专题1.2一定是直角三角形吗(讲义)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》8上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》8上(北师大)

专题 1.2 一定是直角三角形吗（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)2024(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:20)............................................................................................................2
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:20)....................................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:23)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:20)........................................................................................................................6
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:40)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:46)(cid:20)............................................................................................9
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:53)(cid:54)(cid:20)..............................................................................................................11
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:55)(cid:56)(cid:20)..............................................................................................................15
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:49)(cid:20)..............................................................................................................20
(cid:15)(cid:21)(cid:22)8 (cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:62)(cid:63)(cid:53)(cid:64)(cid:20)......................................................................................................24
(cid:15)(cid:21)(cid:22)9 (cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:54)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:47)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:40)(cid:20)..........................................................................28
知识点1 直角三角形的判别条件
1. (cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:8)(cid:12) (cid:13) (cid:13) (cid:14)(cid:15) + = (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:20)(cid:21)(cid:9)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
2 2 2
(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:3)(cid:33)(cid:11)(cid:34)(cid:3)(cid:33)(cid:35) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
2. (cid:24)(cid:36)(cid:37)(cid:19)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:20)(cid:38)(cid:30)(cid:21)(cid:9)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:39)(cid:40)(cid:5)
(cid:41)(cid:9)(cid:42)(cid:43)(cid:24)(cid:36) (cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:44)(cid:45)(cid:37)(cid:19)(cid:9)(cid:20)(cid:21)(cid:9)(cid:13)(cid:46)(cid:47)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:44)(cid:45)(cid:48)(cid:19)(cid:9)(cid:49)(cid:50)
(cid:41)(cid:12)(cid:51)(cid:43)(cid:24)(cid:36) (cid:48)(cid:26)(cid:52)(cid:53)(cid:12)(cid:11)(cid:54)(cid:39)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:51)(cid:12)(cid:11)(cid:54)(cid:39)
知识点2 勾股数
1. (cid:31)(cid:32)(cid:59)
(cid:3)(cid:4) (cid:14)(cid:15) + = (cid:11)(cid:8)(cid:19)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:13)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:59)
2 2 2
(cid:8)𝑎(cid:19)(cid:59)(cid:62)𝑏 (cid:20)(cid:60)𝑐(cid:61)(cid:59)
(cid:14)(cid:15)(cid:26)(cid:27)
①(cid:48)(cid:19)(cid:52)(cid:63)(cid:61)(cid:59)(cid:11)(cid:54)(cid:39)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:64)(cid:61)(cid:59)(cid:11)(cid:54)(cid:39)
②(cid:31)(cid:32)(cid:59)(cid:11)(cid:61)(cid:59)(cid:67)(cid:68)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:59)(cid:13)(cid:6)3(cid:13)4(cid:13)5(cid:11)2(cid:67)6(cid:13)8(cid:13)10(cid:68)
(cid:65)(cid:66)
(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:59). 全
科AA+
号★
众
公
注
关
源 ， (cid:13) (cid:13) +1(cid:22) (cid:64)(cid:57)1(cid:11)(cid:72)(cid:73)(cid:59)(cid:35)(cid:74)
资
辅
(cid:69)(cid:70)(cid:10)(cid:71)教
2 2
①𝑛 −(cid:13)1 2𝑛 (cid:13)𝑛 +1𝑛(cid:22)n(cid:30)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:35)(cid:56)
2 2
2. (cid:24)(cid:36)(cid:31)(cid:32)(cid:59)(cid:11)(cid:39)(cid:40)(cid:75)②(cid:76)4𝑛: 4𝑛 −1 4𝑛(1)(cid:77)(cid:3)(cid:8)(cid:19)(cid:20)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:74)
(2)(cid:77)(cid:3)(cid:58)(cid:64)(cid:11)(cid:59)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:48)(cid:19)(cid:52)(cid:63)(cid:11)(cid:59)(cid:13)(cid:82)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:58)(cid:64)(cid:11)(cid:59)(cid:11)(cid:54)(cid:39)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:48)(cid:19)(cid:52)(cid:63)(cid:11)(cid:59)(cid:11)(cid:54)(cid:39)(cid:55)(cid:74)
(3)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:52)(cid:13)(cid:88)(cid:58)(cid:64)(cid:59)(cid:11)(cid:54)(cid:39)(cid:56)(cid:57)(cid:80)(cid:81)(cid:48)(cid:19)(cid:52)(cid:63)(cid:59)(cid:11)(cid:54)(cid:39)(cid:55)(cid:13)(cid:89)(cid:20)(cid:31)(cid:32)(cid:59),(cid:38)(cid:89)(cid:90)(cid:20)(cid:72)
【题型1 判断三边能否构成直角三角形】
(cid:15)(cid:73)1(cid:20)(cid:74)2025·(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)·(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:68)(cid:47)(cid:45)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:42)(cid:84)(cid:68)(cid:88)12(cid:47)(cid:86)(cid:87)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:27)(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:25)(cid:32)(cid:33)
(cid:47)(cid:96)(cid:74) (cid:81)
A(cid:72)6(cid:97)9 B(cid:72)9(cid:97)15 C(cid:72)10(cid:97)16 D(cid:72)15(cid:97)18
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)B
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:106)(cid:107)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:108)(cid:109)(cid:23)(cid:24)(cid:97)(cid:110)(cid:111)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:96)(cid:54)(cid:21)
(cid:47)(cid:3)(cid:112)(cid:72)
(cid:15)(cid:113)(cid:54)(cid:20)(cid:54)(cid:10)A(cid:114)6 +9 12 (cid:97)(cid:115)(cid:27)(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:115)(cid:119)(cid:63)(cid:21)(cid:120)(cid:121)
2 2 2
B(cid:114)9 +12 =15 (cid:97)(cid:27)(cid:95)≠(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:63)(cid:21)(cid:120)(cid:121)
2 2 2
C(cid:114)10 +12 16 (cid:97)(cid:115)(cid:27)(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:115)(cid:119)(cid:63)(cid:21)(cid:120)(cid:121)
2 2 2
D(cid:114)12 +15 ≠ 18 (cid:97)(cid:115)(cid:27)(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:115)(cid:119)(cid:63)(cid:21)(cid:120)(cid:121)
2 2 2
(cid:116)(cid:117)(cid:10)B(cid:72) ≠
(cid:15)(cid:122)(cid:123)1-1(cid:20)(cid:74)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:82)·(cid:127)(cid:16)(cid:128)(cid:129)·(cid:130)(cid:39)(cid:81)(cid:131)(cid:82)(cid:83)(cid:132)(cid:95)(cid:36)(cid:88)(cid:26)(cid:84)(cid:97)(cid:109)(cid:131)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:96)(cid:74)(cid:133)(cid:133)(cid:81)
A(cid:72)2(cid:97)3(cid:97)4 B(cid:72)3(cid:97)4(cid:97)6 C(cid:72)6(cid:97)8(cid:97)10 D(cid:72)7(cid:97)24(cid:97)26
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)C
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:134)(cid:135)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:54)(cid:21)(cid:47)(cid:3)(cid:112)(cid:96)(cid:110)(cid:111)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:72)(cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)
(cid:51)(cid:136)(cid:118)(cid:137)(cid:138)(cid:23)(cid:24)(cid:108)(cid:109)(cid:72)
(cid:15)(cid:113)(cid:54)(cid:20)(cid:54)(cid:10)A. 2 +3 =13(cid:97)4 =16(cid:97)2 +3 4 (cid:97)
2 2 2 2 2 2
(cid:139)(cid:117)(cid:118)(cid:25)(cid:140)(cid:36)(cid:107)∵(cid:115)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:116)(cid:115)(cid:119)(cid:63)(cid:21)(cid:120)≠(cid:121)
∴B. 3 +4 =25(cid:97)6 =36(cid:97)3 +4 6 (cid:97)
2 2 2 2 2 2
(cid:139)(cid:117)∵ (cid:118)(cid:25)(cid:140)(cid:36)(cid:107)(cid:115)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)≠(cid:116)(cid:115)(cid:119)(cid:63)(cid:21)(cid:120)(cid:121)
∴C. 6 +8 =100(cid:97)10 =100(cid:97)6 +8 =10 (cid:97)
(cid:139)(cid:117)∵ (cid:118)
2
(cid:25)(cid:140)
2
(cid:36)(cid:107)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)
2
(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)
2
(cid:116)(cid:119)
2
(cid:63)(cid:21)科(cid:120)
2 (cid:121)AA+
全
号★
众
公
注
∴D. 7 +24 =625(cid:97)2，6关=676(cid:97)7 +24 26 (cid:97)
源
资
辅
2 教2 2 2 2 2
(cid:139)(cid:117)∵ (cid:118)(cid:25)(cid:140)(cid:36)(cid:107)(cid:115)(cid:115)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:116)(cid:115)≠(cid:119)(cid:63)(cid:21)(cid:120)(cid:121)
∴(cid:116)(cid:117)(cid:10)C(cid:72)(cid:15)(cid:122)(cid:123)1-2(cid:20)(cid:74)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:82)·(cid:141)(cid:142)(cid:77)(cid:143)·(cid:130)(cid:39)(cid:81)(cid:43)(cid:44)a(cid:114)b(cid:114)c(cid:96)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:25)(cid:26)(cid:84)(cid:97)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:147)( ) +( 12)
2 2
+| |=0(cid:97)(cid:148)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:33)(cid:149)(cid:96)(cid:74) (cid:81) 𝑎−9 𝑏−
A𝑐−(cid:72)1(cid:31)5 (cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33) B(cid:72)(cid:150)(cid:26)(cid:25)(cid:32)(cid:33)
C(cid:72)(cid:151)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33) D(cid:72)(cid:152)(cid:42)(cid:153)(cid:115)(cid:93)(cid:150)(cid:47)(cid:150)(cid:153)(cid:25)(cid:32)(cid:33)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)A
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:134)(cid:135)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:36)(cid:47)(cid:157)(cid:158)(cid:97)(cid:159)(cid:140)(cid:155)(cid:156)(cid:36)(cid:47)(cid:154)(cid:88)0(cid:97)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:159)(cid:140)(cid:155)(cid:156)(cid:36)(cid:47)(cid:64)(cid:163)(cid:88)0(cid:97)
(cid:107)(cid:164)(cid:109)(cid:165) =0(cid:97) =0(cid:97) =0(cid:97)(cid:148) =9(cid:97) =12(cid:97) =15(cid:97)(cid:137)(cid:166)(cid:109)(cid:55)(cid:56) + = (cid:97)(cid:148)(cid:139)(cid:25)
2 2 2
(cid:32)(cid:33)(cid:96)(cid:31)𝑎(cid:32)−(cid:25)9(cid:32)(cid:33)(cid:72)𝑏−12 𝑐−15 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
(cid:15)(cid:113)(cid:54)(cid:20)(cid:54)(cid:10) ( ) +( 12) +| |=0(cid:97)( ) 0(cid:97)( 12) 0(cid:97)| | 0(cid:97)
2 2 2 2
( ) =( ∵1𝑎2−)9=| 𝑏−|=0(cid:97)𝑐−15 𝑎−9 ≥ 𝑏− ≥ 𝑐−15 ≥
2 2
∴ 𝑎−9=0(cid:97)𝑏− =0(cid:97)𝑐−15 =0(cid:97)
∴𝑎−=99(cid:97) =𝑏−121(cid:97)2 =15𝑐(cid:97)−15
∴𝑎 + 𝑏=9 +1𝑐2 =81+144=225(cid:97) =15 =225(cid:97)
2 2 2 2 2 2
∴𝑎 +𝑏 = (cid:97) 𝑐
2 2 2
∴(cid:139)𝑎 (cid:25)(cid:32)𝑏(cid:33)(cid:96)𝑐(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)
∴(cid:116)(cid:117)(cid:10)A(cid:72)
(cid:15)(cid:122)(cid:123)1-3(cid:20)(cid:74)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:82)·(cid:167)(cid:168)(cid:25)(cid:56)·(cid:130)(cid:39)(cid:81)(cid:43)(cid:44) (cid:97) (cid:97) (cid:96) (cid:47)(cid:25)(cid:85)(cid:26)(cid:97)(cid:148)(cid:82)(cid:83)(cid:85)(cid:169)(cid:27)(cid:23)(cid:50)
(cid:88)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:96)(cid:74) (cid:81) 𝑎 𝑏 𝑐 △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:72) =1:2:3 B(cid:72)( + ) +( ) =2
2 2 2
C(cid:72)𝑎:𝑏:𝑐 =2:3:4 D(cid:72) 𝑎 =𝑏 =𝑎−𝑏 𝑐
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)∠𝐴B:∠𝐵:∠𝐶 ∠𝐴 ∠𝐵 2∠𝐶
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:134)(cid:135)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:131)(cid:60)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:170)(cid:32)(cid:154)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:171)(cid:172)(cid:59)(cid:49)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:96)(cid:54)(cid:21)(cid:47)
(cid:3)(cid:112)(cid:72)
(cid:106)(cid:107)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:131)(cid:60)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:170)(cid:32)(cid:154)(cid:50)(cid:51)(cid:136)(cid:118)(cid:100)(cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:108)(cid:109)(cid:54)(cid:98)(cid:72)
(cid:15)(cid:113)(cid:54)(cid:20)(cid:54)(cid:10)A(cid:72)(cid:173) =1:2:3(cid:97)(cid:174) = = = (cid:97)(cid:148) +4 9 (cid:97)(cid:108) + (cid:97)(cid:27)(cid:23)(cid:50)
2 2 2 2 2 2
(cid:115)(cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:115)𝑎(cid:63):𝑏:(cid:21)𝑐 (cid:120)(cid:121) 𝑎 𝑘,𝑏
科
2𝑘,
A
𝑐
A
3+𝑘 𝑘 𝑘 ≠ 𝑘 𝑎 𝑏 ≠𝑐 △𝐴𝐵𝐶
全
号★
众
B(cid:72)(cid:173)( + ) +( ) =2 注 (cid:109)公(cid:165) + = (cid:97)(cid:27)(cid:23)(cid:50) (cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:119)(cid:63)(cid:21)(cid:120)(cid:121)
关
，
源
2 辅 资 2 2 2 2 2
C(cid:72)(cid:173) 𝑎 𝑏教 =𝑎2−:𝑏3:4(cid:109)(cid:165)𝑐 =4𝑎0°(cid:97)𝑏 =𝑐60°(cid:97) =△80𝐴°(cid:97)𝐵𝐶(cid:115)(cid:27)(cid:23)(cid:50) (cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:115)(cid:63)(cid:21)(cid:120)(cid:121)
D(cid:72)(cid:173)∠𝐴:∠=𝐵:∠𝐶= (cid:109)(cid:165) ∠𝐴=72°(cid:97) ∠𝐵=72°(cid:97) ∠𝐶=36°(cid:97)(cid:115)(cid:27)(cid:23)(cid:50) △𝐴𝐵(cid:96)𝐶(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:115)(cid:63)(cid:21)(cid:120)(cid:72)
∠𝐴 ∠𝐵 2∠𝐶 ∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶 △𝐴𝐵𝐶(cid:116)(cid:117)(cid:10)B(cid:72)
【题型2 勾股数】
(cid:15)(cid:73)2(cid:20)(cid:74)2023·(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:175)·(cid:39)(cid:103)(cid:176)(cid:21)(cid:81)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:96)(cid:177)(cid:27)(cid:30)(cid:88)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:25)(cid:85)(cid:26)(cid:84)(cid:47)(cid:25)(cid:140)(cid:178)(cid:179)(cid:36)(cid:97)(cid:180)(cid:181)(cid:41)(cid:182)(cid:183)(cid:92)
(cid:184)(cid:185)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:7)(cid:123)(cid:47)(cid:96)(cid:39)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:36)(cid:11)(cid:189)(cid:71)(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:72)(cid:196)(cid:197)(cid:34)(cid:35)(cid:36)a(cid:97)b(cid:97)c(cid:97)(cid:61)(cid:39) (cid:97) (cid:198)(cid:199)(cid:200) (cid:97) = 1
2
2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑚 −
1 (cid:97) = 1 + 1 (cid:97) (cid:96)(cid:18)(cid:200)1(cid:47)(cid:201)(cid:36)(cid:97)(cid:148) = (cid:74)(cid:49)(cid:202) (cid:47)(cid:123)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:81)(cid:72)
2 2 2
2
(cid:15)(cid:98)𝑐(cid:99)(cid:20)𝑚 𝑚 𝑏 𝑚
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)𝑚(cid:106)(cid:107)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:157)(cid:158)(cid:97)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:199)(cid:200)(cid:206)(cid:26)(cid:165)(cid:207) (cid:97) (cid:88)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:97) (cid:88)(cid:206)(cid:26)(cid:97)(cid:106)(cid:107)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:108)(cid:109)(cid:165)(cid:207)
(cid:47)(cid:64)(cid:72) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑏
(cid:15)(cid:113)(cid:54)(cid:20)(cid:54)(cid:10)(cid:173)(cid:200)(cid:196)(cid:197)(cid:34)(cid:35)(cid:36)a(cid:97)b(cid:97)c(cid:97)(cid:61)(cid:39) (cid:97) (cid:198)(cid:199)(cid:200) (cid:97)
(cid:97) (cid:88)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:97) (cid:88)(cid:206)(cid:26)(cid:97) 𝑎 𝑏 𝑐
∴ 𝑎+𝑏 = (cid:97) 𝑐
2 2 2
∴𝑎 ( 1 𝑏 1 ) 𝑐 + =( 1 + 1 ) (cid:97)
2 2 2 2 2 2
2 2 2
(cid:165) ∴ (cid:207) 1𝑚 − 1 + 𝑏 1 + = 𝑚 1 + 1 + 1 (cid:97)
4 2 4 4 2 4
4 2 2 4 2
=
𝑚 −(cid:97)𝑚 𝑏 𝑚 𝑚
2 2
∴𝑏=±𝑚(cid:97)
∴𝑏 (cid:96)(cid:18)𝑚(cid:200)1(cid:47)(cid:201)(cid:36)(cid:97)
∵ 𝑚= (cid:72)
(cid:116)∴(cid:98)𝑏 (cid:99)𝑚(cid:88)(cid:10) (cid:72)
(cid:15)(cid:46)(cid:208)(cid:20)(cid:102)𝑚(cid:21)(cid:103)(cid:104)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:59)(cid:49)(cid:97)(cid:100)(cid:209)(cid:210) (cid:97) (cid:88)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:97) (cid:88)(cid:206)(cid:26)(cid:96)(cid:54)(cid:21)(cid:47)(cid:3)(cid:112)(cid:72)
(cid:15)(cid:122)(cid:123)2-1(cid:20)(cid:74)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:82)·(cid:211)(cid:77)(cid:212)(cid:213)·(cid:130)(cid:39)𝑎(cid:81)𝑏(cid:214)(cid:186)(cid:96)(cid:215)(cid:216)(cid:105)𝑐(cid:54)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:186)(cid:217)(cid:218)(cid:183)(cid:97)(cid:219)(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:200)(cid:214)(cid:186)(cid:187)(cid:188)
(cid:189)(cid:223)(cid:47)(cid:36)(cid:11)(cid:189)(cid:71)(cid:190)(cid:212)(cid:224)(cid:193)(cid:225)(cid:195)(cid:39)(cid:97)(cid:82)(cid:83)(cid:132)(cid:95)(cid:36)(cid:39)(cid:97)(cid:96)“(cid:34)(cid:35)(cid:36)”(cid:47)(cid:96)(cid:74) (cid:81)
A(cid:72)5(cid:97)12(cid:97)11 B(cid:72)6(cid:97)8(cid:97)10 C(cid:72)7(cid:97)8(cid:97)9 D(cid:72)15(cid:97)17(cid:97)18
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)B
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:103)(cid:104)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:97)(cid:171)(cid:44)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:47)(cid:50)(cid:226)(cid:96)(cid:178)(cid:227)(cid:54)(cid:98)(cid:164)(cid:21)(cid:47)(cid:3)(cid:112)(cid:72)(cid:106)(cid:107)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:47)(cid:50)(cid:226)(cid:97)(cid:25)(cid:140)(cid:178)(cid:179)(cid:36)(cid:97)
科AA+
全
(cid:45)(cid:140)(cid:228)(cid:199)(cid:36)(cid:47)(cid:229)(cid:230)(cid:154)(cid:150)(cid:200)(cid:228)(cid:18)(cid:36)(cid:47)(cid:229)(cid:230)号(cid:97)(cid:162)★(cid:25)(cid:140)(cid:178)(cid:179)(cid:36)(cid:29)(cid:30)(cid:183)(cid:95)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:97)(cid:137)(cid:138)(cid:23)(cid:50)(cid:108)(cid:109)(cid:72)
众
公
注
关
，
源
(cid:15)(cid:113)(cid:54)(cid:20)(cid:54)(cid:10)A辅(cid:114)5资+11 12 (cid:97)(cid:116)(cid:115)(cid:96)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:97)(cid:115)(cid:119)(cid:63)(cid:21)(cid:120)(cid:121)
教
2 2 2
B(cid:114)6 +8 =10 (cid:97)(cid:116)(cid:96)(cid:34)≠(cid:35)(cid:36)(cid:97)(cid:119)(cid:63)(cid:21)(cid:120)(cid:121)
2 2 2C(cid:114)7 +8 9 (cid:97)(cid:116)(cid:115)(cid:96)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:97)(cid:115)(cid:119)(cid:63)(cid:21)(cid:120)(cid:121)
2 2 2
D(cid:114)15 +17≠ 18 (cid:97)(cid:116)(cid:115)(cid:96)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:97)(cid:115)(cid:119)(cid:63)(cid:21)(cid:120)(cid:97)
2 2 2
(cid:116)(cid:117)(cid:10)B(cid:72) ≠
(cid:15)(cid:122)(cid:123)2-2(cid:20)(cid:74)23-24(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:82)·(cid:211)(cid:16)(cid:231)(cid:50)·(cid:130)(cid:39)(cid:81)(cid:232)8(cid:97)15(cid:97) (cid:96)(cid:183)(cid:95)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:97)(cid:148) (cid:47)(cid:64)(cid:88) (cid:72)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)17 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:47)(cid:50)(cid:226)(cid:97)(cid:100) (cid:88)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:154)(cid:206)(cid:26)(cid:45)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:100)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:97)(cid:239)(cid:173)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:47)(cid:50)(cid:226)(cid:165)(cid:185)(cid:98)(cid:99)
(cid:108)(cid:109)(cid:97)(cid:54)(cid:21)(cid:3)(cid:112)(cid:96)(cid:110)(cid:111)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:47)(cid:50)(cid:226)(cid:96)(cid:109)𝑥(cid:131)(cid:29)(cid:30)(cid:183)(cid:140)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:47)(cid:183)(cid:95)(cid:178)(cid:179)(cid:36)(cid:72)
(cid:15)(cid:113)(cid:54)(cid:20)(cid:54)(cid:10)(cid:240) (cid:88)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:241)(cid:97) =161(cid:97)x(cid:115)(cid:96)(cid:178)(cid:179)(cid:36)(cid:97)(cid:115)(cid:119)(cid:63)(cid:21)(cid:120)(cid:97)
2
(cid:240) (cid:88)(cid:206)(cid:26)(cid:241)(cid:97) 𝑥=17(cid:97)(cid:96)(cid:178)(cid:179)(cid:36)𝑥 (cid:97)(cid:119)(cid:63)(cid:21)(cid:120)(cid:97)
(cid:62)𝑥(cid:41)(cid:97)(cid:232)8(cid:97)15𝑥(cid:97) (cid:96)(cid:183)(cid:95)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:97)(cid:148) (cid:47)(cid:64)(cid:88)17(cid:97)
(cid:116)(cid:98)(cid:99)(cid:88)(cid:10)17(cid:72) 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:122)(cid:123)2-3(cid:20)(cid:74)22-23(cid:242)(cid:125)(cid:126)(cid:41)·(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:246)·(cid:130)(cid:39)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:247)(cid:248)(cid:10)
(cid:249)(cid:88)0.6(cid:97)0.8(cid:97)1(cid:115)(cid:96)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:97)(cid:250)(cid:131)(cid:131)0.6(cid:97)0.8(cid:97)1(cid:88)(cid:26)(cid:47)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:115)(cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)
①(cid:232)a(cid:97)b(cid:97)c(cid:96)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:97)(cid:251) > (cid:97) > (cid:97)(cid:148)(cid:252)(cid:197) + =
2 2 2
②(cid:249)(cid:131)0.5(cid:97)1.2(cid:97)1.3(cid:88)(cid:26)(cid:84)𝑐(cid:47)(cid:25)𝑏(cid:32)(cid:33)𝑐 (cid:96)𝑎(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)𝑎(cid:97)(cid:250)𝑏(cid:131)0.𝑐5(cid:97)1.2(cid:97)1.3(cid:96)(cid:34)(cid:35)(cid:36)
③(cid:232)(cid:25)(cid:140)(cid:179)(cid:36)a(cid:97)b(cid:97)c(cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:25)(cid:85)(cid:26)(cid:97)(cid:148) (cid:97) (cid:97) (cid:252)(cid:96)(cid:34)(cid:35)(cid:36)
④(cid:61)(cid:39)(cid:178)(cid:227)(cid:47)(cid:96) (cid:74)(cid:253)(cid:254)(cid:9)(cid:81)(cid:72) 3𝑎 3𝑏 3𝑐
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20) /
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:255)②(cid:23)④(cid:24)④(cid:96)②(cid:28)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:97)(cid:252)(cid:256)(cid:106)(cid:107)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:96)(cid:178)(cid:179)(cid:36)(cid:97)(cid:257)(cid:241)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:55)(cid:45)(cid:199)(cid:26)(cid:47)(cid:229)(cid:230)(cid:154)(cid:96)(cid:28)(cid:150)(cid:200)(cid:215)(cid:84)(cid:26)
(cid:47)(cid:229)(cid:230)(cid:72)
(cid:15)(cid:113)(cid:54)(cid:20)(cid:54)(cid:10) (cid:261)(cid:262)0.6(cid:97)0.8(cid:97)1(cid:115)(cid:96)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:97)(cid:263)(cid:96)0.6 +0.8 =1 (cid:97)(cid:250)(cid:131)(cid:131)0.6(cid:97)0.8(cid:97)1(cid:88)(cid:26)(cid:47)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:96)
2 2 2
(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)①(cid:116) (cid:247)(cid:248)(cid:264)(cid:265)(cid:121)
(cid:232)a(cid:97)b(cid:97)c(cid:96)①(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:97)(cid:251) > (cid:97) > (cid:97)(cid:148)(cid:252)(cid:197) + = (cid:97)(cid:116) (cid:247)(cid:248)(cid:178)(cid:227)(cid:121)
2 2 2
②(cid:249)(cid:88)0.5(cid:97)1.2(cid:97)1.3(cid:163)(cid:115)(cid:96)𝑐(cid:178)(cid:179)𝑏(cid:36)(cid:97)𝑐 (cid:250)𝑎(cid:131)0.5(cid:97)1.2𝑎(cid:97)1.3𝑏(cid:115)(cid:96)𝑐(cid:34)(cid:35)(cid:36)②(cid:97)(cid:116) (cid:247)(cid:248)(cid:264)(cid:265)(cid:121)
③(cid:232)(cid:25)(cid:140)(cid:179)(cid:36)a(cid:97)b(cid:97)c(cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:25)(cid:26)(cid:84)(cid:97)(cid:148) (cid:97) (cid:97) (cid:183)(cid:50)(cid:96)(cid:34)(cid:35)③(cid:36)(cid:97)(cid:116) (cid:247)(cid:248)(cid:178)(cid:227)(cid:72)
(cid:116)④(cid:98)(cid:99)(cid:88)(cid:10) (cid:72)
科A
3𝑎 A+3𝑏 3𝑐 ④
全
号★
众
(cid:15)(cid:46)(cid:208)(cid:20)(cid:102)②(cid:21)(cid:134)④(cid:135)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:34)(cid:35)(cid:36) 注 (cid:10)公(cid:146)(cid:147) + = (cid:47)(cid:25)(cid:140)(cid:178)(cid:179)(cid:36)(cid:97)(cid:266)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:4)(cid:120)(cid:10)(cid:25)(cid:140)(cid:36)(cid:252)(cid:256)(cid:96)(cid:178)(cid:179)
关
，
源
辅 资 2 2 2
(cid:36)(cid:97)(cid:73)(cid:144)(cid:10)2教.5(cid:114)6(cid:114)6.5(cid:146)(cid:147) + = 𝑎(cid:97)(cid:263)𝑏(cid:96)(cid:219)𝑐(cid:267)(cid:115)(cid:96)(cid:178)(cid:179)(cid:36)(cid:97)(cid:250)(cid:131)(cid:219)(cid:267)(cid:115)(cid:96)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:72)
2 2 2
𝑎 𝑏 𝑐【题型3 网格中判断直角三角形】
(cid:15)(cid:73)3(cid:20)(cid:144)(cid:40)(cid:97)(cid:268)(cid:183)(cid:140)6×6(cid:47)(cid:178)(cid:230)(cid:33)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:97)(cid:197)(cid:25)(cid:140)(cid:38)(cid:46)(cid:25)(cid:32)(cid:33)((cid:269)(cid:46)(cid:268)(cid:37)(cid:38)(cid:47)(cid:270)(cid:46)(cid:41))(cid:97)(cid:61)(cid:39)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)
(cid:140)(cid:36)(cid:96) (cid:74) (cid:81)
A(cid:72)0 B(cid:72)1 C(cid:72)2 D(cid:72)3
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)C
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:106)(cid:107)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:136)(cid:140)(cid:23)(cid:24)(cid:108)(cid:109)(cid:121)
(cid:15)(cid:113)(cid:54)(cid:20)(cid:144)(cid:40)(cid:250)(cid:205)(cid:10)
=2 +1 =5(cid:97) =3 +1 =10(cid:97) =2 +1 =5(cid:97)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
∵𝐴𝐵 + = (cid:97) 𝐴𝐶 𝐵𝐶
2 2 2
∴𝐴𝐵 𝐵(cid:96)𝐶(cid:31)(cid:32)𝐴(cid:25)𝐶(cid:32)(cid:33)(cid:121)
∴△𝐴𝐵=𝐶3 +1 =10(cid:97) =2 +1 =5(cid:97) =3 +2 =13(cid:97)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
∵𝐷𝐸 + (cid:97) 𝐸𝐹 𝐷𝐹
2 2 2
∴𝐷𝐹 𝐸(cid:115)𝐹(cid:96)≠(cid:31)𝐷(cid:32)𝐹(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:121)
∴△𝐷𝐸=𝐹3 +3 =18(cid:97) =2 +2 =8(cid:97) =5 +1 =26(cid:97)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
∵𝑃𝑀 + = (cid:97) 𝑁𝑀 𝑃
科
𝑁 AA+
全
2 2 2 号★
众
∴𝑃𝑀 𝑀(cid:96)𝑁(cid:31)(cid:32)𝑃(cid:25)𝑁(cid:32)(cid:33)(cid:121) 注 公
关
，
源
资
辅
(cid:116)∴△(cid:98)𝑃(cid:99)𝑀(cid:117)𝑁C(cid:72)教
(cid:15)(cid:46)(cid:208)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:134)(cid:135)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:59)(cid:49)(cid:97)(cid:271)(cid:227)(cid:272)(cid:193)(cid:96)(cid:54)(cid:21)(cid:47)(cid:3)(cid:112)(cid:72)(cid:15)(cid:122)(cid:123)3-1(cid:20)(cid:74)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:41)·(cid:167)(cid:168)(cid:273)(cid:274)·(cid:275)(cid:87)(cid:172)(cid:276)(cid:81)(cid:144)(cid:40)(cid:250)(cid:205)(cid:97)(cid:268)4×4(cid:47)(cid:178)(cid:230)(cid:33)(cid:37)(cid:38)(cid:40)(cid:39)(cid:97)(cid:199)(cid:178)(cid:230)(cid:33)(cid:47)(cid:269)
(cid:46)(cid:266)(cid:88)(cid:38)(cid:46)(cid:97) (cid:47)(cid:269)(cid:46)(cid:163)(cid:268)(cid:38)(cid:46)(cid:41)(cid:97)(cid:277)(cid:140)(cid:199)(cid:178)(cid:230)(cid:33)(cid:47)(cid:26)(cid:84)(cid:198)(cid:88)1(cid:97)(cid:148) (cid:47)(cid:33)(cid:149)(cid:278)(cid:279)(cid:215)(cid:271)(cid:227)(cid:47)(cid:96)(cid:74) (cid:81)
△𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:72)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33) B(cid:72)(cid:150)(cid:153)(cid:25)(cid:32)(cid:33) C(cid:72)(cid:150)(cid:153)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33) D(cid:72)(cid:150)(cid:26)(cid:25)(cid:32)(cid:33)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)C
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:72)(cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:100)(cid:280)(cid:53)(cid:185)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:47)(cid:84)(cid:68)(cid:97)(cid:239)(cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)
(cid:50)(cid:51)(cid:108)(cid:109)(cid:53)(cid:54)(cid:72)
(cid:15)(cid:113)(cid:54)(cid:20)(cid:54)(cid:10) (cid:26)(cid:84)(cid:88)1(cid:47)(cid:178)(cid:230)(cid:33)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:97)(cid:46)A(cid:97)B(cid:97)C(cid:198)(cid:268)(cid:38)(cid:46)(cid:41)(cid:97)
=2 +∵4 =20(cid:97) =1 +3 =10(cid:97) =1 +3 =10(cid:97)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
∴𝐴𝐵 + = (cid:97) 𝐴𝐶 𝐵𝐶
2 2 2
∴𝐴𝐶 𝐵=𝐶90°(cid:251)𝐴𝐵 = (cid:97)
∴∠𝐴𝐶𝐵(cid:88)(cid:150)(cid:153)(cid:31)𝐴(cid:32)𝐶(cid:25)(cid:32)𝐵𝐶(cid:33)(cid:97)
(cid:116)∴△(cid:117)𝐴(cid:10)𝐵C𝐶(cid:72)
(cid:15)(cid:122)(cid:123)3-2(cid:20)(cid:74)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:41)·(cid:281)(cid:186)·(cid:130)(cid:39)(cid:81)(cid:144)(cid:40)(cid:250)(cid:205)(cid:47)(cid:96)(cid:178)(cid:230)(cid:33)(cid:37)(cid:38)(cid:97)(cid:148) = °(cid:74)(cid:46) (cid:97) (cid:97)
(cid:97) (cid:97) (cid:88)(cid:37)(cid:38)(cid:86)(cid:270)(cid:46)(cid:81)(cid:72) ∠𝑀𝐷𝐶−∠𝑀𝐴𝐵 𝐴 𝐵
𝐶 𝐷 𝑀
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)45
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:150)(cid:153)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:157)(cid:158)(cid:97)(cid:54)(cid:21)(cid:47)(cid:3)(cid:112)(cid:96)(cid:110)(cid:111)(cid:93)(cid:3)(cid:44)(cid:282)(cid:283)(cid:36)(cid:33)(cid:284)(cid:63)(cid:72)(cid:268)
(cid:31)(cid:86) (cid:41)(cid:285)(cid:46) (cid:97)(cid:286)(cid:165) = (cid:97)(cid:94)(cid:287) (cid:97)(cid:288)(cid:46) (cid:71) (cid:97)(cid:270) (cid:47)(cid:289)(cid:84)(cid:86)(cid:200)(cid:46) (cid:97)(cid:165)(cid:207)
科AA+
全
𝐴𝐵= 𝐸(cid:97)(cid:290)(cid:185)𝐸𝑀 𝐷𝑀 =号𝐷𝐸★ (cid:97)(cid:106)𝐸(cid:107)(cid:34)𝐸𝐹(cid:35)⊥(cid:50)𝐶𝐷(cid:51)(cid:47)(cid:52)𝐶(cid:50)𝐷(cid:51)(cid:55)(cid:56) 𝐷(cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:284)(cid:63)
众
公
注
关
，
源
∠𝑀𝐴=𝐵 ∠(cid:97)𝐸(cid:108)𝐷𝐹(cid:109)辅(cid:53)资(cid:54)(cid:72)∠𝑀𝐷𝐶−∠𝑀𝐴𝐵 ∠𝐸𝐷𝑀 △𝐷𝐸𝑀
教
(cid:15)𝐸𝑀(cid:113)(cid:54)𝐷(cid:20)𝑀(cid:54)(cid:10)(cid:144)(cid:40)(cid:97)(cid:268)(cid:31)(cid:86) (cid:41)(cid:285)(cid:46) (cid:97)(cid:286)(cid:165) = (cid:97)(cid:94)(cid:287) (cid:97)(cid:288)(cid:46) (cid:71) (cid:97)(cid:270) (cid:47)(cid:289)(cid:84)(cid:86)(cid:200)(cid:46) (cid:97)
𝐴𝐵 𝐸 𝐸𝑀 𝐷𝑀 𝐷𝐸 𝐸 𝐸𝐹⊥𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝐹(cid:173)(cid:40)(cid:109)(cid:44)(cid:97) = (cid:97)
∠𝑀𝐴𝐵 =∠𝐸𝐷𝐹 = (cid:97)
∴ ∠𝑀𝐷𝐶=−∠𝑀𝐴=𝐵 1 ∠+𝑀2𝐷𝐶=−∠5(cid:97)𝐸𝐷𝐹 =∠𝐸1𝐷𝑀+3 =10(cid:97)
2 2 2 2 2 2 2
∵ 𝑀𝐸 + 𝑀𝐷 = (cid:97) 𝐷𝐸
2 2 2
∴ 𝐸𝑀 𝐷(cid:96)𝑀(cid:31)(cid:32)𝐷(cid:25)𝐸(cid:32)(cid:33)(cid:97)
∴ △𝐷=𝐸𝑀 (cid:97)
∵ 𝐸𝑀 𝐷=𝑀45°(cid:97)(cid:108) =45°
(cid:116)∴(cid:98)∠(cid:99)𝐸𝐷(cid:88)𝑀(cid:10)45(cid:72) ∠𝑀𝐷𝐶−∠𝑀𝐴𝐵
(cid:15)(cid:122)(cid:123)3-3(cid:20)(cid:74)2025·(cid:211)(cid:16)(cid:291)(cid:246)·(cid:80)(cid:292)(cid:293)(cid:294)(cid:81)(cid:40)(cid:96)(cid:173)(cid:199)(cid:178)(cid:230)(cid:33)(cid:295)(cid:30)(cid:47)(cid:37)(cid:38)(cid:97) (cid:45)(cid:46)(cid:198)(cid:268)(cid:38)(cid:46)(cid:41)(cid:97) (cid:45)(cid:46)(cid:198)(cid:88)
(cid:199)(cid:178)(cid:230)(cid:33)(cid:183)(cid:26)(cid:47)(cid:39)(cid:46)(cid:97)(cid:31)(cid:86) (cid:42)(cid:31)(cid:86) (cid:270)(cid:200)(cid:46) (cid:97)(cid:148) =(cid:74) (cid:81) 𝐴,𝐵 𝐶,𝐷
𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐸 ∠𝐵𝐸𝐷
A(cid:72)60° B(cid:72)75° C(cid:72)90° D(cid:72)105°
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)C
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:103)(cid:104)(cid:229)(cid:296)(cid:47)(cid:157)(cid:158)(cid:97)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:175)(cid:288)(cid:229)(cid:296)(cid:97)(cid:297)(cid:46)C(cid:114)D(cid:296)(cid:207)(cid:38)(cid:46)(cid:96)(cid:298)(cid:21)(cid:47)(cid:3)(cid:112)(cid:72)
1
(cid:297) (cid:299)(cid:82)(cid:229)(cid:296)(cid:183)(cid:38)(cid:97)(cid:239)(cid:299)(cid:300)(cid:229)(cid:296) (cid:38)(cid:97)(cid:165)(cid:207) (cid:97)(cid:94)(cid:287) (cid:97)(cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:55)(cid:56) =90°(cid:97)(cid:108)
2
(cid:109)𝐶(cid:173)𝐷(cid:229)(cid:138)(cid:86)(cid:47)(cid:157)(cid:158)(cid:53)(cid:165) = =90 𝐺 °(cid:97)𝐹(cid:301)(cid:166)(cid:53)𝐺(cid:165)𝐵 (cid:72) ∠𝐵𝐹𝐺
(cid:15)(cid:113)(cid:54)(cid:20)(cid:54)(cid:10)(cid:144)(cid:40)(cid:97)(cid:229)(cid:296)∠𝐵𝐸𝐶(cid:302) ∠𝐵(cid:303)𝐹(cid:97)𝐺(cid:148) (cid:198)(cid:268)(cid:178)(cid:230)(cid:33)(cid:38)∠𝐵(cid:46)𝐸(cid:41)𝐷(cid:97)(cid:94)(cid:287) (cid:97)
𝐶𝐷 𝐹𝐺 𝐹,𝐺 𝐺𝐵
科AA+
全
号★
众
公
注
关
，
源
资
辅
(cid:174)(cid:199)(cid:178)(cid:230)(cid:33)(cid:47)教(cid:26)(cid:84)(cid:88)1(cid:97)(cid:173)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:165)(cid:10)
=1 +2 =5(cid:97) =1 +2 =5(cid:97) =1 +3 =10(cid:97)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
𝐵𝐹 𝐺𝐹 𝐵𝐺+ =
2 2 2
∴𝐵𝐹 𝐺=𝐹90° 𝐵𝐺
∴(cid:229)∠𝐵(cid:296)𝐹𝐺 (cid:302) (cid:303)(cid:97)(cid:72)
∵ 𝐶𝐷 𝐹𝐺
∴𝐶𝐷∥𝐺𝐹= =90°
∴∠𝐵𝐸𝐶 =∠90𝐵°𝐹𝐺
∴(cid:116)∠(cid:117)𝐵𝐸(cid:10)𝐷C(cid:72)
【题型4 图形上与已知两点构成直角三角形的点】
(cid:15)(cid:73)4(cid:20)(cid:46) A(cid:74)2(cid:97)m(cid:81)(cid:97)B(cid:74)2(cid:97)m-5(cid:81)(cid:268)(cid:229)(cid:304)(cid:31)(cid:32)(cid:305)(cid:306)(cid:307)(cid:39)(cid:97)(cid:46)O(cid:88)(cid:305)(cid:306)(cid:308)(cid:46)(cid:72)(cid:232) ABO(cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)
(cid:148)m(cid:47)(cid:64)(cid:115)(cid:109)(cid:27)(cid:96)(cid:74) (cid:81) △
A(cid:72)4 B(cid:72)2 C(cid:72)1 D(cid:72)0
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)B
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:100) OAB(cid:309)90°(cid:97) OBA(cid:309)90°(cid:97) AOB(cid:309)90°(cid:25)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:103)(cid:310)(cid:10)(cid:240) OAB(cid:309)90°(cid:241)(cid:97)(cid:46)A(cid:268)x(cid:311)(cid:41)(cid:97)(cid:137)(cid:166)
(cid:109)(cid:165)(cid:185)m(cid:309)∠0(cid:121)(cid:240) OBA(cid:309)∠90°(cid:241)(cid:97)(cid:46)B(cid:268)∠x(cid:311)(cid:41)(cid:97)(cid:137)(cid:166)(cid:109)(cid:165)(cid:185)m(cid:309)5(cid:121)(cid:240)∠ AOB(cid:309)90°(cid:241)(cid:97)(cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:109)(cid:165)
(cid:185)(cid:3)(cid:200)m(cid:47)(cid:183)(cid:312)(cid:79)∠(cid:92)(cid:230)(cid:313)(cid:97)(cid:54)(cid:218)(cid:108)(cid:109)(cid:165)(cid:185)m(cid:47)(cid:64)(cid:72)(cid:62)(cid:41)(cid:97)(cid:314)(cid:315)(cid:141)(cid:140)(cid:117)(cid:118)∠(cid:108)(cid:109)(cid:165)(cid:185)(cid:284)(cid:238)(cid:72)
(cid:15)(cid:113)(cid:54)(cid:20)
(cid:54)(cid:10)(cid:100)(cid:25)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:103)(cid:310)(cid:74)(cid:144)(cid:40)(cid:250)(cid:205)(cid:81)(cid:10)
(cid:240) OAB(cid:309)90°(cid:241)(cid:97)m(cid:309)0(cid:121) 科AA+
全
号★
众
(cid:240)∠OBA(cid:309)90°(cid:241)(cid:97)m−5(cid:309)0(cid:97)(cid:54)
注
(cid:165)公(cid:10)m(cid:309)5(cid:121)
关
，
源
资
辅
(cid:240)∠AOB(cid:309)9教0°(cid:241)(cid:97)AB2(cid:309)OA2(cid:316)OB2(cid:97)(cid:108)25(cid:309)4(cid:316)m2(cid:316)4(cid:316)m2−10m(cid:316)25(cid:97)
(cid:54)∠(cid:165)(cid:10)m (cid:309)1(cid:97)m (cid:309)4(cid:72)
1 2(cid:62)(cid:41)(cid:250)(cid:279)(cid:10)m(cid:47)(cid:64)(cid:109)(cid:131)(cid:88)0(cid:97)5(cid:97)1(cid:97)4(cid:72)
(cid:116)(cid:117)B(cid:72)
(cid:15)(cid:46)(cid:208)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:305)(cid:306)(cid:42)(cid:40)(cid:33)(cid:157)(cid:158)(cid:131)(cid:60)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:100) OAB(cid:309)90°(cid:97) OBA(cid:309)90°(cid:97) AOB(cid:309)90°(cid:25)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:53)
(cid:185)m(cid:47)(cid:64)(cid:96)(cid:54)(cid:21)(cid:47)(cid:3)(cid:112)(cid:72) ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:122)(cid:123)4-1(cid:20)(cid:43)(cid:44)(cid:46) (cid:47)(cid:305)(cid:306)(cid:88)(3,5)(cid:97)(cid:46) (cid:268) (cid:311)(cid:41)(cid:97)(cid:251) =13(cid:97)(cid:160)(cid:161)(cid:46) (cid:47)(cid:305)(cid:306)(cid:88) .
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)( )(cid:317)(1𝐴5,0) 𝐵 𝑥 𝐴𝐵 𝐵
−9,0
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:91)(cid:92)B(cid:11)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:30)t(cid:13)(cid:96)(cid:97)(cid:48)(cid:92)(cid:98)(cid:11)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:71)(cid:102)(cid:103) +5 =13(cid:13)(cid:41)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)t(cid:11)(cid:109).
2 2
(cid:15)(cid:113)(cid:54)(cid:20)(cid:110)(cid:5)(cid:91)(cid:92)B(cid:11)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:30)t(cid:13) (3−𝑡)
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:102) +5 =169(cid:13)(cid:115) =12.
2 2 2
(cid:116)(cid:106)3-t=12((cid:46)3−3𝑡-)t=-12(cid:117) (3−𝑡)
t=-9(cid:46)t=15.
∴(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:30)( )(cid:317)(15,0)(cid:72)
(cid:15)(cid:122)(cid:123)4-2−(cid:20)9(cid:268),0(cid:229)(cid:304)(cid:31)(cid:32)(cid:305)(cid:306)(cid:307)(cid:39)(cid:97)(cid:46)A(cid:47)(cid:305)(cid:306)(cid:88)(1(cid:97)1)(cid:97)(cid:46)B(cid:47)(cid:305)(cid:306)(cid:88)(11(cid:97)1)(cid:97)(cid:46)C(cid:207)(cid:31)(cid:86)AB(cid:47)(cid:318)(cid:319)(cid:88)
5(cid:97)(cid:251) ABC(cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:148)(cid:146)(cid:147)(cid:85)(cid:169)(cid:47)C(cid:46)(cid:197)((cid:133)(cid:133))
A(cid:72)△4(cid:140) B(cid:72)5(cid:140) C(cid:72)6(cid:140) D(cid:72)8(cid:140)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)C
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:240) A=90°(cid:241)(cid:97)(cid:146)(cid:147)(cid:85)(cid:169)(cid:47)C(cid:46)2(cid:140)(cid:121)(cid:240) B=90°(cid:241)(cid:97)(cid:146)(cid:147)(cid:85)(cid:169)(cid:47)C(cid:46)2(cid:140)(cid:121)(cid:240) C=90°(cid:241)(cid:97)(cid:146)(cid:147)(cid:85)
(cid:169)(cid:47)C(cid:46)2∠(cid:140)(cid:72)(cid:250)(cid:131)(cid:320)(cid:197)6(cid:140)(cid:72) ∠ ∠
(cid:15)(cid:113)(cid:54)(cid:20) (cid:46)A(cid:97)B(cid:47)(cid:321)(cid:305)(cid:306)(cid:93)(cid:150)(cid:97)
AB x(cid:311)∵(cid:97)
∴(cid:46)C∥ (cid:207)AB(cid:318)(cid:319)(cid:88)5(cid:97)AB=10(cid:97)
∵(cid:46)C(cid:268)(cid:229)(cid:138)(cid:200)AB(cid:47)(cid:45)(cid:85)(cid:31)(cid:86)(cid:41)(cid:97)
∴(cid:288)(cid:46)A(cid:47)(cid:322)(cid:86)(cid:42)(cid:160)(cid:45)(cid:85)(cid:31)(cid:86)(cid:197)2(cid:140)(cid:270)(cid:46)(cid:97)(cid:288)(cid:46)B(cid:47)(cid:322)(cid:86)(cid:42)(cid:160)(cid:45)(cid:85)(cid:31)(cid:86)(cid:197)2(cid:140)(cid:270)(cid:46)(cid:97)(cid:131)AB(cid:88)(cid:31)(cid:323)(cid:47)(cid:324)(cid:42)(cid:160)
∴(cid:45)(cid:85)(cid:31)(cid:86)(cid:197)(cid:325)(cid:197)2(cid:140)(cid:270)(cid:46)(cid:74)(cid:162)(cid:45)(cid:140)(cid:45)(cid:46)(cid:268)(cid:86)(cid:87)AB(cid:47)(cid:322)(cid:31)(cid:229)(cid:100)(cid:86)(cid:41)(cid:81)(cid:97)
(cid:146)(cid:147)(cid:85)(cid:169)(cid:47)C(cid:46)(cid:320)(cid:97)6(cid:140)(cid:72)
∴(cid:116)(cid:117)C(cid:72)
科AA+
全
号★
众
公
注
(cid:15)(cid:46)(cid:208)(cid:20)(cid:49)(cid:207)(cid:47)(cid:44)(cid:282)(cid:46)(cid:88)，(cid:10)关(cid:207)(cid:183)(cid:85)(cid:31)(cid:86)(cid:318)(cid:319)(cid:88)(cid:326)(cid:140)(cid:50)(cid:64)(cid:47)(cid:31)(cid:86)(cid:197)(cid:45)(cid:85)(cid:72) ABC(cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:219)(cid:47)(cid:327)(cid:120)(cid:183)
源
资
辅
教
(cid:140)(cid:269)(cid:46)(cid:163)(cid:197)(cid:109)(cid:27)(cid:88)(cid:31)(cid:32)(cid:269)(cid:46)(cid:72) △
(cid:15)(cid:122)(cid:123)4-3(cid:20)(cid:46) (cid:268) (cid:311)(cid:41)(cid:97) (4,1)(cid:114) (1,4)(cid:97)(cid:144)(cid:145) (cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:53)(cid:46) (cid:47)(cid:305)(cid:306)(cid:72)
𝑃 𝑦 𝐴 𝐵 △𝐴𝐵𝑃 𝑃(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(cid:46) (cid:47)(cid:305)(cid:306)(cid:88)(0,3)(cid:317)( )
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:21)𝑃(cid:103)(cid:104)(cid:47)(cid:96)(cid:45)(cid:46)(cid:318)(cid:319)0,(cid:42)−3(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:106)(cid:107)A(cid:114)B(cid:305)(cid:306)(cid:29)(cid:328)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:329)(cid:49)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:330)(cid:318)(cid:319)
(cid:7)(cid:123)(cid:97)(cid:100)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:108)(cid:109)(cid:53)(cid:185)(cid:46)P(cid:305)(cid:306)
(cid:15)(cid:113)(cid:54)(cid:20)(cid:174)(cid:46) (cid:47)(cid:305)(cid:306)(cid:88)( )(cid:97)(cid:100)(cid:45)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:10)
(cid:240)(cid:46) (cid:88)(cid:31)(cid:32)𝑃(cid:269)(cid:46)(cid:241)(cid:97)(cid:46)0,𝑥(cid:268) (cid:311)(cid:178)(cid:331)(cid:311)(cid:97)
①(cid:71) 𝐵(cid:311)(cid:200) (cid:97) (cid:311)(cid:200)𝑃 (cid:97)𝑦 (cid:311)(cid:200) (cid:97)(cid:144)(cid:40)(cid:250)(cid:205)(cid:10)
𝐴𝐷⊥𝑦 𝐷 𝐵𝐸⊥𝑦 𝐸 𝐵𝐹⊥𝑥 𝐹
(cid:173)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:165) + = (cid:97)
2 2 2
(cid:108)1 +( ) +𝑃3𝐵 +𝐴3𝐵=(𝑃𝐴 ) +4 (cid:97)(cid:54)(cid:165) =3(cid:97)
2 2 2 2 2 2
(cid:46) (cid:47)(cid:305)4(cid:306)−𝑥(cid:88)(0,3)(cid:72) 𝑥−1 𝑥
∴ (cid:240)𝑃(cid:46) (cid:88)(cid:31)(cid:32)(cid:269)(cid:46)(cid:241)(cid:97)(cid:46) (cid:268) (cid:311)(cid:156)(cid:331)(cid:311)(cid:97)(cid:71) (cid:311)(cid:200) (cid:97) (cid:311)(cid:200) (cid:97)(cid:144)(cid:40)(cid:250)(cid:205)(cid:10)
② 𝐴 𝑃 𝑦 𝐴𝐷⊥𝑦 𝐷 𝐵𝐸⊥𝑦 𝐸
(cid:173)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:165) + = (cid:97)
2 2 2
(cid:108)4 +( ) +𝑃3𝐴 +𝐴3𝐵=(𝑃𝐵 ) +1 (cid:97)(cid:54)(cid:165) = (cid:97)
2 2 2 2 2 2
(cid:46) (cid:47)(cid:305)1(cid:306)−𝑥(cid:88)( )(cid:72) 4−𝑥 𝑥 −3
∴(cid:62)(cid:41)𝑃(cid:250)(cid:279)(cid:97)(cid:144)(cid:145)0,−3 (cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:160)(cid:161)(cid:46) (cid:47)(cid:305)(cid:306)(cid:88)(0,3)(cid:317)( )(cid:72)
(cid:15)(cid:46)(cid:208)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:47)(cid:3)△(cid:112)𝐴𝐵(cid:96)𝑃(cid:100)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:46)P(cid:47)(cid:234)(cid:235)(cid:97)(cid:283)𝑃(cid:332)(cid:333)(cid:329)(cid:49)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)0,(cid:154)−3(cid:45)(cid:46)(cid:330)(cid:318)(cid:319)(cid:7)(cid:123)(cid:72)
【题型5 利用勾股定理的逆定理求解】
科AA+
全
(cid:15)(cid:73)5(cid:20)(cid:74)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:82)·(cid:167)(cid:168)(cid:334)(cid:335)·(cid:130)号(cid:39)(cid:81)★(cid:144)(cid:40)(cid:97)(cid:268) (cid:39)(cid:97) =90°(cid:97) = (cid:97) (cid:96) (cid:170)(cid:47)
众
公
注
关
，
源
(cid:183)(cid:46)(cid:97)(cid:251) =辅1(cid:97)资=2(cid:97) =3(cid:97)(cid:148) (cid:47)(cid:68)(cid:36)(cid:88)△(cid:74)𝐴(cid:133)𝐵𝐶(cid:133)(cid:81) ∠𝐴𝐶𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝑃 △𝐴𝐵𝐶
教
𝑃𝐵 𝑃𝐶 𝑃𝐴 ∠𝐵𝑃𝐶A(cid:72)120° B(cid:72)135° C(cid:72)140° D(cid:72)150°
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)B
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:134)(cid:135)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:336)(cid:337)(cid:47)(cid:157)(cid:158)(cid:97)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:150)(cid:153)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:23)(cid:50)(cid:42)(cid:157)(cid:158)(cid:97)(cid:171)(cid:221)(cid:132)(cid:157)(cid:158)(cid:283)(cid:71)
(cid:338)(cid:339)(cid:86)(cid:29)(cid:328)(cid:185)(cid:150)(cid:153)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:154)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:96)(cid:54)(cid:21)(cid:47)(cid:3)(cid:112)(cid:72)
(cid:297) (cid:340) (cid:46)(cid:336)(cid:337)90°(cid:97)(cid:106)(cid:107)(cid:336)(cid:337)(cid:47)(cid:157)(cid:158)(cid:109)(cid:165)(cid:185) =45°(cid:97)(cid:106)(cid:107)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:109)(cid:55)(cid:185) =90°(cid:97)(cid:301)(cid:166)(cid:109)
(cid:165)(cid:185)△(cid:98)𝐴𝐶(cid:99)𝑃(cid:72)𝐶 ∠𝑄𝑃𝐶 ∠𝑃𝐵𝑄
(cid:15)(cid:113)(cid:54)(cid:20)(cid:144)(cid:40)(cid:97)(cid:297) (cid:340) (cid:46)(cid:336)(cid:337)90°(cid:97)(cid:165) (cid:97)(cid:94)(cid:287) (cid:97)
△𝐴𝐶𝑃 𝐶 △𝐵𝐶𝑄 𝑃𝑄
(cid:173)(cid:336)(cid:337)(cid:47)(cid:157)(cid:158)(cid:109)(cid:44)(cid:10)Rt Rt (cid:97) =90°(cid:97)
= =2(cid:97) = △𝐴=𝐶3𝐵(cid:97)∽ △𝑃=𝐶𝑄 ∠𝑃(cid:97)𝐶𝑄
∴𝐶𝑄 =𝐶𝑃 + 𝐵𝑄=8𝑃(cid:97)𝐴(cid:251) ∠𝑄=𝐵4𝐶5°(cid:97)∠𝑃𝐴𝐶
2 2 2
(cid:268)∴𝑃𝑄 𝐶(cid:39)𝑄(cid:97)𝐶𝑃 + =∠8𝑄+𝑃1𝐶=9(cid:97)
2 2
△𝐵+𝑃𝑄 =𝑃𝐵 (cid:97)𝑃𝑄
2 2 2
∴𝑃𝐵 𝑃=𝑄90°(cid:97)𝐵𝑄
∴∠𝑄𝑃𝐵= + =135°(cid:72)
∴(cid:116)∠(cid:117)𝐵𝑃B𝐶(cid:72) ∠𝑄𝑃𝐵 ∠𝑄𝑃𝐶
(cid:15)(cid:122)(cid:123)5-1(cid:20)(cid:74)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:41)·(cid:341)(cid:75)(cid:342)(cid:274)·(cid:130)(cid:39)(cid:81)(cid:144)(cid:40)(cid:97)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:343)(cid:344) (cid:47)(cid:25)(cid:26)(cid:84)(cid:100)(cid:280)(cid:88) =6(cid:97) =8(cid:97)
=10(cid:97)(cid:196)(cid:297)(cid:26) (cid:345) (cid:346)(cid:347)(cid:97)(cid:286)(cid:219)(cid:348)(cid:268)(cid:26) (cid:41)(cid:97)(cid:46) (cid:42)(cid:46) (cid:349)(cid:63)(cid:97)𝐴𝐵(cid:53)𝐶 (cid:47)(cid:84)(cid:72) 𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐵
科AA
𝐶+ 𝐸 𝐶𝐷
全
号★
众
公
注
关
，
源
资
辅
教(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)3
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:114)(cid:346)(cid:347)(cid:350)(cid:21)(cid:97)(cid:171)(cid:172)(cid:110)(cid:111)(cid:157)(cid:158)(cid:50)(cid:51)(cid:96)(cid:54)(cid:21)(cid:47)(cid:3)(cid:112)(cid:72)
(cid:351)(cid:106)(cid:107)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:165)(cid:185) (cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97) =90°(cid:97)(cid:239)(cid:106)(cid:107)(cid:346)(cid:347)(cid:165)(cid:185)
= = =90°(cid:97)△(cid:262)(cid:352)𝐴𝐵(cid:174)𝐶 = = (cid:97)(cid:106)∠𝐴(cid:107)𝐶(cid:34)𝐵 (cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:108)(cid:109)(cid:165)(cid:185)(cid:98)(cid:99)(cid:72)
(cid:15)𝐴𝐸(cid:113)(cid:54)𝐴(cid:20)𝐶(cid:54)(cid:10)6,∠(cid:268)𝐴𝐸𝐷 (cid:39)(cid:97) = 𝐷𝐸 =𝐶𝐷 =𝑥 10(cid:97)
+ = △𝐴(cid:97)𝐵𝐶 𝐴𝐶 6,𝐵𝐶 8,𝐴𝐵
2 2 2
∴𝐴𝐶 𝐵(cid:96)𝐶(cid:31)(cid:32)(cid:25)𝐴𝐵(cid:32)(cid:33)(cid:97) =90°(cid:97)
∴△𝐴𝐵𝐶(cid:96) (cid:353)(cid:346)(cid:166)∠(cid:30)𝐴(cid:97)𝐶𝐵
∵△𝐴𝐸=𝐷 △=𝐴𝐶𝐷 =90°(cid:97)
(cid:174)∴𝐴𝐸 =𝐴𝐶 =6,(cid:97)∠𝐴𝐸𝐷
𝐷𝐸= 𝐶𝐷 𝑥 = =4(cid:97)
(cid:268)∴R𝐵t𝐸 𝐴𝐵−(cid:39)𝐴(cid:97)𝐸 10−=6 + (cid:97)(cid:108)( ) =4 + (cid:97)
2 2 2 2 2 2
(cid:54)(cid:165)△=𝐵3𝐷(cid:72)𝐸 𝐵𝐷 𝐷𝐸 𝐵𝐸 8−𝑥 𝑥
(cid:116)CD𝑥(cid:47)(cid:84)(cid:88)3(cid:72)
(cid:15)(cid:122)(cid:123)5-2(cid:20)(cid:144)(cid:40)(cid:97)(cid:268)(cid:141)(cid:26)(cid:33)ABCD(cid:39)(cid:97)AB(cid:10)BC(cid:10)CD(cid:10)DA=2(cid:10)2(cid:10)3(cid:10)1(cid:97)(cid:251) ABC=90°(cid:97)(cid:148) DAB(cid:47)(cid:68)(cid:36)
(cid:96) °(cid:72) ∠ ∠
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)135°
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:173)(cid:43)(cid:44)(cid:109)(cid:165)AB=BC(cid:97)(cid:301)(cid:166)(cid:109)(cid:53)(cid:165) BAC(cid:47)(cid:68)(cid:36).(cid:174)AB(cid:309)2x (cid:97)(cid:175)(cid:288)(cid:272)(cid:193)(cid:55)(cid:56)AC2+AD2=CD2(cid:97)(cid:301)(cid:166)
(cid:55)(cid:165) ACD(cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:108)(cid:109)(cid:165)(cid:207) DAC∠=90°(cid:97)(cid:301)(cid:166)(cid:53)(cid:165) DAB(cid:47)(cid:68)(cid:36)(cid:72)
(cid:15)(cid:113)(cid:54)△(cid:20)(cid:54)(cid:10) AB(cid:10)BC(cid:10)CD(cid:10)DA=2(cid:10)∠ 2(cid:10)3(cid:10)1(cid:97)(cid:251) ABC=∠90°(cid:97)
AB=BC(cid:97) ∵ ∠
科AA+
全
∴ BAC= ACB=45°(cid:97) 号★
众
公
注
关
，
源
∴∠(cid:174)AB(cid:309)∠2x(cid:97)(cid:148)辅B资C(cid:309)2x(cid:97)CD=3x(cid:97)DA=x,
教
∴AC2=AB2+BC2=(2x)2+(2x)2=8x2
∴(cid:354)CD2-AD2=(3x)2-x2=8x2
AC2= CD2-AD2
∴AC2+AD2=CD2
∵ ACD(cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)
∴△DAC=90°(cid:97)
∴∠DAB=45°+90°=135°(cid:72)
∴(cid:116)∠(cid:98)(cid:99)(cid:96)(cid:10)135°.
(cid:15)(cid:46)(cid:208)(cid:20)(cid:164)(cid:21)(cid:134)(cid:135)(cid:103)(cid:104)(cid:11)(cid:355)(cid:314)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:51)(cid:54)(cid:154)(cid:329)(cid:49)(cid:27)(cid:356)(cid:97)(cid:178)(cid:227)(cid:165)(cid:185) DAC=90°(cid:96)(cid:54)(cid:21)(cid:3)(cid:112)(cid:72)
(cid:15)(cid:122)(cid:123)5-3(cid:20)(cid:74)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:82)·(cid:357)(cid:358)(cid:63)(cid:359)·(cid:130)(cid:39)(cid:81)(cid:144)(cid:40)(cid:97)(cid:268) (cid:39)∠(cid:97) = = = (cid:47)(cid:229)(cid:100)(cid:86)
(cid:270) (cid:200)(cid:46) (cid:97)(cid:46) (cid:97) (cid:100)(cid:280)(cid:88)(cid:86)(cid:87) (cid:97)(cid:26) (cid:41)(cid:47)(cid:360)(cid:46)(cid:72)(cid:148)△𝑂𝐴𝐵+ (cid:47)𝑂𝐴(cid:215)(cid:199)3(cid:64),𝑂(cid:88)𝐵(cid:74)(cid:133)4,(cid:133)𝐴𝐵(cid:81) 5,∠𝑂𝐴𝐵
𝐴𝐶 𝑂𝐵 𝐶 𝑃 𝑄 𝐴𝐶 𝑂𝐴 𝑂𝑃 𝑃𝑄
A(cid:72)2 B(cid:72)2.4 C(cid:72)2.5 D(cid:72)2.6
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)B
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:32)(cid:229)(cid:100)(cid:86)(cid:47)(cid:157)(cid:158)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:322)(cid:86)(cid:87)(cid:215)(cid:361)(cid:97)(cid:311)(cid:314)(cid:266)(cid:47)(cid:157)(cid:158)(cid:97)(cid:171)(cid:172)(cid:110)(cid:111)(cid:44)(cid:282)
(cid:46)(cid:97)(cid:48)(cid:49)(cid:311)(cid:314)(cid:266)(cid:157)(cid:158)(cid:53)(cid:54)(cid:215)(cid:64)(cid:350)(cid:21)(cid:96)(cid:54)(cid:21)(cid:47)(cid:3)(cid:112)(cid:72)
(cid:351)(cid:173)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:165)(cid:207) (cid:97)(cid:71) (cid:270) (cid:200)(cid:46) (cid:97)(cid:106)(cid:107)(cid:32)(cid:229)(cid:100)(cid:86)(cid:157)(cid:158)(cid:50)(cid:51)(cid:165)(cid:207) = (cid:97)(cid:239)(cid:173)(cid:150)
(cid:304)(cid:362)(cid:248)(cid:53)(cid:185) (cid:97)(cid:71)(cid:46) (cid:3)(cid:200)𝑂𝐴⊥(cid:47)𝑂𝐵(cid:314)(cid:266)(cid:46)𝐶𝐷(cid:97)⊥𝐴(cid:148)𝐵(cid:268)(cid:46)𝐴𝐵 (cid:268) 𝐷(cid:41)(cid:97)(cid:148) = (cid:97)(cid:288)(cid:46) (cid:71) 𝐶𝑂 𝐶(cid:270)𝐷 (cid:200)(cid:46)
′ ′ ′
H(cid:97)(cid:160)(cid:161) 𝑂+𝐶 = 𝑄 + 𝐴𝐶 (cid:97)(cid:116)𝑄(cid:240)(cid:46) (cid:114) (cid:114)𝑄 (cid:25)𝐴𝐵(cid:46)(cid:320)(cid:86)(cid:251)𝑃(cid:46)𝑄 (cid:42)𝑃𝑄(cid:46) (cid:349)(cid:63)(cid:241)𝑂(cid:97)𝑂𝐻⊥+𝐴𝐵 =𝐴𝐵 +
′ ′ ′ ′
(cid:215)(cid:199)(cid:97) 𝑂𝑃(cid:88)(cid:215)𝑃(cid:199)𝑄(cid:64)(cid:97)𝑂(cid:239)𝑃 (cid:173)𝑃(cid:150)𝑄(cid:304)≥(cid:362)𝑂(cid:248)𝐻(cid:108)(cid:109)(cid:53)(cid:54)(cid:72)𝑂 𝑃 𝑄 𝑄 𝐻 𝑂𝑃 𝑃𝑄 𝑂𝑃 𝑃𝑄
(cid:15)(cid:113)(cid:54)𝑂(cid:20)𝐻(cid:54)(cid:10) = = =5
+ ∵=𝑂𝐴 3(cid:97),𝑂𝐵 4,𝐴𝐵
2 2 2
∴ 𝑂𝐴 𝑂(cid:96)𝐵(cid:31)(cid:32)𝐴(cid:25)𝐵(cid:32)(cid:33)(cid:97) (cid:97)
(cid:71)∴ △𝑂𝐴𝐵(cid:270) (cid:200)(cid:46) (cid:97) 𝑂𝐴⊥𝑂𝐵 科AA+
全
号★
众
𝐶𝐷⊥𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐷 注 公
关
，
源
资
辅
教= =90°(cid:97)
(cid:354)∴ ∠ 𝑂 (cid:96)∠𝐶𝐷𝐴 (cid:47)(cid:229)(cid:100)(cid:86)(cid:97)
∵ 𝐴=𝐶 ∠(cid:72)𝑂𝐴𝐵
∴ 𝐶𝑂 𝐶 = 𝐷1 = 1 (cid:97)
2 2
∴ 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵·𝐶𝐷 𝐵𝐶·𝐴𝑂
(cid:108) 1 ×5× = 1 ×3= 1 ( )×3= 1 ( )×3(cid:97)
2 2 2 2
𝑂𝐶 𝐵𝐶 𝑂𝐵−𝑂𝐶 4−𝑂𝐶
3
= (cid:97)
2
∴ 𝑂𝐶(cid:96) (cid:47)(cid:229)(cid:100)(cid:86)(cid:97)(cid:46) (cid:88) (cid:41)(cid:360)(cid:46)(cid:97)(cid:71)(cid:46) (cid:3)(cid:200) (cid:47)(cid:314)(cid:266)(cid:46) (cid:97)(cid:148)(cid:268)(cid:46) (cid:268) (cid:41)(cid:97)
′ ′
∵ 𝐴𝐶 =∠𝑂𝐴𝐵(cid:72) 𝑄 𝑂𝐴 𝑄 𝐴𝐶 𝑄 𝑄 𝐴𝐵
′
∴ 𝑃𝑄 𝑃𝑄
(cid:288)(cid:46) (cid:71) (cid:270) (cid:200)(cid:46)H(cid:97)
𝑂+ 𝑂𝐻=⊥𝐴𝐵+ 𝐴𝐵
′
(cid:240)∴𝑂(cid:46)𝑃 (cid:114)𝑃𝑄(cid:114) 𝑂(cid:25)𝑃 (cid:46)𝑃(cid:320)𝑄(cid:86)≥(cid:251)𝑂(cid:46)𝐻 (cid:42)(cid:46) (cid:349)(cid:63)(cid:241)(cid:97) + = + (cid:215)(cid:199)(cid:97) (cid:88)(cid:215)(cid:199)(cid:64)(cid:72)
′ ′ ′
(cid:173)(cid:74)𝑂1(cid:81)(cid:109)𝑃(cid:44)𝑄(cid:97) (cid:96)(cid:31)(cid:32)𝑄(cid:25)(cid:32)(cid:33)𝐻(cid:97) 𝑂𝑃 𝑃𝑄 𝑂𝑃 𝑃𝑄 𝑂𝐻
= 1 △𝑂𝐴 = 𝐵 1 (cid:97)
2 2
∴ 𝑆△𝐴𝑂𝐵 𝑂𝐵·𝑂𝐴 𝑂𝐻·𝐴𝐵
1 1
×4×3= ×5
2 2
∴ 𝑂𝐻
(cid:54)(cid:165)(cid:10) =2.4(cid:72)
(cid:116)(cid:117)(cid:10)B𝑂(cid:72)𝐻
【题型6 利用勾股定理的逆定理证明】
(cid:15)(cid:73)6(cid:20)(cid:74)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:82)·(cid:243)(cid:363)(cid:329)(cid:364)·(cid:275)(cid:87)(cid:172)(cid:276)(cid:81)(cid:50)(cid:226)(cid:10)(cid:268) (cid:39)(cid:97)(cid:232) = (cid:97) = (cid:97) = (cid:97)(cid:251)a(cid:97)
b(cid:97)c(cid:146)(cid:147) + = (cid:97)(cid:148)(cid:266)(cid:162)(cid:140)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:88)“(cid:236)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:32)(cid:33)△”(cid:72)𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝑎 𝐴𝐶 𝑏 𝐴𝐵 𝑐
2 2
(cid:365)(cid:106)(cid:107)(cid:131)(cid:41)𝑎𝑐(cid:50)(cid:226)𝑎(cid:54)(cid:65)𝑏(cid:82)(cid:83)(cid:350)(cid:21)(cid:10)
科AA+
全
号★
众
公
注
关
，
源
资
辅
教(1)(cid:144)(cid:40)1(cid:97)(cid:232)(cid:150)(cid:153)(cid:25)(cid:32)(cid:33) (cid:96)“(cid:236)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:32)(cid:33)”(cid:97) = (cid:97) > (cid:97)(cid:53) (cid:47)(cid:68)(cid:36)(cid:72)
(2)(cid:144)(cid:40)2(cid:97)(cid:268) (cid:39)(cid:97)𝐴𝐵𝐶= (cid:97)(cid:251) > 𝐴𝐵(cid:97)D𝐵(cid:96)𝐶 AB𝐴𝐶(cid:41)(cid:47)𝐴(cid:46)𝐵(cid:97)(cid:94)∠(cid:287)𝐶CD(cid:97)(cid:146)(cid:147) = (cid:97)(cid:288)(cid:46) (cid:71)
(cid:97)(cid:322)(cid:147)△(cid:88)𝐴𝐵(cid:72)𝐶(cid:53)(cid:55)∠(cid:10)𝐵 2∠𝐴(cid:88)“(cid:236)∠(cid:34)𝐴𝐶(cid:35)𝐵(cid:25)(cid:32)∠(cid:33)𝐴”(cid:72) 𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐶
(cid:15)𝐶𝐸(cid:98)⊥(cid:99)𝐴𝐵(cid:20)(1)45° 𝐸 △𝐴𝐵𝐶
(2)(cid:366)(cid:54)(cid:101)
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:150)(cid:153)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:23)(cid:50)(cid:60)(cid:157)(cid:158)(cid:97)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:150)(cid:44)(cid:282)(cid:46)(cid:97)(cid:171)(cid:367)(cid:110)(cid:111)(cid:132)(cid:157)(cid:158)(cid:96)(cid:54)(cid:21)(cid:47)(cid:3)(cid:112)(cid:72)
(cid:74)1(cid:81)(cid:174) = (cid:97) = (cid:97) = (cid:97)(cid:106)(cid:107)(cid:236)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:368)(cid:369) + = (cid:97)(cid:370) = (cid:188)(cid:371)(cid:329)(cid:193)(cid:53)(cid:54)(cid:108)(cid:109)(cid:72)
2 2
(cid:74)2(cid:81)(cid:174)𝐵𝐶=𝑎(cid:97)𝐴𝐶=𝑏(cid:97)𝐴𝐵=𝑐(cid:97)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:47)(cid:150)(cid:372)(cid:188)(cid:373)(cid:55)(cid:185) 𝑎𝑐= 𝑎 (cid:97)𝑏(cid:165)(cid:207) 𝑎 =𝑐 = (cid:97)(cid:48)(cid:49)(cid:150)(cid:153)(cid:25)(cid:32)
𝐵𝐶 𝑎 𝐴𝐶 𝑏 𝐴𝐵 𝑐 ∠𝐵 ∠𝐶𝐷𝐵 𝐶𝐷 𝐶𝐵 𝑎
(cid:33)(cid:47)(cid:157)(cid:158)(cid:165)(cid:207) = = (cid:97)(cid:239)(cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:83)(cid:123)(cid:53)(cid:54)(cid:108)(cid:109)(cid:72)
2
𝑐−𝑎
𝐷𝐸 𝐵𝐸
(cid:15)(cid:113)(cid:54)(cid:20)(cid:74)1(cid:81)(cid:54)(cid:10)(cid:174) = (cid:97) = (cid:97) = (cid:97)
(cid:96)“(cid:236)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:32)𝐵𝐶(cid:33)”(cid:97)𝑎 𝐴𝐶 𝑏 𝐴𝐵 𝑐
∵△+𝐴𝐵𝐶 = (cid:97)
2 2
∴𝑎𝑐 =𝑎 (cid:97)𝑏
∵𝐴𝐵= (cid:97)𝐵𝐶
∴𝑎 +𝑐 = (cid:97)
2 2 2
∴𝑐 =𝑎90°(cid:97)𝑏
∴∠𝐵 (cid:96)(cid:150)(cid:153)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)
∴△𝐴=𝐵4𝐶5°(cid:121)
∴(cid:74)∠2𝐶(cid:81)(cid:55)(cid:56)(cid:10)(cid:174) = (cid:97) = (cid:97) = (cid:97)
= (cid:97) 𝐵𝐶 𝑎 𝐴𝐶 𝑏 𝐴𝐵 𝑐
∵𝐴𝐷= 𝐶𝐷 (cid:97)
∴∠𝐴 ∠=𝐷𝐶𝐴+ = (cid:97)
∴(cid:354)∠𝐶𝐷𝐵= ∠𝐴(cid:97)∠𝐷𝐶𝐴 2∠𝐴
∵∠=𝐵 2∠𝐴(cid:97)
∴∠𝐵= ∠𝐶𝐷=𝐵 (cid:97)
∴𝐶𝐷 =𝐶𝐵 =𝑎(cid:97)
科AA+
全
号★
众
公
注
∴𝐴𝐷 𝐶𝐷(cid:97) 𝑎 ， 关
源
资
辅
教
∵𝐶𝐸⊥𝐴𝐵
= = (cid:97)
2
𝑐−𝑎
∴𝐷𝐸 𝐵𝐸(cid:268)Rt (cid:39)(cid:97) = + = + = (cid:97)(cid:173)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:165) = = (cid:97)
2 2 2 2
𝑐−𝑎 𝑐+𝑎 2 2 2 2 𝑎+𝑐
△𝐴𝐸𝐶 𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝑎 𝐶𝐸 𝐴𝐶 −𝐴𝐸 𝑏 −
(cid:268)Rt (cid:39)(cid:97)(cid:173)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:165) = = (cid:97)
2 2
𝑐−𝑎
2 2 2 2
△𝐶𝐸𝐷 𝐶𝐸 𝐶𝐷 −𝐷𝐸 𝑎 −
= (cid:97)
2 2 2 2
2 𝑎+𝑐 2 𝑐−𝑎
∴𝑏 −= + (cid:97)𝑎 −
2 2
∴𝑏 𝑎(cid:88)“𝑎(cid:236)𝑐(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:32)(cid:33)”(cid:72)
∴(cid:15)△(cid:122)𝐴(cid:123)𝐵𝐶6-1(cid:20)(cid:74)22-23(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:82)·(cid:211)(cid:77)(cid:374)(cid:375)·(cid:130)(cid:39)(cid:81)(cid:144)(cid:40)(cid:97) (cid:39)(cid:97) (cid:47)(cid:322)(cid:31)(cid:229)(cid:100)(cid:86) (cid:100)(cid:280)(cid:270) (cid:114) (cid:200)(cid:46)
D(cid:97)E(cid:97)(cid:251) = (cid:72) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐷𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐵
2 2 2
𝐴𝐷 −𝐷𝐶 𝐵𝐶
(1)(cid:53)(cid:55)(cid:10) =90°(cid:121)
(2)(cid:232) =∠8𝐶(cid:97) =4(cid:97)(cid:53) (cid:47)(cid:84)(cid:72)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)𝐴𝐶(cid:20)(1)(cid:55)(cid:56)𝐵𝐶(cid:366)(cid:54)(cid:101) 𝐴𝐷
(2)5
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:74)1(cid:81)(cid:173)(cid:86)(cid:87)(cid:322)(cid:31)(cid:229)(cid:100)(cid:86)(cid:47)(cid:157)(cid:158)(cid:165)(cid:207) = (cid:97)(cid:239)(cid:284)(cid:63) = (cid:55)(cid:56) (cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)
2 2 2
(cid:108)(cid:109)(cid:55)(cid:56)(cid:284)(cid:238)(cid:121) 𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐷 −𝐷𝐶 𝐵𝐶 △𝐵𝐶𝐷
(cid:74)2(cid:81)(cid:174) = = (cid:97)(cid:148) = (cid:97)(cid:262)(cid:352)(cid:106)(cid:107) = (cid:168)(cid:376)(cid:230)(cid:313)(cid:53)(cid:54)(cid:108)(cid:109)(cid:72)
2 2 2
(cid:15)(cid:113)(cid:54)(cid:20)𝐴(cid:74)𝐷1(cid:81)𝐵(cid:55)𝐷(cid:56)(cid:10)𝑥(cid:144)(cid:40)𝐶(cid:250)𝐷(cid:205)(cid:97)8−(cid:94)𝑥(cid:287) (cid:97) 𝐵𝐷 −𝐷𝐶 𝐵𝐶
𝐵𝐷
(cid:322)(cid:31)(cid:229)(cid:100) (cid:97)
∵𝐷𝐸 = (cid:97) 𝐴𝐵 科AA+
全
号★
众
∴𝐴𝐷 𝐵𝐷 = (cid:97) 注 公
关
，
源
2 2 辅 资2
∵𝐴𝐷 −𝐷𝐶 教=𝐵𝐶 (cid:97)
2 2 2
∴𝐵𝐷 −𝐷(cid:96)𝐶(cid:31)(cid:32)𝐵(cid:25)𝐶(cid:32)(cid:33)(cid:97)
∴△𝐵𝐶𝐷=90°(cid:121)
(cid:74)∴2∠(cid:81)𝐶(cid:54)(cid:10)(cid:174) = = (cid:97)(cid:148) = = (cid:97)
(cid:173)(cid:74)1(cid:81)(cid:165) 𝐴𝐷 𝐵𝐷= 𝑥 (cid:97) 𝐶𝐷 𝐴𝐶−𝐴𝐷 8−𝑥
2 2 2
( 𝐵)𝐷=−4𝐷𝐶(cid:97) 𝐵𝐶
2 2 2
(cid:54)∴𝑥(cid:165)− 8=−5𝑥(cid:97)
𝑥=5(cid:72)
∴(cid:15)𝐴(cid:46)𝐷(cid:208)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:134)(cid:135)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:322)(cid:31)(cid:229)(cid:100)(cid:86)(cid:47)(cid:157)(cid:158)(cid:114)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:150)(cid:44)(cid:282)(cid:97)(cid:96)(cid:349)(cid:135)(cid:103)(cid:46)(cid:97)(cid:377)(cid:68)(cid:228)(cid:378)(cid:97)(cid:379)(cid:380)
(cid:338)(cid:339)(cid:86)(cid:96)(cid:54)(cid:21)(cid:3)(cid:112)(cid:72)
(cid:15)(cid:122)(cid:123)6-2(cid:20)(cid:74)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:82)·(cid:211)(cid:16)(cid:381)(cid:243)·(cid:130)(cid:39)(cid:81)(cid:43)(cid:44) (cid:47)(cid:25)(cid:26) = ( >1)(cid:97) = (cid:97) = +1(cid:72)
2 2
(1)(cid:53)(cid:55)(cid:10) (cid:96) (cid:47)(cid:215)(cid:84)(cid:26)(cid:121) △𝐴𝐵𝐶 𝑎 𝑛 −1 𝑛 𝑏 2𝑛 𝑐 𝑛
(2)(cid:53)(cid:55)(cid:10)𝑐 △𝐴(cid:96)𝐵𝐶(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:121)
(3)(cid:31)(cid:287)(cid:382)(cid:185)△(cid:183)𝐴𝐵(cid:95)𝐶(cid:146)(cid:147) (cid:47)(cid:25)(cid:26)(cid:84)(cid:97)(cid:61)(cid:39)(cid:202)(cid:178)(cid:179)(cid:36)12(cid:72)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(1)(cid:366)(cid:54)(cid:101) △𝐴𝐵𝐶
(2)(cid:366)(cid:54)(cid:101)
(3)12(cid:97)35(cid:97)37
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:164)(cid:21)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:59)(cid:49)(cid:114)(cid:179)(cid:123)(cid:383)(cid:63)(cid:329)(cid:193)(cid:154)(cid:384)(cid:248)(cid:7)(cid:123)(cid:97)(cid:171)(cid:172)(cid:110)(cid:111)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:96)
(cid:3)(cid:112)(cid:72)
(cid:74)1(cid:81)(cid:100)(cid:280)(cid:55)(cid:56) > (cid:97) > (cid:97)(cid:108)(cid:109)(cid:55)(cid:56)(cid:284)(cid:238)(cid:121)
(cid:74)2(cid:81)(cid:106)(cid:107)(cid:34)(cid:35)𝑐(cid:50)(cid:51)𝑎(cid:47)(cid:52)𝑐(cid:50)(cid:51)𝑏 (cid:137)(cid:138)(cid:55)(cid:56)(cid:108)(cid:109)(cid:121)
(cid:74)3(cid:81)(cid:240) = =12(cid:241)(cid:97)(cid:108) =6(cid:97)(cid:53)(cid:185)(cid:164)(cid:241) =35(cid:97) =37(cid:108)(cid:109)(cid:72)
(cid:15)(cid:113)(cid:54)(cid:20)𝑏(cid:74)12(cid:81)𝑛(cid:54)(cid:10) =𝑛( +1) ( 𝑎)= +𝑐 +1=2>0
2 2 2 2
> (cid:97) ∵𝑐−𝑎 𝑛 − 𝑛 −1 𝑛 1−𝑛
∴𝑐 >𝑎1(cid:97)
∵𝑛 >0
∴𝑛−1=( +1) =( ) >0(cid:97)
2 2
∴𝑐−>𝑏 (cid:97)𝑛 −2𝑛 𝑛−1 科AA+
全
号★
众
∴(cid:62)𝑐(cid:41)(cid:109)𝑏(cid:44)(cid:97) (cid:96) (cid:47)(cid:215)(cid:84)(cid:26)
注
(cid:121)公
关
，
源
资
辅
(cid:74)2(cid:81) =𝑐教( △+𝐴1𝐵)𝐶(cid:97) + =( ) +( ) = +1+4 = +2 +1=( +1) (cid:97)
2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2
+∵𝑐 = 𝑛(cid:97) 𝑎 𝑏 𝑛 −1 2𝑛 𝑛 −2𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
2 2 2
∴𝑎 𝑏 𝑐(cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:121)
∴(cid:74)△3(cid:81)𝐴𝐵(cid:54)𝐶(cid:10)(cid:240) = =12(cid:241)(cid:97)(cid:108) =6(cid:97)
(cid:148)(cid:164)(cid:241) = 𝑏 2=𝑛6 =35(cid:97)𝑛 = +1=6 +1=37(cid:97)
2 2 2 2
𝑎(cid:47)(cid:25)𝑛 (cid:26)−1(cid:84)(cid:88)12−(cid:97)135(cid:97)37(cid:72)𝑐 𝑛
∴(cid:15)△(cid:122)𝐴(cid:123)𝐵𝐶6-3(cid:20)(cid:74)2025·(cid:211)(cid:16)(cid:385)(cid:386)·(cid:183)(cid:80)(cid:81)(cid:15)(cid:350)(cid:21)(cid:387)(cid:185)(cid:20)
(cid:74)1(cid:81)(cid:144)(cid:40)1(cid:97) (cid:154) (cid:163)(cid:96)(cid:150)(cid:26)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:46) (cid:268) (cid:170)(cid:388)(cid:97)(cid:94)(cid:287) (cid:97) (cid:97) (cid:72)
(cid:53)(cid:55)(cid:10) =△𝐴𝐵(cid:121)𝐶 △𝐷𝐶𝐸 𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐵𝐷
①(cid:232) 𝐵𝐷=15𝐴0𝐸°(cid:97)(cid:53)(cid:55)(cid:10) = + (cid:121)
2 2 2
②(cid:15)(cid:350)(cid:21)∠𝐴(cid:389)𝐷(cid:390)𝐶(cid:20) 𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐶𝐷
(cid:74)2(cid:81)(cid:144)(cid:40)2(cid:72) (cid:154) (cid:163)(cid:96)(cid:150)(cid:26)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:46) (cid:268) (cid:391)(cid:388)(cid:97)(cid:232) = + (cid:392)(cid:262)(cid:30)(cid:376)(cid:97)(cid:53)
2 2 2
(cid:47)(cid:68)(cid:36)(cid:72) △𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐶𝐸 𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐶𝐷 ∠𝐴𝐷𝐶
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(cid:74)1(cid:81) (cid:366)(cid:54)(cid:101)(cid:121) (cid:366)(cid:54)(cid:101)(cid:121)(cid:74)2(cid:81)30°(cid:72)
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:103)①(cid:104)(cid:105)(cid:281)(cid:150)(cid:25)②(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:23)(cid:50)(cid:42)(cid:157)(cid:158)(cid:97)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:60)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:150)(cid:26)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:157)(cid:158)(cid:97)(cid:110)(cid:111)(cid:44)(cid:282)(cid:46)(cid:47)(cid:59)
(cid:49)(cid:96)(cid:54)(cid:21)(cid:47)(cid:3)(cid:112)(cid:72)
(cid:74)1(cid:81) (cid:173)(cid:150)(cid:26)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:157)(cid:158)(cid:109)(cid:165) = (cid:97) = (cid:97) = =60°(cid:97)(cid:262)(cid:352)(cid:48)(cid:49)“SAS”(cid:55)(cid:56)
① (cid:108)(cid:109)(cid:121) 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐶𝐷 𝐶𝐸 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐸𝐶𝐷
△(cid:173)𝐷𝐶𝐵≌△=𝐸𝐶1𝐴50°(cid:97)(cid:148) = =90°(cid:97)(cid:239)(cid:175)(cid:288)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:165) + = (cid:97)(cid:354) = (cid:97)
2 2 2
②(cid:301)(cid:166)(cid:53)∠𝐴(cid:55)𝐷(cid:121)𝐶 ∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐸𝐷𝐶 𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐸 𝐴𝐸 𝐵𝐷
(cid:74)2(cid:81)(cid:55)(cid:56) (SAS)(cid:97)(cid:148)(cid:197) = (cid:97)(cid:354) = + (cid:97)(cid:148) = + (cid:97)(cid:301)(cid:166)(cid:165)(cid:185)
2 2 2 2 2 2
=90△°(cid:97)𝐷(cid:215)𝐶𝐵(cid:352)≌(cid:49)△(cid:32)𝐸(cid:68)𝐶𝐴(cid:154)(cid:393)(cid:108)(cid:109)(cid:53)(cid:54)𝐵(cid:72)𝐷 𝐴𝐸 𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐷𝐸
(cid:15)∠𝐴(cid:113)𝐷𝐸(cid:54)(cid:20)(cid:54)(cid:10)(cid:74)1(cid:81)(cid:55)(cid:56)(cid:10) (cid:154) (cid:163)(cid:96)(cid:150)(cid:26)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)
科AA+
全
= (cid:97) = (cid:97) ①∵=△𝐴𝐵𝐶 =号△6★0𝐷°(cid:97)𝐶𝐸
众
公
注
关
，
源
∴𝐵𝐶 𝐴=𝐶 𝐶𝐷辅 资𝐶𝐸 =∠𝐴𝐶𝐵 (cid:97)∠𝐸𝐶𝐷
教
∴∠𝐷𝐶𝐵 60°−∠𝐷(𝐶SA𝐴S)(cid:97)∠𝐸𝐶𝐴
∴△𝐷𝐶𝐵≌△𝐸𝐶𝐴= (cid:121)
∴𝐵𝐷 𝐴𝐸 (cid:96)(cid:150)(cid:26)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)
②∵△𝐷=𝐶𝐸60°(cid:97) = (cid:97)
∴∠𝐸𝐷𝐶 =150°(cid:97)𝐷𝐸 𝐶𝐷
∵∠𝐴𝐷𝐶 = =90°(cid:97)
∴∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴=𝐷𝐶−∠(cid:97)𝐸𝐷𝐶
2 2 2
(cid:173)∴𝐴𝐷 (cid:44)𝐷𝐸= 𝐴(cid:97)𝐸
① =𝐴𝐸 𝐵+𝐷 (cid:121)
2 2 2
∴(cid:74)𝐵2𝐷(cid:81)(cid:54)(cid:10)𝐴𝐷 𝐶𝐷(cid:154) (cid:163)(cid:96)(cid:150)(cid:26)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)
= (cid:97)△𝐴𝐵=𝐶 △=𝐷𝐶𝐸(cid:97) = =60°= (cid:97)
∴𝐵𝐶 𝐴=𝐶60𝐶°𝐷+ 𝐶𝐸 =𝐷𝐸 ∠𝐴(cid:97)𝐶𝐵 ∠𝐸𝐶𝐷 ∠𝐶𝐷𝐸
∴∠𝐷𝐶𝐵 ∠(𝐴S𝐶A𝐷S)(cid:97)∠𝐸𝐶𝐴
∴△𝐷=𝐶𝐵≌(cid:97)△𝐸𝐶𝐴
∴𝐵𝐷 =𝐴𝐸 + (cid:97)
2 2 2
∵𝐵𝐷 = 𝐴𝐷 +𝐶𝐷 (cid:97)
2 2 2
∴𝐴𝐸 =𝐴𝐷90°(cid:97)𝐷𝐸
∴∠𝐴𝐷𝐸= =30°(cid:72)
∴
【
∠
题
𝐴𝐷
型
𝐶7 ∠
勾
𝐴
股
𝐷𝐸
定
−
理
∠𝐶
的
𝐷
逆
𝐸
定理实际应用】
(cid:15)(cid:73)7(cid:20)(cid:74)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:82)·(cid:394)(cid:395)(cid:396)(cid:308)·(cid:130)(cid:39)(cid:81)(cid:144)(cid:40)(cid:97)(cid:183)(cid:397)(cid:66)(cid:398)(cid:399)(cid:336)(cid:400)(cid:268)(cid:401)(cid:39)(cid:46)A(cid:303)(cid:97)(cid:46)A(cid:42)(cid:402)(cid:304)(cid:41)(cid:46)B(cid:218)(cid:330)
(cid:47)(cid:318)(cid:319) =20(cid:403)(cid:97)(cid:46)A(cid:42)(cid:402)(cid:304)(cid:41)(cid:46)C(cid:74)(cid:46)B(cid:114)C(cid:303)(cid:200)(cid:257)(cid:183)(cid:404)(cid:229)(cid:304)(cid:41)(cid:81)(cid:47)(cid:318)(cid:319) =25(cid:403)(cid:97)(cid:251) =15(cid:403)(cid:72)
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶
(1)(cid:53) (cid:47)(cid:68)(cid:36)(cid:121)
(2)(cid:196)(cid:162)∠𝐴(cid:397)𝐵𝐶(cid:66)(cid:398)(cid:399)(cid:345) (cid:250)(cid:268)(cid:31)(cid:86)(cid:299)(cid:82)(cid:405)(cid:138)(cid:302)(cid:46)D科(cid:303)(cid:97)A(cid:232) A (cid:46) + D(cid:406)(cid:407)(cid:268)(cid:26) (cid:47)(cid:322)(cid:31)(cid:229)(cid:100)(cid:86)(cid:41)(cid:97)(cid:94)(cid:287) (cid:97)(cid:53)(cid:162)(cid:397)
全
号★
众
公
注
(cid:66)(cid:398)(cid:399)(cid:299)(cid:82)(cid:405)(cid:138)(cid:47)(cid:318)𝐴𝐵(cid:319)(cid:74)， 关(cid:47)(cid:84)(cid:81)(cid:72) 𝐴𝐶 𝐶𝐷
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(1)90° 𝐴𝐷125
(2) (cid:403)
8
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:134)(cid:135)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:154)(cid:86)(cid:87)(cid:322)(cid:31)(cid:229)(cid:100)(cid:86)(cid:47)(cid:157)(cid:158)(cid:97)(cid:171)(cid:172)(cid:47)(cid:110)(cid:111)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:154)(cid:86)
(cid:87)(cid:322)(cid:31)(cid:229)(cid:100)(cid:86)(cid:47)(cid:157)(cid:158)(cid:96)(cid:54)(cid:21)(cid:47)(cid:3)(cid:112)(cid:72)
(cid:74)1(cid:81)(cid:106)(cid:107)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:108)(cid:109)(cid:54)(cid:98)(cid:121)
(cid:74)2(cid:81)(cid:268)Rt (cid:39)(cid:97)(cid:106)(cid:107)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:108)(cid:109)(cid:54)(cid:98)(cid:72)
(cid:15)(cid:113)(cid:54)(cid:20)(cid:74)△1(cid:81)𝐵𝐷(cid:54)𝐶(cid:10) + =20 +15 =625(cid:97) =25 =625(cid:97)
2 2 2 2 2 2
+ = (cid:97)∵𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐶
2 2 2
∴𝐴𝐵 (cid:96)𝐵𝐶(cid:31)(cid:32)(cid:25)𝐴𝐶(cid:32)(cid:33)(cid:97) =90°(cid:121)
(cid:74)∴△2(cid:81)𝐴𝐵(cid:174)𝐶 = (cid:403)(cid:97)(cid:232)(cid:46)∠(cid:406)𝐴𝐵(cid:407)𝐶(cid:268)(cid:26) (cid:47)(cid:322)(cid:31)(cid:229)(cid:100)(cid:86)(cid:41)(cid:97)
(cid:148) =𝐴𝐷 =𝑥(cid:403)(cid:97) 𝐷=( )(cid:403)𝐴𝐶(cid:97)
(cid:268)𝐶R𝐷t 𝐴𝐷(cid:39)(cid:97)𝑥 𝐵=𝐷 2+0−𝑥(cid:97)
2 2 2
△=𝐵(𝐷𝐶 ) 𝐷+𝐶15 (cid:97)𝐵𝐷 𝐵𝐶
2 2 2
(cid:54)
∴
(cid:165)
𝑥
=
21205−
.
𝑥
8
𝑥
125
(cid:98)(cid:10)(cid:162)(cid:397)(cid:66)(cid:398)(cid:399)(cid:299)(cid:82)(cid:405)(cid:138)(cid:47)(cid:318)(cid:319)( (cid:47)(cid:84)(cid:81)(cid:88) (cid:403)(cid:72)
8
(cid:15)(cid:122)(cid:123)7-1(cid:20)(cid:74)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:82)·(cid:75)𝐴(cid:363)𝐷(cid:408)(cid:274)·(cid:275)(cid:87)(cid:172)(cid:276)(cid:81)(cid:144)(cid:40)(cid:97)(cid:326)(cid:199)(cid:409)(cid:47)(cid:45)(cid:140)(cid:410)(cid:411) (cid:97) (cid:412)(cid:200)(cid:199)(cid:413) (cid:47)(cid:257)(cid:414)(cid:97)(cid:45)
(cid:140)(cid:410)(cid:411)(cid:218)(cid:330)(cid:47)(cid:318)(cid:319) =25m(cid:72)(cid:196)(cid:135)(cid:88)(cid:410)(cid:411)(cid:415)(cid:174)(cid:416)(cid:404)(cid:417)(cid:418) (cid:97) (cid:97)(cid:416)(cid:404)(cid:46) (cid:268)𝐴(cid:199)(cid:413)𝐵 (cid:41)(cid:97)(cid:416)𝐴(cid:404)𝐶(cid:46) (cid:207) (cid:47)
(cid:318)(cid:319) =12m(cid:97)𝐴𝐵 =15m(cid:72) 𝐴𝑀 𝐵𝑀 𝑀 𝐴𝐶 𝑀 𝐴𝐵
𝑀𝑁 𝐵𝑀
(1)(cid:53)(cid:416)(cid:404)(cid:46) (cid:207)(cid:410)(cid:411) (cid:259)(cid:135)(cid:415)(cid:174)(cid:47)(cid:417)(cid:418)(cid:84) (cid:72)
(2)(cid:53)(cid:55)(cid:10) 𝑀 =90𝐴°(cid:72) 𝐴𝑀
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(∠1𝐵)(cid:416)𝑀(cid:404)𝐴(cid:46) (cid:207)(cid:410)(cid:411) (cid:259)(cid:135)(cid:415)(cid:174)(cid:47)(cid:417)(cid:418)(cid:84) (cid:88)20m(cid:121)
(2)(cid:366)(cid:113)(cid:54)(cid:72) 𝑀 𝐴
科
𝐴𝑀 AA+
全
号★
众
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:154)(cid:34)公(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:171)(cid:172)(cid:110)(cid:111)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:154)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:96)(cid:54)(cid:21)(cid:47)(cid:3)(cid:112)(cid:97)
注
关
，
源
资
辅
(cid:135)(cid:4)(cid:120)(cid:34)(cid:35)(cid:50)教(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:38)(cid:123)(cid:72)
(cid:74)1(cid:81)(cid:268)Rt (cid:39)(cid:97)(cid:351)(cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:53)(cid:185) (cid:97)(cid:301)(cid:166)(cid:53)(cid:185) (cid:97)(cid:239)(cid:268)Rt (cid:39)(cid:97)(cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:53)(cid:185) (cid:121)
△𝑀𝑁𝐵 𝐵𝑁 𝐴𝑁 △𝐴𝑁𝑀 𝐴𝑀(cid:74)2(cid:81)(cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:55)(cid:56) (cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:239)(cid:106)(cid:107)(cid:206)(cid:26)(cid:250)(cid:314)(cid:47)(cid:32)(cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:301)(cid:166)(cid:165)(cid:207) =90°(cid:72)
(cid:15)(cid:113)(cid:54)(cid:20)(cid:74)1(cid:81)(cid:54)(cid:10)(cid:173)(cid:21)(cid:120)(cid:109)(cid:44)(cid:10)△𝐴𝑀𝐵 (cid:97) ∠𝐵𝑀𝐴
(cid:268)Rt (cid:39)(cid:97) = 𝑀𝑁=⊥1𝐴5𝐵 12 =81(cid:97)
2 2 2 2 2
△=𝑀9𝑁m𝐵(cid:97) 𝐵𝑁 𝐵𝑀 −𝑀𝑁 −
∴𝐵𝑁= = =16m(cid:97)
(cid:268)∴R𝐴t𝑁 𝐴𝐵−(cid:39)𝐵𝑁(cid:97) 25−=9 + =16 +12 =400(cid:97)
2 2 2 2 2
△=𝐴2𝑁0𝑀m(cid:97) 𝐴𝑀 𝐴𝑁 𝑀𝑁
∴𝐴(cid:416)𝑀(cid:404)(cid:46) (cid:207)(cid:410)(cid:411) (cid:259)(cid:135)(cid:415)(cid:174)(cid:47)(cid:417)(cid:418)(cid:84) (cid:88)20m(cid:121)
(cid:74)∴2(cid:81)(cid:55)(cid:56)𝑀(cid:10) 𝐴=20m(cid:97) =15m𝐴(cid:97)𝑀 =25m(cid:97)
+ ∵=𝐴𝑀20 +15 =𝐵𝑀25 = (cid:97)𝐴𝐵
2 2 2 2 2 2
∴𝐴𝑀 𝐵(cid:96)𝑀(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97) =90𝐴°(cid:72)𝐵
(cid:15)∴△(cid:122)𝐴(cid:123)𝑀7𝐵-2(cid:20)(cid:74)24-25(cid:124)(cid:125)∠(cid:126)𝐵(cid:41)𝑀·𝐴(cid:211)(cid:77)(cid:419)(cid:420)·(cid:130)(cid:421)(cid:81)(cid:326)(cid:329)(cid:360)(cid:422)(cid:131)(cid:423)(cid:231)(cid:114)(cid:424)(cid:425)(cid:114)(cid:426)(cid:427)(cid:88)(cid:185)(cid:428)(cid:46)(cid:97)(cid:314)(cid:329)(cid:360)(cid:429)(cid:430)(cid:431)(cid:409)(cid:137)
(cid:138)(cid:105)(cid:432)(cid:433)(cid:174)(cid:272)(cid:72)(cid:144)(cid:40)(cid:97)(cid:141)(cid:26)(cid:33) (cid:88)(cid:430)(cid:434)(cid:409)(cid:435)(cid:97)(cid:141)(cid:212)(cid:96)(cid:436)(cid:418)(cid:97) (cid:97)(cid:39)(cid:330)(cid:96)(cid:437)(cid:438)(cid:233)(cid:439)(cid:409)(cid:435)(cid:97)(cid:88)(cid:440)(cid:441)(cid:442)
(cid:443)(cid:97)(cid:39)(cid:330)(cid:444)(cid:445)(cid:105)(cid:446)(cid:27)(cid:447)(cid:423)(cid:231)(cid:448)𝐴(cid:360)𝐵(cid:436)𝐶𝐷(cid:418) (cid:97)(cid:225)(cid:294)(cid:372) =9(cid:97) =𝐴1𝐵2(cid:97)⊥𝐵𝐶 =8(cid:97) =17(cid:72)
𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐷
(1)(cid:53)(cid:55)(cid:10) (cid:72)
(2)(cid:53)(cid:141)(cid:26)(cid:33)𝐴𝐶⊥𝐶𝐷(cid:47)(cid:304)(cid:362)(cid:72)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(1)𝐴(cid:366)𝐵(cid:54)𝐶𝐷(cid:101)
(2)114
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:134)(cid:135)(cid:103)(cid:104)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:329)(cid:49)(cid:97)(cid:110)(cid:111)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:272)(cid:193)(cid:96)(cid:54)(cid:21)(cid:47)(cid:3)(cid:112)(cid:72)
(cid:74)1(cid:81)(cid:329)(cid:49)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:165)(cid:207) =225(cid:97)(cid:239)(cid:329)(cid:49)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:165)(cid:207) (cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:173)(cid:164)(cid:108)(cid:109)(cid:53)(cid:54)(cid:121)
2
(cid:74)2(cid:81)(cid:106)(cid:107) = 𝐴𝐶 + (cid:97)(cid:188)(cid:371)(cid:272)(cid:193)(cid:108)(cid:109)(cid:53)(cid:54)(cid:72) △𝐴𝐶𝐷
四边形
(cid:15)(cid:113)(cid:54)(cid:20)(cid:74)𝑆1(cid:81)(cid:55)𝐴(cid:56)𝐵𝐶(cid:10)𝐷 (cid:268)𝑆R△t𝐴𝐵𝐶 𝑆(cid:39)△𝐴(cid:97)𝐶𝐷 =9(cid:97) =12(cid:97)
(cid:173)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:165) = △+𝐴𝐵𝐶=9𝐴+𝐵12 =科𝐵2𝐶2A5(cid:97)
A+
全
号★
众
2 2 注2公 2 2
=17 =2𝐴8𝐶9(cid:97) 𝐴，𝐵=关6𝐵4𝐶(cid:97)
源
资
辅
2 2教 2
∵𝐴𝐷 = + =𝐶2𝐷89(cid:97)
2 2 2
∴𝐴𝐷 𝐶(cid:96)𝐷(cid:31)(cid:32)𝐴(cid:25)𝐶(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:251) =90°(cid:97)
∴△𝐴𝐶𝐷 ∠𝐴𝐶𝐷(cid:72)
∴(cid:74)𝐴2𝐶(cid:81)⊥(cid:54)𝐶(cid:10)𝐷 (cid:173)(cid:74)1(cid:81)(cid:97)(cid:109)(cid:165) =15(cid:97) =90°(cid:97)
= + 𝐴𝐶 ∠𝐴𝐶𝐷
四边形
∴𝑆1 𝐴𝐵𝐶𝐷 1𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐶𝐷
= +
2 2
1𝐴𝐵⋅𝐵𝐶 1𝐴𝐶⋅𝐶𝐷
= ×9×12+ ×15×8
2 2
=114(cid:72)
(cid:15)(cid:122)(cid:123)7-3(cid:20)(cid:214)(cid:449)(cid:450)(cid:451)(cid:225)(cid:452)(cid:453)(cid:246)(cid:454)(cid:455)(cid:456)(cid:457)(cid:458)(cid:97)(cid:246)(cid:454)(cid:96)(cid:183)(cid:233)(cid:459)(cid:262)(cid:460)(cid:461)(cid:97)(cid:219)(cid:131)(cid:246)(cid:454)(cid:39)(cid:433)(cid:88)(cid:324)(cid:433)(cid:268)(cid:212)(cid:462)(cid:41)(cid:463)(cid:403)(cid:47)(cid:464)
(cid:462)(cid:170)(cid:33)(cid:30)(cid:465)(cid:466)(cid:456)(cid:467)(cid:97)(cid:197)(cid:465)(cid:468)(cid:47)(cid:469)(cid:470)(cid:356)(cid:72)(cid:144)(cid:40)(cid:97)(cid:197)(cid:183)(cid:246)(cid:454)(cid:39)(cid:433)(cid:345)(cid:244)(cid:363)(cid:230)(cid:299)AB(cid:173)(cid:46)A(cid:138)(cid:471)(cid:299)(cid:46)B(cid:97)(cid:43)(cid:44)(cid:46)C(cid:88)
(cid:183)(cid:472)(cid:473)(cid:97)(cid:251)(cid:46)C(cid:42)(cid:31)(cid:86)AB(cid:41)(cid:45)(cid:46)A(cid:97)B(cid:47)(cid:318)(cid:319)(cid:100)(cid:280)(cid:88)300km(cid:154)400km(cid:97)(cid:251) =500km(cid:97)(cid:131)(cid:246)(cid:454)(cid:39)(cid:433)(cid:88)(cid:324)
(cid:433)(cid:212)(cid:462)250km(cid:131)(cid:170)(cid:88)(cid:453)(cid:457)(cid:458)(cid:409)(cid:435)(cid:72) 𝐴𝐵
(1)(cid:53)(cid:55)(cid:10) =90°(cid:121)
(2)(cid:472)(cid:473)C∠(cid:453)𝐴(cid:246)𝐶𝐵(cid:454)(cid:457)(cid:458)(cid:474)(cid:475)(cid:88)(cid:476)(cid:161)(cid:475)
(3)(cid:232)(cid:246)(cid:454)(cid:47)(cid:477)(cid:68)(cid:88)40km/h(cid:97)(cid:148)(cid:246)(cid:454)(cid:457)(cid:458)(cid:139)(cid:472)(cid:473)(cid:478)(cid:479)(cid:47)(cid:241)(cid:330)(cid:197)(cid:480)(cid:84)(cid:475)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(1)(cid:366)(cid:54)(cid:101)
(2)(cid:472)(cid:473)C(cid:453)(cid:246)(cid:454)(cid:457)(cid:458)(cid:97)(cid:51)(cid:173)(cid:366)(cid:54)(cid:101)
(3)3.5h
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:74)1(cid:81)(cid:106)(cid:107)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:108)(cid:109)(cid:53)(cid:54)(cid:121)
(cid:74)2(cid:81)(cid:288)(cid:46)C(cid:71) (cid:200)D(cid:72)(cid:106)(cid:107)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:304)(cid:362)(cid:97)(cid:109)(cid:165) 1 = 1 (cid:97)(cid:108)(cid:109)(cid:53)(cid:54)(cid:121)
2 2
(cid:74)3(cid:81)(cid:268)(cid:86)(cid:87)AB𝐶(cid:41)𝐷⊥(cid:285)𝐴(cid:46)𝐵E(cid:97)F(cid:97)(cid:286) =250km(cid:97) =250km(cid:97)𝐴𝐶(cid:148)⋅(cid:246)𝐵𝐶(cid:454)(cid:39)(cid:433)𝐴𝐵(cid:268)⋅(cid:86)𝐶𝐷(cid:87)EF(cid:41)(cid:241)(cid:178)(cid:407)(cid:457)(cid:458)C(cid:473)
(cid:213)(cid:72)(cid:106)(cid:107)(cid:150)(cid:153)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:157)(cid:158)(cid:109)(cid:165)E𝐸D𝐶=FD(cid:97)(cid:262)(cid:352)(cid:106)𝐹(cid:107)𝐶(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:109)(cid:165) =70(km)(cid:97)(cid:301)(cid:166)(cid:165)(cid:207) =140km(cid:97)(cid:108)
(cid:109)(cid:53)(cid:54)(cid:72) 科AA+ 𝐸𝐷 𝐸𝐹
全
号★
众
(cid:15)(cid:113)(cid:54)(cid:20)(cid:74)1(cid:81)(cid:54)(cid:10) =300注km公(cid:97) =400km(cid:97) =500km(cid:97)
关
，
源
资
辅
+ 教= (cid:72)∵𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵
2 2 2
∴𝐴𝐶 𝐵(cid:96)𝐶(cid:31)(cid:32)𝐴(cid:25)𝐵(cid:32)(cid:33)(cid:97)
∴△𝐴𝐵𝐶=90°(cid:121)
(cid:74)∴∠2𝐴(cid:81)𝐶𝐵(cid:54)(cid:10)(cid:472)(cid:473)C(cid:453)(cid:246)(cid:454)(cid:457)(cid:458)(cid:72)(cid:51)(cid:173)(cid:144)(cid:82)(cid:10)
(cid:144)(cid:40)(cid:97)(cid:288)(cid:46)C(cid:71) (cid:200)D(cid:72)
= 1 𝐶𝐷 = ⊥1𝐴𝐵 (cid:97)
2 2
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶 𝐴𝐵⋅𝐶𝐷
= = 300×400 =240(km)(cid:72)
500
𝐴𝐶⋅𝐵𝐶
∴𝐶 25 𝐷 0>2 𝐴 4 𝐵 0(cid:97)
∵(cid:472)(cid:473)C(cid:453)(cid:207)(cid:246)(cid:454)(cid:457)(cid:458)(cid:72)
∴
(cid:74)3(cid:81)(cid:54)(cid:10)(cid:144)(cid:40)(cid:97)(cid:268)(cid:86)(cid:87)AB(cid:41)(cid:285)(cid:46)E(cid:97)F(cid:97)(cid:286) =250km(cid:97) =250km(cid:97)(cid:148)(cid:246)(cid:454)(cid:39)(cid:433)(cid:268)(cid:86)(cid:87)EF(cid:41)(cid:241)(cid:178)(cid:407)
(cid:457)(cid:458)C(cid:473)(cid:213)(cid:72) 𝐸𝐶 𝐹𝐶
EC=FC(cid:97)
∴CD AB(cid:97)
∵ED=⊥FD(cid:97)
∴(cid:268) (cid:39)(cid:97)(cid:173)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:165)(cid:10)
𝑅=𝑡△70𝐶(𝐸k𝐷m)(cid:97)
𝐸𝐷 =140km(cid:97)
∴(cid:246)𝐸𝐹(cid:454)(cid:47)(cid:477)(cid:68)(cid:88)40km/h(cid:97)
∵140÷40=3.5(h)(cid:72)
∴(cid:246)(cid:454)(cid:457)(cid:458)(cid:139)(cid:472)(cid:473)(cid:478)(cid:479)(cid:47)(cid:241)(cid:330)(cid:88)3.5h (cid:72)
∴(cid:15)(cid:46)(cid:208)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:134)(cid:135)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:49)(cid:97)(cid:150)(cid:153)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:157)(cid:158)(cid:97)(cid:171)(cid:172)(cid:110)(cid:111)(cid:34)(cid:35)(cid:50)
(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:178)(cid:227)(cid:29)(cid:328)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:96)(cid:54)(cid:21)(cid:47)(cid:3)(cid:112)(cid:72)
【题型8 勾股定理及其逆定理的综合求
号
值★】全
科AA+
众
公
注
关
，
源
(cid:15)(cid:73)8(cid:20)(cid:74)24-2辅5(cid:124)资(cid:125)(cid:126)(cid:82)·(cid:357)(cid:358)(cid:481)(cid:357)·(cid:130)(cid:39)(cid:81)(cid:144)(cid:82)(cid:40)(cid:97)(cid:11)(cid:482)(cid:197)(cid:183)(cid:483)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:401)(cid:402) (cid:97)(cid:272)(cid:484)(cid:297)(cid:162)(cid:483)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:401)(cid:402)(cid:100)
教
(cid:485)(cid:30)(cid:141)(cid:26)(cid:33) (cid:154)(cid:25)(cid:32)(cid:33) (cid:97)(cid:100)(cid:280)(cid:486)(cid:487)(cid:45)(cid:233)(cid:115)(cid:257)(cid:47)(cid:437)(cid:438)(cid:72)(cid:225)(cid:294)(cid:372)(cid:97) 𝐴=𝐵𝐶90°(cid:97) =15(cid:97) =20(cid:97)
𝐴𝐵𝐷𝐸 𝐸𝐷𝐶 ∠𝐸𝐷𝐶 𝐷𝐶 𝐷𝐸=35(cid:97) =40(cid:97) =5(cid:97)(cid:53)(cid:141)(cid:26)(cid:33) (cid:47)(cid:304)(cid:362)(cid:72)(cid:74)(cid:488)(cid:412)(cid:10)(cid:403)(cid:81)
𝐷𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐴𝐵𝐷𝐸
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)450m
2
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:351)(cid:106)(cid:107)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:193)(cid:185) (cid:47)(cid:84)(cid:97)(cid:137)(cid:166)(cid:109)(cid:131)(cid:165)(cid:207) (cid:47)(cid:132)(cid:26)(cid:84)(cid:97)(cid:239)(cid:106)(cid:107)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:165)(cid:207)(cid:164)(cid:25)
(cid:32)(cid:33)(cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:137)(cid:166)(cid:165)(cid:207)𝐸(cid:250)𝐶(cid:53)(cid:304)(cid:362)(cid:88) (cid:47)(cid:304)(cid:362)△(cid:440)𝐴𝐵(cid:489)𝐶 (cid:47)(cid:304)(cid:362)(cid:97)(cid:108)(cid:109)(cid:165)(cid:207)(cid:98)(cid:99)(cid:121)
(cid:15)(cid:113)(cid:54)(cid:20)(cid:54)(cid:10) =90°(cid:97) =15(cid:97)△𝐴=𝐵𝐶20(cid:97) △𝐸𝐷𝐶
=25(cid:97) ∵∠𝐸𝐷𝐶 𝐷𝐶 𝐷𝐸
∴𝐶𝐸 = + =30(cid:97)
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐸+ 𝐶𝐸=50(cid:97) =40
∵𝐵𝐶 +𝐷𝐵 =𝐷𝐶2500= 𝐴𝐵(cid:97)
2 2 2
∴𝐴𝐵 (cid:96)𝐴𝐶(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)𝐵(cid:251)𝐶 =90°
∴△𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐴=450(m )
四边形
2
∴(cid:15)𝑆(cid:46)(cid:208)(cid:20)𝐴𝐵(cid:102)𝐷𝐸(cid:21)(cid:134)𝑆(cid:135)△𝐴(cid:103)𝐵𝐶(cid:104)−𝑆(cid:105)△(cid:34)𝐶𝐷(cid:35)𝐸 (cid:50)(cid:51)(cid:154)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:54)(cid:65)(cid:164)(cid:21)(cid:47)(cid:3)(cid:112)(cid:96)(cid:63)(cid:51)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:72)
(cid:15)(cid:122)(cid:123)8-1(cid:20)(cid:144)(cid:40) =90°(cid:97) =20(cid:97) =15(cid:97) =7(cid:97) =24(cid:97)(cid:53) (cid:47)(cid:68)(cid:36)(cid:72)
∠𝐵 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐷 ∠𝐷
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20) =90°
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)∠(cid:102)𝐷(cid:21)(cid:103)(cid:104)(cid:47)(cid:96)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:94)(cid:287) (cid:97)(cid:351)(cid:106)(cid:107)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:53)(cid:185) (cid:47)(cid:64)(cid:97)(cid:239)(cid:173)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)
2
(cid:50)(cid:51)(cid:23)(cid:24)(cid:185) (cid:47)(cid:33)(cid:149)(cid:108)(cid:109)(cid:72) 𝐴𝐶 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:113)(cid:54)(cid:20)(cid:54)(cid:10)△(cid:144)𝐴𝐶(cid:40)𝐷(cid:97)(cid:94)(cid:287) (cid:97)
𝐴𝐶 科AA+
全
号★
众
公
注
关
，
源
资
辅
教=90°(cid:97) =20(cid:97) =15(cid:97)
∵∠𝐵 = +𝐴𝐵 =20𝐵𝐶+15 =625(cid:97)
2 2 2 2 2
∴𝐴𝐶 =7𝐴(cid:97)𝐵 =𝐵𝐶24(cid:97)
∵𝐶𝐷 + 𝐴𝐷=7 +24 =625= (cid:97)
2 2 2 2 2
∴𝐶𝐷 𝐴(cid:96)𝐷(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97) 𝐴𝐶
∴△𝐴=𝐶𝐷90°(cid:72)
∴(cid:15)∠(cid:122)𝐷(cid:123)8-2(cid:20)(cid:144)(cid:40)(cid:97)(cid:197)(cid:183)(cid:483)(cid:141)(cid:26)(cid:33)(cid:437)(cid:490) (cid:97) =90°(cid:97) =4m(cid:97) =13m(cid:97) =12m(cid:97) =3
m(cid:97)(cid:139)(cid:437)(cid:490)(cid:47)(cid:304)(cid:362)(cid:88) m (cid:72) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐷𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐷𝐶
2
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)24
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:39)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:329)(cid:49)(cid:97)(cid:106)(cid:107)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:23)(cid:50)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:102)(cid:21)(cid:39)(cid:23)(cid:24)
(cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:96)(cid:54)(cid:21)(cid:47)(cid:3)(cid:112)(cid:72)
(cid:94)△(cid:287)𝐴𝐵𝐶(cid:97)(cid:106)(cid:107)(cid:54)(cid:31)(cid:32) (cid:53) (cid:47)(cid:84)(cid:68)(cid:97)(cid:53)(cid:55) (cid:88)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:106)(cid:107)(cid:141)(cid:26)(cid:33) (cid:47)(cid:304)(cid:362)= (cid:304)
(cid:362) 𝐴𝐶 (cid:304)(cid:362)(cid:108)(cid:109)(cid:272)△(cid:193)𝐴(cid:72)𝐷𝐶 𝐴𝐶 △𝐴𝐶𝐵 𝐴𝐵𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)−(cid:113)△(cid:54)(cid:20)𝐴𝐶(cid:144)𝐷(cid:40)(cid:97)(cid:94)(cid:287) (cid:72)
𝐴𝐶
=4m =3m =90°(cid:97)
科AA+
全
号★
众
公
注
∵𝐷𝐴=5m(cid:97),𝐶𝐷 ,∠𝐷， 关
源
资
辅
教
∴𝐴𝐶 =3×4× 1 =6(m )(cid:97)
2
2
∴𝑆△𝐴𝐶𝐷(cid:268) (cid:39)(cid:97) =5m =12m =13m(cid:97)
△𝐴𝐵+𝐶 =∵𝐴𝐶 (cid:97) ,𝐵𝐶 ,𝐴𝐵
2 2 2
∴𝐴𝐶 𝐵(cid:88)𝐶(cid:31)(cid:32)(cid:25)𝐴𝐵(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:251) =90°(cid:97)
∴
R
△
t
𝐴𝐵𝐶
(cid:47)(cid:304)(cid:362)=12×5
∠
×
𝐴1𝐶𝐵
=30(m )(cid:97)
2
2
∴ △𝐴𝐵𝐶
(cid:141)(cid:26)(cid:33) (cid:47)(cid:304)(cid:362)= =24(m )(cid:72)
2
∵(cid:116)(cid:98)(cid:99)(cid:88)𝐴(cid:10)𝐵𝐶2𝐷4(cid:72) 30−6
(cid:15)(cid:122)(cid:123)8-3(cid:20)(cid:74)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:82)·(cid:491)(cid:363)(cid:492)(cid:274)·(cid:130)(cid:39)(cid:81)(cid:15)(cid:493)(cid:494)(cid:42)(cid:495)(cid:103)(cid:20)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:496)(cid:497)(cid:166)(cid:498)(cid:499)(cid:97)(cid:219)(cid:47)(cid:55)(cid:248)(cid:480)(cid:233)(cid:480)(cid:500)(cid:97)
(cid:61)(cid:501)(cid:499)(cid:132)(cid:197)(cid:115)(cid:257)(cid:72)(cid:268)(cid:137)(cid:138)(cid:190)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:195)(cid:183)(cid:192)(cid:11)(cid:276)(cid:241)(cid:97)(cid:502)(cid:17)(cid:503)(cid:504)(cid:257)(cid:11)(cid:267)(cid:137)(cid:138)(cid:389)(cid:390)(cid:333)(cid:360)(cid:10)(cid:144)(cid:40)1(cid:97)(cid:162)(cid:96)(cid:49)(cid:343)(cid:344)(cid:505)
(cid:30)(cid:47)(cid:141)(cid:140)(cid:281)(cid:150)(cid:47)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:74)(cid:45)(cid:85)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:84)(cid:100)(cid:280)(cid:88)a(cid:97) > (cid:97)(cid:206)(cid:26)(cid:84)(cid:88)c(cid:81)(cid:154)(cid:183)(cid:140)(cid:26)(cid:84)(cid:88)c(cid:47)(cid:178)(cid:230)(cid:33)(cid:97)
(cid:365)(cid:506)(cid:297)(cid:219)(cid:267)(cid:295)(cid:30)(cid:183)(cid:140)(cid:40)(cid:33)(cid:97)(cid:139)(cid:40)(cid:33)(cid:27)(cid:260)(cid:55)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:72) 𝑏(𝑏 𝑎)
(cid:15)(cid:327)(cid:507)(cid:20)
(1)(cid:144)(cid:40)2(cid:97)(cid:162)(cid:96)(cid:199)(cid:508)(cid:257)(cid:11)(cid:295)(cid:30)(cid:47)(cid:40)(cid:33)(cid:72)(cid:365)(cid:506)(cid:48)(cid:49)(cid:40)2(cid:260)(cid:55)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:72)
(2)(cid:183)(cid:140)(cid:509)(cid:169)(cid:47)(cid:33)(cid:149)(cid:144)(cid:40)3(cid:250)(cid:205)(cid:97)(cid:510)(cid:315)(cid:70)(cid:50)(cid:97)(cid:509)(cid:169)(cid:39) (cid:154) (cid:163)(cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:97)(cid:511)(cid:96)(cid:63)(cid:38)(cid:509)(cid:169)(cid:72)(cid:144)(cid:40)4(cid:250)(cid:205)(cid:97)(cid:512)
(cid:398)(cid:17)(cid:513)(cid:294)(cid:165)(cid:509)(cid:169) =90°(cid:97) =39cm(cid:97) =3∠6𝐴cm𝐵𝐷(cid:97) ∠𝐶=9cm(cid:97) =12cm(cid:97)(cid:162)(cid:140)(cid:509)(cid:169)(cid:119)(cid:63)(cid:135)(cid:53)(cid:474)(cid:475)
(cid:365)(cid:23)(cid:24)(cid:283)(cid:247)(cid:56)(cid:51)∠(cid:173)𝐴(cid:72)𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(1)(cid:366)(cid:54)(cid:101)
(2)(cid:162)(cid:140)(cid:509)(cid:169)(cid:119)(cid:63)(cid:135)(cid:53)(cid:97)(cid:51)(cid:173)(cid:366)(cid:54)(cid:101)
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:134)(cid:135)(cid:103)(cid:104)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:55)(cid:56)(cid:114)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:59)(cid:49)(cid:150)(cid:44)(cid:282)(cid:46)(cid:97)(cid:110)(cid:111)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:71)(cid:49)(cid:96)
(cid:54)(cid:21)(cid:47)(cid:3)(cid:112)(cid:72)
(cid:74)1(cid:81) (cid:106)(cid:107)(cid:40)2(cid:49)(cid:45)(cid:233)(cid:230)(cid:248)(cid:204)(cid:205)(cid:185)(cid:18)(cid:178)(cid:230)(cid:33)(cid:47)(cid:304)(cid:362)(cid:97)(cid:262)(cid:352)(cid:137)(cid:138)(cid:179)(cid:51)(cid:108)(cid:109)(cid:54)(cid:98)(cid:121)
科AA+
全
(cid:74)2(cid:81)①(cid:106)(cid:107)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:260)(cid:55)(cid:154)(cid:96)(cid:28)号(cid:88)★(cid:31)(cid:32)(cid:108)(cid:109)(cid:23)(cid:24)(cid:162)(cid:140)(cid:509)(cid:169)(cid:96)(cid:28)(cid:119)(cid:63)(cid:135)(cid:53)(cid:72)
众
公
注
关
，
源
(cid:15)(cid:113)(cid:54)(cid:20)(cid:74)1教(cid:81)(cid:54)辅(cid:10) 资 (cid:106)(cid:107)(cid:40)2(cid:10)(cid:18)(cid:178)(cid:230)(cid:33)(cid:304)(cid:362)(cid:109)(cid:204)(cid:205)(cid:88)(cid:10) (cid:317) 1 ×4+ (cid:97)
2
2 2
∵ 𝑐 𝑎𝑏 (𝑏−𝑎)
1 ×4+ = (cid:97)(cid:108) + + = (cid:97)
2
2 2 2 2 2
∴ 𝑎𝑏 (𝑏−𝑎) 𝑐 2𝑎𝑏 𝑏 −2𝑎𝑏 𝑎 𝑐+ = (cid:72)
2 2 2
(cid:74)∴𝑎2(cid:81)(cid:54)𝑏(cid:10)(cid:162)𝑐(cid:140)(cid:509)(cid:169)(cid:119)(cid:63)(cid:135)(cid:53)(cid:97)(cid:51)(cid:173)(cid:144)(cid:82)(cid:10)
(cid:268)Rt (cid:39)(cid:97)(cid:106)(cid:107)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:109)(cid:165)(cid:10)
=△𝐴𝐵𝐷 =39 36 =225(cid:97)
2 2 2 2 2
(cid:268)𝐵𝐷 𝐴𝐷(cid:39)−(cid:97)𝐴𝐵 + −=9 +12 =225
2 2 2 2
△𝐵+𝐶𝐷 =𝐵𝐶 (cid:72)𝐶 𝐷
2 2 2
∴𝐵𝐶 𝐶(cid:96)𝐷(cid:31)(cid:32)𝐵(cid:25)𝐷(cid:32)(cid:33)(cid:97) (cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:72)(cid:251) =90°
∴(cid:162)△(cid:140)𝐵𝐶(cid:509)𝐷(cid:169)(cid:119)(cid:63)(cid:135)(cid:53)(cid:72) ∠𝐶 ∠𝐴𝐵𝐷
∴ 【题型9 利用勾股定理及其逆定理解决无刻度的尺规作图】
(cid:15)(cid:73)9(cid:20)(cid:74)24-25(cid:242)(cid:125)(cid:126)(cid:41)·(cid:75)(cid:363)(cid:514)(cid:274)·(cid:275)(cid:87)(cid:172)(cid:276)(cid:81)(cid:86)(cid:87) (cid:47)(cid:466)(cid:46) (cid:97) (cid:268)6×6(cid:47)(cid:178)(cid:230)(cid:33)(cid:37)(cid:38)(cid:47)(cid:38)(cid:46)(cid:74)(cid:37)(cid:38)(cid:86)(cid:47)
(cid:270)(cid:46)(cid:81)(cid:41)(cid:97)(cid:365)(cid:515)(cid:49)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:47)(cid:31)(cid:69)(cid:268)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:510)(cid:135)(cid:53)(cid:71)(cid:40)𝐴(cid:72)𝐵 𝐴 𝐵
(1)(cid:268)(cid:40) (cid:39)(cid:516)(cid:185)(cid:38)(cid:46) (cid:97)(cid:283)(cid:94)(cid:287) (cid:97) (cid:97)(cid:286) = + (cid:121)
2 2 2
(2)(cid:268)(cid:40)①(cid:39)(cid:71)(cid:185) 𝐶 (cid:47)(cid:517) (cid:97)𝐴𝐶(cid:283)(cid:31)𝐵𝐶(cid:287)(cid:382)(cid:185)𝐴𝐶 (cid:47)(cid:84)𝐴𝐵(cid:88)___𝐵_𝐶____(cid:72)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)②(1)(cid:366)(cid:54)(cid:101)△𝐴𝐵𝐶 𝐶𝐻 𝐶𝐻
(2)(cid:366)(cid:54)(cid:101)(cid:97) = 16
5
𝐶𝐻
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:74)1(cid:81)(cid:144)(cid:40) (cid:97)(cid:173)(cid:21)(cid:120)(cid:44)(cid:97) =2 +4 =20(cid:97) =2 +1 =5(cid:97) =3 +4 =25(cid:97)(cid:148)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= + (cid:97)(cid:38)(cid:46)①(cid:97) (cid:97) (cid:108)(cid:88)𝐴(cid:250)𝐵(cid:71)(cid:121) 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐶
2 2
(cid:74)2𝐴(cid:81)𝐵(cid:144)(cid:40)𝐵𝐶 (cid:97)(cid:71) 𝐶 𝐴(cid:97)𝐶 𝐵(cid:114)𝐶 (cid:47)(cid:270)(cid:46)(cid:88) (cid:97)(cid:55)(cid:56) (SAS)(cid:97)(cid:148) = (cid:97)(cid:109)(cid:53)
= ② ( △𝐵𝐶+𝐷 𝐶𝐷 )=𝐴𝐵90°(cid:97)(cid:108) 𝐻(cid:88) △(cid:47)𝐶𝐵(cid:517)𝐷(cid:97)≌(cid:173)△(cid:34)𝐴𝐸(cid:35)𝐵(cid:50)(cid:51)(cid:165)(cid:97) ∠𝐵=𝐶𝐷5(cid:97)(cid:173)∠(cid:21)𝐸𝐴(cid:120)𝐵(cid:44)(cid:97) =
∠1𝐵𝐻 × 𝐶 1 = 801°− ∠ × 𝐵𝐶𝐷 (cid:97)(cid:108) ∠1𝐴 × 𝐵𝐸 5× = 1 × 𝐶 4 𝐻 ×4 △ (cid:97) 𝐴 (cid:272) 𝐵 (cid:193) 𝐶 (cid:53)(cid:54)(cid:108)(cid:109)(cid:72) 𝐴𝐵 𝑆△𝐴𝐵𝐶
2 2 2 2
科AA+
(cid:15)𝐴(cid:113)𝐵 (cid:54)𝐶(cid:20)𝐻(cid:74)1(cid:81)𝐵(cid:54)𝐶 (cid:10)𝐴(cid:144)𝐸(cid:40) (cid:97) 𝐶𝐻 号★ 全
众
公
注
关
，
源
辅 资 ①
教(cid:173)(cid:21)(cid:120)(cid:44)(cid:97) =2 +4 =20(cid:97) =2 +1 =5(cid:97) =3 +4 =25(cid:97)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
= 𝐴𝐵+ (cid:97) 𝐵𝐶 𝐴𝐶
2 2 2
∴(cid:38)𝐴𝐶(cid:46) (cid:97)𝐴𝐵 (cid:97)𝐵𝐶(cid:108)(cid:88)(cid:250)(cid:71)(cid:121)
∴(cid:74)2(cid:81)(cid:54)𝐶 (cid:10)𝐴(cid:144)𝐶(cid:40)𝐵𝐶(cid:97)(cid:71) (cid:97) (cid:114) (cid:47)(cid:270)(cid:46)(cid:88) (cid:97)
② △𝐵𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐻
=4= (cid:97) =90°= (cid:97) =3= (cid:97)
∵𝐶𝐵 𝐴𝐸 ∠(𝐶S𝐵A𝐷S)(cid:97) ∠𝐴𝐸𝐵 𝐵𝐷 𝐸𝐵
∴△𝐶𝐵𝐷=≌△𝐴𝐸(cid:97)𝐵
∴∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐸𝐴𝐵= + =90°(cid:97)
∴∠𝐵𝐶𝐷 =∠𝐴𝐵𝐸 ( ∠𝐸𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐸)=90°(cid:97)
∴∠𝐵𝐻(cid:88)𝐶 180(cid:47)°−(cid:517)∠(cid:97)𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐸
∴(cid:173)𝐶(cid:34)𝐻(cid:35)(cid:50)△(cid:51)𝐴𝐵(cid:165)𝐶(cid:97) =5(cid:97)
= 1 × 𝐴𝐵 = 1 × (cid:97)(cid:108) 1 ×5× = 1 ×4×4(cid:97)
2 2 2 2
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐻 𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐶𝐻
16
(cid:54)(cid:165)(cid:97) = (cid:72)
5
(cid:15)(cid:46)(cid:208)𝐶(cid:20)𝐻(cid:102)(cid:21)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:281)(cid:150)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:23)(cid:50)(cid:42)(cid:157)(cid:158)(cid:97)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:170)(cid:32)(cid:154)(cid:50)(cid:51)(cid:150)(cid:44)
(cid:282)(cid:72)(cid:171)(cid:172)(cid:110)(cid:111)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:281)(cid:150)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:23)(cid:50)(cid:42)(cid:157)(cid:158)(cid:97)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:170)(cid:32)(cid:154)(cid:50)(cid:51)(cid:96)(cid:54)(cid:21)(cid:47)(cid:3)(cid:112)(cid:72)
科AA+
全
(cid:15)(cid:122)(cid:123)9-1(cid:20)(cid:74)2025·(cid:243)(cid:244)(cid:518)(cid:274)·(cid:80)(cid:292)(cid:293)(cid:294)号(cid:81)★(cid:144)(cid:40)(cid:250)(cid:205)(cid:47)(cid:37)(cid:38)(cid:96)(cid:178)(cid:230)(cid:33)(cid:37)(cid:38)(cid:97)(cid:148) + = (cid:74)(cid:46) (cid:97)
众
公
注
关
，
源
(cid:97) (cid:96)(cid:37)(cid:38)(cid:86)(cid:270)辅(cid:46)资(cid:81)(cid:97)(cid:365)(cid:325)(cid:49)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:47)(cid:31)(cid:69)(cid:97)(cid:268)(cid:144)(cid:40)(cid:250)(cid:205)(cid:47)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:97)(cid:519)(cid:185)(cid:54)∠(cid:65)𝑃(cid:139)𝐴𝐵(cid:21)(cid:47)∠(cid:3)𝑃(cid:112)𝐵𝐴(cid:495)(cid:413)(cid:47)(cid:94)(cid:86)(cid:72)𝐴
教
𝐵 𝑃(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)45°(cid:317)45(cid:68)
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:391)(cid:32)(cid:47)(cid:157)(cid:158)(cid:97)(cid:150)(cid:153)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:23)(cid:50)(cid:154)(cid:157)(cid:158)(cid:97)
(cid:289)(cid:84) (cid:270)(cid:38)(cid:46)(cid:200) (cid:97)(cid:94)(cid:287) (cid:97)(cid:106)(cid:107)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:165)(cid:207) = =1 +2 =5(cid:97) =1 +3 =10(cid:97)(cid:53)(cid:165)
2 2 2 2 2 2 2 2
+ 𝐴𝑃= (cid:97)(cid:200)𝐷(cid:96)(cid:165)(cid:207)𝐵𝐷 =90°(cid:97)(cid:106)(cid:107)(cid:25)(cid:32)𝑃(cid:33)𝐷(cid:391)(cid:32)𝐵(cid:47)𝐷(cid:157)(cid:158)(cid:108)(cid:109)(cid:165)(cid:207)(cid:284)(cid:238)𝑃(cid:97)𝐵(cid:178)(cid:227)(cid:47)(cid:71)(cid:185)(cid:338)(cid:339)(cid:86)(cid:96)(cid:54)(cid:21)𝑃𝐷(cid:47)
2 2
(cid:3)𝐷(cid:112)𝐵(cid:72) 𝑃𝐵 ∠𝑃𝐷𝐵
(cid:15)(cid:113)(cid:54)(cid:20)(cid:54)(cid:10)(cid:289)(cid:84) (cid:270)(cid:38)(cid:46)(cid:200) (cid:97)(cid:94)(cid:287) (cid:97)
𝐴𝑃 𝐷 𝐵𝐷
= =1 +2 =5(cid:97) =1 +3 =10(cid:97)
2 2 2 2 2 2 2
∴𝑃𝐷 + 𝐵𝐷 = (cid:97) 𝑃𝐵
2 2 2
∴𝑃𝐷 𝐷=𝐵90°(cid:97)𝑃𝐵
∴∠𝑃𝐷𝐵 (cid:88)(cid:150)(cid:153)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)
∴△𝑃𝐵𝐷= + =45°(cid:97)
(cid:116)∴∠(cid:98)𝐷𝑃(cid:99)𝐵(cid:88)(cid:10)∠4𝑃5𝐴°𝐵(cid:72) ∠𝑃𝐵𝐴
(cid:15)(cid:122)(cid:123)9-2(cid:20)(cid:74)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:41)·(cid:75)(cid:363)(cid:394)(cid:357)·(cid:130)(cid:421)(cid:81)(cid:144)(cid:40)(cid:96)4×4(cid:178)(cid:230)(cid:33)(cid:37)(cid:38)(cid:97)(cid:43)(cid:44)(cid:38)(cid:46)A(cid:97)B(cid:97)(cid:365)(cid:49)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:31)(cid:69)
(cid:510)(cid:135)(cid:53)(cid:71)(cid:40)(cid:72)
(1)(cid:268)(cid:40)1(cid:39)(cid:97)(cid:131) (cid:88)(cid:153)(cid:97)(cid:71)(cid:150)(cid:153) (cid:121)
(2)(cid:268)(cid:40)2(cid:39)(cid:97)(cid:131)𝐴𝐵(cid:88)(cid:206)(cid:26)(cid:97)(cid:71)(cid:31)(cid:32)△𝐴𝐵𝐶 (cid:97)(cid:286)
科
(cid:61)
A
(cid:304)
A
(cid:362)+(cid:215)(cid:199)(cid:72)
全
号★
众
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(1)(cid:366)(cid:113)𝐴(cid:54)𝐵
注
公△𝐴𝐵𝑀
关
，
源
资
辅
(2)(cid:366)(cid:113)(cid:54) 教
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:150)(cid:153)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:50)(cid:226)(cid:60)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:171)(cid:172)(cid:110)(cid:111)(cid:150)(cid:153)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:50)(cid:226)(cid:60)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:96)(cid:54)(cid:21)(cid:47)(cid:3)(cid:112)(cid:72)
(cid:74)1(cid:81)(cid:106)(cid:107)(cid:150)(cid:153)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:50)(cid:226)(cid:97)(cid:137)(cid:138)(cid:71)(cid:40)(cid:97)(cid:108)(cid:109)(cid:165)(cid:54)(cid:121)
(cid:74)2(cid:81)(cid:106)(cid:107)(cid:304)(cid:362)(cid:215)(cid:199)(cid:97)(cid:148) (cid:47)(cid:64)(cid:215)(cid:199)(cid:97)(cid:251)(cid:283)(cid:251)(cid:146)(cid:147)(cid:131) (cid:88)(cid:206)(cid:26)(cid:97)(cid:71)(cid:31)(cid:32) (cid:162)(cid:140)(cid:85)(cid:169)(cid:97)(cid:284)(cid:63)(cid:34)(cid:35)(cid:50)
(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:71)(cid:40)(cid:108)(cid:109)(cid:72) 𝐴𝑀·𝐵𝑀 𝐴𝐵 △𝐴𝐵𝑀
(cid:15)(cid:113)(cid:54)(cid:20)(cid:74)1(cid:81)(cid:54)(cid:10)(cid:150)(cid:153) (cid:144)(cid:40)(cid:250)(cid:205)(cid:10)
△𝐴𝐵𝐶
(cid:74)2(cid:81)(cid:54)(cid:10)(cid:31)(cid:32) (cid:144)(cid:40)(cid:250)(cid:205)(cid:10)
△𝐴𝐵𝑀
(cid:15)(cid:122)(cid:123)9-3(cid:20)(cid:74)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:41)·(cid:394)(cid:395)(cid:84)(cid:520)·(cid:275)(cid:87)(cid:172)(cid:276)(cid:81)(cid:40) (cid:114)(cid:40) (cid:114)(cid:40) (cid:96)3×3(cid:47)(cid:178)(cid:230)(cid:33)(cid:37)(cid:38)(cid:97)(cid:277)(cid:140)(cid:199)(cid:178)(cid:230)
(cid:33)(cid:47)(cid:26)(cid:84)(cid:163)(cid:88)1(cid:72)(cid:86)(cid:87) (cid:47)(cid:466)(cid:46)(cid:268)(cid:38)(cid:46)(cid:41)(cid:72)(cid:325)(cid:49)(cid:66)(cid:67)(cid:68)①(cid:47)(cid:31)(cid:69)②(cid:97)(cid:268)(cid:184)(cid:50)③(cid:47)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:510)(cid:135)(cid:53)(cid:519)(cid:40)(cid:97)(cid:250)(cid:519)(cid:40)(cid:33)(cid:47)
(cid:269)(cid:46)(cid:198)(cid:268)(cid:38)(cid:46)(cid:41)(cid:97)(cid:115)(cid:135)𝐴(cid:53)𝐵(cid:382)(cid:185)(cid:519)(cid:248)(cid:97)(cid:283)(cid:231)(cid:521)(cid:71)(cid:40)(cid:522)(cid:523)(cid:72)
(1)(cid:268)(cid:40) (cid:39)(cid:131)AB(cid:88)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:519)(cid:183)(cid:140)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:286)(cid:219)(cid:47)(cid:304)(cid:362)(cid:88)3(cid:72)
(2)(cid:268)(cid:40)①(cid:39)(cid:131)AB(cid:88)(cid:26)(cid:519)(cid:183)(cid:140)(cid:150)(cid:153)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:286)(cid:219)(cid:47)(cid:304)(cid:362)(cid:88)3(cid:72)
科AA+
(3)(cid:268)(cid:40)②(cid:39)(cid:131)AB(cid:88)(cid:206)(cid:26)(cid:519)(cid:183)(cid:140)(cid:150)(cid:153)(cid:31)号(cid:32)(cid:25)★(cid:32) 全 (cid:33)(cid:72)
众
公
注
关
，
源
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)③(1)(cid:366)(cid:54)辅(cid:101)资
教
(2)(cid:366)(cid:54)(cid:101)(3)(cid:366)(cid:54)(cid:101)
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:134)(cid:135)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:38)(cid:46)(cid:519)(cid:40)(cid:114)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:114)(cid:150)(cid:153)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:50)(cid:226)(cid:150)(cid:44)(cid:282)(cid:46)(cid:72)(cid:110)(cid:111)(cid:93)(cid:3)(cid:50)(cid:226)(cid:30)(cid:88)(cid:54)(cid:21)(cid:47)
(cid:3)(cid:112)(cid:72)
(cid:74)1(cid:81)(cid:106)(cid:107)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:50)(cid:226)(cid:131)(cid:60)(cid:304)(cid:362)(cid:88)3(cid:519)(cid:185)(cid:250)(cid:53)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:108)(cid:109)(cid:121)
(cid:74)2(cid:81)(cid:106)(cid:107)(cid:150)(cid:153)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:50)(cid:226)(cid:131)(cid:60)(cid:304)(cid:362)(cid:88)3(cid:519)(cid:185)(cid:250)(cid:53)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:108)(cid:109)(cid:121)
(cid:74)3(cid:81)(cid:106)(cid:107)(cid:150)(cid:153)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:50)(cid:226)(cid:519)(cid:185)(cid:250)(cid:53)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:108)(cid:109)(cid:72)
(cid:15)(cid:113)(cid:54)(cid:20)(cid:74)1(cid:81)(cid:54)(cid:10)(cid:144)(cid:40) (cid:114)(cid:40) (cid:108)(cid:88)(cid:250)(cid:53)(cid:72)
① ②
(cid:74)2(cid:81)(cid:54)(cid:10)(cid:144)(cid:40) (cid:108)(cid:88)(cid:250)(cid:53)(cid:72)
③
(cid:74)3(cid:81)(cid:54)(cid:10)(cid:144)(cid:40) (cid:108)(cid:88)(cid:250)(cid:53)(cid:72)
④
科AA+
全
号★
众
公
注
关
，
源
资
辅
教