文档文本内容
专题 1.2 一定是直角三角形吗（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)2024(cid:20)
教辅资源,关注公众号•全科AA+
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:20)............................................................................................................2
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:20)....................................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:23)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:20)........................................................................................................................3
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:40)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:46)(cid:20)............................................................................................4
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:53)(cid:54)(cid:20)................................................................................................................4
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:55)(cid:56)(cid:20)................................................................................................................5
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:49)(cid:20)................................................................................................................6
(cid:15)(cid:21)(cid:22)8 (cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:62)(cid:63)(cid:53)(cid:64)(cid:20)........................................................................................................8
(cid:15)(cid:21)(cid:22)9 (cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:54)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:47)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:40)(cid:20)............................................................................9
知识点1 直角三角形的判别条件
1. 定义：如果三角形的三边 ， ， 满足 + = 那么这个三角形是直角三角形(cid:72)（此判别条件也称
2 2 2
为勾股定理的逆定理） 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法：
从角度上判断 三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余
从边长上判断 两条较短边的平方和等于最长边的平方
知识点2 勾股数
1. 勾股数
定义 满足 + = 的三个正整数，称为勾股数
2 2 2
三𝑎个数都𝑏 是正𝑐整数
满足条件
①两个较小整数的平方和等于最大整数的平方
②勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍
拓展
为勾股数.
， ， +1（ 大于1的全部数）；
常见形式
2 2
①𝑛 −，1 2𝑛 ，𝑛 +1𝑛（n为正整数）等
2 2
2. 判断勾股数的方法步②骤4𝑛: 4𝑛 −1 4𝑛
教辅资源，关注公众号★全科AA+(1)确定三个是正整数；
(2)确定最大的数字与另外两个较小的数，分别计算最大的数的平方与另外两个较小的数的平方和；
(3)进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则是勾股数,否则不是(cid:72)
【题型1 判断三边能否构成直角三角形】
(cid:15)(cid:73)1(cid:20)(cid:74)2025·(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)·(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:68)(cid:47)(cid:45)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:42)(cid:84)(cid:68)(cid:88)12(cid:47)(cid:86)(cid:87)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:27)(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:25)(cid:32)(cid:33)
(cid:47)(cid:96)(cid:74) (cid:81)
A(cid:72)6(cid:97)9 B(cid:72)9(cid:97)15 C(cid:72)10(cid:97)16 D(cid:72)15(cid:97)18
(cid:15)(cid:98)(cid:99)1-1(cid:20)(cid:74)24-25(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:82)·(cid:103)(cid:16)(cid:104)(cid:105)·(cid:106)(cid:39)(cid:81)(cid:107)(cid:82)(cid:83)(cid:108)(cid:95)(cid:36)(cid:88)(cid:26)(cid:84)(cid:97)(cid:109)(cid:107)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:96)(cid:74)(cid:110)(cid:110)(cid:81)
A(cid:72)2(cid:97)3(cid:97)4 B(cid:72)3(cid:97)4(cid:97)6 C(cid:72)6(cid:97)8(cid:97)10 D(cid:72)7(cid:97)24(cid:97)26
(cid:15)(cid:98)(cid:99)1-2(cid:20)(cid:74)24-25(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:82)·(cid:111)(cid:112)(cid:77)(cid:113)·(cid:106)(cid:39)(cid:81)(cid:43)(cid:44)a(cid:114)b(cid:114)c(cid:96)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:25)(cid:26)(cid:84)(cid:97)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)( ) +( 12)
2 2
+| |=0(cid:97)(cid:119)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:33)(cid:120)(cid:96)(cid:74) (cid:81) 𝑎−9 𝑏−
A𝑐−(cid:72)1(cid:31)5 (cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33) B(cid:72)(cid:121)(cid:26)(cid:25)(cid:32)(cid:33)
C(cid:72)(cid:122)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33) D(cid:72)(cid:123)(cid:42)(cid:124)(cid:125)(cid:93)(cid:121)(cid:47)(cid:121)(cid:124)(cid:25)(cid:32)(cid:33)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)1-3(cid:20)(cid:74)24-25(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:82)·(cid:126)(cid:127)(cid:25)(cid:56)·(cid:106)(cid:39)(cid:81)(cid:43)(cid:44) (cid:97) (cid:97) (cid:96) (cid:47)(cid:25)(cid:85)(cid:26)(cid:97)(cid:119)(cid:82)(cid:83)(cid:85)(cid:128)(cid:27)(cid:23)(cid:50)
(cid:88)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:96)(cid:74) (cid:81) 𝑎 𝑏 𝑐 △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:72) =1:2:3 B(cid:72)( + ) +( ) =2
2 2 2
C(cid:72)𝑎:𝑏:𝑐 =2:3:4 D(cid:72) 𝑎 =𝑏 =𝑎−𝑏 𝑐
【题型
∠2 𝐴 :∠
勾
𝐵
股
:∠
数
𝐶
】
∠𝐴 ∠𝐵 2∠𝐶
(cid:15)(cid:73)2(cid:20)(cid:74)2023·(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:129)·(cid:39)(cid:130)(cid:131)(cid:21)(cid:81)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:96)(cid:132)(cid:27)(cid:30)(cid:88)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:25)(cid:85)(cid:26)(cid:84)(cid:47)(cid:25)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:36)(cid:97)(cid:136)(cid:137)(cid:41)(cid:138)(cid:139)(cid:92)
(cid:140)(cid:141)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:7)(cid:99)(cid:47)(cid:96)(cid:39)(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:36)(cid:11)(cid:145)(cid:71)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:72)(cid:152)(cid:153)(cid:34)(cid:35)(cid:36)a(cid:97)b(cid:97)c(cid:97)(cid:61)(cid:39) (cid:97) (cid:154)(cid:155)(cid:156) (cid:97) = 1
2
2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑚 −
1 (cid:97) = 1 + 1 (cid:97) (cid:96)(cid:18)(cid:156)1(cid:47)(cid:157)(cid:36)(cid:97)(cid:119) = (cid:74)(cid:49)(cid:158) (cid:47)(cid:99)(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:81)(cid:72)
2 2 2
2
(cid:15)(cid:98)𝑐(cid:99)2 𝑚 -1(cid:20)(cid:74)24- 𝑚 25(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:82)·(cid:162)(cid:77)(cid:163)(cid:164)𝑏 ·(cid:106)(cid:39)(cid:81)(cid:165)(cid:142)(cid:96)(cid:166)(cid:167)(cid:168)𝑚(cid:54)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:47)(cid:142)(cid:169)(cid:170)(cid:139)(cid:97)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:156)(cid:165)(cid:142)(cid:143)(cid:144)
(cid:145)(cid:175)(cid:47)(cid:36)(cid:11)(cid:145)(cid:71)(cid:146)(cid:163)(cid:176)(cid:149)(cid:177)(cid:151)(cid:39)(cid:97)(cid:82)(cid:83)(cid:108)(cid:95)(cid:36)(cid:39)(cid:97)(cid:96)“(cid:34)(cid:35)(cid:36)”(cid:47)(cid:96)(cid:74) (cid:81)
A(cid:72)5(cid:97)12(cid:97)11 B(cid:72)6(cid:97)8(cid:97)10 C(cid:72)7(cid:97)8(cid:97)9 D(cid:72)15(cid:97)17(cid:97)18
(cid:15)(cid:98)(cid:99)2-2(cid:20)(cid:74)23-24(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:82)·(cid:162)(cid:16)(cid:178)(cid:50)·(cid:106)(cid:39)(cid:81)(cid:179)8(cid:97)15(cid:97) (cid:96)(cid:139)(cid:95)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:97)(cid:119) (cid:47)(cid:64)(cid:88) (cid:72)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)2-3(cid:20)(cid:74)22-23(cid:180)(cid:101)(cid:102)(cid:41)·(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:184)·(cid:106)(cid:39)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:185)(cid:186)(cid:10)𝑥 𝑥
(cid:187)(cid:88)0.6(cid:97)0.8(cid:97)1(cid:125)(cid:96)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:97)(cid:188)(cid:107)(cid:107)0.6(cid:97)0.8(cid:97)1(cid:88)(cid:26)(cid:47)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:125)(cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)
①(cid:179)a(cid:97)b(cid:97)c(cid:96)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:97)(cid:189) > (cid:97) > (cid:97)(cid:119)(cid:190)(cid:153) + =
2 2 2
② 𝑐 𝑏 𝑐 𝑎 𝑎 𝑏 𝑐
教辅资源，关注公众号★全科AA+(cid:187)(cid:107)0.5(cid:97)1.2(cid:97)1.3(cid:88)(cid:26)(cid:84)(cid:47)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:188)(cid:107)0.5(cid:97)1.2(cid:97)1.3(cid:96)(cid:34)(cid:35)(cid:36)
③(cid:179)(cid:25)(cid:133)(cid:135)(cid:36)a(cid:97)b(cid:97)c(cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:25)(cid:85)(cid:26)(cid:97)(cid:119) (cid:97) (cid:97) (cid:190)(cid:96)(cid:34)(cid:35)(cid:36)
④(cid:61)(cid:39)(cid:134)(cid:191)(cid:47)(cid:96) (cid:74)(cid:192)(cid:193)(cid:9)(cid:81)(cid:72) 3𝑎 3𝑏 3𝑐
【题型3 网格中判断直角三角形】
(cid:15)(cid:73)3(cid:20)(cid:115)(cid:40)(cid:97)(cid:194)(cid:139)(cid:133)6×6(cid:47)(cid:134)(cid:195)(cid:33)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:97)(cid:153)(cid:25)(cid:133)(cid:38)(cid:46)(cid:25)(cid:32)(cid:33)((cid:196)(cid:46)(cid:194)(cid:37)(cid:38)(cid:47)(cid:197)(cid:46)(cid:41))(cid:97)(cid:61)(cid:39)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:47)
(cid:133)(cid:36)(cid:96) (cid:74) (cid:81)
A(cid:72)0 B(cid:72)1 C(cid:72)2 D(cid:72)3
(cid:15)(cid:98)(cid:99)3-1(cid:20)(cid:74)24-25(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:41)·(cid:126)(cid:127)(cid:198)(cid:199)·(cid:200)(cid:87)(cid:201)(cid:202)(cid:81)(cid:115)(cid:40)(cid:188)(cid:161)(cid:97)(cid:194)4×4(cid:47)(cid:134)(cid:195)(cid:33)(cid:37)(cid:38)(cid:40)(cid:39)(cid:97)(cid:155)(cid:134)(cid:195)(cid:33)(cid:47)(cid:196)
(cid:46)(cid:203)(cid:88)(cid:38)(cid:46)(cid:97) (cid:47)(cid:196)(cid:46)(cid:204)(cid:194)(cid:38)(cid:46)(cid:41)(cid:97)(cid:205)(cid:133)(cid:155)(cid:134)(cid:195)(cid:33)(cid:47)(cid:26)(cid:84)(cid:154)(cid:88)1(cid:97)(cid:119) (cid:47)(cid:33)(cid:120)(cid:206)(cid:207)(cid:166)(cid:208)(cid:191)(cid:47)(cid:96)(cid:74) (cid:81)
△𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
教辅资源,关注公众号•全科AA+
A(cid:72)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33) B(cid:72)(cid:121)(cid:124)(cid:25)(cid:32)(cid:33) C(cid:72)(cid:121)(cid:124)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33) D(cid:72)(cid:121)(cid:26)(cid:25)(cid:32)(cid:33)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)3-2(cid:20)(cid:74)24-25(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:41)·(cid:209)(cid:142)·(cid:106)(cid:39)(cid:81)(cid:115)(cid:40)(cid:188)(cid:161)(cid:47)(cid:96)(cid:134)(cid:195)(cid:33)(cid:37)(cid:38)(cid:97)(cid:119) = °(cid:74)(cid:46) (cid:97) (cid:97)
(cid:97) (cid:97) (cid:88)(cid:37)(cid:38)(cid:86)(cid:197)(cid:46)(cid:81)(cid:72) ∠𝑀𝐷𝐶−∠𝑀𝐴𝐵 𝐴 𝐵
𝐶 𝐷 𝑀
(cid:15)(cid:98)(cid:99)3-3(cid:20)(cid:74)2025·(cid:162)(cid:16)(cid:210)(cid:184)·(cid:80)(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:81)(cid:40)(cid:96)(cid:214)(cid:155)(cid:134)(cid:195)(cid:33)(cid:215)(cid:30)(cid:47)(cid:37)(cid:38)(cid:97) (cid:45)(cid:46)(cid:154)(cid:194)(cid:38)(cid:46)(cid:41)(cid:97) (cid:45)(cid:46)(cid:154)(cid:88)
(cid:155)(cid:134)(cid:195)(cid:33)(cid:139)(cid:26)(cid:47)(cid:39)(cid:46)(cid:97)(cid:31)(cid:86) (cid:42)(cid:31)(cid:86) (cid:197)(cid:156)(cid:46) (cid:97)(cid:119) =(cid:74) (cid:81) 𝐴,𝐵 𝐶,𝐷
𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐸 ∠𝐵𝐸𝐷
教辅资源，关注公众号★全科AA+A(cid:72)60° B(cid:72)75° C(cid:72)90° D(cid:72)105°
【题型4 图形上与已知两点构成直角三角形的点】
(cid:15)(cid:73)4(cid:20)(cid:46) A(cid:74)2(cid:97)m(cid:81)(cid:97)B(cid:74)2(cid:97)m-5(cid:81)(cid:194)(cid:216)(cid:217)(cid:31)(cid:32)(cid:218)(cid:219)(cid:220)(cid:39)(cid:97)(cid:46)O(cid:88)(cid:218)(cid:219)(cid:221)(cid:46)(cid:72)(cid:179) ABO(cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)
(cid:119)m(cid:47)(cid:64)(cid:125)(cid:109)(cid:27)(cid:96)(cid:74) (cid:81) △
A(cid:72)4 B(cid:72)2 C(cid:72)1 D(cid:72)0
(cid:15)(cid:98)(cid:99)4-1(cid:20)(cid:43)(cid:44)(cid:46) (cid:47)(cid:218)(cid:219)(cid:88)(3,5)(cid:97)(cid:46) (cid:194) (cid:222)(cid:41)(cid:97)(cid:189) =13(cid:97)(cid:223)(cid:224)(cid:46) (cid:47)(cid:218)(cid:219)(cid:88) .
(cid:15)(cid:98)(cid:99)4-2(cid:20)(cid:194)(cid:216)(cid:217)(cid:31)𝐴 (cid:32)(cid:218)(cid:219)(cid:220)(cid:39)(cid:97)(cid:46)A𝐵(cid:47)(cid:218)𝑥(cid:219)(cid:88)(1(cid:97)𝐴1)𝐵(cid:97)(cid:46)B(cid:47)(cid:218)(cid:219)(cid:88)𝐵(11(cid:97)1)(cid:97)(cid:46)C(cid:225)(cid:31)(cid:86)AB(cid:47)(cid:226)(cid:227)(cid:88)
5(cid:97)(cid:189) ABC(cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:119)(cid:117)(cid:118)(cid:85)(cid:128)(cid:47)C(cid:46)(cid:153)((cid:110)(cid:110))
A(cid:72)△4(cid:133) B(cid:72)5(cid:133) C(cid:72)6(cid:133) D(cid:72)8(cid:133)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)4-3(cid:20)(cid:46) (cid:194) (cid:222)(cid:41)(cid:97) (4,1)(cid:114) (1,4)(cid:97)(cid:115)(cid:116) (cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:53)(cid:46) (cid:47)(cid:218)(cid:219)(cid:72)
【题型5 利用 𝑃 勾股 𝑦 定理的逆 𝐴 定理求 𝐵 解】 △𝐴𝐵𝑃 𝑃
(cid:15)(cid:73)5(cid:20)(cid:74)24-25(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:82)·(cid:126)(cid:127)(cid:228)(cid:229)·(cid:106)(cid:39)(cid:81)(cid:115)(cid:40)(cid:97)(cid:194) (cid:39)(cid:97) =90°(cid:97) = (cid:97) (cid:96) (cid:230)(cid:47)
(cid:139)(cid:46)(cid:97)(cid:189) =1(cid:97) =2(cid:97) =3(cid:97)(cid:119) (cid:47)(cid:68)(cid:36)(cid:88)△(cid:74)𝐴(cid:110)𝐵𝐶(cid:110)(cid:81) ∠𝐴𝐶𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝑃 △𝐴𝐵𝐶
𝑃𝐵 𝑃𝐶 𝑃𝐴 ∠𝐵𝑃𝐶
A(cid:72)120° B(cid:72)135° C(cid:72)140° D(cid:72)150°
(cid:15)(cid:98)(cid:99)5-1(cid:20)(cid:74)24-25(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:41)·(cid:231)(cid:75)(cid:232)(cid:199)·(cid:106)(cid:39)(cid:81)(cid:115)(cid:40)(cid:97)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:233)(cid:234) (cid:47)(cid:25)(cid:26)(cid:84)(cid:235)(cid:236)(cid:88) =6(cid:97) =8(cid:97)
=10(cid:97)(cid:152)(cid:237)(cid:26) (cid:238) (cid:239)(cid:240)(cid:97)(cid:241)(cid:171)(cid:242)(cid:194)(cid:26) (cid:41)(cid:97)(cid:46) (cid:42)(cid:46) (cid:243)(cid:63)(cid:97)𝐴𝐵(cid:53)𝐶 (cid:47)(cid:84)(cid:72) 𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐶 𝐸 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:98)(cid:99)5-2(cid:20)(cid:115)(cid:40)(cid:97)(cid:194)(cid:111)(cid:26)(cid:33)ABCD(cid:39)(cid:97)AB(cid:10)BC(cid:10)CD(cid:10)DA=2(cid:10)2(cid:10)3(cid:10)1(cid:97)(cid:189) ABC=90°(cid:97)(cid:119) DAB(cid:47)(cid:68)(cid:36)
(cid:96) °(cid:72) ∠ ∠
教辅资源，关注公众号★全科AA+(cid:15)(cid:98)(cid:99)5-3(cid:20)(cid:74)24-25(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:82)·(cid:244)(cid:245)(cid:63)(cid:246)·(cid:106)(cid:39)(cid:81)(cid:115)(cid:40)(cid:97)(cid:194) (cid:39)(cid:97) = = = (cid:47)(cid:216)(cid:235)(cid:86)
(cid:197) (cid:156)(cid:46) (cid:97)(cid:46) (cid:97) (cid:235)(cid:236)(cid:88)(cid:86)(cid:87) (cid:97)(cid:26) (cid:41)(cid:47)(cid:247)(cid:46)(cid:72)(cid:119)△𝑂𝐴𝐵+ (cid:47)𝑂𝐴(cid:166)(cid:155)3(cid:64),𝑂(cid:88)𝐵(cid:74)(cid:110)4,(cid:110)𝐴𝐵(cid:81) 5,∠𝑂𝐴𝐵
𝐴𝐶 𝑂𝐵 𝐶 𝑃 𝑄 𝐴𝐶 𝑂𝐴 𝑂𝑃 𝑃𝑄
A(cid:72)2 B(cid:72)2.4 C(cid:72)2.5 D(cid:72)2.6
【题型6 利用勾股定理的逆定理证明】
(cid:15)(cid:73)6(cid:20)(cid:74)24-25(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:82)·(cid:181)(cid:248)(cid:249)(cid:250)·(cid:200)(cid:87)(cid:201)(cid:202)(cid:81)(cid:50)(cid:251)(cid:10)(cid:194) (cid:39)(cid:97)(cid:179) = (cid:97) = (cid:97) = (cid:97)(cid:189)a(cid:97)
b(cid:97)c(cid:117)(cid:118) + = (cid:97)(cid:119)(cid:203)(cid:252)(cid:133)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:88)“(cid:253)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:32)(cid:33)△”(cid:72)𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝑎 𝐴𝐶 𝑏 𝐴𝐵 𝑐
2 2
(cid:254)(cid:255)(cid:256)(cid:107)(cid:41)𝑎𝑐(cid:50)(cid:251)𝑎(cid:54)(cid:65)𝑏(cid:82)(cid:83)(cid:257)(cid:21)(cid:10)
(1)(cid:115)(cid:40)1(cid:97)(cid:179)(cid:121)(cid:124)(cid:25)(cid:32)(cid:33) (cid:96)“(cid:253)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:32)(cid:33)”(cid:97) = (cid:97) > (cid:97)(cid:53) (cid:47)(cid:68)(cid:36)(cid:72)
(2)(cid:115)(cid:40)2(cid:97)(cid:194) (cid:39)(cid:97)𝐴𝐵𝐶= (cid:97)(cid:189) > 𝐴𝐵(cid:97)D𝐵(cid:96)𝐶 AB𝐴𝐶(cid:41)(cid:47)𝐴(cid:46)𝐵(cid:97)(cid:94)∠(cid:258)𝐶CD(cid:97)(cid:117)(cid:118) = (cid:97)(cid:259)(cid:46) (cid:71)
(cid:97)(cid:260)(cid:118)△(cid:88)𝐴𝐵(cid:72)𝐶(cid:53)(cid:55)∠(cid:10)𝐵 2∠𝐴(cid:88)“(cid:253)∠(cid:34)𝐴𝐶(cid:35)𝐵(cid:25)(cid:32)∠(cid:33)𝐴”(cid:72) 𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐶
(cid:15)𝐶𝐸(cid:98)⊥(cid:99)𝐴𝐵6-1(cid:20)(cid:74)22-𝐸23(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:82)△·(cid:162)𝐴𝐵(cid:77)𝐶(cid:261)(cid:262)·(cid:106)(cid:39)(cid:81)(cid:115)(cid:40)(cid:97) (cid:39)(cid:97) (cid:47)(cid:260)(cid:31)(cid:216)(cid:235)(cid:86) (cid:235)(cid:236)(cid:197) (cid:114) (cid:156)(cid:46)
D(cid:97)E(cid:97)(cid:189) = (cid:72) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐷𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐵
2 2 2
𝐴𝐷 −𝐷𝐶 𝐵𝐶
教辅资源，关注公众号★全科AA+(1)(cid:53)(cid:55)(cid:10) =90°(cid:263)
(2)(cid:179) =∠8𝐶(cid:97) =4(cid:97)(cid:53) (cid:47)(cid:84)(cid:72)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)𝐴𝐶6-2(cid:20)(cid:74)𝐵2𝐶4-25(cid:100)(cid:101)(cid:102)𝐴𝐷(cid:82)·(cid:162)(cid:16)(cid:264)(cid:181)·(cid:106)(cid:39)(cid:81)(cid:43)(cid:44) (cid:47)(cid:25)(cid:26) = ( >1)(cid:97) = (cid:97) = +1(cid:72)
2 2
(1)(cid:53)(cid:55)(cid:10) (cid:96) (cid:47)(cid:166)(cid:84)(cid:26)(cid:263) △𝐴𝐵𝐶 𝑎 𝑛 −1 𝑛 𝑏 2𝑛 𝑐 𝑛
(2)(cid:53)(cid:55)(cid:10)𝑐 △𝐴(cid:96)𝐵𝐶(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:263)
(3)(cid:31)(cid:258)(cid:265)(cid:141)△(cid:139)𝐴𝐵(cid:95)𝐶(cid:117)(cid:118) (cid:47)(cid:25)(cid:26)(cid:84)(cid:97)(cid:61)(cid:39)(cid:158)(cid:134)(cid:135)(cid:36)12(cid:72)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)6-3(cid:20)(cid:74)2025·(cid:162)△(cid:16)𝐴(cid:266)𝐵𝐶(cid:267)·(cid:139)(cid:80)(cid:81)(cid:15)(cid:257)(cid:21)(cid:268)(cid:141)(cid:20)
(cid:74)1(cid:81)(cid:115)(cid:40)1(cid:97) (cid:269) (cid:204)(cid:96)(cid:121)(cid:26)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:46) (cid:194) (cid:230)(cid:270)(cid:97)(cid:94)(cid:258) (cid:97) (cid:97) (cid:72)
(cid:53)(cid:55)(cid:10) =△𝐴𝐵(cid:263)𝐶 △𝐷𝐶𝐸 𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐵𝐷
①(cid:179) 𝐵𝐷=15𝐴0𝐸°(cid:97)(cid:53)(cid:55)(cid:10) = + (cid:263)
2 2 2
②(cid:15)(cid:257)(cid:21)∠𝐴(cid:271)𝐷(cid:272)𝐶(cid:20) 𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐶𝐷
(cid:74)2(cid:81)(cid:115)(cid:40)2(cid:72) (cid:269) (cid:204)(cid:96)(cid:121)(cid:26)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:46) (cid:194) (cid:273)(cid:270)(cid:97)(cid:179) = + (cid:274)(cid:275)(cid:30)(cid:276)(cid:97)(cid:53)
2 2 2
(cid:47)(cid:68)(cid:36)(cid:72)教辅△资𝐴源𝐵,𝐶关注△公𝐷众𝐶𝐸号•全科AA+ 𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐶𝐷 ∠𝐴𝐷𝐶
【题型7 勾股定理的逆定理实际应用】
(cid:15)(cid:73)7(cid:20)(cid:74)24-25(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:82)·(cid:277)(cid:278)(cid:279)(cid:221)·(cid:106)(cid:39)(cid:81)(cid:115)(cid:40)(cid:97)(cid:139)(cid:280)(cid:66)(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:194)(cid:285)(cid:39)(cid:46)A(cid:286)(cid:97)(cid:46)A(cid:42)(cid:287)(cid:217)(cid:41)(cid:46)B(cid:170)(cid:288)
(cid:47)(cid:226)(cid:227) =20(cid:289)(cid:97)(cid:46)A(cid:42)(cid:287)(cid:217)(cid:41)(cid:46)C(cid:74)(cid:46)B(cid:114)C(cid:286)(cid:156)(cid:290)(cid:139)(cid:291)(cid:216)(cid:217)(cid:41)(cid:81)(cid:47)(cid:226)(cid:227) =25(cid:289)(cid:97)(cid:189) =15(cid:289)(cid:72)
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶
(1)(cid:53) (cid:47)(cid:68)(cid:36)(cid:263)
(2)(cid:152)∠(cid:252)𝐴(cid:280)𝐵𝐶(cid:66)(cid:281)(cid:282)(cid:238) (cid:188)(cid:194)(cid:31)(cid:86)(cid:292)(cid:82)(cid:293)(cid:294)(cid:295)(cid:46)D(cid:286)(cid:97)(cid:179)(cid:46)D(cid:296)(cid:297)(cid:194)(cid:26) (cid:47)(cid:260)(cid:31)(cid:216)(cid:235)(cid:86)(cid:41)(cid:97)(cid:94)(cid:258) (cid:97)(cid:53)(cid:252)(cid:280)
(cid:66)(cid:281)(cid:282)(cid:292)(cid:82)(cid:293)(cid:294)(cid:47)(cid:226)𝐴𝐵(cid:227)(cid:74) (cid:47)(cid:84)(cid:81)(cid:72) 𝐴𝐶 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:98)(cid:99)7-1(cid:20)(cid:74)24-25(cid:100)(cid:101)𝐴(cid:102)𝐷(cid:82)·(cid:75)(cid:248)(cid:298)(cid:199)·(cid:200)(cid:87)(cid:201)(cid:202)(cid:81)(cid:115)(cid:40)(cid:97)(cid:299)(cid:155)(cid:300)(cid:47)(cid:45)(cid:133)(cid:301)(cid:302) (cid:97) (cid:303)(cid:156)(cid:155)(cid:304) (cid:47)(cid:290)(cid:305)(cid:97)(cid:45)
𝐴 𝐵 𝐴𝐶
教辅资源，关注公众号★全科AA+(cid:133)(cid:301)(cid:302)(cid:170)(cid:288)(cid:47)(cid:226)(cid:227) =25m(cid:72)(cid:152)(cid:306)(cid:88)(cid:301)(cid:302)(cid:307)(cid:308)(cid:309)(cid:291)(cid:310)(cid:311) (cid:97) (cid:97)(cid:309)(cid:291)(cid:46) (cid:194)(cid:155)(cid:304) (cid:41)(cid:97)(cid:309)(cid:291)(cid:46) (cid:225) (cid:47)
(cid:226)(cid:227) =12m(cid:97)𝐴𝐵 =15m(cid:72) 𝐴𝑀 𝐵𝑀 𝑀 𝐴𝐶 𝑀 𝐴𝐵
𝑀𝑁 𝐵𝑀
(1)(cid:53)(cid:309)(cid:291)(cid:46) (cid:225)(cid:301)(cid:302) (cid:312)(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:47)(cid:310)(cid:311)(cid:84) (cid:72)
(2)(cid:53)(cid:55)(cid:10) 𝑀 =90𝐴°(cid:72) 𝐴𝑀
(cid:15)(cid:98)(cid:99)7-2∠(cid:20)𝐵𝑀(cid:74)𝐴24-25(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:41)·(cid:162)(cid:77)(cid:313)(cid:314)·(cid:106)(cid:315)(cid:81)(cid:299)(cid:249)(cid:247)(cid:316)(cid:107)(cid:317)(cid:178)(cid:114)(cid:318)(cid:319)(cid:114)(cid:320)(cid:321)(cid:88)(cid:141)(cid:322)(cid:46)(cid:97)(cid:323)(cid:249)(cid:247)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:300)(cid:327)
(cid:294)(cid:168)(cid:328)(cid:329)(cid:308)(cid:330)(cid:72)(cid:115)(cid:40)(cid:97)(cid:111)(cid:26)(cid:33) (cid:88)(cid:325)(cid:331)(cid:300)(cid:332)(cid:97)(cid:111)(cid:163)(cid:96)(cid:333)(cid:311)(cid:97) (cid:97)(cid:39)(cid:288)(cid:96)(cid:334)(cid:335)(cid:336)(cid:337)(cid:300)(cid:332)(cid:97)(cid:88)(cid:338)(cid:339)(cid:340)
(cid:341)(cid:97)(cid:39)(cid:288)(cid:342)(cid:343)(cid:168)(cid:344)(cid:27)(cid:345)(cid:317)(cid:178)(cid:346)𝐴(cid:247)𝐵(cid:333)𝐶𝐷(cid:311) (cid:97)(cid:177)(cid:213)(cid:347) =9(cid:97) =𝐴1𝐵2(cid:97)⊥𝐵𝐶 =8(cid:97) =17(cid:72)
𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐷
(1)(cid:53)(cid:55)(cid:10) (cid:72)
(2)(cid:53)(cid:111)(cid:26)(cid:33)𝐴𝐶⊥𝐶𝐷(cid:47)(cid:217)(cid:348)(cid:72)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)7-3(cid:20)𝐴(cid:165)𝐵𝐶(cid:349)𝐷(cid:350)(cid:351)(cid:177)(cid:352)(cid:353)(cid:184)(cid:354)(cid:355)(cid:356)(cid:357)(cid:358)(cid:97)(cid:184)(cid:354)(cid:96)(cid:139)(cid:336)(cid:359)(cid:275)(cid:360)(cid:361)(cid:97)(cid:171)(cid:107)(cid:184)(cid:354)(cid:39)(cid:329)(cid:88)(cid:362)(cid:329)(cid:194)(cid:163)(cid:363)(cid:41)(cid:364)(cid:289)(cid:47)(cid:365)
(cid:363)(cid:230)(cid:33)(cid:30)(cid:366)(cid:367)(cid:356)(cid:368)(cid:97)(cid:153)(cid:366)(cid:369)(cid:47)(cid:370)(cid:371)(cid:372)(cid:72)(cid:115)(cid:40)(cid:97)(cid:153)(cid:139)(cid:184)(cid:354)(cid:39)(cid:329)(cid:238)(cid:182)(cid:248)(cid:195)(cid:292)AB(cid:214)(cid:46)A(cid:294)(cid:373)(cid:292)(cid:46)B(cid:97)(cid:43)(cid:44)(cid:46)C(cid:88)
(cid:139)(cid:374)(cid:375)(cid:97)(cid:189)(cid:46)C(cid:42)(cid:31)(cid:86)AB(cid:41)(cid:45)(cid:46)A(cid:97)B(cid:47)(cid:226)(cid:227)(cid:235)(cid:236)(cid:88)300km(cid:269)400km(cid:97)(cid:189) =500km(cid:97)(cid:107)(cid:184)(cid:354)(cid:39)(cid:329)(cid:88)(cid:362)
(cid:329)(cid:163)(cid:363)250km(cid:107)(cid:230)(cid:88)(cid:353)(cid:357)(cid:358)(cid:300)(cid:332)(cid:72) 𝐴𝐵
(1)(cid:53)(cid:55)(cid:10) =90°(cid:263)
(2)(cid:374)(cid:375)C∠(cid:353)𝐴(cid:184)𝐶𝐵(cid:354)(cid:357)(cid:358)(cid:376)(cid:377)(cid:88)(cid:378)(cid:224)(cid:377)
(3)(cid:179)(cid:184)(cid:354)(cid:47)(cid:379)(cid:68)(cid:88)40km/h(cid:97)(cid:119)(cid:184)(cid:354)(cid:357)(cid:358)(cid:380)(cid:374)(cid:375)(cid:381)(cid:382)(cid:47)(cid:383)(cid:288)(cid:153)(cid:384)(cid:84)(cid:377)
教辅资源，关注公众号★全科AA+【题型8 勾股定理及其逆定理的综合求值】教辅资源,关注公众号•全科AA+
(cid:15)(cid:73)8(cid:20)(cid:74)24-25(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:82)·(cid:244)(cid:245)(cid:385)(cid:244)·(cid:106)(cid:39)(cid:81)(cid:115)(cid:82)(cid:40)(cid:97)(cid:11)(cid:386)(cid:153)(cid:139)(cid:387)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:285)(cid:287) (cid:97)(cid:330)(cid:388)(cid:237)(cid:252)(cid:387)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:285)(cid:287)(cid:235)
(cid:389)(cid:30)(cid:111)(cid:26)(cid:33) (cid:269)(cid:25)(cid:32)(cid:33) (cid:97)(cid:235)(cid:236)(cid:390)(cid:391)(cid:45)(cid:336)(cid:125)(cid:290)(cid:47)(cid:334)(cid:335)(cid:72)(cid:177)(cid:213)(cid:347)(cid:97) 𝐴=𝐵𝐶90°(cid:97) =15(cid:97) =20(cid:97)
=35(cid:97)𝐴𝐵𝐷=𝐸40(cid:97) =𝐸5𝐷(cid:97)𝐶(cid:53)(cid:111)(cid:26)(cid:33) (cid:47)(cid:217)(cid:348)(cid:72)(cid:74)(cid:392)(cid:303)(cid:10)(cid:289)(cid:81) ∠𝐸𝐷𝐶 𝐷𝐶 𝐷𝐸
𝐷𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐴𝐵𝐷𝐸
(cid:15)(cid:98)(cid:99)8-1(cid:20)(cid:115)(cid:40) =90°(cid:97) =20(cid:97) =15(cid:97) =7(cid:97) =24(cid:97)(cid:53) (cid:47)(cid:68)(cid:36)(cid:72)
∠𝐵 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐷 ∠𝐷
(cid:15)(cid:98)(cid:99)8-2(cid:20)(cid:115)(cid:40)(cid:97)(cid:153)(cid:139)(cid:387)(cid:111)(cid:26)(cid:33)(cid:334)(cid:393) (cid:97) =90°(cid:97) =4m(cid:97) =13m(cid:97) =12m(cid:97) =3
m(cid:97)(cid:380)(cid:334)(cid:393)(cid:47)(cid:217)(cid:348)(cid:88) m (cid:72) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐷𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐷𝐶
2
(cid:15)(cid:98)(cid:99)8-3(cid:20)(cid:74)24-25(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:82)·(cid:394)(cid:248)(cid:395)(cid:199)·(cid:106)(cid:39)(cid:81)(cid:15)(cid:396)(cid:397)(cid:42)(cid:398)(cid:130)(cid:20)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:399)(cid:400)(cid:401)(cid:402)(cid:403)(cid:97)(cid:171)(cid:47)(cid:55)(cid:186)(cid:384)(cid:336)(cid:384)(cid:404)(cid:97)
(cid:61)(cid:405)(cid:403)(cid:108)(cid:153)(cid:125)(cid:290)(cid:72)(cid:194)(cid:327)(cid:294)(cid:146)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:151)(cid:139)(cid:148)(cid:11)(cid:202)(cid:383)(cid:97)(cid:406)(cid:17)(cid:407)(cid:408)(cid:290)(cid:11)(cid:409)(cid:327)(cid:294)(cid:271)(cid:272)(cid:410)(cid:247)(cid:10)(cid:115)(cid:40)1(cid:97)(cid:252)(cid:96)(cid:49)(cid:233)(cid:234)(cid:411)
(cid:30)(cid:47)(cid:111)(cid:133)(cid:209)(cid:121)(cid:47)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:74)(cid:45)(cid:85)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:84)(cid:235)(cid:236)(cid:88)a(cid:97) > (cid:97)(cid:412)(cid:26)(cid:84)(cid:88)c(cid:81)(cid:269)(cid:139)(cid:133)(cid:26)(cid:84)(cid:88)c(cid:47)(cid:134)(cid:195)(cid:33)(cid:97)
(cid:254)(cid:413)(cid:237)(cid:171)(cid:409)(cid:215)(cid:30)(cid:139)(cid:133)(cid:40)(cid:33)(cid:97)(cid:380)(cid:40)(cid:33)(cid:27)(cid:414)(cid:55)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:72) 𝑏(𝑏 𝑎)
(cid:15)(cid:415)(cid:416)(cid:20)
教辅资源，关注公众号★全科AA+(1)(cid:115)(cid:40)2(cid:97)(cid:252)(cid:96)(cid:155)(cid:417)(cid:290)(cid:11)(cid:215)(cid:30)(cid:47)(cid:40)(cid:33)(cid:72)(cid:254)(cid:413)(cid:48)(cid:49)(cid:40)2(cid:414)(cid:55)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:72)
(2)(cid:139)(cid:133)(cid:418)(cid:128)(cid:47)(cid:33)(cid:120)(cid:115)(cid:40)3(cid:188)(cid:161)(cid:97)(cid:419)(cid:420)(cid:70)(cid:50)(cid:97)(cid:418)(cid:128)(cid:39) (cid:269) (cid:204)(cid:96)(cid:31)(cid:32)(cid:97)(cid:421)(cid:96)(cid:63)(cid:38)(cid:418)(cid:128)(cid:72)(cid:115)(cid:40)4(cid:188)(cid:161)(cid:97)(cid:422)
(cid:281)(cid:17)(cid:423)(cid:213)(cid:424)(cid:418)(cid:128) =90°(cid:97) =39cm(cid:97) =3∠6𝐴cm𝐵𝐷(cid:97) ∠𝐶=9cm(cid:97) =12cm(cid:97)(cid:252)(cid:133)(cid:418)(cid:128)(cid:425)(cid:63)(cid:306)(cid:53)(cid:376)(cid:377)
(cid:254)(cid:23)(cid:24)(cid:426)(cid:185)(cid:56)(cid:51)∠(cid:214)𝐴(cid:72)𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷
【题型9 利用勾股定理及其逆定理解决无刻度的尺规作图】
(cid:15)(cid:73)9(cid:20)(cid:74)24-25(cid:180)(cid:101)(cid:102)(cid:41)·(cid:75)(cid:248)(cid:427)(cid:199)·(cid:200)(cid:87)(cid:201)(cid:202)(cid:81)(cid:86)(cid:87) (cid:47)(cid:367)(cid:46) (cid:97) (cid:194)6×6(cid:47)(cid:134)(cid:195)(cid:33)(cid:37)(cid:38)(cid:47)(cid:38)(cid:46)(cid:74)(cid:37)(cid:38)(cid:86)(cid:47)
(cid:197)(cid:46)(cid:81)(cid:41)(cid:97)(cid:254)(cid:428)(cid:49)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:47)(cid:31)(cid:69)(cid:194)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:419)(cid:306)(cid:53)(cid:71)(cid:40)𝐴(cid:72)𝐵 𝐴 𝐵
(1)(cid:194)(cid:40) (cid:39)(cid:429)(cid:141)(cid:38)(cid:46) (cid:97)(cid:426)(cid:94)(cid:258) (cid:97) (cid:97)(cid:241) = + (cid:263)
2 2 2
(2)(cid:194)(cid:40)①(cid:39)(cid:71)(cid:141) 𝐶 (cid:47)(cid:430) (cid:97)𝐴𝐶(cid:426)(cid:31)𝐵𝐶(cid:258)(cid:265)(cid:141)𝐴𝐶 (cid:47)(cid:84)𝐴𝐵(cid:88)___𝐵_𝐶____(cid:72)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)②9-1(cid:20)(cid:74)202△5·𝐴(cid:181)𝐵(cid:182)𝐶 (cid:431)(cid:199)𝐶·𝐻(cid:80)(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:81)(cid:115)(cid:40)𝐶(cid:188)𝐻(cid:161)(cid:47)(cid:37)(cid:38)(cid:96)(cid:134)(cid:195)(cid:33)(cid:37)(cid:38)(cid:97)(cid:119) + = (cid:74)(cid:46) (cid:97)
(cid:97) (cid:96)(cid:37)(cid:38)(cid:86)(cid:197)(cid:46)(cid:81)(cid:97)(cid:254)(cid:432)(cid:49)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:47)(cid:31)(cid:69)(cid:97)(cid:194)(cid:115)(cid:40)(cid:188)(cid:161)(cid:47)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:97)(cid:433)(cid:141)(cid:54)∠(cid:65)𝑃(cid:380)𝐴𝐵(cid:21)(cid:47)∠(cid:3)𝑃(cid:434)𝐵𝐴(cid:398)(cid:304)(cid:47)(cid:94)(cid:86)(cid:72)𝐴
𝐵 𝑃
(cid:15)(cid:98)(cid:99)9-2(cid:20)(cid:74)24-25(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:41)·(cid:75)(cid:248)(cid:277)(cid:244)·(cid:106)(cid:315)(cid:81)(cid:115)(cid:40)(cid:96)4×4(cid:134)(cid:195)(cid:33)(cid:37)(cid:38)(cid:97)(cid:43)(cid:44)(cid:38)(cid:46)A(cid:97)B(cid:97)(cid:254)(cid:49)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:31)(cid:69)
(cid:419)(cid:306)(cid:53)(cid:71)(cid:40)(cid:72)
(1)(cid:194)(cid:40)1(cid:39)(cid:97)(cid:107) (cid:88)(cid:124)(cid:97)(cid:71)(cid:121)(cid:124) (cid:263)教辅资源,关注公众号•全科AA+
(2)(cid:194)(cid:40)2(cid:39)(cid:97)(cid:107)𝐴𝐵(cid:88)(cid:412)(cid:26)(cid:97)(cid:71)(cid:31)(cid:32)△𝐴𝐵𝐶 (cid:97)(cid:241)(cid:61)(cid:217)(cid:348)(cid:166)(cid:155)(cid:72)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)9-3(cid:20)(cid:74)24𝐴-𝐵25(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:41)·(cid:277)(cid:278)(cid:84)△(cid:435)𝐴𝐵·(cid:200)𝑀(cid:87)(cid:201)(cid:202)(cid:81)(cid:40) (cid:114)(cid:40) (cid:114)(cid:40) (cid:96)3×3(cid:47)(cid:134)(cid:195)(cid:33)(cid:37)(cid:38)(cid:97)(cid:205)(cid:133)(cid:155)(cid:134)(cid:195)
(cid:33)(cid:47)(cid:26)(cid:84)(cid:204)(cid:88)1(cid:72)(cid:86)(cid:87) (cid:47)(cid:367)(cid:46)(cid:194)(cid:38)(cid:46)(cid:41)(cid:72)(cid:432)(cid:49)(cid:66)(cid:67)(cid:68)①(cid:47)(cid:31)(cid:69)②(cid:97)(cid:194)(cid:140)(cid:50)③(cid:47)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:419)(cid:306)(cid:53)(cid:433)(cid:40)(cid:97)(cid:188)(cid:433)(cid:40)(cid:33)(cid:47)
𝐴𝐵
教辅资源，关注公众号★全科AA+(cid:196)(cid:46)(cid:154)(cid:194)(cid:38)(cid:46)(cid:41)(cid:97)(cid:125)(cid:306)(cid:53)(cid:265)(cid:141)(cid:433)(cid:186)(cid:97)(cid:426)(cid:178)(cid:436)(cid:71)(cid:40)(cid:437)(cid:438)(cid:72)
(1)(cid:194)(cid:40) (cid:39)(cid:107)AB(cid:88)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:433)(cid:139)(cid:133)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:241)(cid:171)(cid:47)(cid:217)(cid:348)(cid:88)3(cid:72)
(2)(cid:194)(cid:40)①(cid:39)(cid:107)AB(cid:88)(cid:26)(cid:433)(cid:139)(cid:133)(cid:121)(cid:124)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:241)(cid:171)(cid:47)(cid:217)(cid:348)(cid:88)3(cid:72)
(3)(cid:194)(cid:40)②(cid:39)(cid:107)AB(cid:88)(cid:412)(cid:26)(cid:433)(cid:139)(cid:133)(cid:121)(cid:124)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:72)
③
教辅资源，关注公众号★全科AA+
