文档内容
2.5.1 直线与圆的位置关系
【划重点】
1．掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.
2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．
【知识梳理】
知识点 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
几何法：
判 dr
设圆心到直线的距离为d＝
断
代数法：
方
由消元得到一元二次方程，可得方程的判 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
法
别式Δ
【例题详解】
一、直线与圆的位置关系的判断
例1 (1)圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能
【答案】C
【分析】利用圆心到直线的距离与半径的大小关系，判断圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关
系即可.
【详解】圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心坐标为 ，半径
圆心 到直线2x+y+1＝0的距离
由 ，可得圆与直线的位置关系为相交.
故选：C(2)直线 与圆 相切，则 （ ）
A．3 B． C． 或1 D．3或
【答案】D
【分析】利用题给条件列出关于a的方程，解之即可求得a的值.
【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径为
又直线 与圆 相切，
则 ，解之得 或 ，
故选：D．
(3)已知直线 与圆 相离，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由圆心到直线的距离大于半径即可求解.
【详解】由 ，得 ，
∵直线 与圆 相离，
∴ 解得 ．
∴实数m的取值范围是 ，
故选:D．
跟踪训练1 (1)直线 与圆 的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交C．相离 D．由 的取值确定
【答案】A
【分析】利用圆心到直线的距离 与半径的大小关系进行判断.
【详解】因为圆心 到直线的距离 ，即为圆的半径，所以可知直线与圆相切.
故选：A．
(2)已知圆C:x2+y2=1，直线 ：y=2x+b相交，那么实数b的取值范围是（ ）
A．（-3，1） B．（- ，- ） C．（ ， ） D．（- ， ）
【答案】D
【分析】利用圆心到直线 的距离列不等式，从而求得 的取值范围.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
直线 ，
由于圆与直线 相交，
所以 ，解得 .
故选：D
二、圆的弦长问题
例2 (1)若圆 与y轴交于A，B两点，则 （ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】直接联立方程求A、B坐标即可.
【详解】联立 得 ，故A、B坐标为 ，即 .
故选：D(2)若过点 的直线 与圆 交于 两点，则弦 最短时直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由条件可知，当 最短时，直线 ，即可得到 ，从而得到结果.
【详解】
当 最短时，直线 ，所以 .
又 ，所以 ，
所以 的方程为 ，即 .
故选：D
(3)若直线 截圆 所得弦长 ，则 的值为 .
【答案】 或
【分析】根据直线截圆的弦长公式计算.
【详解】圆心 到直线 的距离为 ，
由 得 ，解得 或 ，故答案为： 或
跟踪训练2 (1)直线 被圆 所截得的弦长为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】根据圆的方程，写出圆心和半径，利用点到直线的距离公式，求得弦心距，利用弦长公式，可得
答案.
【详解】由圆的方程 ，则其圆心为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离 ，
则弦长 .
故选：C.
(2)经过点 的直线l与圆 交与P，Q两点，如果 ，则直线l的方程为
．
【答案】 或
【分析】求出圆心到直线 的距离，再按直线斜率存在与否分类求解作答.
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，
因为圆 截直线 所得弦长为 ，则圆 到直线 的距离 ，
因为直线 过点 ，则当直线 斜率不存在时，直线 ，
显然圆心 到直线 距离为1，因此直线 ： 符合题意；
当直线 斜率存在时，设其方程为 ，即 ，
于是 ，解得 ，方程为 ，所以直线l的方程为 或 .
故答案为： 或
三、求圆的切线方程
例3 (1)已知圆 ，则过圆上一点 的切线方程为（ ）
A． B． 或
C． D．
【答案】A
【分析】利用切线与半径垂直求出切线的斜率，再根据点斜式可求出切线方程.
【详解】因为圆 的圆心为 ，所以 ，
所以切线的斜率 ，
所以所求切线的方程为 ，即 ，
故选：A
(2)已知过点 的直线与圆 相切，且与直线 垂直，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先由点 的坐标满足圆的方程来确定点 在圆上，然后求出过点 的圆的切线方程，最后由两
直线的垂直关系转化为斜率关系求解.【详解】由题知，圆 的圆心 ，半径 .
因为 ，所以点 在圆 上，
所以过点 的圆 的切线 与直线 垂直，
设切线 的斜率 ，则有 ，
即 ，解得 .
因为直线 与切线 垂直，
所以 ，解得 .
故选：B.
例4 已知圆 的圆心在直线 上，且与直线 ： 相切于点 .
（1）求圆 的方程；
（2）求过点 与圆 相切的直线方程.
【答案】（1） ；（2） 或 .
【分析】（1）先得到过点 且与直线 ： 垂直的直线方程，与 联立求得
圆心即可；
（2）若过点 的直线斜率不存在，即直线是 判断，若过点 的直线斜率存在，设直
线方程为 ，再根据直线与圆相切求解.
【详解】（1）过点 与直线 ： 垂直的直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
由 ，解得 .所以 .
故圆 的方程为： .
（2）①若过点 的直线斜率不存在，即直线是 ，与圆相切，符合题意；
②若过点 的直线斜率存在，设直线方程为 ，
即 ，
若直线与圆 相切，则有 ，解得 .
此时直线的方程为 ，即 .
综上，切线的方程为 或 .
跟踪训练3 已知圆 过点 、 、 ，则圆 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设圆 的一般方程为 ，将点 、 、 的坐标代入圆 的方程，可求得 、
、 的值，可得出圆心 的坐标，求出 所在直线的斜率，可求得切线的斜率，利用点斜式可得出所
求切线的方程.
【详解】设圆 的一般方程为 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以，圆 的方程为 ，圆心为 ，
直线 的斜率为 ，
因此，圆 在点 处的切线方程为 ，即 .故选：A.
【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：
（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．
如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在任意弦的中垂线上；
③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；
（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与
圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该
有三个独立等式．
跟踪训练4 已知圆 的方程为 ．
（1）求过点 且与圆 相切的直线 的方程；
（2）直线 过点 ，且与圆 交于 ， 两点，若 ，求直线 的方程．
【答案】（1） 或 ；（2） 或 ．
【分析】（1）分直线斜率不存在和存在，根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求
得答案；
（2）根据题意，若 ，则圆心到直线 的距离 ，结合（1）可知直线 的斜率
一定存在，设直线 的方程为 ，根据圆心到直线 的距离列出方程，从而可得答案.
【详解】解：（1）根据题意，点 在圆外，分两种情况讨论：
当直线 的斜率不存在时，过点 的直线方程是 ，与圆 ： 相切，满足题意；
当直线 的斜率存在时，设直线方程为 ，即 ，
直线与圆相切时，圆心 到直线的距离为 ，解得 ．
此时，直线 的方程为 ．
所以满足条件的直线 的方程是 或 ；（2）根据题意，若 ，则圆心到直线 的距离 ，
结合（1）知直线 的斜率一定存在．
设直线 的方程为 ，即 ，则 ，解得 或 ．
所以满足条件的直线方程是 或 ．
【课堂巩固】
1．直线 与圆 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定
【答案】B
【分析】根据点与圆的位置关系进行判断即可.
【详解】由 ，
所以直线 恒过定点 ，
因为 ，所以点 在圆 的内部，所以直线 与圆
相交.
故选：B
2．若直线 与圆 相切，则 （ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【分析】利用圆心到直线的距离为半径可求 .
【详解】因为圆心坐标为 ，半径为 ，
所以该圆心到直线 的距离 ，结合 解得 .故选：A.
3．不论k为何值，直线 都与圆相交，则该圆的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】判断所给的圆是否与直线 始终相交的依据是
直线 所过的定点（-4，1）是否在该圆内或圆上.
【详解】 ， ，∴直线恒过点P（—4，1） ，
对于A，圆心为（2，-1），半径为5，P到圆心的距离为： ，
即P点不在该圆内；
对于B，圆心为（-1，-2），半径为5，P到圆心的距离为 ，
故点P在该圆内；
对于C，圆心为（3，-4），半径为5，P点到圆心的距离为 ，
故点P不在该圆内；
对于D，圆心为（-1，-3），半径为5，点P到圆心的距离为 ，
点P该在圆上，可能相切也可能相交；
故选：B.
4．圆 ： 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求圆心与切点连线的斜率，再利用切线与连线垂直求得切线的斜率即可.
【详解】圆 ： ，圆心 ，，
所以切线的斜率为 ，
所以在点 处的切线方程为 ，
即 .
故选：A
【点睛】本题主要考查圆的切线的求法，要注意几何法的应用，属于基础题.
5．若直线 是圆 的一条对称轴，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直线过圆心代入求解即可.
【详解】由题意得，圆心为 ，
因为直线 是圆 的一条对称轴，
所以直线过圆心，即 ，解得 .
故选：D
6．与y轴相切，圆心在直线 上，且在直线 上截得的弦长为 ，则此圆的方程是（ ）
A．
B．
C． 或
D． 或
【答案】C【分析】根据圆心位置以及与y轴相切可设出圆心坐标和半径，再根据弦长为 即可求得圆的方程.
【详解】由圆心在直线 上，可设圆心坐标为 ，
又因为与y轴相切，所以半径 ，
易知圆心到直线 的距离为 ，
根据直线被圆截得的弦长公式可得，直线 被截得的弦长为 ，
所以 ，解得 ；
当 时，该圆是以 为圆心， 为半径的圆，圆方程为 ；
当 时，该圆是以 为圆心， 为半径的圆，圆方程为 .
故选：C
7．已知直线 和圆 ，则“ ”是“直线 与圆 相切”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件和必要条件的判断方法，结合直线与圆的位置关系即可求解.
【详解】圆 的方程可化为 ，
其圆心坐标为 ，半径为 ，
当 时，直线 ，圆心到直线的距离 ，此时直线 与圆 相切，故充分性成立；
当直线 与圆 相切时，圆心到直线的距离 ，所以 ，故必要性成立，
所以“ ”是“直线 与圆 相切”的充要条件.
故选：C.8．设 为原点，点 在圆 上，若直线 与圆 相切，则 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意利用勾股定理即可求解．
【详解】由圆 的方程可得 ，故 ，
为原点， 在圆 上， 与圆 相切，
则 .
故选:A．
9．设半径为3的圆 被直线 截得的弦 的中点为 ，且弦长 ，则圆 的标
准方程 .
【答案】 或 .
【分析】设所求的圆的方程，根据弦心距和弦的中点，建立方程，即可求得圆C的方程．
【详解】由题意设所求的圆的方程为： .
圆心到直线的距离为 ，
圆 被直线 ： 截得的弦 的中点为 ， ，
解得 或 ，
即所求的圆的方程为： 或 .故答案为： 或 .
10．已知点 ， ，若线段 与圆 存在公共点，则 的取值范围为
.
【答案】
【分析】通过图像可得当圆和线段AB相切时，圆的半径最小，当圆过B点时，圆的半径最大，据此可得
的取值范围.
【详解】如图：当圆和线段AB相切时，圆的半径最小，当圆过B点时，圆的半径最大.
圆 的圆心为 ，半径为 ， ，
当圆和线段AB相切时， ，即 ，
，得 ，
当圆过B点时， ，得 .
故答案为： .
11．已知圆 过点 ， ，且圆心在 上.
(1)求圆 的标准方程；
(2)若直线 与圆 交于 、 两点，求线段 的长度．【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）首先求出线段 的中垂线方程，即可求出圆心坐标与半径，从而得到圆的方程；
（2）求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理、勾股定理计算可得.
【详解】（1）因为圆 过点 ， ，所以线段 的中垂线方程为 ，则圆心在直线 上，
又圆心在 上，所以 ，解得 ，所以圆心 ，
又 ，所以圆 的标准方程为 .
（2）圆心 到直线 的距离 ，
所以 .
12．已知圆
(1)求过点 且与圆 相切的直线方程；
(2)已知直线 被圆 截得的弦长为 ，求实数 的值.
【答案】(1) 或 ；(2)
【分析】（1）分直线斜率存在和不存在，利用点到直线的距离公式可得答案；
（2）圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径利用勾股定理可得答案..【详解】（1）当直线斜率存在时，设直线 ，
即 ，
圆心 到直线的距离为 ，解得 ，
此时直线方程为 ，
当直线斜率不存在时，直线方程为 ，此时直线与圆相切，
综上，所求直线方程为 或 .
（2）记圆心 到直线 的距离为 ，则 ，
又弦长为 ，圆的半径为2，则 ，
解得 ，所以 .
【课时作业】
1．直线 与圆 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【答案】B
【分析】直接由直线与圆的位置关系的解法得出答案.
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离 ，
则直线与圆相切，
故选：B.
2．已知直线 ，圆 ，则直线l与圆C的位置关系是
（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定【答案】D
【分析】求出直线l过的定点，再判断此定点与圆C的位置关系即可作答.
【详解】直线 ，即 ，
由 解得 ，因此，直线 恒过定点 ，
又圆 ，即 ，显然点A在圆C外，
所以直线 与圆C可能相离，可能相切，也可能相交，A，B，C都不正确，D正确.
故选：D
3．已知直线 与 相交于 两点，且 为等边三角形，则实数
（ ）
A． 或2 B． 或4 C． D．
【答案】A
【分析】由已知得圆心到直线的距离为 ，再根据点到直线的距离公式可求得答案.
【详解】解： 的圆心 ，半径 ，
因为直线 与 相交于 两点，且 为等边三角形，则圆心到直线的
距离为 ，
即 ，整理得 ，解得 或 ，
故选：A.
4．“ ”是“直线 与圆 相切”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【分析】根据直线与圆的位置关系求出a的取值范围，再根据充分条件，必要条件的定义解出.
【详解】由题知，圆的圆心为 ，半径为1，
设圆心到直线 的距离为
则 ，解得： 或 .
由此可知，“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件，
故选：A.
5．过点 作圆 的切线 ，则 的方程为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】C
【分析】根据题意，设圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0的圆心为C，分析可得点M在圆上，求出直线MC的斜率，
即可得切线的斜率k，由直线的点斜式方程分析可得答案．
【详解】解：根据题意，设圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0的圆心为C，
圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0，即 ，其圆心为（1，3），
又由点M的坐标为（3，1），有 ，即点M在圆上，
则 ，则切线的斜率k＝1，
则切线的方程为y﹣1＝（x﹣3），即x﹣y﹣2＝0；
故选：C．
6．已知圆 和直线 ，则圆心C到直线l的最大距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】D
【分析】根据圆的方程和直线方程可得圆心坐标，以及直线所过定点，然后结合图形可得.【详解】将圆C化为标准方程得 ，所以圆心为 ，
直线 的方程为 ，所以直线 过定点 ，
过点C作 ，垂足为Q，当CP不垂直l时，显然 ，当 时， ，
所以圆心C到直线l的最大距离为 .
故选：D
7．点 在圆 ： 上运动，点 ，当直线 的斜率最大时，直线 方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设直线 的方程为 ，利用圆心到直线的距离小于等于1，从而得到不等式，即可得到
的最大值.
【详解】设直线 的方程为 ，即 ，
，即 ，则圆心 ，半径 ，
则由题意得圆心到直线的距离小于等于1，
，解得 ，则 的最大值为 ，
此时直线 的方程为 ，化简得 ，
故选：C.8．已知直线 与圆 相交于 两点，且 ，则实数 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】设圆心C到直线AB的距离为d， 可得 ，利用点到直线距离公式求a.
【详解】设圆心C到直线AB的距离为d，
∵圆的方程为 ∴ 圆心 ，圆的半径为3， ，
又 ，∴ ， 即点 到直线 的距离为 ，
所以 ， 所以解得 或 .
故选：D．
9．（多选）已知直线 ： 与圆 ： 相交于 ， 两点，则（ ）
A．圆心 到直线 的距离为1 B．圆心 到直线 的距离为2
C． D．
【答案】BD
【分析】根据点到直线的距离公式计算可知A错误，B正确；利用几何法求出弦长可知C错误，D正确．
【详解】因为圆心 到直线 的距离 ，所以A错误，B正确．
因为 ，所以C错误，D正确．
故选：BD
10．已知直线 与圆 ： 交于 、 两点，则 的面积为 .
【答案】2
【分析】用已知直线方程和圆方程联立，可以求出交点，再分析三角形的形状，即可求出三角形的面积.【详解】由圆C方程： 可得： ；
即圆心C的坐标为（0，-1），半径r=2；
联立方程 得交点 ，如下图：
可知 轴，∴ 是以 为直角的直角三角形， ，
故答案为：2.
11．设直线 与圆 相交所得弦长为 ，则 ；
【答案】
【分析】利用点线距离公式与圆的弦长公式即可得解.
【详解】因为圆 的圆心为 ，半径为 ，
则圆心 到直线 ，即 的距离 ，
由圆的弦长公式 ，即 ，得 ，
所以 ，解得 ，
经检验， 满足题意，所以 .
故答案为： .
12．过圆 内一点 的最短的弦所在的直线方程是 .
【答案】【分析】先求出圆心的坐标，再求出所求直线的斜率，进而得出所求直线的方程.
【详解】将圆的方程整理成标准方程得 ，
则圆心 的坐标为 ， ，
所以由圆的几何性质得，当所求直线与直线 垂直时，弦最短，
此时所求直线的斜率为 ，
故所求直线方程为 ，即 .
故答案为：
13．已知圆 的圆心坐标为 .若直线 与圆 相切于点 ，则圆 的标准
方程为 .
【答案】
【分析】根据相切关系可得垂直，利用垂直关系可得 ，即可根据点点距离求解半径，进而可得圆的
方程.
【详解】直线 过点 ，可得直线 ，其斜率 .
由相切可得 ，可得 ，
所以 ，则圆 的标准方程为 .
故答案为：
14．圆 经过点 ，和直线 相切，且圆心在直线 上．
(1)求圆 的方程；
(2)求圆 在 轴截得的弦长．
【答案】(1) ；(2)【分析】（1）设出圆心坐标，用几何法求解圆的方程即可；
（2）利用直线与圆相交的弦长公式求解即可.
【详解】（1）设圆心的坐标为 ,
则 .
化简得 ，解得 ,
所以 点坐标为 ，
半径 ，
故圆 的方程为 .
（2）圆心 到 轴的距离为 ，
所以圆 在 轴截得的弦长为 .
15．已知圆 ，直线 ．
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）判断直线l与圆C的位置关系；
（3）当 时，求直线l被圆C截得的弦长．
【答案】（1）证明见解析；（2）点A在圆C内，从而直线l与圆C相交（无论m为何实数）；（3）
.
【分析】（1）将直线方程整理为关于参数m的方程，可令 求解，即可证结论.
（2）由（1）所得定点，根据定点到圆心距离与半径的关系，即可判断直线l与圆C的位置关系；
（3）由圆的弦长与半径、弦心距的关系，求直线l被圆C截得的弦长．
【详解】（1）证明：直线l的方程可化为 ，又 ，∴ ，解得 ，
∴直线l恒过定点 ．
（2）圆心 ， ，
∴点A在圆C内，从而直线l与圆C相交（无论m为何实数）．
（3）当 时，直线l的方程为 ，圆心 到直线l的距离 ．
∴此时直线l被圆C截得的弦长为 ．
16．已知点 ，圆 .
（1）求过点 且与圆 相切的直线方程；
（2）若直线 与圆 相交于 ， 两点，且弦 的长为 ，求实数 的值.
【答案】（1） 或 ；（2） .
【分析】（1）考虑切线的斜率是否存在，结合直线与圆相切的的条件d=r，直接求解圆的切线方程即可．
（2）利用圆的圆心距、半径及半弦长的关系，列出方程，求解a即可．
【详解】（1）由圆的方程得到圆心 ，半径 .
当直线斜率不存在时，直线 与圆 显然相切；
当直线斜率存在时，设所求直线方程为 ，即 ，
由题意得： ，解得 ，
∴ 方程为 ，即 .
故过点 且与圆 相切的直线方程为 或 .
（2）∵ 弦长 为 ，半径为2.圆心到直线 的距离 ，
∴ ，
解得 .
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查切线方程的求法，考查了垂径定理的应用，考查
计算能力．
