文档内容
2.3 直线的交点坐标与距离公式
【划重点】
1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标
2．掌握两点间距离公式并会应用.
3．掌握点到直线距离的公式，会用公式解决有关问题.
4．掌握两条平行直线间的距离公式，并会求两条平行直线间的距离．
【知识梳理】
知识点一 两条直线的交点
1．两直线的交点
已知直线l：Ax＋By＋C ＝0；l：Ax＋By＋C ＝0. 点A(a，b)．
1 1 1 1 2 2 2 2
(1)若点A在直线l：Ax＋By＋C ＝0上，则有Aa＋Bb＋C ＝0 .
1 1 1 1 1 1 1
(2)若点A是直线l 与l 的交点，则有
1 2
2．两直线的位置关系
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l 与l 的公共点的个数 一个 无数个 零个
1 2
直线l 与l 的位置关系 相交 重合 平行
1 2
知识点二 两点间的距离
公式：点P(x，y)，P(x，y)间的距离公式|PP|＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关．
(2) 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
知识点三 点到直线的距离、两条平行线间的距离
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长图示
点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0 两条平行直线l：Ax＋By＋C ＝0与l：Ax＋By＋C ＝0
0 0 1 1 2 2
公式(或求法)
的距离d＝ 之间的距离d＝
【例题详解】
一、求相交直线的交点坐标
例1 (1)经过直线 与直线 的交点，且平行于直线 的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出两直线的交点坐标，可设所求直线的方程为 ，将交点坐标代入求得 ，即可的解.
【详解】解：由 ，解得 ，即两直线的交点坐标为 ，
设所求直线的方程为 ，
则有 ，解得 ，
所以所求直线方程为 ，即 .
故选：B.
(2)直线l ： 和l ： 的交点的坐标为 ．
1 2
【答案】
【分析】联立两直线方程解方程组即可.【详解】解方程组 得
所以两条直线交点的坐标为 .
故答案为：
跟踪训练1 (1)过原点和直线 与 的交点的直线的方程为（ ）
19x9y0 9x19y0
A． B．
19x3y0
C． D．
【答案】C
【分析】先求出两直线的交点，从而可得所求的直线方程.
【详解】由 可得 ，
故过原点和交点的直线为 即 ，
故选：C.
(2)已知直线l： 与l： 相交于点 ，则 ．
1 2
【答案】﹣1
【分析】把 分别代入直线l 和直线l 的方程，可得 和 的值，从而得解．
1 2
【详解】解：把 分别代入直线l 和直线l 的方程，
1 2
得 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为：-1．
二、两点间的距离例2 (1)已知点 ，则 为（ ）
A．5 B． C． D．4
【答案】A
【分析】由距离公式求解.
【详解】 .
故选：A
(2)点 到直线 的距离为 ，则 的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】A
【分析】首先确定直线所过的定点，然后确定d的最大值即可.
【详解】直线方程即 ，据此可知直线恒过定点 ，
当直线 时， 有最大值，
结合两点之间距离公式可得 的最大值为 .
本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查直线恒过定点问题，两点之间距离公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力
和计算求解能力.
跟踪训练2 (1)光线从点 射到 轴上，经 轴反射以后过点 ，光线从A到B经过的路程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出点 关于 轴的对称点为 ，再计算 即为所求.
【详解】点 关于 轴的对称点为 ，则光线从A到B经过的路程为 的长度，即
.故选：C.
(2)已知 三点，且 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用两点间的距离公式列方程计算即可
【详解】由两点间的距离公式，及 可得： ，解得 .
故选：A
三、点到直线的距离
例3 (1)在平面直角坐标系中，原点 到直线 的距离等于（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】B
【分析】直接由点到直线的距离公式求解即可.
【详解】原点 到直线 的距离为 .
故选：B.
(2)已知点 在直线 上的运动，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】 表示点 与 距离的平方，求出 到直线 的距离，即可
得到答案.
【详解】 表示点 与 距离的平方，因为点 到直线 的距离 ，
所以 的最小值为 ．
故选：A
跟踪训练3 (1)点P为直线 上任意一个动点，则P到点 的距离的最小值为 .
【答案】3
【分析】先判断出当点P和点 的连线和直线 垂直时距离最小，再由点 到直线的距
离求解即可.
【详解】由题意得当点P和点 的连线和直线 垂直时距离最小，此时距离等于点 到
直线 的
距离 ，故P到点 的距离的最小值为3.
故答案为：3.
(2)若直线m经过直线 与直线 的交点，且点 到直线m的距离为1，则直线m的
方程为 ．
【答案】 或
【分析】先求出交点坐标.讨论直线的斜率是否存在，利用点 到直线的距离为1，即可求出直线.
【详解】方法一：由 ，得两直线的交点坐标为 ．
当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为 ，
则 ，解得 ，
此时直线m的方程为 ；
当直线m的斜率不存在时， ，点 到直线m的距离等于1，满足条件．综上，直线m的方程为 或 ．
方法二：设直线m的方程为 ，即 ，则
，
解得 或 ，
所以直线m的方程为 或 ．
故答案为： 或
四、两平行线间的距离
例4 (1)两条平行线 ， 间的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两平行线间的距离公式求解即可.
【详解】依题意，将直线 变为 ，
又 ，
所以两平行线间的距离为 .
故选：A.
(2)直线 与直线 平行，则 .
【答案】2
【分析】根据两直线平行的充要条件即可求解.
【详解】法一：两直线平行，则 ；
法二：两直线平行， ，则 ,故答案为： .
跟踪训练4 (1)已知直线 ， 相互平行，则 、 之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两直线平行得到关于a的方程，求出 的值，再由两平行线之间的距离公式计算即可.
【详解】因为直线 ， 相互平行，
所以 ，解得 ，
所以 ，即 ，
所以 、 之间的距离 .
故选：A.
(2)若直线 与 之间的距离为 ，则a的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．8或
【答案】C
【分析】将直线 化为 ，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可.
【详解】将直线 化为 ，
则直线 与直线 之间的距离 ，
根据题意可得： ，即 ，解得 或 ，
所以a的值为 或 .
故选：C
五、距离的综合应用
例5 在平面直角坐标系中，从点 发出的光线射向x轴，经x轴反射到直线 上，再反射经过点，则光线由P到Q经过的路程长为 ．
【答案】
【分析】根据题意画出图形，设光线自点 射向x轴上的 点，经过反射后射向直线 上的 点，再经
过反射后射向 点，作出点 关于 轴的对称点 ,点 关于直线 的对称点 ，然后根据对称的关系
可求得答案
【详解】如图，设光线自点 射向x轴上的 点，经过反射后射向直线 上的 点，再经过反射后射向
点，点 关于 轴的对称点 ,点 关于直线 的对称点 ，
则 ， ，
所以光线由P到Q经过的路程长为
,
故答案为：
例6 已知直线 ： ．
（1）已知点 ，若点 到直线 的距离为 ，求 的最大值并求此时直线 的方程；
（2）若直线 交 轴负半轴于 ，交 轴正半轴于 ，求 的面积的最小值并求此时直线 的方程．
【答案】（1） 最大值5，此时 ： ；（2）面积最小值为4，此时直线 的方程为．
【解析】（1）注意到直线 必过点 ，故点 到直线 的距离为 满足 ，当且仅当
垂直于直线 ，垂足为 时，再根据等号成立解得 ，进而得此时直线 方程.
（2）根据题意得以 ， ，且 ，进而得 的面积 ，再根
据基本不等式求解即可.
【详解】解：（1）因为点 到直线 的距离为 ，
于是有 ，
由直线 ： 的表达式变形得： ，
所以直线 必过点 ，
根据点与直线间的关系可知 ，
于是当且仅当 垂直于直线 ，垂足为 时，
点 到直线 的距离 取最大值 ，此时有 ，
解得 ，代入直线 方程，得到 ： ．
（2）依题意，直线 在 轴上的截距为 ，
在 轴上的截距为 ，且 ，
所以 ， ，
故 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故 的最小值为4，
此时直线 的方程为 ．【点睛】本题考查直线的方程的求解，考查回归转化思想与运算求解能力，是中档题.本题第一问解题的关
键在于发现直线 必过点 ，进而得 ；第二问解题的关键是根据题意得 ，
， ，进而利用基本不等式求解即可.
跟踪训练5 点 到直线 的距离的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由点到直线的距离公式结合辅助角公式求得距离为 ，再由正弦函数的最值求得
距离的取值范围即可.
【详解】记 为点 到直线 的距离，则
，其中 ；
当 变化时， 的最大值为5，最小值为 ，则 的最大值为 的最小值为 ，即距离的取
值范围为 .
故答案为： .
跟踪训练6 已知光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，
（1）求反射光线所在的方程；
（2）在直线l上求一点P，使 ；
（3）若点Q在直线l上运动，求 的最小值．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．【分析】（1）根据题意，求出点A关于直线l的对称点C的坐标，反射光线为直线CB，两点式写出方程，
化简整理成一般式方程；
（2） 点是线段AB的垂直平分线与l的交点，求出线段AB的垂直平分线，解方程组求交点坐标即可；
（3）设 ， 整理之后为 ，转化为求 的最小值，
进而转化为AB的中点D到直线l的距离的平方求解．
【详解】（1）设线段AB中点D，点A关于直线l的对称点 ，直线AC与直线l交于 ，
因为直线AC与直线l垂直，并且过点A，
所以其方程为 ，即 ，
由 ， ，解得 ， ，即M坐标为 ．
因为A、C两点关于直线l对称，所以关于点M对称，
所以 ， ，
所以
根据光线反射定律，反射光线经过B、C两点，
由直线的两点式方程得：
直线BC方程为 ，
即反射光线所在直线的方程为
设线段AB的垂直平分线为m，因为 ，
所以点P在直线m上，又因为点P在直线l上，
所以点P为直线l与m交点，
由 ， 的坐标可知，
线段AB中点 ，直线AB斜率为 ，
所以其垂直平分线m斜率 ，
因其经过点D，由直线的点斜式方程得直线m的方程为，即 ．
与直线l的方程联立
解方程组得P点坐标为
设点Q坐标为 ，令 ，
则
，
当且仅当 最小时，u取得最小值.
即点Q到线段AB中点D距离最小，
因为点Q在直线l上，所以点Q是点D在直线l上的射影，
此时DQ是点D到直线l的距离，由点到直线距离公式得
．
所以 ．
【课堂巩固】
1．斜率为2，且过直线 和直线 交点的直线方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】求出两直线的交点坐标，根据点斜式可得结果.
【详解】联立 ，解得 ，所以两直线的交点坐标为 ，
所求直线方程为 .整理为 .
故选：A
【点睛】本题考查了求两直线的交点，考查了直线方程的点斜式，属于基础题.
2．已知 、 ，点M在x轴上，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得点A关于x轴的对称点 的坐标，由两点之间线段最短，可得选项．
【详解】如图，点A关于x轴的对称点为 ，则当点M为 与x轴的交点时， 取得
最小值，
即 .
故选：B．
【点睛】本题考查点关于线的对称点和两点间的距离公式的应用之最短距离，属于基础题．
3．若点 在 轴上，点 在 轴上，线段 的中点 的坐标是 ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设出 的坐标，用 点坐标求得 的坐标，由此求得 .
【详解】线段 的中点为 ，
设 ，所以 ，
所以 .
故选：A
4．已知 ， 两点到直线 的距离相等，则实数a的值为（ ）
A．－3 B．3 C．－1 D．－3或3
【答案】D
【分析】方法一：根据点到线的距离公式求解即可，方法二：数形结合分析可得直线 或AB的中点
在直线l上，再分别计算即可.
【详解】方法一 由题意得 ，即 ，所以 或
，解得 或 ．
方法二 因为A，B两点到直线l的距离相等，则直线 或AB的中点在直线l上，则 或
，得 或3．
故选：D
5．（多选）与直线 平行且到 的距离等于 的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】利用平行线间的距离公式即可求解.
【详解】设所求直线方程为 ，由题意得 ，解得： 或 ，
故所求直线方程为： 或 .
故选：AB.
6．（多选）对于直线 .以下说法正确的有（ ）
A． 的充要条件是
B．当 时，
C．直线 一定经过点
D．点 到直线 的距离的最大值为5
【答案】BD
【分析】求出 的充要条件即可判断A;验证 时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线 经
过的定点即可判断C;判断何种情况下点 到直线 的距离最大，并求出最大值，可判断D.
【详解】当 时， 解得 或 ，
当 时，两直线为 ，符合题意；
当 时，两直线为 ，符合题意，故A错误；
当 时，两直线为 ， ，
所以 ，故B正确；
直线 即直线 ，故直线过定点 ，C错误；
因为直线 过定点 ，当直线 与点 和 的连线垂直时，到直线 的距离最大，最大值为 ，
故D正确，
故选：BD.
7．三条直线 构成一个三角形，则 的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】排除 ， 及 交于一点的情况，即可得解.
【详解】由 得 ，由 得 ，
由 得 ，
若 在 上，则 ．
故若 能构成一个三角形，则 ．
故答案为： 且 .
8．两条平行直线 与 之间的距离为 ．
【答案】
【分析】根据平行线间距离公式即可求解.
【详解】两直线分别为 ，由平行线间距离公式可得 ，
故答案为：
9．已知直线l经过点 ， .
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且它们间的距离为4，求直线m的方程.
【答案】(1)(2) 或
【分析】（1）利用直线方程的两点式.
（2）利用待定系数法求直线方程.
（1）
由直线方程的两点式，得 ，
∴直线l的方程为 .
（2）
由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为 ，
由平行直线间距离公式得 ，解得 或 .
∴直线m的方程为 或 .
10．已知直线 .
(1)当a=1时，求两直线的距离；
(2)若 .求a的值；
(3)写出原点到直线 的距离，并求出该距离的最大值.
【答案】(1) ；(2) ；(3) ；
【分析】（1）利用两平行线间的距离公式求解即可；
（2）利用两直线垂直时斜率的关系求解即可；
（3）先利用点到直线的距离公式，再分析最小值即可求解
【详解】（1）当a=1时， ，所以两直线的距离为 ；
（2）若 ，则 ，解得 ；
（3）原点到直线 的距离为 ，
当 时，
【课时作业】
1．若直线 与直线 的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】C
【分析】求出两直线的交点坐标，再根据交点在第一象限建立不等式组求解.
【详解】方法一：由直线 ， 有交点，得 ．由 ，得 ，即交点坐标为
．又交点在第一象限内，所以 ，解得 ．
方法二：由题意知，直线 过定点 ，斜率为k，直线 与x轴、y轴分别交于点
， ．若直线 与 的交点在第一象限内，则 必过线段AB上的点（不包括点A，B）．因为
， ，所以 ．故A，B，D错误.
故选：C．2．过直线 ： 与 ： 的交点，并与 垂直的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 ， 求得交点，再根据所求直线与 垂直，得到斜率，写出直线方程.
【详解】由 ， 解得 ，
所以交点为 ，又所求直线与 垂直，所以 ，
所以所求直线方程为： ，即 ，
故选：B
【点睛】本题主要考查直线的交点与两直线位置关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3．直线 与直线 相交，则实数k的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 且
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件，列式求解作答.
【详解】因直线 与直线 相交，则 ，
即 ，解得 且 ，
所以实数k的值为 且 .
故选：D
4．已知直线 ： 与直线 ： 的交点为 ，则点 与点 间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题联立 得 ，再根据距离公式求解即可.【详解】解：联立方程 ，解得 ，
所以 ，所以
故选：D
5．已知三角形的三个顶点 ，则过A点的中线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出BC的中点D的坐标，再利用两点间的距离公式求解即可
【详解】设过A点中线长即为线段AD.
D为BC中点： ，即D（4， 2）
∴
故选：B.
6．在直角坐标平面内，与点 距离为2，且与点 距离为3的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【分析】根据直线是否存在斜率，分类讨论，利用点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】当直线不存在斜率时，设为 ，由题意可知： 且 ，
没有实数 使得两个式子同时成立；
当直线存在斜率时，设直线方程为： ，
点 到该直线的距离为2，所以有 ，
点 到该直线的距离为3，所以有 ，由 得： 或 ，
当 时，代入 中，得 ，
该方程的判别式 ，该方程有两个不相等的实数根，
当 时，代入 中，得 ，
该方程的判别式 ，该方程有两个相等的实数根，
所以这样的直线共有三条，
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题的关键是解方程组.
7．已知点 到直线 的距离为1，则m的值为（ ）
A． 或 B． 或15 C．5或 D．5或15
【答案】D
【分析】利用点到直线距离公式即可得出.
【详解】解：点 到直线 的距离为1，
解得：m=15或5．
故选：D.
8．已知实数x，y满足 ，那么 的最小值为（ ）
A．5 B．10 C． D．
【答案】A
【分析】 可以看作是 与原点的距离的平方，接着利用点到直线的距离公式即可求出答案
【详解】解： 可以看作直线 上的动点 与原点的距离的平方，
又原点与该直线上的点的最短距离为原点到该直线的距离，则 的最小值为 ，
故选：A
9．(多选)已知三条直线x－2y＝1，2x＋ky＝3，3kx＋4y＝5相交于一点，则k的值为（ ）
A．－ B．－1 C．1 D．
【答案】AC
【分析】由任意两个直线方程联立方程组求出交点坐标，再由其会标代入第三个方程中可求出k的值
【详解】解：由 ，得 ，
所以三条直线的交点为 ，
所以 ，化简得 ，
解得 或 ，
故选：AC
10．（多选）已知点 到直线 的距离相等，则实数m的值可以
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】因为点 到直线 的距离相等，
所以有 ，
化简得： ，解得 ，或 ，
故选：AC11．点 到直线 的距离为 .
【答案】
【分析】由点到直线的距离公式计算．
【详解】由已知所求距离为 ．
故答案为： ．
12．若两条平行直线 ： 与 ： 间的距离为2，则 .
【答案】 或
【分析】根据两平行线见距离公式运算求解.
【详解】由题意可得： ，解得 或 .
故答案为： 或 .
13．已知直线 ， ，则直线 与 之间的距离最大值为 .
【答案】5
【分析】分别求出直线 ， 过的定点 ， ，当 与两直线垂直时距离最大，且最大值为 ，由此
即可求解．
【详解】直线 化简为： ，
令 且 ，解得 ， ，
所以直线 过定点 ，
直线 化简为： ，
令 且 ，解得 ， ，
所以直线 过定点 ，，当 与直线 ， 垂直时，直线 ， 的距离最大，
且最大值为 ，
故答案为：5．
14．已知直线 在两坐标轴上的截距相等，且点 到直线 的距离为 ，则直线 的条数为 .
【答案】4
【分析】依题意，分两种情况讨论，截距都为零以及截距不为零，利用点到直线的距离公式计算可得；
【详解】解：由题意知，若直线 在两坐标轴上的截距为0，
则设所求直线 的方程为 .
由题意知 ，解得 或 ，
此时直线 的方程为 或 .
若直线 在两坐标轴上的截距不为0，则设所求直线 的方程为 .
由题意知 ，解得 或 ，此时直线 的方程为 或 .
综上，所求直线 的方程为 或 或 或 ，故有4条直线.
故答案为：4
【点睛】本题考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题.
15．在 中，已知 ， ， .
（1）求边 所在的直线方程；
（2）求 的面积.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由直线方程的两点式可得；
（2）先求直线 方程，再求 到 的距离，最后用面积公式计算即可.【详解】（1） ， ，
边 所在的直线方程为 ，即 ；
（2）设 到 的距离为 ，
则 ，
，
方程为： 即：
.
.
16．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为 ， ， .
(1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标.
(2)求四边形ABCD的面积.
(3)求 边AB上的高所在直线方程.
【答案】(1) ；(2) ；(3) .
【分析】(1)利用平行四边形的性质结合中点坐标公式计算得解.
(2)求出直线BC的方程，再求出顶点A到直线BC的距离及线段BC的长即可计算得解.
(3)求出直线AB的斜率即可求得 边AB上的高所在直线方程.
【详解】（1） 的顶点 ， ， ，则对角线AC中点为 ，于是得对角线BD的中点是 ，设 ，因此有 ， ，解得： ，
所以平行四边形ABCD的顶点 .
（2）因 ， ，即有直线BC斜率 ，直线BC的方程： ，即
，
因此，点A到直线BC的距离为 ，而 ，
从而得 ，
所以四边形ABCD的面积为 .
（3）依题意，直线AB的斜率 ，则 边AB上的高所在直线的斜率为 ，
于是有： ，即 .
所以 边AB上的高所在直线的方程为 .
17．已知两直线l 与l，直线l 经过点（0，3），直线l 过点（4，0），且l∥l．
1 2 1 2 1 2
(1)若l 与l 距离为4，求两直线的方程；
1 2
(2)若l 与l 之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．
1 2
【答案】(1)l：7x﹣24y+72＝0，l：7x﹣24y﹣28＝0或l：x＝0，l：x＝4
1 2 1 2
(2)最大距离为5；l：4x﹣3y+9＝0，l：4x﹣3y﹣16＝0
1 2
【分析】（1）分两类讨论：①若l，l 的斜率都存在，设其斜率为k，写出两条直线的方程，由点到直线
1 2
的距离公式求出斜率k即可，②若l、l 的斜率都不存在，则l：x＝0，l：x＝4，然后验证距离是否等于4
1 2 1 2
即可．
（2）当直线l，l 均与两点的连线垂直时，l 与l 的距离最大，由两点间距离公式求出最大距离，由两条
1 2 1 2
直线的垂直关系求出斜率，再根据点斜式或斜截式写直线的方程即可．
（1）
①若l，l 的斜率都存在，设其斜率为k，
1 2由斜截式得l 的方程y＝kx+3，即kx﹣y+3＝0，
1
由点斜式得l 的方程y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0，
2
在直线l 上取点A（0，3），则点A到直线l 的距离为d 4，
1 2
化简得16k2+24k+9＝16k2+16，解得k ，
∴l：7x﹣24y+72＝0，l：7x﹣24y﹣28＝0．
1 2
②若l、l 的斜率都不存在，
1 2
则l 的方程为x＝0，l 的方程为x＝4，它们之间的距离为4，满足条件，
1 2
综上所述，两条直线的方程为l：7x﹣24y+72＝0，l：7x﹣24y﹣28＝0
1 2
或l：x＝0，l：x＝4．
1 2
（2）当直线l，l 均与两点的连线垂直时，l 与l 的距离最大，
1 2 1 2
两点连线的直线的斜率为 ，
∴直线l 与l 的斜率均为 ，
1 2
此时，最大距离为 5，
l：4x﹣3y+9＝0，l：4x﹣3y﹣16＝0．
1 2
18．在平面直角坐标系xOy，已知△ABC的三个顶点 ．
(1)求BC边所在直线的一般式方程；
(2)BC边上中线AD的方程为x－2y＋t＝0（t∈R），且△ABC的面积为4，求点A的坐标．
【答案】(1) ;
(2) 或 .
【分析】（1）利用两点的斜率公式求出直线 的斜率，即可求直线 的点斜式方程，转化为一般式方
程即可；
（2）根据 的坐标可求 及 ，从而可求 ，把点 代入AD的方程可得 ①.利用点
到直线的距离公式可得点 到直线 的距离，根据三角形面积列式可得 ②.联立①②即可求解.
【详解】（1）由 ，可得直线 的斜率 ，
故直线 的方程为 ，
化为一般式方程为： ；
（2）由 ，可得 的中点 的坐标为 ， .
又由AD的方程为x－2y＋t＝0，则有 ,解得 .
故AD的方程为x－2y＋4＝0.
由 ，可得 ①.
因为 所在的直线方程为 ，
所以点 到直线 的距离 .
因为 的面积为4，所以 ②.
联立①②可得 或 .
故点 的坐标为 或 .
