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专题06.直角三角形中的分类讨论模型
直角三角形是特殊三角形中最重要的一类三角形，它的重要性与等腰三角形有所不同，到初二初三，
特别是到了初三，直角三角形往往不是独立成题，而是融入到各种图形中，可以说，多数的几何图形，都
能找到直角三角形的影子，自然就会涉及到直角三角形有关的性质运用，本专题我们就讲直角三角形的分
类讨论模型。
.........................................................................................................................................2
模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型..................................................................................2
模型2.直角三角形存在性模型...............................................................................................................16
.......................................................................................................................................58
【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，以三角形三个内角（三条边）谁为直角（斜边）分三种情况讨论，
若只存在两种情况，则另一种不为直角的情况要简要说明理由。
有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便。在平面直角坐标系中，两点间的
距离公式常常用到。解直角三角形的问题，常常和勾股定理问题联系在一起．
模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型
若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。
例1．（2023秋·重庆·八年级统考期末）已知三角形的两边分别为6和8，当第三边为 时，此
三角形是直角三角形．【答案】10或
【详解】解：当6和8都为直角边长时，则第三边长为 =10；
当6为直角边长，8为斜边长时，则第三边长为 ，
∴当第三边为10或 时，此三角形是直角三角形，故答案为：10或 ．
例2．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在 中， ， 、 分别
是 的高和角平分线，点E为 边上一点，当 为直角三角形时，则 ．
【答案】50或25/25或50
【详解】解：∵ ，∴
∵ 平分 ∴ 当 为直角三角形时，有以下两种情况：
①当 时，如图1，∵ ，∴ ；
②当 时，如图2，∴ ，∵ ，∴
，
综上， 的度数为 或 ．故答案为：50或25．
例3．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图， 是等边三角形，点 与点 分别在边 与 上，将 沿直线 折叠，使得 的对应点 落到 边上，当 为直角三角形时， 的度数为
（ ）
A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60°
【答案】A
【详解】解： 为等边三角形， ， 当 为直角三角形时，有以下两种情况：
①当 时，如图1所示：
则 ，由折叠的性质得： ，
②当 为直角时，如图2所示：
则 ， ，由折叠的性质得： ，
综上所述： 的度数为 或 ．故选：A．
例4．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在 中， ， ， ，点 在
的垂直平分线上， 是 上一动点， 沿 折叠得到 ，当 是直角三角形时，则
的长为 ．【答案】 或
【详解】解： 点 在 的垂直平分线上， 沿 折叠得到 ，
， ，
是直角三角形， 只能是 ，如图，
，
在 中， ， ， ， ， ，
， ， ， ，
在 中， ，由勾股定理得： ，即 ，解得：
，
在 中，由勾股定理得： ，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得： ，即 ，
解得： ， ，故答案为： 或 ．
模型2.直角三角形存在性模型直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。
直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨
论，如下面模型构建。
“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。
问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形．
分三种情况，如图：
①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P 即为所求；
1
②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P 即为所求；
2
③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点
P，P 即为所求．
3 4
代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②
AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况
不存在。
几何法计算：特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理求解．
例1．（2023·河南新乡·八年级校考期末）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网
格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， 都是等腰直角三角形，故共有3个点，故选C．
例2．（2023·河南新乡·八年级校考期中）平面直角坐标系中有点 、 ，连接AB，以AB为直
角边在第一象限内作等腰直角三角形 ，则点C的坐标是 ．
【答案】 或 / 或
【详解】解：如图， 、 ，
以AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形 ，则 ,
①当 时，过点 作 轴于点 ，
在 与 中②当 时，过点 作 轴于点 ，同理可得
，
综上，点C的坐标是 或 故答案为： 或
例3．（2023春·重庆·八年级专题练习）已知在平面直角坐标系中 ，点P在x
轴上运动，当点P与点A，B，C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ．
【答案】 或 或
【详解】解：∵点P、A、B在x轴上，∴P、A、B三点不能构成三角形．设点P的坐标为 ．
当 为直角三角形时，① ，易知点P在原点处坐标为 ；
② 时，∵ ∴ ，
解得 ，∴点P的坐标为
当 为直角三角形时，① ，易知点P在原点处坐标为 ；
② 时，∵ ， ∴点P的坐标为 ．
综上所述点P的坐标为
例4．（2024·浙江绍兴·八年级校考期中）如图，在 中， ， ，点 是线段
延长线上的一个动点， ，则当 为直角三角形时， 的长为 ．
【答案】 或
【详解】解：如图1，当∠AMB＝90°时，∵O是AB的中点，AB＝2，∴OM＝OB＝1，
又∵∠AOC＝∠BOM＝60°，∴ BOM是等边三角形，∴BM＝BO＝1，
∴Rt ABM中，AM＝ ＝ ；
如图2，当∠ABM＝90°时，∵∠BOM＝∠AOC＝60°，∴∠BMO＝30°，∴MO＝2BO＝AB＝2，
∴Rt BOM中，BM＝ ＝ ，∴Rt ABM中，AM＝ ＝ ，
综上所述，当 ABM为直角三角形时，AM的长为 或 ．故答案为： 或 ．
例5．（23-24九年级上·江西景德镇·期末）如图，等边 的边长为 ，点Q是 的中点，若动点
P以 的速度从点A出发沿 方向运动，设运动时间为t秒，连接 ，当 是直角三角
形时，则t的值为 秒．
【答案】 或2或
【详解】解：连接 ，如图所示：∵等边 的边长为 ，点Q是 的中点，
∴ ， ， ，∴ ，当 时， ，∴ ；
∴当P从 时， ，当P从 时， ；
当 时，点P运动到点B， ．
综上分析可知，t的值为 或2或 ．故答案为： 或2或 ．
例6．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中长方形AOBC的顶点A、B坐标分别为
(0，8)、(10，0)，点D是BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折，使得点C落在OB上的点E处，点F是直
线AD与x轴的交点，连接CF．
(1)点C坐标为____________；(2)求直线AD的函数表达式_______________________；
(3)点P是直线AD上的一点，当△CFP是直角三角形时，请你直接写出点P的坐标．
【答案】(1)（10， ）(2) (3) 、
【详解】（1）解：∵点A、B坐标分别为(0，8)、(10，0)，∴OA=8，OB=10，
∵长方形AOBC，∴AC=OB=10，BC=OA=8，
∵点C在第一象限，∴点C（10，8），故答案为（10，8）；
（2）解：∵将 ACD沿直线AD翻折，使得点C落在OB上的点E处，∴AE=AC=10，ED=CD，
△
在Rt AOE中，OE= ，∴EB=OB-OE=10-6=4，∴设BD=m，∴ED=CD=8-m，
△在Rt EBD中， ，即 ，解方程得 ，∴点D（10，3），
△
设AD解析式为： ，代入坐标得：
，解得 ，∴AD解析式为： ，故答案为： ；
（3）当CP ⊥AF时， CP F为直角三角形，∵点C关于AF的对称点为E，∴直线CE与AF的交点为点
1 1
△
P，设CE解析式为 ，代入坐标得
1
解得 ∴CE解析式为 ∴ 解得 ，∴点P（8，4）
1
当CP ⊥CF时，△CFP 为直角三角形，连结PE，
2 2 2
∵AF为对称轴，∴△FCP≌△FEP，∴CF=EF，PE⊥OF，
2 2 2
当x=6时， ，∴点P（6，5），
2
∴当△CFP是直角三角形时，点P的坐标为（8，4）或（6，5）．
例7．（2023秋·重庆南岸·八年级校考期末）如图，直线 交 轴、 轴分别于点 、 ，直线
与直线 交于点 ，与 轴交于点 ．已知 ， 点的横坐标为 ．
(1)求直线 的解析表达式．(2)若 在线段 上，四边形 的面积为14，求 点坐标．
(3)若点 、 分别为直线 、 上的动点，连结 、 、 ，当 是以 为直角边的等腰直
角三角形时，请直接写出所有点 的坐标，并把求其中一个点 的坐标过程写出来．【答案】(1) (2) (3) 或
【详解】（1）在 中，令 得 ，∴ ，
把 ， 代入 得： ，解得 ，∴直线 的解析表达式为 ．
（2）如图，在 中，令 得 ，令 得 ，
∴ ， ，设 ，∴ ， ，
∵ ，四边形 的面积为14，∴ ，解得 ，∴ ．
（3）设 ， ，
∴ ， ， ，
当 为斜边时，如图： ，解得 ，∴ ，当 为直角边时，如图： ，解得 ，∴ ，
∴M的坐标为 或 ．
1．（2024·辽宁丹东·八年级校考期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以AC为一边，在△ABC
外作等腰直角△ACD，则线段BD的长为 ．
【答案】 或 或
【详解】①如图，当 时，
是等腰直角三角形，
,
②如图，当 时，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
， 是等腰直角三角形，
，
又 是等腰直角三角形
在 中，
在 中，在 中，
③如图，当 时
， 是等腰直角三角形， ，
在 中，
在 中，
综上所述， 的长为： 或 或
2.（2023春·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）如图，在 中， ， ， 是 边上的
动点，点 关于直线 的对称点为 ，连接 交 于 ，当 为直角三角形时， 的长是
．
【答案】 或 /5或2
【详解】解：当 时，如图，
，
， ， ， ， ，由折叠得 ， ， ，设 ， ，
在 中， ， ，即 ；
当 时，如图，作 ，
， ， ，
， ．故答案为：5或2．
3．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）已知如图：在平面直角坐标系中， ， ， ，
，动点P以每秒2个单位的速度，从点B出发沿 向点D运动，；点Q以每秒1个单位的
速度，从点D出发，沿线段 向点A运动．P、Q两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点也停
止运动．运动过程中，以A、P、Q三点组成的三角形为直角三角形时，此时P点坐标为 ．
【答案】(0,0)或 / 或(0,0)
【详解】解：设运动时间为 秒， ， ， ， ，
四边形 是矩形， ， ， ， ， ，
①当 时，此时点 与原点 重合，即P点坐标为 ；
②当 时，如图，此时四边形 是矩形，
， ，解得： ， P点坐标为 ，
③当 时，不存在此种情况，综上可知，P点坐标为 或 ，故答案为： 或
4．（2024·广东·九年级课时练习）如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，点P是边AD上的动点，沿直
线PE将 APE对折，点A落在点F处. 已知AB=6，AD=4，连结CF、CE，当 CEF恰为直角三角形时，
AP的长度△等于___________. △
【答案】 或1
【详解】解：①如图，当∠CFE=90°时，
∵四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边AB的中点，AB=6，AD=4，
∴∠PAE=∠PFE=∠EBC= 90°，AE=EF=BE=3，
∴∠PFE+∠CFE =180°，∴P、F、C三点一线，∴ EFC≌ EBC，
△ △
∴FC=BC=4，EC= =5，∠FEC=∠BEC，∴∠PEF+∠FEC =90°，
设AP=x，则PC=x+4，∴ ,解得x= ；
②如图，当∠CEF=90°∴∠CEB+2∠PEA =90°，∴∠CEB+∠PEA =90°-∠PEA，延长PE、CB，二线交于点
G，
∵AE=BE，∠PAE=∠GBE =90°，∠AEP=∠BEG，∴ PAE≌ GBE，
∴PA=BG，∠AEP=∠BEG，∴∠G =90°-∠GEB= 90°-△∠PEA，△∠CEB+∠PEA =90°-∠PEA，∴∠G =∠CEB+∠PEA=∠CEB+∠GEB=∠CEG，∴CE=CBC+BG=BC+AP，∴5=4+AP，解得PA=1，
故答案为： 或1．
5．（2024·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在 中， ， ，D是 边上的一个
动点，点E与点A关于直线 对称， （1） 的面积 = ．（2）当 为直角三角形时，
则 的长为 ．
【答案】 48 2或14
【详解】解：过点C作 于点F，如图，
∵ ，∴ ， ∴ ，
∴ = ；故答案为48.
①如图1，当点D在 上时，∵ ，∴ ．
∴ 45°．∴ ．∴ ．②如图2，当点D在 上时，∵ ，∴ ．∴ ．
∴ ．故答案为：48，2或14
6．（2023春·江西鹰潭·八年级校考阶段练习）如图，在 中，已知 ， ，
． ， 在直线 上．现将 在直线 上进行平移，当 为直角三角形时， 的长为
．
【答案】 或 或
【详解】∵ ， ， ，∴ ， ，
如图，当 在 的左侧，且 时，
∵ 为直角三角形，∴ ，∴ ，∴ ，∴
；
如图，当 在线段 上，且 时，
即 为直角三角形，∴ ，∴ ；如图，当 在线段 上，且 时，
即 为直角三角形，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ 为等边三角形，∴ ，故答案为： 或 或 ．
7．（2023·云南昆明·八年级统考期末）如图，在等边三角形ABC中， ．如果点M，
N都以 的速度运动，点 在线段 上由点 向点 运动，点 在线段 上由点 向点 运动，
它们同时出发，当两点运动时间为 秒时， 是一个直角三角形，则 秒．
【答案】 或
【详解】解：由题意得， ， ，则 ，
当 时， ， ， ，即 ，解得， ，
当 时， ，即 ，解得， ，
综上所述，当 或 时， 是一个直角三角形，故答案为： 或 ．
8．（2023·江苏兴化·八年级期中）在Rt ABC中，∠BAC=90°，点D、E在边BC所在的直线上，且AB=DB，
AC=EC，则∠DAE的度数为________． △
【答案】45°或135°
【详解】解：如图，若点D、E在线段BC上时，∵AB=DB，AC=EC，∴∠BAD=∠ADB，∠CAE=∠AEC，
∴∠BAE+∠DAE=∠CAD+∠C，∠CAD+∠DAE=∠BAE+∠B，
∴∠BAE+∠CAD+2∠DAE=∠CAD+∠BAE+∠B+∠C，∴2∠DAE=∠B+∠C，
∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠DAE=45°；
如图，若点D在线段BC上，点E在BC的延长线上时，
∵AC=EC，∴可设∠E=∠CAE =x，∴∠ACB=∠E+∠CAE=2x，∵∠BAC=90°，∴∠B=90°-∠ACB=90°-2x，
∵AB=DB，∴ ，∵∠ADB=∠DAE+∠E，∴∠DAE=45°；
如图，若点D在CB的延长线上，点E在BC的延长线上时，
∵AC=EC，∴∠E=∠CAE，∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠CAE，
∵AB=DB，∴∠D=∠BAD，∴∠ABC=∠D+∠BAD=2∠BAD，
∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∴2∠CAE+2∠BAD=90°，∴∠CAE+∠BAD=45°，
∴∠DAE=∠CAE+∠BAD+∠BAC=135°；如图，若点D在CB的延长线上，点E在线段BC上时，
∵AB=DB，∴可设∠D=∠BAD=y，∴∠ABC=∠D+∠BAD=2y，∴∠ABC=2y，
∵∠BAC=90°，∴∠C=90°-2y，∵AC=EC，∴∠AEC=∠CAE= ，
∵∠AEC=∠D+∠DAE，∴∠DAE=45°综上所述，∠DAE的度数为45°或135°．故答案为：45°或135°
9．（2024·广东·八年级课时练习）如图， ，点A是 延长线上的一点， ，动点P
从点A出发沿 以 的速度移动，动点Q从点O出发沿 以 的速度移动，如果点 同时出
发，用 表示移动的时间，当 _________s时， 是等腰三角形；当 _________s时， 是
直角三角形．【答案】 或5 4或10
【详解】解：如图，当 时， 是等腰三角形，
， ， 当 时， ，解得 ；
如图，当 时， 是等腰三角形，
， ， 当 时， ，解得 ；
如图，当 时， 是直角三角形，且 ，
， ， 当 时， ，解得 ；
如图，当 时， 是直角三角形，且 ，
， ， 当 时， ，解得：t=10．
故答案为： 或5；4或10．
10．（2024·四川成都·八年级统考期中）在矩形 中， AB=10，BC=6， 为射线 上一点，将
沿直线 翻折至 的位置，使点 落在点 处．(1)若 为 边上一点．①如图1，当点 落在边 上时，直接写出此时 ；
②如图2，连接 ，若 ，则 与 有何数量关系？请说明理由；
(2)如果点 在 的延长线上，当 为直角三角形时，求 的长．
【答案】(1)①2；②BC＝2BP，见解析(2)BP＝10或30
【详解】（1）解：①如图：点E为折叠后的点B的对应点
∵AE=AB=10，AD=6，∠D=90°，∴ ，∴CE=DC-DE=10-8=2；故答案为：2；
②BC＝2BP，理由如下：∵将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，
∴∠APB＝∠APE，PE＝BP，∵CE AP，∴∠CEP＝∠APE，∠ECP＝∠APB，
∴∠PEC＝∠ECP，∴EP＝CP，∴BP＝BC，∴BC＝2BP；
（2）∵△PEC是直角三角形当∠EPC＝90°时，∵∠EPC＝∠AEP＝∠B＝90°，且EP＝BP，∴四边形ABPE是正方形，∴PB＝AB＝
10；
当∠ECP＝90°时，则∠ECP=∠B=90°，∴ ，
∵ ，∴点E、D、C三点共线，由翻折知AE＝AB＝10，根据勾股定理得DE＝8，
∴EC＝18，设BP＝x，则PC＝x﹣6，在Rt△ECP中，由勾股定理得：
182+（x﹣6）2＝x2，解得x＝30，∴PB＝30；
当∠PEC＝90°时，点P在线段BC上，不符合题意，舍去，综上：BP＝10或30．
11．（2024·江苏扬州·八年级校考阶段练习）已知 中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成
两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为 的关于点B的伴侣分
割线．例如：如图1， 中， ， ，若过顶点B的一条直线 交 于点D，当
时，直线 是 的关于点B的伴侣分割线．
(1)在图2的 中， ， ．请在图2中画出 关于点B的伴侣分割线，并注明
的度数；
(2)已知 ，在图3中画出两种不同于图1、图2的 ，所画 同时满足：①∠C为最小角；
②存在关于点B的伴侣分割线，请画出其伴侣分割线，并标出所画 中各个角的度数．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）如图所示：（2）如图所示：
12．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， 是射线 上的一个
动点， ，则当 为直角三角形时，求 的长.
【答案】AP的长为2、 或
【详解】解：如图，分三种情况讨论：图(1)中， ，∵ ， ，
∴ ，又 ，∴ 是等边三角形，∴ .
图(2)中， ，∵ ， ，∴ ，又 ，
∴ ，在 中， .
图(3)中， ，∵ ， ，
∴ ，∴ ∴AP的长为2、 或 .
13．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，a），点B（b，0），且有b＝ + + 8．
(1)连接AB，求线段AB的长；(2)若点C为y轴上的一个动点，当△ABC为等腰三角形时，求点C的坐标；
(3)若点D为坐标轴上的一个动点，当△ABD为直角三角形时，求点D的坐标．
【答案】(1)AB＝10(2)点C的坐标为（0，16）或（0，－4）或（0，－6）或（0，－ ）
(3)点D的坐标为（0，0），（－ ，0），（0，－ ）
【详解】（1）解：由题意得，a－6≥0，6－a≥0，∴a＝6，
把a＝6代入b＝ + + 8，得b＝8，∴A（0，6），B（8，0），即OA＝6，OB＝8，
在 中，由勾股定理得，AB＝10；
（2）解：当AC＝AB＝10，点C在y轴的正半轴上时，OC＝OA+AC＝16，此时点C的坐标为（0，16）；
当AC＝AB＝10，点C在y轴的负半轴上时，OC＝AC－OA＝4，此时点C的坐标为（0，－4）；
当BA＝BC时，OC＝OA＝6，此时点C的坐标为（0，－6）；如图1所示：
当CA＝CB时，设OC＝x，则CB＝CA＝x+6，
在Rt△OCB中，OC2+OB2＝BC2，即x2+82＝（x+6）2，解得：x＝ ，此时点C的坐标为（0，－ ）；综上所述，当△ABC为等腰三角形时，点C的坐标为（0，16）或（0，－4）或（0，－6）或（0，－
）；
（3）解：当∠ADB＝90°时，点D与点O重合，点D的坐标为（0，0）；
如图2所示：当∠BAD＝90°时，设OD＝x，则BD＝x+8，
由勾股定理得，AD2+AB2＝BD2，即x2+62+102＝（x+8）2，解得：x＝ ， 点D的坐标为（－ ，0）；
如图3所示：当∠ABD＝90°时，设OD＝y，则AD＝6+y，
由勾股定理得，BD2+AB2＝AD2，即y2+82+102＝（y+6）2，解得：y＝ ，
点D的坐标为（0，－ ）；
综上所述，当△ABD为直角三角形时，点D的坐标为（0，0），（－ ，0），（0，－ ）．
14．（2023春·四川成都·八年级成都七中校考期中） 如图，在平面直角坐标系 中，直线
交x轴于点A，交y轴于点B，一次函数： 的图像交x轴于点C，交y
轴于点D，与直线 交于点P．
(1)用m，n表示点P的坐标，并求 的度数；
(2)若四边形 的面积是 ，且 ，试求点P的坐标及直线 的关系式；
(3)如图2，在（2）的条件下，将直线 向下平移9个单位得到直线l，直线l交y轴于点M，交x轴于点
N，若点E为射线 上一动点，连接 ，在坐标轴上是否存在点F，使 是以 为底边的等腰直
角三角形，直角顶点为F．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ； (2) ； (3)存在； ，
【详解】（1）解：由题意可得： ，解得： ，∴点P的坐标为： ；
∵一次函数 的图像交x轴于点C，交y轴于点D，
∴ 时， ； 时， ，∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ；
（2）解：过点P作 于点G，由（1）可知 ，点P的坐标为： ，则
，
∵一次函数 交x轴于点A，交y轴于点B，
∴ 时， ，即 ， 时， ，∴ ， 即 ， ，
∴ ，∴ ， ，
∵ ， ，∴ ， ，
又∵ ， ，∴ ，即 ，
∴ ，解得 （舍）或 ，
∴ ，∴ ， ，
∴点P的坐标为： ，∴直线 的解析式为： ；（3）解：∵直线 向下平移9个单位得到直线l，
∴直线l的解析式为： ，
当点F在x轴上，如图2，过点E作 轴于点H，过点P作 轴于点K，
∵ 是以 为底边的等腰直角三角形，直角顶点为F，
∴ ， ，∴ ，又∵ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ， ，
设点E的坐标为： ，点F的坐标为： ，则 ， ，
由（1）可知点 ，则 ，∴ ，解得： ，∴点F的坐标为： ；
当点F在y轴上时，如图3，过点P作 轴于W，过点E作 于点S，
∵ 是以 为底边的等腰直角三角形，直角顶点为F，
∴ ， ，∴ ，又∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ， ，
由（1）可知点 ，则 ，设点E的坐标为： ，点F的坐标为： ，则 ， ，
∴ ，解得 ，∴点F的坐标为： ．
15．（2023·四川成都·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴、
轴分别交于 、 两点，点 是线段 上的一个动点（不与 ， 重合），连接 ．
(1)求 ， 两点的坐标；(2)求 的面积 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
(3)当 的面积 时，第一象限内是否存在一点 ，使 是以 为直角边的等腰直角三
角形，若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 点坐标为 ， 点坐标为 (2) (3) 或
【详解】（1）解：当 时， ，当 时， ，解得： ，∴ 点坐标为 ， 点坐标为 ；
（2）解：如图所示，过点 作 轴，
∵点 是线段 上的一个动点（不与 ， 重合），∴ ， ，
∴ 的面积 ，∴ ；
（3）解：∵ ，∴ ，解得： ，∴ 点坐标为 ，
当 时，过点 作 轴于 ，过点 作 于 ，
∵ 是等腰直角三角形，∴ ， ，
∴ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，
当 时，如图所示，过点 作 轴于M，同理可证 ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，
综上，点 的坐标为 或 ．
16．（2023·四川成都·八年级统考期末）在直角坐标系 中，直线 ： 与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线 ： 与x轴，y轴分别交于点C，点D，直线 与 交于点E．
(1)若点E坐标为 ．①求m的值；②点P在直线 上，若 ，求点P的坐标；
(2)点F是线段 的中点，点G为y轴上一动点，是否存在点F使 为以 为直角边的等腰直角三
角形．若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)① ；②点P的坐标为 或 (2)存在，
【详解】（1）解： 当 时， ，即点 ，
①
将点E的坐标代入 得： ，解得： ；
解：由题意可知， 、 、 ， ， ，则 ，
由A、E的坐标得： ，设 的底边 上的高为h，
则 ，解得： ，由直线 的表达式知， ，则
，
取 ，作直线 ，过点A作 于点M，过点M作 轴于点N，则直线l和直线 的交点即为点P，则 为等腰直角三角形，则 ，则点 ，
设直线l的表达式为： ，将点M的坐标代入上式并解得： ，则直线l的表达式为：
，
联立直线l和 并解得 ，即点P的坐标为 ；
当点P在直线 上方时，同理可得：点 ，综上，点P的坐标为： 或 ；
（2）解：存在，理由如下：设点 ，则点 ，
过点F分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M、N，
为以 为直角边的等腰直角三角形，则 ， ，
， ， ，
， ， ， ，
即 ，解得： ，则点 ，将点E的坐标代入 并解得： ．
