文档文本内容
专题 2.4 直角三角形斜边上的中线（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:19)............................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:25)(cid:36)(cid:19)....................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:37)(cid:35)(cid:19)....................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:38)(cid:39)(cid:19)....................................................................................................9
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:19)......................................................................................................12
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:30)(cid:47)(cid:48)(cid:19)......................................................................................16
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:20)(cid:19)......................................................................................19
知识点 直角三角形斜边上的中线
+
A
1. 性质：(cid:54)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:31)(cid:55)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:58)斜边(cid:30)(cid:59)(cid:60)． 科 A
全
★
号
众
公
2. 拓展：(cid:59)(cid:61)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:31)(cid:55)(cid:62)(cid:63)(cid:59)(cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)关(cid:57) 注 (cid:58)(cid:64)(cid:65)(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:60)(cid:55)(cid:66)(cid:67)(cid:64)(cid:61)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:64)(cid:65)(cid:29)(cid:71)斜边(cid:30)(cid:24)
，
源
资
辅
(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)．(cid:72)(cid:23)(cid:73)(cid:74)(cid:75)教(cid:76)(cid:70)(cid:77)(cid:74)直角(cid:26)(cid:25)(cid:27)．
【题型1 利用直角三角形斜边的中线求线段长度】
(cid:15)(cid:78)1(cid:19)(cid:79)2025·(cid:80)(cid:81)(cid:35)(cid:82)·(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:62)(cid:46)(cid:55)(cid:54)Rt (cid:31)(cid:55) = = (cid:58)(cid:88)D(cid:55)E(cid:69)
(cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:89)(cid:90) =8(cid:55)(cid:91) (cid:30)(cid:35)(cid:71)(cid:79) (cid:87) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 90°,∠𝐵 30°,𝐶𝐷⊥𝐴𝐵 𝐴𝐵
𝐴𝐵 𝐷𝐸
A(cid:89)1 B(cid:89)2 C(cid:89)4 D(cid:89)6
(cid:15)(cid:92)(cid:93)(cid:19)B
(cid:15)(cid:94)(cid:95)(cid:19)(cid:96)(cid:20)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:55)(cid:57)(cid:29)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:104)(cid:74)(cid:105)(cid:102)(cid:103)(cid:55)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:55)(cid:57)
(cid:29)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:104)(cid:74)(cid:105)(cid:102)(cid:103)(cid:69)(cid:49)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:110)(cid:89)(cid:111)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:76)(cid:113) = = =4(cid:55)(cid:114)(cid:115)(cid:113)(cid:116) (cid:69)
(cid:57)(cid:29)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:55)(cid:117)(cid:22)(cid:23)(cid:57)(cid:29)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:118)(cid:76)(cid:33)(cid:49)(cid:89) 𝐴𝐸 𝐶𝐸 𝐵𝐸 △𝐴𝐶𝐸
(cid:15)(cid:119)(cid:49)(cid:19)(cid:49)(cid:10) (cid:54)Rt (cid:31)(cid:55)E(cid:69) (cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:55) =8(cid:55)
∵ △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐵= = =4(cid:55)
∴𝐴𝐸 =𝐶𝐸 𝐵=𝐸30°(cid:55)
∴∠𝐵 ∠=𝐵𝐶𝐸 =60°(cid:55)
∴∠𝐴𝐶𝐸 (cid:69)9(cid:57)0°(cid:29)−3(cid:26)0(cid:25)° (cid:27)(cid:55)
∴△𝐴𝐶𝐸 (cid:55)
∵𝐶𝐷⊥=𝐴𝐵 =2(cid:55)
(cid:120)∴𝐷(cid:121)𝐸(cid:10)B𝐴𝐷
(cid:15)(cid:122)(cid:123)1-1(cid:19)(cid:79)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:128)(cid:81)(cid:129)(cid:41)·(cid:130)(cid:31)(cid:87)(cid:62)(cid:46)(cid:55)(cid:54)(cid:131)(cid:29)(cid:27) (cid:31)(cid:55) = =90°(cid:55)(cid:88)O(cid:69)(cid:132)
(cid:25)(cid:32) (cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:55)(cid:90) =3(cid:55)(cid:91) (cid:30)(cid:35)(cid:71) (cid:89) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐶
𝐴𝐶 𝑂𝐵 𝑂𝐷
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
(cid:15)(cid:92)(cid:93)(cid:19)3 关
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:94)(cid:95)(cid:19)(cid:96)(cid:20)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:24)教(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:55)(cid:108)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:55)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:60)(cid:69)(cid:49)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:110)(cid:89)
(cid:54)Rt (cid:105)Rt (cid:55)(cid:133)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:60)(cid:113)(cid:116) = = 1 (cid:55)(cid:118)(cid:76)(cid:33)(cid:49)(cid:89)
2
(cid:15)(cid:119)(cid:49) △ (cid:19) 𝐴𝐷 (cid:49) 𝐶 (cid:10) △𝐴𝐵 = 𝐶 =90°(cid:55)(cid:88)O(cid:69)(cid:132)(cid:25)(cid:32) (cid:30)(cid:31)(cid:88) 𝑂𝐷 (cid:55) 𝑂𝐵 𝐴𝐶
= =
1∵∠𝐴
=
𝐵𝐶
3(cid:55)
∠𝐴𝐷𝐶 𝐴𝐶
2
∴𝑂𝐷 𝑂𝐵 𝐴𝐶
(cid:120)(cid:92)(cid:93)(cid:71)(cid:10)3(cid:89)
(cid:15)(cid:122)(cid:123)1-2(cid:19)(cid:79)2025·(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)·(cid:26)(cid:83)(cid:87)(cid:62)(cid:46)(cid:55) (cid:30)(cid:138)(cid:88) (cid:42) (cid:30)(cid:31)(cid:88) (cid:139)(cid:54)(cid:140)(cid:141)(cid:56)(cid:55)(cid:142) (cid:55) (cid:143)(cid:88)(cid:54)(cid:140)(cid:141)
(cid:56)(cid:132)(cid:144)(cid:30)(cid:140)(cid:94)(cid:145)(cid:71) (cid:55)1(cid:55)(cid:146) =90°(cid:147)(cid:55)△𝐴𝐵(cid:30)𝐶(cid:35)(cid:71) 𝐶 (cid:89)𝐴𝐵 𝐷 𝐶 𝐷
−3 ∠𝐵𝐶𝐴 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:92)(cid:93)(cid:19)8
(cid:15)(cid:94)(cid:95)(cid:19)(cid:96)(cid:20)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:140)(cid:141)(cid:56)(cid:143)(cid:88)(cid:148)(cid:149)(cid:30)(cid:150)(cid:151)(cid:55)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:60)(cid:55)(cid:108)(cid:109)(cid:70)(cid:56)(cid:152)(cid:153)(cid:69)(cid:3)(cid:110)(cid:89)(cid:111)(cid:112)(cid:140)(cid:141)(cid:56)(cid:143)(cid:88)(cid:148)(cid:149)(cid:30)(cid:150)(cid:151)(cid:113)(cid:116) =4(cid:55)(cid:133)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:60)(cid:118)(cid:76)(cid:33)(cid:49)(cid:89)
(cid:15)(cid:119)(cid:49)(cid:19)(cid:49)(cid:10)(cid:133)(cid:20)(cid:154)(cid:76)(cid:113) = 𝐶𝐷( )=4(cid:55)
=90°(cid:55)(cid:88) (cid:71) 𝐶(cid:30)𝐷(cid:31)(cid:88)1−(cid:55)−3
∵∠𝐵𝐶=𝐴 =8(cid:55)𝐷 𝐴𝐵
(cid:120)∴(cid:92)𝐴𝐵(cid:93)(cid:71)2(cid:10)𝐶𝐷8(cid:89)
(cid:15)(cid:122)(cid:123)1-3(cid:19)(cid:79)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:155)(cid:156)·(cid:130)(cid:31)(cid:87)Rt (cid:31)(cid:55) =90°(cid:55) (cid:69) (cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:55)(cid:142)
+ =15(cid:55)(cid:91) (cid:30)(cid:35)(cid:71) (cid:89) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵
𝐶(cid:15)𝐷(cid:92)(cid:93)𝐴(cid:19)𝐵5 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:94)(cid:95)(cid:19)(cid:111)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:60)(cid:55)(cid:113) = (cid:55)(cid:157)(cid:48) + =15(cid:55)(cid:113)(cid:116)
=15(cid:55)(cid:49)(cid:92)(cid:118)(cid:76)(cid:89) 𝐴𝐵 2𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐵
(cid:96)3𝐶(cid:20)𝐷(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:55)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:102)(cid:103)(cid:69)(cid:49)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:110)(cid:89)
(cid:15)(cid:119)(cid:49)(cid:19)(cid:49)(cid:10)(cid:133) =90°(cid:55) (cid:69) (cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:55)
(cid:113) = (cid:55) ∠𝐴𝐶𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵
+
A
(cid:158)𝐴𝐵+ 2𝐶𝐷=15(cid:55) 科 A
全
★
号
众
(cid:120)𝐶𝐷 =𝐴𝐵15(cid:55) 公
注
关
，
源
(cid:49)3(cid:113)𝐶𝐷 =5(cid:55) 辅 资
教
(cid:120)(cid:92)𝐶(cid:93)𝐷(cid:71)(cid:10)5(cid:89)
【题型2 利用直角三角形斜边的中线求角度】
(cid:15)(cid:78)2(cid:19)(cid:79)2025·(cid:159)(cid:135)·(cid:31)(cid:99)(cid:160)(cid:20)(cid:87)(cid:62)(cid:46)(cid:55)(cid:54) (cid:31)(cid:55) =90°(cid:55) =20°(cid:55) (cid:71) (cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:55)
(cid:55)(cid:91)(cid:46)(cid:31)(cid:42) (cid:161)(cid:137)(cid:30)(cid:25)(cid:162)(cid:163)(cid:79) (cid:87)△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴 𝐶𝐷 𝐴𝐵
𝐷𝐸⊥𝐴𝐶 ∠𝐴
A(cid:89)2(cid:61) B(cid:89)3(cid:61) C(cid:89)4(cid:61) D(cid:89)5(cid:61)
(cid:15)(cid:92)(cid:93)(cid:19)C
(cid:15)(cid:94)(cid:95)(cid:19)(cid:73)(cid:20)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:60)(cid:55)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:164)(cid:25)(cid:105)(cid:74)(cid:75)(cid:55)(cid:57)(cid:165)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:55)
(cid:111)(cid:112)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:164)(cid:25)(cid:105)(cid:74)(cid:75)(cid:33)(cid:166) =70°(cid:55)(cid:111)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:60)(cid:113)(cid:166) = = (cid:55)
(cid:111)(cid:112)(cid:57)(cid:29)(cid:132)(cid:57)(cid:25)(cid:113)(cid:166) =∠𝐵 = = =70°(cid:55)(cid:117)(cid:157)(cid:48) (cid:111)(cid:112)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:164)(cid:25)𝐶𝐷(cid:105)(cid:74)𝐴(cid:75)𝐷(cid:33)(cid:166)𝐵𝐷
= =∠7𝐷0𝐶°𝐴(cid:55)(cid:167)∠(cid:168)𝐴(cid:111)(cid:112)2(cid:137)0°(cid:25),∠𝐷(cid:30)𝐶(cid:102)𝐵(cid:103)(cid:33)∠𝐵(cid:49)(cid:118)(cid:76)(cid:89) 𝐷𝐸⊥𝐴𝐶
∠𝐶𝐷𝐸 70°,∠𝐴𝐷𝐸(cid:15)(cid:119)(cid:49)(cid:19)(cid:49)(cid:10) (cid:54) (cid:31)(cid:55) =90°(cid:55) =20°(cid:55)
= ∵ △𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵 =∠7𝐴0°(cid:55)
∴∠𝐵(cid:71) 18(cid:29)0°(cid:56)−∠(cid:30)𝐴(cid:31)−∠(cid:32)𝐴(cid:55)𝐶𝐵 180°−90°−20°
∵𝐶𝐷=𝐴𝐵 = (cid:55)
∴𝐶𝐷 𝐴=𝐷 𝐵=𝐷 = = = =40°(cid:55)
∴∠𝐷𝐶𝐴 (cid:55)∠𝐴 20°,∠𝐷𝐶𝐵 ∠𝐵 70°,∠𝐶𝐷𝐵 2∠𝐴
∵𝐷𝐸⊥𝐴=𝐶 = = =70°(cid:55)
∴(cid:46)∠𝐶(cid:31)𝐷𝐸(cid:42) 1(cid:161)80(cid:137)°−(cid:30)90(cid:25)°−(cid:69)∠𝐷𝐶𝐴 70°,∠𝐴𝐷𝐸 18(cid:55)0(cid:162)°−(cid:163)904°−(cid:61)∠(cid:55)𝐴
∴(cid:120)(cid:121)(cid:10)C∠(cid:89)𝐴 ∠𝐵,∠𝐷𝐶𝐵,∠𝐶𝐷𝐸,∠𝐴𝐷𝐸
(cid:15)(cid:122)(cid:123)2-1(cid:19)(cid:79)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:169)(cid:155)(cid:170)(cid:171)·(cid:172)(cid:34)(cid:107)(cid:173)(cid:87)(cid:62)(cid:46)(cid:55)(cid:54) (cid:31)(cid:55) =90°(cid:55) =60°(cid:55) (cid:71)
(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:55)(cid:174)(cid:175) (cid:55)(cid:176)(cid:88) (cid:45) (cid:30)(cid:177)(cid:178)(cid:32) (cid:55)(cid:91) (cid:30)(cid:36)(cid:140)(cid:71)△(cid:79)𝐴𝐵 𝐶 (cid:87) ∠𝐴𝐶𝐵A + ∠𝐴 𝐷 𝐴𝐵
A
科
全
★
𝐶𝐷 𝐵 𝐶𝐷 𝐸𝐹 ∠𝐶𝐵𝐹众 号
公
注
关
，
源
资
辅
教
A(cid:89)60° B(cid:89)45° C(cid:89)30° D(cid:89)15°
(cid:15)(cid:92)(cid:93)(cid:19)C
(cid:15)(cid:94)(cid:95)(cid:19)(cid:96)(cid:20)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:31)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:60)(cid:179)(cid:57)(cid:29)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:42)(cid:104)(cid:74)(cid:55)(cid:177)(cid:178)(cid:32)(cid:30)(cid:102)
(cid:103)(cid:55)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:31)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:60)(cid:69)(cid:49)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:110)(cid:89)(cid:180)(cid:40)(cid:41) (cid:69)(cid:57)(cid:29)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:55)(cid:113)
(cid:166) =60°(cid:55)(cid:111)(cid:112) (cid:55)(cid:76)(cid:113) = =60°(cid:55)(cid:181)(cid:115)(cid:111)(cid:112) = △𝐴𝐷𝐶 =30°(cid:55)(cid:118)(cid:76)(cid:33)
(cid:49)∠(cid:89)𝐴𝐷𝐶 𝐶𝐷∥𝐸𝐹 ∠𝐴𝐵𝐹 ∠𝐴𝐷𝐶 ∠𝐶𝐵𝐹 ∠𝐴𝐵𝐹−∠𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:119)(cid:49)(cid:19)(cid:49)(cid:10) (cid:54) (cid:31)(cid:55) =90°(cid:55) =60°(cid:55) (cid:71) (cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:55)
= (cid:55) ∵ △=𝐴3𝐵0𝐶°(cid:55) ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴 𝐷 𝐴𝐵
∴𝐶𝐷 𝐴(cid:69)𝐷(cid:57)∠(cid:29)𝐴(cid:26)𝐵𝐶(cid:25)(cid:27)(cid:55)
∴△𝐴𝐷𝐶=60°(cid:55)
∴∠𝐴𝐷𝐶 (cid:55)
∵𝐶𝐷∥𝐸𝐹= =60°(cid:55)
∴∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐴𝐷𝐶 =30°(cid:55)
(cid:120)∴∠(cid:121)𝐶𝐵(cid:10)𝐹C(cid:89)∠𝐴𝐵𝐹−∠𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:122)(cid:123)2-2(cid:19)(cid:79)2025·(cid:182)(cid:183)(cid:169)(cid:135)·(cid:59)(cid:83)(cid:87)(cid:62)(cid:46)(cid:55) (cid:31)(cid:55) =90°(cid:55) =62°(cid:55)(cid:94)(cid:145)(cid:70)(cid:88)A(cid:55)C(cid:71)(cid:184)(cid:185)(cid:55)
(cid:186)(cid:58) 1 (cid:30)(cid:35)(cid:71)(cid:60)(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:55)(cid:143)(cid:189)(cid:79)(cid:190)(cid:54)(cid:184)(cid:30)(cid:60) △ (cid:187) 𝐴 (cid:191) 𝐵 (cid:57) 𝐶 (cid:87)(cid:191) ∠ (cid:192) 𝐴 (cid:58) 𝐵𝐶 E(cid:55)F(cid:143)(cid:88) ∠ (cid:55) 𝐶 (cid:174)(cid:175) (cid:55) (cid:42) (cid:192)(cid:58)(cid:88)O(cid:55)(cid:91)
2
(cid:30)(cid:186)(cid:193)𝐴(cid:71)𝐶 (cid:79) (cid:87) 𝐸𝐹 𝐸𝐹 𝐴𝐶 ∠𝐴𝐵𝑂
A(cid:89)28° B(cid:89)30° C(cid:89)31° D(cid:89)36°
(cid:15)(cid:92)(cid:93)(cid:19)A
A
+
A
科
全
★
(cid:15)(cid:94)(cid:95)(cid:19)(cid:96)(cid:20)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:32)(cid:34)(cid:194)(cid:24)(cid:177)(cid:94)(cid:32)(cid:30)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:55)(cid:57)(cid:29)号(cid:132)(cid:57)(cid:25)(cid:105)(cid:32)(cid:34)(cid:194)(cid:24)(cid:177)(cid:94)(cid:32)(cid:30)(cid:74)(cid:195)(cid:55)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)
众
公
注
关
(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:57)(cid:57)(cid:55)(cid:133)(cid:45)(cid:46)(cid:196)(cid:197)(cid:76)(cid:113) (cid:194)源(cid:24)(cid:177)，(cid:94) (cid:55)(cid:91)(cid:88) (cid:69) (cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:55)(cid:117)(cid:133)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:29)
资
辅
教
(cid:30)(cid:59)(cid:60)(cid:198)(cid:166) = (cid:55)(cid:91) 𝐸𝐹= =62𝐴°(cid:55)𝐶 (cid:112)(cid:199)(cid:76)𝑂(cid:113)(cid:92)𝐴𝐶(cid:93)(cid:89)
(cid:15)(cid:119)(cid:49)(cid:19)(cid:49)𝑂(cid:200)𝐵(cid:133)(cid:45)𝑂(cid:46)𝐶(cid:196)(cid:197)∠(cid:76)𝑂(cid:113)𝐵𝐶 (cid:194)∠(cid:24)𝐶(cid:177)(cid:94) (cid:55)
(cid:88) (cid:69) (cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:55) 𝐸𝐹 𝐴𝐶
∴ 𝑂 𝐴=𝐶90°(cid:55)
∵∠𝐴𝐵 = 𝐶 = 1 (cid:55)
2
∴𝑂𝐵 𝑂𝐶 𝐴𝐶
= =62°(cid:55)
∴∠𝑂𝐵𝐶 =∠𝐶 =28°(cid:55)
(cid:120)∴∠(cid:121)𝐴𝐵(cid:10)𝑂A(cid:89)∠𝐴𝐵𝐶−∠𝑂𝐵𝐶
(cid:15)(cid:122)(cid:123)2-3(cid:19)(cid:79)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:169)(cid:155)(cid:201)(cid:202)(cid:203)·(cid:130)(cid:31)(cid:87)(cid:62)(cid:46)(cid:55)(cid:59)(cid:111)(cid:204)(cid:205) (cid:28)(cid:206)(cid:54)(cid:207)(cid:24)(cid:30)(cid:208) (cid:56)(cid:55) =32°(cid:55)
(cid:204)(cid:205)(cid:30)(cid:138)(cid:209) (cid:210)(cid:208)(cid:38)(cid:127)(cid:211)(cid:212) (cid:213)(cid:214)(cid:55)(cid:199)(cid:147) =32°(cid:55) (cid:55) (cid:94)𝐴(cid:145)𝐵(cid:69)(cid:28)(cid:29) (cid:55) 𝐴(cid:56)𝐶(cid:30)(cid:31)∠(cid:32)𝐵(cid:55)𝐴𝐶(cid:91)
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
(cid:30)(cid:36)(cid:140)(cid:71) 𝐴 (cid:89) 𝐴 ∠𝐴 𝐵 𝐶 𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴 𝐵 ∠𝐷𝐶𝐷(cid:15)(cid:92)(cid:93)(cid:19)26°/26(cid:36)
(cid:15)(cid:94)(cid:95)(cid:19)(cid:96)(cid:20)(cid:97)(cid:98)(cid:100)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:55)(cid:57)(cid:165)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:89)(cid:111)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:55)
(cid:76)(cid:113) = = (cid:55)(cid:114)(cid:115)(cid:113)(cid:116) = =32°(cid:55) = =32°(cid:55)(cid:118)(cid:76)(cid:33)(cid:49)(cid:89)
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
(cid:15)(cid:119)(cid:49)𝐶𝐷(cid:19)(cid:49)𝐵(cid:10)𝐷 ,𝐶𝐷(cid:55) 𝐴𝐷(cid:94)(cid:145)(cid:69)(cid:28)(cid:29) ∠𝐵(cid:55)𝐶𝐷 (cid:56)∠(cid:30)𝐴(cid:31)𝐵(cid:32)𝐶(cid:55) ∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
′ ′ ′
= ∵𝐶𝐷= 𝐶𝐷(cid:55) 𝐴𝐵 𝐴 𝐵
′ ′ ′
∴𝐶𝐷 𝐵=𝐷 ,𝐶𝐷 𝐴=𝐷32°(cid:55) = =32°(cid:55)
′ ′ ′ ′
∴∠𝐵 𝐶𝐷=90∠°𝐴(cid:55)𝐵 𝐶 ∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
∵∠𝐴𝐶𝐵 = =26°(cid:89)
′ ′ ′
∴(cid:120)∠(cid:92)𝐷𝐶(cid:93)𝐷(cid:71)(cid:10)∠2𝐴6°𝐶𝐵−∠𝐵 𝐶𝐷 −∠𝐴𝐶𝐷 A +
A
科
全
★
号
【题型3 利用直角三角形斜边的中线求周长】 公 众
注
关
，
源
(cid:15)(cid:78)3(cid:19)(cid:79)2025(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)辅·(cid:80)(cid:81)资·(cid:215)(cid:20)(cid:107)(cid:173)(cid:87)(cid:62)(cid:46)(cid:55)(cid:54) (cid:31)(cid:55) (cid:58)(cid:88)F(cid:55) (cid:58)(cid:88)E(cid:55)M(cid:71)
教
(cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:55)(cid:90) =4(cid:55) =10(cid:55)(cid:33) (cid:30)(cid:37)(cid:35)(cid:89) △𝐴𝐵𝐶 𝐶𝐹⊥𝐴𝐵 𝐵𝐸⊥𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝐸𝐹 𝐵𝐶 △𝐸𝐹𝑀
(cid:15)(cid:92)(cid:93)(cid:19)14
(cid:15)(cid:94)(cid:95)(cid:19)(cid:96)(cid:20)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:55)(cid:111)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:60)(cid:76)(cid:113) = = 1
2
𝐸𝑀 𝐹𝑀
(cid:55)(cid:216)(cid:168)(cid:111)(cid:112)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:37)(cid:35)(cid:30)(cid:74)(cid:195)(cid:49)(cid:92)(cid:89)
𝐵(cid:15)𝐶(cid:119)(cid:49)(cid:19)(cid:49)(cid:10) (cid:55) (cid:55)M(cid:71) (cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:55)
= =
∵1𝐶𝐹
(cid:55)
⊥𝐴𝐵 𝐵𝐸⊥𝐴𝐶 𝐵𝐶
2
∴𝐸𝑀 𝐹𝑀 𝐵𝐶
=4(cid:55) =10(cid:55)
∵𝐸𝐹 = 𝐵=𝐶5(cid:55)
∴𝐸𝑀 𝐹𝑀(cid:30)(cid:37)(cid:35)= + + =4+5+5=14(cid:89)
(cid:15)∴△(cid:122)𝐸(cid:123)𝐹𝑀3-1(cid:19)(cid:79)24-2𝐸5𝐹(cid:217)(cid:125)𝐸(cid:126)𝑀(cid:56)·𝐹(cid:218)𝑀(cid:219)(cid:220)(cid:221)·(cid:130)(cid:31)(cid:87)(cid:62)(cid:46)(cid:55) (cid:31)(cid:55) = =10(cid:55) =6(cid:55) (cid:177)(cid:94)
(cid:192) (cid:58)(cid:88) (cid:55)(cid:88) (cid:71) (cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:55)(cid:174)(cid:175) (cid:55)(cid:91) (cid:30)(cid:37)△(cid:35)𝐴(cid:69)𝐵(cid:79)𝐶 (cid:87)𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
𝐵𝐶 𝐷 𝐸 𝐴𝐶 𝐷𝐸 △𝐶𝐷𝐸
A(cid:89)20 B(cid:89)12 C(cid:89)16 D(cid:89)13
(cid:15)(cid:92)(cid:93)(cid:19)D
(cid:15)(cid:94)(cid:95)(cid:19)(cid:96)(cid:20)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:57)(cid:165)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:179)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:102)(cid:103)(cid:200)(cid:111)(cid:112)(cid:57)(cid:165)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:26)(cid:32)(cid:48)(cid:59)(cid:33)(cid:166) (cid:30)
(cid:35)(cid:55)(cid:111)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:60)(cid:33)(cid:166) (cid:30)(cid:35)(cid:55)(cid:111)(cid:112)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:37)(cid:35)(cid:7)(cid:123)(cid:222)(cid:223)(cid:113)(cid:116)(cid:92)(cid:93)𝐶(cid:89)𝐷
(cid:15)(cid:119)(cid:49)(cid:19)(cid:49)(cid:10) = (cid:55) (cid:177)(cid:94) (cid:55) 𝐷𝐸
(cid:55)
∵𝐴
=
𝐵1 𝐴𝐶
=3(cid:55)
𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
2
+
A
A
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 (cid:55) 𝐶 (cid:88) 𝐷 (cid:71) 𝐵𝐶 (cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:55) 全 科
★
号
众
公
注
∵𝐴𝐷⊥
=
𝐵𝐶
=
1𝐸
=
𝐴𝐶
5(cid:55) ，
关
2 资 源
辅
教
∴𝐷𝐸 𝐸𝐶 𝐴𝐶
(cid:30)(cid:37)(cid:35)= + + =13(cid:55)
(cid:120)∴△(cid:121)𝐶(cid:10)𝐷D𝐸(cid:89) 𝐶𝐷 𝐷𝐸 𝐸𝐶
(cid:15)(cid:122)(cid:123)3-2(cid:19)(cid:79)22-23(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:56)·(cid:134)(cid:224)(cid:225)(cid:226)·(cid:130)(cid:31)(cid:87)(cid:62)(cid:46)(cid:55)(cid:131)(cid:29)(cid:27) (cid:31)(cid:55) = =90°(cid:55)E(cid:69)(cid:132)(cid:25)(cid:32)
(cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:55)(cid:174)(cid:175) (cid:179) (cid:89)(cid:90) =10(cid:55) =8(cid:55) (cid:33) (cid:30)𝐴(cid:37)𝐵𝐶(cid:35)𝐷(cid:89) ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐶
𝐴𝐶 𝐵𝐸 𝐷𝐸 𝐴𝐶 𝐵𝐷 △𝐵𝐷𝐸
(cid:15)(cid:92)(cid:93)(cid:19)18
(cid:15)(cid:94)(cid:95)(cid:19)(cid:111)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:113)(cid:116) = = 1 =5(cid:55)(cid:181)(cid:115)(cid:33)(cid:49) (cid:30)(cid:37)(cid:35)(cid:118)(cid:76)(cid:89)
2
𝐵𝐸 𝐷𝐸 𝐴𝐶 △𝐵𝐷𝐸
(cid:15)(cid:119)(cid:49)(cid:19) = =90°
(cid:105)∵∠𝐴𝐵𝐶 (cid:69)∠(cid:24)𝐴𝐷(cid:25)𝐶(cid:26)(cid:25)(cid:27)
∴△𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐷𝐶E(cid:69)(cid:132)(cid:25)(cid:32) (cid:30)(cid:31)(cid:88)
∵ 𝐴1𝐶
= = =5
2
∴𝐵𝐸 𝐷𝐸 𝐴𝐶
=8
∵𝐵𝐷 (cid:30)(cid:37)(cid:35)= + + =8+5+5=18(cid:89)
∴(cid:15)△(cid:88)𝐵(cid:227)𝐷(cid:19)𝐸(cid:199)(cid:20)(cid:99)(cid:100)(cid:101)𝐵𝐷(cid:24)(cid:25)𝐵(cid:26)𝐸(cid:25)(cid:27)𝐷𝐸(cid:28)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:55)(cid:49)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:110)(cid:69)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:28)
(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:60)(cid:89)
(cid:15)(cid:122)(cid:123)3-3(cid:19)(cid:79)22-23(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:16)(cid:134)(cid:219)(cid:228)·(cid:130)(cid:229)(cid:87)(cid:62)(cid:46)(cid:55) (cid:71)(cid:57)(cid:165)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:55) (cid:71)(cid:28)(cid:29) (cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:55)(cid:88)
(cid:54) (cid:29)(cid:56)(cid:55)(cid:230) (cid:210) (cid:51)(cid:52)(cid:212) (cid:55) (cid:42) (cid:55) △(cid:94)𝐴𝐵(cid:145)𝐶(cid:192)(cid:58) (cid:55) (cid:143)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:231)𝐷(cid:152) (cid:30)(cid:35)𝐵𝐶(cid:55)(cid:91)(cid:76)(cid:33)(cid:166)(cid:127)𝐸
(cid:232)𝐴(cid:233)𝐶(cid:61)(cid:46)(cid:27)(cid:30)(cid:37)△(cid:35)𝐷(cid:79)𝐶𝐸 (cid:87)𝐷𝐸 △𝐷𝐹𝐸 𝐴𝐵 𝐹𝐸 𝐹𝐷 𝐺 𝐻 𝐴𝐵
+
A
A
全
科
★
号
众
A(cid:89) B(cid:89) C(cid:89)(cid:131)公(cid:29)(cid:27) D(cid:89)(cid:131)(cid:29)(cid:27)
注
关
，
源
(cid:15)(cid:92)(cid:93)(cid:19)△A𝐴𝐺𝐸 辅△资𝐹𝐻𝐺 𝐷𝐻𝐺𝐸 𝐵𝐷𝐸𝐺
教
(cid:15)(cid:94)(cid:95)(cid:19)(cid:180)(cid:45)(cid:166)(cid:234)(cid:235)(cid:32)(cid:55)(cid:22)(cid:23)(cid:57)(cid:165)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:236)(cid:237)(cid:25)(cid:30)(cid:140)(cid:238)(cid:3)(cid:239)(cid:113)(cid:166) = (cid:118)(cid:76)(cid:33)(cid:49)(cid:89)
(cid:15)(cid:119)(cid:49)(cid:19)(cid:62)(cid:46)(cid:55)(cid:174)(cid:175) (cid:55) (cid:55) 𝐺𝐴 𝐺𝐹
(cid:26)(cid:25)(cid:27) (cid:69)(cid:57)(cid:165)(cid:24)𝐴(cid:25)𝐷(cid:26)𝐴(cid:25)𝐹(cid:27)(cid:55)(cid:142)D(cid:71)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:55)
∵ 𝐴𝐵𝐶
= = (cid:55) = = = =45°(cid:55)
∴(cid:133)𝐷(cid:51)𝐴(cid:52)(cid:76)𝐷𝐶(cid:113) 𝐷𝐵= ∠𝐷=𝐴𝐺 =∠𝐷𝐴𝐶(cid:55) ∠𝐵 ∠𝐶
= 𝐷𝐴 (cid:55)𝐷𝐶 𝐷𝐵 𝐷𝐹
∴∠𝐷𝐴𝐹 =∠𝐷𝐹𝐴 = =45°(cid:55)
∵∠𝐷𝐴𝐺= ∠𝐷𝐹𝐺(cid:55) ∠𝐶
∴∠𝐺𝐹𝐴 ∠𝐺𝐴𝐹= (cid:55)
∴𝐺𝐴 𝐺=𝐹 + + = + + = + = + = = (cid:55)
∴(cid:120)𝐶(cid:121)△𝐴𝐸A𝐺(cid:89) 𝐴𝐺 𝐺𝐸 𝐴𝐸 𝐹𝐺 𝐺𝐸 𝐴𝐸 𝐹𝐸 𝐴𝐸 𝐶𝐸 𝐴𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:88)(cid:227)(cid:19)(cid:96)(cid:20)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:57)(cid:165)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:105)(cid:51)(cid:52)(cid:55)(cid:49)(cid:20)(cid:3)(cid:110)(cid:69)(cid:108)(cid:109)(cid:57)(cid:165)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:143)(cid:61)(cid:240)(cid:25)(cid:69)45°(cid:105)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:60)(cid:55)(cid:51)(cid:52)(cid:241)(cid:168)(cid:30)(cid:132)(cid:144)(cid:29)(cid:191)(cid:57)(cid:55)(cid:132)(cid:144)(cid:25)(cid:191)(cid:57)(cid:89)
【题型4 利用直角三角形斜边的中线求面积】
(cid:15)(cid:78)4(cid:19)(cid:79)22-23(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:56)·(cid:16)(cid:134)(cid:242)(cid:243)·(cid:130)(cid:229)(cid:87)(cid:54) (cid:31)(cid:55) (cid:30)(cid:36)(cid:140)(cid:148)(cid:244)(cid:71)1:5:6(cid:55) (cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:69)
2(cid:55)(cid:91) (cid:30)(cid:38)(cid:39)(cid:69)(cid:79)(cid:245)(cid:245)(cid:87) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴,∠𝐵,∠𝐶 𝐴𝐵
A(cid:89)△1𝐴𝐵𝐶 B(cid:89)2 C(cid:89)3 D(cid:89)4
(cid:15)(cid:92)(cid:93)(cid:19)B
(cid:15)(cid:94)(cid:95)(cid:19)(cid:176)(cid:88) (cid:45) (cid:55)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:164)(cid:25)(cid:105)(cid:70)(cid:246)(cid:26)(cid:61)(cid:25)(cid:30)(cid:244)(cid:33)(cid:166)(cid:247)(cid:25)(cid:30)(cid:36)(cid:140)(cid:55)(cid:117)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:74)
(cid:75)(cid:33)(cid:166) (cid:30)(cid:35)𝐵(cid:55)(cid:117)𝐵𝐸(cid:111)⊥(cid:112)𝐶(cid:248)𝐷30°(cid:25)(cid:30)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:33)(cid:166) (cid:55)(cid:167)(cid:168)(cid:22)(cid:23)(cid:38)(cid:39)(cid:7)(cid:123)(cid:33)(cid:49)(cid:118)(cid:76)(cid:89)
(cid:15)(cid:119)(cid:49)(cid:19)𝐵𝐷(cid:49)(cid:10)(cid:62)(cid:46)(cid:190)(cid:249)(cid:10) 𝐵𝐸
+
A
A
科
(cid:176)(cid:88) (cid:45) 全
★
号
众
公
注
𝐵 𝐵𝐸⊥=𝐶1𝐷:5:6 关
，
源
资
∵∠𝐴:∠𝐵:∠𝐶 1教 辅
=180°× =15°
1+5+6
∴∠𝐴 5 6
=180°× = =180°× =90°
1+5+6 1+5+6
∴∠𝐵(cid:69) (cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:55) 75°,∠𝐶
∵𝐶𝐷 𝐴1𝐵
= = =
2
∴𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐷 𝐴𝐷
=30°
∴∠𝐵𝐷𝐶1
=
2
∴𝐵𝐸 𝐵𝐷
=2
∵𝐶𝐷 1
= ×2=1
2
∴𝐵𝐸 1
= ×1×2=1
2
∴𝑆△𝐵𝐶𝐷
=2 =2×1=2
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝐵𝐷𝐶(cid:120)(cid:121)B(cid:89)
(cid:15)(cid:88)(cid:227)(cid:19)(cid:96)(cid:20)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:164)(cid:25)(cid:105)(cid:55)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:74)(cid:75)(cid:70)(cid:246)(cid:248)30°(cid:25)(cid:30)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:55)(cid:250)(cid:23)(cid:164)(cid:25)(cid:105)
(cid:33)(cid:247)(cid:25)(cid:30)(cid:36)(cid:140)(cid:70)(cid:246)(cid:31)(cid:32)(cid:102)(cid:103)(cid:33)(cid:49)(cid:38)(cid:39)(cid:69)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:110)(cid:89)
(cid:15)(cid:122)(cid:123)4-1(cid:19)(cid:79)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:171)(cid:251)(cid:252)(cid:253)·(cid:130)(cid:31)(cid:87)(cid:62)(cid:46)(cid:55)(cid:54)Rt (cid:31)(cid:55) (cid:69)(cid:28)(cid:29) (cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:55)(cid:70) (cid:71)(cid:29)(cid:45)(cid:254)
(cid:196)(cid:27) (cid:89)(cid:90) =10(cid:55)(cid:91)(cid:254)(cid:196)(cid:27) (cid:30)(cid:38)(cid:39)(cid:71)(cid:79) (cid:87) △𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷
𝐴𝐷𝐸𝐹 𝐵𝐶 𝐴𝐷𝐸𝐹
A(cid:89)5 B(cid:89)100 C(cid:89)25 D(cid:89)15
(cid:15)(cid:92)(cid:93)(cid:19)C
A
+
A
科
全
★
(cid:15)(cid:94)(cid:95)(cid:19)(cid:96)(cid:20)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:254)(cid:196)(cid:27)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:55)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:56)号(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:55)(cid:111)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:28)
众
公
注
关
，
(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:60)(cid:113)(cid:166) = 1 = 1 ×资10=源5(cid:55)(cid:117)(cid:111)(cid:112)(cid:254)(cid:196)(cid:27)(cid:30)(cid:38)(cid:39)(cid:33)(cid:49)(cid:118)(cid:76)(cid:89)
2 辅2
教
𝐴𝐷 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:119)(cid:49)(cid:19)(cid:49)(cid:10)(cid:54)Rt (cid:31)(cid:55) (cid:69)(cid:28)(cid:29) (cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:55) =10(cid:55)
= 1 = 1 ×1 △ 0= 𝐴𝐵 5 𝐶 (cid:55) 𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐶
2 2
∴𝐴𝐷 𝐵𝐶
=5×5=25(cid:55)
正方形
∴(cid:120)𝑆(cid:254)(cid:196)(cid:27)𝐴𝐷𝐸𝐹 (cid:30)(cid:38)(cid:39)(cid:71)25(cid:55)
(cid:120)(cid:121)(cid:10)C(cid:89)𝐴𝐷𝐸𝐹
(cid:15)(cid:122)(cid:123)4-2(cid:19)(cid:79)2022·(cid:16)(cid:134)(cid:80)(cid:221)·(cid:31)(cid:99)(cid:160)(cid:20)(cid:87)(cid:62)(cid:46)(cid:55)(cid:231)(cid:152)(cid:54)(cid:255)(cid:25) ABC(cid:31)(cid:55)AB(cid:256)AC(cid:55)AD(cid:69) ABC(cid:30)(cid:25)(cid:177)(cid:94)(cid:32)(cid:55)
E(cid:69)AD(cid:56)(cid:59)(cid:88)(cid:55)(cid:174)(cid:157)EB(cid:55)EC(cid:89)(cid:90) EBC(cid:256)45°(cid:55)BC(cid:256)6(cid:55)(cid:91)△EBC(cid:30)(cid:38)(cid:39)(cid:69)(cid:79) (cid:87) △
∠ △
A(cid:89)12 B(cid:89)9 C(cid:89)6 D(cid:89)3 2
(cid:15)(cid:92)(cid:93)(cid:19)B(cid:15)(cid:94)(cid:95)(cid:19)(cid:111)(cid:112)(cid:26)(cid:32)(cid:48)(cid:59)(cid:76)(cid:113) (cid:55)(cid:111)(cid:112)(cid:194)(cid:24)(cid:177)(cid:94)(cid:32)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:76)(cid:113) = (cid:55)(cid:181)(cid:115)(cid:111)(cid:112) EBC(cid:256)45°(cid:55)(cid:76)(cid:113)
(cid:71)(cid:57)(cid:165)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:55)
𝐸
(cid:111)
𝐷
(cid:112)
⊥
(cid:28)
𝐵𝐶
(cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:60)(cid:76)(cid:113)
𝐸𝐵
=
𝐸1𝐶
=3(cid:55)(cid:216)(cid:168)
∠
(cid:111)(cid:112)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:7)
2
△𝐵𝐸𝐶 𝐷𝐸 𝐵𝐶
(cid:123)(cid:118)(cid:76)(cid:33)(cid:49)(cid:89)
(cid:15)(cid:119)(cid:49)(cid:19)(cid:49)(cid:10) AB(cid:256)AC(cid:55)AD(cid:69) ABC(cid:30)(cid:25)(cid:177)(cid:94)(cid:32)(cid:55)
∵= (cid:55) △
∴𝐴𝐷⊥=𝐵𝐷,(cid:55)𝐵𝐷 𝐷𝐶
∴𝐸𝐵EBC(cid:256)𝐸𝐶45°(cid:55)
∵∠ = =45°(cid:55)
∠𝐸 𝐶𝐵 ∠𝐸(cid:71)𝐵(cid:57)𝐶 (cid:165)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:55)
∴ △=𝐵𝐸6𝐶(cid:55)
∵𝐵 𝐶 = 1 =3(cid:55)
2
∴ 𝐷𝐸 𝐵𝐶
(cid:91) EBC(cid:30)(cid:38)(cid:39)(cid:69) 1 ×3×6=9(cid:89)
2
+
(cid:120)(cid:121)△ B(cid:89) 科 A A
全
★
号
众
(cid:15)(cid:88)(cid:227)(cid:19)(cid:96)(cid:20)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:57)(cid:165)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:42)(cid:104)(cid:74)(cid:55)(cid:194)(cid:24)公(cid:177)(cid:94)(cid:32)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:55)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:31)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:29)
注
关
，
源
(cid:30)(cid:59)(cid:60)(cid:55)(cid:108)(cid:109)(cid:57)(cid:165)(cid:26)(cid:25)(cid:27)辅(cid:30)(cid:102)资(cid:103)(cid:42)(cid:104)(cid:74)(cid:69)(cid:49)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:110)(cid:89)
教
(cid:15)(cid:122)(cid:123)4-3(cid:19)(cid:79)22-23(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:56)·(cid:257)(cid:258)(cid:134)(cid:186)(cid:259)·(cid:130)(cid:229)(cid:87)(cid:62)(cid:46)(cid:55)(cid:54)(cid:59)(cid:61)(cid:57)(cid:29)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:260)(cid:261)(cid:31)(cid:262)(cid:26)(cid:29)(cid:31)(cid:88)(cid:55)(cid:70)(cid:263)(cid:32)(cid:71)(cid:51)
(cid:264)(cid:51)(cid:52)(cid:260)(cid:261)(cid:55)(cid:90)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:260)(cid:261)(cid:30)(cid:38)(cid:39)(cid:69)8cm (cid:55)(cid:91)(cid:46)(cid:31)(cid:265)(cid:266)(cid:267)(cid:94)(cid:30)(cid:38)(cid:39)(cid:69)(cid:79) (cid:87)
2
A(cid:89)2cm B(cid:89)3cm C(cid:89)4cm D(cid:89)5cm
2 2 2 2
(cid:15)(cid:92)(cid:93)(cid:19)B
(cid:15)(cid:94)(cid:95)(cid:19)(cid:111)(cid:112)(cid:31)(cid:88)(cid:105)(cid:57)(cid:29)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:113)(cid:116) (cid:55) = = 1 =4cm (cid:55)(cid:117)(cid:33)(cid:166) =
2
2
𝐴𝐹⊥𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐹 𝑆△𝐴𝐶𝐹 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝐵𝐷𝐹
= 1 =2cm (cid:55)(cid:111)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:105)(cid:26)(cid:32)(cid:48)(cid:59)(cid:33)(cid:166) = = 1 =1
2 2
2
𝑆△𝐴𝐷𝐹 𝑆△𝐴𝐵𝐹 𝑆△𝐴𝐷𝑂 𝑆△𝐹𝐷𝑂 𝑆△𝐴𝐷𝐹
cm (cid:55)(cid:114)(cid:115)(cid:76)(cid:113)(cid:157)(cid:63)(cid:89)
2
(cid:15)(cid:119)(cid:49)(cid:19)(cid:49)(cid:10)(cid:62)(cid:46)(cid:55) F(cid:94)(cid:145)(cid:71) (cid:31)(cid:88)(cid:55) (cid:69)(cid:57)(cid:29)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:55)
∵ 𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶(cid:55) = = 1 =4cm (cid:55)
2
2
∴D𝐴𝐹
(cid:71)
⊥𝐵𝐶
(cid:29)(cid:31)
𝑆△
(cid:88)
𝐴𝐵
(cid:55)
𝐹 𝑆△𝐴𝐶𝐹 𝑆△𝐴𝐵𝐶
∵ 𝐴𝐵 = = 1 =2cm (cid:55) = = (cid:55)
2
2
∴E𝑆△
(cid:71)
𝐵𝐷𝐹
(cid:31)
𝑆
(cid:88)
△𝐴
(cid:55)
𝐷𝐹 𝑆△𝐴𝐵𝐹 𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝐷𝐹
∵D(cid:55)E𝐴𝐶(cid:3)(cid:58) (cid:132)(cid:268)(cid:55)
∴ (cid:194)(cid:24)(cid:177)(cid:94)𝐴𝐹 (cid:55)
∴𝐴𝐹 = (cid:55)𝐷𝐸
∴𝐴𝑂 = 𝐹𝑂 = 1 =1cm (cid:55)
2
2
∴𝑆△𝐴𝐷𝑂 𝑆△𝐹𝐷𝑂 𝑆△𝐴𝐷𝐹
= + =2cm +1cm =3cm (cid:55)
阴影
2 2 2
∴(cid:120)𝑆(cid:121)(cid:10)B(cid:89)𝑆△𝐵𝐷𝐹 𝑆△𝐹𝐷𝑂
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:88)(cid:227)(cid:19)(cid:96)(cid:20)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:57)(cid:29)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:55)(cid:57)(cid:165)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:104)(cid:74)(cid:105)(cid:102)(cid:103)(cid:55)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:55)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:55)
(cid:49)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:110)(cid:69)(cid:108)(cid:109)(cid:269)(cid:96)(cid:74)(cid:75)(cid:55)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:239)(cid:270)(cid:166)(cid:38)(cid:39)(cid:30)(cid:3)(cid:239)(cid:89)
【题型5 利用直角三角形斜边的中线证明】
(cid:15)(cid:78)5(cid:19)(cid:79)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:56)·(cid:271)(cid:251)(cid:271)(cid:221)·(cid:130)(cid:31)(cid:87)(cid:62)(cid:46)(cid:55)(cid:54)Rt (cid:31)(cid:55) =90°(cid:55) =30°(cid:55)(cid:88) (cid:69) (cid:30)(cid:31)
(cid:88)(cid:55)(cid:88) (cid:71)(cid:29) (cid:56)(cid:59)(cid:88)(cid:55)(cid:174)(cid:175) (cid:55) (cid:55)(cid:70) 为(cid:29)(cid:54) (cid:30)△(cid:272)𝐴𝐵(cid:273)𝐶(cid:45)(cid:57)(cid:29)∠𝐴(cid:26)𝐶𝐵(cid:25)(cid:27) (cid:55)∠(cid:174)𝐴(cid:175) (cid:89) 𝐷 𝐴𝐵
𝐸 𝐴𝐶 𝐶𝐷 𝐷𝐸 𝐷𝐸 𝐷𝐸 𝐷𝐸𝐹 𝐵𝐹
(1)(cid:33)(cid:40)(cid:10) (cid:71)(cid:57)(cid:29)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:200)
(2)(cid:33)(cid:40)(cid:10)△𝐵𝐶𝐷= (cid:89)
(cid:15)(cid:92)(cid:93)(cid:19)(∠1𝐷)(cid:274)𝐵(cid:49)𝐹 (cid:95)∠𝐷𝐶𝐸
(2)(cid:274)(cid:49)(cid:95)(cid:15)(cid:94)(cid:95)(cid:19)(cid:199)(cid:20)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:275)(cid:57)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:104)(cid:74)(cid:42)(cid:102)(cid:103)(cid:55)(cid:57)(cid:29)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:104)(cid:74)(cid:42)(cid:102)(cid:103)(cid:55)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:55)
(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:275)(cid:57)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:104)(cid:74)(cid:42)(cid:102)(cid:103)(cid:55)(cid:57)(cid:29)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:104)(cid:74)(cid:42)(cid:102)(cid:103)(cid:55)(cid:75)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:29)(cid:30)
(cid:59)(cid:60)(cid:69)(cid:49)(cid:50)(cid:53)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:110)(cid:89)
(cid:79)1(cid:87)(cid:180)(cid:33)(cid:166) =60°(cid:55)(cid:117)(cid:111)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:60)(cid:113) = = (cid:55)(cid:133)(cid:199)(cid:76)(cid:113)(cid:166)(cid:157)(cid:276)(cid:200)
(cid:79)2(cid:87)(cid:111)(cid:112)(cid:57)∠(cid:29)𝐴(cid:26)𝐵𝐶(cid:25)(cid:27)(cid:102)(cid:103)(cid:113) = (cid:55) = (cid:55) = =60°𝐶(cid:55)𝐷(cid:133)(cid:199)𝐵(cid:113)𝐷 𝐴𝐷 = (cid:55)(cid:181)(cid:115)(cid:76)
(cid:277)(cid:112)“SAS”(cid:104)(cid:74) 𝐵𝐷(cid:55)(cid:216)𝐶(cid:168)𝐷(cid:111)𝐷(cid:112)𝐹(cid:275)(cid:57)𝐷(cid:26)𝐸 (cid:25)∠(cid:27)𝐵(cid:30)𝐷𝐶(cid:102)(cid:103)∠(cid:76)𝐹𝐷(cid:113)𝐸(cid:166)(cid:157)(cid:276)(cid:89) ∠𝐵𝐷𝐹 ∠𝐶𝐷𝐸
(cid:15)(cid:119)(cid:49)(cid:19)(cid:79)1(cid:87)(cid:40)△(cid:41)𝐵𝐷(cid:10)𝐹(cid:54)≌R△t 𝐶𝐷𝐸 (cid:31)(cid:55) =90°(cid:55) =30°(cid:55)
=60°(cid:55) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴
∴(cid:88)∠𝐴(cid:69)𝐵𝐶 (cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:55)
∵ 𝐷 = 𝐴𝐵 = = 1 (cid:55)
2
∴𝐶𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐵
(cid:71)(cid:57)(cid:29)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:200)
(cid:79)∴△2(cid:87)𝐵(cid:40)𝐶𝐷(cid:41)(cid:10) (cid:105) (cid:139)(cid:71)(cid:57)(cid:29)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:55)
= (cid:55)∵△𝐵=𝐶𝐷 (cid:55)△𝐷𝐸𝐹= =60°(cid:55)
+
A
A
科
∴𝐵𝐷 𝐶+𝐷 𝐷𝐹 =𝐷𝐸 ∠+𝐵𝐷𝐶 ∠(cid:55)𝐹𝐷𝐸 ★ 全
号
众
公
注
∴∠𝐵𝐷𝐹=∠𝐹𝐷𝐶(cid:55)∠𝐹𝐷𝐶 ∠𝐶𝐷𝐸 关
，
源
资
辅
∴∠𝐵𝐷𝐹 ∠𝐶𝐷𝐸 教 =
(cid:54) (cid:105) (cid:31)(cid:55) = ,
𝐵𝐷= 𝐶𝐷
△𝐵𝐷𝐹 △𝐶𝐷𝐸 ∠𝐵𝐷𝐹 ∠𝐶𝐷𝐸
(cid:79)SAS(cid:87)(cid:55)𝐷𝐹 𝐷𝐸
∴△𝐵𝐷𝐹=≌△𝐶𝐷𝐸(cid:89)
(cid:15)∴(cid:122)∠D(cid:123)BF5-1(cid:19)∠D(cid:79)C2E4-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:56)·(cid:134)(cid:224)(cid:278)(cid:279)·(cid:130)(cid:229)(cid:87)(cid:62)(cid:46)(cid:55)(cid:54) (cid:31)(cid:55) (cid:177)(cid:94) (cid:55) (cid:58)(cid:88) (cid:55) (cid:71)
(cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:55)(cid:174)(cid:175) (cid:89)(cid:33)(cid:40)(cid:10) (cid:89) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐶𝐷⊥𝐴𝐷 𝐷 𝐸 𝐴𝐶
𝐷𝐸 𝐷𝐸∥𝐴𝐵
(cid:15)(cid:92)(cid:93)(cid:19)(cid:274)(cid:49)(cid:95)
(cid:15)(cid:94)(cid:95)(cid:19)(cid:96)(cid:20)(cid:99)(cid:100)(cid:25)(cid:177)(cid:94)(cid:32)(cid:55)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:70)(cid:246)(cid:177)(cid:178)(cid:32)(cid:30)(cid:104)(cid:74)(cid:55)(cid:49)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:110)(cid:69)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:31)
(cid:32)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:113)(cid:116)(cid:25)(cid:191)(cid:57)(cid:55)(cid:114)(cid:115)(cid:40)(cid:41)(cid:143)(cid:24)(cid:32)(cid:177)(cid:178)(cid:89)(cid:180)(cid:111)(cid:112)(cid:25)(cid:177)(cid:94)(cid:32)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:113)(cid:116) = (cid:55)(cid:117)(cid:157)(cid:48)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:102)(cid:103)(cid:113)(cid:166)(cid:32)(cid:34)(cid:3)(cid:239) = = 1 (cid:55)
2
∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐷𝐸 𝐴𝐶
(cid:181)(cid:115)(cid:113)(cid:116)(cid:25)(cid:30)(cid:3)(cid:239) = = (cid:55)(cid:280)(cid:176)(cid:164)(cid:281)(cid:25)(cid:191)(cid:57)(cid:40)(cid:41)(cid:143)(cid:24)(cid:32)(cid:177)(cid:178)(cid:89)
(cid:15)(cid:119)(cid:49)(cid:19)(cid:40)(cid:41)(cid:10) ∠𝐶(cid:177)𝐴𝐷(cid:94) ∠𝐴𝐷(cid:55)𝐸 ∠𝐵𝐴𝐷
= ∵(cid:55)𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
∴∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐷
(cid:55)
∵𝐶𝐷⊥𝐴=𝐷90°(cid:55)
∴∠(cid:71)𝐴𝐷𝐶(cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:55)
∵𝐸 = 𝐴𝐶 = 1 (cid:55)
2
∴𝐴𝐸 𝐷𝐸 𝐴𝐶
= (cid:55) A +
A
科
全
★
∴∠𝐶𝐴𝐷 =∠𝐴𝐷𝐸(cid:55) 众 号
公
注
关
∴∠D𝐵E𝐴𝐷AB(cid:89)∠𝐴𝐷𝐸 源 ，
资
辅
教
∴(cid:15)(cid:122)(cid:123)∥ 5-2(cid:19)(cid:79)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:56)·(cid:275)(cid:282)·(cid:283)(cid:168)(cid:45)(cid:284)(cid:87)(cid:62)(cid:46)(cid:55)(cid:54)(cid:131)(cid:29)(cid:27) (cid:31)(cid:55) = =90°(cid:55) (cid:179) (cid:94)
(cid:145)(cid:69) (cid:179) (cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:55)(cid:40)(cid:41)(cid:10) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐶 𝑀 𝑁
𝐴𝐶 𝐵𝐷
(1) = (cid:200)
(2)𝑀𝐷 𝑀𝐵(cid:89)
(cid:15)(cid:92)𝑀(cid:93)𝑁⊥(cid:19)𝐵(1𝐷)(cid:40)(cid:41)(cid:274)(cid:49)(cid:95)
(2)(cid:40)(cid:41)(cid:274)(cid:49)(cid:95)
(cid:15)(cid:94)(cid:95)(cid:19)(cid:79)1(cid:87)(cid:133)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:60)(cid:76)(cid:113) = 1 (cid:55) = 1 (cid:55)(cid:181)(cid:115)(cid:118)(cid:76)(cid:33)(cid:49)(cid:200)
2 2
𝐵𝑀 𝐶 𝐷𝑀 𝐴𝐶
(cid:79)2(cid:87)(cid:111)(cid:112)(cid:26)(cid:32)(cid:48)(cid:59)(cid:118)(cid:76)(cid:33)(cid:40)(cid:200)
(cid:96)(cid:20)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:60)(cid:55)(cid:57)(cid:165)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:55)(cid:108)(cid:109)(cid:70)(cid:56)(cid:152)(cid:153)(cid:88)(cid:69)(cid:49)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:110)(cid:89)(cid:15)(cid:119)(cid:49)(cid:19)(cid:79)1(cid:87)(cid:40)(cid:41)(cid:10) = =90°(cid:55) (cid:69) (cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:55)
= 1 (cid:55) = 1 ∵ (cid:55) ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐶 𝑀 𝐴𝐶
2 2
∴𝐵𝑀 𝐶 𝐷𝑀 𝐴𝐶
= (cid:200)
(cid:79)∴𝑀2𝐷(cid:87)(cid:40)𝑀(cid:41)𝐵(cid:10)(cid:133)(cid:79)1(cid:87)(cid:76)(cid:152) = (cid:55)
(cid:69) (cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:55) 𝑀𝐷 𝑀𝐵
∵𝑁 𝐵𝐷 (cid:89)
∴(cid:15)𝑀(cid:122)𝑁(cid:123)⊥5𝐵-𝐷3(cid:19)(cid:79)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:56)·(cid:80)(cid:155)(cid:285)(cid:286)·(cid:130)(cid:229)(cid:87)(cid:62)(cid:46)(cid:55)(cid:88)B(cid:54)(cid:32)(cid:34) (cid:56)(cid:55)(cid:88)E(cid:54)(cid:32)(cid:34) (cid:56)(cid:55)
= =90°(cid:55) = (cid:55) = (cid:55)M(cid:55)N(cid:94)(cid:145)(cid:69) (cid:55) 𝐴(cid:30)𝐶(cid:31)(cid:88)(cid:89) 𝐵𝐷
∠𝐴𝐵𝐷 ∠𝐷𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐷𝐵 𝐸𝐵 𝐶𝐵 𝐴𝐸 𝐶𝐷
+
A
(1)(cid:33)(cid:40)(cid:10) (cid:200) 科 A
全
★
号
众
(2)(cid:287)(cid:288)(cid:289)△𝐴(cid:105)𝐵𝐸≌(cid:30)△(cid:140)𝐷(cid:238)𝐵𝐶(cid:3)(cid:239)(cid:105)(cid:213)(cid:214)(cid:3)(cid:239)(cid:55)(cid:290)(cid:40)(cid:41)公(cid:291)(cid:30)(cid:157)(cid:276)(cid:89)
注
关
，
源
(cid:15)(cid:92)(cid:93)(cid:19)(𝐵1𝑀)(cid:119)(cid:274)𝐵(cid:49)𝑁(cid:95) 辅 资
教
(2) = (cid:142) (cid:55)(cid:119)(cid:274)(cid:49)(cid:95)
(cid:15)(cid:94)𝑀(cid:95)𝐵 (cid:19)𝑁(cid:79)𝐵1(cid:87)𝑀(cid:111)𝐵(cid:112)⊥(cid:275)𝑁(cid:57)𝐵(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:104)(cid:74)(cid:74)(cid:75)(cid:118)(cid:76)(cid:113)(cid:116)(cid:157)(cid:276)(cid:200)
(cid:79)2(cid:87)(cid:111)(cid:112)(cid:275)(cid:57)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:113)(cid:116) = (cid:55)(cid:111)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:60)(cid:113)(cid:116) = 1 (cid:55)
2
𝐴𝐸 𝐷𝐶 𝐴𝑀 𝐴𝐸
= 1 (cid:55)(cid:113)(cid:116) = (cid:55)(cid:111)(cid:112)(cid:57)(cid:29)(cid:132)(cid:57)(cid:25)(cid:105)(cid:275)(cid:57)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:181)(cid:178)(cid:57)(cid:238)(cid:292)(cid:293)(cid:118)(cid:76)(cid:40)(cid:41) (cid:89)
2
𝐷𝑁 𝐶𝐷 𝑀𝐵 𝑁𝐵 𝑀𝐵⊥𝑁𝐵
(cid:96)(cid:20)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:275)(cid:57)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:104)(cid:74)(cid:246)(cid:102)(cid:103)(cid:55)(cid:49)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:110)(cid:69)(cid:254)(cid:77)(cid:294)(cid:270)(cid:275)(cid:57)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:53)(cid:20)(cid:89)
(cid:15)(cid:119)(cid:49)(cid:19)(cid:79)1(cid:87)(cid:40)(cid:41)(cid:10)(cid:54) (cid:105) (cid:31)(cid:55)
= △𝐴𝐵𝐸 △𝐷𝐵𝐶
(cid:55) =
= 𝐴𝐵 𝐷𝐵
∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐷𝐵𝐶
𝐵𝐸 𝐵𝐶 SAS)
∴(cid:79)△2(cid:87)𝐴𝐵𝐸≌=△𝐷𝐵(cid:55)𝐶( (cid:55)
(cid:75)(cid:133)(cid:62)𝑀(cid:127)𝐵(cid:10) 𝑁𝐵 𝑀𝐵⊥𝑁𝐵
(cid:133)(cid:79)1(cid:87)(cid:76)(cid:152) SAS)
△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐵𝐶(= (cid:55) = (cid:55)
∴M𝐴𝐸(cid:55)N𝐷(cid:94)𝐶(cid:145)(cid:69)∠𝐵𝐴𝐸(cid:55) ∠(cid:30)𝐵𝐷(cid:31)𝐶(cid:88)(cid:55)
∵ = 1 (cid:55) 𝐴𝐸 = 𝐶1𝐷 (cid:55)
2 2
∴𝐴𝑀 𝐴𝐸 𝐷𝑁 𝐶𝐷
= (cid:55)
(cid:54)∴𝐴𝑀 𝐷(cid:105)𝑁 (cid:31)(cid:55)
△𝑀𝐴=𝐵 △𝑁𝐷𝐵
= (cid:55)
𝐴𝑀= 𝐷𝑁
∠𝐵𝐴𝑀 ∠𝐵𝐷𝑁
𝐴𝐵 𝐷𝐵 SAS)
∴△𝑀𝐴=𝐵≌△(cid:55)𝑁𝐷𝐵(
∴𝑀𝐵 =𝑁𝐵 (cid:55)
∠𝑀𝐵𝐴 +∠𝑁𝐵𝐷 =90°(cid:55)
∵∠𝑀𝐵𝐴+∠𝑀𝐵𝐷=90°(cid:55)
(cid:118)∴∠𝑀𝐵𝐷 =∠9𝑁0°𝐵(cid:55)𝐷
+
A
A
科
∠M𝑀B𝐵𝑁NB(cid:89)
★
全
号
众
公
注
【
∴
题型
⊥6
直角三角形斜边的中线与尺，规作
关
图的综合】
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:78)6(cid:19)(cid:79)2025·(cid:159)(cid:135)·(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:62)(cid:46)(cid:55)(cid:54) (cid:31)(cid:55) =90°(cid:55)(cid:295)(cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:197)(cid:54)(cid:29) (cid:56)(cid:33)(cid:45)(cid:59)(cid:88) (cid:55)(cid:174)
(cid:175) (cid:55)(cid:72) (cid:94) (cid:71)(cid:143)(cid:61)(cid:57)(cid:165)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:89)(cid:79)△(cid:296)𝐴𝐵(cid:297)𝐶(cid:45)(cid:46)∠(cid:264)𝐶(cid:298)(cid:55)(cid:299)(cid:300)(cid:45)(cid:197)(cid:87) 𝐴𝐵 𝑃
𝐶𝑃 𝐶𝑃 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:92)(cid:93)(cid:19)(cid:45)(cid:46)(cid:274)(cid:49)(cid:95)
(cid:15)(cid:94)(cid:95)(cid:19)(cid:96)(cid:20)(cid:99)(cid:100)(cid:30)(cid:45)(cid:32)(cid:34)(cid:30)(cid:194)(cid:24)(cid:177)(cid:94)(cid:32)(cid:55)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:55)(cid:57)(cid:165)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:74)(cid:195)(cid:55)(cid:62)(cid:46)(cid:55)
(cid:45)(cid:29) (cid:30)(cid:194)(cid:24)(cid:177)(cid:94)(cid:32) (cid:192) (cid:58) (cid:55)(cid:91) (cid:118)(cid:71)(cid:190)(cid:33)(cid:89)
(cid:15)(cid:119)𝐴(cid:49)𝐵(cid:19)(cid:49)(cid:10)(cid:62)(cid:46)(cid:55)(cid:45)𝑀(cid:29)𝑁 𝐴(cid:30)𝐵(cid:194)𝑃(cid:24)(cid:177)(cid:94)𝑃(cid:32) (cid:192) (cid:58) (cid:55)(cid:91) (cid:118)(cid:71)(cid:190)(cid:33)(cid:200)
𝐴𝐵 𝑀𝑁 𝐴𝐵 𝑃 𝑃(cid:75)(cid:133)(cid:10)(cid:133)(cid:45)(cid:46)(cid:76)(cid:113)(cid:10) = (cid:55)
=90°(cid:55) 𝐴𝑃 𝐵𝑃
∵∠𝐴𝐶=𝐵 = (cid:55)
∴𝐴𝑃 𝐶(cid:55)𝑃 𝐵𝑃 (cid:301)(cid:69)(cid:57)(cid:165)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:89)
(cid:15)∴△(cid:122)𝐴(cid:123)𝐶𝑃6-1(cid:19)△(cid:62)𝐵(cid:46)𝐶𝑃(cid:55)(cid:88)E(cid:71)Rt ABC(cid:28)(cid:29)AB(cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:55)(cid:174)(cid:175)CE(cid:55)(cid:70)(cid:88)A(cid:71)(cid:184)(cid:185)(cid:55)AC(cid:71)(cid:60)(cid:187)(cid:30)(cid:184)(cid:189)(cid:192)AB(cid:58)
(cid:88)D(cid:55)(cid:91)BD CE(cid:89)(cid:79)(cid:302)“(cid:303)△”(cid:55)“(cid:304)”(cid:305)“(cid:256)”(cid:87)
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
(cid:15)(cid:92)(cid:93)(cid:19)(cid:304) 源 ，
资
辅
教
(cid:15)(cid:94)(cid:95)(cid:19)(cid:111)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:60)(cid:118)(cid:76)(cid:33)(cid:49)(cid:89)
(cid:15)(cid:119)(cid:49)(cid:19)(cid:49)(cid:10) (cid:88)E(cid:71)Rt ABC(cid:28)(cid:29)AB(cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:55)
CE= 1AB=BE(cid:55) ∵ △
2
∴BD=BE+DE=CE+DE>CE(cid:55)
∵(cid:120)(cid:92)(cid:93)(cid:71)(cid:10)>(cid:89)
(cid:15)(cid:88)(cid:227)(cid:19)(cid:96)(cid:20)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:31)(cid:88)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:55)(cid:41)(cid:77)“(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:60)”(cid:69)(cid:49)(cid:20)(cid:30)
(cid:3)(cid:110)(cid:89)
(cid:15)(cid:122)(cid:123)6-2(cid:19)(cid:79)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:131)(cid:306)(cid:307)(cid:221)·(cid:130)(cid:229)(cid:87) (cid:62)(cid:46)(cid:55)(cid:54)Rt (cid:31)(cid:55) =90°(cid:55)(cid:94)(cid:145)(cid:70)(cid:88)C(cid:55)B(cid:71)(cid:184)
(cid:185)(cid:55)(cid:70)(cid:186)(cid:58) 1 (cid:71)(cid:60)(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:55)(cid:143)(cid:189)(cid:191)(cid:192)(cid:58)(cid:88)M(cid:55)N(cid:55)(cid:45)(cid:24)(cid:32) △ (cid:94) 𝐴 (cid:145) 𝐵𝐶 (cid:192) ∠𝐵 (cid:58) 𝐴𝐶 (cid:88)D(cid:55)E(cid:55)(cid:174)(cid:175) (cid:191)(cid:192)(cid:58)
2
(cid:88)P(cid:89)(cid:90) 𝐵 = 𝐶 23°(cid:55)(cid:91) (cid:30)(cid:186)(cid:193)(cid:71) (cid:89) 𝑀𝑁 𝐴𝐵,𝐶𝐵 𝐶𝐷,𝐴𝐸
∠𝐵 ∠𝐴𝑃𝐶(cid:15)(cid:92)(cid:93)(cid:19)69°/69(cid:36)
(cid:15)(cid:94)(cid:95)(cid:19)(cid:96)(cid:20)(cid:99)(cid:100)(cid:45)(cid:46) (cid:269)(cid:96)(cid:45)(cid:46)(cid:55)(cid:32)(cid:34)(cid:30)(cid:194)(cid:24)(cid:177)(cid:94)(cid:32)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:55)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:57)(cid:152)(cid:153)(cid:55)(cid:49)(cid:20)(cid:30)
(cid:3)(cid:110)(cid:69)(cid:308)(cid:309)(cid:46)(cid:310)(cid:6)(cid:311)(cid:55)−(cid:312)(cid:313)(cid:250)(cid:23)(cid:190)(cid:11)(cid:152)(cid:153)(cid:49)(cid:50)(cid:53)(cid:20)(cid:89)(cid:133)(cid:45)(cid:46)(cid:76)(cid:152) = (cid:55)(cid:76)(cid:113) = =23°(cid:55)(cid:111)(cid:112)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:76)(cid:113) = = (cid:55)(cid:216)(cid:168)(cid:133)(cid:25)(cid:30)(cid:105)𝐴(cid:314)𝐷(cid:3)(cid:239)𝐵𝐷(cid:76)(cid:113)(cid:92)(cid:93)∠(cid:89)𝐷𝐶𝐵 ∠𝐵
(cid:15)(cid:119)(cid:49)(cid:19)(cid:49)(cid:10)(cid:133)(cid:45)(cid:46)(cid:76)(cid:152) (cid:69) (cid:30)𝐴𝐷(cid:194)(cid:24)𝐵(cid:177)𝐷(cid:94)(cid:32)𝐴(cid:55)𝐸
= (cid:55) 𝑀𝑁 𝐵𝐶
∴𝐶𝐷 𝐵=𝐷 =23°(cid:55)
∴∠𝐷𝐶𝐵=9∠0𝐵°(cid:55)
∵∠𝐵𝐴𝐶= =67°(cid:55) = + =46°(cid:55) = (cid:55)
+
A
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90°=−2233°°(cid:55) ∠𝐴𝐷𝐶 ∠𝐷𝐶𝐵 ∠𝐵 𝐴𝐸 𝐵𝐸 科 A
全
★
号
众
∴∠𝐵𝐴𝐸 =∠𝐵 = =67°(cid:55) 公
注
关
，
源
∴∠𝐶𝐴𝑃 =90°−∠𝐵𝐴𝐸 9辅=0°−资23° =44°(cid:55)
教
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐷𝐶𝐵 67°−=23° =69°(cid:55)
(cid:120)∴(cid:92)∠𝐴(cid:93)𝑃𝐶(cid:71)(cid:10)16890°(cid:89)°−∠𝐴𝐶𝑃−∠𝑃𝐴𝐶 180°−44°−67°
(cid:15)(cid:122)(cid:123)6-3(cid:19)(cid:79)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:315)(cid:316)(cid:315)(cid:221)·(cid:130)(cid:31)(cid:87)(cid:62)(cid:46)(cid:55) (cid:55)(cid:88) (cid:54) (cid:56)(cid:55)(cid:142)(cid:317)(cid:318) = (cid:89)
𝐴𝐷∥𝐵𝐶 𝐸 𝐴𝐷 ∠𝐴𝐵𝐸 2∠𝐸𝐵𝐶
(1)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:10)(cid:54) (cid:56)(cid:33)(cid:45)(cid:88) (cid:55)(cid:72)(cid:113) + =90°(cid:200)(cid:79)(cid:299)(cid:300)(cid:45)(cid:197)(cid:55)(cid:296)(cid:297)(cid:45)(cid:46)(cid:264)(cid:298)(cid:87)
(2)(cid:90) (cid:192) (cid:58)(cid:88)𝐵𝐶(cid:55) (cid:69) (cid:30)𝐺 (cid:31)(cid:88)(cid:55)∠(cid:174)𝐴𝐵(cid:175)𝐶 (cid:55)∠𝐵(cid:33)𝐴(cid:40)𝐺(cid:10) = (cid:89)
(cid:15)(cid:92)(cid:93)𝐴𝐺(cid:19)(1𝐵)𝐹(cid:274)(cid:119)(cid:49)𝐻 𝐹 𝐸𝐻 𝐴𝐹 𝐴𝐵 𝐴𝐹
(2)(cid:274)(cid:119)(cid:49)
(cid:15)(cid:94)(cid:95)(cid:19)(cid:79)1(cid:87)(cid:176)(cid:88)A(cid:45) (cid:58)(cid:88)G(cid:55)(cid:120) + =90°(cid:55)(cid:91)(cid:88)G(cid:118)(cid:71)(cid:190)(cid:33)(cid:89)
(cid:79)2(cid:87)(cid:133)(cid:79)1(cid:87)(cid:76)(cid:152) 𝐴=𝐺9⊥0𝐵°(cid:55)𝐶(cid:133)(cid:177)(cid:178)(cid:32)(cid:30)∠(cid:102)𝐴(cid:103)𝐵𝐶(cid:76)(cid:113)∠𝐵𝐴𝐺 = (cid:55) = =90°(cid:55)(cid:157)(cid:48)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
∠𝐴𝐺𝐵 ∠𝐴𝐸𝐻 ∠𝐸𝐵𝐶 ∠𝐸𝐴𝐻 ∠𝐴𝐺𝐵(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:76)(cid:113) = 1 = (cid:55)(cid:91) = (cid:55)(cid:76)(cid:113) = + = (cid:55)
2
𝐴𝐹 𝐸𝐻 𝐸𝐹 ∠𝐸𝐴𝐹 ∠𝐴𝐸𝐹 ∠𝐴𝐹𝐵 ∠𝐸𝐴𝐹 ∠𝐴𝐸𝐹 2∠𝐴𝐸𝐹
(cid:181)(cid:115)(cid:76)(cid:113) = (cid:55)(cid:91)(cid:76)(cid:113) = (cid:89)
(cid:15)(cid:119)(cid:49)(cid:19)∠(cid:79)𝐴1𝐹(cid:87)𝐵(cid:49)(cid:10)∠(cid:62)𝐴𝐵(cid:46)𝐸(cid:55)(cid:88)G(cid:118)𝐴(cid:71)𝐵(cid:190)(cid:33)𝐴𝐹(cid:89)
(cid:79)2(cid:87)(cid:40)(cid:41)(cid:10)(cid:133)(cid:79)1(cid:87)(cid:76)(cid:152)(cid:55) =90°(cid:89)
(cid:55) ∠𝐴𝐺𝐵
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶= (cid:55) = =90°(cid:55)
∴∠𝐴𝐸𝐻 (cid:71)∠(cid:24)𝐸𝐵(cid:25)𝐶(cid:26)(cid:25)∠𝐸(cid:27)𝐴(cid:89)𝐻 ∠𝐴𝐺𝐵
∴F△(cid:69)𝐴𝐸𝐻(cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:55)
∵ 𝐸𝐻1
= =
+
2 A A
科
全
∴𝐴𝐹 = 𝐸𝐻 𝐸𝐹 (cid:55) 众 号 ★
公
注
关
∴∠𝐸𝐴𝐹 =∠𝐴𝐸𝐹+ = 源(cid:89) ，
资
辅
教
∴∠𝐴𝐹𝐵 =∠𝐸𝐴𝐹 (cid:55)∠𝐴𝐸𝐹 =2∠𝐴𝐸𝐹(cid:55)
∵∠𝐴𝐵𝐸=2∠𝐸𝐵𝐶(cid:55)∠𝐴𝐸𝐻 ∠𝐸𝐵𝐶
∴∠𝐴𝐵𝐸= 2∠𝐴𝐸𝐻(cid:55)
∴∠𝐴𝐹=𝐵 (cid:89)∠𝐴𝐵𝐸
∴(cid:15)𝐴(cid:88)𝐵(cid:227)(cid:19)𝐴𝐹(cid:96)(cid:20)(cid:99)(cid:100)(cid:45)(cid:46)—(cid:319)(cid:320)(cid:45)(cid:46)(cid:179)(cid:177)(cid:178)(cid:32)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:179)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:321)(cid:25)(cid:102)(cid:103)(cid:179)(cid:57)(cid:165)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:104)(cid:74)(cid:42)(cid:102)(cid:103)(cid:179)(cid:24)(cid:25)
(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:55)(cid:49)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:110)(cid:69)(cid:75)(cid:49)(cid:20)(cid:154)(cid:55)(cid:312)(cid:313)(cid:250)(cid:23)(cid:190)(cid:11)(cid:152)(cid:153)(cid:49)(cid:50)(cid:53)(cid:20)(cid:89)
【题型7 利用直角三角形斜边的中线解决折叠问题】
(cid:15)(cid:78)7(cid:19)(cid:79)23-24(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:56)·(cid:134)(cid:224)(cid:322)(cid:221)·(cid:130)(cid:31)(cid:87)(cid:62)(cid:46)1(cid:55)(cid:54) (cid:31)(cid:55) =90°(cid:55) (cid:71) (cid:31)(cid:88)(cid:89)(cid:230) (cid:210)
(cid:323)(cid:51)(cid:55)(cid:113)(cid:116) (cid:79)(cid:62)(cid:46)2(cid:87)(cid:55) (cid:71) (cid:56)(cid:59)(cid:88)(cid:55)(cid:117)(cid:230)△𝐴𝐵𝐶 (cid:210)∠𝐴𝐶(cid:323)𝐵(cid:51)(cid:55)(cid:72)(cid:113)𝑀(cid:42)𝐴𝐵(cid:324)(cid:48)(cid:79)(cid:62)(cid:46)△3(cid:87)𝐴𝐶(cid:55)𝑀(cid:325)
(cid:166)𝐶𝑀(cid:127)(cid:232)(cid:131)(cid:61)(cid:326)(cid:20)△(cid:10)𝐷𝐶𝑀 (cid:200) 𝑃 𝐶𝐷 (cid:200) △𝐷𝑀=𝑃 𝑀𝑃(cid:200) 𝐷 (cid:89)𝐵(cid:327)(cid:31)(cid:254)(cid:77)(cid:30)(cid:69)(cid:79) (cid:87)
①𝐵𝑃∥𝐴𝐶 ②△𝑃𝐵𝐶≌△𝑃𝑀𝐶 ③∠𝐵𝑃𝐶 ∠𝐵𝑀𝐶 ④𝑃𝐶⊥𝐵𝑀A(cid:89) B(cid:89) C(cid:89) D(cid:89)
(cid:15)(cid:92)(cid:93)(cid:19)①C④ ②④ ①③ ①③④
(cid:15)(cid:94)(cid:95)(cid:19)(cid:111)(cid:112)(cid:51)(cid:52)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:113)(cid:116) = (cid:55) = (cid:55)(cid:57)(cid:238)(cid:292)(cid:293)(cid:113)(cid:116) = (cid:55)(cid:76)(cid:113) (cid:55)(cid:118)(cid:76)(cid:104)(cid:328)
(cid:200)(cid:329)(cid:330) (cid:55)(cid:111)∠(cid:112)𝐷(cid:275)(cid:57)∠𝐴(cid:26)(cid:25)∠(cid:27)𝐷(cid:30)(cid:102)∠𝑃(cid:103)𝐵(cid:113)𝐴(cid:116) = (cid:55)(cid:133)∠(cid:24)𝐴(cid:25)(cid:26)∠𝑃(cid:25)𝐵(cid:27)𝐴(cid:30)(cid:102)(cid:103)𝐵(cid:113)𝑃(cid:116)∥𝐴𝐶 = (cid:55)(cid:58)
①(cid:69)(cid:113)(cid:116) △𝑃𝐵(cid:42)𝐶≌△𝑃𝑀(cid:299)𝐶(cid:59)(cid:74)(cid:275)(cid:57)(cid:55)(cid:118)(cid:76)(cid:104)(cid:328) (cid:200)(cid:111)(cid:112)𝐵(cid:57)𝐶(cid:165)(cid:26)𝑀(cid:25)𝐶(cid:27)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:113)(cid:116) = (cid:55)(cid:113)𝐵(cid:116)𝑀 𝐶𝑀
= △𝑃𝐵(cid:55)𝐶(cid:111)(cid:112)△(cid:26)𝑃𝑀(cid:25)𝐶(cid:27)(cid:30)(cid:164)(cid:25)(cid:105)(cid:113)(cid:116) =② (cid:55)(cid:118)(cid:76)(cid:104)(cid:328) (cid:200)(cid:329)(cid:330) 𝐶𝑀 (cid:55)𝐷(cid:113)𝑀(cid:116) = (cid:55)
(cid:133)∠𝐷(cid:24)(cid:25)∠(cid:26)𝑃𝐵(cid:25)𝐴(cid:27)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:113)(cid:116) = (cid:55)(cid:113)(cid:116)∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝐵𝑀𝐶(cid:55)(cid:198)(cid:166) (cid:299)(cid:59)③(cid:74)(cid:57)(cid:58)3𝑃0𝐶°(cid:55)⊥(cid:113)𝐵𝑀(cid:116) (cid:299)(cid:59)∠(cid:74)𝐵𝐶(cid:194)𝑃(cid:24)(cid:58)∠𝐴 (cid:55)
(cid:118)(cid:76)(cid:104)(cid:328) (cid:89) 𝐴𝑀 𝐶𝑀 ∠𝐴 ∠𝐴𝐶𝑀 ∠𝐴 𝑃𝐶 𝐵𝑀
+
A
A
科
(cid:15)(cid:119)(cid:49)(cid:19)(cid:49)④(cid:10)(cid:62)(cid:127)(cid:46)(cid:55)
★
全
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:230) (cid:210) (cid:323)(cid:51)(cid:55)(cid:113)(cid:116) (cid:55)
△=𝐴𝐶𝑀(cid:55)𝐶𝑀 △𝐷𝐶𝑀
∴(cid:117)∠𝐷(cid:230) ∠𝐴 (cid:210) (cid:323)(cid:51)(cid:55)(cid:72)(cid:113) (cid:42) (cid:324)(cid:48)(cid:55)
∵ =△𝐷𝑀𝑃(cid:55)𝑀𝑃 𝐷 𝐵
∴∠𝐷= ∠𝑃𝐵𝐴(cid:55)
∴∠𝐴 ∠(cid:55)𝑃𝐵(cid:120)𝐴 (cid:254)(cid:77)(cid:200)
(cid:329)∴𝐵(cid:330)𝑃∥𝐴𝐶 ① (cid:55)(cid:91)(cid:163) = (cid:55)
(cid:54) △𝑃𝐵𝐶(cid:31)≌(cid:55)△𝑃𝑀𝐶 =90°(cid:55)𝐵𝐶 (cid:71)𝑀𝐶(cid:31)(cid:88)(cid:55)
∵ △=𝐴𝐵𝐶(cid:55) ∠𝐴𝐶𝐵 𝑀 𝐴𝐵
∴𝐵𝑀= 𝐶𝑀= (cid:55)
∴𝐵𝐶 𝐵𝑀 𝐶𝑀=60°(cid:55)(cid:115) (cid:299)(cid:59)(cid:74)(cid:57)(cid:58)60°(cid:55)
∴∠𝐴𝐵𝐶 (cid:42) ∠(cid:299)𝐴(cid:59)𝐵𝐶(cid:74)(cid:275)(cid:57)(cid:200)(cid:120) (cid:281)(cid:331)(cid:200)
∴△𝑃=𝐵𝐶 (cid:55)△𝑃𝑀𝐶 ②
∵𝐶𝑀=𝐴𝑀(cid:55)
∴𝐶𝑀= 𝐷𝑀 (cid:55)
∴∠𝐷=∠𝐷𝐶𝑀(cid:55)
∵∠𝐷= ∠𝑃(cid:55)𝐵𝐴
∴∠1 ∠=2 (cid:55)(cid:120) (cid:254)(cid:77)(cid:200)
∴(cid:329)∠(cid:330)𝐵𝑃𝐶 ∠𝐵𝑀(cid:55)𝐶(cid:91) ③= (cid:55)
(cid:54) 𝑃𝐶⊥𝐵(cid:31)𝑀(cid:55) ∠𝐵𝐶=𝑃90∠°(cid:55)𝐴 (cid:71) (cid:31)(cid:88)(cid:55)
∵ △=𝐴𝐵𝐶(cid:55) ∠𝐴𝐶𝐵 𝑀 𝐴𝐵
∴𝐴𝑀= 𝐶𝑀
∴∠𝐴 ∠=𝐴𝐶𝑀
+
A
∵∠𝐴𝐶𝑀= ∠𝐷𝐶𝑀= =30°(cid:55) 科 A
全
★
号
众
∴∠𝐵𝐶=𝑃30°∠(cid:55)𝐷(cid:115)𝐶𝑀 (cid:299)∠(cid:59)𝐴𝐶(cid:74)𝑀(cid:57)(cid:58)30°(cid:55) 公
注
关
，
源
∴∠𝐴(cid:299)(cid:59)(cid:74)(cid:194)(cid:24)∠(cid:58)𝐴 (cid:55)(cid:120)辅(cid:281)资(cid:331)(cid:89)
教
∴(cid:47)𝑃(cid:56)𝐶(cid:190)(cid:332)(cid:55) (cid:69)𝐵(cid:160)𝑀(cid:326)(cid:20)④(cid:89)
(cid:120)(cid:121)(cid:10)C(cid:89) ①③
(cid:15)(cid:88)(cid:227)(cid:19)(cid:96)(cid:20)(cid:99)(cid:100)(cid:30)(cid:69)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:179)(cid:275)(cid:57)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:104)(cid:74)(cid:74)(cid:75)(cid:179)(cid:323)(cid:236)(cid:122)(cid:293)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:69)(cid:49)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:110)(cid:89)
(cid:15)(cid:122)(cid:123)7-1(cid:19)(cid:79)22-23(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:56)·(cid:134)(cid:224)(cid:81)(cid:156)·(cid:130)(cid:229)(cid:87)(cid:62)(cid:46)(cid:55)(cid:54)Rt (cid:31)(cid:55) =90°(cid:55) =54°(cid:55) (cid:69)(cid:28)(cid:29)
(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:55)(cid:230) (cid:210) (cid:323)(cid:51)(cid:55)(cid:72)(cid:88)B(cid:333)(cid:54)(cid:88)F(cid:334)(cid:55)(cid:32)(cid:34)△𝐴𝐵(cid:42)𝐶 (cid:191)∠(cid:192)𝐵𝐴(cid:58)𝐶(cid:88)E(cid:55)(cid:91)∠𝐶 (cid:30)(cid:36)(cid:140)𝐴(cid:71)𝐷(cid:79) (cid:87)
𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐹 𝐵𝐶 ∠𝐴𝐸𝐷
A(cid:89)120° B(cid:89)108° C(cid:89)72° D(cid:89)36°
(cid:15)(cid:92)(cid:93)(cid:19)C(cid:15)(cid:94)(cid:95)(cid:19)(cid:133)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:143)(cid:255)(cid:25)(cid:161)(cid:137)(cid:105)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:113) =36°(cid:55) = = (cid:118)(cid:76)(cid:113)(cid:116)
= =36°(cid:55)(cid:133)(cid:51)(cid:52)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:113) = =36∠°(cid:55)𝐵(cid:91) 𝐴=𝐷18°(cid:55)𝐵𝐷(cid:133)(cid:26)𝐶(cid:25)𝐷,(cid:27)(cid:321)(cid:25)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:118)(cid:76)(cid:113)(cid:116)
∠𝐵 (cid:30)∠𝐷(cid:36)𝐴𝐵(cid:140)(cid:89) ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐷𝐴𝐸 ∠𝐶𝐴𝐸
(cid:15)∠𝐴(cid:119)𝐸𝐷(cid:49)(cid:19)(cid:49)(cid:10) (cid:54)Rt (cid:31)(cid:55) =90°(cid:55) =54°(cid:55) (cid:69)(cid:28)(cid:29) (cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:55)
= ∵ = △𝐴𝐵𝐶=36∠°𝐵(cid:55)𝐴𝐶 = =∠𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶
∴∠𝐵=90°−∠𝐶=369°0(cid:55)°−54° 𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝐶𝐷,
∴(cid:230)∠𝐵 ∠𝐷𝐴(cid:210)𝐵 (cid:323)(cid:51)(cid:55)(cid:72)(cid:88)B(cid:333)(cid:54)(cid:88)F(cid:334)(cid:55)(cid:32)(cid:34) (cid:42) (cid:191)(cid:192)(cid:58)(cid:88)E(cid:55)
∵ △𝐴𝐵=𝐷 𝐴𝐷=36°(cid:55) 𝐴𝐹 𝐵𝐶
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐸 =18°(cid:55)
∴∠𝐶𝐴𝐸 =∠𝐵𝐴𝐶−+∠𝐵𝐴𝐷=−7∠2𝐷°(cid:89)𝐴𝐸
∴(cid:120)∠(cid:121)𝐴𝐸(cid:10)𝐷C ∠𝐶𝐴𝐸 ∠𝐶
(cid:15)(cid:88)(cid:227)(cid:19)(cid:199)(cid:20)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:51)(cid:52)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:179)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:179)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:321)(cid:25)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:57)(cid:152)(cid:153)(cid:55)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)
(cid:102)(cid:103)(cid:69)(cid:49)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:110)(cid:89)
+
A
(cid:15)(cid:122)(cid:123)7-2(cid:19)(cid:62)(cid:46)(cid:55)(cid:54) (cid:31)(cid:55) =90°(cid:55) (cid:55) (cid:94)(cid:145)(cid:71) (cid:55) (cid:56)(cid:59)(cid:88)科(cid:55)(cid:230)A (cid:55) (cid:210) (cid:55) (cid:323)(cid:51)(cid:55)
全
★
号
众
(cid:88) (cid:55) (cid:335)(cid:336)(cid:324)(cid:48)(cid:58)(cid:88)Δ(cid:334)𝐴𝐵(cid:55)𝐶(cid:90) ∠𝐴𝐶(cid:31)𝐵(cid:163)(cid:59)(cid:61)(cid:25)𝐷(cid:57)(cid:58)𝐸公48°(cid:55)(cid:91)𝐴𝐵 𝐴=𝐶 (cid:89) Δ𝐵𝐶𝐷 Δ𝐴𝐷𝐸 𝐶𝐷 𝐷𝐸
注
关
，
源
𝐴 𝐵 𝑃 辅 资Δ𝑃𝐶𝐷 ∠𝐴
教
(cid:15)(cid:92)(cid:93)(cid:19)42°(cid:305)24°(cid:89)
(cid:15)(cid:94)(cid:95)(cid:19)(cid:133)(cid:51)(cid:52)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:113)(cid:166)AD(cid:256)PD(cid:256)BD(cid:55) CPD(cid:256) B(cid:55) PDC(cid:256) BDC(cid:55) PCD(cid:256) DCB(cid:55)(cid:133)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)
(cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:102)(cid:103)(cid:113)(cid:166)CD(cid:256) 1AB(cid:256)AD(cid:256)BD(cid:55)(cid:133) ∠ (cid:57)(cid:165)(cid:26) ∠ (cid:25)(cid:27)(cid:30) ∠ (cid:102)(cid:103)(cid:113) ∠ (cid:166) ACD∠ (cid:256) A(cid:55) ∠DCB(cid:256) B(cid:55)(cid:117)(cid:94)(cid:26)(cid:337)(cid:338)
2
∠ ∠ ∠ ∠
(cid:339)(cid:340)(cid:276)(cid:118)(cid:76)(cid:89)
(cid:15)(cid:119)(cid:49)(cid:19)(cid:49)(cid:10)(cid:133)(cid:51)(cid:52)(cid:76)(cid:113)(cid:55)AD(cid:256)PD(cid:256)BD(cid:55) CPD(cid:256) B(cid:55) PDC(cid:256) BDC(cid:55) PCD(cid:256) DCB(cid:55)
D(cid:69)AB(cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:55) ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
∴CD(cid:256) 1AB(cid:256)AD(cid:256)BD(cid:55)
2
∴ ACD(cid:256) A(cid:55) DCB(cid:256) B(cid:55)
∴∠ ∠ ∠ ∠(cid:146) CPD(cid:256)48°(cid:147)(cid:55) B(cid:256)48°(cid:55)
∠A(cid:256)90°− B(cid:256)42∠°(cid:200)
∴(cid:146)∠ PCD(cid:256)4∠8°(cid:147)(cid:55) DCB(cid:256) B(cid:256)48°(cid:55)
∠A(cid:256)42°(cid:200) ∠ ∠
(cid:146)∴∠ PDC(cid:256)48°(cid:147)(cid:55)(cid:91) PDC(cid:256) BDC(cid:256)48°(cid:55)
∠BDC(cid:256) A(cid:341) ACD∠(cid:55) ACD∠(cid:256) A(cid:55)
∵∠A(cid:256)1 B∠DC(cid:256) ∠
24°(cid:200)
∠ ∠
2
∴∠ ∠
(cid:120)(cid:92)(cid:93)(cid:71)(cid:10)42°(cid:305)24°(cid:89)
(cid:15)(cid:88)(cid:227)(cid:19)(cid:96)(cid:20)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:323)(cid:51)(cid:122)(cid:293)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:179)(cid:57)(cid:165)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:179)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:102)(cid:103)(cid:200)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:323)(cid:51)
(cid:122)(cid:293)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:105)(cid:57)(cid:165)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:69)(cid:49)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:110)(cid:89)
(cid:15)(cid:122)(cid:123)7-3(cid:19)(cid:79)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:56)·(cid:134)(cid:224)(cid:81)(cid:156)·(cid:130)(cid:229)(cid:87)(cid:62)(cid:46)(cid:55)(cid:54) (cid:31)(cid:55) =90°(cid:55)D(cid:69) (cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:55)(cid:342)
(cid:210)(cid:343) (cid:323)(cid:51)(cid:113)(cid:116) (cid:55)(cid:174)(cid:175) (cid:55)(cid:90) = (cid:55)(cid:91) △(cid:71)𝐴(cid:79)𝐵𝐶 (cid:87)∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 △𝐵𝐶𝐷
′ ′ ′
𝐵𝐷 △𝐵𝐶 𝐷 𝐴𝐶 ∠𝐶 𝛼 ∠𝐶 𝐴𝐵
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
1
A(cid:89) B(cid:89) C(cid:89) D(cid:89)
2
(cid:15)(cid:92)(cid:93)(cid:19)𝛼
B
90°−𝛼 180°−2𝛼 2𝛼−90°
(cid:15)(cid:94)(cid:95)(cid:19)(cid:180)(cid:111)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:113) = = (cid:55)(cid:113) = = (cid:55)(cid:133)(cid:323)(cid:51)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:76)(cid:113)
′
= (cid:55)(cid:198)(cid:166) = (cid:55)(cid:111)(cid:112) =𝐴𝐷 𝐵(cid:55)𝐷(cid:133)(cid:26)𝐶𝐷(cid:25)(cid:27)(cid:321)∠(cid:25)𝐶𝐵(cid:102)𝐷(cid:103)(cid:113)∠𝐶 𝛼 = (cid:55)(cid:113) 𝐶 (cid:55)
′ ′ ′ ′ ′ ′
𝐷(cid:113) 𝐶‘𝐷 = ∠𝐴𝐶=𝐷 ∠𝐶(cid:89)𝐴𝐷 ∠𝐵𝐷𝐶 ∠𝐵𝐷𝐶 ∠𝐴𝐶 𝐷 ∠𝐵𝐷𝐶 𝐴𝐶 ∥𝐵𝐷
(cid:15)∠(cid:119)𝐶(cid:49)𝐴(cid:19)𝐵(cid:49)(cid:10)∠𝐴𝐵(cid:54)𝐷 90°−(cid:31)𝛼(cid:55) =90°(cid:55) = (cid:55)D(cid:69) (cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:55)
= = ∵ (cid:55)△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝛼 𝐴𝐶
∴𝐴𝐷 𝐵=𝐷 𝐶=𝐷 (cid:55)
∴∠𝐶𝐵𝐷 =∠𝐶 𝛼 = (cid:55)
∴(cid:133)∠(cid:51)𝐴𝐵(cid:52)𝐷(cid:152)(cid:55)∠𝐴𝐵𝐶=−∠𝐶𝐵(cid:55)𝐷 90°−𝛼
′
= (cid:55)𝐶 𝐷 𝐶𝐷
′
∴𝐶 𝐷 𝐴𝐷= (cid:55)
′ ′
∴∠𝐴𝐶 𝐷+ ∠𝐶 𝐴𝐷= + (cid:55)(cid:142) = (cid:55)
′ ′ ′ ′
∵∠𝐴𝐶 𝐷=∠𝐶 𝐴𝐷(cid:55)∠𝐵𝐷𝐶 ∠𝐵𝐷𝐶 ∠𝐵𝐷𝐶 ∠𝐵𝐷𝐶
′ ′
∴∠𝐴𝐶 𝐷 (cid:55)∠𝐵𝐷𝐶
′
∴𝐴𝐶‘ ∥𝐵=𝐷 = (cid:89)
(cid:120)∴∠(cid:121)𝐶(cid:10)𝐴𝐵B(cid:89)∠𝐴𝐵𝐷 90°−𝛼
(cid:15)(cid:88)(cid:227)(cid:19)(cid:96)(cid:20)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:323)(cid:51)(cid:89)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:323)(cid:51)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:55)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:102)(cid:103)(cid:55)(cid:57)(cid:165)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:30)
(cid:104)(cid:74)(cid:105)(cid:102)(cid:103)(cid:55)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:321)(cid:25)(cid:102)(cid:103)(cid:55)(cid:177)(cid:178)(cid:32)(cid:30)(cid:104)(cid:74)(cid:105)(cid:102)(cid:103)(cid:55)(cid:69)(cid:49)(cid:20)(cid:3)(cid:110)(cid:89)
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
