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12.2.4 直角三角形全等的判定(HL)
夯实基础篇
一、单选题：
1．在Rt ABC和Rt A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，下列条件中不能判定Rt ABC≌Rt A′B′C′的是
（ ）△ △ △ △
A．AC=A′C′，∠B=∠B′
B．∠A=∠A′，∠B=∠B′
C．AB=A′B′，AC=A′C′
D．AB=A′B′，∠A=∠A′
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：A、根据全等三角形的判定定理AAS可以判定△ABC≌△A′B′C′．故本选项不符
合题意；
B、根据AAA不能判定Rt ABC≌Rt A′B′C′．故本选项符合题意；
C、根据全等三角形的判定△定理SAS△可以判定Rt ABC≌Rt A′B′C′．故本选项不符合题意；
D、根据全等三角形的判定定理AAS可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．故本选项不符合题意；
故选B． △ △
【分析】根据三角形全等的判定方法，SSS、SAS、ASA、AAS，HL等逐一检验．
2．下面说法不正确的是（ ）
A．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
B．有两边对应相等的两个直角三角形全等
C．有两角对应相等的两个直角三角形全等
D．有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】A、∵直角三角形的斜边和一锐角对应相等，所以另一锐角必然相等，∴符合ASA定理，不符合题意；
B、两边对应相等的两个直角三角形全等，若是两条直角边，可以根据SAS判定全等，若是直角边与
斜边，可根据HL判定全等．不符合题意；
C、有两个锐角相等的两个直角三角形相似，符合题意；
D、有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形符合ASA定理，可判定相等，不符合题意．
故答案为：C
【分析】直角三角形中已经有一个直角对应相等，需要它们全等的话，只需要再有一个角和一组边对
应相等，利用AAS或者ASA判断出它们全等；或者只需要两组边对应相等，利用HL或者SAS就可
判定出它们全等；根据判定方法即可一一判断出答案。
3．如图，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE=BF，若利用“HL”证明△DEC≌△BFA，则需添
加的条件是( )
A．DC=BA B．EC=FA C．∠D=∠B D．∠DCE=BAF
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F ，
∴∠DEC=∠BFA=90°，
∵DE=BF，
∴当添加斜边相等时，即DC=BA时， 可利用“HL”证明△DEC≌△BFA.
故选A.
【分析】 利用“HL”证明Rt DEC≌Rt BFA时，已知一对直角边相等（DE=BF），只需要添加斜边相
等，据此判断即可. △ △
4．用三角尺可以按照下面的方法画∠AOB的角平分线：在OA、OB上分别取点M、N，使OM=ON；
再分别过点M、N画OA、OB的垂线，这两条垂线相交于点P，画射线OP（如图），则射线OP平分
∠AOB，以上画角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（ ）A．SSS B．SAS C．HL D．ASA
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】在Rt OMP和Rt ONP中，
{OM=ON
，
OP=OP
∴Rt OMP Rt ONP（HL），
∴ MOP= NOP，
∴OP是 AOB的角平分线.
故答案为：C.
【分析】本题考查了全等三角形的判定及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.
利用判定方法“HL”证明Rt OMP Rt ONP，进而得出答案.
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点D，BC=BD．如果AC=3cm，那么AE+DE=( )
A．2 cm B．4 cm C．3 cm D．5 cm
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵DE⊥AB于D，
在 和 中，
，∴ED=CE
.∴AE+ED=AE+CE=AC=3cm
故答案为：C
【分析】首先根据BC=BD，EB=EB利用HL判断出Rt BDE Rt BCE，根据猤三角形对应边相等得
出ED=CE，根据线段的和差及等量代换即可得出结论。△ ≅ △
6．已知：如图，在△ABC中，∠C＝63°，AD是BC边上的高，AD＝BD，点E在AC上，BE交AD于
点F，BF＝AC，则∠AFB的度数为（ ）
A．27° B．37° C．63° D．117°
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵BF=AC，
∵AD=BD，∠ADC=∠BDF=90°，
∴△ADC≌△BDF（HL），
∴∠BFD=∠C=63°.
∴∠AFB=180°-∠BFD=180°-63°=117°.
故答案为：D.
【分析】已知AD和BD相等，BF和AC相等，利用斜边直角边定理定理可证△ADC≌△BDF，从而
得出∠AFD=∠C=63°，则由邻补角的性质可得∠AFB的度数.
7．如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB的度数是( )
A．65° B．55° C．45° D．35°【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥AD，垂足为点F。
∵DE为∠ADC的平分线，EC⊥CD，EF⊥AD
∴EC=EF
∵E为BC的中点
∴EC=EB，
∴EB=EF
在直角三角形ABE和直角三角形AFE中，∵AE=AE，BE=EF，
∴直角三角形ABE≌直角三角形AFE∴∠DAE=∠BAE。
∵∠CED=35°
∴∠ADC=2×（90°-35°）=110°
∴∠EAB= ×（180°-110°）=35°。
故答案为：D。
【分析】根据直角三角形斜边和一条直角边相等，可证明两个直角三角形全等；根据梯形的内角和为
360°，来求得∠DAB的度数，根据∠DAB对应包含的两个角相等，即可求出∠EAB的度数。
二、填空题：
8．如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌
，全等的根据是 ．
【答案】△DFE；HL
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】EB＋BF＝FC＋BF，即EF＝BC，斜边相等
【分析】根据等式的性质由EB＝FC得出EF＝BC，这两个直角三角形中有一条直角边对应相等，斜
边也对应相等，故可以利用HL判断出ΔABC≌△DFE。9．如图，点D在边BC上，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、D，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD
＝140°，则∠EDF＝ ．
【答案】50°
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵∠AFD=140°，∴∠DFC=180°-140°=40°，∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEB=∠FDC=90º，在Rt BED和Rt CDF中，∵BD＝CF，BE＝CD，∴Rt BED≌Rt CDF，
∴∠EDB=∠DFC=40°，∴∠E△DF=∠BDC△-∠FDC－∠EDB=180°-90°-40°=50°. △ △
故答案为：50°
【分析】根据∠AFD=140°可得：∠DFC=180°-140°=40°，根据BD=CF，BE=CD可以利用HL定理得
出Rt BED和Rt CDF全等，则∠EDB=∠DFC=40°，则根据平角的性质可得：∠EDF=180°-90°-
40°=5△0° △
10．如图， ， ， 于点 ， 于点 ， ，
，则 的长是 ．
【答案】6
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，
∴∠AEC＝∠D＝90°，
在Rt AEC与Rt CDB中 ，
△ △
∴Rt AEC≌Rt CDB（HL），
∴CE△＝BD＝4，△CD＝AE＝10，∴DE＝CD−CE＝10−4＝6，
故答案为：6．
【分析】先求出∠AEC＝∠D＝90°，再证明Rt AEC≌Rt CDB，即可求解。
△ △
11．如图，在 中， 为边 的中点， 于点 ， 于点 ，
且 ．若 ，则 的大小为 度．
【答案】60
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵ 为边 的中点， 于点 ， 于点 ，
∴BD=CD，∠DEB=∠DFC=90°，
又 ，
∴ Rt BDE≌Rt CDF（HL），
∴ △ △ ，
∴∠B=∠C=60°，∠A=180°-60°-60°=60°，
故答案为：60°．
【分析】根据题意，点D是BC的中点， ，可证明Rt BDE≌Rt CDF，可得
△ △
∠B=∠C=60°，利用三角形内角和180°，计算即可得．
12．如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，
AB=8cm，则△DEB的周长是
【答案】8cm
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】∵∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB,
∴CD=DE,
{AD=AD
在△ACD和△AED中 ,
CD=DE
∴△ACD≌△AED(HL),
∴AC=AE,
∴△BED的周长=DE+BD+BE,
=BD+CD+BE,=BC+BE,
=AC+BE,=AE+BE,=AB,
∵AB=8cm,
∴△BED的周长是8cm.
故答案为:8cm.
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得CD=ED，再利用HL证明
△ACD≌△AED，利用全等三角形的性质，易证AC=AE，因此可证△BED的周长就是线段AB的长。
13．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，
AD+BC=7，AD=EB，DE=EC，则AB=
【答案】7
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵MN∥PQ， AB⊥PQ，
∴AB⊥MN，
∴∠DAE=∠EBC=90°，
在Rt ADE和Rt BCE中，
△ △
∴△ADE≌△BEC（HL），
∴AE=BC，
∵AD+BC=7，∴AB=AE+BE=AD+BC=7．
故答案为7．
【分析】可判定△ADE≌△BCE，从而得出AE=BC，则AB=AD+BC．
14．如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA=PB，∠MON=50°，∠OPC=30°，则∠PCA=
.
【答案】55°
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵PA＝PB，OP＝OP，
∴Rt OAP≌Rt OBP（HL），
△ △
∴∠AOP＝∠BOP＝ ∠AOB＝25°，
∴∠PCA＝∠AOP+∠OPC＝55°，
故答案为：55°.
【分析】由“HL”可证Rt OAP≌Rt OBP，可得∠AOP＝∠BOP＝ ∠AOB＝25°，由外角可求解.
△ △
三、解答题：
15．已知：如图，∠C=∠D=90°，AD=BC.求证：∠ABC=∠BAD.
【答案】证明：在Rt ABC和Rt BAD中，
△ △∵AB=BA，AD=BC，
∴Rt ABC≌Rt BAD（HL），
∴∠△ABC=∠BA△D.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据HL可证Rt ABC≌Rt BAD，利用全等三角形的对应角相等可得∠ABC=∠BAD.
16．如图，A，E，F，C在一条直线△上，AE＝△CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD，
试证明BD平分EF．
【答案】证明∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG＝∠BFE＝90°．∵AE＝CF，AE＋EF＝CF＋EF．即AF
＝CE．在Rt ABF和Rt CDE中，AB=CD，AF=CF，∴Rt ABF≌Rt CDE（HL），∴BF＝DE．在
△BFG和△D△EG中∠BF△G=∠DEG，∠BGF=∠DGE，BF=D△E∴△BFG△≌△DEG（AAS），∴FG＝
EG，即BD平分EF
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据等式的性质，由AE＝CF，得出AF＝CE．然后利用HL判断出
Rt ABF≌Rt CDE，根据全等三角形对应边相等得出BF＝DE．然后再利用AAS判断出
△△BFG≌△D△EG，根据全等三角形对应边相等得出FG＝EG，即BD平分EF。
17．如图，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE．
求证：BD=EC+ED．
【答案】证明：∵∠BAC=90°，CE⊥AE，BD⊥AE，
∴∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°．∴∠ABD=∠DAC．
∵在△ABD和△CAE中
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）．
∴BD=AE，EC=AD．
∵AE=AD+DE，
∴BD=EC+ED．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】由题中AB=AC，以及AB和AC所在三角形为直角三角形，可以判断出应证明
△ABD≌△CAE．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，在 和 中， ，则下列
说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：解：∵ ，
∴Rt ABC≌Rt ADE（HL）
△ △
∴ ，∠BAC=∠DAE，
故A选项不符合题意；
∴∠BAC-∠EAC=∠DAE-∠EAC，即 ，
故B选项不符合题意；
连接AO，
∵AE=AC，AO=AO，
∴Rt AEO≌Rt ACO（HL），
△ △
∴ ，故C选项不符合题意；
无法得出 ，故D选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用全等三角形的判定方法和性质，再结合图形，对每个选项一一判断即可。
2．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为点F，DE＝DG．若△ADG和△AED的面积分
别为50和39，则△EDF的面积为( )
A．11 B．5.5 C．7 D．3.5
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；全等三角形的判定与性质【解析】【解答】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，
∵DE=DG，∴DM=DG，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DN，在Rt DEF和Rt DMN
中，∵DN=DF，DM=DE，∴Rt DEF≌Rt DMN（HL），∵△ADG和△AED的面△积分别为5△0和
△ △
39，∴S =S ﹣S =50﹣39=11，S =S = S = ×11=5.5．故答案为：B．
MDG ADG ADM DNM EDF MDG
△ △ △ △ △ △
【分析】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，由角平分线的性质可得DF=DN，结合题意用
HL定理可证Rt DEF≌Rt DMN，于是可得∠EDF=∠MDN，则∠ADE=∠ADM，于是用边角边易证
△ADE≌△ADM△，所以结合△图形的构成和已知可得S =S ﹣S 可求解。
MDG ADG ADM
△ △ △
3．如图， 于 ， 于 ，若 ， 平分 ，则下
列结论：① ；② ；③ ；④ ，正确的有（
）个
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵ 平分 ， 于 ， 于 ，
∴ ，DE=DF，故①符合题意；
在Rt DBE和Rt DCF中，
△ △∵DE=DF， ，
∴Rt DBE≌Rt DCF（HL），
∴∠△DBE=∠C，△BE=CF，故②符合题意；
∵ ，
∴ ，故③符合题意；
在Rt ADE和Rt ADF中，
∵DE△=DF， △ ，
∴Rt ADE≌Rt ADF（HL），
∴AE△=AF， △
∴ ，故④符合题意；
综上，正确的结论是：①②③④，有4个．
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的性质即可判断①；根据HL可得Rt DBE≌Rt DCF，进而可得
∠DBE=∠C，BE=CF，于是可判断②；根据平角的定义和等△量代换即可△判断③；根据HL可得
Rt ADE≌Rt ADF，于是可得AE=AF，进一步根据线段的和差关系即可判断④，从而可得答案．
二△、填空题：△
4．如图，D 为 Rt ABC 中斜边 BC 上的一点，且 BD=AB，过 D 作 BC 的垂线，交 AC 于 E，若
AE=12cm，则DE的长为 cm．
△
【答案】12
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：连接BE．
∵D为Rt ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，
∴∠A=∠△BDE=90°，
∴在Rt DBE和Rt ABE中，
BD=AB（△已知），B△E=EB（公共边），
∴Rt DBE≌Rt ABE（HL），
△ △∴AE=ED，
又∵AE=12cm，
∴ED=12cm．
故填12．
【分析】根据已知条件，先证明△DBE≌△ABE，再根据全等三角形的性质（全等三角形的对应边相
等）来求DE的长度．
5．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：
①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；
③AB=CE；④AD﹣BE=DE．
正确的是 （将你认为正确的答案序号都写上）．
【答案】①、②、④
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵∠BEF=∠ADF=90°，∠BFE=∠AFD
∴①∠ABE=∠BAD 正确
∵∠1+∠2=90°∠2+∠CAD=90°
∴∠1=∠CAD
又∠E=∠ADC=90°，AC=BC
∴②△CEB≌△ADC 正确
∴CE=AD，BE=CD
∴④AD﹣BE=DE． 正确
而③不能证明，
故答案为①、②、④．
故填①、②、④．【分析】首先由△AEF与△ADF中分别有两个直角及对顶角得到①是正确的，利用等腰三角形的性质
及其它条件，证明△CEB≌△ADC，则其他结论易求，而无法证明③是正确的．
6．如图，有一个直角△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=3，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过
点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP= 时，才能使以点P、A、Q为顶点的三角形
与△ABC全等．
【答案】3或6
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】AC中点或C点时，△ABC和△PQA全等，
理由是：∵ ，AQ⊥AC，
∴
①当AP=3=BC时，
在Rt ACB和Rt QAP中
△ △
∴Rt ACB≌Rt QAP(HL)；
②当△AP=6=AC时△，
在Rt ACB和Rt PAQ中
△ △
∴Rt ACB≌Rt PAQ(HL)，
故答△案为：3或△6
【分析】根据直角三角形的判定方法HL，当AP=BC时，得到Rt ACB≌Rt QAP，当AP=AC时，得
△ △到Rt ACB≌Rt PAQ.
三、△解答题：△
7．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF；
（1）求证：Rt ABE≌Rt CBF；
（2）求证：AB△=CE+BF；△
（3）若∠CAE=30°，求∠ACF度数．
【答案】（1）证明：∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠CBF=90°，
在Rt ABE和Rt CBF中，
{AB=△CB △
，
AE=CF
∴Rt ABE≌Rt CBF（HL）
（2）△证明：∵R△t ABE≌Rt CBF，
∴AB=BC，BE=B△F， △
∵BC=BE+CE，
∴AB=CE+BF
（3）∵AB=CB，∠ABC=90°，∠CAE=30°，∠CAB=∠CAE+∠EAB，∴∠BCA=∠BAC=45°，
∴∠EAB=15°，
∵Rt ABE≌Rt CBF，∴∠EAB=∠FCB，
∴∠△FCB=15°，△
∴∠ACF=∠FCB+∠BCA=15°+45°=60°，
即∠ACF=60°
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）易由由所给条件已有“HL”得到Rt ABE≌Rt CBF。
（2）由（1）得Rt ABE≌Rt CBF，可由等量代换得到A△B=CE+BF；△
（3）由等腰直角三△角形性质易△得∠BCA=∠BAC=45°题干给了∠CAE=30°，所以易得∠EAB=15°，由
（1）中相似可知∠FCB=15°即∠ACF=60°8．已知Rt ABC≌Rt DBE，∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D．
△ △
（1）将两三角形按图①方式摆放，其中点E落在AB上，DE所在直线交边AC于点F．求证：
AF+EF=DE；
（2）若将两三角形按照图②方式摆放，边AC的延长线与DE相交于点F．你认为（1）中的结论
还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：连接BF．
由Rt ABC≌Rt DBE知：BC=BE．在Rt BCF和Rt BEF中，∵BC=BE，BF=BF，
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），∴CF=EF，△∵AC=DE，△CF+FA=CA，∴AF+EF=DE
（2）△解：（1）△中猜想结论不成立，关系式是AF=EF+DE．理由是： 连接BF．
在Rt BEF和Rt BCF中，∵BC=BE，BF=BF，∴Rt BEF≌Rt BCF（HL），∴EF=FC，
∵AC△=DE，由AF△=AC+FC知：AF=DE+EF． △ △【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） 连接BF， 根据全等三角形的性质，可得BC=BE，再利用HL证明
Rt BCF≌Rt BEF，利用全等三角形的性质，可知CF=EF，然后由AC=DE，CF+FA=CA就可证得结
论△。 △
（2） 连接BF，利用HL证明Rt BCF≌Rt BEF，利用全等三角形的性质，可知CF=EF，然后由
AC=DE，CF+FA=CA就可证得（1△）中的结论△成立。
