文档内容
第 04 讲 等边三角形
1. 理解等边三角形的定义.
2. 探索并证明等边三角形的性质定理.
3. 探索并掌握等边三角形的判定定理.
4. 通过探究掌握 30°角的直角三角形的性质与应用.
5. 经过应用等边三角形的性质与判定的过程，培养学生分析问题，解决问题的
能力.
6. 通过探究含 30°角的直角三角形的性质的过程；增强学生对特殊直角三角
形的认识，培养学生分析问题，解决问题的能力.
知识点1 等边三角形的概念与性质
1. 等边三角形概念
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.
注意：
（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直
角）.
180A
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ 2 .
（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一
定是等边三角形.
2.等边三角形的性质
（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高
线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
（2）三个角都是60°
知识点2 等边三角形的判定
（1）三个角相等的三角形是等边三角形.
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
知识点3 含有30°角的直角三角形
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.知识点4：直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半
【题型1利用等边三角形的性质求边长】
【典例1】（2023春•余江区期中）如图，等边三角形纸片 ABC的边长为8，点
E，F是BC边的三等分点．分别过点 E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪
一刀，则剪下的△DEF的周长是（ ）
A．3 B． C．6 D．8
【答案】D
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且边长为8．
∴∠B＝∠C＝60°，BC＝8，
∵点E，F是BC边的三等分点，
∴ ，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴ ，
∴△DEF的周长是：DE+DF+EF＝3EF＝3× ＝8．
故选：D．【变式1-1】（2023春•锦江区期末）如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，
点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，若△ABC的周长为15，AF＝2，则
BE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
∴∠ADF+∠AFD＝120°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE＝60°，DF＝ED，
∴∠ADF+∠BDE＝120°，
∴∠AFD＝∠BDE，
在△AFD和△BDE中，
，
∴△AFD≌△BDE（AAS），
∴BD＝AF＝2，BE＝AD，
∵△ABC的周长为15且△ABC是等边三角形，
∴AB＝5，
∴AD＝AB﹣BD＝5﹣2＝3，
∴BE＝3，
故选：B．
【变式1-2】（2022秋•柳州期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC
和AC边上，以DE为边作等边△DEF，连接CF．若BD＝1，AE＝3．则CF
的长是 2 ．【答案】2．
【解答】解：过D点作DM∥AB于M，
∴∠A＝DME＝60°，∠MDC＝∠B＝60°，∠C＝60，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠MDE+∠EDC＝60°，∠FDC+EDC＝60°，
∴∠MDE＝∠FDC，
∵DE＝DF，
∴△MDE≌△CDF（SAS），
∴ME＝CF，
∵BD＝1，AE＝3．
∴MA＝BD＝1，
ME＝AE﹣AM＝3﹣1＝2．
∴CF＝2．
故答案为：2．
【变式1-3】（2022秋•东宝区期末）如图是由九个等边三角形组成的一个六边
形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（ ）A．30 cm B．40cm C．50 cm D．60 cm
【答案】D
【解答】解：设AB＝x，
∴等边三角形的边长依次为x，x，x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2，
∴六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）＝7 x+18，
∵AF＝2AB，即x+6＝2x，
∴x＝6cm，
∴周长为7x+18＝60cm．
故选：D．
【题型2利用等边三角形的性质求角度】
【典例2】（2022•金牛区校级模拟）如图，l ∥l ，等边△ABC的顶点A、B分
1 2
别在直线l 、l ，则∠1+∠2＝（ ）
1 2
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【解答】解：∵l ∥l ，
1 2
∴∠1+∠CBA+∠BAC+∠2＝180°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CBA＝∠BAC＝60°，
∴∠1+∠2＝180°﹣（∠CBA+∠BAC）＝180°﹣120°＝60°，
故选：D．
【变式2-1】（2023春•成都期末）在△ABC中，点D，E是BC的三等分点，
且△ADE是等边三角形，则∠BAC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】C
【解答】解：∵点D，E是BC的三等分点，
∴BD＝DE＝CE，∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE＝DE，∠ADE＝∠AED＝∠DAE＝60°，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠ADE＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠CAE，
∴∠BAD＝30°，∠CAE＝30°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAE+∠CAE＝30°+60°+30°＝120°，
故选：C．
【变式2-2】（2023•余杭区校级模拟）如图，已知等边△ABC，直线 l ∥l ，
1 2
∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．60° B．80° C．70° D．100°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵直线l ∥l ，∠1＝50°，
1 2
∴∠AEF＝50°，
∴∠AFE＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∴∠2＝70°，
故选：C．【变式2-3】（2023春•渭南期末）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b
上，边AB与直线b交于点D，若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1的
度数为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．无法判断
【答案】B
【解答】解：∵△BCD是等边三角形，
∴∠B＝∠BCD＝60°，
∵∠A＝20°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣20°﹣60°＝100°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝100°﹣60°＝40°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠ACD＝40°，
故选：B．
【题型3 等边三角形的判定】
【典例 3】（2022 秋•赣榆区期中）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝
120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，
∵AE＝BE，
∴∠B＝∠EAB，
∴∠EAB＝30°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝120°﹣30°＝90°，
即∠CAE＝90°；
（2）方法一：证明：由（1）知，∠CAE＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AEC＝60°，
∴∠DEA＝60°，
∵点D为线段EC的中点，
∴AD＝DE，
∴∠DEA＝∠DAE，
又∵∠DEA＝60°，
∴∠DEA＝∠DAE＝60°，
∴∠ADE＝60°，
∴∠DEA＝∠DAE＝∠ADE，
∴△ADE是等边三角形．
方法二：证明：由（1）知，∠CAE＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AEC＝60°，AE＝ CE，
∴∠DEA＝60°，
∵点D为EC的中点，
∴AD＝ CE＝DE，
∴AD＝DE＝AE，
∴△ADE是等边三角形．
【变式3-1】（2022秋•宽城区校级期中）如图，在△EBD中，EB＝ED，点C
在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA＝EC．（1）求∠EBC的度数；
（2）求证△ABC为等边三角形．
【解答】解：（1）∵CE＝CD，
∴∠D＝∠DEC，
∴∠ECB＝∠D+∠DEC＝2∠D．
∵BE＝DE，
∴∠EBC＝∠D．
∴∠ECB＝2∠EBC．
又∵BE⊥CE，
∴∠ECB＝60°，∠EBC＝30°．
（2）证明：∵BE⊥CE，AE＝CE，
∴BE垂直平分AC，
∴AB＝BC．
∵∠ECB＝60°．
∴△ABC是等边三角形．
【变式3-2】（2022秋•阳江期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，
BE平分∠ABC交AC边于E，两线相交于F点．
（1）若∠BAC＝60°，∠C＝70°，求∠AFB的大小；
（2）若D是BC的中点，∠ABE＝30°，求证：△ABC是等边三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：∵∠BAC＝60°，∠C＝70°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBD＝ ∠ABC＝25°，
∵AD⊥BC，
∴∠BDF＝90°，
∴∠AFB＝∠FBD+∠BDF＝115°．
（2）证明：∵∠ABE＝30°，BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝60°，
∵BD＝DC，AD⊥BC，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
【典例 4】（2022 秋•石泉县期末）已知：如图，点 C 为线段 AB 上一点，
△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．
（1）求证：AN＝BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形．
【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，
∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
∵ ，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN＝BM．（2）∵△CAN≌△CMB，
∴∠CAN＝∠CMB，
又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠MCF＝∠ACE，
在△CAE和△CMF中，
∵ ，
∴△CAE≌△CMF（ASA），
∴CE＝CF，
∴△CEF为等腰三角形，
又∵∠ECF＝60°，
∴△CEF为等边三角形．
【变式4-1】（2022•大冶市模拟）在等边三角形 ABC中，点P在△ABC内，点
Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ．
（1）求证：△ABP≌△CAQ；
（2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
在△ABP和△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
（2）∵△ABP≌△ACQ，
∴∠BAP＝∠CAQ，AP＝AQ，∵∠BAP+∠CAP＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ+∠CAP＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
【变式4-2】（2022秋•岳池县期末）如图，等边△ABC中，点D在延长线上，
CE平分∠ACD，且CE＝BD．
说明：△ADE是等边三角形．
【解答】证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
即∠ACD＝120°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝60°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
又∵∠BAC＝60°，
∴∠DAE＝60°，
∴△ADE为等边三角形．
【变式4-3】（2022秋•东莞市期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC
上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE．（1）若点D是AC的中点，如图1，求证：AD＝CE．
（2）若点D不是AC的中点，如图2，试判断AD与CE的数量关系，并证明
你的结论；（提示：过点D作DF∥BC，交AB于点F）
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，
∵D为AC中点，
∴∠DBC＝30°，AD＝DC，
∵BD＝DE，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠CDE＝30°＝∠E，
∴CD＝CE，
∵AD＝DC，
∴AD＝CE；
（2）AD＝CE，如图2，过D作DF∥BC，交AB于F，
则∠ADF＝∠ACB＝60°，
∵∠A＝60°，
∴△AFD是等边三角形，
∴AD＝DF＝AF，∠AFD＝60°，
∴∠BFD＝∠DCE＝180°﹣60°＝120°，
∵DF∥BC，∴∠FDB＝∠DBE＝∠E，
在△BFD和△DCE中 ，
∴△BFD≌△DCE，
∴CE＝DF＝AD，即AD＝CE．
【题型4：等边三角形的判定与性质】
【典例5】（2022秋•红塔区校级期末）如图：已知在△ABC中，AB＝AC，D
为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（等边对等角）．
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD．
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS）．
∴DE＝DF
（2）解：∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC为等边三角形．∴∠B＝60°，
∵∠BED＝90°，
∴∠BDE＝30°，
∴BE＝ BD，
∵BE＝1，
∴BD＝2，
∴BC＝2BD＝4，
∴△ABC的周长为12．
【变式 5-1】（2022 秋•永川区校级期中）如图，已知在△ABC 中，AD 平分
∠BAC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，
F．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
又∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中 ，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC
（2）证明：∵∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°∴∠EDB＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BDE中，BD＝2BE＝2，
∴BC＝2BD＝4，
∴△ABC的周长＝4×3＝12，
【变式5-2】（2022秋•路北区期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在
边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，
（1）求∠F的度数；
（2）若CD＝3，求DF的长．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；
（2）∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED＝DC＝3，
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝6
【题型5 ：含30°角的直角三角形的性质】
【典例 6】（2022 秋•阳江期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝
30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是（ ）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
【答案】D
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝30°（同角的余角相等），
∵AD＝3cm，
在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm．
∴AB的长度是12cm．
故选：D．
【变式6-1】（2022秋•槐荫区期末）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝
30°，AC＝4，则AB的长是（ ）
A．8 B．1 C．2 D．4
【答案】A
【解答】解：Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，
∴AB＝2AC＝8．
故选：A．
【变式6-2】（2022秋•海兴县期末）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交 AC 于点 D，过点 D 作 DE⊥BC 于点 E，且 CE＝1.5，则 AB 的长为
（ ）
A．3 B．4.5 C．6 D．7.5
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝30°，
∵EC＝1.5，
∴CD＝2EC＝3，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴AD＝CD＝3，
∴AB＝AC＝AD+CD＝6．
故选：C．
【变式6-3】（2022秋•陕西期末）如图，CD是等边△ABC边AB上的中线，
AC的垂直平分线交AC于点E，交CD于点F，若DF＝1，则CD的长为 3
．
【答案】3．
【解答】解：∵CD是等边△ABC边AB上的中线，
∴CD是AB上的高，是∠ACB的平分线，
∴∠ADF＝90°，∠ACD＝30°，如图，连接AF，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AF＝FC，
∴∠FAE＝∠FCA＝30°
∴∠DAF＝30°
在Rt△ADF中，DF＝1，
∴AF＝2＝FC，
∴CD＝DF+FC＝1+2＝3，
故答案为：3．
【题型6 ：直角三角形斜边上中线定理】
【典例7】（2022秋•新华区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD
是△ABC的中线，AB＝12，则CD的长等于（ ）
A．5 B．4 C．8 D．6
【答案】D
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，
∴CD＝ AB，
∵AB＝12，
∴CD＝6．
故选：D．
【变式 7-1】（2022秋•太原期中）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD是
△ABC的中线，AC＝8，AB＝12，则CD的长等于（ ）A．5 B．4 C．8 D．6
【答案】D
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，
∴CD＝ AB，
∵AB＝12，
∴CD＝6．
故选：D
1．（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点 D为圆心，
DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】C
【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°，
∵BD是AC边上的高，
∴BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝ ∠ABC＝30°，
∵BD＝ED，
∴∠DEC＝∠CBD＝30°，
故选：C．2．（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，
∠2＝40°，则∠1的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【答案】A
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠A+∠3+∠2＝180°，
∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝80°．
故选：A．
3．（2021•益阳）如图，AB∥CD，△ACE 为等边三角形，∠DCE＝40°，则
∠EAB等于（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
【答案】C
【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DCA+∠CAB＝180°，即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB＝180°，
∵△ACE为等边三角形，
∴∠ECA＝∠EAC＝60°，
∴∠EAB＝180°﹣40°﹣60°﹣60°＝20°．
故选：C．
4．（2021•新疆）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，
CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°,
∵E是AB的中点,AB＝4，
∴CE＝BE＝ ,
∴△BCE为等边三角形，
∵CD⊥AB,
∴DE＝BD＝ ,
故选：A．
5．（2023•江西）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知
∠ ＝60°，点 B，C 表示的刻度分别为 1cm，3cm，则线段 AB 的长为 2
cm．
α【答案】2．
【解答】解：∵直尺的两对边相互平行，
∴∠ACB＝∠ ＝60°，
∵∠A＝60°，
α
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝3﹣1＝2（cm）．
故答案为：2．
6．（2021•广州）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂
直平分线分别交 AC、AB于点D、E，连接BD．若CD＝1，则AD的长为
2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠A＝30°，
∴∠ABD＝30°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝30°+30°＝60°，∵∠C＝90°，
∴∠CBD＝30°，
∵CD＝1，
∴BD＝2CD＝2，
∴AD＝2．
故答案为2．
1．（2023春•海淀区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC中
点，若BD＝2，则AC的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【解答】解：∵∠ABC＝90°，点D为斜边AC的中点，
∴AC＝2BD，
∵BD＝2，
∴AC＝4，
故选：C．
2．（2023•清江浦区一模）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线
b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°【答案】A
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠A+∠3+∠2＝180°，
∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝80°．
故选：A．
3．（2023春•靖江市校级月考）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示．
若∠3＝60°，则∠1+∠2＝（ ）
A．120° B．180° C．90° D．130°
【答案】C
【解答】解：如图：
由题意可得，∠4＝90°，∠5＝∠6＝60°，
∵∠3＝60°，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠3﹣∠4﹣∠5﹣∠6
＝360°﹣60°﹣90°﹣60°﹣60°＝90°．
故选：C．
4．（2022秋•白云区期末）在△ABC中，若AB＝BC，则△ABC是（ ）
A．不等边三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【解答】解：在△ABC中，若AB＝BC，则△ABC是等腰 三角形．
故选：D．
5．（2022秋•裕华区校级期末）下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的
是（ ）
A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C
【答案】D
【解答】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断
△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边
三角形，故本选项不符合题意．
C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由
“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故
本选项不符合题意．
D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项
符合题意．
故选：D．6．（2023春•牡丹区校级月考）由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时
候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后
松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18cm．若衣架收拢时，∠AOB＝60°，
如图2，则此时A，B两点之间的距离是（ ）
A．9 cm B．16 cm C．18 cm D．20 cm
【答案】C
【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝18cm，
故选：C．
7．（2023春•舞钢市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB
的垂直平分线交 AC 于点 D，交 AB 于点 E，若 AC＝12，则 AD 的长是
（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】B
【解答】解：连接BD，如图所示：∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD＝AD，
∴∠ABD＝∠A＝30°，
∴∠CBD＝180°﹣90°﹣30°×2＝30°，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°，
∴ ，
∴ ，
∵AC＝12，
∴ ．
故选：B．
8．（2023春•贵阳期中）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，
点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解答】解：过P作PC⊥ON，
∵∠AOB＝60°，PC⊥ON，
∴∠OPC＝90°﹣60°＝30°，
∵OP＝12，∴OC＝ OP＝6，
∵PC⊥ON，PM＝PN，MN＝2，
∴MC＝ MN＝1，
∴OM＝OC﹣MC＝6﹣1＝5，
故选：C．
9．（2023•香洲区校级一模）如图，三角形 ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，
∠A＝30°，AB＝8，则BD的长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，
∴BC＝ AB＝4，∠B＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝30°，
∴BD＝ BC＝2，
故选：B．
10．（2023春•麒麟区校级期中）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝
30°，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，若DE＝2.5，则AB的长为（ ）A．2.5 B．5 C．7.5 D．10
【答案】D
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∵E是AB的中点，
∴CE＝BE＝ AB，
∴△BCE为等边三角形，
∵CD⊥AB，DE＝2.5，
∴BE＝2DE＝5，
∴AB＝2BE＝10，
故选：D．
11．（2023•碑林区校级模拟）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，
过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF＝1，
则DF的长为 3 ．
【答案】3．
【解答】解：过点C作CH⊥DE于点H，
则∠CHE＝90°，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴∠AFE＝∠CHE，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△AFE和△CHE中，，
∴△AFE≌△CHE（AAS），
∴EH＝EF＝1，
在等边△ABC中，∠B＝∠ACB＝60°，
∵∠BFE＝90°，
∴∠D＝30°，
∴∠DEC＝60°﹣30°＝30°，
∴CE＝CD，
∴△CDE是等腰三角形，
∵CH⊥DE，
∴DH＝EH＝1，
∴DF＝DH+EH+EF＝3，
故答案为：3．
12．（2023春•永春县期末）如图，△ABC与△BDE均为等边三角形，点D在
AC边上，若∠CDE＝25°，则∠CBD的度数为 35 ° ．
【答案】35°．
【解答】解：∵△ABC与△BDE均为等边三角形，
∴∠A＝∠BDE＝60°，
∵∠CDE＝25°，∴∠ADB＝180°﹣∠BDE﹣∠CDE＝95°，
∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠ADB＝25°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝35°，
故答案为：35°．
13．（2023•越秀区一模）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的
一角，如图所示，发现得到的∠1与∠2的和总是一个定值．则∠1+∠2＝
240 度．
【答案】240．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠1＝∠A+∠AED，∠2＝∠A+∠ADE，
∴∠1+∠2＝∠A+∠A+∠AED+∠ADE＝60°+180°＝240°．
故答案为：240．
14．（2022秋•丛台区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．
点D，E在BC边上，且AD⊥AC，AE⊥AB．
（1）求∠C的度数；
（2）求证：△ADE是等边三角形．【答案】（1）30°；
（2）证明见解析．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴ ，
∴∠C＝30°；
（2）证明：∵AD⊥AC，AE⊥AB，∠B＝∠C＝30°，
∴∠BEA＝∠CDA＝60°，即∠ADE＝∠AED＝60°，
∴∠DAE＝60°，
∴△AED为等边三角形．
15．（2023•岳麓区校级模拟）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于
点D，DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：△ADE是等边三角形．
（2）求证：AE＝ AB．
【答案】见解答．
【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．
∴△ADE是等边三角形．
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC．
∵BD平分∠ABC，∴AD＝ AC．
∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD．
∴AE＝ AB．
16．（2023•襄州区开学）如图，过等边△ABC的顶点A，B，C依次作AB，
BC，CA的垂线MG，MN，NG，三条垂线围成△MNG，求证：△MNG是等
边三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°．
∵BC⊥MN，BA⊥MG，
∴∠CBM＝∠BAM＝90°．
∴∠ABM＝90°﹣∠ABC＝30°．
∴∠M＝90°﹣∠ABM＝60°．
同理：∠N＝∠G＝60°．
∴△MNG为等边三角形．
17．（2023春•市北区期中）如图，△ABC中，D为AC边上一点，DE⊥AB于
E，ED的延长线交BC的延长线于F，且CD＝CF．（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当∠F＝ 3 0 度时，△ABC是等边三角形？请证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；（2）30，证明见解析．
【解答】（1）证明：∵CD＝CF，
∴∠F＝∠CDF，
∵∠ADE＝∠CDF，
∴∠F＝∠ADE，
∵DE⊥AB，
∴∠F+∠B＝90°，∠ADE+∠A＝90°，
∴∠B＝∠A，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：当∠F＝30度时，△ABC是等边三角形，理由如下：
∵DE⊥AB，
∴∠B+∠F＝90°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
由（1）知△ABC是等腰三角形，
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：30．
18．（2023春•龙岗区期中）如图，在等边三角形 ABC中，点D，E分别在边
BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD＝2，求DE的长．【答案】（1）∠F＝30°；
（2）2．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；
（2）∵∠B＝∠EDC＝∠ACD＝60°，
∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠ACD＝60°，
∴△EDC为等边三角形．
∴CE＝DC＝DE．
∵DC＝2，
∴DE＝2．
19．（2022秋•离石区期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D
在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接
写出结论：AE ＝ DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请
你直接写出结论，AE ＝ DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，
过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且
ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，
并直接写出结果）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形，如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，
∵AB＝1，AE＝2，
∴BE＝1，
∵DB＝FC＝FB+BC＝2，
则CD＝BC+DB＝3．
故答案为：（1）＝；（2）＝
