文档文本内容
专题 2.10 含 30°角的直角三角形的性质（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)30°(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:19)..............................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)30°(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:34)(cid:19)..............................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)30°(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:35)(cid:36)(cid:19)..................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:24)30°(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:20)(cid:19)..................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:24)30°(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:37)(cid:38)(cid:42)(cid:43)(cid:41)(cid:20)(cid:19)..................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:22)(cid:23)(cid:24)30°(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:37)(cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:41)(cid:20)(cid:19)..................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:24)30°(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:25)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:23)(cid:19)..........................................................................................................8
知识点 含30°角的直角三角形的性质
+
A
1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边科等 A 于斜边的一半．
全
★
号
众
2. 拓展：（1）该性质是含30°角的特殊直角三注角形公的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性
关
，
源
资
质，更不能应用． 辅
教
（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．
（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．
（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转
化后，再利用这个性质解决问题．
【题型1 利用含30°的直角三角形的性质求长度】
(cid:15)(cid:49)1(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29) (cid:25)(cid:66)(cid:33)(cid:67)9(cid:64) (cid:67) (cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:39)(cid:40)(cid:64) (cid:67)
(cid:70)(cid:33)(cid:71)(cid:68)(cid:69)(cid:39)(cid:40)(cid:64) (cid:72) (cid:73)(cid:40) (cid:64)(cid:40) (cid:67) (cid:60)(cid:40)(cid:74)(cid:75) (cid:64)𝐴𝐵(cid:76)𝐶 (cid:33)(cid:67)(cid:50) (cid:61)𝐷 𝐴𝐶 𝐸 𝐴𝐵
𝐷𝐸 𝐶𝐵 𝑃 𝑃 𝐷𝐸 𝐷𝐸⊥𝐴𝐶 𝐶𝐷
A(cid:74)2 B(cid:74)3 C(cid:74)4 D(cid:74)5
(cid:15)(cid:77)(cid:78)1-1(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)·(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:60)(cid:64) =90°(cid:64) (cid:83) (cid:25)(cid:27)(cid:84)(cid:85)(cid:71)(cid:64)(cid:40)
△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐵𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐷(cid:86) (cid:25)(cid:87)(cid:26)(cid:84)(cid:85)(cid:71)(cid:68)(cid:64)(cid:75) =6(cid:64)(cid:76) = (cid:74)
𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:77)(cid:78)1-2(cid:19)(cid:50)22-23(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:68)·(cid:79)(cid:88)(cid:89)(cid:90)·(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:86) (cid:60)(cid:64) = (cid:64) =30°(cid:64) (cid:72) (cid:73)
(cid:40) (cid:64) =2(cid:64)(cid:76) (cid:25)(cid:33)(cid:83)(cid:50)(cid:91)(cid:91)(cid:61) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 ∠𝐵 𝐴𝐷⊥𝐴𝐵 𝐵𝐶
𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐶
A(cid:74)12 B(cid:74)10 C(cid:74)8 D(cid:74)6
(cid:15)(cid:77)(cid:78)1-3(cid:19)(cid:50)23-24(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:68)·(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:95)·(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:96)(cid:97)(cid:65)(cid:66) (cid:60) (cid:64) =12(cid:64)(cid:75)(cid:40)H(cid:86)(cid:71)(cid:98)
1 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐷
(cid:68)(cid:99)(cid:39)(cid:64) + (cid:100)(cid:42)(cid:101)(cid:43)(cid:102)(cid:64) (cid:25)(cid:43)(cid:67) (cid:74) +
2 A A
科
全
𝐴𝐻 𝐶𝐻 𝐷𝐻 号 ★
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
【题型2 利用含30°的直角三角形的性质求角度】
(cid:15)(cid:49)2(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:68)·(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)·(cid:59)(cid:107)(cid:61)(cid:86)Rt (cid:60)(cid:64) =90°(cid:64) =30°(cid:64) (cid:83)(cid:26)(cid:71) (cid:68)(cid:25)(cid:69)(cid:40)(cid:64)
(cid:108)(cid:109)(cid:110) = 1 (cid:64)(cid:76) (cid:25)(cid:34)(cid:111)(cid:67) (cid:74) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 ∠𝐴 𝐷 𝐴𝐵
2
𝐵𝐷 𝐴𝐵 ∠𝐶𝐷𝐵
1
(cid:15)(cid:77)(cid:78)2-1(cid:19)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:86)(cid:112)(cid:29) (cid:60)(cid:64) = (cid:64)(cid:113)(cid:112)(cid:29) (cid:114)(cid:115)(cid:40) (cid:116)(cid:102)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:69)(cid:120)(cid:27)(cid:34)(cid:121)(cid:122)(cid:112)(cid:29) (cid:64)
2
𝐴𝐷
′ ′ ′
(cid:75)(cid:40) (cid:123)(cid:86)(cid:66) (cid:68)(cid:64)(cid:76) 𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴 ° 𝐵(cid:74) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴 𝐴𝐵 𝐶 𝐷
′ ′
𝐵 𝐶𝐷 ∠𝐷𝐴𝐷
(cid:15)(cid:77)(cid:78)2-2(cid:19)(cid:50)22-23(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:16)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:127)(cid:11)(cid:128)(cid:129)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:86) (cid:60)(cid:64)(cid:60)(cid:71) (cid:130)(cid:131)(cid:71) (cid:28)(cid:65)(cid:85) (cid:64)
△𝐴𝐵𝐶 𝐶𝑀 𝐶𝐷 ∠𝐴𝐶𝐵(cid:76) (cid:25)(cid:34)(cid:111)(cid:67) (cid:74)
∠𝐵
(cid:15)(cid:77)(cid:78)2-3(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:68)·(cid:132)(cid:133)(cid:124)·(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:96)(cid:97)(cid:65)(cid:134)(cid:28)(cid:27)(cid:29) (cid:60)(cid:64) (cid:73)(cid:40)D(cid:64)(cid:108) = 1 (cid:64)(cid:76)(cid:65)
2
𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶
(cid:134)(cid:28)(cid:27)(cid:29) (cid:25)(cid:135)(cid:27)(cid:25)(cid:34)(cid:111)(cid:67) (cid:74)
【题型3 𝐴 𝐵 利 𝐶 用含30°的直角三角形的性质证明】
(cid:15)(cid:49)3(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:124)(cid:88)(cid:68)(cid:136)·(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:113) (cid:114)(cid:40) (cid:116)(cid:102)(cid:117)(cid:118)(cid:119)60°(cid:121)(cid:122) (cid:64) (cid:25)(cid:70)(cid:33)(cid:71)
(cid:130) (cid:137)(cid:72)(cid:73)(cid:40) (cid:64)(cid:138)(cid:139) (cid:140) (cid:64)(cid:108) = (cid:74) △𝐴𝐵𝐶 𝐵 △𝐷𝐵𝐸 𝐷𝐸
𝐴𝐶 𝐹 𝐴𝐷 𝐵𝐹 𝐵𝐹 𝐴𝐹
+
A
A
科
全
★
号
众
(1)(cid:32)(cid:35)(cid:10) (cid:141) 公
注
关
，
源
(2)(cid:32)(cid:35)(cid:10)𝐴𝐷∥=𝐵𝐶 (cid:74) 辅 资
教
(cid:15)(cid:77)(cid:78)3-1𝐴(cid:19)𝐷(cid:50)224𝐴-2𝐸5(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:79)(cid:80)(cid:55)(cid:142)·(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:86) (cid:60)(cid:64) = =30°(cid:64) (cid:83) (cid:25)(cid:60)(cid:40)(cid:64)
(cid:72) (cid:73)(cid:40) (cid:74)(cid:32)(cid:35)(cid:10) = (cid:74) △𝐴𝐵𝐶 𝐶𝐴 𝐶𝐵,∠𝐴 𝐷 𝐴𝐶 𝐷𝐸⊥𝐴𝐶
𝐴𝐵 𝐸 𝐵𝐸 2𝐴𝐸
(cid:15)(cid:77)(cid:78)3-2(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:79)(cid:80)(cid:143)(cid:58)·(cid:144)(cid:98)(cid:145)(cid:146)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:86)(cid:65)(cid:66) (cid:60)(cid:64)(cid:40) (cid:140) (cid:86)(cid:66) (cid:140) (cid:68)(cid:64)(cid:108)
= (cid:64)(cid:138)(cid:139) (cid:140) (cid:72)(cid:73)(cid:40) (cid:74) △𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐸 𝐵𝐶 𝐴𝐶
𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝐴𝐷 𝐵𝐸 𝐹
(1)(cid:32)(cid:35)(cid:10) (cid:141)
△𝐴𝐵𝐷≌△𝐵𝐶𝐸(2)(cid:147)(cid:40)A(cid:148) (cid:64)(cid:32)(cid:71)(cid:98) (cid:130) (cid:25)(cid:111)(cid:149)(cid:3)(cid:150)(cid:74)
(cid:15)(cid:77)(cid:78)3-3(cid:19)𝐴(cid:50)𝐺2⊥4-𝐵2𝐸5(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:68)𝐴·(cid:55)𝐹 (cid:56)𝐺(cid:151)𝐹(cid:152)·(cid:144)(cid:98)(cid:145)(cid:146)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:86) (cid:60)(cid:64)D(cid:83) (cid:66)(cid:25)(cid:60)(cid:40)(cid:64)(cid:40)E(cid:86) (cid:25)(cid:70)
(cid:33)(cid:71)(cid:68)(cid:64) (cid:25)(cid:70)(cid:33)(cid:71)(cid:72) (cid:73)(cid:40)F(cid:64)(cid:108) (cid:64)(cid:75) (cid:130) (cid:153)△(cid:154)𝐴𝐵(cid:64)𝐶 =30°𝐴(cid:74)𝐶 𝐵𝐶
𝐸𝐷 𝐴𝐵 𝐸𝐹⊥𝐴𝐵 ∠𝐴 ∠𝐴𝐶𝐸 ∠𝐸
(1)(cid:32)(cid:35)(cid:10) (cid:83)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:74)
(2)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:71)△(cid:98)𝐴𝐵𝐶(cid:130) (cid:25)(cid:158)(cid:101)(cid:3)(cid:150)(cid:64)(cid:159)(cid:160)(cid:36)(cid:161)(cid:162)(cid:74)
【题型4 利用 𝐴 含 𝐷 3𝐶0°𝐸 的直角三角形的性质解决动点问题】
(cid:15)(cid:49)4(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:68)·(cid:163)(cid:88)(cid:158)(cid:164)·(cid:59)(cid:107)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:86) (cid:60)(cid:64) =6cm(cid:64) =5cm(cid:64) =60°(cid:64)(cid:39)(cid:40)
(cid:140) (cid:85)(cid:165)(cid:166)(cid:40) (cid:140) (cid:164)(cid:102)(cid:167)(cid:168)(cid:64)(cid:169)(cid:60)(cid:40) (cid:170)2cm/s(cid:25)(cid:171)△(cid:34)𝐴(cid:172)𝐵𝐶 (cid:173)(cid:40)𝐴𝐵(cid:174)(cid:171)(cid:99)(cid:39)(cid:64)𝐵𝐶(cid:40) (cid:170)1 ∠/s𝐵(cid:25)(cid:171)(cid:34)(cid:172) (cid:173)
(cid:40)𝑀 (cid:174)𝑁(cid:171)(cid:99)(cid:39)(cid:64)𝐵(cid:175) 𝐶(cid:140) (cid:169)(cid:60)(cid:69)(cid:40)(cid:122)(cid:176)(cid:177)𝑀(cid:40)(cid:102)(cid:64)(cid:178)(cid:69)(cid:40)(cid:179)(cid:180)(cid:181)𝐵𝐴(cid:182)(cid:183)(cid:99)𝐴(cid:39)(cid:64)(cid:184)(cid:99)(cid:39)(cid:102)(cid:185)𝑁(cid:67) s c(cid:64)m(cid:175) (cid:67)𝐶(cid:26)𝐵 (cid:27)
+
A
A
科
(cid:28)(cid:27)𝐵 (cid:29)(cid:102)(cid:64) (cid:25)(cid:43)(cid:67)𝑀(cid:50) 𝑁 (cid:61) ★ 全 𝑡 △𝐵𝑀𝑁
号
众
公
注
𝑡 关
，
源
资
辅
教
5 5
A(cid:74)1 B(cid:74)1(cid:186) C(cid:74)1(cid:186)2 D(cid:74)2(cid:186)
2 2
(cid:15)(cid:77)(cid:78)4-1(cid:19)(cid:50)22-23(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:68)·(cid:187)(cid:92)(cid:188)(cid:189)·(cid:59)(cid:107)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:83)(cid:66)(cid:33)(cid:67)6(cid:25)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:64)P(cid:83) (cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:39)
(cid:40)(cid:64)(cid:162)A(cid:173)C(cid:99)(cid:39)(cid:50)(cid:130)A(cid:140)C(cid:190)(cid:191)(cid:105)(cid:61)(cid:64)Q(cid:83) (cid:70)(cid:33)(cid:71)△(cid:68)𝐴(cid:69)𝐵(cid:39)𝐶 (cid:40)(cid:64)(cid:130)(cid:40)P(cid:164)(cid:102)(cid:170)(cid:137)(cid:164)(cid:25)(cid:171)(cid:34)(cid:162)𝐴𝐶B(cid:173) (cid:70)(cid:33)
(cid:71)(cid:192)(cid:173)(cid:99)(cid:39)(cid:50)Q(cid:190)(cid:130)B(cid:191)(cid:105)(cid:61)(cid:64)(cid:138)(cid:139) (cid:72) (cid:73)𝐶𝐵D(cid:74)(cid:175) =30°(cid:102)(cid:64) (cid:25)(cid:33)(cid:67) (cid:74) 𝐶𝐵
𝑃𝑄 𝐴𝐵 ∠𝐵𝑄𝐷 𝐴𝑃
(cid:15)(cid:77)(cid:78)4-2(cid:19)(cid:50)2023(cid:193)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:194)(cid:195)·(cid:196)(cid:20)(cid:145)(cid:146)(cid:61)(cid:62)(cid:63) =60°(cid:64)(cid:75) (cid:25)(cid:197)(cid:40) (cid:86)(cid:198)(cid:71) (cid:68)(cid:64)(cid:108)
=2(cid:64)(cid:39)(cid:40) (cid:166)(cid:40) (cid:167)(cid:168)(cid:64)(cid:170)(cid:199)(cid:200)1(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:172)(cid:198)(cid:71)∠𝑀(cid:99)𝐴𝑁(cid:39)(cid:64)(cid:175)(cid:99)(cid:39)(cid:102)△(cid:185)𝐴𝐵(cid:25)𝐶(cid:100)(cid:43)(cid:204)(cid:205)𝐵(cid:83) 𝐴 𝑀(cid:200)(cid:102)(cid:64)
𝐴𝐵 𝐶 𝐴 𝐴𝑁 𝑡 △𝐴𝐵𝐶(cid:83)(cid:206)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:74)
(cid:15)(cid:77)(cid:78)4-3(cid:19) (cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:124)(cid:88)(cid:193)(cid:124)·(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:83)(cid:66)(cid:33)(cid:67)6cm(cid:25)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:64)(cid:40) (cid:64) (cid:85)(cid:165)(cid:166)
(cid:197)(cid:40) (cid:64) (cid:164)(cid:102)(cid:167)(cid:168)(cid:64)(cid:40) (cid:172)(cid:198)(cid:71) (cid:99)(cid:39)(cid:64)(cid:40) (cid:172)(cid:45)(cid:71) △𝐴(cid:99)𝐵𝐶(cid:39)(cid:64)(cid:108)(cid:207)(cid:208)(cid:25)(cid:171)(cid:34)(cid:209)(cid:67)1cm/s(cid:74)(cid:175)𝑃(cid:40)𝑄(cid:122)(cid:176)(cid:40)
(cid:102)(cid:64)𝐴(cid:40)𝐵(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:99)(cid:39)(cid:74)𝑃(cid:138)(cid:139) 𝐴(cid:64)𝐵(cid:184)(cid:40) (cid:25)(cid:99)𝑄(cid:39)(cid:102)(cid:185)𝐵(cid:67)𝐶−(s𝐶)𝐴(cid:74)(cid:175) (cid:130) (cid:25)(cid:69)(cid:210)(cid:66)(cid:87)(cid:26)(cid:102)(cid:64) = 𝑄 s(cid:74)
𝐴 𝑃 𝑃𝑄 𝑃 𝑡 𝑃𝑄 △𝐴𝐵𝐶 𝑡
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
【题型5 利用含30°的直角三角形的性质解决最值问题】
(cid:15)(cid:49)5(cid:19)(cid:50)24-25(cid:193)(cid:52)(cid:53)(cid:68)·(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)·(cid:144)(cid:98)(cid:145)(cid:146)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:86)Rt (cid:60)(cid:64) =90°(cid:64) =30°(cid:64) =16(cid:64)
(cid:40)D(cid:83)BC(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:201)(cid:39)(cid:40)(cid:64)(cid:138)(cid:139) (cid:64)(cid:113) (cid:114)(cid:115)(cid:40)A(cid:116)(cid:102)△(cid:117)𝐴(cid:118)𝐵𝐶(cid:119)60°∠(cid:121)𝐴(cid:122)𝐶𝐵 (cid:64)(cid:138)∠𝐵(cid:139) (cid:64)(cid:76)(cid:86)𝐴𝐵(cid:40)D(cid:99)
(cid:39)(cid:147)(cid:211)(cid:60)(cid:64)(cid:71)(cid:98) (cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:42)(cid:101)(cid:43)𝐴(cid:67)𝐷(cid:50) (cid:61)△𝐴𝐵𝐷 △𝐴𝐸𝐹 𝐶𝐹
𝐶𝐹
A(cid:74)8 B(cid:74)4 C(cid:74)2 D(cid:74)1
(cid:15)(cid:77)(cid:78)5-1(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:68)·(cid:212)(cid:213)(cid:214)(cid:189)·(cid:59)(cid:107)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)Rt (cid:60)(cid:64) =90°(cid:64) =30°(cid:64) =2(cid:64)D
(cid:67) (cid:68)(cid:69)(cid:39)(cid:40)(cid:64) (cid:87)(cid:26)(cid:84)(cid:85) (cid:85)(cid:165)(cid:72) (cid:73)E(cid:140)(cid:72) (cid:73)F△(cid:64)(cid:76)𝐴𝐵𝐶 (cid:25)(cid:42)∠(cid:158)𝐴𝐶(cid:43)𝐵(cid:67)(cid:50) (cid:61)∠𝐵 𝐴𝐶
𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐹4 3 8
A(cid:74) B(cid:74) C(cid:74) D(cid:74)2
3 2 3
(cid:15)(cid:77)(cid:78)5-2(cid:19)(cid:50)24-25(cid:193)(cid:52)(cid:53)(cid:68)·(cid:79)(cid:80)(cid:79)(cid:58)·(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:66)(cid:33)(cid:67)4(cid:25)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29) (cid:60)(cid:64)M(cid:83)(cid:131) (cid:215)(cid:86)(cid:26)(cid:71)
(cid:68)(cid:25)(cid:69)(cid:201)(cid:39)(cid:40)(cid:64)(cid:138)(cid:139) (cid:74)(cid:113)(cid:71)(cid:98) (cid:114)(cid:40)B(cid:116)(cid:102)(cid:117)(cid:118)(cid:119)60°(cid:121)(cid:122) (cid:64)(cid:138)(cid:139) (cid:64)𝐴(cid:76)𝐵𝐶(cid:86)(cid:40)M(cid:99)(cid:39)(cid:147)𝐶𝐻(cid:211)(cid:60)(cid:64)(cid:71)(cid:98)
(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:42)(cid:101)(cid:43)(cid:83)(cid:50)𝑀 𝐵 (cid:61) 𝐵𝑀 𝐵𝑁 𝐻𝑁
𝐻𝑁
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
1 1 关
A(cid:74) B(cid:74) ， C(cid:74)1 D(cid:74)2
6 2 资 源
辅
教
(cid:15)(cid:77)(cid:78)5-3(cid:19)(cid:50)22-23(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:68)·(cid:187)(cid:92)(cid:188)(cid:189)·(cid:202)(cid:216)(cid:217)(cid:129)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:83)(cid:65)(cid:66) (cid:25)(cid:60)(cid:71)(cid:64) =8(cid:64) (cid:83)(cid:26)(cid:71)
(cid:68)(cid:69)(cid:39)(cid:40)(cid:64)(cid:170) (cid:67)(cid:66)(cid:148)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:27)(cid:29) (cid:64)(cid:138)(cid:139) (cid:64)(cid:54)(cid:218)(cid:160)(cid:219)𝑂(cid:220)𝐸 (cid:221)(cid:25)(cid:83)△(cid:50)𝐴 𝑂 (cid:61)𝐵 𝑂𝐵 𝐶 𝑂𝐸
𝐴𝐶 𝐴𝐶𝐷 𝐸𝐷
A(cid:74) (cid:25)(cid:42)(cid:101)(cid:43)(cid:83)2 B(cid:74) (cid:222)(cid:42)(cid:158)(cid:43)
C(cid:74)𝐸𝐷(cid:25)(cid:42)(cid:101)(cid:43)(cid:83)4 D(cid:74)𝐸𝐷(cid:223)(cid:222)(cid:42)(cid:101)(cid:43)(cid:179)(cid:223)(cid:222)(cid:42)(cid:158)(cid:43)
【题型 𝐸6𝐷 利用含30°的直角三角形的性质解决翻折 𝐸𝐷 问题】
(cid:15)(cid:49)6(cid:19)(cid:50)23-24(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:68)·(cid:224)(cid:225)(cid:79)(cid:216)·(cid:59)(cid:107)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:86) (cid:60)(cid:64) =5(cid:64) =9(cid:64) =60°(cid:64)(cid:40) (cid:86)(cid:66) (cid:68)(cid:64)
=4(cid:64)(cid:138)(cid:139) (cid:74)(cid:113) (cid:172)(cid:26)(cid:71) (cid:44)(cid:45)(cid:226)(cid:64)(cid:40) (cid:25)△(cid:227)𝐴(cid:48)𝐵𝐶(cid:40)(cid:67)(cid:40)𝐴𝐵(cid:64)(cid:148) 𝐵𝐶 (cid:64)(cid:87)∠𝐵(cid:110)(cid:67) (cid:64)(cid:76)𝐷 = 𝐵 𝐶 (cid:74)
𝐶𝐷 𝐴𝐷 △𝐴𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐶 𝐸 𝐸𝐹⊥𝐵𝐶 𝐹 𝐹𝐷(cid:15)(cid:77)(cid:78)6-1(cid:19)(cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:60)(cid:64) =90 (cid:64)(cid:175) (cid:172)(cid:45)(cid:228) (cid:44)(cid:45)(cid:102)(cid:64)(cid:40) (cid:229)(cid:230)(cid:123)(cid:86) (cid:25)(cid:60)(cid:40) (cid:68).(cid:75)
∘
=6(cid:64)(cid:76) (cid:25)(cid:33)(cid:83)𝑅𝑡(cid:50)𝛥𝐴 𝐵 (cid:61)𝐶 ∠𝐶 𝛥𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐸 𝐶 𝐴𝐵 𝐷
𝐵𝐸 𝐴𝐶
A(cid:74)6 B(cid:74)8 C(cid:74)9 D(cid:74)10
(cid:15)(cid:77)(cid:78)6-2(cid:19)(cid:50)22-23(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:68)·(cid:187)(cid:92)(cid:231)(cid:232)·(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:113)(cid:69)(cid:233)(cid:33)(cid:192)(cid:29)(cid:234)(cid:235) (cid:172) (cid:44)(cid:45)(cid:226)(cid:64)(cid:40)C(cid:130)E(cid:191)
+
A
A
科
(cid:105)(cid:64) (cid:72) (cid:73)(cid:40)H(cid:64)(cid:75) =30°(cid:64) =2(cid:64)(cid:76) (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:67) ★ 全(cid:74) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐷
号
众
公
注
𝐵𝐸 𝐴𝐷 ∠𝐶𝐵𝐷 𝐸𝐻关 𝐵𝐶
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:77)(cid:78)6-3(cid:19)(cid:50)2023·(cid:55)(cid:56)(cid:151)(cid:152)·(cid:28)(cid:236)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:86) (cid:60)(cid:64) =60°(cid:64) =9(cid:64)(cid:40)D(cid:67) (cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:39)(cid:40)(cid:64)
(cid:40)E(cid:86) (cid:66)(cid:68)(cid:64) (cid:64)(cid:113) (cid:172) (cid:44)(cid:45)(cid:64)(cid:40)△𝐴A𝐵(cid:25)𝐶(cid:227)(cid:48)(cid:40)∠𝐴(cid:67)𝐵𝐶F(cid:64)(cid:138)(cid:139) 𝐴(cid:74)𝐵(cid:175) (cid:67)(cid:26)𝐴(cid:27)𝐵(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:102)(cid:64)
(cid:25)(cid:33)(cid:67) 𝐴 𝐶 (cid:74)𝐷𝐸∥𝐵𝐶 △𝐴𝐷𝐸 𝐷𝐸 𝐵𝐹 △𝐵𝐷𝐹 𝐴𝐷【题型7 含30°的直角三角形的实际应用】
(cid:15)(cid:49)7(cid:19)(cid:50)23-24(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:68)·(cid:191)(cid:237)(cid:238)(cid:152)·(cid:59)(cid:107)(cid:61)(cid:101)(cid:239)(cid:240)(cid:217)(cid:149)(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:244)(cid:25)(cid:245)(cid:34)(cid:64)(cid:246)(cid:247)(cid:105)(cid:215)(cid:11)(cid:25)(cid:111)(cid:11)(cid:97)(cid:248)(cid:64)(cid:184)(cid:249)(cid:250)
(cid:62)(cid:63)1(cid:25)(cid:217)(cid:149)(cid:192)(cid:251)(cid:10)(cid:252)(cid:86)(cid:243)(cid:244)(cid:253)(cid:25)(cid:254)(cid:255)(cid:68)(cid:256)(cid:100)(cid:69)(cid:40)O(cid:64)(cid:138)(cid:139) (cid:64) (cid:64)(cid:159)(cid:85)(cid:165)(cid:70)(cid:33)(cid:257)(cid:40)B(cid:64)(cid:40)D(cid:64)(cid:258)
= (cid:64) = (cid:64)(cid:138)(cid:139) (cid:74) 𝐴𝑂 𝐶𝑂
𝑂𝐵 𝑂𝐴 𝑂𝐷 𝑂𝐶 𝐵𝐷
(1)(cid:62)(cid:63)1(cid:64)(cid:32)(cid:35)(cid:10) = (cid:141)
(2)(cid:62)(cid:63)2(cid:64)(cid:259)(cid:86)(cid:46)𝐴(cid:47)𝐶(cid:217)(cid:149)𝐵(cid:60)𝐷(cid:64)(cid:260)(cid:255)(cid:29)(cid:210)(cid:261)(cid:25)(cid:262)(cid:263)(cid:64)(cid:73)(cid:83)(cid:101)(cid:239)(cid:264)(cid:100)(cid:170)(cid:54)(cid:265)(cid:266)(cid:10)(cid:70)(cid:33) (cid:257)(cid:40)D(cid:64)(cid:258) = (cid:64)
(cid:147)(cid:40)D(cid:148) (cid:25)(cid:84)(cid:267)(cid:71) (cid:64)(cid:70)(cid:33) (cid:257)(cid:40)F(cid:64)(cid:138)(cid:139) (cid:64)(cid:217)(cid:121) =120°(cid:64) =𝐶𝑂90°(cid:64) =5𝑂m𝐶(cid:64) 𝑂𝐷=9
m(cid:64)(cid:155)(cid:32)(cid:167)𝐴(cid:243)𝐶 (cid:244)(cid:245)(cid:34) 𝐷(cid:74)𝐸 𝐴𝑂 𝐸𝐹 ∠𝐷𝐸𝐹 ∠𝑂𝐹𝐸A + 𝐷𝐸 𝐸𝐹
A
科
全
★
(cid:15)(cid:77)(cid:78)7-1(cid:19)(cid:50)24-25𝐴(cid:51)𝐶(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:132)(cid:133)(cid:124)(cid:268)(cid:269)·(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:270)(cid:271)(cid:86)
众
(cid:69)号(cid:233)(cid:62)(cid:63)(cid:215)(cid:272)(cid:25)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:254)(cid:255)ABC(cid:68)(cid:273)(cid:274)(cid:275)(cid:276)(cid:277)(cid:269)
公
注
关
(cid:278)(cid:279)(cid:64)(cid:96)(cid:97) =150°(cid:64)(cid:280)(cid:273)(cid:275)(cid:276)(cid:199)源(cid:84)，(cid:192)(cid:281)(cid:282)(cid:283)a(cid:216)(cid:64)(cid:76)(cid:284)(cid:285)(cid:280)(cid:273)(cid:275)(cid:276)(cid:286)(cid:287) (cid:216)(cid:74)
资
辅
教
∠𝐴
(cid:15)(cid:77)(cid:78)7-2(cid:19)(cid:50)24-25(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)·(cid:55)(cid:56)(cid:288)(cid:289)(cid:290)·(cid:144)(cid:98)(cid:145)(cid:146)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:83)(cid:241)(cid:291)(cid:184)(cid:249)(cid:63)(cid:25)(cid:69)(cid:292)(cid:85)(cid:64)(cid:40) (cid:83)(cid:293)(cid:294) (cid:25)(cid:60)(cid:40)(cid:64)
(cid:295)(cid:296) (cid:85)(cid:165)(cid:87)(cid:26)(cid:73)(cid:297)(cid:294) (cid:64)(cid:75) =8 =30 (cid:64)(cid:76)(cid:295)(cid:296) (cid:25)(cid:33)(cid:67) m(cid:74) 𝐷 𝐴𝐵
∘
𝐵𝐶,𝐷𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐵 m,∠𝐷𝐶𝐴 𝐷𝐸
(cid:15)(cid:77)(cid:78)7-3(cid:19)(cid:50)22-23(cid:298)(cid:52)(cid:53)(cid:68)·(cid:92)(cid:93)(cid:299)(cid:300)·(cid:59)(cid:107)(cid:61)(cid:299)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:83)(cid:303)(cid:209)(cid:25)“(cid:304)(cid:305)(cid:181)(cid:301)”(cid:64)(cid:148)(cid:67)(cid:92)(cid:93)(cid:191)(cid:287)(cid:25)(cid:301)(cid:142)(cid:255)(cid:64)(cid:306)
(cid:307)(cid:301)(cid:31)(cid:308)(cid:67)(cid:191)(cid:60)(cid:181)(cid:191)(cid:74)(cid:62)(cid:63)(cid:215)(cid:272)(cid:64)(cid:40)A(cid:309)(cid:40) (cid:85)(cid:165)(cid:310)(cid:272)(cid:311)(cid:201)(cid:301)(cid:31)(cid:312)(cid:217)(cid:313)(cid:64)(cid:312)(cid:217)(cid:314)(cid:315)(cid:68)(cid:316)6(cid:102)(cid:86)A(cid:317)(cid:318)(cid:308)(cid:264)(cid:319)
(cid:226)(cid:64)(cid:217)(cid:121)(cid:46)(cid:320)(cid:321) (cid:86)A(cid:40)(cid:92)(cid:322)(cid:80)60°(cid:192)(cid:173)(cid:74)(cid:180)𝐵(cid:226)(cid:312)(cid:217)(cid:314)(cid:315)(cid:323)(cid:324)(cid:312)(cid:217)(cid:325)(cid:326)(cid:327)(cid:173)(cid:80)(cid:267)(cid:328)(cid:64)(cid:68)(cid:316)9(cid:102)(cid:122)(cid:176) (cid:317)(cid:64)(cid:164)(cid:102)
(cid:217)(cid:121)(cid:46)(cid:320)(cid:321) (cid:86) 𝑃(cid:40)(cid:92)(cid:322)(cid:88)30°(cid:192)(cid:173)(cid:64)(cid:169)(cid:60)(cid:312)(cid:217)(cid:325)(cid:25)(cid:267)(cid:328)(cid:171)(cid:34)(cid:67)20km/h(cid:74) 𝐵
𝑃 𝐵(1)(cid:86)(cid:63)(cid:60)(cid:329)(cid:167)(cid:46)(cid:320)(cid:321) (cid:25)(cid:203)(cid:330)(cid:141)
(2)(cid:96)(cid:97)A(cid:140) (cid:311)(cid:201)(cid:301)(cid:31)𝑃(cid:312)(cid:217)(cid:313)(cid:25)(cid:63)(cid:68)(cid:331)(cid:332)(cid:67)3cm(cid:74)
(cid:155)(cid:333)(cid:22)(cid:23)𝐵(cid:334)(cid:34)(cid:335)(cid:64)(cid:34)(cid:149)(cid:312)(cid:217)(cid:325)(cid:86) (cid:317)(cid:102)(cid:122)(cid:46)(cid:320)(cid:321) (cid:25)(cid:63)(cid:68)(cid:331)(cid:332)(cid:141)
①(cid:336)(cid:249)(cid:312)(cid:217)(cid:325)(cid:86) (cid:317)(cid:102)(cid:122)(cid:46)(cid:320)(cid:321) (cid:25)𝐵(cid:46)(cid:47)(cid:331)(cid:332)(cid:64)(cid:159)(cid:160)𝑃(cid:36)(cid:161)(cid:162)(cid:74)
② 𝐵 𝑃
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
