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第二章《直线和圆的方程》
2.1.1 倾斜角与斜率
【划重点】
1．了解直线的斜率和倾斜角的概念.
2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.
3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．
【知识梳理】
知识点一 直线的倾斜角
1．倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的
倾斜角．
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
知识点二 直线的斜率
1．直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.
2．斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
3．过两点的直线的斜率公式
过两点P(x，y)，P(x，y)(x≠x)的直线的斜率公式为k＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
【例题详解】
一、直线的倾斜角例1 (1)过两点 和 的直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直线的斜率公式计算即可求出.
【详解】斜率 ，倾斜角为 ， ， ．
故选：D
(2)直线 的倾斜角为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】利用直线与 轴垂直即可求得答案
【详解】因为直线 与 轴垂直，
故直线 的倾斜角为
故选：C
跟踪训练1 (1)直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直线倾斜角和斜率的关系即可.
【详解】直线
；
；
故选：C
(2)下列图形中，对直线的倾斜角与斜率描述正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据倾斜角定义及倾斜角与斜率的关系可以判断.
【详解】对于 :倾斜角 为钝角, 且 ,则 ,与已知矛盾, 故 错误;
对于 :倾斜角定义: 轴正向与直线向上的方向之间所成的角为倾斜角, 倾斜角错误,故 错误;
对于 :倾斜角 为钝角, 且 ,则 ,,故 正确;
对于 :倾斜角定义: 轴正向与直线向上的方向之间所成的角为倾斜角, 倾斜角错误,故 错误;
故选: .
二、直线的斜率
例2 (1)下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大； B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；
C．任何一条直线都有唯一的斜率； D．任何一条直线都有唯一的倾斜角．
【答案】D
【分析】根据直线的倾斜角和斜率概念分别判断即可.
【详解】对于 :直线的倾斜角 , ,所以 错误；
对于 :两直线的倾斜角相等为 ,斜率不存在,所以 错误；
对于 :当直线的倾斜角为 时直线斜率不存在，所以 错误；
对于 :任何一条直线都有唯一的倾斜角．所以 正确.
故选： .(2)已知点 ，直线 的倾斜角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据斜率公式列式计算即可.
【详解】因为直线 的倾斜角为 ， ，
可得直线 的斜率为 ，
可得 .
故选：C
跟踪训练2 (1)如图，直线l的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由图中求出直线l的倾斜角，再根据斜率公式求出直线l的斜率.
【详解】如图，直线l的倾斜角为30°，tan30° ，所以直线l的斜率为 .
故选：B.
(2)直线 过点 ， ，则直线 的斜率为______，倾斜角为______.【答案】 1 /
【分析】根据斜率和倾斜角的定义求解即可.
【详解】因为直线 过点 ， ，
所以直线 的斜率 ，
由斜率可得倾斜角为 ，
故答案为： ；
三、斜率与倾斜角的变化关系
例3 (1)如图，已知直线 的斜率分别为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题图，利用直线的斜率和倾斜角的关系求解.
【详解】解：设直线 的倾斜角分别为 ，
由题图知，直线 的倾斜角 为钝角， .
又直线 的倾斜角 均为锐角，且 ，，
.
故选：D.
(2)设直线 的斜率为 ，且 ，则直线 的倾斜角的取值范围为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设直线 的倾斜角为 ，则有 ， ，作出 ( )的图象，由
图可得 的范围，即可得答案.
【详解】设直线 的倾斜角为 ，
则有 ， ，
作出 ( )的图象，如图所示：
由此可得 .
故选：A.
(3)经过两点 ， 的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根据题意列出相应的不等式，即可得答案.
【详解】由题意经过两点 ， 的直线的倾斜角是锐角，
可知 ，且 ，
解得 ，即实数m的范围是 ，
故选：C
跟踪训练3 (1)已知直线l的斜率为 ，则直线l的倾斜角 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据倾斜角和斜率的关系求得正确答案.
【详解】因为 ， 为锐角，
所以 ．
故选：C
(2)若直线 的斜率为 ，倾斜角为 且 ，则 的取值范围是_________________.
【答案】
【分析】直接利用斜率和倾斜角的关系来得答案.
【详解】 ，且 ，
或 ，
即 的取值范围是 .
故答案为： .四、直线与线段的相交关系求斜率范围
例4 (1)已知点 ，直线 过点 且与线段 相交，则直线 的斜率的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两点斜率公式，结合图形以及倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】直线 的斜率分别为 ,
结合图形可知：直线 过点 且与线段 相交时， ，
故选：B
(2)已知两点 ，过点 的直线与线段 有交点，则直线 的倾斜角的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别求出点 与线段 端点所成直线的斜率，即可得直线 的斜率范围，再由倾斜角与斜率关系
求倾斜角范围即可求解.
【详解】由题意：如下图所示：所以 ， ，则 ，
若直线 的倾斜角 ，则 ，所以 ，
故选： .
跟踪训练4 (1)直线 与线段 没有公共点，其中 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】数形结合即可求得 的取值范围.
【详解】直线 化为 ，
由题可知，当直线 经过点 时，解得 ，
当直线 经过点 时，解得 ，
若直线 与线段 没有公共点，
则有 或 ，即 .
故选：A
(2)已知点 ， ，若点 在线段 上，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】 表示点 与 与直线的斜率取值范围，先求出 与 点连线斜率，再结合题意
即可得出答案.
【详解】解：∵ ，∴可得 为点 与 与直线的斜率取值范围，
如图所示：
∴ 与 点连线斜率为 ，
与 点连线斜率为 ，
∴可得斜率取值范围为 ．
故选:A．【课堂巩固】
1．以下四个命题，正确的是（ ）
A．若直线l的斜率为1，则其倾斜角为45°或135°
B．经过 两点的直线的倾斜角为锐角
C．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应
D．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应
【答案】D
【分析】根据直线的倾斜角和斜率的概念依次判断选项即可.
【详解】A：直线的斜率为1，则直线的倾斜角为 ，故A错误；
B：过点A、B的直线的斜率为 ，
即 ( 为直线的倾斜角)，则 为钝角，故B错误；
C：当直线的倾斜角为 时，该直线的斜率不存在，故C错误；
D：若直线的斜率存在，则必存在对应的倾斜角，故D正确.
故选：D.
2．已知直线 的斜率为 ,则 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据斜率和倾斜角之间的关系即可得倾斜角.
【详解】解:因为斜率为-1,设直线倾斜角为 , ,
所以 ,即 .
故选:D
3．已知直线经过点 ， ，该直线的倾斜角为（ ）．
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据两点表示直线斜率求出直线的斜率，再由斜率的定义即可得倾斜角.
【详解】因为直线过点 ， ，
所以直线的斜率为 ，
设直线的倾斜角为 ，则 ，
因为 ，所以 ，
故选：C.
4．若直线l的斜率k= 2，又过一点(3，2)，则直线l经过点（ ）
A．(0，4) B．(4，0)
C．(0， 4) D．( 2，1)
【答案】B
【分析】利用斜率公式逐个验证即可
【详解】对于A， ，不符合题意；
对于B， ，所以B正确；
对于C， ，不符合题意；
对于D， ，不符合题意，
故选：B
5．若过点 ， 的直线的倾斜角为锐角，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据两点斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】因为直线 的斜率 ，
又因为直线 的倾斜角为锐角，所以 ，解得 .
故选：C
6．经过点 作直线 ，若直线 与连接 ， 两点的线段总有公共点，则直线 的倾斜角
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】画出坐标系，连接 ，结合斜率变化可知， ，联立斜率与倾斜角关系即可
求解.
【详解】如图所示，
设直线l的倾斜角为 ， ，
则 ， ，
∵直线l与连接 ， 的线段总有公共点，∴ ，
即 ，
∴ ．
故选：A．
7．已知点 ， ，若点 在线段AB上，则 的取值范围（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设 ，分别求出 ， ，根据 表示直线 的斜率即可得到结果.
【详解】设 ，则 ，
因为点 在线段 上，所以 的取值范围是 ，
故选：A.
8．已知 、 ，若直线 经过点 ，且与线段 有交点，则 的斜率的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】作出图形，数形结合可得出直线 的斜率的取值范围.
【详解】过点 作 ，垂足为点 ，如图所示：设直线 交线段 于点 ，设直线 的斜率为 ，且 ， ，
当点 在从点 运动到点 （不包括点 ）时，直线 的倾斜角逐渐增大，
此时 ；
当点 在从点 运动到点 时，直线 的倾斜角逐渐增大，此时 .
综上所述，直线 的斜率的取值范围是 .
故选：D.
9．已知坐标平面内三点 ， 为 的边 上一动点，则直线 斜率 的
变化范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】作出图象，求出 的斜率，再结合图象即可得解.
【详解】如图所示，，
因为 为 的边 上一动点，
所以直线 斜率 的变化范围是 .
故选：D.
10．若正方形一边对角线所在直线的斜率为 ，则两条邻边所在直线斜率分别为______，______.
【答案】
【分析】建立直角坐标系，由已知可设 ，根据图象结合正方形的性质可知，两条邻边所在直线的
倾斜角分别为 ， ，根据两角和与差的正切公式，以及直线的倾斜角与斜率的关系，即可得出
答案.
【详解】正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为 ，建立如图直角坐标系，
设对角线OB所在直线的倾斜角为 ，则 ，
由正方形性质可知，直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，
故 ，
.
故答案为： ； .11．已知三点 三点共线，则实数 的值为__________.
【答案】6
【分析】依题意可得 ，根据斜率公式计算可得.
【详解】解：因为 三点共线，
所以 ，即 ，解得 ；
故答案为：
12．直线 经过两点 ，直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍，则 的斜率为
___________.
【答案】
【分析】根据已知两点求斜率，以及直线斜率 计算即可.
【详解】因为直线 经过两点
所以直线 的斜率为
所以直线 的倾斜角为
又因为直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍，所以直线 的倾斜角为 ，
所以 的斜率为
故答案为： .
13．直线 过点 ，且与以 、 为端点的线段相交，则直线 的斜率的取值范围是
__________．
【答案】
【分析】作出图形，求出 、 ，观察直线 与线段 的交点运动的过程中，直线 的倾斜角的变化，可得出直线 的取值范围.
【详解】如下图所示：设过点 且与 轴垂直的直线交线段 于点 ，设直线 的斜率为 ，
且 ， ，
当点 从点 移动到点 （不包括点 ）的过程中，直线 的倾斜角为锐角，
此时， ；
当点 从点 （不包括点 ）移动到点 的过程中，直线 的倾斜角为钝角，
此时， .
综上所述，直线 的斜率的取值范围是 .
故答案为： .
14．已知 ， ， 三点.
(1)若直线 的倾斜角为135°，求 的值.
(2)是否存在 ，使得 三点共线？若存在，求 的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1) ；(2)存在 ，使得 三点共线，
【分析】（1）根据题意得 ，再解方程即可得答案；
（2）根据 三点共线时， 列方程求解即可.
【详解】（1）解：因为 ， ，直线 的倾斜角为135°所以， ，解得
故 的值为
（2）解：因为 ， ， 三点.
所以，当 三点共线时， ，即 ，解得
所以，存在 ，使得 三点共线，
【课时作业】
1．直线 经过 ， 两点，则直线 的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出直线的倾斜角 ，求出其正切值，即斜率，进而可得出倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为 ，由已知可得直线的斜率 ，
又 ，所以倾斜角是 ，
故选：B.
2．若直线l的斜率为 ，则该直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据斜率的定义求解.
【详解】由定义：斜率 ，其中 为直线l的倾斜角， ，
又 ；
故选：C.
3．若直线 的倾斜角为α，则α为（ ）A．0 B． C． D．不存在
【答案】C
【分析】 为常数，所以直线 的倾斜角为 ，得出结果.
【详解】解： 为常数，所以直线 的倾斜角为 .
故选：C
4．倾斜角为 的直线经过点 和 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由倾斜角和两点坐标分别表示出斜率，由此可构造方程求得 的值.
【详解】 直线斜率 ， .
故选：C.
5．已知直线 的斜率为 ，直线 的倾斜角为直线 的倾斜角的一半，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．不存在
【答案】C
【分析】根据斜率与倾斜角的关系，结合正切的二倍角公式，可得答案.
【详解】由直线 的斜率为 ，设其倾斜角为 ，则 ，
由直线 的倾斜角为直线 的倾斜角的一半，设直线 的倾斜角为 ，则 ，
， ，解得 或 ，由倾斜角的取
值范围为 ，则 ，
故直线 的斜率为 .
故选：C.6．经过两点 ， 的直线的倾斜角是钝角，则实数m的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直线的倾斜角是钝角，则斜率小于0，列不等式解实数m的范围
【详解】直线的倾斜角是钝角，则直线斜率 ，解得 或 ．
故选：D．
7．已知直线 过点 ，且不过第四象限，则直线 的斜率 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由直线不过第四象限，可画出所有符合要求的直线，观察可得.
【详解】
如图， ， ，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故 .
故直线 的斜率 的最大值为2．
故选：A.
8．经过点 作直线 ，且直线 与连接点 ， 的线段总有公共点，则直线 的倾斜角
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】画出坐标系，连接 ， ， ，结合斜率变化可知， ，联立斜率与倾斜角关
系即可求解.
【详解】由题知，直线 的倾斜角为 ，则 ，
， ，
且直线 与连接点 ， 的线段总有公共点，
如下图所示，
则 ，即 ，
.
故选：B
9．已知点 ，若点 在线段 上，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解
【详解】 可看作 与 的斜率，则 ， ，
因为点 在线段 上，
所以 的取值范围为 ，
故选：A
10．已知直线 的斜率不存在，且 ，则直线 的斜率为___________.
【答案】0
【分析】由直线 的倾斜角结合垂直关系得出直线 的斜率.
【详解】直线 的倾斜角为 ，则 直线的倾斜角为0，则斜率为0
故答案为：0
11．若直线 的斜率为 ，则直线 的倾斜角的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据正弦函数的取值范围，结合直线斜率与倾斜角的关系求解即可.
【详解】由题意可得直线 的斜率 ，
令直线 的倾斜角为 ，则 ，解得 ，
故答案为：12．线段AB，其中 ， ，过定点 作直线l与线段相交，则直线l的斜率的取值范围是
______.
【答案】
【分析】计算 ， ，得到范围.
【详解】 ， ， ，故 ， ，
两点之间横坐标不包含 ，故直线l的斜率的取值范围是 .
故答案为：
13．已知实数 ， 满足方程 ，当 时， 的取值范围为______.
【答案】
【分析】由题意，将问题转化为过定点且与已知线段相交的直线的斜率的取值范围，作图，可得答案.
【详解】由方程 ，令 ，解得 ，令 ，解得 ，设 ，
由 表示的是点 与点 所连直线的斜率，则问题等价于过点 与线段 相交的直线的斜率
的取值范围，作图如下：
则直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，即 ，故答案为：
14．已知 ， ， .
(1)求直线 和 的斜率；
(2)若点 在线段 （包括端点）上移动时，求直线 的斜率的取值范围.
【答案】(1) ， ；(2)
【分析】（1）利用斜率的坐标公式可求两条直线的斜率.
（2）求出线段 的两个端点与点 构成直线的斜率，根据图形的变化可求直线 的斜率的变化范围.
【详解】（1）由斜率公式可得直线 的斜率 ，
直线 的斜率 .
（2）如图所示，当点 在AB上运动时， ， ，直线 的斜率由负无穷增大到 ，由
增大到正无穷大，所以直线 的斜率的变化范围是 .
15．已知坐标平面内三点A(-1，1)，B(1，1)， ．
(1)求直线BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为 的边AB上一动点，求直线CD的斜率和倾斜角α的取值范围．【答案】(1)直线BC的斜率 ，倾斜角为 ；直线AC的斜率 ，倾斜角为 ；(2)
【分析】（1）根据两点间的斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可；
（2）数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分析即可．
【详解】（1）由斜率公式得： ，
因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是 ，
∴直线BC的倾斜角为 ，直线AC的倾斜角为 ；
（2）如图，当直线CD由CA逆时针旋转到CB时，
直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由 增大到 ，
∴k的取值范围为 ，倾斜角α的取值范围为 ．
