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第12章 全等三角形复习课学案（解析版）
知识点一 全等三角形的性质
1．（2022秋•厦门月考）如图，若△ABC≌△DEF，四个点B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝
5，则CF的长是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
【思路引领】根据全等三角形的对应边相等得到EF＝BC＝7，计算即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
又BC＝7，
∴EF＝7，
∵EC＝5，
∵CF＝EF﹣EC＝7﹣5＝2．
故选：A．
【总结提升】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相
等是解题的关键．
知识点二 全等三角形的判定
2．（2020秋•武昌区校级期末）使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．一锐角对应相等 B．两锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条直角边对应相等
【思路引领】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：A．一锐角对应相等的两直角三角形不一定全等，所以A选项不符合题意；
B．两锐角对应相等的两直角三角形不一定全等，所以B选项不符合题意；
C．一条边对应相等的两直角三角形不一定全等，所以C选项不符合题意；
D．两条直角边对应相等的两直角三角形全等，所以D选项符合题意．
故选：D．
【总结提升】本题考查了直角三角形全等的判定：一般三角形全等的判定方法都适合直角三角形，同时，直角三角形又是特殊的三角形，还可以根据“HL”判定两直角三角形全等．
3．（2021•滕州市校级开学）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只
添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为（ ）
A．BD＝CE B．AD＝AE C．DA＝DE D．BE＝CD
【思路引领】根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
A、添加BD＝CE，可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等得到
∠DAB＝∠EAC，故本选项不符合题意；
B、添加AD＝AE，根据等边对等角可得∠ADE＝∠AED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻
的两个内角的和求出∠DAB＝∠EAC，故本选项不符合题意；
C、添加DA＝DE无法求出∠DAB＝∠EAC，故本选项符合题意；
D、添加BE＝CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应角相等得到
∠DAB＝∠EAC，故本选项不符合题意．
故选：C．
【总结提升】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
的和的性质，全等三角形的判定与性质，小综合题，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
4．（2010秋•云梦县期末）下列各组图形中，是全等形的是（ ）
A．一个钝角相等的两个等腰三角形
B．两个含60°的直角三角形
C．边长为3和5的两个等腰三角形
D．腰对应相等的两个直角三角形
【思路引领】综合运用判定方法判断．做题时根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证．
【解答】解：A、不能确定边长相等，故本选项错误；
B、不能确定边长相等，故本选项错误；
C、边长为3和5的两个等腰三角形不能确定那个边为腰，故本选项错误；
D、腰对应相等的两个直角三角形一定是全等三角形，故本选项正确．故选：D．
【总结提升】本题本题考查了三角形全等的判定方法；需注意：判定两个三角形全等时，必须有边的参
与，还要找准对应关系．
5．（2022秋•和硕县校级期末）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，
AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是？（只需写一个，不添加辅助
线）
【思路引领】求出BC＝EF，根据平行线性质得出∠ACB＝∠DFE，根据SAS推出两三角形全等即可．
【解答】解：AC＝DF，
理由是：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+CF，
∴BC＝EF，
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
{ AC=DF )
∠ACB=∠≝¿BC=EF
∴△ABC≌△DEF（SAS），
即这个条件可以是AC＝DF．
【总结提升】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定的应用，解此题的关键是求出满足三角形全
等的三个条件．
6．（2022春•普宁市期末）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、D在同条直线上，已知∠A＝
∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）A．∠B＝∠E B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE D．BC＝EF
【思路引领】根据全等三角形的判定方法进行判断．
【解答】解：∵∠A＝∠D，AB＝DE，
∴当添加∠B＝∠E时，根据 ASA 判定△ABC≌△DEF；
当添加AC＝DF时，根据 SAS 判定△ABC≌△DEF；
当添加∠ACD＝∠BFE时，则∠ACB＝∠DFE，根据 AAS 判定△ABC≌△DEF．
故选：D．
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．
选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知
两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，
或找这个角的另一组对应邻边．
7．（2021春•南海区校级月考）如图，AB＝AC，角平分线BF、CE交于点O，AO与BC交于点D，则图
中共有（ ）对全等三角形．
A．8 B．7 C．6 D．5
【思路引领】根据题意和图形，可以写出全等的三角形，从而可以得到图中全等三角形的对数，本题得
以解决．
【解答】解：∵AB＝AC，角平分线BF、CE交于点O，
∴AO平分∠BAC，点D为BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BAD和△CAD中，{AB=AC
)
AD=AD ，
BD=CD
∴△BAD≌△CAD（SSS）；
同理可证：△OBD≌△OCD，△OBE≌△OCF，△OEA≌△OFA，△OBA≌△OCA，△BEC≌△CFB，
△ABF≌△ACE，
由上可得，图中共有7对全等的三角形，
故选：B．
【总结提升】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（ ）
A．0＜AD＜8 B．0＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．1＜AD＜4
【思路引领】延长AD到点E，使ED＝AD，连接BE，可证明△EDB≌△ADC，得EB＝AC＝3，而AB
＝5，根据三角形的三边关系得5﹣3＜2AD＜5+3，则1＜AD＜4，于是得到问题的答案．
【解答】解：延长AD到点E，使ED＝AD，连接BE，则AE＝2AD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△EDB和△ADC中，
{
ED=AD
)
∠EDB=∠ADC ，
BD=CD
∴△EDB≌△ADC（SAS），
∴EB＝AC，
∵AB﹣EB＜AE＜AB+EB，且AB＝5，EB＝AC＝3，
∴5﹣3＜2AD＜5+3，
∴1＜AD＜4，
故选：D．
【总结提升】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、不等式的应用等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
知识点三 全等三角形的实际应用
9．（十堰中考）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，
OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 M，N重合．过角尺顶点C作射线
OC．由此做法得△MOC≌△NOC的依据是（ ）
A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS
【思路引领】利用全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA、SSS对△MOC和△NOC进行分析，即可作出
正确选择．
【解答】解：∵OM＝ON，CM＝CN，OC为公共边，
∴△MOC≌△NOC（SSS）．
故选：D．
【总结提升】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
10．（2023春•市北区期末）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，
设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．
甲，乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C连接BO并延长到点
D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可．
乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接
DA，作∠ADB＝∠BDC，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．（1）甲、乙两同学的方案哪个可行？
（2）请说明你认为方案可行的理由：以上的生活情景化归到数学上：根据题意，此时，已知条件是：
CO ＝ AO ， DO ＝ BO ，∠ AOB ＝∠ COD ；有待说明的是： AB ＝ CD ；请介绍你每一步的思考及相
应的道理： 利用“边角边”判断三角形全等 ．
（3）请将不可行的方案稍加修改使之可行．
你的修改是： BD ⊥ AC ．
【思路引领】（1）甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行
的；
（2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学的方案只能知道两三角形的一条边和一个角相等，不能判定
△ABD与△CBD全等，故方案不可行．
【解答】解：（1）甲同学的方案可行；
（2）甲同学方案：
在△ABO和△CDO中，
{
AO=CO
)
∠AOB=∠COD ，
BO=DO
∴△ABO≌△CDO（SAS），
∴AB＝CD；
∴根据题意，此时，已知条件是：CO＝AO，DO＝BO，∠AOB＝∠COD；有待说明的是：AB＝CD；
每一步的思考及相应的道理：利用“边角边”判断三角形全等．
故答案为：CO＝AO，DO＝BO，∠AOB＝∠COD；AB＝CD；利用“边角边”判断三角形全等．
（3）乙同学方案：
在△ABD和△CBD中，
只能知道∠ADB＝∠BDC，DB＝DB，不能判定△ABD与△CBD全等，故方案不可行．
∴加上BD⊥AC条件，通过ASA即可证明△ABD与△CBD全等．
故答案为：BD⊥AC．
【总结提升】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．
知识点四 全等三角形的动点问题
11．（2021秋•海安市校级月考）如图，AB＝14，AC＝6，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B．点P从
点A出发，以每秒2个单位的速度沿AB向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线
BD方向运动．点P、点Q同时出发，当以P、B、Q为顶点的三角形与△CAP全等时，a的值为 2 或12
．
7
【思路引领】根据题意，可以分两种情况讨论，第一种△CAP≌△PBQ，第二种△CAP≌△QBP，然后
分别求出相应的a的值即可．
【解答】解：当△CAP≌△PBQ时，则AC＝PB，AP＝BQ，
∵AC＝6，AB＝14，
∴PB＝6，AP＝AB﹣AP＝14﹣6＝8，
∴BQ＝8，
∴8÷a＝8÷2，
解得a＝2；
当△CAP≌△QBP时，则AC＝BQ，AP＝BP，．
∵AC＝6，AB＝14，
∴BQ＝6，AP＝BP＝7，
∴6÷a＝7÷2，
12
解得a= ；
7
12
由上可得a的值是2或 ，
7
12
故答案为：2或 ．
7
【总结提升】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确有两种情况，利用数形结合的思想解
答．
知识点五 角平分线的性质及其应用
12．（2022秋•沭阳县期中）如图，在△ABC中，AD为△ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点
F．若△ABC的面积是20cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，则DF＝ 4 cm．【思路引领】先根据角平分线的性质得出DE＝DF，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
1 1
∴S△ABC ＝S△ABD +S△ACD = AB•DE+ AC•DF，
2 2
∵△ABC面积是20cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，
1 1
∴ ×6DE+ ×4DF＝3DE+2DF＝5DE＝20，
2 2
解得DE＝4cm．
故答案为：4．
【总结提升】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题
的关键．
13．（2023•舟山模拟）如图，AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC于点D，ED＝
3，△ABC的面积为36，则△ABC的周长为（ ）
A．48 B．36 C．24 D．12
【思路引领】过点E作EF⊥AB，垂足为F，过点E作EG⊥AC，垂足为G，根据角平分线的性质可得
EG＝EF＝ED＝3，然后根据三角形的面积公式进行计算即可解答．
【解答】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，过点E作EG⊥AC，垂足为G，∵BE平分∠ABC，ED⊥BC，EF⊥AB，
∴EF＝ED＝3，
∵CE平分∠ACB，ED⊥BC，EG⊥AC，
∴ED＝EG＝3，
∴△ABC的面积＝△ABE的面积+△BEC的面积+△AEC的面积
1 1 1 1
= AB⋅EF+ BC⋅ED+ AC⋅EG= ×3(AB+BC+AC)=36，
2 2 2 2
∴AB+BC+AC＝24，
即△ABC的周长为24．
故选：C．
【总结提升】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的
关键．
14．（2022秋•西陵区校级期中）如图所示，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD＝
13cm，AB＝7cm，那么DE的长度为 3 cm．
【思路引领】作CF⊥AB交AB的延长线于点F，由角平分线的性质得CF＝CE，再根据同角的补角相等
证明∠CBF＝∠D，即可证明△CBF≌△CDE，得BF＝DE，再证明Rt△ACF≌Rt△ACE，得AF＝AE，
于是得7+BF＝13﹣DE，所以7+DE＝13﹣DE，即可求得DE的长为3cm．
【解答】解：∵作CF⊥AB交AB的延长线于点F，
∵AC平分∠BAD，CF⊥AB，CE⊥AD，
∴CF＝CE，∠F＝∠DEC＝∠AEC＝90°，
∵∠ABC+∠CBF＝180°，∠ABC+∠D＝180°，
∴∠CBF＝∠D，
在△CBF和△CDE中，{∠CBF=∠D
)
∠F=∠DEC ，
CF=CE
∴△CBF≌△CDE（AAS），
∴BF＝DE，
在Rt△ACF和Rt△ACE中，
{AC=AC)
，
CF=CE
∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），
∴AF＝AE，
∵AD＝13cm，AB＝7cm，
∴7+BF＝13﹣DE，
∴7+DE＝13﹣DE，
∴DE＝3，
∴DE的长为3cm，
故答案为：3．
【总结提升】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且
证明△CBF≌△CDE及Rt△ACF≌Rt△ACE是解题的关键．
知识点六 命题证明
15．（2022秋•海珠区校级期末）求证：三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等．
（解题要求：补全已知、求证，写出证明）
已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线， CE ⊥ AD 于 E ， BP ⊥ AD 的延长线于 P ．
求证： BP ＝ CE ．
证明：【思路引领】首先根据题意写出已知，求证，再利用已知条件证明△BPD≌△CED，再根据全等三角形
的性质得以证明题目结论．
【解答】解：已知：如图，AD为△ABC的中线，CE⊥AD于E，BP⊥AD的延长线于P．
求证：BP＝CE．
证明：∵AD为△ABC的中线．
∴BD＝CD，
∵BP⊥AD，CE⊥AD，
∴∠BPD＝∠CED＝90°，
在△BPD和△CED中，
{
∠BDP=∠CDE
)
∠BPD=∠CED=90° ，
BD=CD
∴△BPD≌△CED（AAS），
∴BP＝CE．
故答案为：CE⊥AD于E，BP⊥AD的延长线于P，BP＝CE．
【总结提升】本题考查了三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是得到△BPD≌△CED．
知识点七 全等三角形的探究问题
16．（2022秋•汉阳区校级期末）（1）如图1，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在
∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；
（2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、
∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，且∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，
∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．【思路引领】图①，求出∠BDA＝∠AFC＝90°，∠ABD＝∠CAF，根据AAS证两三角形全等即可；图
②根据已知和三角形外角性质求出∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，根据ASA证两三角形全等即可；
图③求出△ABD的面积，根据△ABE≌△CAF得出△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积，即
可得出答案．
【解答】解：（1）如图①，
∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°，
∴∠BDA＝∠AFC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠ABD+∠CAF＝90°，
∴∠ABD＝∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
{∠ADB=∠CFA
)
∠ABD=∠CAF ，
AB=AC
∴△ABD≌△CAF（AAS）；
（2）∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
{∠ABE=∠CAF
)
AB=AC ，
∠BAE=∠ACF
∴△ABE≌△CAF（ASA）；
（3）∵△ABC的面积为15，CD＝2BD，1
∴△ABD的面积是： ×15＝5，
3
由（2）中证出△ABE≌△CAF，
∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，即等于△ABD的面积，是5．
【总结提升】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，主要
考查学生的分析问题和解决问题的能力，题目比较典型，证明过程有类似之处．
