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专题06.直角三角形中的分类讨论模型
直角三角形是特殊三角形中最重要的一类三角形，它的重要性与等腰三角形有所不同，到初二初三，
特别是到了初三，直角三角形往往不是独立成题，而是融入到各种图形中，可以说，多数的几何图形，都
能找到直角三角形的影子，自然就会涉及到直角三角形有关的性质运用，本专题我们就讲直角三角形的分
类讨论模型。
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模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型..................................................................................2
模型2.直角三角形存在性模型...............................................................................................................16
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【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，以三角形三个内角（三条边）谁为直角（斜边）分三种情况讨论，
若只存在两种情况，则另一种不为直角的情况要简要说明理由。
有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便。在平面直角坐标系中，两点间的
距离公式常常用到。解直角三角形的问题，常常和勾股定理问题联系在一起．
模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型
若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。
例1．（2023秋·重庆·八年级统考期末）已知三角形的两边分别为6和8，当第三边为 时，此
三角形是直角三角形．例2．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在 中， ， 、 分别
是 的高和角平分线，点E为 边上一点，当 为直角三角形时，则 ．
例3．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图， 是等边三角形，点 与点 分别在边 与 上，
将 沿直线 折叠，使得 的对应点 落到 边上，当 为直角三角形时， 的度数为
（ ）
A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60°
例4．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在 中， ， ， ，点 在
的垂直平分线上， 是 上一动点， 沿 折叠得到 ，当 是直角三角形时，则
的长为 ．模型2.直角三角形存在性模型
直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。
直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨
论，如下面模型构建。
“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。
问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形．
分三种情况，如图：
①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P 即为所求；
1
②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P 即为所求；
2
③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点
P，P 即为所求．
3 4
代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②
AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况
不存在。
几何法计算：特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理求解．
例1．（2023·河南新乡·八年级校考期末）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网
格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例2．（2023·河南新乡·八年级校考期中）平面直角坐标系中有点 、 ，连接AB，以AB为直
角边在第一象限内作等腰直角三角形 ，则点C的坐标是 ．
例3．（2023春·重庆·八年级专题练习）已知在平面直角坐标系中 ，点P在x
轴上运动，当点P与点A，B，C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ．
例4．（2024·浙江绍兴·八年级校考期中）如图，在 中， ， ，点 是线段
延长线上的一个动点， ，则当 为直角三角形时， 的长为 ．
例5．（23-24九年级上·江西景德镇·期末）如图，等边 的边长为 ，点Q是 的中点，若动点
P以 的速度从点A出发沿 方向运动，设运动时间为t秒，连接 ，当 是直角三角
形时，则t的值为 秒．
例6．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中长方形AOBC的顶点A、B坐标分别为
(0，8)、(10，0)，点D是BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折，使得点C落在OB上的点E处，点F是直
线AD与x轴的交点，连接CF．(1)点C坐标为____________；(2)求直线AD的函数表达式_______________________；
(3)点P是直线AD上的一点，当△CFP是直角三角形时，请你直接写出点P的坐标．
例7．（2023秋·重庆南岸·八年级校考期末）如图，直线 交 轴、 轴分别于点 、 ，直线
与直线 交于点 ，与 轴交于点 ．已知 ， 点的横坐标为 ．
(1)求直线 的解析表达式．(2)若 在线段 上，四边形 的面积为14，求 点坐标．
(3)若点 、 分别为直线 、 上的动点，连结 、 、 ，当 是以 为直角边的等腰直
角三角形时，请直接写出所有点 的坐标，并把求其中一个点 的坐标过程写出来．1．（2024·辽宁丹东·八年级校考期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以AC为一边，在△ABC
外作等腰直角△ACD，则线段BD的长为 ．
2.（2023春·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）如图，在 中， ， ， 是 边上的
动点，点 关于直线 的对称点为 ，连接 交 于 ，当 为直角三角形时， 的长是
．
3．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）已知如图：在平面直角坐标系中， ， ， ，
，动点P以每秒2个单位的速度，从点B出发沿 向点D运动，；点Q以每秒1个单位的速度，从点D出发，沿线段 向点A运动．P、Q两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点也停
止运动．运动过程中，以A、P、Q三点组成的三角形为直角三角形时，此时P点坐标为 ．
4．（2024·广东·九年级课时练习）如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，点P是边AD上的动点，沿直
线PE将 APE对折，点A落在点F处. 已知AB=6，AD=4，连结CF、CE，当 CEF恰为直角三角形时，
AP的长度△等于___________. △
5．（2024·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在 中， ， ，D是 边上的一个
动点，点E与点A关于直线 对称， （1） 的面积 = ．（2）当 为直角三角形时，
则 的长为 ．
6．（2023春·江西鹰潭·八年级校考阶段练习）如图，在 中，已知 ， ，
． ， 在直线 上．现将 在直线 上进行平移，当 为直角三角形时， 的长为
．7．（2023·云南昆明·八年级统考期末）如图，在等边三角形ABC中， ．如果点M，
N都以 的速度运动，点 在线段 上由点 向点 运动，点 在线段 上由点 向点 运动，
它们同时出发，当两点运动时间为 秒时， 是一个直角三角形，则 秒．
8．（2023·江苏兴化·八年级期中）在Rt ABC中，∠BAC=90°，点D、E在边BC所在的直线上，且AB=DB，
AC=EC，则∠DAE的度数为________． △
9．（2024·广东·八年级课时练习）如图， ，点A是 延长线上的一点， ，动点P
从点A出发沿 以 的速度移动，动点Q从点O出发沿 以 的速度移动，如果点 同时出
发，用 表示移动的时间，当 _________s时， 是等腰三角形；当 _________s时， 是
直角三角形．
10．（2024·四川成都·八年级统考期中）在矩形 中， AB=10，BC=6， 为射线 上一点，将
沿直线 翻折至 的位置，使点 落在点 处．
(1)若 为 边上一点．①如图1，当点 落在边 上时，直接写出此时 ；②如图2，连接 ，若 ，则 与 有何数量关系？请说明理由；
(2)如果点 在 的延长线上，当 为直角三角形时，求 的长．
11．（2024·江苏扬州·八年级校考阶段练习）已知 中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成
两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为 的关于点B的伴侣分
割线．例如：如图1， 中， ， ，若过顶点B的一条直线 交 于点D，当
时，直线 是 的关于点B的伴侣分割线．(1)在图2的 中， ，
．请在图2中画出 关于点B的伴侣分割线，并注明 的度数；(2)已知 ，
在图3中画出两种不同于图1、图2的 ，所画 同时满足：①∠C为最小角；②存在关于点B的
伴侣分割线，请画出其伴侣分割线，并标出所画 中各个角的度数．
12．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， 是射线 上的一个
动点， ，则当 为直角三角形时，求 的长.
13．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，a），点B（b，0），且有b＝ + + 8．(1)连接AB，求线段AB的长；(2)若点C为y轴上的一个动点，当
△ABC为等腰三角形时，求点C的坐标；(3)若点D为坐标轴上的一个动点，当△ABD为直角三角形时，
求点D的坐标．
14．（2023春·四川成都·八年级成都七中校考期中） 如图，在平面直角坐标系 中，直线
交x轴于点A，交y轴于点B，一次函数： 的图像交x轴于点C，交y
轴于点D，与直线 交于点P．
(1)用m，n表示点P的坐标，并求 的度数；
(2)若四边形 的面积是 ，且 ，试求点P的坐标及直线 的关系式；
(3)如图2，在（2）的条件下，将直线 向下平移9个单位得到直线l，直线l交y轴于点M，交x轴于点
N，若点E为射线 上一动点，连接 ，在坐标轴上是否存在点F，使 是以 为底边的等腰直
角三角形，直角顶点为F．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2023·四川成都·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴、
轴分别交于 、 两点，点 是线段 上的一个动点（不与 ， 重合），连接 ．
(1)求 ， 两点的坐标；(2)求 的面积 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
(3)当 的面积 时，第一象限内是否存在一点 ，使 是以 为直角边的等腰直角三
角形，若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
16．（2023·四川成都·八年级统考期末）在直角坐标系 中，直线 ： 与x轴、y轴分别交于点
A，点B．直线 ： 与x轴，y轴分别交于点C，点D，直线 与 交于点E．(1)若点E坐标为 ．①求m的值；②点P在直线 上，若 ，求点P的坐标；
(2)点F是线段 的中点，点G为y轴上一动点，是否存在点F使 为以 为直角边的等腰直角三
角形．若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
