文档内容
2.5.2 圆与圆的位置关系
【划重点】
1．了解圆与圆的位置关系.
2．掌握圆与圆的位置关系的判断方法.
3．能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题．
【知识梳理】
知识点 两圆的位置关系及其判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r，r，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：
1 2
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r，
1
d>r＋r d＝r＋r |r－r|< d0)，
1 1 1 1 1
C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D＋E－4F>0)，
2 2 2 2 2
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 2个 1个 0个
两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含
【例题详解】
一、两圆位置关系的判断
例1 (1)圆 与圆 的位置关系为（ ）A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
【答案】A
【分析】根据两圆的位置关系的判定方法，即可求解.
【详解】由 与圆 ，
可得圆心 ，半径 ，
则 ，且 ，
所以 ，所以两圆相交.
故选：A.
(2)圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
【答案】B
【解析】分别求出两圆的圆心和半径，求得圆心距与半径和或差的关系，即可判断位置关系.
【详解】解：圆 的圆心 ，半径 ，
的圆心 ，半径 ，
则两圆的圆心距 ，即两圆内切.
故选：B.
【点睛】本题考查两圆的位置关系的判断，注意运用两点的距离公式，考查运算能力，属于基础题.
(3)若圆 与圆 相外切，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】确定出两圆的圆心和半径，然后由两圆的位置关系建立方程求解即可.
【详解】由 可得 ，所以圆 的圆心为 ，半径为 ，
由 可得 ，所以圆 的圆心为 ，半径为 ，因为两圆相外切，所以 ，解得 ，
故选：D
(4)已知点P，Q分别为圆 与 上一点，则 的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．10
【答案】A
【分析】根据两圆位置关系求解.
【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径 为1；
圆 的圆心坐标为 ，半径 为2；
所以两圆的圆心距 ，两圆外离，
所以 ，
故选：A.
跟踪训练1 (1)圆 与圆 的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【答案】D
【分析】圆和圆的位置关系，可以通过比较圆心距和半径之和、半径之差间的关系判断﹒
【详解】两圆圆心分别为 ， ，半径分别为1和3，圆心距 ．
∵ ，∴两圆外离．
故答案为：D
(2)已知圆 关于直线 对称，圆 的标准方程是
，则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
【答案】B m 2 m2
x12 y
【分析】本题首先可将 转化为 ，圆心为 ，然后根
2 4
据圆 关于直线 对称求出 ，最后通过圆心间距离等于两圆半径之和即可得出结果.
m 2 m2
x12 y
【详解】 即 ，圆心 ，
2 4
因为圆 关于直线 对称，所以圆心 在直线 上，
即 ，解得 ， ，圆心 ，半径为 ，
，圆心 ，半径为 ，
圆心间距离为 ，
因为圆心间距离等于两圆半径之和，所以圆 与圆 的位置关系是相切，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查两圆的位置关系，可通过圆心间距离与两圆半径之和的关系来判断，考查
圆的对称性的应用，考查计算能力，是中档题.
(3)已知圆 ： ，圆 ： ，若圆 与圆 内切，则实数a的值是
（ ）
A． B．2 C． 或2 D．1或
【答案】C
【分析】由圆心距等于两圆半径之差的绝对值可得结论．
【详解】由题可知圆心 ，半径 ，圆心 ，半径 ，因为圆 与圆 内切，所以
，解得 或 ．
故选：C．
二、两圆的公共弦问题例2 (1)圆 与 的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】已知两圆方程，可先让两圆方程作差，得到其公共弦的方程，然后再计算圆心到直线的距离，再
结合勾股定理即可完成弦长的求解.
【详解】已知圆 ，圆 ，
两圆方程作差，得到其公共弦的方程为： ： ，
而圆心 到直线 的距离为 ，
圆 的半径为 ，所以 ，所以 .
故选：D.
(2)（多选）圆 和圆 的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线方程为
B．公共弦AB的长为
C．线段AB中垂线方程为
D．P为圆 上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
【答案】AC
【分析】A选项，两圆方程作差即可求出公共弦方程；
B选项，求出一个圆的圆心到公共弦的距离，利用垂径定理计算即可；
C选项，线段AB的中垂线即为两圆圆心的连线，利用点斜式求解即可；
D选项，求出 到公共弦的距离，加上半径即可求出最值.
【详解】因为圆 ： 和圆 ： 的交点为A，B，作差得 ，
所以圆 与圆 的公共弦AB所在的直线方程为 ，故A正确；
因为圆心 ， ， 所在直线斜率为 ，
所以线段AB的中垂线的方程为 ，即 ，故C正确；
圆 ： 的圆心为 ，半径 ，圆心 到直线 的距离
，所以P到直线AB的距离的最大值为 ，圆 与圆 的公共弦AB的长为
，故B,D错误．
故选:AC.
(3)若圆 与圆 相交，且公共弦长为 ，则 .
【答案】
【分析】两个圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，根据圆的弦长公式即可求a的值．
【详解】圆 与圆 的方程相减即为公共弦所在直线方程：
，
圆 圆心(0，0)到公共弦距离d＝ ，
则公共弦长度为 ，解得a＝ ．
故答案为： ．
跟踪训练2 (1)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直线方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】两圆的方程消掉二次项后的二元一次方程即为公共弦所在直线方程.
【详解】由x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0两式相减
得： ，即 .
故选：B
(2)（多选）已知圆 ： 和圆 ： 则（ ）
A．两圆相交 B．公共弦长为
C．两圆相离 D．公切线长
【答案】AB
【分析】先将圆的一般方程化为标准，再计算圆心间距离判断两圆的位置关系，最后根据两圆的位置关系
求解公共弦长或公切线长得出答案.
【详解】圆 的标准方程为： ，圆心为（5，5）半径为
圆 的标准方程为： ，圆心为（3，-1）半径为
所以两圆心的距离： ，
两圆相交，选项A正确，选项C错误；
设两圆公共弦长为L，则有：
，选项B正确，选项D错误.
故选：AB
三、两圆的公切线问题例3 (1)圆 ： 与圆 ： 公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】首先根据题意得到两圆相外切，即可得到答案.
【详解】根据题意，圆 ： ，即 ，
其圆心为 ，半径 ；
圆 ： ，即 ，
其圆心为 ，半径 ，
两圆的圆心距 ，所以两圆相外切，
其公切线条数有3条．
故选：C．
(2)已知圆 ： 与圆 ： 相内切，则 与 的公切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由两圆的位置关系得出 ，进而联立两圆方程得出公切线方程.
【详解】圆 ： 的圆心 ，圆 ： 可化为
， ，则其圆心为 ，半径为 ，
因为圆 与圆 相内切，所以 ，即 ，故 .
由 ，可得 ，
即 与 的公切线方程为 .故选：D
跟踪训练3 (1)（多选）已知圆 ，圆 ，则下列是圆 与圆
的公切线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】在同一坐标系内画出两圆图象，由两圆相离可知共有4条切线，再利用对称性设出直线方程，由
点到直线距离公式即可求得切线方程.
【详解】根据题意可知，两圆心 关于原点对称，
在同一坐标系内画出两圆图象，如下图所示：
显然，圆心距 ，即两圆外离，共有4条切线；
又两圆心到 轴的距离都等于其半径，所以 轴是其中一条公切线，即A正确；
利用对称性可知，其中一条切线 过原点，设其方程为 ，
又 到切线 的距离为1，即 ，解得 或 ；
当 时，切线即为 轴，当 时，切线方程为 ，即 ，B正确；
由对称性可知，切线 与直线 平行，
易知 ，所以直线 的方程为 ，可设 的方程分别为 ，
由两平行线间距离公式可得 ，解得 ，
即切线 的方程分别为 ， ；
整理可得两切线方程为 和 ，故C正确，D错误；
故选：ABC
(2)已知两圆 ， ，当圆 与圆 有且仅有两条公切线时，则
的取值范围 .
【答案】
【分析】根据两圆相交即可利用圆心距与半径的关系求解.
【详解】若圆C 与圆C 有且仅有两条公切线时，则两圆相交，
1 2
圆心C ，半径R＝2，圆C ，半径r，
1 2
则 ，
若两圆相交，则满足 ，即 ,
得 ，
故答案为：
【课堂巩固】1．若圆 ， ，则 和 的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
【答案】D
【分析】求出两圆的圆心距 ，比较 与两圆半径和与差的绝对值的大小，进行可判断出两圆的位
置关系.
【详解】可知，圆 的圆心为 ，半径为 ，圆 的圆心 ，半径为 ，
，
因此，圆 与圆 外切.
故选：D.
【点睛】本题考查两圆位置关系的判断，考查推理能力，属于基础题.
2．已知圆 ，圆 ，则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
【答案】A
【分析】由圆心距与两圆半径的和差比较可得．
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 .圆 的圆心为 ，半径为2，所以两圆圆心之间的距离为
，半径和为 .因为 ，所以两个圆相离.
故选：A.
3．已知圆 与圆 外切，则m的值为（ ）
A．1 B．9 C．10 D．16
【答案】B
【分析】直接利用圆心距等于两圆的半径之和列方程即可求解.
【详解】因为圆C与圆O外切，所以两圆的圆心距等于两圆的半径之和，即
，解得 ．故选：B．
4．圆 和圆 的交点为 ，则有（ ）
A．公共弦 所在直线方程为
B．公共弦 的长为
C．线段 中垂线方程为
D．
【答案】D
【分析】对于A，联立两圆方程即可得公共弦 所在直线方程；
对于B，由弦长公式计算即可；
对于C，由题意可知线段 中垂线为直线 ，求出直线 的方程即可判断；
对于D，求出 坐标，计算出 的值，即可判断.
【详解】解：对于A，联立两圆方程得 ，可得 ，
即公共弦 所在直线方程为 ，故错误；
对于B，设 到直线 ： 的距离为 ，
则有 ，
则弦长公式得： ，故错误；
对于C，由题意可知线段 中垂线为直线 ，
又因为 ， ，
所以直线 的方程为 ，故错误；对于D，由 ，解得 或 ，
取 ，
所以
所以 ，
所以 ，故正确.
故选：D.
5．若A为圆 上的动点，B为圆 上的动点，则 的最大值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】先判断两圆位置关系为相离，两圆上动点的最大距离为两圆半径加圆心距离.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ；
圆 的圆心为 ，半径为 ，
∴ ，所以两圆相离．
又A为圆 上的动点，B为圆 上的动点，
∴ 的最大值是 ，
故选：D．
6．（多选）已知圆 与圆 有四条公切线，则实数a的取值可能是
（ ）
A．－4 B．－2 C． D．3
【答案】AD【分析】根据题意可知，两圆外离，即圆心距大于两圆半径之和，解不等式即可得解．
【详解】圆心 ，半径 ，圆心 ，半径 ．因为两圆有四条公切线，所以两圆外离．
又两圆圆心距 ，所以 ，解得 或 ．
故选：AD．
7．（多选）圆 和圆 的交点为 ， ，则有（ ）
A．公共弦 所在直线方程为
B． 为圆 上一动点，则 到直线 距离的最大值为
C．公共弦 的长为
D．圆 上存在三个点到直线 的距离为
【答案】ABD
【分析】求得公共弦 所在直线方程判断选项A；求得 到直线 距离的最大值判断选项B；求得公共
弦 的长判断选项C；求得圆心 到直线 的距离进而可判断选项D.
【详解】圆 的圆心 ，半径
选项A：由 和 两式怍差得
则公共弦 所在直线方程为 .判断正确；
选项B：圆心 到直线 的距离为
则圆 上动点 到直线 距离的最大值为 .判断正确；
选项C：公共弦 的长 .判断错误；选项D：圆心 到直线 的距离为
又圆 的半径 ，
则圆 上存在三个点到直线 的距离为 .判断正确.
故选：ABD
8．已知两圆 与 交于 两点，则直线 的方程为 .
【答案】
【分析】由两圆方程作差后求解
【详解】 ， ，
两式作差得 ，化简得 ，
故答案为：
9．写出与圆 和圆 都相切的一条直线的方程： ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据圆的半径、圆心可判断两圆位置关系，据此求公切线方程即可.
【详解】由圆 ，圆 ，
，可知它们外切，
所以两圆的方程作差即可得内公切线的方程为 ．
又直线 的方程为 ，两圆半径相等，
故可设外公切线的方程为 ，
因为圆心 到外公切线距离为 ，
所以 或 ，即两条外公切线的方程分别为 和．
故答案为： （答案不唯一）
10．早在两千多年前，我国的墨子给出了圆的定义——一中同长也．已知O为坐标原点， ．若
， 的“长”分别为1，r，且两圆相切，则 ．
【答案】1或3
【分析】根据圆的定义，得出 和 的圆心和半径，再由两圆相切分为内切和外切两种情况，分别得
出两半径间的关系，求解即可．
【详解】由题意，O为坐标原点， ，
根据圆的定义可知， 的圆心为 ，半径为1，
的圆心为 ，半径为r，
因为两圆相切，
当两圆外切时，则有 ，即 ，
当两圆内切时，则有 ，即 ， 或 （舍）
所以 或3，
故答案为：1或3．
11．已知圆 与圆 ．
(1)求证：圆 与圆 相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求经过两圆交点，且圆心在直线 上的圆的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)(3)
【分析】（1）将两圆方程化成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心距，即可证明；
（2）将两圆方程作差，即可求出公共弦方程；
（3）首先求出两圆的交点坐标，设圆心为 ，根据 得到方程，即可求出 ，从而求出
圆心坐标与半径，从而得到圆的方程.
【详解】（1）证明：圆 ： 化为标准方程为 ，
，
圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
，
， 两圆相交；
（2）解：由圆 与圆 ，
将两圆方程相减，可得 ，
即两圆公共弦所在直线的方程为 ；
（3）解：由 ，解得 ，
则交点为 ， ，
圆心在直线 上，设圆心为 ，
则 ，即 ，解得 ，
故圆心 ，半径 ，
所求圆的方程为 ．
12．已知圆 与y轴相切于点 ，圆心在经过点 与点 的直线l上．(1)求圆 的方程；
(2)若圆 与圆 相交于M，N两点，求两圆的公共弦长．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用两点求出直线方程l，利用圆心在l上又在 求出圆心坐标，进而求出圆的半径求出圆
的方程；
(2)利用两圆的方程相减得到公共弦所在直线方程，求出圆心 到公共弦的距离，利用勾股定理求出两圆的
公共弦长．
【详解】（1）经过点 与点 的直线l的方程为 ，即 ，
因为圆 与y轴相切于点 ，所以圆心在直线 上，
联立 解得 可得圆心坐标为 ，
又因为圆 与y轴相切于点 ，故圆 的半径为4，
故圆 的方程为 ．
（2）圆 的方程为 ，
即 ，圆 ，
两式作差可得两圆公共弦所在的直线方程为 ，
圆 的圆心 到直线 的距离 ，
所以两圆的公共弦长为 ．【课时作业】
1．已知圆 的方程是 ，圆 的方程是 ，则圆 与圆 的位
置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
【答案】B
【分析】根据圆心距以及半径间的关系确定正确选项.
【详解】 即 ，
所以圆 的圆心为 ，半径 .
,
所以圆 的圆心为 ，半径 .
，
所以两圆外切.
故选：B
2．圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
【答案】D
【分析】分别求出两圆的圆心和半径，再计算圆心距与半径差或和的比较即可得到答案.
【详解】圆 化为标准方程为 ，所以其圆心坐标是 ，半径
是6；圆 化为标准方程为 ，所以其圆心坐标是 ，半径是1，所以圆心距为 ，所以两个圆相内切.
故选：D.
3．已知圆 ： 与圆 ： ，若圆 与圆 有且仅有一个公共
点，则实数a等于（ ）
A．14 B．34 C．14或45 D．34或14
【答案】D
【分析】根据两圆内切或外切可得圆心距，从而可求实数a.
【详解】圆 ： 的圆心为 ,
圆 ： 的圆心为 ,
，
因为圆 与圆 有且仅有一个公共点，故圆 与圆 相内切或外切，
故 或 ，从而 或 ，
所以 或 ，解得： 或
所以实数a等于34或14
故选：D
4．如果圆 上恰有两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求出到原点距离为 的所有点的轨迹，此轨迹表示的曲线与圆 有两个交点
即可.
【详解】平面内到原点距离为 的所有点的轨迹方程为 ,设圆 的圆心为 ，则圆 上恰有两个点到原点的距离为1,
等价于圆 与圆 相交，即 ， .
故选：D.
5．已知圆 与圆 ，若 与 有且仅有一条公切线，则实数
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，从而可求出结果.
【详解】圆 可化为 ，圆心为 ，半径为 ，
圆 可化为 ，圆心为 ，半径为 ，
又 与 有且仅有一条公切线，
所以两圆内切，
因此 ，即 ，
解得 ，
故选：C
6．已知圆 与圆 相交所得的公共弦长为 ，则圆
的半径 （ ）
A． B． C． 或1 D．
【答案】D
【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由垂径定理结合圆 圆心与半径表达式可得答案.
【详解】 与 两式相减得 ，即公共弦所在直线方程.
圆 方程可化为 ，可得圆心 ， 半径 .则圆心 到
的距离为 ，
半弦长为 ，则有 ，解得 或 （舍），此时
故选： .
7．已知圆 与圆 外切，直线 与圆C相交于A，B两点，则
（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】由两圆外切列方程求 ，再求圆心 到直线 的距离，结合弦长公式求弦长.
【详解】圆 的圆心 的坐标为 ，半径为 ，
圆 的圆心 的坐标为 ，半径为 ，
因为圆O与圆C外切，所以
所以 .
设圆心 到直线l的距离为d，则 ，
从而 .
故选：D.
8．“ ”是“圆 与圆 有公切线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】由圆的方程可得两圆圆心和半径，由两圆有公切线时圆心距和两圆半径之间的关系可确定结果．
【详解】由已知有，圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为1，两圆圆心距 ，
当两圆有公切线时，两圆的位置关系为：内切、相交、外切和相离，
此时两圆的半径与圆心之间的距离满足 ，
即 ，又 ，故解得 ，
当 时，两圆的位置关系可能为：内切、相交、外切和相离，此时两圆有公切线，
所以圆 与圆 有公切线的充要条件为 ，
所以“ ”是“两圆有公切线”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
9．（多选）已知两圆方程为 与 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若两圆外切，则
B．若两圆公共弦所在的直线方程为 ，则
C．若两圆的公共弦长为 ，则
D．若两圆在交点处的切线互相垂直，则
【答案】AB
【分析】根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设圆 为圆 ，圆 的圆心为 ，半径 .
设圆 为圆 ，圆 的圆心为 ，半径 .
.A选项，若两圆外切，则 ，A选项正确.
B选项，由 两式相减并化简得 ，
则 ，
此时 ，满足两圆相交，B选项正确.
C选项，由 两式相减并化简得 ，
到直线 的距离为 ，
所以 ，
即 ，则解得 或 ，C选项错误.
D选项，若两圆在交点处的切线互相垂直，设交点为 ，
根据圆的几何性质可知 ，
所以 ，D选项错误.
故选：AB
10．（多选）已知圆 ，则（ ）
A．直线 的方程为 B．过点 作圆 的切线有且只有1条
C．两圆相交，且公共弦长为 D．圆 上到直线 距离为2的点有4个
【答案】ACD
【分析】根据圆的标准方程，结合圆的切线性质、两圆相交公共弦所在的直线方程性质逐一判断即可.【详解】由两圆的方程可知两圆的圆心坐标为 ，半径分别为 ，
直线 的方程为 ，A正确；
过点 作圆 的切线有 ，有2条，B错误；
，满足 ．
两圆相交，公共弦所在直线为 ， 到l的距离 ，由垂径定理，公共弦长为2
，C正确；
圆心 到直线 距离为 ， ，故圆 上到直线 距离为2的点有4个，D正确，
故选：ACD．
【点睛】关键点睛：利用圆的几何性质、点到直线距离公式是解题的关键.
11．已知圆 和圆 ，垂直平分两圆的公共弦的直线的一
般式方程为 .
【答案】
【分析】若要垂直平分两圆的公共弦，则该直线必过两圆圆心，求得两圆圆心即可得解.
【详解】圆 和圆
的圆心分别为： 和 ，
垂直平分两圆的公共弦的直线必过两圆圆心，
所以直线方程为 ，
整理可得： .
故答案为： .12．设 与 相交于 两点，则 ．
【答案】
【分析】先求出两圆的公共弦所在的直线方程，然后求出其中一个圆心到该直线的距离，再根据弦长、半
径以及弦心距三者之间的关系求得答案.
【详解】将 和 两式相减：
得过 两点的直线方程： ，
则圆心 到 的距离为 ，
所以 ，
故答案为：
13．已知圆 ，圆 .
(1)求圆 与圆 的公共弦长；
(2)求过两圆的交点且圆心在直线 上的圆的方程.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心 到公共弦的距离，再利用弦心距，
半径和弦的关系可求得答案，
（2）解法一：设过两圆的交点的圆为 ，求出圆心坐标代入
中可求出 ，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，
设所求圆的圆心坐标为 ，然后列方程组可求出 ，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程.【详解】（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，
即 ，化简得 ，
所以圆 的圆心 到直线 的距离为 ，
则 ，解得 ，
所以公共弦长为 .
（2）解法一：
设过两圆的交点的圆为 ，
则 ；
由圆心 在直线 上，则 ，解得 ，
所求圆的方程为 ，即 .
解法二：
由（1）得 ，代入圆 ，
化简可得 ，解得 ；
当 时， ；当 时， ；
设所求圆的圆心坐标为 ，
则 ，解得 ；
所以 ；所以过两圆的交点且圆心在直线 上的圆的方程为
14．已知圆 ： 和圆 相交于 两点.
(1)求公共弦 所在直线的方程.
(2)求 的面积.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）将两圆的方程相减即可得到公共弦 所在直线的方程；
（2）利用垂径定理构造直角三角形，再利用点到直线的距离公式求出 ，勾股定理求出 ，然后求面
积即可.
【详解】（1）因为 ： ， ： ，所以 得： ，
即 ，所以公共弦所在的直线方程为： .
（2）
如图，取 中点 ，连接 ， ， ， ，根据圆的性质可得 ，
圆 可整理为 ，所以 ， ，
点 到直线 的距离 ，所以 ， .
15．已知圆 ，圆 ．
(1)求两圆的公共弦长；(2)求两圆的公切线方程．
【答案】(1) ；(2) 和
【分析】（1）联立两圆方程可得公共弦直线方程，求出点 到 的距离，利用半径、 到 的距离、公共
弦长的一半构成的直角三角形可得答案；
（2）由图象、方程特征可知一条公切线为： ；求出直线 与 的交点 ，设另一条公
切线的方程为 ，利用点 到此公切线的距离解得 ，可得答案.
【详解】（1）易知圆 的圆心 ，半径为1，圆 的圆心 ，半径为3，
两圆方程 、 相减可得公共弦直线方程为
，所以点 到 的距离为 ，
所以公共弦长为 ；
（2）因为圆 的圆心 ，半径为1，圆 的圆心 ，半径为3，
由图象可知，有一条公切线为： ，
直线 与 的交点为 ，设另一条公切线的方程为 ，也即 ，
则点 到此公切线的距离 ，解得： ，
所以另一条公切线的方程为： ，
综上，两圆的公切线方程为 和 ．
16．在平面直角坐标系 中，已知圆 .设圆 与 轴相切，与圆 外切，
且圆心 在直线 上.
(1)求圆 的标准方程；
(2)设垂直于 的直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2) 或 ．
【分析】（1）由题意求出圆 ，圆 的圆心和半径，由两圆外切，可得 ，即可求出答案.
（2）由 ，可求出圆心O 到直线l的距离，再由点到直线的距离公式代入求解即可.
1【详解】（1）圆 ： ，
则圆 的标准方程为 ，
即圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
因为圆 与x轴相切，与圆O 外切，则圆心 ， ，
1
则圆 的半径为 ，
则 ，解得 ，
即圆 的标准方程为 ；
（2）由（1）知O（﹣6，1），则 ，
2
所以直线l的斜率为 ，
设直线l的方程为 ，
因为 ，则圆心O 到直线l的距离 ，
1
所以 ，解得 或 ，
所以直线l的方程为 或 ．
