文档内容
2.2.3 直线的一般式方程
【划重点】
1．掌握直线的一般式方程.
2．理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.
3．会进行直线方程的五种形式之间的转化．
【知识梳理】
知识点一 直线的一般式方程
关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不
同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
知识点二 直线的五种形式的方程
形式 方程 局限
点斜式 y－y＝k(x－x) 不能表示斜率不存在的直线
0 0
斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线
两点式 ＝ x≠x，y≠y
1 2 1 2
截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0 无
知识点三 直线各种形式方程的互化
知识点四 一般式下直线的平行与垂直
设直线l 与l 的方程分别为Ax＋By＋C ＝0(A，B 不同时为0)，Ax＋By＋C ＝0(A，B 不同时为0)，
1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2则l∥l⇔
1 2
l⊥l⇔AA＋BB＝0.
1 2 1 2 1 2
【例题详解】
一、直线的一般式方程
例1 由下列各条件，写出直线的方程，并且化成一般式：
(1)斜率是 ，经过点 ；
(2)经过点 ，平行于x轴；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是 ；
(4)经过两点 ；
(5)在x轴上的截距是 ，倾斜角是 ；
(6)倾斜角为 ，与y轴的交点到x轴的距离是3．
跟踪训练1 根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式.
（1）经过点 ，斜率是 ；
（2）经过点 ，平行于x轴；
（3）经过点 ， ；
（4）在x轴、y轴上的截距分别是 ， ．
二、直线的一般式方程的应用例2 设直线 的方程为 .
（1）若 在两坐标轴上的截距相等，求 的值；
（2）若 不经过第三象限，求 的取值范围.
例3 直线的方程 中的A，B，C满足什么条件时直线分别具有如下性质？
(1)过坐标原点；
(2)与两条坐标轴都相交；
(3)与x轴无交点；
(4)与y轴无交点；
(5)与x轴垂直；
(6)与y轴垂直．
跟踪训练2 已知直线 .
(1)当直线l在x轴上的截距是它在y上的截距3倍时，求实数a的值：
(2)当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围.
跟踪训练3 已知实数 满足 ，则直线 过定点 .
三、一般式下直线的平行与垂直的问题例4 已知直线 和直线 .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若 ，求实数 的值.
跟踪训练4 （多选）下列各直线中，与直线 平行的是（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练5 判断下列各组直线是否垂直，并说明理由：
(1) ， ；
(2) ， ；
(3) ， ；
(4) ， ．【课堂巩固】
1．不论 为何实数，直线 恒通过一个定点，这个定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线 与 平行，则系数 （ ）
A． B． C． D．
3．直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
4．若直线 与 垂直，则m的值为（ ）
A． B． C．5 D．
5．已知直线 ， 的倾斜角分别为 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
6．当点 到直线 的距离取得最大值时， （ ）
A． B． C． D．7．直线 经过的定点坐标是 ．
8．根据下列条件，求直线的一般方程．
(1)过点 ，且与直线 平行；
(2)与直线 垂直，且与 ， 轴的正半轴围成的三角形的面积等于4．
9．在①直线BC的斜率为 ；②直线AC的斜率为 这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并
解答下面的问题．
已知以角A为顶角的等腰三角形ABC的顶点 ，______．
(1)求直线AC的一般式方程；
(2)求直线BC的一般式方程；
(3)求角A的角平分线所在直线的一般式方程．
10．已知直线 的方程为 ，求直线 的一般式方程， 满足：
(1)过点 ，且与 平行；
(2)过点 ，且与 垂直.
11．已知直线 ．
（1）求证：无论 为何值，直线 总过第三象限；（2） 取何值时，直线 不过第二象限？
12．在平面直角坐标系xOy中，设直线 方程为 .
(1)求证：直线恒过一个定点 ，并求出定点 的坐标；
(2)若直线 分别交 轴正半轴、 轴正半轴于A，B两点， 表示 的面积，求 的最小值.
【课时作业】
1．已知直线 ，直线 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C．-2或-1 D．
2．如果 且 ，那么直线 不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．不论 为何实数，直线 恒过一个定点，则这个定点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．在 中，已知点 ， ，且 边的中点M在 轴上， 边的中点N在 轴上，则直
线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3，而且它的斜率是直线 的斜率的相反数，则（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
6．直线 与连接 的线段相交，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线 在x轴的截距大于在y轴的截距，则A、B、C应满足条件（ ）
A． B． C． D．
8．过点 ，且与原点距离最远的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．直线l过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是 .
10．已知直线 恒过定点A，点A在直线 上，则
的最小值为 .11．已知直线 的倾斜角是所求直线 的倾斜角的大小的5倍，且直线 分别满足下列条件：
（结果化成一般式）
（1）若过点 ，求直线 的方程．
（2）若在 轴上截距为 ，求直线 的方程．
（3）若在 轴上截距为3，求直线 的方程．
12．求满足下列条件的直线的方程.
（1）经过点 ，且与直线 平行；
（2）经过点 ，且平行于过 和 两点的直线；
（3）经过点 ，且与直线 垂直．
13．在平面直角坐标系 中，直线 ， .
（1）求直线 经过定点的坐标；
（2）当 且 时，求实数 的值.
14．已知直线 的方程为 ，按照下列要求，求直线 的方程：(1) 与 垂直，且过点 ；
(2) ，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6.
15．已知 的顶点坐标分别是 ， ， .
(1)求 边上的中线所在直线的方程；
(2)求过点 且与直线 平行的直线方程；
(3)若点 ，当 时，求直线 倾斜角的取值范围．
16．已知直线 过点（1，2）.
(1)若直线 与 平行，求直线 的方程；
(2)若直线 与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，O为坐标原点，求 的面积的最小值.
