文档文本内容
专题 1.5 直角三角形斜边上的中线（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:20)............................................................................................1
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:26)(cid:37)(cid:20)....................................................................................................3
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:38)(cid:36)(cid:20)....................................................................................................6
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:39)(cid:40)(cid:20)....................................................................................................9
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:20)......................................................................................................12
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:20)......................................................................................16
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:21)(cid:20)......................................................................................19
知识点 直角三角形斜边上的中线
1. 性质：(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:32)(cid:56)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:59)斜边(cid:31)(cid:60)(cid:61)．
2. 拓展：(cid:60)(cid:62)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:32)(cid:56)(cid:63)(cid:64)(cid:60)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:59)(cid:65)(cid:66)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:56)(cid:67)(cid:68)(cid:65)(cid:62)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:65)(cid:66)(cid:30)(cid:72)斜边(cid:31)(cid:25)
(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)．(cid:73)(cid:24)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:71)(cid:78)(cid:75)直角(cid:27)(cid:26)(cid:28)．
【题型1 利用直角三角形斜边的中线求线段长度】
(cid:15)(cid:79)1(cid:20)(cid:80)2025·(cid:81)(cid:82)(cid:36)(cid:83)·(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:55)Rt (cid:32)(cid:56) = = (cid:59)(cid:89)D(cid:56)E(cid:70)
(cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:90)(cid:91) =8(cid:56)(cid:92) (cid:31)(cid:36)(cid:72)(cid:80) (cid:88) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 90°,∠𝐵 30°,𝐶𝐷⊥𝐴𝐵 𝐴𝐵
𝐴𝐵 𝐷𝐸
A(cid:90)1 B(cid:90)2 C(cid:90)4 D(cid:90)6
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:20)B
(cid:15)(cid:95)(cid:96)(cid:20)(cid:97)(cid:21)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:56)(cid:58)(cid:30)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:105)(cid:75)(cid:106)(cid:103)(cid:104)(cid:56)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:56)(cid:58)
(cid:30)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:105)(cid:75)(cid:106)(cid:103)(cid:104)(cid:70)(cid:50)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:111)(cid:90)(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:77)(cid:114) = = =4(cid:56)(cid:115)(cid:116)(cid:114)(cid:117) (cid:70)
(cid:58)(cid:30)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:56)(cid:118)(cid:23)(cid:24)(cid:58)(cid:30)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:119)(cid:77)(cid:34)(cid:50)(cid:90) 𝐴𝐸 𝐶𝐸 𝐵𝐸 △𝐴𝐶𝐸
(cid:15)(cid:120)(cid:50)(cid:20)(cid:50)(cid:10) (cid:55)Rt (cid:32)(cid:56)E(cid:70) (cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56) =8(cid:56)
∵ △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐵= = =4(cid:56)
∴𝐴𝐸 =𝐶𝐸 𝐵=𝐸30°(cid:56)
∴∠𝐵 ∠=𝐵𝐶𝐸 =60°(cid:56)
∴∠𝐴𝐶𝐸 (cid:70)9(cid:58)0°(cid:30)−3(cid:27)0(cid:26)° (cid:28)(cid:56)
∴△𝐴𝐶𝐸 (cid:56)
∵𝐶𝐷⊥=𝐴𝐵 =2(cid:56)
(cid:121)∴𝐷(cid:122)𝐸(cid:10)B𝐴𝐷
(cid:15)(cid:123)(cid:124)1-1(cid:20)(cid:80)24-25(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)·(cid:129)(cid:82)(cid:130)(cid:42)·(cid:131)(cid:32)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:55)(cid:132)(cid:30)(cid:28) (cid:32)(cid:56) = =90°(cid:56)(cid:89)O(cid:70)(cid:133)
(cid:26)(cid:33) (cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)(cid:91) =3(cid:56)(cid:92) (cid:31)(cid:36)(cid:72) (cid:90) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐶
𝐴𝐶 𝑂𝐵 𝑂𝐷
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:20)3
(cid:15)(cid:95)(cid:96)(cid:20)(cid:97)(cid:21)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:56)(cid:109)(cid:110)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:56)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:59)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:70)(cid:50)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:111)(cid:90)
(cid:55)Rt (cid:106)Rt (cid:56)(cid:134)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:59)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:117) = = 1 (cid:56)(cid:119)(cid:77)(cid:34)(cid:50)(cid:90)
2
(cid:15)(cid:120)(cid:50) △ (cid:20) 𝐴𝐷 (cid:50) 𝐶 (cid:10) △𝐴𝐵 = 𝐶 =90°(cid:56)(cid:89)O(cid:70)(cid:133)(cid:26)(cid:33) (cid:31)(cid:32)(cid:89) 𝑂𝐷 (cid:56) 𝑂𝐵 𝐴𝐶
= =
1∵∠𝐴
=
𝐵𝐶
3(cid:56)
∠𝐴𝐷𝐶 𝐴𝐶
2
∴𝑂𝐷 𝑂𝐵 𝐴𝐶
(cid:121)(cid:93)(cid:94)(cid:72)(cid:10)3(cid:90)
(cid:15)(cid:123)(cid:124)1-2(cid:20)(cid:80)2025·(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)·(cid:27)(cid:84)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56) (cid:31)(cid:139)(cid:89) (cid:43) (cid:31)(cid:32)(cid:89) (cid:140)(cid:55)(cid:141)(cid:142)(cid:57)(cid:56)(cid:143) (cid:56) (cid:144)(cid:89)(cid:55)(cid:141)(cid:142)
(cid:57)(cid:133)(cid:145)(cid:31)(cid:141)(cid:95)(cid:146)(cid:72) (cid:56)1(cid:56)(cid:147) =90°(cid:148)(cid:56)△𝐴𝐵(cid:31)𝐶(cid:36)(cid:72) 𝐶 (cid:90)𝐴𝐵 𝐷 𝐶 𝐷
−3 ∠𝐵𝐶𝐴 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:20)8
(cid:15)(cid:95)(cid:96)(cid:20)(cid:97)(cid:21)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:141)(cid:142)(cid:57)(cid:144)(cid:89)(cid:149)(cid:150)(cid:31)(cid:151)(cid:152)(cid:56)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:59)(cid:29)(cid:30)(cid:60)(cid:61)(cid:56)(cid:109)(cid:110)(cid:71)(cid:57)(cid:153)(cid:154)(cid:70)(cid:3)(cid:111)(cid:90)(cid:112)(cid:113)(cid:141)(cid:142)(cid:57)(cid:144)(cid:89)(cid:149)(cid:150)(cid:31)(cid:151)(cid:152)(cid:114)(cid:117) =4(cid:56)(cid:134)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:59)(cid:29)(cid:30)(cid:60)(cid:61)(cid:119)(cid:77)(cid:34)(cid:50)(cid:90)
(cid:15)(cid:120)(cid:50)(cid:20)(cid:50)(cid:10)(cid:134)(cid:21)(cid:155)(cid:77)(cid:114) = 𝐶𝐷( )=4(cid:56)
=90°(cid:56)(cid:89) (cid:72) 𝐶(cid:31)𝐷(cid:32)(cid:89)1−(cid:56)−3
∵∠𝐵𝐶=𝐴 =8(cid:56)𝐷 𝐴𝐵
(cid:121)∴(cid:93)𝐴𝐵(cid:94)(cid:72)2(cid:10)𝐶𝐷8(cid:90)
(cid:15)(cid:123)(cid:124)1-3(cid:20)(cid:80)24-25(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)·(cid:16)(cid:156)·(cid:131)(cid:32)(cid:88)Rt (cid:32)(cid:56) =90°(cid:56) (cid:70) (cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:56)(cid:143)
+ =15(cid:56)(cid:92) (cid:31)(cid:36)(cid:72) (cid:90) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵
𝐶(cid:15)𝐷(cid:93)(cid:94)𝐴(cid:20)𝐵5 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:95)(cid:96)(cid:20)(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:59)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:56)(cid:114) = (cid:56)(cid:157)(cid:49) + =15(cid:56)(cid:114)(cid:117)
=15(cid:56)(cid:50)(cid:93)(cid:119)(cid:77)(cid:90) 𝐴𝐵 2𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐵
3(cid:97)𝐶(cid:21)𝐷(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:56)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:103)(cid:104)(cid:70)(cid:50)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:111)(cid:90)
(cid:15)(cid:120)(cid:50)(cid:20)(cid:50)(cid:10)(cid:134) =90°(cid:56) (cid:70) (cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:56)
(cid:114) = (cid:56) ∠𝐴𝐶𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵
(cid:158)𝐴𝐵+ 2𝐶𝐷=15(cid:56)
(cid:121)𝐶𝐷 =𝐴𝐵15(cid:56)
(cid:50)3(cid:114)𝐶𝐷 =5(cid:56)
(cid:121)(cid:93)(cid:94)𝐶𝐷(cid:72)(cid:10)5(cid:90)
【题型2 利用直角三角形斜边的中线求角度】
(cid:15)(cid:79)2(cid:20)(cid:80)2025·(cid:159)(cid:136)·(cid:32)(cid:100)(cid:160)(cid:21)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:55) (cid:32)(cid:56) =90°(cid:56) =20°(cid:56) (cid:72) (cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:56)
(cid:56)(cid:92)(cid:47)(cid:32)(cid:43) (cid:161)(cid:138)(cid:31)(cid:26)(cid:162)(cid:163)(cid:80) (cid:88)△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴 𝐶𝐷 𝐴𝐵
𝐷𝐸⊥𝐴𝐶 ∠𝐴
A(cid:90)2(cid:62) B(cid:90)3(cid:62) C(cid:90)4(cid:62) D(cid:90)5(cid:62)
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:20)C
(cid:15)(cid:95)(cid:96)(cid:20)(cid:74)(cid:21)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:59)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:56)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:164)(cid:26)(cid:106)(cid:75)(cid:76)(cid:56)(cid:58)(cid:165)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:56)
(cid:112)(cid:113)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:164)(cid:26)(cid:106)(cid:75)(cid:76)(cid:34)(cid:166) =70°(cid:56)(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:59)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:166) = = (cid:56)
(cid:112)(cid:113)(cid:58)(cid:30)(cid:133)(cid:58)(cid:26)(cid:114)(cid:166) =∠𝐵 = = =70°(cid:56)(cid:118)(cid:157)(cid:49) (cid:112)(cid:113)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:164)(cid:26)𝐶𝐷(cid:106)(cid:75)𝐴(cid:76)𝐷(cid:34)(cid:166)𝐵𝐷
= =∠7𝐷0𝐶°𝐴(cid:56)(cid:167)∠(cid:168)𝐴(cid:112)(cid:113)2(cid:138)0°(cid:26),∠𝐷(cid:31)𝐶(cid:103)𝐵(cid:104)(cid:34)∠𝐵(cid:50)(cid:119)(cid:77)(cid:90) 𝐷𝐸⊥𝐴𝐶
∠𝐶𝐷𝐸 70°,∠𝐴𝐷𝐸(cid:15)(cid:120)(cid:50)(cid:20)(cid:50)(cid:10) (cid:55) (cid:32)(cid:56) =90°(cid:56) =20°(cid:56)
= ∵ △𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵 =∠7𝐴0°(cid:56)
∴∠𝐵(cid:72) 18(cid:30)0°(cid:57)−∠(cid:31)𝐴(cid:32)−∠(cid:33)𝐴(cid:56)𝐶𝐵 180°−90°−20°
∵𝐶𝐷=𝐴𝐵 = (cid:56)
∴𝐶𝐷 𝐴=𝐷 𝐵=𝐷 = = = =40°(cid:56)
∴∠𝐷𝐶𝐴 (cid:56)∠𝐴 20°,∠𝐷𝐶𝐵 ∠𝐵 70°,∠𝐶𝐷𝐵 2∠𝐴
∵𝐷𝐸⊥𝐴=𝐶 = = =70°(cid:56)
∴(cid:47)∠𝐶(cid:32)𝐷𝐸(cid:43) 1(cid:161)80(cid:138)°−(cid:31)90(cid:26)°−(cid:70)∠𝐷𝐶𝐴 70°,∠𝐴𝐷𝐸 18(cid:56)0(cid:162)°−(cid:163)904°−(cid:62)∠(cid:56)𝐴
∴(cid:121)(cid:122)(cid:10)C∠(cid:90)𝐴 ∠𝐵,∠𝐷𝐶𝐵,∠𝐶𝐷𝐸,∠𝐴𝐷𝐸
(cid:15)(cid:123)(cid:124)2-1(cid:20)(cid:80)24-25(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)·(cid:169)(cid:16)(cid:170)(cid:171)·(cid:172)(cid:35)(cid:108)(cid:173)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:55) (cid:32)(cid:56) =90°(cid:56) =60°(cid:56) (cid:72)
(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)(cid:174)(cid:175) (cid:56)(cid:176)(cid:89) (cid:46) (cid:31)(cid:177)(cid:178)(cid:33) (cid:56)(cid:92) (cid:31)(cid:37)(cid:141)(cid:72)△(cid:80)𝐴𝐵 𝐶 (cid:88) ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴 𝐷 𝐴𝐵
𝐶𝐷 𝐵 𝐶𝐷 𝐸𝐹 ∠𝐶𝐵𝐹
A(cid:90)60° B(cid:90)45° C(cid:90)30° D(cid:90)15°
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:20)C
(cid:15)(cid:95)(cid:96)(cid:20)(cid:97)(cid:21)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:32)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:59)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:179)(cid:58)(cid:30)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:43)(cid:105)(cid:75)(cid:56)(cid:177)(cid:178)(cid:33)(cid:31)(cid:103)
(cid:104)(cid:56)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:32)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:59)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:70)(cid:50)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:111)(cid:90)(cid:180)(cid:41)(cid:42) (cid:70)(cid:58)(cid:30)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:56)(cid:114)
(cid:166) =60°(cid:56)(cid:112)(cid:113) (cid:56)(cid:77)(cid:114) = =60°(cid:56)(cid:181)(cid:116)(cid:112)(cid:113) = △𝐴𝐷𝐶 =30°(cid:56)(cid:119)(cid:77)(cid:34)
(cid:50)∠(cid:90)𝐴𝐷𝐶 𝐶𝐷∥𝐸𝐹 ∠𝐴𝐵𝐹 ∠𝐴𝐷𝐶 ∠𝐶𝐵𝐹 ∠𝐴𝐵𝐹−∠𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:120)(cid:50)(cid:20)(cid:50)(cid:10) (cid:55) (cid:32)(cid:56) =90°(cid:56) =60°(cid:56) (cid:72) (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)
= (cid:56) ∵ △=𝐴3𝐵0𝐶°(cid:56) ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴 𝐷 𝐴𝐵
∴𝐶𝐷 𝐴(cid:70)𝐷(cid:58)∠(cid:30)𝐴(cid:27)𝐵𝐶(cid:26)(cid:28)(cid:56)
∴△𝐴𝐷𝐶=60°(cid:56)
∴∠𝐴𝐷𝐶 (cid:56)
∵𝐶𝐷∥𝐸𝐹= =60°(cid:56)
∴∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐴𝐷𝐶 =30°(cid:56)
∴(cid:121)∠(cid:122)𝐶𝐵(cid:10)𝐹C(cid:90)∠𝐴𝐵𝐹−∠𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:123)(cid:124)2-2(cid:20)(cid:80)2025·(cid:182)(cid:183)(cid:169)(cid:136)·(cid:60)(cid:84)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56) (cid:32)(cid:56) =90°(cid:56) =62°(cid:56)(cid:95)(cid:146)(cid:71)(cid:89)A(cid:56)C(cid:72)(cid:184)(cid:185)(cid:56)
(cid:18)(cid:59) 1 (cid:31)(cid:36)(cid:72)(cid:61)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:56)(cid:144)(cid:188)(cid:80)(cid:189)(cid:55)(cid:184)(cid:31)(cid:61) △ (cid:186) 𝐴 (cid:190) 𝐵 (cid:58) 𝐶 (cid:88)(cid:190) ∠ (cid:191) 𝐴 (cid:59) 𝐵𝐶 E(cid:56)F(cid:144)(cid:89) ∠ (cid:56) 𝐶 (cid:174)(cid:175) (cid:56) (cid:43) (cid:191)(cid:59)(cid:89)O(cid:56)(cid:92)
2
(cid:31)(cid:18)(cid:192)𝐴(cid:72)𝐶 (cid:80) (cid:88) 𝐸𝐹 𝐸𝐹 𝐴𝐶 ∠𝐴𝐵𝑂
A(cid:90)28° B(cid:90)30° C(cid:90)31° D(cid:90)36°
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:20)A
(cid:15)(cid:95)(cid:96)(cid:20)(cid:97)(cid:21)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:33)(cid:35)(cid:193)(cid:25)(cid:177)(cid:95)(cid:33)(cid:31)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:56)(cid:58)(cid:30)(cid:133)(cid:58)(cid:26)(cid:106)(cid:33)(cid:35)(cid:193)(cid:25)(cid:177)(cid:95)(cid:33)(cid:31)(cid:75)(cid:194)(cid:56)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)
(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:58)(cid:58)(cid:56)(cid:134)(cid:46)(cid:47)(cid:195)(cid:196)(cid:77)(cid:114) (cid:193)(cid:25)(cid:177)(cid:95) (cid:56)(cid:92)(cid:89) (cid:70) (cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)(cid:118)(cid:134)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:59)(cid:29)(cid:30)
(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:197)(cid:166) = (cid:56)(cid:92) 𝐸𝐹= =62𝐴°(cid:56)𝐶 (cid:113)(cid:198)(cid:77)𝑂(cid:114)(cid:93)𝐴𝐶(cid:94)(cid:90)
(cid:15)(cid:120)(cid:50)(cid:20)(cid:50)𝑂(cid:199)𝐵(cid:134)(cid:46)𝑂(cid:47)𝐶(cid:195)(cid:196)∠(cid:77)𝑂(cid:114)𝐵𝐶 (cid:193)∠(cid:25)𝐶(cid:177)(cid:95) (cid:56)
(cid:89) (cid:70) (cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56) 𝐸𝐹 𝐴𝐶
∴ 𝑂 𝐴=𝐶90°(cid:56)
∵∠𝐴𝐵 = 𝐶 = 1 (cid:56)
2
∴𝑂𝐵 𝑂𝐶 𝐴𝐶
= =62°(cid:56)
∴∠𝑂𝐵𝐶 =∠𝐶 =28°(cid:56)
∴(cid:121)∠(cid:122)𝐴𝐵(cid:10)𝑂A(cid:90)∠𝐴𝐵𝐶−∠𝑂𝐵𝐶
(cid:15)(cid:123)(cid:124)2-3(cid:20)(cid:80)24-25(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)·(cid:169)(cid:16)(cid:200)(cid:201)(cid:202)·(cid:131)(cid:32)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:60)(cid:112)(cid:203)(cid:204) (cid:29)(cid:205)(cid:55)(cid:206)(cid:25)(cid:31)(cid:207) (cid:57)(cid:56) =32°(cid:56)
(cid:203)(cid:204)(cid:31)(cid:139)(cid:208) (cid:209)(cid:207)(cid:39)(cid:128)(cid:210)(cid:211) (cid:212)(cid:213)(cid:56)(cid:198)(cid:148) =32°(cid:56) (cid:56) (cid:95)𝐴(cid:146)𝐵(cid:70)(cid:29)(cid:30) (cid:56) 𝐴(cid:57)𝐶(cid:31)(cid:32)∠(cid:33)𝐵(cid:56)𝐴𝐶(cid:92)
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
(cid:31)(cid:37)(cid:141)(cid:72) 𝐴 (cid:90) 𝐴 ∠𝐴 𝐵 𝐶 𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴 𝐵 ∠𝐷𝐶𝐷(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:20)26°/26(cid:37)
(cid:15)(cid:95)(cid:96)(cid:20)(cid:97)(cid:21)(cid:98)(cid:99)(cid:101)(cid:102)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:56)(cid:58)(cid:165)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:90)(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:56)
(cid:77)(cid:114) = = (cid:56)(cid:115)(cid:116)(cid:114)(cid:117) = =32°(cid:56) = =32°(cid:56)(cid:119)(cid:77)(cid:34)(cid:50)(cid:90)
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
(cid:15)(cid:120)𝐶(cid:50)𝐷(cid:20)(cid:50)𝐵(cid:10)𝐷 ,𝐶𝐷(cid:56) 𝐴𝐷(cid:95)(cid:146)(cid:70)(cid:29)(cid:30) ∠𝐵(cid:56)𝐶𝐷 (cid:57)∠(cid:31)𝐴(cid:32)𝐵(cid:33)𝐶(cid:56) ∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
′ ′ ′
= ∵𝐶𝐷= 𝐶𝐷(cid:56) 𝐴𝐵 𝐴 𝐵
′ ′ ′
∴𝐶𝐷 𝐵=𝐷 ,𝐶𝐷 𝐴=𝐷32°(cid:56) = =32°(cid:56)
′ ′ ′ ′
∴∠𝐵 𝐶𝐷=90∠°𝐴(cid:56)𝐵 𝐶 ∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
∵∠𝐴𝐶𝐵 = =26°(cid:90)
′ ′ ′
(cid:121)∴∠(cid:93)𝐷𝐶(cid:94)𝐷(cid:72)(cid:10)∠2𝐴6°𝐶𝐵−∠𝐵 𝐶𝐷 −∠𝐴𝐶𝐷
【题型3 利用直角三角形斜边的中线求周长】
(cid:15)(cid:79)3(cid:20)(cid:80)2025(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)·(cid:81)(cid:82)·(cid:214)(cid:21)(cid:108)(cid:173)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:55) (cid:32)(cid:56) (cid:59)(cid:89)F(cid:56) (cid:59)(cid:89)E(cid:56)M(cid:72)
(cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)(cid:91) =4(cid:56) =10(cid:56)(cid:34) (cid:31)(cid:38)(cid:36)(cid:90) △𝐴𝐵𝐶 𝐶𝐹⊥𝐴𝐵 𝐵𝐸⊥𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝐸𝐹 𝐵𝐶 △𝐸𝐹𝑀
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:20)14
(cid:15)(cid:95)(cid:96)(cid:20)(cid:97)(cid:21)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:56)(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:59)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:77)(cid:114) = = 1
2
𝐸𝑀 𝐹𝑀
(cid:56)(cid:215)(cid:168)(cid:112)(cid:113)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:38)(cid:36)(cid:31)(cid:75)(cid:194)(cid:50)(cid:93)(cid:90)
𝐵(cid:15)𝐶(cid:120)(cid:50)(cid:20)(cid:50)(cid:10) (cid:56) (cid:56)M(cid:72) (cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)
= =
∵1𝐶𝐹
(cid:56)
⊥𝐴𝐵 𝐵𝐸⊥𝐴𝐶 𝐵𝐶
2
∴𝐸𝑀 𝐹𝑀 𝐵𝐶
=4(cid:56) =10(cid:56)
∵𝐸𝐹 = 𝐵=𝐶5(cid:56)
∴𝐸𝑀 𝐹𝑀(cid:31)(cid:38)(cid:36)= + + =4+5+5=14(cid:90)
∴(cid:15)△(cid:123)𝐸(cid:124)𝐹𝑀3-1(cid:20)(cid:80)24-2𝐸5𝐹(cid:216)(cid:126)𝐸(cid:127)𝑀(cid:57)·𝐹(cid:217)𝑀(cid:218)(cid:219)(cid:220)·(cid:131)(cid:32)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56) (cid:32)(cid:56) = =10(cid:56) =6(cid:56) (cid:177)(cid:95)
(cid:191) (cid:59)(cid:89) (cid:56)(cid:89) (cid:72) (cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)(cid:174)(cid:175) (cid:56)(cid:92) (cid:31)(cid:38)△(cid:36)𝐴(cid:70)𝐵(cid:80)𝐶 (cid:88)𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
𝐵𝐶 𝐷 𝐸 𝐴𝐶 𝐷𝐸 △𝐶𝐷𝐸
A(cid:90)20 B(cid:90)12 C(cid:90)16 D(cid:90)13
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:20)D
(cid:15)(cid:95)(cid:96)(cid:20)(cid:97)(cid:21)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:58)(cid:165)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:179)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:103)(cid:104)(cid:199)(cid:112)(cid:113)(cid:58)(cid:165)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:27)(cid:33)(cid:49)(cid:60)(cid:34)(cid:166) (cid:31)
(cid:36)(cid:56)(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:59)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:34)(cid:166) (cid:31)(cid:36)(cid:56)(cid:112)(cid:113)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:38)(cid:36)(cid:7)(cid:124)(cid:221)(cid:222)(cid:114)(cid:117)(cid:93)(cid:94)𝐶(cid:90)𝐷
(cid:15)(cid:120)(cid:50)(cid:20)(cid:50)(cid:10) = (cid:56) (cid:177)(cid:95) (cid:56) 𝐷𝐸
(cid:56)
∵𝐴
=
𝐵1 𝐴𝐶
=3(cid:56)
𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
2
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐵𝐶
(cid:56)(cid:89) (cid:72) (cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)
∵𝐴𝐷⊥
=
𝐵𝐶
=
1𝐸
=
𝐴𝐶
5(cid:56)
2
∴𝐷𝐸 𝐸𝐶 𝐴𝐶
(cid:31)(cid:38)(cid:36)= + + =13(cid:56)
∴(cid:121)△(cid:122)𝐶(cid:10)𝐷D𝐸(cid:90) 𝐶𝐷 𝐷𝐸 𝐸𝐶
(cid:15)(cid:123)(cid:124)3-2(cid:20)(cid:80)22-23(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:57)·(cid:135)(cid:223)(cid:224)(cid:225)·(cid:131)(cid:32)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:132)(cid:30)(cid:28) (cid:32)(cid:56) = =90°(cid:56)E(cid:70)(cid:133)(cid:26)(cid:33)
(cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)(cid:174)(cid:175) (cid:179) (cid:90)(cid:91) =10(cid:56) =8(cid:56) (cid:34) (cid:31)𝐴(cid:38)𝐵𝐶(cid:36)𝐷(cid:90) ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐶
𝐴𝐶 𝐵𝐸 𝐷𝐸 𝐴𝐶 𝐵𝐷 △𝐵𝐷𝐸
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:20)18
(cid:15)(cid:95)(cid:96)(cid:20)(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:114)(cid:117) = = 1 =5(cid:56)(cid:181)(cid:116)(cid:34)(cid:50) (cid:31)(cid:38)(cid:36)(cid:119)(cid:77)(cid:90)
2
𝐵𝐸 𝐷𝐸 𝐴𝐶 △𝐵𝐷𝐸
(cid:15)(cid:120)(cid:50)(cid:20) = =90°
(cid:106)∵∠𝐴𝐵𝐶 (cid:70)∠(cid:25)𝐴𝐷(cid:26)𝐶(cid:27)(cid:26)(cid:28)
∴△𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐷𝐶E(cid:70)(cid:133)(cid:26)(cid:33) (cid:31)(cid:32)(cid:89)
∵ 𝐴1𝐶
= = =5
2
∴𝐵𝐸 𝐷𝐸 𝐴𝐶
=8
∵𝐵𝐷 (cid:31)(cid:38)(cid:36)= + + =8+5+5=18(cid:90)
∴(cid:15)△(cid:89)𝐵(cid:226)𝐷(cid:20)𝐸(cid:198)(cid:21)(cid:100)(cid:101)(cid:102)𝐵𝐷(cid:25)(cid:26)𝐵(cid:27)𝐸(cid:26)(cid:28)𝐷𝐸(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:56)(cid:50)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:111)(cid:70)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:59)(cid:29)
(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:90)
(cid:15)(cid:123)(cid:124)3-3(cid:20)(cid:80)22-23(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)·(cid:227)(cid:135)(cid:218)(cid:228)·(cid:131)(cid:229)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56) (cid:72)(cid:58)(cid:165)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:56) (cid:72)(cid:29)(cid:30) (cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)(cid:89)
(cid:55) (cid:30)(cid:57)(cid:56)(cid:230) (cid:209) (cid:52)(cid:53)(cid:211) (cid:56) (cid:43) (cid:56) △(cid:95)𝐴𝐵(cid:146)𝐶(cid:191)(cid:59) (cid:56) (cid:144)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:231)𝐷(cid:153) (cid:31)(cid:36)𝐵𝐶(cid:56)(cid:92)(cid:77)(cid:34)(cid:166)(cid:128)𝐸
(cid:232)𝐴(cid:233)𝐶(cid:62)(cid:47)(cid:28)(cid:31)(cid:38)△(cid:36)𝐷(cid:80)𝐶𝐸 (cid:88)𝐷𝐸 △𝐷𝐹𝐸 𝐴𝐵 𝐹𝐸 𝐹𝐷 𝐺 𝐻 𝐴𝐵
A(cid:90) B(cid:90) C(cid:90)(cid:132)(cid:30)(cid:28) D(cid:90)(cid:132)(cid:30)(cid:28)
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:20)△A𝐴𝐺𝐸 △𝐹𝐻𝐺 𝐷𝐻𝐺𝐸 𝐵𝐷𝐸𝐺
(cid:15)(cid:95)(cid:96)(cid:20)(cid:180)(cid:46)(cid:166)(cid:234)(cid:235)(cid:33)(cid:56)(cid:23)(cid:24)(cid:58)(cid:165)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:236)(cid:237)(cid:26)(cid:31)(cid:141)(cid:238)(cid:3)(cid:239)(cid:114)(cid:166) = (cid:119)(cid:77)(cid:34)(cid:50)(cid:90)
(cid:15)(cid:120)(cid:50)(cid:20)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:174)(cid:175) (cid:56) (cid:56) 𝐺𝐴 𝐺𝐹
(cid:27)(cid:26)(cid:28) (cid:70)(cid:58)(cid:165)(cid:25)𝐴(cid:26)𝐷(cid:27)𝐴(cid:26)𝐹(cid:28)(cid:56)(cid:143)D(cid:72)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)
∵ 𝐴𝐵𝐶
= = (cid:56) = = = =45°(cid:56)
(cid:134)∴𝐷(cid:52)𝐴(cid:53)(cid:77)𝐷𝐶(cid:114) 𝐷𝐵= ∠𝐷=𝐴𝐺 =∠𝐷𝐴𝐶(cid:56) ∠𝐵 ∠𝐶
= 𝐷𝐴 (cid:56)𝐷𝐶 𝐷𝐵 𝐷𝐹
∴∠𝐷𝐴𝐹 =∠𝐷𝐹𝐴 = =45°(cid:56)
∵∠𝐷𝐴𝐺= ∠𝐷𝐹𝐺(cid:56) ∠𝐶
∴∠𝐺𝐹𝐴 ∠𝐺𝐴𝐹= (cid:56)
∴𝐺𝐴 𝐺=𝐹 + + = + + = + = + = = (cid:56)
∴(cid:121)𝐶(cid:122)△𝐴𝐸A𝐺(cid:90) 𝐴𝐺 𝐺𝐸 𝐴𝐸 𝐹𝐺 𝐺𝐸 𝐴𝐸 𝐹𝐸 𝐴𝐸 𝐶𝐸 𝐴𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:89)(cid:226)(cid:20)(cid:97)(cid:21)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:58)(cid:165)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:106)(cid:52)(cid:53)(cid:56)(cid:50)(cid:21)(cid:3)(cid:111)(cid:70)(cid:109)(cid:110)(cid:58)(cid:165)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:144)(cid:62)(cid:240)(cid:26)(cid:70)45°(cid:106)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:59)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:56)(cid:52)(cid:53)(cid:241)(cid:168)(cid:31)(cid:133)(cid:145)(cid:30)(cid:190)(cid:58)(cid:56)(cid:133)(cid:145)(cid:26)(cid:190)(cid:58)(cid:90)
【题型4 利用直角三角形斜边的中线求面积】
(cid:15)(cid:79)4(cid:20)(cid:80)22-23(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:57)·(cid:227)(cid:135)(cid:242)(cid:243)·(cid:131)(cid:229)(cid:88)(cid:55) (cid:32)(cid:56) (cid:31)(cid:37)(cid:141)(cid:149)(cid:244)(cid:72)1:5:6(cid:56) (cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:36)(cid:70)
2(cid:56)(cid:92) (cid:31)(cid:39)(cid:40)(cid:70)(cid:80)(cid:245)(cid:245)(cid:88) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴,∠𝐵,∠𝐶 𝐴𝐵
A(cid:90)△1𝐴𝐵𝐶 B(cid:90)2 C(cid:90)3 D(cid:90)4
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:20)B
(cid:15)(cid:95)(cid:96)(cid:20)(cid:176)(cid:89) (cid:46) (cid:56)(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:164)(cid:26)(cid:106)(cid:71)(cid:246)(cid:27)(cid:62)(cid:26)(cid:31)(cid:244)(cid:34)(cid:166)(cid:247)(cid:26)(cid:31)(cid:37)(cid:141)(cid:56)(cid:118)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:75)
(cid:76)(cid:34)(cid:166) (cid:31)(cid:36)𝐵(cid:56)(cid:118)𝐵𝐸(cid:112)⊥(cid:113)𝐶(cid:248)𝐷30°(cid:26)(cid:31)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:34)(cid:166) (cid:56)(cid:167)(cid:168)(cid:23)(cid:24)(cid:39)(cid:40)(cid:7)(cid:124)(cid:34)(cid:50)(cid:119)(cid:77)(cid:90)
(cid:15)(cid:120)(cid:50)𝐵(cid:20)𝐷(cid:50)(cid:10)(cid:63)(cid:47)(cid:189)(cid:249)(cid:10) 𝐵𝐸
(cid:176)(cid:89) (cid:46)
𝐵 𝐵𝐸⊥=𝐶1𝐷:5:6
∵∠𝐴:∠𝐵:∠𝐶 1
=180°× =15°
1+5+6
∴∠𝐴 5 6
=180°× = =180°× =90°
1+5+6 1+5+6
∴∠𝐵(cid:70) (cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:56) 75°,∠𝐶
∵𝐶𝐷 𝐴1𝐵
= = =
2
∴𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐷 𝐴𝐷
=30°
∴∠𝐵𝐷𝐶1
=
2
∴𝐵𝐸 𝐵𝐷
=2
∵𝐶𝐷 1
= ×2=1
2
∴𝐵𝐸 1
= ×1×2=1
2
∴𝑆△𝐵𝐶𝐷
=2 =2×1=2
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝐵𝐷𝐶(cid:121)(cid:122)B(cid:90)
(cid:15)(cid:89)(cid:226)(cid:20)(cid:97)(cid:21)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:164)(cid:26)(cid:106)(cid:56)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:75)(cid:76)(cid:71)(cid:246)(cid:248)30°(cid:26)(cid:31)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:56)(cid:250)(cid:24)(cid:164)(cid:26)(cid:106)
(cid:34)(cid:247)(cid:26)(cid:31)(cid:37)(cid:141)(cid:71)(cid:246)(cid:32)(cid:33)(cid:103)(cid:104)(cid:34)(cid:50)(cid:39)(cid:40)(cid:70)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:111)(cid:90)
(cid:15)(cid:123)(cid:124)4-1(cid:20)(cid:80)24-25(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)·(cid:171)(cid:251)(cid:252)(cid:253)·(cid:131)(cid:32)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:55)Rt (cid:32)(cid:56) (cid:70)(cid:29)(cid:30) (cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)(cid:71) (cid:72)(cid:30)(cid:46)(cid:254)
(cid:195)(cid:28) (cid:90)(cid:91) =10(cid:56)(cid:92)(cid:254)(cid:195)(cid:28) (cid:31)(cid:39)(cid:40)(cid:72)(cid:80) (cid:88) △𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷
𝐴𝐷𝐸𝐹 𝐵𝐶 𝐴𝐷𝐸𝐹
A(cid:90)5 B(cid:90)100 C(cid:90)25 D(cid:90)15
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:20)C
(cid:15)(cid:95)(cid:96)(cid:20)(cid:97)(cid:21)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:254)(cid:195)(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:56)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:56)(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:59)(cid:29)
(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:166) = 1 = 1 ×10=5(cid:56)(cid:118)(cid:112)(cid:113)(cid:254)(cid:195)(cid:28)(cid:31)(cid:39)(cid:40)(cid:34)(cid:50)(cid:119)(cid:77)(cid:90)
2 2
𝐴𝐷 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:120)(cid:50)(cid:20)(cid:50)(cid:10)(cid:55)Rt (cid:32)(cid:56) (cid:70)(cid:29)(cid:30) (cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56) =10(cid:56)
= 1 = 1 ×1 △ 0= 𝐴𝐵 5 𝐶 (cid:56) 𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐶
2 2
∴𝐴𝐷 𝐵𝐶
=5×5=25(cid:56)
正方形
∴(cid:121)𝑆(cid:254)(cid:195)(cid:28)𝐴𝐷𝐸𝐹 (cid:31)(cid:39)(cid:40)(cid:72)25(cid:56)
(cid:121)(cid:122)(cid:10)C(cid:90)𝐴𝐷𝐸𝐹
(cid:15)(cid:123)(cid:124)4-2(cid:20)(cid:80)2022·(cid:227)(cid:135)(cid:81)(cid:220)·(cid:32)(cid:100)(cid:160)(cid:21)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:231)(cid:153)(cid:55)(cid:255)(cid:26) ABC(cid:32)(cid:56)AB(cid:256)AC(cid:56)AD(cid:70) ABC(cid:31)(cid:26)(cid:177)(cid:95)(cid:33)(cid:56)
E(cid:70)AD(cid:57)(cid:60)(cid:89)(cid:56)(cid:174)(cid:157)EB(cid:56)EC(cid:90)(cid:91) EBC(cid:256)45°(cid:56)BC(cid:256)6(cid:56)(cid:92)△EBC(cid:31)(cid:39)(cid:40)(cid:70)(cid:80) (cid:88) △
∠ △
A(cid:90)12 B(cid:90)9 C(cid:90)6 D(cid:90)3 2
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:20)B(cid:15)(cid:95)(cid:96)(cid:20)(cid:112)(cid:113)(cid:27)(cid:33)(cid:49)(cid:60)(cid:77)(cid:114) (cid:56)(cid:112)(cid:113)(cid:193)(cid:25)(cid:177)(cid:95)(cid:33)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:77)(cid:114) = (cid:56)(cid:181)(cid:116)(cid:112)(cid:113) EBC(cid:256)45°(cid:56)(cid:77)(cid:114)
(cid:72)(cid:58)(cid:165)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:56)
𝐸
(cid:112)
𝐷
(cid:113)
⊥
(cid:29)
𝐵𝐶
(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:59)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:77)(cid:114)
𝐸𝐵
=
𝐸1𝐶
=3(cid:56)(cid:215)(cid:168)
∠
(cid:112)(cid:113)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:39)(cid:40)(cid:7)
2
△𝐵𝐸𝐶 𝐷𝐸 𝐵𝐶
(cid:124)(cid:119)(cid:77)(cid:34)(cid:50)(cid:90)
(cid:15)(cid:120)(cid:50)(cid:20)(cid:50)(cid:10) AB(cid:256)AC(cid:56)AD(cid:70) ABC(cid:31)(cid:26)(cid:177)(cid:95)(cid:33)(cid:56)
∵= (cid:56) △
∴𝐴𝐷⊥=𝐵𝐷,(cid:56)𝐵𝐷 𝐷𝐶
∴𝐸𝐵EBC(cid:256)𝐸𝐶45°(cid:56)
∵∠ = =45°(cid:56)
∠𝐸 𝐶𝐵 ∠𝐸(cid:72)𝐵(cid:58)𝐶 (cid:165)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:56)
∴ △=𝐵𝐸6𝐶(cid:56)
∵𝐵 𝐶 = 1 =3(cid:56)
2
∴ 𝐷𝐸 𝐵𝐶
(cid:92) EBC(cid:31)(cid:39)(cid:40)(cid:70) 1 ×3×6=9(cid:90)
2
(cid:121)(cid:122)△ B(cid:90)
(cid:15)(cid:89)(cid:226)(cid:20)(cid:97)(cid:21)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:58)(cid:165)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:43)(cid:105)(cid:75)(cid:56)(cid:193)(cid:25)(cid:177)(cid:95)(cid:33)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:56)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:32)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:59)(cid:29)(cid:30)
(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:56)(cid:109)(cid:110)(cid:58)(cid:165)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:43)(cid:105)(cid:75)(cid:70)(cid:50)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:111)(cid:90)
(cid:15)(cid:123)(cid:124)4-3(cid:20)(cid:80)22-23(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:57)·(cid:257)(cid:258)(cid:135)(cid:18)(cid:259)·(cid:131)(cid:229)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:55)(cid:60)(cid:62)(cid:58)(cid:30)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:260)(cid:261)(cid:32)(cid:262)(cid:27)(cid:30)(cid:32)(cid:89)(cid:56)(cid:71)(cid:263)(cid:33)(cid:72)(cid:52)
(cid:264)(cid:52)(cid:53)(cid:260)(cid:261)(cid:56)(cid:91)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:260)(cid:261)(cid:31)(cid:39)(cid:40)(cid:70)8cm (cid:56)(cid:92)(cid:47)(cid:32)(cid:265)(cid:266)(cid:267)(cid:95)(cid:31)(cid:39)(cid:40)(cid:70)(cid:80) (cid:88)
2
A(cid:90)2cm B(cid:90)3cm C(cid:90)4cm D(cid:90)5cm
2 2 2 2
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:20)B
(cid:15)(cid:95)(cid:96)(cid:20)(cid:112)(cid:113)(cid:32)(cid:89)(cid:106)(cid:58)(cid:30)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:114)(cid:117) (cid:56) = = 1 =4cm (cid:56)(cid:118)(cid:34)(cid:166) =
2
2
𝐴𝐹⊥𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐹 𝑆△𝐴𝐶𝐹 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝐵𝐷𝐹
= 1 =2cm (cid:56)(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:106)(cid:27)(cid:33)(cid:49)(cid:60)(cid:34)(cid:166) = = 1 =1
2 2
2
𝑆△𝐴𝐷𝐹 𝑆△𝐴𝐵𝐹 𝑆△𝐴𝐷𝑂 𝑆△𝐹𝐷𝑂 𝑆△𝐴𝐷𝐹
cm (cid:56)(cid:115)(cid:116)(cid:77)(cid:114)(cid:157)(cid:64)(cid:90)
2
(cid:15)(cid:120)(cid:50)(cid:20)(cid:50)(cid:10)(cid:63)(cid:47)(cid:56) F(cid:95)(cid:146)(cid:72) (cid:32)(cid:89)(cid:56) (cid:70)(cid:58)(cid:30)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:56)
∵ 𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶(cid:56) = = 1 =4cm (cid:56)
2
2
∴D𝐴𝐹
(cid:72)
⊥𝐵𝐶
(cid:30)(cid:32)
𝑆△
(cid:89)
𝐴𝐵
(cid:56)
𝐹 𝑆△𝐴𝐶𝐹 𝑆△𝐴𝐵𝐶
∵ 𝐴𝐵 = = 1 =2cm (cid:56) = = (cid:56)
2
2
∴E𝑆△
(cid:72)
𝐵𝐷𝐹
(cid:32)
𝑆
(cid:89)
△𝐴
(cid:56)
𝐷𝐹 𝑆△𝐴𝐵𝐹 𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝐷𝐹
∵D(cid:56)E𝐴𝐶(cid:3)(cid:59) (cid:133)(cid:268)(cid:56)
∴ (cid:193)(cid:25)(cid:177)(cid:95)𝐴𝐹 (cid:56)
∴𝐴𝐹 = (cid:56)𝐷𝐸
∴𝐴𝑂 = 𝐹𝑂 = 1 =1cm (cid:56)
2
2
∴𝑆△𝐴𝐷𝑂 𝑆△𝐹𝐷𝑂 𝑆△𝐴𝐷𝐹
= + =2cm +1cm =3cm (cid:56)
阴影
2 2 2
∴(cid:121)𝑆(cid:122)(cid:10)B(cid:90)𝑆△𝐵𝐷𝐹 𝑆△𝐹𝐷𝑂
(cid:15)(cid:89)(cid:226)(cid:20)(cid:97)(cid:21)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:58)(cid:30)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:56)(cid:58)(cid:165)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:105)(cid:75)(cid:106)(cid:103)(cid:104)(cid:56)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:56)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:39)(cid:40)(cid:56)
(cid:50)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:111)(cid:70)(cid:109)(cid:110)(cid:269)(cid:97)(cid:75)(cid:76)(cid:56)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:239)(cid:270)(cid:166)(cid:39)(cid:40)(cid:31)(cid:3)(cid:239)(cid:90)
【题型5 利用直角三角形斜边的中线证明】
(cid:15)(cid:79)5(cid:20)(cid:80)24-25(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:57)·(cid:271)(cid:251)(cid:271)(cid:220)·(cid:131)(cid:32)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:55)Rt (cid:32)(cid:56) =90°(cid:56) =30°(cid:56)(cid:89) (cid:70) (cid:31)(cid:32)
(cid:89)(cid:56)(cid:89) (cid:72)(cid:30) (cid:57)(cid:60)(cid:89)(cid:56)(cid:174)(cid:175) (cid:56) (cid:56)(cid:71) 为(cid:30)(cid:55) (cid:31)△(cid:272)𝐴𝐵(cid:273)𝐶(cid:46)(cid:58)(cid:30)∠𝐴(cid:27)𝐶𝐵(cid:26)(cid:28) (cid:56)∠(cid:174)𝐴(cid:175) (cid:90) 𝐷 𝐴𝐵
𝐸 𝐴𝐶 𝐶𝐷 𝐷𝐸 𝐷𝐸 𝐷𝐸 𝐷𝐸𝐹 𝐵𝐹
(1)(cid:34)(cid:41)(cid:10) (cid:72)(cid:58)(cid:30)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:199)
(2)(cid:34)(cid:41)(cid:10)△𝐵𝐶𝐷= (cid:90)
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:20)(∠1𝐷)(cid:274)𝐵(cid:50)𝐹 (cid:96)∠𝐷𝐶𝐸
(2)(cid:274)(cid:50)(cid:96)(cid:15)(cid:95)(cid:96)(cid:20)(cid:198)(cid:21)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:275)(cid:58)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:105)(cid:75)(cid:43)(cid:103)(cid:104)(cid:56)(cid:58)(cid:30)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:105)(cid:75)(cid:43)(cid:103)(cid:104)(cid:56)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:56)
(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:275)(cid:58)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:105)(cid:75)(cid:43)(cid:103)(cid:104)(cid:56)(cid:58)(cid:30)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:105)(cid:75)(cid:43)(cid:103)(cid:104)(cid:56)(cid:76)(cid:50)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:59)(cid:29)(cid:30)(cid:31)
(cid:60)(cid:61)(cid:70)(cid:50)(cid:51)(cid:54)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:111)(cid:90)
(cid:80)1(cid:88)(cid:180)(cid:34)(cid:166) =60°(cid:56)(cid:118)(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:59)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:114) = = (cid:56)(cid:134)(cid:198)(cid:77)(cid:114)(cid:166)(cid:157)(cid:276)(cid:199)
(cid:80)2(cid:88)(cid:112)(cid:113)(cid:58)∠(cid:30)𝐴(cid:27)𝐵𝐶(cid:26)(cid:28)(cid:103)(cid:104)(cid:114) = (cid:56) = (cid:56) = =60°𝐶(cid:56)𝐷(cid:134)(cid:198)𝐵(cid:114)𝐷 𝐴𝐷 = (cid:56)(cid:181)(cid:116)(cid:77)
(cid:277)(cid:113)“SAS”(cid:105)(cid:75) 𝐵𝐷(cid:56)(cid:215)𝐶(cid:168)𝐷(cid:112)𝐷(cid:113)𝐹(cid:275)(cid:58)𝐷(cid:27)𝐸 (cid:26)∠(cid:28)𝐵(cid:31)𝐷𝐶(cid:103)(cid:104)∠(cid:77)𝐹𝐷(cid:114)𝐸(cid:166)(cid:157)(cid:276)(cid:90) ∠𝐵𝐷𝐹 ∠𝐶𝐷𝐸
(cid:15)(cid:120)(cid:50)(cid:20)(cid:80)1(cid:88)(cid:41)△(cid:42)𝐵𝐷(cid:10)𝐹(cid:55)≌R△t 𝐶𝐷𝐸 (cid:32)(cid:56) =90°(cid:56) =30°(cid:56)
=60°(cid:56) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴
∴(cid:89)∠𝐴(cid:70)𝐵𝐶 (cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)
∵ 𝐷 = 𝐴𝐵 = = 1 (cid:56)
2
∴𝐶𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐵
(cid:72)(cid:58)(cid:30)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:199)
(cid:80)∴△2(cid:88)𝐵(cid:41)𝐶𝐷(cid:42)(cid:10) (cid:106) (cid:140)(cid:72)(cid:58)(cid:30)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:56)
= (cid:56)∵△𝐵=𝐶𝐷 (cid:56)△𝐷𝐸𝐹= =60°(cid:56)
∴𝐵𝐷 𝐶+𝐷 𝐷𝐹 =𝐷𝐸 ∠+𝐵𝐷𝐶 ∠(cid:56)𝐹𝐷𝐸
∴∠𝐵𝐷𝐹=∠𝐹𝐷𝐶(cid:56)∠𝐹𝐷𝐶 ∠𝐶𝐷𝐸
∴∠𝐵𝐷𝐹 ∠𝐶𝐷𝐸 =
(cid:55) (cid:106) (cid:32)(cid:56) = ,
𝐵𝐷= 𝐶𝐷
△𝐵𝐷𝐹 △𝐶𝐷𝐸 ∠𝐵𝐷𝐹 ∠𝐶𝐷𝐸
(cid:80)SAS(cid:88)(cid:56)𝐷𝐹 𝐷𝐸
∴△𝐵𝐷𝐹=≌△𝐶𝐷𝐸(cid:90)
(cid:15)∴(cid:123)∠D(cid:124)BF5-1(cid:20)∠D(cid:80)C2E4-25(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:57)·(cid:135)(cid:223)(cid:278)(cid:279)·(cid:131)(cid:229)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:55) (cid:32)(cid:56) (cid:177)(cid:95) (cid:56) (cid:59)(cid:89) (cid:56) (cid:72)
(cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)(cid:174)(cid:175) (cid:90)(cid:34)(cid:41)(cid:10) (cid:90) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐶𝐷⊥𝐴𝐷 𝐷 𝐸 𝐴𝐶
𝐷𝐸 𝐷𝐸∥𝐴𝐵
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:20)(cid:274)(cid:50)(cid:96)
(cid:15)(cid:95)(cid:96)(cid:20)(cid:97)(cid:21)(cid:100)(cid:101)(cid:26)(cid:177)(cid:95)(cid:33)(cid:56)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:71)(cid:246)(cid:177)(cid:178)(cid:33)(cid:31)(cid:105)(cid:75)(cid:56)(cid:50)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:111)(cid:70)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)
(cid:33)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:114)(cid:117)(cid:26)(cid:190)(cid:58)(cid:56)(cid:115)(cid:116)(cid:41)(cid:42)(cid:144)(cid:25)(cid:33)(cid:177)(cid:178)(cid:90)(cid:180)(cid:112)(cid:113)(cid:26)(cid:177)(cid:95)(cid:33)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:114)(cid:117) = (cid:56)(cid:118)(cid:157)(cid:49)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:103)(cid:104)(cid:114)(cid:166)(cid:33)(cid:35)(cid:3)(cid:239) = = 1 (cid:56)
2
∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐷𝐸 𝐴𝐶
(cid:181)(cid:116)(cid:114)(cid:117)(cid:26)(cid:31)(cid:3)(cid:239) = = (cid:56)(cid:280)(cid:176)(cid:164)(cid:281)(cid:26)(cid:190)(cid:58)(cid:41)(cid:42)(cid:144)(cid:25)(cid:33)(cid:177)(cid:178)(cid:90)
(cid:15)(cid:120)(cid:50)(cid:20)(cid:41)(cid:42)(cid:10) ∠𝐶(cid:177)𝐴𝐷(cid:95) ∠𝐴𝐷(cid:56)𝐸 ∠𝐵𝐴𝐷
= ∵(cid:56)𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
∴∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐷
(cid:56)
∵𝐶𝐷⊥𝐴=𝐷90°(cid:56)
∴∠(cid:72)𝐴𝐷𝐶(cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)
∵𝐸 = 𝐴𝐶 = 1 (cid:56)
2
∴𝐴𝐸 𝐷𝐸 𝐴𝐶
= (cid:56)
∴∠𝐶𝐴𝐷 =∠𝐴𝐷𝐸(cid:56)
∴∠D𝐵E𝐴𝐷AB(cid:90)∠𝐴𝐷𝐸
∴(cid:15)(cid:123)(cid:124)∥ 5-2(cid:20)(cid:80)24-25(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:57)·(cid:275)(cid:282)·(cid:283)(cid:168)(cid:46)(cid:284)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:55)(cid:132)(cid:30)(cid:28) (cid:32)(cid:56) = =90°(cid:56) (cid:179) (cid:95)
(cid:146)(cid:70) (cid:179) (cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)(cid:41)(cid:42)(cid:10) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐶 𝑀 𝑁
𝐴𝐶 𝐵𝐷
(1) = (cid:199)
(2)𝑀𝐷 𝑀𝐵(cid:90)
(cid:15)(cid:93)𝑀(cid:94)𝑁⊥(cid:20)𝐵(1𝐷)(cid:41)(cid:42)(cid:274)(cid:50)(cid:96)
(2)(cid:41)(cid:42)(cid:274)(cid:50)(cid:96)
(cid:15)(cid:95)(cid:96)(cid:20)(cid:80)1(cid:88)(cid:134)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:59)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:77)(cid:114) = 1 (cid:56) = 1 (cid:56)(cid:181)(cid:116)(cid:119)(cid:77)(cid:34)(cid:50)(cid:199)
2 2
𝐵𝑀 𝐶 𝐷𝑀 𝐴𝐶
(cid:80)2(cid:88)(cid:112)(cid:113)(cid:27)(cid:33)(cid:49)(cid:60)(cid:119)(cid:77)(cid:34)(cid:41)(cid:199)
(cid:97)(cid:21)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:59)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:56)(cid:58)(cid:165)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:56)(cid:109)(cid:110)(cid:71)(cid:57)(cid:153)(cid:154)(cid:89)(cid:70)(cid:50)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:111)(cid:90)(cid:15)(cid:120)(cid:50)(cid:20)(cid:80)1(cid:88)(cid:41)(cid:42)(cid:10) = =90°(cid:56) (cid:70) (cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)
= 1 (cid:56) = 1 ∵ (cid:56) ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐶 𝑀 𝐴𝐶
2 2
∴𝐵𝑀 𝐶 𝐷𝑀 𝐴𝐶
= (cid:199)
∴(cid:80)𝑀2𝐷(cid:88)(cid:41)𝑀(cid:42)𝐵(cid:10)(cid:134)(cid:80)1(cid:88)(cid:77)(cid:153) = (cid:56)
(cid:70) (cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56) 𝑀𝐷 𝑀𝐵
∵𝑁 𝐵𝐷 (cid:90)
∴(cid:15)𝑀(cid:123)𝑁(cid:124)⊥5𝐵-𝐷3(cid:20)(cid:80)24-25(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:57)·(cid:81)(cid:16)(cid:285)(cid:286)·(cid:131)(cid:229)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:89)B(cid:55)(cid:33)(cid:35) (cid:57)(cid:56)(cid:89)E(cid:55)(cid:33)(cid:35) (cid:57)(cid:56)
= =90°(cid:56) = (cid:56) = (cid:56)M(cid:56)N(cid:95)(cid:146)(cid:70) (cid:56) 𝐴(cid:31)𝐶(cid:32)(cid:89)(cid:90) 𝐵𝐷
∠𝐴𝐵𝐷 ∠𝐷𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐷𝐵 𝐸𝐵 𝐶𝐵 𝐴𝐸 𝐶𝐷
(1)(cid:34)(cid:41)(cid:10) (cid:199)
(2)(cid:287)(cid:288)(cid:289)△𝐴(cid:106)𝐵𝐸≌(cid:31)△(cid:141)𝐷(cid:238)𝐵𝐶(cid:3)(cid:239)(cid:106)(cid:212)(cid:213)(cid:3)(cid:239)(cid:56)(cid:290)(cid:41)(cid:42)(cid:291)(cid:31)(cid:157)(cid:276)(cid:90)
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:20)(𝐵1𝑀)(cid:120)(cid:274)𝐵(cid:50)𝑁(cid:96)
(2) = (cid:143) (cid:56)(cid:120)(cid:274)(cid:50)(cid:96)
(cid:15)(cid:95)𝑀(cid:96)𝐵 (cid:20)𝑁(cid:80)𝐵1(cid:88)𝑀(cid:112)𝐵(cid:113)⊥(cid:275)𝑁(cid:58)𝐵(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:105)(cid:75)(cid:75)(cid:76)(cid:119)(cid:77)(cid:114)(cid:117)(cid:157)(cid:276)(cid:199)
(cid:80)2(cid:88)(cid:112)(cid:113)(cid:275)(cid:58)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:114)(cid:117) = (cid:56)(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:59)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:117) = 1 (cid:56)
2
𝐴𝐸 𝐷𝐶 𝐴𝑀 𝐴𝐸
= 1 (cid:56)(cid:114)(cid:117) = (cid:56)(cid:112)(cid:113)(cid:58)(cid:30)(cid:133)(cid:58)(cid:26)(cid:106)(cid:275)(cid:58)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:181)(cid:178)(cid:58)(cid:238)(cid:292)(cid:293)(cid:119)(cid:77)(cid:41)(cid:42) (cid:90)
2
𝐷𝑁 𝐶𝐷 𝑀𝐵 𝑁𝐵 𝑀𝐵⊥𝑁𝐵
(cid:97)(cid:21)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:275)(cid:58)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:105)(cid:75)(cid:246)(cid:103)(cid:104)(cid:56)(cid:50)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:111)(cid:70)(cid:254)(cid:78)(cid:294)(cid:270)(cid:275)(cid:58)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:50)(cid:51)(cid:54)(cid:21)(cid:90)
(cid:15)(cid:120)(cid:50)(cid:20)(cid:80)1(cid:88)(cid:41)(cid:42)(cid:10)(cid:55) (cid:106) (cid:32)(cid:56)
= △𝐴𝐵𝐸 △𝐷𝐵𝐶
(cid:56) =
= 𝐴𝐵 𝐷𝐵
∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐷𝐵𝐶
𝐵𝐸 𝐵𝐶 SAS)
∴(cid:80)△2(cid:88)𝐴𝐵𝐸≌=△𝐷𝐵(cid:56)𝐶( (cid:56)
(cid:76)(cid:134)(cid:63)𝑀(cid:128)𝐵(cid:10) 𝑁𝐵 𝑀𝐵⊥𝑁𝐵
(cid:134)(cid:80)1(cid:88)(cid:77)(cid:153) SAS)
△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐵𝐶(= (cid:56) = (cid:56)
∴M𝐴𝐸(cid:56)N𝐷(cid:95)𝐶(cid:146)(cid:70)∠𝐵𝐴𝐸(cid:56) ∠(cid:31)𝐵𝐷(cid:32)𝐶(cid:89)(cid:56)
∵ = 1 (cid:56) 𝐴𝐸 = 𝐶1𝐷 (cid:56)
2 2
∴𝐴𝑀 𝐴𝐸 𝐷𝑁 𝐶𝐷
= (cid:56)
(cid:55)∴𝐴𝑀 𝐷(cid:106)𝑁 (cid:32)(cid:56)
△𝑀𝐴=𝐵 △𝑁𝐷𝐵
= (cid:56)
𝐴𝑀= 𝐷𝑁
∠𝐵𝐴𝑀 ∠𝐵𝐷𝑁
𝐴𝐵 𝐷𝐵 SAS)
∴△𝑀𝐴=𝐵≌△(cid:56)𝑁𝐷𝐵(
∴𝑀𝐵 =𝑁𝐵 (cid:56)
∠𝑀𝐵𝐴 +∠𝑁𝐵𝐷 =90°(cid:56)
∵∠𝑀𝐵𝐴+∠𝑀𝐵𝐷=90°(cid:56)
(cid:119)∴∠𝑀𝐵𝐷 =∠9𝑁0°𝐵(cid:56)𝐷
∠M𝑀B𝐵𝑁NB(cid:90)
【
∴
题型
⊥6
直角三角形斜边的中线与尺规作图的综合】
(cid:15)(cid:79)6(cid:20)(cid:80)2025·(cid:159)(cid:136)·(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:55) (cid:32)(cid:56) =90°(cid:56)(cid:295)(cid:24)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:196)(cid:55)(cid:30) (cid:57)(cid:34)(cid:46)(cid:60)(cid:89) (cid:56)(cid:174)
(cid:175) (cid:56)(cid:73) (cid:95) (cid:72)(cid:144)(cid:62)(cid:58)(cid:165)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:90)(cid:80)△(cid:296)𝐴𝐵(cid:297)𝐶(cid:46)(cid:47)∠(cid:264)𝐶(cid:298)(cid:56)(cid:299)(cid:300)(cid:46)(cid:196)(cid:88) 𝐴𝐵 𝑃
𝐶𝑃 𝐶𝑃 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:20)(cid:46)(cid:47)(cid:274)(cid:50)(cid:96)
(cid:15)(cid:95)(cid:96)(cid:20)(cid:97)(cid:21)(cid:100)(cid:101)(cid:31)(cid:46)(cid:33)(cid:35)(cid:31)(cid:193)(cid:25)(cid:177)(cid:95)(cid:33)(cid:56)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:56)(cid:58)(cid:165)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:75)(cid:194)(cid:56)(cid:63)(cid:47)(cid:56)
(cid:46)(cid:30) (cid:31)(cid:193)(cid:25)(cid:177)(cid:95)(cid:33) (cid:191) (cid:59) (cid:56)(cid:92) (cid:119)(cid:72)(cid:189)(cid:34)(cid:90)
(cid:15)(cid:120)𝐴(cid:50)𝐵(cid:20)(cid:50)(cid:10)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:46)𝑀(cid:30)𝑁 𝐴(cid:31)𝐵(cid:193)𝑃(cid:25)(cid:177)(cid:95)𝑃(cid:33) (cid:191) (cid:59) (cid:56)(cid:92) (cid:119)(cid:72)(cid:189)(cid:34)(cid:199)
𝐴𝐵 𝑀𝑁 𝐴𝐵 𝑃 𝑃(cid:76)(cid:134)(cid:10)(cid:134)(cid:46)(cid:47)(cid:77)(cid:114)(cid:10) = (cid:56)
=90°(cid:56) 𝐴𝑃 𝐵𝑃
∵∠𝐴𝐶=𝐵 = (cid:56)
∴𝐴𝑃 𝐶(cid:56)𝑃 𝐵𝑃 (cid:301)(cid:70)(cid:58)(cid:165)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:90)
(cid:15)∴△(cid:123)𝐴(cid:124)𝐶𝑃6-1(cid:20)△(cid:63)𝐵(cid:47)𝐶𝑃(cid:56)(cid:89)E(cid:72)Rt ABC(cid:29)(cid:30)AB(cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)(cid:174)(cid:175)CE(cid:56)(cid:71)(cid:89)A(cid:72)(cid:184)(cid:185)(cid:56)AC(cid:72)(cid:61)(cid:186)(cid:31)(cid:184)(cid:188)(cid:191)AB(cid:59)
(cid:89)D(cid:56)(cid:92)BD CE(cid:90)(cid:80)(cid:302)“(cid:303)△”(cid:56)“(cid:304)”(cid:305)“(cid:256)”(cid:88)
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:20)(cid:304)
(cid:15)(cid:95)(cid:96)(cid:20)(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:59)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:119)(cid:77)(cid:34)(cid:50)(cid:90)
(cid:15)(cid:120)(cid:50)(cid:20)(cid:50)(cid:10) (cid:89)E(cid:72)Rt ABC(cid:29)(cid:30)AB(cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)
CE= 1AB=BE(cid:56) ∵ △
2
∴BD=BE+DE=CE+DE>CE(cid:56)
∵(cid:121)(cid:93)(cid:94)(cid:72)(cid:10)>(cid:90)
(cid:15)(cid:89)(cid:226)(cid:20)(cid:97)(cid:21)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:89)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:56)(cid:42)(cid:78)“(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:59)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:61)”(cid:70)(cid:50)(cid:21)(cid:31)
(cid:3)(cid:111)(cid:90)
(cid:15)(cid:123)(cid:124)6-2(cid:20)(cid:80)24-25(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)·(cid:132)(cid:306)(cid:307)(cid:220)·(cid:131)(cid:229)(cid:88) (cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:55)Rt (cid:32)(cid:56) =90°(cid:56)(cid:95)(cid:146)(cid:71)(cid:89)C(cid:56)B(cid:72)(cid:184)
(cid:185)(cid:56)(cid:71)(cid:18)(cid:59) 1 (cid:72)(cid:61)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:56)(cid:144)(cid:188)(cid:190)(cid:191)(cid:59)(cid:89)M(cid:56)N(cid:56)(cid:46)(cid:25)(cid:33) △ (cid:95) 𝐴 (cid:146) 𝐵𝐶 (cid:191) ∠𝐵 (cid:59) 𝐴𝐶 (cid:89)D(cid:56)E(cid:56)(cid:174)(cid:175) (cid:190)(cid:191)(cid:59)
2
(cid:89)P(cid:90)(cid:91) 𝐵 = 𝐶 23°(cid:56)(cid:92) (cid:31)(cid:18)(cid:192)(cid:72) (cid:90) 𝑀𝑁 𝐴𝐵,𝐶𝐵 𝐶𝐷,𝐴𝐸
∠𝐵 ∠𝐴𝑃𝐶(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:20)69°/69(cid:37)
(cid:15)(cid:95)(cid:96)(cid:20)(cid:97)(cid:21)(cid:100)(cid:101)(cid:46)(cid:47) (cid:269)(cid:97)(cid:46)(cid:47)(cid:56)(cid:33)(cid:35)(cid:31)(cid:193)(cid:25)(cid:177)(cid:95)(cid:33)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:56)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:58)(cid:153)(cid:154)(cid:56)(cid:50)(cid:21)(cid:31)
(cid:3)(cid:111)(cid:70)(cid:308)(cid:309)(cid:47)(cid:310)(cid:6)(cid:311)(cid:56)−(cid:312)(cid:313)(cid:250)(cid:24)(cid:189)(cid:11)(cid:153)(cid:154)(cid:50)(cid:51)(cid:54)(cid:21)(cid:90)(cid:134)(cid:46)(cid:47)(cid:77)(cid:153) = (cid:56)(cid:77)(cid:114) = =23°(cid:56)(cid:112)(cid:113)
(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:32)(cid:33)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:77)(cid:114) = = (cid:56)(cid:215)(cid:168)(cid:134)(cid:26)(cid:31)(cid:106)𝐴(cid:314)𝐷(cid:3)(cid:239)𝐵𝐷(cid:77)(cid:114)(cid:93)(cid:94)∠(cid:90)𝐷𝐶𝐵 ∠𝐵
(cid:15)(cid:120)(cid:50)(cid:20)(cid:50)(cid:10)(cid:134)(cid:46)(cid:47)(cid:77)(cid:153) (cid:70) (cid:31)𝐴𝐷(cid:193)(cid:25)𝐵(cid:177)𝐷(cid:95)(cid:33)𝐴(cid:56)𝐸
= (cid:56) 𝑀𝑁 𝐵𝐶
∴𝐶𝐷 𝐵=𝐷 =23°(cid:56)
∴∠𝐷𝐶𝐵=9∠0𝐵°(cid:56)
∵∠𝐵𝐴𝐶= =67°(cid:56) = + =46°(cid:56) = (cid:56)
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90°=−2233°°(cid:56) ∠𝐴𝐷𝐶 ∠𝐷𝐶𝐵 ∠𝐵 𝐴𝐸 𝐵𝐸
∴∠𝐵𝐴𝐸 =∠𝐵 = =67°(cid:56)
∴∠𝐶𝐴𝑃 =90°−∠𝐵𝐴𝐸 9=0°−23° =44°(cid:56)
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐷𝐶𝐵 67°−=23° =69°(cid:56)
(cid:121)∴(cid:93)∠𝐴(cid:94)𝑃𝐶(cid:72)(cid:10)16890°(cid:90)°−∠𝐴𝐶𝑃−∠𝑃𝐴𝐶 180°−44°−67°
(cid:15)(cid:123)(cid:124)6-3(cid:20)(cid:80)24-25(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)·(cid:315)(cid:316)(cid:315)(cid:220)·(cid:131)(cid:32)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56) (cid:56)(cid:89) (cid:55) (cid:57)(cid:56)(cid:143)(cid:317)(cid:318) = (cid:90)
𝐴𝐷∥𝐵𝐶 𝐸 𝐴𝐷 ∠𝐴𝐵𝐸 2∠𝐸𝐵𝐶
(1)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:10)(cid:55) (cid:57)(cid:34)(cid:46)(cid:89) (cid:56)(cid:73)(cid:114) + =90°(cid:199)(cid:80)(cid:299)(cid:300)(cid:46)(cid:196)(cid:56)(cid:296)(cid:297)(cid:46)(cid:47)(cid:264)(cid:298)(cid:88)
(2)(cid:91) (cid:191) (cid:59)(cid:89)𝐵𝐶(cid:56) (cid:70) (cid:31)𝐺 (cid:32)(cid:89)(cid:56)∠(cid:174)𝐴𝐵(cid:175)𝐶 (cid:56)∠𝐵(cid:34)𝐴(cid:41)𝐺(cid:10) = (cid:90)
(cid:15)(cid:93)(cid:94)𝐴𝐺(cid:20)(1𝐵)𝐹(cid:274)(cid:120)(cid:50)𝐻 𝐹 𝐸𝐻 𝐴𝐹 𝐴𝐵 𝐴𝐹
(2)(cid:274)(cid:120)(cid:50)
(cid:15)(cid:95)(cid:96)(cid:20)(cid:80)1(cid:88)(cid:176)(cid:89)A(cid:46) (cid:59)(cid:89)G(cid:56)(cid:121) + =90°(cid:56)(cid:92)(cid:89)G(cid:119)(cid:72)(cid:189)(cid:34)(cid:90)
(cid:80)2(cid:88)(cid:134)(cid:80)1(cid:88)(cid:77)(cid:153) 𝐴=𝐺9⊥0𝐵°(cid:56)𝐶(cid:134)(cid:177)(cid:178)(cid:33)(cid:31)∠(cid:103)𝐴(cid:104)𝐵𝐶(cid:77)(cid:114)∠𝐵𝐴𝐺 = (cid:56) = =90°(cid:56)(cid:157)(cid:49)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
∠𝐴𝐺𝐵 ∠𝐴𝐸𝐻 ∠𝐸𝐵𝐶 ∠𝐸𝐴𝐻 ∠𝐴𝐺𝐵(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:77)(cid:114) = 1 = (cid:56)(cid:92) = (cid:56)(cid:77)(cid:114) = + = (cid:56)
2
𝐴𝐹 𝐸𝐻 𝐸𝐹 ∠𝐸𝐴𝐹 ∠𝐴𝐸𝐹 ∠𝐴𝐹𝐵 ∠𝐸𝐴𝐹 ∠𝐴𝐸𝐹 2∠𝐴𝐸𝐹
(cid:181)(cid:116)(cid:77)(cid:114) = (cid:56)(cid:92)(cid:77)(cid:114) = (cid:90)
(cid:15)(cid:120)(cid:50)(cid:20)∠(cid:80)𝐴1𝐹(cid:88)𝐵(cid:50)(cid:10)∠(cid:63)𝐴𝐵(cid:47)𝐸(cid:56)(cid:89)G(cid:119)𝐴(cid:72)𝐵(cid:189)(cid:34)𝐴𝐹(cid:90)
(cid:80)2(cid:88)(cid:41)(cid:42)(cid:10)(cid:134)(cid:80)1(cid:88)(cid:77)(cid:153)(cid:56) =90°(cid:90)
(cid:56) ∠𝐴𝐺𝐵
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶= (cid:56) = =90°(cid:56)
∴∠𝐴𝐸𝐻 (cid:72)∠(cid:25)𝐸𝐵(cid:26)𝐶(cid:27)(cid:26)∠𝐸(cid:28)𝐴(cid:90)𝐻 ∠𝐴𝐺𝐵
∴F△(cid:70)𝐴𝐸𝐻(cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)
∵ 𝐸𝐻1
= =
2
∴𝐴𝐹 𝐸𝐻 𝐸𝐹
= (cid:56)
∴∠𝐸𝐴𝐹 =∠𝐴𝐸𝐹+ = (cid:90)
∴∠𝐴𝐹𝐵 =∠𝐸𝐴𝐹 (cid:56)∠𝐴𝐸𝐹 =2∠𝐴𝐸𝐹(cid:56)
∵∠𝐴𝐵𝐸=2∠𝐸𝐵𝐶(cid:56)∠𝐴𝐸𝐻 ∠𝐸𝐵𝐶
∴∠𝐴𝐵𝐸= 2∠𝐴𝐸𝐻(cid:56)
∴∠𝐴𝐹=𝐵 (cid:90)∠𝐴𝐵𝐸
(cid:15)∴𝐴(cid:89)𝐵(cid:226)(cid:20)𝐴𝐹(cid:97)(cid:21)(cid:100)(cid:101)(cid:46)(cid:47)—(cid:319)(cid:320)(cid:46)(cid:47)(cid:179)(cid:177)(cid:178)(cid:33)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:179)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:321)(cid:26)(cid:103)(cid:104)(cid:179)(cid:58)(cid:165)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:105)(cid:75)(cid:43)(cid:103)(cid:104)(cid:179)(cid:25)(cid:26)
(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:56)(cid:50)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:111)(cid:70)(cid:76)(cid:50)(cid:21)(cid:155)(cid:56)(cid:312)(cid:313)(cid:250)(cid:24)(cid:189)(cid:11)(cid:153)(cid:154)(cid:50)(cid:51)(cid:54)(cid:21)(cid:90)
【题型7 利用直角三角形斜边的中线解决折叠问题】
(cid:15)(cid:79)7(cid:20)(cid:80)23-24(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:57)·(cid:135)(cid:223)(cid:322)(cid:220)·(cid:131)(cid:32)(cid:88)(cid:63)(cid:47)1(cid:56)(cid:55) (cid:32)(cid:56) =90°(cid:56) (cid:72) (cid:32)(cid:89)(cid:90)(cid:230) (cid:209)
(cid:323)(cid:52)(cid:56)(cid:114)(cid:117) (cid:80)(cid:63)(cid:47)2(cid:88)(cid:56) (cid:72) (cid:57)(cid:60)(cid:89)(cid:56)(cid:118)(cid:230)△𝐴𝐵𝐶 (cid:209)∠𝐴𝐶(cid:323)𝐵(cid:52)(cid:56)(cid:73)(cid:114)𝑀(cid:43)𝐴𝐵(cid:324)(cid:49)(cid:80)(cid:63)(cid:47)△3(cid:88)𝐴𝐶(cid:56)𝑀(cid:325)
(cid:166)𝐶𝑀(cid:128)(cid:232)(cid:132)(cid:62)(cid:326)(cid:21)△(cid:10)𝐷𝐶𝑀 (cid:199) 𝑃 𝐶𝐷 (cid:199) △𝐷𝑀=𝑃 𝑀𝑃(cid:199) 𝐷 (cid:90)𝐵(cid:327)(cid:32)(cid:254)(cid:78)(cid:31)(cid:70)(cid:80) (cid:88)
①𝐵𝑃∥𝐴𝐶 ②△𝑃𝐵𝐶≌△𝑃𝑀𝐶 ③∠𝐵𝑃𝐶 ∠𝐵𝑀𝐶 ④𝑃𝐶⊥𝐵𝑀A(cid:90) B(cid:90) C(cid:90) D(cid:90)
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:20)①C④ ②④ ①③ ①③④
(cid:15)(cid:95)(cid:96)(cid:20)(cid:112)(cid:113)(cid:52)(cid:53)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:114)(cid:117) = (cid:56) = (cid:56)(cid:58)(cid:238)(cid:292)(cid:293)(cid:114)(cid:117) = (cid:56)(cid:77)(cid:114) (cid:56)(cid:119)(cid:77)(cid:105)(cid:328)
(cid:199)(cid:329)(cid:330) (cid:56)(cid:112)∠(cid:113)𝐷(cid:275)(cid:58)∠𝐴(cid:27)(cid:26)∠(cid:28)𝐷(cid:31)(cid:103)∠𝑃(cid:104)𝐵(cid:114)𝐴(cid:117) = (cid:56)(cid:134)∠(cid:25)𝐴(cid:26)(cid:27)∠𝑃(cid:26)𝐵(cid:28)𝐴(cid:31)(cid:103)(cid:104)𝐵(cid:114)𝑃(cid:117)∥𝐴𝐶 = (cid:56)(cid:59)
①(cid:70)(cid:114)(cid:117) △𝑃𝐵(cid:43)𝐶≌△𝑃𝑀(cid:299)𝐶(cid:60)(cid:75)(cid:275)(cid:58)(cid:56)(cid:119)(cid:77)(cid:105)(cid:328) (cid:199)(cid:112)(cid:113)𝐵(cid:58)𝐶(cid:165)(cid:27)𝑀(cid:26)𝐶(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:114)(cid:117) = (cid:56)(cid:114)𝐵(cid:117)𝑀 𝐶𝑀
= △𝑃𝐵(cid:56)𝐶(cid:112)(cid:113)△(cid:27)𝑃𝑀(cid:26)𝐶(cid:28)(cid:31)(cid:164)(cid:26)(cid:106)(cid:114)(cid:117) =② (cid:56)(cid:119)(cid:77)(cid:105)(cid:328) (cid:199)(cid:329)(cid:330) 𝐶𝑀 (cid:56)𝐷(cid:114)𝑀(cid:117) = (cid:56)
∠(cid:134)𝐷(cid:25)(cid:26)∠(cid:27)𝑃𝐵(cid:26)𝐴(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:114)(cid:117) = (cid:56)(cid:114)(cid:117)∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝐵𝑀𝐶(cid:56)(cid:197)(cid:166) (cid:299)(cid:60)③(cid:75)(cid:58)(cid:59)3𝑃0𝐶°(cid:56)⊥(cid:114)𝐵𝑀(cid:117) (cid:299)(cid:60)∠(cid:75)𝐵𝐶(cid:193)𝑃(cid:25)(cid:59)∠𝐴 (cid:56)
(cid:119)(cid:77)(cid:105)(cid:328) (cid:90) 𝐴𝑀 𝐶𝑀 ∠𝐴 ∠𝐴𝐶𝑀 ∠𝐴 𝑃𝐶 𝐵𝑀
(cid:15)(cid:120)(cid:50)(cid:20)④(cid:50)(cid:10)(cid:63)(cid:128)(cid:47)(cid:56)
(cid:230) (cid:209) (cid:323)(cid:52)(cid:56)(cid:114)(cid:117) (cid:56)
△=𝐴𝐶𝑀(cid:56)𝐶𝑀 △𝐷𝐶𝑀
∴(cid:118)∠𝐷(cid:230) ∠𝐴 (cid:209) (cid:323)(cid:52)(cid:56)(cid:73)(cid:114) (cid:43) (cid:324)(cid:49)(cid:56)
∵ =△𝐷𝑀𝑃(cid:56)𝑀𝑃 𝐷 𝐵
∴∠𝐷= ∠𝑃𝐵𝐴(cid:56)
∴∠𝐴 ∠(cid:56)𝑃𝐵(cid:121)𝐴 (cid:254)(cid:78)(cid:199)
(cid:329)∴𝐵(cid:330)𝑃∥𝐴𝐶 ① (cid:56)(cid:92)(cid:163) = (cid:56)
(cid:55) △𝑃𝐵𝐶(cid:32)≌(cid:56)△𝑃𝑀𝐶 =90°(cid:56)𝐵𝐶 (cid:72)𝑀𝐶(cid:32)(cid:89)(cid:56)
∵ △=𝐴𝐵𝐶(cid:56) ∠𝐴𝐶𝐵 𝑀 𝐴𝐵
∴𝐵𝑀= 𝐶𝑀= (cid:56)
∴𝐵𝐶 𝐵𝑀 𝐶𝑀=60°(cid:56)(cid:116) (cid:299)(cid:60)(cid:75)(cid:58)(cid:59)60°(cid:56)
∴∠𝐴𝐵𝐶 (cid:43) ∠(cid:299)𝐴(cid:60)𝐵𝐶(cid:75)(cid:275)(cid:58)(cid:199)(cid:121) (cid:281)(cid:331)(cid:199)
∴△𝑃=𝐵𝐶 (cid:56)△𝑃𝑀𝐶 ②
∵𝐶𝑀=𝐴𝑀(cid:56)
∴𝐶𝑀= 𝐷𝑀 (cid:56)
∴∠𝐷=∠𝐷𝐶𝑀(cid:56)
∵∠𝐷= ∠𝑃(cid:56)𝐵𝐴
∴∠1 ∠=2 (cid:56)(cid:121) (cid:254)(cid:78)(cid:199)
∴(cid:329)∠(cid:330)𝐵𝑃𝐶 ∠𝐵𝑀(cid:56)𝐶(cid:92) ③= (cid:56)
(cid:55) 𝑃𝐶⊥𝐵(cid:32)𝑀(cid:56) ∠𝐵𝐶=𝑃90∠°(cid:56)𝐴 (cid:72) (cid:32)(cid:89)(cid:56)
∵ △=𝐴𝐵𝐶(cid:56) ∠𝐴𝐶𝐵 𝑀 𝐴𝐵
∴𝐴𝑀= 𝐶𝑀
∴∠𝐴 ∠=𝐴𝐶𝑀
∵∠𝐴𝐶𝑀= ∠𝐷𝐶𝑀= =30°(cid:56)
∴∠𝐵𝐶=𝑃30°∠(cid:56)𝐷(cid:116)𝐶𝑀 (cid:299)∠(cid:60)𝐴𝐶(cid:75)𝑀(cid:58)(cid:59)30°(cid:56)
∴∠𝐴(cid:299)(cid:60)(cid:75)(cid:193)(cid:25)∠(cid:59)𝐴 (cid:56)(cid:121) (cid:281)(cid:331)(cid:90)
∴(cid:48)𝑃(cid:57)𝐶(cid:189)(cid:332)(cid:56) (cid:70)𝐵(cid:160)𝑀(cid:326)(cid:21)④(cid:90)
(cid:121)(cid:122)(cid:10)C(cid:90) ①③
(cid:15)(cid:89)(cid:226)(cid:20)(cid:97)(cid:21)(cid:100)(cid:101)(cid:31)(cid:70)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:179)(cid:275)(cid:58)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:105)(cid:75)(cid:75)(cid:76)(cid:179)(cid:323)(cid:236)(cid:123)(cid:293)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:70)(cid:50)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:111)(cid:90)
(cid:15)(cid:123)(cid:124)7-1(cid:20)(cid:80)22-23(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:57)·(cid:135)(cid:223)(cid:82)(cid:156)·(cid:131)(cid:229)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:55)Rt (cid:32)(cid:56) =90°(cid:56) =54°(cid:56) (cid:70)(cid:29)(cid:30)
(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:56)(cid:230) (cid:209) (cid:323)(cid:52)(cid:56)(cid:73)(cid:89)B(cid:333)(cid:55)(cid:89)F(cid:334)(cid:56)(cid:33)△(cid:35)𝐴𝐵(cid:43)𝐶 (cid:190)∠(cid:191)𝐵𝐴(cid:59)𝐶(cid:89)E(cid:56)(cid:92)∠𝐶 (cid:31)(cid:37)(cid:141)𝐴𝐷(cid:72)(cid:80) (cid:88)
𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐹 𝐵𝐶 ∠𝐴𝐸𝐷
A(cid:90)120° B(cid:90)108° C(cid:90)72° D(cid:90)36°
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:20)C(cid:15)(cid:95)(cid:96)(cid:20)(cid:134)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:144)(cid:255)(cid:26)(cid:161)(cid:138)(cid:106)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:32)(cid:33)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:114) =36°(cid:56) = = (cid:119)(cid:77)(cid:114)(cid:117)
= =36°(cid:56)(cid:134)(cid:52)(cid:53)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:114) = =36∠°(cid:56)𝐵(cid:92) 𝐴=𝐷18°(cid:56)𝐵𝐷(cid:134)(cid:27)𝐶(cid:26)𝐷,(cid:28)(cid:321)(cid:26)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:119)(cid:77)(cid:114)(cid:117)
∠𝐵 (cid:31)∠𝐷(cid:37)𝐴𝐵(cid:141)(cid:90) ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐷𝐴𝐸 ∠𝐶𝐴𝐸
∠(cid:15)𝐴(cid:120)𝐸𝐷(cid:50)(cid:20)(cid:50)(cid:10) (cid:55)Rt (cid:32)(cid:56) =90°(cid:56) =54°(cid:56) (cid:70)(cid:29)(cid:30) (cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:56)
= ∵ = △𝐴𝐵𝐶=36∠°𝐵(cid:56)𝐴𝐶 = =∠𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶
∴∠𝐵=90°−∠𝐶=369°0(cid:56)°−54° 𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝐶𝐷,
∴(cid:230)∠𝐵 ∠𝐷𝐴(cid:209)𝐵 (cid:323)(cid:52)(cid:56)(cid:73)(cid:89)B(cid:333)(cid:55)(cid:89)F(cid:334)(cid:56)(cid:33)(cid:35) (cid:43) (cid:190)(cid:191)(cid:59)(cid:89)E(cid:56)
∵ △𝐴𝐵=𝐷 𝐴𝐷=36°(cid:56) 𝐴𝐹 𝐵𝐶
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐸 =18°(cid:56)
∴∠𝐶𝐴𝐸 =∠𝐵𝐴𝐶−+∠𝐵𝐴𝐷=−7∠2𝐷°(cid:90)𝐴𝐸
∴(cid:121)∠(cid:122)𝐴𝐸(cid:10)𝐷C ∠𝐶𝐴𝐸 ∠𝐶
(cid:15)(cid:89)(cid:226)(cid:20)(cid:198)(cid:21)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:52)(cid:53)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:179)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:179)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:321)(cid:26)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:58)(cid:153)(cid:154)(cid:56)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)
(cid:103)(cid:104)(cid:70)(cid:50)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:111)(cid:90)
(cid:15)(cid:123)(cid:124)7-2(cid:20)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:55) (cid:32)(cid:56) =90°(cid:56) (cid:56) (cid:95)(cid:146)(cid:72) (cid:56) (cid:57)(cid:60)(cid:89)(cid:56)(cid:230) (cid:56) (cid:209) (cid:56) (cid:323)(cid:52)(cid:56)
(cid:89) (cid:56) (cid:335)(cid:336)(cid:324)(cid:49)(cid:59)(cid:89)Δ(cid:334)𝐴𝐵(cid:56)𝐶(cid:91) ∠𝐴𝐶(cid:32)𝐵(cid:163)(cid:60)(cid:62)(cid:26)𝐷(cid:58)(cid:59)𝐸48°(cid:56)(cid:92)𝐴𝐵 𝐴=𝐶 (cid:90) Δ𝐵𝐶𝐷 Δ𝐴𝐷𝐸 𝐶𝐷 𝐷𝐸
𝐴 𝐵 𝑃 Δ𝑃𝐶𝐷 ∠𝐴
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:20)42°(cid:305)24°(cid:90)
(cid:15)(cid:95)(cid:96)(cid:20)(cid:134)(cid:52)(cid:53)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:114)(cid:166)AD(cid:256)PD(cid:256)BD(cid:56) CPD(cid:256) B(cid:56) PDC(cid:256) BDC(cid:56) PCD(cid:256) DCB(cid:56)(cid:134)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)
(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:103)(cid:104)(cid:114)(cid:166)CD(cid:256) 1AB(cid:256)AD(cid:256)BD(cid:56)(cid:134) ∠ (cid:58)(cid:165)(cid:27) ∠ (cid:26)(cid:28)(cid:31) ∠ (cid:103)(cid:104)(cid:114) ∠ (cid:166) ACD∠ (cid:256) A(cid:56) ∠DCB(cid:256) B(cid:56)(cid:118)(cid:95)(cid:27)(cid:337)(cid:338)
2
∠ ∠ ∠ ∠
(cid:339)(cid:340)(cid:276)(cid:119)(cid:77)(cid:90)
(cid:15)(cid:120)(cid:50)(cid:20)(cid:50)(cid:10)(cid:134)(cid:52)(cid:53)(cid:77)(cid:114)(cid:56)AD(cid:256)PD(cid:256)BD(cid:56) CPD(cid:256) B(cid:56) PDC(cid:256) BDC(cid:56) PCD(cid:256) DCB(cid:56)
D(cid:70)AB(cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56) ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
∴CD(cid:256) 1AB(cid:256)AD(cid:256)BD(cid:56)
2
∴ ACD(cid:256) A(cid:56) DCB(cid:256) B(cid:56)
∴∠ ∠ ∠ ∠(cid:147) CPD(cid:256)48°(cid:148)(cid:56) B(cid:256)48°(cid:56)
∠A(cid:256)90°− B(cid:256)42∠°(cid:199)
∴(cid:147)∠ PCD(cid:256)4∠8°(cid:148)(cid:56) DCB(cid:256) B(cid:256)48°(cid:56)
∠A(cid:256)42°(cid:199) ∠ ∠
∴(cid:147)∠ PDC(cid:256)48°(cid:148)(cid:56)(cid:92) PDC(cid:256) BDC(cid:256)48°(cid:56)
∠BDC(cid:256) A(cid:341) ACD∠(cid:56) ACD∠(cid:256) A(cid:56)
∵∠A(cid:256)1 B∠DC(cid:256) ∠
24°(cid:199)
∠ ∠
2
∴∠ ∠
(cid:121)(cid:93)(cid:94)(cid:72)(cid:10)42°(cid:305)24°(cid:90)
(cid:15)(cid:89)(cid:226)(cid:20)(cid:97)(cid:21)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:323)(cid:52)(cid:123)(cid:293)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:179)(cid:58)(cid:165)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:179)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:103)(cid:104)(cid:199)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:323)(cid:52)
(cid:123)(cid:293)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:106)(cid:58)(cid:165)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:70)(cid:50)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:111)(cid:90)
(cid:15)(cid:123)(cid:124)7-3(cid:20)(cid:80)24-25(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:57)·(cid:135)(cid:223)(cid:82)(cid:156)·(cid:131)(cid:229)(cid:88)(cid:63)(cid:47)(cid:56)(cid:55) (cid:32)(cid:56) =90°(cid:56)D(cid:70) (cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)(cid:342)
(cid:209)(cid:343) (cid:323)(cid:52)(cid:114)(cid:117) (cid:56)(cid:174)(cid:175) (cid:56)(cid:91) = (cid:56)(cid:92) △𝐴(cid:72)𝐵(cid:80)𝐶 (cid:88)∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 △𝐵𝐶𝐷
′ ′ ′
𝐵𝐷 △𝐵𝐶 𝐷 𝐴𝐶 ∠𝐶 𝛼 ∠𝐶 𝐴𝐵
1
A(cid:90) B(cid:90) C(cid:90) D(cid:90)
2
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:20)𝛼
B
90°−𝛼 180°−2𝛼 2𝛼−90°
(cid:15)(cid:95)(cid:96)(cid:20)(cid:180)(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:114) = = (cid:56)(cid:114) = = (cid:56)(cid:134)(cid:323)(cid:52)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:77)(cid:114)
′
= (cid:56)(cid:197)(cid:166) = (cid:56)(cid:112)(cid:113) =𝐴𝐷 𝐵(cid:56)𝐷(cid:134)(cid:27)𝐶𝐷(cid:26)(cid:28)(cid:321)∠(cid:26)𝐶𝐵(cid:103)𝐷(cid:104)(cid:114)∠𝐶 𝛼 = (cid:56)(cid:114) 𝐶 (cid:56)
′ ′ ′ ′ ′ ′
𝐷(cid:114) 𝐶‘𝐷 = ∠𝐴𝐶=𝐷 ∠𝐶(cid:90)𝐴𝐷 ∠𝐵𝐷𝐶 ∠𝐵𝐷𝐶 ∠𝐴𝐶 𝐷 ∠𝐵𝐷𝐶 𝐴𝐶 ∥𝐵𝐷
(cid:15)∠(cid:120)𝐶(cid:50)𝐴(cid:20)𝐵(cid:50)(cid:10)∠𝐴𝐵(cid:55)𝐷 90°−(cid:32)𝛼(cid:56) =90°(cid:56) = (cid:56)D(cid:70) (cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:56)
= = ∵ (cid:56)△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝛼 𝐴𝐶
∴𝐴𝐷 𝐵=𝐷 𝐶=𝐷 (cid:56)
∴∠𝐶𝐵𝐷 =∠𝐶 𝛼 = (cid:56)
∴(cid:134)∠(cid:52)𝐴𝐵(cid:53)𝐷(cid:153)(cid:56)∠𝐴𝐵𝐶=−∠𝐶𝐵(cid:56)𝐷 90°−𝛼
′
= (cid:56)𝐶 𝐷 𝐶𝐷
′
∴𝐶 𝐷 𝐴𝐷= (cid:56)
′ ′
∴∠𝐴𝐶 𝐷+ ∠𝐶 𝐴𝐷= + (cid:56)(cid:143) = (cid:56)
′ ′ ′ ′
∵∠𝐴𝐶 𝐷=∠𝐶 𝐴𝐷(cid:56)∠𝐵𝐷𝐶 ∠𝐵𝐷𝐶 ∠𝐵𝐷𝐶 ∠𝐵𝐷𝐶
′ ′
∴∠𝐴𝐶 𝐷 (cid:56)∠𝐵𝐷𝐶
′
∴𝐴𝐶‘ ∥𝐵=𝐷 = (cid:90)
∴(cid:121)∠(cid:122)𝐶(cid:10)𝐴𝐵B(cid:90)∠𝐴𝐵𝐷 90°−𝛼
(cid:15)(cid:89)(cid:226)(cid:20)(cid:97)(cid:21)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:323)(cid:52)(cid:90)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:323)(cid:52)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:56)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:31)(cid:103)(cid:104)(cid:56)(cid:58)(cid:165)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:31)
(cid:105)(cid:75)(cid:106)(cid:103)(cid:104)(cid:56)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:321)(cid:26)(cid:103)(cid:104)(cid:56)(cid:177)(cid:178)(cid:33)(cid:31)(cid:105)(cid:75)(cid:106)(cid:103)(cid:104)(cid:56)(cid:70)(cid:50)(cid:21)(cid:3)(cid:111)(cid:90)
