文档文本内容
专题 2.9 含 30°角的直角三角形的性质（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)30°(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:19)..............................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)30°(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:34)(cid:19)..............................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)30°(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:35)(cid:36)(cid:19)................................................................................................10
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:24)30°(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:20)(cid:19)................................................................................14
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:24)30°(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:37)(cid:38)(cid:42)(cid:43)(cid:41)(cid:20)(cid:19)................................................................................19
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:22)(cid:23)(cid:24)30°(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:37)(cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:41)(cid:20)(cid:19)................................................................................24
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:24)30°(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:23)(cid:19)........................................................................................................28
知识点 含30°角的直角三角形的性质
+
A
1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边科等 A 于斜边的一半．
全
★
号
众
2. 拓展：（1）该性质是含30°角的特殊直角三注角形公的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性
关
，
源
资
质，更不能应用． 辅
教
（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．
（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．
（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转
化后，再利用这个性质解决问题．
【题型1 利用含30°的直角三角形的性质求长度】
(cid:15)(cid:49)1(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29) (cid:25)(cid:66)(cid:33)(cid:67)9(cid:64) (cid:67) (cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:39)(cid:40)(cid:64) (cid:67)
(cid:70)(cid:33)(cid:71)(cid:68)(cid:69)(cid:39)(cid:40)(cid:64) (cid:72) (cid:73)(cid:40) (cid:64)(cid:40) (cid:67) (cid:60)(cid:40)(cid:74)(cid:75) (cid:64)𝐴𝐵(cid:76)𝐶 (cid:33)(cid:67)(cid:50) (cid:61)𝐷 𝐴𝐶 𝐸 𝐴𝐵
𝐷𝐸 𝐶𝐵 𝑃 𝑃 𝐷𝐸 𝐷𝐸⊥𝐴𝐶 𝐶𝐷
A(cid:74)2 B(cid:74)3 C(cid:74)4 D(cid:74)5
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:19)B(cid:15)(cid:79)(cid:80)(cid:19)(cid:81)(cid:40)D(cid:82) (cid:64)(cid:72) (cid:73)F(cid:64)(cid:83)(cid:35) (cid:84)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:64)(cid:85)(cid:35) (cid:64)(cid:86) = (cid:64)
(cid:87) = (cid:64)(cid:76) =𝐷𝐹∥=𝐴𝐵 =𝐵𝐶 =9+△𝐶(cid:64)𝐷𝐹(cid:42)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)△(cid:60)𝑃(cid:64)𝐷3𝐹0≌°(cid:25)△(cid:27)𝑃𝐸(cid:92)𝐵(cid:93)(cid:25)(cid:66)𝐶𝐷(cid:84)(cid:94)𝐵(cid:66)𝐸(cid:25)
(cid:69)(cid:95)
𝐵𝐸
(cid:64)(cid:96)
𝑥
(cid:97)
𝐵𝐸
=
1𝐶
×
𝐷
(9+
𝑥,𝐴
)
𝐷
(cid:64)(cid:98)
9
(cid:99)
−
(cid:74)
𝑥,𝐴𝐸 𝑥
2
9−𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:100)(cid:37)(cid:19)(cid:37)(cid:10)(cid:62)(cid:54)(cid:63)(cid:64)(cid:81)(cid:40)D(cid:82) (cid:64)(cid:72) (cid:73)F(cid:64)
𝐷𝐹∥𝐴𝐵 𝐵𝐶
(cid:84)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:64)
= = =60°(cid:64) ∵△𝐴𝐵𝐶
∴∠𝐴 ∠(cid:64)𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶
∵𝐷𝐹∥𝐴𝐵= = = = = (cid:64)
∴∠𝐶𝐷𝐹(cid:84)(cid:65)∠𝐴(cid:66)(cid:28)6(cid:27)0°(cid:29),∠(cid:64)𝐷𝐹𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 60°,∠𝐷𝐹𝑃 ∠𝐸𝐵𝑃
∴△𝐶𝐷=𝐹 (cid:64)
+
A
A
科
∴𝐶(cid:40)𝐷P(cid:67)𝐷𝐹 (cid:60)(cid:40)(cid:64)
★
全
号
众
公
注
∵ = 𝐷𝐸(cid:64) 关
，
源
资
辅
(cid:91)∴𝑃𝐷 𝑃(cid:101)𝐸 (cid:60)教(cid:64)
△𝑃𝐷=𝐹 △𝑃𝐸𝐵
= (cid:64)
∠𝐷𝐹𝑃 =∠𝐸𝐵𝑃
∠𝐷𝑃𝐹 ∠𝐸𝑃𝐵
𝑃𝐷 𝑃𝐸 (cid:64)
∴△𝑃𝐷=𝐹≌△(cid:64)𝑃𝐸𝐵
∴𝐷𝐹= 𝐵𝐸(cid:64)
∴𝐶𝐷 𝐵𝐸(cid:64)
∵𝐷𝐸⊥𝐴=𝐶90°(cid:64)
∴∠𝐴𝐷=𝐸 =30°(cid:64)
(cid:87)∴∠𝐸= 9(cid:64)0°−(cid:76)∠𝐴 = = = =9+ (cid:64)
𝐵𝐸
=
𝑥1
×(
𝐵
9
𝐸
+ )
𝐶
(cid:64)
𝐷 𝑥,𝐴𝐷 9−𝑥,𝐴𝐸 𝑥
2
∴9−𝑥 𝑥
(cid:37)(cid:86)(cid:10) =3(cid:64)
=𝑥3(cid:64)
∴𝐶𝐷(cid:102)(cid:103)(cid:10)B(cid:74)
(cid:15)(cid:40)(cid:104)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:101)(cid:109)(cid:110)(cid:64)(cid:111)(cid:112)(cid:71)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:113)(cid:65)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:109)(cid:110)(cid:114)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:91)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)
(cid:60)(cid:64)30°(cid:25)(cid:27)(cid:92)(cid:93)(cid:25)(cid:66)(cid:84)(cid:94)(cid:66)(cid:25)(cid:69)(cid:95)(cid:64)(cid:37)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:115)(cid:84)(cid:82)(cid:116)(cid:117)(cid:71)(cid:35)(cid:36) PEB(cid:74)
(cid:15)(cid:118)(cid:119)1-1(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:123)·(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:60)(cid:64)△PD=F≌90△°(cid:64) (cid:84) (cid:25)(cid:27)(cid:111)(cid:79)(cid:71)(cid:64)(cid:40)
(cid:91) (cid:25)(cid:124)(cid:26)(cid:111)(cid:79)(cid:71)(cid:68)(cid:64)(cid:75) =6(cid:64)(cid:76) = (cid:74) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐵𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐷
𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:19)3
(cid:15)(cid:79)(cid:80)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:71)(cid:125)(cid:124)(cid:26)(cid:111)(cid:79)(cid:71)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:126)(cid:27)(cid:111)(cid:79)(cid:71)(cid:25)(cid:110)(cid:127)(cid:126)(cid:65)(cid:66)(cid:93)(cid:65)(cid:27)(cid:126)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:128)(cid:27)(cid:111)
(cid:79)(cid:71)(cid:25)(cid:110)(cid:127)(cid:99)(cid:86) = (cid:64)(cid:128)(cid:71)(cid:125)(cid:124)(cid:26)(cid:111)(cid:79)(cid:71)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:99)(cid:86) = =6(cid:64)(cid:129)(cid:130)(cid:99)(cid:86) = (cid:64)(cid:85)(cid:131)
(cid:132)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:133)(cid:27)(cid:101)∠(cid:110)𝐴(cid:134)𝐵𝐷(cid:32)(cid:135)∠𝐶𝐵=𝐷 = =30°(cid:64)(cid:42)(cid:88)(cid:128)(cid:26)𝐴(cid:27)𝐷(cid:28)(cid:27)𝐵𝐷(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:98)(cid:99)(cid:86)(cid:37)∠(cid:64)𝐴(cid:136)(cid:137)∠𝐴(cid:138)𝐵(cid:139)𝐷 (cid:140)(cid:68)
+
A
(cid:141)(cid:142)(cid:40)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:23)(cid:84)(cid:37)(cid:147)∠(cid:20)𝐴(cid:25)(cid:3)∠(cid:115)𝐴𝐵(cid:74)𝐷 ∠𝐶𝐵𝐷 科 A
全
★
号
众
(cid:15)(cid:100)(cid:37)(cid:19)(cid:37)(cid:10) (cid:84) (cid:25)(cid:27)(cid:111)(cid:79)(cid:71)(cid:64) 公
注
关
，
源
= ∵𝐵(cid:64)𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶辅 资
教
∴(cid:40)∠𝐴𝐵(cid:91)𝐷 ∠(cid:25)𝐶(cid:124)𝐵𝐷(cid:26)(cid:111)(cid:79)(cid:71)(cid:68)(cid:64)
∵ 𝐷= 𝐴𝐵=6(cid:64)
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐷 (cid:64)
∴∠𝐴 ∠(cid:60)𝐴𝐵(cid:64)𝐷 =90°(cid:64)
∵△𝐴+𝐵𝐶 ∠+𝐶 =90°(cid:64)
∴∠𝐴=∠𝐴𝐵𝐷 =∠𝐶𝐵𝐷 =30°(cid:64)
∴∠𝐴
=
1∠𝐴𝐵𝐷
=3(cid:64)
∠𝐶𝐵𝐷
2
∴𝐶𝐷 𝐵𝐷
(cid:102)(cid:77)(cid:78)(cid:67)(cid:10)3(cid:74)
(cid:15)(cid:118)(cid:119)1-2(cid:19)(cid:50)22-23(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:68)·(cid:120)(cid:148)(cid:149)(cid:150)·(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:91) (cid:60)(cid:64) = (cid:64) =30°(cid:64) (cid:72) (cid:73)
(cid:40) (cid:64) =2(cid:64)(cid:76) (cid:25)(cid:33)(cid:84)(cid:50)(cid:151)(cid:151)(cid:61) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 ∠𝐵 𝐴𝐷⊥𝐴𝐵 𝐵𝐶
𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐶A(cid:74)12 B(cid:74)10 C(cid:74)8 D(cid:74)6
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:19)D
(cid:15)(cid:79)(cid:80)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:24)30°(cid:27)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:93)(cid:65)(cid:27)(cid:64)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:133)(cid:27)(cid:101)(cid:110)(cid:134)(cid:64)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:68)(cid:141)(cid:142)(cid:40)
(cid:84)(cid:37)(cid:77)(cid:105)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:115)(cid:74)
(cid:89)(cid:90)(cid:24)30°(cid:27)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:86) = =4(cid:64)(cid:128)(cid:65)(cid:66)(cid:93)(cid:65)(cid:27)(cid:140)(cid:152)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:133)(cid:27)(cid:101)(cid:110)(cid:134)(cid:32)(cid:86)
= =120°(cid:64)(cid:153)(cid:130)(cid:32)𝐵𝐷(cid:86) 2𝐴𝐷= =30°(cid:64)(cid:85)(cid:89)(cid:90)(cid:65)(cid:66)(cid:93)(cid:65)(cid:27)(cid:86)(cid:154)
∠𝐵𝐴=𝐶 1=802°(cid:64)−∠(cid:42)𝐵(cid:88)−∠(cid:89)𝐶(cid:90) = + (cid:98)(cid:99)∠𝐶(cid:86)𝐴(cid:37)𝐷 (cid:74)∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐵𝐴𝐷
(cid:15)𝐴𝐷(cid:100)(cid:37)𝐶(cid:19)𝐷(cid:37)(cid:10) (cid:64)𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐷𝐶
(cid:67)(cid:26)(cid:27)∵(cid:28)𝐴𝐷(cid:27)⊥(cid:29)𝐴(cid:64)𝐵
(cid:155)∴△𝐴𝐵=𝐷30°(cid:64) =2(cid:64)
+
A
A
科
∠𝐵 = =𝐴𝐷2×2=4(cid:64) ★ 全
号
众
公
注
∴𝐵𝐷= 2𝐴(cid:64)𝐷 =30°(cid:64) 关
，
源
资
辅
∵𝐴𝐵 =𝐴𝐶 =∠3𝐵0°(cid:64) 教
∴∠𝐵 ∠=𝐶 = =120°(cid:64)
∴∠𝐵𝐴𝐶 (cid:64)18(cid:98)0°−∠𝐵−=∠𝐶90°(cid:64)180°−30°−30°
∵𝐴𝐷⊥𝐴=𝐵 ∠𝐵𝐴𝐷 = =30°(cid:64)
∴∠𝐶𝐴𝐷(cid:84)(cid:65)∠𝐵(cid:156)𝐴(cid:28)𝐶−(cid:27)∠(cid:29)𝐵𝐴(cid:64)𝐷(cid:98) 120=°−90=° 2(cid:64)
∴△BC𝐴=𝐶𝐷BD+DC=4+2=𝐴6𝐷(cid:64) 𝐶𝐷
(cid:102)∴(cid:103)(cid:10)D(cid:74)
(cid:15)(cid:118)(cid:119)1-3(cid:19)(cid:50)23-24(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:68)·(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:160)·(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:161)(cid:141)(cid:65)(cid:66) (cid:60) (cid:64) =12(cid:64)(cid:75)(cid:40)H(cid:91)(cid:71)(cid:125)
1 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐷
(cid:68)(cid:146)(cid:39)(cid:64) + (cid:162)(cid:42)(cid:163)(cid:43)(cid:164)(cid:64) (cid:25)(cid:43)(cid:67) (cid:74)
2
𝐴𝐻 𝐶𝐻 𝐷𝐻(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:19)4
(cid:15)(cid:79)(cid:80)(cid:19)(cid:81)(cid:40) (cid:82) (cid:73)(cid:40) (cid:64)(cid:165)(cid:166) (cid:64)(cid:22)(cid:23)(cid:24)30(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:86)(cid:154) = 1 (cid:64)(cid:99)(cid:86) 1
2 2
𝐻 𝐻𝐸⊥𝐴𝐵 𝐸 𝐶𝐸 𝐸𝐻 𝐴𝐻
1
+ = + (cid:64)(cid:167)(cid:130)(cid:86)(cid:135)(cid:168) (cid:126) (cid:126) (cid:28)(cid:40)(cid:169)(cid:170)(cid:91)(cid:171)(cid:26)(cid:71)(cid:68)(cid:164)(cid:64) + = + = (cid:25)(cid:43)
2
𝐴𝐻 𝐶𝐻 𝐸𝐻 𝐶𝐻≥𝐶𝐸 𝐶 𝐻 𝐸 𝐴𝐻 𝐶𝐻 𝐸𝐻 𝐶𝐻 𝐶𝐸
(cid:42)(cid:163)(cid:64)(cid:85)(cid:131)(cid:132)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:86)(cid:154) = 1 =4(cid:74)
3
𝐷𝐻 𝐴𝐷
(cid:15)(cid:100)(cid:37)(cid:19)(cid:37)(cid:10)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:81)(cid:40) (cid:82) (cid:73)(cid:40) (cid:64)(cid:165)(cid:166) (cid:64)
𝐻 𝐻𝐸⊥𝐴𝐵 𝐸 𝐶𝐸
(cid:84)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:64) (cid:64)
∵△𝐴 = 𝐵𝐶 (cid:64) = 1 𝐴𝐷⊥ = 𝐵 3 𝐶 0°(cid:64)
2
∴𝐵𝐷 𝐶𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
= 1 (cid:64)
+
2 A A
科
全
∴𝐸 1 𝐻 + 𝐴𝐻 = + (cid:64) 公 众 号 ★
2 注
关
，
(cid:168)
∴
(cid:126)
𝐴𝐻
(cid:126)
𝐶
(cid:28)
𝐻
(cid:40)(cid:169)
𝐸𝐻
(cid:170)(cid:91)教
𝐶
(cid:171)
𝐻
(cid:26)辅
≥
(cid:71)
𝐶资𝐸
(cid:68)(cid:164)
源
(cid:64) 1 + = + = (cid:25)(cid:43)(cid:42)(cid:163)(cid:64)
2
(cid:147)(cid:164)𝐶 (cid:64)𝐻 𝐸 (cid:64) = = 𝐴𝐻 = 𝐶 3 𝐻 0°(cid:64)𝐸𝐻 𝐶𝐻 𝐶𝐸
=
𝐶𝐸⊥
(cid:64)
𝐴𝐵
=
∠𝐴1𝐶𝐸
(cid:64)
∠𝐶𝐴𝐷 ∠𝐵𝐶𝐸
2
∴𝐴𝐻 𝐶𝐻 𝐷𝐻 𝐶𝐻
= 1 = 1 =4(cid:74)
2 3
∴𝐷𝐻 𝐴𝐻 𝐴𝐷
(cid:102)(cid:77)(cid:78)(cid:67)(cid:10)4(cid:74)
(cid:15)(cid:40)(cid:104)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:28)(cid:66)(cid:3)(cid:172)(cid:25)(cid:48)(cid:23)(cid:64)(cid:24)30(cid:34)(cid:27)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:37)(cid:38)(cid:105)(cid:20)(cid:25)(cid:3)
(cid:115)(cid:84)(cid:173)(cid:154)(cid:39)(cid:40)H(cid:25)(cid:174)(cid:175)(cid:74)
【题型2 利用含30°的直角三角形的性质求角度】
(cid:15)(cid:49)2(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:68)·(cid:176)(cid:177)(cid:132)(cid:178)·(cid:59)(cid:179)(cid:61)(cid:91)Rt (cid:60)(cid:64) =90°(cid:64) =30°(cid:64) (cid:84)(cid:26)(cid:71) (cid:68)(cid:25)(cid:69)(cid:40)(cid:64)
(cid:180)(cid:181)(cid:182) = 1 (cid:64)(cid:76) (cid:25)(cid:34)(cid:183)(cid:67) (cid:74) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 ∠𝐴 𝐷 𝐴𝐵
2
𝐵𝐷 𝐴𝐵 ∠𝐶𝐷𝐵
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:19)30°(cid:184)60°/60°(cid:184)30°
(cid:15)(cid:79)(cid:80)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:24)30(cid:34)(cid:27)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:109)(cid:110)(cid:101)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:65)(cid:156)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:64)(cid:79)(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:106)(cid:189)(cid:10)(cid:168)(cid:40) (cid:91)(cid:71)(cid:125) (cid:68)(cid:101)(cid:40) (cid:91) (cid:70)(cid:33)(cid:71)(cid:68)(cid:64)(cid:79)(cid:190)(cid:191)(cid:135)(cid:63)(cid:29)(cid:37)(cid:77)(cid:98)(cid:99)(cid:64)(cid:22)(cid:23)(cid:79)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:25)(cid:195)(cid:196)(cid:37)
(cid:77)(cid:84)(cid:37)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:115)(cid:74) 𝐷 𝐴𝐵 𝐷 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:100)(cid:37)(cid:19)(cid:37)(cid:10)(cid:168)(cid:40) (cid:91)(cid:71)(cid:125) (cid:68)(cid:164)(cid:64)(cid:62)(cid:63)1(cid:92)(cid:197)(cid:64)
𝐷 𝐴𝐵
(cid:91)Rt (cid:60)(cid:64) =90°(cid:64) =30°(cid:64)
=
△1𝐴𝐵𝐶
(cid:64)
∠
=
𝐶
60°(cid:64)
∠𝐴
2
∴𝐵𝐶 𝐴𝐵 ∠𝐵
= 1 (cid:64)
2
+
A
A
∵𝐵𝐷 = 𝐴𝐵 (cid:64) ★ 全 科
号
众
公
注
∴𝐵𝐶 𝐵𝐷(cid:67)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:64) 关
，
源
资
辅
∴△𝐵𝐶𝐷=60°(cid:198) 教
∴(cid:168)∠(cid:40)𝐵𝐷𝐶(cid:91) (cid:70)(cid:33)(cid:71)(cid:68)(cid:164)(cid:64)(cid:62)(cid:63)2(cid:92)(cid:197)(cid:64)
𝐷 𝐴𝐵
(cid:171)(cid:134)(cid:99)(cid:86) = (cid:64)
=𝐵𝐷 𝐵𝐶
∴∠𝐵𝐶𝐷 ∠𝐵𝐷𝐶=60°(cid:64) + = (cid:64)
∵∠𝐴𝐵𝐶 = ∠=𝐵𝐶3𝐷0°(cid:198)∠𝐵𝐷𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶
∴(cid:199)∠(cid:68)𝐵𝐷(cid:64)𝐶 ∠𝐵𝐶=𝐷30°(cid:184)60°(cid:64)
(cid:102)(cid:77)(cid:78)∠(cid:67)𝐵(cid:10)𝐷3𝐶0°(cid:184)60°(cid:74)
1
(cid:15)(cid:118)(cid:119)2-1(cid:19)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:91)(cid:200)(cid:29) (cid:60)(cid:64) = (cid:64)(cid:201)(cid:200)(cid:29) (cid:202)(cid:203)(cid:40) (cid:204)(cid:164)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:69)(cid:110)(cid:27)(cid:34)(cid:86)(cid:154)(cid:200)(cid:29) (cid:64)
2
𝐴𝐷
′ ′ ′
(cid:75)(cid:40) (cid:208)(cid:91)(cid:66) (cid:68)(cid:64)(cid:76) 𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴 ° 𝐵(cid:74) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴 𝐴𝐵 𝐶 𝐷
′ ′
𝐵 𝐶𝐷 ∠𝐷𝐴𝐷
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:19)30
(cid:15)(cid:79)(cid:80)(cid:19)(cid:89)(cid:90)(cid:20)(cid:209)(cid:210)(cid:86) = = (cid:64) D=90°(cid:64)(cid:153)(cid:130)(cid:41)(cid:20)(cid:99)(cid:32)(cid:37)(cid:74)
′ +
A
(cid:15)(cid:100)(cid:37)(cid:19)(cid:37)(cid:10) (cid:211)(cid:66)(cid:29)A𝐴B𝐵CD(cid:84)𝐴𝐵(cid:200)(cid:29)2(cid:64)𝐴𝐷 ∠ 科 A
全
★
号
众
D= DAB=9∵0°(cid:64) 公
注
关
，
源
∴∠ = ∠1 (cid:64) 教 辅 资
2
𝐴𝐷
∵𝐴𝐵
= (cid:64)
∴(cid:201)𝐴𝐵(cid:200)(cid:29)2𝐴𝐷 (cid:202)(cid:203)(cid:40) (cid:204)(cid:164)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:69)(cid:110)(cid:27)(cid:34)(cid:86)(cid:154)(cid:200)(cid:29) (cid:64)
′ ′ ′
∵ 𝐴=𝐵𝐶𝐷 =𝐴 = = (cid:64) 𝐴𝐵 𝐶 𝐷
′ ′ ′
∴∠𝐷 𝐴𝐵=3∠0𝐷°(cid:64)𝐴𝐵 90°,𝐴𝐵 𝐴𝐵 2𝐴𝐷
′
∴∠𝐷𝐵 𝐴=60°(cid:64)
′
∴∠𝐷𝐴𝐵 =30°(cid:198)
′
(cid:102)∴∠(cid:77)𝐷𝐴(cid:78)𝐷(cid:67)30(cid:74)
(cid:15)(cid:40)(cid:104)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:212)(cid:213)(cid:106)(cid:107)(cid:200)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:152)(cid:24)30°(cid:27)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:200)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:152)(cid:24)30°(cid:27)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:84)(cid:37)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:115)(cid:74)
(cid:15)(cid:118)(cid:119)2-2(cid:19)(cid:50)22-23(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:16)(cid:214)(cid:215)(cid:216)·(cid:217)(cid:11)(cid:106)(cid:218)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:91) (cid:60)(cid:64)(cid:60)(cid:71) (cid:114)(cid:219)(cid:71) (cid:28)(cid:65)(cid:79) (cid:64)
(cid:76) (cid:25)(cid:34)(cid:183)(cid:67) (cid:74) △𝐴𝐵𝐶 𝐶𝑀 𝐶𝐷 ∠𝐴𝐶𝐵
∠𝐵(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:19)30°/30(cid:34)
(cid:15)(cid:79)(cid:80)(cid:19)(cid:20)(cid:220)(cid:212)(cid:213)(cid:106)(cid:107)(cid:113)(cid:65)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:109)(cid:110)(cid:101)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:27)(cid:111)(cid:79)(cid:71)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:152)(cid:24)30(cid:34)(cid:27)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:89)(cid:90)
(cid:113)(cid:65)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:109)(cid:110)(cid:86)(cid:135) (cid:64)(cid:221)(cid:110) = = 1 = 1 (cid:74)(cid:81)(cid:40)M(cid:82) (cid:73)(cid:40)N(cid:64)(cid:85)(cid:128)
2 2
△𝐴𝐶𝐷≌△𝑀𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐷𝑀 𝐴𝑀 𝐵𝑀 𝑀𝑁⊥𝐵𝐶
(cid:27)(cid:111)(cid:79)(cid:71)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:221)(cid:110) = (cid:64)(cid:22)(cid:23)(cid:24)30(cid:34)(cid:27)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:98)(cid:99)(cid:32)(cid:37)(cid:74)
(cid:15)(cid:100)(cid:37)(cid:19)(cid:37)(cid:10)(cid:37)(cid:10)(cid:89)𝐷(cid:90)𝑀(cid:20)(cid:209)𝑁(cid:86)𝑀(cid:10) = = = (cid:74)
= = 𝐶=𝐷⊥𝐴𝐵,𝐴𝑀=90°𝑀(cid:64)𝐵,∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝑀𝐶𝐷 ∠𝐵𝐶𝑀
∵∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝑀𝐶𝐷,𝐶(cid:74)𝐷 𝐶𝐷,∠𝐶𝐷𝐴 ∠𝐶𝐷𝑀
∴△𝐴 = 𝐶𝐷≌△ = 𝑀1𝐶𝐷 = 1 (cid:74)
2 2
∴𝐴𝐷 𝐷𝑀 𝐴𝑀 𝐵𝑀
(cid:81)(cid:40)M(cid:82) (cid:73)(cid:40)N(cid:64)
+
A
𝑀𝑁⊥𝐵𝐶 科 A
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
= (cid:64)
∵∠𝐷𝐶=𝑀 ∠(cid:74)𝑁𝐶𝑀,𝐶𝐷⊥𝐴𝐵
∴𝐷𝑀
=
𝑁1𝑀
(cid:64)
2
∴𝑁𝑀 𝑀𝐵
(cid:91)Rt (cid:60)(cid:64) =30°(cid:74)
∴(cid:102)(cid:77)(cid:78)△(cid:67)𝑀(cid:10)𝑁3𝐵0°(cid:74) ∠𝐵
(cid:15)(cid:118)(cid:119)2-3(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:68)·(cid:222)(cid:223)(cid:214)·(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:161)(cid:141)(cid:65)(cid:156)(cid:28)(cid:27)(cid:29) (cid:60)(cid:64) (cid:73)(cid:40)D(cid:64)(cid:180) = 1 (cid:64)(cid:76)(cid:65)
2
𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶
(cid:156)(cid:28)(cid:27)(cid:29) (cid:25)(cid:224)(cid:27)(cid:25)(cid:34)(cid:183)(cid:67) (cid:74)
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:19)𝐴15𝐵°𝐶(cid:184)45°(cid:184)75°
(cid:15)(cid:79)(cid:80)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:106)(cid:107)(cid:108)30°(cid:27)(cid:92)(cid:93)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:66)(cid:65)(cid:73)(cid:94)(cid:66)(cid:25)(cid:69)(cid:95)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:65)(cid:156)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:185)(cid:224)(cid:27)(cid:225)(cid:65)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:140)(cid:152)(cid:28)
(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:69)(cid:226)(cid:227)(cid:27)(cid:65)(cid:73)(cid:114)(cid:228)(cid:229)(cid:225)(cid:230)(cid:25)(cid:185)(cid:226)(cid:133)(cid:27)(cid:25)(cid:101)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:231)(cid:40)(cid:91)(cid:73)(cid:213)(cid:79)(cid:187)(cid:188)(cid:193)(cid:194)(cid:32)(cid:37)(cid:74)
(cid:82)(cid:135)(cid:63)(cid:29)(cid:64)(cid:79) (cid:40) (cid:84)(cid:232)(cid:40)(cid:164)(cid:64)(cid:89)(cid:90)(cid:65)(cid:156)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:28)(cid:71)(cid:132)(cid:69)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:99)(cid:86) = (cid:64)(cid:129)(cid:130)(cid:86)(cid:154) = = (cid:64)
(cid:85)(cid:22)(cid:23)(cid:65)(cid:66)(cid:93)①(cid:65)(cid:27)(cid:25)𝐴(cid:30)(cid:31)(cid:99)(cid:86) = (cid:64)(cid:233)(cid:88)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:185)(cid:234)𝐵(cid:27)𝐷(cid:235)(cid:236)𝐶𝐷(cid:32)(cid:37)(cid:98)(cid:99)(cid:198) 𝐴(cid:40)𝐷 (cid:84)𝐵(cid:224)𝐷(cid:27)(cid:232)𝐶𝐷(cid:40)(cid:64)
∠𝐵 ∠𝐵𝐴𝐷 ② 𝐴(cid:91) (cid:227)(cid:237)(cid:164)(cid:64)(cid:89)(cid:90)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)30°(cid:27)(cid:92)(cid:93)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:66)(cid:65)(cid:73)(cid:94)(cid:66)(cid:25)(cid:69)(cid:95)(cid:32)(cid:135) =30°(cid:64)(cid:85)(cid:89)(cid:90)(cid:28)(cid:27)(cid:29)
𝐴(cid:25)𝐷(cid:69)(cid:226)△(cid:227)𝐴(cid:27)𝐵𝐶(cid:65)(cid:73)(cid:114)(cid:228)(cid:229)(cid:225)(cid:230)(cid:25)(cid:185)(cid:226)(cid:133)(cid:27)(cid:25)(cid:101)(cid:32)(cid:37)(cid:98)(cid:99)(cid:86)(cid:154)(cid:224)(cid:27)(cid:84)15°(cid:64) (cid:40) (cid:84)∠(cid:224)𝐴(cid:27)𝐶𝐷(cid:232)(cid:40)(cid:64) (cid:91) (cid:133)(cid:237)
(cid:164)(cid:64)(cid:89)(cid:90)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)30°(cid:27)(cid:92)(cid:93)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:66)(cid:65)(cid:73)(cid:94)(cid:66)(cid:25)(cid:69)(cid:95)(cid:32)(cid:135) =30°③(cid:64)(cid:233)𝐴(cid:88)(cid:85)(cid:89)(cid:90)(cid:65)(cid:156)(cid:28)𝐴(cid:27)𝐷(cid:29)△(cid:185)(cid:224)𝐴𝐵(cid:27)𝐶(cid:225)(cid:65)
(cid:32)(cid:37)(cid:98)(cid:99)(cid:74) ∠𝐶
(cid:15)(cid:100)(cid:37)(cid:19)(cid:37)(cid:10) (cid:62)(cid:63)1(cid:64)(cid:40) (cid:84)(cid:232)(cid:40)(cid:164)(cid:74)
① 𝐴
= (cid:64) (cid:64)
∵𝐴𝐵 =𝐴𝐶(cid:64)𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
∴𝐵1𝐷
=
𝐶𝐷
(cid:64)
2
∵ 𝐵𝐶 𝐴𝐷
= = (cid:74)
+
A
A
科
∴(cid:91)𝐴𝐷Rt 𝐵𝐷 (cid:60)𝐶𝐷(cid:64) = (cid:64) (cid:64) ★ 全
号
众
公
注
∵ = △𝐴𝐵𝐷 = 1 × 𝐴𝐷 ( 𝐵𝐷 𝐴 ) 𝐷 = ⊥ 4 𝐵 5 𝐷 °，(cid:198) 关
2 资 源
辅
教
∴∠𝐵 ∠𝐵𝐴𝐷 180°−90°
(cid:62)(cid:63)2(cid:64)(cid:40) (cid:84)(cid:224)(cid:27)(cid:232)(cid:40)(cid:64)(cid:180) (cid:91) (cid:227)(cid:237)(cid:164)(cid:74)
② 𝐴 𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶
= (cid:64) = (cid:64)
∵𝐵𝐶
=
21𝐴𝐷
(cid:64)
𝐴𝐶 𝐵𝐶
2
∴𝐴𝐷 𝐴𝐶
=30°(cid:64)
∴∠𝐴𝐶𝐷 = = 1 ×30°=15°(cid:198)
2
∴∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶
(cid:62)(cid:63)3(cid:64)(cid:40) (cid:84)(cid:224)(cid:27)(cid:232)(cid:40)(cid:64)(cid:180) (cid:91) (cid:133)(cid:237)(cid:164)(cid:74)
③ 𝐴 𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶= (cid:64) = (cid:64)
∵𝐵𝐶
=
21𝐴𝐷
(cid:64)
𝐴𝐶 𝐵𝐶
2
∴𝐴𝐷 𝐴𝐶
=30°(cid:64)
∴∠𝐶 = = 1 ×( )=75°(cid:198)
2
∴∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 180°−30°
(cid:199)(cid:68)(cid:92)(cid:238)(cid:64) (cid:224)(cid:27)(cid:25)(cid:34)(cid:183)(cid:67)45°(cid:184)15°(cid:184)75°(cid:74)
【题型3 利 △ 用 𝐴 含 𝐵𝐶30°的直角三角形的性质证明】
(cid:15)(cid:49)3(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:214)(cid:148)(cid:68)(cid:239)·(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:201) (cid:202)(cid:40) (cid:204)(cid:164)(cid:205)(cid:206)(cid:207)60°(cid:86)(cid:154) (cid:64) (cid:25)(cid:70)(cid:33)(cid:71)
+
A
A
科
(cid:114) (cid:225)(cid:72)(cid:73)(cid:40) (cid:64)(cid:165)(cid:166) (cid:126) (cid:64)(cid:180) = (cid:74) △𝐴𝐵𝐶 ★𝐵 全 △𝐷𝐵𝐸 𝐷𝐸
号
众
公
注
𝐴𝐶 𝐹 𝐴𝐷 𝐵𝐹 𝐵𝐹 𝐴关𝐹
，
源
资
辅
教
(1)(cid:32)(cid:35)(cid:10) (cid:198)
(2)(cid:32)(cid:35)(cid:10)𝐴𝐷∥=𝐵𝐶 (cid:74)
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:19)(𝐴1𝐷)(cid:240)(cid:37)2(cid:80)𝐴𝐸
(2)(cid:240)(cid:37)(cid:80)
(cid:15)(cid:79)(cid:80)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:212)(cid:213)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:206)(cid:207)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:114)(cid:109)(cid:110)(cid:64)(cid:71)(cid:125)(cid:124)(cid:26)(cid:111)(cid:79)(cid:71)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:114)(cid:109)(cid:110)(cid:64)(cid:24)30(cid:34)
(cid:27)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:136)(cid:141)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:114)(cid:109)(cid:110)(cid:110)(cid:134)(cid:84)(cid:37)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:115)(cid:74)
(cid:50)1(cid:61)(cid:128)(cid:206)(cid:207)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:99)(cid:86) = (cid:64) = =60°(cid:64)(cid:76)(cid:99)(cid:35)(cid:36) (cid:84)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:64)(cid:153)(cid:130)(cid:99)(cid:86)
= (cid:64)(cid:90)(cid:147)(cid:99)(cid:35)𝐵𝐷(cid:36)(cid:131)𝐵(cid:194)𝐴(cid:198)∠𝐴𝐵𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐷
(cid:50)∠𝐵2𝐴(cid:61)𝐷(cid:128)(cid:65)∠(cid:66)𝐴𝐵(cid:28)𝐶(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:86)(cid:154) = (cid:64) =60°(cid:64)(cid:85)(cid:35)(cid:36) (cid:124)(cid:26)(cid:111)(cid:79) (cid:64)(cid:76) =90°(cid:64) =
1 =30°(cid:64)(cid:153)(cid:130)(cid:99)(cid:35)(cid:36) = 𝐴𝐷 𝐵 (cid:74) 𝐷 ∠𝐵𝐷𝐴 𝐷𝐹 𝐴𝐵 ∠𝐴𝐸𝐷 ∠𝐴𝐷𝐸
2
∠𝐴𝐷𝐵 𝐴𝐷 2𝐴𝐸(cid:15)(cid:100)(cid:37)(cid:19)(cid:50)1(cid:61)(cid:35)(cid:36)(cid:198)(cid:128)(cid:206)(cid:207)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:99)(cid:86) = (cid:64) = =60°(cid:64)
(cid:84)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:64) 𝐵𝐷 𝐵𝐴 ∠𝐴𝐵𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶
∴△𝐴𝐵𝐷=60°(cid:64)
∴∠𝐵𝐴𝐷= =60°(cid:64)
∴∠𝐵𝐴𝐷 (cid:198)∠𝐴𝐵𝐶
(cid:50)∴𝐴2𝐷(cid:61)∥(cid:35)𝐵𝐶(cid:36)(cid:10) (cid:84)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:64)
= (cid:64)∵△𝐴𝐵=𝐷60°(cid:64)
∴(cid:155)𝐴𝐷 =𝐵𝐷 (cid:64)∠𝐵𝐷𝐴
∵𝐵=𝐹 𝐴(cid:64)𝐹
∴𝐵𝐹(cid:124)(cid:26)𝐴𝐹(cid:111)(cid:79) (cid:64)
∴𝐷𝐹 =90° 𝐴 (cid:64) 𝐵 = 1 =30°(cid:64)
2
∴∠𝐴𝐸𝐷 ∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐴𝐷𝐵
= (cid:74)
∴(cid:15)𝐴(cid:118)𝐷(cid:119)23-𝐴1𝐸(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:120)(cid:121)(cid:55)(cid:241)·(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:91) (cid:60)(cid:64) = =30°(cid:64) (cid:84) (cid:25)(cid:60)(cid:40)(cid:64)
+
A
A
科
(cid:72) (cid:73)(cid:40) (cid:74)(cid:32)(cid:35)(cid:10) = (cid:74) △𝐴𝐵𝐶★ 全𝐶𝐴 𝐶𝐵,∠𝐴 𝐷 𝐴𝐶 𝐷𝐸⊥𝐴𝐶
号
众
公
注
𝐴𝐵 𝐸 𝐵𝐸 2𝐴𝐸 关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:19)(cid:240)(cid:100)(cid:37)
(cid:15)(cid:79)(cid:80)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:133)(cid:27)(cid:101)(cid:110)(cid:134)(cid:64)(cid:71)(cid:125)(cid:124)(cid:26)(cid:111)(cid:79)(cid:71)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:93)(cid:65)(cid:27)(cid:64)30(cid:34)(cid:27)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:64)(cid:242)
(cid:221)(cid:138)(cid:139)(cid:225)(cid:3)(cid:30)(cid:31)(cid:133)(cid:243)(cid:84)(cid:37)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:115)(cid:74)(cid:83)(cid:89)(cid:90)(cid:65)(cid:66)(cid:93)(cid:65)(cid:27)(cid:64)(cid:86) = =30°(cid:64)(cid:89)(cid:90)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:133)(cid:27)(cid:101)(cid:30)(cid:31)(cid:86)
=120°(cid:64)(cid:85)(cid:131)(cid:132) (cid:72) (cid:73)(cid:40) (cid:74) (cid:84) (cid:25)(cid:60)(cid:40)(cid:64)∠(cid:86)𝐵 ∠(cid:84)𝐴 (cid:25)(cid:124)(cid:26)(cid:111)(cid:79)(cid:71)(cid:64)(cid:76)
∠𝐴𝐶𝐵= =30°(cid:64) 𝐷𝐸⊥=𝐴9𝐶0°(cid:64)𝐴𝐵(cid:146)(cid:23)30𝐸(cid:34)(cid:27)𝐷(cid:92)𝐴(cid:93)𝐶(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:66)(cid:84)(cid:94)𝐸𝐷(cid:66)(cid:25)𝐴𝐶(cid:69)(cid:95)(cid:64)(cid:98)(cid:99)(cid:82)(cid:77)(cid:74)
(cid:15)∠𝐸(cid:100)𝐶𝐴(cid:37)(cid:19)∠(cid:37)𝐴(cid:10) =∠𝐵𝐶𝐸 =30°(cid:64)
= =3∵0𝐶°𝐴(cid:64) 𝐶𝐵,∠=𝐴 =120°(cid:64)
∴∠𝐵 ∠𝐴(cid:72) (cid:73)(cid:40)∠𝐴(cid:74)𝐶𝐵(cid:84) 18(cid:25)0°(cid:60)−3(cid:40)0°(cid:64)−30°
∵𝐷𝐸(cid:84)⊥𝐴𝐶(cid:25)(cid:124)𝐴𝐵(cid:26)(cid:111)(cid:79)𝐸(cid:71)(cid:64)𝐷 𝐴𝐶
∴𝐸𝐷=𝐴𝐶(cid:64)
∴𝐴𝐸 𝐶=𝐸 =30°(cid:64)
∴∠𝐸𝐶𝐴 ∠𝐴= =90°(cid:64)
(cid:91)∴∠R𝐵t𝐶𝐸 12(cid:60)0°(cid:64)−30°=30°(cid:64)
(cid:76) △=𝐵𝐶𝐸(cid:64) ∠𝐵
𝐵𝐸= 2𝐸(cid:64)𝐶
∵𝐴𝐸 =𝐶𝐸 (cid:74)
(cid:15)∴𝐵(cid:118)𝐸(cid:119)23𝐴-2𝐸(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:120)(cid:121)(cid:244)(cid:58)·(cid:245)(cid:125)(cid:137)(cid:246)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:91)(cid:65)(cid:66) (cid:60)(cid:64)(cid:40) (cid:126) (cid:91)(cid:66) (cid:126) (cid:68)(cid:64)(cid:180)
= (cid:64)(cid:165)(cid:166) (cid:126) (cid:72)(cid:73)(cid:40) (cid:74) △𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐸 𝐵𝐶 𝐴𝐶
𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝐴𝐷 𝐵𝐸 𝐹
(1)(cid:32)(cid:35)(cid:10) (cid:198)
(2)(cid:81)(cid:40)A(cid:82)△𝐴𝐵𝐷≌△(cid:64)𝐵(cid:32)𝐶𝐸(cid:71)(cid:125) (cid:114) (cid:25)(cid:183)(cid:247)(cid:3)(cid:172)(cid:74)
+
A
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:19)(1)(cid:35)𝐴𝐺(cid:36)⊥(cid:240)𝐵(cid:37)𝐸(cid:80) 𝐴𝐹 𝐺𝐹 科 A
全
★
号
众
(2) = 公
注
关
，
源
(cid:15)(cid:79)𝐴𝐹(cid:80)(cid:19)2(cid:105)𝐺𝐹(cid:20)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:65)(cid:66)辅(cid:28)(cid:27)资(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:126)(cid:113)(cid:65)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:114)(cid:109)(cid:110)(cid:126)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:225)(cid:3)(cid:141)
教
(cid:142)(cid:40)(cid:84)(cid:37)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:115)(cid:74)
(cid:50)1(cid:61)(cid:22)(cid:23)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:101)(cid:113)(cid:65)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:109)(cid:110)(cid:98)(cid:99)(cid:35)(cid:36)(cid:198)
(cid:50)2(cid:61)(cid:22)(cid:23)(cid:113)(cid:65)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:86)(cid:154) = (cid:64)(cid:248)(cid:135) =60°(cid:64)(cid:131)(cid:132) (cid:98)(cid:99)(cid:86)(cid:135)(cid:131)(cid:194)(cid:74)
(cid:15)(cid:100)(cid:37)(cid:19)(cid:50)1(cid:61)(cid:35)(cid:36)(cid:10) (cid:84)(cid:65)∠𝐵(cid:66)𝐴(cid:28)𝐷(cid:27)(cid:29)∠𝐶(cid:64)𝐵 𝐸 ∠𝐴𝐹𝐺 𝐴𝐺⊥𝐵𝐸
= = (cid:64) ∵△=𝐴𝐵𝐶 =60°(cid:64)
(cid:91)∴𝐴𝐵 𝐵𝐶(cid:101) 𝐶𝐴 ∠(cid:60)𝐴𝐵(cid:64)𝐷 ∠𝐵𝐶𝐸
△𝐴𝐵=𝐷 △𝐵𝐶𝐸
= (cid:64)
𝐴𝐵 =𝐵𝐶
∠𝐴𝐵𝐷 ∠𝐵𝐶𝐸
𝐵𝐷 𝐶𝐸 (SAS)(cid:74)
(cid:50)∴△2(cid:61)𝐴𝐵(cid:37)𝐷(cid:10)≌△𝐵𝐶𝐸 (cid:64)
=∵△𝐴𝐵(cid:64)𝐷 ≌△𝐵𝐶𝐸
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐵𝐸+ = + = =60°(cid:64)
∴∠𝐴𝐹𝐺 (cid:64)∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐴𝐵𝐹 ∠𝐶𝐵𝐸 ∠𝐴𝐵𝐹 ∠𝐴𝐵𝐷
∵𝐴𝐺⊥𝐵𝐸=90°(cid:64)
∴∠𝐴𝐺𝐵=30°(cid:64)
∴∠𝐹𝐴=𝐺 (cid:74)
(cid:15)∴𝐴(cid:118)𝐹(cid:119)23𝐺-3𝐹(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:68)·(cid:55)(cid:56)(cid:249)(cid:250)·(cid:245)(cid:125)(cid:137)(cid:246)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:91) (cid:60)(cid:64)D(cid:84) (cid:66)(cid:25)(cid:60)(cid:40)(cid:64)(cid:40)E(cid:91) (cid:25)(cid:70)
(cid:33)(cid:71)(cid:68)(cid:64) (cid:25)(cid:70)(cid:33)(cid:71)(cid:72) (cid:73)(cid:40)F(cid:64)(cid:180) (cid:64)(cid:75) (cid:114) (cid:235)△(cid:251)𝐴𝐵(cid:64)𝐶 =30°𝐴(cid:74)𝐶 𝐵𝐶
𝐸𝐷 𝐴𝐵 𝐸𝐹⊥𝐴𝐵 ∠𝐴 ∠𝐴𝐶𝐸 ∠𝐸
(1)(cid:32)(cid:35)(cid:10) (cid:84)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:74)
(2)(cid:252)(cid:109)(cid:253)(cid:71)△(cid:125)𝐴𝐵𝐶(cid:114) (cid:25)(cid:254)(cid:163)(cid:3)(cid:172)(cid:64)(cid:143)(cid:255)(cid:36)(cid:134)(cid:128)(cid:74)
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:19)(1)(cid:240)𝐴(cid:37)𝐷(cid:80) 𝐶𝐸
(2) = (cid:64)(cid:240)(cid:37)(cid:80)
+
A
(cid:15)(cid:79)𝐴𝐷(cid:80)(cid:19)𝐶(cid:105)𝐸(cid:20)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:109)(cid:110)(cid:114)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:227)(cid:27)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:141)科(cid:142)(cid:64)A(cid:136)(cid:256)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:109)(cid:110)(cid:114)(cid:30)(cid:31)
全
★
号
众
(cid:84)(cid:37)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:115)(cid:74) 公
注
关
，
源
(cid:50)1(cid:61)(cid:89)(cid:90)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)辅(cid:31)(cid:32)资(cid:135) =60°(cid:64)(cid:85)(cid:32)(cid:135) = (cid:64)(cid:89)(cid:90)“(cid:257)(cid:69)(cid:226)(cid:27)(cid:84)60°(cid:25)(cid:65)(cid:156)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:84)(cid:65)(cid:66)(cid:28)
教
(cid:27)(cid:29)”(cid:98)(cid:99)(cid:86)(cid:37)(cid:198) ∠𝐵 𝐴𝐵 𝐶𝐵
(cid:50)2(cid:61)(cid:89)(cid:90)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:152)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:227)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:135) =30° = (cid:64)(cid:89)(cid:90)(cid:65)(cid:156)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:109)(cid:110)(cid:110)(cid:134)(cid:98)(cid:99)
(cid:86)(cid:37)(cid:74) ∠𝐶𝐷𝐸 ∠𝐸
(cid:15)(cid:100)(cid:37)(cid:19)(cid:50)1(cid:61)(cid:35)(cid:36)(cid:10) (cid:64)
=90°(cid:64) ∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐵
∴∠𝐵𝐹+𝐸 =90°(cid:74)
∴∠𝐵=∠30𝐸°(cid:64)
∵∠𝐸 =60°(cid:74)
∴∠𝐵 + =180°(cid:64) + =180°(cid:64)
∵∠𝐴𝐶=𝐵 ∠𝐴𝐶(cid:64)𝐸 ∠𝐴 ∠𝐴𝐶𝐸
∴∠𝐴=∠𝐴(cid:64)𝐶𝐵
∴𝐴𝐵 𝐶(cid:84)𝐵(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:74)
(cid:50)∴△2(cid:61)𝐴𝐵(cid:37)𝐶(cid:10) = (cid:74)
𝐴𝐷 𝐶𝐸(cid:134)(cid:128)(cid:10)(cid:128)(cid:50)1(cid:61)(cid:86) (cid:84)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:64)
=60°(cid:74) △𝐴𝐵𝐶
∴∠𝐴 =90°
∵∠𝐴𝐹𝐷 =30°(cid:74)
∴∠𝐴𝐷𝐹= (cid:64)
∵∠𝐶𝐷𝐸=∠30𝐴°𝐷(cid:64)𝐹
∴∠𝐶𝐷=𝐸 (cid:64)
∴∠𝐸= ∠𝐶(cid:74)𝐷𝐸
∴D𝐶𝐸(cid:84) 𝐶𝐷(cid:66)(cid:25)(cid:60)(cid:40)(cid:64)
∵ =𝐴𝐶 (cid:74)
∴𝐴𝐷=𝐶𝐷(cid:74)
【 ∴ 题 𝐴𝐷 型4𝐶 𝐸 利用含30°的直角三角形的性质解决动点问题】
(cid:15)(cid:49)4(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:68)·(cid:258)(cid:148)(cid:254)(cid:171)·(cid:59)(cid:179)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:91) (cid:60)(cid:64) =6cm(cid:64) =5cm(cid:64) =60°(cid:64)(cid:39)(cid:40)
+
A
A
科
(cid:126) (cid:79)(cid:190)(cid:129)(cid:40) (cid:126) (cid:171)(cid:164)(cid:135)(cid:259)(cid:64)(cid:260)(cid:60)(cid:40) (cid:140)2cm/s(cid:25)(cid:261)△(cid:34)𝐴(cid:262)𝐵𝐶 (cid:263)
★
(cid:40)𝐴𝐵全(cid:264)(cid:261)(cid:146)(cid:39)(cid:64)𝐵𝐶(cid:40) (cid:140)1 ∠/s𝐵(cid:25)(cid:261)(cid:34)(cid:262) (cid:263)
号
众
公
注
(cid:40)𝑀 (cid:264)𝑁(cid:261)(cid:146)(cid:39)(cid:64)𝐵(cid:168) 𝐶(cid:126) (cid:260)(cid:60)(cid:69)(cid:40)(cid:154)(cid:265)(cid:266)𝑀(cid:40)(cid:164)关(cid:64)(cid:267)(cid:69)(cid:40)(cid:268)(cid:269)(cid:270)𝐵𝐴(cid:271)(cid:272)(cid:146)𝐴(cid:39)(cid:64)(cid:87)(cid:146)(cid:39)(cid:164)(cid:273)𝑁(cid:67) s c(cid:64)m(cid:168) (cid:67)𝐶(cid:26)𝐵 (cid:27)
，
源
资
辅
(cid:28)(cid:27)𝐵 (cid:29)(cid:164)(cid:64) (cid:25)(cid:43)(cid:67)𝑀(cid:50)教 𝑁 (cid:61) 𝑡 △𝐵𝑀𝑁
𝑡
5 5
A(cid:74)1 B(cid:74)1(cid:184) C(cid:74)1(cid:184)2 D(cid:74)2(cid:184)
2 2
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:19)B
(cid:15)(cid:79)(cid:80)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:24)30(cid:34)(cid:27)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:31)(cid:110)(cid:134)(cid:84)(cid:37)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:115)(cid:74)
(cid:79)(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:193)(cid:194) (cid:67)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:187)(cid:188)(cid:64)(cid:85)(cid:131)(cid:132)(cid:274)(cid:275)(cid:7)(cid:119)(cid:32)(cid:37)(cid:98)(cid:99)(cid:74)
(cid:15)(cid:100)(cid:37)(cid:19)(cid:37)(cid:10) (cid:40)△𝐵(cid:140)𝑀𝑁2cm/s(cid:25)(cid:261)(cid:34)(cid:262) (cid:263)(cid:40) (cid:264)(cid:261)(cid:146)(cid:39)(cid:64)(cid:40) (cid:140)1 /s(cid:25)(cid:261)(cid:34)(cid:262) (cid:263)(cid:40) (cid:264)(cid:261)(cid:146)(cid:39)(cid:64)
=6cm(cid:64) ∵=5𝑀cm(cid:64) 𝐵𝐴 𝐴 𝑁 cm 𝐶𝐵 𝐵
𝐴𝐵 = cm𝐵(cid:64)𝐶 = =( )cm(cid:64)
(cid:168)∴𝐵𝑀 2=𝑡 90°(cid:164)𝐵(cid:64)𝑁 𝐵𝐶−𝐶𝑁 5−𝑡
∠𝐵𝑀𝑁=60°(cid:64)
∵∠𝐵 =30°(cid:64)
∴∠𝐵𝑁=𝑀 (cid:64)
∴𝐵𝑁 =22𝐵×𝑀 (cid:64)
∴5−=𝑡1(cid:198) 2𝑡
(cid:168)∴𝑡 =90°(cid:164)(cid:64)
∠𝐵𝑁=𝑀60°(cid:64)
∵∠𝐵 =30°(cid:64)
∴∠𝐵𝑀=𝑁 (cid:64)
∴𝐵𝑀=22×𝐵(𝑁 )(cid:64)
∴2𝑡 5 5−𝑡
= (cid:198)
2
∴𝑡(cid:168) (cid:126) (cid:260)(cid:60)(cid:69)(cid:40)(cid:154)(cid:265)(cid:266)(cid:40)(cid:164)(cid:64)(cid:267)(cid:69)(cid:40)(cid:268)(cid:269)(cid:270)(cid:271)(cid:272)(cid:146)(cid:39)(cid:64)
(cid:40)∵ M𝑀(cid:129)B𝑁(cid:154)A(cid:92)(cid:276)(cid:164)(cid:273)(cid:67)6÷2=3s(cid:64)(cid:40)N(cid:129)C(cid:154)B(cid:92)(cid:276)(cid:164)(cid:273)(cid:67)5÷1=5s(cid:64)
+
A
A
科
0 3(cid:198) ★ 全
号
众
公
注
∴ ≤𝑡≤ 5 关
=1(cid:101) = (cid:277)(cid:181)(cid:182)0 3(cid:64) ，
2 资 源
辅
教
∵𝑡 𝑡 ≤𝑡≤
5
(cid:25)(cid:43)(cid:67)1(cid:184) (cid:64)
2
(cid:102)∴(cid:103)𝑡 B(cid:74)
(cid:15)(cid:118)(cid:119)4-1(cid:19)(cid:50)22-23(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:68)·(cid:278)(cid:157)(cid:279)(cid:280)·(cid:59)(cid:179)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:84)(cid:66)(cid:33)(cid:67)6(cid:25)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:64)P(cid:84) (cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:39)
(cid:40)(cid:64)(cid:128)A(cid:263)C(cid:146)(cid:39)(cid:50)(cid:114)A(cid:126)C(cid:229)(cid:281)(cid:132)(cid:61)(cid:64)Q(cid:84) (cid:70)(cid:33)(cid:71)△(cid:68)𝐴(cid:69)𝐵(cid:39)𝐶 (cid:40)(cid:64)(cid:114)(cid:40)P(cid:171)(cid:164)(cid:140)(cid:225)(cid:171)(cid:25)(cid:261)(cid:34)(cid:128)𝐴𝐶B(cid:263) (cid:70)(cid:33)
(cid:71)(cid:282)(cid:263)(cid:146)(cid:39)(cid:50)Q(cid:229)(cid:114)B(cid:281)(cid:132)(cid:61)(cid:64)(cid:165)(cid:166) (cid:72) (cid:73)𝐶𝐵D(cid:74)(cid:168) =30°(cid:164)(cid:64) (cid:25)(cid:33)(cid:67) (cid:74) 𝐶𝐵
𝑃𝑄 𝐴𝐵 ∠𝐵𝑄𝐷 𝐴𝑃
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:19)2
(cid:15)(cid:79)(cid:80)(cid:19)(cid:83)(cid:35)(cid:36) = (cid:64)(cid:128)(cid:147)(cid:283)(cid:284)(cid:282)(cid:275)(cid:32)(cid:37)(cid:64)(cid:99)(cid:86)(cid:77)(cid:78)(cid:74)
(cid:15)(cid:100)(cid:37)(cid:19)(cid:37)(cid:10) 𝐶𝑄 2(cid:84)𝐶𝑃(cid:66)(cid:33)(cid:67)6(cid:25)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:64)
=60°(cid:64)∵△𝐴𝐵𝐶
∴∠𝐴𝐶𝐵=30°(cid:64)
∵∠𝐵𝑄𝐷=90°(cid:64)
(cid:87)∴∠𝑄𝑃𝐶= (cid:64)(cid:76) = (cid:64) = (cid:64)
𝐴𝑃= 𝑥 + 𝑃𝐶=66+−𝑥(cid:64)𝑄𝐵 𝑥
∴(cid:91)𝑄𝐶Rt 𝑄𝐵 𝐵(cid:60)𝐶(cid:64) 𝑥=30°(cid:64)
∵
=
△1 𝑄𝐶
(cid:64)
𝑃
(cid:98)
∠𝐵
=
𝑄𝐷1
(cid:50)6+ (cid:61)(cid:64)
2 2
∴𝑃𝐶 𝑄𝐶 6−𝑥 𝑥
(cid:37)(cid:86) =2(cid:64)
𝑥=2(cid:74)
∴(cid:102)𝐴(cid:77)𝑃(cid:78)(cid:67)(cid:10)2(cid:74)
(cid:15)(cid:40)(cid:104)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:106)(cid:107)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:24)30(cid:34)(cid:27)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:141)(cid:142)(cid:64)(cid:37)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:115)(cid:84)(cid:134)(cid:37)(cid:20)(cid:209)(cid:64)(cid:11)
(cid:285)(cid:106)(cid:189)(cid:283)(cid:284)(cid:282)(cid:275)(cid:37)(cid:38)(cid:41)(cid:20)(cid:74)
(cid:15)(cid:118)(cid:119)4-2(cid:19)(cid:50)2023(cid:286)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:113)(cid:287)·(cid:288)(cid:20)(cid:137)(cid:246)(cid:61)(cid:62)(cid:63) =60°(cid:64)(cid:75) (cid:25)(cid:232)(cid:40) (cid:91)(cid:289)(cid:71) (cid:68)(cid:64)(cid:180)
=2(cid:64)(cid:39)(cid:40) (cid:129)(cid:40) (cid:135)(cid:259)(cid:64)(cid:140)(cid:290)(cid:291)1(cid:226)(cid:292)(cid:174)(cid:262)(cid:289)(cid:71)∠𝑀(cid:146)𝐴𝑁(cid:39)(cid:64)(cid:168)(cid:146)(cid:39)(cid:164)△(cid:273)𝐴𝐵(cid:25)𝐶(cid:162)(cid:43)(cid:293)(cid:294)𝐵(cid:84) 𝐴 𝑀(cid:291)(cid:164)(cid:64)
+
A
A
科
𝐴(cid:84)𝐵(cid:234)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:74)𝐶 𝐴 𝐴𝑁 ★ 全 𝑡 △𝐴𝐵𝐶
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:19)1< <4
(cid:15)(cid:79)(cid:80)(cid:19)(cid:81) (cid:82)𝑡 (cid:73) (cid:64) (cid:64) (cid:72) (cid:73) (cid:64)(cid:89)(cid:90)(cid:24)30(cid:34)(cid:27)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:86) (cid:25)(cid:33)
(cid:98)(cid:99)(cid:32)(cid:37)(cid:74)𝐵 𝐵𝐸⊥𝐴𝑁 𝐸 𝐵𝐹⊥𝐴𝑀 𝐵𝐹 𝐴𝑁 𝐹 𝐴𝐸,𝐴𝐹
(cid:15)(cid:100)(cid:37)(cid:19)(cid:37)(cid:10)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:81) (cid:82) (cid:73) (cid:64) (cid:64) (cid:72) (cid:73) (cid:64)
𝐵 𝐵𝐸⊥𝐴𝑁 𝐸 𝐵𝐹⊥𝐴𝑀 𝐵𝐹 𝐴𝑁 𝐹(cid:76) =90°(cid:64) =90°(cid:64)
∠𝐴𝐸𝐵 =60°(cid:64)∠𝐴𝐵𝐹
∵∠𝑀𝐴𝑁=30°(cid:64) =30°(cid:64)
∴∠𝐴𝐵=𝐸2(cid:64) ∠𝐴𝐹𝐵
∵𝐴𝐵 = 1 =1(cid:64) = =4(cid:64)
2
∴𝐴𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐹 2𝐴𝐵
(cid:168)(cid:146)(cid:39)(cid:164)(cid:273) (cid:25)(cid:162)(cid:43)(cid:293)(cid:294)(cid:84)1< <4(cid:291)(cid:164)(cid:64) (cid:84)(cid:234)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:74)
(cid:102)∴(cid:77)(cid:78)(cid:67)(cid:10)1<𝑡 <4(cid:74) 𝑡 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:40)(cid:104)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:106)𝑡(cid:107)(cid:108)(cid:24)30(cid:34)(cid:27)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:79)(cid:192)(cid:64)(cid:134)(cid:37)(cid:20)(cid:209)
A
(cid:84)(cid:37)+(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:115)(cid:74)
A
科
全
★
(cid:15)(cid:118)(cid:119)4-3(cid:19) (cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:214)(cid:148)(cid:286)(cid:214)·(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)
众
号(cid:84)(cid:66)(cid:33)(cid:67)6cm(cid:25)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:64)(cid:40) (cid:64) (cid:79)(cid:190)(cid:129)
公
注
关
(cid:232)(cid:40) (cid:64) (cid:171)(cid:164)(cid:135)(cid:259)(cid:64)(cid:40) (cid:262)(cid:289)(cid:71) 源(cid:146)(cid:39)，(cid:64)(cid:40) (cid:262)(cid:45)(cid:71) △𝐴(cid:146)𝐵𝐶(cid:39)(cid:64)(cid:180)(cid:228)(cid:295)(cid:25)(cid:261)(cid:34)(cid:296)(cid:67)1cm/s(cid:74)(cid:168)𝑃(cid:40)𝑄(cid:154)(cid:265)(cid:40)
资
辅
教
(cid:164)(cid:64)𝐴(cid:40)𝐵(cid:269)(cid:270)(cid:271)(cid:272)(cid:146)(cid:39)(cid:74)𝑃(cid:165)(cid:166) 𝐴(cid:64)𝐵(cid:87)(cid:40) (cid:25)(cid:146)𝑄(cid:39)(cid:164)(cid:273)𝐵(cid:67)𝐶−(s𝐶)𝐴(cid:74)(cid:168) (cid:114) (cid:25)(cid:69)(cid:297)(cid:66)(cid:124)(cid:26)(cid:164)(cid:64) = 𝑄 s(cid:74)
𝐴 𝑃 𝑃𝑄 𝑃 𝑡 𝑃𝑄 △𝐴𝐵𝐶 𝑡
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:19)2(cid:184)4(cid:184)8
(cid:15)(cid:79)(cid:80)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)30(cid:34)(cid:27)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:141)(cid:142)(cid:64)(cid:79)(cid:28)(cid:186)(cid:187)(cid:29)(cid:10)(cid:62)(cid:63)1(cid:60)(cid:64)(cid:168)
(cid:164)(cid:64)(cid:62)(cid:63)2(cid:60)(cid:64)(cid:168) (cid:164)(cid:64)(cid:171)(cid:298)(cid:99)(cid:86) = (cid:64)(cid:62)(cid:63)3(cid:60)(cid:64)(cid:168) (cid:164)(cid:64)(cid:171)(cid:298)(cid:99)(cid:86) = (cid:64)(cid:79)(cid:190)𝑃𝑄⊥𝐵𝐶
(cid:32)(cid:37)(cid:98)(cid:99)(cid:198) 𝑄𝑃⊥𝐴𝐵 𝑄𝐵 2𝐵𝑄 𝑃𝑄⊥𝐴𝐶 𝐴𝑃 2𝐴𝑄
(cid:15)(cid:100)(cid:37)(cid:19)(cid:37)(cid:10)(cid:128)(cid:20)(cid:209) = cm(cid:64) =( )cm(cid:64)
(cid:62)(cid:63)1(cid:60)(cid:64)(cid:168) 𝐵𝑄 (cid:164)𝑡(cid:64) 𝑃𝐵 6−𝑡
① 𝑃𝑄⊥𝐵𝐶=90°(cid:64) =60°(cid:64)
∵∠𝑃𝑄𝐵=30°(cid:64)∠𝐵
∴∠𝐵𝑃=𝑄 (cid:64)
∴𝑃𝐵 =2𝐵𝑄(cid:64)
∴6−=𝑡2(cid:74)2𝑡
∴(cid:62)𝑡(cid:63)2(cid:60)(cid:64)(cid:168) (cid:164)(cid:64)(cid:171)(cid:298)(cid:99)(cid:86) = (cid:64)
𝑄𝑃⊥𝐴𝐵 𝑄𝐵 2𝑃𝐵
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
=2( )(cid:64)
∴𝑡=4(cid:74)6−𝑡
∴𝑡(cid:62)(cid:63)3(cid:60)(cid:64)(cid:168) (cid:164)(cid:64)(cid:171)(cid:298)(cid:99)(cid:86) = (cid:64)
③ 𝑃𝑄⊥𝐴𝐶 𝐴𝑃 2𝐴𝑄
=2( )(cid:64)
∴𝑡=8(cid:64)12−𝑡
∴(cid:199)𝑡(cid:68)(cid:92)(cid:238)(cid:64)(cid:181)(cid:182)(cid:297)(cid:299)(cid:25)t(cid:25)(cid:43)(cid:67)2(cid:184)4(cid:184)8(cid:74)
(cid:102)(cid:77)(cid:78)(cid:67)(cid:10)2(cid:184)4(cid:184)8(cid:74)【题型5 利用含30°的直角三角形的性质解决最值问题】
(cid:15)(cid:49)5(cid:19)(cid:50)24-25(cid:286)(cid:52)(cid:53)(cid:68)·(cid:176)(cid:177)(cid:132)(cid:178)·(cid:245)(cid:125)(cid:137)(cid:246)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:91)Rt (cid:60)(cid:64) =90°(cid:64) =30°(cid:64) =16(cid:64)
(cid:40)D(cid:84)BC(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:226)(cid:39)(cid:40)(cid:64)(cid:165)(cid:166) (cid:64)(cid:201) (cid:202)(cid:203)(cid:40)A(cid:204)(cid:164)△(cid:205)𝐴(cid:206)𝐵𝐶(cid:207)60°∠(cid:86)𝐴(cid:154)𝐶𝐵 (cid:64)(cid:165)∠𝐵(cid:166) (cid:64)(cid:76)(cid:91)𝐴𝐵(cid:40)D(cid:146)
(cid:39)(cid:81)(cid:275)(cid:60)(cid:64)(cid:71)(cid:125) (cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:42)(cid:163)(cid:43)𝐴(cid:67)𝐷(cid:50) (cid:61)△𝐴𝐵𝐷 △𝐴𝐸𝐹 𝐶𝐹
𝐶𝐹
A(cid:74)8 B(cid:74)4 C(cid:74)2 D(cid:74)1
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:19)B
(cid:15)(cid:79)(cid:80)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:101)(cid:124)(cid:71)(cid:125)(cid:42)(cid:300)(cid:64)(cid:206)(cid:207)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:74)(cid:70)(cid:33) (cid:64)(cid:81)(cid:40)C(cid:82) (cid:73)(cid:40)G(cid:64)
(cid:83)(cid:35)(cid:36)(cid:40)A(cid:126)C(cid:126)E(cid:91)(cid:171)(cid:69)(cid:26)(cid:71)(cid:68)(cid:64)(cid:89)(cid:90)(cid:206)(cid:207)(cid:86)(cid:135) = =30°(cid:64)(cid:89)(cid:90)𝐸(cid:124)𝐹(cid:71)(cid:125)(cid:42)(cid:300)(cid:64)(cid:86)𝐶𝐺(cid:135)⊥(cid:40)𝐸F𝐹(cid:91)(cid:40)G(cid:301)
(cid:164)(cid:64) (cid:42)(cid:163)(cid:64)(cid:89)(cid:90)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:135)(cid:131)(cid:302)(cid:98)(cid:99)∠𝐴(cid:74)𝐸𝐹 ∠𝐵
+
A
A
科
(cid:15)(cid:100)𝐸(cid:37)𝐹(cid:19)(cid:37)(cid:10)(cid:70)(cid:33) (cid:64)(cid:81)(cid:40)C(cid:82) (cid:73)(cid:40)G(cid:64)(cid:62)(cid:63)(cid:92)(cid:197)(cid:10)
★
全
号
众
公
注
𝐸𝐹 𝐶𝐺⊥𝐸𝐹 关
，
源
资
辅
教
=90°(cid:64) =30°(cid:64)
∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵=60°(cid:64)
∴(cid:89)∠(cid:90)𝐵𝐴(cid:206)𝐶(cid:207)(cid:99)90(cid:141)°−(cid:10)30° = =16(cid:64) = =60°(cid:64)
= (cid:64)𝐴𝐵 𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐷𝐴𝐹
∴(cid:40)∠𝐵A𝐴(cid:126)𝐶 C(cid:126)∠𝐵E𝐴(cid:91)𝐸(cid:171)(cid:69)(cid:26)(cid:71)(cid:68)(cid:64)
∴ (cid:64)
∵△𝐵𝐴𝐷=≌△𝐸=𝐴3𝐹0°(cid:64)
∴(cid:40)∠𝐴F𝐸𝐹(cid:91)(cid:26)∠(cid:71)𝐵 (cid:68)(cid:64)
∴(cid:124)(cid:71)(cid:125)(cid:42)(cid:300)(cid:64)𝐸𝐺
∵(cid:40)F(cid:91)(cid:40)G(cid:301)(cid:164)(cid:64) (cid:42)(cid:163)(cid:64)
∴ 𝐸𝐹(cid:91)Rt (cid:60)(cid:64) =90°(cid:64) =30°(cid:64)
∵ = △1𝐴𝐵𝐶 = 1 × ∠ 16 𝐴𝐶 = 𝐵 8(cid:64) ∠𝐵
2 2
∴𝐴𝐶 𝐴𝐵
= = =8(cid:64)
∴𝐶𝐸 𝐴=𝐸−90𝐴°𝐶(cid:64) 16−8=30°(cid:64)
∵∠𝐶𝐺
=
𝐹1
=4(cid:64)
∠𝐶𝐸𝐺
2
∴𝐶𝐺 𝐶𝐸
(cid:25)(cid:42)(cid:163)(cid:43)(cid:67)4(cid:74)
∴(cid:102)𝐶(cid:103)𝐹(cid:10)B(cid:74)
(cid:15)(cid:118)(cid:119)5-1(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:68)·(cid:303)(cid:284)(cid:304)(cid:280)·(cid:59)(cid:179)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)Rt (cid:60)(cid:64) =90°(cid:64) =30°(cid:64) =2(cid:64)D
(cid:67) (cid:68)(cid:69)(cid:39)(cid:40)(cid:64) (cid:124)(cid:26)(cid:111)(cid:79) (cid:79)(cid:190)(cid:72) (cid:73)E(cid:126)(cid:72) (cid:73)F△(cid:64)(cid:76)𝐴𝐵𝐶 (cid:25)(cid:42)∠(cid:254)𝐴𝐶(cid:43)𝐵(cid:67)(cid:50) (cid:61)∠𝐵 𝐴𝐶
𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐹
+
A
A
科
全
★
A(cid:74) 4 B(cid:74) 3 C(cid:74) 8 公 众 号 D(cid:74)2
3 2 注3
关
，
源
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:19)C 辅 资
教
(cid:15)(cid:79)(cid:80)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:305)(cid:306)(cid:64)(cid:71)(cid:125)(cid:124)(cid:26)(cid:111)(cid:79)(cid:71)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:165)(cid:166) (cid:64)(cid:81) (cid:82) (cid:72)(cid:73) (cid:64)(cid:128)(cid:26)(cid:27)
(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:305)(cid:306)(cid:86) = =4(cid:64)(cid:128)(cid:71)(cid:125)(cid:124)(cid:26)(cid:111)(cid:79)(cid:71)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:86) = (cid:64)𝐷𝐹 = 𝐹 𝐹𝐺 ⊥=𝐵𝐶 (cid:64)𝐺(cid:168) (cid:162)(cid:86)
(cid:42)(cid:163)(cid:43)(cid:164)(cid:64) (cid:162)𝐴(cid:86)𝐵(cid:42)(cid:254)2𝐴(cid:43)𝐶(cid:64)(cid:168) = (cid:164)(cid:64) (cid:162)(cid:86)(cid:42)(cid:163)(cid:43)(cid:64)𝐴(cid:98)𝐹(cid:99)(cid:32)𝐷(cid:37)𝐹 (cid:198)𝐵(cid:26)𝐹(cid:27)(cid:28)𝐴𝐵(cid:27)−(cid:29)𝐴𝐹(cid:25)(cid:305)(cid:306)4−(cid:64)𝐷(cid:71)𝐹(cid:125)(cid:124)𝐷(cid:26)𝐹(cid:111)(cid:79)
(cid:71)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)𝐵(cid:307)𝐹(cid:173)(cid:135)(cid:162)(cid:86)(cid:42)(cid:254)(cid:43)(cid:25)𝐷𝐹(cid:297)(cid:299)𝐹(cid:84)𝐺(cid:37)(cid:20)(cid:25)𝐷𝐹(cid:3)(cid:115)(cid:74)
(cid:15)(cid:100)(cid:37)(cid:19)(cid:37)(cid:10)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:165)(cid:166) (cid:64)(cid:81) (cid:82) (cid:72)(cid:73) (cid:64)
𝐷𝐹 𝐹 𝐹𝐺⊥𝐵𝐶 𝐺
=90°(cid:64) =30°(cid:64) =2(cid:64)
∵ ∠𝐴=𝐶𝐵 =4(cid:64)∠𝐵 𝐴𝐶
∴𝐴 𝐵 (cid:124)2(cid:26)𝐴(cid:111)𝐶 (cid:79) (cid:64)
∵ 𝐸𝐹 𝐴𝐷= (cid:64)
∴𝐴𝐹= 𝐷𝐹
∴=𝐵𝐹 𝐴(cid:64)𝐵−𝐴𝐹
(cid:168) 4−(cid:162)𝐷𝐹(cid:86)(cid:42)(cid:163)(cid:43)(cid:164)(cid:64) (cid:162)(cid:86)(cid:42)(cid:254)(cid:43)(cid:64)
𝐷𝐹 (cid:64) 𝐵𝐹
∵𝐷(cid:168)𝐹≥=𝐹𝐺 (cid:164)(cid:64) (cid:162)(cid:86)(cid:42)(cid:163)(cid:43)(cid:64)
(cid:147)∴(cid:164)𝐷𝐹(cid:114) 𝐹𝐺(cid:281)(cid:132)(cid:64)𝐷(cid:62)𝐹 (cid:63)(cid:64)
𝐷𝐹 𝐹𝐺
= 1 (cid:64)
2
+
∴𝐷 𝐹 = 𝐵𝐹 1 (cid:64) 全 科 A A
2 号 ★
众
公
∴ 𝐵𝐹 4− 𝐵𝐹 注
8 关
(cid:37)(cid:86)(cid:10) = (cid:64) ，
3 资 源
辅
教
(cid:102)(cid:103)(cid:10)𝐵
C
𝐹(cid:74)
(cid:15)(cid:118)(cid:119)5-2(cid:19)(cid:50)24-25(cid:286)(cid:52)(cid:53)(cid:68)·(cid:120)(cid:121)(cid:120)(cid:58)·(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:66)(cid:33)(cid:67)4(cid:25)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29) (cid:60)(cid:64)M(cid:84)(cid:219) (cid:92)(cid:91)(cid:26)(cid:71)
(cid:68)(cid:25)(cid:69)(cid:226)(cid:39)(cid:40)(cid:64)(cid:165)(cid:166) (cid:74)(cid:201)(cid:71)(cid:125) (cid:202)(cid:40)B(cid:204)(cid:164)(cid:205)(cid:206)(cid:207)60°(cid:86)(cid:154) (cid:64)(cid:165)(cid:166) (cid:64)𝐴(cid:76)𝐵𝐶(cid:91)(cid:40)M(cid:146)(cid:39)(cid:81)𝐶𝐻(cid:275)(cid:60)(cid:64)(cid:71)(cid:125)
(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:42)(cid:163)(cid:43)(cid:84)(cid:50)𝑀 𝐵 (cid:61) 𝐵𝑀 𝐵𝑁 𝐻𝑁
𝐻𝑁
1 1
A(cid:74) B(cid:74) C(cid:74)1 D(cid:74)2
6 2
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:19)C
(cid:15)(cid:79)(cid:80)(cid:19)(cid:162) (cid:25)(cid:60)(cid:40) (cid:64)(cid:165)(cid:166) (cid:64)(cid:89)(cid:90)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:99)(cid:86) = (cid:64)(cid:85)(cid:32)(cid:135) = (cid:64)(cid:89)(cid:90)(cid:206)
𝐶𝐵 𝐺 𝑀𝐺 𝐵𝐻 𝐵𝐺 ∠𝐻𝐵𝑁 ∠𝑀𝐵𝐺(cid:207)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:99)(cid:86) = (cid:64)(cid:233)(cid:88)(cid:22)(cid:23)“(cid:66)(cid:27)(cid:66)”(cid:35)(cid:36) (cid:64)(cid:85)(cid:89)(cid:90)(cid:113)(cid:65)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:93)(cid:48)(cid:66)(cid:225)(cid:65)(cid:99)(cid:86)
= (cid:64)(cid:233)𝑀(cid:88)𝐵(cid:89)(cid:90)𝑁(cid:124)𝐵(cid:71)(cid:125)(cid:42)(cid:300)(cid:99)(cid:86) (cid:164)(cid:42)△(cid:300)𝑀(cid:64)𝐵𝐺(cid:85)≌(cid:89)△(cid:90)𝑁𝐵𝐻 =30°(cid:32)(cid:37)(cid:98)(cid:99)(cid:74)
𝐻
(cid:15)
𝑁
(cid:100)(cid:37)
𝑀
(cid:19)
𝐺
(cid:37)(cid:10)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:162) (cid:25)(cid:60)(cid:40) (cid:64)(cid:165)
𝑀
(cid:166)
𝐺⊥𝐶
(cid:64)
𝐻
(cid:76) = =
1∠𝐵
=
𝐶𝐻
2(cid:64)
2
𝐵𝐶 𝐺 𝑀𝐺 𝐵𝐺 𝐶𝐺 𝐵𝐶
(cid:128)(cid:206)(cid:207)(cid:30)(cid:31)(cid:86) =60°(cid:64) = (cid:64)
+ ∠𝑀𝐵=𝑁60°(cid:64) 𝐵𝑀 𝐵𝑁
∴(cid:28)∠(cid:27)𝑀𝐵(cid:29)𝐻 ∠(cid:84)𝐻(cid:65)𝐵𝑁(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:64) (cid:84)(cid:65)(cid:66) (cid:25)(cid:219)(cid:71)(cid:64)
∵ 𝐴 + 𝐵𝐶 = = 𝐶 6 𝐻 0°(cid:64) △ = 𝐴1𝐵𝐶 =2(cid:64) = = 1 =30°(cid:64)
+
2 2 A A
科
全
∴∠𝑀𝐵𝐻
=
∠𝑀𝐵𝐶
(cid:64)
∠𝐴𝐵
=
𝐶
(cid:64)
𝐵𝐻 𝐴𝐵 ∠𝐴
众
𝐶𝐻 号∠𝐵★𝐶𝐻 ∠𝐴𝐶𝐵
公
注
关
(cid:91)∴∠𝐻𝐵𝑁 (cid:101)∠𝑀𝐵𝐶 (cid:60)𝐵𝐻(cid:64) 𝐵𝐺 源 ，
资
辅
教
△𝑀𝐵=𝐺 △𝑁𝐵𝐻
= (cid:64)
𝐵𝐺 =𝐵𝐻
∠𝑀𝐵𝐺 ∠𝑁𝐵𝐻
𝐵𝑀 𝐵𝑁 SAS)(cid:64)
∴△𝑀𝐵=𝐺≌△(cid:64)𝑁𝐵𝐻(
(cid:89)∴(cid:90)𝑀𝐺(cid:124)(cid:71)𝑁(cid:125)𝐻(cid:42)(cid:300)(cid:64)(cid:168) (cid:164)(cid:64) (cid:42)(cid:300)(cid:64)(cid:147)(cid:164) (cid:42)(cid:300)(cid:64)
=30°(cid:64) =𝑀𝐺2(cid:64)⊥𝐶𝐻 𝑀𝐺 𝐻𝑁
∵ (cid:91) ∠ R 𝐵 t 𝐶𝐻 (cid:60)(cid:64) 𝐶𝐺 = 1 = 1 ×2=1(cid:64)
2 2
∴ △𝐶𝐺𝑀 𝑀𝐺 𝐶𝐺
(cid:71)(cid:125) (cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:42)(cid:163)(cid:43)(cid:84)1(cid:64)
(cid:102)∴ (cid:103)(cid:10)𝐻C𝑁(cid:74)
(cid:15)(cid:40)(cid:104)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:206)(cid:207)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:113)(cid:65)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:109)(cid:110)(cid:114)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:124)(cid:71)(cid:125)(cid:42)(cid:300)(cid:64)(cid:24)30°(cid:25)(cid:26)
(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:65)(cid:64)(cid:82)(cid:116)(cid:117)(cid:71)(cid:283)(cid:308)(cid:135)(cid:113)(cid:65)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:84)(cid:37)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:115)(cid:64)(cid:268)(cid:84)(cid:105)(cid:20)(cid:25)(cid:231)(cid:40)(cid:74)
(cid:15)(cid:118)(cid:119)5-3(cid:19)(cid:50)22-23(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:68)·(cid:278)(cid:157)(cid:279)(cid:280)·(cid:292)(cid:309)(cid:310)(cid:218)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:84)(cid:65)(cid:66) (cid:25)(cid:60)(cid:71)(cid:64) =8(cid:64) (cid:84)(cid:26)(cid:71)
(cid:68)(cid:69)(cid:39)(cid:40)(cid:64)(cid:140) (cid:67)(cid:66)(cid:82)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29) (cid:64)(cid:165)(cid:166) (cid:64)(cid:54)(cid:311)(cid:255)(cid:298)𝑂(cid:242)𝐸 (cid:221)(cid:25)(cid:84)△(cid:50)𝐴 𝑂 (cid:61)𝐵 𝑂𝐵 𝐶 𝑂𝐸
𝐴𝐶 𝐴𝐶𝐷 𝐸𝐷A(cid:74) (cid:25)(cid:42)(cid:163)(cid:43)(cid:84)2 B(cid:74) (cid:257)(cid:42)(cid:254)(cid:43)
C(cid:74)𝐸𝐷(cid:25)(cid:42)(cid:163)(cid:43)(cid:84)4 D(cid:74)𝐸𝐷(cid:312)(cid:257)(cid:42)(cid:163)(cid:43)(cid:268)(cid:312)(cid:257)(cid:42)(cid:254)(cid:43)
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:19)𝐸𝐷A 𝐸𝐷
(cid:15)(cid:79)(cid:80)(cid:19)(cid:162) (cid:60)(cid:40)K(cid:64)(cid:165)(cid:166) (cid:64) (cid:64)(cid:35)(cid:36) (cid:64)(cid:86)(cid:135) = (cid:64)(cid:168) (cid:164)(cid:64) (cid:42)(cid:163)(cid:64)(cid:102)
= 𝑂𝐴 (cid:64)(cid:313)(cid:147)(cid:89)(cid:90)(cid:24)𝐶3𝐾0°(cid:27)𝐸𝐾(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)△(cid:27)𝐴(cid:29)𝐶(cid:25)𝐾≌(cid:30)△(cid:31)𝐴(cid:99)𝐷(cid:86)𝐸(cid:135)(cid:77)(cid:78)𝐶(cid:74)𝐾 𝐷𝐸 𝐶𝐾⊥𝐶𝐸 𝐶𝐾
(cid:15)𝐷𝐸(cid:100)mi(cid:37)n (cid:19)(cid:62)𝐶𝐾(cid:63)mi(cid:64)n (cid:162) (cid:60)(cid:40)K(cid:64)(cid:165)(cid:166) (cid:64) (cid:64)
𝑂𝐴 𝐶𝐾 𝐸𝐾
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:84)(cid:65)(cid:66) (cid:25)(cid:60)(cid:71)(cid:64)
∵𝑂𝐸 = (cid:64)△𝐴𝑂=𝐵 (cid:64)
∴(cid:140)𝑂𝐴 (cid:67)𝐴(cid:66)𝐵 (cid:82)𝐴(cid:65)𝐾(cid:66)(cid:28)𝐴𝐸(cid:27)(cid:29) (cid:64)
∵ 𝐴𝐶 = =60°(cid:64)𝐴𝐶𝐷
∴∠𝐶𝐴𝐷 ∠𝑂𝐴𝐵= (cid:64)(cid:98) = (cid:64)
∴∠𝐶𝐴𝐷−∠𝑂𝐴𝐷 (∠S𝑂A𝐴S)𝐵(cid:64)−∠𝑂𝐴𝐷 ∠𝑂𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐷
∴△𝐴𝐶=𝐾≌△(cid:64)𝐴𝐷𝐸
∴(cid:168)𝐶𝐾 (cid:42)𝐷(cid:163)𝐸(cid:164)(cid:64) (cid:42)(cid:163)(cid:64)(cid:168) (cid:164)(cid:64) (cid:42)(cid:163)(cid:64)
∴ 𝐷𝐸 𝐶𝐾 𝐶𝐾⊥𝐶𝐸 𝐶𝐾= (cid:64)
=30°(cid:64) = =4(cid:64) ∴𝐷𝐸min 𝐶𝐾min
∵∠𝐴𝐷
=
𝐸1
=2(cid:64)
𝑂𝐾 𝐴𝐾
2
∴𝐶𝐾 𝑂𝐾
= = =2(cid:64)
(cid:102)∴(cid:103)𝐷𝐸(cid:10)miAn(cid:74) 𝐶𝐾min 𝐾𝐻
(cid:15)(cid:40)(cid:104)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:84)(cid:314)(cid:315)(cid:42)(cid:43)(cid:41)(cid:20)(cid:64)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:113)(cid:65)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:109)(cid:110)(cid:101)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:24)30°(cid:27)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)
(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:242)(cid:221)(cid:82)(cid:135)(cid:116)(cid:117)(cid:71)(cid:84)(cid:37)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:115)(cid:74)
+
A
A
【题型6 利用含30°的直角三角形的性质解决翻折问题】
全
科
★
号
众
公
注
(cid:15)(cid:49)6(cid:19)(cid:50)23-24(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:68)·(cid:211)(cid:316)(cid:120)(cid:309)·(cid:59)(cid:179)(cid:61)关(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:91) (cid:60)(cid:64) =5(cid:64) =9(cid:64) =60°(cid:64)(cid:40) (cid:91)(cid:66) (cid:68)(cid:64)
，
源
资
辅
=4(cid:64)(cid:165)(cid:166) (cid:74)(cid:201)教 (cid:262)(cid:26)(cid:71) (cid:44)(cid:45)(cid:88)(cid:64)(cid:40) (cid:25)△(cid:93)𝐴(cid:48)𝐵𝐶(cid:40)(cid:67)(cid:40)𝐴𝐵(cid:64)(cid:82) 𝐵𝐶 (cid:64)(cid:124)∠𝐵(cid:182)(cid:67) (cid:64)(cid:76)𝐷 = 𝐵 𝐶 (cid:74)
𝐶𝐷 𝐴𝐷 △𝐴𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐶 𝐸 𝐸𝐹⊥𝐵𝐶 𝐹 𝐹𝐷
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:19)2
(cid:15)(cid:79)(cid:80)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:212)(cid:213)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:109)(cid:110)(cid:101)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:152)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:74)(cid:83)(cid:35)(cid:36) (cid:84)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:64)
(cid:76)(cid:99)(cid:86) =60°(cid:64)(cid:76) =120°(cid:64)(cid:89)(cid:90)(cid:44)(cid:45)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:99)(cid:86) =60°(cid:64)(cid:101) (cid:25)△(cid:33)𝐴𝐵(cid:74)𝐷(cid:91)Rt (cid:60)(cid:64)
(cid:89)(cid:90)“(cid:26)∠(cid:27)𝐴𝐷(cid:28)𝐵(cid:27)(cid:29)(cid:60)30°(cid:27)∠(cid:92)𝐴𝐷(cid:93)𝐶(cid:25)(cid:66)(cid:65)(cid:73)(cid:94)(cid:66)(cid:25)(cid:69)(cid:95)”(cid:98)(cid:99)(cid:32)(cid:135) ∠(cid:25)𝐹𝐷(cid:33)𝐸(cid:74) 𝐷𝐸 △𝐸𝐹𝐷
(cid:15)(cid:100)(cid:37)(cid:19)(cid:37)(cid:10) = =4(cid:64) 𝐹𝐷
= =∵5𝐵(cid:74)𝐶 9,𝐶𝐷
∴𝐵𝐷 9(cid:60)−(cid:64)4 = = =60°(cid:64)
∵△𝐴𝐵𝐷 𝐴𝐵 5,𝐵𝐷 5,∠𝐵(cid:84)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:64)
∴△𝐴𝐵𝐷=60°(cid:64)
∴∠𝐴𝐷𝐵= =120°(cid:74)
(cid:89)∴(cid:90)∠𝐴(cid:44)𝐷𝐶(cid:45)(cid:25)1(cid:30)8(cid:31)0°−(cid:99)∠(cid:86)𝐴𝐷(cid:64)𝐵 = = = =4(cid:64)
= ∠𝐴=𝐷𝐸60°(cid:74)∠𝐴𝐷𝐶 120°,𝐷𝐸 𝐷𝐶
(cid:155)∴∠𝐹𝐷𝐸 ∠𝐴(cid:64)𝐷𝐸−∠𝐴𝐷𝐵
∵𝐸𝐹⊥=𝐵9𝐶0°(cid:64)
∴∠𝐸𝐹𝐷=30°(cid:64)
∴∠𝐹𝐸
=
𝐷1
=2(cid:74)
2
∴𝐹𝐷 𝐸𝐷
(cid:102)(cid:77)(cid:78)(cid:67)(cid:10)2(cid:74)
(cid:15)(cid:118)(cid:119)6-1(cid:19)(cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:60)(cid:64) =90 (cid:64)(cid:168) (cid:262)(cid:45)(cid:317) (cid:44)(cid:45)(cid:164)(cid:64)(cid:40) (cid:318)(cid:319)(cid:208)(cid:91) (cid:25)(cid:60)(cid:40) (cid:68).(cid:75)
∘
=6(cid:64)(cid:76) (cid:25)(cid:33)(cid:84)𝑅𝑡(cid:50)𝛥𝐴 𝐵 (cid:61)𝐶 ∠𝐶 𝛥𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐸 𝐶 𝐴𝐵 𝐷
𝐵𝐸 𝐴𝐶
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
A(cid:74)6 B(cid:74)8 C(cid:74)9 D(cid:74)10
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:19)C
(cid:15)(cid:79)(cid:80)(cid:19)(cid:83)(cid:35)(cid:36)EA=EB(cid:64)(cid:85)(cid:35)(cid:36) EAB= EBA= EBC=30°(cid:64)(cid:89)(cid:90)30°(cid:27)(cid:92)(cid:93)(cid:48)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:66)(cid:65)(cid:73)(cid:94)(cid:66)(cid:25)(cid:69)(cid:95)(cid:86)
(cid:135)EC(cid:25)(cid:33)(cid:64)(cid:270)(cid:88)(cid:153)(cid:69)(cid:320)(cid:32)(cid:37)(cid:98)(cid:99)∠. ∠ ∠
(cid:15)(cid:100)(cid:37)(cid:19) BDE= C=90°(cid:64)
ED AB(cid:64)∵∠ ∠
∴AD⊥=DB,
∵EA=EB=6(cid:64)
∴ EAB= EBA= EBC(cid:64)
∴(cid:155)∠ BEC∠= EAB∠= EBA(cid:64)
∵B∠EC(cid:321) ∠EBC=3∠EBC=90°(cid:64)
∴∠EBC=3∠0°(cid:64) ∠
∴B∠E=6(cid:64)
∵1
EC= BE=3(cid:64)
2
∴
AC=EA(cid:321)EC=9.
∴(cid:92)(cid:140)(cid:77)(cid:78)(cid:67)C(cid:103)(cid:322).
(cid:15)(cid:40)(cid:104)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:212)(cid:213)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:45)(cid:323)(cid:41)(cid:20)(cid:161)(cid:324)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:225)(cid:3)(cid:325)(cid:326)(cid:84)(cid:37)(cid:20)(cid:3)(cid:115).
(cid:15)(cid:118)(cid:119)6-2(cid:19)(cid:50)22-23(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:68)·(cid:278)(cid:157)(cid:327)(cid:328)·(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:201)(cid:69)(cid:329)(cid:33)(cid:282)(cid:29)(cid:330)(cid:331) (cid:262) (cid:44)(cid:45)(cid:88)(cid:64)(cid:40)C(cid:114)E(cid:281)
(cid:132)(cid:64) (cid:72) (cid:73)(cid:40)H(cid:64)(cid:75) =30°(cid:64) =2(cid:64)(cid:76) (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:67) (cid:74) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐷
𝐵𝐸 𝐴𝐷 ∠𝐶𝐵𝐷 𝐸𝐻 𝐵𝐶
+
A
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:19)6 科 A
全
★
号
众
(cid:15)(cid:79)(cid:80)(cid:19)(cid:128)(cid:44)(cid:45)(cid:86)(cid:154) = =30°(cid:64) =公=90°(cid:64)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:282)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:86)(cid:154) = (cid:64)(cid:248)
注
关
，
源
(cid:135) = (cid:64)(cid:35)(cid:36) ∠𝐸𝐵𝐷辅 资∠𝐶𝐵𝐷(cid:64)(cid:86)(cid:154) ∠=𝐶 ∠=𝐸2(cid:64)(cid:32)(cid:135) = ∠=𝐴3𝐷0𝐵°(cid:64)(cid:128)∠(cid:147)𝐶𝐵(cid:32)𝐷(cid:135)
教
𝐵𝐻= 𝐷𝐻=4(cid:64)(cid:167)△(cid:130)𝐴(cid:86)𝐵(cid:154)𝐻≌(cid:77)△(cid:78)𝐸(cid:74)𝐷𝐻 𝐴𝐻 𝐸𝐻 ∠𝐴𝐵𝐻 90°−30°−30°
(cid:15)𝐵𝐻(cid:100)(cid:37)2(cid:19)𝐴𝐻(cid:37)(cid:10)(cid:128)(cid:44)(cid:45)(cid:86) = =30°(cid:64) = =90°(cid:64)
(cid:91)(cid:33)(cid:282)(cid:29) (cid:60)(cid:64) ∠𝐸𝐵(cid:64)𝐷 =∠𝐶𝐵𝐷(cid:64) = ∠𝐶 =∠𝐸 =90°(cid:64)
=𝐴𝐵𝐶𝐷 (cid:64) 𝐴𝐷∥𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐴 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶
∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐶𝐵𝐷(cid:64)
∴∠𝐴𝐷=𝐵 ∠(cid:64)𝐸𝐵𝐷
∴𝐵𝐻= 𝐷𝐻 = (cid:64)
∵∠𝐴 ∠𝐸,∠𝐴𝐻𝐵 (cid:64)∠𝐸𝐻𝐷
∴△𝐴=𝐵𝐻≌△=𝐸2(cid:64)𝐷𝐻
∴𝐴𝐻 𝐸=𝐻 =30°(cid:64)
∵∠𝐴𝐵=𝐻 90=°−43(cid:64)0°−30°
∴𝐵𝐻= 2𝐴𝐻= + =2+4=6(cid:64)
∴(cid:102)𝐵(cid:77)𝐶(cid:78)(cid:67)𝐴𝐷(cid:10)6(cid:74)𝐴𝐻 𝐷𝐻(cid:15)(cid:40)(cid:104)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:44)(cid:45)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:33)(cid:282)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:113)(cid:65)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:109)(cid:110)(cid:101)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)30(cid:34)(cid:27)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:332)(cid:30)(cid:31)(cid:84)(cid:37)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:115)(cid:74)
(cid:15)(cid:118)(cid:119)6-3(cid:19)(cid:50)2023·(cid:55)(cid:56)(cid:249)(cid:250)·(cid:28)(cid:333)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:91) (cid:60)(cid:64) =60°(cid:64) =9(cid:64)(cid:40)D(cid:67) (cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:39)(cid:40)(cid:64)
(cid:40)E(cid:91) (cid:66)(cid:68)(cid:64) (cid:64)(cid:201) (cid:262) (cid:44)(cid:45)(cid:64)△(cid:40)𝐴𝐵A𝐶(cid:25)(cid:93)(cid:48)∠(cid:40)𝐴𝐵(cid:67)𝐶 F(cid:64)(cid:165)(cid:166)𝐴𝐵(cid:74)(cid:168) (cid:67)𝐴(cid:26)𝐵(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:164)(cid:64)
(cid:25)(cid:33)(cid:67) 𝐴 𝐶 (cid:74)𝐷𝐸∥𝐵𝐶 △𝐴𝐷𝐸 𝐷𝐸 𝐵𝐹 △𝐵𝐷𝐹 𝐴𝐷
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:19)3(cid:184)6
(cid:15)(cid:79)(cid:80)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:45)(cid:323)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:24)30°(cid:27)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:111)(cid:112)(cid:71)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:74)(cid:79)(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:191)(cid:63)(cid:193)(cid:194)(cid:10)(cid:168)
=90°(cid:164)(cid:64)(cid:40) (cid:91) (cid:133)(cid:64)(cid:168) =90°(cid:164)(cid:64)(cid:40) (cid:91) (cid:227)(cid:64)(cid:153)(cid:130)(cid:37)(cid:77)(cid:98)(cid:99)(cid:74)
∠(cid:15)𝐵(cid:100)𝐹𝐷(cid:37)(cid:19)(cid:37)(cid:10) 𝐹 =△6𝐴0𝐵°(cid:64)𝐶 ∠(cid:64)𝐷𝐵𝐹 𝐹 △𝐴𝐵𝐶
+
A
= ∵∠𝐴=𝐵6𝐶0°(cid:64) 𝐷𝐸∥𝐵𝐶 科 A
全
★
号
众
(cid:128)∴(cid:45)∠𝐴(cid:323)𝐷𝐸(cid:99)(cid:86)∠𝐴𝐵𝐶 = =60°(cid:64) 公
注
关
，
源
=6∠0𝐹°𝐷(cid:64)𝐸 ∠𝐴𝐷𝐸辅 资
教
(cid:168)∴∠𝐵𝐷𝐹=90°(cid:164)(cid:64)(cid:40) (cid:91) (cid:133)(cid:50)(cid:62)(cid:63)(cid:92)(cid:197)(cid:61)(cid:64)
∠𝐵𝐹𝐷 𝐹 △𝐴𝐵𝐶
=60°(cid:64)
=30°(cid:64) ∵∠𝐵𝐷𝐹
∴∠𝐷𝐵=𝐹 (cid:64)
(cid:128)∴(cid:45)𝐵𝐷(cid:323)(cid:86)2𝐷𝐹= (cid:64)
= 𝐷𝐹(cid:64)𝐴𝐷
∴𝐵𝐷 =29𝐴(cid:64)𝐷
∴3𝐴𝐷=3(cid:198)
(cid:168)∴𝐴𝐷 =90°(cid:164)(cid:64)(cid:40) (cid:91) (cid:227)(cid:64)
∠𝐷𝐵𝐹 𝐹 △𝐴𝐵𝐶(cid:171)(cid:134)(cid:99)(cid:86) = = (cid:64)
=𝐴9𝐷(cid:64) 𝐷𝐹 2𝐵𝐷
∴3𝐵𝐷=3(cid:198)
∴𝐵𝐷=6(cid:74)
(cid:199)∴(cid:68)𝐴𝐷(cid:92)(cid:238)(cid:10) (cid:25)(cid:33)(cid:67)3(cid:184)6(cid:74)
(cid:102)(cid:77)(cid:78)(cid:67)(cid:10)𝐴3𝐷(cid:184)6(cid:74)
【题型7 含30°的直角三角形的实际应用】
+
A
A
科
(cid:15)(cid:49)7(cid:19)(cid:50)23-24(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:68)·(cid:281)(cid:334)(cid:335)(cid:250)·(cid:59)(cid:179)(cid:61)(cid:163)(cid:336)(cid:196)(cid:310)(cid:247)(cid:337)(cid:338)(cid:339)(cid:340)
★
(cid:25)(cid:341)全(cid:34)(cid:64)(cid:342)(cid:131)(cid:132)(cid:92)(cid:11)(cid:25)(cid:183)(cid:11)(cid:141)(cid:142)(cid:64)(cid:87)(cid:96)(cid:108)
号
众
公
注
(cid:62)(cid:63)1(cid:25)(cid:310)(cid:247)(cid:282)(cid:78)(cid:10)(cid:83)(cid:91)(cid:339)(cid:340)(cid:227)(cid:25)(cid:343)(cid:344)(cid:68)(cid:345)关(cid:162)(cid:69)(cid:40)O(cid:64)(cid:165)(cid:166) (cid:64) (cid:64)(cid:143)(cid:79)(cid:190)(cid:70)(cid:33)(cid:346)(cid:40)B(cid:64)(cid:40)D(cid:64)(cid:347)
，
源
资
辅
= (cid:64) = (cid:64)教(cid:165)(cid:166) (cid:74) 𝐴𝑂 𝐶𝑂
𝑂𝐵 𝑂𝐴 𝑂𝐷 𝑂𝐶 𝐵𝐷
(1)(cid:62)(cid:63)1(cid:64)(cid:32)(cid:35)(cid:10) = (cid:198)
(2)(cid:62)(cid:63)2(cid:64)(cid:348)(cid:91)(cid:46)𝐴(cid:47)𝐶(cid:310)(cid:247)𝐵(cid:60)𝐷(cid:64)(cid:349)(cid:344)(cid:29)(cid:297)(cid:299)(cid:25)(cid:350)(cid:351)(cid:64)(cid:73)(cid:84)(cid:163)(cid:336)(cid:352)(cid:162)(cid:140)(cid:54)(cid:353)(cid:354)(cid:10)(cid:70)(cid:33) (cid:346)(cid:40)D(cid:64)(cid:347) = (cid:64)
(cid:81)(cid:40)D(cid:82) (cid:25)(cid:111)(cid:112)(cid:71) (cid:64)(cid:70)(cid:33) (cid:346)(cid:40)F(cid:64)(cid:165)(cid:166) (cid:64)(cid:310)(cid:86) =120°(cid:64) =𝐶𝑂90°(cid:64) =5𝑂m𝐶(cid:64) 𝑂𝐷=9
m(cid:64)(cid:252)(cid:32)(cid:135)𝐴(cid:339)𝐶 (cid:340)(cid:341)(cid:34) 𝐷(cid:74)𝐸 𝐴𝑂 𝐸𝐹 ∠𝐷𝐸𝐹 ∠𝑂𝐹𝐸 𝐷𝐸 𝐸𝐹
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:19)(1)(cid:240)(cid:100)(cid:37) 𝐴𝐶
(2)(cid:339)(cid:340)(cid:341)(cid:34) (cid:67)23m
(cid:15)(cid:79)(cid:80)(cid:19)(cid:105)(cid:20)𝐴𝐶(cid:212)(cid:213)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:93)(cid:232)(cid:27)(cid:225)(cid:65)(cid:126)(cid:111)(cid:112)(cid:71)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:126)(cid:113)(cid:65)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:109)(cid:110)(cid:114)(cid:30)(cid:31)(cid:126)(cid:24)30(cid:34)(cid:27)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:141)(cid:142)(cid:64)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:113)(cid:65)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:109)(cid:110)(cid:114)(cid:30)(cid:31)(cid:84)(cid:37)(cid:20)(cid:3)(cid:115)(cid:74)
(cid:50)1(cid:61)(cid:22)(cid:23)“SAS”(cid:35)(cid:36) (cid:64)(cid:128)(cid:113)(cid:65)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:99)(cid:35)(cid:36)(cid:131)(cid:194)(cid:198)
(cid:50)2(cid:61)(cid:70)(cid:33) (cid:72)(cid:73)△(cid:40)𝑂(cid:64)𝐴𝐶(cid:89)≌(cid:90)△“𝑂(cid:185)𝐵(cid:26)𝐷(cid:71)(cid:111)(cid:112)(cid:64)(cid:133)(cid:355)(cid:27)(cid:225)(cid:65)”(cid:99)(cid:141) = (cid:64)(cid:153)(cid:130)(cid:22)(cid:23)“ASA”(cid:35)(cid:36)
𝐷𝐸,𝐴𝐹(cid:64)(cid:86) 𝐵= (cid:198)(cid:233)(cid:88)(cid:35)(cid:36) (cid:67)(cid:24)30(cid:34)(cid:27)(cid:25)(cid:26)∠𝐶(cid:27)(cid:28)∠(cid:27)𝐷(cid:29)(cid:64) =30°(cid:64)(cid:89)(cid:90)“(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)
(cid:60)△3𝑂0𝐴(cid:34)𝐶≌(cid:27)△(cid:92)𝑂(cid:93)𝐵(cid:25)𝐷(cid:26)(cid:27)𝐴(cid:66)𝐶(cid:65)(cid:73)𝐵𝐷(cid:94)(cid:66)(cid:25)(cid:69)(cid:95)”(cid:99)△(cid:86)𝐵𝐸𝐹= =18m(cid:64)(cid:153)(cid:130)(cid:99)(cid:37)(cid:86)∠𝐵= + =23m(cid:64)(cid:98)(cid:99)
(cid:356)(cid:86)(cid:77)(cid:78)(cid:74) 𝐵𝐸 2𝐸𝐹 𝐵𝐷 𝐵𝐸 𝐷𝐸
(cid:15)(cid:100)(cid:37)(cid:19)(cid:50)1(cid:61)(cid:35)(cid:36)(cid:10)(cid:91) (cid:101) (cid:60)(cid:64)
= △𝑂𝐴𝐶 △𝑂𝐵𝐷
= (cid:64)
𝑂𝐴= 𝑂𝐵
∠𝐴𝑂𝐶 ∠𝐵𝑂𝐷
𝑂𝐶 𝑂𝐷 SAS)(cid:64)
∴△𝑂=𝐴𝐶≌△(cid:198)𝑂𝐵𝐷(
(cid:50)∴2𝐴(cid:61)𝐶(cid:37)(cid:10)𝐵𝐷(cid:70)(cid:33) (cid:72)(cid:73)(cid:40) (cid:64)
𝐷𝐸,𝐴𝐹 𝐵
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:64)
∵𝐷𝐸∥=𝐴𝐶 (cid:64)
(cid:91)∴∠𝐶 ∠(cid:101)𝐷 (cid:60)(cid:64)
△𝑂𝐴=𝐶 △𝑂𝐵𝐷
= (cid:64)
∠𝐶= ∠𝐷
𝑂𝐶 𝑂𝐷
∠𝐴𝑂𝐶 ∠𝐵𝑂𝐷 ASA)(cid:64)
∴△𝑂=𝐴𝐶≌△(cid:64)𝑂𝐵𝐷(
∴𝐴𝐶 𝐵=𝐷 =90°(cid:64)
∵∠𝐷𝐸𝐹= 120°,∠𝑂𝐹𝐸 = = =60°(cid:64)
∴∠𝐵𝐹=𝐸 180°−∠𝑂𝐹𝐸 90=°,∠3𝐵0𝐸°(cid:64)𝐹 180°−∠𝐷𝐸𝐹
∴∠𝐵=91m80(cid:64)°−∠𝐵𝐹𝐸−∠𝐵𝐸𝐹
∵𝐸𝐹 = =18m(cid:64)
∴𝐵𝐸 =25𝐸m𝐹(cid:64)
∵𝐷𝐸= + =23m(cid:64)
∴𝐵𝐷= 𝐵𝐸=𝐷23𝐸m(cid:64)
(cid:77)∴(cid:10)𝐴𝐶(cid:339)(cid:340)𝐵(cid:341)𝐷(cid:34)AC(cid:67)23m(cid:74)
(cid:15)(cid:118)(cid:119)7-1(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:222)(cid:223)(cid:214)(cid:357)(cid:358)·(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:359)(cid:360)(cid:91)(cid:69)(cid:329)(cid:62)(cid:63)(cid:92)(cid:197)(cid:25)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:343)(cid:344)ABC(cid:68)(cid:186)(cid:361)(cid:362)(cid:363)(cid:364)(cid:358)
(cid:365)(cid:366)(cid:64)(cid:161)(cid:141) =150°(cid:64)(cid:367)(cid:186)(cid:362)(cid:363)(cid:290)(cid:111)(cid:282)(cid:368)(cid:369)(cid:370)a(cid:309)(cid:64)(cid:76)(cid:371)(cid:372)(cid:367)(cid:186)(cid:362)(cid:363)(cid:276)(cid:213) (cid:309)(cid:74)
∠𝐴
(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:19)
(cid:15)(cid:79)(cid:80)(cid:19)1(cid:105)5(cid:20)0𝑎(cid:106)(cid:107)(cid:25)(cid:84)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:48)(cid:23)(cid:64)(cid:373)(cid:152)(cid:154)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:374)(cid:375)(cid:7)(cid:119)(cid:64)(cid:24)30(cid:34)(cid:27)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)
(cid:3)(cid:115)(cid:91)(cid:73)(cid:82)(cid:135) (cid:66)(cid:68)(cid:25)(cid:219)(cid:64)(cid:89)(cid:90)(cid:225)(cid:3)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:248)(cid:135)(cid:219) (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:64)(cid:242)(cid:221)(cid:25)(cid:96)(cid:97)(cid:135) (cid:25)(cid:374)(cid:375)(cid:74)(cid:82) (cid:66)(cid:25)(cid:219)
(cid:64)(cid:87)(cid:114) (cid:25)𝐴(cid:70)𝐵(cid:33)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:40) (cid:64)(cid:76) =30°(cid:64)(cid:128)𝐶𝐷 =30m(cid:64)(cid:98)(cid:99)(cid:32)(cid:135) =△1𝐴5𝐵m𝐶(cid:64)(cid:233)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:28)𝐵𝐴(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:374)
(cid:375)𝐶𝐷(cid:7)(cid:119)(cid:98)(cid:99)𝐵𝐴(cid:248)(cid:135) (cid:25)(cid:374)(cid:375)𝐷(cid:67)15∠0m𝐷𝐴(cid:64)𝐶 (cid:42)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:290)𝐴(cid:111)𝐶 (cid:282)(cid:368)(cid:25)(cid:369)(cid:370)(cid:98)(cid:99)(cid:248)𝐶(cid:135)𝐷(cid:131)(cid:302)(cid:74)
2
(cid:15)(cid:100)(cid:37)(cid:19)(cid:37)(cid:10)(cid:62)(cid:63)△(cid:64)𝐴𝐵(cid:82)𝐶 (cid:66)(cid:25)(cid:219) (cid:64)(cid:87)(cid:114) (cid:25)(cid:70)(cid:33)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:40) (cid:64)
+
A
𝐵𝐴 𝐶𝐷 𝐵𝐴 𝐷 科 A
全
★
号
众
公
注
关
，
资 源 =150°(cid:64)
辅
教
=30°(cid:64)
∵∠𝐵𝐴𝐶
∴∠𝐷𝐴𝐶 (cid:64) =30m(cid:64)
∵𝐶𝐷⊥=𝐵1𝐷5m(cid:64)𝐴𝐶
∴𝐶𝐷=20m(cid:64)
∵𝐴𝐵 = 1 × = 1 ×20×15=150m (cid:64)
2 2
2
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐷
(cid:290)(cid:111)(cid:282)(cid:368)(cid:369)(cid:370) (cid:309)(cid:64)
∵(cid:371)(cid:372)(cid:367)(cid:186)(cid:362)(cid:363)𝑎(cid:25)(cid:370)(cid:376)(cid:10) (cid:309)(cid:74)
(cid:102)∴(cid:77)(cid:78)(cid:67)(cid:10) (cid:74) 150𝑎
(cid:15)(cid:118)(cid:119)7-2(cid:19)15(cid:50)02𝑎4-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:55)(cid:56)(cid:377)(cid:378)(cid:379)·(cid:245)(cid:125)(cid:137)(cid:246)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:84)(cid:337)(cid:380)(cid:87)(cid:96)(cid:63)(cid:25)(cid:69)(cid:237)(cid:79)(cid:64)(cid:40) (cid:84)(cid:94)(cid:381) (cid:25)(cid:60)(cid:40)(cid:64)
(cid:382)(cid:383) (cid:79)(cid:190)(cid:124)(cid:26)(cid:73)(cid:384)(cid:381) (cid:64)(cid:75) =8 =30 (cid:64)(cid:76)(cid:382)(cid:383) (cid:25)(cid:33)(cid:67) m(cid:74) 𝐷 𝐴𝐵
∘
𝐵𝐶,𝐷𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐵 m,∠𝐷𝐶𝐴 𝐷𝐸(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:19)2
(cid:15)(cid:79)(cid:80)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:106)(cid:107)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:94)(cid:66)(cid:60)(cid:71)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:65)(cid:156)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:84)(cid:37)(cid:20)(cid:25)
(cid:3)(cid:115)(cid:74)
(cid:83)(cid:89)(cid:90)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:94)(cid:66)(cid:25)(cid:60)(cid:71)(cid:65)(cid:73)(cid:94)(cid:66)(cid:25)(cid:69)(cid:95)(cid:32)(cid:86) = = 1 = 1 ×8=4(m)(cid:64)(cid:85)(cid:22)(cid:23)(cid:65)(cid:156)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)
2 2
𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐵
(cid:31)(cid:86) = =30°(cid:64)(cid:233)(cid:88)(cid:128)(cid:24)30(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:37)(cid:98)(cid:99)(cid:74)
(cid:15)(cid:100)∠(cid:37)𝐴(cid:19)(cid:37)∠(cid:10)𝐷𝐶𝐴 (cid:64)
=90°(cid:64)∵𝐵𝐶⊥𝐴𝐶
∴(cid:40)∠𝐴𝐶(cid:84)𝐵 (cid:25)(cid:60)(cid:40)(cid:64)
∵ 𝐷 = 𝐴𝐵 = 1 = 1 ×8=4(m)(cid:64)
2 2
∴𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐵
= =30°(cid:64)
∴∠𝐴 ∠𝐷(cid:64)𝐶𝐴
∵𝐷𝐸⊥𝐴=𝐶90°(cid:64)
∴∠𝐴𝐸 = 𝐷1 = 1 ×4=2(m)(cid:64) A A +
2 2 全 科
★
号
∴𝐷𝐸 𝐴𝐷 众
(cid:102)(cid:77)(cid:78)(cid:67)(cid:10)2(cid:74) 公
注
关
，
源
(cid:15)(cid:118)(cid:119)7-3(cid:19)(cid:50)22-23(cid:385)(cid:52)辅(cid:53)(cid:68)资·(cid:157)(cid:158)(cid:386)(cid:387)·(cid:59)(cid:179)(cid:61)(cid:386)(cid:387)(cid:388)(cid:389)(cid:84)(cid:390)(cid:296)(cid:25)“(cid:391)(cid:392)(cid:270)(cid:388)”(cid:64)(cid:82)(cid:67)(cid:157)(cid:158)(cid:281)(cid:213)(cid:25)(cid:388)(cid:241)(cid:344)(cid:64)(cid:393)
教
(cid:394)(cid:388)(cid:31)(cid:395)(cid:67)(cid:281)(cid:60)(cid:270)(cid:281)(cid:74)(cid:62)(cid:63)(cid:92)(cid:197)(cid:64)(cid:40)A(cid:101)(cid:40) (cid:79)(cid:190)(cid:396)(cid:197)(cid:185)(cid:226)(cid:388)(cid:31)(cid:397)(cid:310)(cid:398)(cid:64)(cid:397)(cid:310)(cid:399)(cid:400)(cid:68)(cid:401)6(cid:164)(cid:91)A(cid:301)(cid:402)(cid:395)(cid:352)(cid:403)
(cid:88)(cid:64)(cid:310)(cid:86)(cid:46)(cid:404)(cid:405) (cid:91)A(cid:40)(cid:157)(cid:406)(cid:121)60°(cid:282)(cid:263)(cid:74)(cid:269)𝐵(cid:88)(cid:397)(cid:310)(cid:399)(cid:400)(cid:407)(cid:408)(cid:397)(cid:310)(cid:409)(cid:167)(cid:410)(cid:263)(cid:121)(cid:112)(cid:411)(cid:64)(cid:68)(cid:401)9(cid:164)(cid:154)(cid:265) (cid:301)(cid:64)(cid:171)(cid:164)
(cid:310)(cid:86)(cid:46)(cid:404)(cid:405) (cid:91) 𝑃(cid:40)(cid:157)(cid:406)(cid:148)30°(cid:282)(cid:263)(cid:64)(cid:260)(cid:60)(cid:397)(cid:310)(cid:409)(cid:25)(cid:112)(cid:411)(cid:261)(cid:34)(cid:67)20km/h(cid:74) 𝐵
𝑃 𝐵
(1)(cid:91)(cid:63)(cid:60)(cid:191)(cid:135)(cid:46)(cid:404)(cid:405) (cid:25)(cid:174)(cid:175)(cid:198)
(2)(cid:161)(cid:141)A(cid:126) (cid:185)(cid:226)(cid:388)(cid:31)𝑃(cid:397)(cid:310)(cid:398)(cid:25)(cid:63)(cid:68)(cid:412)(cid:413)(cid:67)3cm(cid:74)
(cid:252)(cid:414)(cid:22)(cid:23)𝐵(cid:415)(cid:34)(cid:416)(cid:64)(cid:34)(cid:247)(cid:397)(cid:310)(cid:409)(cid:91) (cid:301)(cid:164)(cid:154)(cid:46)(cid:404)(cid:405) (cid:25)(cid:63)(cid:68)(cid:412)(cid:413)(cid:198)
①(cid:417)(cid:96)(cid:397)(cid:310)(cid:409)(cid:91) (cid:301)(cid:164)(cid:154)(cid:46)(cid:404)(cid:405) (cid:25)𝐵(cid:46)(cid:47)(cid:412)(cid:413)(cid:64)(cid:143)(cid:255)𝑃(cid:36)(cid:134)(cid:128)(cid:74)
②(cid:15)(cid:77)(cid:78)(cid:19)(1)(cid:240)(cid:37)(cid:80)𝐵 𝑃(2) 1.5cm(cid:198) 30km
(cid:15)(cid:79)①(cid:80)(cid:19)(cid:50)1(cid:61)②(cid:89)(cid:90)(cid:282)(cid:263)(cid:27)(cid:25)(cid:110)(cid:127)(cid:191)(cid:135)(cid:63)(cid:29)(cid:98)(cid:99)(cid:198)
(cid:50)2(cid:61) (cid:22)(cid:23)(cid:310)(cid:247)(cid:298)(cid:37)(cid:38)(cid:41)(cid:20)(cid:98)(cid:99)(cid:198)
(cid:22)(cid:23)①(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)30°(cid:92)(cid:93)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:66)(cid:65)(cid:73)(cid:94)(cid:66)(cid:25)(cid:69)(cid:95)(cid:32)(cid:37)(cid:98)(cid:99)(cid:74)
②(cid:15)(cid:100)(cid:37)(cid:19)(cid:50)1(cid:61)(cid:37)(cid:10)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:40) (cid:98)(cid:67)(cid:92)(cid:32)(cid:198)
𝑃
(cid:50)2(cid:61)(cid:37)(cid:10) (cid:34)(cid:247)(cid:397)(cid:310)(cid:409)(cid:91) (cid:301)(cid:164)(cid:154)(cid:46)(cid:404)(cid:405) (cid:25)(cid:63)(cid:68)(cid:412)(cid:413)(cid:67)1.5cm(cid:198)
(cid:128)(cid:20)(cid:209) ① = 𝐵=30°(cid:64) 𝑃= =60°(cid:64)
② =∠𝑃𝐴𝐵 90°−60°=90°(cid:64) ∠𝑃𝐵𝐴 90°−30°
∴∠𝐴𝑃=𝐵3×12800°=−3600°(−km60)°(cid:64)
+
A
∵𝐴𝐵 (cid:301)(cid:164)(cid:154)(cid:46)(cid:404)(cid:405) (cid:25)(cid:46)(cid:47)(cid:412)(cid:413)(cid:67)(cid:10) 1 ×60=30(km)(cid:74) 全 科 A
2 号 ★
众
公
(cid:15)∴(cid:40)𝐵 (cid:104)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:106)(cid:107)𝑃(cid:82)(cid:63) (cid:48)(cid:23)(cid:114)(cid:87)(cid:96)(cid:82)(cid:63)(cid:64)关(cid:282)(cid:263) 注 (cid:27)(cid:65)(cid:141)(cid:142)(cid:64)(cid:37)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:115)(cid:84)(cid:134)(cid:37)(cid:20)(cid:209)(cid:64)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:23)(cid:92)(cid:11)(cid:141)(cid:142)(cid:37)(cid:38)
，
源
资
辅
(cid:41)(cid:20)(cid:74) 教−
