17.2勾股定理及其逆定理的综合应用[蔡明英]市一等奖优质课_初中7-9年级全科优质公开课_初中数学优质公开课_初中数学8年级下册优质课视频含课件教案

教学目标
1.掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系,熟练运用直角三角形的勾股定理和逆定理来
解决实际问题.
2.以复习勾股定理为载体,让学生扎实掌握基础知识的同时,探究出解决折叠问题、面积问题、
最短路径问题等的基本策略和基本方法;
3.通过对综合题的探究学习,培养学生分析推理、概括归纳的能力,同时逐步形成数形结合、分
类讨论、转化、方程等数学思想;
4.使学生体验数学建模思想,进一步培养学生解决实际问题的能力.
5.使学生体会数学知识的现实价值,激发学生学习数学的兴趣.
6.进一步发展学生有条理思考和有条理表述的能力,体会数学的应用价值.
2学情分析
学生已经学习了勾股定理及其逆定理,并且具备了求简单的几何图形中一些线段长的方法,本
节课在此基础上让学生进一步探究出解决折叠问题、面积问题、最短路径问题等的基本策略
和基本方法,进一步培养学生解决实际问题的能力,通过对综合题的探究学习,培养学生分析
推理、概括归纳的能力,体验数学建模思想,同时逐步形成数形结合、分类讨论、转化、方程等
数学思想.
3重点难点
教学重点 掌握方法、形成思想,养成思考习惯,提高思维能力.
教学难点 将实际问题转化为数学问题,构建几何模型.
4教学过程
4.1 第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】经典回眸 知识再现
1.勾股定理及勾股定理的逆定理的内容是什么?
勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,那
么:a2+b2=c2
勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长为a、b、c且满足a2+b2=c2,那么这个
三角形是直角三角形.2.含300角、450角的直角三角形的三边有什么数量关系?
含300角的直角三角形的三边之比为1:√3:2
含450角的直角三角形的三边的三边之比为1:1:√2
3.求线段长的基本方法是什么?
求线段长时我们总是想办法寻找或创造Rt△,再用勾股定理求线段的长.
4.点A、B在直线L的同侧,如何在直线L上求作点P,使PA+PB最小?
作法:
1.作点A关于直线L的对称点A/.
2.连接A/B交直线L于点P.
∴点P即为所求. 此时PA+PB=A/B
【设计意图】:通过以上问题的思考,让学生回顾所学知识,为下面的练习与学习
做好铺垫.
活动2【讲授】热身训练 强化基础
1.直角三角形的两边长分别为3cm和5cm,则第三边的长为
.
2.已知△ABC的三边之长分别为5、12、13,则△ABC的面积为
.
3.在Rt△ABC中,∠C=900,∠B=600,AC=3√3,则BC= .AB= .
4.在Rt△ABC中,∠C=900,AC=BC,AB=3√2,则AC= .
5.如图:在一个高6米,长10米的楼梯表面铺地毯,则该地毯的长度至少是
米..
【设计意图】:通过练习达到承上启下,温故知新的目的,从而使学生达到知识的
迁移.
活动3【导入】典例精析 形成技能
例1:如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米,求一只小鸟从一
棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的最短距离是多少?
解:连接AC,作CE⊥AB于E.
则四边形EBDC为矩形
∴EC=BD=8米,BE=CD=4米
AE=AB-BE=10米-4米=6米
在Rt△AEC中,
AC=√AE2+EC2 =√AE2+EC2 =10(米)
答:小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的最短距离是10米.
【解题收获】:创造直角三角形,利用勾股定理求线段长.
【设计意图】:设置学生熟悉的情境问题,激发学生的学习热情,通过本题的教学
使学生掌握求线段长的基本方法和思想.
例2:如图,在四边形ABCD中,∠C=90°,AB=13,BC=4,CD=3,AD=12,求四边形ABCD
的面积.
解:连接BD,
在Rt△BCD中,
BD=√BC2+CD2 =√42+32 =5
在△ABD中,
∵AD2+BD2=122+52=132=AB2
∴△ABD是直角三角且∠ADB=900.
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD =1/2*AD*BD+1/2*BC*CD
=1/2*12*5+1/2*4*3 =36(平方单位)
【解题收获】:
1.在直角三角形中,已知两边就想求第三边.
2.在三角形中,已知三边长时就想是否能用勾股定理的逆定理证明它是直角三
角形.
3.四边形的面积转化为两个三角形的面积之和.
[设计意图]:灵活运用勾股定理及其逆定理来解决几何图形的面积问题.例3:如图, E为边长为2的正方形ABCD的边BC的中点,在对角线AC上找一点
M,使BM+EM的值最小,并求此最小值。
解:∵四边形ABCD是正方形,
∴点B与点D关于AC对称.
连接DE,交AC于M点,
点M即为所求.
即:此时,BM+EM的值最小,就是线段DE的长.
在Rt△DCE中,
DC=2,CE=1/2BC=1
由勾股定理得:
DE=√DC2+CE2 =√22+12 =√5
∴ BM+EM的最小值为√5
【解题收获】:
1.会找点M使BM+EM最小.
2.BM+EM的最小值就是线段DE的长.
3.用勾股定理求线段DE的长.
【设计意图】:线段和最小问题是近年的考试热点.利用轴对称将线段和最小问
题转化为“两点之间,线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”问题,体
会“化曲为直”的转化思想.
活动4【导入】综合运用 能力提升教学说明:为学生提供自主探究的空间,让学生既能独立思考,又能互相合作.①
学生分小组讨论,老师巡班指导;②学生汇报探究成果,根据反馈信息,教师及
时纠正出现的错误;③师生共同探求解题方法,板书解答过程.
1.已知四边形ABCD中,∠A=600,∠B=∠D=900,AB=4,CD=1,求BC和AD的长.
第1题
第2题
2.如图,在长方形纸片ABCD中, AB=12,BC=5,点E在AB上,现将△DAE折叠,使点
A落在对角线BD上的点A/处,你能求出AE的长吗?
设计意图:联系本节课的知识点,设计2道难度适中的问题,要求学生具有较高
的分析问题和解决问题的能力,进一步激发学生的探究兴趣,学会用所学知识
解决数学问题的能力. 通过教学,让学生掌握勾股定理的两种基本的运用,1已
知直角三角形的两边,求第三边,直接运用勾股定理求解;2已知直角三角形的一
边和另外两边的关系,求另外两边,可以运用勾股定理建立方程求解.培养学生
解题的灵活性.
活动5【导入】总结反思 观点提炼
1.本节课我们有哪些收获?
2.本节课的教学渗透了哪些数学思想和方法?
设计意图:小结和反思,不同学生有不同的学习体会,充分尊重学生的个体差异,
激发学生主动参与意识,理清思路,总结方法,体会数学思想,享受在数学活动中
的快乐.
活动6【导入】课后巩固 深化提高
1.一个三角形的三边的比为5∶12∶13,它的周长为60cm,则它的面积是___.2.一座桥横跨一江,桥长12m,一艘小船自桥北头出发,向正南方驶去,因水流原
因到达南岸以后,发现已偏离桥南头5m,则小船实际行驶___m.
3.已知直角三角形一个锐角60°,斜边长为1,那么此直角三角形的周长是
.
4.如图,已知圆柱的底面周长为6cm,高为4cm,一只蚂蚁沿外壁爬行,要从A点
爬到B点,则最少要爬行 cm
第4题
第5题
5.如图,某学校(A点)与公路(直线L)的距离为300米,又与公路车站(D点)的距离
为500米,现要在公路上建一个小商店(C点),使之与该校A及车站D的距离相
等,求商店与车站之间的距离.
6.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门
高出1尺,斜放就恰好等于门的对角线长,已知门宽4尺.求竹竿高与门高.
第7题
7.如图,A、B两个村庄在河CD的同侧,A、B两村到河的距离分别为AC=1千
米,BD=3千米,C、D两点间的距离为3千米,现要在河边CD上建一个水厂,向A、
B两村输送自来水,铺设水管的工程费用为每千米20000元,请你在CD上选择
水厂的位置O,使铺设水管的费用最省,并求此时铺设水管的总费用.
8.如图,铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知
DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C,D两
村到E站的距离相等,则E站应建在离A站多少km处?
第8题
第9题9.如图,在平面直角坐标系中,将长方形ABCD沿着直线AE折叠后,顶点D恰好
落在边OC上的点F处,若点D的坐标为(10,8),求点E的坐标.
10.如图,一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点,
那么它所爬行的最短路线的长是多少?
第10题
11.在△ABC中,∠C=900,AD,BE是中线,BE=2√10,AD=5,求AB的长.
第11题
选做题:
12、为了筹备迎新生晚会,同学们设计了一个圆筒形灯罩,底色漆成白色,然后缠
绕红色泊纸,如图已知圆筒高108cm,其截面直径为12cm,如果在表面缠绕油纸
4圈,应截剪多长油纸。(∏取3)
第12题
第13题
13.如图,AOB=45o,P是AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,求PQR
的周长的最小值.
14.如图, ∠MON=90o,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上,当点B在边
ON上运动时,点A也随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中
AB=2,BC=1,运动过程中,设点D到点O的距离为h,求h的取值范围.
15.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0),(0,4),
点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是等腰三角形时,求点P的坐标.
第14题第15题
设计意图:通过练习及时了解学生对本节课所学知识掌握的熟练性、准确性,以
便于查漏补缺,优化后期课堂教学.同时练习的设计本着尊重学生的个体差异
的原则,分层要求,由易到难,梯度推进,既保证学有困难的学生消化得了,又保证
学有余力的学生吃得饱.有几道题的设计,联系实际,目的是为了激发学生的探
究兴趣,学会用所学知识解决实际生活中的问题的能力,体会学习数学的实用
性.