文档内容
第三章《圆锥曲线的方程》
3.1 椭圆
【划重点】
1．理解并掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程.
2．掌握用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程．
3．掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.
4．会判断直线与椭圆的位置关系．
【知识梳理】
知识点一 椭圆的定义
1．定义：平面内与两个定点F，F 的距离的和等于常数(大于|FF|)的点的轨迹．
1 2 1 2
2．焦点：两个定点F，F.
1 2
3．焦距：两焦点间的距离|FF|.
1 2
4．几何表示：|MF |＋|MF |＝2a(常数)且2a>|FF|.
1 2 1 2
知识点二 椭圆的标准方程及其几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
A(－a，0)，A(a，0)， A(0，－a)，A(0，a)，
1 2 1 2
顶点
B(0，－b)，B(0，b) B(－b，0)，B(b，0)
1 2 1 2
轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点 (±，0) (0，±)
焦距 |FF|＝2
1 2
对称性 对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点
离心率 e＝∈(0,1)
知识点三 直线与椭圆的位置关系
(1)直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立
消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及 Δ的取值
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等的关系如表所示．
直线与椭圆 解的个数 Δ的取值
两个不同的公共点 两解 Δ>0
一个公共点 一解 Δ＝0
没有公共点 无解 Δ<0
(2)弦长公式：
设直线与椭圆的交点坐标为A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则|AB|＝ 或 |AB|＝ (k为直线斜率)．
【例题详解】
一、椭圆的定义及其应用
例1 (1)设定点 ， ，动点P满足条件 ，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
(2)设 是椭圆 上的动点，则 到该椭圆的两个焦点距离之和为（ ）
A． B． C．4 D．
(3)设 分别为椭圆 的左右焦点，过 的直线交椭圆于A、B两点，则 的周长为
（ ）
A．12 B．24 C． D．
跟踪训练1 (1)P是椭圆 上的一点，F是椭圆的左焦点，O是坐标原点，已知点M是线段PF的
中点，且 ，则 （ ）
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等A． B． C． D．
(2)已知点 ， 是椭圆 上关于原点对称的两点， ， 分别是椭圆 的左、右焦点，若
，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
二、椭圆的简单几何性质
例2 (1)椭圆 与椭圆 的（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
(2)椭圆 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
(3)中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
跟踪训练2 (1)已知椭圆 为两个焦点， 为椭圆 上一点，若 的周长为
4，则 （ ）
A．2 B．3 C． D．
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等(2)（多选）已知 是椭圆 上的一点， 是椭圆 的两个焦点，则下列结论正确的是
（ ）
A．椭圆 的短轴长为 B． 的坐标为
C．椭圆 的离心率为 D．存在点P，使得
三、求椭圆的标准方程
例3 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点 ；
(2)经过两点 和 ；
(3)经过 两点.
(4)过点 且与椭圆 有相同焦点.
跟踪训练3 求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴在x轴上，长轴长为12，离心率为 ；
(2)椭圆过点 ，离心率 ；
(3)在x轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直，且焦距为8；
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等(4)与椭圆 有相同的焦点，且短轴长为2．
四、与椭圆有关的轨迹问题
例4 (1)在平面直角坐标系中，点 到点 、 的距离之和为 ，则点 的轨迹方程是
.
(2)已知 为椭圆 上一动点，记原点为 ，若 ，则点 的轨迹方程为
．
跟踪训练4 (1)已知定圆 ，圆 ，动圆M和定圆 外切和圆 内
切，求动圆圆心M的轨迹方程．
(2)点 是圆 内一定点，动圆 与已知圆相内切且过 点，判断圆心 的轨迹．
(3)已知 是椭圆 上一动点， 为坐标原点，求线段 的中点 的轨迹方程．
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等五、求椭圆的离心率
例5 (1)椭圆 的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则椭圆
的离心率为（ ）
A． B． -1 C． D．
(2)已知椭圆 的三个顶点 构成等边三角形，则椭圆 的离心率是 .
跟踪训练5 (1)已知 是椭圆 的两个焦点， 是 上一点，若 ，则 的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
(2)已知椭圆 的焦点分别为 ，则 的离心率为 .
(3)已知 是椭圆 的左焦点，经过原点 的直线 与椭圆 交于 两点，
若 ，且 ，则椭圆 的离心率 ．
六、直线与椭圆
命题角度1 直线与椭圆的位置关系
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等例6 (1)直线 ： 与椭圆 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交
(2)直线 与椭圆 只有一个交点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
跟踪训练6 (1)已知直线 ，椭圆 ，则直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
(2)若直线 与圆 没有交点，则过点 的直线与椭圆 的交点的个数
为（ ）
A．0或1 B．2 C．1 D．0或1或2
命题角度2 弦长问题
例7 (1)直线x－y＋1＝0被椭圆 ＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于（ ）
A． B． C． D．
(2)过椭圆 的左焦点作斜率为1的弦 ，则弦 的长为（ ）
A． B． C． D．
(3)已知直线 与椭圆 交于M，N两点，且 ，则 .
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等跟踪训练7 (1)一条过原点的直线与椭圆 的一个交点为 ，则它被椭圆截得的
弦长等于（ ）
A．3 B．6 C． D．
(2)已知椭圆 的右焦点为 ，左、右顶点为A、 ， ， ．则直线
被椭圆 截得的弦长为 ．
(3)已知直线 ： 与椭圆 ： 交于 ， 两点．
(i)求 的取值范围；
(ii)若 ，求 的值．
【课堂巩固】
1． ， 为椭圆 的两个焦点，P是椭圆上的点，且 ，则 （ ）
A．9 B．4 C．2 D．1
2．如果椭圆 上一点 到此椭圆一个焦点 的距离为2， 是 的中点， 是坐标原点，则
的长为（ ）
A．6 B．10 C．8 D．12
3．椭圆 的焦距是（ ）
A．2 B． C． D．
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等4．曲线 与曲线 一定有（ ）
A．相同的焦距 B．相同的离心率
C．相等的长轴长 D．相等的短轴长
5．点M与定点 的距离和它到定直线 的距离的比为 ，则点M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
6．直线 与椭圆 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
7．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，过 且斜率为1的直线 交椭圆 于A、 两点，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆 的焦点为 、 ，P为椭圆上的一点，若 ，则 的面积为（ ）
A．3 B．9 C． D．
9．已知椭圆 的离心率为 ，则长轴与短轴的比值为 .
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等10．在平面直角坐标 中，已知椭圆 ： （ ）的左焦点为 ，左顶点为 ，过点
作 轴的垂线在第二象限交椭圆于点 ，连接 并延长交 轴于点 .若 ，则椭圆的离心率
为 .
11．已知椭圆的两焦点为 ，点 在椭圆上．若 的面积最大为12，则椭圆的标准方
程为 ．
12．椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且经过点 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标，并用描点法画出它的图形．
13．已知椭圆 焦点为 ，且过点 ，椭圆第一象限上的一点
到两焦点 的距离之差为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求 外接圆的标准方程．
14．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在轴上 ，长轴长为4，焦距为2；
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等(2)经过 两点；
(3)经过点 ，且与椭圆 有共同的焦点.
15．已知离心率为 的椭圆 过点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作斜率为 直线 与椭圆相交于 两点，求 的长．
【课时作业】
1．已知 ，动点C满足 ，则点C的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．点
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A． B． 或
C． D． 或
3．已知椭圆的方程为 ，弦AB过椭圆的焦点F，另一焦点为F，则 ABF 的周长为（ ）
1 2 2
△
A．8 B．10 C．16 D．20
4．已知点P为椭圆 上动点， 分别是椭圆C的焦点，则 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
5．椭圆 的焦点为 、 ，点 在椭圆上且 轴，则 到直线 的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
6．椭圆 与椭圆 的关系为（ ）
A．有相同的长轴长与短轴长 B．有相同的焦距
C．有相同的焦点 D．有相同的离心率
7．已知椭圆长轴、短轴的一个端点分别为A，B，F为椭圆的一个焦点，若 为直角三角形，则该椭
圆的离心率为（ ）
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8．直线 与椭圆 的两个交点在x轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的
离心率e等于（ ）
A． B． C． D．
9．（多选）对于椭圆 ，下面说法正确的是（ ）
A．长轴长为2 B．短轴长为3 C．离心率为 D．焦距为2
10．（多选）关于椭圆 有以下结论，其中正确的有（ ）
A．离心率为 B．长轴长是
C．焦距2 D．焦点坐标为
11．直线 和曲线 的位置关系为 .
12．已知P是圆 上任一点， ，线段PA的垂直平分线l和半径CP交于点Q，当
点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为 .
13．已知 是椭圆 ： 的右焦点，直线 过椭圆 的下顶点且斜率为 ，以点 为圆
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14．已知 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 ，
则四边形 的面积为 ．
15．已知椭圆 的左右焦点分别为 、 .
(1)求椭圆 的长轴长、短轴长和焦点坐标；
(2)若点 在椭圆 上，且 ，求 的外接圆的方程；
(3)求过点 且与椭圆 有相同焦点的椭圆方程.
16．圆 ： 与 轴的两个交点分别为 ， ，点 为圆 上一动点，过 作 轴
的垂线，垂足为 ，点 满足 求点 的轨迹方程．
17．椭圆C： 左右焦点为 ， ，离心率为 ，点 在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)经过点 ，倾斜角为 直线l与椭圆交于B，C两点，求 ．
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（1）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为 ，求直线的方程．
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