文档文本内容
专题 03 构造直角三角形斜边上的中线（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:25)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:20)................................................................................................1
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:30)(cid:31)(cid:41)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:42)(cid:20)................................................................................2
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:39)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:44)(cid:45)(cid:40)(cid:32)(cid:33)(cid:42)(cid:20)........................................................................3
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:39)(cid:43)(cid:46)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:48)(cid:40)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:42)(cid:20)........................................................4
【题型1 利用直角三角形的斜边中线直接求值】
(cid:15)(cid:50)1(cid:20)(cid:39)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:60)(cid:61)(cid:42)(cid:62)(cid:63)(cid:45)(cid:64) (cid:32)(cid:45) = (cid:45) (cid:45) (cid:47)(cid:48)(cid:65) (cid:45) (cid:31)(cid:41)
(cid:29)(cid:66)(cid:45)(cid:40)(cid:34) (cid:45)(cid:67) =10(cid:45) = 10 (cid:45)(cid:68) (cid:29)(cid:69)△(cid:65)𝐴 𝐵 𝐶 (cid:70)𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝑁 𝐵𝑀 𝐵𝐶 𝐴𝐶
𝑀𝑁 𝐴𝐵 𝑀𝑁 𝐴𝑁
(cid:15)(cid:71)(cid:72)1-1(cid:20)(cid:39)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)·(cid:60)(cid:61)(cid:42)(cid:62)(cid:63)(cid:45)(cid:64)(cid:77)(cid:28) (cid:32)(cid:45)(cid:78)(cid:26)(cid:33) (cid:79) (cid:80)(cid:81)(cid:44)O(cid:45)(cid:82)(cid:44)A(cid:83)
(cid:81)(cid:44)E(cid:45)(cid:40)(cid:34) (cid:70)(cid:67) =3(cid:45) =10(cid:45)(cid:68)(cid:77)(cid:28) 𝐴𝐵(cid:29)𝐶(cid:84)𝐷(cid:85)(cid:65)(cid:39) (cid:42)𝐴𝐶 𝐵𝐷
𝐴𝐸⊥𝐵𝐶 𝑂𝐸 𝑂𝐸 𝐵𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷
A(cid:70)30 B(cid:70)40 C(cid:70)50 D(cid:70)60
(cid:15)(cid:71)(cid:72)1-2(cid:20)(cid:39)22-23(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:41)·(cid:74)(cid:86)(cid:87)(cid:76)·(cid:60)(cid:61)(cid:42)(cid:62)(cid:63)(cid:45)(cid:64) (cid:32)(cid:45) = (cid:45)D(cid:88) (cid:29)(cid:32)(cid:44)(cid:45)(cid:89)
= (cid:45)(cid:68) (cid:29)(cid:90)(cid:91)(cid:88)(cid:39) (cid:42) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶,𝐵𝐸⊥𝐴𝐶 𝐴𝐵
𝐷𝐸 𝐵𝐸 ∠𝐶A(cid:70)65° B(cid:70)70° C(cid:70)75° D(cid:70)80°
(cid:15)(cid:71)(cid:72)1-3(cid:20)(cid:39)24-25(cid:92)(cid:52)(cid:53)(cid:41)·(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:96)·(cid:60)(cid:61)(cid:42)(cid:62)(cid:63)(cid:45)(cid:64)(cid:97)(cid:31)(cid:28) (cid:32)(cid:45) = =90°(cid:45)(cid:40)(cid:34)
(cid:45)(cid:44) (cid:88)(cid:78)(cid:26)(cid:33) (cid:29)(cid:32)(cid:44)(cid:45)(cid:40)(cid:34) (cid:70)(cid:35)(cid:98)(cid:10) = 𝐴𝐵(cid:70)𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐶 𝐴𝐶,
𝐵𝐷 𝐸 𝐴𝐶 𝐵𝐸, 𝐷𝐸 ∠𝐸𝐵𝐷 ∠𝐸𝐷𝐵
【题型2 构造直角三角形斜边中线（连斜边上的中线）】
(cid:15)(cid:50)2(cid:20)(cid:39)2024·(cid:99)(cid:100)(cid:74)(cid:101)·(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:42)(cid:62)(cid:63)(cid:45)(cid:106)(cid:107)Rt (cid:29)(cid:30)(cid:31) (cid:29)(cid:32)(cid:44)(cid:65)D(cid:45) =90°(cid:45)E(cid:88)(cid:31) (cid:41)(cid:108)
(cid:44)(cid:45)(cid:40)(cid:34) (cid:45)(cid:82)(cid:44)D(cid:83) (cid:45)(cid:80) (cid:81)(cid:44)F(cid:70)(cid:67) △=𝐴𝐵𝐶 (cid:45)(cid:97)(cid:31)𝐴𝐶(cid:28) (cid:29)(cid:84)(cid:85)∠(cid:88)𝐵9(cid:45)(cid:68) (cid:29)(cid:69)(cid:65)𝐴 𝐵 (cid:70)
𝐷𝐸 𝐷𝐹⊥𝐷𝐸 𝐵𝐶 𝐶𝐹 2𝐴𝐸 𝐵𝐸𝐷𝐹 𝐵𝐸
(cid:15)(cid:71)(cid:72)2-1(cid:20)(cid:39)24-25(cid:92)(cid:52)(cid:53)(cid:41)·(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)·(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:42)(cid:62)(cid:63)(cid:45)(cid:64)(cid:106)(cid:107) (cid:32)(cid:45) = (cid:45)(cid:44) (cid:65) (cid:29)(cid:117)(cid:69)(cid:33)
(cid:41)(cid:108)(cid:44)(cid:45)(cid:40)(cid:34) (cid:45)(cid:44)E(cid:79)F(cid:47)(cid:48)(cid:65)(cid:33)(cid:114) (cid:79) (cid:29)(cid:32)(cid:44)(cid:45)(cid:40)(cid:34) (cid:45)(cid:67)△𝐴𝐵𝐶=2(cid:45)𝐴(cid:68)𝐵 (cid:29)𝐴𝐶(cid:69)(cid:65) 𝐷 𝐵𝐶(cid:70)
𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐸𝐹 𝐸𝐹 𝐴𝐷
(cid:15)(cid:71)(cid:72)2-2(cid:20)(cid:39)23-24(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:118)(cid:110)(cid:119)(cid:76)·(cid:60)(cid:32)(cid:42)(cid:62)(cid:63)(cid:45)(cid:64)Rt (cid:120)Rt (cid:32)(cid:45) = =90°(cid:45)
(cid:65) (cid:29)(cid:32)(cid:44)(cid:45)(cid:40)(cid:34) (cid:45) (cid:45)(cid:67) =50°(cid:45)(cid:68) = △(cid:70)𝐴𝐸𝐵 △𝐴𝐹𝐵 ∠𝐴𝐸𝐵 ∠𝐴𝐹𝐵 𝑂
𝐴𝐵 𝐸𝐹 𝑂𝐸 ∠𝐸𝐴𝐹 ∠𝑂𝐸𝐹(cid:15)(cid:71)(cid:72)2-3(cid:20)(cid:121)(cid:122)(cid:33)(cid:114) (cid:29)(cid:49)(cid:123)(cid:47)(cid:48)(cid:64) (cid:124)(cid:120) (cid:124)(cid:41)(cid:45) = =2(cid:45)(cid:43) (cid:29)(cid:32)(cid:44) (cid:45)(cid:64) (cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:124)(cid:41)(cid:43)(cid:44) (cid:45)
(cid:40)(cid:34) (cid:45)(cid:82)(cid:44) (cid:83) 𝐴𝐵 (cid:80) (cid:124)(cid:81)(cid:44)𝑥(cid:45)(cid:127)𝑦 𝑂(cid:29)𝐴(cid:84)(cid:85)𝑂(cid:65)𝐵 (cid:45) 𝐴𝐵 (cid:29)(cid:84)(cid:85)𝐷(cid:65) (cid:45)𝑦(cid:68) (cid:29)(cid:36) 𝑀
(cid:88) 𝐷 𝑀 (cid:70)𝐷 𝐷𝑁⊥𝐷𝑀 𝑥 𝑁 △𝐴𝐷𝑁 𝑆1 △𝐵𝐷𝑀 𝑆2 𝑆1 −𝑆2
【题型3 构造直角三角形斜边中线（取斜边中点，连中线）】
(cid:15)(cid:50)3(cid:20)(cid:39)2023·(cid:118)(cid:110)(cid:128)(cid:129)·(cid:108)(cid:102)(cid:42)(cid:62)(cid:63)(cid:45) =90°(cid:45)(cid:31)(cid:69)(cid:65)2(cid:29)(cid:106)(cid:31)(cid:27)(cid:26)(cid:28) (cid:29)(cid:130)(cid:44) (cid:45) (cid:47)(cid:48)(cid:64)(cid:31) (cid:45)
(cid:41)(cid:70)(cid:131) (cid:64)(cid:31) (cid:41)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:45) (cid:135)(cid:136)(cid:64)(cid:31)∠𝑀𝑂𝑁(cid:41)(cid:132)(cid:133)(cid:45)(cid:106)(cid:31)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:28)(cid:137)(cid:138)(cid:139)𝐴(cid:140)𝐵𝐶(cid:71)(cid:45)(cid:132)(cid:133)𝐴(cid:82)(cid:141)𝐵(cid:32)(cid:45)(cid:44) (cid:142)𝑂𝑀(cid:44)
𝑂(cid:29)𝑁(cid:143)(cid:18)(cid:144)(cid:145)𝐵(cid:65) 𝑂 𝑁 (cid:70) 𝐴 𝑂𝑀 𝐶 𝑂
(cid:15)(cid:71)(cid:72)3-1(cid:20)(cid:39)24-25(cid:146)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:97)(cid:147)(cid:148)(cid:149)·(cid:60)(cid:61)(cid:42)(cid:62)(cid:63)(cid:45)(cid:64) (cid:32)(cid:45) > (cid:45) (cid:88)(cid:32)(cid:33)(cid:45)(cid:67) = (cid:45)
=20°(cid:45) (cid:81)(cid:44) (cid:45)(cid:68) (cid:29)(cid:36)(cid:88) (cid:70) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐶 2𝐷𝐹
∠𝐴𝐶𝐹 𝐶𝐹⊥𝐴𝐷 𝐹 ∠𝐵𝐴𝐷
(cid:15)(cid:71)(cid:72)3-2(cid:20)(cid:39)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:118)(cid:110)(cid:150)(cid:151)·(cid:60)(cid:61)(cid:42)(cid:62)(cid:63)(cid:45)(cid:64)(cid:152)(cid:84)(cid:25)(cid:26)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:32)(cid:45)(cid:156)(cid:157)(cid:28) (cid:29)(cid:49)(cid:158)(cid:130)(cid:44) (cid:79)
(cid:88)(cid:153)(cid:154)(cid:124)(cid:41)(cid:29)(cid:133)(cid:44)(cid:45)(cid:67)(cid:156)(cid:157)(cid:28)(cid:29)(cid:31)(cid:69)(cid:65)2(cid:45)(cid:68)(cid:33)(cid:114) (cid:29)(cid:143)(cid:18)(cid:36)(cid:88) (cid:70) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴 𝐵
𝑂𝐶(cid:15)(cid:71)(cid:72)3-3(cid:20)(cid:39)2023·(cid:159)(cid:76)(cid:159)(cid:160)·(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:42)(cid:62)(cid:63)(cid:161)(cid:162)(cid:45)(cid:106)(cid:31) (cid:31)(cid:69)(cid:65)6(cid:45)(cid:44)F(cid:64) (cid:55)(cid:132)(cid:133)(cid:45)(cid:132)(cid:133)(cid:82)
(cid:141)(cid:163)(cid:164)(cid:138)(cid:139) =90°(cid:45)(cid:68)(cid:33)(cid:114) (cid:29)(cid:143)(cid:165)(cid:36)(cid:65) (cid:70) △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
∠𝐴𝐹𝐵 𝐶𝐹
【题型4 构造直角三角形斜边中线（取共斜边中点，分别连两中线）】
(cid:15)(cid:50)4(cid:20)(cid:62)(cid:63)(cid:161)(cid:162)(cid:45) (cid:120) (cid:32)(cid:45) = =90°(cid:45) (cid:65) (cid:29)(cid:32)(cid:44)(cid:45) (cid:45) (cid:80)(cid:81) (cid:45)
=120°(cid:45)(cid:35)(cid:98)𝛥(cid:10)𝐵𝐶𝐷=𝛥𝐵𝐶.𝐸 ∠𝐵𝐷𝐶 ∠𝐵𝐸𝐶 𝑂 𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝐴
∠𝐵𝐴𝐶 𝐷𝐸 𝑂𝐸
(cid:15)(cid:71)(cid:72)4-1(cid:20)(cid:39)23-24(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:41)·(cid:74)(cid:86)(cid:166)(cid:167)·(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:42)(cid:121)(cid:122)(cid:45) (cid:32)(cid:45) = (cid:45) =90°(cid:45)D(cid:65) (cid:29)(cid:32)
(cid:44)(cid:45)(cid:67)E(cid:64)(cid:25)(cid:33) (cid:41)(cid:168)(cid:169)(cid:108)(cid:44)(cid:45) (cid:45)(cid:80)(cid:25)(cid:33) (cid:81)F(cid:44)𝐴𝐵(cid:45)𝐶G(cid:65)𝐴𝐶(cid:29)(cid:32)𝐵(cid:44)𝐶 (cid:45)∠(cid:117)𝐴(cid:69)𝐶𝐵 (cid:170) (cid:80)(cid:81)(cid:44)𝐴𝐵H(cid:70)
𝐴𝐶 𝐷𝐹⊥𝐷𝐸 𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐶𝐺 𝐴𝐵
(1)(cid:67)E(cid:64)(cid:31) (cid:41)(cid:70)(cid:98)(cid:171)① = (cid:172)② = (cid:70)
(2)(cid:67) =6𝐴(cid:45)𝐶 =10(cid:45)(cid:35)𝐷(cid:31)𝐸 (cid:29)𝐷𝐹(cid:69)(cid:70) 𝐶𝐺 𝐺𝐻
(cid:15)(cid:71)(cid:72)𝐴𝐸4-2(cid:20)(cid:39)𝐶2𝐻4-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:41)𝐴·(cid:16)𝐶(cid:173)·(cid:60)(cid:32)(cid:42)(cid:62)(cid:63)(cid:45)(cid:49)(cid:158)(cid:174)(cid:106)(cid:29)(cid:175)30°(cid:79)60°(cid:29)(cid:27)(cid:26)(cid:176) (cid:120)(cid:27)(cid:26)(cid:176) (cid:45)(cid:62)(cid:63)
(cid:161)(cid:162)(cid:177)(cid:178)(cid:45)E(cid:79)A(cid:79)C(cid:27)(cid:44)(cid:64)(cid:108)(cid:179)(cid:25)(cid:33)(cid:41)(cid:45) = =30°(cid:45)(cid:40)(cid:34) (cid:45)(cid:43) (cid:29)𝐴(cid:32)𝐷𝐸(cid:44) (cid:45)(cid:40)(cid:34)𝐴𝐵𝐶
(cid:79) (cid:70)(cid:54)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:10)① = (cid:172)② ∠𝐷+𝐴𝐸 =∠𝐴𝐵(cid:172)𝐶 ③ = 𝐵(cid:172)𝐷④ 𝐵𝐷 =45°𝑀(cid:172)⑤ = (cid:45)(cid:183)
𝑀𝐸 𝑀𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝑀𝐸 𝑀𝐶 ∠𝑀𝐸𝐶 𝑀𝐸 𝐴𝐷(cid:32)(cid:156)(cid:184)(cid:29) (cid:70)
(cid:15)(cid:71)(cid:72)4-3(cid:20)(cid:39)24-25(cid:92)(cid:52)(cid:53)(cid:41)·(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:188)·(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:42)(cid:62)(cid:63)(cid:45)(cid:64) (cid:32)(cid:45) = = =5(cid:45)(cid:189)
(cid:190) (cid:31)(cid:29)(cid:32)(cid:44)O(cid:191)(cid:134)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:142) (cid:45)(cid:130)(cid:44)E(cid:196)(cid:64) (cid:31)(cid:41)△(cid:45)𝐴𝐵𝐶(cid:31)(cid:80) 𝐴𝐵(cid:31)(cid:81)3(cid:44),𝐵G𝐶(cid:70)4,𝐴𝐶 △𝐴𝐵𝐶
𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹 𝐴𝐶 𝐷𝐹 𝐴𝐶
(cid:39)1(cid:42) (cid:29)(cid:69)(cid:65) (cid:172)
(cid:39)2(cid:42)𝐸(cid:40)𝐺(cid:34) (cid:45)(cid:68) (cid:29)(cid:84)(cid:85)(cid:65) (cid:70)
𝐶𝐹 △𝐶𝐹𝐺
