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专题9 估算的几种题型（解析版）
第一部分 典例剖析
类型一 用估算的方法比较数的大小
1．（2022•惠水县模拟）下列各数中比−√3小的数是（ ）
1
A．﹣2 B．﹣1 C．− D．0
2
思路引领：根据实数比较大小的方法分析得出答案．
解：A、∵|﹣2|＝2，|−√3|=√3，
由2＞√3，
∴﹣2＜−√3，故此选项正确；
B、∵|﹣1|＝1，|−√3|=√3，
由1＜√3，
∴﹣1＞−√3，故此选项错误；
1 1
C、∵|− |= ，|−√3|=√3，
2 2
1
由 ＜√3，
2
1
∴− ＞−√3，故此选项错误；
2
D、0＞−√3，故此选项错误；
故选：A．
总结提升：此题主要考查了实数比较大小，正确掌握比较方法是解题关键．
7．通过估算比较大小：
√99−7 8
（1） 与
2 5
√310−1 1
（2） 与 ．
3 3
√99−7 3 3 8 √99−7 8
思路引领：（1）先把√99看作√100得出 ＜ ，再比较 与 的大小，即可得出 与 的
2 2 2 5 2 5
大小，
√310−1 √38−1 √310−1 1
（2）把√310看作√38可得 ＞ ，即 ＞ ．
3 3 3 3√99−7 √100−7 √99−7 3
解：（1） ＜ ，即 ＜ ，
2 2 2 2
3 15 8 16
∵ = ， = ，
2 10 5 10
3 16
∴ ＜ ，
2 10
√99−7 8
∴ ＜ ，
2 5
√310−1 √38−1
（2） ＞ ，
3 3
√310−1 1
∴ ＞ ．
3 3
总结提升：此题主要考查了的是实数的大小比较，解题的关键是选择合适的被开方数．
类型二 利用夹逼法进行估算
3．（2022•杭州模拟）估计√33−1的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
思路引领：由题意易得5＜√33＜6，然后问题可求解．
解：由题意可知：
∵52＜33＜62，
∴5＜√33＜6，
∴4＜√33−1＜5；
故答案为C．
总结提升：本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．
4．（2022春•铁东区校级月考）若将−√2，√6，2√3，√11四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示
的墨迹覆盖的数是（ ）
A．−√2 B．2√3 C．√6 D．√11
思路引领：先估算出各数，再根据实数与数轴的关系即可得出结论．
解：−√2是负数，在原点的左侧，不符合题意；
2√3=√12＞√9=3，在墨迹覆盖处的右边，不符合题意；
√4＜√6＜√9，即2＜√6＜3，符合题意；，
√11＞√9，即√11＞3，在墨迹覆盖处的右边，不符合题意；故选：C．
总结提升：本题考查无理数的大小比较；熟练掌握数轴上点的特点，能够准确判断无理数的范围是解题
的关键．
5．（2022春•海门市月考）估计√13−1的值在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
思路引领：用相邻的有理数逼近无理数即可求解．
解：∵√9＜√13＜√16，
∴3＜√13＜4，
∴2＜√13−1＜3，
∴√13−1的值在2到3之间，
故选：B．
总结提升：本题考查无理数的估算，解题的关键是相邻的有理数逼近无理数．
6．（2020秋•桑植县期末）若k＜√90＜k+1（k是整数），则k＝（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
思路引领：根据√81=9，√100=10，可知9＜√90＜10，依此即可得到k的值．
解：∵k＜√90＜k+1（k是整数），9＜√90＜10，
∴k＝9．
故选：B．
总结提升：本题考查了估算无理数的大小，解题关键是估算√90的取值范围，从而解决问题．
7．（2022秋•平顶山期末）与2+√10最接近的整数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
思路引领：根据完全平方数，进行计算即可解答．
解：∵9＜10＜16，
∴3＜√10＜4，
∵3.52＝12.25，
∴3＜√10＜3.5，
∴5＜2+√10＜5.5，
∴与2+√10最接近的整数是5，
故选：A．
总结提升：本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．
类型三 利用估算确定一个数的整数部分和小数部分8．（2019春•西工区校级月考）已知18+√13与18−√13的小数部分分别为a、b，求a+b的值．
思路引领：根据3＜√13＜4，可得√13的大小，根据已知得出a、b 的值，再进一步求a+b可得答案．
解：∵3＜√13＜4，
∴18+√13的小数部分为a＝18+√13−21=√13−3；
18−√13的小数部分为b＝18−√13−14＝4−√13；
所以a+b=√13−3+4−√13=1．
总结提升：此题考查估算无理数的大小，估算出√13的大小是解决问题的关键．
9．（2021秋•昌平区期末）大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数．因此√2的小数部分我们
不可能全部写出来，于是小燕用√2−1来表示√2的小数部分．理由是：对于正无理数，用本身减去其
整数部分，差就是其小数部分．因为√2的整数部分为1，所以√2的小数部分为√2−1．
参考小燕同学的做法，解答下列问题：
（1）写出√13的小数部分为 ；
（2）已知7+√7与7−√7的小数部分分别为a和b，求（a+b）2的值；
2
（3）如果√9+√3 9=x+ y，其中x是整数，0＜y＜1，那么( x+ y) 3= ；
5
（4）设无理数√m（m为正整数）的整数部分为n，那么m−√m的小数部分为 （用含m，n的式
子表示）．
思路引领：（1）估算出√13的值即可解答；
（2）先估算出√7的值，然后求出知7+√7与7−√7的整数部分，进而求出a，b的值，然后进行计算即
可；
（3）先估算出√3 9的值，然后求出x，y的值，代入式子中进行计算即可；
（4）估算出m−√m的整数部分即可解答．
解：（1）∵9＜13＜16，
∴3＜√13＜4，
∴√13的整数部分是3，√13的小数部分为√13−3，
故答案为：√13−3；
（2）∵4＜7＜9，
∴2＜√7＜3，
∴9＜7+√7＜10，4＜7−√7＜5，
∴7+√7的整数部分是9，7−√7的整数部分是4，
∴a＝7+√7−9=√7−2，b＝7−√7−4＝3−√7，∴（a+b）2＝（√7−2+3−√7）2＝1，
答：（a+b）2的值为1；
（3）∵8＜9＜27，
∴2＜√3 9＜3，
∵√9=3，√9+√3 9=x+ y，其中x是整数，0＜y＜1，
∴x＝5，y＝3+√3 9−5=√3 9−2，
2 2
∴( x+ y) 3=（ ×5+√3 9−2）3＝（√3 9）3＝9，
5 5
故答案为：9；
（4）∵无理数√m（m为正整数）的整数部分为n，
∴n＜√m＜n+1，
∴﹣n＞−√m＞−n﹣1，
∴m﹣n＞m−√m＞m﹣n﹣1，
即m﹣n﹣1＜m−√m＜m﹣n，
∴m−√m的整数部分是：m﹣n﹣1，
∴m−√m的小数部分为：
m−√m−（m﹣n﹣1）
＝m−√m−m+n+1
＝n+1−√m，
故答案为：n+1−√m．
总结提升：本题考查了估算无理数的大小，实数的运算，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握平方数
和立方数是解题的关键．
类型四 利用估算解决实际问题
10．（2019秋•榆次区期中）为庆祝祖国70华诞，某小区计划在一块面积为196m2的正方形空地上建一个
面积为100m2的长方形花坛（长方形的边与正方形空地的边平行），要求长方形的长是宽的 2倍．请你
通过计算说明该小区能否实现这个愿望？
思路引领：分别求出长方形的长，正方形的边长比较即可判断．
解：长方形花坛的宽为xm，长为2xm．
2x•x＝100，
∴x2＝50，
∵x＞0，∴x=√50，2x＝2√50，
∵正方形的面积＝196m2，
∴正方形的边长为14m，
∵2√50＞14，
∴当长方形的边与正方形的边平行时，开发商不能实现这个愿望．
总结提升：本题考查算术平方根的性质，正方形的性质．长方形的性质等知识，解题的关键是灵活运用
所学知识解决问题，属于基础题．
第二部分 专题提优训练
1．（2022秋•南关区校级月考）在0，√3，2，﹣3中，最大的数是（ ）
A．0 B．√3 C．2 D．﹣3
思路引领：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，
据此判断即可．
解：∵2＞√3＞0＞﹣3，
∴在0，√3，2，﹣3中，最大的数是2．
故选：C．
总结提升：此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0
＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．实数3√11的整数部分为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
思路引领：先把3√11转化为√99，然后估算出√99的值的范围，即可解答．
解：3√11=√99，
∵81＜99＜100，
∴9＜√99＜10，
∴实数3√11的整数部分为9，
故选：B．
总结提升：本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
3．（2022春•漳平市期中）估算√56的值应在（ ）
A．6.5到7.0之间 B．7.0到7.5之间
C．7.5到8.0之间 D．8.0到8.5之间
思路引领：应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的有理数之间，然后判断出所求的无理数的范围，
由此即可求解．解：∵7＜√56＜8，
∴排除A和D，
又7.52＝57.25＞56，
故选：B．
总结提升：此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，
“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
4．（2021春•安陆市期末）把无理数√17，√11，√5，−√3表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹
（如图所示）覆盖住的无理数是（ ）
A．√17 B．√11 C．√5 D．−√3
思路引领：设被墨迹覆盖住的无理数为x，由图可知：3＜x＜4，得 ，进而解决此题．
√9＜√x2＜√16
解：设被墨迹覆盖住的无理数为x．
由图可知：3＜x＜4．
∴ ．
√9＜√x2＜√16
∵−√3＜√5＜√9＜√11＜√16＜√17，
∴x ．
=√x2=√11
故选：B．
总结提升：本题主要考查算术平方根以及数轴上的点表示的数的意义，熟练掌握算术平方根以及数轴上
的点表示的数的意义是解决本题的关键．
5．若x，y分别表示√23的整数部分和小数部分，则x﹣y+√23的值是（ ）
A．2√23 B．8 C．0 D．2√23−8
思路引领：运用估算的方法，先确定x，y的值，再代入x﹣y+√23求值即可．
解：∵√23=x+y，
∴y=√23−x．
∵4＜√23＜5，
∴x＝4，y=√23−4．
把x＝4，y=√23−4代入待求式得原式＝4﹣（√23−4）+√23=8．
故选：B．总结提升：本题主要考查的是估算无理数的大小，掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
6．（2022•湘桥区一模）√40在下面哪两个整数之间（ ）
A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9
思路引领：首先根据√36＜√40＜√49，进而得出6＜√40＜7．
解：因为√36＜√40＜√49，
所以6＜√40＜7．
故选：B．
总结提升：此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出√40的取值范围是解题关键．
√ 100
7．比较√3−33与3− 的大小．
3
思路引领：因为两数均是开3次方，所以只要根据负数比较大小的原则比较出被开方数的大小即可．
99 99 100
解：∵﹣33=− ，|− |＜|− |，
3 3 3
99 100
∴− ＞− ，
3 3
√ 100
∴√3−33＞ 3− ．
3
总结提升：本题考查的是实数的大小比较，此类问题只要比较出被开方数的大小即可得出结论．
8．求√3的近似值．（精确到0.1）
思路引领：根据平方数，进行计算即可解答．
解：∵1＜3＜4，
∴1＜√3＜2，
∵1.72＝2.89，1.82＝3.24，
∴1.7＜√3＜1.8，
∵1.752＝3.0625，
∴√3≈1.7．
总结提升：本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
9．（2021 秋•龙岗区校级期中）（1）已知：2a+1 的算术平方根是 3，3a﹣b﹣1 的立方根是 2，求
❑
3√20b+a的值．
（2）已知10+√3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y+√3的算术平方根．
思路引领：（1）根据算术平方根和立方根的定义求出a，b的值，代入求值即可；
（2）估算出10+√3的范围，得到x，y的值，求出x﹣y+√3的值，再求算术平方根即可．解：（1）∵2a+1的算术平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2，
∴2a+1＝32＝9，3a﹣b﹣1＝23＝8，
∴a＝4，b＝3，
∴√320b+a=√360+4=√364=4；
（2）∵1＜3＜4，
∴1＜√3＜2，
∴11＜10+√3＜12，
∵x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝11，y＝10+√3−11=√3−1，
∴x﹣y+√3=11−√3+1+√3=12，
∴12的算术平方根是√12=2√3，
∴x﹣y+√3的算术平方根为2√3．
总结提升：本题考查了算术平方根，立方根，无理数的估算，实数的运算，无理数的估算常用夹逼法，
用有理数夹逼无理数是解题的关键．
10．一块长方形纸片的面积是300cm2，长、宽之比为3：2．
（1）求这块长方形纸片的长与宽；（结果保留根号）
（2）小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出这个长方形，她能完成吗？
思路引领：（1）设面积为300平方厘米的长方形的长，宽分别为3xcm，2xcm，根据面积公式得到方程
3x•2x＝300（x＞0），解方程得到x的值，从而得到长方形的长和宽；
（2）设面积为400cm2的正方形纸片的边长为xcm，根据面积公式得到方程x2＝400（x＞0），解方程，
得到x的值，从而得到正方形的边长；最后根据长方形的长与正方形的边长进行比较即可得解．
解：（1）设面积为300cm2的长方形的长，宽分别为3xcm，2xcm（x＞0），
则3x•2x＝300，
∴6x2＝300，
即x2＝50，
解得x＝5√2（负值舍去），
∴2x＝2×5√2=10√2，3x＝3×5√2=15√2，
∴面积为300cm2的长方形的长，宽分别为15√2cm，10√2cm．
（2）设面积为400cm2的正方形的边长为xcm（x＞0），则x2＝400，
解得x＝20（负值舍去），
∴面积为400cm2的正方形的边长为20cm．∵202＝400＜（15√2）2＝450，
∴20＜15√2，
∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长，
∴小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片．
总结提升：本题考查了算术平方根，二次根式的化简和正方形性质等知识，解题的关键是根据所裁出的
长方形的长与宽的比设未知数．
