文档文本内容
2.4 圆的方程
【划重点】
1．掌握圆的定义及标准方程与一般方程.
2．会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.
3．会用待定系数法求圆的方程.
4．能准确判断点与圆的位置关系．
【知识梳理】
知识点一 圆的标准方程
(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.
(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2.
知识点二 圆的一般方程
1．圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件 图形
D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点
D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆
知识点三 点与圆的位置关系
点M(x，y)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
0 0
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 |CM|＝r (x－a)2＋(y－b)2＝r2
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点M在圆外 |CM|>r (x－a)2＋(y－b)2>r2
0 0
点M在圆内 |CM|<r (x－a)2＋(y－b)2<r2
0 0
【例题详解】
一、求圆的标准方程
例1 (1)圆心 ，半径为 的圆的方程是（ ）A． B．
C． D．
(2)某圆经过 两点，圆心在直线 上，则该圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
(3)求满足下列条件的圆的方程：
(i)经过点 ， ，圆心在 轴上；
(ii)经过直线 与 的交点，圆心为点 .
跟踪训练1 (1)经过三个点 的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
(2)圆心在 轴上，半径为1，且过点 的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、圆的一般方程的辨析例2 (1)圆 的圆心坐标和半径分别为（ ）
A． ，3 B． ，3 C． ，9 D． ，9
(2)方程 表示一个圆，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
跟踪训练2 (1)若圆C： 的半径为1，则实数 （ ）
A． B． C． D．
(2)将圆 平分的直线是（ ）
A． B．
C． D．
三、求圆的一般方程
例3 (1)过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
(2)求以 为圆心，且经过点 的圆的一般方程（ ）
A． B．
C． D．跟踪训练3 已知圆C过点 .
(1)求圆C的方程；
(2)求圆C关于直线 对称圆的方程.
四、点与圆的位置关系
例4 (1)点 在圆 的（ ）
A．圆上 B．圆内 C．圆外 D．无法判定
(2)直线 与圆 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．与k取值有关
(3)若点 在圆 的外部，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
跟踪训练4 (1)点 与圆 的位置关系是 ．（填“在圆内”、“在圆
上”、“在圆外”）
(2)若点（1，1）在圆 的外部，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
五、求动点的轨迹方程
例5 已知圆 经过点 ， ，且圆 与 轴相切．
(1)求圆 的一般方程；
(2)设 是圆 上的动点，求线段 的中点 的轨迹方程．
跟踪训练5 已知圆C经过（2，6），（5，3），（2，0）三点．
(1)求圆C的方程；
(2)设点A在圆C上运动，点 ，且点M满足 ，求点M的轨迹方程．
【课堂巩固】
1．圆 的半径为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
2． 三个顶点的坐标分别是 ， ， ，则 外接圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．“ ”是“方程 表示圆”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．圆 关于直线 对称的圆的方程为 ．
5．直线 始终平分圆 的周长，则 的最小值为 ．
6．已知圆 关于直线 对称，则 .
7．过点 的直线与圆 交于点B，则线段 中点P的轨迹方程为 .
8．已知圆过点 ， ．
(1)求圆心所在直线的方程；
(2)求周长最小的圆的标准方程；
(3)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程；
(4)若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程．
9．（1）已知 的三个顶点分别为 ， ， ，求 的外接圆的方程．
（2）已知点 在圆 ： 外，求实数 的取值范围．
10．已知点 ， ，动点 满足 .(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)已知曲线 与圆 的交点为 ， ，点 ，求 外接圆的一般方程.
【课时作业】
1．已知圆 经过点 ， ，且圆心在直线 上，则圆 的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．若 的三个顶点坐标分别为 ， ， ，则 外接圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线l过圆 的圆心，且与直线2x＋y－3＝0垂直，则l的方程为（ ）
A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝0
4．圆 的圆心到直线x-y+3=0的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．方程 表示圆，则该圆半径 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
6．如果圆 关于直线 对称，则有（ ）
A． B．
C． D．
7．若圆 的面积是 ，则该圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．设 ， 为实数，若直线 与圆 相交，则点 与圆的位置关系是（ ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定
9．（多选）已知曲线 （ ）
A．若 ，则C是圆
B．若 ， ，则C是圆
C．若 ， ，则C是直线
D．若 ， ，则C是直线
10．（多选）已知 ，则下述正确的是（ ）
A．圆C的半径B．点 在圆C的内部
C．直线 与圆C相切
D．圆 与圆C相交
11．曲线 所围成平面区域的面积为 ．
12．已知圆 ，点A、B在圆M上，且 为 的中点，则直线 的方程为
．
13．已知 ， ，动点M满足 ，则点M的轨迹方程是 ．
14．若圆 （ ）被直线 平分，则 的最小值为 ．
15．已知关于x，y的二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+3=0.
(1)若方程表示的曲线是圆，求证：点 在圆x2+y2=12外；
(2)若方程表示的圆C的圆心在直线x+y-1=0上且在第二象限， 半径为 ， 求圆C的方程.16．已知圆C经过点 ， ，且圆心C在直线 上．
(1)求圆C的一般方程；
(2)若线段OP的端点P在圆C上运动，端点O为坐标原点，求线段OP的中点M的轨迹方程．
