文档文本内容
专题 2.11 直角三角形全等的判定（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19)........................................................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19)............................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:35)(cid:36)HL(cid:37)(cid:30)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:19).....................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:35)(cid:36)HL(cid:37)(cid:30)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:28)(cid:45)(cid:19).............................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:35)(cid:36)HL(cid:37)(cid:30)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:32)(cid:33)(cid:42)(cid:43)(cid:46)(cid:31)(cid:19).................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:35)(cid:36)HL(cid:37)(cid:30)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:45)(cid:46)(cid:31)(cid:19).................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:35)(cid:36)HL(cid:37)(cid:30)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:32)(cid:33)(cid:42)(cid:43)(cid:47)(cid:38)(cid:48)(cid:49)(cid:3)(cid:50)(cid:19).................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:35)(cid:36)HL(cid:37)(cid:30)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:32)(cid:33)(cid:42)(cid:43)(cid:47)(cid:38)(cid:51)(cid:52)(cid:3)(cid:50)(cid:19).................................................................................8
知识点 斜边、直角边定理（HL） +
A
A
科
全
★
1. (cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:24)(cid:34)(cid:28)(cid:54)(cid:57)(cid:58)(cid:46)(cid:31)(cid:38)(cid:59)(cid:60)(cid:34)(cid:28)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)众(cid:62)(cid:63) 号 (cid:64)(cid:65)(cid:66)“(cid:53)(cid:54)(cid:67)(cid:34)(cid:28)(cid:54)”(cid:68)“HL”(cid:69)(cid:70)
公
注
关
，
源
2. (cid:48)(cid:11)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74):(cid:75)(cid:76)教(cid:77)(cid:78) 辅 Rt 资 (cid:79)Rt (cid:80)(cid:61) (cid:79) (cid:81)(cid:34)(cid:28)(cid:69)(cid:77) = = ， ，
′ ′
′ ′ ′ ′ 𝐴𝐵 𝐴′𝐵′
△𝐴𝐵𝐶 △𝐴 𝐵 𝐶 ∠𝐶 ∠𝐶 𝐵𝐶 𝐵 𝐶
Rt Rt (HL)(cid:70)
′ ′ ′
∴ △𝐴𝐵𝐶≌ △𝐴 𝐵 𝐶
【题型1 添加条件使三角形全等】
(cid:15)(cid:82)1(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)·(cid:91)(cid:80)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:92)(cid:93) (cid:77)(cid:94)(cid:95)(cid:81)(cid:96)O(cid:77) = (cid:77)(cid:97)(cid:98)(cid:99)“HL”(cid:32)(cid:33)
Rt Rt (cid:77)(cid:100)(cid:101)(cid:97)(cid:22)(cid:23)(cid:38)(cid:56)(cid:60)(cid:24)(cid:25)(cid:102)(cid:61) (cid:69)𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 𝐴𝑂 𝐶𝑂
△𝐴𝐵𝑂≌ △𝐶𝐷𝑂
A(cid:70) B(cid:70) = C(cid:70) = D(cid:70) =
𝐴𝐵∥𝐶𝐷 𝑂𝐵 𝑂𝐷 ∠𝐴 ∠𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐷(cid:15)(cid:103)(cid:104)1-1(cid:19)(cid:61)22-23(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:105)·(cid:30)(cid:106)·(cid:91)(cid:80)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77) (cid:80)(cid:77) (cid:107)O(cid:77)(cid:108)(cid:97)(cid:98)(cid:99)“HL”(cid:109)(cid:110)
(cid:77)(cid:100)(cid:101)(cid:97)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:70) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝑂⊥𝐵𝐶
△𝐴𝐵𝑂≌△𝐴𝐶𝑂
(cid:15)(cid:103)(cid:104)1-2(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:105)·(cid:30)(cid:106)·(cid:91)(cid:80)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77) (cid:81) (cid:38)(cid:111)(cid:77)E(cid:81) (cid:105)(cid:56)(cid:96)(cid:77) (cid:112) (cid:107)(cid:96)F(cid:77)(cid:113)(cid:114)
= (cid:77) = (cid:77)(cid:97)(cid:32)(cid:33) (cid:101)(cid:97)𝐴(cid:38)𝐷(cid:109)(cid:110)△(cid:115)𝐴(cid:116)𝐵𝐶(cid:102)(cid:61) (cid:69) 𝐴𝐶 𝐵𝐸 𝐴𝐷
𝐵𝐹 𝐴𝐶 𝐹𝐷 𝐶𝐷 △𝐴𝐷𝐶≌△𝐵𝐷𝐹
A(cid:70)HL B(cid:70)SSS C(cid:70)AAS D(cid:70)ASA
A
+
A
科
全
★
(cid:15)(cid:103)(cid:104)1-3(cid:19)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78) (cid:55) (cid:80)(cid:77) = =众90°(cid:77)号= (cid:77)(cid:108)(cid:97)(cid:36)“(cid:53)(cid:54)(cid:67)(cid:34)(cid:28)(cid:54)(HL)”(cid:34)(cid:117)(cid:32)
公
注
关
(cid:33)Rt Rt △(cid:77)𝐴(cid:118)𝐵(cid:100)𝐶 (cid:101)△(cid:119)源𝐷(cid:120)𝐹(cid:24)𝐸 ，(cid:25)(cid:10)∠ 𝐴 ∠ 𝐷 (cid:70) 𝐴𝐶 𝐷𝐸
资
辅
教
△𝐴𝐵𝐶≌ △𝐷𝐹𝐸
【题型2 证明直角三角形全等】
(cid:15)(cid:82)2(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:121)(cid:88)(cid:122)(cid:123)·(cid:91)(cid:124)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:125)(cid:54)(cid:29) (cid:80)(cid:77) (cid:77)(cid:126)(cid:117) (cid:77)(cid:96) (cid:81) (cid:38)(cid:80)(cid:96)(cid:77)
(cid:126)(cid:117) = (cid:77) = (cid:77)(cid:41)(cid:32)(cid:10) (cid:70)𝐴𝐵𝐸𝐶 𝐶𝐸⊥𝐵𝐸 𝐵𝐶 𝐷 𝐴𝐶
𝐵𝐷, 𝐵𝐸 𝐶𝐷 ∠𝐴 ∠𝐴𝐶𝐵 △𝐴𝐷𝐵≌△𝐵𝐸𝐶
(cid:15)(cid:103)(cid:104)2-1(cid:19)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78) (cid:80)(cid:77)D(cid:81) (cid:38)(cid:80)(cid:96)(cid:77) (cid:77) (cid:77)(cid:96)E(cid:67)F(cid:81)(cid:94)(cid:95)(cid:77)(cid:113) = (cid:70)(cid:41)
(cid:32)(cid:10) (cid:70)△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 𝐷𝐹⊥𝐴𝐶 𝐷𝐸 𝐷𝐹
△𝐵𝐸𝐷≌△𝐶𝐹𝐷(cid:15)(cid:103)(cid:104)2-2(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:105)·(cid:127)(cid:123)(cid:128)(cid:129)·(cid:91)(cid:124)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77) = (cid:77) (cid:67) (cid:57)(cid:58)(cid:102) (cid:67) (cid:105)(cid:38)(cid:96)(cid:77) (cid:67) (cid:57)(cid:58)
(cid:102) (cid:67) (cid:105)(cid:38)(cid:96)(cid:77)(cid:108) (cid:67) (cid:77) = (cid:77)𝐴(cid:41)𝐵(cid:32)(cid:10)𝐴𝐶Rt 𝐷 𝐸 Rt 𝐴𝐶 𝐴(cid:70)𝐵 𝑀 𝑁
𝐶𝐸 𝐵𝐷 𝐴𝑀⊥𝐶𝐸 𝐴𝑁⊥𝐵𝐷 𝐴𝑀 𝐴𝑁 △𝐴𝐵𝑁≌ △𝐴𝐶𝑀
(cid:15)(cid:103)(cid:104)2-3(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)·(cid:91)(cid:80)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78) (cid:80)(cid:77) = (cid:77) (cid:134)(cid:57) (cid:77) (cid:107)
C(cid:77)(cid:113) = (cid:77) = (cid:70)(cid:41)(cid:32)(cid:10)Rt Rt (cid:70)△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐸𝐶⊥𝐵𝐶
+
A
A
科
𝐴𝐵 𝐵𝐸 𝐶𝐷 𝐶𝐸 △𝐴𝐵𝐷≌ △𝐵𝐸𝐶 ★ 全
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
【题型3 利用HL及全等的性质求线段长度】
(cid:15)(cid:82)3(cid:19)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)Rt (cid:80)(cid:77) =90°(cid:77) (cid:134)(cid:57) (cid:112) (cid:107)(cid:96)D(cid:77)(cid:135)(cid:96)D(cid:136) (cid:107)(cid:96)E(cid:70)
△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵
(1)(cid:41)(cid:32)(cid:10) (cid:70)
(2)(cid:108) =△3(cid:77)𝐴𝐷𝐶≌=△5𝐴(cid:77)𝐷(cid:41)𝐸 (cid:38)(cid:44)(cid:70)
(cid:15)(cid:103)(cid:104)𝐶𝐷3-1(cid:19)(cid:61)𝐵2𝐷4-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)𝐵(cid:86)𝐸 ·(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:140)·(cid:141)(cid:43)(cid:142)(cid:143)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77) (cid:77) (cid:77)(cid:96) (cid:67) (cid:67) (cid:67) (cid:57)(cid:58)(cid:78)(cid:34)(cid:42)
(cid:79) (cid:105)(cid:77)(cid:96) (cid:78) (cid:105)(cid:77) + =9(cid:77) = (cid:77) =𝑀𝑁(cid:77)∥𝑃(cid:118)𝑄 𝐴=𝐵⊥ 𝑃 𝑄(cid:70) 𝐴 𝐷 𝐵 𝐶
𝑀𝑁 𝑃𝑄 𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐸𝐵 𝐷𝐸 𝐸𝐶 𝐴𝐵(cid:15)(cid:103)(cid:104)3-2(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:105)·(cid:144)(cid:145)·(cid:146)(cid:11)(cid:147)(cid:148)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)Rt (cid:80)(cid:77) =90°(cid:77) (cid:134)(cid:57) (cid:112) (cid:107)(cid:96)D(cid:77)
E(cid:81)(cid:42)(cid:43) (cid:105)(cid:56)(cid:96)(cid:77)(cid:126)(cid:117) (cid:77)(cid:113) = (cid:70)(cid:108) =16△(cid:77)𝐴𝐵𝐶=7(cid:77)∠(cid:118)𝐶 (cid:38)(cid:44)(cid:81)𝐴𝐷 (cid:149)∠𝐵𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝐴𝐶 𝐷𝐸 ∠𝐵 ∠𝐶𝐸𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐸 𝐴𝐸
(cid:15)(cid:103)(cid:104)3-3(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:105)·(cid:127)(cid:123)(cid:123)(cid:129)·(cid:91)(cid:80)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:92)(cid:93) = (cid:77) = =90°(cid:77) (cid:79) (cid:46)(cid:112)(cid:107)(cid:96)
(cid:77)(cid:135)(cid:96) (cid:136) (cid:77)(cid:94)(cid:95)(cid:81) (cid:70) 𝐴𝐶 𝐵𝐷 ∠𝐶 ∠𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷
𝐸 𝐸 𝐸𝐹⊥𝐴𝐵 𝐹 A +
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(1)(cid:41)(cid:32)(cid:10) (cid:149)
(2)(cid:108) =△3(cid:77)𝐴𝐵𝐶≌△=𝐵𝐴6𝐷0°(cid:77)(cid:41) (cid:38)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:33)(cid:153)(cid:154)(cid:70)
【题型
𝐴𝐷4
利用
∠H𝐷𝐸L𝐴
及全等的性质
𝐴𝐵
求角度】
(cid:15)(cid:82)4(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:105)·(cid:127)(cid:123)(cid:155)(cid:34)(cid:156)(cid:157)(cid:85)(cid:158)(cid:51)·(cid:91)(cid:124)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:159)(cid:33)(cid:55)(cid:159)(cid:160)(cid:63)(cid:46)(cid:161)(cid:38)(cid:162)(cid:45)(cid:57)(cid:58)(cid:161)(cid:163)(cid:164)(cid:96)A(cid:77)B
(cid:165)(cid:166)(cid:77)(cid:159)(cid:33)(cid:167) (cid:168)(cid:169)(cid:77)(cid:159)(cid:160)(cid:167) (cid:168)(cid:169)(cid:77)(cid:59)(cid:170)(cid:57)(cid:58)(cid:161)(cid:163)(cid:171)(cid:74)(cid:77)(cid:96)C(cid:77)D(cid:77)(cid:108) (cid:77) (cid:70)
𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐵⊥𝐴𝐵 𝐷𝐴⊥𝐴𝐵
(1) (cid:79) (cid:46)(cid:31)(cid:172)(cid:173)(cid:81)(cid:174)(cid:175)(cid:173)
(2)(cid:108)𝐶𝐵 𝐷𝐴=60°(cid:77)(cid:41) (cid:38)(cid:45)(cid:48)(cid:70)
(cid:15)(cid:103)(cid:104)∠𝐷4𝐴-1𝐶(cid:19)(cid:61)24-25(cid:176)∠(cid:84)𝐷𝐵(cid:85)𝐴(cid:86)·(cid:130)(cid:131)(cid:177)(cid:178)·(cid:91)(cid:124)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78) (cid:80)(cid:77) = (cid:77) =90°(cid:77)(cid:96) (cid:78) (cid:105)(cid:77)
(cid:96) (cid:78) (cid:38)(cid:179)(cid:44)(cid:42)(cid:105)(cid:77) = (cid:77)(cid:108) =25°(cid:77)(cid:118) △=𝐴𝐵(cid:61)𝐶 (cid:69)𝐴𝐵 𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐸 𝐵𝐶
𝐹 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐶𝐹 ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐴𝐶𝐹A(cid:70)50° B(cid:70)60° C(cid:70)70° D(cid:70)80°
(cid:15)(cid:103)(cid:104)4-2(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:87)(cid:131)(cid:180)(cid:181)·(cid:141)(cid:43)(cid:142)(cid:143)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:125)(cid:54)(cid:29) (cid:80)(cid:77) (cid:102)(cid:182)(cid:38)(cid:183)(cid:28)(cid:42)(cid:77)
= (cid:77)(cid:108) (cid:134)(cid:57) (cid:77) =119°(cid:77)(cid:118) (cid:38)(cid:45)(cid:48)(cid:81)(cid:61) (cid:69) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐷
𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐵𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴 ∠𝐷𝐶𝐵
A(cid:70)62° B(cid:70)61° C(cid:70)60° D(cid:70)59°
(cid:15)(cid:103)(cid:104)4-3(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:127)(cid:123)(cid:184)(cid:181)·(cid:141)(cid:43)(cid:142)(cid:143)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:185)(cid:186)(cid:77) (cid:80)(cid:77) = (cid:77)(cid:34)(cid:42) (cid:187)(cid:135)(cid:96)A(cid:77)
+
A
(cid:77) (cid:77)(cid:94)(cid:95)(cid:57)(cid:58)(cid:102)(cid:96)D(cid:77)E(cid:77)(cid:113) = (cid:70) △𝐴𝐵𝐶科 A𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐷𝐸
全
★
号
众
𝐶𝐷⊥𝐷𝐸 𝐵𝐸⊥𝐷𝐸 𝐴𝐷 公𝐵𝐸
注
关
，
源
资
辅
教
(1)(cid:41)(cid:32)(cid:10) (cid:149)
(2)(cid:41) △(cid:38)𝐴(cid:45)𝐶𝐷(cid:48)≌(cid:70)△𝐵𝐴𝐸
【题型 ∠𝐴5𝐶 𝐵 利用HL及全等的性质证明线段相等】
(cid:15)(cid:82)5(cid:19)(cid:61)2025(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:30)(cid:106)·(cid:188)(cid:20)(cid:142)(cid:143)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:96) (cid:77) (cid:57)(cid:58)(cid:78) (cid:38)(cid:54) (cid:77) (cid:105)(cid:77) (cid:38)(cid:134)(cid:57)(cid:42)
(cid:79) (cid:38)(cid:94)(cid:34)(cid:134)(cid:57)(cid:42) (cid:112)(cid:107)(cid:96) (cid:77) (cid:107)(cid:96) (cid:77) 𝐴 𝐵 (cid:107)(cid:96) ∠(cid:70)𝑀(cid:41)𝑂(cid:32)𝑁(cid:10) 𝑂𝑀= 𝑂(cid:70)𝑁 ∠𝑀𝑂𝑁 𝑂𝐶
𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐶 𝐶𝐸⊥𝑂𝑀 𝐸 𝐶𝐹⊥𝑂𝑁 𝐹 𝐴𝐸 𝐵𝐹
(cid:15)(cid:103)(cid:104)5-1(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:105)·(cid:30)(cid:106)·(cid:91)(cid:80)(cid:69)(cid:75)(cid:76) (cid:80)(cid:77) =90°(cid:77)(cid:135)C(cid:136) (cid:77)(cid:26) = (cid:77)
(cid:78) (cid:105)(cid:189)(cid:56)(cid:96)E(cid:77)(cid:126)(cid:117) (cid:77)(cid:113) = (cid:70)(cid:41)(cid:32)(cid:10)△𝐷=𝐵𝐶 ∠𝐷𝐵𝐶 𝐶𝐴⊥𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐴𝐸 𝐷𝐶 𝐶𝐸 𝐵𝐷(cid:15)(cid:103)(cid:104)5-2(cid:19)(cid:61)2025·(cid:121)(cid:88)(cid:190)(cid:191)·(cid:56)(cid:192)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78) (cid:55) (cid:80)(cid:77) = =90°(cid:77) = (cid:77) (cid:67) (cid:46)
(cid:112)(cid:107)(cid:96)G(cid:77)(cid:96)B(cid:67)E(cid:67)C(cid:67)F(cid:78)(cid:161)(cid:56)(cid:24)(cid:34)(cid:42)(cid:105)(cid:77)(cid:113)△𝐴𝐵=𝐶 △(cid:77)𝐷(cid:41)𝐸(cid:32)𝐹 (cid:10) ∠𝐴= ∠(cid:70)𝐷 𝐴𝐶 𝐷𝐸 𝐴𝐶 𝐷𝐸
𝐵𝐸 𝐹𝐶 𝐸𝐺 𝐶𝐺
(cid:15)(cid:103)(cid:104)5-3(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:121)(cid:88)(cid:193)(cid:129)·(cid:91)(cid:80)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:92)(cid:93) = (cid:107)(cid:96) (cid:107)(cid:96) (cid:77)(cid:113)
= (cid:77)(cid:126)(cid:117) (cid:112) (cid:107)(cid:96) (cid:70) 𝐴𝐵 𝐶𝐷,𝐷𝐸⊥𝐴𝐶 𝐸,𝐵𝐹⊥𝐴𝐶 𝐹
𝐴𝐸 𝐶𝐹 𝐵𝐷 𝐸𝐹 𝑀
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(1)(cid:41)(cid:32)(cid:10) = (cid:149)
(2)(cid:108) =𝐷𝐸 𝐵=𝐹6(cid:77)(cid:41) (cid:38)(cid:44)(cid:70)
【题型
𝐷𝐸6
利
2,𝐵
用
𝐷HL及全等 𝐸𝐹
的性质证明角度相等】
(cid:15)(cid:82)6(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:105)·(cid:194)(cid:195)(cid:125)(cid:134)·(cid:141)(cid:43)(cid:142)(cid:143)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:92)(cid:93) (cid:67) (cid:57)(cid:58)(cid:102)(cid:59)(cid:60)(cid:196)(cid:28) (cid:55) (cid:38)(cid:111)(cid:77)
(cid:92)(cid:93) = (cid:77) = (cid:70)(cid:41)(cid:32)(cid:10) = (cid:70) 𝐴𝐷 𝐴𝐹 △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐸
𝐴𝐷 𝐴𝐹 𝐴𝐶 𝐴𝐸 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐸𝐵
(cid:15)(cid:103)(cid:104)6-1(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:105)·(cid:197)(cid:198)(cid:199)(cid:200)(cid:201)(cid:202)·(cid:91)(cid:124)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77) = (cid:77) (cid:77) (cid:77)(cid:94)(cid:95)(cid:57)(cid:58)(cid:81) (cid:77)
(cid:77) = (cid:70)(cid:41)(cid:32)(cid:10) = (cid:70) 𝐴𝐶 𝐸𝐹 𝐶𝐵⊥𝐴𝐸 𝐹𝐷⊥𝐴𝐸 𝐵
𝐷 𝐶𝐵 𝐷𝐹 ∠𝐴 ∠𝐸(cid:15)(cid:103)(cid:104)6-2(cid:19)(cid:75)(cid:76)(cid:77) (cid:80)(cid:77) = (cid:77) =90°(cid:77)F(cid:81) (cid:179)(cid:44)(cid:42)(cid:105)(cid:56)(cid:96)(cid:77)(cid:96)E(cid:78) (cid:105)(cid:77)(cid:113) = (cid:149)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐶𝐹
(1)(cid:41)(cid:32)(cid:10) = (cid:149)
(2)(cid:108) ∠𝐵=𝐴2𝐸5°(cid:77)∠(cid:41)𝐵𝐶𝐹 (cid:38)(cid:45)(cid:48)(cid:70)
(cid:15)(cid:103)(cid:104)∠𝐶6𝐴-𝐸3(cid:19)(cid:61)23-24(cid:203)∠𝐴(cid:84)𝐶(cid:85)𝐹(cid:86)·(cid:125)(cid:204)(cid:123)(cid:120)·(cid:141)(cid:43)(cid:142)(cid:143)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77) (cid:107)(cid:96)D(cid:77) (cid:107) (cid:77) (cid:112)(cid:107) (cid:77)
+
A
A
科
= ,(cid:41)(cid:32)(cid:10) = 𝐵𝐷⊥★𝐴𝐶全 𝐶𝐸⊥𝐴𝐵 𝐸 𝐵𝐷,𝐶𝐸 𝑂
号
众
公
注
𝑂𝐵 𝑂𝐶 ∠1 ∠2 关
，
源
资
辅
教
【题型7 利用HL及全等的性质证明线段间的数量关系】
(cid:15)(cid:82)7(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:105)·(cid:127)(cid:123)(cid:205)(cid:127)·(cid:141)(cid:43)(cid:142)(cid:143)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78) (cid:80)(cid:77) =90°(cid:77) (cid:102) (cid:38)(cid:134)(cid:57)(cid:42)(cid:77)
(cid:107)E(cid:77)F(cid:78) (cid:105)(cid:77) = (cid:77)(cid:148)(cid:32)(cid:33)(cid:10) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵
𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐷𝐹
(1) = (cid:70)
(2)𝐶𝐹 =𝐸𝐵+ (cid:70)
(cid:15)(cid:103)𝐴𝐵(cid:104)7-𝐴1𝐹(cid:19)(cid:61)22𝐸4𝐵-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:87)(cid:131)(cid:180)(cid:181)·(cid:141)(cid:43)(cid:142)(cid:143)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:96)C(cid:77)D(cid:206)(cid:78)(cid:42)(cid:43) (cid:105)(cid:77)(cid:113) = (cid:77)(cid:57)(cid:58)(cid:135)(cid:96)
𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐶C(cid:77)D (cid:78) (cid:38)(cid:207)(cid:208)(cid:136) (cid:77) (cid:77)(cid:126)(cid:117) (cid:112) (cid:107)(cid:96)G(cid:77) = (cid:70)
𝐴𝐵 𝐹𝐶⊥𝐴𝐵 𝐸𝐷⊥𝐴𝐵 𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐵𝐹
(1)(cid:41)(cid:32)(cid:10) = (cid:70)
(2)(cid:41)(cid:32)(cid:10)G𝐷𝐸(cid:102)(cid:42)𝐶(cid:43)𝐹 (cid:38)(cid:80)(cid:96)(cid:70)
(cid:15)(cid:103)(cid:104)7-2(cid:19)(cid:61)23-2𝐴4𝐵(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:105)·(cid:209)(cid:210)(cid:178)(cid:211)·(cid:91)(cid:80)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78) (cid:80)(cid:77) > (cid:102) (cid:38)(cid:80)(cid:96)(cid:77)(cid:113)
90°(cid:77)(cid:212)(cid:42)(cid:43) (cid:167) (cid:185)(cid:78)(cid:34)(cid:42)(cid:213)(cid:214)(cid:77)(cid:215)(cid:171)(cid:42)(cid:43) △(cid:77)𝐴(cid:136)𝐵𝐶 𝐴𝐵(cid:112)(cid:34)𝐴(cid:42)𝐶,𝐷 (cid:107)𝐵(cid:96)𝐶 (cid:70)
′ ′
∠𝐵𝐴𝐷≠ 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐸∥𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐸
+
A
A
科
全
★
(1)(cid:216)(cid:20)(cid:217)(cid:119)(cid:30)(cid:76)(cid:29)(cid:149)
众
号
公
注
关
(2)(cid:36)(cid:31)(cid:104)(cid:73)(cid:186)(cid:42)(cid:43) (cid:218)(cid:47)(cid:38)源(cid:48)(cid:49)，(cid:3)(cid:50)(cid:77)(cid:151)(cid:32)(cid:33)(cid:70)
资
辅
教
(cid:15)(cid:103)(cid:104)7-3(cid:19)(cid:212)(cid:59)(cid:60)𝐴(cid:30)𝐵(cid:31),𝐴𝐸(cid:38),𝐶𝐸 (cid:55) (cid:219)(cid:76)1(cid:115)(cid:104)(cid:220)(cid:221)(cid:77)(cid:222)(cid:80) = =90°(cid:77)(cid:96)E(cid:223)(cid:78)AB
(cid:105)(cid:77)DE(cid:185)(cid:78)(cid:34)(cid:42)(cid:112)(cid:34)(cid:42)A𝑅C𝑡(cid:107)△(cid:96)𝐴𝐵F𝐶(cid:70) 𝑅𝑡△𝐷𝐵𝐸 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐷𝐸𝐵
(cid:61)1(cid:69)(cid:41)(cid:32)(cid:10) = (cid:149)
(cid:61)2(cid:69)(cid:108)(cid:212)(cid:76)𝐶1𝐹(cid:80) 𝐸𝐹 (cid:224)(cid:96)B(cid:219)(cid:225)(cid:163)(cid:226)(cid:115)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:171)(cid:76)2(cid:51)(cid:52)(cid:77)(cid:222)(cid:230)(cid:24)(cid:25)(cid:231)(cid:103)(cid:61)(cid:75)(cid:76)2(cid:69)(cid:77)(cid:232)(cid:65)(cid:165)(cid:233)(cid:163)AF(cid:67)
EF(cid:79)DE(cid:218)(cid:47)(cid:38)(cid:3)△(cid:50)𝐷(cid:77)𝐵𝐸(cid:151)(cid:23)(cid:63)(cid:32)(cid:33)(cid:70)
【题型8 利用HL及全等的性质证明线段间的位置关系】
(cid:15)(cid:82)8(cid:19)(cid:61)23-24(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:105)·(cid:87)(cid:131)(cid:131)(cid:234)·(cid:91)(cid:80)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78) (cid:80)(cid:77) = (cid:77)(cid:34)(cid:42)l(cid:187)(cid:135)(cid:235)(cid:96)C(cid:77)(cid:135)A(cid:77)B(cid:59)
(cid:96)(cid:57)(cid:58)(cid:136)l(cid:38)(cid:94)(cid:42) (cid:77) (cid:77)(cid:94)(cid:95)(cid:57)(cid:58)(cid:81)E(cid:77)F(cid:77) =△𝐴(cid:70)𝐵(cid:41)𝐶 (cid:32)(cid:10)𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝐴𝐸 𝐵𝐹 𝐴𝐸 𝐶𝐹(1) = (cid:149)
(2)∠𝐸(cid:79)𝐴𝐶 (cid:114)∠𝐵(cid:236)𝐶(cid:237)𝐹(cid:38)(cid:51)(cid:52)(cid:3)(cid:50)(cid:173)(cid:232)(cid:152)(cid:33)(cid:153)(cid:154)(cid:70)
(cid:15)(cid:103)𝐴𝐶(cid:104)8𝐵-𝐶1(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:238)(cid:239)(cid:27)(cid:33)·(cid:91)(cid:124)(cid:69)(cid:92)(cid:93)(cid:10)(cid:75)(cid:76)(cid:77) = (cid:77) (cid:77) (cid:77)(cid:94)(cid:95)(cid:57)(cid:58)(cid:81)
(cid:77) (cid:77)(cid:113) = (cid:70)(cid:41)(cid:32)(cid:10) (cid:70) 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐷𝐸⊥𝐴𝐶 𝐵𝐹⊥𝐴𝐶
𝐸 𝐹 𝐵𝐹 𝐷𝐸 𝐴𝐵∥𝐶𝐷
(cid:15)(cid:103)(cid:104)8-2(cid:19)(cid:61)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:105)·(cid:240)(cid:181)(cid:241)(cid:242)·(cid:91)(cid:124)(cid:69)(cid:92)(cid:93)(cid:10)(cid:75)(cid:76)(cid:77) (cid:102) (cid:38)(cid:111)(cid:77) (cid:102) (cid:105)(cid:56)(cid:96)(cid:77) = (cid:77)
= (cid:77)(cid:41)(cid:32)(cid:10) 𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐷
+
A
A
科
𝐵𝐸 𝐴𝐶 ★ 全
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(1) = (cid:70)
(2)∠1 ∠𝐶(cid:70)
(cid:15)(cid:103)𝐵𝐸(cid:104)⊥8𝐴-3𝐶(cid:19)(cid:61)2025·(cid:125)(cid:204)(cid:243)(cid:90)·(cid:56)(cid:192)(cid:69)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:125)(cid:54)(cid:29) (cid:80)(cid:77) = (cid:77) = (cid:77) (cid:77)
= =90 (cid:77) (cid:79) (cid:46)(cid:112)(cid:107)(cid:96) (cid:70)(cid:109)(cid:244)(cid:42)(cid:43)𝐴𝐵(cid:79)𝐶𝐷 (cid:38)(cid:51)𝐵𝐶(cid:52)(cid:3)𝐶(cid:50)𝐷(cid:77)𝐴(cid:151)𝐶(cid:152)(cid:33)𝐷(cid:153)𝐸(cid:154)𝐴(cid:70)𝐵∥𝐶𝐷
∘
∠𝐵 ∠𝐷𝐶𝐸 𝐴𝐶 𝐷𝐸 𝐹 𝐴𝐶 𝐷𝐸
