文档文本内容
专题 03 构造直角三角形斜边上的中线（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:25)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:20)................................................................................................1
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:30)(cid:31)(cid:41)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:42)(cid:20)................................................................................4
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:39)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:44)(cid:45)(cid:40)(cid:32)(cid:33)(cid:42)(cid:20)........................................................................9
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:39)(cid:43)(cid:46)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:48)(cid:40)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:42)(cid:20)......................................................13
【题型1 利用直角三角形的斜边中线直接求值】
(cid:15)(cid:50)1(cid:20)(cid:39)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:60)(cid:61)(cid:42)(cid:62)(cid:63)(cid:45)(cid:64) (cid:32)(cid:45) = (cid:45) (cid:45) (cid:47)(cid:48)(cid:65) (cid:45) (cid:31)(cid:41)
(cid:29)(cid:66)(cid:45)(cid:40)(cid:34) (cid:45)(cid:67) =10(cid:45) = 10 (cid:45)(cid:68) (cid:29)(cid:69)△(cid:65)𝐴 𝐵 𝐶 (cid:70)𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝑁 𝐵𝑀 𝐵𝐶 𝐴𝐶
𝑀𝑁 𝐴𝐵 𝑀𝑁 𝐴𝑁
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)3 10
(cid:15)(cid:47)(cid:73)(cid:20)(cid:74)(cid:21)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:27)(cid:33)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:82)(cid:83)(cid:81)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:70)(cid:88)(cid:21)(cid:3)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:77)(cid:78)(cid:27)(cid:26)
(cid:28)(cid:27)(cid:33)(cid:79)(cid:80)(cid:93)(cid:86) (cid:65) (cid:32)(cid:44)(cid:45)(cid:94)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:82)(cid:83)(cid:95)(cid:96) (cid:97) (cid:29)(cid:98)(cid:99)(cid:3)(cid:100)(cid:45)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)
(cid:105)(cid:96) (cid:29)(cid:69)(cid:106)(cid:70)𝑁(cid:74)(cid:21)𝐵(cid:107)𝐶 (cid:108)(cid:77)(cid:78)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:109)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:110)(cid:111)(cid:70)(cid:112)𝐵(cid:113)𝐶 𝑀𝑁 (cid:90)(cid:77)(cid:78)(cid:27)(cid:26)(cid:28) = (cid:81)
(cid:65)𝐴(cid:66)𝑁(cid:45)(cid:114)(cid:103)(cid:104)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:82)(cid:83)(cid:45)(cid:115)(cid:116) (cid:97) (cid:29)(cid:117)(cid:100)(cid:45)(cid:94)(cid:118)△(cid:79)𝐴𝐵(cid:84)𝐶(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:35)(cid:88) ((cid:70)𝐴𝐵 𝐴𝐶),𝐴𝑁
𝐵(cid:15)𝑀(cid:119)(cid:88)(cid:20)(cid:88)(cid:10) = (cid:45) 𝑀𝑁 𝐵𝐶 𝐴𝑁
(cid:90) (cid:29)(cid:32)(cid:44)∵(cid:70)𝐴𝐵 𝐴𝐶,𝐴𝑁⊥𝐵𝐶
∴𝑁 𝐵𝐶 (cid:45)
∵𝐵𝑀⊥𝐴1𝐶
= (cid:70)
2
∴𝑀𝑁 = 𝐵 1 𝐶 0(cid:45)
∵𝑀𝑁= =2 10(cid:45)
∴𝐵𝐶 2𝑀𝑁1
= = 10(cid:70)
2
(cid:64)∴𝑁 𝐶 Rt 𝐵𝐶 (cid:32)(cid:45) = =10(cid:45) = 10(cid:70)
△𝐴𝑁𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝑁𝐶
= = 10 ( 10) = = 90=3 10(cid:45)
2
2 2 2
(cid:120)∴(cid:71)𝐴𝑁(cid:72)(cid:65)(cid:10)𝐴3𝐶 −10𝑁(cid:70)𝐶 − 100−10
(cid:15)(cid:121)(cid:122)1-1(cid:20)(cid:39)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:60)(cid:61)(cid:42)(cid:62)(cid:63)(cid:45)(cid:64)(cid:127)(cid:28) (cid:32)(cid:45)(cid:128)(cid:26)(cid:33) (cid:81) (cid:129)(cid:130)(cid:44)O(cid:45)(cid:92)(cid:44)A(cid:131)
(cid:130)(cid:44)E(cid:45)(cid:40)(cid:34) (cid:70)(cid:67) =3(cid:45) =10(cid:45)(cid:68)(cid:127)(cid:28) 𝐴𝐵(cid:29)𝐶(cid:132)𝐷(cid:133)(cid:65)(cid:39) (cid:42)𝐴𝐶 𝐵𝐷
𝐴𝐸⊥𝐵𝐶 𝑂𝐸 𝑂𝐸 𝐵𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷
A(cid:70)30 B(cid:70)40 C(cid:70)50 D(cid:70)60
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)A
(cid:15)(cid:47)(cid:73)(cid:20)(cid:74)(cid:21)(cid:75)(cid:76)(cid:127)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:45)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:45)(cid:3)(cid:89)(cid:90)(cid:134)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:135)(cid:96)
= (cid:45)(cid:136)(cid:137)(cid:127)(cid:28)(cid:29)(cid:132)(cid:133)(cid:7)(cid:122)(cid:70)
𝐴(cid:134)𝐶(cid:127)(cid:28)2(cid:29)𝑂𝐸(cid:82)(cid:83)(cid:135)(cid:96) = (cid:45)(cid:134)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:135)(cid:96) = =6(cid:45)(cid:130)(cid:90)(cid:95)(cid:138)(cid:127)(cid:28)ABCD(cid:29)(cid:132)
1 𝑂𝐴 𝑂𝐶 𝐴𝐶 2𝑂𝐸
(cid:133)= =30(cid:70)
2
(cid:15)(cid:119)(cid:88)𝐴(cid:20)𝐶(cid:88)⋅𝐵(cid:10)𝐷 (cid:139)(cid:31)(cid:28) (cid:90)(cid:127)(cid:28)(cid:45)
= (cid:45) ∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴𝑂𝐴 𝑂𝐶(cid:45)
∵𝐴𝐸⊥𝐵=𝐶90°(cid:45)
∴∠𝐴𝐸=𝐶 =2×3=6(cid:45)
∴𝐴𝐶 2𝑂𝐸 1 1
(cid:127)(cid:28) (cid:29)(cid:132)(cid:133)= = ×6×10=30(cid:45)
2 2
(cid:120)∴(cid:140)(cid:10)A𝐴(cid:70)𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶⋅𝐵𝐷
(cid:15)(cid:121)(cid:122)1-2(cid:20)(cid:39)22-23(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:41)·(cid:124)(cid:141)(cid:142)(cid:126)·(cid:60)(cid:61)(cid:42)(cid:62)(cid:63)(cid:45)(cid:64) (cid:32)(cid:45) = (cid:45)D(cid:90) (cid:29)(cid:32)(cid:44)(cid:45)(cid:143)
= (cid:45)(cid:68) (cid:29)(cid:106)(cid:98)(cid:90)(cid:39) (cid:42) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶,𝐵𝐸⊥𝐴𝐶 𝐴𝐵
𝐷𝐸 𝐵𝐸 ∠𝐶A(cid:70)65° B(cid:70)70° C(cid:70)75° D(cid:70)80°
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)C
(cid:15)(cid:47)(cid:73)(cid:20)(cid:74)(cid:21)(cid:75)(cid:76)(cid:29)(cid:90)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:81)(cid:77)(cid:31)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:144)(cid:86)(cid:109)(cid:82)(cid:83)(cid:45)(cid:136)(cid:137)(cid:64)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:32)(cid:45)(cid:30)(cid:31)(cid:41)(cid:29)(cid:32)
(cid:33)(cid:77)(cid:130)(cid:30)(cid:31)(cid:29)(cid:80)(cid:145)(cid:90)(cid:88)(cid:21)(cid:29)(cid:3)(cid:89)(cid:70)
1
(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:95)(cid:138) = = = (cid:45)(cid:95)(cid:138) (cid:65)(cid:77)(cid:31)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:45)(cid:146)(cid:147)(cid:77)(cid:31)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:95)(cid:138)
2
=60°(cid:45)(cid:146)(cid:147)(cid:77)(cid:78)(cid:27)(cid:26)𝐷(cid:28)𝐸(cid:29)(cid:82)𝐴(cid:83)𝐵(cid:81)(cid:27)𝐵𝐷(cid:26)(cid:28)𝐴(cid:55)𝐷(cid:26)(cid:109)(cid:86)(cid:87)△(cid:148)𝐵(cid:105)𝐸𝐷(cid:149)(cid:150)(cid:70)
∠(cid:15)𝐴(cid:119)𝐵𝐸(cid:88)(cid:20)(cid:88)(cid:10) (cid:45)
=90°∵(cid:45)𝐵𝐸⊥𝐴𝐶
∴D∠(cid:90)𝐴𝐸𝐵(cid:29)(cid:32)(cid:44)(cid:45)
∵ 𝐴𝐵1
= = = (cid:45)
2
∴𝐷𝐸= 𝐴𝐵(cid:45) 𝐵𝐷 𝐴𝐷
∵𝐷𝐸=𝐵𝐸= (cid:45)
∴𝐷𝐸 𝐵(cid:65)𝐸(cid:77)(cid:31)𝐵(cid:27)𝐷(cid:26)(cid:28)(cid:45)
∴△𝐵𝐷𝐸=60°(cid:45)
∴∠𝐴𝐵=𝐸 =30°(cid:45)
∴∠𝐴=90°(cid:45)−60°
∵𝐴𝐵 1𝐴𝐶
= ×( )=75°(cid:45)
2
(cid:120)∴(cid:140)∠𝐶(cid:10)C(cid:70) 180°−30°
(cid:15)(cid:121)(cid:122)1-3(cid:20)(cid:39)24-25(cid:151)(cid:52)(cid:53)(cid:41)·(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:155)·(cid:60)(cid:61)(cid:42)(cid:62)(cid:63)(cid:45)(cid:64)(cid:139)(cid:31)(cid:28) (cid:32)(cid:45) = =90°(cid:45)(cid:40)(cid:34)
(cid:45)(cid:44) (cid:90)(cid:128)(cid:26)(cid:33) (cid:29)(cid:32)(cid:44)(cid:45)(cid:40)(cid:34) (cid:70)(cid:35)(cid:156)(cid:10) = 𝐴𝐵(cid:70)𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐶 𝐴𝐶,
𝐵𝐷 𝐸 𝐴𝐶 𝐵𝐸, 𝐷𝐸 ∠𝐸𝐵𝐷 ∠𝐸𝐷𝐵(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)(cid:157)(cid:88)(cid:73)
(cid:15)(cid:47)(cid:73)(cid:20)(cid:74)(cid:21)(cid:75)(cid:76)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:41)(cid:32)(cid:33)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:45)(cid:77)(cid:78)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:70)(cid:158)(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:41)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:77)
1 1
(cid:130)(cid:30)(cid:31)(cid:29)(cid:80)(cid:145)(cid:95)(cid:138) = (cid:45) = (cid:45)(cid:159)(cid:160) = (cid:45)(cid:94)(cid:146)(cid:147)“(cid:77)(cid:31)(cid:128)(cid:77)(cid:26)”(cid:149)(cid:150)(cid:156)(cid:161)(cid:70)
2 2
(cid:15)(cid:119)(cid:88)(cid:20)(cid:156)(cid:161)(cid:10) 𝐵𝐸 =𝐴𝐶 𝐷𝐸=90𝐴°(cid:45)𝐶(cid:44) (cid:90)𝐵𝐸(cid:29)(cid:32)𝐷(cid:44)𝐸(cid:45)
1 ∵∠𝐴1𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐶 𝐸 𝐴𝐶
= (cid:45) = (cid:45)
2 2
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐶(cid:45) 𝐷𝐸 𝐴𝐶
∴𝐵𝐸 𝐷=𝐸 (cid:70)
∴
【
∠
题
𝐸𝐵
型
𝐷2 ∠
构
𝐸
造
𝐷𝐵
直角三角形斜边中线（连斜边上的中线）】
(cid:15)(cid:50)2(cid:20)(cid:39)2024·(cid:162)(cid:163)(cid:124)(cid:164)·(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:42)(cid:62)(cid:63)(cid:45)(cid:77)(cid:78)Rt (cid:29)(cid:30)(cid:31) (cid:29)(cid:32)(cid:44)(cid:65)D(cid:45) =90°(cid:45)E(cid:90)(cid:31) (cid:41)(cid:80)
(cid:44)(cid:45)(cid:40)(cid:34) (cid:45)(cid:92)(cid:44)D(cid:131) (cid:45)(cid:129) (cid:130)(cid:44)F(cid:70)(cid:67) △=𝐴𝐵𝐶 (cid:45)(cid:139)(cid:31)𝐴𝐶(cid:28) (cid:29)(cid:132)(cid:133)∠(cid:90)𝐵9(cid:45)(cid:68) (cid:29)(cid:69)(cid:65)𝐴 𝐵 (cid:70)
𝐷𝐸 𝐷𝐹⊥𝐷𝐸 𝐵𝐶 𝐶𝐹 2𝐴𝐸 𝐵𝐸𝐷𝐹 𝐵𝐸
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)4
(cid:15)(cid:47)(cid:73)(cid:20)(cid:92)(cid:44)D(cid:131) (cid:130)(cid:44)G(cid:45)(cid:131) (cid:130)(cid:44)H(cid:45)(cid:40)(cid:34) (cid:45)(cid:146)(cid:147)(cid:77)(cid:78)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:169)(cid:156)
(cid:170)(cid:90)𝐷(cid:77)𝐺(cid:78)⊥𝐴(cid:25)𝐵(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:45)(cid:95)𝐷(cid:138)𝐻⊥𝐵𝐶= = = 𝐵𝐷(cid:45)(cid:171)(cid:160)(cid:95)(cid:138)(cid:139)(cid:31)(cid:28) (cid:90)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:45)(cid:94)(cid:156)(cid:161)
△𝐵𝐶𝐷,△𝐴𝐵𝐷 (cid:45)(cid:95)(cid:138) = = 𝐷𝐺 (cid:45)𝐷𝐻(cid:134)(cid:139)𝐵(cid:31)𝐻(cid:28) 𝐵𝐺 (cid:29)(cid:132)(cid:133)(cid:90)9(cid:45)(cid:135)(cid:96)𝐵(cid:172)𝐻𝐷(cid:173)𝐺(cid:28) (cid:29)(cid:132)(cid:133)(cid:65)
9△(cid:45)𝐸(cid:171)𝐷(cid:160)𝐺≌(cid:95)△(cid:138)𝐹𝐷𝐻= =𝐸𝐺 =𝐹𝐻,𝑆△=𝐸𝐷3𝐺(cid:45)(cid:134)𝑆△𝐹𝐷 = 𝐻 (cid:45)(cid:35)(cid:96)𝐵𝐸𝐷=𝐹1(cid:45)(cid:149)(cid:150)(cid:35)(cid:88)(cid:70) 𝐵𝐻𝐷𝐺
(cid:15)(cid:119)(cid:88)(cid:20)(cid:88)(cid:10)𝐵(cid:92)𝐺(cid:44)𝐴D𝐺(cid:131) 𝐵𝐻 𝐶(cid:130)𝐻(cid:44)G(cid:45)(cid:131)𝐶𝐹 2𝐴𝐸(cid:130)(cid:44)H(cid:45)𝐸𝐺(cid:40)(cid:34) (cid:45)
𝐷𝐺⊥𝐴𝐵 𝐷𝐻⊥𝐵𝐶 𝐵𝐷(cid:77)(cid:78)Rt (cid:32)(cid:45) =90°(cid:45)(cid:44)D(cid:65)(cid:30)(cid:31) (cid:29)(cid:32)(cid:44)(cid:45)
∵ = △𝐴=𝐵𝐶 ∠𝐵 = =45°(cid:45)𝐴𝐶
∴ 𝐵𝐷 =𝐴𝐷 𝐶𝐷=,𝐵𝐷⊥𝐴𝐶,∠𝐴= ∠𝐶 =90°(cid:45)
∴∠ 𝐴𝐵𝐷 ∠𝐶𝐵𝐷 (cid:170)4(cid:90)5°(cid:77),∠(cid:78)𝐴𝐷(cid:25)𝐵(cid:26)(cid:27)∠𝐶(cid:26)𝐷(cid:28)𝐵(cid:45)
∴ △𝐵𝐶𝐷,△(cid:45)𝐴𝐵𝐷 (cid:45)
(cid:174)∵(cid:87)𝐷(cid:95)𝐺(cid:10)⊥𝐴𝐵 𝐷𝐻⊥𝐵𝐶 (cid:170)(cid:90)(cid:77)(cid:78)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:45)
△𝐴𝐺𝐷,△𝐷1𝐻𝐶 1
= = = = = = (cid:45)
2 2
∴𝐴𝐺 =𝐵𝐺(cid:45) 𝐷𝐺 𝐴𝐵,𝐵𝐻 𝐶𝐻 𝐷𝐻 𝐵𝐶
∵𝐴 𝐵 =𝐵𝐶 = = (cid:45)
∴ 𝐷𝐺 =𝐷9𝐻0° 𝐵𝐻 𝐵𝐺
∵∠(cid:139)𝐴(cid:31)𝐵𝐶(cid:28) (cid:90)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:45)
∴ 𝐵𝐻(cid:45)𝐷𝐺
∵ 𝐷𝐹⊥=𝐷𝐸90°(cid:45)
∴∠𝐸𝐷𝐹+ = + =90°(cid:45)
∴∠𝐸𝐷𝐺=∠𝐺𝐷𝐹(cid:45)∠𝐺𝐷𝐹 ∠𝐹𝐷𝐻
∴∠𝐸𝐷𝐺=∠𝐹𝐷𝐻= = (cid:45)
∵∠ 𝐸𝐺𝐷 ∠𝐹𝐻𝐷 (9A0S°A,𝐷)𝐺(cid:45) 𝐷𝐻
∴ △𝐸=𝐷𝐺≌△𝐹𝐷𝐻= (cid:45)
∴(cid:139)𝐸(cid:31)𝐺(cid:28)𝐹𝐻,𝑆△(cid:29)𝐸𝐷(cid:132)𝐺 (cid:133)𝑆(cid:90) △𝐹 9 𝐷 (cid:45) 𝐻 (cid:149) + =9(cid:45)
四边形
∵ 𝐵𝐸𝐷𝐹+ =9(cid:45) 𝑆 𝐵𝐹𝐷𝐺 𝑆△𝐸𝐷𝐺
四边形
∴(cid:172)𝑆(cid:173)(cid:28)𝐵𝐹𝐷𝐺 (cid:29)𝑆(cid:132)△𝐹(cid:133)𝐷𝐻(cid:65)9(cid:45)
∴ =𝐵𝐻𝐷=𝐺 = = 9=3(cid:45)
∴ 𝐵𝐺= 𝐴𝐺 (cid:45)𝐵𝐻 𝐶𝐻
∵ 𝐶𝐹+ 2𝐴=𝐸 + = + + = (cid:45)(cid:149) = (cid:45)
∴𝐶𝐻 𝐹𝐻 𝐴𝐺 𝐸𝐺 𝐴𝐸 𝐸𝐺 𝐸𝐺 2𝐴𝐸 2𝐸𝐺 𝐴𝐸= =3
∴𝐴 𝐺 =3𝐸1𝐺(cid:45)
∴ 𝐸𝐺= + =4(cid:70)
(cid:15)∴(cid:44)𝐵𝐸(cid:175)(cid:20)𝐵(cid:74)𝐺(cid:21)(cid:75)𝐸𝐺(cid:76)(cid:176)(cid:177)(cid:77)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:144)(cid:86)(cid:97)(cid:82)(cid:83)(cid:45)(cid:77)(cid:78)(cid:27)(cid:26)(cid:29)(cid:144)(cid:86)(cid:97)(cid:82)(cid:83)(cid:45)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:29)(cid:144)(cid:86)(cid:97)(cid:82)(cid:83)(cid:45)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)
(cid:28)(cid:29)(cid:178)(cid:179)(cid:77)(cid:113)(cid:180)(cid:45)(cid:172)(cid:93)(cid:131)(cid:96)(cid:181)(cid:104)(cid:33)(cid:45)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:177)(cid:77)(cid:182)(cid:88)(cid:21)(cid:29)(cid:3)(cid:89)(cid:70)
(cid:15)(cid:121)(cid:122)2-1(cid:20)(cid:39)24-25(cid:151)(cid:52)(cid:53)(cid:41)·(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:186)·(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:42)(cid:62)(cid:63)(cid:45)(cid:64)(cid:77)(cid:78) (cid:32)(cid:45) = (cid:45)(cid:44) (cid:65) (cid:29)(cid:191)(cid:69)(cid:33)
(cid:41)(cid:80)(cid:44)(cid:45)(cid:40)(cid:34) (cid:45)(cid:44)E(cid:81)F(cid:47)(cid:48)(cid:65)(cid:33)(cid:188) (cid:81) (cid:29)(cid:32)(cid:44)(cid:45)(cid:40)(cid:34) (cid:45)(cid:67)△𝐴𝐵𝐶=2(cid:45)𝐴(cid:68)𝐵 (cid:29)𝐴𝐶(cid:69)(cid:65) 𝐷 𝐵𝐶(cid:70)
𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐸𝐹 𝐸𝐹 𝐴𝐷
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)4
(cid:15)(cid:47)(cid:73)(cid:20)(cid:74)(cid:21)(cid:75)(cid:76)(cid:176)(cid:77)(cid:78)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:45)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:41)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:77)(cid:130)(cid:30)(cid:31)(cid:29)(cid:80)(cid:145)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:45)(cid:40)(cid:34) (cid:45)(cid:146)(cid:147)
(cid:77)(cid:78)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:27)(cid:33)(cid:79)(cid:80)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:150)(cid:95) (cid:45)(cid:94)(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:41)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:77)(cid:130)(cid:30)(cid:31)(cid:29)(cid:80)(cid:145)(cid:150)(cid:95) 𝐴𝐸= (cid:45)
(cid:192)(cid:193)(cid:82)(cid:83)(cid:90)(cid:88)(cid:21)(cid:29)(cid:3)(cid:89)(cid:70) 𝐴𝐸⊥𝐵𝐶 𝐴𝐷 2𝐸𝐹
(cid:15)(cid:119)(cid:88)(cid:20)(cid:88)(cid:10)(cid:62)(cid:63)(cid:45)(cid:40)(cid:34) (cid:45)
𝐴𝐸
= (cid:45)(cid:44) (cid:65)(cid:33)(cid:188) (cid:29)(cid:32)(cid:44)(cid:45)
∵𝐴𝐵 𝐴𝐶(cid:45) 𝐸 𝐵𝐶
∴𝐴𝐸⊥𝐵=𝐶 90°(cid:45)
∴(cid:44)∠𝐴𝐸(cid:47)𝐷(cid:48)(cid:65)(cid:33)(cid:188) (cid:29)(cid:32)(cid:44)(cid:45)
∵ 𝐹= =4(cid:45)𝐴𝐷
∴(cid:120)𝐴(cid:71)𝐷(cid:72)(cid:65)2𝐸(cid:10)𝐹4(cid:70)
(cid:15)(cid:121)(cid:122)2-2(cid:20)(cid:39)23-24(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:194)(cid:184)(cid:195)(cid:126)·(cid:60)(cid:32)(cid:42)(cid:62)(cid:63)(cid:45)(cid:64)Rt (cid:109)Rt (cid:32)(cid:45) = =90°(cid:45)
(cid:65) (cid:29)(cid:32)(cid:44)(cid:45)(cid:40)(cid:34) (cid:45) (cid:45)(cid:67) =50°(cid:45)(cid:68) = △(cid:70)𝐴𝐸𝐵 △𝐴𝐹𝐵 ∠𝐴𝐸𝐵 ∠𝐴𝐹𝐵 𝑂
𝐴𝐵 𝐸𝐹 𝑂𝐸 ∠𝐸𝐴𝐹 ∠𝑂𝐸𝐹(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)40°/40(cid:106)
(cid:15)(cid:47)(cid:73)(cid:20)(cid:74)(cid:21)(cid:75)(cid:76)(cid:30)(cid:31)(cid:41)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:45)(cid:77)(cid:31)(cid:128)(cid:77)(cid:26)(cid:45)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:55)(cid:26)(cid:109)(cid:97)(cid:196)(cid:26)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:45)(cid:40)(cid:34) (cid:45)(cid:146)(cid:147)(cid:30)(cid:31)(cid:41)(cid:29)(cid:32)
1 𝑂𝐹
(cid:33)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:45)(cid:95)(cid:138) = = = = (cid:45)(cid:146)(cid:147)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:196)(cid:26)(cid:95)(cid:138) =100°(cid:45)(cid:94)(cid:146)(cid:147)(cid:77)(cid:31)(cid:128)(cid:77)(cid:26)(cid:45)
2
(cid:171)(cid:197)(cid:35)(cid:88)(cid:149)(cid:150)(cid:70)𝑂𝐸 𝑂𝐹 𝐴𝐵 𝑂𝐴 𝑂𝐵 ∠𝐸𝑂𝐹
(cid:15)(cid:119)(cid:88)(cid:20)(cid:88)(cid:10)(cid:40)(cid:34) (cid:45)
𝑂𝐹
= =90°(cid:45) (cid:65) (cid:29)(cid:32)(cid:44)(cid:45)
∵∠𝐴𝐸𝐵 ∠𝐴𝐹1𝐵 𝑂 𝐴𝐵
= = = = (cid:45)
2
∴𝑂𝐸 𝑂=𝐹 𝐴𝐵 𝑂𝐴= 𝑂𝐵 (cid:45)
∴∠𝐸𝐴𝑂+ ∠𝑂𝐸𝐴,=∠𝑂𝐴𝐹 +∠𝑂𝐹𝐴 + + =2( + )= =100°(cid:45)
∴(cid:149)∠(cid:10)𝐸𝑂𝐵 ∠=𝐹𝑂1𝐵00° ∠𝑂𝐴𝐸 ∠𝑂𝐸𝐴 ∠𝑂𝐴𝐹 ∠𝑂𝐹𝐴 ∠𝑂𝐴𝐸 ∠𝑂𝐴𝐹 2∠𝐸𝐴𝐹
∠=𝐸𝑂𝐹(cid:45)
∵𝑂O𝐸EF𝑂 = 𝐹1 (180°−100°)=40°(cid:70)
2
∴ (cid:120) ∠ (cid:71)(cid:72)(cid:65)(cid:10)40°(cid:70)
(cid:15)(cid:121)(cid:122)2-3(cid:20)(cid:112)(cid:113)(cid:33)(cid:188) (cid:29)(cid:49)(cid:198)(cid:47)(cid:48)(cid:64) (cid:199)(cid:109) (cid:199)(cid:41)(cid:45) = =2(cid:45)(cid:43) (cid:29)(cid:32)(cid:44) (cid:45)(cid:64) (cid:199)(cid:200)(cid:145)(cid:199)(cid:41)(cid:43)(cid:44) (cid:45)
(cid:40)(cid:34) (cid:45)(cid:92)(cid:44) (cid:131) 𝐴𝐵 (cid:129) (cid:199)(cid:130)(cid:44)𝑥(cid:45)(cid:193)𝑦 𝑂(cid:29)𝐴(cid:132)(cid:133)𝑂(cid:65)𝐵 (cid:45) 𝐴𝐵 (cid:29)(cid:132)(cid:133)𝐷(cid:65) (cid:45)𝑦(cid:68) (cid:29)(cid:36) 𝑀
(cid:90) 𝐷 𝑀 (cid:70)𝐷 𝐷𝑁⊥𝐷𝑀 𝑥 𝑁 △𝐴𝐷𝑁 𝑆1 △𝐵𝐷𝑀 𝑆2 𝑆1 −𝑆2(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)1
(cid:15)(cid:47)(cid:73)(cid:20)(cid:74)(cid:21)(cid:75)(cid:76)(cid:176)(cid:77)(cid:78)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:144)(cid:86)(cid:109)(cid:82)(cid:83)(cid:45)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:45)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:45)(cid:177)(cid:77)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:144)(cid:86)(cid:109)
(cid:82)(cid:83)(cid:45)(cid:131)(cid:181)(cid:104)(cid:33)(cid:37)(cid:38)(cid:177)(cid:77)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:90)(cid:88)(cid:21)(cid:3)(cid:89)(cid:70)(cid:40)(cid:34) (cid:45)(cid:134)(cid:77)(cid:78)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:150)(cid:95)
= =45°(cid:45) =2 2(cid:45)(cid:94)(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)𝑂(cid:28)𝐷(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:77)(cid:130)(cid:30)(cid:31)(cid:80)(cid:145)(cid:201)(cid:202)(cid:77)(cid:78)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:27)(cid:33)(cid:79)(cid:80)(cid:29)(cid:82)
∠𝑂𝐴𝐵 ∠𝑂𝐵𝐴1 𝐴𝐵
(cid:83)(cid:45)(cid:95)(cid:138) = = = = 2(cid:45) (cid:45)(cid:94)(cid:156)(cid:161)(cid:96) (ASA)(cid:45)(cid:95)(cid:138) = (cid:45)
2
(cid:159)(cid:160)(cid:95)(cid:96)𝑂𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷
=
𝐵𝐷 (cid:45)(cid:149)(cid:150)𝑂(cid:35)𝐷(cid:88)⊥(cid:70)𝐴𝐵 △𝐴𝐷𝑁≌△𝑂𝐷𝑀
𝑆△𝐴𝐷𝑁 𝑆△𝑂𝐷𝑀
(cid:15)(cid:119)(cid:88)(cid:20)(cid:88)𝑆△(cid:10)𝐴𝐷(cid:62)𝑁 −(cid:63)𝑆△(cid:45)𝐵(cid:40)𝐷𝑀(cid:34) 𝑆△(cid:45)𝑂𝐵𝐷
𝑂𝐷
=90°(cid:45) = =2(cid:45)
∵∠𝐴𝑂𝐵 𝑂𝐴 𝑂𝐵
= =45°(cid:45) = + =2 2(cid:45)
2 2
∴∠𝑂(cid:65)𝐴𝐵 (cid:29)∠(cid:32)𝑂(cid:44)𝐵𝐴(cid:45) 𝐴𝐵 𝑂𝐴 𝑂𝐵
∵𝐷 𝐴𝐵1
= = = = 2(cid:45) (cid:45)
2
∴𝑂𝐷 =𝐴𝐵45°(cid:45)𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝑂𝐷⊥𝐴𝐵
∴∠𝐵𝑂𝐷 (cid:45)
∵𝐷𝑁⊥𝐷=𝑀 =90°(cid:45)
∴∠𝑀𝐷𝑁+ ∠𝑂𝐷𝐴= + (cid:45)(cid:149) = (cid:45)
(cid:64)∴∠𝑀𝐷𝑁 (cid:109)∠𝑂𝐷𝑁 (cid:32)∠(cid:45)𝑂𝐷𝐴 ∠𝑂𝐷𝑁 ∠𝑂𝐷𝑀 𝐴𝐷𝑁
△𝐴𝐷𝑁 △𝑂𝐷𝑀= =45°
= (cid:45)
∠𝐷𝐴𝑁 ∠=𝐷𝑂𝑀
𝐴𝐷 𝑂𝐷
∠𝐴𝐷𝑁 ∠𝑂𝐷𝑀(ASA)(cid:45)
∴△𝐴𝐷𝑁≌=△𝑂𝐷𝑀(cid:45)
∴𝑆△𝐴𝐷𝑁 𝑆△𝑂𝐷𝑀 = = (cid:45)
∴𝑆△𝐴𝐷𝑁−𝑆△1𝐵𝐷𝑀 𝑆△𝑂1𝐷𝑀−𝑆△𝐵𝐷𝑀 𝑆△𝑂𝐵𝐷
= = × 2× 2=1(cid:45)
2 2
∵𝑆△𝑂𝐵𝐷 =1𝑂(cid:45)𝐷⋅𝐵𝐷
(cid:120)∴(cid:71)𝑆1(cid:72)−𝑆(cid:65)2 (cid:10)1(cid:70)
【题型3 构造直角三角形斜边中线（取斜边中点，连中线）】
(cid:15)(cid:50)3(cid:20)(cid:39)2023·(cid:194)(cid:184)(cid:203)(cid:204)·(cid:80)(cid:165)(cid:42)(cid:62)(cid:63)(cid:45) =90°(cid:45)(cid:31)(cid:69)(cid:65)2(cid:29)(cid:77)(cid:31)(cid:27)(cid:26)(cid:28) (cid:29)(cid:205)(cid:44) (cid:45) (cid:47)(cid:48)(cid:64)(cid:31) (cid:45)
(cid:41)(cid:70)(cid:206) (cid:64)(cid:31) (cid:41)(cid:207)(cid:208)(cid:182)(cid:45) (cid:209)(cid:210)(cid:64)(cid:31)∠𝑀𝑂𝑁(cid:41)(cid:207)(cid:208)(cid:45)(cid:77)(cid:31)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:28)(cid:211)(cid:212)(cid:213)𝐴(cid:214)𝐵𝐶(cid:121)(cid:45)(cid:207)(cid:208)𝐴(cid:92)(cid:215)𝐵(cid:32)(cid:45)(cid:44) (cid:138)𝑂𝑀(cid:44)
𝑂(cid:29)𝑁(cid:101)(cid:18)(cid:216)(cid:217)𝐵(cid:65) 𝑂 𝑁 (cid:70) 𝐴 𝑂𝑀 𝐶 𝑂
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)1+ 3/ 3+1
(cid:15)(cid:119)(cid:88)(cid:20)(cid:74)(cid:21)(cid:75)(cid:76)(cid:176)(cid:77)(cid:31)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:45)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:45)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:45)(cid:49)(cid:44)(cid:210)(cid:218)(cid:45)(cid:33)(cid:188)(cid:101)(cid:219)(cid:220)(cid:146)(cid:147)(cid:49)(cid:44)
(cid:210)(cid:218)(cid:45)(cid:33)(cid:188)(cid:101)(cid:219)(cid:135)(cid:95)(cid:44) (cid:81) (cid:81) (cid:27)(cid:44)(cid:46)(cid:33)(cid:182)(cid:44) (cid:138)(cid:44) (cid:29)(cid:216)(cid:217)(cid:101)(cid:18)(cid:90)(cid:88)(cid:21)(cid:29)(cid:3)(cid:89)(cid:70)
𝑂 𝐶 𝐷 𝐶 𝑂 1
(cid:43) (cid:29)(cid:32)(cid:44)(cid:65)(cid:44) (cid:45)(cid:40)(cid:34) (cid:81) (cid:45)(cid:146)(cid:147)(cid:77)(cid:31)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:150)(cid:95) = =1(cid:45) (cid:45)(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)
2
(cid:29)𝐴(cid:49)𝐵(cid:221)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:29)(cid:222)𝐷(cid:173)(cid:109)(cid:77)𝑂(cid:130)𝐷(cid:30)(cid:31)𝐶𝐷(cid:29)(cid:222)(cid:173)(cid:150)(cid:35)(cid:95) (cid:29)(cid:36)(cid:45)(cid:94)(cid:146)(cid:147)(cid:25)𝐴𝐷(cid:26)(cid:27)(cid:26)𝐴𝐵(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:41)𝐶(cid:29)𝐷⊥(cid:32)𝐴(cid:33)𝐵(cid:77)(cid:130)(cid:30)(cid:31)(cid:29)(cid:80)(cid:145)(cid:150)
(cid:95) (cid:29)(cid:36)(cid:45)(cid:223)(cid:102)(cid:146)(cid:147)(cid:49)(cid:44)(cid:210)(cid:218)(cid:45)(cid:33)(cid:188)(cid:101)(cid:219)(cid:150)(cid:95)𝐶(cid:206)𝐷(cid:44) (cid:81) (cid:81) (cid:27)(cid:44)(cid:46)(cid:33)(cid:182)(cid:44) (cid:138)(cid:44) (cid:29)(cid:216)(cid:217)(cid:101)(cid:18)(cid:45)(cid:149)(cid:150)(cid:35)(cid:88)(cid:70)
(cid:15)𝑂(cid:44)𝐷(cid:175)(cid:20)(cid:88)(cid:10)(cid:62)(cid:63)(cid:45)(cid:43) (cid:29)(cid:32)(cid:44)(cid:65)(cid:44) (cid:45)(cid:40)(cid:34) (cid:81)𝑂 (cid:45)𝐶 𝐷 𝐶 𝑂
𝐴𝐵 𝐷 𝑂𝐷 𝐶𝐷(cid:90)(cid:77)(cid:31)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:45)(cid:44) (cid:90) (cid:29)(cid:32)(cid:44)(cid:45)
∵△𝐴𝐵𝐶1 𝐷 𝐴𝐵
= =1(cid:45) (cid:45)
2
∴𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷⊥𝐴𝐵
= = 2 1 = 3(cid:45)
2 2 2 2
∴𝐶𝐷 =𝐴𝐶90−°(cid:45)𝐴𝐷(cid:44) (cid:90) (cid:29)−(cid:32)(cid:44)(cid:45)
∵∠𝑀𝑂𝑁1 1 𝐷 𝐴𝐵
= = ×2=1(cid:45)
2 2
∴(cid:134)𝑂(cid:63)𝐷(cid:150)(cid:113)𝐴(cid:45)𝐵(cid:206)(cid:44) (cid:81) (cid:81) (cid:27)(cid:44)(cid:46)(cid:33)(cid:182)(cid:44) (cid:138)(cid:44) (cid:29)(cid:216)(cid:217)(cid:101)(cid:18)(cid:45)
(cid:101)(cid:18)(cid:36)(cid:65) + 𝑂 =𝐶1+𝐷 3(cid:70) 𝐶 𝑂
(cid:120)(cid:71)(cid:72)(cid:65)𝑂(cid:10)𝐷
1+𝐶𝐷3(cid:70)
(cid:15)(cid:121)(cid:122)3-1(cid:20)(cid:39)24-25(cid:224)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:139)(cid:225)(cid:226)(cid:170)·(cid:60)(cid:61)(cid:42)(cid:62)(cid:63)(cid:45)(cid:64) (cid:32)(cid:45) > (cid:45) (cid:90)(cid:32)(cid:33)(cid:45)(cid:67) = (cid:45)
=20°(cid:45) (cid:130)(cid:44) (cid:45)(cid:68) (cid:29)(cid:36)(cid:90) (cid:70) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐶 2𝐷𝐹
∠𝐴𝐶𝐹 𝐶𝐹⊥𝐴𝐷 𝐹 ∠𝐵𝐴𝐷
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)35°
(cid:15)(cid:47)(cid:73)(cid:20)(cid:74)(cid:21)(cid:75)(cid:76)(cid:176)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:81)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:86)(cid:87)(cid:45)(cid:77)(cid:78)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:201)(cid:202)(cid:222)(cid:197)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:45)(cid:88)(cid:21)
(cid:29)(cid:3)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:43)(cid:32)(cid:44)(cid:37)(cid:38)(cid:181)(cid:104)(cid:33)(cid:70)
(cid:43) (cid:29)(cid:32)(cid:44) (cid:45)(cid:40)(cid:34) (cid:45) (cid:45)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:86)(cid:87)(cid:77)(cid:78)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:201)(cid:202)(cid:222)(cid:197)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:35)(cid:88)(cid:26)(cid:106)(cid:70)
(cid:15)𝐴(cid:119)𝐶(cid:88)(cid:20)(cid:43)𝑀(cid:29)(cid:32)(cid:44)𝐹𝑀(cid:45)(cid:40)𝐷(cid:34)𝑀 (cid:45) (cid:45)
𝐴𝐶 𝑀 𝐹𝑀 𝐷𝑀
= (cid:45)
∴𝐴𝐶 2𝐴𝑀
∵𝐶𝐹⊥𝐴=𝐷90°,
∴∠𝐴𝐹=𝐶
∴𝐴𝐶=2𝐹𝑀
∵𝐴𝐶 =2𝐷𝐹=
∴𝐴𝑀 𝐹=𝑀 𝐷𝐹(cid:45) =
∴∠𝐹𝐷𝑀 ∠𝐹𝑀𝐷 ∠𝑀𝐴𝐹 ∠𝑀𝐹𝐴=20°
∵∠𝐴𝐶𝐹 = =70°
∴∠𝑀𝐴𝐹=9700°°−20°
∴∠𝑀𝐹𝐴+ = =70°
∵∠𝐹𝐷𝑀 ∠1𝐹𝑀𝐷 ∠𝑀𝐹𝐴
= =35°,
2
∴∠𝐹(cid:90)𝐷𝑀(cid:32)(cid:33)(cid:45)∠𝑀(cid:90)𝐹𝐴 (cid:29)(cid:32)(cid:44)(cid:45)
∵𝐴𝐷(cid:90) 𝑀(cid:29)(cid:32)𝐴(cid:227)𝐶 (cid:33)(cid:45)
∴𝑀𝐷 △(cid:45)𝐴𝐵𝐶
∴𝑀𝐷∥𝐴𝐵= =35°.
∴(cid:120)∠(cid:71)𝐵(cid:72)𝐴𝐷(cid:65)(cid:10)∠3𝑀5°𝐷(cid:70)𝐹
(cid:15)(cid:121)(cid:122)3-2(cid:20)(cid:39)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:194)(cid:184)(cid:228)(cid:229)·(cid:60)(cid:61)(cid:42)(cid:62)(cid:63)(cid:45)(cid:64)(cid:222)(cid:132)(cid:25)(cid:26)(cid:230)(cid:231)(cid:100)(cid:32)(cid:45)(cid:172)(cid:173)(cid:28) (cid:29)(cid:49)(cid:232)(cid:205)(cid:44) (cid:81)
(cid:90)(cid:230)(cid:231)(cid:199)(cid:41)(cid:29)(cid:208)(cid:44)(cid:45)(cid:67)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:29)(cid:31)(cid:69)(cid:65)2(cid:45)(cid:68)(cid:33)(cid:188) (cid:29)(cid:101)(cid:18)(cid:36)(cid:90) (cid:70) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴 𝐵
𝑂𝐶
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)1+ 5
(cid:15)(cid:47)(cid:73)(cid:20)(cid:74)(cid:21)(cid:75)(cid:76)(cid:176)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:45)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:77)(cid:130)(cid:30)(cid:31)(cid:29)(cid:80)(cid:145)(cid:45)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:45)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:27)(cid:31)(cid:3)(cid:100)
(cid:77)(cid:113)(cid:180)(cid:70)
1
(cid:62)(cid:63)(cid:45)(cid:193) (cid:29)(cid:32)(cid:44)(cid:65) (cid:45)(cid:40)(cid:34) (cid:81) (cid:45)(cid:68) = =1(cid:45)(cid:134)(cid:172)(cid:173)(cid:28) (cid:45)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:95)(cid:45) = +
2
2 2
=
5(cid:45)(cid:134)𝐴(cid:21)𝐵(cid:233)(cid:113)(cid:45) 𝐸
+
𝑂𝐸 (cid:45)𝐶(cid:149)𝐸 𝑂𝐸
1+
𝐴
5
𝐵(cid:45)(cid:223)(cid:102)(cid:131)(cid:71)(cid:149)(cid:150)(cid:70)𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐶𝐸 𝐵𝐶 𝐵𝐸
(cid:15)(cid:119)(cid:88)(cid:20)(cid:88)(cid:10)(cid:62)(cid:63)(cid:45)𝑂(cid:193)𝐶≤𝑂(cid:29)𝐸(cid:32)(cid:44)𝐶𝐸(cid:65) (cid:45)𝑂(cid:40)𝐶(cid:34)≤ (cid:81) (cid:45)
𝐴𝐵 𝐸 𝑂𝐸 𝐶𝐸=90°(cid:45)
∵∠𝐴𝑂𝐵1
= =1(cid:45)
2
∴(cid:172)𝑂𝐸(cid:173)(cid:28)𝐴𝐵 (cid:45)
∵ =𝐴𝐵9𝐶0𝐷°
∴∠𝐴𝐵𝐶
(cid:134)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:95)(cid:45) = + = 5(cid:45)
2 2
∴(cid:134)(cid:21)(cid:233)(cid:113)(cid:45) 𝐶𝐸 + 𝐵(cid:45)𝐶(cid:149) 𝐵𝐸 1+ 5(cid:45)
(cid:33)(cid:188) (cid:69)(cid:29)𝑂𝐶(cid:101)≤(cid:18)𝑂(cid:36)𝐸(cid:90)1𝐶+𝐸 5(cid:45)𝑂𝐶≤
∴(cid:120)(cid:71)(cid:72)𝑂(cid:65)𝐶(cid:10)1+ 5(cid:70)
(cid:15)(cid:121)(cid:122)3-3(cid:20)(cid:39)2023·(cid:234)(cid:126)(cid:234)(cid:235)·(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:42)(cid:62)(cid:63)(cid:236)(cid:237)(cid:45)(cid:77)(cid:31) (cid:31)(cid:69)(cid:65)6(cid:45)(cid:44)F(cid:64) (cid:55)(cid:207)(cid:208)(cid:45)(cid:207)(cid:208)(cid:92)
(cid:215)(cid:238)(cid:239)(cid:212)(cid:213) =90°(cid:45)(cid:68)(cid:33)(cid:188) (cid:29)(cid:101)(cid:240)(cid:36)(cid:65) (cid:70) △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
∠𝐴𝐹𝐵 𝐶𝐹
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)3 3 / +3 3
(cid:15)(cid:47)(cid:73)(cid:20)(cid:43) −(cid:32)3(cid:44)−3 (cid:45)(cid:40)(cid:34) (cid:45) (cid:45)(cid:134)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:95)(cid:138) (cid:29)(cid:69)(cid:45)(cid:134) + (cid:45)(cid:149)(cid:150)(cid:35)(cid:96)
(cid:29)(cid:101)(cid:240)(cid:36)(cid:70)𝐴𝐵 𝑀 𝑀𝐹 𝑀𝐶 𝐹𝑀 𝐶𝐹 𝐹𝑀≥𝐶𝑀 𝐶𝐹
(cid:74)(cid:21)(cid:75)(cid:76)(cid:35)(cid:33)(cid:188)(cid:101)(cid:240)(cid:36)(cid:29)(cid:241)(cid:21)(cid:45)(cid:77)(cid:31)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:45)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:45)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:31)(cid:3)(cid:100)(cid:45)(cid:3)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)
(cid:131)(cid:181)(cid:104)(cid:33)(cid:95)(cid:138) + (cid:70)
(cid:15)(cid:119)(cid:88)(cid:20)(cid:88)(cid:10)𝐶(cid:43)𝐹 (cid:32)𝐹𝑀(cid:44)≥(cid:45)𝐶𝑀(cid:40)(cid:34) (cid:45) (cid:45)
𝐴𝐵 𝑀 𝑀𝐹 𝑀𝐶
=90°(cid:45)
= 1 =3(cid:45) ∵∠𝐴𝐹𝐵
2
∴𝐹𝑀 (cid:90)𝐴(cid:77)𝐵(cid:31)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:45)
∵△𝐴𝐵𝐶 (cid:45)
∴𝐶𝑀⊥𝐴𝐵3
= =3 3(cid:45)
2
∴𝐶𝑀 𝐴𝐵+ (cid:45)
∵𝐶𝐹 𝐹𝑀≥𝐶𝑀=3 3 (cid:45)
∴𝐶𝐹(cid:29)≥(cid:101)𝐶𝑀(cid:240)−(cid:36)𝐹(cid:90)𝑀3 3 −(cid:70)3
(cid:120)∴(cid:71)𝐶𝐹(cid:72)(cid:65)(cid:10)3 3−3(cid:70)−3
【题型4 构造直角三角形斜边中线（取共斜边中点，分别连两中线）】
(cid:15)(cid:50)4(cid:20)(cid:62)(cid:63)(cid:236)(cid:237)(cid:45) (cid:109) (cid:32)(cid:45) = =90°(cid:45) (cid:65) (cid:29)(cid:32)(cid:44)(cid:45) (cid:45) (cid:129)(cid:130) (cid:45)
=120°(cid:45)(cid:35)(cid:156)𝛥(cid:10)𝐵𝐶𝐷=𝛥𝐵𝐶.𝐸 ∠𝐵𝐷𝐶 ∠𝐵𝐸𝐶 𝑂 𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝐴
∠𝐵𝐴𝐶 𝐷𝐸 𝑂𝐸
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)(cid:157)(cid:88)(cid:73)
(cid:15)(cid:47)(cid:73)(cid:20)(cid:40)(cid:34)OD.(cid:242)(cid:65) BDC= BEC=90°(cid:45)O(cid:65)BC(cid:29)(cid:32)(cid:44)(cid:220)(cid:236)(cid:201)(cid:243) = =OB=OC(cid:45)(cid:171)(cid:160) COD=2 CBD(cid:45)
BOE=2 BCE(cid:220)(cid:244)(cid:242)(cid:65)∠BAC=1∠20°(cid:220)(cid:236)(cid:201)(cid:243) CBD+ BCE=60°(cid:45) COD𝑂+𝐸 BO𝑂E𝐷=120°(cid:220)(cid:236)(cid:201) DO∠E=60°(cid:220)∠(cid:159)(cid:160)(cid:156)(cid:95)
∠DOE(cid:90)∠(cid:77)(cid:31)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:45)∠(cid:236)(cid:201)DE=OE. ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
(cid:15)△(cid:119)(cid:88)(cid:20)(cid:40) (cid:45)
𝑂𝐷
(cid:65) (cid:29)(cid:32)(cid:44)(cid:45)
∵𝑂 =𝐵𝐶 =OB=OC(cid:45)
∵𝑂C𝐸OD=𝑂2𝐷CBD, BOE=2 BCE.
∴∠BAC=12∠0°(cid:45) ∠ ∠
∵∠CBD+ BCE=60°(cid:45)
∴∠COD+∠BOE=120°(cid:45)
∴∠DOE=6∠0°(cid:45)
∴∠DOE(cid:90)(cid:77)(cid:31)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:45)
∴D△E=OE.
∴(cid:15)(cid:44)(cid:175)(cid:20)(cid:245)(cid:21)(cid:75)(cid:76)(cid:176)(cid:77)(cid:31)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:144)(cid:86)(cid:109)(cid:82)(cid:83)(cid:45)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:77)(cid:130)(cid:30)(cid:31)(cid:29)(cid:80)(cid:145)(cid:45)(cid:77)(cid:78)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:82)
(cid:83)(cid:202)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:196)(cid:26)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:45)(cid:88)(cid:71)(cid:245)(cid:21)(cid:29)(cid:3)(cid:89)(cid:90)(cid:246)(cid:136)(cid:137)(cid:47)(cid:73)(cid:21)(cid:32)(cid:29)(cid:247)(cid:248)(cid:6)(cid:249)(cid:221)(cid:250)(cid:45)(cid:251)(cid:138)(cid:252)(cid:253)(cid:29)(cid:113)(cid:180)(cid:254)(cid:88)(cid:255)(cid:241)(cid:21)(cid:45)
(cid:223)(cid:102)(cid:146)(cid:147)(cid:201)(cid:256)(cid:257)(cid:21)(cid:258)(cid:259)(cid:251)(cid:96)(cid:88)(cid:255)(cid:241)(cid:21)(cid:29)(cid:173)(cid:260).
(cid:15)(cid:121)(cid:122)4-1(cid:20)(cid:39)23-24(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:41)·(cid:124)(cid:141)(cid:261)(cid:262)·(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:42)(cid:112)(cid:113)(cid:45) (cid:32)(cid:45) = (cid:45) =90°(cid:45)D(cid:65) (cid:29)(cid:32)
(cid:44)(cid:45)(cid:67)E(cid:64)(cid:25)(cid:33) (cid:41)(cid:263)(cid:233)(cid:80)(cid:44)(cid:45) (cid:45)(cid:129)(cid:25)(cid:33) (cid:130)F(cid:44)𝐴𝐵(cid:45)𝐶G(cid:65)𝐴𝐶(cid:29)(cid:32)𝐵(cid:44)𝐶 (cid:45)∠(cid:191)𝐴(cid:69)𝐶𝐵 (cid:97) (cid:129)(cid:130)(cid:44)𝐴𝐵H(cid:70)
𝐴𝐶 𝐷𝐹⊥𝐷𝐸 𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐶𝐺 𝐴𝐵
(1)(cid:67)E(cid:64)(cid:31) (cid:41)(cid:70)(cid:156)(cid:161)① = (cid:220)② = (cid:70)
(2)(cid:67) =6𝐴(cid:45)𝐶 =10(cid:45)(cid:35)𝐷(cid:31)𝐸 (cid:29)𝐷𝐹(cid:69)(cid:70) 𝐶𝐺 𝐺𝐻
(cid:15)(cid:71)(cid:72)𝐴𝐸(cid:20)(1)(cid:157)(cid:88)𝐶𝐻(cid:73) 𝐴𝐶
(2)14(cid:264)2
(cid:15)(cid:47)(cid:73)(cid:20)(cid:74)(cid:21)(cid:75)(cid:76)(cid:177)(cid:77)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:144)(cid:86)(cid:97)(cid:82)(cid:83)(cid:81)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:41)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:81)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:45)(cid:192)(cid:189)(cid:136)(cid:137)(cid:252)(cid:3)(cid:113)(cid:180)(cid:29)
(cid:117)(cid:100)(cid:97)(cid:207)(cid:24)(cid:45)(cid:265)(cid:96)(cid:252)(cid:253)(cid:63)(cid:28)(cid:47)(cid:73)(cid:35)(cid:88)(cid:90)(cid:88)(cid:71)(cid:29)(cid:3)(cid:89)(cid:70)
(cid:39)1(cid:42)①(cid:40)(cid:34) (cid:45)(cid:135)(cid:96) = (cid:45) = (cid:45) = (cid:45)(cid:156) (cid:45)(cid:101)(cid:102)(cid:146)(cid:147)(cid:177)(cid:77)(cid:27)(cid:26)(cid:28)
(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:149)(cid:150)(cid:95)𝐶(cid:96)𝐷 = 𝐶𝐷(cid:220) 𝐴𝐷 ∠𝐶𝐷𝐹 ∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐴 ∠𝐷𝐶𝐵 △𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐹
②(cid:40)(cid:34) (cid:45)(cid:146)(cid:147)𝐷(cid:25)𝐸 (cid:26)𝐷(cid:27)𝐹(cid:26)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:41)(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:96) = = = (cid:45)(cid:135)(cid:96) = (cid:45)(cid:135)(cid:96)
=𝐷𝐺 (cid:45)(cid:135)(cid:96) = (cid:149)(cid:150)(cid:220) 𝐶𝐺 𝐸𝐺 𝐺𝐹 𝐷𝐺 ∠𝐺𝐶𝐷 ∠𝐺𝐷𝐶
∠(cid:39)𝐺2𝐷(cid:42)𝐻(cid:47)(cid:49)∠(cid:248)𝐺𝐻(cid:266)𝐷(cid:267)(cid:45)(cid:206)𝐷E𝐺(cid:64)(cid:33)𝐺(cid:188)𝐻 (cid:41)(cid:182)(cid:109)(cid:206)E(cid:64)(cid:33)(cid:188)CA(cid:191)(cid:69)(cid:33)(cid:41)(cid:182)(cid:45)(cid:35)(cid:96) = =6(cid:45)(cid:146)(cid:147)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:35)
(cid:96) (cid:45)(cid:149)(cid:150)(cid:95)(cid:96)(cid:71)(cid:72)(cid:70) 𝐴𝐶 𝐴𝐸 𝐶𝐹
(cid:15)𝐸(cid:119)𝐶(cid:88)(cid:20)(cid:39)1(cid:42)(cid:156)(cid:161)(cid:10)①(cid:40)(cid:34) (cid:45)(cid:62)(cid:63)1(cid:236)(cid:237)(cid:10)
𝐶𝐷
=90°(cid:45) = (cid:45)D(cid:65) (cid:29)(cid:32)(cid:44)(cid:45)
∵∠𝐴𝐶=𝐵 = 𝐴(cid:45)𝐶 𝐵𝐶 (cid:45) 𝐴𝐵 + =90°(cid:45) = =45°(cid:45)
∴𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝐶𝐷⊥𝐴𝐵 ∠𝐸𝐷𝐴 ∠𝐸𝐷𝐶 ∠𝐷𝐶𝐹 ∠𝐷𝐴𝐸(cid:45)
∵𝐷𝐹⊥𝐷=𝐸 + =90°(cid:45)
∴∠𝐸𝐷𝐹 =∠𝐸𝐷𝐶(cid:45)∠𝐶𝐷𝐹
(cid:64)∴∠𝐸𝐷𝐴 (cid:109)∠𝐶𝐷𝐹 (cid:32)(cid:45)
△𝐴𝐷(cid:268)𝐸 △𝐶𝐷𝐹
(cid:268)
∠𝐷𝐶𝐹(cid:268)∠𝐷𝐴𝐸
𝐶𝐷 𝐴𝐷
∠𝐶𝐷𝐹 ∠𝐴𝐷𝐸 (ASA)(cid:45)
∴△𝐴=𝐷𝐸≌(cid:220)△𝐶𝐷𝐹
∴(cid:156)𝐷(cid:161)𝐸(cid:10)②𝐷𝐹(cid:40)(cid:34) (cid:45)(cid:62)(cid:63)2(cid:236)(cid:237)(cid:10)
𝐷𝐺
=90°(cid:45)G(cid:65) (cid:29)(cid:32)(cid:44)(cid:45)
∵∠𝐴𝐶=𝐵 = (cid:45) 𝐸𝐹
∴𝐶𝐺 𝐸=𝐺90°𝐹(cid:45)𝐺G(cid:65) (cid:29)(cid:32)(cid:44)(cid:45)
∵∠𝐸𝐷=𝐹 = (cid:45) 𝐸𝐹
∴𝐷𝐺= 𝐸𝐺(cid:45) 𝐹𝐺
∴𝐶𝐺 𝐷=𝐺 (cid:45)
∴∠𝐺𝐶𝐷 (cid:45)∠𝐺𝐷𝐶
∵𝐶𝐷⊥𝐴=𝐵 90°(cid:45)
∴∠𝐶𝐷𝐻+ =90°(cid:45) + =90°(cid:45)
∴∠𝐺𝐻𝐷=∠𝐺𝐶𝐷(cid:45) ∠𝐻𝐷𝐺 ∠𝐺𝐷𝐶
∴∠𝐺𝐻=𝐷 (cid:45)∠𝐺𝐷𝐻
∴𝐺𝐻= 𝐺𝐷(cid:220)
(cid:39)∴𝐶2𝐺(cid:42)(cid:88)𝐺(cid:10)𝐻(cid:47)(cid:49)(cid:248)(cid:266)(cid:267)(cid:10)
①(cid:206)E(cid:64)(cid:33)(cid:188) (cid:41)(cid:182)(cid:45) = = = (cid:45)
= =10𝐴(cid:45)𝐶 𝐶𝐺 𝐺𝐻 𝐸𝐺 𝐺𝐹
∴𝐶𝐻 𝐸𝐹(cid:134)(cid:39)1(cid:42)①(cid:113)(cid:10) (cid:45)
= =6(cid:45)△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐹
∴𝐴𝐸 𝐶𝐹
(cid:64)Rt (cid:32)(cid:45)(cid:134)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:95)(cid:10) (cid:268) (cid:268) 10 6 (cid:268)8(cid:45)
2 2 2 2
=△𝐸𝐶𝐹+ =6+8=14(cid:220)𝐶𝐸 𝐸𝐹 −𝐶𝐹 −
∴②𝐴𝐶(cid:206)E𝐴(cid:64)𝐸(cid:33)(cid:188)𝐸𝐶CA(cid:191)(cid:69)(cid:33)(cid:41)(cid:182)(cid:45)(cid:62)(cid:63)3(cid:236)(cid:237)(cid:10)
= = =2(cid:45)
𝐴(cid:269)𝐶(cid:41)(cid:236)𝐸(cid:270)𝐶−(cid:45)𝐴
A
𝐸
C=8− 14
6(cid:264)2(cid:70)
(cid:15)(cid:121)(cid:122)4-2(cid:20)(cid:39)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:41)·(cid:16)(cid:271)·(cid:60)(cid:32)(cid:42)(cid:62)(cid:63)(cid:45)(cid:49)(cid:232)(cid:177)(cid:77)(cid:29)(cid:272)30°(cid:81)60°(cid:29)(cid:27)(cid:26)(cid:273) (cid:109)(cid:27)(cid:26)(cid:273) (cid:45)(cid:62)(cid:63)
(cid:236)(cid:237)(cid:274)(cid:275)(cid:45)E(cid:81)A(cid:81)C(cid:27)(cid:44)(cid:64)(cid:80)(cid:221)(cid:25)(cid:33)(cid:41)(cid:45) = =30°(cid:45)(cid:40)(cid:34) (cid:45)(cid:43) (cid:29)𝐴(cid:32)𝐷𝐸(cid:44) (cid:45)(cid:40)(cid:34)𝐴𝐵𝐶
(cid:81) (cid:70)(cid:54)(cid:276)(cid:118)(cid:277)(cid:10)① = (cid:220)② ∠𝐷+𝐴𝐸 =∠𝐴𝐵(cid:220)𝐶 ③ = 𝐵(cid:220)𝐷④ 𝐵𝐷 =45°𝑀(cid:220)⑤ = (cid:45)(cid:278)
𝑀(cid:32)𝐸(cid:172)(cid:93)𝑀(cid:29)𝐶 (cid:70) 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝑀𝐸 𝑀𝐶 ∠𝑀𝐸𝐶 𝑀𝐸 𝐴𝐷
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)①③④
(cid:15)(cid:47)(cid:73)(cid:20)(cid:23)(cid:24)(cid:177)(cid:77)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:95)(cid:138)(cid:10) = = =60°(cid:45) = =90°(cid:45) = (cid:45)
(cid:95)(cid:138)①(cid:29)(cid:118)(cid:277)(cid:172)(cid:93)(cid:220)(cid:23)(cid:24)(cid:279)(cid:28)(cid:29)(cid:144)(cid:86)(cid:97)𝐴(cid:82)𝐷(cid:83)(cid:144)𝐵𝐴(cid:280),∠②𝐴𝐷(cid:214)𝐸(cid:172)(cid:93)∠(cid:220)𝐵𝐴(cid:40)𝐶(cid:34) (cid:45)(cid:23)∠𝐴(cid:24)𝐸(cid:77)𝐷(cid:78)(cid:25)∠𝐵(cid:26)𝐶(cid:27)𝐴 (cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:82)𝐷(cid:83)𝐸(cid:109)(cid:177)𝐴(cid:77)𝐶
(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:144)(cid:86)(cid:97)(cid:82)(cid:83)(cid:95)(cid:138)③(cid:29)(cid:172)(cid:93)(cid:220)(cid:23)(cid:24)(cid:177)(cid:77)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:109)(cid:77)(cid:78)𝐴(cid:25)𝑀(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:95)(cid:138)④(cid:29)(cid:172)(cid:93)(cid:220)(cid:23)(cid:24)
(cid:77)(cid:78)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:144)(cid:280)⑤(cid:214)(cid:172)(cid:93)(cid:70)
(cid:15)(cid:119)(cid:88)(cid:20)(cid:88)(cid:10)(cid:134)(cid:21)(cid:233)(cid:95)(cid:10) = =30°(cid:45)
= (cid:45) = △=𝐴𝐷𝐸≌△𝐵𝐴𝐶=,∠𝐷𝐴𝐸 =∠𝐴𝐵𝐶 = = (cid:45)
∴①𝐴𝐷(cid:29)(cid:118)𝐵𝐴(cid:277)(cid:172)∠(cid:93)𝐴𝐷(cid:220)𝐸 ∠𝐵𝐴𝐶 60°,∠𝐴𝐸𝐷 ∠𝐵𝐶𝐴 90°,𝐷𝐸 𝐴𝐶,𝐴𝐸 𝐵𝐶
∴(cid:45)
∵𝐷𝐸⊥𝐸𝐶(cid:45),𝐵𝐶⊥𝐸𝐶
∴𝐷𝐸∥𝐵𝐶 (cid:45)
∵(cid:139)𝐷𝐸(cid:31)≠(cid:28)𝐵𝐶 (cid:65)(cid:279)(cid:28)(cid:45)
∴ > 𝐷𝐸(cid:45)𝐶𝐵
∴𝐵𝐷= 𝐸𝐶+ = + (cid:45)
∵𝐸𝐶 >𝐴𝐸 +𝐴𝐶(cid:45)𝐷𝐸 𝐵𝐶
∴②𝐵𝐷(cid:29)(cid:118)𝐷(cid:277)𝐸 (cid:214)𝐵(cid:172)𝐶(cid:93)(cid:220)
∴(cid:40)(cid:34) (cid:45)(cid:62)(cid:63)(cid:45)
𝐴𝑀
+ =90°(cid:45)
∵∠𝐷𝐴𝐸 =∠9𝐵0°𝐴(cid:45)𝐶
∴∠𝐷𝐴=𝐵 (cid:45)
∵𝐴𝐷 𝐵(cid:65)𝐴 (cid:77)(cid:78)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:45)
∴△𝐴(cid:29)𝐷(cid:32)𝐵(cid:44)(cid:65)M(cid:45)
∵𝐵𝐷 = = (cid:45)
∴𝐷𝑀 𝐵𝑀 𝐴𝑀(cid:65),𝐴𝑀(cid:77)⊥(cid:78)𝐵(cid:25)𝐷(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:45)
∴△𝐴𝐷𝑀=,△𝐴𝐵𝑀= =45°(cid:45)
∴∠𝐴𝐷𝑀= ∠𝑀𝐴𝐷+ ∠𝑀𝐴𝐵= = + =105°(cid:45)
∴∠𝑀𝐷𝐸=∠𝐴𝐷𝐸(cid:70)∠𝐴𝐷𝑀 105°,∠𝑀𝐴𝐶 ∠𝑀𝐴𝐵 ∠𝐵𝐴𝐶
(cid:64)∴∠𝑀𝐷𝐸 (cid:109)∠𝑀𝐴𝐶 (cid:32)(cid:45)
△𝑀𝐷=𝐸 △𝑀𝐴𝐶
=
𝑀𝐷 =𝑀𝐴
∠𝑀𝐷𝐸 ∠𝑀𝐴𝐶
𝐷𝐸 𝐴𝐶 (cid:45)
∴△𝑀=𝐷𝐸≌△𝑀𝐴𝐶= (cid:70)
∴𝑀𝐸 𝑀𝐶,∠𝐷𝑀𝐸 ∠𝐴𝑀𝐶③(cid:29)(cid:118)(cid:277)(cid:172)(cid:93)(cid:220)
∴ = + =90°(cid:45)
∵∠𝐴𝑀𝐷+ ∠𝐴𝑀𝐸=9∠0𝐷°𝑀(cid:45)𝐸
∴∠𝐴𝑀𝐸=∠90𝐴°𝑀(cid:45)𝐶
∴∠𝐸𝑀𝐶 (cid:65)(cid:77)(cid:78)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:45)
∴△𝑀𝐸𝐶= =45°(cid:45)
∴④∠𝑀(cid:29)𝐸𝐶(cid:118)(cid:277)∠(cid:172)𝑀(cid:93)𝐶𝐸(cid:220)
∴ (cid:65)(cid:77)(cid:78)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:45)
∵△𝑀𝐸𝐶2
= (cid:45)
2
∴𝑀𝐸 (cid:65)𝐸(cid:77)𝐶 (cid:78)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:45)
∵△𝐴𝐷𝐵2
= (cid:45)
2
∴𝐴𝐷 > 𝐵(cid:45)𝐷
∵𝐵𝐷> 𝐸𝐶(cid:70)
∴⑤𝐴𝐷(cid:29)(cid:118)𝑀(cid:277)𝐸(cid:214)(cid:172)(cid:93)(cid:70)
∴(cid:269)(cid:41)(cid:45)(cid:172)(cid:93)(cid:29)(cid:118)(cid:277)(cid:243)(cid:10)①③④(cid:70)
(cid:120)(cid:71)(cid:72)(cid:65)(cid:10)①③④(cid:70)
(cid:15)(cid:44)(cid:175)(cid:20)(cid:74)(cid:21)(cid:281)(cid:246)(cid:75)(cid:76)(cid:176)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:45)(cid:77)(cid:78)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:144)(cid:86)(cid:97)(cid:82)(cid:83)(cid:45)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:41)(cid:29)(cid:32)(cid:33)
(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:45)(cid:177)(cid:77)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:144)(cid:86)(cid:97)(cid:82)(cid:83)(cid:45)(cid:279)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:45)(cid:221)(cid:250)(cid:282)(cid:206)(cid:29)(cid:181)(cid:104)(cid:33)(cid:37)(cid:38)(cid:177)(cid:77)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:90)(cid:88)(cid:21)(cid:29)(cid:3)(cid:89)(cid:70)
(cid:15)(cid:121)(cid:122)4-3(cid:20)(cid:39)24-25(cid:151)(cid:52)(cid:53)(cid:41)·(cid:283)(cid:284)(cid:79)(cid:285)·(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:42)(cid:62)(cid:63)(cid:45)(cid:64) (cid:32)(cid:45) = = =5(cid:45)(cid:286)
(cid:108) (cid:31)(cid:29)(cid:32)(cid:44)O(cid:287)(cid:182)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:95)(cid:138) (cid:45)(cid:205)(cid:44)E(cid:291)(cid:64) (cid:31)(cid:41)△(cid:45)𝐴𝐵𝐶(cid:31)(cid:129) 𝐴𝐵(cid:31)(cid:130)3(cid:44),𝐵G𝐶(cid:70)4,𝐴𝐶 △𝐴𝐵𝐶
𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹 𝐴𝐶 𝐷𝐹 𝐴𝐶
(cid:39)1(cid:42) (cid:29)(cid:69)(cid:65) (cid:220)
(cid:39)2(cid:42)𝐸(cid:40)𝐺(cid:34) (cid:45)(cid:68) (cid:29)(cid:132)(cid:133)(cid:65) (cid:70)
𝐶𝐹 5 △𝐶2𝐹1𝐺
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)
2 25(cid:15)(cid:47)(cid:73)(cid:20)(cid:39)1(cid:42)(cid:23)(cid:24)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:29)(cid:287)(cid:86)(cid:87)(cid:135)(cid:96) =90°(cid:45)(cid:146)(cid:147)(cid:289)(cid:290)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:109)(cid:32)(cid:44)(cid:29)(cid:86)(cid:292)(cid:95)(cid:138)
= = = (cid:45)(cid:146)(cid:147)(cid:289)(cid:290)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:109)(cid:77)∠(cid:78)𝐴𝐵(cid:27)𝐶(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:95)(cid:138) = (cid:45)(cid:95)(cid:96) = (cid:45)(cid:94)(cid:23)(cid:24)(cid:25)
𝑂(cid:26)𝐸(cid:27)(cid:26)𝑂(cid:28)𝐵(cid:29)(cid:82)𝑂𝐶(cid:83)(cid:135)𝑂(cid:96)𝐹 = (cid:45)(cid:95)(cid:96) = (cid:45)(cid:94)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)∠(cid:26)𝐶(cid:28)𝐸𝐹(cid:29)(cid:82)∠(cid:83)𝐷(cid:149)𝐹𝐸(cid:150)(cid:35)(cid:96) 𝐸𝐺(cid:29)(cid:69)𝐹(cid:220)𝐺
∠𝐷𝐸𝐺 ∠𝐷 𝐸𝐺 𝐷𝐺 5 𝐸𝐺
(cid:39)2(cid:42)(cid:40)(cid:34) (cid:81) (cid:45)(cid:134)(cid:39)1(cid:42)(cid:95)(cid:45) = = = (cid:45) = (cid:45)(cid:135)(cid:96)(cid:139)(cid:31)(cid:28) (cid:90)(cid:293)(cid:28)(cid:45)(cid:68)(cid:243)
2
= 𝐵𝐸 =𝐵𝐹90°(cid:45) = (cid:45)𝑂(cid:23)𝐸(cid:24)(cid:77)𝑂(cid:132)𝐵(cid:133)(cid:260)𝑂𝐶(cid:35)(cid:96)𝑂𝐹(cid:29)𝐸(cid:69)𝐺(cid:45)(cid:23)(cid:24)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:35)𝐵(cid:96)𝐸𝐶𝐹(cid:29)(cid:69)(cid:45)(cid:171)(cid:160)(cid:95)(cid:96) (cid:29)(cid:69)(cid:45)
∠(cid:94)𝐹(cid:23)𝐶𝐺(cid:24)(cid:27)∠(cid:26)𝐵(cid:28)𝐸𝐶(cid:29)(cid:132)(cid:133)(cid:7)𝐶(cid:122)𝐹(cid:149)(cid:150)𝐵(cid:35)𝐸(cid:96) (cid:29)(cid:132)(cid:133)(cid:70) 𝐵𝐸 𝐶𝐸 𝐶𝐺
(cid:15)(cid:119)(cid:88)(cid:20)(cid:88)(cid:10)(cid:39)1(cid:42) = =△𝐶𝐹𝐺=5(cid:45)
+ = (cid:45)∵𝐴𝐵 3,𝐵𝐶 4,𝐴𝐶
2 2 2
∴𝐴𝐵 𝐵=𝐶90°(cid:45)𝐴𝐶
∴∠(cid:286)𝐴𝐵𝐶 (cid:108) (cid:31)(cid:29)(cid:32)(cid:44)O(cid:287)(cid:182)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:95)(cid:138) (cid:45)
∵ △=𝐴𝐵𝐶(cid:45)𝐵𝐶= (cid:45) = (cid:45) △𝐷=𝐸𝐹 =90°(cid:45) = =5(cid:45)
∴𝑂(cid:44)𝐸O(cid:90)𝑂𝐵 (cid:31)𝑂(cid:29)𝐹(cid:32)(cid:44)𝑂𝐶(cid:45) ∠𝐷𝐹𝐸 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐷𝐸𝐹 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐷𝐹 𝐴𝐶
∵ = 𝐵𝐶(cid:45)
∴𝑂𝐵= 𝑂𝐶(cid:45)
∴𝑂𝐸 𝑂=𝐶 (cid:45)
∴∠𝐶𝐸𝐹=∠𝐴𝐶𝐵(cid:45)
∴∠𝐶𝐸=𝐹 ∠(cid:45)𝐷𝐹𝐸
∴𝐸𝐺 𝐹=𝐺90°(cid:45)
∵∠𝐷𝐸𝐹+ =90°(cid:45) + =90°(cid:45)
∴∠𝐷𝐸𝐺+∠𝐶𝐸𝐹= +∠𝐷 ∠(cid:45)𝐷𝐹𝐸
∴∠𝐷𝐸𝐺=∠𝐶𝐸(cid:45)𝐹 ∠𝐷 ∠𝐷𝐹𝐸
∴∠𝐷𝐸=𝐺 (cid:45)∠𝐷
∴𝐸𝐺 =𝐷𝐺(cid:45)
∴𝐷𝐺 1𝐹𝐺 5
= = (cid:70)
2 2
∴𝐸𝐺 𝐷𝐹5
(cid:120)(cid:71)(cid:72)(cid:65)(cid:10) (cid:70)
2
(cid:39)2(cid:42)(cid:62)(cid:63)(cid:45)(cid:40)(cid:34) (cid:81) (cid:45)
𝐵𝐸 𝐵𝐹5
(cid:134)(cid:39)1(cid:42)(cid:95)(cid:45) = = = (cid:45) = (cid:45)
2
(cid:139)(cid:31)(cid:28) 𝑂𝐸(cid:90)(cid:293)𝑂(cid:28)𝐵(cid:45)𝑂𝐶 𝑂𝐹 𝐸𝐺
∴ =𝐵𝐸𝐶𝐹 =90°(cid:45) = (cid:45)
∴∠𝐹𝐶(cid:90)𝐺 ∠𝐵𝐸(cid:29)𝐶(cid:66)(cid:45) 𝐶𝐹 𝐵𝐸
∴𝐵𝐸 △𝐴1𝐵𝐶 1
= = (cid:45)
2 2
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵⋅
3
𝐵
×
𝐶
4
12𝐴𝐶⋅𝐵𝐸
= = = (cid:45)
5 5
𝐴𝐵⋅𝐵𝐶
∴𝐵𝐸 𝐴𝐶
12 16 12
= = 4 = (cid:45) = = (cid:45)
5 2 5 5
2 2 2
∴𝐶𝐸 𝐵𝐶 −𝐵𝐸16 5 7− 𝐶𝐹 𝐵𝐸
= = = (cid:45)
5 2 10
∴𝐶𝐺 𝐶𝐸− 1 𝐸𝐺 − 1 7 12 21
= = × × = (cid:45)
2 2 10 5 25
∴𝑆△𝐶𝐹𝐺 𝐶𝐺⋅𝐶2𝐹1
(cid:29)(cid:132)(cid:133)(cid:65) (cid:70)
25
∴△𝐶𝐹𝐺 21
(cid:120)(cid:71)(cid:72)(cid:65)(cid:10) (cid:70)
25
(cid:15)(cid:44)(cid:175)(cid:20)(cid:74)(cid:21)(cid:281)(cid:246)(cid:75)(cid:76)(cid:176)(cid:289)(cid:290)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:81)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:202)(cid:278)(cid:287)(cid:86)(cid:87)(cid:81)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:81)(cid:293)(cid:28)(cid:29)(cid:144)(cid:86)(cid:97)(cid:82)(cid:83)(cid:45)(cid:192)
(cid:189)(cid:136)(cid:137)(cid:252)(cid:3)(cid:113)(cid:180)(cid:44)(cid:90)(cid:88)(cid:21)(cid:29)(cid:3)(cid:89)(cid:70)(cid:74)(cid:21)(cid:294)(cid:130)(cid:295)(cid:296)(cid:269)(cid:79)(cid:21)(cid:45)(cid:114)(cid:246)(cid:297)(cid:298)(cid:29)(cid:295)(cid:296)(cid:135)(cid:87)(cid:277)(cid:156)(cid:299)(cid:300)(cid:45)(cid:282)(cid:79)(cid:243)(cid:299)(cid:300)(cid:88)(cid:255)
(cid:295)(cid:296)(cid:301)(cid:21)(cid:29)(cid:11)(cid:302)(cid:70)
