文档文本内容
2.4 圆的方程
【划重点】
1．掌握圆的定义及标准方程与一般方程.
2．会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.
3．会用待定系数法求圆的方程.
4．能准确判断点与圆的位置关系．
【知识梳理】
知识点一 圆的标准方程
(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.
(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2.
知识点二 圆的一般方程
1．圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件 图形
D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点
D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆
知识点三 点与圆的位置关系
点M(x，y)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
0 0
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 |CM|＝r (x－a)2＋(y－b)2＝r2
0 0
点M在圆外 |CM|>r (x－a)2＋(y－b)2>r2
0 0
点M在圆内 |CM|<r (x－a)2＋(y－b)2<r2
0 0
【例题详解】
一、求圆的标准方程
例1 (1)圆心 ，半径为 的圆的方程是（ ）
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据圆心坐标及半径，即可得到圆的方程.
【详解】因为圆心为 ，半径为 ，
所以圆的方程为: .
故选：D.
(2)某圆经过 两点，圆心在直线 上，则该圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据圆的平面几何性质可知圆心在 的中垂线上，联立方程可得圆心坐标，再求出半径即可得
解.
【详解】因为圆经过 两点，
所以圆心在中垂线 上，
联立 解得圆心 ，所以圆的半径 ，
故所求圆的方程为 ，
故选：D
(3)求满足下列条件的圆的方程：
(i)经过点 ， ，圆心在 轴上；
(ii)经过直线 与 的交点，圆心为点 .
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等【答案】(i)
(ii)
【分析】(i)设出圆的方程，代入A、B两点坐标，求出圆心和半径，从而求出圆的方程；(ii)先求出交点坐
标，进而求出半径，写出圆的方程.
【详解】(i)设圆的方程为 ，由题意得： ，解得： ，所以圆的方程
为 ；
(ii)联立 与 ，解得： ，所以交点为 ，则圆的半径为
，所以圆的方程为 .
跟踪训练1 (1)经过三个点 的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三点在坐标系的位置，确定出 是直角三角形，其中 是斜边，则有过三点的圆的半
径为 的一半，圆心坐标为 的中点，进而根据圆的标准方程求解.
【详解】由已知得， 分别在原点、 轴、 轴上，
，
经过三点圆的半径为 ，
圆心坐标为 的中点 ，即 ，
圆的标准方程为 .
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等故选：C.
(2)圆心在 轴上，半径为1，且过点 的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据圆心的位置及半径可写出圆的标准方程，然后将点 代入圆的方程即可求解.
【详解】因为圆心在 轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为 ，则圆的方程为 ，又点
在圆上，所以 ，解得 .
故选：A
【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求解，属于基础题.
二、圆的一般方程的辨析
例2 (1)圆 的圆心坐标和半径分别为（ ）
A． ，3 B． ，3 C． ，9 D． ，9
【答案】A
【分析】将圆方程化为标准方程，即可求得圆心坐标和半径.
【详解】由方程 可得 ，
故圆心坐标为 ，半径为3．
故选：A.
(2)方程 表示一个圆，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等【分析】运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可.
【详解】由 ，得 ，
解得 .
故选：B
跟踪训练2 (1)若圆C： 的半径为1，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将圆的一般方程转化为圆的标准方程即可求解.
【详解】由 ，得 ，
所以圆C的圆心为 ，半径为 ，
因为圆C： 的半径为1，
所以 ，解得 ，
故实数 .
故选：D.
(2)将圆 平分的直线是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知所求的直线过圆心，所以先求出圆的圆心，然后将圆心坐标代入各直线方程验证即可.
【详解】要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，
由 ，得 ，
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等所以圆心坐标为 ，
对于A，因为 ，所以直线 不过圆心，所以A错误，
对于B，因为 ，所以直线 不过圆心，所以B错误，
对于C，因为 ，所以直线 过圆心，所以C正确，
对于D，因为 ，所以直线 不过圆心，所以D错误，
故选：C
三、求圆的一般方程
例3 (1)过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程.
【详解】设圆的方程为 ，
由题意知,圆过点 ， 和 ，
所以 ，解得 ，
所以所求圆的方程为 .
故选：A
(2)求以 为圆心，且经过点 的圆的一般方程（ ）
A． B．
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用两点间的距离公式求得圆的半径，写出圆的标准方程，进而得到圆的一般方程，
得到答案.
【详解】由题意得，圆的半径 ，
所以圆的方程为 ，
所以圆的一般方程为 .
故选：C.
跟踪训练3 已知圆C过点 .
(1)求圆C的方程；
(2)求圆C关于直线 对称圆的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设圆的一般方程，代入点，得到方程组，解出即可；
（2）设所求圆的圆心为 ，根据点关于直线的对称得到关于 的方程，解出即可.
【详解】（1）设圆C： ，其中 ，
则 ，解得 ，
所以圆C的一般方程是： ，
化为标准方程是： .
（2）设所求圆的圆心为 ，由（1）知圆 的圆心 ，
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等则由已知得 ，解得 ，
故圆C关于直线 对称圆的方程为 .
四、点与圆的位置关系
例4 (1)点 在圆 的（ ）
A．圆上 B．圆内 C．圆外 D．无法判定
【答案】A
【解析】直接将点的坐标代入圆的方程即可判断；
【详解】解：将点 的坐标代入圆 的方程即 ，∴点 在圆 上，
故选：A
【点睛】本题考查点与圆的位置关系的判定，属于基础题.
(2)直线 与圆 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．与k取值有关
【答案】B
【分析】先判断直线过定点 在圆内，即可判断直线与圆的位置.
【详解】∵直线 恒过定点 ，且该点在圆内，
∴直线与圆相交,
故选：B
(3)若点 在圆 的外部，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等【分析】根据点与圆的位置关系及方程表示圆列出方程组，从而可得出答案.
【详解】解：因为点 在圆 的外部，
所以 ，解得 .
故选：C．
跟踪训练4 (1)点 与圆 的位置关系是 ．（填“在圆内”、“在圆
上”、“在圆外”）
【答案】在圆内
【分析】利用点 到圆心的距离与圆的半径的大小关系去判断点 与圆 的位置
关系即可.
【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径为2
点 到圆心的距离 ，
因为 ，所以点 在圆内．
故答案为：在圆内
(2)若点（1，1）在圆 的外部，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用点和圆的位置关系列出不等式即可求解.
【详解】由题意可知 ，解得 或a＞3，
则实数a的取值范围是 ，
故选：C.
五、求动点的轨迹方程
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等例5 已知圆 经过点 ， ，且圆 与 轴相切．
(1)求圆 的一般方程；
(2)设 是圆 上的动点，求线段 的中点 的轨迹方程．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）设圆的方程为 ，依题意可得圆心在 轴右侧，且跟 轴的切点为
，即可得到圆心的纵坐标为 ，再将点的坐标代入方程，即可得到方程组，解得即可；
（2）设 则 ，再由点 是圆 上的动点，代入圆 的方程，即可得解.
【详解】（1）解：设圆的方程为 ，
因为圆 过点 ， ，又跟 轴相切，
圆 必在 轴右侧，且跟 轴的切点为 ，
圆心的纵坐标为 ．
，解得 ，
圆 的方程为 ，化简得 ．
（2）解：设 ．因为 为线段 的中点，所以 ，
因为点 是圆 上的动点，所以 ，即 ，
所以 的轨迹方程为 ．
跟踪训练5 已知圆C经过（2，6），（5，3），（2，0）三点．
(1)求圆C的方程；
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等(2)设点A在圆C上运动，点 ，且点M满足 ，求点M的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 设圆C的方程的一般式，代入三点求系数得圆的方程.
(2) 设 ，表示出点 的坐标，将 的坐标代入圆的方程即得到点M的轨迹方程.
【详解】（1）设圆C的方程为
则有 ，解之得 ，
则圆C的方程为 ．
（2）设 ， ，
则有 ， ， ．
由 ，可得 ，解之得
由点A在圆C上，得
即 ，
故点M的轨迹方程为
【课堂巩固】
1．圆 的半径为（ ）
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】将圆的方程配成标准式，即可判断.
【详解】圆 ，即 ，
所以半径 .
故选：B
2． 三个顶点的坐标分别是 ， ， ，则 外接圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，借助斜率判断 形状，再求出圆方程作答.
【详解】依题意，直线AC斜率 ，直线BC斜率 ，有 ，即
，
因此 外接圆是以线段 为直径的圆，AB的中点为 ，半径 ，
所以 外接圆方程是 ，即 .
故选：A
3．“ ”是“方程 表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据二元二次方程 表示圆的充要条件是 可得答案.
【详解】因为方程 ，即 表示圆，
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等等价于 0，解得 或 .
故“ ”是“方程 表示圆”的充分不必要条件.
故选：A
4．圆 关于直线 对称的圆的方程为 ．
【答案】
【分析】先求圆心关于直线 的对称点，半径不变，可得圆的方程.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ；
圆心 关于直线 对称的点为 ，
所以所求圆的方程为 .
故答案为： .
5．直线 始终平分圆 的周长，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】由题意可得直线 过圆心，再将 用 表示，结合二次函数即可得解.
【详解】解：圆 化为标准方程： ，
圆心为 ，
因为直线 始终平分圆 的周长，
所以直线 过圆心 ，
则 ，所以 ，
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等则 ，
当 时， 取得最小值 .
故答案为： .
6．已知圆 关于直线 对称，则 .
【答案】
【分析】由圆的方程可确定圆心，根据直线过圆心可构造方程求得结果.
【详解】由圆 方程知：圆心 ；
圆 关于直线 对称， 直线 过圆 的圆心 ， ，解得： .
故答案为： .
7．过点 的直线与圆 交于点B，则线段 中点P的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】设点P的坐标为 ，点B为 ，结合中点坐标公式可得 ，代入圆的方
程即可求解.
【详解】设点P的坐标为 ，点B为 ，
由题意，结合中点坐标公式可得 ，
故 ，化简得 .
即线段AB中点P的轨迹方程为 .
故答案为：
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等8．已知圆过点 ， ．
(1)求圆心所在直线的方程；
(2)求周长最小的圆的标准方程；
(3)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程；
(4)若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程．
【答案】(1)x－3y＋3＝0
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用已知条件求出直线 的垂直平分线所在的直线方程即可；
（2）利用已知条件求出线段AB为圆的直径的圆的方程即可；
（3）由（1）可知，圆心所在直线的方程为 ，且圆心在直线 上，即可求解圆的方
程；
（4）由（1）可知，圆心所在直线的方程为 ，即可求出圆心的横坐标，即可求解圆的方程.
【详解】（1）由题意可知线段AB的中点坐标是 ，
∵直线AB的斜率 ，且圆心在线段AB的垂直平分线上，
∴圆心所在直线的方程为 ，即x－3y＋3＝0．
（2）当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，
即圆心为线段AB的中点（0，1），半径为 ．
则所求圆的标准方程为 ．
（3）由（1）可知，圆心所在直线的方程为 ，
又∵圆心也在直线2x－y－4＝0上，∴圆心是这两条直线的交点，
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等∴ ，解得 ，即圆心的坐标是（3，2），
∴半径 ，
∴所求圆的标准方程是 ．
（4）设圆心的坐标为（m，2），
由（1）知m－3×2＋3＝0，得m＝3，
∴圆的半径 ，
∴所求圆的标准方程为 ．
9．（1）已知 的三个顶点分别为 ， ， ，求 的外接圆的方程．
（2）已知点 在圆 ： 外，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据三点确定一个圆，把三点坐标代入圆的一般式列方程求解即可；
（2）根据圆的一般式条件及点 在圆外分别建立m的不等式，解之即可求得．
【详解】（1）解：设 的外接圆的方程为 ，
由 ，解得 ，
故 的外接圆的方程为 ．
（2）解：若方程 表示圆，
则 ，解得 ，
根据点 在圆外，
可得 ，
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等则 ，
．
10．已知点 ， ，动点 满足 .
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)已知曲线 与圆 的交点为 ， ，点 ，求 外接圆的一般方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设P（x，y），由 ，直接法可求出直线方程.
（2）利用圆系方程或用待定系数法求 外接圆的一般方程.
【详解】（1）设P（x，y），因为 ， ， ，
所以 ，
整理得 ，
所以曲线C的方程为 .
（2）解法一：设过两圆交点E，F的圆系方程为： ，
代入点 ， 解得
∴ 外接圆的一般方程为： ..
解法二：
联立方程组： ，
解得 或 ，
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等∴ ， ，.
设 MEF外接圆的一般式方程为 ，代入E，F，M三点，
△
有 ，解得： ，
∴△MEF外接圆的一般方程为： .
【课时作业】
1．已知圆 经过点 ， ，且圆心在直线 上，则圆 的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用代入法，通过解方程组进行求解即可.
【详解】设圆 的标准方程为 ，
因为圆 经过点 ， ，且圆心在直线 上，
所以有 ，
因此圆 的标准方程为 ，
故选：A
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等2．若 的三个顶点坐标分别为 ， ， ，则 外接圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出线段 的中点的坐标即得解.
【详解】解：由题得 是直角三角形，且 .
所以 的外接圆的圆心就是线段 的中点，
由中点坐标公式得 .
故选：C
3．已知直线l过圆 的圆心，且与直线2x＋y－3＝0垂直，则l的方程为（ ）
A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝0
【答案】D
【分析】利用配方法求出圆心坐标，结合垂直直线之间斜率的关系进行求解即可.
【详解】由 ，所以圆心坐标为 ，
因为直线2x＋y－3＝0的斜率为 ，
所以与直线2x＋y－3＝0垂直的直线l的斜率为 ，
所以l的方程为： ，
故选：D
4．圆 的圆心到直线x-y+3=0的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】由圆的方程确定圆心，利用点到直线距离公式进行求解.
【详解】 的圆心为 ，
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等则由点到直线距离公式可得： .
故选：D
5．方程 表示圆，则该圆半径 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据配方法，结合二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】 ，
所以
所以有
故选：B
6．如果圆 关于直线 对称，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】圆心在直线 上，代入计算得到答案.
【详解】由圆的对称性知，圆心在直线 上，故有 ，即 .
故选：B
7．若圆 的面积是 ，则该圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等【分析】通过半径公式 ，代入即可解出 值，即可得到圆心坐标.
【详解】圆的半径 ，即 ， ，则 ，
圆心坐标为 ，即 .
故选：B.
8．设 ， 为实数，若直线 与圆 相交，则点 与圆的位置关系是（ ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定
【答案】B
【分析】根据直线与圆的位置关系，求得 满足的关系式，结合点与圆位置关系的判断方法，判断即可.
【详解】根据题意 ，即 ，故点 在圆 外.
故选：B.
9．（多选）已知曲线 （ ）
A．若 ，则C是圆
B．若 ， ，则C是圆
C．若 ， ，则C是直线
D．若 ， ，则C是直线
【答案】BC
【分析】根据圆的一般方程对选项一一判断即可.
【详解】对于A，当 时， ，
若 ，则C是圆；
若 ，则C是点 ；
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等若 ，则C不存在.故A错误.
对于B，当 时， ，且 ，
则C是圆，故B正确.
对于C，当 时， ，且 ，则C是直线，故C正确.
对于D，当 ， 时， ，
若 ，则 表示一元二次方程，
若 ，则 表示抛物线，故D错误.
故选：BC
10．（多选）已知 ，则下述正确的是（ ）
A．圆C的半径 B．点 在圆C的内部
C．直线 与圆C相切 D．圆 与圆C相交
【答案】ACD
【分析】先将圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，然后逐个分析判断即可
【详解】由 ，得 ，则圆心 ，半径 ，
所以A正确，
对于B，因为点 到圆心的距离为 ，所以点 在圆C的外部，所
以B错误，
对于C，因为圆心 到直线 的距离为 ，
所以直线 与圆C相切，所以C正确，
对于D，圆 的圆心为 ，半径 ，
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等因为 ， ，
所以圆 与圆C相交，所以D正确，
故选：ACD
11．曲线 所围成平面区域的面积为 ．
【答案】
【分析】由方程得出曲线表示的轨迹是圆，求出半径即可求出面积．
【详解】由 得 ，
则曲线表示的是以 为圆心， 为半径的圆，
所以曲线所围成平面区域的面积为： ，
故答案为： ．
12．已知圆 ，点A、B在圆M上，且 为 的中点，则直线 的方程为
．
【答案】
【分析】根据垂径定理得到 ，根据两直线垂直时斜率的关系得到 ，
然后利用斜截式写直线方程，最后整理为一般式即可.
【详解】 可整理为 ，
所以圆心为 ，根据垂径定理可得 ， ，
所以 ，直线AB的方程为 整理得 .
故答案为:
13．已知 ， ，动点M满足 ，则点M的轨迹方程是 ．
【答案】
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等【分析】设 ，根据两点间的距离公式以及已知条件化简，即可得出答案.
【详解】设 ，则 ， .
因为 ，
所以， ，
整理可得， ，
即 .
所以，点M的轨迹是圆，方程为 .
故答案为： .
14．若圆 （ ）被直线 平分，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】由题意可得直线 过圆的圆心，故有 ，然后利用“1”的妙用进行求解即可
【详解】由 ，
所以该圆的圆心坐标为 ，
因为圆 被直线 平分，
所以圆心 在直线 上，
因此有 ，
所以 ，
当且仅当 即 时，取等号
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等故答案为：
15．已知关于x，y的二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+3=0.
(1)若方程表示的曲线是圆，求证：点 在圆x2+y2=12外；
(2)若方程表示的圆C的圆心在直线x+y-1=0上且在第二象限， 半径为 ， 求圆C的方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由二元二次方程能表示圆的一般方程的条件易证得所求；
（2）利用圆的一般式得到圆心与半径关于 的表达式，进而由题设条件得到关于 的方程组，解之
即可得到圆C的方程.
【详解】（1）因为方程x2+y2+Dx+Ey+3=0表示的曲线是圆，
所以D2+E2-12>0，即D2+E2>12，
因而点 在圆x2+y2=12外.
（2）由题意知，圆心 ，
因为圆心在直线x+y-1=0上，所以 ，即 ①，
又因为半径 ，即 ②，
联立①②，解得 或 ，
又因为圆心在第二象限，所以 ， ，即D>0，E<0.
所以 ，
故圆的一般方程为 ，即 .
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等16．已知圆C经过点 ， ，且圆心C在直线 上．
(1)求圆C的一般方程；
(2)若线段OP的端点P在圆C上运动，端点O为坐标原点，求线段OP的中点M的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法即可求得圆C的一般方程；
（2）利用直接代入法即可求得点M的轨迹方程.
【详解】（1）设所求圆的C的一般方程为 ，则圆心 ，
由题意得 ，解得 ，
所以圆的C的一般方程为 .
（2）依题意，设 ， ，
因为M为线段OP的中点， ，所以 ，
又因为点P在圆C上运动，所以 ，
故 ，
整理得： ，
所以点M的轨迹方程为 .
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
