文档内容
2.4 圆的方程
【划重点】
1．掌握圆的定义及标准方程与一般方程.
2．会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.
3．会用待定系数法求圆的方程.
4．能准确判断点与圆的位置关系．
【知识梳理】
知识点一 圆的标准方程
(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.
(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2.
知识点二 圆的一般方程
1．圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件 图形
D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点
D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆
知识点三 点与圆的位置关系
点M(x，y)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
0 0
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 |CM|＝r (x－a)2＋(y－b)2＝r2
0 0
点M在圆外 |CM|>r (x－a)2＋(y－b)2>r2
0 0
点M在圆内 |CM|0，即D2+E2>12，
因而点 在圆x2+y2=12外.
（2）由题意知，圆心 ，
因为圆心在直线x+y-1=0上，所以 ，即 ①，
又因为半径 ，即 ②，
联立①②，解得 或 ，
又因为圆心在第二象限，所以 ， ，即D>0，E<0.
所以 ，
故圆的一般方程为 ，即 .
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(1)求圆C的一般方程；
(2)若线段OP的端点P在圆C上运动，端点O为坐标原点，求线段OP的中点M的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法即可求得圆C的一般方程；
（2）利用直接代入法即可求得点M的轨迹方程.
【详解】（1）设所求圆的C的一般方程为 ，则圆心 ，
由题意得 ，解得 ，
所以圆的C的一般方程为 .
（2）依题意，设 ， ，
因为M为线段OP的中点， ，所以 ，
又因为点P在圆C上运动，所以 ，
故 ，
整理得： ，
所以点M的轨迹方程为 .
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