文档内容
专题 26 解直角三角形及其应用（3 个知识点 9 种题型 6 个中考考点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.解直角三角形的概念及理论依据
知识点2.解直角三角形的类型与解法（重点）
知识点3.利用解直角三角形解决实际问题
【方法二】 实例探索法
题型1.解直角三角形
题型2.解非直角三角形
题型3.通过解直角三角形求图形的面积
题型4.解直角三角形与圆的综合
题型5.解直角三角形与四边形的综合
题型6.利用视角测量高度
题型7.利用方向角解决实际问题
题型8.利用坡度、坡角解决实际问题
题型9.通过解直角三角形解决实际问题
【方法三】 仿真实战法
考点1.解直角三角形
考点2.解直角三角形与四边形的综合应用
考点3.解直角三角形与圆的综合应用
考点4.利用方向角解直角三角形求距离
考点5.利用视角求高
考点6.解直角三角形与仰角及坡角的综合应用
【方法四】 成果评定法【学习目标】
1理解仰角、俯伟、方向角、坡度和坡角等实际测量中的有关概念，并弄洁它们的意义．
2.学握利用解直角三角形解次实际问题的一般步骤.
3.能够解决与解直角三角形有关的实际问题，如航海航空，建桥修路、測量技术、图案
设计等
4. 理解解直角三角形的含义、依据和类型
5. 会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角五余及锐角三角函数解直角三角形
6.会用解直角三角形中的有关知识建立数学模型，解次某些简单的实际问题
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.解直角三角形的概念及理论依据
1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已
知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：
（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；
（3）边与角关系：sinA=cosB= ，cosA=sinB= ，tanA= ；
（4）sin2A+cos2A=1．
【例1】（2023·福建福州·九年级校联考期中）如图，平面直角坐标系中，点 在第一象限，
， ，将 绕点 逆时针旋转 ，点B的对应点 的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形变化 旋转，解直角三角形等知识如图，过点 作 轴于 ．解直角
三角形求出 ， H即可．
【详解】解：如图，过点 作 轴于 ．
∵ ， ．
∴
∵旋转，
∴
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，故选：B．
知识点2.解直角三角形的类型与解法（重点）
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.
【例2】（2023·山东菏泽·九年级统考期中）在 中，已知 ， ， ，求 的
长．
【答案】
【分析】本题考查解直角三角形、特殊角的三角函数值，先作 于点D，根据直角三角形的性质和
锐角三角形函数，即可得到 ， ，进而得出答案．
【详解】解：作 于点D，如图，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ．
知识点3.利用解直角三角形解决实际问题
解直角三角形实际应用的一般步骤
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
【例3】（2023·河南驻马店·九年级驻马店市第二初级中学校考阶段练习）如图，当太阳光与地面上的树影
成 角时，树影投射在墙上的影高 等于 米，若树根到墙的距离 等于 米，则树高 等于
米．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；作 于 ，根据题意得 ，则
，进而根据 即可求解．
【详解】解：作 于 ，则 ， ，
根据题意得 ，
，
．
故答案为：
【方法二】 实例探索法
题型1.解直角三角形
1．（2023·上海普陀·九年级统考阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点
在 边上，且 ， ，垂足为 ，联结 ．(1)求线段 的长；
(2)求 的正切值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形；
（1）过点 作 于点 ，根据余弦的定义，求得 ，勾股定理求得 ，解 得出
，即可求解；
（2）先求得 ，进而根据 ，求得 ，进而求得 ，根据正切的定义，
即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点 作 于点 ，
∵ ， ，
∴
∴
在 中， ，
∴ ，
（2）∵ ， ，∴
∵
∴
∴ ，
∴
又∵ ，
∴
题型2.解非直角三角形
2．某校综合实践小组要对一幢建筑物 的高度进行测量.如图，该小组在一斜坡坡脚 处测得该建筑物
顶端 的仰角为 ，沿斜坡向上走 到达 处，（即 ）测得该建筑物顶端 的仰角为 .
已知斜坡的坡度 ，请你计算建筑物 的高度（即 的长，结果保留根号）.
【答案】建筑物 的高度为 .
【分析】过点 作 ，根据坡度的定义求出AB，BD,AD，再利用三角函数的定义列出方程求解.
【详解】解：过点 作 ，垂足为 .过点 作 ，垂足为 .
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ， .
∵ ，
∴ ，
∴设 ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ， .
根据题意， ， ，
在 中，设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∵ ， .
又∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ .
答：建筑物 的高度为 .
【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义.
题型3.通过解直角三角形求图形的面积
3．（2023·安徽·校联考二模）如图，已知： 是 的直径，点C在圆上， ， ，点C、E
分别在 两侧，且E为半圆 的中点．(1)求 的面积；
(2)求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可以得到 ，根据勾股定理求 长，然后求出面积
即可；
（2）连 ，过点A作 于点D，则 ，解直角三角形解题即可．
【详解】（1）解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
（2）连 ，过点A作 于点D，
∵E为半圆 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ,
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，能作辅助线构造直角三角形是
解题的关键．
题型4.解直角三角形与圆的综合
4．如图所示， 的直径 ， 、 为圆周上两点，且 ，过点 作 ，交 的延长
线于点 ．
（1）求证： 为 切线；
（2）填空：①当四边形 为菱形，则 的度数为________；
②当 时，四边形 的面积为________．
【答案】（1）见详解；（2）①30°；②
【分析】（1）根据题意可知，OD为半径，只需证明OD⊥DC即可；
（2）①若四边形AODE为菱形，可得出△AEO为等边三角形，结合∠AEB=90°，BE∥CD，得出∠C=∠ABE
即可；
②根据条件 ，可证明△DOB为等边三角形，利用Rt△DOC和Rt△DON计算出△ODC的面积，以及菱形AODE的面积，相加即可得出四边形ACDE的面积．
【详解】（1）∵ ，
∴OD⊥BE，
∵BE∥CD，
∴OD⊥DC，
∵OD为半径，
∴CD为 的切线；
（2）①∵四边形AODE为菱形，
∴AE=OE=AO，
∴△AEO为等边三角形，
∴∠EAO=60°，
∵∠AEB=90°，
∴∠ABE=30°，
∵BE∥CD，
∴∠C=∠ABE=30°，
故答案为：30°；
②作DN⊥AC交AC于N，
∵DB=DO=OB= AB，
∴△DOB为等边三角形，
∴∠DOB=60°，
在Rt△DOC和Rt△DON中，OD=2，∠DOC=60°，
∵DC=2 ，DN= ，∠C=30°，
∴ ，
∵AODE为菱形，
∴ ，
∴四边形ACDE的面积= + = ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆的切线的证明，圆的基本性质的应用，解直角三角形的应用，等边三角形的判定和
性质，菱形的性质应用，不规则四边形的面积，属于圆的几何综合题目，掌握几何图形的相关知识点是解
题的关键．
题型5.解直角三角形与四边形的综合
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BD于点B．已知∠A = 45°，∠C= 60°， ，求AD的长．
【答案】 ．
【分析】过点D作DE⊥BC于E，在Rt CDE中，∠C = 60°， ，则可求出DE,由已知可推出∠DBE
=∠ADB = 45°，根据直解三角形的边角△关系依次求出BD，AD即可.
【详解】过点D作DE⊥BC于E
∵ 在Rt CDE中，∠C = 60°， ，
△
∴ ，
∵ AB⊥BD，∠A = 45°，
∴∠ADB = 45°.∵AD∥BC，
∴∠DBE =∠ADB = 45°
∴ 在Rt DBE中，∠DEB = 90°， ，
△
∴ ，
又∵ 在Rt ABD中，∠ABD= 90°，∠A = 45°，
△
∴ ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，正确作出辅助线是解题的关键.
题型6.利用视角测量高度
6．如图所示，图1，图2分别是某款高压电塔的实物图和示意图电塔的底座AB与地面平齐，DF表示电塔
顶端D到地面的距离，已知AF的长是2米，支架AC与地面夹角∠BAC＝86°，顶端支架DC长10米，DC与
水平线CE之间夹角∠DCE＝45°，求电塔的高度DF．（sin86°＝0.998，cos86°＝0.070，tan86°＝14.300，
≈1.4，结果保留整数）
【答案】电塔的高度DF约为79米．
【分析】过点C作CG⊥AB于G，解Rt DCE，求出CE＝DE＝FG≈7，那么AG＝GF﹣AF≈5．再解Rt ACG，求
出EF＝CG＝71.5，代入DF＝DE+EF即可△． △
【详解】如图，过点C作CG⊥AB于G，则四边形CEFG是矩形，
∴CE＝FG，CG＝EF．
在Rt DCE中，∵∠DCE＝45°，CD＝10，
△
∴DE＝CD•sin∠DCE＝10× ＝5 ≈7，∴CE＝DE＝FG≈7，
∴AG＝GF﹣AF≈7﹣2＝5．
在Rt ACG中，∵∠CAG＝86°，AG＝5，
∴CG＝△AG•tan∠CAG＝5×14.3＝71.5，
∴EF＝CG＝71.5，
∴DF＝DE+EF＝7+71.5≈79（米）．
答：电塔的高度DF约为79米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键.
题型7.利用方向角解决实际问题
7．（2023·吉林长春·九年级统考阶段练习）如图，在灯塔 周围 海里水域有暗礁．一艘由西向东航行的
轮船航行到 处发现，灯塔 在轮船的北偏东 的方向上，且与轮船相距 海里．若该轮船不改变航向，
通过计算说明该轮船是否有触暗礁的危险．【参考数据： ， ，
】
【答案】该轮船没有触暗礁的危险
【分析】此题主要考查解直角三角形，要判断是否有触礁危险，只需判断轮船与 的最短距离是否大于
海里即可，过 点作 ，则 为直角三角形，利用 和 的余弦值求出 ，再和海里相比较即可得出答案．
【详解】解：过 点作 ．
在 中，
，
，
（海里）
∵ ．
该轮船没有触暗礁的危险．
题型8.利用坡度、坡角解决实际问题
8．（2023·重庆·九年级重庆一中校考期中）为了方便市民出行，建委决定对某街道一条斜坡进行改造，计
划将原斜坡坡角为 的 改造为坡角为 的 ，已知 米，点 ， ， ， ， ， 在
同一平面内．
(1)求 的距离；(结果保留根号)
(2)一辆货车沿斜坡从 处行驶到 处，货车的高 为 米， ，若 米，求此时货车顶端
到水平线 的距离 ．(精确到 米，参考数据： ， )【答案】(1)
(2) 米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题；
（1）过点 作 ，交 的延长线于点 ，在 中，利用锐角三角函数的定义求出 和
的长，然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而利用线段的和差关系进行计
算，即可解答；
（2）延长 交 于点 ，根据题意可得： ， ，从而可得 ，
，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得 ，再根据垂直定义可得
，从而在 中，利用锐角三角函数的定义求出 和 的长，进而求出 的长，最
后在 中，利用含 度角的直角三角形的性质求出 的长，从而利用线段的和差关系进行计算，
即可解答．
【详解】（1）解：过点 作 ，交 的延长线于点 ，
在 中， 米， ，
米 ，
米 ，
在 中， ，
米 ，
米，
的距离为 米；
（2）延长 交 于点 ，由题意得： ， ，
，
，
，
，
，
，
在 中， 米，
米 ，
米 ，
米，
米，
在 中， ，
米，
米 ，
此时货车顶端 到水平线 的距离 约为 米．
题型9.通过解直角三角形解决实际问题
9．（2023·山东淄博·九年级统考期中）点 处有一灯塔， 与直线 垂直，一轮船从点 出发驶到点 （
三点都在直线 上），测量得到 为 千米， ， ．(1)求 的长（结果保留根号）；
(2)轮船从 点出发时，另一快艇同时从 点出发给轮船提供物资，一个小时后刚好在 点与轮船相遇，已
知快艇行驶了 千米，问轮船相遇后能否在 小时之内到达点 ．（参考数据： ， ）
【答案】(1) 千米
(2)轮船相遇后能在1.3小时之内到达点
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识．
（1）在 中， ，从而得到 千米，然后在 中，解直角三角形求
出 ，最后根据 即可求解；
（2）在 中，根据勾股定理求出 千米，从而可求出 千米，即轮船的速度为 千
米/时，轮船相遇后到达点 的路程为 千米，最后根据路程公式即可求解．
【详解】（1）解： 在 中， 千米， ，
千米，
在 中， ，
千米，
千米；
（2）在 中， 千米，
千米，
轮船相遇后到达点 的时间 小时， ，
轮船相遇后能在 小时之内到达点 ．【方法三】 仿真实战法
考点1.解直角三角形
1．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）在 中， ， ， ，点D是 的中
点．四边形 是菱形（D，E，F，G按逆时针顺序排列）， ，且 ，菱形 可
以绕点D旋转，连接 和 ，设直线 和直线 所夹的锐角为 ．
(1)在菱形 绕点D旋转的过程中，当点 在线段 上时，如图①，请直接写出 与 的数量关
系及 的值；
(2)当菱形 绕点D旋转到如图②所示的位置时，（1）中的结论是否成立?若成立，请写出证明过程；
若不成立，请说明理由；
(3)设直线 与直线 的交点为P，在菱形 绕点D旋转一周的过程中，当 所在的直线经过点
时，请直接写出 的面积．
【答案】(1) ；
(2)（1）中结论成立，证明见解析；
(3) 或
【分析】（1）根据 ，即可得出答案；
（2）证明 ，即可求解；
（3）证明 、 均为等边三角形，证明A、M、P、G共线，由（1）、（2）知，
，则 ，在等边三角形 中， ，则 ，
则 ，进而求解；当B、F重合时，也符合题意，由（1）、（2）知，，根据 ，在 中，用解直角三角形的方法即可求解．
【详解】（1）解： ，理由如下：
在 中， ，
则 ，
点D是 的中点，
，
则 ，
,
为等边三角形，
；
（2）解：（1）的结论成立，理由：
证明：延长 交 于点T，交 于点N，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：当B、E、F共线时，如下图，连接 ，根据图形的对称性，当B、E、F共线时，且点D是 的中点，
则F、G、C共线，分别过点G、E作 的垂线，垂足分别为H、M， 交 于点P，
，
则 ，
则 ,
即 ， 均为等边三角形，
，
由（1）知 为等边三角形，
则 ，则A、M、P、G共线，
由（1）、（2）知， ，
则 ，
在等边三角形 中， ，
则 ，
，
；
当B、F重合时，也符合题意，如下图：在 中， ，
，
由（1）、（2）可知， ，
，
设 ，则 ，
，
，
即 ，
解得： ，
；
综上， 的面积为： 或 ．
【点睛】本题为四边形综合题，涉及到三角形全等、解直角三角形、面积的计算、勾股定理的运用，题目
难度很大，分类求解是本题解题的关键．
考点2.解直角三角形与四边形的综合应用
2．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图1，在 中， ， 沿 方向向左
平移得到 ，A、 对应点分别是 、 ．点 是线段 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点
A逆时针旋转至线段 ，使得 ，连接 ．
(1)当点 与点 重合时，求 的长；(2)如图2，连接 、 ．在点 的运动过程中：
① 和 是否总是相等？若是，请你证明；若不是，请说明理由；
②当 的长为多少时， 能构成等腰三角形？
【答案】(1)
(2)① ；② 的长为14或11或8或0
【分析】（1）根据平移的性质可得四边形 、四边形 是平行四边形，再由已知推导出 是
的平分线，由等腰三角形的性质可得 ，过 点作 交于 点，求出 ，再
由 ，所以 ；
（2）①证明 ，则 ；
②过点 作 交于 ，由等积法可得 ，求出 ，分三种情况讨论：当
时， ；当 点与 点重合时， ，此时 ，当 时， ，在
中， ，可得 ；当 时， ，过点 作 交于 ，所以
，能求出 ， ，则 ；当 时， ，当 点在 上时，
，此时 点与 点重合，此时 ．
【详解】（1）解：当 点与 点重合时， ，
由平移可知， ， ，
四边形 、四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
，
，
，
是 的平分线，
，，
如图1，过 点作 交于 点，
，
，
，
，
；
（2）解：① ，理由如下：
如图2， ， ， ，
，
；
②如图2，过点 作 交于 ，
由①可知 ，
，
当 时，
，
，
，
，当 点与 点重合时， ，此时 ，
当 时， ，在 中， ，
；
当 时， ，
，
，
过点 作 交于 ，
，
， ，
，
，
，
，
；
当 时，
，
，
，
，
当 点在 上时， ，此时 点与 点重合，
；
综上所述： 的长为14或11或8或0．
【点睛】本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握三角形平移的性质，旋转的性质，三角形全等的判定及
性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
考点3.解直角三角形与圆的综合应用
3．（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，在 中， ，以 为直径的 交 边于
点D，过点C作 的切线，交 的延长线于点E．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据圆周角定理得到 ．再根据切线的性质得到 ．然后利用等角的
余角相等得到 ；
（2）先证明 得到 ，则可证明 ，利用正切的定义，在 中有
，在 中有 ，所以 ，然后求出 的长，从而得到 的半径．
【详解】（1）证明：∵ 为 的直径，
∴ ．
∵ 为 的切线，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径为 ．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
考点4.利用方向角解直角三角形求距离
4．（2023·海南·统考中考真题）如图，一艘轮船在 处测得灯塔 位于 的北偏东 方向上，轮船沿着
正北方向航行20海里到达 处，测得灯塔 位于 的北偏东 方向上，测得港口 位于 的北偏东
方向上．已知港口 在灯塔 的正北方向上．
(1)填空： 度， 度；
(2)求灯塔 到轮船航线 的距离（结果保留根号）；
(3)求港口 与灯塔 的距离（结果保留根号）．
【答案】(1)30，45
(2)灯塔 到轮船航线 的距离为 海里(3)港口 与灯塔 的距离为 海里
【分析】（1）作 交 于 ，作 交 于 ，由三角形外角的定义与性质可得
，再由平行线的性质可得 ，即可得解；
（2）作 交 于 ，作 交 于 ，由（1）可得： ，从而得到
海里，再由 进行计算即可；
（3）作 交 于 ，作 交 于 ，证明四边形 是矩形，得到
海里， ，由 计算出 的长度，证明 是等腰直角三角形，得到
海里，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，作 交 于 ，作 交 于 ，
，
，
，
都是正北方向，
，
，
，
故答案为：30，45；
（2）解：如图，作 交 于 ，作 交 于 ，，
由（1）可得： ，
海里，
在 中， ， 海里，
海里；
灯塔 到轮船航线 的距离为 海里；
（3）解：如图，作 交 于 ，作 交 于 ，
，
， ， 、 都是正北方向，
四边形 是矩形，
海里， ，
在 中， ， 海里，
海里，在 中， ，
是等腰直角三角形，
海里，
海里，
港口 与灯塔 的距离为 海里．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性
质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
考点5.利用视角求高
5．（2023·四川甘孜·统考中考真题）“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于
航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为 ，看底部C的俯角为 ，无人
机A到该建筑物 的水平距离 为10米，求该建筑物 的高度．（结果精确到 米；参考数据：
， ）
【答案】该建筑物 的高度约为 米
【分析】由题意可知， ， ， ，根据三角形内角和定理和等角对等边的性
质，得到 米，再利用锐角三角函数，求出 米，即可得到该建筑物 的高度．
【详解】解：由题意可知， ， ， ，
，
，
米，在 中， 米，
米，
答：该建筑物BC的高度约为 米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形——仰俯角问题，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，锐角三角
函数，熟练掌握直角三角形的特征关键．
考点6.解直角三角形与仰角及坡角的综合应用
6．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，堤坝 长为 ，坡度i为 ，底端A在地面上，堤坝与
对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高 的铁塔 ．小明欲测量山高 ，他在A处看到铁塔顶端
C刚好在视线 上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角 为 ．求堤坝高及山高 ．（
， ， ，小明身高忽略不计，结果精确到 ）
【答案】堤坝高为8米，山高 为20米．
【分析】过B作 于H，设 ， ，根据勾股定理得到 ，
求得 ，过B作 于F，则 ，设 ，解直角三角形即可
得到结论．【详解】解：过B作 于H，
∵坡度i为 ，
∴设 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过B作 于F，
则 ，
设 ，
∵ ．
∴ ，
∴ ，
∵坡度i为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ （米），
∴ （米），
答：堤坝高为8米，山高 为20米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线
是解题的关键．
7．（2023·湖北恩施·统考中考真题）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间
的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点 ， 处测出点 的仰角度数，可以求出信号塔 的高．
如图， 的长为 ，高 为 ．他在点 处测得点 的仰角为 ，在点 处测得点 的仰角为， 在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔 的高吗？若能，请求出信号塔
的高；若不能，请说明理由．（参考数据： ， ， ，结果
保留整数）
【答案】能求出信号塔 的高，信号塔 的高为 ；
【分析】过 作 ，垂足为 ，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质 ，进而设
根据锐角三角函数解答即可．
【详解】解：过 作 ，垂足为 ，
∵ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ．
∵ 的长为 ，高 为 ，
∴ ．
∴在 中， ( )．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴设 ．
∴ ， ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．∴ ．
∴ ．
即信号塔的 高为 ．
∴能求出信号塔 的高，信号塔 的高为 ．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形性质，锐角三角函数，掌握锐角三角函数是解题的关键．
【方法四】 成果评定法
一、单选题
1．（2023·山东菏泽·九年级统考期中）河堤横断面如图所示，堤高 米，迎水坡AB的坡比是 ，
则 的长是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D．12米
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，根据题意可以求得 米，再根据勾股定
理即可求得 的长，本题得以解决．
【详解】解：∵ 米，迎水坡 的坡比为 ，
∴ ，
∴ 米，
∴ 米，故选：D．
2．（2023·山东济南·九年级统考期中）电线杆 直立在水平的地面 上， 是电线杆 的一根拉线，
测得 ， ，则拉线 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查解直角三角形的应用．根据锐角三角函数的定义，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：在 中， ， ，
则： ；
故选B．
3．（2023·吉林长春·九年级长春市第八十七中学校考阶段练习）数学兴趣小组利用无人机A测量学校旗杆
高度，已知无人机的飞行高度为37米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为
，则旗杆的高度约为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D．22.5米
【答案】B
【分析】题考查了解直角三角形的应用，解题关键是利用无人机所在水平线与旗杆所在竖直线所成的直角
三角形求出 ．
【详解】解：如图，无人机所在水平线与旗杆所在竖直线交于点B，旗杆为 ，无人机为点 ，由题意可知， 米， ， 米，
（米），
米；
故选B．
4．（2023·湖南湘潭·九年级湘潭江声实验学校校考阶段练习）如图，河坝横断面迎水坡 的坡度是 ，
坡面 ，则坝高 的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解答本题的关键．
利用坡度的定义，得到 ，即 ，再根据勾股定理，得到 ，由此得到答
案．
【详解】解： 河坝横断面迎水坡 的坡度是 ，
，
，
又 ，
，解得： ，
即坝高 的长度是 ，
故选： ．
5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28°，高为7米．用计算器求
AB的长，下列按键顺序正确的是（ ）
A．7×sin28= B．7÷sin28=
C．7×tan28= D．7÷tan28=
【答案】B
【详解】由题意，得sin28°= ，∴AB=7÷sin28°，∴按键顺序为7÷sin28=．
6．（2023湖南岳阳·九年级校联考阶段练习）如图，已知：在直角坐标系中，有菱形 ， 点的坐标
为 ，对角线 、 相交于 点，双曲线 经过 点，交 的延长线于 点，且
，有下列四个结论：
①双曲线的解析式为 ；② 点的坐标是 ；③ ；④ ．其中
正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】过点 作 轴于点 , 由 可求出菱形的面积，由 点的坐标为 可求出
的长，由勾股定理可求出 的长，故可得出 点坐标，对角线 相交于 点，可求出 点坐标，用待定系数法可求出双曲线 的解析式，由反比例函数的解析式与直线 的解析式联立即
可求出 点坐标； 由 可求出 的正弦值；根据 两点的坐标可求出 的长，由
即可求出 的长．
【详解】过点 作 轴于点 ，
， 点的坐标为 ，
，菱形 的边长为10，
，
在 中，
， ，
，
，
点 时线段 的中点，
点坐标为 ，即 ，
双曲线 经过 点，
，即 ，
双曲线的解析式为： ，故①错误；
，
直线 的解析式为 ，
，解得 ， ，
点坐标为 ，故②错误；
， ，，故③正确；
， ，
，
，
，
，故④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到菱形的性质及反比例函数的性质、锐角三角函数的，掌
握反比例函数的图像和性质是解题的关键．
7．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图， 、 是 的两条切线，切点分别为A、B，若
， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查切线长定理，切线的性质定理，特殊角的三角函数值，利用切线长定理及切线的性质定
理可证明 ，可得 ，根据 ，求出 的正弦函数值，
利用特殊的三角函数值即可求出 的度数，是解决问题的关键．【详解】解：∵ 、 是 的两条切线，切点分别为A、B，
∴ ， ， ，则 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
8．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图 内接于 ，弦 ， ，则 的半径
为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理和解直角三角形，过 作直径 ，连接 ，易得 ，根据圆
周角定理得 ，则 ，结合三角函数的定义即可得到结论．正确的作出辅助线，构造直
角三角形是解题的关键．
【详解】解：过 作直径 ，连接 ，
∵ 为直径，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的半径为6，
故选：D．
9．（2023·河北石家庄·九年级校考期中）对于题目∶“如图所示，一艘渔船以 海里 时的速度由西向东
航行在 处看见小岛 在船北偏东 的方向上． 后，渔船行驶到 处，此时小岛 在船北偏东
的方向上．己知以小岛 为中心， 海里为半径的范围内是多暗礁的危险区，如果这艘渔船继续向东航行，
有没有进入危险区的可能？”小明同学在求解这个题过程中，求出了下面 个数据，错误的是（ ）
A． 海里
B．
C． 海里
D．过点 向 的延长线引垂线，垂足为 ，求得 ，小明得出结论有触礁危险
【答案】D
【分析】本题主要考查方位角与直角三角形的综合，先根据题意可得 ， ，
海里，根据等腰三角形的性质和 角所对直角边是斜边的一半逐项判断即可，掌握方位角的角度知识，
直角三角形 角所对直角边是斜边的一半和勾股定理是解题的关键．
【详解】由题意得： ， ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ （海里），则选项 正确，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ （海里）
在 中，由勾股定理得： ，
∴没有有触礁危险，故 选项判断错误，符合题意，
故选： ．
10．（2022下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，经过A、C两点的 与 的边 相切，与边
交于点D，若 ， ， ，则 与 围成阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，作 于点E．证明三角形 为等边三角形．得出结论 ，
．从而即可求出 ，即三角形 为等腰直角三角形，最后根据即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，作 于点E．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
由题意可知 ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴三角形 为等边三角形．
∴ ， ．
∴ ，
∴三角形 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
边上的高为 ，
∴ ，
，
∵ ， ，∴ 边上的高为 ，
∴ ，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形与等边三角形的
判定和性质以及扇形的面积，综合性强．正确的连接辅助线是解答本题的关键．
二、填空题
11．（2022·湖南永州·九年级校考期末）已知（如图），一斜坡 的坡度为 ，则坡角 为 度．
【答案】
【分析】本题考查了根据特殊角三角函数值求特殊角的度数，坡度坡比的应用；理解坡度是解决本题的关
键．
【详解】解：坡度为坡角的正切值，
即 ，
，
故坡角 为 度．
故答案为：30．
12．（2022·湖南永州·九年级校考期末）在 中， ，若 ，则 ．
【答案】
【分析】如图所示，根据 ，设 ，则 ，运用勾股定理可求出 的值，根据正弦值
的计算方法即可求解．
【详解】解：如图所示，∵ ，
∴设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
故答案为： ．
13．（2023·河北石家庄·九年级校考期中）某人上坡沿直线走了50 m，他升高了 m，则此坡的坡度
为 .
【答案】
【分析】本题考查了坡度的应用，先用勾股定理求得斜坡的水平宽度，则可求得斜坡的坡度．
【详解】解：由勾股定理得斜坡的水平宽度 ，
则斜坡的坡度为： ，
故答案为： ．
14．（2023·湖南·九年级校联考阶段练习）劳动实践课上，小明提着一桶水，沿一斜坡向上走了 米，若
斜坡坡比是 ，则小明提水上升的高度是 米.
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形，掌握坡比的定义是关键；根据坡比的定义设小明上升的高度为 米，
则行走的水平距离为 米，再利用勾股定理建立方程求解即可；
【详解】解：设小明上升的高度为 米，∵山坡的坡度 ，
∴他行走的水平距离为 米，
由勾股定理得： ，得： ， （舍），
∴小明上升的高度为25米
故答案为：
15．（2023·北京西城·九年级校考期中）在平面直角坐标系 中，点A的坐标为 ．P是第一象限内
任意一点，连接 ， ．若 ，则我们把 叫做点P的“角坐标”．
（1）若点P的坐标为 ，则点P的“角坐标”为 ．
（2）若点P到x轴的距离为1，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查坐标与图形的性质、等腰直角三角形、三角形外角的性质及圆周角定理，推出
取得最小值即为 取得最大值，且找到满足条件的点 位置是关键.
（1）由坐标可知 , ，则利用三角函数得到 ，根据定义解答即可；
（2）根据三角形内角和定理知若要使 取得最小值, 即 取得最小值，则 需取得最
大值， 中点为圆心， 为半径画圆，与直线 相切于点 ，由 ，知此时
最大， ，即可得出答案．
【详解】解：（1）如图，
∵点A的坐标为 ，点P的坐标为 ，
∴ ， ，
∵
∴ ，
∴点P的“角坐标”为 ，故答案为： ；
（2）根据三角形内角和定理知若要使 取得最小值，即 取得最小值，
则 需取得最大值，
如图 ，
∵点 到 轴的距离为 ，
∴ 中点为圆心， 为半径画圆，与直线 相切于点 ，在直线 上任取一点 连接 ， ，
交圆于点 ，
，
此时 最大，
∴ 的最小值 ，
故答案为: ．
16．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在 ABCD中，∠D＝60°，∠DAC＝45°，CD＝2，点P是BC的
中点，过点P作直线l，过点A作AM⊥l于点M，过点B作BN⊥l于点N，则AM＋BN的最大值为 ．
【答案】
【详解】如图，过点C作CE⊥l于点E，l与AC交于点O，过点C作CF⊥AD于点F，∴∠BNP＝∠CEP＝90°．
∵点P是BC的中点，∴BP＝CP．
在△BNP与△CEP中，
∴△BNP≌△CEP（AAS），
∴BN＝CE．
在Rt△AMO和Rt△CEO中，斜边AO，CO始终大于等于AM，CE，
∴当AM＋BN最大时，则l⊥AC，AM，EC与AC重合，
∴AM＋BN＝AC．
∵∠D＝60°，∠DAC＝45°，CD＝2，
∴CF＝CD·sin60°＝ ，
AC＝ CF＝ ．
17．（2023·山东烟台·九年级统考期中）如图，为确定某隧道 的长度，在建设中测量人员在离地面
米高度 处的飞机上，测得正前方A点处的俯角为 ， 的坡比为 ，则隧道 的长为
（结果保留根号）．
【答案】 米
【分析】此题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角和坡度问题，连接 ，证明 ，则，即可求解，掌握仰角俯角坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：如下图，连接 ，
由题意得： ，
∵ 的坡比为 ，则 ，
则 ，
则 ，
故答案为： 米．
18．（2023·江苏淮安·九年级校考期中）如图，正方形 的边长为 ，对角线 ， 交于点O，
点E在边 上，连接 ，F为 上一点，若 ， ，则 的长为
．
【答案】
【分析】在 中，根据 ，可得出 ，又根据正方形 的边长为6，可得出
，即可求得 ， ，再根据 ，可得出，从而证得 ，进而得出 ，代入数值进行即可求解．
【详解】解：设 与 相交于点H，如图所示：
四边形 为正方形，
，
，
在 中，
，
，
，
，
，
根据勾股定理可得：
，
，
又 ，
，
，
，
，即 ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，以及正方形的性质，解题的关
键是能证明三角形的相似从而得出对应线段成比例进而解决问题．
三、解答题
19．（2023·湖南·九年级校联考阶段练习）高空抛物极其危险，被称为“悬挂在城市上空的痛”，我们应
该主动杜绝高空抛物的行为．某小区为了防止高空抛物，特安装一批摄像头，已知某一型号的摄像头安装
完成后的示意图如图2，镜头B与地面的距离 为 米，镜头拍摄扩角 ， 为基准线（
的角平分线）， 为水平线，摄像头与水平方向夹角为 ，即 ，图3是安装完成后
投入使用的示意图：
(1)当摄像头刚好能拍到大楼底部C时，摄像头应装在离大楼约多远的位置？
(2)在（1）的条件下，请问该摄像头能拍摄到的最高距离 约为多少米？（参考数据，
，结果精确到1米）
【答案】(1)摄像头应装在离大楼约 的位置
(2)该摄像头能拍摄到的最高距离 约为
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）如图所示，过点B作 于G，根据题意求出 ，再解 即可得到答案；（2）先求出 ，再解 求出 的长，进而求出 的长即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点B作 于G，
由题意得： ， ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴摄像头应装在离大楼约 的位置；
（2）解：由（1）得 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴该摄像头能拍摄到的最高距离 约为 ．
20．（2023·河南郑州·九年级郑州外国语中学校考阶段练习）宝轮寺塔，为供奉舍利由尼姑道秀主持建筑，
始建于隋文帝仁寿元年（601年），故又称仁寿建塔，位于河南省三门峡市陕州风景区，数学活动小组欲
测量宝轮寺塔 的高度，如图，在A处测得宝轮寺塔塔基C的仰角为 ，沿水平地面前进23米到达B
处．测得宝轮寺塔塔顶E的仰角 为 ，测得塔基C的仰角 为 （图中各点均在同一平面
内）．(1)求宝轮寺塔 的高度；
(2)实际测量时会存在误差，请提出一条减小误差的合理化建议．（结果精确到0．1米，参考数据：
， ， ， ）
【答案】(1)宝轮寺塔 的高度 米
(2)在测量数据时，通过多次测量取其平均值即可
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题
属于基础题型．
（1）由 ，可知 ，可求出 的长度，然后利用锐角三角函数的定义可求
出 的长度．
（2）在测量数据时，通过多次测量取其平均值即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ (米)，
在 中，
∴ ，
∴ (米)，
由勾股定理可知： (米)，
在 中， ，∴ (米)，
答：宝轮寺塔 的高度 米．
（2）通过多次测量取其平均值，即可减少误差．
21．（2023·吉林·九年级校考期中）某人乘车从 地去 地．如图， 地在 地的正北方向，且距离 地
，但 两地之间的道路维修无法通过．按导航指示，车辆沿正西方向行驶至 地，再沿北偏东
方向行驶到达 地，求车辆绕行之后比沿 段多行驶多少千米（结果精确到 ；参考数据
）？
【答案】车辆绕行之后比沿 段多行驶5.4千米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意得到 ， ， ，
根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】解：根据题意，得 ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ （千米），
答：车辆绕行之后比沿 段多行驶5.4千米．
22．（2023·广东潮州·一模）如图，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，抛物线
经过 两点，且 ．(1)求抛物线的解析式．
(2) 是抛物线第一象限内的一个动点，过 作 于 ，求 的最大值．
(3) 是抛物线对称轴上的一个动点，连接 ，把线段 沿着直线 翻折， 的对应点 恰好落在抛
物线上，求 点坐标．
【答案】(1)
(2)当 时， 有最大值，最大值为
(3) 点坐标为 或
【分析】（1）先求出 ，再运用待定系数法即可求得答案；
（2）过点 作 轴，交 于 ，交 轴于 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，
设 ，则 ， ，由 可求得 ，再由
可得 ， ，再证明
，可得 ，进而可得 ，再
运用二次函数的性质即可；（3）设 ， ，由翻折可得 的中点 在直线 上，即
，分两种情况：当点 在 的上方时，过点 作 轴交抛物线的对称轴于 ，设
对称轴交 于 ，利用解直角三角形可得 ，联立①②可得 ，即
，当点 在 的下方时，同理可得 ．
【详解】（1）解：∵直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，
当 时， ，当 时， ，解得： ，
， ，
∵抛物线 经过 两点，且 ，
∴ ，
解得： ，
∴该抛物线的解析式为 ；
（2）解：过点 作 轴，交 于 ，交 轴于 ，过点 作 于 ，过点 作 于
，如图1，，
设 ，则 ， ，
，
， ，
， ，
在 中， ，
轴，
，
，
， ，
，
，
，
，
，，即 ，
，
，
，
∴四边形 是矩形，
， 轴，
，
，
，
，
，
，
，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ；
（3）解：设 ， ，
∵线段 沿着直线 翻折， 的对应点 恰好落在抛物线上，
的中点 在直线 上，
，
化简得： ，当点 在 的上方时，
如图2，过点 作 轴交抛物线的对称轴于 ，设对称轴交 于 ，
，
则 ，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得： ，
联立①②得： ，解得： ，
，
，
；
当点 在 的下方时，如图3，
，
同理可得： ，
；
综上所述， 点坐标为 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，翻折变换
的性质，解直角 ，二次函数的图象和性质，涉及知识点多，难度较大，添加辅助线构造相似三角形是解
此题的关键．
23．（2023·广东潮州·二模）如图，在抛物线 交 轴正半轴于点 ，交 轴负半轴于点
，直线 交抛物线于 、 两点，抛物线的对称轴交 轴于点 ，其中 的坐标为 ．(1)求 的值和直线 的解析式；
(2)如图1， 是抛物线上在直线 下方的一点，直线 交抛物线的对称轴于点 ，连接 ， 直线
交抛物线对称轴于点 ，当 时，求点 的坐标；
(3)在直线 上有一点 ， 的横坐标为 ，将 绕点 逆时针旋转过有一定的角度
，得到 ，直线 交 于 ，当直线 将 分割为面积比为 ： 的两部
分时，直接写出 的值及 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)点 的坐标为 或
(3) ， 或 ，
【分析】（1）在 中，代入 即可解得： ；令 得
，用待定系数法即可得直线 的解析式；
（2）分两种情况：如图 ，当 在直线 上方时，过 作 于 ，可得出 ，运用
三角函数定义即可得出答案；如图 ，当 在直线 下方时：作 于 ， 的角平分线
交 于 ，设 运用勾股定理列方程求出 再通过 ，，设 则： ， ，求出 再利用 ，即可得出
答案；
（3）利用待定系数法求出直线 的解析式，得出 （ ， ），运用两点间距离公式可得 ，
如图 ，过点 作 于 ，在 上截取 ，连接 ，则 ，得出
， ，通过 （ ），得出 ， ，即可求出答案．
【详解】（1）解：在 中，代入 ，
得：
解得： ，
抛物线解析式：
令 解得： 舍 ， ，
， ，
，
设直线 解析式为： ，
则： ，
解得：
直线 的解析式为： ；
（2）由题知，抛物线的对称轴： ，
在 中，代入 ，则 ，， ， ，
，
，
， ，
如图 ，当 在直线 上方时，
，
，
，
，
，
过 作 于 ，
，
，
轴 ，
；
；
；
，
，
，，
；
如图 ，当 在直线 下方时：
作 于 ， 的角平分线 交 于 ，
同①理： ，
， 平分 ，
，
，
设 ， ，
，
，
解得： ，
，
，
，
，
，，
设 ，则： ，
，
解得 ，
，
， ，
， ，
，
；
综上所述，点 的坐标为 或 ；
（3）设直线 的解析式为 ，
， ，
，
解得： ，直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
， ，
，
如图 ，过点 作 于 ，在 上截取 ，连接 ，
则 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，直线 将 分割为面积比为 ： 的两部分，
旋转后点 与点 重合或点 与点 重合，
①当点 与点 重合时，如图 ，
，
，
直线 的解析式为： ，
设 ， ，
，
解得： 或 舍去 ，
；
②当点 与点 重合时，如图 ，，
直线 的解析式为： ，
设 ， ，
，
解得： 或 舍去 ，
；
综上所述， ， 或 ， ．
【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数图象和性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性
质，三角函数定义，两点间距离公式，旋转变换的性质，三角形面积等；正确的添加辅助线以及正确的计
算是解题的关键．
24．（2023·吉林长春·九年级统考阶段练习）如图，在 中， ， ， ．动点P
从点B出发，先沿 以每秒5个单位长度的速度运动，然后沿 以每秒10个单位长度的速度继
续运动．与此同时，动点Q从点B出发，沿 方向以每秒5个单位长度的速度运动．当其中一点到达终
点时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t（秒），连结 ．
(1)当点P沿 运动时，求 的长（用含t的代数式表示）．
(2)当 时，求t的值．
(3)连结 ，当 的面积等于8个单位面积时，求t的值．
(4)当点P在线段 上时，把四边形 沿 翻折得到四边形 ，直接写出 时t的值．
【答案】(1) 或
(2) 或(3) ， ，
(4) 或
【分析】（1）当点P在 上时即 ， ，当点P在 上时即 ， ．
（2）当 时，因为 所以点Q比点P的路程多6，由此列方程即可求解．
（3）当点P在 上时即 ， 的面积等于 ，当点P在 上时即 ，由
得平行线间的距离为8， 的面积等于或 即可求解．
（4）分两种情况讨论，当点P在移动时或点P在未移动时，由翻折的性质可列方程求解．
【详解】（1）解：当点P在 上时即 ，
；
当点P在 上时即 ，
．
（2）当点P在 上时如图①，
此时 ，
， ，
，
点Q比点P的路程多6，
，
解得： ；
如图②，当 时，有
，
解得： ．（3）当点P在 上时如图③，
时，
，
解得： ， ．
当点P在 上时如图①，即 时，
，
解得： ．
如图②， 时，
， （舍）．
（4） ， ．
当点P在 上时如图④，
，
解得： ．
如图⑤，
，，
，
，
，
，
， ．
【点睛】本题考查了平行四边形—动点问题，锐角三角函数，翻折的性质，平行线的性质，解一元二次方
程等知识，解题关键是“利用分类讨论思想确定两个动点位置将动态问题静态化”．
25．（2023·全国·九年级专题练习）如图， 的直径 弦 于点C，P是 上的一点，延长 交
于点D，连接 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， 的直径为10，求 的值．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理和解直角三角形等知识．
（1）利用平行线的性质和圆周角定理可得出 ，然后利用等腰三角形的判定即可得证；
（2）连接 ，利用垂径定理和圆周角定理可得出 ．然后在 中，根据正弦定义
求解 ，即可解答．
【详解】（1）证明 ∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解 连接 ，如图，
∵ 为 的直径，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ．
26．（2023·浙江温州·九年级瑞安市安阳实验中学校联考期末）如图， 中， ，点D是斜边AB上一点， 为 的外接圆，BC交 于点F，连结FD并延长至点E，使 ．
(1)当 时，求 的度数；
(2)若 ，当 为等腰三角形时，求CF的长；
(3)设 ，若 的外心I恰好落在 上，求k的值．
【答案】(1) ；
(2) 或 或 ；
(3) ．
【分析】（1）利用平行线的性质证明 ，利用圆周角定理证明 ，再利
用角的和差关系即可得出的度数；
（2）分 三种情况，利用相似三角形的性质判定一一求解即可；
（3）利用外心的性质证明 ，再利用相似三角形的性质和判定证明 即可．
【详解】（1）解： 中， ， ，
，
，
，
，
．
故答案为： ；
（2）解： ，
在 中， ，当 为等腰三角形时，
①若 ，则
，
是 的直径，
， ，
，
，
，
，
，即 ，
；
②若 ，则 ，
，
，
，
，
由①可知 ，
，即 ，
，
；
③ ，则 ，
，
，
，，即 ，
．
（3）
如图，I为 的外心，连接 ，
的外心I恰好落在 上，
是 的直径，
， ，
，
同理 ，
，
，
即 ，
，
，
，
中，
，
，
即 ．
