文档内容
2.2.2 直线的两点式方程
【划重点】
1．掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.
2．了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.
3．会用中点坐标公式求线段的中点坐标．
【知识梳理】
知识点 直线的两点式方程和截距式方程
名称 两点式 截距式
两点P(x，y)，P(x，y) 在x，y轴上的截距分别为a，b
1 1 1 2 2 2
条件
(x≠x，y≠y) ( a≠0，b≠0)
1 2 1 2
示意图
方程 ＝ ＋＝1
适用范围 斜率存在且不为0 斜率存在且不为0，不过原点
【例题详解】
一、直线的两点式方程
例1 已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC边所在的直线方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
【答案】(1)2x＋5y＋10＝0；(2)10x＋11y＋8＝0
【分析】（1）根据两点式求解即可；
（2）根据中点坐标公式可得BC的中点 ，再根据两点式可得BC边上的中线所在直线的方程．
【详解】（1）BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
由两点式，得 ＝ ，即2x＋5y＋10＝0，故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0．
（2）设BC的中点为M(a，b)，
则a＝ ＝ ，b＝ ＝－3，所以 ，
又BC边的中线过点A(－3，2)，
所以 ＝ ，即10x＋11y＋8＝0，
所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0．
跟踪训练1 (1)直线l过点 ，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直线的两点式方程运算求解.
【详解】因为 ，则线l的方程为 ，整理得 ，
所以直线l的方程为 .
故选：D.
(2)已知 ， ，则直线 的两点式方程为 ．
【答案】
【分析】直接由直线的两点式方程公式得出答案.
【详解】当直线过两点 ， 时，其两点式方程为 ，
则直线 的两点式方程为 ，
故答案为： .
二、直线的截距式方程
例2 (1)过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】根据直线的截距式方程分析运算，注意讨论截距是否为0.
【详解】设直线在x，y轴上的截距分别为 ，则 ，
若 ，即直线过原点，设直线为 ，
代入 ，即 ，解得 ，
故直线方程为 ；
若 ，设直线为 ，
代入 ，即 ，解得 ，
故直线方程为 ，即 ；
综上所述：直线方程为 或 .
故选：D.
(2)过点 且在两坐标轴上截距之和为0(不过原点)的直线方程为 ，此直线与两坐标轴
围成的三角形面积为 .
【答案】
【分析】设直线的截距式方程，将点坐标代入求解即可；先求出直线与坐标轴的交点，利用三角形面积公
式求解即可.
【详解】当直线不过原点时，可知直线在两坐标轴上的截距互为相反数，且不为0.
可设直线方程为 ，因为直线过 ，所以 ，解得 ，
所以直线方程为 .
当直线方程为 时，与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ，
故答案为 .
跟踪训练2 (1)求过点P(2,－3)，且横、纵截距互为相反数的直线方程.【答案】x－y－5＝0或3x＋2y＝0
【分析】分截距为0和不为0两种情况讨论去求直线方程.
【详解】① 当截距不为0时，设所求直线的方程为 ，
将点(2, －3)代入方程中得 ，解得a＝5，
所以所求直线的方程为 即x－y－5＝0.
② 当截距为0时，直线过原点，
所以直线的方程为 ，即3x＋2y＝0.
综上，所求直线的方程为x－y－5＝0或3x＋2y＝0.
故答案为：x－y－5＝0或3x＋2y＝0.
(2)过点(5，0)，且在两坐标轴上的截距之差为2的直线方程是 .
【答案】 =1或 =1
【分析】设直线的方程为 ，根据条件先求a,再列方程求解即可.
【详解】设直线的方程为 =1，点 在直线上，
∴ .
由 得 或 ，∴所求直线的方程为 =1或 =1.
故答案为: 或 .
【课堂巩固】
1．过（1，2），（5，3）的直线方程是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可.
【详解】因为所求直线过点 ， ，
所以 ，即 .
故选：B.
2．过两点 ， 的直线在 轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由两点式得出直线方程，令 ，即可解出直线在 轴上的截距.
【详解】过两点 ， 的直线的为 ，
令 ，解得： ，
故选：A.
3．入射光线从点 出发，经过直线 反射后，通过点 ，则反射光线所在直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出 关于 的对称点，再用两点式方程即可求解.
【详解】因为点 关于 的对称点为 ，
所以所求的直线方程为 ，即 .
故选：A.
4．已知M（3， ），A（1，2），B（3，1），则过点M和线段AB的中点的直线方程为（ ）
A．4x+2y﹣5＝0 B．4x﹣2y﹣5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x﹣2y﹣5＝0
【答案】B【分析】求出线段AB的中点坐标，再根据直线的两点式方程即可的解.
【详解】解：因为A（1，2），B（3，1），
所以线段AB的中点坐标为 ，
所以过点M和线段AB的中点的直线方程为 ，
即 .
故选：B.
5．（多选）下面说法中错误的是（ ）
A．经过定点 的直线都可以用方程 表示
B．经过定点 的直线都可以用方程 表示
C．不经过原点的直线都可以用方程 表示
D．经过任意两个不同的点 、 的直线都可以用方程 表示
【答案】ABC
【分析】由直线方程的四种特殊形式的适用范围逐一核对即得答案.
【详解】对A，过点 且垂直于 轴的直线不能用方程 表示，故A错误；
对B，经过定点 且垂直于 轴的直线不能用方程 表示，故B错误；
对C，不仅过原点的直线不可以用方程 表示，
而且垂直于两坐标轴的直线也不能用方程 表示，故C错误；
对D，当两个不同的点 、 的连线不垂直于坐标轴时，
直线方程为 ，即 ，
当直线 斜率为0或者斜率不存在时，也适合方程 ，所以经过任意两个不同的点 、 的直线都可以用方程 表
示，故D正确.
故选：ABC.
6．（多选）光线自点 射入，经 轴反射后经过点 ，则反射光线所在直线还经过下列点（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】反射光线经过点 关于 轴的对称点 和 ，从而求出反射光线所在直线，再确定
ABCD四个选项哪个点在其上.
【详解】 关于 轴的对称点为 ，则反射光线所在直线经过点 和点 ，则直线为：
，即 ，代入 ，则 ，A选项正确；代入 ，则 ，B错误；代
入 ，则 ，C选项错误；代入 ，则 ，D正确.
故选：AD
7．已知倾斜角为90°的直线经过点A(2m，3)，B(2，－1)，则m=
【答案】1
【分析】由倾斜角为90°的直线方程的特点即可求解.
【详解】因为直线的倾斜角为90°且过点A(2m，3)，B(2，－1)，故其方程为 ，
所以 ，解得 .
故答案为：1
8．已知直线经过点 ，且它在x轴上的截距为1，则直线的方程为 ．
【答案】
【分析】分类讨论直线的斜率是否存在，结合直线的点斜式方程运算求解.
【详解】若直线的斜率不存在，则方程为 ，显然它在x轴上的截距为1，符合题意；
若直线的斜率存在，设为 ，则方程为 ，
代入 可得 ，不成立；综上所述：直线的方程为 .
故答案为： .
9．经过点 ，并且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍的直线方程为 ．
【答案】 或
【分析】分截距为零和不为零两种情况求直线方程即可.
【详解】①当横纵截距为零时，直线的斜率 ，所以直线方程为 ，即 ；
②当横纵截距不为零时，设直线方程为 ，将点 代入得 ，解得 ，所以直线方程为
，即 .
故答案为： 或 .
10．过A(1，4)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有 条．
【答案】3
【分析】根据题意可得有三种情况.
【详解】解析：一条是截距为0，一条是截距相等(不为0)，一条是截距互为相反数(不为0)，共3条．
故答案为：3.
11．已知 的三个顶点分别满足：点 在 轴上，点 在 轴上， ，直线 的斜率为 ，直
线 与直线 垂直．
(1)求点 的坐标；
(2)求边 上的中线所在直线的方程．
【答案】(1) ， ；(2) ．
【分析】（1）结合直线垂直时斜率的关系、两点求斜率的公式求得 的坐标；
（2）根据边 上的中线所过点求得中线所在直线的方程.
【详解】（1）因为直线AC的斜率为 ，直线AC与直线BC垂直，
所以直线BC的斜率为 ．设 ， ，则 ，解得 ；
，解得 ．所以 ， ．
（2）因为BC的中点坐标为 ，且中线过点 ，
所以边BC上的中线所在直线方程为 ，即 ．
12．已知三角形的三个顶点 .
(1)求BC边所在直线的方程；
(2)求BC边上的高所在直线方程；
(3)求BC边的中垂线所在直线方程.
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）直接利用直线两点式方程求解即可；
（2）先求 ，根据直线垂直可得BC边上的高所在直线的斜率 ，再利用点斜式求解即可；
（3）先求 中点为 ，再利用点斜式求解即可.
【详解】（1）利用点斜式可得 直线方程为 ，
整理可得 ；
（2）由 ，
所以BC边上的高所在直线的斜率 ，
所以BC边上的高所在直线方程为 ，
整理可得 ；（3）由 中点为 ，
由（2）知BC边的垂直平分线的斜率 ，
所以BC边的垂直平分线为 ，
整理可得 .
13．若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程．
【答案】 或 .
【分析】由题意可得直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0，设直线方程为 ，其中
，根据三角形面积即可求解.
【详解】解 ∵直线 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，
∴直线 在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l在两坐标轴上的截距相等，且设为 ，
则直线方程为 ，即 .
，即 ， ，
∴直线方程为 .
若 在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在 轴上的截距为 ，
则在 轴上的截距为 ，
故直线方程为 ，即 .
∵ ，即 ，
， 直线方程为 .
综上所述，直线 的方程为 或 .
14．已知直线 过点 ．(1)若直线 过点 ，求直线 的方程；
(2)若直线 在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线 的方程．
【答案】(1) ；
(2) 或
【分析】（1）利用直线的两点式方程求解即可；
（2）利用直线的截距式方程求解即可，注意讨论截距为0的情况；
【详解】（1）因为直线 过 ， ，
所以直线 方程为 ，整理得 .
（2）当直线 经过原点时，可设直线 方程为 ，
将点 代入可得 ，解得 ，所以直线 方程为 ；
当直线 不经过原点时，可设直线 方程为 ，
将点 代入可得 ，解得 ，所以直线 方程为 ，
综上所述，直线 方程为 或 .
15．已知直线l：
（1）若直线l的斜率是2，求m的值；
（2）当直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大时，求此直线的方程．
【答案】（1）m＝－4；（2）x＋y－2＝0.
【分析】（1）由方程得出在坐标轴上的两点，即可由斜率求出；
（2）由题得出0＜m＜4，表示出面积即可求出.
【详解】解：(1)直线l过点(m，0)，(0，4－m)，
则 ，解得m＝－4.
(2)由m＞0，4－m＞0，得0＜m＜4，
则 .当m＝2时，S有最大值，
故直线l的方程为x＋y－2＝0.
【课时作业】
1．已知直线 的两点式方程为 ，则 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直线 的两点式方程为 ，得到直线 过点 ， ，然后由斜率公式求解.
【详解】因为直线 的两点式方程为 ，
所以直线 过点 ， ，
所以 的斜率为 ．
故选：A
【点睛】本题主要考查直线的方程以及斜率公式，属于基础题.
2．经过两点 、 的直线方程都可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据两点式直线方程即可求解.
【详解】当经过 、 的直线不与 轴平行时，所有直线均可以用 ，
由于 可能相等，所以只有选项C满足包括与 轴平行的直线.
故选:C3．已知直线l经过 、 两点，点 在直线l上，则m的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】C
【分析】根据直线的两点式方程即可求解.
【详解】由题意知 不与 轴平行，故由直线 的两点式方程可得 ，解得： ，
故选：C
4．一束光线从 点处射到y轴上一点 后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由反射定律得点A关于y轴的对称点，又因为B点也在直线上，根据截距式可得直线方程．
【详解】由题得点 关于y轴的对称点 在反射光线所在的直线上，再根据点 也在反射光
线所在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为 ，即 ，故选B.
【点睛】本题直线方程可由两点式或截距式求出，找到点A的对称点是突破口，属于基础题．
5．过点 在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】按截距为0和不为0分类讨论分别求得符合题意的直线方程
【详解】当截距 时，设直线方程为 ，
将 ， 代入得 ，∴方程为
当截距 时，过原点和点 的直线方程为又 且在两坐标轴上的截距相等，
∴过点A且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 和
故选：D.
6．有关直线方程的两点式，有如下说法：
①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程；
②直线方程 也可写成 ；
③过点 ， 的直线可以表示成 .
其中正确说法的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据直线方程的两点式使用条件可判断①②；③式是由直线两点式化简而得，通过验证斜率为0
或不存在即可验证命题真伪.
【详解】①正确，从两点式方程的形式看，只要 ， ，就可以用两点式来求解直线的方程；②
正确，方程 与 的形式有异，但实质相同，均表示过点 和 的直
线；③显然正确.
故选：D.
7．经过两点A(－1，－5)和B(2，13)的直线在x轴上的截距为（ ）
A．－1 B．1 C．－ D．
【答案】C
【分析】先由两点式方程求出直线方程，即可求得在x轴上的截距.
【详解】解析：由直线的两点式可得直线的方程为 ，即6x－y＋1＝0，
将 代入可得在x轴上的截距为 .
故选：C.
8．已知直线 和直线 都过点 ，则过点 和点 的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把 坐标代入两条直线 和 得 , ,求出
,再用两点式方程求过点 , 的直线的方程．
【详解】把 坐标代入两条直线 和 ,得
, ,
,
过点 , 的直线的方程是： ,
,则 ,
, ,
所求直线方程为： ．
故选 ：A.
9．（多选）已知 的三个顶点 、 、 ，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 的斜率为
B．直线 的倾斜角为钝角
C． 边的中点坐标为
D． 边上的中线所在的直线方程为
【答案】BCD【分析】利用直线的斜率公式可判断A选项；利用直线斜率与倾斜角的关系可判断B选项；利用中点坐标
可判断C选项；利用直线的两点式方程可判断D选项.
【详解】对于A，直线 的斜率为 ，故A错误；
对于B，直线 的斜率为 ，所以直线 的倾斜角为钝角，故B正确；
对于C，设 边的中点为 ，则 ， ，即点 ，故C正确；
对于D， 边上的中线 所在的直线方程为 ，整理得 ，故D正确.
故选：BCD.
10．（多选）下列说法错误有（ ）
A．“ ”是“ 与直线 互相垂直”的充要条件
B．过 ， 两点的所有直线的方程为
C．直线 的倾斜角 的取值范围是
D．经过点 且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
【答案】ABD
【分析】A. 由两直线互相垂直求解判断；， B.根据直线的两点式方程判断； C.利用直线的倾斜角和斜率
求解判断； D分直线经过原点和不经过原点时求解判断.
【详解】A. 当 与直线 互相垂直时， ，解得 或 ，故错误；
B.过 ， （且 ） 两点的所有直线的方程为 ，故错误；
C.直线 的倾斜角 ，则 ，所以倾斜角 的取值范围是
，故正确；
D.经过点 且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为：当直线经过原点时为 ，当直线不经过原点时，设方程为 ，将点 代入得 ，则直线方程为 ，故错误；
故选：ABD
11．已知直线l过点P(0，1)，且与x，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于2，则直线l的方程是
.
【答案】
【分析】设所求直线方程为 ，求出直线与x，y轴的交点坐标，根据三角形的面积等于2即可得解.
【详解】设直线l的方程为 ，由题意得k<0，令x=0，得y=1;令y=0，得 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以直线l的方程为 ，即 .
故答案为：
12．一束光线经过点 由x轴反射后，经过点 射出，则反射光线所在直线方程是
．
【答案】
【分析】根据题意，若要求反射光线，可求得点 关于 轴对称的点 ，又过 即可得
解.
【详解】首先求点 关于 轴对称的点 ，
所以反射光线过 和 两点，
故直线方程为： ，
即 ，
故答案为： .
13．已知直线 在两坐标轴上的截距相等，则实数 的值为 .【答案】
【分析】根据直线在两坐标轴上的截距相等得到关于 的方程，解出即可.
【详解】因为直线 在两坐标轴上的截距相等，
当 时，直线方程为： ，与 轴平行，不符合题意；
当 时，令 得： ，令 得： ，
则 ，解得： ，
综上：实数 的值为 ，
故答案为： .
14．直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点 ，则直线l的方程为 .
【答案】
【分析】设直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为 ，由截距式可将直线表示出来，因为直线某
过点，所以将点代入，即可求得a，得到直线方程.
【详解】设直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为 ，
由截距式可得： ，将 代入直线方程，解得： 或3，
所以代入直线方程化简可得， 或 .
【点睛】本题考查直线方程的截距式，根据题意假设参数，最后代入已知点解出即可，
注意截距式的标准形式与限制条件.
15．求经过点 且与两坐标轴所围成的三角形面积为 的直线 的方程.
【答案】 或
【分析】依题意设所求直线 的方程为 ，即可得到方程组，解得 、 ，即可得解.
【详解】由题意知，直线 在两坐标轴上的截距存在且不为零，故可设所求直线 的方程为
，由已知可得 ，解得 或 ，
所以 或 ，
故直线 的方程为 或 ．
16．设直线l的方程为
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
(3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B， 的面积为S，求S的最小值并求此时直线l
的方程.
【答案】(1) 或 .
(2)
(3) 面积的最小值是6，此时直线l的方程为
【分析】（1）根据直线过原点、直线与不过原点两种情况进行分类讨论，由此求得直线 的方程.
（2）将直线方程化为斜截式，再结合 不经过第二象限列不等式组，解不等式组求得实数 的取值范围.
（3）根据 两点的位置确定 的坐标以及 的取值范围，求得 面积的表达式，结合 的取值范
围，结合基本不等式，求得面积的最小值与此时直线l的方程.
【详解】（1）当直线过原点时满足条件，此时 ,解得 ,化为 .
当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故 ,解得 ,可得直线 的方程为: .
综上所述，直线 的方程为 或 .
（2） ,∵ 不经过第二象限,∴ ,解得 .
∴实数 的取值范围是 .
（3）令 ,解得 ,解得 ;
令 ,解得 ,解得 或 .
综上有 .
∴
,
当且仅当 时取等号.
∴ ( 为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程 ，即
