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专题 28.2 解直角三角形【九大题型】
【人教版】
【题型1 解直角三角形】..........................................................................................................................................1
【题型2 解一图多三角形的直角三角形】..............................................................................................................2
【题型3 解非直角三角形】......................................................................................................................................3
【题型4 网格问题】..................................................................................................................................................6
【题型5 构造直角三角形求不规则图形的面积】.................................................................................................7
【题型6 在四边形中解直角三角形】......................................................................................................................8
【题型7 在平面直角坐标系中解直角三角形】.....................................................................................................9
【题型8 函数与解直角三角形】............................................................................................................................11
【题型9 动态问题与解直角三角形】....................................................................................................................12
知识点：解直角三角形
已知条件 图形 解法
已知一直角边和一个锐
角 B
已知斜边和一个锐角
斜边 对
边
b
A C
邻边
已知两直角边
已知斜边和一条直角边
【题型1 解直角三角形】
【例1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，点D、E分别
为边AB、AC的中点，连接DE、CD，若DE=2❑√3，则CD的长度为（ ）A．3 B．3❑√3 C．3.5 D．4
【变式1-1】（23-24九年级·全国·课后作业）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=❑√7， BC=❑√21，则∠B
的度数为（ ）
A． 30° B．45° C．60° D．75°
【变式1-2】（2024·湖南长沙·三模）如图，在等腰△ABC中，AB=BC,∠C=30°，过点A作AD⊥AB，
交CB的延长线于点D，若BC=1，则AD的长为 ．
【变式1-3】（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，在四边形纸片ABCD中，AB∥DC，AD=8，
∠D=60°．将纸片沿折痕HG折叠，使点D落在AB边上的点M处．若∠DGH=45°，则DG的长为
（ ）
❑√3
A．4 B．4❑√3 C．5❑√3 D．
5
【题型2 解一图多三角形的直角三角形】
【例2】（2024·陕西西安·模拟预测）将一副直角三角板按如图所示摆放，其中∠CAB=∠DCB=90°，
∠ACB=45°，∠CBD=30°，若AC=❑√2，则CD的长为（ ）2❑√3 4❑√3
A．2❑√3 B．2 C． D．
3 3
【变式2-1】（2024·山东淄博·二模）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，D是AC的中点，AC=8，
1
tan∠CAB= ，则sin∠DBA等于（ ）
2
1 ❑√10 ❑√6−❑√2 ❑√5
A． B． C． D．
3 10 2 3
【变式2-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在△ABC中，DE=❑√3，∠B=45°，∠ACB=60°，
AD⊥BC于D，∠ACD的平分线交AD于E，则AB的长为（ ）
A．3❑√2 B．3❑√3 C．3❑√6 D．4❑√3
【变式2-3】（2024·四川自贡·中考真题）如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m．现
将钢架立柱缩短成DE，∠BED=60°．则新钢架减少用钢（ ）A． B． C． D．
(24−12❑√3)m (24−8❑√3)m (24−6❑√3)m (24−4❑√3)m
【题型3 解非直角三角形】
【例3】（2024·江苏扬州·一模）如图，若∠B=30∘，∠C=45∘，∠BDC=150∘，且BD=CD=5，则AC
等于 ．
【变式3-1】（2024·陕西西安·三模）如图，在ΔABC中，∠ACB=60°，∠B=45°，AB=❑√6，CE平
分∠ACB交AB于点E，则线段CE的长为( )
A．❑√3 +1 B．2 C．❑√2 D．❑√6-❑√2
【变式3-2】（2024·湖北武汉·中考真题）如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是
边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是 ．
1
【变式3-3】（2024·上海徐汇·三模）如图，在△ABC中，AB=AC=4，cosB= ，BD是中线，将
4
△ABC沿直线BD翻折后，点A落在点E，那么CE的长为 ．【题型4 网格问题】
【例4】（2024·江苏扬州·一模）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点
∠ADC
上，D是AB与网格线的交点，则sin 的值是 ．
2
【变式4-1】（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是2×2的正方形网格，每个小正方形的顶点
称为格点，点A、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作格点图形，保
留作图痕迹．
(1)在图①中，以AC为中线作△ABD，使AB=AD；
(2)在图②中，以AC为中线作Rt△AEF，使∠AEF=90°；
1
(3)在图③中，以AC为中线作△AMN，使∠AMN为钝角且tan∠MAC= ．
2
【变式4-2】（2019·江苏常州·二模）如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．
ABC的三个顶点都在格点上，那么∠ABC的正切值是 ．
△【变式4-3】（2024·吉林白城·一模）图①、图②、图③都是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称
为格点．△ABC的三个顶点都在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下
列要求完成画图，并保留作图痕迹．
1
(1)在图①中的△ABC的边AB，BC上分别找到点D，E，连接DE，使DE= AC．
2
(2)在图②中的△ABC的边AC上找到点F，连接BF，使tan∠FBC=1．
(3)在图③中的△ABC的边AC上找到点G，连接BG，使BG=CG．
【题型5 构造直角三角形求不规则图形的面积】
【例5】（23-24九年级·全国·课后作业）一块四边形空地如图所示，求此空地的面积（结果精确到0.01m2
）．
【变式5-1】（23-24九年级·湖南益阳·期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB=7，
BC=9，CD=3，则四边形ABCD的面积为（ ）A．48 B．50 C．52 D．54
【变式5-2】（2024·四川绵阳·三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC
＝BD＝2，则这个四边形的面积是（ ）
❑√3 ❑√3
A． B． C．❑√3 D．2❑√3
4 2
【变式5-3】（2024·浙江金华·一模）如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运
动，同时出发且速度相同，DE=GF<AB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点
E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（ ）
A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小
【题型6 在四边形中解直角三角形】
【例6】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，E为边CD的中点，以CE为斜边向外作等
AG
腰Rt△ECF，连接BF，线段AD上有一点G，且∠GBF=45°，则 的值为（ ）
DG3 4 5
A．2 B． C． D．
2 3 4
【变式6-1】（2024·山东青岛·一模）在综合实践课上，小颖用四根长度相同的木条首尾相接制作了一个学
具，如图1所示，测得∠ABC=60°，将学具变形成图2的形状，测得∠ABC=90°，若图1中的对角线
BD=20cm，则变形后图2中对角线BD的长为（ ）
20 10 20 10
A． ❑√6cm B． ❑√6cm C． ❑√3cm D． ❑√2cm
3 3 3 3
【变式6-2】（2024·广东汕尾·模拟预测）如图，已知菱形ABC D 的边长AB=1cm，∠D AB=60°，连
1 1 1
接对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形AC C D ，使∠D AC =60°．连接AC ，再以AC 为边作
1 1 1 2 2 2 1 2 1
第三个菱形AC C D ，使∠D AC =60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是 ．
2 3 3 3 2
【变式6-3】（2024·安徽合肥·三模）如图，在矩形纸片中，点E在AB上，将矩形ABCD沿着CE折叠，使
得点B的对应点落在AD边上的点F处，连接CF，G为CD的中点，连接BG交CE、CF于点M、N两点．（1）若AB=6,AE=2，则∠AFE的度数为 ．
（2）若BM=BE，则sin∠AFE值为 ．
【题型7 在平面直角坐标系中解直角三角形】
【例7】（2024·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点O为坐标原点，
A(0，8)，B(−6，0)，C是斜边AB的中点，且DC⊥AB交x轴于点D．将△BCD沿x轴向右平移得
到△B′C′D′，当B′C′的中点E恰好落在y轴上时，点D′的坐标为（ ）
(41 ) (13 ) (77 )
A． ,0 B． ,0 C． ,0 D．(7， 0)
6 2 6
【变式7-1】（2024·河南郑州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，在△ABC中，点
C(−1,0)，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，∠ACB=30°，AC=AB=2❑√3，过点B作BD⊥x
轴于点D，AE平分∠BAD交BD于点E，则点E的坐标（ ）
A．(2❑√3−1,1) B．(3❑√3−1,1) C．（3,2） D．（3,1）
【变式7-2】（2024·江苏无锡·三模）已知，在平面直角坐标系中，A(0,4)，B(3,0)，现将△ABO绕点B逆
时针旋转，当线段AB第一次与y轴平行时，A点落在A′处，O点落在O′处，求tan∠OAO′（ ）27 32 3 9
A． B． C． D．
29 31 11 16
【变式7-3】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知在平面直角坐标系中放置了 5个如图所示的正方形（用阴影
表示），点B 在y轴上，点C 、E 、E 、C 、E 、E 、C 在x轴上．正方形A B C D 的边长为2，
1 1 1 2 2 3 4 3 1 1 1 1
∠B C O=60°，B C ∥B C ∥B C ，则点A 到x轴的距离是( )
1 1 1 1 2 2 3 3 3
❑√3+3 ❑√3+1 ❑√3+3 ❑√3+1
A． B． C． D．
9 9 3 3
【题型8 函数与解直角三角形】
【例8】（2024·河南濮阳·一模）如图（1），在矩形ABCD中， AB=3，，点N是对角线BD上一定点，
点M沿边AD从点 A 运动到点 D，连接MB，MN，设AM=x，MB+MN= y．图（2）是y关于x的函
数图象，则图（2）中的函数图象最低点的纵坐标m的值是（ ）
24 7 32
A． B． C．6 D．
5 5 5
【变式8-1】（2024·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+4❑√3的图象与x轴，
y轴分别交于点A，B，以OB为边向y轴左侧作等边△OBC，将△OBC沿x轴正方向平移得到△O′B′C′，
点C′恰好落在一次函数y=kx+4❑√3的图象上，且AC′=AO′，则点C′的坐标为（ ）A． B． C． D．
(2❑√3,2) (2,2❑√3) (❑√3,1) (1,❑√3)
k
【变式8-2】（2024·江苏常州·模拟预测）已知直线y=mx+n与x轴交于点M(2,0)，与反比例函数y= 图
x
3
象交于点A，C，若A(−2,a)，AB⊥x轴， tan∠AMO= ．
4
(1)求反比例函数和直线的函数表达式；
(2)过点O作直线AO的垂线，交直线AC于点P，求P点坐标．
【变式8-3】（2024·广西南宁·模拟预测）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D，E，F分别在边
AB，BC，CA上运动，满足AD=BE=CF．
(1)求证：△ADF≌△BED；
(2)设AD的长为x，△≝¿的面积为y，求y关于x的函数解析式；
(3)结合（2）所得的函数，描述△≝¿的面积随AD的增大如何变化．【题型9 动态问题与解直角三角形】
【例9】（2024·河南新乡·一模）如图所示，正方形纸片ABCD的边长为4．点E为AD边上不与端点重合
的一动点，将纸片沿过BE的直线折叠，连接CF、DF，若△CDF是以CF为腰的等腰三角形，则AE=
．
4
【变式9-1】（2024·湖北·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，tanA= ，点E是
3
AD上一动点，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，当点A′恰好落在EC上时，DE的长为 ．
【变式9-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E、F分
别为边BC、CD上的动点，连接BD、BF、EF，∠CEF+∠CDB=90°，若BD=10，CD=6，则
△BEF面积的最大值为 ．
【变式9-3】（2024九年级·全国·专题练习）已知：矩形ABCD中，AB=5,BC=12，点E在对角线AC上，
且CE=6，动点P在矩形ABCD的四边上运动一周，则以P、E、C为顶点的等腰三角形有（ ）个．A．5 B．6 C．7 D．8
