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专题 28.2 解直角三角形【九大题型】
【人教版】
【题型1 解直角三角形】..........................................................................................................................................1
【题型2 解一图多三角形的直角三角形】..............................................................................................................2
【题型3 解非直角三角形】......................................................................................................................................3
【题型4 网格问题】..................................................................................................................................................6
【题型5 构造直角三角形求不规则图形的面积】.................................................................................................7
【题型6 在四边形中解直角三角形】......................................................................................................................8
【题型7 在平面直角坐标系中解直角三角形】.....................................................................................................9
【题型8 函数与解直角三角形】............................................................................................................................11
【题型9 动态问题与解直角三角形】....................................................................................................................12
知识点：解直角三角形
已知条件 图形 解法
已知一直角边和一个锐
角 B
已知斜边和一个锐角
斜边 对
边
b
A C
邻边
已知两直角边
已知斜边和一条直角边
【题型1 解直角三角形】
【例1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，点D、E分别
为边AB、AC的中点，连接DE、CD，若DE=2❑√3，则CD的长度为（ ）A．3 B．3❑√3 C．3.5 D．4
【变式1-1】（23-24九年级·全国·课后作业）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=❑√7， BC=❑√21，则∠B
的度数为（ ）
A． 30° B．45° C．60° D．75°
【变式1-2】（2024·湖南长沙·三模）如图，在等腰△ABC中，AB=BC,∠C=30°，过点A作AD⊥AB，
交CB的延长线于点D，若BC=1，则AD的长为 ．
【变式1-3】（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，在四边形纸片ABCD中，AB∥DC，AD=8，
∠D=60°．将纸片沿折痕HG折叠，使点D落在AB边上的点M处．若∠DGH=45°，则DG的长为
（ ）
❑√3
A．4 B．4❑√3 C．5❑√3 D．
5
【题型2 解一图多三角形的直角三角形】
【例2】（2024·陕西西安·模拟预测）将一副直角三角板按如图所示摆放，其中∠CAB=∠DCB=90°，
∠ACB=45°，∠CBD=30°，若AC=❑√2，则CD的长为（ ）2❑√3 4❑√3
A．2❑√3 B．2 C． D．
3 3
【变式2-1】（2024·山东淄博·二模）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，D是AC的中点，AC=8，
1
tan∠CAB= ，则sin∠DBA等于（ ）
2
1 ❑√10 ❑√6−❑√2 ❑√5
A． B． C． D．
3 10 2 3
【变式2-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在△ABC中，DE=❑√3，∠B=45°，∠ACB=60°，
AD⊥BC于D，∠ACD的平分线交AD于E，则AB的长为（ ）
A．3❑√2 B．3❑√3 C．3❑√6 D．4❑√3
【变式2-3】（2024·四川自贡·中考真题）如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m．现
将钢架立柱缩短成DE，∠BED=60°．则新钢架减少用钢（ ）A． B． C． D．
(24−12❑√3)m (24−8❑√3)m (24−6❑√3)m (24−4❑√3)m
【题型3 解非直角三角形】
【例3】（2024·江苏扬州·一模）如图，若∠B=30∘，∠C=45∘，∠BDC=150∘，且BD=CD=5，则AC
等于 ．
【变式3-1】（2024·陕西西安·三模）如图，在ΔABC中，∠ACB=60°，∠B=45°，AB=❑√6，CE平
分∠ACB交AB于点E，则线段CE的长为( )
A．❑√3 +1 B．2 C．❑√2 D．❑√6-❑√2
【变式3-2】（2024·湖北武汉·中考真题）如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是
边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是 ．
1
【变式3-3】（2024·上海徐汇·三模）如图，在△ABC中，AB=AC=4，cosB= ，BD是中线，将
4
△ABC沿直线BD翻折后，点A落在点E，那么CE的长为 ．【题型4 网格问题】
【例4】（2024·江苏扬州·一模）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点
∠ADC
上，D是AB与网格线的交点，则sin 的值是 ．
2
【变式4-1】（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是2×2的正方形网格，每个小正方形的顶点
称为格点，点A、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作格点图形，保
留作图痕迹．
(1)在图①中，以AC为中线作△ABD，使AB=AD；
(2)在图②中，以AC为中线作Rt△AEF，使∠AEF=90°；
1
(3)在图③中，以AC为中线作△AMN，使∠AMN为钝角且tan∠MAC= ．
2
【变式4-2】（2019·江苏常州·二模）如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．
ABC的三个顶点都在格点上，那么∠ABC的正切值是 ．
△【变式4-3】（2024·吉林白城·一模）图①、图②、图③都是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称
为格点．△ABC的三个顶点都在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下
列要求完成画图，并保留作图痕迹．
1
(1)在图①中的△ABC的边AB，BC上分别找到点D，E，连接DE，使DE= AC．
2
(2)在图②中的△ABC的边AC上找到点F，连接BF，使tan∠FBC=1．
(3)在图③中的△ABC的边AC上找到点G，连接BG，使BG=CG．
【题型5 构造直角三角形求不规则图形的面积】
【例5】（23-24九年级·全国·课后作业）一块四边形空地如图所示，求此空地的面积（结果精确到0.01m2
）．
【变式5-1】（23-24九年级·湖南益阳·期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB=7，
BC=9，CD=3，则四边形ABCD的面积为（ ）A．48 B．50 C．52 D．54
【变式5-2】（2024·四川绵阳·三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC
＝BD＝2，则这个四边形的面积是（ ）
❑√3 ❑√3
A． B． C．❑√3 D．2❑√3
4 2
【变式5-3】（2024·浙江金华·一模）如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运
动，同时出发且速度相同，DE=GF
