文档文本内容
专题 1.5 直角三角形斜边上的中线（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:20)............................................................................................1
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:26)(cid:37)(cid:20)....................................................................................................2
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:38)(cid:36)(cid:20)....................................................................................................3
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:39)(cid:40)(cid:20)....................................................................................................4
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:20)........................................................................................................5
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:20)........................................................................................6
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:21)(cid:20)........................................................................................7
知识点 直角三角形斜边上的中线
1. 性质：(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:32)(cid:56)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:59)斜边(cid:31)(cid:60)(cid:61)．
2. 拓展：(cid:60)(cid:62)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:32)(cid:56)(cid:63)(cid:64)(cid:60)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:59)(cid:65)(cid:66)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:56)(cid:67)(cid:68)(cid:65)(cid:62)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:65)(cid:66)(cid:30)(cid:72)斜边(cid:31)(cid:25)
(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)．(cid:73)(cid:24)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:71)(cid:78)(cid:75)直角(cid:27)(cid:26)(cid:28)．
【题型1 利用直角三角形斜边的中线求线段长度】
(cid:15)(cid:79)1(cid:20)(cid:80)2025·(cid:81)(cid:82)(cid:36)(cid:83)·(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:55)Rt (cid:32)(cid:56) = = (cid:59)(cid:89)D(cid:56)E(cid:70)
(cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:90)(cid:91) =8(cid:56)(cid:92) (cid:31)(cid:36)(cid:72)(cid:80) (cid:88) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 90°,∠𝐵 30°,𝐶𝐷⊥𝐴𝐵 𝐴𝐵
𝐴𝐵 𝐷𝐸
A(cid:90)1 B(cid:90)2 C(cid:90)4 D(cid:90)6
(cid:15)(cid:93)(cid:94)1-1(cid:20)(cid:80)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:99)(cid:82)(cid:100)(cid:42)·(cid:101)(cid:32)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:55)(cid:102)(cid:30)(cid:28) (cid:32)(cid:56) = =90°(cid:56)(cid:89)O(cid:70)(cid:103)
(cid:26)(cid:33) (cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)(cid:91) =3(cid:56)(cid:92) (cid:31)(cid:36)(cid:72) (cid:90) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐶
𝐴𝐶 𝑂𝐵 𝑂𝐷(cid:15)(cid:93)(cid:94)1-2(cid:20)(cid:80)2025·(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:27)(cid:84)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56) (cid:31)(cid:108)(cid:89) (cid:43) (cid:31)(cid:32)(cid:89) (cid:109)(cid:55)(cid:110)(cid:111)(cid:57)(cid:56)(cid:112) (cid:56) (cid:113)(cid:89)(cid:55)(cid:110)(cid:111)
(cid:57)(cid:103)(cid:114)(cid:31)(cid:110)(cid:115)(cid:116)(cid:72) (cid:56)1(cid:56)(cid:117) =90°(cid:118)(cid:56)△𝐴𝐵(cid:31)𝐶(cid:36)(cid:72) 𝐶 (cid:90)𝐴𝐵 𝐷 𝐶 𝐷
−3 ∠𝐵𝐶𝐴 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:93)(cid:94)1-3(cid:20)(cid:80)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:16)(cid:119)·(cid:101)(cid:32)(cid:88)Rt (cid:32)(cid:56) =90°(cid:56) (cid:70) (cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:56)(cid:112)
+ =15(cid:56)(cid:92) (cid:31)(cid:36)(cid:72) (cid:90) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵
𝐶
【
𝐷
题型
𝐴𝐵2
利用直角
𝐶
三
𝐷
角形斜边的中线求角度】
(cid:15)(cid:79)2(cid:20)(cid:80)2025·(cid:120)(cid:105)·(cid:32)(cid:121)(cid:122)(cid:21)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:55) (cid:32)(cid:56) =90°(cid:56) =20°(cid:56) (cid:72) (cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:56)
(cid:56)(cid:92)(cid:47)(cid:32)(cid:43) (cid:123)(cid:107)(cid:31)(cid:26)(cid:124)(cid:125)(cid:80) (cid:88)△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴 𝐶𝐷 𝐴𝐵
𝐷𝐸⊥𝐴𝐶 ∠𝐴
A(cid:90)2(cid:62) B(cid:90)3(cid:62) C(cid:90)4(cid:62) D(cid:90)5(cid:62)
(cid:15)(cid:93)(cid:94)2-1(cid:20)(cid:80)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:126)(cid:16)(cid:127)(cid:128)·(cid:129)(cid:35)(cid:130)(cid:131)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:55) (cid:32)(cid:56) =90°(cid:56) =60°(cid:56) (cid:72)
(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)(cid:132)(cid:133) (cid:56)(cid:134)(cid:89) (cid:46) (cid:31)(cid:135)(cid:136)(cid:33) (cid:56)(cid:92) (cid:31)(cid:37)(cid:110)(cid:72)△(cid:80)𝐴𝐵 𝐶 (cid:88) ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴 𝐷 𝐴𝐵
𝐶𝐷 𝐵 𝐶𝐷 𝐸𝐹 ∠𝐶𝐵𝐹
A(cid:90)60° B(cid:90)45° C(cid:90)30° D(cid:90)15°
(cid:15)(cid:93)(cid:94)2-2(cid:20)(cid:80)2025·(cid:137)(cid:138)(cid:126)(cid:105)·(cid:60)(cid:84)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56) (cid:32)(cid:56) =90°(cid:56) =62°(cid:56)(cid:115)(cid:116)(cid:71)(cid:89)A(cid:56)C(cid:72)(cid:139)(cid:140)(cid:56)
△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶1
(cid:18)(cid:59) (cid:31)(cid:36)(cid:72)(cid:61)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:56)(cid:113)(cid:143)(cid:80)(cid:144)(cid:55)(cid:139)(cid:31)(cid:61)(cid:141)(cid:145)(cid:58)(cid:88)(cid:145)(cid:146)(cid:59)E(cid:56)F(cid:113)(cid:89)(cid:56)(cid:132)(cid:133) (cid:56) (cid:43) (cid:146)(cid:59)(cid:89)O(cid:56)(cid:92)
2
(cid:31)(cid:18)(cid:147)𝐴(cid:72)𝐶 (cid:80) (cid:88) 𝐸𝐹 𝐸𝐹 𝐴𝐶 ∠𝐴𝐵𝑂
A(cid:90)28° B(cid:90)30° C(cid:90)31° D(cid:90)36°
(cid:15)(cid:93)(cid:94)2-3(cid:20)(cid:80)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:126)(cid:16)(cid:148)(cid:149)(cid:150)·(cid:101)(cid:32)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:60)(cid:151)(cid:152)(cid:153) (cid:29)(cid:154)(cid:55)(cid:155)(cid:25)(cid:31)(cid:156) (cid:57)(cid:56) =32°(cid:56)
(cid:152)(cid:153)(cid:31)(cid:108)(cid:157) (cid:158)(cid:156)(cid:39)(cid:98)(cid:159)(cid:160) (cid:161)(cid:162)(cid:56)(cid:163)(cid:118) =32°(cid:56) (cid:56) (cid:115)𝐴(cid:116)𝐵(cid:70)(cid:29)(cid:30) (cid:56) 𝐴(cid:57)𝐶(cid:31)(cid:32)∠(cid:33)𝐵(cid:56)𝐴𝐶(cid:92)
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
(cid:31)(cid:37)(cid:110)(cid:72) 𝐴 (cid:90) 𝐴 ∠𝐴 𝐵 𝐶 𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴 𝐵 ∠𝐷𝐶𝐷
【题型3 利用直角三角形斜边的中线求周长】
(cid:15)(cid:79)3(cid:20)(cid:80)2025(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:81)(cid:82)·(cid:164)(cid:21)(cid:130)(cid:131)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:55) (cid:32)(cid:56) (cid:59)(cid:89)F(cid:56) (cid:59)(cid:89)E(cid:56)M(cid:72)
(cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)(cid:91) =4(cid:56) =10(cid:56)(cid:34) (cid:31)(cid:38)(cid:36)(cid:90) △𝐴𝐵𝐶 𝐶𝐹⊥𝐴𝐵 𝐵𝐸⊥𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝐸𝐹 𝐵𝐶 △𝐸𝐹𝑀
(cid:15)(cid:93)(cid:94)3-1(cid:20)(cid:80)24-25(cid:165)(cid:96)(cid:97)(cid:57)·(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:169)·(cid:101)(cid:32)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56) (cid:32)(cid:56) = =10(cid:56) =6(cid:56) (cid:135)(cid:115)
(cid:146) (cid:59)(cid:89) (cid:56)(cid:89) (cid:72) (cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)(cid:132)(cid:133) (cid:56)(cid:92) (cid:31)(cid:38)△(cid:36)𝐴(cid:70)𝐵(cid:80)𝐶 (cid:88)𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
𝐵𝐶 𝐷 𝐸 𝐴𝐶 𝐷𝐸 △𝐶𝐷𝐸A(cid:90)20 B(cid:90)12 C(cid:90)16 D(cid:90)13
(cid:15)(cid:93)(cid:94)3-2(cid:20)(cid:80)22-23(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:57)·(cid:104)(cid:170)(cid:171)(cid:172)·(cid:101)(cid:32)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:102)(cid:30)(cid:28) (cid:32)(cid:56) = =90°(cid:56)E(cid:70)(cid:103)(cid:26)(cid:33)
(cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)(cid:132)(cid:133) (cid:173) (cid:90)(cid:91) =10(cid:56) =8(cid:56) (cid:34) (cid:31)𝐴(cid:38)𝐵𝐶(cid:36)𝐷(cid:90) ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐶
𝐴𝐶 𝐵𝐸 𝐷𝐸 𝐴𝐶 𝐵𝐷 △𝐵𝐷𝐸
(cid:15)(cid:93)(cid:94)3-3(cid:20)(cid:80)22-23(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:174)(cid:104)(cid:167)(cid:175)·(cid:101)(cid:176)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56) (cid:72)(cid:58)(cid:177)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:56) (cid:72)(cid:29)(cid:30) (cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)(cid:89)
(cid:55) (cid:30)(cid:57)(cid:56)(cid:178) (cid:158) (cid:52)(cid:53)(cid:160) (cid:56) (cid:43) (cid:56) △(cid:115)𝐴𝐵(cid:116)𝐶(cid:146)(cid:59) (cid:56) (cid:113)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:179)𝐷(cid:180) (cid:31)(cid:36)𝐵𝐶(cid:56)(cid:92)(cid:77)(cid:34)(cid:181)(cid:98)𝐸
(cid:182)𝐴(cid:183)𝐶(cid:62)(cid:47)(cid:28)(cid:31)(cid:38)△(cid:36)𝐷(cid:80)𝐶𝐸 (cid:88)𝐷𝐸 △𝐷𝐹𝐸 𝐴𝐵 𝐹𝐸 𝐹𝐷 𝐺 𝐻 𝐴𝐵
A(cid:90) B(cid:90) C(cid:90)(cid:102)(cid:30)(cid:28) D(cid:90)(cid:102)(cid:30)(cid:28)
【题型4 △ 利 𝐴𝐺 用 𝐸 直角三角形斜 △ 边 𝐹𝐻 的 𝐺 中线求面积】 𝐷𝐻𝐺𝐸 𝐵𝐷𝐸𝐺
(cid:15)(cid:79)4(cid:20)(cid:80)22-23(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:57)·(cid:174)(cid:104)(cid:184)(cid:185)·(cid:101)(cid:176)(cid:88)(cid:55) (cid:32)(cid:56) (cid:31)(cid:37)(cid:110)(cid:186)(cid:187)(cid:72)1:5:6(cid:56) (cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:36)(cid:70)
2(cid:56)(cid:92) (cid:31)(cid:39)(cid:40)(cid:70)(cid:80)(cid:188)(cid:188)(cid:88) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴,∠𝐵,∠𝐶 𝐴𝐵
A(cid:90)△1𝐴𝐵𝐶 B(cid:90)2 C(cid:90)3 D(cid:90)4
(cid:15)(cid:93)(cid:94)4-1(cid:20)(cid:80)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:128)(cid:189)(cid:190)(cid:191)·(cid:101)(cid:32)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:55)Rt (cid:32)(cid:56) (cid:70)(cid:29)(cid:30) (cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)(cid:71) (cid:72)(cid:30)(cid:46)(cid:192)
(cid:193)(cid:28) (cid:90)(cid:91) =10(cid:56)(cid:92)(cid:192)(cid:193)(cid:28) (cid:31)(cid:39)(cid:40)(cid:72)(cid:80) (cid:88) △𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷
𝐴𝐷𝐸𝐹 𝐵𝐶 𝐴𝐷𝐸𝐹A(cid:90)5 B(cid:90)100 C(cid:90)25 D(cid:90)15
(cid:15)(cid:93)(cid:94)4-2(cid:20)(cid:80)2022·(cid:174)(cid:104)(cid:81)(cid:169)·(cid:32)(cid:121)(cid:122)(cid:21)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:179)(cid:180)(cid:55)(cid:194)(cid:26) ABC(cid:32)(cid:56)AB(cid:195)AC(cid:56)AD(cid:70) ABC(cid:31)(cid:26)(cid:135)(cid:115)(cid:33)(cid:56)
E(cid:70)AD(cid:57)(cid:60)(cid:89)(cid:56)(cid:132)(cid:196)EB(cid:56)EC(cid:90)(cid:91) EBC(cid:195)45°(cid:56)BC(cid:195)6(cid:56)(cid:92)△EBC(cid:31)(cid:39)(cid:40)(cid:70)(cid:80) (cid:88) △
∠ △
A(cid:90)12 B(cid:90)9 C(cid:90)6 D(cid:90)3 2
(cid:15)(cid:93)(cid:94)4-3(cid:20)(cid:80)22-23(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:57)·(cid:197)(cid:198)(cid:104)(cid:18)(cid:199)·(cid:101)(cid:176)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:55)(cid:60)(cid:62)(cid:58)(cid:30)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:200)(cid:201)(cid:32)(cid:202)(cid:27)(cid:30)(cid:32)(cid:89)(cid:56)(cid:71)(cid:203)(cid:33)(cid:72)(cid:52)
(cid:204)(cid:52)(cid:53)(cid:200)(cid:201)(cid:56)(cid:91)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:200)(cid:201)(cid:31)(cid:39)(cid:40)(cid:70)8cm (cid:56)(cid:92)(cid:47)(cid:32)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:115)(cid:31)(cid:39)(cid:40)(cid:70)(cid:80) (cid:88)
2
A(cid:90)2cm B(cid:90)3cm C(cid:90)4cm D(cid:90)5cm
2 2 2 2
【题型5 利用直角三角形斜边的中线证明】
(cid:15)(cid:79)5(cid:20)(cid:80)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:57)·(cid:208)(cid:189)(cid:208)(cid:169)·(cid:101)(cid:32)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:55)Rt (cid:32)(cid:56) =90°(cid:56) =30°(cid:56)(cid:89) (cid:70) (cid:31)(cid:32)
(cid:89)(cid:56)(cid:89) (cid:72)(cid:30) (cid:57)(cid:60)(cid:89)(cid:56)(cid:132)(cid:133) (cid:56) (cid:56)(cid:71) 为(cid:30)(cid:55) (cid:31)△(cid:209)𝐴𝐵(cid:210)𝐶(cid:46)(cid:58)(cid:30)∠𝐴(cid:27)𝐶𝐵(cid:26)(cid:28) (cid:56)∠(cid:132)𝐴(cid:133) (cid:90) 𝐷 𝐴𝐵
𝐸 𝐴𝐶 𝐶𝐷 𝐷𝐸 𝐷𝐸 𝐷𝐸 𝐷𝐸𝐹 𝐵𝐹
(1)(cid:34)(cid:41)(cid:10) (cid:72)(cid:58)(cid:30)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:211)
(2)(cid:34)(cid:41)(cid:10)△𝐵𝐶𝐷= (cid:90)
(cid:15)(cid:93)(cid:94)5-1∠(cid:20)𝐷𝐵(cid:80)𝐹24-2∠5𝐷(cid:95)𝐶𝐸(cid:96)(cid:97)(cid:57)·(cid:104)(cid:170)(cid:212)(cid:213)·(cid:101)(cid:176)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:55) (cid:32)(cid:56) (cid:135)(cid:115) (cid:56) (cid:59)(cid:89) (cid:56) (cid:72)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐶𝐷⊥𝐴𝐷 𝐷 𝐸𝐴𝐶(cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)(cid:132)(cid:133) (cid:90)(cid:34)(cid:41)(cid:10) (cid:90)
𝐷𝐸 𝐷𝐸∥𝐴𝐵
(cid:15)(cid:93)(cid:94)5-2(cid:20)(cid:80)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:57)·(cid:214)(cid:215)·(cid:216)(cid:217)(cid:46)(cid:218)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:55)(cid:102)(cid:30)(cid:28) (cid:32)(cid:56) = =90°(cid:56) (cid:173) (cid:115)
(cid:116)(cid:70) (cid:173) (cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)(cid:41)(cid:42)(cid:10) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐶 𝑀 𝑁
𝐴𝐶 𝐵𝐷
(1) = (cid:211)
(2)𝑀𝐷 𝑀𝐵(cid:90)
(cid:15)(cid:93)𝑀(cid:94)𝑁⊥5-𝐵3𝐷(cid:20)(cid:80)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:57)·(cid:81)(cid:16)(cid:219)(cid:220)·(cid:101)(cid:176)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:89)B(cid:55)(cid:33)(cid:35) (cid:57)(cid:56)(cid:89)E(cid:55)(cid:33)(cid:35) (cid:57)(cid:56)
= =90°(cid:56) = (cid:56) = (cid:56)M(cid:56)N(cid:115)(cid:116)(cid:70) (cid:56) 𝐴(cid:31)𝐶(cid:32)(cid:89)(cid:90) 𝐵𝐷
∠𝐴𝐵𝐷 ∠𝐷𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐷𝐵 𝐸𝐵 𝐶𝐵 𝐴𝐸 𝐶𝐷
(1)(cid:34)(cid:41)(cid:10) (cid:211)
(2)(cid:221)(cid:222)(cid:223)△𝐴(cid:224)𝐵𝐸≌(cid:31)△(cid:110)𝐷(cid:225)𝐵𝐶(cid:3)(cid:226)(cid:224)(cid:161)(cid:162)(cid:3)(cid:226)(cid:56)(cid:227)(cid:41)(cid:42)(cid:228)(cid:31)(cid:196)(cid:229)(cid:90)
【题型6 𝐵 直 𝑀 角 𝐵 三 𝑁 角形斜边的中线与尺规作图的综合】
(cid:15)(cid:79)6(cid:20)(cid:80)2025·(cid:120)(cid:105)·(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:55) (cid:32)(cid:56) =90°(cid:56)(cid:230)(cid:24)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:231)(cid:55)(cid:30) (cid:57)(cid:34)(cid:46)(cid:60)(cid:89) (cid:56)(cid:132)
(cid:133) (cid:56)(cid:73) (cid:115) (cid:72)(cid:113)(cid:62)(cid:58)(cid:177)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:90)(cid:80)△(cid:232)𝐴𝐵(cid:233)𝐶(cid:46)(cid:47)∠(cid:204)𝐶(cid:234)(cid:56)(cid:235)(cid:236)(cid:46)(cid:231)(cid:88) 𝐴𝐵 𝑃
𝐶𝑃 𝐶𝑃 △𝐴𝐵𝐶(cid:15)(cid:93)(cid:94)6-1(cid:20)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:89)E(cid:72)Rt ABC(cid:29)(cid:30)AB(cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)(cid:132)(cid:133)CE(cid:56)(cid:71)(cid:89)A(cid:72)(cid:139)(cid:140)(cid:56)AC(cid:72)(cid:61)(cid:141)(cid:31)(cid:139)(cid:143)(cid:146)AB(cid:59)
(cid:89)D(cid:56)(cid:92)BD CE(cid:90)(cid:80)(cid:237)“(cid:238)△”(cid:56)“(cid:239)”(cid:240)“(cid:195)”(cid:88)
(cid:15)(cid:93)(cid:94)6-2(cid:20)(cid:80)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:102)(cid:241)(cid:242)(cid:169)·(cid:101)(cid:176)(cid:88) (cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:55)Rt (cid:32)(cid:56) =90°(cid:56)(cid:115)(cid:116)(cid:71)(cid:89)C(cid:56)B(cid:72)(cid:139)
1 △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶
(cid:140)(cid:56)(cid:71)(cid:18)(cid:59) (cid:72)(cid:61)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:56)(cid:113)(cid:143)(cid:145)(cid:146)(cid:59)(cid:89)M(cid:56)N(cid:56)(cid:46)(cid:25)(cid:33) (cid:115)(cid:116)(cid:146) (cid:59)(cid:89)D(cid:56)E(cid:56)(cid:132)(cid:133) (cid:145)(cid:146)(cid:59)
2
(cid:89)P(cid:90)(cid:91) 𝐵=𝐶23°(cid:56)(cid:92) (cid:31)(cid:18)(cid:147)(cid:72) (cid:90) 𝑀𝑁 𝐴𝐵,𝐶𝐵 𝐶𝐷,𝐴𝐸
∠𝐵 ∠𝐴𝑃𝐶
(cid:15)(cid:93)(cid:94)6-3(cid:20)(cid:80)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:243)(cid:244)(cid:243)(cid:169)·(cid:101)(cid:32)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56) (cid:56)(cid:89) (cid:55) (cid:57)(cid:56)(cid:112)(cid:245)(cid:246) = (cid:90)
𝐴𝐷∥𝐵𝐶 𝐸 𝐴𝐷 ∠𝐴𝐵𝐸 2∠𝐸𝐵𝐶
(1)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:10)(cid:55) (cid:57)(cid:34)(cid:46)(cid:89) (cid:56)(cid:73)(cid:247) + =90°(cid:211)(cid:80)(cid:235)(cid:236)(cid:46)(cid:231)(cid:56)(cid:232)(cid:233)(cid:46)(cid:47)(cid:204)(cid:234)(cid:88)
(2)(cid:91) (cid:146) (cid:59)(cid:89)𝐵𝐶(cid:56) (cid:70) (cid:31)𝐺 (cid:32)(cid:89)(cid:56)∠(cid:132)𝐴𝐵(cid:133)𝐶 (cid:56)∠𝐵(cid:34)𝐴(cid:41)𝐺(cid:10) = (cid:90)
【题型
𝐴𝐺7 𝐵
利
𝐹
用直
𝐻
角三
𝐹
角形
𝐸𝐻
斜边的中线解决
𝐴
折
𝐹
叠问题】
𝐴𝐵 𝐴𝐹
(cid:15)(cid:79)7(cid:20)(cid:80)23-24(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:57)·(cid:104)(cid:170)(cid:248)(cid:169)·(cid:101)(cid:32)(cid:88)(cid:63)(cid:47)1(cid:56)(cid:55) (cid:32)(cid:56) =90°(cid:56) (cid:72) (cid:32)(cid:89)(cid:90)(cid:178) (cid:158)
(cid:249)(cid:52)(cid:56)(cid:247)(cid:250) (cid:80)(cid:63)(cid:47)2(cid:88)(cid:56) (cid:72) (cid:57)(cid:60)(cid:89)(cid:56)(cid:251)(cid:178)△𝐴𝐵𝐶 (cid:158)∠𝐴𝐶(cid:249)𝐵(cid:52)(cid:56)(cid:73)(cid:247)𝑀(cid:43)𝐴𝐵(cid:252)(cid:49)(cid:80)(cid:63)(cid:47)△3𝐴(cid:88)𝐶(cid:56)𝑀(cid:253)
𝐶(cid:181)𝑀(cid:98)(cid:182)(cid:102)(cid:62)(cid:254)(cid:21)△(cid:10)𝐷𝐶𝑀 (cid:211) 𝑃 𝐶𝐷 (cid:211) △𝐷𝑀=𝑃 𝑀𝑃(cid:211) 𝐷 (cid:90)𝐵(cid:255)(cid:32)(cid:192)(cid:78)(cid:31)(cid:70)(cid:80) (cid:88)
①𝐵𝑃∥𝐴𝐶 ②△𝑃𝐵𝐶≌△𝑃𝑀𝐶 ③∠𝐵𝑃𝐶 ∠𝐵𝑀𝐶 ④𝑃𝐶⊥𝐵𝑀A(cid:90) B(cid:90) C(cid:90) D(cid:90)
(cid:15)(cid:93)(cid:94)①7-1④(cid:20)(cid:80)22-23(cid:95)(cid:96)(cid:97)②(cid:57)④·(cid:104)(cid:170)(cid:82)(cid:119)·(cid:101)(cid:176)(cid:88)(cid:63)①(cid:47)③(cid:56)(cid:55)Rt (cid:32)(cid:56) ①③=④90°(cid:56) =54°(cid:56) (cid:70)(cid:29)(cid:30)
(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:56)(cid:178) (cid:158) (cid:249)(cid:52)(cid:56)(cid:73)(cid:89)B(cid:256)(cid:55)(cid:89)F(cid:257)(cid:56)(cid:33)△(cid:35)𝐴𝐵(cid:43)𝐶 (cid:145)∠(cid:146)𝐵𝐴(cid:59)𝐶(cid:89)E(cid:56)(cid:92)∠𝐶 (cid:31)(cid:37)(cid:110)𝐴𝐷(cid:72)(cid:80) (cid:88)
𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐹 𝐵𝐶 ∠𝐴𝐸𝐷
A(cid:90)120° B(cid:90)108° C(cid:90)72° D(cid:90)36°
(cid:15)(cid:93)(cid:94)7-2(cid:20)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:55) (cid:32)(cid:56) =90°(cid:56) (cid:56) (cid:115)(cid:116)(cid:72) (cid:56) (cid:57)(cid:60)(cid:89)(cid:56)(cid:178) (cid:56) (cid:158) (cid:56) (cid:249)(cid:52)(cid:56)
(cid:89) (cid:56) (cid:258)(cid:259)(cid:252)(cid:49)(cid:59)(cid:89)Δ(cid:257)𝐴𝐵(cid:56)𝐶(cid:91) ∠𝐴𝐶(cid:32)𝐵(cid:125)(cid:60)(cid:62)(cid:26)𝐷(cid:58)(cid:59)𝐸48°(cid:56)(cid:92)𝐴𝐵 𝐴=𝐶 (cid:90) Δ𝐵𝐶𝐷 Δ𝐴𝐷𝐸 𝐶𝐷 𝐷𝐸
𝐴 𝐵 𝑃 Δ𝑃𝐶𝐷 ∠𝐴
(cid:15)(cid:93)(cid:94)7-3(cid:20)(cid:80)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:57)·(cid:104)(cid:170)(cid:82)(cid:119)·(cid:101)(cid:176)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:55) (cid:32)(cid:56) =90°(cid:56)D(cid:70) (cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)(cid:260)
(cid:158)(cid:261) (cid:249)(cid:52)(cid:247)(cid:250) (cid:56)(cid:132)(cid:133) (cid:56)(cid:91) = (cid:56)(cid:92) △𝐴(cid:72)𝐵(cid:80)𝐶 (cid:88)∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 △𝐵𝐶𝐷
′ ′ ′
𝐵𝐷 △𝐵𝐶 𝐷 𝐴𝐶 ∠𝐶 𝛼 ∠𝐶 𝐴𝐵1
A(cid:90) B(cid:90) C(cid:90) D(cid:90)
2
𝛼 90°−𝛼 180°−2𝛼 2𝛼−90°
