文档内容
专题 26 解直角三角形及其应用（3 个知识点 9 种题型 6 个中考考点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.解直角三角形的概念及理论依据
知识点2.解直角三角形的类型与解法（重点）
知识点3.利用解直角三角形解决实际问题
【方法二】 实例探索法
题型1.解直角三角形
题型2.解非直角三角形
题型3.通过解直角三角形求图形的面积
题型4.解直角三角形与圆的综合
题型5.解直角三角形与四边形的综合
题型6.利用视角测量高度
题型7.利用方向角解决实际问题
题型8.利用坡度、坡角解决实际问题
题型9.通过解直角三角形解决实际问题
【方法三】 仿真实战法
考点1.解直角三角形
考点2.解直角三角形与四边形的综合应用
考点3.解直角三角形与圆的综合应用
考点4.利用方向角解直角三角形求距离
考点5.利用视角求高
考点6.解直角三角形与仰角及坡角的综合应用
【方法四】 成果评定法【学习目标】
1理解仰角、俯伟、方向角、坡度和坡角等实际测量中的有关概念，并弄洁它们的意义．
2.学握利用解直角三角形解次实际问题的一般步骤.
3.能够解决与解直角三角形有关的实际问题，如航海航空，建桥修路、測量技术、图案
设计等
4. 理解解直角三角形的含义、依据和类型
5. 会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角五余及锐角三角函数解直角三角形
6.会用解直角三角形中的有关知识建立数学模型，解次某些简单的实际问题
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.解直角三角形的概念及理论依据
1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已
知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：
（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；
（3）边与角关系：sinA=cosB= ，cosA=sinB= ，tanA= ；
（4）sin2A+cos2A=1．
【例1】（2023·福建福州·九年级校联考期中）如图，平面直角坐标系中，点 在第一象限，
， ，将 绕点 逆时针旋转 ，点B的对应点 的坐标是( )
A． B． C． D．
知识点2.解直角三角形的类型与解法（重点）
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.
【例2】（2023·山东菏泽·九年级统考期中）在 中，已知 ， ， ，求 的
长．
知识点3.利用解直角三角形解决实际问题
解直角三角形实际应用的一般步骤
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
【例3】（2023·河南驻马店·九年级驻马店市第二初级中学校考阶段练习）如图，当太阳光与地面上的树影
成 角时，树影投射在墙上的影高 等于 米，若树根到墙的距离 等于 米，则树高 等于
米．
【方法二】 实例探索法
题型1.解直角三角形
1．（2023·上海普陀·九年级统考阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点
在 边上，且 ， ，垂足为 ，联结 ．
(1)求线段 的长；
(2)求 的正切值．
题型2.解非直角三角形
2．某校综合实践小组要对一幢建筑物 的高度进行测量.如图，该小组在一斜坡坡脚 处测得该建筑物
顶端 的仰角为 ，沿斜坡向上走 到达 处，（即 ）测得该建筑物顶端 的仰角为 .
已知斜坡的坡度 ，请你计算建筑物 的高度（即 的长，结果保留根号）.题型3.通过解直角三角形求图形的面积
3．（2023·安徽·校联考二模）如图，已知： 是 的直径，点C在圆上， ， ，点C、E
分别在 两侧，且E为半圆 的中点．
(1)求 的面积；
(2)求 的长．
题型4.解直角三角形与圆的综合
4．如图所示， 的直径 ， 、 为圆周上两点，且 ，过点 作 ，交 的延长
线于点 ．（1）求证： 为 切线；
（2）填空：①当四边形 为菱形，则 的度数为________；
②当 时，四边形 的面积为________．
题型5.解直角三角形与四边形的综合
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BD于点B．已知∠A = 45°，∠C= 60°， ，求AD的长．
题型6.利用视角测量高度
6．如图所示，图1，图2分别是某款高压电塔的实物图和示意图电塔的底座AB与地面平齐，DF表示电塔
顶端D到地面的距离，已知AF的长是2米，支架AC与地面夹角∠BAC＝86°，顶端支架DC长10米，DC与
水平线CE之间夹角∠DCE＝45°，求电塔的高度DF．（sin86°＝0.998，cos86°＝0.070，tan86°＝14.300，
≈1.4，结果保留整数）题型7.利用方向角解决实际问题
7．（2023·吉林长春·九年级统考阶段练习）如图，在灯塔 周围 海里水域有暗礁．一艘由西向东航行的
轮船航行到 处发现，灯塔 在轮船的北偏东 的方向上，且与轮船相距 海里．若该轮船不改变航向，
通过计算说明该轮船是否有触暗礁的危险．【参考数据： ， ，
】
题型8.利用坡度、坡角解决实际问题
8．（2023·重庆·九年级重庆一中校考期中）为了方便市民出行，建委决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为 的 改造为坡角为 的 ，已知 米，点 ， ， ， ， ， 在
同一平面内．
(1)求 的距离；(结果保留根号)
(2)一辆货车沿斜坡从 处行驶到 处，货车的高 为 米， ，若 米，求此时货车顶端
到水平线 的距离 ．(精确到 米，参考数据： ， )
题型9.通过解直角三角形解决实际问题
9．（2023·山东淄博·九年级统考期中）点 处有一灯塔， 与直线 垂直，一轮船从点 出发驶到点 （
三点都在直线 上），测量得到 为 千米， ， ．
(1)求 的长（结果保留根号）；
(2)轮船从 点出发时，另一快艇同时从 点出发给轮船提供物资，一个小时后刚好在 点与轮船相遇，已
知快艇行驶了 千米，问轮船相遇后能否在 小时之内到达点 ．（参考数据： ， ）【方法三】 仿真实战法
考点1.解直角三角形
1．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）在 中， ， ， ，点D是 的中
点．四边形 是菱形（D，E，F，G按逆时针顺序排列）， ，且 ，菱形 可
以绕点D旋转，连接 和 ，设直线 和直线 所夹的锐角为 ．
(1)在菱形 绕点D旋转的过程中，当点 在线段 上时，如图①，请直接写出 与 的数量关
系及 的值；
(2)当菱形 绕点D旋转到如图②所示的位置时，（1）中的结论是否成立?若成立，请写出证明过程；
若不成立，请说明理由；
(3)设直线 与直线 的交点为P，在菱形 绕点D旋转一周的过程中，当 所在的直线经过点
时，请直接写出 的面积．
考点2.解直角三角形与四边形的综合应用
2．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图1，在 中， ， 沿 方向向左
平移得到 ，A、 对应点分别是 、 ．点 是线段 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点
A逆时针旋转至线段 ，使得 ，连接 ．
(1)当点 与点 重合时，求 的长；
(2)如图2，连接 、 ．在点 的运动过程中：
① 和 是否总是相等？若是，请你证明；若不是，请说明理由；②当 的长为多少时， 能构成等腰三角形？
考点3.解直角三角形与圆的综合应用
3．（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，在 中， ，以 为直径的 交 边于
点D，过点C作 的切线，交 的延长线于点E．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
考点4.利用方向角解直角三角形求距离
4．（2023·海南·统考中考真题）如图，一艘轮船在 处测得灯塔 位于 的北偏东 方向上，轮船沿着
正北方向航行20海里到达 处，测得灯塔 位于 的北偏东 方向上，测得港口 位于 的北偏东
方向上．已知港口 在灯塔 的正北方向上．(1)填空： 度， 度；
(2)求灯塔 到轮船航线 的距离（结果保留根号）；
(3)求港口 与灯塔 的距离（结果保留根号）．
考点5.利用视角求高
5．（2023·四川甘孜·统考中考真题）“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于
航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为 ，看底部C的俯角为 ，无人
机A到该建筑物 的水平距离 为10米，求该建筑物 的高度．（结果精确到 米；参考数据：
， ）
考点6.解直角三角形与仰角及坡角的综合应用
6．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，堤坝 长为 ，坡度i为 ，底端A在地面上，堤坝与
对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高 的铁塔 ．小明欲测量山高 ，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线 上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角 为 ．求堤坝高及山高 ．（
， ， ，小明身高忽略不计，结果精确到 ）
7．（2023·湖北恩施·统考中考真题）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间
的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点 ， 处测出点 的仰角度数，可以求出信号塔 的高．
如图， 的长为 ，高 为 ．他在点 处测得点 的仰角为 ，在点 处测得点 的仰角为
， 在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔 的高吗？若能，请求出信号塔
的高；若不能，请说明理由．（参考数据： ， ， ，结果
保留整数）
【方法四】 成果评定法
一、单选题1．（2023·山东菏泽·九年级统考期中）河堤横断面如图所示，堤高 米，迎水坡AB的坡比是 ，
则 的长是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D．12米
2．（2023·山东济南·九年级统考期中）电线杆 直立在水平的地面 上， 是电线杆 的一根拉线，
测得 ， ，则拉线 的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·吉林长春·九年级长春市第八十七中学校考阶段练习）数学兴趣小组利用无人机A测量学校旗杆
高度，已知无人机的飞行高度为37米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为
，则旗杆的高度约为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D．22.5米
4．（2023·湖南湘潭·九年级湘潭江声实验学校校考阶段练习）如图，河坝横断面迎水坡 的坡度是 ，
坡面 ，则坝高 的长度是（ ）A． B． C． D．
5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28°，高为7米．用计算器求
AB的长，下列按键顺序正确的是（ ）
A．7×sin28= B．7÷sin28=
C．7×tan28= D．7÷tan28=
6．（2023湖南岳阳·九年级校联考阶段练习）如图，已知：在直角坐标系中，有菱形 ， 点的坐标
为 ，对角线 、 相交于 点，双曲线 经过 点，交 的延长线于 点，且
，有下列四个结论：
①双曲线的解析式为 ；② 点的坐标是 ；③ ；④ ．其中
正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图， 、 是 的两条切线，切点分别为A、B，若
， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
8．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图 内接于 ，弦 ， ，则 的半径
为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2023·河北石家庄·九年级校考期中）对于题目∶“如图所示，一艘渔船以 海里 时的速度由西向东
航行在 处看见小岛 在船北偏东 的方向上． 后，渔船行驶到 处，此时小岛 在船北偏东
的方向上．己知以小岛 为中心， 海里为半径的范围内是多暗礁的危险区，如果这艘渔船继续向东航行，
有没有进入危险区的可能？”小明同学在求解这个题过程中，求出了下面 个数据，错误的是（ ）
A． 海里
B．
C． 海里
D．过点 向 的延长线引垂线，垂足为 ，求得 ，小明得出结论有触礁危险
10．（2022下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，经过A、C两点的 与 的边 相切，与边
交于点D，若 ， ， ，则 与 围成阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·湖南永州·九年级校考期末）已知（如图），一斜坡 的坡度为 ，则坡角 为 度．
12．（2022·湖南永州·九年级校考期末）在 中， ，若 ，则 ．
13．（2023·河北石家庄·九年级校考期中）某人上坡沿直线走了50 m，他升高了 m，则此坡的坡度
为 .
14．（2023·湖南·九年级校联考阶段练习）劳动实践课上，小明提着一桶水，沿一斜坡向上走了 米，若
斜坡坡比是 ，则小明提水上升的高度是 米.
15．（2023·北京西城·九年级校考期中）在平面直角坐标系 中，点A的坐标为 ．P是第一象限内
任意一点，连接 ， ．若 ，则我们把 叫做点P的“角坐标”．
（1）若点P的坐标为 ，则点P的“角坐标”为 ．
（2）若点P到x轴的距离为1，则 的最小值为 ．
16．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在 ABCD中，∠D＝60°，∠DAC＝45°，CD＝2，点P是BC的
中点，过点P作直线l，过点A作AM⊥l于点M，过点B作BN⊥l于点N，则AM＋BN的最大值为 ．17．（2023·山东烟台·九年级统考期中）如图，为确定某隧道 的长度，在建设中测量人员在离地面
米高度 处的飞机上，测得正前方A点处的俯角为 ， 的坡比为 ，则隧道 的长为
（结果保留根号）．
18．（2023·江苏淮安·九年级校考期中）如图，正方形 的边长为 ，对角线 ， 交于点O，
点E在边 上，连接 ，F为 上一点，若 ， ，则 的长为
．
三、解答题
19．（2023·湖南·九年级校联考阶段练习）高空抛物极其危险，被称为“悬挂在城市上空的痛”，我们应
该主动杜绝高空抛物的行为．某小区为了防止高空抛物，特安装一批摄像头，已知某一型号的摄像头安装
完成后的示意图如图2，镜头B与地面的距离 为 米，镜头拍摄扩角 ， 为基准线（
的角平分线）， 为水平线，摄像头与水平方向夹角为 ，即 ，图3是安装完成后
投入使用的示意图：(1)当摄像头刚好能拍到大楼底部C时，摄像头应装在离大楼约多远的位置？
(2)在（1）的条件下，请问该摄像头能拍摄到的最高距离 约为多少米？（参考数据，
，结果精确到1米）
20．（2023·河南郑州·九年级郑州外国语中学校考阶段练习）宝轮寺塔，为供奉舍利由尼姑道秀主持建筑，
始建于隋文帝仁寿元年（601年），故又称仁寿建塔，位于河南省三门峡市陕州风景区，数学活动小组欲
测量宝轮寺塔 的高度，如图，在A处测得宝轮寺塔塔基C的仰角为 ，沿水平地面前进23米到达B
处．测得宝轮寺塔塔顶E的仰角 为 ，测得塔基C的仰角 为 （图中各点均在同一平面
内）．
(1)求宝轮寺塔 的高度；
(2)实际测量时会存在误差，请提出一条减小误差的合理化建议．（结果精确到0．1米，参考数据：
， ， ， ）21．（2023·吉林·九年级校考期中）某人乘车从 地去 地．如图， 地在 地的正北方向，且距离 地
，但 两地之间的道路维修无法通过．按导航指示，车辆沿正西方向行驶至 地，再沿北偏东
方向行驶到达 地，求车辆绕行之后比沿 段多行驶多少千米（结果精确到 ；参考数据
）？
22．（2023·广东潮州·一模）如图，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，抛物线
经过 两点，且 ．(1)求抛物线的解析式．
(2) 是抛物线第一象限内的一个动点，过 作 于 ，求 的最大值．
(3) 是抛物线对称轴上的一个动点，连接 ，把线段 沿着直线 翻折， 的对应点 恰好落在抛
物线上，求 点坐标．
23．（2023·广东潮州·二模）如图，在抛物线 交 轴正半轴于点 ，交 轴负半轴于点
，直线 交抛物线于 、 两点，抛物线的对称轴交 轴于点 ，其中 的坐标为 ．(1)求 的值和直线 的解析式；
(2)如图1， 是抛物线上在直线 下方的一点，直线 交抛物线的对称轴于点 ，连接 ， 直线
交抛物线对称轴于点 ，当 时，求点 的坐标；
(3)在直线 上有一点 ， 的横坐标为 ，将 绕点 逆时针旋转过有一定的角度
，得到 ，直线 交 于 ，当直线 将 分割为面积比为 ： 的两部
分时，直接写出 的值及 的坐标．
24．（2023·吉林长春·九年级统考阶段练习）如图，在 中， ， ， ．动点P
从点B出发，先沿 以每秒5个单位长度的速度运动，然后沿 以每秒10个单位长度的速度继
续运动．与此同时，动点Q从点B出发，沿 方向以每秒5个单位长度的速度运动．当其中一点到达终
点时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t（秒），连结 ．
(1)当点P沿 运动时，求 的长（用含t的代数式表示）．
(2)当 时，求t的值．
(3)连结 ，当 的面积等于8个单位面积时，求t的值．
(4)当点P在线段 上时，把四边形 沿 翻折得到四边形 ，直接写出 时t的值．
25．（2023·全国·九年级专题练习）如图， 的直径 弦 于点C，P是 上的一点，延长 交
于点D，连接 ，且 ．(1)求证： ；
(2)若 ， 的直径为10，求 的值．
26．（2023·浙江温州·九年级瑞安市安阳实验中学校联考期末）如图， 中， ，点D是
斜边AB上一点， 为 的外接圆，BC交 于点F，连结FD并延长至点E，使 ．
(1)当 时，求 的度数；
(2)若 ，当 为等腰三角形时，求CF的长；
