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专题 13.6 含 30°的直角三角形的性质【十大题型】
【人教版】
【题型1 由含30°的直角三角形的性质求线段长度】...........................................................................................1
【题型2 由含30°的直角三角形的性质求角度】...................................................................................................2
【题型3 由含30°的直角三角形的性质求面积】...................................................................................................3
【题型4 由含30°的直角三角形的性质求最值】...................................................................................................4
【题型5 由含30°的直角三角形的性质求坐标】...................................................................................................5
【题型6 由含30°的直角三角形的性质进行证明】...............................................................................................6
【题型7 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题】.......................................................................................7
【题型8 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题】.......................................................................................9
【题型9 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题】.....................................................................................10
【题型10 含30°的直角三角形的性质的实际应用】.............................................................................................11
知识点：含30°的直角三角形的性质
在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半。
【题型1 由含30°的直角三角形的性质求线段长度】
【例1】（23-24八年级·山东济宁·期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且
AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．
(1)求证：BE=AD；
(2)若PQ=4，求BP的长．
【变式1-1】（23-24八年级·黑龙江牡丹江·期中）在等边三角形△ABC，若AB边上的高CD与边BC所夹
得角为30°，且BD=3，则△ABC的周长为（ ）A．18 B．9 C．6 D．4.5
【变式1-2】（23-24八年级·山东泰安·期末）如图所示，△ABC是等边三角形，D为AC的中点，
DE⊥AB，垂足为E．若AE=3，则△ABC的边长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【变式1-3】（2024八年级·江苏·专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，以AC为边在△ABC外
作等边△ACD，过点D作DE⊥BC．若AB=5.4，CE=3，则BE= ．
【题型2 由含30°的直角三角形的性质求角度】
【例2】（2024·吉林长春·八年级期末）如图所示，把两块完全相同的等腰直角三角板如图所示的方式摆
放，线段AC在直线MN上．若点F恰好是线段AB中点，则∠AFD的大小为 °．
【变式2-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=45°，点M为边BC上的动
点，当2AM+CM最小时，则∠CAM的度数为（ ）A．60° B．45° C．30° D．15°
【变式2-2】（2024八年级·江苏·专题练习）如图，△ABC中，AC=BC，且点D在△ABC外，D在AC的
垂直平分线上，连接BD，若∠DBC=30°，∠ACD=12°，则∠A= °．
1
【变式2-3】（2024·安徽·八年级期末）已知在等腰△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AD= BC，则
2
∠C的度数有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
【题型3 由含30°的直角三角形的性质求面积】
【例3】（2024·山东聊城·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，以点A为圆
1
心，以AB的长为半径画弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于 BD的长为半径画
2
弧，两弧交于点P，作射线AP交BD于点M，交BC于点E，连接DE，则S :S 的值是（ ）
△CDE △ABC
A．1:2 B．❑√3:3 C．2:5 D．1:3
【变式3-1】（23-24八年级·重庆·期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D是AB上一点，且
BD=CD=6,∠DBC=15°，则△BCD的面积为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．6
【变式3-2】（23-24八年级·辽宁辽阳·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，D是BC上一
点，连接AD，若AD平分∠BAC，设△ADB和△ADC的面积分别是S ，S ，则S :S =（ ）
1 2 1 2A．1:1 B．2:1 C．3:1 D．3:2
【变式3-3】（23-24八年级·湖南永州·期中）如图，在△ABC中，AB=6，将△ABC绕点B按逆时针方向
旋转30°后得到△A B C ，求阴影部分的面积．
1 1 1
【题型4 由含30°的直角三角形的性质求最值】
【例4】（23-24八年级·湖北荆门·期末）如图，CA⊥直线l于点A，CA=4，点B是直线l上一动点，以
CB为边向上作等边△MBC，连接MA，则MA的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4-1】（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知∠AOB=60°，OC平分∠AOB，点P在
OC上，PD⊥OA于点D，OP=6，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．5 D．3
【变式4-2】（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，边长为6的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线
上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，
线段HN长度的最小值是 ．【变式4-3】（23-24八年级·浙江金华·期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，∠BAC=30°
，AG是底边BC上的高，在AG的延长线上有一个动点D，连接CD，作∠CDE=150°，交AB的延长线
于点E，∠CDE的角平分线交AB边于点F，则在点D运动的过程中，线段EF的最小值( )
A．6 B．4 C．3 D．2
【题型5 由含30°的直角三角形的性质求坐标】
【例5】（23-24八年级·北京朝阳·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的斜边OB在x轴
上，∠ABO=30°，若点A的横坐标为1，则点B的坐标为 ．
【变式5-1】（23-24八年级·湖南长沙·期中）如图，等边△ABC的三个顶点都在坐标轴上，A(−3，0)，
过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，则点D的坐标为 ．【变式5-2】（2024·山东泰安·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点O的坐标为(0，0)，点M的
坐标为(3，0)，N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK，连接
NK，OK．求线段OK长度的最小值（ ）
3 3
A． B． ❑√3 C．2 D．2❑√3
2 2
【变式5-3】（23-24八年级·广东东莞·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是(0,1)，
以OA为边在右侧作等边三角形OA A ，过点A 作x轴的垂线，垂足为点O ，以O A 为边在右侧作等边三
1 1 1 1 1
角形O A A ，再过点A 作x轴的垂线，垂足为点O ，以O A 为边在右侧作等边三角形O A A ⋯，按
1 1 2 2 2 2 2 2 2 3
此规律继续作下去，得到等边三角形O A A ，则点A 的纵坐标为 ．
2021 2021 2022 2021
【题型6 由含30°的直角三角形的性质进行证明】
【例6】（23-24八年级·山东烟台·期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AD平分
∠BAC，交BC于点D．(1)用尺规作出线段AD的垂直平分线交AD于点M，交AB于点N．（保留作图痕迹，不写作法）；
1
(2)在（1）的条件下，求证：CD= AN．
2
【变式6-1】（23-24八年级·重庆江津·期中）如图，在等腰△ABC中，AC=BC，∠ACB=4∠B，点D
是AC边的中点，DE⊥AC，交AB于点E，连接CE．
(1)求∠BCE的度数；
(2)求证：AB=3CE．
【变式6-2】（2024八年级·江苏·专题练习）如图，在△ABC，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平
分线分别交AB和AC于点D，E．
(1)若AC=6cm，求CE的长度；
(2)连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
【变式6-3】（23-24八年级·安徽阜阳·开学考试）如图，已知在等边三角形ABC中，D，E分别是边BC，
AC上的点，且AE=DC，连接AD，BE相交于点P，过点B作BQ⊥AD，Q为垂足，求证：BP=2PQ
．【题型7 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题】
【例7】（23-24八年级·山东济宁·期末）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=4，∠C=30°
．沿过点A的直线将纸片折叠（折痕为AF），使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D
重合，折痕交AC于点E（折痕为EG），则FG的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【变式7-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，将
△BCE沿BE折叠，使点C落在AB边D点，若EC=6cm，则AC=（ ）cm．
A．12 B．16 C．18 D．14
【变式7-2】（2024·山东滨州·八年级期末）如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，
将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重合．若BE=3，则折痕AE的长为 ．
【变式7-3】（23-24八年级·广西南宁·阶段练习）如图，在 ▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=2，则BC为 ．
【题型8 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题】
【例8】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=5cm
，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB′C′的位置，点B的对应点为点B′，点C的对应点C′恰好落在边AB
上．设旋转角为α．
(1)α的度数为 °；
(2)求△ABB′的周长．
【变式8-1】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，若∠B=90°，
∠C=30°，AB=2，则AE的长为 ．
【变式8-2】（2024八年级·浙江·专题练习）如图，△AB′C′是△ABC绕点A旋转180°后得到的，已知
∠B=90°，AB=1，∠C=30°，则CC′的长为 ．【变式8-3】（2024·河北秦皇岛·八年级期末）如图，在等边△ABC中，AB=10，P为BC上一点（不与点
B，C重合），过点P作PM⊥BC于点P，交线段AB于点M，将PM绕点P顺时针旋转60°，交线段AC
于点N，连接MN，有三位同学提出以下结论：
嘉嘉：△PNC为直角三角形．
淇淇：当AM=2时，AN=7．
珍珍：在点P移动的过程中，MN不存在平行于BC的情况．
下列说法正确的是（ ）
A．只有嘉嘉正确 B．嘉嘉和淇淇正确
C．淇淇和珍珍正确 D．三人都正确
【题型9 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题】
【例9】（23-24八年级·湖南岳阳·期中）如图：△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、
B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达B时，P、Q两点停止运
动，当点P到达B时，P、Q两点停止运动．设点P运动的时间为t(s)．当t为 时，△PBQ是直
角三角形．
【变式9-1】（23-24八年级·山西晋中·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°,∠A=30°,AC=8cm，动
点P、Q同时从A、C两点出发，分别在AC、BC边上匀速移动，它们的速度分别为v =2cm/s,v =1cm/s，当点P到达点C时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．
P Q
(1)当t为何值时，△PCQ为等边三角形？
(2)当t为何值时，△PCQ为直角三角形？
【变式9-2】（2024八年级·全国·专题练习）已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同
时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、
Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts．
(1)当动点P、Q同时运动2s时，则BP= cm，BQ= cm．
(2)当动点P、Q同时运动ts时，分别用含有t的式子表示；BP= cm，BQ= cm．
(3)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
【变式9-3】（23-24八年级·辽宁朝阳·期末）如图，在△ABC中，∠A=60°，AB=4cm，AC=12cm．
动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CA边以3cm/s的速度运动．点P和
点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为ts(0
