文档内容
专题 28.2 解直角三角形【九大题型】
【人教版】
【题型1 解直角三角形】..........................................................................................................................................2
【题型2 解一图多三角形的直角三角形】..............................................................................................................5
【题型3 解非直角三角形】......................................................................................................................................8
【题型4 网格问题】................................................................................................................................................14
【题型5 构造直角三角形求不规则图形的面积】...............................................................................................19
【题型6 在四边形中解直角三角形】....................................................................................................................22
【题型7 在平面直角坐标系中解直角三角形】...................................................................................................29
【题型8 函数与解直角三角形】............................................................................................................................34
【题型9 动态问题与解直角三角形】....................................................................................................................40
知识点：解直角三角形
已知条件 图形 解法
已知一直角边和一个锐
角 B
已知斜边和一个锐角
斜边 对
边
b
A C
邻边
已知两直角边
已知斜边和一条直角边
【题型1 解直角三角形】
【例1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，点D、E分别
为边AB、AC的中点，连接DE、CD，若DE=2❑√3，则CD的长度为（ ）A．3 B．3❑√3 C．3.5 D．4
【答案】D
【分析】根据三角形中位线得出BC=2DE=4❑√3，再由余弦函数确定AB=8，利用直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半即可求解．
题目主要考查解三角形，中位线的性质及斜边上的中线的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关
键．
【详解】解：∵点D、E分别为边AB、AC的中点，DE=2❑√3，
∴BC=2DE=4❑√3，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
BC ❑√3
∴cos∠B= = ，
AB 2
∴AB=8，
1
∴CD=AD= AB=4，
2
故选：D．
【变式1-1】（23-24九年级·全国·课后作业）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=❑√7， BC=❑√21，则∠B
的度数为（ ）
A． 30° B．45° C．60° D．75°
【答案】A
【分析】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形边角关系是解题的关键．
AC ❑√7 ❑√3
先根据正切三角函数的定义求得tan B= = = ，再根据特殊角的三角函数值求出角度即可．
BC ❑√21 3
【详解】解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AC=❑√7， BC=❑√21，
AC ❑√7 ❑√3
∴tan B= = = ，
BC ❑√21 3
∴∠B=30°，
故选：A．
【变式1-2】（2024·湖南长沙·三模）如图，在等腰△ABC中，AB=BC,∠C=30°，过点A作AD⊥AB，交CB的延长线于点D，若BC=1，则AD的长为 ．
【答案】❑√3
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，以及三角形外角的性质，熟练掌握锐角三角函数
的概念是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质得AB=1，∠BAC=∠C=30°，求出∠ABD=60°，
然后利用∠ABD的正切求解即可．
【详解】解：∵AB=BC,∠C=30°，BC=1，
∴AB=1，∠BAC=∠C=30°，
∴∠ABD=30°+30°=60°．
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∴AD=tan60°×AB=❑√3
故答案为：❑√3．
【变式1-3】（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，在四边形纸片ABCD中，AB∥DC，AD=8，
∠D=60°．将纸片沿折痕HG折叠，使点D落在AB边上的点M处．若∠DGH=45°，则DG的长为
（ ）
❑√3
A．4 B．4❑√3 C．5❑√3 D．
5
【答案】B
【分析】本题考查折叠的性质、解直角三角形、矩形的判定与性质．由折叠的性质知DG=GM，
∠DGH=∠MGH，再由∠DGH=45°得到∠DGM=90°，过点A作AH⊥DC于点H，在Rt△ADH
中求出AH的长度，再证明四边形AHGM是矩形，从而得出AH=GM，据此即可解决问题．
【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，由折叠的性质知DG=GM，∠DGH=∠MGH，
∠DGH=45°，
∴∠DGM=∠DGH+∠MGH=90°，
❑√3
在Rt△ADH中，AH=AD⋅sin∠B=8× =4❑√3，
2
∵AB∥DC，
∴∠MAH=∠AHG=∠DGM=90°，
∴四边形AHGM是矩形，
∴GM=AH=4❑√3，
∴DG=GM=4❑√3，
故选：B．
【题型2 解一图多三角形的直角三角形】
【例2】（2024·陕西西安·模拟预测）将一副直角三角板按如图所示摆放，其中∠CAB=∠DCB=90°，
∠ACB=45°，∠CBD=30°，若AC=❑√2，则CD的长为（ ）
2❑√3 4❑√3
A．2❑√3 B．2 C． D．
3 3
【答案】C
AC
【分析】根据∠CAB=∠DCB=90°，∠ACB=45°，AC=❑√2，得BC= =2；
cos45°
2❑√3
根据∠CBD=30°，得CD=BCtan30°= ；解答即可．
3本题考查了直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，三角函数，熟练掌握三角函数，特殊角的三角函数
值是解题的关键．
【详解】根据∠CAB=∠DCB=90°，∠ACB=45°，AC=❑√2，
AC
得BC= =2；
cos45°
根据∠CBD=30°，
2❑√3
得CD=BCtan30°= ；
3
故选C．
【变式2-1】（2024·山东淄博·二模）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，D是AC的中点，AC=8，
1
tan∠CAB= ，则sin∠DBA等于（ ）
2
1 ❑√10 ❑√6−❑√2 ❑√5
A． B． C． D．
3 10 2 3
【答案】B
【分析】本题考查解直角三角形，关键是通过作辅助线构造直角三角形．过D作DE⊥AB于E，由锐角的
正切求出BC的长，由勾股定理求出DB长，由∠A的正切，勾股定理求出DE长，即可求解．
【详解】解：过D作DE⊥AB于E，
∵D AC
是 的中点，
1 1
∴AD=CD= AC= ×8=4，
2 2
BC 1
，tan A= = ，AC=8，
AC 2
∴BC=4，
∵∠C=90°，
∴BD2=CD2+BC2=42+42=32，∴BD=4❑√2，
DE 1
∵tanA= = ，
AE 2
∴令DE=x，AE=2x，
∴AD=❑√x2+(2x) 2=❑√5x=4，
4❑√5
∴x= ，
5
4❑√5
∴DE= ，
5
DE ❑√10
∴sin∠ABD= = ．
BD 10
故选：B
【变式2-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在△ABC中，DE=❑√3，∠B=45°，∠ACB=60°，
AD⊥BC于D，∠ACD的平分线交AD于E，则AB的长为（ ）
A．3❑√2 B．3❑√3 C．3❑√6 D．4❑√3
【答案】C
AD
【分析】本题主要考查了解直角三角形的知识，利用三角函数可得：AB= =❑√2AD，
sin∠B
ED
AD=CD⋅tan∠ACB=❑√3CD，CD= =❑√3ED，代入计算即可．
tan∠ECD
【详解】∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴△ADB、△ADC、△EDC是直角三角形，
∵∠B=45°，
AD
∴在Rt△ADB中，AB= =❑√2AD，
sin∠B
∵∠ACB=60°，
∴在Rt△ACD中，AD=CD⋅tan∠ACB=❑√3CD，∵CE平分∠ACD，∠ACB=60°，
1
∴∠ECD= ∠ACB=30°，
2
ED
∴在Rt△ACD中，CD= =❑√3ED，
tan∠ECD
∵DE=❑√3，
∴CD=❑√3ED=3，
∴AD=❑√3CD=3❑√3，
∴AB=❑√2AD=3❑√6，
故选：C．
【变式2-3】（2024·四川自贡·中考真题）如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m．现
将钢架立柱缩短成DE，∠BED=60°．则新钢架减少用钢（ ）
A．(24−12❑√3)m B．(24−8❑√3)m C．(24−6❑√3)m D．(24−4❑√3)m
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用．利用三角函数的定义分别求得DE=2❑√3，
BE=4❑√3=AE，CD=6❑√3，利用新钢架减少用钢=AC+BC+CD−AE−BE−DE，代入数据计算即
可求解．
【详解】解：∵等边△ABC，CD⊥AB于点D，AB长12m，
1
∴AD=BD= AB=6m，
2
∵∠BED=60°，
BD
∴tan60°= =❑√3，
DE
∴DE=2❑√3，
∴BE=❑√DE2+BD2=4❑√3=AE，∵∠CBD=60°，
∴CD=BD·tan∠CBD=❑√3BD=6❑√3m，BC=AC=AB=12m，
∴新钢架减少用钢=AC+BC+CD−AE−BE−DE
=24+6❑√3−8❑√3−2❑√3=(24−4❑√3)m，
故选：D．
【题型3 解非直角三角形】
【例3】（2024·江苏扬州·一模）如图，若∠B=30∘，∠C=45∘，∠BDC=150∘，且BD=CD=5，则AC
等于 ．
【答案】5❑√2
【分析】延长CD与AB交于点E,过点E作EM⊥BD交BD于点M，过点A作AN⊥CE交CE于点N，证明
1 5
∠B=∠BDE,得到BE=DE,根据等腰三角形的性质得到DM=BM= BD= ,得到
2 2
DM 5❑√3
DE= = ,进而求出CE的长度，设EN=x, AN=CN=EN⋅tan60∘=❑√3x,
cos∠EDM 3
AN
AC= =❑√6x, 根据CN+EN=CE,列出方程，求出x，即可求解.
sin45∘
【详解】延长CD与AB交于点E,过点E作EM⊥BD交BD于点M，过点A作AN⊥CE交CE于点N，
∠BDC=150∘,
∴∠BDE=180∘−150∘=30∘,∵ ∠B=30∘,
∴∠B=∠BDE,
BE=DE,
∵ EM⊥BD
1 5
∴DM=BM= BD= ,
2 2
5
DM DM 2 5❑√3
DE= = = = ,
cos∠EDM cos30∘ ❑√3 3
2
5❑√3
∴CE=DE+CD= +5,
3
∠CEA=∠B+∠BDE=60∘,
设EN=x, ∴AN=CN=EN⋅tan60∘=❑√3x,
AN
AC= =❑√6x,
sin45∘
∵CN+EN=CE,
5❑√3
∴x+❑√3x= +5,
3
5❑√3
解得：x= ,
3
5❑√3
∴AC=❑√6x=❑√6× =5❑√2.
3
故答案为5❑√2.
【点睛】考查等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解直角三角形，构造直角三角形是解题的关
键.
【变式3-1】（2024·陕西西安·三模）如图，在ΔABC中，∠ACB=60°，∠B=45°，AB=❑√6，CE平
分∠ACB交AB于点E，则线段CE的长为( )A．❑√3 +1 B．2 C．❑√2 D．❑√6-❑√2
【答案】B
【分析】作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，分别解直角三角形ABD求得BD，AD和CD，从而求得
BC，设EF=x，在直角三角形EFC中表示出CF，进而根据CF+BF=BC列出方程求得x，进而求得结果．
【详解】如图，
作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，
❑√2
在Rt△ABD中，BD=AD=AB⋅sin B=❑√6× =❑√3，
2
❑√3
在Rt△ADC中，∠DAC=90°−∠ACB=30°，CD=AD⋅tan30 °=❑√3× =1，
3
∴BC=❑√3+1，
在Rt△BEF中，设BF=EF=x，
在Rt△EFC中，∠FEC=90°−∠BCE=60°，
CF=EF⋅tan60 °=❑√3x，
由CF+BF=BC得，
❑√3x+x=❑√3+1，
∴x=1，
∴EC=2EF=2，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形．
【变式3-2】（2024·湖北武汉·中考真题）如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是
边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是 ．❑√3
【答案】
2
【详解】【分析】如图，延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根
1
据三角形中位线定理得到DE= AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即
2
可．
【详解】解：如图，延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，
∵DE平分△ABC的周长， AD=DB，
∴BE=CE+AC，
∴ME=EB，
又AD=DB，
1
∴DE= AM，DE∥AM，
2
∵∠ACB=60°，
∴∠ACM=120°，
∵CM=CA，
∴∠ACN=60°，AN=MN，
❑√3
∴AN=AC•sin∠ACN= ，
2
∴AM=❑√3，
❑√3
∴DE= ，
2
❑√3
故答案为 ．
2【点睛】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正
确添加辅助线是解题的关键．
1
【变式3-3】（2024·上海徐汇·三模）如图，在△ABC中，AB=AC=4，cosB= ，BD是中线，将
4
△ABC沿直线BD翻折后，点A落在点E，那么CE的长为 ．
【答案】❑√6
【分析】本题考查三角形的翻折综合计算，涉及三角函数，等腰三角形，平行四边形及勾股定理，能正确
进行线段的转换及作辅助线解非直角三角形是解题关键．本题先过点A作AM⊥BC于点M，计算得出
AD=CD=DE=BC，再证明四边形BCED是平行四边形，得CE=BD，再在△BCD中求解BD即可．
【详解】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，∵AB=AC=4，
∴BM=CM，
BM BM 1
∵cosB= = = ，
AB 4 4
∴BM=CM=1，
∴BC=2，
∵BD是中线，
1
∴CD=AD= AC=2，
2
由翻折知AD=DE=2，
∴AD=CD=DE=BC，
∴∠CBD=∠CDB，
设∠DCB=α，
180°−α
∴∠CDB= ，
2
180°−α α
∴∠ADB=180°− =90°+ ，
2 2
α
由翻折知∠EDB=∠ADB=90°+ ，
2
α 180°−α
∴∠EDC=∠EDB−∠CDB=90°+ − =α，
2 2
∴∠EDC=∠DCB，
∴DE∥BC，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴CE=BD，
∵DN⊥BC，
CN CN 1
∴cosC=cosB= = = ，
CD 2 4
1
∴CN= ，
2
∴BN=BC−CN=2−
1
=
3
，DN=❑√CD2−CN2=❑
√
22−
(1) 2
=
❑√15
，
2 2 2 2∴BD=❑√DN2+BN2=❑
√ (❑√15) 2
+
(3) 2
=❑√6，
2 2
∴CE=BD=❑√6，
故答案为：❑√6．
【题型4 网格问题】
【例4】（2024·江苏扬州·一模）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点
∠ADC
上，D是AB与网格线的交点，则sin 的值是 ．
2
❑√5
【答案】
5
【分析】根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，再根据直角三角斜边上的中线等于斜边的一半可
1
得CD=AD=DB，结合等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可得∠B= ∠ADC，由此可得
2
∠ADC
sin =sinB．
2
【详解】解：根据题意由勾股定理得：
AC=❑√22+12=❑√5,AB=❑√32+42=5,BC=❑√42+22=2❑√5,
∴AB2=AC2+BC2，
∴AC⊥BC，∠C=90°，
结合网格可知D分别为AB的中点，
∴CD=AD=DB，
∴∠B=∠DCB，
又∵∠B+∠DCB=∠ADC，
1
∴∠B= ∠ADC,
2∠ADC AC ❑√5
∴sin =sinB= = ，
2 AB 5
❑√5
故答案为： ．
5
【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．关键是得
1
出∠B= ∠ADC．
2
【变式4-1】（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是2×2的正方形网格，每个小正方形的顶点
称为格点，点A、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作格点图形，保
留作图痕迹．
(1)在图①中，以AC为中线作△ABD，使AB=AD；
(2)在图②中，以AC为中线作Rt△AEF，使∠AEF=90°；
1
(3)在图③中，以AC为中线作△AMN，使∠AMN为钝角且tan∠MAC= ．
2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查应用与设计作图，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）根据三角形中线的定义以及题意要求画出图形；
（2）根据直角三角形的判定三角形中线的定义画出图形；
（3）根据三角形中线的定义以及题意要求画出图形；
【详解】（1）解：使AB=AD，即让△ABD是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，过C点作AC的
垂线，使C为BD中点即可；（2）解：在A点正下方与C点对齐的地方找到E点，过点E、C画直线使C为BD中点即可得到点F；
1
（3）解：过点C画斜线使C为中点找到M、N，连接起来即可使tan∠MAC= ；
2
【变式4-2】（2019·江苏常州·二模）如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．
ABC的三个顶点都在格点上，那么∠ABC的正切值是 ．
△
1
【答案】
3
【分析】过点C作CD⊥AB于点D由勾股定理可知：BC2＝8，AB2＝20，由于AC＝2，设AD＝x，由勾股定理
可知：AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，解出x的值后，利用锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D，
由勾股定理可知：BC2＝8，AB2＝20，由于AC＝2，
设AD＝x，易得AB=2❑√5,
∴由勾股定理可知：AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，
∴4﹣x2＝8﹣（2❑√5﹣x）2，
4
解得：x＝ ❑√5，
5
6
∴BD＝ ❑√5
5
2
∴由勾股定理可知：CD＝ ❑√5，
5
CD 1
∴tan∠ABC＝ = ，
BD 3
1
故答案为：
3
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于中
等题型．
【变式4-3】（2024·吉林白城·一模）图①、图②、图③都是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称
为格点．△ABC的三个顶点都在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下
列要求完成画图，并保留作图痕迹．
1
(1)在图①中的△ABC的边AB，BC上分别找到点D，E，连接DE，使DE= AC．
2
(2)在图②中的△ABC的边AC上找到点F，连接BF，使tan∠FBC=1．(3)在图③中的△ABC的边AC上找到点G，连接BG，使BG=CG．
【答案】(1)图见解析；
(2)图见解析；
(3)图见解析；
【分析】本题主要考查了作图——应用与设计作图、勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的
判定和性质，矩形和正方形的性质等知识，掌握利用数形结合的思想是解答本题的关键．
（1）取F,G，H,I格点，连接FG交AB于点D，连接HI交BC于点E，连接DE，则D,E即为所求点；
（2）取格点D，连接BD交AC于点F，则点F为所求点；
（3）连接EF交BC于点P，则点P为BC中点，连接MN,HE相交于点O，连接PO交AC于点G，则G为
所求作点，BG=CG．
【详解】（1）如图，取F,G，H,I格点，连接FG交AB于点D，连接HI交BC于点E，连接DE，则
1
D,E即为所求点， DE= AC．
2
∵ 四边形AFBG为正方形，点D为对角线AB,FG交点，四边形HCIB为矩形，点E为对角线BC,HI交点，
∴ 点D为AB中点，点E为BC中点，
1
∴ DE= AC．
2
（2）取格点D，连接BD交AC于点F，则点F为所求点，∵ DC=❑√22+32=BC
，
∴ △DCB为等腰三角形，
∵ DC=BC,DM=CN，
∴ Rt△DMC≌Rt△CNB，
∴ ∠MDC=∠NCB，又∠MDC+∠DCM=90°，
∴ ∠NCB+∠DCM=90°，即∠DCB=90°，
∴ △DCB为等腰直角三角形，
∴ ∠DBC=45°，
∴ ∠FBC=45°，
∴ tan∠FBC=1．
（3）如图所示，连接EF交BC于点P，则点P为BC中点，连接MN,HE相交于点O，连接PO交AC于点
G，则G为所求作点，BG=CG．
∵ ECFB P EF,BC
四边形 为矩形， 为对角线 交点，
∴ 点P为BC中点，
∵ 四边形MENH为正方形，O为对角线MN,HE交点，连接BO,CO，
∴ BO=❑√(2.5) 2+(0.5) 2，CO=❑√(2.5) 2+(0.5) 2，
∴ BO=CO，即△OBC为等腰三角形，根据三线合一，
∴ OP为BC中垂线，∵ 点G为OP与AC交点，
∴ BG=CG．
【题型5 构造直角三角形求不规则图形的面积】
【例5】（23-24九年级·全国·课后作业）一块四边形空地如图所示，求此空地的面积（结果精确到0.01m2
）．
【答案】1082.53m2
【分析】把所给四边形构建成几个直角三角形，利用求和的方法来求面积即可．
【详解】解：如图，连接BD，作DE⊥AB于E，作BF⊥CD于F．
∵∠A＝∠C＝60°，
∴DE＝30•sin60°＝15❑√3≈25.9808m，
BF＝20•sin60°＝10❑√3≈17.3205m，
1 1
∴S =S +S = AB·DE+ CD·BF
四 边 形ABC△DABD △DBC 2 2
1 1
＝ ×50×25.9808＋ ×50×17.3205≈1082.53m2．
2 2
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，对于一个任意四边形，在求面积时，一般是构建直角三角形，
利用求和的方法来求面积，熟练掌握解直角三角形是解题关键．
【变式5-1】（23-24九年级·湖南益阳·期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB=7，
BC=9，CD=3，则四边形ABCD的面积为（ ）A．48 B．50 C．52 D．54
【答案】A
【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据S =S +S 进行计算即可求出结果．
ABCD △ADC △ABC
【详解】解：连接AC，如图所示
∵∠ABC=90° AB=7 BC=9
， ，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√72+92=❑√130
∵∠ADC=90°，CD=3
∴AD=❑√AC2−CD2=❑√130−32=❑√121=11
∴S =S +S
ABCD △ADC △ABC
1 1
= ×11×3+ ×7×9=48
2 2
∴四边形ABCD的面积为48
故选：A．
【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添
加辅助线，构造直角三角形解决问题．
【变式5-2】（2024·四川绵阳·三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC
＝BD＝2，则这个四边形的面积是（ ）❑√3 ❑√3
A． B． C．❑√3 D．2❑√3
4 2
【答案】C
❑√3 ❑√3
【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG= DO，BH= BO，再利用四边
2 2
形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出；
【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H，
∵∠AOD=60°，
∴∠AOD=∠BOC=60°，
❑√3
∴DG= DO，
2
❑√3
同理可得：BH= BO，
2
1 1
S ABCD= ×AC×DG+ ×AC×BH
四边形 2 2
1 ❑√3
= ×AC× ×（DO+BO）
2 2
=❑√3，
故选：C．
【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不
规则四边形面积的计算是解决本题的关键．
【变式5-3】（2024·浙江金华·一模）如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运
动，同时出发且速度相同，DE=GF0，该抛物线对称轴为x=− =− =1，
4 2a 3❑√3
2×
4
∴该抛物线开口向上，
∴当0≤x≤1时，y随x的增大而减小，当15，
5
即P在CD的延长线上，此时不存在P点；
②CE=CP=6>CD，此时不存在P点；
③EP=CE=6，
过E作EN⊥CD于N，
5 CN
cos∠ACD= = ，
13 CE
30
CN= ，
13
60
CP=2CN= 5，即P在AB的延长线上，此时不存在P点
13 AP 5
12 CM
cos∠ACB= = ，
13 CP
39 13
CP= = <12，即CP小于C到AB的最短距离，即此时不存在P点；
12 4
②CE=CP=6<12，
∵C到AB的最短距离是12，
∴此时不存在P点；
③CE=PE=6，AE=13−6=7
过E作EM⊥AB于M，
12 EM
sin∠BAC= = ，
13 AE
84
EM= >PE，
13
即E到AB的最短距离大于PE，
即此时不存在P点；
综合上述：共有(1+1+1)+1+(1+1+2)+0=8．
故选：D．
