文档内容
2.2.1 直线的点斜式方程
【划重点】
1．了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.
2．掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.
3．会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的问题．
【知识梳理】
知识点 直线的点斜式方程和斜截式方程
类别 点斜式 斜截式
适用范围 斜率存在
已知条件 点P(x，y)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b
0 0
图示
方程 y－y＝k(x－x) y＝kx＋b
0 0
截距 直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距
【例题详解】
一、求直线的点斜式方程
例1 写出下列直线的点斜式方程.
（1）经过点 ，斜率是 ；
（2）经过点 ，倾斜角是 ；
（3）经过点 ，倾斜角是 ；
（4）经过点 倾斜角是 ．【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
；
【分析】根据直线的点斜式方程解题即可.
【详解】（1）因为直线经过点 ，斜率是 ，
所以直线的点斜式方程为 ；
（2）因为直线经过点 ，倾斜角是 ，所以斜率为
所以直线的点斜式方程为 ；
（3）经过点 ，倾斜角是 ，所以斜率为
所以直线的点斜式方程为 ；
（4）经过点 ，倾斜角是 ，所以斜率为
所以直线的点斜式方程为 ；
跟踪训练1 (1)经过点(－ ，2)，倾斜角是30°的直线的方程是（ ）
A．y＋ (x－2) B．y＋2＝ (x－ )
C．y－2 (x＋ ) D．y－2＝ (x＋ )
【答案】C
【分析】根据k=tan30°求出直线斜率，再利用点斜式即可求解.
【详解】直线的斜率k=tan30°= ，
由直线的点斜式方程可得y－2＝ (x＋ )，
故选：C．(2)若直线l经过点 ，且倾斜角是直线 的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程．
【答案】 .
【分析】设直线 的倾斜角为 ，则所求直线的倾斜角为 ，利用正切的二倍角公式求出所求直线
的斜率，由点斜式求解直线方程即可；
【详解】解：设直线 的倾斜角为 ，则所求直线的倾斜角为 ，
因为 ，
所以 ，
又直线经过点 ，
故所求直线方程为 ；
二、直线的斜截式方程
例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
【答案】(1)y＝2x＋5
(2)y＝－ x－2
(3)y＝ x＋3或y＝ x－3
【分析】（1）由直线的斜截式可得直线方程；
（2）由已知求得直线的斜率，再由直线的斜截式可得直线方程．
（3）由已知求得直线的斜率和直线在y轴上的截距，再由直线的斜截式求得直线的方程.
【详解】（1）由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝2x＋5.（2）由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan 150°＝－ ，
故所求直线的斜截式方程为y＝－ x－2.
（3）因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝ ．
因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，
所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，
故所求直线的斜截式方程为y＝ x＋3或y＝ x－3.
跟踪训练2 (1)已知直线l的倾斜角 ，在y轴上的截距为 ，则此直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求直线的斜率，再根据直线的斜截式方程运算求解.
【详解】因为直线l的倾斜角 ，则直线的斜率 ，
所以直线方程为 .
故选：C.
(2)在y轴上的截距为 ，且与y轴相交成45°角的直线方程为 ．
【答案】
【分析】由夹角求出直线斜率，由点斜式求得直线方程.
【详解】直线与y轴相交成45°角，则斜率 ，又截距为 ，故所求直线为 .
故答案为： .
三、点斜式方程和斜截式方程的应用
例3 (1) 求证：不论a为何值，直线y＝ax－3a＋2(a∈R)恒过定点；
(2)当a为何值时，直线l：y＝(2a－1)x＋3与直线l：y＝4x－3垂直？
1 2【详解】(1)证明 将直线方程变形为y－2＝a(x－3)，
由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3,2)．
(2)解 由题意可知， ＝2a－1， ＝4，
∵l⊥l，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝.
1 2
故当a＝时，直线l：y＝(2a－1)x＋3与直线l：y＝4x－3垂直．
1 2
跟踪训练3 已知直线 ．
(1)求证：直线l恒过一个定点；
(2)当 时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）变形可得 ，根据点斜式方程可得定点；
（2）由已知得不等式 ，解不等式即可.
【详解】（1）证明：由 ，得 ，由直线的点斜式方程可知，直线恒过定点
；
（2）设 ，
因为当 时，直线上的点都在 轴上方，需满足 即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是
【课堂巩固】
1．直线的点斜式方程 可以表示（ ）.A．任何一条直线
B．不过原点的直线
C．不与y轴垂直的直线
D．不与x轴垂直的直线
【答案】D
【分析】由点斜式方程的定义可得答案.
【详解】点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线．
故选：D.
2．方程 表示的直线可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接判断出直线经过点 ，对照四个选项，即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，代入直线方程，可得 ，即 ．
所以直线过点 ，故选：B．
3．已知直线 的方程是 ， 的方程是 （ ， ），则下列各图形中，正确的
是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】有条件知，两直线的斜率均存在且不为0，写出它们的斜截式方程后再进行判断．
【详解】解： ， 直线 与直线 的斜率均存在
直线 的斜截式方程为 ；直线 的斜截式方程为
对于A选项，根据直线 的图象可知 ，且 ，因此直线 的斜率应小于0，直线 的纵截距应小于
0，故A图象不符合；
对于B选项，根据直线 的图象可知 ，且 ，因此直线 的斜率应大于0，在 轴上的截距应小于
0，故B图象不符合；
对于C选项，根据直线 的图象可知 ，且 ，因此直线 的斜率应大于0，在 轴上的截距应大于
0，故C图象不符合；
对于D选项，根据直线 的图象可知 ，且 ，因此直线 的斜率应大于0，在 轴上的截距应大于
0，故D图象符合．
故选：D．
4．过点(－1,3)且平行于直线y＝(x＋3)的直线方程为( )
A．y＋3＝(x＋1) B．y＋3＝(x－1)
C．y－3＝(x＋1) D．y－3＝(x－1)
【答案】C
【详解】由直线y＝(x＋3)，得所求直线的斜率为，
其方程为y－3＝(x＋1)，故选C.5．（多选）已知直线l过点 ，且与 轴和 轴围成一个内角为 的直角三角形，则满足条件的直
线l的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】由题意，求出直线 的倾斜角可以是 或 或 或 ，从而可得直线斜率，利用点斜式可写出
直线方程，最后检验即可得答案.
【详解】解：由题意，直线 的倾斜角可以是 或 或 或 ，
所以直线 的斜率 或 或 或 ，
所以直线 的方程可以为 或 或 或 ，
由 ，整理得 ，此时直线过原点，无法与 轴和 轴围成直角三角形.
故选：ABC.
6．倾斜角为 ，且过点 的直线斜截式方程为 ．
【答案】
【分析】先求直线斜率，再利用点斜式方程运算求解.
【详解】因为直线的倾斜角为 ，则直线的斜率 ，
所以直线的方程 ，即 .
故答案为： .7．直线 的斜率为 ．
【答案】 或不存在
【分析】分 和 两种情况求解即可
【详解】若 ，则直线的倾斜角为 ，此时斜率不存在；
若 ，则 ，此时直线的斜率为 ．
故答案为： 或不存在
8．已知直线l经过点P且倾斜角为α，求直线l的点斜式方程．
(1)P（2，3）， ；
(2)P（-2，-1）， ；
(3)P（-5，-1）， ．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【分析】由直线倾斜角求斜率，点斜式求直线方程.
【详解】（1）直线倾斜角 ，则直线斜率 ，直线l经过点 ，直线l的点斜式方程为
.
（2）直线倾斜角 ，则直线斜率 ，直线l经过点 ，直线l的点斜式方程为
.
（3）直线倾斜角 ，直线斜率不存在，直线l经过点 ，直线l的方程为 .
9．已知在第一象限的 中， ， ， ， ，求直线BC的点斜式方程.
【答案】【分析】结合图象求出直线斜率，代入点斜式方程求解即可.
【详解】如图：
因为 ，所以 ，
故直线BC的点斜式方程为 .
10．已知A（4，6），B（﹣3，﹣1），C（4，﹣5）三点.
（1）求经过点A且与直线BC平行的直线l的点斜式方程；
（2）求经过点A且与直线BC垂直的直线m的斜截式方程.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由题可求直线BC的斜率，再写出直线的点斜式方程；
（2）先求出所求直线的斜率为 ，再写出直线的斜截式方程.
【详解】（1）由题得直线BC的斜率为 ，所以经过点A且与直线BC平行的直线l的点斜式方程为：
；
（2）由题得直线BC的斜率为 ，所以所求直线的斜率为 .
所以直线的方程为 ，即 ，
所以经过点A且与直线BC垂直的直线m的斜截式方程 .
【课时作业】1．方程 表示（ ）
A．通过点 的所有直线
B．通过点 且不垂直于y轴的所有直线
C．通过点 且不垂直于x轴的所有直线
D．通过点 且除去x轴的所有直线
【答案】C
【分析】根据直线的点斜式方程的知识确定正确答案.
【详解】 为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，且直线过点 ．
故选：C
2．已知直线 ： ，直线 是直线 绕点 逆时针旋转 得到的直线，则直线 的方程是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由正切的和角公式与直线方程的点斜式求解即可
【详解】设直线 的倾斜角为 ，则 ，
又直线 是直线 绕点 逆时针旋转 得到的直线，
所以直线 的倾斜角为 ，
故直线 的斜率为 ，
故直线 的方程是 ，即 ，故选：D．
3．对任意实数a，直线y=ax-3a+2所经过的定点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把直线化为点斜式，求出所经过的定点.
【详解】 整理为： ，
所以直线经过的定点为 .
故选：B
4．在平面直角坐标系中，过点 且倾斜角为 的直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据题意求直线的方程，由方程判断直线不经过第一象限，也可以直接作图判断．
【详解】∵直线的倾斜角为 ，则直线的斜率
∴直线的方程： 即
直线不经过第一象限．
故选：A．
5．已知直线的方程是 ，则由点斜式知该直线经过的定点、斜率分别为（ ）
A．（－1，2），－1 B．（2，－1），－1 C．（－1，－2），－1D．（－2，－
1），1
【答案】C
【分析】把方程化为点斜式即可.
【详解】由 ，得 ，所以直线的斜率为－1，过定点（－1，－2）．
故选：C.
6．已知 ， ，则下列直线的方程不可能是 的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据直线斜率 与 轴上的截距 的关系判断选项即可得解.
【详解】 ，
直线的方程 在 轴上的截距不小于2，且当 时， 轴上的截距为2，
故D正确，当 时， , 故B不正确，当 时， 或 ，由图象知AC正确.
故选：B
7．在等腰三角形 中， ， 、 ，点 在 轴的正半轴上，则直线 的点斜式方
程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设线段 的中点为 ，连接 ，可知 轴，求出点 的坐标，进而可求得直线 的点
斜式方程.
【详解】设线段 的中点为 ，连接 ，
，则 轴，则点 ，故点 ，所以，直线 的斜率为 ，
所以直线 的点斜式方程为 ．
故选：D．
8．（多选）下列说法正确的有（ ）
A．若直线 经过第一、二、四象限，则 在第二象限
B．直线 过定点
C．过点 斜率为 的点斜式方程为
D．斜率为 ，在y轴截距为3的直线方程为 ．
【答案】ABC
【解析】由直线 过一、二、四象限，得到斜率 ，截距 ，可判定A正确；由把直线方程化
简为 ，得到点 都满足方程，可判定B正确；由点斜式方程，可判定C正确；由斜
截式直线方程可判定D错误．
【详解】对于A中，由直线 过一、二、四象限，所以直线的斜率 ，截距 ，
故点 在第二象限，所以A正确；
对于B中，由直线方程 ，整理得 ，所以无论a取何值点 都满足方程，所以B正确；
对于C中，由点斜式方程，可知过点 斜率为 的点斜式方程为 ，所以C正确；
由斜截式直线方程得到斜率为 ，在y轴上的截距为3的直线方程为 ，
所以D错误．
故选：ABC．
【点睛】本题主要考查了直线的方程的形式，以及直线方程的应用，其中解答中熟记直线的点斜式的概念
及形式，以及直线的斜率与截距的概念是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
9．（多选）已知直线 过点 ，且与直线 以及 轴围成一个底边在 轴上的等腰三角形，
则（ ）
A．直线 与直线 的斜率互为相反数
B．直线 与直线 的倾斜角互补
C．直线 在 轴上的截距为-1
D．这样的直线 有两条
【答案】AB
【分析】根据题意，得到 与 的倾斜角互补，斜率互为相反数，故选项A，B均正确；由直线的点斜式方
程，可得C选项错误；过定点斜率确定的直线唯一，可判定D选项错误．
【详解】因为直线 与 及 轴围成一个底边在 轴上的等腰三角形，
所以 与 的倾斜角互补，斜率互为相反数，故选项A，B均正确；
由直线 的斜率为2，知直线 的斜率为-2，可得直线 的方程为 ，令 ，可得
在 轴上的截距为 ，故选项C错误；
过 且斜率为 的直线只有一条，故选项D错误.
故选：AB10．过点 ，且与x轴y轴平行的直线分别 .
【答案】 ，
【分析】根据直线方程的求法求解.
【详解】过点 ，且x轴平行的直线方程为 ，
过点 ，且与y轴平行的直线方程为 .
故答案为： ， .
11．直线 必过定点 ．
【答案】
【分析】依题意将方程转化为 ，再令 ，即可求出直线过定点坐标.
【详解】解：因为 ，所以 ，令 ，解得 ，即直线恒过
定点 .
故答案为：
12．在y轴上的截距为-6，且与y轴相交成30°角的直线方程是____.
【答案】 或 .
【分析】由已知条件先计算出直线的倾斜角,进而求出直线的斜率,运用直线斜截式求出直线方程.
【详解】因为直线与y轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，
所以直线的斜率为 或 ，
又因为在y轴上的截距为－6，
所以直线的斜截式方程为 或 .故答案为： 或 .
13．将直线 绕其与x轴的交点逆时针旋转 后得到直线 ，则 在y轴上的截距为
．
【答案】
【分析】根据 的方程可以求出 的倾斜角，及 与 轴的交点坐标，根据 与 倾斜角的关系确定 的倾
斜角，利用直线点斜式写出 方程即可判断直线 在y轴上的截距.
【详解】易知 的倾斜角为 ，所以 的倾斜角为 ，又由题意知 过点 ，所以 的方
程为 ，即 ，从而可知 在y轴上的截距为 ．
故答案为：
14．已知 的三个顶点分别为 、 、 ．求：
(1)边 所在直线 的方程；
(2)边 上的高所在直线 的方程；
(3)边 上的中线所在直线 的方程．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【分析】（1）先用斜率公式求出 的斜率，再利用直线方程的点斜式，即可求解；
（2）利用两直线垂直得到 ，即可得到高所在直线 的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.
（3）求出 边上的中点D坐标，利用 两点的坐标，即可求出直线方程；【详解】（1）因为 、 ，
故 ，边AC所在直线的方程为： ，
即 为： ，
（2）由（1）知 ，故
所以AC边上的高所在直线 的斜率为 ，
又 ，故 为： ，即 ；
（3）设AC边上的中点为D，则 ，即 ，
故AC边上的中线BD所在直线的方程 的斜率为 ，
故 为： ，即 .
15．已知直线l经过点 ， ，求直线l的方程，并求直线l在y轴上的截距.
【答案】 ， .
【分析】根据给定条件，求出直线 的斜率，再利用直线点斜式方程求解作答.
【详解】依题意，直线 的斜率 ，
直线 的方程为 ，即 ，当 时， ，
所以直线 的方程为 ，直线l在y轴上的截距为 .
16．已知直线l经过点 ．
(1)若l在两坐标轴上截距和为零，求l的点斜式方程；
(2)设l的斜率 ，l与两坐标轴的交点分别为A、B，当 的面积最小时，求l的斜截式方程．【答案】(1) 或 ；(2)
【分析】（1）设出直线的方程，分别求出在坐标轴上的截距，进而得到 ，解方程即可求
出结果；
（2）表示出三角形的面积，结合均值不等式即可求出结果.
【详解】（1）由题意知，l的斜率存在且不为0，设斜率为k，
则l的点斜式方程为 ，则它在两坐标轴上截距分别为 和 ，
所以 ，解得 或 ，
所以l的点斜式方程为 或 ．
（2）由（1）知， 、 ，
所以 的面积 ，
当且仅当 时，等号成立，所以l的斜截式方程为 ．
