文档内容
专题 08 锐角三角形函数
题型6 解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题（重
题型1 锐角三角函数的定义（常考点）
点）
题型2 三角函数的有关运算（重点） 题型7 解直角三角形的实际应用-坡度问题（重点）
题型3 特殊角的三角函数值的有关运算 题型8 解直角三角形的实际应用-方向角问题（重点）
题型4 解直角三角形（常考点） 题型9 解直角三角形的实际应用-其他问题
题型5 解非直角三角形
题型 一 锐角三角函数的定义 （ 共 2 小题 ）
1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，
∠C的对边，则下列式子正确的是（ ）
a a a a
A．cosA= B．cosA= C．tan A= D．tan A=
b c c b
【答案】D
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据余弦、正切的定义逐一判断即可，掌握锐角三角函数
的定义是解题的关键．
【详解】解：如图，
AC b
A cosA= =
AB c
、 ，原选项错误，不符合题意；
AC b
B、cosA= = ，原选项错误，不符合题意；
AB cBC a
C、tanA= = ，原选项错误，不符合题意；
AC b
BC a
D、tanA= = ，原选项正确，符合题意；
AC b
故选：D．
2．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，
则下列选项正确的是（ ）
b b a b
A．sin A= B．cosB= C．tan A= D．tanB=
c c c a
【答案】D
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦，余弦，正切的定义进行计算，即可解答，熟练
掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.
【详解】解：在△ABC中, ∠C=90°，BC=a， AC=b，AB=c，
a a a b
∴sinA= ，cosB= ， tanA= ，tanB= ，
c c b a
故选：D．
题型 二 三角函数的 有关运算 （ 共 1 2 小题 ）
3
1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= ，AB=10，则BC的长是
5
（ ）
A．6 B．8 C．6❑√3 D．8❑√3
【答案】B
【分析】本题主要考查了正弦，利用正弦的定义求值即可．
AC 3
【详解】解：在Rt△ABC中，sinB= = ，
AB 5
AC 3
即 = ，
10 5
解得：AC=6．由勾股定理得，BC=❑√AB2−AC2=❑√102−62=8，
故选：B．
4
2．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB= ，AC=12，则
5
AB的长是 ．
【答案】15
【分析】本题考查三角函数，解题关键在于按照定义找准对应边，其次注意计算仔细即可．
利用正弦三角函数的定义即可直接作答．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
AC 4
∴sinB= =
AB 5
12 4
∴ =
AB 5
∴AB=15．
故答案为：15．
3．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，
❑√3
AF⊥BC于点F，cos∠ADE= ，DF=4，则BF的长为（ ）
2
A．2❑√3 B．4 C．4❑√3 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，余弦函数，掌握这些知识是
关键．由直角三角形斜边上中线的性质可求得AB，再由余弦定义即可求得结果．
【详解】解：∵D 、E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，∴AB=2DF=8，DE∥BC，
∴∠ABF=∠ADE，
❑√3
∴cos∠ADE=cos∠ABF= ，
2
BF ❑√3
在Rt△ABF中，cos∠ABF= = ，
AB 2
❑√3 ❑√3
∴BF= AB= ×8=4❑√3．
2 2
故选：C．
4．（24-25九年级下·重庆大足·期末）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，过A作
3
AG⊥BE于点G，延长AG交BC的延长线于点F．若AB=6，tan∠ABE= ，则CF等于（ ）
4
3 5 5
A．2 B． C． D．
4 4 3
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，先由正方形的性质得到∠ABC=90°，
BC=AB=6，再导角证明∠F=∠ABG，解直角三角形求出BF的长即可得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，BC=AB=6，
∵AG⊥BE，
∴∠AGB=90°，
∴∠GAB+∠GBA=90°=∠BAF+∠F，
∴∠F=∠ABG，
AB 3
∴tan∠F=tan∠ABE= = ，
BF 4
∵AB=6，
∴BF=8，∴CF=BF−BC=2，
故选：A．
5．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D
作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，若AB=4，tan∠CAB=2，则切线DE的长为 ．
【答案】4
【分析】连接OD，由切线的性质可得∠ODE=90°，由等腰三角形的性质可得∠ODB=∠OBD，
∠C=∠OBD，即得∠ODB=∠C，得到OD∥AC，进而得到∠DOE=∠CAB，即可得
DE
tan∠DOE= =2，据此即可求解．
OD
【详解】解：连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
又∵AB=AC，
∴∠C=∠OBD，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴∠DOE=∠CAB，
∵tan∠CAB=2，
∴tan∠DOE=2，
DE
即 =2，
OD
∵AB=4，
∴OD=2，∴DE=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，正确作
出辅助线是解题的关键．
6．（24-25九年级上·广东中山·期末）已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=6，那么下列
各式中，正确的是（ ）．
2 2 2
A．sinB= B．cosB= C．tanB= D．不确定
3 3 3
【答案】A
【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义．先求出BC=2❑√5，再根据三角函数的定义分别求出
∠B的四个三角函数值，进而即可得出答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=6，如图所示：
由勾股定理得：BC=❑√AB2−AC2=2❑√5，
AC 4 2 BC 2❑√5 ❑√5 AC 4 2❑√5
∴sinB= = = ，cosB= = = ，tanB= = = ，
AB 6 3 AB 6 3 BC 2❑√5 5
观察四个选项，选项A符合题意，
故选：A．
7．（24-25九年级上·海南海口·期末）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，则cosB等于（
）4 3 4 3
A． B． C． D．
5 5 3 4
【答案】B
【分析】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，
先作AM⊥BC，构造出直角三角形，再结合余弦的定义.
【详解】过点A作AM⊥BC，垂足为M，
∵AB=AC,AM⊥BC，BC=12，
1
∴BM= BC=6．
2
BM 6 3
在Rt△ABM中，AB=10，cosB= = =
.
AB 10 5
故选：B．
8．（2025·广东深圳·中考真题）如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则
sinA的值为（ ）
2❑√2 ❑√2 1
A． B．3 C． D．
3 4 3
【答案】D
【分析】本题考查了正弦，理解正弦的定义是解题关键．
根据正弦的定义求解即可．【详解】解： BC长为10米，斜道AC长为30米，
∵ 10 1
根据题意得：sinA= = ，
30 3
∴
故选：D
9．（22-23九年级上·广东·期末）如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanB的值为
（ ）
❑√10 5 4
A．1 B． C． D．
4 4 5
【答案】D
【分析】本题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
根据正切函数的定义，可得答案．
【详解】解：如图：
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，AD=4，BD=5，
AD 4
∴tanB= = ，
BD 5
故选D．
10．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交边BC于
点D，若BD=5CD，则tanB= ．❑√6 1
【答案】 / ❑√6
3 3
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，求解三角函数值，先证明
AD=BD=5CD，BC=6CD，结合勾股定理可得AC=❑√AD2−CD2=2❑√6CD，再利用锐角的正
切可得答案．
【详解】解：如图，AB的垂直平分线交边BC于点D，BD=5CD，
∴AD=BD=5CD，BC=6CD，
∵∠C=90°，
∴AC=❑√AD2−CD2=❑√25CD2−CD2=2❑√6CD，
AC 2❑√6CD ❑√6
∴tanB= = = ；
BC 6CD 3
❑√6
故答案为：
3
11．（2024·贵州·模拟预测）Rt△ABC中，∠C=90°，∠A:∠B=1:2，则tanA的值（ ）
1 ❑√3 ❑√3
A． B． C． D．❑√3
2 2 3
【答案】C
【分析】本题考查三角函数，三角形内角和定理，先设∠A的度数为x，则∠B的度数为2x，根据题
意得出x+2x=90°，求出∠A=30°，∠B=60°，进而可求出答案．
【详解】解：设∠A的度数为x，则∠B的度数为2x，
所以x+2x=90°，
解得x=30°，
所以∠A=30°，∠B=60°，
❑√3
所以tan A=tan30°= ．
3
故选：C．题型 三 特殊角的三角函数值 的有关运算 （ 共 3 小题 ）
1．（24-25九年级下·广东深圳·期中）计算：2tan60°−(2025−π) 0−❑√12+
(1) −1
2
【答案】1
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式的性质和负整
数指数幂分别运算，再合并即可，掌握实数的运算法则是解题的关键 ．
【详解】解：原式=2❑√3−1−2❑√3+2
=1．
2．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）计算：|❑√3−2)+2cos30°−(3.14−π) 0．
【答案】1
【分析】本题考查了零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质，解题关键是正确化简．
直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分别代入化简即可．
❑√3
【详解】解：原式=2−❑√3+2× −1
2
=2−❑√3+❑√3−1
=1．
3．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：(π−❑√3) 0 −3tan60°− ( − 1) −1 +❑√12．
2
【答案】3−❑√3
【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再计算加减法即可．
【详解】解：原式=1−3×❑√3−(−2)+2❑√3
=1−3❑√3+2+2❑√3
=3−❑√3．
【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，熟知相关
计算法则是解题的关键．
题型 四 解直角三角形 （ 共 5 小题 ）
1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，
OB在x轴上，若OA=2，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A′的坐标为（ ）A．(❑√3,−1) B．(1,−❑√3) C．(❑√2,−❑√2) D．(−❑√2,❑√2)
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关整式点是
解题的关键．
根据题意得到∠AOA′=75°，OA′=OA=2，求出∠A′OC=∠AOA′−∠AOB=45°，过点A′
❑√2 ❑√2
作A′C⊥OB，得到∠OA′C=90°−∠A′OC=45°，求出OC=A′C= OA′= ×2=❑√2，得
2 2
到A′(❑√2,−❑√2)，即可得到答案．
【详解】解：如图，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，
∴∠AOA′=75°，OA′=OA=2，
∵∠AOB=30°，
∴∠A′OC=∠AOA′−∠AOB=45°，
过点A′作A′C⊥OB，
∴∠A′CO=90°，
∴∠OA′C=90°−∠A′OC=45°，
∴∠OA′C=∠A′OC，
❑√2 ❑√2
∴OC=A′C= OA′= ×2=❑√2，
2 2∴A′(❑√2,−❑√2)，
故选：C．
2．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，以CD为直径作⊙O，分别
交AC、BC于点M、N，过点M作ME⊥AB，交AB于点E．
(1)求证：ME是⊙O的切线；
(2)若CD=5，AC=8，求ME的长．
【答案】(1)见解析
(2)2.4
【分析】本题考查切线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
（1）连接OM，证出OM∥AB，证明OM⊥ME即可；
（2）连接DM，证明DM⊥AC，再由勾股定理求得DM，最后三角形的面积公式求得结果．
【详解】（1）证明：如图，连接OM，
∵∠ACB=90° D
， 为斜边的中点，
1
∴CD=DA=DB= AB，
2
∴∠ACD=∠A，
∵OC=OM，
∴ ∠ACD=∠OMC，
∴ ∠OMC=∠A，
∴ OM∥AB，
∵ME⊥AB，∴ME⊥OM，
∵OM为半径，
∴ME为⊙O的切线；
（2）解：如图，连接DM，
∵CD=5 ∠ACB=90° CD AB
， ， 是斜边 上的中线，
∴BD=CD=AD=5，
∵CD为直径，
∴∠CMD=90°，
∴AM=CM=4，
∴DM=❑√CD2−CM2=3，
1 1
∵S = AM⋅DM= AD⋅ME，
△ADM 2 2
AM⋅DM 4×3
∴ME= = =2.4．
AD 5
3．（2024·山东日照·二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是边AC上的点，点O是边AB上的点，
过点E作⊙O与边BC，AB分别相交于点D，F，D´E=E´F．
(1)求证：AC为⊙O的切线；
3
(2)当BC=6，tan A= 时，求AF的长．
4
【答案】(1)见解析；5
(2)AF的长为 ．
2
【分析】此题考查垂径定理、圆周角定理、切线的判定定理、锐角三角函数等知识，正确地作出辅助
线是解题的关键．
（1）连接DF， 由BF是⊙O的直径，得∠BDF=90°，由D´E=E´F，得OE垂直平分DF，再证明
OE∥BC，则∠OEA=∠C=90°，即可证明AC为⊙O的切线；
3
（2）由勾股定理求出AB=10，设OE=OB=OF=3r，则BF=6r，由tan A= ，进一步求得
4
1 5
r= AF,即可求得AF= ．
2 2
【详解】（1）证明：如图，连接DF，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BDF=90°，
∴BC⊥DF，
∵D´E=E´F，
∴OE垂直平分DF，
∵OE⊥DF，BC⊥DF，
∴OE∥BC，
又∵∠C=90°，
∴∠OEA=∠C=90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴AC为⊙O的切线；
3
（2）解：∵∠C=90°，tanA= ，BC=6，
4
BC 3
∴tan A= = ，
AC 44
∴AC= BC=8，
3
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√82+62=10，
设OE=OB=OF=3r，则BF=6r，
∵∠OEA=90°，
OE 3
∴tanA= = ，
AE 4
4
∴AE= OE=4r，
3
∴OA=❑√OE2+AE2=❑√(3r) 2+(4r) 2=5r，
∴OA=AF+OF=AF+3r=5r，
1
∴r= AF，
2
∵AB=10，
(1 )
∴AF+BF=AF+6r=10，即AF+6× AF =10，
2
5
∴AF= ．
2
4．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在△ACB中，∠A=30°，∠B=45°，AC=8．
(1)求AB的长；
(2)点P在线段AB上，连接CP，且tan∠APC=2，求tan∠BCP的值．
【答案】(1)4❑√3+4
1
(2)
3
【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算．直角三角形两锐角互余，等角对等边等知识．
（1）作CD⊥AB于点D，根据正弦和余弦的定义分别求出CD和AD，根据直角三角形两锐角互余得
出∠BCD=90°−45°=45°=∠B，再根据等角对等边得出BD=CD=4，最后根据线段的和差关
系即可得出答案．
（2）作PE⊥BC于点E，，则∠B=∠EPB=45°，PE=PB，根据正切的定义得出PD=2，进而CD PE
可得出PB，再根据sinB= = ，进而可得出BC，PE，进而了可得出BE=PE=❑√2，最后根据
BC PB
正切的定义求解即可．
【详解】（1）解：作CD⊥AB于点D
在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=8
∴ CD=AC⋅sinA=8×sin30°=4
∴ AD=AC⋅cosA=8×cos30°=4❑√3，
在Rt△BCD中，
∵ ∠B=45°
∴ ∠BCD=90°−45°=45°=∠B
∴ BD=CD=4，
∴ AB=AD+BD=4❑√3+4
（2）解：作PE⊥BC于点E，则∠B=∠EPB=45°，
∴PE=PB，
∵ tan∠APC=2 CD=4
， ，
∴ PD=2
∴ PB=BD−PD=4−2=2，
CD PE
∵ sinB= = ，
BC PB
CD
∴ BC= =4❑√2，
sinB
PE=PB⋅sinB=❑√2
由题意，BE=PE=❑√2，
∴ CE=BC−BE=3❑√2
PE 1
∴ tan∠BCP= =
CE 3
5．（2024·浙江·中考真题）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB=10,AD=6,tan∠ACB=1．
(1)求BC的长；
(2)求sin∠DAE的值．
【答案】(1)14
❑√37
(2)
37
【分析】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，分别解Rt△ADC与
Rt△ADB，得出DC=6，DB=8是解题的关键．
（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再利用tan∠ACB=1得出DC=6；在
Rt△ADB，根据勾股定理求出DB=8，然后根据BC=BD+DC即可求解．
（2）先由三角形的中线的定义求出BE的值，则DE=BD−BE，然后在Rt△ADE中根据正弦函数
的定义即可求解．
【详解】（1）解：在Rt△ABD中，AB=10,AD=6，
∴BD=❑√AB2−AD2=❑√102−62=8，
AD
在Rt△ADC中，tan∠ACB= =1，
DC
∴DC=6，
∴BC=BD+DC=8+6=14；
（2）∵AE是BC边上的中线，
1
∴BE= BC=7，
2
∴DE=BD−BE=8−7=1，
∴AE=❑√AD2+DE2=❑√62+12=❑√37，
DE 1 ❑√37
∴sin∠DAE= = = ．
AE ❑√37 37
题型 五 解非直角三角形 （ 共 3 小题 ）
1．（22-23九年级上·湖南张家界·期末）如图，在△ABC中，∠A=30°,∠B=45°,BC=3❑√2．(1)求AC的值．
(2)求△ABC的面积（结果保留根号）
【答案】(1)AC=6
9❑√3+9
(2)△ABC的面积为
2
【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形．
（1）过点C作CD⊥AB于点D，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可；
（2）利用勾股定理及三角形面积求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．
在Rt△BCD中，∠B=45°，BC=3❑√2，
❑√2
∴ BD=BC⋅cos45°=3❑√2× =3，
2
∴CD=BD=3，
在Rt△ACD中，
∵∠A=30°，
∴AC=6；
（2）解：由（1）知：在Rt△ACD中，AC=6，CD=3，
∴AD=❑√62−32=3❑√3，
∴ AB=AD+BD=3❑√3+3
1 9❑√3+9
∴ S = ×AB×CD= ．
△ABC 2 2
2．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，那么
sin∠ACB的值为（ ）❑√5 ❑√5 2❑√5 1
A． B． C． D．
2 5 5 3
【答案】C
【分析】本题考查解直角三角形，过点B作AC的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的
关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质．
【详解】解：过点B作AC的垂线，垂足为M，设小正方形的边长为a，
∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，
∴AB=❑√a2+(3a) 2=❑√10a，BC=❑√a2+(3a) 2=❑√10a，AC=❑√(2a) 2+(2a) 2=2❑√2a，
∴AB=BC，
∵BM⊥AC，
∴点M是AC的中点，
1 1
∴CM= AC= ×2❑√2a=❑√2a，
2 2
在Rt△BCM中，BM=❑√BC2−CM2=❑√(❑√10a) 2 −(❑√2a) 2=2❑√2a，
BM 2❑√2a 2❑√5
∴sin∠ACB= = = ，
BC ❑√10a 5
2❑√5
∴sin∠ACB的值为 ．
5
故选：C．
1
3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在△ABC中，∠ABC=30°,tanC= ,AB=6，则BC的长
3
为 ．【答案】9+3❑√3/3❑√3+9
【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关
键．作AD⊥BC于D，设AD=x，根据题意可得CD=3x，进而解直角△ADB得出BD=3❑√3，
AD=x=3，即可求解．
【详解】解：如图所示，作AD⊥BC于D，
设AD=x，
1 AD
∵ tanC= = ，
3 CD
∴ CD=3x，
∵ ∠ABC=30°，AB=6，
BD
∴ cos∠ABC= ，
AB
❑√3 BD
即 = ，
2 6
解得：BD=3❑√3，
在△ADB中，AD=❑√AB2−BD2=❑√62−(3❑√3) 2=3，
即：AD=x=3，
∴ CD=3x=9，
∴ BC=BD+DC=3❑√3+9，
故答案为：9+3❑√3．
题型 六 解直角三角形的 实际 应用 - 仰角俯角问题 （ 共 5 小题 ）
1．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也使节能环保
的举措得以落实．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，测倾器
（AB）的高度为1.2米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBF=33°，在与点A相距3.5
米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEF=45°（点A，D与N在一条直线上，AB⊥AN，ED⊥AN，MN⊥AN，BF⊥MN于点F，AB=DE=1.2米），求电池板离地面的高度MN．
（参考数据：tan33°≈0.65,sin33°≈0.54,cos33°≈0.84）
【答案】7.7米
【分析】本题主要查了解直角三角形的实际应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键．
由题意得DE=AB=FN=1.2米，BE=AD=3.5米，∠MFB=90°．设MF=x米，在Rt△MFE中，
根据锐角三角函数可得EF=x米，从而得到BF=(x+3.5)米，然后在Rt△BFM中，根据锐角三角函
数可得MF=6.5米，即可求解．
【详解】解：由题意得，DE=AB=FN=1.2米，BE=AD=3.5米，∠MFB=90°．
设MF=x米，
在Rt△MFE中，∠MEF=45°，
MF
∴EF= =x米，
tan45°
在Rt△BFM中，∠MBF=33°，
MF x
∴tan33°= = ≈0.65，
BF x+3.5
解得x=6.5，
经检验x=6.5是原方程的根．
∴MF=6.5米，
∴MN=MF+FN=6.5+1.2=7.7（米），
答：电池板离地面的高度MN约为7.7米．
2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节
BA与CB的仰角α与β的大小来达成个人舒适的高度，已知调节杆CB=11cm，AB=20cm，AB的最
大仰角α为53°．(1)当点B离桌面高度大约5cm时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？
(2)在（1）的条件下，求点A到桌面的最大高度．（参考数据：
sin53°≈0.80, cos53°≈0.60, tan53°≈1.33, sin27°≈0.45, cos27°≈0.89）
【答案】(1)调整β，使得β=27°
(2)21cm
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
BF 5
（1）过点B作BF⊥CD于点F，求出sinβ= = ≈0.45，根据sin27°≈0.45，即可得出β=27°；
BC 11
（2）过点A作AG⊥BE于点G，则∠AGB=90°，根据AB=20cm，AB的最大仰角α为53°求出
AG的最大值，即可得出答案．
【详解】（1）解：过点B作BF⊥CD于点F，如图所示：
则∠BFC=90°，
∵BC=11cm，BF=5cm，
BF 5
∴sinβ= = ≈0.45，
BC 11
∵sin27°≈0.45，
∴应该调整β，使得β=27°．
（2）解：如图，过点A作AG⊥BE于点G，则∠AGB=90°，
∵AB=20cm，AB的最大仰角α为53°
∴AG的最大值为：20×sin53°=20×0.8=16(cm)，∴点A到桌面的最大高度为16+5=21(cm)．
3．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，无人机在A处观察正面为横跨河流两岸的大桥BC，测得B的
俯角为49°，测得点C的俯角为45°．已知长度为45米的大桥BC与地面在同一水平面上．求无人机在
A处距离地面的高度．（参考数据：sin49°≈0.75, cos49°≈0.66, tan49°≈1.15）
【答案】无人机在A处距离地面的高度为345米
【分析】本题考查了仰俯角解直角三角形，掌握锐角三角函数的计算方法是解题的关键．
如图所示，过点B作BD⊥AE于点D，过点C作CF⊥AD于点F，设AD=x，则
AF=AD+DF=(x+45)米，所以AF=FC=BD=(x+45)米，在Rt△ABD中由三角函数值的计算
BD
得到tan∠FAB=tan49°= ，可求出AD≈300米，由AF=FC=x+45即可求解．
AD
【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥AE于点D，过点C作CF⊥AD于点F，则无人机在A处距
离地面的高度为BD（或CF或AF）的值，
∴DF=BC=45米，∠EAC=45°，∠EAB=49°，
设AD=x，则AF=AD+DF=(x+45)米，
∴AF=FC=BD=(x+45)米，
BD
在Rt△ABD中，tan∠FAB=tan49°= ，
AD
x+45
∴ ≈1.15，
x
解得，x≈300，
∴AF=FC=x+45=300+45=345（米），
∴无人机在A处距离地面的高度为345米．4．（24-25九年级上·广西来宾·期末）【综合与实践】数学课上，“奋进”学习小组的同学自制测角仪器
（如图1）．把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单
的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角．将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚
好看到被测物最高点即可测量出被测物．
例：如图2，已知人眼睛离地面BE=1.6m，测得树顶仰角为37°，人和树的水平距离为4m．求树的
3 4 3
高度（sin37°= ，cos37°= ，tan37°= ）．
5 5 4
AC 3
解：因为tan37°= = ，其中BC=DE=4m，BE=CD=1.6m．
BC 4
所以求得AC=3m，所以树高AD=AC+CD=4.6m．
(1)“奋进”小组的同学站在地面测量某棵树，人眼睛离地面为1.6m，测得树顶仰角为60°，测量点到
树脚距6m，求树的高度（结果保留2位小数．参考数据：❑√2≈1.414，❑√3≈1.732）．
(2)湖泊中间有一座古塔，无法测量古塔到岸边的距离，为了能够计算出古塔的高度，“创新”小组计
划通过图3的方式进行测量计算，已知操作者高度1.6m，测得α=45°，β=60°，两个测量点距离9m，
用这个方法是否能够计算出古塔高度？若能，请计算出古塔高度，若不能，请说明理由：
(3)在原有仪器情况下增加一面镜子并且已知古塔与岸边的距离，你能否给出新的测算方法，请画出示
意图并加以说明．
【答案】(1)11.99m；
151+45❑√3
(2)能，古塔高度为 m；
10
(3)见解析．
【分析】（1）先根据题意抽象出示意图，结合示意图和题中示例进行运算即可得解；
（2）先由题意画出示意图，再结合解直角三角形求解即可；
（3）（方法不唯一）结合相似三角形的判定与性质可得出新的测量方法．
【详解】（1）解：如图，∵仰角为60°，树高AD，人眼睛离地面高度为BE，人和树的距离DE，AC
tan60°=❑√3= ，其中BC=DE=6m，
BC
∴AC=6×❑√3≈10.39m，
∵CD=BE=1.6m，
∴树AD=AC+CD=1.6+10.39=11.99m；
（2）解：能，
如图，以操作者高度为水平线作示意图，其中∠B=α=45°，∠ADB=β=60°，两个测量点距离为
BD，
设塔高于人的部分AC为xm，
AC
tan45°= =1，得BC=xm，
BC
∴CD=BC−BD=(x−9)m，
AC x
∵tan60°= = =❑√3，
CD x−9
27+9❑√3
解得x= ，
2
27+9❑√3
即塔高于人的部分为 m，
2
27+9❑√3 151+45❑√3
∴古塔高度为1.6+ = m；
2 10
（3）解：（方法不唯一）如图，将镜子置于地面，测量者往远离古塔的方向走并看向镜子，直到在
镜子中看到塔尖，此时用测量角的仪器测出俯视角（∠D）的度数，由反射定律可知，△ABC相似于△DBE，再测量出人和镜子的距离以及人眼睛离地面高度，利用相似三角形对应边成比例即可算
出古塔AC的高．
【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的实际应用、相似三角形的应用，解题关键是熟练解直角
三角形相关知识点．
题型 七 解直角三角形的 实际 应用 - 坡度问题 （ 共 6 小题 ）
1．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的
宣传牌CD．该校九年级(1)班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部
D的仰角为56°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，AB=8米，AE=16米，已知
斜坡AB的坡角为45°，(参考数据：sin56∘≈0.83，cos56∘≈0.56，tan56∘≈1.5，❑√2≈1.41；精确
到0.01米)
(1)求综合楼的高度DE；
(2)求宣传牌的高度CD．
【答案】(1)综合楼的高度DE为24.00m
(2)宣传牌的高度CD为3.28m
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义
是解题的关键．
(1)根据正切的定义求出DE；
(2)过点B作BF⊥CE于F，BG⊥EA，交EA的延长线于G，解Rt△ABG求出BG、AG，进而求
出CF，结合图形计算，得到答案．
【详解】（1）解：在Rt△DAE中，∠DAE=56∘，AE=16米，DE
∵tan∠DAE= ，
AE
∴DE=AE⋅tan∠DAE≈16×1.5=24(m)，
答：综合楼的高度DE约为24.00m；
（2）解：如图，过点B作BF⊥CE于F，BG⊥EA，交EA的延长线于G，
则四边形BGEF为矩形，
∴BG=EF，BF=≥¿，
由题意得∠BAG=45°，而AB=8米，
❑√2
∴在Rt△ABG中，AG=BG=AB×sin∠BAG= AB=4❑√2(m)，
2
∴≥=AG+AE=(4❑√2+16)m，
∵∠CBF=45∘，BF⊥CE，
∴CF=BF=≥=(4❑√2+16)m，
∴CD=CF+EF−DE=4❑√2+16+4❑√2−24≈3.28(m)，
答：宣传牌的高度CD约为3.28m．
2．（2024·湖北宜昌·三模）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长CD与AB交于E点，已知坡道
AB的坡比i=1：2.4，AC的长为7.2米，CD的长为0.4米．
(1)请求出DE的长；
(2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到AB的距离）．
【答案】(1)2.6米
(2)该车库入口的限高数值为2.4米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线．
1 5 CE 5
（1）根据i=1：2.4，得出tan∠CAB= = ，即 = ，求出CE=3米，得出
2.4 12 AC 12
DE=3−0.4=2.6（米）；
5
（2）过点D作DH⊥AB于H，证明∠EDH=∠CAB，得出tan∠EDH=tan∠CAB= ，设
12
EH=5x，DH=12x，根据勾股定理求出DE=❑√DH2+EH2=❑√(12x) 2+(5x) 2=13x，根据
DE=2.6米，得出x=0.2，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：由题意可知，AC⊥CE，
∵i=1：2.4，
1 5
∴tan∠CAB= = ，
2.4 12
CE 5
∴ = ，
AC 12
∵AC=7.2米，
∴CE=3米．
∵CD=0.4米，
∴DE=3－0.4=2.6（米）；
（2）解：过点D作DH⊥AB于点H，如图所示：
∵∠EDH＋∠DEH=∠CAB＋∠DEH=90°，
∴∠EDH=∠CAB，
5
∵tan∠CAB= ，
125
∴tan∠EDH=tan∠CAB= ，
12
EH 5
∴ = ，
DH 12
∴设EH=5x，DH=12x，
∴DE=❑√DH2+EH2=❑√(12x) 2+(5x) 2=13x，
∵DE=2.6米，
∴13x=2.6，
解得x=0.2，
∴DH=12x=12×0.2=2.4（米），
答：该车库入口的限高数值为2.4米
3．（24-25九年级上·山东聊城·期中）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，
为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡
AB=200米，坡度为1:❑√3；斜坡AB改造为斜坡CD，斜坡CD=260米，其坡度为1:3．求斜坡AB下
降的高度AC．（结果保留根号）
【答案】斜坡AB下降的高度AC为(100−26❑√10)米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，30°的直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方
程，熟练掌握掌握解直角三角形的应用是解题关键．
根据坡度与坡角的关系得到∠ABE=30°，利用30°的直角三角形的性质求得AE=100米，再根据坡
度的概念，设CE=x米，则ED=3x米，利用勾股定理构建一元二次方程，解方程，即可求解．
【详解】解：∵改造前，斜坡坡度1:❑√3，
1 ❑√3
∴ tan∠ABE= = ，
❑√3 3
∴ ∠ABE=30°，
1
∴ AE= AB=100（米），
2
∵改造后，斜坡坡度1:3，CE 1
∴ tan∠D= = ，
ED 3
设CE=x米，则ED=3x米，
∵在Rt△CED中，CE2+ED2=CD2，且CD=260米，
∴ x2+(3x) 2=2602，解得：x=26❑√10，
∴ CE=26❑√10米，
∴ AC=AE−CE=(100−26❑√10)米，
∴斜坡AB下降的高度AC为(100−26❑√10)米．
4．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖
直的建筑物CD．在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度
i=1:3,AB=10❑√10米，CD⊥BN．（点A,B,C,D在同一竖直平面内）．
(1)求平台BN的高度；
(2)求建筑物的高度（即CD的长）．
【答案】(1)10米
(2)(15❑√3−15)米
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定及性质．
BE 1
（1）过点B作BE⊥AM于点E，则∠AEB=90°，根据斜坡AB的坡度i= = ，得到AE=3BE，
AE 3
从而在Rt△ABE中，根据勾股定理构造方程，求解即可；
（2）延长CD交AM于点F，得到四边形BDFE是矩形，因此DF=BE=10米，BD=EF，设CD=x
米，则CF=CD+DF=x+10（米），通过解直角三角形在Rt△ACF中，求得
CF CD ❑√3
AF= =❑√3(x+10)（米），在Rt△BCD中，求得∴BD= = x（米），
tan∠CAF tan∠CBD 3进而根据AF=AE+EF列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：过点B作BE⊥AM于点E，则∠AEB=90°
BE 1
∵斜坡AB的坡度i= = ，
AE 3
∴AE=3BE，
∵在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，
即(3BE) 2+BE2=(10❑√10) 2 ，
∴BE=10米，
∴平台BN的高度是10米．
（2）解：延长CD交AM于点F，
∵CD⊥BN，BN∥AM，
∴CD⊥AM，
∴四边形BDFE是矩形，
∴DF=BE=10米，BD=EF，
设CD=x米，则CF=CD+DF=x+10（米），
∵在Rt△ACF中，∠CAF=30°，
CF x+10
∴AF= = =❑√3(x+10)（米），
tan∠CAF tan30°
∵在Rt△BCD中，∠CBD=60°，CD x ❑√3
∴BD= = = x（米），
tan∠CBD tan60° 3
❑√3
∴EF=BD= x米，
3
由（1）有AE=3BE=3×10=30（米），
∵AF=AE+EF，
❑√3
∴❑√3(x+10)=30+ x，
3
解得x=15❑√3−15，
∴CD=15❑√3−15（米），
即建筑物的高度（即CD的长）为(15❑√3−15)米．
5．（24-25九年级上·浙江金华·期末）某班的同学想测量教学楼AB的高度，如图，点A、B、C、D在同
一平面内，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为8米，它的坡度i=1:❑√3（坡度=垂直高度h：水平
宽度l），在离C点30米的D处，测得教学楼顶端A的仰角为37°．
(1)求点C到AB的水平距离．
(2)教学楼AB的高度约为多少米．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75，❑√3≈1.73）
【答案】(1)4❑√3米
(2)约23.7米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握坡度、仰角的含义，构造直角三角形是解题的关键；
（1）过B作BE⊥DC于E，由坡度设BE=x米，则CE=❑√3x米，由勾股定理得BC=2x米，由BC
的长度即可求得x，从而求解；
（2）由（1）所求得DE，再由正切函数关系求得AE，则AB=AE−BE即可求解．
【详解】（1）解：如图，过B作BE⊥DC于E，∵坡度i=1:❑√3=BE:CE，
∴设BE=x米，则CE=❑√3x米，
由勾股定理得BC=❑√BE2+CE2=2x米，
∵BC=8米，
∴2x=8，
∴x=4，
∴CE=4❑√3米；
答：点C到AB的水平距离为4❑√3米．
（2）解：由（1）知，DE=CD+CE=(30+4❑√3)米，
AE
在Rt△ADE中，tan∠ADE= ，
DE
∴AE=DE⋅tan37°=0.75(30+4❑√3)=(22.5+3❑√3)米，
∴AB=AE−BE=22.5+3❑√3−4≈23.7（米）．
答：教学楼AB的高度约为23.7米．
6．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）国庆节期间，张华与李明相约攀登梵净山附近的一座小山．如图，
已知山高534m（即图中DF=534m且∠AFD=90°），他们先由山脚A处步行300m到达山腰B处，
此后坡度变陡，他们放慢速度再由B处到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，山坡
AB的坡度i=1:❑√3，山坡BD与水平线的夹角为53°．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，
tan53°≈1.33）
(1)求B，D两地的垂直高度DE；
(2)若他们攀登第一段斜坡AB时的速度为30m/min，攀登第二段斜坡BD的速度为16m/min，求他们从山脚A处到达山顶D处需要多少分钟．
【答案】(1)384m
(2)40
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数解直角三角形是解题的关键．
（1）过点B作BC⊥AE，利用含30°角的直角三角形的性质进行计算即可；
（2）求出BD的长，再求出AB、BD所用时间和即可得到答案．
【详解】（1）解：过点B作BC⊥AE，
则四边形BEFC是矩形，
由山底A处先步行300m到达B处，山坡AB的坡度i=1:❑√3，DF=534m，
∴∠A=30°,AB=300，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
1
∴EF=BC= AB=150m，
2
∴DE=DF−EF=384m，
答：B，D两地的垂直高度为384m；
（2）解：在Rt△BDE中，∠DEB=90°,∠DBE=53°,DE=384，
DE 384
∴BD= = =480m，
sin53° 0.8
300 480
∴ + =40，
30 16
答：他们从山脚A处到达山顶D处需要40分钟．
题型 八 解直角三角形的 实际 应用 - 方向角问题 （ 共 4 小题 ）
1．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得
船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东30°的方向，求船C离海岸线l的距离（即CD的
长）（结果不取近似值）．【答案】船C离海岸线l的距离为(3+❑√3)km
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．
由题意得∠ACD=45°,∠BCD=30°，则△ACD为等腰直角三角形，则AD=CD，解Rt△BCD
❑√3 ❑√3
得BD=CD⋅tan30°= CD，由线段和差得到2+ CD=CD，即可求解．
3 3
【详解】解：由题意得∠ACD=45°,∠BCD=30°，
在Rt△ACD中，∵∠ACD=45°，
∠ACD=∠CAD=45°，
∴AD=CD，
在Rt△BCD中，∵∠BCD=30°，
❑√3
∴BD=CD⋅tan30°= CD
3
∵AB=2，
❑√3
∴ 2+ CD=CD
3
∴CD=3+❑√3
答：船C离海岸线l的距离为(3+❑√3)km
2．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，小南家A位于一条东西走向的笔直马路上，超市B在A地的
正东方．午休时间，小南从家A出发沿北偏东60°方向步行600m至菜鸟驿站C取快递．下午第一节网
课是美术课，此时距离上课时间只有7min，他决定先沿西南方向步行至超市B购买素描画纸，再沿正
西方向回到家上网课．(参考数据：❑√2≈1.414，❑√3≈1.732)(1)求菜鸟驿站C与超市B的距离(保留整数)；
(2)若小南的步行速度为80m/min，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．(忽略买素描画纸的时
间)
【答案】(1)菜鸟驿站C与超市B的距离约为424m
(2)小南上美术网课会迟到，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理和用三角函数解决实际问题，通过作辅助线，构造直角三角形，利用三
角函数求解是解题的关键．
（1）过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，先根据三角函数求出CD的长，再根据三角函数求
BC的长即可；
（2）先根据三角函数求出AD的长，再计算即可．
【详解】（1）解：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，则∠CDB=90°，
由题意可知，AC=600m，∠CAD=90°−60°=30°，∠BCD=45°，
1 1
∴CD= AC= ×600=300(m)，△BCD是等腰直角三角形，
2 2
∴BD=CD=300m，
∴BC=❑√2CD=300❑√2≈424m．
答：菜鸟驿站C与超市B的距离约为424m．
CD ❑√3
（2）解：小南上美术网课会迟到，理由：在Rt△ACD中，tan∠CAD= =tan30°= ，
AD 3
∴AD=❑√3CD=300❑√3m，
∴AB=AD−BD≈219.6m，∴BC+AB≈424.2+219.6≈644m．
∵644÷80=8.05>7，
∴小南上美术网课会迟到．
3．（23-24九年级上·广西北海·期末）如图所示，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船向正东
方向航行了12km到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上．
(1)求这时渔船与灯塔C的距离．
(2)若渔船继续向正东方向行驶4km到达D处，求sin∠BCD的值．
【答案】(1)这时渔船与灯塔C的距离为4❑√3km
1
(2)sin∠BCD的值是
2
【分析】本题考查了与方位角有关的解直角三角形的应用．
（1）在Rt△CAB中，∠CAB=30°，利用正切函数即可求得BC的长；
（2）由勾股定理求得CD的长，再由正弦函数的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵A处看到灯塔C在北偏东60°，
∴∠CAB=30°，
∵渔船向正东方向航行了12km到达B处，
∴AB=12，
❑√3 BC
∵tan∠CAB = = ，
3 AB
❑√3
∴BC= AB=4❑√3；
3
答：这时渔船与灯塔C的距离为4❑√3km；
（2）解：∵BD=4，BC=4❑√3，
在Rt△CDB中，CD=❑√BC2+BD2=8 ，
BD 4 1
∴sin∠BCD ＝ ＝ ＝ ；
CD 8 21
答：sin∠BCD的值是 ．
2
4．（24-25九年级上·重庆南岸·期末）如图，A，B两地的直线距离为7km，但因湖水相隔，不能直接到达．
从A到B有两条路可走．线路1：从A−C−B；线路2：从A−D−B．从地图上可得到以下数据：
点C位于A的正北方向，且在B的北偏西63°的方向；点D在A的东南方向，且位于B的南偏西37°
方向．（参考数据：❑√2≈1.4，❑√5≈2.24，sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈2，
sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
(1)求AD的长度；（保留1位小数）
(2)通过计算说明，线路1和线路2，那条线路更短．
【答案】(1)5.7km
(2)线路2比线路1短，见解析
【分析】（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E．解直角三角形即可．
（2）解直角三角形后比较大小解答即可．
本题考查了解直角三角形，方向角，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：过点D作DE⊥AB，垂足为E．
∴∠AED=90°．
∵∠EAD=45°，∠EDB=37°，
∴AE=DE，BE=DE·tan37°=0.75AE．
∵AB=AE+BE=7km，
∴AE+0.75AE=7．∴AE=4．
∴AE=DE=4km，BE=3km．
∴AD=❑√2AE=4❑√2≈5.7km．
故AD的长为5.7km．
（2）解：由（1）可得，在Rt△BDE中，
BE
sin37°= ，
BD
BE 3
即BD= ≈ =5km．
sin37° 0.60
AB
在Rt△ACB中，tan∠C=tan63°= ，
AC
AB 7
即AC= ≈ =3.5km．
tan63° 2
AB
sin63°= ，
BC
AB 7
即BC= ≈ ≈7.865km．
sin63° 0.89
线路1：AC+CB=3.5+7.865≈11.4km；
线路2：AD+BD=5.656+5≈10.7km．
∵11.4>10.7，
∴线路2更短．
故线路2比线路1短．
题型 九 解直角三角形的 实际 应用 - 方向角问题 （ 共 4 小题 ）
1．（2024·浙江绍兴·二模）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某
种手机支架如图1所示，立杆AB垂直于地面，其高为115cm,BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC
长为30cm,CD为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度．（参考数据：
sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33）(1)如图2，当B、C、D三点共线，CD=40cm时，且支杆BC与立杆AB之间的夹角∠ABC为53°，
求端点D距离地面的高度；
(2)调节支杆BC，悬杆CD，使得∠ABC=60°,∠BCD=97°，如图3所示，且点D到地面的距离
为148cm，求CD的长．（结果精确到1cm）
【答案】(1)73cm
(2)60cm
【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算是解题的关键．
（1）如图所示，过点D作EF⊥AF，过点B作BE⊥EF于点E，则EF=AB=115cm，由题意得到
BD=BC+CD=30+40=70cm,∠BDE=∠ABC=53°，在Rt△BDE中，
DE
cos∠BDE=cos53°= ，可得DE≈42cm，再根据DF=EF−DE，即可求解；
BD
（2）如图所示，过点D作DG⊥AG，过点C作KH⊥DG，交AB,DG于点K，H，则
1 1
BK= BC= ×30=15cm，
2 2
AK=GH=AB−BK=115−15=100cm,DH=DG−GH=148−100=48cm，在Rt△CDH中，
DH
由sin∠DCH=sin53°= ，即可求解．
CD
【详解】（1）解：如图所示，过点D作EF⊥AF，过点B作BE⊥EF于点E，则EF=AB=115cm，
∵CD=40cm,AB=115cm,BC=30cm，∴BD=BC+CD=30+40=70cm,∠BDE=∠ABC=53°，
DE
在Rt△BDE中，cos∠BDE=cos53°= ，
BD
∴DE=BD⋅cos53°≈70×0.60=42cm，
∴DF=EF−DE=115−42=73cm，
∴端点D距离地面的高度为73cm；
（2）解：如图所示，过点D作DG⊥AG，过点C作KH⊥DG，交AB,DG于点K，H，
∵∠ABC=60°,BC=30cm，
BK 1
∴∠BCK=30°，cos∠B=cos60°= = ，
BC 2
1 1
∴BK= BC= ×30=15cm，
2 2
∴AK=GH=AB−BK=115−15=100cm，
∵DG=148cm，
∴DH=DG−GH=148−100=48cm，
∵∠BCD=97°，
∴∠DCH=180°−∠BCD−∠BCK=53°，
DH
在Rt△CDH中，sin∠DCH=sin53°= ，
CD
DH 48
∴CD= ≈ =60cm．
sin53° 0.80
2．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）拉杆箱是外出旅行的常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示(滚
轮忽略不计)，箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在
同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节(AB)时，AC与地面夹角∠ACP=53°；如图2，当拉杆伸
出两节(AM，MB)时，AC与地面夹角∠ACP=37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．
4 4
求每节拉杆的长度(单位：cm，结果保留整数)．(参考数据： sin53°≈ ， tan53°≈ ，
5 33 3
sin37°≈ tan37°≈ )
5 4
【答案】30cm
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．设每节拉杆长为xcm，则图1中AB=xcm，
AC=(x+60)cm，图2中AB=2xcm，AC=(2x+60)cm，在图1中，过点A作AF⊥CP于点F，利用
4 6
三角函数可得AF= x+48；在图2中，过点A作AH⊥CP于点H，利用三角函数可得AH= x+36，
5 5
结合两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同，可得关于x的方程并求解，即可获得答案．
【详解】解：设每节拉杆长为xcm，则图1中AB=xcm，AC=(x+60)cm，
图2中AB=2xcm，AC=(2x+60)cm，
在图1中，过点A作AF⊥CP于点F，
在Rt△ACF中，∠AFC=90°，
AF
∵sin∠ACF= ，
AC
4
∴AF=AC×sin∠ACF= x+48，
5
在图2中，过点A作AH⊥CP于点H，在Rt△ACH中，∠AHC=90°，
AH
∵sin∠ACH= ，
AC
6
∴AH=AC×sin∠ACH= x+36，
5
∵AF=AH，
4 6
∴ x+48= x+36，
5 5
解得：x=30．
答：每节拉杆长30cm．
3．（23-24九年级上·湖南邵阳·期末）汉中龙头山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内
修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光
索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC．索道AB与AF的夹角为15°，
CD与水平线夹角为45°，点B的垂直高度BE为130m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在
同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．）
(1)求索道AB的长（结果精确到1m）；
(2)求山顶点D到水平地面的距离DF的长（结果精确到1m）．
（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，❑√2=1.41）
【答案】(1)500m
(2)483m
【分析】本题考查直角三角形的实际应用问题．BE
（1）Rt△ABE中，利用AB= 即可求解；
sin∠BAE
DG
（2）在Rt△CGD中，sin∠DCG= ，先求出DG的高长度，再加BE的高度即可求解．
CD
BE
【详解】（1）解：在Rt△ABE中，sin∠BAE=
AB
∵由题意得∠BAE=15°，
BE BE 130
∴AB= = ≈ =500（m）；
sin∠BAE sin15° 0.26
即索道AB的长约为500m.
（2）解：如图，延长BC交直线DF于点G，易得CG⊥DF，
DG
在Rt△CGD中，sin∠DCG=
CD
∵由题意得∠DCG=45°，
∴DG=CD×sin∠DCG=500sin45°≈352.5（m）
DF=DG+GF=DG+BE=352.5+130≈483（m）
即山顶点D到水平地面的距离DF的长约为483m.
4．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的
化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实
1
验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB=24cm，BE= AB，试管倾斜角∠ABG为14°（
3
sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，结果保留一位小数）．
(1)求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；(2)实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN丄CF于点N（点C，D，
N，F在一条直线上），经测得：DE=28cm，MN=8cm，∠ABM=149°，求线段DN的长度．
【答案】(1)7.8cm
(2)25.8cm
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，理解题意
是解题的关键；
（1）由题意可求得BE的长，再由余弦函数定义即可求得BG的长；
（2）由正弦函数求得EG；延长GB，NM交于点H，则得四边形DNHG是矩形，求得NH，MH，
再由条件得BH=HM，最后由DN=GH=BG+BH即可求解．
1
【详解】（1）解：∵AB=24cm，BE= AB，
3
1
∴BE= ×24=8cm，
3
BG
∵cos14°= ，
8
∴BG=8cos14° =8×0.97≈7.8(cm)
EG
（2）解：∵sin14°= ，
BE
∴EG=8sin14°(cm)，
延长GB，NM交于点H，
∴ DNHG
四边形 是矩形，
∴NH=DG=DE−EG=(28−8sin14°)cm，DN=GH，
∴HM=NH−MN=(20−8sin14°)cm，
∵∠ABG=14°，∠ABM=149°，
∴∠FBG=135°，
∴∠MBH=45°，
∴∠MBH=∠BMH=45°，
∴BH=HM=(20−8sin14°)cm，
∴DN=GH=BG+BH=8cos14°+20−8sin14°
=8×0.97+20−8×0.24
≈25.8(cm)；
答：线段DN的长度为25.8cm．
