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专题 18.6 直角三角形斜边的中线【八大题型】
【人教版】
【题型1 由直角三角形斜边的中线求线段长度】.................................................................................................1
【题型2 由直角三角形斜边的中线求周长】.........................................................................................................4
【题型3 由直角三角形斜边的中线求面积】.........................................................................................................7
【题型4 由直角三角形斜边的中线求角度】.......................................................................................................10
【题型5 由直角三角形斜边的中线求最值】.......................................................................................................13
【题型6 由直角三角形斜边的中线进行证明】...................................................................................................17
【题型7 由直角三角形斜边的中线解决几何变换问题】...................................................................................22
【题型8 由直角三角形斜边的中线解决坐标系中的求值问题】.......................................................................25
知识点：直角三角形的性质定理
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【题型1 由直角三角形斜边的中线求线段长度】
【例1】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BE为AC边上的高，BD
为AC边上的中线，若△ABC的面积为20，BD=5，则BE的长度为（ ）
5
A．2 B．3 C． D．4
2
【答案】D
【分析】由直角三角形斜边中线的性质，求出AC=10，由三角形面积公式即可求出BE的长．
【详解】解：∵∠ABC=90°，BD为AC边上的中线，
1
∴BD= AC，
2
∵BD=5，∴AC=10，
∵△ABC的面积为20，
1
∴ AC⋅BE=20，
2
∴BE=4．
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线，三角形的面积，关键是由直角三角形斜边中线的性质求出AC
的长，由三角形面积公式即可求出BE的长．
【变式1-1】（23-24八年级·湖南岳阳·期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，某
同学用刻度尺测量长度时，点A、B对应的刻度分别为4、0，则CD的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三
角形斜边中线的性质可得答案．
【详解】解：∵点A、B对应的刻度分别为4、0，
∴AB=4，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，
1
∴CD= AB=2，
2
故答案为：2．
【变式1-2】（23-24八年级·广西河池·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是
AC的中点．若DE=4.5，则AB的长为（ ）A．2.25 B．9 C．8.5 D．8
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形的定义，直角三角形斜边中线的性质，
利用直角三角形斜边的中线等于斜边一半求出AC即可解决问题．
【详解】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵E是AC的中点，
∴AC=2DE=2×4.5=9，
∴AB=AC=9，
故选B．
【变式1-3】（2024·辽宁·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC的中垂线与BC交于点
D，与AC交于点E，连接BE，F为BE的中点，若DF=2，则AE的长为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质．根据线
段垂直平分线的性质可得BE=CE,DE⊥BC，再由直角三角形的性质，可得BE=2DF=4，然后根据
BE=CE，可得∠C=∠CBE，结合∠ABC=90°，可得∠A=∠ABE，即可求解．
【详解】解：∵DE垂直平分BC，
∴BE=CE,DE⊥BC，
∵F为BE的中点，DF=2，
∴BE=2DF=4，
∵BE=CE，
∴∠C=∠CBE，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°,∠CBE+∠ABE=90°，
∴∠A=∠ABE，
∴AE=BE=4．
故答案为：4【题型2 由直角三角形斜边的中线求周长】
【例2】（23-24八年级·四川广安·期中）如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．若
AB=11，AC=10，则四边形AEDF的周长为 ．
【答案】21
【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，熟记直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一
半是解题的关键．
根据直角三角形斜边上的中线的性质分别求出DE、DF，根据线段中点的概念分别求出AE、AF，进而
求出四边形AEDF的周长．
【详解】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
1 11 1 1 11 1
∴DE= AB= ,DF= AC=5,AE= AB= ，AF= AC=5，
2 2 2 2 2 2
∴四边形AEDF的周长=AE+DE+DF+AF=21，
故答案为：21．
【变式2-1】（23-24八年级·福建厦门·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，点E为
AC的中点，连接DE．若△ABC的周长为20，则△CDE的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】A
【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一
半是解题的关键．根据等腰三角形的三线合一得到BD=DC，根据直角三角形的性质得到1
DE= AC=EA，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
2
【详解】解：∵AB=AC，AD为BC边上的高，
∴BD=DC，
∵△ABC的周长为20，
∴AB+AC+BC=20，
∴AC+CD=10，
在Rt△ADC中，点E为AC的中点，
1
∴DE= AC=EA，
2
∴△CDE的周长=CD+CE+DE=CD+CE+AE=CD+AC=10，
故选：A
【变式2-2】（23-24八年级·江苏扬州·期中）如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，
EF=3，BC=10，则△EFM的周长是 ．
【答案】13
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，先求出
1
EM=FM= BC，再求△EFM的周长即可．解题时主要利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的
2
性质．
【详解】解：∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，BC=10，
1
∴在Rt△BCE中，EM= BC=5，
2
1
在Rt△BCF中，FM= BC=5，
2
又∵EF=3，
∴△EFM的周长=EM+FM+EF=5+5+3=13．
故答案为：13．【变式2-3】（2024·河南周口·八年级期末）如图，在▱ABCD中，∠BAD与∠CDA的平分线相交于点
O，且分别交BC于点E，F.OP为△OEF的中线.已知BF=3，OP=2，则▱ABCD的周长为（ ）
A．12 B．17 C．28 D．34
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半等知识，根据AB∥DC，AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，得
∠AOD=∠EOF=90°，根据OP是Rt△OEF的中线，得OP=EP=FP，根据AE平分∠BAD，
AD∥BC，得AB=BE，根据DF平分∠ADC，AD∥BC，得CD=CF，即可求得BC，即可求
▱ABCD的周长．
【详解】解：∵平行四边形ABCD，
∴AB∥DC,AD∥BC，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，
∴∠OAD+∠ODA=90°，
∴∠AOD=∠EOF=90°，
∵OP是Rt△OEF的中线，
1
∴OP= EF，
2
∴OP=EP=FP，
∵BF=3,OP=2，
∴BE=BF+EP+FP=3+2+2=7，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，∵BE=7，
∴AB=CD=BE=7，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠CDF，
∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠CFD，
∴∠CDF=∠CFD，
∴CD=CF，
∵CD=AB=7,BF=3，
∴BC=CF+BF=7+3=10，
▱ABCD的周长为=2(AB+BC)=2×(7+10)=34，
故选：D．
【题型3 由直角三角形斜边的中线求面积】
【例3】（23-24八年级·浙江绍兴·期末）在△ABC中，∠A,∠B,∠C的度数之比为1:5:6，AB边上的中
线长是2，则△ABC的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】过点B作BE⊥CD，利用三角形内角和以及三个角的比求出各角的度数，再利用直角三角形中线
定理求出BD的长，再根据含30°角的直角三角形的性质求出BE，最后利用面积公式求解即可．
【详解】解：如图所示：
过点B作BE⊥CD
∵∠A:∠B:∠C=1:5:6
1
∴∠A=180°× =15°
1+5+6
5 6
∴∠B=180°× =75°,∠C=180°× =90°
1+5+6 1+5+6
∵CD是AB边上的中线，
1
∴CD= AB=BD=AD
2
∴∠BDC=30°
1
∴BE= BD
2∵CD=2
1
∴BE= ×2=1
2
1
∴S = ×1×2=1
△BCD 2
∴S =2S =2×1=2
△ABC △BDC
故选B．
【点睛】本题主要考查三角形内角和，直角三角形中线定理以及含30°角的直角三角形的性质，运用内角
和求各角的度数以及中线性质求解面积是解决本题的关键．
【变式3-1】（2024·浙江湖州·八年级期末）如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分
线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3❑√2
【答案】B
【分析】根据三线合一可得ED⊥BC，根据垂直平分线的性质可得EB=EC，进而根据∠EBC＝45°，可
1
得△BEC为等腰直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半可得DE= BC=3，然后根据三角形面
2
积公式即可求解．
【详解】解：∵ AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BD,BD=DC，
∴EB=EC，
∵∠EBC＝45°，
∠ECB=∠EBC=45°，
∴ △BEC为等腰直角三角形，
∵BC=6，1
∴ DE= BC=3，
2
1
则△EBC的面积是 ×3×6=9．
2
故选B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边
的一半，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式3-2】（23-24八年级·广东广州·期末）如果直角三角形斜边上的中线和高分别是6和5，那么它的面
积是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】D
【分析】根据直角三角形斜边上的中线先求出斜边长，再利用三角形的面积进行计算即可解答．
【详解】∵直角三角形斜边上的中线是6，
∴斜边长= 2×6= 12，
∵直角三角形斜边上的高是5，
1
∴直角三角形的面积= ×12×5=30，
2
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、三角形的面积，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半是解题的关键．
【变式3-3】（23-24八年级·黑龙江大庆·期末）如图，在一个等边三角形纸片中取三边中点，以虚线为折
痕折叠纸片，若三角形纸片的面积是8cm2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．5cm2
【答案】B
1
【分析】根据中点和等边三角形的性质得到AF⊥BC，S =S = S =4cm2，再求出
△ABF △ACF 2 △ABC1
S =S = S =2cm2，根据直角三角形斜边中线的性质和三线合一求出
△BDF △ADF 2 △ABF
1
S =S = S =1cm2，从而可得结果．
△ADO △FDO 2 △ADF
【详解】解：如图，∵F分别为BC中点，△ABC是等边三角形，
1
∴AF⊥BC，S =S = S =4cm2 ，
△ABF △ACF 2 △ABC
∵D为AB边中点，
1
∴S =S = S =2cm2 ，AD=BD=DF，
△BDF △ADF 2 △ABF
∵E为AC中点，
∴D，E关于AF对称，
∴AF垂直平分DE，
∴AO=FO，
1
∴S =S = S =1cm2 ，
△ADO △FDO 2 △ADF
∴S =S +S =2cm2+1cm2=3cm2 ，
阴影 △BDF △FDO
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线，三角形面积，
解题的关键是掌握基本定理，用边的关系找出面积的关系．
【题型4 由直角三角形斜边的中线求角度】
【例4】（23-24八年级·河北秦皇岛·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∠BCD=18°，E是斜边AB的中点，则∠DCE的度数为（ ）A．30° B．36° C．45° D．54°
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，先得出∠ACD的度数，根据直角三
角形两锐角互余分别求出∠B，∠C的度数，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得EC=EA，算出
∠ACE的度数，根据∠DCE=∠ACD−∠ACE即可求解．
【详解】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD=18°，
∴∠ACD=72°，
∵CD⊥AB，
∴在Rt△BCD中，∠B=90°−∠BCD=90°−18°=72°，
同理，在Rt△ABC中，∠A=90°−∠B=90°−72°=18°，
∵点E是AB中点，
1
∴CE= AB，即CE=BE=AE，
2
∴∠ECA=∠A=18°，
∴∠DCE=∠ACD−∠ACE=72°−18°=54°，
故选：D ．
【变式4-1】（2024·陕西西安·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，交
BC于点D，CE是AB边上的中线，与AD交于点F．若∠B=40°，则∠AFC的度数为（ ）
A．110° B．105° C．100° D．95°
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，与角平分线有关的三角形内角和
问题．根据三角形的内角和定理和角平分线平分角，求出∠DAC的度数，根据斜边上的中线等于斜边的
一半，结合等边对等角，求出∠ACE的度数，再利用三角形的内角和定理求出∠AFC的度数即可．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=40°，CE是AB边上的中线，
1
∴∠BAC=50°,CE= AB=AE，
2
∴∠ACE=∠BAC=50°，∵AD平分∠BAC，
1
∴∠DAC= ∠BAC=25°，
2
∴∠AFC=180°−∠DAC−∠ACF=105°；
故选B．
【变式4-2】（2024·浙江杭州·八年级期末）如图，AD，BE均为△ABC的高，且AB=AC，连结DE交
AB于点O，若∠C=28°，则∠OEB的度数为（ ）
A．62° B．60° C．58° D．56°
【答案】A
【分析】本题考查了垂直平分线性质和判定，直角三角形性质，等腰三角形性质，根据题意得到AD垂直
1
平分线段BC，得到BD=CD，结合直角三角形性质得到DE=BD=CD= BC，利用等腰三角形性质得
2
到∠DEC=∠C=28°，再根据∠OEB=∠BEC−∠DEC求解，即可解题．
【详解】解：∵ AD为△ABC的高，且AB=AC，
∴ AD垂直平分线段BC，
∴ BD=CD，
∵ BE为△ABC的高，即∠BEC=90°，
1
∴DE=BD=CD= BC，
2
∵ ∠C=28°，
∴∠DEC=∠C=28°，
∴ ∠OEB=∠BEC−∠DEC=62°，
故选：A．
【变式4-3】（23-24八年级·贵州安顺·期末）如图，AD是△ABC的高，DE是△ABD的中线，BF是
△BDE的角平分线．若AD=BD，则∠BFD的度数为 ．【答案】112.5°
【分析】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的中线、角平分线、高的概念、三角形的外角性质．根
据三角形的高的概念得到∠ADB=90°，根据直角三角形、等腰三角形的性质得到
∠DAB=∠DBA=45°，EB=ED，再根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∵AD=BD，DE是△ABD的中线，
∴∠DAB=∠DBA=45°，EB=ED，
∴∠EDB=∠EBD=45°，
∴∠BED=90°，
∵BF是△BDE的角平分线，
1
∴∠EBF= ∠EBD=22.5°，
2
∴∠BFD=∠BED+∠EBF=90°+22.5°=112.5°，
故答案为：112.5°．
【题型5 由直角三角形斜边的中线求最值】
【例5】（23-24八年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在 OAB中，∠AOB=90°，OB=OA=5，点C是线段
AB上一动点，连接OC，以OC为直角边在OC左侧构造△ OCD，使∠COD=90°，OC=OD，点M为DC的
中点，连接AM，在点C运动过程中，线段AM的最小值为△ .5
【答案】
2
1
【分析】可证得 AOD≌△BOC，然后易得∠DAC=90°，AM= CD，由直角三角形斜边上的中线证得
2
△
AM=OM，由三角形三边关系AM+OM≥AO，进而得到答案
【详解】解：连接AD，
∵∠AOB=∠COD=90°，OB=OA=5，OC=OD，∠B=∠BAO=∠OCD=45°，
∴∠AOD=∠BOC，
∴△AOD≌△BOC(SAS)，
∴∠DAO=∠B=45°，
∴∠DAO+∠BAO=90°，即∠CAD=90°，
∵点M为DC的中点，
1
∴OM=AM= CD，
2
∵AM+OM≥AO，AO=5，
∴2AM≥5，5
即AM≥ ，
2
5
∴AM的最小值为 ．
2
5
故答案为： ．
2
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△AOD≌△BOC是解题的关键．
【变式5-1】（23-24八年级·江苏·周测）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB与CD不平
行，AC=10，O为AC中点，则△OBD面积的最大值为 ．
25
【答案】 /12.5
2
1 1
【分析】根据直角三角形的性质，可得OB= AC=5,OD= AC=5，从而得到当OB⊥OD时，△OBD
2 2
面积的最大，即可求解．
【详解】解：∵∠ABC=∠ADC=90°，AC=10，O为AC中点，
1 1
∴OB= AC=5,OD= AC=5，
2 2
∴OB=OD，
∴当OB⊥OD时，△OBD面积的最大，
1 1 25
∴△OBD面积的最大值为 OB⋅OD= ×5×5= ．
2 2 2
25
故答案为：
2
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的斜边中线等于斜边的一半是解题的关
键．
【变式5-2】（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）如图，△ABC中，∠C=90°,AB=10,AC=8,BC=6
，线段DE的两个端点D、E分别在边AC,BC上滑动，且DE=4，若点M、N分别是DE、AB的中点，
则MN的最小值为（ ）A．2 B．3 C．3.5 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质．如图，连接CM、CN，则当C，M，N三点在同一
1 1
条直线上时，MN取最小值，根据三角形斜边中线的性质求得，CN= AB=5,CM= DE=2，即可求
2 2
得MN的最小值．
【详解】解：如图，连接CM、CN，则当C，M，N三点在同一条直线上时，MN取最小值，
∵∠C=90°，AB=10，DE=4，点M、N分别是DE、AB的中点，
1 1
∴CN= AB=5,CM= DE=2，
2 2
∴MN的最小值为5−2=3．
故选：B
【变式5-3】（23-24八年级·山东淄博·期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将 ABC绕顶点C顺时针旋转
得到 AB'C'，点M是BC的中点，点P是A′B′的中点，连接PM．若BC=2，△∠A=30°，线段PM长度的
最大△值是 ．【答案】3
【分析】如图连接PC．思想求出PC=2，根据PM≤PC+CM，可得PM≤3，由此即可解决问题．
【详解】解：如图连接PC．
在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2，
∴AB=4，
根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，
∵点P是A′B′的中点，
1
∴PC= A′B′=2，
2
∵CM=BM=1，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
故答案为：3．
【点睛】本题考查旋转变换、含30度角直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线定理，三角形的三边
关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题．
【题型6 由直角三角形斜边的中线进行证明】
【例6】（23-24八年级·浙江舟山·期末）在△ABC中，AD是BC边上的高，E、F分别为AC、BE边上的
1
中点，且BD= AC．
2(1)求证：DF⊥BE；
(2)若∠DAC=52°，求∠BDF的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)71°
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线
（1）连接DE，根据垂直定义可得∠ADC=90°，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得
1
DE=CE= AC，从而可得BD=DE，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答；
2
（2）先利用直角三角形的两个锐角互余可得∠C=38°，然后利用等腰三角形的性质可得
∠C=∠EDC=38°，从而利用平角定义可得∠BDE=142°，再利用等腰三角形的三线合一性质进行计
算，即可解答．
【详解】（1）证明：连接DE，
∵AD⊥BC
，
∴∠ADC=90°，
∵DE是AC的中线，
1
∴DE=CE= AC，
2
1
∵BD= AC，
2
∴BD=DE，
∵点F是BE的中点，∴DF⊥BE；
（2）解：∵∠ADC=90°，∠DAC=52°，
∴∠C=90°−∠DAC=90°−52°=38°，
∵DE=EC，
∴∠C=∠EDC=38°，
∴∠BDE=180°−∠EDC=142°，
∵BD=DE，点F是BE的中点，
1
∴∠BDF= ∠BDE=71°，
2
∴∠BDF的度数为71°．
【变式6-1】（23-24八年级·江苏扬州·期中）如图，已知△ABC中，AD⊥BC，E是AB的中点，DG垂
直平分CE．
(1)求证：DC=BE；
(2)若∠AEC=69°，求∠BCE的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)23°
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质等
等，根据三角形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相
等推出DE=DC=BE是解题的关键.
1
（1）三角形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=BE= AB，根据线段垂直平分线上的点
2
到线段两端的距离相等得到DE=DC，由此得到DC=BE；
（2）根据等边对等角得到∠DCE=∠DEC，∠EBD=∠EDB，利用三角形外角的性质得到
3∠DCE=69°，则∠DCE=23°.
【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，∵E是AB的中点，
1
∴DE=BE= AB，
2
∵DG垂直平分CE，
∴DE=DC，
∴DC=BE；
（2）解：∵DE=DC=BE，
∴∠DCE=∠DEC，∠EBD=∠EDB，
∵∠EDB=∠DEC+∠DCE，
∴∠B=∠EDB=2∠DCE，
∵∠AEC=∠B+∠DCE=69°，
∴3∠DCE=69°，
∴∠DCE=23°.
【变式6-2】（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M
为BC的中点．
(1)求证：△MEF是等腰三角形；
(2)若∠EBC=30°，BC=10cm，求CE的长度．
【答案】(1)见解析
(2)5cm
【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线的性质即可得出结论；
（2）利用直角三角形中三十度角所对的直角边等于斜边的一半即可得出．
【详解】（1）证明：∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴△BFC与△BEC都为直角三角形，
∵M为BC的中点，
∴FM、EM为斜边BC的中点，1 1
∴EM= BC，FM= BC，
2 2
∴EM=FM，
∴△MEF是等腰三角形；
（2）解：在Rt△EBC中，∵∠EBC=30°，
1 1
∴CE= BC= ×10=5(cm)．
2 2
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性
质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
【变式6-3】（23-24八年级·江苏宿迁·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,D是AB的中
点，点E在AC上，点F在BC上，且DE⊥DF．
(1)求证：AE=CF；
(2)若AB=12，求四边形DECF的面积．
【答案】(1)见解析
(2)四边形DECF的面积为18
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识点．掌握“斜中半定理”和
“三线合一”是解题关键．
（1）证△ADE≌△CDF即可求证；
（2）由（1）可得S =S ，故S =S +S =S +S =S ，据此即可求解．
△ADE △CDF 四边形DECF △CDF △CDE △ADE △CDE △ADC
【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
1
∴CD= AB=AD
2
∵AC=BC，D是AB的中点，
1 1
∴∠ADC=90°，∠DCF= ∠ACB= ×90°=45°，∠A=∠B=45°
2 2
∴∠A=∠DCF
∵DE⊥DF∴∠EDF=90°
∴∠ADC=∠EDF
∴∠ADE=∠CDF
在△ADE和△CDF中
¿
∴△ADE≌△CDF
∴AE=CF
1
（2）解：∵CD= AB=AD，AB=12
2
1
∴CD=AD= ×12=6
2
∵∠ADC=90°
1 1
∴S = ×AD×CD= ×6×6=18
△ADC 2 2
∵△ADE≌△CDF
∴S =S
△ADE △CDF
∴S =S +S =S +S =S =18
四边形DECF △CDF △CDE △ADE △CDE △ADC
∴四边形DECF的面积为18．
【题型7 由直角三角形斜边的中线解决几何变换问题】
【例7】（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°
，将其沿边AB上的中线CE折叠、使点A落在A′处，则∠A′EB的度数为
【答案】20°/20度
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握所学的知
识，正确的求出角的度数．
由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得到AE=CE，从而∠ECA=∠A=50°，进而求出∠AEC=80°，由折叠可得∠A′EC=∠AEC=80°，根据角的和差即可解答．
【详解】解：∵∠ACB=90°，CE是中线，
1 1
∴AE= AB，CE= AB，
2 2
∴AE=CE，
∴∠ECA=∠A=50°，
∴∠AEC=180°−∠A−∠ACE=180°−50°−50°=80°，
由折叠可得∠A′EC=∠AEC=80°，
∴∠A′EB=180°−∠AEC−∠A′EC=180°−80°−80°=20°．
故答案为：20°．
【变式7-1】（23-24八年级·山东菏泽·期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时
针旋转到△AB C 的位置，点B 恰好落在边BC的中点处，那么旋转角的度数为（ ）
1 1 1
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】B
【分析】直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，可证得△ABB 是等边三角形，即可求出旋转角度．
1
【详解】解：∵在Rt△ABC中，BB =B C
1 1
∴BB =B A
1 1
又∵AB=B A
1
∴△ABB 是等边三角形
1
∴∠BAB =60°
1
故选：B．
【点睛】此题考查了图形旋转，解题的关键知道会用直角三角形斜边的中线是斜边的一半．
【变式7-2】（23-24八年级·江苏淮安·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中
线，将 ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得四边形ABCE．求证：EC∥AB．
△【答案】证明见解析
【分析】根据直角三角形斜边上的中线、两直线平行的判定解答即可．
【详解】证明：∵CD是AB边上的中线，且∠ACB=90°，
∴CD=AD．
∴∠CAD=∠ACD．
又∵△ACE是由 ADC沿AC边所在的直线折叠而成的，
∴∠ECA=∠ACD．△
∴∠ECA=∠CAD．
∴EC∥AB．
【点睛】本题考查了折叠问题，解决本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线的性质和两条直线平行的
判定．
【变式7-3】（23-24八年级·河北·阶段练习）如图，在Rt△BAC中，∠BAC=90∘，AB=4，BC=9，将
△BAC绕点A顺时针旋转得到△B AC ，取AB的中点D，B C 的中点E．则在旋转过程中，线段ED的
1 1 1 1
最小值 ．
【答案】2.5
【分析】本题主要考查旋转的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，三角形的三边关系，解题的
关键是掌握旋转的性质。
连接 ，根据将 绕顶点 顺时针旋转得到 ，可得 ，
AE △ABC A △AB C ∠B AC =∠BAC=90∘
1 1 1 1B C =BC=9，
1 1
1 1
由E为B C 的中点，知AE= B C =4.5，求出AD= AB=2，当A，D，E不能构成三角形，且D在
1 1 2 1 1 2
AE上时，DE取最小值，此时DE=AE−AD=4.5−2=2.5．
【详解】解：连接AE，如图：
∵将△ABC绕顶点A顺时针旋转得到△AB C ，
1 1
∴∠B AC =∠BAC=90∘，B C =BC=9，
1 1 1 1
∵E为B C 的中点，
1 1
1
∴AE= B C =4.5，
2 1 1
∵AB=4，D为AB中点，
1
∴AD= AB=2，
2
在△ADE中，AE−AD
