文档文本内容
专题 2.11 直角三角形全等的判定（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19)........................................................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19)............................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:35)(cid:36)HL(cid:37)(cid:30)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:19).....................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:35)(cid:36)HL(cid:37)(cid:30)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:28)(cid:45)(cid:19).............................................................................................................9
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:35)(cid:36)HL(cid:37)(cid:30)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:32)(cid:33)(cid:42)(cid:43)(cid:46)(cid:31)(cid:19)...............................................................................................13
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:35)(cid:36)HL(cid:37)(cid:30)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:45)(cid:46)(cid:31)(cid:19)...............................................................................................16
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:35)(cid:36)HL(cid:37)(cid:30)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:32)(cid:33)(cid:42)(cid:43)(cid:47)(cid:38)(cid:48)(cid:49)(cid:3)(cid:50)(cid:19)...............................................................................18
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:35)(cid:36)HL(cid:37)(cid:30)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:32)(cid:33)(cid:42)(cid:43)(cid:47)(cid:38)(cid:51)(cid:52)(cid:3)(cid:50)(cid:19)...............................................................................23
知识点 斜边、直角边定理（HL） +
A
A
科
全
★
1. (cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:24)(cid:34)(cid:28)(cid:54)(cid:57)(cid:58)(cid:46)(cid:31)(cid:38)(cid:59)(cid:60)(cid:34)(cid:28)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)众(cid:62)(cid:63) 号 (cid:64)(cid:65)(cid:66)“(cid:53)(cid:54)(cid:67)(cid:34)(cid:28)(cid:54)”(cid:68)“HL”(cid:69)(cid:70)
公
注
关
，
源
2. (cid:48)(cid:11)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74):(cid:75)(cid:76)教(cid:77)(cid:78) 辅 Rt 资 (cid:79)Rt (cid:80)(cid:61) (cid:79) (cid:81)(cid:34)(cid:28)(cid:69)(cid:77) = = ， ，
′ ′
′ ′ ′ ′ 𝐴𝐵 𝐴′𝐵′
△𝐴𝐵𝐶 △𝐴 𝐵 𝐶 ∠𝐶 ∠𝐶 𝐵𝐶 𝐵 𝐶
Rt Rt (HL)(cid:70)
′ ′ ′
∴ △𝐴𝐵𝐶≌ △𝐴 𝐵 𝐶
【题型1 添加条件使三角形全等】
(cid:15)(cid:82)1(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)·(cid:91)(cid:80)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:92)(cid:93) (cid:77)(cid:94)(cid:95)(cid:81)(cid:96)O(cid:77) = (cid:77)(cid:97)(cid:98)(cid:99)“HL”(cid:32)(cid:33)
Rt Rt (cid:77)(cid:100)(cid:101)(cid:97)(cid:22)(cid:23)(cid:38)(cid:56)(cid:60)(cid:24)(cid:25)(cid:102)(cid:61) (cid:69)𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 𝐴𝑂 𝐶𝑂
△𝐴𝐵𝑂≌ △𝐶𝐷𝑂
A(cid:70) B(cid:70) = C(cid:70) = D(cid:70) =
𝐴𝐵∥𝐶𝐷 𝑂𝐵 𝑂𝐷 ∠𝐴 ∠𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐷(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)D
(cid:15)(cid:57)(cid:105)(cid:19)(cid:106)(cid:20)(cid:107)(cid:108)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:77)(cid:98)(cid:99)HL(cid:81)(cid:59)(cid:24)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:109)(cid:34)(cid:28)(cid:54)(cid:110)(cid:111)(cid:46)(cid:31)(cid:38)(cid:34)(cid:28)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:77)
(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:62)(cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:118)(cid:10) (cid:77)
= ∵𝐴𝐶=⊥9𝐵0°𝐷(cid:77)
∴∠𝐴𝑂=𝐵 (cid:77)∠𝐶𝑂𝐷
∵(cid:119)𝐴𝑂 =𝐶𝑂 (cid:120)(cid:77)Rt Rt (HL)(cid:121)
(cid:122)∴ (cid:123)𝐴𝐵D(cid:70)𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝑂≌ △𝐶𝐷𝑂
(cid:15)(cid:124)(cid:125)1-1(cid:19)(cid:61)22-23(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:126)·(cid:30)(cid:127)·(cid:91)(cid:80)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77) (cid:80)(cid:77) (cid:128)O(cid:77)(cid:129)(cid:97)(cid:98)(cid:99)“HL”(cid:114)(cid:130)
(cid:77)(cid:100)(cid:101)(cid:97)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:70) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝑂⊥𝐵𝐶
△𝐴𝐵𝑂≌△𝐴𝐶𝑂
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19) = 源 ，
资
辅
教
(cid:15)(cid:57)(cid:105)(cid:19)𝐴(cid:106)𝐵(cid:20)(cid:131)𝐴(cid:97)𝐶(cid:107)(cid:108)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:77)(cid:98)(cid:99)“(cid:53)(cid:54)(cid:34)(cid:28)(cid:54)”(cid:38)(cid:133)(cid:118)(cid:62)(cid:134)(cid:103)(cid:104)(cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:118)(cid:10) (cid:77)
= ∵𝐴𝑂=⊥90𝐵°𝐶(cid:77)
∴(cid:119)∠𝐴𝑂𝐵= ∠(cid:120)𝐴𝑂(cid:77)𝐶
(cid:78)𝐴Rt𝐵 𝐴𝐶 (cid:55)Rt (cid:80)(cid:77)
=△𝐴𝐵𝑂 △𝐴𝐶𝑂
(cid:77)
=
𝐴𝐵 𝐴𝐶
𝐴R𝑂t 𝐴𝑂 Rt (HL)(cid:77)
(cid:122)∴(cid:103)(cid:104)△(cid:81)𝐴𝐵(cid:10)𝑂≌ =△𝐴 𝐶(cid:70)𝑂
(cid:15)(cid:124)(cid:125)1-2(cid:19)𝐴(cid:61)𝐵24-𝐴2𝐶5(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:126)·(cid:30)(cid:127)·(cid:91)(cid:80)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77) (cid:81) (cid:38)(cid:135)(cid:77)E(cid:81) (cid:126)(cid:56)(cid:96)(cid:77) (cid:136) (cid:128)(cid:96)F(cid:77)(cid:137)(cid:138)
= (cid:77) = (cid:77)(cid:97)(cid:32)(cid:33) (cid:101)(cid:97)𝐴(cid:38)𝐷(cid:114)(cid:130)△(cid:139)𝐴(cid:140)𝐵𝐶(cid:102)(cid:61) (cid:69) 𝐴𝐶 𝐵𝐸 𝐴𝐷
𝐵𝐹 𝐴𝐶 𝐹𝐷 𝐶𝐷 △𝐴𝐷𝐶≌△𝐵𝐷𝐹A(cid:70)HL B(cid:70)SSS C(cid:70)AAS D(cid:70)ASA
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)A
(cid:15)(cid:57)(cid:105)(cid:19)(cid:106)(cid:20)(cid:107)(cid:108)(cid:132)(cid:34)(cid:28)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:38)(cid:114)(cid:130).
(cid:98)(cid:99) (cid:102)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:135)(cid:77)(cid:134)(cid:141) = =90°(cid:77)(cid:122)(cid:62)(cid:98)(cid:99)HL(cid:62)(cid:63)(cid:114)(cid:130)(cid:70)
(cid:15)(cid:117)𝐴(cid:118)𝐷(cid:19)(cid:118)(cid:10) (cid:102)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)∠(cid:135)𝐵𝐷(cid:77)𝐹 ∠𝐴𝐷𝐶
= ∵𝐴𝐷=90°(cid:77)
∴∠𝐵𝐷=𝐹 (cid:77)∠𝐴𝐷𝐶= (cid:77)
∵𝐵𝐹 𝐴𝐶 𝐹𝐷 (cid:61)𝐶𝐷HL(cid:69)(cid:77)
∴(cid:122)△(cid:123)𝐴A𝐷(cid:70)𝐶≌△𝐵𝐷𝐹
+
A
(cid:15)(cid:124)(cid:125)1-3(cid:19)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78) (cid:55) (cid:80)(cid:77) = =90°(cid:77) = (cid:77)科(cid:129)(cid:97)A(cid:36)“(cid:53)(cid:54)(cid:67)(cid:34)(cid:28)(cid:54)(HL)”(cid:34)(cid:142)(cid:32)
全
★
号
众
(cid:33)Rt Rt △(cid:77)𝐴(cid:143)𝐵(cid:100)𝐶 (cid:101)△(cid:144)𝐷(cid:145)𝐹(cid:24)𝐸(cid:25)(cid:10)∠ 𝐴 ∠ 公𝐷 (cid:70) 𝐴𝐶 𝐷𝐸
注
关
，
源
△𝐴𝐵𝐶≌ △𝐷𝐹𝐸 辅 资
教
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19) =
(cid:15)(cid:57)(cid:105)(cid:19)由𝐵𝐶 =𝐹𝐸 ， = ，即可推出Rt Rt ，于是得到答案．本题考查直角三角形全等
的判定，关𝐴键𝐶是掌𝐷握𝐸直𝐵角𝐶三角𝐹𝐸形全等的判定方△法𝐴．𝐵𝐶≌ △𝐷𝐹𝐸
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)证明：在Rt 和Rt 中，
= △𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐹𝐸
，
=
𝐴𝐶 𝐷𝐸
𝐵R𝐶t 𝐹𝐸 Rt (HL)．
故∴ 答△案𝐴为𝐵：𝐶≌ =△𝐷𝐹．𝐸
【题型2 证 𝐵𝐶 明直 𝐹 角 𝐸 三角形全等】
(cid:15)(cid:82)2(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:146)(cid:88)(cid:147)(cid:148)·(cid:91)(cid:149)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:150)(cid:54)(cid:29) (cid:80)(cid:77) (cid:77)(cid:151)(cid:142) (cid:77)(cid:96) (cid:81) (cid:38)(cid:80)(cid:96)(cid:77)
(cid:151)(cid:142) = (cid:77) = (cid:77)(cid:41)(cid:32)(cid:10) (cid:70)𝐴𝐵𝐸𝐶 𝐶𝐸⊥𝐵𝐸 𝐵𝐶 𝐷 𝐴𝐶
𝐵𝐷, 𝐵𝐸 𝐶𝐷 ∠𝐴 ∠𝐴𝐶𝐵 △𝐴𝐷𝐵≌△𝐵𝐸𝐶(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)(cid:152)(cid:118)(cid:105)
(cid:15)(cid:57)(cid:105)(cid:19)(cid:106)(cid:20)(cid:107)(cid:108)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:77)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:139)(cid:140)(cid:77)(cid:102)(cid:118)(cid:20)(cid:38)(cid:3)(cid:157)(cid:10)(cid:31)(cid:28)(cid:110)(cid:31)(cid:54)(cid:77)(cid:134)
(cid:141) = (cid:77)(cid:27)(cid:42)(cid:158)(cid:56)(cid:77)(cid:134)(cid:141) = (cid:77) (cid:77)(cid:112)(cid:159)(cid:134)(cid:141) = (cid:77)(cid:35)(cid:36)HL(cid:116)(cid:62)(cid:134)(cid:32)(cid:70)
(cid:15)𝐴(cid:117)𝐵(cid:118)(cid:19)𝐵(cid:32)𝐶(cid:33)(cid:10) = (cid:77)𝐴𝐷 𝐷𝐶 𝐵𝐷⊥𝐴𝐷 𝐵𝐸 𝐴𝐷
= (cid:77) ∵∠𝐴 ∠𝐴𝐶𝐵
∴(cid:96)𝐴𝐵 (cid:81)𝐵𝐶(cid:38)(cid:80)(cid:96)(cid:77)
∵ 𝐷= 𝐴𝐶(cid:77)
∴𝐴𝐷 𝐷𝐶(cid:77)
∴𝐵𝐷=⊥𝐴𝐷(cid:77)
∵𝐵𝐸=𝐶𝐷(cid:77)
+
A
A
科
(cid:78)∴𝐵R𝐸t 𝐴𝐷 (cid:55)Rt (cid:80)(cid:77) ★ 全
号
众
公
注
=△𝐴𝐷𝐵 =△𝐵(cid:77)𝐸𝐶 关
，
源
资
辅
∵𝐴Rt𝐷 𝐵𝐸, 𝐴𝐵 𝐵𝐶 教(cid:70)
∴(cid:15)(cid:124)△(cid:125)𝐴2𝐷-1𝐵(cid:19)≌R(cid:75)t(cid:76)△(cid:77)𝐵𝐸(cid:78)𝐶 (cid:80)(cid:77)D(cid:81) (cid:38)(cid:80)(cid:96)(cid:77) (cid:77) (cid:77)(cid:96)E(cid:67)F(cid:81)(cid:94)(cid:95)(cid:77)(cid:137) = (cid:70)(cid:41)
(cid:32)(cid:10) (cid:70)△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 𝐷𝐹⊥𝐴𝐶 𝐷𝐸 𝐷𝐹
△𝐵𝐸𝐷≌△𝐶𝐹𝐷
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)(cid:152)(cid:118)(cid:105)
(cid:15)(cid:57)(cid:105)(cid:19)(cid:106)(cid:20)(cid:107)(cid:108)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:77)(cid:98)(cid:99)“HL”(cid:32)(cid:33)(cid:116)(cid:62)(cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:32)(cid:33)(cid:10) (cid:77) (cid:77)(cid:96)E(cid:67)F(cid:81)(cid:94)(cid:95)(cid:77)
= ∵=𝐷𝐸90⊥°(cid:77)𝐴𝐵 𝐷𝐹⊥𝐴𝐶
∴∠𝐵𝐸𝐷(cid:55)∠𝐶𝐹𝐷 (cid:160)(cid:81)(cid:34)(cid:28)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:70)
∴△𝐵𝐸𝐷 △𝐶𝐹𝐷(cid:81) (cid:38)(cid:80)(cid:96)(cid:77)
∵𝐷 =𝐵𝐶 (cid:70)
(cid:78)∴R𝐵t𝐷 𝐶𝐷(cid:55)Rt (cid:80)(cid:77)
=△𝐵𝐸𝐷 △𝐶𝐹𝐷
=
𝐵𝐷 𝐶𝐷
𝐷 𝐸Rt 𝐷𝐹 Rt HL)(cid:70)
(cid:15)∴(cid:124)(cid:125)△2𝐵-2𝐸(cid:19)𝐷(cid:61)≌24-△25𝐶(cid:83)𝐹𝐷(cid:84)((cid:85)(cid:126)·(cid:161)(cid:148)(cid:162)(cid:163)·(cid:91)(cid:149)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77) = (cid:77) (cid:67) (cid:57)(cid:58)(cid:102) (cid:67) (cid:126)(cid:38)(cid:96)(cid:77) (cid:67) (cid:57)(cid:58)
(cid:102) (cid:67) (cid:126)(cid:38)(cid:96)(cid:77)(cid:129) (cid:67) (cid:77) = (cid:77)𝐴(cid:41)𝐵(cid:32)(cid:10)𝐴𝐶Rt 𝐷 𝐸 Rt 𝐴𝐶 𝐴(cid:70)𝐵 𝑀 𝑁
𝐶𝐸 𝐵𝐷 𝐴𝑀⊥𝐶𝐸 𝐴𝑁⊥𝐵𝐷 𝐴𝑀 𝐴𝑁 △𝐴𝐵𝑁≌ △𝐴𝐶𝑀
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)(cid:152)(cid:118)(cid:105)
(cid:15)(cid:57)(cid:105)(cid:19)(cid:106)(cid:20)(cid:107)(cid:108)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:77)(cid:155)(cid:156)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:130)(cid:133)(cid:102)(cid:118)(cid:20)(cid:3)(cid:157)(cid:70)(cid:35)(cid:36)“HL”(cid:32)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:116)(cid:62)(cid:70)
+
A
A
科
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:32)(cid:33)(cid:10) (cid:67) (cid:77) 全
★
号
众
公
注
= ∵=𝐴𝑀90⊥° 𝐶𝐸 𝐴𝑁⊥𝐵𝐷 关
，
源
资
辅
∴(cid:78)∠R𝐴t𝑁𝐵 ∠(cid:55)𝐴𝑀Rt𝐶 教(cid:80)(cid:77)
=△𝐴𝐵𝑁 △𝐴𝐶𝑀
(cid:77)
=
𝐴𝐵 𝐴𝐶
𝐴R𝑁t 𝐴𝑀 Rt (HL)
∴(cid:15)(cid:124)△(cid:125)𝐴2𝐵-3𝑁(cid:19)≌(cid:61)2△4-2𝐴5𝐶(cid:83)𝑀(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:167)·(cid:91)(cid:80)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78) (cid:80)(cid:77) = (cid:77) (cid:168)(cid:57) (cid:77) (cid:128)
C(cid:77)(cid:137) = (cid:77) = (cid:70)(cid:41)(cid:32)(cid:10)Rt Rt (cid:70)△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐸𝐶⊥𝐵𝐶
𝐴𝐵 𝐵𝐸 𝐶𝐷 𝐶𝐸 △𝐴𝐵𝐷≌ △𝐵𝐸𝐶
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)(cid:152)(cid:118)(cid:105)
(cid:15)(cid:57)(cid:105)(cid:19)(cid:106)(cid:20)(cid:131)(cid:97)(cid:107)(cid:108)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:77)(cid:27)(cid:42)(cid:158)(cid:56)(cid:130)(cid:133)(cid:77)(cid:169)(cid:27)(cid:42)(cid:158)(cid:56)(cid:130)(cid:133)(cid:134)(cid:141) (cid:77) = = 1
2
𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐷
(cid:77)(cid:143)(cid:62)(cid:32)(cid:33) = (cid:77)(cid:99)(cid:170)(cid:62)(cid:35)(cid:36)HL(cid:32)(cid:33)Rt Rt (cid:70)
𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐸 △𝐴𝐵𝐷≌ △𝐵𝐸𝐶(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:32)(cid:33)(cid:10) = (cid:77) (cid:168)(cid:57) (cid:77)
(cid:77) =
∵𝐴𝐵
=
𝐴1𝐶
(cid:77)
𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
2
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐷 𝐵𝐶
=90°(cid:121)
∴∠𝐴𝐷=𝐵 (cid:77)
∵𝐶𝐷 =𝐶𝐸(cid:77)
∴𝐵𝐷 𝐶𝐸(cid:77)
∵𝐸𝐶⊥𝐵=𝐶90°(cid:77)
∴(cid:171)∠𝐵𝐶𝐸= (cid:77)
R∵t𝐴𝐵 𝐵𝐸Rt (HL)(cid:70)
【
∴
题
△
型
𝐴3𝐵 𝐷
利
≌
用
△H𝐵L𝐸
及
𝐶
全等的性质求线段长度】
(cid:15)(cid:82)3(cid:19)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)Rt (cid:80)(cid:77) =90°(cid:77) (cid:168)(cid:57) (cid:136) (cid:128)(cid:96)D(cid:77)(cid:172)(cid:96)D(cid:173) (cid:128)(cid:96)E(cid:70)
△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(1)(cid:41)(cid:32)(cid:10) (cid:70)
(2)(cid:129) =△3(cid:77)𝐴𝐷𝐶≌=△5𝐴(cid:77)𝐷(cid:41)𝐸 (cid:38)(cid:44)(cid:70)
(cid:15)(cid:103)(cid:104)𝐶𝐷(cid:19)(1)(cid:152)(cid:118)𝐵𝐷(cid:105) 𝐵𝐸
(2)4
(cid:15)(cid:57)(cid:105)(cid:19)(cid:106)(cid:20)(cid:131)(cid:97)(cid:107)(cid:108)(cid:132)(cid:174)(cid:175)(cid:130)(cid:133)(cid:77)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:77)(cid:28)(cid:168)(cid:57)(cid:42)(cid:38)(cid:130)(cid:176)(cid:77)(cid:153)(cid:93)(cid:174)(cid:175)(cid:130)(cid:133)(cid:55)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)
(cid:114)(cid:130)(cid:130)(cid:133)(cid:102)(cid:118)(cid:20)(cid:38)(cid:3)(cid:157)(cid:70)
(cid:61)1(cid:69)(cid:169)(cid:28)(cid:168)(cid:57)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:62)(cid:134) = (cid:77)(cid:177)(cid:35)(cid:36)HL(cid:116)(cid:62)(cid:32)(cid:33)Rt Rt (cid:121)
(cid:61)2(cid:69)(cid:34)(cid:142)(cid:35)(cid:36)(cid:174)(cid:175)(cid:130)(cid:133)(cid:41)(cid:118)𝐷(cid:116)𝐶(cid:62)(cid:70)𝐷𝐸 △𝐴𝐷𝐶≌ △𝐴𝐷𝐸
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:61)1(cid:69)(cid:32)(cid:33)(cid:10) (cid:168)(cid:57) (cid:77) =90°(cid:77) (cid:77)
= (cid:77) ∵𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐶 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵
∴𝐷𝐶 =𝐷𝐸(cid:77) = (cid:77)
∵𝐴Rt𝐷 𝐴𝐷 R𝐷t𝐶 𝐷𝐸(HL)(cid:121)
∴(cid:61)2(cid:69)△(cid:118)𝐴𝐷(cid:10)𝐶(cid:78)≌Rt△𝐴𝐷𝐸(cid:80)(cid:77) = =3(cid:77) =5(cid:77) =90°(cid:77)
△𝐵𝐷𝐸 𝐷𝐸 𝐶𝐷 𝐵𝐷 ∠𝐵𝐸𝐷= =4(cid:70)
2 2
∴(cid:15)𝐵(cid:124)𝐸(cid:125)3-𝐵1𝐷(cid:19)(cid:61)−𝐷24𝐸-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:181)·(cid:182)(cid:43)(cid:154)(cid:183)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77) (cid:77) (cid:77)(cid:96) (cid:67) (cid:67) (cid:67) (cid:57)(cid:58)(cid:78)(cid:34)(cid:42)
(cid:79) (cid:126)(cid:77)(cid:96) (cid:78) (cid:126)(cid:77) + =9(cid:77) = (cid:77) =𝑀𝑁(cid:77)∥𝑃(cid:143)𝑄 𝐴=𝐵⊥ 𝑃 𝑄(cid:70) 𝐴 𝐷 𝐵 𝐶
𝑀𝑁 𝑃𝑄 𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐸𝐵 𝐷𝐸 𝐸𝐶 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)9
(cid:15)(cid:57)(cid:105)(cid:19)(cid:106)(cid:20)(cid:107)(cid:108)(cid:132)(cid:34)(cid:28)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:55)(cid:39)(cid:40)(cid:63)(cid:37)(cid:168)(cid:113)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:70)(cid:184)(cid:114)(cid:130) (cid:77)(cid:185)(cid:159)(cid:134)(cid:186)
= (cid:77)(cid:143) = + (cid:70) △𝐴𝐷𝐸≌△𝐵𝐶𝐸
(cid:15)𝐴𝐸(cid:117)(cid:118)𝐵(cid:19)𝐶(cid:118)(cid:10)𝐴𝐵 𝐴𝐷 (cid:77)𝐵𝐶 (cid:77)
(cid:77)∵𝑀𝑁∥𝑃𝑄 𝐴𝐵⊥𝑃𝑄
∴𝐴𝐵⊥𝑀=𝑁 =90°(cid:77) A +
A
科
全
★
(cid:78)∴R∠t𝐷𝐴𝐸 ∠(cid:55)𝐸R𝐵t𝐶 (cid:80)(cid:77)
众
号
公
关
注
=△𝐴𝐷𝐸 △𝐵𝐶𝐸 源 ，
(cid:77) 资
= 辅
教
𝐷𝐸 𝐸𝐶
𝐴𝐷 𝐵𝐸 HL)(cid:77)
∴△𝐴𝐷=𝐸≌△(cid:77)𝐵𝐸𝐶(
∴𝐴𝐸 +𝐵𝐶=9(cid:77)
∵𝐴𝐷=𝐵𝐶 + = + =9(cid:70)
(cid:122)∴(cid:103)𝐴𝐵(cid:104)(cid:81)𝐴(cid:10)𝐸9(cid:70)𝐵𝐸 𝐴𝐷 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:124)(cid:125)3-2(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:126)·(cid:187)(cid:188)·(cid:189)(cid:11)(cid:107)(cid:190)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)Rt (cid:80)(cid:77) =90°(cid:77) (cid:168)(cid:57) (cid:136) (cid:128)(cid:96)D(cid:77)
E(cid:81)(cid:42)(cid:43) (cid:126)(cid:56)(cid:96)(cid:77)(cid:151)(cid:142) (cid:77)(cid:137) = (cid:70)(cid:129) =16△(cid:77)𝐴𝐵𝐶=7(cid:77)∠(cid:143)𝐶 (cid:38)(cid:44)(cid:81)𝐴𝐷 (cid:121)∠𝐵𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝐴𝐶 𝐷𝐸 ∠𝐵 ∠𝐶𝐸𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐸 𝐴𝐸
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)2
(cid:15)(cid:57)(cid:105)(cid:19)(cid:106)(cid:20)(cid:107)(cid:108)(cid:132)(cid:28)(cid:168)(cid:57)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:130)(cid:133)(cid:67)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:79)(cid:39)(cid:40)(cid:77)(cid:191)(cid:172)(cid:173)(cid:192)(cid:193)(cid:42)(cid:77)(cid:194)(cid:195)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:102)(cid:118)(cid:20)(cid:3)(cid:157)(cid:70)(cid:172)(cid:96) (cid:173) (cid:128)(cid:96) (cid:77)(cid:184)(cid:32)(cid:186) (cid:77)(cid:98)(cid:99)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:62)(cid:134) = =7(cid:77)(cid:185)
(cid:159)(cid:62)(cid:134) =9(cid:77)𝐷(cid:177)(cid:32)𝐷(cid:186)𝐹R⊥t𝐴𝐵 𝐹Rt (cid:77)△(cid:98)𝐵𝐷(cid:99)𝐹(cid:30)≌(cid:31)△(cid:27)𝐸𝐷(cid:28)𝐶(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:62)(cid:134) = =9(cid:77)(cid:196)𝐵(cid:197)𝐹 (cid:98)𝐶(cid:99)𝐸
= 𝐴𝐹 (cid:41)(cid:118)(cid:116)(cid:62)(cid:134)(cid:70)△𝐴𝐶𝐷≌ △𝐴𝐹𝐷 𝐴𝐶 𝐴𝐹
(cid:15)𝐴𝐸(cid:117)(cid:118)𝐴(cid:19)𝐶−(cid:118)𝐶(cid:10)𝐸(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:172)(cid:96) (cid:173) (cid:128)(cid:96) (cid:77)
𝐷 𝐷𝐹⊥𝐴𝐵 𝐹
(cid:168)(cid:57) (cid:77)
∵𝐴𝐷= ∠(cid:77)𝐵𝐴𝐶
∴(cid:78)𝐷𝐹 𝐷𝐶(cid:55) (cid:80)(cid:77)
△𝐵𝐷=𝐹 △=𝐸9𝐷0𝐶°
= (cid:77)
∠𝐵𝐹𝐷 =∠𝐶 A +
A
∠𝐵 ∠𝐶𝐸𝐷 全 科
★
𝐷𝐹 𝐷𝐶 (AAS)(cid:77)
众
号
公
注
关
∴△𝐵=𝐷𝐹≌=△7𝐸(cid:77)𝐷𝐶 源 ，
资
辅
教
∴𝐵𝐹 =𝐶16𝐸(cid:77)
∵𝐴𝐵= = =9(cid:77)
∴(cid:78)𝐴R𝐹t 𝐴𝐵−(cid:55)𝐵𝐹Rt 16−7(cid:80)(cid:77)
=△𝐴𝐶𝐷 △𝐴𝐹𝐷
(cid:77)
=
𝐴𝐷 𝐴𝐷
𝐷R𝐶t 𝐷𝐹 Rt (HL)(cid:77)
∴ △=𝐴𝐶𝐷=≌9(cid:77)△𝐴𝐹𝐷
∴𝐴𝐶 =𝐴𝐹 = =2(cid:77)
∴(cid:122)𝐴(cid:103)𝐸(cid:104)(cid:81)𝐴𝐶(cid:10)−2𝐶(cid:70)𝐸 9−7
(cid:15)(cid:124)(cid:125)3-3(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:126)·(cid:161)(cid:148)(cid:148)(cid:163)·(cid:91)(cid:80)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:92)(cid:93) = (cid:77) = =90°(cid:77) (cid:79) (cid:46)(cid:136)(cid:128)(cid:96)
(cid:77)(cid:172)(cid:96) (cid:173) (cid:77)(cid:94)(cid:95)(cid:81) (cid:70) 𝐴𝐶 𝐵𝐷 ∠𝐶 ∠𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷
𝐸 𝐸 𝐸𝐹⊥𝐴𝐵 𝐹(1)(cid:41)(cid:32)(cid:10) (cid:121)
(2)(cid:129) =△3(cid:77)𝐴𝐵𝐶≌△=𝐵𝐴6𝐷0°(cid:77)(cid:41) (cid:38)(cid:198)(cid:199)(cid:200)(cid:33)(cid:133)(cid:169)(cid:70)
(cid:15)(cid:103)(cid:104)𝐴𝐷(cid:19)(1)(cid:32)(cid:33)∠𝐷(cid:152)𝐸(cid:118)𝐴(cid:105) 𝐴𝐵
(2)6(cid:121)(cid:133)(cid:169)(cid:152)(cid:118)(cid:105)
(cid:15)(cid:57)(cid:105)(cid:19)(cid:106)(cid:20)(cid:107)(cid:108)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:79)(cid:39)(cid:40)(cid:77)30°(cid:201)(cid:110)(cid:34)(cid:28)(cid:54)(cid:102)(cid:53)(cid:54)(cid:38)(cid:56)(cid:202)(cid:77)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:203)(cid:28)(cid:39)(cid:40)(cid:77)(cid:204)(cid:205)(cid:155)
(cid:156)(cid:46)(cid:3)(cid:39)(cid:40)(cid:206)(cid:207)(cid:102)(cid:118)(cid:20)(cid:38)(cid:3)(cid:157)(cid:70)
(cid:61)1(cid:69)(cid:208)(cid:36)HL(cid:32)(cid:33) (cid:77)(cid:116)(cid:62)(cid:173)(cid:103)(cid:70)
(cid:61)2(cid:69)(cid:184)(cid:134) =△𝐴𝐵𝐶≌(cid:77)(cid:209)△(cid:81)𝐵𝐴𝐷 (cid:102) (cid:38)(cid:203)(cid:28)(cid:77)(cid:122) = + =60°(cid:77)(cid:143) =30°(cid:77)
(cid:201)(cid:63) =∠𝐸𝐴𝐵=6∠(cid:70)𝐸𝐵𝐴 ∠𝐷𝐸𝐴 △𝐸𝐴𝐵 ∠𝐷𝐸𝐴 ∠𝐸𝐴𝐵 ∠𝐸𝐵𝐴 ∠𝐸𝐵𝐴
(cid:15)(cid:117)𝐴(cid:118)𝐵(cid:19)(cid:61)21𝐴(cid:69)𝐷(cid:32)(cid:33)(cid:10) = =90°(cid:77)
(cid:79) (cid:210)(cid:102)∵(cid:34)∠𝐶(cid:28)(cid:27)∠(cid:28)𝐷(cid:29)(cid:77)
∴(cid:78)△Rt𝐴𝐵𝐶 △(cid:55)𝐵R𝐴t𝐷 (cid:80)(cid:77)
=△𝐴𝐵𝐶 △𝐵𝐴𝐷
(cid:77)
=
+
A
𝐴𝐵 𝐵𝐴 A
科
𝐴 𝐶Rt 𝐵𝐷 Rt (HL)(cid:121) ★ 全
号
众
公
注
(cid:61)∴2(cid:69)(cid:118)△(cid:10)𝐴𝐵𝐶≌ △𝐵𝐴𝐷 (cid:77) 关
，
源
资
辅
= ∵△𝐴𝐵(cid:77)𝐶≌教△𝐵𝐴𝐷
∴∠𝐸𝐴𝐵(cid:102)∠𝐸𝐵𝐴 (cid:38)(cid:203)(cid:28)(cid:77)
∵∠𝐷𝐸𝐴=△𝐸𝐴𝐵+ =60°
∴∠𝐷𝐸𝐴=3∠0𝐸°𝐴(cid:77)𝐵 ∠𝐸𝐵𝐴
∴∠𝐸𝐵=𝐴90°(cid:77)
∵∠AB𝐷=2AD=6(cid:70)
∴ 【题型4 利用HL及全等的性质求角度】
(cid:15)(cid:82)4(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:126)·(cid:161)(cid:148)(cid:211)(cid:34)(cid:212)(cid:213)(cid:85)(cid:214)(cid:51)·(cid:91)(cid:149)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:215)(cid:33)(cid:55)(cid:215)(cid:216)(cid:63)(cid:46)(cid:217)(cid:38)(cid:218)(cid:45)(cid:57)(cid:58)(cid:217)(cid:120)(cid:185)(cid:96)A(cid:77)B
(cid:186)(cid:219)(cid:77)(cid:215)(cid:33)(cid:220) (cid:113)(cid:221)(cid:77)(cid:215)(cid:216)(cid:220) (cid:113)(cid:221)(cid:77)(cid:59)(cid:222)(cid:57)(cid:58)(cid:217)(cid:120)(cid:141)(cid:74)(cid:77)(cid:96)C(cid:77)D(cid:77)(cid:129) (cid:77) (cid:70)
𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐵⊥𝐴𝐵 𝐷𝐴⊥𝐴𝐵(1) (cid:79) (cid:46)(cid:31)(cid:223)(cid:224)(cid:81)(cid:225)(cid:226)(cid:224)
(2)(cid:129)𝐶𝐵 𝐷𝐴=60°(cid:77)(cid:41) (cid:38)(cid:45)(cid:48)(cid:70)
(cid:15)(cid:103)(cid:104)∠𝐷(cid:19)𝐴(𝐶1) = (cid:77)∠(cid:152)𝐷𝐵(cid:118)𝐴(cid:105)
(2)30° 𝐶𝐵 𝐷𝐴
(cid:15)(cid:57)(cid:105)(cid:19)(cid:106)(cid:20)(cid:131)(cid:97)(cid:107)(cid:108)(cid:34)(cid:28)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:55)(cid:39)(cid:40)(cid:77)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:34)(cid:28)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:114)(cid:130)(cid:38)(cid:227)(cid:228)(cid:139)(cid:140)HL(cid:102)(cid:118)(cid:20)
(cid:38)(cid:3)(cid:157)(cid:70)
(cid:61)1(cid:69)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(cid:229)(cid:77)(cid:134)(cid:141) = (cid:77)(cid:171) = =90°(cid:77)(cid:35)(cid:36)(cid:34)(cid:28)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:139)(cid:140)HL(cid:32)(cid:33)Rt
Rt (cid:121)(cid:185)(cid:159)(cid:134)(cid:32)(cid:121)𝐴𝐶 𝐵𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶≌
(cid:61)2△(cid:69)𝐵(cid:169)𝐴(cid:61)𝐷1(cid:69)(cid:134)Rt Rt (cid:77)(cid:134)(cid:141) = (cid:77)(cid:230)(cid:158) =60°(cid:77)(cid:116)(cid:62)(cid:134)(cid:118)(cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:61)1(cid:69) =△𝐴𝐵(cid:77)𝐶≌(cid:133)(cid:169)△(cid:75)𝐵(cid:86)𝐴(cid:10)𝐷 ∠𝐷𝐵𝐴 ∠𝐷𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐶
(cid:215)(cid:33)(cid:55)(cid:215)(cid:216)(cid:63)𝐶(cid:46)𝐵(cid:217)(cid:38)𝐷(cid:218)𝐴(cid:45)(cid:57)(cid:58)(cid:217)(cid:120)(cid:185)(cid:96)A(cid:77)B(cid:186)(cid:219)(cid:77)(cid:59)(cid:222)(cid:57)(cid:58)(cid:217)(cid:120)(cid:141)(cid:74)(cid:77)
∵ = (cid:77)
∴𝐴𝐶 𝐵𝐷(cid:77)
+
A
∵𝐶𝐵⊥𝐴𝐵= 𝐷𝐴⊥=𝐴𝐵90°(cid:77) 科 A
全
★
号
众
(cid:78)∴R∠t𝐴𝐵𝐶 ∠(cid:55)𝐵R𝐴t𝐷 (cid:80)(cid:77) 公
注
关
源
，
=△𝐴𝐵𝐶 △𝐵𝐴𝐷 辅 资
= (cid:77) 教
𝐴𝐶 𝐵𝐷
𝐴R𝐵t 𝐵𝐴 Rt HL)(cid:77)
∴ △=𝐴𝐵𝐶(cid:121)≌ △𝐵𝐴𝐷(
(cid:61)∴2𝐶(cid:69)𝐵 𝐷𝐴 =60°(cid:77)
∵∠=𝐷𝐴𝐶 =30°(cid:77)
(cid:171)∴R∠t𝐶𝐴𝐵 90R°−t60° (cid:77)
△𝐴𝐵=𝐶≌ △=𝐵𝐴3𝐷0°(cid:70)
(cid:15)∴(cid:124)∠𝐷(cid:125)𝐵𝐴4-1(cid:19)∠(cid:61)𝐷𝐴2𝐶4-25(cid:231)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:164)(cid:165)(cid:232)(cid:233)·(cid:91)(cid:149)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78) (cid:80)(cid:77) = (cid:77) =90°(cid:77)(cid:96) (cid:78) (cid:126)(cid:77)
(cid:96) (cid:78) (cid:38)(cid:234)(cid:44)(cid:42)(cid:126)(cid:77) = (cid:77)(cid:129) =25°(cid:77)(cid:143) △=𝐴𝐵(cid:61)𝐶 (cid:69)𝐴𝐵 𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐸 𝐵𝐶
𝐹 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐶𝐹 ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐴𝐶𝐹
A(cid:70)50° B(cid:70)60° C(cid:70)70° D(cid:70)80°(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)C
(cid:15)(cid:57)(cid:105)(cid:19)(cid:106)(cid:20)(cid:107)(cid:108)(cid:132)(cid:31)(cid:235)(cid:34)(cid:28)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:67)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:79)(cid:39)(cid:40)(cid:77)(cid:236)(cid:184)(cid:98)(cid:99) = (cid:77) =90°(cid:77)
(cid:62)(cid:134)(cid:10) = =45°(cid:77) =90°(cid:77)(cid:35)(cid:36)HL(cid:62)(cid:32)Rt (cid:77)(cid:98)(cid:99)𝐴𝐵(cid:30)(cid:31)𝐵(cid:27)𝐶(cid:28)∠(cid:29)𝐴(cid:110)𝐵𝐶(cid:111)(cid:28)(cid:46)(cid:31)
(cid:62)(cid:134)(cid:10)∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐶𝐴 =25°(cid:77)∠(cid:185)𝐶(cid:159)𝐵𝐹(cid:62)(cid:134)(cid:10) = + △𝐴𝐵𝐸=≌7R0t°△(cid:70)𝐶𝐵𝐹
(cid:15)(cid:117)(cid:118)∠(cid:19)𝐵(cid:118)𝐶𝐹(cid:10) ∠ 𝐵𝐴𝐸= (cid:77) =90°(cid:77)∠𝐴𝐶𝐹 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐵𝐶𝐹
= ∵ 𝐴=𝐵45°𝐵(cid:77)𝐶 ∠𝐴𝐵=𝐶90°(cid:77)
∴∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐵𝐶𝐴 ∠𝐶𝐵𝐹 =
(cid:78)Rt (cid:55)Rt (cid:80)(cid:77)
=
(cid:77)
𝐴𝐸 𝐶𝐹
Rt△𝐴𝐵𝐸 △𝐶𝐵𝐹(cid:77) 𝐴𝐵 𝐵𝐶
∴ △𝐴=𝐵𝐸≌Rt△=𝐶2𝐵5𝐹°(cid:77)
∴∠𝐵𝐶𝐹= ∠𝐵𝐴𝐸+ =45°+25°=70°(cid:70)
(cid:122)∴(cid:123)∠𝐴(cid:10)𝐶𝐹C(cid:70)∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐵𝐶𝐹
(cid:15)(cid:124)(cid:125)4-2(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:87)(cid:165)(cid:237)(cid:238)·(cid:182)(cid:43)(cid:154)(cid:183)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:150)(cid:54)(cid:29) (cid:80)(cid:77) (cid:102)(cid:239)(cid:38)(cid:110)(cid:28)(cid:42)(cid:77)
= (cid:77)(cid:129) (cid:168)(cid:57) (cid:77) =119°(cid:77)(cid:143) (cid:38)(cid:45)(cid:48)(cid:81)(cid:61) (cid:69) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐷
+
A
A
科
𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐵𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴 ∠𝐷𝐶𝐵 ★ 全
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
A(cid:70)62° B(cid:70)61° C(cid:70)60° D(cid:70)59°
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)B
(cid:15)(cid:57)(cid:105)(cid:19)(cid:170)(cid:20)(cid:107)(cid:108)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:55)(cid:39)(cid:40)(cid:67)(cid:28)(cid:168)(cid:57)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:130)(cid:133)(cid:31)(cid:93)(cid:240)(cid:77)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:28)(cid:168)(cid:57)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:130)
(cid:133)(cid:102)(cid:3)(cid:157)(cid:70)(cid:172)(cid:96) (cid:173) (cid:77)(cid:94)(cid:95)(cid:57)(cid:58)(cid:81) (cid:77)(cid:32)(cid:33)Rt Rt (HL)(cid:77)(cid:116)(cid:62)(cid:134)(cid:141)(cid:103)(cid:104)(cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:118)(cid:10)(cid:172)(cid:96)𝐷 𝐷(cid:173)𝐸⊥𝐵𝐴,𝐷𝐹⊥𝐵𝐶 (cid:77)(cid:94)(cid:95)(cid:57)(cid:58)𝐸(cid:81),𝐹 (cid:77) △𝐴𝐷𝐸≌ △𝐶𝐷𝐹
𝐷 𝐷𝐸⊥𝐵𝐴,𝐷𝐹⊥𝐵𝐶 𝐸,𝐹
(cid:168)(cid:57) (cid:77)
∵𝐵𝐷= ∠(cid:77)𝐴𝐵𝐶
∴𝐷𝐸 𝐷𝐹=119°(cid:77)
∵∠𝐵𝐴𝐷= =61°(cid:77)
∴∠𝐷𝐴=𝐸 1(cid:77)80°−=∠𝐵𝐴𝐷(cid:77)
∵𝐴Rt𝐷 𝐶𝐷 𝐷Rt𝐸 𝐷𝐹(HL)(cid:77)
∴ △𝐴𝐷=𝐸≌ △=𝐶𝐷61𝐹°(cid:77)
∴(cid:122)∠(cid:123)𝐷𝐶(cid:10)𝐵B ∠𝐷𝐴𝐸
(cid:15)(cid:124)(cid:125)4-3(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:161)(cid:148)(cid:241)(cid:238)·(cid:182)(cid:43)(cid:154)(cid:183)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:201)(cid:242)(cid:77) (cid:80)(cid:77) = (cid:77)(cid:34)(cid:42) (cid:243)(cid:172)(cid:96)A(cid:77)
(cid:77) (cid:77)(cid:94)(cid:95)(cid:57)(cid:58)(cid:102)(cid:96)D(cid:77)E(cid:77)(cid:137) = (cid:70) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐷𝐸
𝐶𝐷⊥𝐷𝐸 𝐵𝐸⊥𝐷𝐸 𝐴𝐷 𝐵𝐸
(1)(cid:41)(cid:32)(cid:10) (cid:121)
+
A
(2)(cid:41) △(cid:38)𝐴(cid:45)𝐶𝐷(cid:48)≌(cid:70)△𝐵𝐴𝐸 科 A
全
★
号
众
(cid:15)(cid:103)(cid:104)∠𝐴(cid:19)𝐶(𝐵1)(cid:152)(cid:118)(cid:105)(cid:121) 公
注
关
，
源
(2)45°(cid:70) 辅 资
教
(cid:15)(cid:57)(cid:105)(cid:19)(cid:106)(cid:20)(cid:107)(cid:108)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:111)(cid:36)(cid:77)(cid:31)(cid:235)(cid:34)(cid:28)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:55)(cid:114)(cid:130)(cid:77)(cid:118)(cid:20)(cid:38)(cid:3)(cid:157)(cid:102)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
(cid:114)(cid:130)(cid:130)(cid:133)(cid:70)
(cid:61)1(cid:69)(cid:169) (cid:77) (cid:77)(cid:62)(cid:134) = =90°(cid:77)(cid:177)(cid:169) “HL”(cid:116)(cid:62)(cid:32)(cid:33) (cid:121)
(cid:61)2(cid:69)(cid:169)𝐶𝐷⊥𝐷𝐸 𝐵𝐸⊥𝐷(cid:62)𝐸(cid:93) ∠=𝐷 ∠𝐸(cid:77)(cid:112)(cid:159)(cid:41)(cid:134) =90°(cid:77)(cid:230)(cid:158)△𝐴𝐶𝐷=≌△(cid:77)𝐵𝐴(cid:116)𝐸(cid:62)(cid:134)(cid:118)(cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)△(cid:61)𝐴1𝐶(cid:69)𝐷(cid:118)≌(cid:10)△(cid:32)𝐵𝐴(cid:33)𝐸(cid:10) ∠𝐶𝐴𝐷 ∠(cid:77)𝐴𝐵𝐸 (cid:77) ∠𝐶𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐶
= =90°(cid:77) ∵ 𝐶𝐷⊥𝐷𝐸 𝐵𝐸⊥𝐷𝐸
∴∠𝐷 ∠𝐸 =
(cid:78)Rt (cid:55)Rt (cid:80)
=
𝐴𝐷 𝐵𝐸
△𝐴𝐶𝐷 △(H𝐵L𝐴)𝐸(cid:121) 𝐴𝐶 𝐴𝐵
(cid:61)∴△2(cid:69)𝐴𝐶(cid:118)𝐷(cid:10)≌△𝐵𝐴𝐸 (cid:77)
= ∵△𝐴𝐶(cid:77)𝐷≌△𝐵𝐴𝐸
∴∠ 𝐴𝐶𝐷 ∠𝐵(cid:77)𝐴𝐸
∵ 𝐶𝐷=⊥9𝐷0𝐸°(cid:77)
∴∠𝐷 + =90°(cid:77)
∴∠𝐶𝐴𝐷 ∠𝐴𝐶𝐷+ =90°(cid:77)
∴∠𝐶𝐴𝐷=9∠0𝐵°(cid:77)𝐴𝐸
∴∠𝐶𝐴𝐵= (cid:77)
∵𝐴𝐵 𝐴=𝐶 =45°(cid:70)
【
∴
题
∠A
型
BC5
利
∠A
用
CBHL及全等的性质证明线段相等】
(cid:15)(cid:82)5(cid:19)(cid:61)2025(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:30)(cid:127)·(cid:244)(cid:20)(cid:154)(cid:183)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:96) (cid:77) (cid:57)(cid:58)(cid:78) (cid:38)(cid:54) (cid:77) (cid:126)(cid:77) (cid:38)(cid:168)(cid:57)(cid:42)
(cid:79) (cid:38)(cid:94)(cid:34)(cid:168)(cid:57)(cid:42) (cid:136)(cid:128)(cid:96) (cid:77) (cid:128)(cid:96) (cid:77) 𝐴 𝐵 (cid:128)(cid:96) ∠(cid:70)𝑀(cid:41)𝑂(cid:32)𝑁(cid:10) 𝑂𝑀= 𝑂(cid:70)𝑁 ∠𝑀𝑂𝑁 𝑂𝐶
𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐶 𝐶𝐸⊥𝑂𝑀 𝐸 𝐶𝐹⊥𝑂𝑁 𝐹 𝐴𝐸 𝐵𝐹
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)(cid:152)(cid:118)(cid:105)
(cid:15)(cid:57)(cid:105)(cid:19)(cid:106)(cid:20)(cid:131)(cid:97)(cid:107)(cid:108)(cid:132)(cid:28)(cid:168)(cid:57)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:77)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:79)(cid:114)(cid:130)(cid:77)(cid:42)(cid:43)(cid:94)(cid:34)(cid:168)(cid:57)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:77)(cid:151)(cid:142) (cid:77)
+
A
A
科
(cid:77)(cid:169)(cid:42)(cid:43)(cid:94)(cid:34)(cid:168)(cid:57)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:134)(cid:141) = (cid:77)(cid:169)(cid:28)(cid:168)(cid:57)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:40) ★ (cid:134)(cid:141)全= (cid:77)(cid:99)(cid:170)(cid:62)(cid:32)(cid:33)Rt 𝐴R𝐶t
号
众
公
注
𝐵𝐶 (HL)(cid:77)(cid:143)(cid:62)(cid:32)(cid:33) = (cid:70)𝐴𝐶 𝐵关𝐶 𝐶𝐸 𝐶𝐹 △𝐶𝐸𝐴≌
，
源
资
辅
(cid:15)△(cid:117)𝐶𝐹(cid:118)𝐵(cid:19)(cid:32)(cid:33)(cid:10)(cid:75)(cid:76)(cid:201)教(cid:242)𝐴𝐸(cid:77)(cid:151)𝐵(cid:142)𝐹 (cid:77) (cid:77)
𝐴𝐶 𝐵𝐶
(cid:94)(cid:34)(cid:168)(cid:57) (cid:77)
= (cid:77) ∵ 𝐶𝐷 𝐴𝐵
∴ 𝐴𝐶 𝐵𝐶(cid:77) (cid:77) (cid:168)(cid:57) (cid:77)
∵ 𝐶𝐸⊥=𝑂𝑀(cid:77)𝐶𝐹⊥𝑂=𝑁 𝑂𝐶 =9∠0°𝑀(cid:77)𝑂𝑁
∴ 𝐶R𝐸t 𝐶𝐹 ∠R𝐶t𝐸𝐴 ∠(𝐶H𝐹L𝐵)(cid:77)
∴ AE△=𝐶B𝐸F𝐴(cid:70)≌ △𝐶𝐹𝐵
(cid:15)∴(cid:124)(cid:125)5-1(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:126)·(cid:30)(cid:127)·(cid:91)(cid:80)(cid:69)(cid:75)(cid:76) (cid:80)(cid:77) =90°(cid:77)(cid:172)C(cid:173) (cid:77)(cid:26) = (cid:77)
(cid:78) (cid:126)(cid:245)(cid:56)(cid:96)E(cid:77)(cid:151)(cid:142) (cid:77)(cid:137) = (cid:70)(cid:41)(cid:32)(cid:10)△𝐷=𝐵𝐶 ∠𝐷𝐵𝐶 𝐶𝐴⊥𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐴𝐸 𝐷𝐶 𝐶𝐸 𝐵𝐷(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)(cid:152)(cid:118)(cid:105)
(cid:15)(cid:57)(cid:105)(cid:19)(cid:106)(cid:20)(cid:131)(cid:97)(cid:107)(cid:108)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:79)(cid:114)(cid:130)(cid:77)(cid:35)(cid:36)HL(cid:32)(cid:33)Rt Rt (cid:116)(cid:62)(cid:32)(cid:33) = (cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:32)(cid:33)(cid:10) (cid:77) △𝐷𝐵𝐶≌ △𝐸𝐶𝐴 𝐶𝐸 𝐵𝐷
=90°(cid:77)∵𝐶𝐴⊥𝐵𝐶
∴(cid:78)∠R𝐴t𝐶𝐸 (cid:55)Rt (cid:80)(cid:77)
=△𝐷𝐵𝐶 △𝐸𝐶𝐴
(cid:77)
=
𝐶𝐷 𝐴𝐸
𝐵R𝐶t 𝐶𝐴 ECA(HL)(cid:77)
∴CE△=DBBDC≌(cid:70)Rt△
+
A
∴(cid:15)(cid:124)(cid:125)5-2(cid:19)(cid:61)2025·(cid:146)(cid:88)(cid:246)(cid:247)·(cid:56)(cid:248)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78) (cid:55) (cid:80)(cid:77) 科= A=90°(cid:77) = (cid:77) (cid:67) (cid:46)
全
★
号
众
(cid:136)(cid:128)(cid:96)G(cid:77)(cid:96)B(cid:67)E(cid:67)C(cid:67)F(cid:78)(cid:217)(cid:56)(cid:24)(cid:34)(cid:42)(cid:126)(cid:77)(cid:137)△𝐴公𝐵=𝐶 △(cid:77)𝐷(cid:41)𝐸(cid:32)𝐹(cid:10) ∠𝐴= ∠(cid:70)𝐷 𝐴𝐶 𝐷𝐸 𝐴𝐶 𝐷𝐸
注
关
，
源
辅 资 𝐵𝐸 𝐹𝐶 𝐸𝐺 𝐶𝐺
教
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)(cid:152)(cid:118)(cid:105)
(cid:15)(cid:57)(cid:105)(cid:19)(cid:106)(cid:20)(cid:131)(cid:97)(cid:107)(cid:108)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:55)(cid:114)(cid:130)(cid:77)(cid:31)(cid:235)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:77)
(cid:184)(cid:200)(cid:33) = (cid:77)(cid:177)(cid:98)(cid:99)“(cid:53)(cid:54)(cid:77)(cid:34)(cid:28)(cid:54)”(cid:32)(cid:33)Rt Rt (cid:77)(cid:62)(cid:134) = (cid:77)(cid:196)(cid:197)(cid:98)(cid:99)“(cid:31)(cid:28)(cid:110)
(cid:31)(cid:54)”(cid:134)𝐵(cid:186)𝐶(cid:103)(cid:104)𝐹𝐸(cid:70) △𝐴𝐵𝐶≌ △𝐷𝐹𝐸 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐷𝐸𝐹
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:32)(cid:33)(cid:10) = (cid:77)
+ = ∵+𝐵𝐸 (cid:77)𝐹𝐶
(cid:116)∴𝐵𝐸=𝐸𝐶(cid:77)𝐹𝐶 𝐸𝐶
(cid:78)𝐵Rt𝐶 𝐹𝐸 (cid:55)Rt (cid:80)(cid:77) = (cid:77) = (cid:77)
Rt△𝐴𝐵𝐶 Rt△𝐷𝐸𝐹 HL)𝐴(cid:77)𝐶 𝐷𝐸 𝐵𝐶 𝐹𝐸
∴ △𝐴=𝐵𝐶≌ (cid:77)△𝐷𝐹𝐸(
∴∠𝐴𝐶=𝐵 (cid:70)∠𝐷𝐸𝐹
∴𝐸𝐺 𝐶𝐺(cid:15)(cid:124)(cid:125)5-3(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:146)(cid:88)(cid:249)(cid:163)·(cid:91)(cid:80)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:92)(cid:93) = (cid:128)(cid:96) (cid:128)(cid:96) (cid:77)(cid:137)
= (cid:77)(cid:151)(cid:142) (cid:136) (cid:128)(cid:96) (cid:70) 𝐴𝐵 𝐶𝐷,𝐷𝐸⊥𝐴𝐶 𝐸,𝐵𝐹⊥𝐴𝐶 𝐹
𝐴𝐸 𝐶𝐹 𝐵𝐷 𝐸𝐹 𝑀
(1)(cid:41)(cid:32)(cid:10) = (cid:121)
(2)(cid:129) =𝐷𝐸 𝐵=𝐹6(cid:77)(cid:41) (cid:38)(cid:44)(cid:70)
(cid:15)(cid:103)(cid:104)𝐷𝐸(cid:19)(12)(cid:152),𝐵(cid:118)𝐷(cid:105) 𝐸𝐹
(2)2 5
(cid:15)(cid:57)(cid:105)(cid:19)(cid:106)(cid:20)(cid:107)(cid:108)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:79)(cid:39)(cid:40)(cid:67)(cid:174)(cid:175)(cid:130)(cid:133)(cid:70)
(cid:61)1(cid:69)(cid:184)(cid:32)(cid:33) = (cid:77)(cid:177)(cid:98)(cid:99)HL(cid:32)(cid:33) (cid:77)(cid:98)(cid:99)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:110)(cid:111)(cid:54)(cid:46)(cid:31)(cid:116)(cid:62)(cid:32)(cid:33)(cid:230)(cid:250)(cid:121)
(cid:61)2(cid:69)(cid:98)(cid:99)AA𝐴S𝐹(cid:32)(cid:33)𝐶𝐸 (cid:116)△(cid:62)𝐴(cid:134)𝐵(cid:186)𝐹≌△=𝐶𝐷𝐸 (cid:77)(cid:251)(cid:252)(cid:48)(cid:99)(cid:62)(cid:134)(cid:230)(cid:250)(cid:70)
A
+
A
科
全
★
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:61)1(cid:69)(cid:32)(cid:33)△(cid:10)𝐵𝑀𝐹=≌△𝐷(cid:77)𝑀𝐸 𝑀𝐵 𝑀𝐷众 号
公
注
关
+ = + (cid:77)∵𝐴(cid:116)𝐸 𝐶=𝐹 源(cid:77) ，
资
辅
教
∴(cid:78)𝐴R𝐸t 𝐸𝐹 (cid:55)𝐶R𝐹t 𝐹𝐸 (cid:80)𝐴(cid:77)𝐹 𝐶𝐸
=△𝐴𝐵𝐹 △𝐶𝐷𝐸
(cid:77)
=
𝐴𝐹 𝐶𝐸
𝐴𝐵 𝐶𝐷 (HL)(cid:77)
∴△𝐴=𝐵𝐹≌(cid:70)△𝐶𝐷𝐸
∴(cid:61)𝐷2𝐸(cid:69)(cid:118)𝐵(cid:10)𝐹 (cid:77) (cid:77)
=∵𝐷𝐸⊥𝐴=𝐶90𝐵°(cid:77)𝐹⊥𝐴𝐶
∴(cid:78)∠𝐵𝐹𝑀 (cid:55)∠𝐷𝐸𝑀 (cid:80)(cid:77)
△𝐵𝑀=𝐹 △𝐷𝑀=𝐸90°
= (cid:77)
∠𝐵𝐹𝑀 ∠=𝐷𝐸𝑀
∠𝐵𝑀𝐹 ∠𝐷𝑀𝐸
𝐷𝐸 𝐵𝐹 (AAS)(cid:77)
∴△𝐵=𝑀𝐹≌△𝐷𝑀=𝐸 (cid:77)
∴𝑀𝐵
=
𝑀1 𝐷,𝑀
=
𝐸
3(cid:77)
𝑀𝐹
= (cid:77)
2
∴𝐷𝑀 𝐵𝐷 𝐸𝐹 2𝐸𝑀
= = 3 2 = 5(cid:70)
2 2 2 2
∴𝐸𝑀 𝐷𝑀 −𝐷𝐸 −= =2 5(cid:70)
【 ∴𝐸 题 𝐹 型 26𝐸 𝑀 利用HL及全等的性质证明角度相等】
(cid:15)(cid:82)6(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:126)·(cid:253)(cid:254)(cid:150)(cid:168)·(cid:182)(cid:43)(cid:154)(cid:183)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:92)(cid:93) (cid:67) (cid:57)(cid:58)(cid:102)(cid:59)(cid:60)(cid:255)(cid:28) (cid:55) (cid:38)(cid:135)(cid:77)
(cid:92)(cid:93) = (cid:77) = (cid:70)(cid:41)(cid:32)(cid:10) = (cid:70) 𝐴𝐷 𝐴𝐹 △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐸
𝐴𝐷 𝐴𝐹 𝐴𝐶 𝐴𝐸 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐸𝐵
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)(cid:152)(cid:118)(cid:105)
(cid:15)(cid:57)(cid:105)(cid:19)(cid:106)(cid:20)(cid:107)(cid:108)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:55)(cid:39)(cid:40)(cid:93)(cid:240)(cid:96)(cid:77)(cid:118)(cid:20)(cid:38)(cid:3)(cid:157)(cid:102)(cid:191)(cid:172)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:134)(cid:141)(cid:110)(cid:111)(cid:28)(cid:46)(cid:31)(cid:70)
(cid:35)(cid:36)(cid:256)HL(cid:256)(cid:114)(cid:130)(cid:34)(cid:28)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:77)(cid:177)(cid:98)(cid:99)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:110)(cid:111)(cid:28)(cid:46)(cid:31)(cid:89)(cid:32)(cid:33)(cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:32)(cid:33)(cid:10) (cid:67) (cid:57)(cid:58)(cid:102)(cid:59)(cid:60)(cid:255)(cid:28) (cid:55) (cid:38)(cid:135)(cid:77)
(cid:137) = (cid:77) ∵=𝐴𝐷 (cid:77)𝐴𝐹 △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐹 =𝐴9𝐶0 (cid:77)𝐴𝐸 A +
A
科
∘ 全
★
∴∠Rt𝐹 ∠𝐷 Rt (HL)(cid:77) 众 号
公
注
关
∴ △=𝐴𝐷𝐶≌ (cid:77)△𝐴𝐹𝐸 源 ，
资
辅
教
∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐸𝐹(cid:70)
∠(cid:15)A(cid:124)CB(cid:125)6-∠1A(cid:19)E(cid:61)B 24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:126)·(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:262)·(cid:91)(cid:149)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77) = (cid:77) (cid:77) (cid:77)(cid:94)(cid:95)(cid:57)(cid:58)(cid:81) (cid:77)
(cid:77) = (cid:70)(cid:41)(cid:32)(cid:10) = (cid:70) 𝐴𝐶 𝐸𝐹 𝐶𝐵⊥𝐴𝐸 𝐹𝐷⊥𝐴𝐸 𝐵
𝐷 𝐶𝐵 𝐷𝐹 ∠𝐴 ∠𝐸
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)(cid:32)(cid:33)(cid:152)(cid:118)(cid:105)
(cid:15)(cid:57)(cid:105)(cid:19)(cid:106)(cid:20)(cid:107)(cid:108)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:55)(cid:39)(cid:40)(cid:77)(cid:35)(cid:36)HL(cid:32)(cid:33)Rt Rt (cid:116)(cid:62)(cid:41)(cid:32)(cid:77)(cid:155)(cid:156)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)
(cid:29)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:55)(cid:39)(cid:40)(cid:102)(cid:118)(cid:20)(cid:38)(cid:3)(cid:157)(cid:70) △𝐴𝐵𝐶≌ △𝐸𝐷𝐹
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:32)(cid:33)(cid:10) (cid:77) (cid:77)
= ∵=𝐶𝐵90⊥°(cid:77)𝐴𝐸 𝐹𝐷⊥𝐴𝐸
∴∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐸𝐷𝐹(cid:78)Rt (cid:55)Rt (cid:80)(cid:77)
=△𝐴𝐵𝐶 △𝐸𝐷𝐹
(cid:77)
=
𝐴𝐶 𝐸𝐹
𝐶R𝐵t 𝐹𝐷 Rt (HL)(cid:77)
∴ △=𝐴𝐵𝐶(cid:70)≌ △𝐸𝐷𝐹
∴(cid:15)∠(cid:124)A(cid:125)∠6-E2(cid:19)(cid:75)(cid:76)(cid:77) (cid:80)(cid:77) = (cid:77) =90°(cid:77)F(cid:81) (cid:234)(cid:44)(cid:42)(cid:126)(cid:56)(cid:96)(cid:77)(cid:96)E(cid:78) (cid:126)(cid:77)(cid:137) = (cid:121)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐶𝐹
(1)(cid:41)(cid:32)(cid:10) = (cid:121)
(2)(cid:129) ∠𝐵=𝐴2𝐸5°(cid:77)∠(cid:41)𝐵𝐶𝐹 (cid:38)(cid:45)(cid:48)(cid:70)
(cid:15)(cid:103)(cid:104)∠𝐶(cid:19)𝐴(𝐸1)(cid:152)(cid:118)(cid:105) ∠𝐴𝐶𝐹
(2) (cid:38)(cid:45)(cid:48)(cid:81)65°
+
A
A
科
(cid:15)(cid:57)∠𝐴(cid:105)𝐶(cid:19)𝐹 (cid:106)(cid:20)(cid:107)(cid:108)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:79)(cid:39)(cid:40)(cid:77)(cid:155)(cid:156)(cid:46)(cid:3)(cid:130)(cid:133)(cid:206)
★
(cid:207)(cid:102)全(cid:118)(cid:20)(cid:3)(cid:157)(cid:70)
号
众
公
注
(cid:61)1(cid:69)(cid:32)Rt Rt (cid:116)(cid:62)(cid:121) 关
，
源
资
辅
(cid:61)2(cid:69)(cid:169)(cid:20)(cid:229)△(cid:134)𝐴𝐵𝐸≌ 教=△𝐶𝐵𝐹 =45°(cid:77)(cid:263)(cid:186) = = =20°(cid:77)(cid:169)(cid:61)1(cid:69)(cid:62)(cid:93)(cid:77)
= (cid:77)∠𝐵(cid:99)𝐴(cid:170)𝐶 (cid:116)∠(cid:62)𝐵(cid:41)𝐶𝐴(cid:118)(cid:121) ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝐸 45°−25°
∠(cid:15)𝐵(cid:117)𝐴𝐸(cid:118)(cid:19)∠(cid:61)𝐵1𝐶(cid:69)𝐹(cid:32)(cid:33)(cid:10) =90°(cid:77)
=90°(cid:77) ∵∠𝐴𝐵𝐶
(cid:78)∴R∠t𝐶𝐵𝐹 (cid:79)Rt (cid:80)(cid:77)
=△𝐴𝐵𝐸 △𝐶𝐵𝐹
(cid:77)
=
𝐴𝐵 𝐶𝐵
𝐴R𝐸t 𝐶𝐹 Rt
∴ △𝐴𝐵=𝐸≌ △(cid:121)𝐶𝐵𝐹
(cid:61)∴2∠(cid:69)𝐵𝐴(cid:118)𝐸(cid:10) ∠𝐵𝐶𝐹= (cid:77) =90°(cid:77)
=∵𝐴𝐵 =𝐵4𝐶5°(cid:77)∠𝐴𝐵𝐶
∴∠𝐵𝐴𝐶=2∠5𝐵°𝐶(cid:77)𝐴
∵∠𝐶𝐴𝐸 = = =20°(cid:77)
(cid:169)∴(cid:61)∠𝐵1𝐴(cid:69)𝐸(cid:62)(cid:93)∠(cid:77)𝐵𝐴𝐶−∠𝐶=𝐴𝐸 45(cid:77)°−25°
∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐵𝐶𝐹=20°(cid:77)
∴∠𝐵𝐶𝐹= + =45°+20°=65°(cid:77)
(cid:116)∴∠𝐴𝐶𝐹(cid:38)(cid:45)∠(cid:48)𝐵𝐶(cid:81)𝐴65°∠(cid:70)𝐵𝐶𝐹
(cid:15)∠(cid:124)A(cid:125)CF6-3(cid:19)(cid:61)23-24(cid:264)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:150)(cid:265)(cid:148)(cid:145)·(cid:182)(cid:43)(cid:154)(cid:183)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77) (cid:128)(cid:96)D(cid:77) (cid:128) (cid:77) (cid:136)(cid:128) (cid:77)
= ,(cid:41)(cid:32)(cid:10) = 𝐵𝐷⊥𝐴𝐶 𝐶𝐸⊥𝐴𝐵 𝐸 𝐵𝐷,𝐶𝐸 𝑂
𝑂𝐵 𝑂𝐶 ∠1 ∠2
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)(cid:152)(cid:118)(cid:105)
(cid:15)(cid:57)(cid:105)(cid:19)(cid:106)(cid:20)(cid:107)(cid:108)(cid:132)(cid:94)(cid:34)(cid:38)(cid:130)(cid:176)(cid:67)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:79)(cid:39)(cid:40)(cid:31)(cid:93)(cid:240)(cid:96)(cid:77)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:139)(cid:140)(cid:102)
(cid:118)(cid:20)(cid:3)(cid:157)(cid:70)
(cid:184)(cid:98)(cid:99)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:130)(cid:133)(cid:32)(cid:186) AAS)(cid:77)(cid:177)(cid:98)(cid:99)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:134)(cid:186)Rt Rt
+
A
HL)(cid:77)(cid:116)(cid:62)(cid:32)(cid:33) △𝐵𝑂𝐸≌△𝐶𝑂𝐷( 科 A △𝐴𝑂𝐸≌
全
★
号
众
(cid:15)△(cid:117)𝐴𝑂(cid:118)𝐷(cid:19)( (cid:32)(cid:33)(cid:10) (cid:128) (cid:77) (cid:128) (cid:77) 公
注
关
，
源
= ∵=𝐵𝐷90⊥°(cid:77)𝐴辅𝐶 𝐷资𝐶𝐸⊥𝐴𝐵 𝐸
教
∴∠𝐵𝐸𝑂= ∠𝐶𝐷𝑂 = (cid:77)
∵∠𝐵𝑂𝐸 ∠𝐶𝑂𝐷,𝑂𝐵AAS)𝑂(cid:77)𝐶
∴△𝐵𝑂=𝐸≌△(cid:77)𝐶𝑂𝐷(
∴𝑂𝐸 =𝑂𝐷(cid:77)
∵𝐴Rt𝑂 𝐴𝑂 Rt HL)(cid:77)
∴ △=𝐴𝑂𝐸(cid:70)≌ △𝐴𝑂𝐷(
【 ∴ 题 ∠1 型7∠ 2 利用HL及全等的性质证明线段间的数量关系】
(cid:15)(cid:82)7(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:126)·(cid:161)(cid:148)(cid:266)(cid:161)·(cid:182)(cid:43)(cid:154)(cid:183)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78) (cid:80)(cid:77) =90°(cid:77) (cid:102) (cid:38)(cid:168)(cid:57)(cid:42)(cid:77)
(cid:128)E(cid:77)F(cid:78) (cid:126)(cid:77) = (cid:77)(cid:190)(cid:32)(cid:33)(cid:10) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵
𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐷𝐹(1) = (cid:70)
(2)𝐶𝐹 =𝐸𝐵+ (cid:70)
(cid:15)(cid:103)𝐴𝐵(cid:104)(cid:19)𝐴(1𝐹)(cid:152)(cid:118)2𝐸(cid:105)𝐵
(2)(cid:152)(cid:118)(cid:105)
(cid:15)(cid:57)(cid:105)(cid:19)(cid:106)(cid:20)(cid:131)(cid:97)(cid:107)(cid:108)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:79)(cid:114)(cid:130)(cid:77)(cid:153)(cid:93)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:79)(cid:114)(cid:130)(cid:130)(cid:133)(cid:102)(cid:118)(cid:20)(cid:38)(cid:3)(cid:157)(cid:70)
(cid:61)1(cid:69)(cid:184)(cid:32)(cid:33) (cid:134)(cid:141) = (cid:77)(cid:177)(cid:32)(cid:33)Rt Rt (cid:116)(cid:62)(cid:32)(cid:33) = (cid:121)
(cid:61)2(cid:69)(cid:169)(cid:30)(cid:31)(cid:27)△(cid:28)𝐴𝐷(cid:29)𝐶(cid:38)≌(cid:39)△(cid:40)𝐴𝐷(cid:62)𝐸(cid:134) 𝐶=𝐷 𝐸(cid:77)𝐷(cid:177)(cid:169)(cid:42)(cid:43)(cid:38)(cid:55)△(cid:267)𝐶(cid:3)𝐷𝐹(cid:50)≌(cid:32)(cid:33)△(cid:116)𝐸(cid:62)𝐷𝐵(cid:70) 𝐶𝐹 𝐸𝐵
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:61)1(cid:69)(cid:32)(cid:33)(cid:10) (cid:102) 𝐴𝐸(cid:38)(cid:168)𝐴𝐶(cid:57)(cid:42)(cid:77)
= (cid:77) ∵𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
∴∠𝐷𝐴𝐶 (cid:77)∠𝐷𝐴𝐸
∵𝐷𝐸⊥𝐴=𝐵 =90°(cid:77)
∴(cid:171)∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴(cid:77)𝐸𝐷
∵𝐴𝐷 𝐴𝐷 (AAS)(cid:77)
+
A
∴△𝐴=𝐷𝐶≌(cid:77)△𝐴𝐷𝐸 科 A
全
★
号
众
∴(cid:171)𝐶𝐷 𝐸=𝐷 (cid:77) = =90°(cid:77) 公
注
关
，
源
R∵t𝐵𝐷 𝐷𝐹Rt∠𝐷𝐸𝐵 (cid:77)∠辅𝐶 资
教
∴ △=𝐶𝐷𝐹(cid:121)≌ △𝐸𝐷𝐵
(cid:61)∴𝐶2𝐹(cid:69)(cid:32)𝐵(cid:33)𝐸(cid:10) (cid:77)
= (cid:77)∵△𝐴𝐷𝐶≌△𝐴𝐷𝐸
∴𝐴𝐸 =𝐴𝐶+ (cid:77)
∵𝐴𝐵=𝐴𝐸+𝐵𝐸(cid:77)
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶+𝐵𝐸(cid:77)
∵𝐴𝐶 =𝐴𝐹+𝐶𝐹+ = + (cid:70)
∴(cid:15)𝐴(cid:124)𝐵(cid:125)𝐴7-𝐹1(cid:19)(cid:61)𝐶𝐹24-2𝐵5𝐸(cid:83)(cid:84)𝐴(cid:85)𝐹 (cid:86)2·(cid:87)𝐵𝐸(cid:165)(cid:237)(cid:238)·(cid:182)(cid:43)(cid:154)(cid:183)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:96)C(cid:77)D(cid:160)(cid:78)(cid:42)(cid:43) (cid:126)(cid:77)(cid:137) = (cid:77)(cid:57)(cid:58)(cid:172)(cid:96)
C(cid:77)D (cid:78) (cid:38)(cid:268)(cid:269)(cid:173) (cid:77) (cid:77)(cid:151)(cid:142) (cid:136) (cid:128)(cid:96)G(cid:77) = (cid:70) 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐶
𝐴𝐵 𝐹𝐶⊥𝐴𝐵 𝐸𝐷⊥𝐴𝐵 𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐵𝐹(1)(cid:41)(cid:32)(cid:10) = (cid:70)
(2)(cid:41)(cid:32)(cid:10)G𝐷𝐸(cid:102)(cid:42)𝐶(cid:43)𝐹 (cid:38)(cid:80)(cid:96)(cid:70)
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)(1)(cid:152)(cid:118)(cid:105)𝐴𝐵
(2)(cid:152)(cid:118)(cid:105)
(cid:15)(cid:57)(cid:105)(cid:19)(cid:106)(cid:20)(cid:107)(cid:108)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:55)(cid:39)(cid:40)(cid:70)
(cid:61)1(cid:69)(cid:169) (cid:77) (cid:134) =90°(cid:77) =90°(cid:77)(cid:32)(cid:33) (HL)(cid:77)(cid:116)(cid:62)(cid:32)(cid:33) = (cid:121)
(cid:61)2(cid:69)(cid:32)𝐹(cid:33)𝐶⊥𝐴𝐵 𝐸𝐷⊥𝐴𝐵(AA∠S𝐹)𝐶(cid:77)𝐵(cid:134)(cid:141) =∠𝐸𝐷(cid:116)𝐴(cid:62)(cid:70) △𝐹𝐶𝐵≌△𝐸𝐷𝐴 𝐷𝐸 𝐶𝐹
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:61)△1(cid:69)𝐹𝐶𝐺≌△𝐸𝐷(cid:77)𝐺 (cid:77) 𝐶𝐺 𝐷𝐺
=90°(cid:77)∵𝐹𝐶⊥𝐴=𝐵90𝐸°(cid:77)𝐷⊥𝐴𝐵
A
+
A
科
全
★
∴∠𝐹𝐶=𝐵 (cid:77) ∠=𝐸𝐷𝐴(cid:77) 众 号
公
注
关
∵𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐸 (𝐵H𝐹L)(cid:77) 源 ，
资
辅
教
∴△𝐹=𝐶𝐵≌(cid:121)△𝐸𝐷𝐴
∴(cid:61)𝐷2𝐸(cid:69) 𝐶𝐹= (cid:77) = =90°(cid:77) = (cid:77)
∵𝐷𝐸 𝐶𝐹 (∠A𝐹A𝐶S𝐺)(cid:77) ∠𝐸𝐷𝐺 ∠𝐹𝐺𝐶 ∠𝐸𝐺𝐷
∴C△G𝐹=𝐶D𝐺≌G(cid:77)△𝐸𝐷𝐺
∴(cid:116)G(cid:102)(cid:42)(cid:43)AB(cid:38)(cid:80)(cid:96)(cid:70)
(cid:15)(cid:124)(cid:125)7-2(cid:19)(cid:61)23-24(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:126)·(cid:270)(cid:271)(cid:233)(cid:272)·(cid:91)(cid:80)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78) (cid:80)(cid:77) > (cid:102) (cid:38)(cid:80)(cid:96)(cid:77)(cid:137)
90°(cid:77)(cid:273)(cid:42)(cid:43) (cid:220) (cid:201)(cid:78)(cid:34)(cid:42)(cid:274)(cid:275)(cid:77)(cid:134)(cid:141)(cid:42)(cid:43) △(cid:77)𝐴(cid:173)𝐵𝐶 𝐴𝐵(cid:136)(cid:34)𝐴(cid:42)𝐶,𝐷 (cid:128)𝐵(cid:96)𝐶 (cid:70)
′ ′
∠𝐵𝐴𝐷≠ 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐸∥𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐸
(1)(cid:276)(cid:20)(cid:229)(cid:144)(cid:30)(cid:76)(cid:29)(cid:121)
(2)(cid:36)(cid:31)(cid:125)(cid:73)(cid:242)(cid:42)(cid:43) (cid:277)(cid:47)(cid:38)(cid:48)(cid:49)(cid:3)(cid:50)(cid:77)(cid:199)(cid:32)(cid:33)(cid:70)
𝐴𝐵,𝐴𝐸,𝐶𝐸(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)(1)(cid:152)(cid:118)(cid:105)
(2) = + (cid:77)(cid:133)(cid:169)(cid:152)(cid:118)(cid:105)
(cid:15)(cid:57)𝐴𝐵(cid:105)(cid:19)𝐴(cid:106)𝐸(cid:20)(cid:107)𝐶𝐸(cid:108)(cid:132)(cid:274)(cid:275)(cid:124)(cid:278)(cid:61)(cid:275)(cid:279)(cid:280)(cid:20)(cid:69)(cid:77)(cid:275)(cid:279)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:77)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:55)(cid:39)(cid:40)(cid:77)(cid:168)(cid:113)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:31)(cid:93)
(cid:240)(cid:77)(cid:22)(cid:23)(cid:281)(cid:119)(cid:192)(cid:193)(cid:42)(cid:194)(cid:195)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:102)(cid:118)(cid:20)(cid:38)(cid:3)(cid:157)(cid:70)
(cid:61)1(cid:69)(cid:276)(cid:282)(cid:20)(cid:229)(cid:144)(cid:30)(cid:76)(cid:29)(cid:121)
(cid:61)2(cid:69)(cid:169)“ASA”(cid:62)(cid:32) (cid:77)(cid:62)(cid:134) = (cid:77) = (cid:77)(cid:169)“AAS”(cid:62)(cid:32) (cid:77)(cid:62)(cid:134)
= (cid:77) = △(cid:77)𝐵(cid:169)𝐷𝐹H≌L(cid:62)△(cid:32)𝐶𝐷R𝐸t 𝐶𝐸Rt 𝐵𝐹 𝐷(cid:77)𝐹(cid:62)(cid:134)𝐸𝐷 = (cid:77)(cid:62)(cid:134)(cid:230)△(cid:250)𝐴(cid:70)𝐷𝐺≌△𝐴𝐷𝐻
𝐷(cid:15)𝐺(cid:117)(cid:118)𝐷(cid:19)𝐻(cid:61)1𝐴(cid:69)𝐺(cid:144)(cid:30)𝐴𝐻(cid:76)(cid:29)(cid:75)(cid:76)(cid:201)(cid:242)(cid:10)△𝐷𝐹𝐺≌ △𝐷𝐸𝐻 𝐺𝐹 𝐸𝐻
+
A
A
科
全
★
号
众
(cid:61)2(cid:69) = + (cid:77)(cid:133)(cid:169)(cid:75)(cid:86)(cid:10) 公
注
关
，
源
(cid:75)(cid:76)(cid:77)𝐴(cid:151)𝐵(cid:142)𝐴𝐸(cid:77)(cid:199)𝐶𝐸(cid:234)(cid:44)(cid:136)辅(cid:128)资(cid:96) (cid:77)(cid:172)(cid:96) (cid:173) (cid:128) (cid:77) (cid:128) (cid:77)
教
′
(cid:77)𝐸𝐷 𝐴𝐵 𝐹 𝐷 𝐷𝐺⊥𝐴𝐵 𝐺 𝐷𝐻⊥𝐴𝐵 𝐻
∵𝐶𝐸∥=𝐴𝐵 (cid:77)
∴∠𝐵(cid:102) ∠(cid:38)𝐵𝐶(cid:80)𝐸(cid:96)(cid:77)
∵𝐷 =𝐵𝐶 (cid:77)
(cid:171)∴𝐵𝐷 𝐶𝐷= (cid:77)
∵∠𝐵𝐷𝐹 ∠𝐶𝐷(𝐸ASA)(cid:77)
∴△𝐵𝐷=𝐹≌△(cid:77)𝐶𝐷𝐸= (cid:77)
∴𝐶(cid:273)𝐸(cid:42)(cid:43)𝐵𝐹 (cid:220)𝐷𝐹 (cid:201)𝐸(cid:78)𝐷(cid:34)(cid:42)(cid:274)(cid:275)(cid:77)
∵ =𝐴𝐵 𝐴𝐷 (cid:77)
′
(cid:171)∴∠𝐵𝐴𝐷 =∠𝐵 𝐴𝐷 =90°(cid:77) = (cid:77)
∵∠𝐴𝐺𝐷 ∠𝐴𝐻(𝐷AAS)(cid:77) 𝐴𝐷 𝐴𝐷
∴△𝐴𝐷=𝐺≌△(cid:77)𝐴𝐷𝐻= (cid:77)
(cid:171)∴𝐷𝐺 =𝐷𝐻 (cid:77)𝐴𝐺 𝐴𝐻
∵𝐷𝐸 𝐷𝐹Rt Rt HL)(cid:77)
∴ △=𝐷𝐹𝐺(cid:77)≌ △𝐷𝐸𝐻(
∴𝐺𝐹=𝐸𝐻(cid:77)
∴𝐴𝐹 =𝐴𝐸+ = + (cid:70)
(cid:15)∴(cid:124)𝐴𝐵(cid:125)7𝐵-3𝐹(cid:19)(cid:273)𝐴(cid:59)𝐹(cid:60)(cid:30)𝐶𝐸(cid:31)(cid:38)𝐴𝐸 (cid:55) (cid:283)(cid:76)1(cid:139)(cid:125)(cid:284)(cid:285)(cid:77)(cid:286)(cid:80) = =90°(cid:77)(cid:96)E(cid:287)(cid:78)AB
(cid:126)(cid:77)DE(cid:201)(cid:78)(cid:34)(cid:42)(cid:136)(cid:34)(cid:42)AC𝑅𝑡(cid:128)△(cid:96)𝐴𝐵F𝐶(cid:70) 𝑅𝑡△𝐷𝐵𝐸 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐷𝐸𝐵
(cid:61)1(cid:69)(cid:41)(cid:32)(cid:10) = (cid:121)
(cid:61)2(cid:69)(cid:129)(cid:273)(cid:76)𝐶1𝐹(cid:80) 𝐸𝐹 (cid:288)(cid:96)B(cid:283)(cid:289)(cid:120)(cid:290)(cid:139)(cid:291)(cid:292)(cid:293)(cid:141)(cid:76)2(cid:51)(cid:52)(cid:77)(cid:286)(cid:294)(cid:24)(cid:25)(cid:295)(cid:124)(cid:61)(cid:75)(cid:76)2(cid:69)(cid:77)(cid:296)(cid:65)(cid:186)(cid:170)(cid:120)AF(cid:67)
+
A
A
科
EF(cid:79)DE(cid:277)(cid:47)(cid:38)(cid:3)△(cid:50)𝐷(cid:77)𝐵𝐸(cid:199)(cid:23)(cid:63)(cid:32)(cid:33)(cid:70)
★
全
号
众
公
注
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)(cid:61)1(cid:69)(cid:152)(cid:118)(cid:105)(cid:121)(cid:61)2(cid:69) = + 关(cid:77)(cid:133)(cid:169)(cid:152)(cid:118)(cid:105)
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:57)(cid:105)(cid:19)(cid:61)1(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)教(cid:151)(cid:142)BF(cid:77)𝐴𝐹(cid:35)(cid:36)𝐸𝐹 𝐷𝐸 (cid:77)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:77)(cid:230)(cid:158)(cid:92)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:33) (cid:77)
(cid:185)(cid:159)(cid:62)(cid:134)(cid:230)(cid:250)(cid:121) △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐵𝐸 𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐹≌𝑅𝑡△𝐵𝐸𝐹
(cid:61)2(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:151)(cid:142)BF(cid:77)(cid:32)(cid:33) (cid:77)(cid:185)(cid:159)(cid:62)(cid:134)(cid:230)(cid:250)(cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:32)(cid:33)(cid:10)(cid:61)1(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)𝑅(cid:151)𝑡△(cid:142)𝐵B𝐶F𝐹(cid:77)≌𝑅 𝑡△𝐵𝐸𝐹
(cid:77)
∵△𝐴=𝐵𝐶≌(cid:77)△𝐷𝐵𝐸
∴𝐵𝐶 𝐵=𝐸 =90°(cid:77)
∵∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐸𝐵=90°(cid:77)
∴(cid:78)∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐵(cid:55)𝐸𝐹 (cid:80)(cid:77)
𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐹 𝑅𝑡△𝐵𝐸𝐹=
=
𝐵𝐹 𝐵𝐹,
𝐵𝐶 𝐵𝐸, (cid:77)
∴𝑅𝑡△=𝐵𝐶𝐹(cid:70)≌𝑅𝑡△𝐵𝐸𝐹
(cid:61)∴𝐶2𝐹(cid:69)(cid:42)𝐸(cid:43)𝐹 AF(cid:67)EF(cid:79)DE(cid:277)(cid:47)(cid:38)(cid:3)(cid:50)(cid:81)(cid:10) = + (cid:70)(cid:133)(cid:169)(cid:75)(cid:86)(cid:10)
(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:151)(cid:142)BF(cid:77) 𝐴𝐹 𝐸𝐹 𝐷𝐸
(cid:169)(cid:292)(cid:293)(cid:55)(cid:30)(cid:31)(cid:62)(cid:93)(cid:10) = (cid:77) = (cid:77)
= =90𝐵°𝐶(cid:77) 𝐵𝐸 𝐷𝐸 𝐴𝐶
∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐸𝐵=90°(cid:77) A +
A
科
全
★
∴(cid:78)∠𝐵𝐶𝐹 ∠𝐵(cid:55)𝐸𝐷 (cid:80)(cid:77)
众
号
公
关
注
𝑅𝑡=△𝐵𝐶(cid:77)𝐹 𝑅𝑡△𝐵𝐸𝐹 源 ，
资
= 辅
教
𝐵𝐹 𝐵𝐹
𝐵𝐶 𝐵𝐸, (cid:77)
∴𝑅𝑡△=𝐵𝐶𝐹(cid:77)≌𝑅𝑡△𝐵𝐸𝐹
∴𝐶𝐹 =𝐸𝐹+ = + (cid:70)
(cid:15)∴𝐴(cid:96)𝐹(cid:297)(cid:19)𝐶𝐹(cid:106)(cid:20)𝐴(cid:107)𝐶(cid:108)(cid:38)𝐸𝐹(cid:102)(cid:27)𝐷(cid:28)𝐸(cid:29)(cid:38)(cid:30)(cid:31)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:79)(cid:39)(cid:40)(cid:77)(cid:292)(cid:293)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:77)(cid:155)(cid:156)(cid:63)(cid:126)(cid:93)(cid:240)(cid:102)(cid:118)(cid:20)(cid:38)(cid:3)(cid:157)(cid:70)
【题型8 利用HL及全等的性质证明线段间的位置关系】
(cid:15)(cid:82)8(cid:19)(cid:61)23-24(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:126)·(cid:87)(cid:165)(cid:165)(cid:298)·(cid:91)(cid:80)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78) (cid:80)(cid:77) = (cid:77)(cid:34)(cid:42)l(cid:243)(cid:172)(cid:299)(cid:96)C(cid:77)(cid:172)A(cid:77)B(cid:59)
(cid:96)(cid:57)(cid:58)(cid:173)l(cid:38)(cid:94)(cid:42) (cid:77) (cid:77)(cid:94)(cid:95)(cid:57)(cid:58)(cid:81)E(cid:77)F(cid:77) =△𝐴(cid:70)𝐵(cid:41)𝐶 (cid:32)(cid:10)𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝐴𝐸 𝐵𝐹 𝐴𝐸 𝐶𝐹
(1) = (cid:121)
(2)∠𝐸(cid:79)𝐴𝐶 (cid:138)∠𝐵(cid:300)𝐶(cid:301)𝐹(cid:38)(cid:51)(cid:52)(cid:3)(cid:50)(cid:224)(cid:296)(cid:200)(cid:33)(cid:133)(cid:169)(cid:70)
𝐴𝐶 𝐵𝐶(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)(1)(cid:152)(cid:118)(cid:105)(cid:121)
(2) (cid:77)(cid:152)(cid:118)(cid:105)(cid:70)
(cid:15)(cid:57)𝐴𝐶(cid:105)⊥(cid:19)𝐵(cid:106)𝐶(cid:20)(cid:107)(cid:108)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:79)(cid:39)(cid:40)(cid:67)(cid:34)(cid:28)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:59)(cid:60)(cid:302)(cid:28)(cid:303)(cid:304)(cid:77)(cid:32)(cid:33)Rt Rt (HL)
(cid:102)(cid:118)(cid:103)(cid:38)(cid:3)(cid:157)(cid:70) △𝐴𝐸𝐶≌ △𝐶𝐹𝐵
(cid:61)1(cid:69)(cid:32)(cid:33)Rt Rt (HL)(cid:77)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:110)(cid:111)(cid:28)(cid:46)(cid:31)(cid:62)(cid:134)(cid:230)(cid:250)(cid:121)
(cid:61)2(cid:69)(cid:98)(cid:99)(cid:34)(cid:28)△(cid:27)𝐴𝐸(cid:28)𝐶(cid:29)≌(cid:38)(cid:59)△(cid:60)𝐶𝐹(cid:302)𝐵(cid:28)(cid:303)(cid:304)(cid:32)(cid:33) =90°(cid:116)(cid:62)(cid:134)(cid:230)(cid:250)(cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:61)1(cid:69)(cid:32)(cid:33)(cid:10) (cid:128)E(cid:96)(cid:77) ∠𝐴(cid:128)𝐶𝐵F(cid:96)
(cid:78)Rt (cid:79)Rt ∵𝐴𝐸(cid:80)⊥𝑙 𝐵𝐹⊥𝑙
∴ =△𝐴𝐸𝐶 △𝐶𝐹𝐵
=
𝐴𝐸 𝐶𝐹
𝐴R𝐶t 𝐵𝐶 Rt (HL)
∴ △𝐴=𝐸𝐶≌ △(cid:121)𝐶𝐹𝐵
∴(cid:61)∠2𝐸(cid:69)𝐴𝐶 ∠𝐹𝐶(cid:77)𝐵(cid:133)(cid:169)(cid:75)(cid:86)(cid:10)
(cid:78)(cid:34)(cid:28)𝐴(cid:27)𝐶⊥(cid:28)𝐵(cid:29)𝐶 (cid:80)(cid:77) =90°
+
A
A
科
+ 𝐴𝐸=𝐶90°∠𝐴𝐸𝐶 ★ 全
号
众
公
注
∴∠𝐸𝐴𝐶+∠𝐸𝐶𝐴 =90° 关
，
源
资
辅
∴E∠(cid:67)𝐸𝐶C𝐴(cid:77)F∠(cid:27)𝐹𝐶(cid:96)𝐵(cid:305)(cid:42) 教
∵ = ( + ) = =90°
∴∠AC𝐴𝐶𝐵BC(cid:70)180°− ∠𝐸𝐶𝐴 ∠𝐹𝐶𝐵 180°−90°
∴(cid:15)(cid:124)⊥(cid:125)8-1(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:306)(cid:307)(cid:27)(cid:33)·(cid:91)(cid:149)(cid:69)(cid:92)(cid:93)(cid:10)(cid:75)(cid:76)(cid:77) = (cid:77) (cid:77) (cid:77)(cid:94)(cid:95)(cid:57)(cid:58)(cid:81)
(cid:77) (cid:77)(cid:137) = (cid:70)(cid:41)(cid:32)(cid:10) (cid:70) 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐷𝐸⊥𝐴𝐶 𝐵𝐹⊥𝐴𝐶
𝐸 𝐹 𝐵𝐹 𝐷𝐸 𝐴𝐵∥𝐶𝐷
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)(cid:152)(cid:118)(cid:105)
(cid:15)(cid:57)(cid:105)(cid:19)(cid:170)(cid:20)(cid:107)(cid:108)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:37)(cid:39)(cid:40)(cid:77)(cid:153)(cid:308)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:130)(cid:133)(cid:102)(cid:118)(cid:20)(cid:38)(cid:3)(cid:157)(cid:70)(cid:32)(cid:33)Rt
(HL)(cid:77)(cid:62)(cid:134) = (cid:77)(cid:62)(cid:134) (cid:70) △𝐶𝐷𝐸≌Rt
(cid:15)△(cid:117)𝐴𝐵(cid:118)𝐹(cid:19)(cid:32)(cid:33)(cid:10) ∠𝐶 ∠(cid:77)𝐴 𝐴𝐵(cid:77)∥𝐶𝐷
= ∵=𝐷𝐸90⊥°(cid:77)𝐴𝐶 𝐵𝐹⊥𝐴𝐶
∴∠𝐴𝐹𝐵 ∠𝐶𝐸𝐷(cid:78)Rt (cid:55)Rt (cid:80)(cid:77)
=△𝐶𝐷𝐸 △𝐴𝐵𝐹
(cid:77)
=
𝐴𝐵 𝐶𝐷
𝐵R𝐹t 𝐷𝐸 (HL)(cid:77)
∴ △=𝐶𝐷𝐸(cid:77)≌Rt△𝐴𝐵𝐹
∴∠AB𝐶 C∠D𝐴(cid:70)
∴(cid:15)(cid:124)(cid:125)∥ 8-2(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:126)·(cid:309)(cid:238)(cid:310)(cid:176)·(cid:91)(cid:149)(cid:69)(cid:92)(cid:93)(cid:10)(cid:75)(cid:76)(cid:77) (cid:102) (cid:38)(cid:135)(cid:77) (cid:102) (cid:126)(cid:56)(cid:96)(cid:77) = (cid:77)
= (cid:77)(cid:41)(cid:32)(cid:10) 𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐷
𝐵𝐸 𝐴𝐶
(1) = (cid:70)
+
A
(2)∠1 ∠𝐶(cid:70) 科 A
全
★
号
众
(cid:15)(cid:103)𝐵𝐸(cid:104)⊥(cid:19)𝐴(𝐶1)(cid:152)(cid:118)(cid:105) 公
注
关
，
源
(2)(cid:152)(cid:118)(cid:105) 辅 资
教
(cid:15)(cid:57)(cid:105)(cid:19)(cid:106)(cid:20)(cid:107)(cid:108)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:114)(cid:130)(cid:79)(cid:39)(cid:40)(cid:63)(cid:37)(cid:94)(cid:34)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:77)(cid:118)(cid:20)(cid:38)(cid:3)(cid:157)(cid:102)(cid:191)(cid:172)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:134)(cid:141)(cid:110)(cid:111)
(cid:28)(cid:46)(cid:31)(cid:77)(cid:177)(cid:35)(cid:36)(cid:28)(cid:45)(cid:3)(cid:50)(cid:32)(cid:33)(cid:94)(cid:34)(cid:70)
(cid:61)1(cid:69)(cid:184)(cid:98)(cid:99) (cid:102) (cid:38)(cid:135)(cid:77)(cid:134)(cid:186) = =90°(cid:77)(cid:177)(cid:98)(cid:99) = (cid:77) = (cid:134)(cid:186)Rt Rt
(cid:77)(cid:116)(cid:62)𝐴𝐷(cid:32)(cid:186)△𝐴𝐵=𝐶 (cid:70) ∠𝐴𝐷𝐵 ∠𝐴𝐷𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝐷𝐸 𝐷𝐶 △𝐴𝐷𝐶≌
(cid:61)△2𝐵(cid:69)𝐷(cid:75)𝐸(cid:76)(cid:77)(cid:234)(cid:44) ∠(cid:79)1 ∠(cid:136)𝐶(cid:128)(cid:96) (cid:77)(cid:169)(cid:61)1(cid:69)(cid:62)(cid:93)Rt Rt (cid:77)(cid:134)(cid:186) = (cid:77)(cid:177)(cid:98)(cid:99)(cid:110)(cid:299)(cid:28)
= (cid:77)(cid:134)(cid:141)𝐵𝐸 𝐴𝐶 = (cid:77)𝑀(cid:134)(cid:186) + △=𝐴𝐷9𝐶0≌°(cid:77)(cid:185)△(cid:159)𝐵(cid:134)𝐷𝐸(cid:186) ∠=1 90∠°(cid:77)𝐶(cid:116)(cid:62)(cid:32)(cid:186) (cid:70)
(cid:15)∠1(cid:117)(cid:118)∠(cid:19)𝐴𝐸(cid:61)𝑀1(cid:69)(cid:32)(cid:33)∠(cid:10)𝐴𝐸𝑀 (cid:102)∠𝐶 (cid:38)∠𝐴(cid:135)𝐸(cid:77)𝑀 ∠𝐶𝐴𝐷 ∠𝐴𝑀𝐸 𝐵𝐸⊥𝐴𝐶
= =90∵°(cid:77)𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶
(cid:78)∴R∠t𝐴𝐷𝐶 ∠(cid:55)𝐵R𝐷t𝐸 (cid:80)(cid:77)
=△𝐴𝐷𝐶 △𝐵𝐷𝐸
(cid:77)
=
𝐴𝐶 𝐵𝐸
𝐴R𝐷t 𝐵𝐷 Rt (HL)(cid:77)
∴ △=𝐴𝐷𝐶(cid:121)≌ △𝐵𝐷𝐸
(cid:61)∴2∠(cid:69)1(cid:75)(cid:76)∠𝐶(cid:77)(cid:234)(cid:44) (cid:79) (cid:136)(cid:128)(cid:96) (cid:77)
𝐵𝐸 𝐴𝐶 𝑀= (cid:77) = (cid:77)
∵∠1 ∠=𝐴𝐸𝑀(cid:77)∠1 ∠𝐶
(cid:171)∴∠𝐴𝐸𝑀 =∠𝐶90°(cid:77)
∵∠+𝐴𝐷𝐶 =90°(cid:77)
∴∠𝐶 ∠+𝐶𝐴𝐷 =90°(cid:77)
∴∠𝐴𝐸𝑀=∠𝐶𝐴𝐷 ( + )=90°(cid:77)
∴∠𝐴𝑀𝐸 (cid:70)180°− ∠𝐴𝐸𝑀 ∠𝐶𝐴𝐷
(cid:15)∴(cid:124)𝐵𝐸(cid:125)⊥8𝐴-𝐶3(cid:19)(cid:61)2025·(cid:150)(cid:265)(cid:311)(cid:90)·(cid:56)(cid:248)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:150)(cid:54)(cid:29) (cid:80)(cid:77) = (cid:77) = (cid:77) (cid:77)
= =90 (cid:77) (cid:79) (cid:46)(cid:136)(cid:128)(cid:96) (cid:70)(cid:114)(cid:115)(cid:42)(cid:43)𝐴𝐵(cid:79)𝐶𝐷 (cid:38)(cid:51)𝐵𝐶(cid:52)(cid:3)𝐶(cid:50)𝐷(cid:77)𝐴(cid:199)𝐶(cid:200)(cid:33) A𝐷(cid:133)𝐸+(cid:169)𝐴(cid:70)𝐵∥𝐶𝐷
A
科
∘ 全
★
∠𝐵 ∠𝐷𝐶𝐸 𝐴𝐶 𝐷𝐸 𝐹 𝐴𝐶 众𝐷𝐸号
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19) (cid:77)(cid:133)(cid:169)(cid:152)(cid:118)(cid:105)
(cid:15)(cid:57)(cid:105)(cid:19)𝐴(cid:106)𝐶(cid:20)⊥(cid:131)𝐷(cid:97)𝐸 (cid:107)(cid:108)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:55)(cid:114)(cid:130)(cid:77)
(cid:184)(cid:98)(cid:99)“(cid:53)(cid:54)(cid:34)(cid:28)(cid:54)”(cid:32)(cid:33) (cid:77)(cid:62)(cid:134) = (cid:77)(cid:112)(cid:159)(cid:134)(cid:186) =90°(cid:77)(cid:116)(cid:62)(cid:134)(cid:186)(cid:103)(cid:104).
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:118)(cid:10) (cid:70)RtΔ𝐴𝐵𝐶≌RtΔ𝐸𝐶𝐷 ∠𝐵𝐶𝐴 ∠𝐶𝐷𝐸 ∠𝐷𝐹𝐶
(cid:133)(cid:169)(cid:75)(cid:86)(cid:10) 𝐴𝐶⊥𝐷𝐸
= =90°(cid:77)
∵(cid:78)∠R𝐵t ∠𝐷𝐶(cid:55)𝐸 Rt (cid:80)(cid:77)
=△𝐴𝐵𝐶 △𝐸𝐶𝐷
(cid:77)
=
𝐴𝐶 𝐷𝐸
𝐵𝐶 𝐶𝐷 (HL)(cid:77)
∴RtΔ𝐴𝐵=𝐶≌RtΔ𝐸𝐶(cid:77)𝐷
∴∠𝐵𝐶𝐴 ∠𝐶𝐷𝐸=90°(cid:77)
∵∠𝐷𝐶𝐸+ =90°(cid:77)
∴∠𝐵𝐶𝐴+∠𝐴𝐶𝐷 =90°(cid:77)
∴∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐴𝐶𝐷 ( + )=90°(cid:77)
∴∠𝐷𝐹𝐶 (cid:70)180°− ∠𝐶𝐷𝐸 ∠𝐴𝐶𝐷
∴ 𝐴𝐶⊥𝐷𝐸
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
