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第一讲 集合的运算
真题展示
2022新高考一卷第一题
若集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出集合 后可求 .
【详解】 ，故 ，
故选：D
知识要点整理
集合之间的基本运算
如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，
全集通常用字母 U 表示；
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形
符号 A∪B＝ {x |x ∈ A ，或 x ∈ B } A∩B＝ {x |x ∈ A ，且 x ∈ B } ∁U A＝ {x |x ∈ U ，且 x ∉ A }
1.由所有 属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合叫A与B的并集，记作A∪B；符号表
示为A∪B＝ {x |x ∈ A 或 x ∈ B }
2．并集的性质
A∪B＝ B ∪ A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A⊆A∪B.
3.对于两个给定的集合A、B，由所有 属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合叫A与B
的交集，记作 A ∩ B。符号为A∩B＝ {x |x ∈ A 且 x ∈ B }。
4. 交集的性质A∩B＝ B ∩ A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B⊆A.
5、对于一个集合A，由全集U中 不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全
集U的补集，记作 ∁U A。符号语言： ∁U A＝ {x |x ∈ U ，且 x ∉ A }。
【易错注意】
1．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B .
2. 德▪摩根定律：
①并集的补集等于补集的交集，即 ；
②交集的补集等于补集的并集，即 ．
三年真题
1．设全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出 ，再根据交集的定义可求 .
【详解】 ，故 ，
故选：A.
2．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为 ， ，所以 ．
故选：A.
3．已知全集 ，集合 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用补集的定义可得正确的选项．
【详解】由补集定义可知： 或 ，即 ，
故选：D．
4．集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为 ， ，所以 ．
故选：A.
5．设全集 ，集合M满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先写出集合 ,然后逐项验证即可
【详解】由题知 ,对比选项知， 正确, 错误
故选:
6．设全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.【详解】由题意， ，所以 ,
所以 .
故选：D.
7．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用并集的定义可得正确的选项.
【详解】 ，
故选：D.
8．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：求出集合 后可求 .
【详解】[方法一]：直接法
因为 ，故 ，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合 ，可得 ，不满足，排除A、D；
代入集合 ，可得 ，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．9．已知正三棱锥 的六条棱长均为6，S是 及其内部的点构成的集合．设集
合 ，则T表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出以 为球心，5为半径的球与底面 的截面圆的半径后可求区域的面积.
【详解】
设顶点 在底面上的投影为 ，连接 ，则 为三角形 的中心，
且 ，故 .
因为 ，故 ，
故 的轨迹为以 为圆心，1为半径的圆，
而三角形 内切圆的圆心为 ，半径为 ，
故 的轨迹圆在三角形 内部，故其面积为
故选：B
10．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据交集并集的定义即可求出.【详解】 ，
， .
故选：C.
11．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据交集、补集的定义可求 .
【详解】由题设可得 ，故 ，
故选：B.
12．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.
【详解】由题意可得： .
故选：B.
13．已知全集 ，集合 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用补集概念求解即可.
【详解】 .
故选：C14．设集合A={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，则 =（ ）
A．{1，3，5，7} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{1，2，3，5，7，
8}
【答案】C
【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.
【详解】因为A{2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，
所以
故选：C
15．设全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.
【详解】由题意结合补集的定义可知： ，则 .
故选：C.
16．已知集合 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据交集定义直接得结果.
【详解】 ，
故选：D.
三年模拟
一、单选题
1．（2022·四川·广安二中模拟预测）已知集合 ， ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由对数函数单调性解不等式，化简N，根据交集运算求解即可.
【详解】因为 ， ,
所以 ，
故选：D
2．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））若 、 是全集 的真子集，则下列
五个命题：① ；② ；③ ；④ ；⑤ 是 的
必要不充分条件 其中与命题 等价的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】根据韦恩图和集合的交、并、补运算的定义逐一判断可得选项.
【详解】解：由 得韦恩图：
或
对于①， 等价于 ，故①正确；
对于②， 等价于 ，故②不正确；
对于③， 等价于 ，故③正确；
对于④， 与A、B是全集 的真子集相矛盾，故④不正确；
对于⑤， 是 的必要不充分条件等价于BA，故⑤不正确，
所以与命题 等价的有①③，共2个，
故选：B.
3．（2023·广西·南宁二中一模（文））设集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求集合 ，再求 .
【详解】由 ，解得 ，则 .又∵ ，
∴ .
故选：C.
4．（2022·四川南充·一模（理））设集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求得集合 ，然后求得 .
【详解】由于 ，
所以 .
故选：B
5．（2022·贵州·贵阳六中一模（理））设集合 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对数函数的单调性解不等式，求出集合A，根据交集的定义即可计算 .
【详解】解： ，，
则集合 ，
，
故选：B.
6．（2022·上海普陀·一模）设 、 、 、 、 是均含有 个元素的集合，且
， ，记 ，则 中元素个数
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 、 、 、 是集合 互不相同的元素，分析可知 ，然后对
的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.
【详解】解：设 、 、 、 是集合 互不相同的元素，若 ，则
，不合乎题意.
①假设集合 中含有 个元素，可设 ，则 ，
，这与 矛盾；
②假设集合 中含有 个元素，可设 ， ，
， ， ，满足题意.
综上所述，集合 中元素个数最少为 .
故选：A.
7．（2022·辽宁·沈阳二十中三模）设集合 ，则满足 的集合
B的个数是（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16【答案】B
【分析】根据集合交运算的结果，结合集合 的元素，直接求解即可.
【详解】 ，又 ，则 的元素必有 ，
故 可以为如下 个集合中的任意一个：
.
故选：B.
8．（2022·河南·马店第一高级中学模拟预测（理））已知集合 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解不等式求出 ， ，从而求出交集.
【详解】 解得： ，所以 ，
，故 ，故 ，所以 ，
则 ．
故选：B．
9．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））记集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先解不等式确定集合 ，然后再根据交集的定义求其交集即可.
【详解】 或所以集合 ，
，
所以 .
故选：B.
10．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（文））记集合 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解不等式求出 ，从而求出交集.
【详解】集合 或 ， ，所以 .
故选：A.
11．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知集合 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解不等式求得集合 ，进而求得 .
【详解】 ，解得 ，所以 ，
由于 ，所以 .
故选：A
二、填空题12．（2022·上海徐汇·一模）已知全集 ，集合 ，则 __________.
【答案】
【分析】先化简集合 ，再利用集合补集的定义求解即可.
【详解】由 解得 ，
所以 ，所以 ，
故答案为：
13．（2022·上海长宁·一模）设全集 ，则 =___________.
【答案】
【分析】根据补集定义直接求解.
【详解】由题全集 ，所以 ，
故答案为： .
14．（2022·上海杨浦·一模）设集合 ，集合 ，则
________．
【答案】
【分析】求出集合 ，再求交集可得答案.
【详解】集合 ，则 .
故答案为： .
15．（2022·上海嘉定·一模）已知集合 ， 是整数集，则 ________.
【答案】
【分析】先用公式法解绝对值不等式确定集合 ，再取交集即可.【详解】 ，
故答案为： .
16．（2022·上海闵行·一模）若集合 ， ，则 ______．
【答案】
【分析】先解得集合 ，再根据交集的运算即可求得 .
【详解】集合 ，
因为 ，所以 ，
故答案为： .
