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专题 13 锐角三角形函数及应用
求锐角三角函数
1．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）在 中， ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求角的正弦值
【分析】本题考查求正弦值，根据正弦的概念，即可解答．
【详解】
由题意得： ．
故选：A．
2．（23-24九年级上·福建南平·期末） 中， ， ，AB边上的中线 ，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、求角的正弦值
【分析】本题考查解直角三角形的性质，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到
，然后利用勾股定理得到 长，然后计算正弦即可．
【详解】解：∵ ，AB边上的中线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选A．
3．（24-25九年级上·全国·期末）在 中， ，如果 ， ，那么 的长是
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】特殊三角形的三角函数、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，直角三角形的特征，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值；
根据 可得 ，则 ，再根据直角三角形的特征求解即可．
【详解】解：如图，
，
，
，
，，
故选： ．
4．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在 中，延长斜边 到点D，使 ，连接
，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正切函数的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质和正
切的定义是解题关键，过点C作 交 于点E计算即可．
【详解】解：如图，过点C作 交 于点E．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴设 ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ．
故选：D．
5．（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在
的边上，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求角的正切值、用勾股定理解三角形、两直线平行同位角相等
【分析】本题考查了解直角三角形，解决本题的关键是能得出 ，由题意得
，从而得出 ，设 则 ，由勾股定理得出 ，求得
，即可得出答案．
【详解】如图，
由题意得： ，
，
设 则 ，，
在 中， ，
，
故选：A．
特殊角的三角函数值
1．（23-24九年级上·山东济南·期末） 的相反数是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】相反数的定义、特殊三角形的三角函数
【分析】本题考查了相反数的定义，特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值以及相反数的定义即
可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ 的相反数是 ，
故选：B．
2．（23-24九年级上·甘肃酒泉·期末） 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】特殊三角形的三角函数
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
将特殊角的三角函数值代入求解．
【详解】解：
原式 ．故选：C．
3．（23-24九年级上·山东泰安·期末）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】特殊三角形的三角函数
【分析】本题考查了特殊角的三角函数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
先计算 再平方即可．
【详解】解： ．
故选：A ．
4．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期末）已知 是锐角， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】特殊三角形的三角函数、求角的正切值
【分析】本题考查三角函数的定义，熟记特殊角三角函数的定义是解决本题的关键．由题干条件即可得出
的度数，从而即可得到 的值．
【详解】解： 是锐角， ，
，
，
故选：D．
与特殊角的三角函数值的运算问题
1．（24-25九年级上·全国·期末）计算：
【答案】【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算、零指数幂、化简绝对值
【分析】先利用特殊角的三角函数值，绝对值化简，二次根式的混合运算，零指数幂，有理数的乘方化简
各项，再进行加减计算，即可解题．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值化简，二次根式的混合运算，零指数幂，有理数的乘方，
正确运用法则是解题的关键．
2．（24-25九年级上·全国·期末）计算： ．
【答案】
【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、负整数指数幂
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义，先根据特殊角的三角函数值，乘方、负
整数指数幂的意义化简，再算加减．
【详解】解：原式 ．
3．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）求下列各式的值：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】实数的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，熟练掌握各个特殊角的三角函数值是解题的关键．
（1）先求得各特殊角的三角函数值，再进行实数混合计算即可；
（2）先求得各特殊角的三角函数值，再进行实数混合计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
4．（23-24九年级上·江苏常州·期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【知识点】二次根式的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】（ ）把特殊角的三角函数值代入进行计算，然后根据二次根式的运算即可解答；
（ ）把特殊角的三角函数值代入进行计算，然后根据二次根式的运算即可解答；
本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的运算，熟记各运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；（2）解：原式
．
网格里求正弦、余弦、正切值
1．（23-24九年级上·安徽·期末）如图， 的顶点在由大小相同的正方形组成的网格的格点上，则
的值为 ．
【答案】 /
【知识点】求角的余弦值、与三角形的高有关的计算问题、勾股定理与网格问题
【分析】本题考查了网格与勾股定理，余弦值的计算，根据题意，运用网格与勾股定理，等面积法求值点
到AB的距离（即垂线），构造出直角三角形，再根据余弦值的计算方法即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 与点 ，∴ ，且点 到 的距离（高）为 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，在正方形网格中， ．
【答案】 /
【知识点】勾股定理与网格问题、求角的正切值、在网格中判断直角三角形
【分析】本题考查勾股定理及勾股定理逆定理，正切的定义．正确的作出辅助线是解题关键．连接 ，根据勾股定理可求出 ，从而得出 ，则根据勾股
定理逆定理可得出 为直角三角形，且 ，最后根据正切的定义求解即可．
【详解】解：如图，连接 ．
由图可知 ，
，
∴ 为直角三角形，且 ，
，
故答案为： ．
3．（22-23九年级上·山东东营·期末）如图在正方形网格中，格点 的面积为 ，则
．
【答案】
【知识点】勾股定理与网格问题、求角的正弦值
【分析】此题考查的是勾股定理和求一个角的锐角三角函数，掌握勾股定理和构造直角三角形求一个角的
正弦值是解决此题的关键．过点C作 于点D，根据勾股定理即可求出 和 ，然后根据三角
形的面积求出 ，再根据正弦值的定义即可得出结论．【详解】解：过点C作 于点D
根据勾股定理可得 ，
∵ 的面积等于
∴
解得：
在 中，
故答案为： ．
4．（2024·山西朔州·模拟预测）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则
的值为 ．
【答案】 /0.5
【知识点】求角的正切值、勾股定理与网格问题、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理与逆定理等知识，在直角三角形中，锐角的正弦为对
边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据在直角三角形中，正切为对边比邻边，可得答案．
【详解】解：如图，∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
5．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，
、 相交于点O，则 为 ．
【答案】 /
【知识点】求角的正弦值
【分析】本题考查了勾股定理，正弦的定义，取格点 ，连接 、 ，证明 ，
，进而可得 ，根据正弦的定义计算 即可得解．
【详解】解：取格点 ，连接 、 ，如图，由图可知：在正方形网格中， ，
， ，
，
小正方形的边长为1，
在 中， ， ，
，
．
故答案为： ．
解非直角三角形
1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在 中， ，D是 边上一点，
，设 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1) ， ，
(2) 的长为3
【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是解题关键，
（1）利用勾股定理求出 的长，然后由三角函数的定义进行解题；
（2）由（1）中正弦三角函数值可以求得斜边 的长度，然后根据勾股定理求出 的长度，则．
【详解】（1）解：在 中，
，
，
， ， ；
（2） ， ，
在 中， ，
，
，
，
．
2．（23-24九年级上·山东青岛·期末）阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐
角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等
腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（ ）．如图
（1），在 中， ，顶角 的正对记作“ ”，这时 底边 腰 ．容易知道一个
角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)如图（2），利用等腰直角三角形计算： ______；
(2)如图（3），在等腰 中， ，若 ，求 的值．【答案】(1)
(2) ．
【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，理解题中关于角的正对的定义是解题的关键．
（1）根据题中正对的定义即可解决问题．
（2）根据题中正对的定义即可解决问题．
【详解】（1）解：由题知，
因为 是等腰直角三角形，
所以 ．
则 ，
即 ．
故答案为： ；
（2）解：过点 作 的垂线，垂足为 ，
因为 ， ，
则 ，
所以 ．
在 中，
，
所以 ，
在 中，．
所以 ．
3．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点 ， 分别是 的两条边上的点，点 ， 分别是直
线 ， 上的点，直线 ， 相交于点 ．
(1)如图1，点 ， 分别在线段 ， 上，若 ，且 ， ，求 的度数；
(2)如图2，点 ， 分别在线段 ， 上，若 ，且 ， ，则 的值
为______；
(3)在（2）的条件下，如图3，当点 ， 分别在线段 ， 的延长线上，点 在 上，若
， ，求线段 的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】解直角三角形的相关计算、利用平行四边形性质和判定证明、全等三角形综合问题、二次根式
的混合运算
【分析】（1）连结 ，由条件可以得出 为等边三角形，再由证 就可以得出
，就可以得出结论；
（2）作 于A，使 ，连结 ， ，就可以得出 ，再证 为等腰直角
三角形，由 ，就可以得出 ，就可以得出四边形 是平行四边形，就有
，就可以得出 ，就可以得出结论；
（3）如图3，作 于A，使 ，连结 ， ，同理可得： ，证明
．同理可得：四边形 是平行四边形，证明 ．，过 作 于 ，过 作 于 ，在 上取点 使
，求解 ， ， ，可得 ，求解
， ， ，再利用勾股定理可得答案．
【详解】（1）解：如图1，连结 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 为等边三角形．
∴ ， ．
在 和 中
，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
（2）如图2，作 于A，使 ，连结 ， ，∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ；（3）如图3，作 于A，使 ，连结 ， ，
同理可得： ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
同理可得：四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
过 作 于 ，过 作 于 ，在 上取点 使 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，
勾股定理的应用，二次根式的混合运算，锐角三角函数的应用，难度大，作出合适的辅助线是解本题的关
键．
4．（2024·湖南衡阳·模拟预测）【材料阅读】如图1，在△ABC中，设 的对边分别为a，b，
c，过点A作 ，垂足为D，会有 ，则 =
，即 ，同理 ， ．有以上三式可得：正
弦定理： ，通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理-余弦定理：如
图2，在 中，设 的对边分别为a，b，c，则①
② ③
用以上的公式和定理解决问题：
【简单应用】（1）在锐角 中，设 的对边分别为a，b，c，且 ，求 ；
（2）如图3，在 中， ， ，求 的面积与周长．
【灵活应用】（3）如图4，在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ， 的面积
为 ，设 为 的中点，且 ，求 的周长．（参考数据： ）【答案】（1） ；（2） 的面积为 ，周长为18；（3）
【知识点】解直角三角形的相关计算、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查三角形的性质、锐角三角函数，理解题中新定义并灵活运用是解答的关键．
（1）利用题意正弦定理得到 ，进而得到 ，利用特殊角的三角函数值可求解；
（2）根据题中面积公式和余弦定理求解即可；
（3）延长 ，使得 ，连接 ，证明 得到 ， ，则
，进而得到 ， ，利用题中正弦定理和余
弦定理求得 ， ， ，进而求得 ，即可求解．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ；
（2）∵在 中， ， ，
∴ ，
，
∴ （负值舍去），
∴周长 ；（3）∵在 中， ， 的面积为 ，
∴ ，则 ，
延长 ，使得 ，连接 ，
∵ 为 的中点，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，则 ，
在 中， ， ，
∴ ，则 ，
∴在 中， ，
∴ （负值舍去），
∵ ,
∴ （负值舍去），
∴ 的周长为 ．
坡度坡比与仰角俯角问题1．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）某学校的国旗 的平台示意图如图，在操场上的A处，测得旗杆
顶端N点的仰角是 ，前进20米到达旗台前梯步的底端B处，测得旗杆顶端N的仰角是 ，继续沿坡
比为 的梯步 上升到C处（A、B、C与旗杆在同一平面上），测得旗杆顶端N的仰角是 ，旗杆
垂直于水平线 ，点A、B、D在同一直线上， ．
(1)求证： ；
(2)求 的长；
(3)求旗杆 的高度．
【答案】(1)见解析
(2) 米
(3)
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据正方形的性
质与判定求线段长、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）根据已知条件求出 ，根据梯步 的坡度为 ，得出
，求出 ，得出 ，证明 ，根据等腰
三角形的判定即可得出答案；
（2）设 长为x米，证明 为等腰直角三角形，得出 ，解直角三角形得出
，列出方程 ，求出x的值，即可得出答案；
（3）过点C作 于点E，证明四边形 是正方形．得出 ，根据，求出 米，即可得出答案．
【详解】（1）证明：由题意得： ， ， ，
， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵梯步 的坡度为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：设 长为x米，
∵ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
解得： ．
∴ 长为 米．
（3）解：过点C作 于点E，如图所示：则四边形 是矩形．
在 和 中， ， ， ，且 ，
∴ ，
∴四边形 是正方形．
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
解得： 米，
∴ 米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，等腰三角形的判定和性质，正
方形的判定和性质，熟练掌握仰角俯角的定义和坡度坡角的定义，正确作出辅助线是解题的关键．
2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，校园内有一个横截面近似为 的小土坡，坡度（或坡
比） ，古树 长在该土坡上，树干与水平线 垂直，同学们选在阳光明媚的一天测量其高度．
他们测得坡底点A与古树底端D的距离是 ，在坡底点C处沿着 所在直线向右走了 到达点F处，
此时发现古树顶端E的影子与土坡最高点B的影子恰好在F处重合，在F处测得树顶E的仰角为 ．
（参考数据： ， ， ， ）(1)求土坡的水平距离 ；
(2)求树高 ．（结果精确到 ）
【答案】(1)
(2)
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、用勾股定理解三
角形
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理．熟练掌握解直角三角形的应用，勾股定理是解题的
关键．
（1）由题意知， ， ， ，则 ，由 ，计算求解可得
；
（2）如图，延长 交 于 ，则 ，由题意知， ，由 ，可得 ，
由勾股定理得， ，可求 ， ，则
， ，由 ，可求 ，根据 ，
计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
解得， ，∴土坡的水平距离 为 ；
（2）解：如图，延长 交 于 ，则 ，
由题意知， ，
∵ ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
解得， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴树高 为 ．
3．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，小明为了测量小河对岸大树 的高度，他在点A测得大树顶
端B的仰角为 ，沿斜坡走 米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为 ，且斜坡 的
坡比为 ．（参考数据： ， ， ）(1)求小明从点A到点D的过程中，他上升的高度；
(2)大树 的高度约为多少米？
【答案】(1)小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为3米
(2)大树的高度约为16.5米
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、用勾股定理解三
角形
【分析】（1）作 于H，由斜坡 的坡比为 可得 ，则可得 ，根据勾股定
理即可求出 的长；
（2）延长 交 于点G，设 则 ，又由 ，得出
，根据 ，得出 ，再根据 ，得出 ．最后根
据 ，列出方程求解即可．
本题考查了勾股定理，解直角三角形，熟练掌握勾股定理的内容，解直角三角形的方法和步骤，以及正确
画出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）
解：（1）作 于H，如图1所示：
在 中，
∵斜坡 的坡比为 ，，
，
，
，
．
答：小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为3米；
（2）
（2）如图2所示：延长 交AE于点G，设 ，
由题意得， ，
，
，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
．
，
，
解得： ．
答：大树的高度约为：16.5米．
4．（23-24九年级上·江西宜春·期末）滕王阁(如图1)，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，它与湖南岳阳楼并称为“江南三大名楼”，某数学小组为了测量滕王阁的面的C处设立观测点，如图2，测得楼
顶A的仰角为 ，再沿坡比为 的斜坡 前行 到达平台E处，此时测得楼顶A的仰角为 ．
（参考数据： ， ， ）
(1)求平台 与地面的高度；
(2)滕王阁的高度 ．（结果精确到 ）
【答案】(1)
(2)滕王阁的高度 约为
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思
想解答．
（1）由题意可知 ，过点 作 ，根据斜坡坡比为 ，解直角三角形即可；
（2）由题意可知， ， ，则 ，由（1）可知， ，四边形 为
矩形，设 ，则 ， ，在 中，
，解之即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知 ，
过点 作 ，
∵斜坡坡比为 ，则设 ， ，∴ ，解得： ，
∴ ， ，
即：平台 与地面的高度为 ；
（2）由题意可知， ， ，则 ，
由（1）可知， ，四边形 为矩形，
则 ， ，
设 ，则 ，
，
在 中， ，
可得： ，
故滕王阁的高度 约为 ．
5．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，已知斜坡 长为 米，坡角（即 ）为 ，
，现计划在斜坡中点 处挖去部分坡体（用阴影表示），修建一个平行于水平线 的平台
和一条新的斜坡 ．
(1)若修建的斜坡 的坡角为 ，求平台 的长；（结果保留根号）
(2)一座建筑物 距离 处 米远（即 为 米），小明在 处测得建筑物顶部 的仰角（即
）为 ，点 在同一个平面内，点 在同一条直线上，且 ，求建筑物 的高
度．（结果保留根号）
【答案】(1) 米；
(2) 米．
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、证明四边形是矩形
【分析】（1）根据题意得出 ，解 ，求出 ，进而得出 的长，即可得出答案；
（2）利用在 中， ，以及 ，进而得出 的长，利用
得出即可．
【详解】（1）解： 修建的斜坡 的坡角为
平台 平行于水平线
是斜坡中点
在 中，
，
平台 的长为 米
（2）解：过点 作 ，垂足为
在 中，
是建筑物
是矩形
．
在 中
则
答：建筑物 高为 米
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，坡度坡角问题以及仰角俯角问题，根据图形构建直角三角
形，进而利用锐角三角函数得出是解题关键．
6．（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，故上面是一块平地，
，斜坡 长 ，斜坡 的坡比为 ．
(1)坡高 ______；
(2)为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过 时，可确保山体不滑坡，如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿 至少向右移______m时，才能确保山体
不滑坡．（参考数据： ）
(3)本学期初四学生开展数学学科“综合与实践”活动，主题：测量高度A小组选择测量教学楼高度，他们
的做法是：在教学楼F处安置测倾器，测得此时B的仰角 和A的俯角 ，然后借助已
知中的数据计算得到教学楼的高度，请借助A小组提供的数据计算教学楼的高度．（精确到0.1）（参考
数据： ， ， ， ， ， ）
【答案】(1)24
(2)10
(3)16.3米
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，矩形的性质和判定，掌握坡度坡角
的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）根据斜坡 的坡比为 ，得出 ，设 ，则 ，由勾股定理即可解答；
（2）在 上取点 ，使 ，作 ，根据坡度的概念求出 、 ；根据正切的定义求
出 ，结合图形计算，得到答案．
（3）设 ，则 ，根据 ，得出 再证明四边形 为矩形，得出
根据平行得到 从而得出 ，列方程
即可解答；
【详解】（1）∵斜坡 的坡比为 ，
∴ ，
设 ，则 ，
由勾股定理可得： ，
即 ，解得 ，
∴ ，
故答案为： ；（2）如上图所示，在 上取点 ，使得 ，过点 作 与点 ，
由题意得，四边形 为矩形，
∴ ，
由（1）得： ，
∴ ，
在 中， ，
∴坡顶 沿 至少向右移 时，才能确保山体不滑坡．
（3）设 ，则 ，
，
，
，
∴四边形 为矩形，
，
，
即
解得：故教学楼的高度为
方位角问题
1．（24-25九年级上·四川巴中·期末） 如图，一艘渔船位于小岛 的北偏东 方向，距离小岛 海里的
点 处，它沿着点 的南偏东 的方向航行．
(1)当渔船航行到与小岛 距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离．
(2)当渔船到达距离小岛 最近的点后，按原航向继续航行 海里后到点 处突然发生事故，渔船马上
向小岛 上的救援队求救，问救援队从 处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多
少？（结果保留根号）
【答案】(1)渔船航行 海里距离小岛 最近，渔船与小岛之间的最近距离为 海里
(2)救援队从 处出发沿点 的南偏东 的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是 海里【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解答的关键．
（1）过 作 于 ，根据题意求得 ，在 中，根据垂线段最短和锐角三角函
数定义求解即可；
（2）先根据锐角三角函数定义求得 ，进而可得 ，在 中，利用两点之间线
段最短及锐角三角函数定义求解即可．
【详解】（1）解：过 作 于 ，则 ，
由题意可知 ，则 ，
在 中，∵ ， ，
∴ ．
答：渔船航行 海里距离小岛 最近，渔船与小岛之间的最近距离为 海里．
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，∵ ， ，∴ ．
故救援队从 处出发沿点 的南偏东 的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是 海里．
2．（24-25九年级上·全国·期末）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一
天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的 、 两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在 处
海域．如图所示， 海里，在 处测得 在北偏东 的方向上， 处测得 在北偏西
的方向上，在海岸线 上有一灯塔 ，测得 海里．
(1)求出A与C距离 （结果保留根号）．
(2)已知在灯塔 周围100海里范围内有暗礁群，我在 处海监船沿 前往 处盘查，途中有无触礁的危
险（参考数据： ， ， ．
【答案】(1) 与 的距离为 海里
(2)海监船沿 前往 处盘查，无触礁的危险
【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目中所给方向角构造直角三角形，然
后利用三角函数的知识求解，难度适中．
（1）如图所示，过点 作 于点 ，可求得 ， ，设 ，在
与 中，分别表示出 、 的长度，然后根据 海里，代入 、 的式子，求
出 的值，继而可求出 的长度；
（2）如图所示，过点 作 于点 ，在 中，根据 的值，利用三角函数的知识求出
的长度，然后与100比较，进行判断．
【详解】（1）解：如图所示，过点 作 于点 ，可得 ， ，
设 ，
在 中， ，
在 中， ，
海里，
，
解得： ，
则 ，
答： 与 的距离为 海里；
（2）解：如图所示，过点 作 于点 ，
在 中，
， ，
，
故海监船沿 前往 处盘查，无触礁的危险．
3．（23-24八年级下·重庆·期末）人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．今年春季，某学校组织八年级学生
去一公园踏青．公园内有如图所示的四边形 循环步道．经测量，点 在点 的南偏东 ，点 在
点 的正东方，点 在点 的东北方向 米处，且点 也在点 的西北方向．（参考数据：， ， ）
(1)求 的长度（结果保留根号）；
(2)已知从 到 有两条路线可走：路线① ，路线② ．路线①的步行速度为50米/分
钟，路线②的步行速度为65米/分钟，请计算说明：走哪条线路更省时间？（结果保留一位小数）
【答案】(1)
(2)走路线②的步行时间短，见解析
【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】（1）根据 ，得到等腰直角 ，求得 ，解直角三
角形求 的长度即可．
（2）根据题意，得 ，得到 ；根据
，求得路线长，计算时间比较即可．
本题考查了方向角的应用，解直角三角形的计算，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．
【详解】（1）根据题意，得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴
（2）根据题意，得 ，
∴ ；
∴路线① 的总距离为 ，
故用时间为 ；
路线② 的总距离为 ，
故用时间为 ；
∵ ，
故走路线②的步行时间短．
4．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）小明和小红相约周末游览合川钓鱼城，如图， 为
同一平面内的五个景点．已知景点 位于景点 的东南方向 米处，景点 位于景点 的北偏东
方向 米处，景点 位于景点 的北偏东 方向，若景点 与景点 ， 都位于东西方向，且景点
在同一直线上．(1)求景点 与景点 之间的距离．（结果保留根号）
(2)小明从景点 出发，从 到 到 ，小红从景点 出发，从 到 到 ，两人在各景点处停留的时间忽
略不计．已知两人同时出发且速度相同，请通过计算说明谁先到达景点 ．（参考数据： ）
【答案】(1)景点 与景点 之间的距离为 米
(2)小红先到达景点 ，理由见解析
【知识点】根据矩形的性质求线段长、方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】（ ）过点 作 于点 ，解直角三角形求出 ，即可求出点 与景点
之间的距离；
（ ）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，解直角三角形求出 ，分别计算出
两人所走的路程，即可判断求解；
本题考查了解直角三角形的应用 方向角问题，矩形的性质，根据题意，作出辅助线，构造出直角三角形
是解题的关键．
【详解】（1）解：过点 作 于点 ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，∴ ， ，
∴ ，
答：景点 到景点 的距离为 米；
（2）解：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
则 ，
∴四边形 为矩形，
在 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵四边形 为矩形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴小明所走的路程为 米，
小红所走的路程为 米，
∵ 且两人速度相同，
∴小红先到达景点 ．
现实生活抽象不规则图形问题
1．（23-24九年级上·江西·期末）如图1，这是一种折叠椅，忽略支架等的宽度，得到其侧面简化结构图
（图2），支架与坐板均用线段表示．若座板 平行于地面 ，前支撑架 与后支撑架 分别与座
板 交于点E，D，现测得 ， ， ， ．(1)求椅子的展角 的度数．
(2)求点P到地面的距离．（精确到 ）
（参考数据： ， ， ）
【答案】(1)椅子的展角 的度数约为
(2)点 到地面的距离约为
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、相似三角形的判定与性质综合、三线合一
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练
掌握解直角三角形的应用是解题关键．
（1）过点 作 于点 ，先证出 ，根据相似三角形的性质可得 的长，再根据等
腰三角形的性质可得 的长，然后在 中，解直角三角形可得 的大小，最后根据三角形的
内角和定理求解即可得；
（2）过点 作 于点 ，在 中，利用正弦的定义求解即可得．
【详解】（1）解：如图，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∵ ， ，∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
答：椅子的展角 的度数约为 ．
（2）解：如图，过点 作 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
答：点 到地面的距离约为 ．
2．（23-24八年级下·贵州黔南·期末）某商铺为更好地服务顾客，便于顾客休憩，提升顾客的幸福感，在
其商铺外墙安装遮阳棚（如图1），如图2是该遮阳棚侧面横截示意图．已知遮阳棚 长2米，靠墙端离
地面 的高度 为5米，遮阳棚 与墙面的夹角 ．（图中所有点均在同一平面内）
(1)求点C到墙面 的距离 的长；
(2)某日阳光明媚，一束太阳光线经点C射入，落在地面上的点E处．当 时，求 的长．
【答案】(1) 米(2) 米
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质；
（1）由题意，得 ，在 中， ，进而解三角形即可得出结论；
（2）过点C作 于点H，可得四边形 是矩形，解直角三角形在 中，由勾股定理，
得 ，列方程即可求出 ．
【详解】（1）解：由题意，得 ， 米， ，
∴ ，
∴在 中， （米）．
由勾股定理，得 （米）．
（2）如图，过点C作 于点H，
∴四边形 为矩形，
∴ （米）， （米）．
设CE的长为x米，则 米，
∴ （米）．
在 中，由勾股定理，得 ，
即 ，解得 ，
∴ 的长为 米．
3．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图是某种云梯车的示意图，云梯 升起时， 与底盘 夹角
为 ，液压杆 与底盘 夹角为 ．已知液压杆 米， ，当 ， 时．（结果精确到0.01米）（参考数据： ， ， ， ，
， ）
(1)求液压杆顶端 到底盘 的距离 的长；
(2)求 的长．
【答案】(1) 米
(2) 米
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，
（1）根据 即可求解；
（2）利用 ，先求出 ，再利用 ，求出 ，问题随之
得解．
【详解】（1）在 中， ， ．
，
，
即 的长为 米；
（2）在 中， ， ，
，
，
，，
，
（米），
即 的长为 米．
4．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图
1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座 高为 ， ，支架
为 ，面板长 为 ， 为 ．（厚度忽略不计）
(1)求支点C离桌面l的高度；（计算结果保留根号）
(2)小吉通过查阅资料，当面板 绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足 时，问面板上端
E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到 ，参考数据：
）
【答案】(1)
(2)当α从30°变化到 的过程中，高度增加了
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键．
（1）过点C作 于点F，过点B作 于点M，，易得四边形 为矩形，那么可得
，所以 ，利用 的三角函数值可得 长，进而可求解；
（2）过点C作 ，过点E作 于点H，分别得到 与 所成的角为 和 时 的值，
相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了．
【详解】（1）解：过点C作 于点F，过点B作 于点M，，
由题意得： ，
四边形 为矩形，
．
，
．
，
．
，
答：支点C离桌面l的高度为 ；
（2）解：过点C作 ，过点E作 于点H，
，
，
，
当 时， ；
当 时， ；
，
∴当α从 变化到 的过程中，面板上端E离桌面l的高度是增加了．5．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）嵊州市某小区门口安装了曲臂遥控连杆道闸，如图1，连杆主要由主
动杆和辅助杆两部分组成．图2是遥控连杆在某次升起时的示意图， 为主动杆， 为辅助杆， 是
指连杆处在水平静止状态时，此时 在同一直线上， （ 表示地平线），现测得整个连杆
的长度 ，桩的高度 ．连结点 是 的三等分点 ，在升起过程中，辅助杆
始终平行于地平线，连杆在完全升起后的倾角 ．
(1)求 的长度．
(2)求连杆在完全升起后辅助杆 距离地面的高度．（参考数据：
）
【答案】(1)3
(2)
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用：
（1）根据连结点 是 的三等分点 即可求解；
（2）过点 作 于 ，在 中，解直角三角形得 ，进而可求解；
熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解： ，且点 是 的三等分点， ，
（ ）．
（2）过点 作 于 ，如图：依题意得： ，
在 中， ， ，
，即： ，
解得： （ ），
连杆在完全升起后辅助杆 距离地面的高度为： （ ）．
6．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图是某品牌篮球架及其示意图，立柱 垂直地面 ，支架
与 交于点A，支架 交 于点G，支架 平行地面 ，篮筐 与支架 在同一直线上，
米， 米， ．（参考数据： ， ， ）
(1)求 的度数．
(2)工人准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网
吗？请通过计算说明理由．
【答案】(1)
(2)他不能挂上篮网
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、三角形内角和定理的应用
【分析】（1）根据“直角三角形，两锐角互余”即可求出 ；
（2）延长 、 交于点H，则易得 ，根据锐角三角函数即可求出 的长进而可得 的
长．由篮筐 与支架 在同一直线上可得 与地面的距离与 相同，再与3米做比较即可判断工人
是否能否挂上篮网．
本题考查了三角形内角和定理，解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
【详解】（1） ，
，
又 ，
．
（2）如图，延长 、 交于点H，∵ 地面 ， 地面 ，
，
，
又 ，
，
，
，
，
∵篮筐 与支架 在同一直线上，
∴ 与地面的距离为3.124米，
而 ，
∴他不能挂上篮网．
