图
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(
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#
第７题图
７．新
考向
尺规作图如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，以点Ａ
为圆心，适当长为半径作弧，分别交ＡＢ，ＡＣ于点
Ｄ，Ｅ，再分别以点Ｄ，Ｅ为圆心，以大于１
２ＤＥ的长
为半径作弧，两弧交于点Ｆ，作射线ＡＦ交ＢＣ于
点Ｇ，若ＡＢ＝１２，ＣＧ＝３，则△ＡＢＧ的面积是
（Ｂ）
Ａ．１２
Ｂ．１８
Ｃ．２４
Ｄ．３６
８．「2025 江苏镇江期末」已知ａ，ｂ，ｃ是△ＡＢＣ的三边长，
若ａｃ－ｂｃ＝ａ
２－２ａｂ＋ｂ
２，则△ＡＢＣ是
（Ａ）
Ａ．等腰三角形
Ｂ．直角三角形
Ｃ．等边三角形
Ｄ．不能确定
９．「2025 贵州遵义质检」为缅怀革命先烈，传承红色精
神，某校八年级师生前往距离学校８ｋｍ的抗美援
朝纪念馆参观．一部分师生骑自行车先走，过了
３０ｍｉｎ后，其余师生乘坐汽车出发，结果他们同时
达到．假设汽车行驶速度和骑自行车速度均保持
不变，汽车行驶速度是骑自行车速度的４倍，设骑
自行车的速度为ｘｋｍ／ｈ，根据题意，下列方程正
确的是
（Ａ）
Ａ．８
４ｘ＋３０
６０＝８
ｘ
Ｂ．８
４ｘ＝８
ｘ＋３０
６０
Ｃ．８
４ｘ＝８
ｘ＋３０
Ｄ．８
４ｘ＋３０＝８
ｘ
᮰
6
春天不播种，夏天就不生长，秋天就不能收获，冬天就不能品尝．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
１１２
１０．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ，∠ＡＣＢ＝９０°，Ｍ是ＡＢ
边的中点，点Ｄ，Ｅ分别是ＡＣ，ＢＣ边上的动点，ＤＥ
与ＣＭ相交于点Ｆ，且∠ＤＭＥ＝９０°．下列５个结
论：（１）图中共有两对全等三角形；（２）△ＤＥＭ是
等腰三角形；（３）∠ＣＤＭ＝∠ＣＦＥ；（４）ＡＤ＋ＢＥ＝
ＡＣ；（５）四边形ＣＤＭＥ的面积发生改变．其中正确
的结论有
（Ｂ）
"
.
#
%
'
&
$
Ａ．２个
Ｂ．３个
Ｃ．４个
Ｄ．５个
二、填空题（每小题３分，共２４分）
１１．「2024 内蒙古中考」分解因式：ａ＋２ａｂ＋ａｂ
２＝
ａ（ｂ＋１）
２
．
１２．跨
语文
诗词
「2025 宁夏吴忠期末」唐代刘禹锡有诗曰：“庭
前芍药妖无格，池上芙蕖净少情．唯有牡丹真国
色，花开时节动京城．”牡丹花有非常高的观赏价
值，某品种的牡丹花粉直径约为０．００００３５４米，
则数据０．００００３５４用科学记数法表示为
３．５４×
１０
－５．
１３．如图，在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ中，已知ＣＢ＝ＤＦ，∠Ｃ＝
∠Ｄ，要使△ＡＢＣ≌△ＥＦＤ，还需添加一个条件，这
个条件可以是ＡＣ＝ＥＤ（答案不唯一）．
第１３题图
%
"
$
#
第１４题图
１４．「2025 江苏徐州期末」如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝
９０°，∠Ｂ＝５０°，以点Ａ为圆心，ＡＣ长为半径画
弧，交ＡＢ于点Ｄ，连接ＣＤ，则∠ＢＣＤ的度数
是２０° ．
4
4
#
N
O
１５．「2025 山西晋中期中」为落实劳动素
质教育，推动学生劳动实践的有
效进行，某校在校园开辟了劳动
实践基地．如图所示的是从实践基
地抽象出来的几何模型，两块边长分别为ｍ，ｎ的
正方形，其中重叠部分Ｂ为池塘，阴影部分分别
为八年级和九年级的实践活动基地，面积为Ｓ１，
Ｓ２．若ｍ＋ｎ＝８，ｍｎ＝１５，则Ｓ１－Ｓ２＝１６．
１６．「2025 山东烟台期末」已知关于ｘ的分式方程ｋ
ｘ－１＋２
＝
ｘ
１－ｘ的解是非负数，则ｋ的取值范围是
ｋ≤２且ｋ≠－１．
１７．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，∠Ｃ＝３０°，ＡＣ
＝２４，ＢＤ平分∠ＡＢＣ交ＡＣ于Ｄ，点Ｅ是ＡＢ上的
动点，点Ｆ是ＢＤ上的动点，则ＡＦ＋ＦＥ的最小值
为１２．
第１７题图
第１８题图
１８．「2024 山东济宁期末」如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点
Ｄ为线段ＢＣ上一动点（不与点Ｂ，Ｃ重合），连接
ＡＤ，作∠ＡＤＥ＝∠Ｂ＝４０°，ＤＥ交线段ＡＣ于点Ｅ，
下列结论：①∠ＤＥＣ＝∠ＢＤＡ；②若ＡＢ＝ＤＣ，则
ＡＤ＝ＤＥ；③当ＤＥ⊥ＡＣ时，Ｄ为ＢＣ中点；④当
△ＡＤＥ为等腰三角形时，∠ＢＡＤ＝３０°．其中正确
的有①②③．（填序号）
三、解答题（共６６分）（答案含评分细则）
１９．（６分）计算：
（１）－１２ｘ
２ｙ· １
３ｘ
３ｙ
２－３
４ｘ
２ｙ＋１
６
æ
è
ç
ö
ø
÷ ．
（２）４（ｙ＋１）
２－（２ｙ＋３）（２ｙ－３）．
解析 （１）－１２ｘ
２ｙ· １
３ｘ
３ｙ
２－３
４ｘ
２ｙ＋１
６
æ
è
ç
ö
ø
÷
＝－１２ｘ
２ｙ· １
３ｘ
３ｙ
２＋１２ｘ
２ｙ· ３
４ｘ
２ｙ－１２ｘ
２ｙ· １
６
＝－４ｘ
５ｙ
３＋９ｘ
４ｙ
２－２ｘ
２ｙ．
（３分）
……………………
（２）４（ｙ＋１）
２－（２ｙ＋３）（２ｙ－３）
＝４（ｙ
２＋２ｙ＋１）－（４ｙ
２－９）
＝４ｙ
２＋８ｙ＋４－４ｙ
２＋９
＝８ｙ＋１３．
（６分）
…………………………………
᮰
6
开启成功之门，钥匙有三．其一，勤奋的精神；其二，科学的方法；其三，良好的心态．
期
末
综
合
检
测
１１３
２０．「2025 河北承德期末」（６分）如图，已知，ＡＢ∥ＣＦ，ＤＥ
＝ＥＦ．
（１）求证：△ＡＤＥ≌△ＣＦＥ．
（２）若ＡＢ＝９，ＣＦ＝５，求ＢＤ的长．
"
%
#
$
'
&
解析 （１）证明：∵ＡＢ∥ＣＦ，∴∠Ａ＝∠ＦＣＥ，
在△ＡＤＥ和△ＣＦＥ中，
∠Ａ＝∠ＦＣＥ，
∠ＡＥＤ＝∠ＣＥＦ，
ＤＥ＝ＦＥ，
ì
î
í
ïï
ïï
∴△ＡＤＥ≌△ＣＦＥ（ＡＡＳ）．
（３分）
………………
（２）由（１）知△ＡＤＥ≌△ＣＦＥ，∴ＡＤ＝ＣＦ，
（４分）
………
…………………………………………
∵ＣＦ＝５，∴ＡＤ＝５，
∴ＢＤ＝ＡＢ－ＡＤ＝９－５＝４．
（６分）
…………………
２１．「2025 河南平顶山期末」（７分）如图，△ＡＢＣ三个顶点
的坐标分别为Ａ（－４，２），Ｂ（－１，１），Ｃ（－３，４）．
（１）画出△ＡＢＣ关于ｙ轴对称的△Ａ１Ｂ１Ｃ１．（点Ａ，
Ｂ，Ｃ的对应点分别为Ａ１，Ｂ１，Ｃ１）
（２）写出△Ａ１Ｂ１Ｃ１三个顶点的坐标．
（３）求△ＯＢＡ１的面积．
Z
Y
0
"
$
#
见答案册Ｄ７５
２２．（７分）
（１）「2025 湖北宜昌质检」先化简，再求值：（３ｘ＋ｙ）·（３ｘ
－ｙ）－４
５ｘｙ（１０－５ｘｙ）＋（２ｘ＋ｙ）
２－４ｘ
２ｙ
２，其中ｘ＝
１，ｙ＝２．
（２）「2025 陕西榆林期末」先化简，再求值：
３
ａ＋２＋ａ－２
æ
è
ç
ö
ø
÷ ÷ａ
２－２ａ＋１
ａ＋２
，在－２，－１，０，１中选
择一个你喜欢的数，代入求值．
解析 （１）原式＝９ｘ
２－ｙ
２－８ｘｙ＋４ｘ
２ｙ
２＋４ｘ
２＋４ｘｙ＋ｙ
２
－４ｘ
２ｙ
２＝１３ｘ
２－４ｘｙ，
（２分）
………………………
当ｘ＝１，ｙ＝２时，原式＝１３×１
２－４×１×２＝５．
（３分）
……
…………………………………………
（２）原式＝
３
ａ＋２＋ａ
２－４
ａ＋２
æ
è
ç
ö
ø
÷ ·
ａ＋２
（ａ－１）
２
＝（ａ＋１）（ａ－１）
ａ＋２
·
ａ＋２
（ａ－１）
２
＝ａ＋１
ａ－１，
（５分）
……………………………………
∵ａ＋２≠０且ａ－１≠０，
∴ａ≠－２且ａ≠１，
（６分）
………………………
∴ａ可取０或－１，
当ａ＝０时，原式＝０＋１
０－１＝－１æ
è
ç或当ａ＝－１时，原式
＝－１＋１
－１－１＝０ö
ø
÷．
（７分）
………………………………
２３．「2023 湖南常德中考」（８分）“六一”儿童节将至，张
老板计划购买Ａ型玩具和Ｂ型玩具进行销售．若
用１２００元购买Ａ型玩具的数量比用１５００元购
买Ｂ型玩具的数量多２０个，且一个Ｂ型玩具的
进价是一个Ａ型玩具进价的１．５倍．
（１）求Ａ型玩具和Ｂ型玩具的进价分别是多少．
（２）若Ａ型玩具的售价为１２元／个，Ｂ型玩具的
售价为２０元／个．张老板购进Ａ，Ｂ型玩具共
７５个，要使总利润不低于３００元，则Ａ型玩具
最多可购进多少个？
解析 （１）设Ａ型玩具的进价为ｘ元／个，则Ｂ型
玩具的进价是１．５ｘ元／个．
（１分）
………………
由题意得１２００
ｘ
－１５００
１．５ｘ＝２０，解得ｘ＝１０，
（３分）
………
…………………………………………
经检验，ｘ＝１０是原方程的解，且符合题意．
∴Ｂ型玩具的进价为１０×１．５＝１５（元／个）．
答：Ａ型玩具的进价是１０元／个，Ｂ型玩具的进价
是１５元／个．
（４分）
………………………………
（２）设购进Ａ型玩具ｍ个，则购进Ｂ型玩具（７５－ｍ）
个．根据题意得（１２－１０）ｍ＋（２０－１５）（７５－ｍ）≥３００，
（６分）
…………………………………………
解得ｍ≤２５．
答：最多可购进Ａ型玩具２５个．
（８分）
…………
᮰
6
数学的本质是对表面上看来完全不同的概念认识其内在的逻辑关系．最成功的数学家是知识面最宽，概念的类比、想
象能力最强的人．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
人
教
版
１１４
２４．「2025 江苏南通月考」（１０分）已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝
ＡＣ，点Ｄ是边ＡＢ上一点，∠ＢＣＤ＝∠Ａ．
（１）如图１，求证：ＣＤ＝ＣＢ．
（２）如图２，过点Ｂ作ＢＥ⊥ＡＣ，垂足为点Ｅ，ＢＥ与
ＣＤ相交于点Ｆ．
①求证：∠ＢＣＤ＝２∠ＣＢＥ．
②如果△ＢＤＦ是等腰三角形，求∠Ａ的度数．
"
%
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图１
#
'
&
"
%
$
图２
见答案册Ｄ７６
２５．（１０分）感知：如图①，在△ＡＢＣ中，ＡＤ平分
∠ＢＡＣ，ＡＥ⊥ＢＣ，∠Ｂ＝４０°，∠Ｃ＝７０°，求∠ＤＡＥ
的度数．
探究：如图②，在△ＡＢＣ中，若把ＡＥ⊥ＢＣ变成点
Ｆ在ＤＡ的延长线上，ＦＥ⊥ＢＣ，其他条件不变，求
∠ＤＦＥ的度数．
拓展：如图③，若把△ＡＢＣ变成四边形ＡＢＥＣ，把
ＡＥ⊥ＢＣ变成ＥＡ平分∠ＢＥＣ，其他条件不变，
∠ＤＡＥ的度数是否变化？并说明理由．
解析 感知：∵∠Ｂ＝４０°，∠Ｃ＝７０°，
∴∠ＢＡＣ＝１８０°－４０°－７０° ＝７０°，
∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝３５°，
∴∠ＡＤＥ＝∠Ｂ＋∠ＢＡＤ＝７５°，
（２分）
……………
∵ＡＥ⊥ＢＣ，∴∠ＡＥＢ＝９０°，
∴∠ＤＡＥ＝９０°－∠ＡＤＥ＝１５°．
（３分）
……………
探究：同上可得，∠ＡＤＥ＝７５°，
（４分）
…………
∵ＦＥ⊥ＢＣ，∴∠ＦＥＢ＝９０°，
∴∠ＤＦＥ＝９０°－∠ＡＤＥ＝１５°．
（６分）
……………
拓展：∠ＤＡＥ的度数不变．
（７分）
………………
理由：∵ＥＡ平分∠ＢＥＣ，∴∠ＡＥＢ＝∠ＡＥＣ，
∴∠Ｃ＋∠ＣＡＥ＝∠Ｂ＋∠ＢＡＥ，
（８分）
……………
∵∠ＣＡＥ＝∠ＣＡＤ－∠ＤＡＥ，∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＤ
＋∠ＤＡＥ，
∴∠Ｃ＋∠ＣＡＤ－∠ＤＡＥ＝∠Ｂ＋∠ＢＡＤ＋∠ＤＡＥ，
∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ，
∴２∠ＤＡＥ＝∠Ｃ－∠Ｂ＝３０°，
∴∠ＤＡＥ＝１５°．
（１０分）
…………………………
２６．（１２分）已知在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ，在△ＤＥＣ中，
ＤＣ＝ＥＣ，∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝α，点Ａ、Ｄ、Ｅ在同一条
直线上，ＡＥ与ＢＣ相交于点Ｆ，连接ＢＥ．
（１）如图１，当α＝６０°时．
①请直接写出△ＡＢＣ和△ＤＥＣ的形状．
②求证：ＡＤ＝ＢＥ．
③请求出∠ＡＥＢ的度数．
（２）如图２，当α＝９０°时．
①请求出∠ＡＥＢ的度数．
②若∠ＣＡＦ＝∠ＢＡＦ，ＢＥ＝２，求线段ＡＦ的长．
见答案册Ｄ７６
