文档文本内容
专题 1.6 正方形的性质（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:20)................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:31)(cid:32)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:20)....................................................................................................................2
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:31)(cid:32)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:20)................................................................................................................3
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:31)(cid:32)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:20)....................................................................................................................5
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:31)(cid:32)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:20)................................................................................................................6
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:21)(cid:20)....................................................................................................................................7
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:33)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:48)(cid:46)(cid:49)(cid:50)(cid:39)(cid:40)(cid:20)........................................................................................................................9
(cid:15)(cid:21)(cid:22)8 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:26)(cid:52)(cid:53)(cid:20)..................................................................................................................................10
(cid:15)(cid:21)(cid:22)9 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:26)(cid:54)(cid:55)(cid:38)(cid:20)..............................................................................................................................11
知识点1 正方形的定义
1. (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:56)(cid:57)(cid:66)(cid:34)(cid:67)(cid:68)(cid:34)(cid:26)(cid:69)(cid:42)(cid:70)(cid:60)(cid:25)(cid:71)(cid:72)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:73)
2. (cid:74)(cid:11)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:10)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:81) ABCD(cid:51)(cid:63)(cid:82) = (cid:63)(cid:65) =90°(cid:63)(cid:83) ABCD(cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:73)
▱ 𝐴𝐵 𝐴𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 ▱
知识点2 正方形的性质
图示 性质 数学语言描述
对边(cid:69)(cid:42) AB CD，AD BC
边
∥ ∥
四条边均(cid:61)(cid:62) = = =
角 四个角都是(cid:68)(cid:34) = 𝐴𝐵 𝐵=𝐶 𝐶𝐷= 𝐷𝐴 =90°
∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐶𝐷 ∠𝐶𝐷𝐴 ∠𝐷𝐴𝐵
(cid:86) 对角线(cid:61)(cid:62)(cid:65)(cid:84)(cid:61)(cid:85)(cid:68)(cid:69)(cid:50) = (cid:63) (cid:63) = = =
(cid:34)
𝐴𝐶 𝐵𝐷 =𝐴𝐶⊥𝐵𝐷=𝑂𝐴 𝑂=𝐵 𝑂𝐶= 𝑂𝐷
(cid:36) 每条对角线平分一组对角
= = =
∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐶 ∠𝐵𝐶𝐴 ∠𝐷𝐶𝐴
对 轴对称图形，对称轴是(cid:87)(cid:88)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:89)(cid:81)(cid:68)(cid:36)(cid:90)∠𝐴(cid:91)𝐵(cid:92)𝐷(cid:57)(cid:58)∠𝐶(cid:86)𝐵(cid:60)𝐷(cid:51)∠(cid:93)𝐴(cid:26)𝐷𝐵(cid:68)(cid:36)∠(cid:63)𝐶有𝐷𝐵(cid:70)条对称轴称
中心对称图形，对称中心是(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:26)(cid:94)(cid:93)
性
【题型1 正方形的性质理解】
(cid:15)(cid:95)1(cid:20)(cid:96)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)·(cid:107)(cid:51)(cid:108)(cid:100)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:51)(cid:23)(cid:112)(cid:26)(cid:66)(cid:74)(cid:67)(cid:96) (cid:108)
(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:61)(cid:62)(cid:113) (cid:69)(cid:42)(cid:70)(cid:60)(cid:25)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:61)(cid:62)(cid:113) (cid:114)(cid:25)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:84)(cid:61)(cid:85)(cid:68)(cid:113) (cid:69)(cid:42)(cid:70)(cid:60)(cid:25)(cid:86)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:113)
(cid:115)①(cid:25)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:61)(cid:84)(cid:85)(cid:68) ② ③ ④ ⑤
A(cid:73)1(cid:66) B(cid:73)2(cid:66) C(cid:73)3(cid:66) D(cid:73)4(cid:66)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)1-1(cid:20)(cid:96)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:107)(cid:51)(cid:108)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:56)(cid:124)(cid:115)(cid:25)(cid:125)(cid:57)(cid:126)(cid:123)(cid:56)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:67)(cid:96) (cid:108)
A(cid:73)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:61)(cid:62) B(cid:73)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:84)(cid:61)(cid:69)(cid:50)
C(cid:73)(cid:70)(cid:66)(cid:34)(cid:127)(cid:67)(cid:68)(cid:34) D(cid:73)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:84)(cid:61)(cid:85)(cid:68)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)1-2(cid:20)(cid:96)2025·(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)·(cid:132)(cid:133)(cid:108)(cid:100)(cid:109)(cid:134)(cid:60)(cid:25)(cid:51)(cid:63)(cid:135)(cid:136)(cid:57)(cid:88)(cid:60)(cid:26)(cid:38)(cid:35)(cid:137)(cid:138)(cid:112)(cid:126)(cid:139)(cid:25)(cid:140)(cid:90)(cid:18)(cid:141)(cid:26)(cid:67)(cid:96) (cid:108)
A(cid:73)(cid:115)(cid:25) B(cid:73)(cid:114)(cid:25) C(cid:73)(cid:23)(cid:24)(cid:25) D(cid:73)(cid:62)(cid:142)(cid:143)(cid:34)(cid:25)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)1-3(cid:20)(cid:96)2025·(cid:144)(cid:120)(cid:145)(cid:146)(cid:147)·(cid:143)(cid:133)(cid:108)(cid:100)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:148)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:149)(cid:150)(cid:63)(cid:151)(cid:152)(cid:94)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:87)(cid:156)(cid:63)(cid:157)(cid:139)(cid:50)(cid:158)(cid:39)(cid:40)(cid:61)(cid:62)(cid:26)
(cid:70)(cid:49)(cid:50)(cid:63)(cid:83)(cid:154)(cid:155)(cid:24)(cid:159)(cid:56)(cid:96) (cid:108)
A(cid:73)1(cid:160) B(cid:73)2(cid:160) C(cid:73)4(cid:160) D(cid:73)(cid:161)(cid:74)(cid:160)
【题型2 利用正方形的性质求角度】
(cid:15)(cid:95)2(cid:20)(cid:96)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:48)(cid:162)(cid:38)(cid:163)·(cid:107)(cid:164)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:51)(cid:63)(cid:93)E(cid:165)(cid:60) (cid:166)(cid:38)(cid:36)(cid:118)(cid:57)(cid:93)(cid:63)(cid:93)F(cid:81)(cid:60)
(cid:118)(cid:63)(cid:65) = (cid:63)(cid:167)(cid:168) (cid:63) (cid:63) (cid:94) (cid:169)G(cid:63)(cid:82) =𝐴𝐵𝐶(cid:63)𝐷(cid:83) =((cid:170)(cid:170)𝐵𝐴) 𝐵𝐶
𝐴𝐸 𝐶𝐹 𝐷𝐹 𝐸𝐹 𝐸𝐹 𝐴𝐷 ∠𝐴𝐸𝐹 𝛼 ∠𝐹𝐷𝐺
A(cid:73)90° B(cid:73) C(cid:73) + 45° D(cid:73) 90°
(cid:15)(cid:116)(cid:117)2-1(cid:20)−(cid:79)𝛼(cid:80)(cid:63)(cid:171)(cid:23)(cid:24)2(cid:25)𝛼 (cid:172)(cid:93)A(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:176)𝛼(cid:177)38°(cid:63)(cid:178)(cid:179)(cid:23)(cid:24)(cid:25) 4𝛼 −(cid:63) (cid:26)(cid:166)(cid:38)(cid:36)(cid:94) (cid:169)(cid:93)H(cid:63)(cid:83)
(cid:26)(cid:18)(cid:141)(cid:165)(cid:96) (cid:108) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐸𝐹𝐺 𝐷𝐵 𝐸𝐹
∠𝐷𝐻𝐸A(cid:73)76° B(cid:73)97° C(cid:73)90° D(cid:73)114°
(cid:15)(cid:116)(cid:117)2-2(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:93)E(cid:165)(cid:23)(cid:24)(cid:25)ABCD(cid:60)CB(cid:166)(cid:38)(cid:36)(cid:118)(cid:57)(cid:93)(cid:63)(cid:93)F(cid:165)AB(cid:118)(cid:57)(cid:93)(cid:63)(cid:167)(cid:168)AE(cid:63)CF(cid:63)AC(cid:63)(cid:82)
BE=BF(cid:63) E=70°(cid:63)(cid:83) ACF= (cid:73)
∠ ∠
(cid:15)(cid:116)(cid:117)2-3(cid:20)(cid:96)22-23(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:118)(cid:180)(cid:181)(cid:182)·(cid:107)(cid:164)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:51)(cid:63) (cid:63) = (cid:63)(cid:83) = (cid:73)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐶𝐸∥𝐵𝐷 𝐵𝐸 𝐵𝐷 ∠𝐶𝐷𝐸
【题型3 利用正方形的性质求线段长】
(cid:15)(cid:95)3(cid:20)(cid:96)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:119)(cid:16)(cid:183)(cid:184)·(cid:107)(cid:164)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:67)(cid:185)(cid:186)(cid:184)(cid:187)(cid:74)(cid:11)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:81)(cid:4)(cid:30)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:174)(cid:197)(cid:198)(cid:26)“(cid:189)(cid:190)
(cid:199)(cid:80)”(cid:63)(cid:200)(cid:67)(cid:201)(cid:70)(cid:66)(cid:202)(cid:62)(cid:26)(cid:68)(cid:34)(cid:143)(cid:34)(cid:25)(cid:90)(cid:51)(cid:203)(cid:26)(cid:141)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:204)(cid:158)(cid:26)(cid:57)(cid:66)(cid:18)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:73)(cid:81)(cid:23)(cid:24)(cid:25)
(cid:87)(cid:60) (cid:205) (cid:50)(cid:206)(cid:207)(cid:93) (cid:205) (cid:63)(cid:157) = (cid:63) (cid:208) (cid:94)(cid:169)𝐸𝐹(cid:93)𝐺𝐻(cid:63)(cid:82) = (cid:63) =𝐴𝐵𝐶𝐷 =4 5(cid:63)(cid:83)𝐸𝐹𝐺𝐻(cid:26)
(cid:38)(cid:165)𝐸(cid:96)𝐻 (cid:108)𝐹𝐺 𝑀 𝑁 𝐸𝑀 𝐺𝑁 𝐴𝐶 𝑀𝑁 𝑂 𝐸𝐻 4𝐸𝑀 𝐴𝐶 2𝑀𝑁 𝐴𝑀4 5 10
A(cid:73)3 B(cid:73)2 2 C(cid:73) D(cid:73)
3 3
(cid:15)(cid:116)(cid:117)3-1(cid:20)(cid:96)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:103)(cid:209)(cid:210)(cid:211)·(cid:107)(cid:164)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:212)(cid:187)(cid:74)(cid:11)(cid:188)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:81)(cid:191)(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:219)(cid:196)(cid:57)(cid:220)(cid:51)(cid:63)(cid:32)(cid:70)(cid:66)(cid:202)
(cid:62)(cid:26)(cid:68)(cid:34)(cid:143)(cid:34)(cid:25)(cid:204)(cid:198)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:24)(cid:221)(cid:43)(cid:44)(cid:222)(cid:216)(cid:217)(cid:126)(cid:29)(cid:63)(cid:167)(cid:110) (cid:63)(cid:82)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:165)29(cid:63) =5(cid:63)
(cid:83) (cid:26)(cid:38)(cid:165) (cid:73) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐶𝐸 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐸
𝐶𝐸
(cid:15)(cid:116)(cid:117)3-2(cid:20)(cid:96)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)·(cid:107)(cid:164)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:81)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:51)(cid:63) (cid:67) (cid:118)(cid:227)(cid:228)(cid:57)(cid:93)(cid:63)(cid:167)(cid:168) (cid:63)
(cid:208) (cid:3)(cid:169) (cid:86)(cid:229)(cid:63) (cid:166)(cid:38)(cid:36)(cid:208) (cid:166)(cid:38)(cid:36)(cid:94)(cid:169)(cid:93) (cid:63)(cid:167)(cid:168) (cid:94) (cid:169)𝐴𝐵(cid:93)𝐶𝐷(cid:73) 𝐺 𝐴𝐷 𝐶𝐺 𝐵
𝐸 𝐶𝐺 𝐶𝐺 𝐸𝐷 𝐹 𝐵𝐸 𝐶𝐺 𝑃
(cid:96)1(cid:108) (cid:35)(cid:74)(cid:165) °(cid:113)
(cid:96)2(cid:108)∠(cid:82)𝐹(cid:93) (cid:67) (cid:51)(cid:93)(cid:63) =10(cid:63)(cid:83) (cid:26)(cid:38)(cid:165) (cid:73)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)3-3𝐷(cid:20)(cid:96)𝐸2𝐹4-25(cid:97)(cid:98)𝐶𝐸(cid:99)(cid:100)·(cid:103)(cid:230)(cid:120)𝑃(cid:231)𝐹·(cid:107)(cid:164)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:93) (cid:81)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:60) (cid:118)(cid:63)(cid:166)(cid:38) (cid:232)(cid:93) (cid:63)(cid:157)
= (cid:63)(cid:167)(cid:168) (cid:90) (cid:63)(cid:207) (cid:26)(cid:51)(cid:93) (cid:63)(cid:167)(cid:168) (cid:64)(cid:166)(cid:38)(cid:63)𝐸(cid:208) (cid:94)(cid:169)𝐴(cid:93)𝐵𝐶𝐷(cid:73)(cid:82) 𝐶𝐷=3(cid:63) =𝐶𝐵2(cid:63)(cid:83)𝐹 (cid:26)(cid:38)
𝐵(cid:165)𝐹 𝐷𝐸(cid:73) 𝐴𝐹 𝐸𝐹 𝐸𝐹 𝐻 𝐴𝐻 𝐵𝐶 𝐺 𝐵𝐺 𝐶𝐺 𝐷𝐸【题型4 利用正方形的性质求面积】
(cid:15)(cid:95)4(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:81)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:51)(cid:63)(cid:93) (cid:205) (cid:50)(cid:206)(cid:81)(cid:60) (cid:205) (cid:118)(cid:63) (cid:63)(cid:94)(cid:93)(cid:165) (cid:63) (cid:63)(cid:94) (cid:169)(cid:93)
(cid:73)(cid:82) = (cid:63) =𝐴𝐵1𝐶(cid:63)𝐷(cid:233)(cid:234)(cid:23)(cid:24)𝐸(cid:25)𝐹(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:165)(cid:96)𝐵 𝐶 (cid:108)𝐶𝐷 𝐴𝐸⊥𝐵𝐹 𝐺 𝐶𝐻⊥𝐵𝐹 𝐵𝐹
𝐻 𝐶𝐻 𝐻𝐺 𝑆△𝐶𝐹𝐻
A(cid:73)15 B(cid:73)20 C(cid:73)22 D(cid:73)24
(cid:15)(cid:116)(cid:117)4-1(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:141)(cid:235)(cid:236)(cid:11)(cid:171)(cid:60)(cid:38)(cid:165)3(cid:26)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:237)(cid:238)(cid:133)(cid:239) (cid:208)(cid:57)(cid:240)(cid:241)(cid:242)(cid:18)(cid:26)(cid:68)(cid:34)(cid:143)(cid:34)(cid:239)(cid:46)(cid:243)(cid:81)(cid:57)(cid:244)(cid:63)
(cid:139)(cid:51)(cid:68)(cid:34)(cid:143)(cid:34)(cid:239)(cid:26)(cid:68)(cid:34)(cid:245)(cid:93)(cid:246)(cid:81)(cid:93) (cid:247)(cid:63)(cid:87)(cid:88)(cid:68)(cid:34)(cid:60)(cid:50)(cid:206)(cid:208)𝐴𝐵𝐶(cid:94)𝐷(cid:169)(cid:93) (cid:63)(cid:208) (cid:166)(cid:38)(cid:36)(cid:94)(cid:169)(cid:93) (cid:63)(cid:83)(cid:70)(cid:60)(cid:25)
(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:67) (cid:73) 𝐴 𝐶𝐷 𝐹 𝐶𝐵 𝐸 𝐴𝐸𝐶𝐹
(cid:15)(cid:116)(cid:117)4-2(cid:20)(cid:96)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:103)(cid:230)(cid:248)(cid:249)·(cid:107)(cid:164)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:90)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:63)(cid:93)F(cid:63)B(cid:63)C(cid:81)(cid:236)(cid:57)(cid:68)
(cid:36)(cid:118)(cid:63)(cid:167)(cid:168) (cid:63)M(cid:67) (cid:26)(cid:51)(cid:93)(cid:63)(cid:167)(cid:168) (cid:63)(cid:82) =4(cid:63) =𝐴𝐵5𝐶(cid:63)𝐷(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)𝐵𝐸𝐹𝐺(cid:26)(cid:60)(cid:38)(cid:165)(cid:96)(cid:170)(cid:170)(cid:108)
𝐷𝐹 𝐷𝐹 𝐴𝑀 𝐵𝐶 𝐴𝑀 𝐵𝐸𝐹𝐺A(cid:73)1 B(cid:73) 2 C(cid:73)1.5 D(cid:73) 3
(cid:15)(cid:116)(cid:117)4-3(cid:20)(cid:96)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:48)(cid:162)(cid:250)(cid:103)·(cid:107)(cid:164)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:81)(cid:60)(cid:38)(cid:165)8(cid:26)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:51)(cid:63)(cid:93)E(cid:67)(cid:60) (cid:26)(cid:51)(cid:93)(cid:63)
(cid:81)(cid:86)(cid:34)(cid:36) (cid:118)(cid:227)(cid:207)(cid:57)(cid:93)M(cid:63)(cid:167)(cid:168) (cid:205) (cid:63)(cid:251) (cid:174)(cid:63) (cid:26)(cid:39)(cid:40)𝐴(cid:165)𝐵(cid:96)𝐶𝐷 (cid:108) 𝐴𝐵
𝐴𝐶 𝐸𝑀 𝐷𝑀 𝐸𝑀⊥𝐷𝑀 △𝐴𝐸𝑀
32
A(cid:73)16 B(cid:73)12 C(cid:73)8 2 D(cid:73)
3
【题型5 利用正方形的性质进行证明】
(cid:15)(cid:95)5(cid:20)(cid:96)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:119)(cid:16)(cid:252)(cid:253)·(cid:254)(cid:37)(cid:255)(cid:256)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63) (cid:165)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:257)(cid:57)(cid:93)(cid:63) =90°(cid:63) (cid:165)(cid:86)(cid:34)(cid:36)
(cid:26)(cid:94)(cid:93)(cid:63)(cid:167)(cid:168) (cid:63) (cid:73) 𝐸 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐵𝐸𝐶 𝑂
𝑂𝐸 𝑂𝐶
(1)(cid:33)(cid:43)(cid:10) =45°(cid:113)
(2)(cid:33)(cid:43)(cid:10)∠𝑂𝐸𝐶 = 2 (cid:73)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)5-1𝐶(cid:20)𝐸−(cid:79)𝐵(cid:80)𝐸(cid:63)(cid:81)(cid:23)𝑂(cid:24)𝐸 (cid:25)ABCD(cid:51)(cid:63)(cid:93)E(cid:205)F(cid:50)(cid:206)(cid:81)BC(cid:205)CD(cid:118)(cid:63)(cid:65) = (cid:63)(cid:33)(cid:43)(cid:10) = (cid:73)
𝐵𝐸 𝐶𝐹 𝐴𝐸 𝐵𝐹(cid:15)(cid:116)(cid:117)5-2(cid:20)(cid:96)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:48)(cid:162)(cid:258)(cid:16)·(cid:107)(cid:51)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:93) (cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:86)(cid:34)(cid:36) (cid:26)(cid:166)(cid:38)(cid:36)(cid:118)(cid:227)(cid:228)(cid:57)(cid:93)(cid:63)
(cid:259)(cid:36)(cid:37) (cid:165)(cid:60)(cid:260)(cid:57)(cid:66)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:63)(cid:36)(cid:37) (cid:90) (cid:61)(cid:94)(cid:169)(cid:93)𝐺 (cid:73) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐶𝐴
𝐴𝐺 𝐴𝐸𝐹𝐺 𝐸𝐵 𝐺𝐷 𝐻
(1)(cid:33)(cid:43)(cid:10) = (cid:113)
(2)(cid:82) =𝐸3𝐵(cid:63) 𝐺𝐷= 2(cid:63)(cid:33) (cid:26)(cid:38)(cid:73)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)𝐴𝐵5-3(cid:20)(cid:79)𝐴(cid:80)𝐺(cid:89)(cid:261)(cid:63)(cid:81)(cid:23)𝐷(cid:24)𝐺(cid:25) (cid:51)(cid:63)(cid:93) (cid:81) (cid:60)(cid:118)(cid:63)(cid:262)(cid:36) (cid:94) (cid:169)(cid:93) (cid:63)(cid:94) (cid:26)(cid:166)(cid:38)(cid:36)(cid:169)(cid:93) (cid:73)(cid:33)
(cid:43)(cid:10) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐹 𝐶𝐷 𝐴𝐹 𝐵𝐷 𝐸 𝐵𝐶 𝐺
(cid:96)1(cid:108) (cid:10)
(cid:96)2(cid:108)(cid:82)△(cid:93)𝐴𝐷𝐸(cid:67)≌ (cid:118)△(cid:26)𝐶𝐷(cid:51)𝐸(cid:93)(cid:63)(cid:167)(cid:168) (cid:90) (cid:63)(cid:33)(cid:43)(cid:10) (cid:73)
𝐻 𝐹𝐺 𝐸𝐶 𝐶𝐻 𝐶𝐻⊥𝐶𝐸
【题型6 正方形折叠问题】
(cid:15)(cid:95)6(cid:20)(cid:96)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:103)(cid:230)(cid:230)(cid:263)·(cid:107)(cid:51)(cid:108)(cid:15)(cid:133)(cid:22)(cid:264)(cid:151)(cid:20)(cid:81)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:11)(cid:256)(cid:91)(cid:265)(cid:51)(cid:63)(cid:185)(cid:266)(cid:267)(cid:151)(cid:100)(cid:39)(cid:26)(cid:110)(cid:111)(cid:10)(cid:79)
(cid:80)1(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:51)(cid:63)(cid:93)P(cid:165)(cid:36)(cid:37) (cid:118)(cid:57)(cid:66)(cid:268)(cid:93)(cid:63)(cid:82)(cid:36)(cid:37) (cid:85)(cid:68) (cid:169)(cid:93)E(cid:63)(cid:94)(cid:36)(cid:37) (cid:169)(cid:93)M(cid:63)(cid:94)(cid:36)(cid:37)
(cid:169)(cid:93)N(cid:63)(cid:83) 𝐴𝐵=𝐶𝐷 (cid:73) 𝐵𝐶 𝑀𝑁 𝐴𝑃 𝐴𝐵 𝐶𝐷
𝐴𝑃 𝑀𝑁(cid:96)1(cid:108)(cid:79)(cid:80) (cid:63)(cid:171)(cid:60)(cid:38)(cid:165)40(cid:26)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:45)(cid:46)(cid:63)(cid:157)(cid:178)(cid:93)B(cid:246)(cid:81) (cid:118)(cid:26)(cid:93) (cid:247)(cid:73)(cid:82)(cid:45)(cid:269) =41(cid:63)(cid:83) =
______(cid:73) ② 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝐸 𝐹𝐺 𝐶𝐸
(cid:15)(cid:270)(cid:271)(cid:272)(cid:273)(cid:20)
(cid:96)2(cid:108)(cid:79)(cid:80) (cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:51)(cid:63)(cid:93)P(cid:165)(cid:36)(cid:37) (cid:118)(cid:57)(cid:268)(cid:93)(cid:63)(cid:82) (cid:85)(cid:68)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:37) (cid:63)(cid:50)(cid:206)(cid:94) (cid:63) (cid:63)
(cid:63) (cid:169)③(cid:93)M(cid:63)E(cid:63)F𝐴(cid:63)𝐵N𝐶𝐷(cid:63)(cid:33)(cid:43)(cid:10) = 𝐵+𝐶 (cid:73) 𝑀𝑁 𝐴𝑃 𝐴𝐵 𝐴𝑃
𝐵(cid:96)𝐷3(cid:108)𝐷(cid:79)𝐶(cid:80) (cid:63)(cid:81)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:51)(cid:63)E𝐸(cid:205)𝐹F(cid:50)𝑀(cid:206)𝐸(cid:165)𝐹𝑁(cid:63) (cid:118)(cid:26)(cid:93)(cid:63)(cid:260) (cid:169)M(cid:63)(cid:81) (cid:118)(cid:274)(cid:207) = (cid:63)
(cid:167)(cid:168) (cid:63)G④(cid:165) (cid:51)(cid:93)(cid:63)𝐴(cid:167)𝐵(cid:168)𝐶𝐷 (cid:63) (cid:73)(cid:275)(cid:276)(cid:21)(cid:228)𝐴𝐷(cid:277)(cid:202)𝐵(cid:80)𝐶(cid:25)(cid:63)(cid:82) =𝐷𝑀2(cid:63)⊥(cid:83)𝐸𝐹 =____𝑀__𝐹(cid:73) 𝑀𝑁 𝐷𝑀
(cid:15)(cid:116)𝐵(cid:117)𝑁6-1(cid:20)(cid:96)𝐵2𝑁3-24(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:118)𝐶·𝐺(cid:278)(cid:279)𝐶(cid:280)𝑀(cid:180)·(cid:107)(cid:51)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) 𝐶𝐺 (cid:51)(cid:63) (cid:67)𝐶𝑀 (cid:60)(cid:118)(cid:26)(cid:57)(cid:93)(cid:63)(cid:171) (cid:281)
(cid:45)(cid:46)(cid:63)(cid:157)(cid:93) (cid:246)(cid:81)(cid:93) (cid:247)(cid:63)(cid:166)(cid:38) (cid:94) (cid:169)(cid:93) (cid:63)(cid:167)(cid:168) (cid:73) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐸 𝐴𝐸
𝐵 𝐹 𝐸𝐹 𝐶𝐷 𝐺 𝐴𝐺
(1)(cid:33)(cid:43)(cid:10) (cid:113)
(2)(cid:167)(cid:168) (cid:63)△(cid:82)𝐴𝐷𝐺≌△(cid:63)𝐴𝐹(cid:33)𝐺(cid:43)(cid:10) (cid:165) (cid:26)(cid:51)(cid:93)(cid:73)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)𝐶6-𝐹2(cid:20)(cid:81)𝐶(cid:23)𝐹∥(cid:24)𝐴(cid:25)𝐺(cid:150)(cid:282)ABC𝐺D(cid:51)𝐷𝐶(cid:63)(cid:93)M(cid:205)N(cid:50)(cid:206)(cid:67)BC(cid:205)AD(cid:118)(cid:26)(cid:93)(cid:63)(cid:167)(cid:168)MN(cid:73)
(cid:47)(cid:21)(cid:272)(cid:283)(cid:10)(cid:79)(cid:80)1(cid:63)(cid:260)DD′ MN(cid:63)(cid:94)AB(cid:169)(cid:93)D′(cid:63)(cid:33)(cid:43)(cid:10)MN (cid:284)DD′(cid:113)
⊥
(cid:47)(cid:21)(cid:30)(cid:285)(cid:10)(cid:79)(cid:80)2(cid:63)(cid:171)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:150)(cid:282)ABCD(cid:281)(cid:91)(cid:93)M(cid:205)N(cid:26)(cid:68)(cid:36)(cid:45)(cid:46)(cid:63)(cid:93)D(cid:26)(cid:86)(cid:286)(cid:93)D′(cid:287)(cid:288)(cid:246)(cid:81)AB(cid:118)(cid:63)(cid:93)C(cid:26)(cid:86)(cid:286)(cid:93)(cid:165)(cid:93)C′(cid:63)(cid:82)B D′(cid:284)6(cid:63) CM(cid:284)2(cid:63)(cid:33)(cid:36)(cid:37)MN(cid:26)(cid:38).
(cid:15)(cid:116)(cid:117)6-3(cid:20)(cid:96)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:289)(cid:209)(cid:290)(cid:291)·(cid:107)(cid:51)(cid:108)(cid:292)(cid:225)(cid:208)(cid:293)(cid:294)
(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:81)(cid:60)(cid:38)(cid:165)8cm(cid:26)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:51)(cid:96)(cid:295) = = = =8cm(cid:63) = = = =90°(cid:108)(cid:63)
(cid:167)(cid:168) (cid:63) = (cid:63) = 𝐴(cid:63)𝐵(cid:171)𝐹𝐸(cid:143)(cid:34)(cid:25)𝐴𝐵 (cid:281)𝐴(cid:68)𝐸(cid:36) 𝐵𝐹(cid:45)(cid:46)𝐸(cid:63)𝐹(cid:178)(cid:179) ∠𝐴(cid:63)(cid:166)∠𝐴(cid:38)𝐵𝐹 (cid:94)∠𝐹 (cid:169)∠(cid:93)𝐸 M(cid:73)
′ ′
𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝐵𝐶 𝐶𝐹 𝐴𝐵𝐷 𝐵𝐷 △𝐴 𝐵𝐷 𝐵𝐴 𝐸𝐹
(1)(cid:167)(cid:168) (cid:63)(cid:36)(cid:37) (cid:296)(cid:259)(cid:297)(cid:72)(cid:36)(cid:37) (cid:281)(cid:298) (cid:26)(cid:24)(cid:299)(cid:69)(cid:300)______cm(cid:301)(cid:178)(cid:179)(cid:113)
(2)(cid:167)(cid:168)𝐶𝐷(cid:63)(cid:302)(cid:303)𝐶𝐷 (cid:67)(cid:304)(cid:165)(cid:68)𝐴(cid:34)𝐵(cid:143)(cid:34)𝐴(cid:25)𝐸(cid:63)(cid:64)(cid:305)(cid:259)(cid:306)(cid:44)(cid:113)
(3)(cid:68)(cid:168)𝐷(cid:307)𝑀(cid:198) (cid:208) △𝐵(cid:26)𝐷(cid:74)𝑀(cid:308)(cid:3)(cid:309)(cid:73)
【题型7 求 𝑀 正 𝐹 方 𝑀 形 𝐸 重叠部分面积】
(cid:15)(cid:95)7(cid:20)(cid:96)22-23(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:289)(cid:279)(cid:310)(cid:311)·(cid:107)(cid:51)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:61)(cid:94)(cid:169)(cid:93) (cid:63)(cid:259) (cid:165)(cid:245)(cid:93)(cid:26)(cid:23)(cid:24)(cid:25)
(cid:26)(cid:87)(cid:60) (cid:63) (cid:50)(cid:206)(cid:116)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:60) (cid:63) (cid:169)(cid:93) (cid:63) (cid:73)(cid:312)𝐴𝐵𝐶𝐷 (cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:165) (cid:63) 𝑂 (cid:26)𝑂(cid:39)(cid:40)(cid:165) (cid:63)(cid:82)(cid:23)(cid:24)𝑂𝐸𝐺𝐹
(cid:25)(cid:26)(cid:60)𝑂(cid:38)𝐸 𝑂=𝐹10(cid:63) =16(cid:83) (cid:26)𝐴(cid:18)𝐵(cid:141)𝐵(cid:165)𝐶 (cid:73)𝑀 𝑁 △𝐴𝑂𝑀 𝑆1 △𝐶𝑂𝑁 𝑆2
𝐴𝐵 𝑆1 𝑆2
(cid:15)(cid:116)(cid:117)7-1(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:171)(cid:60)(cid:38)(cid:165)1(cid:26)(cid:23)(cid:24)(cid:25)ABCD(cid:172)(cid:93)A(cid:313)(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:177)30°(cid:179)(cid:23)(cid:24)(cid:25)AEFG(cid:26)(cid:314)(cid:315)(cid:63)(cid:83)(cid:80)(cid:51)(cid:316)(cid:317)
(cid:49)(cid:50)(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:165)( )3 3 3 3
A(cid:73) B(cid:73) C(cid:73) D(cid:73)
3 6 9 12
(cid:15)(cid:116)(cid:117)7-2(cid:20)(cid:32)(cid:70)(cid:240)(cid:18)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:318)(cid:319)(cid:90)(cid:57)(cid:240)(cid:141)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:318)(cid:319)(cid:204)(cid:158)(cid:79)(cid:80)(cid:89)(cid:261)(cid:26)(cid:293)(cid:36)(cid:80)(cid:159)(cid:63)(cid:92)(cid:240)(cid:18)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:318)(cid:319)(cid:26)(cid:39)(cid:40)
(cid:165)a(cid:63)(cid:141)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:318)(cid:319)(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:165)b(cid:63)(cid:276)(cid:320)(cid:167)(cid:168)(cid:70)(cid:240)(cid:18)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:318)(cid:319)(cid:26)(cid:51)(cid:321)(cid:178)(cid:179)(cid:23)(cid:24)(cid:25)ABCD(cid:73)(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)ABCD(cid:26)
(cid:39)(cid:40)(cid:165) (cid:96)(cid:32)(cid:322)a(cid:63)b(cid:26)(cid:187)(cid:74)(cid:117)(cid:323)(cid:261)(cid:108)(cid:73)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)7-3(cid:20)(cid:96)24-25(cid:324)(cid:98)(cid:99)(cid:118)·(cid:278)(cid:279)(cid:325)(cid:263)·(cid:107)(cid:51)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:326)(cid:60)(cid:38)(cid:165)4(cid:26)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:172)(cid:245)(cid:93) (cid:313)(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:177)30°(cid:179)
(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:63)(cid:83)(cid:200)(cid:266)(cid:26)(cid:7)(cid:327)(cid:49)(cid:50)(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:62)(cid:169) (cid:73) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴
′ ′ ′
𝐴𝐵 𝐶 𝐷
【题型8 正方形中的最值】
(cid:15)(cid:95)8(cid:20)(cid:96)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:119)(cid:16)·(cid:107)(cid:164)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:60)(cid:38)(cid:165)3(cid:63)E(cid:165)(cid:208)(cid:93)D(cid:125)(cid:48)(cid:225)(cid:26)(cid:268)(cid:93)(cid:63)(cid:259) (cid:165)
(cid:57)(cid:60)(cid:260)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:73)(cid:328) = (cid:63)(cid:93)F(cid:63)G(cid:208)(cid:93)C(cid:26)(cid:329)𝐴𝐵(cid:330)𝐶(cid:50)𝐷(cid:206)(cid:165) (cid:63) (cid:63)(cid:83) + + (cid:26)(cid:52)(cid:141)(cid:53)(cid:165) 𝐷 𝐸 (cid:73)
𝐷𝐸𝐹𝐺 𝐷𝐸 𝑑1 𝑑2 𝑑3 𝑑1 𝑑2 𝑑3(cid:15)(cid:116)(cid:117)8-1(cid:20)(cid:96)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:144)(cid:120)(cid:331)(cid:332)·(cid:107)(cid:51)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:81)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:51)(cid:63)(cid:93) (cid:67) (cid:26)(cid:51)(cid:93)(cid:63)(cid:93) (cid:81) (cid:118)(cid:290)
(cid:268)(cid:63)(cid:259) (cid:165)(cid:60)(cid:299)(cid:333)(cid:260)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:63)(cid:167)(cid:168) (cid:63) (cid:63)(cid:82) =4(cid:63)(cid:83)𝐴𝐵𝐶𝐷+ (cid:26)(cid:52)𝐸(cid:141)𝐶(cid:53)𝐷(cid:165) (cid:73) 𝑃 𝐴𝐶
𝐶𝐸 𝐶𝐹𝐺𝐸 𝑃𝐷 𝑃𝐺 𝐵𝐶 𝑃𝐷 𝑃𝐺
(cid:15)(cid:116)(cid:117)8-2(cid:20)(cid:96)2025·(cid:119)(cid:120)(cid:334)(cid:263)·(cid:133)(cid:335)(cid:336)(cid:337)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:60)(cid:38)(cid:165)5(cid:63) (cid:165)(cid:86)(cid:34)(cid:36) (cid:118)(cid:57)(cid:268)(cid:93)(cid:63)(cid:259) (cid:165)
(cid:338)(cid:60)(cid:299)(cid:339)(cid:260)(cid:62)(cid:142)Rt (cid:63)(cid:167)(cid:168) (cid:63) (cid:63)(cid:83) (cid:192)(cid:38)𝐴𝐵(cid:26)𝐶(cid:52)𝐷(cid:141)(cid:53)(cid:165) 𝐹 (cid:73) 𝐵𝐷 𝐴𝐹
△𝐴𝐸𝐹 𝐶𝐸 𝐷𝐸 △𝐶𝐷𝐸
(cid:15)(cid:116)(cid:117)8-3(cid:20)(cid:96)24-25(cid:324)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:340)(cid:341)(cid:342)(cid:343)·(cid:254)(cid:37)(cid:255)(cid:256)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:60)(cid:38)(cid:165)2(cid:63)(cid:171) (cid:172)(cid:93) (cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:176)
(cid:177)(cid:57)(cid:126)(cid:34)(cid:35)(cid:178)(cid:179)(cid:36)(cid:37) (cid:63) (cid:69)(cid:50) (cid:94)(cid:262)(cid:36) (cid:169) (cid:73)(cid:81)(cid:176)(cid:177)(cid:91)(cid:265)𝐴(cid:51)𝐵(cid:63)𝐶𝐷(cid:36)(cid:37) (cid:26)(cid:52)(cid:18)(cid:53)𝐴(cid:165)𝐵 𝐵 (cid:73)
𝐵𝐸 𝐵𝐹 ∠𝐸𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐹 𝐵𝐹
【题型9 正方形中的路径长】
(cid:15)(cid:95)9(cid:20)(cid:96)23-24(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:119)(cid:16)(cid:183)(cid:184)·(cid:107)(cid:51)(cid:108)(cid:344)(cid:135)(cid:63)(cid:81)(cid:69)(cid:39)(cid:68)(cid:34)(cid:345)(cid:346)(cid:309)(cid:51)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:245)(cid:93)B(cid:63)A(cid:63)(cid:50)(cid:206)
(cid:81)x(cid:347)(cid:90)y(cid:347)(cid:26)(cid:23)(cid:348)(cid:347)(cid:118)(cid:63)(cid:245)(cid:93)C(cid:26)(cid:345)(cid:346)(cid:165)( )(cid:63)(cid:65)a(cid:63)b(cid:349)(cid:241)(cid:10) = +𝐴𝑂𝐵𝐶 (cid:63)(cid:93)D(cid:165)(cid:60) (cid:118)(cid:26)
(cid:57)(cid:66)(cid:268)(cid:93)(cid:63)(cid:171) (cid:281) (cid:350)(cid:45)(cid:63)(cid:178)(cid:179) 𝑎(cid:73),𝑏 𝑎−6 𝑏−6 6−𝑏 𝑂𝐴
△𝐵𝑂𝐷 𝐵𝐷 △𝐵𝐸𝐷(1)(cid:68)(cid:168)(cid:307)(cid:198)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:60)(cid:38)(cid:113)
(2)(cid:79)(cid:80)1(cid:63)(cid:82)(cid:93)D(cid:165)𝐴𝑂𝐵𝐶(cid:51)(cid:93)(cid:63)(cid:166)(cid:38) (cid:94) (cid:169)(cid:93)H(cid:73)
(cid:33) (cid:26)(cid:38)(cid:113) 𝐴𝑂 𝐷𝐸 𝐴𝐶
①(cid:167)𝐶𝐻(cid:64)(cid:166)(cid:38)(cid:94) (cid:169)(cid:93)F(cid:63)(cid:33) (cid:26)(cid:38)(cid:113)
②(3)(cid:79)(cid:80)𝐶𝐸2(cid:63)(cid:82)(cid:93)G𝐴𝑂(cid:165) (cid:118)(cid:57)(cid:93)(cid:63)𝐶𝐹(cid:65) =30°(cid:63)(cid:93)M(cid:165) (cid:51)(cid:93)(cid:63)(cid:167)(cid:168) (cid:73)(cid:251)(cid:93)D(cid:351)(cid:93)O(cid:352)(cid:353)(cid:281)y(cid:347)(cid:354)
(cid:348)(cid:347)(cid:290)(cid:268)(cid:63)(cid:179) (cid:207)(cid:178)𝐴(cid:52)𝐶(cid:18)(cid:53)(cid:174)(cid:355)(cid:356)∠(cid:63)𝐶(cid:275)𝐵𝐺(cid:68)(cid:168)(cid:307)(cid:198)(cid:93)D(cid:290)(cid:268)𝐵𝐸(cid:26)(cid:54)(cid:55)(cid:38)(cid:73) 𝐺𝑀
(cid:15)(cid:116)(cid:117)9-1(cid:20)(cid:96)𝐺2𝑀025·(cid:144)(cid:16)(cid:357)(cid:289)·(cid:132)(cid:133)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:81)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:51)(cid:63) =1(cid:63) (cid:67)(cid:60) (cid:118)(cid:26)(cid:57)(cid:66)(cid:268)(cid:93)(cid:63)(cid:201)(cid:93) (cid:352)
(cid:353)(cid:290)(cid:268)(cid:63)(cid:290)(cid:268)(cid:179) (cid:355)(cid:356)(cid:73)(cid:167)(cid:168) (cid:63)(cid:259) (cid:165)(cid:68)(cid:34)(cid:60)(cid:299)(cid:339)(cid:358)𝐴𝐵(cid:260)𝐶𝐷(cid:62)(cid:142)(cid:68)𝐴(cid:34)𝐵(cid:143)(cid:34)(cid:25)𝑃(cid:63)(cid:359)(cid:57)𝐵(cid:66)𝐶 (cid:245)(cid:93)(cid:165) (cid:73)(cid:83)(cid:93) (cid:351) 𝐵(cid:290)
(cid:268)(cid:179) (cid:26)(cid:91)(cid:265)(cid:51)(cid:63)𝐶(cid:93) (cid:26)(cid:290)(cid:268)(cid:54)𝐴𝑃(cid:55)(cid:38)(cid:165)𝐴 𝑃 (cid:73) 𝑄 𝑃 𝐵
𝐶 𝑄
(cid:15)(cid:116)(cid:117)9-2(cid:20)(cid:96)2025(cid:324)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:202)(cid:186)·(cid:360)(cid:21)(cid:255)(cid:256)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:81)(cid:115)(cid:25) (cid:51)(cid:63) = =4(cid:63)(cid:268)(cid:93)E(cid:351)(cid:93)A(cid:290)(cid:268)
(cid:179)(cid:93)D(cid:63)(cid:259) (cid:165)(cid:60)(cid:81) (cid:26)(cid:339)(cid:358)(cid:361)(cid:362)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:63)(cid:167)(cid:168) (cid:63)(cid:83)𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:26)(cid:52)(cid:141)𝐴(cid:53)𝐵(cid:165) 2 , 𝐴 𝐷 (cid:63)(cid:93)F(cid:290)(cid:268)(cid:26)(cid:54)(cid:55)(cid:38)
(cid:165) (cid:73)𝐶𝐸 𝐶𝐸 𝐶𝐸𝐹𝐺 𝐴𝐹 𝐴𝐹
(cid:15)(cid:116)(cid:117)9-3(cid:20)(cid:96)23-24(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:103)(cid:230)(cid:363)(cid:263)·(cid:107)(cid:164)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:60)(cid:38)(cid:165)4(cid:63)(cid:93) (cid:351)(cid:93) (cid:198)(cid:267)(cid:281)(cid:36)(cid:37) (cid:290)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐵 𝐵𝐶(cid:268)(cid:63)(cid:179)(cid:364) (cid:93)(cid:174)(cid:290)(cid:268)(cid:355)(cid:356)(cid:63)(cid:259)(cid:93) (cid:165)(cid:51)(cid:321)(cid:63)(cid:171)(cid:36)(cid:37) (cid:172)(cid:298)(cid:93) (cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:177)90°(cid:63)(cid:178)(cid:179)(cid:36)(cid:37) (cid:73)
𝐶 𝐸 𝐸𝐴 𝐸 𝐸𝐹
(1)(cid:91)(cid:93) (cid:260) (cid:169)(cid:93)G(cid:63)(cid:33)(cid:43)(cid:10) = (cid:113)
(2)(cid:167)(cid:168)𝐹 (cid:94)𝐹𝐺⊥(cid:169)𝐵(cid:93)𝐶 (cid:63)(cid:167)(cid:168) (cid:63) 𝐵𝐸 (cid:26)𝐹𝐺(cid:192)(cid:38)(cid:67)(cid:304)(cid:365)(cid:93) (cid:26)(cid:290)(cid:268)(cid:124)(cid:116)(cid:366)(cid:63)(cid:79)(cid:125)(cid:116)(cid:63)(cid:33) (cid:26)(cid:192)(cid:38)(cid:63)(cid:79)(cid:116)(cid:63)
(cid:275)(cid:306)(cid:44)(cid:29)𝐴𝐹(cid:201)(cid:113)𝐶𝐷 𝐻 𝐸𝐻 △𝐸𝐶𝐻 𝐸 △𝐸𝐶𝐻
(3)(cid:367)(cid:33)(cid:81)(cid:368)(cid:66)(cid:290)(cid:268)(cid:91)(cid:265)(cid:51)(cid:63)(cid:93) (cid:26)(cid:290)(cid:268)(cid:54)(cid:55)(cid:38)(cid:73)
𝐹
