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专题 07 中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形
中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四
边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中
点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着
十分重要的意义。
常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全
等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。
本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：直角三角形斜边中线模型
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图1，若AD为 斜边上的中线，则：
（ 1 ） ； （ 2 ） ， 为 等 腰 三 角 形 ； （ 3 ） ，
．
A
A
A D
M
B C
B
C
B C M
D D
图1 图2
拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M为中点，则（1） ；（2）
．
模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时）
例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在 中， ， 为 边上的
中线， 为 边上的中线，若 ，则 的长为（ ）A． B． C． D．3
例2．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，在 中， ，点D是 的中点，过点D作
，垂足为点E，连接 ，若 ， ，则 ．
例3．（2023·青海海东·统考三模）如图，菱形 的对角线 、 相交于点 ，过点 作
于点 ，连接 ，若 ， ，则菱形 的面积为（ ）
A．72 B．48 C．24 D．9
例4．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，四边形 中， ， ，
连接 ． 是 的中点，连接 ．若 ，则 的面积为 ．
例5．（2023·江苏常州·中考真题）如图， 是 的弦，点C是优弧 上的动点（C不与A、B重合），
，垂足为H，点M是 的中点．若 的半径是3，则 长的最大值是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
例6．（2023上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在 中， 于F， 于E，M为
的中点．(1)若 ， ，求 的周长；(2)若 是等边三角形，求 的度数．
模型2：中位线模型
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E，则DE//BC且 ，△ADE∽△ABC。
中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积
的四分之一。
模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）。例1．（2023·云南·统考中考真题）如图， 两点被池塘隔开， 三点不共线．设 的中点
分别为 ．若 米，则 （ ）
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
例2．（2023·广西梧州·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，
AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
例3．（2023下·四川广安·八年级校考阶段练习）如图，在菱形 中，边长为1， ，顺次连接
A B C D A B C D
1 1 1 1 1 1 1 1
菱形 各边中点，可得四边形 ；顺次连接四边形 各边中点，可得四边形 ；
顺次连接四边形 各边中点，可得四边形 ；按此规律继续下去，…，则四边形
的面积是 ．
例4.（2023·陕西西安·联考模拟预测）如图，在四边形 中， 点 、 分别是 ，
的中点，且 ，若 ， ，则 的长为 ．例5．（2023·北京海淀·校考模拟预测）如图， 为 的弦， ，且 ，若点M、N分别
是 、 的中点，则 长的最大值是（ ）
A．4 B．5 C． D．
例6．（2023·河南信阳·校考三模）数学兴趣小组的同学在学习中点知识时，遇到如下一个问题：如图①，
在边长为4的正方形 中，点 是边 的中点， ，连接 ，点 分别是 的
中点，连接 ，求 的长．小组成员展开讨论，方法多样、其中小佳同学的做法最具有推广性．
小佳同学是这样思考的：
题目中有两个中点，我想到用中位线，但是这两个中点所在的线段是交叉状态，所以可以通过轴对称将它
变成“共顶点”的图形、这样就可以构造出三角形的中位线．具体如下：如图②．过点 作 ，垂
足为 ，易证四边形 是矩形，连接 、则点 也是 的中点，连接 ，则 是 的中位
线，计算出 的长度即可求出 的长度．
根据以上信息，请回答以下问题：(1)点 是 中点的依据是__________________；(2)请根据小佳同学的
思路写出具体的证明过程．(3)如图③，在 中， ， ，将 绕着点 顺时针
旋转， ， 分别是 ， 的中点，当点 落在 的边上时（不包含顶点），求 的长度．模型3：中点四边形模型
中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形。
中点四边形是中点模型中比较经典的应用。中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉
及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块。
结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形．
如图1，已知点M、N、P、Q是任意四边形ABCD各边中点，则四边形MNPQ为平行四边形。
图1 图2结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形）
如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，则四边形MNPQ为矩形。
结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形）
如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，则四边形MNPQ为菱形。
图3 图4
结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形．
如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB，则四边形MNPQ为正方形。
推广与应用
1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。
2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的 。
例1．（2023上·四川达州·九年级校联考期中）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，
G，H分别是BD，AC的中点，AB，CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形.（ ）
A． B． // C． D．
例2．（2023上·河南郑州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形 中，顺次连接四边中点 ， ，
， ，构成一个新的四边形，请你对四边形 添加一个条件，使四边形 成为一个矩形．这个
条件是（ ）A． B． C． D．
例3．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形
EFGH，还要添加 ，才能保证四边形EFGH是正方形．
例4．（2023下·湖南长沙·八年级统考期末）如图，点 分别是四边形 边
的中点．则正确的是（ ）
A．若 ，则四边形 为矩形 B．若 ，则四边形 为菱形
C．若 是平行四边形，则 与 互相平分 D．若 是正方形，则 与 互相垂直且相等
例5．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在菱形 中， ， ，顺次连接菱形
各边中点 、 、 、 ，则四边形 的周长为（ ）
A． B． C． D．例6．（2023下·福建泉州·八年级统考期末）【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、
AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DE BC，且DE BC．
(1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，
连接FC．求证：DE BC，DE BC．
(2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次
连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求
解下列问题：①证明：四边形EFGH是平行四边形；②当AC、BD满足 时，四边形EFGH是矩形；
③当AC、BD满足 时，四边形EFGH是正方形．
课后专项训练
1．（2023·湖南·统考中考真题）一技术人员用刻度尺（单位： ）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，
已知 ，点D为边 的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则 （ ）A． B． C． D．
2．（2023·山东泰安·中考真题）如图，点A，B的坐标分别为 ，点C为坐标平面内一点，
，点M为线段 的中点，连接 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在 中， ， 于点D，且
， 于点E，连接 ，则 的长为（ ）
A． B． C．5 D．6
4．（2023·广东佛山·校考三模）如图，在 中， ， ， 是 边上的中线，
把线段 沿着 方向平移到点B，使得点C与点B重合，连接 ， ， 与 相交与点O，则下
列结论：①四边形 为菱形；② ；③ ；④ 的面积为四边形 面积的
一半．其中正确结论的个数为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2023·山东潍坊·统考二模）如图所示， 为 的中位线，点F在 上，且 ，若
， ，则 的长是（ ）
A．2 B． C． D．3
6．（2023上·甘肃白银·九年级统考阶段练习）如图，在 中， 平分 ，
E是 中点，若 ，则 的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
7．（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）如图，在 中， ，点D、E分别是直角边AC、BC的
中点，连接DE，则 度数是（ ）
A．70° B．60° C．30° D．20°
8．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，点G为 的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点
E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（ ）A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.4
9．（2023·山西吕梁·模拟预测） 的周长为36，对角线 相交于点O，点E是 的中点，
的周长为15，则 长（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
10．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形 是矩形， ， ，点P是边
上一点（不与点A，D重合），连接 ．点M，N分别是 的中点，连接 ， ， ，
点E在边 上， ，则 的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
11．（2023·福建宁德·校考模拟预测）如图，在 中， ，D为斜边 的中点，E，F分
别是 的中点，若 ，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．512．（2023下·河北承德·八年级统考期末）顺次连接四边形 各边中点得到四边形 ，下列说法
正确的是（ ）
A．只有四边形 为平行四边形，四边形 才可能为平行四边形
B．只有四边形 为正方形，四边形 才可能为正方形
C．如果四边形 为矩形，则四边形 一定是菱形
D．如果四边形 为菱形，则四边形 一定是菱形
14．（2023下·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，在四边形 中， ，且 ，顺次
A B C D A B C D
1 1 1 1 1 1 1 1
连接四边形 各边的中点，得到四边形 ，顺次连接四边形 各边的中点，得到四边形
，…按此规律进行下去．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A B C D
1 1 1 1
结论Ⅰ：当 时，四边形 是正方形；
结论Ⅱ：当 时，四边形 的周长是10．
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
15．（2022·江苏扬州·统考中考真题）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸
片 ，第1次折叠使点 落在 边上的点 处，折痕 交 于点 ；第2次折叠使点 落在点
处，折痕 交 于点 ．若 ，则 ．
16．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平行四边形 中，点 为边 上一点， ，点，点 分别是 中点，若 ，则 的长为 ．
17．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为
AB的中点，若BC=12，AD=8，则DE的长为 ．
18．（2022上·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在 中， ，分别以点A、C为圆心，大于
长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，直线 与 相交于点E，过点C作 ，垂足为
点D， 与 相交于点F，若 ，则 的度数为 ．
19．（2023·四川成都·一模）在 中， ， ， ， 为 的中点，则
．
20．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在 中， ，点D为斜边 的中点，连接 ，
过点D作 交 于点E，若 ，则 的长为 ．
21．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ， 为
边的中点．若 ， ，则菱形 的面积为 ．22．（2023·湖南长沙·校考三模）如图，在 中， ， ， ，点 是边
的中点 分别以点 ， 为圆心，以 的长为半径画弧，两弧交于点 ；连接 ， ．
(1)根据以上尺规作图的过程，请直接写出四边形 的形状是______ ；
(2)在第（1）问的基础上，求四边形 的面积．
23．（2023下·山东德州·八年级阶段练习）如图，四边形 中，点E、F、G、H分别为
的中点，(1)求证：中点四边形 是平行四边形；
(2)如图2，点P是四边形 内一点，且满足 ，点E、F、G、H分别
为 的中点，猜想中点四边形 的形状，并证明你的猜想．24．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务，
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形 中，点 、 、 ， 分别是边 、 ， ， 的中点，顺次
连接 ， 、 、 ，得到的四边形 是平行四边形．
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形 被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，
Pierte 1654-1722）是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接 ，分别交 ， 于点 、 ，过点 作 于点 ，交 于点
∵ 、 分别为 ， 的中点，∴ ， ．（依据1）
∴ ，∵ ，∴ ．
∵四边形 是瓦里尼翁平行四边形，∴ ，即 ．
∵ ，即 ，∴四边形 是平行四边形，（依据2）．
∴ ，
∵ ，∴ ．同理，…任务：(1)填空：材料中的依据1是指：________．依据2是指：________．
(2)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，画一个四边形 及它的瓦里尼翁平行四边形 ，
满足下列要求：①四边形 及它的瓦里尼翁平行四边形 的顶点都在小正方形网格的格点的上；
②四边形 是矩形，不是正方形．(3)在图1中，分别连接 ， 得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四
边形 的周长与对角线 、 长度的关系，并证明你的结论．
