文档文本内容
专题 2.2 解直角三角形（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:28)(cid:30)(cid:19)........................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:31)(cid:32)(cid:28)(cid:33)(cid:31)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:28)(cid:30)(cid:19)........................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:31)(cid:32)(cid:28)(cid:34)(cid:29)(cid:28)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:33)(cid:31)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:28)(cid:30)(cid:19)................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:26)(cid:31)(cid:37)(cid:38)(cid:29)(cid:28)(cid:30)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:28)(cid:30)(cid:19)............................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:26)(cid:39)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:28)(cid:30)(cid:19)....................................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:40)(cid:25)(cid:30)(cid:41)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:28)(cid:30)(cid:19)........................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:42)(cid:43)(cid:41)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:28)(cid:30)(cid:19)............................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:41)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:28)(cid:30)(cid:19)........................................................................................................................9
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:28)(cid:30)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:19)..........................................................................................................................10
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:28)(cid:30)(cid:26)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:20)(cid:19)..............................................................................................................12
知识点1 解直角三角形的概念
(cid:31)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:28)(cid:30)(cid:41)(cid:56)(cid:57)(cid:27)(cid:28)(cid:58)(cid:56)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:56)(cid:65)(cid:29)(cid:66)(cid:25)(cid:33)(cid:24)(cid:62)(cid:32)(cid:28)(cid:67)(cid:68)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:28)(cid:30)(cid:41)(cid:34)(cid:22)(cid:23)(cid:63)(cid:64)(cid:56)
(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:23)(cid:63)(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:75)(cid:56)(cid:76)(cid:77)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:28)(cid:30)(cid:67)
知识点2 解直角三角形的依据
(cid:78)Rt (cid:41)(cid:56) =90°(cid:56) ， (cid:56) (cid:34)(cid:79)(cid:25)(cid:80)(cid:81)(cid:82)a(cid:56)b(cid:56)c(cid:67)
(cid:83)1(cid:84)△(cid:29)𝐴(cid:25)𝐵(cid:85)𝐶 (cid:86)(cid:34)∠(cid:3)𝐶(cid:46)(cid:10) +∠𝐴 =∠𝐵 (cid:83)∠(cid:87)𝐶(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:84)(cid:91)
𝟐 𝟐 𝟐
(cid:83)2(cid:84)(cid:24)(cid:32)(cid:28)(cid:85)(cid:86)(cid:34)(cid:3)(cid:46)𝒂(cid:10) 𝒃+ 𝒄= (cid:83)(cid:24)(cid:28)(cid:92)(cid:72)(cid:84)(cid:91)
∠𝑨 ∠𝑩 𝟗𝟎°
(cid:83)3(cid:84)(cid:25)(cid:28)(cid:85)(cid:86)(cid:34)(cid:3)(cid:46)(cid:10)sin = (cid:56)cos = (cid:56)tan = (cid:67)
𝒂 𝒃 𝒂
𝐴 𝒄 𝐴 𝒄 𝐴 𝒃
知识点3 解直角三角形的基本类型及解法
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:28)(cid:30)(cid:60)(cid:40)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:21)(cid:10)(cid:97)(cid:22)(cid:23)(cid:98)(cid:25)(cid:33)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:25)(cid:91)(cid:99)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:28)(cid:25)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:23)(cid:98)(cid:25)(cid:33)(cid:31)(cid:32)(cid:28)(cid:91)(cid:101)(cid:22)(cid:23)
(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:25)(cid:33)(cid:31)(cid:32)(cid:28)(cid:67)(cid:71)(cid:26)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:10)
(cid:22)(cid:23)(cid:96)(cid:21) (cid:22)(cid:23)(cid:66)(cid:109) (cid:26)(cid:102)(cid:103)(cid:104) (cid:37)(cid:110)(cid:83)1(cid:84) = (cid:91)
(cid:98)(cid:25)c(cid:111)(cid:31)(cid:27) 2 2
(cid:83)2(cid:84)𝑏(cid:68)sin𝑐 =−𝑎(cid:56)(cid:69) (cid:91)
(cid:28)(cid:25)(cid:83)(cid:107)a(cid:84) 𝑎
𝐴 𝑐 ∠𝐴
(cid:83)3(cid:84) =
(cid:24)(cid:25)
∠𝐵 90°−∠𝐴
(cid:83)1(cid:84) = + (cid:91)
(cid:24)(cid:27)(cid:28)(cid:25) 2 2 Rt (cid:41)(cid:56) C=90°(cid:56)
(cid:83)2(cid:84) 𝑐 (cid:68)tan𝑎 = 𝑏 (cid:56)(cid:69) (cid:91)
(cid:83)a(cid:56)b(cid:84) 𝑎 ，△𝐴(cid:56)𝐵𝐶 (cid:34)(cid:79)∠(cid:25)(cid:80)(cid:81)(cid:82)a∠(cid:56)𝐴
𝐴 𝑏 ∠𝐴
(cid:83)3(cid:84) =
∠𝐵b(cid:56)∠c𝐶(cid:56)(cid:107)(cid:37)(cid:113)(cid:110)(cid:10)
(cid:83)1(cid:84)∠𝐵=90°−∠𝐴(cid:91)
(cid:98)(cid:25)c(cid:111)(cid:31)(cid:32)
∠𝐵 90°−∠𝐴
(cid:83)2(cid:84)(cid:68)sin = (cid:56)(cid:112) = sin (cid:91)
(cid:28)(cid:83)(cid:107) (cid:84) 𝑎
𝐴 𝑐 𝑎 𝑐⋅ 𝐴
(cid:31)(cid:25) (cid:83)3(cid:84)(cid:68)cos = (cid:56)(cid:112) = cos
∠𝐴
𝑏
(cid:31)(cid:28) (cid:83)1(cid:84) = 𝐴 𝑐 (cid:91)𝑏 𝑐⋅ 𝐴
(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:25)(cid:111)
(cid:83)2(cid:84)∠(cid:68)𝐵tan90=°−∠(cid:56)𝐴(cid:112) = (cid:91)
(cid:31)(cid:32)(cid:28)(cid:83)(cid:107) tan
𝑎 𝑎
𝐴 𝑏 𝑏 𝐴
a(cid:111) (cid:84) (cid:83)3(cid:84)(cid:68)sin = (cid:56)(cid:112) =
sin
𝑎 𝑎
∠𝐴 𝐴 𝑐 𝑐 𝐴
【题型1 已知两边解直角三角形】
(cid:15)(cid:114)1(cid:19)(cid:83)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:123)(cid:124)(cid:84)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:108)(cid:133)(cid:34)(cid:134)(cid:102)(cid:112)(cid:135)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:28)(cid:30)(cid:10)(cid:107)(cid:37)(cid:113)(cid:110)(cid:56)(cid:136)(cid:137)
(cid:132)13(cid:62)(cid:138)(cid:139)(cid:34)(cid:140)(cid:141)(cid:31)(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:80)(cid:145)(cid:138)(cid:146)(cid:34)12(cid:147)(cid:56)(cid:31)(cid:62)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:143)(cid:144)(cid:34)(cid:154)1(cid:62)(cid:140)(cid:33)(cid:154)13(cid:62)(cid:140)(cid:56)(cid:24)(cid:62)(cid:155)(cid:156)(cid:80)(cid:81)
(cid:152)(cid:153)(cid:154)4(cid:62)(cid:140)(cid:33)(cid:154)8(cid:62)(cid:140)(cid:56)(cid:157)(cid:158)(cid:143)(cid:144)(cid:56)(cid:159)(cid:160)(cid:112)(cid:135)(cid:31)(cid:62)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:28)(cid:30)(cid:56)(cid:161)cos (cid:138)(cid:162)(cid:83) (cid:84)
𝛼
3 4 3 5
A(cid:67) B(cid:67) C(cid:67) D(cid:67)
5 5 4 4
(cid:15)(cid:163)(cid:164)1-1(cid:19)(cid:83)23-24(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:168)·(cid:123)(cid:124)(cid:84)(cid:78)Rt (cid:41)(cid:56) =90°(cid:56) = 6(cid:56) =2 3(cid:56)(cid:26)(cid:169)(cid:62)
(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:28)(cid:30)(cid:67) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:163)(cid:164)1-2(cid:19)(cid:83)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:173)·(cid:174)(cid:147)(cid:175)(cid:176)(cid:84)(cid:78) (cid:41)(cid:56) =90°(cid:56) =4(cid:56) =2(cid:56)(cid:26)(cid:169)(cid:62)(cid:27)
(cid:28)(cid:29)(cid:28)(cid:30)(cid:67) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶(cid:15)(cid:163)(cid:164)1-3(cid:19)(cid:83)23-24(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:40)(cid:177)(cid:178)(cid:122)·(cid:174)(cid:147)(cid:175)(cid:176)(cid:84)(cid:78)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:28)(cid:30) (cid:41)(cid:56)(cid:179) = (cid:56)(cid:161)cos (cid:34)(cid:36)(cid:82)
(cid:83) (cid:84) 𝐴𝐵𝐶 2𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐶
1 2 3 1 2 5 3 2 5 3 2 3
A(cid:67) (cid:180) B(cid:67) (cid:180) C(cid:67) (cid:180) D(cid:67) (cid:180)
2 5 2 5 2 5 2 5
【题型2 已知一锐角和一边解直角三角形】
(cid:15)(cid:114)2(cid:19)(cid:83)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:170)(cid:171)(cid:181)(cid:122)·(cid:174)(cid:147)(cid:175)(cid:176)(cid:84)(cid:107)(cid:37)(cid:56)(cid:78)(cid:40)(cid:25)(cid:30) (cid:41)(cid:56) = =90°(cid:56)(cid:179)
= =1(cid:56) = (cid:56)(cid:161) (cid:34)(cid:36)(cid:82)(cid:83) (cid:84) 𝑂𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴 ∠𝑂𝐵𝐶
2
𝐴𝐵 𝐵𝐶 ∠𝐴𝑂𝐵 𝛼 𝑂𝐶
1 1
A(cid:67) +1 B(cid:67)sin +1 C(cid:67) +1 D(cid:67)cos +1
sin cos
2 2
2 2
(cid:15)(cid:163)(cid:164)2-1𝛼(cid:19)(cid:83)2025·(cid:182)(cid:166)(cid:183)(cid:184)·(cid:31)𝛼 (cid:185)(cid:84)(cid:107)(cid:37)(cid:186)(cid:187)(cid:78)(cid:52)C𝛼(cid:188)(cid:189)(cid:112)(cid:190)(cid:191)(cid:192)A (cid:34)(cid:193)(cid:28)𝛼(cid:82)α(cid:56)(cid:194) =10(cid:195)(cid:56)(cid:161)(cid:190)(cid:196)
(cid:197) (cid:82)(cid:83) (cid:84)(cid:195)(cid:67) 𝐵𝐶
𝐴𝐵
10 10
A(cid:67) B(cid:67)10tan C(cid:67)10sin D(cid:67)
tan sin
(cid:15)(cid:163)(cid:164)2-𝛼2(cid:19)(cid:83)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:118)𝛼(cid:198)(cid:199)(cid:165)·(cid:174)(cid:147)(cid:175)(cid:176)(cid:84)(cid:22)(cid:23)𝛼
(cid:78)Rt (cid:41)(cid:56)
𝛼
=90°(cid:56) = (cid:56) =2(cid:56)(cid:200)
(cid:201) (cid:34)(cid:146)(cid:138)(cid:162)(cid:83) (cid:84) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 ∠𝐴 𝛼 𝐵𝐶
𝐴𝐵 2 2
A(cid:67) B(cid:67)2sin C(cid:67) D(cid:67)2cos
sin cos
(cid:15)(cid:163)(cid:164)2-𝛼3(cid:19)(cid:83)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·𝛼(cid:170)(cid:171)(cid:202)(cid:203)·(cid:174)(cid:147)(cid:175)(cid:176)(cid:84) 𝛼 (cid:107)(cid:37)(cid:56)(cid:78)(cid:27)(cid:28) (cid:41)(cid:56)𝛼 =90°(cid:56)(cid:52)D(cid:78)(cid:204)(cid:147) (cid:118)(cid:56)
(cid:194) =30°(cid:56) =60°(cid:56) =2(cid:56)(cid:161) = (cid:67) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐴𝐶
∠𝐴 ∠𝐵𝐷𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶【题型3 已知一锐角的三角比的值和一边解直角三角形】
(cid:15)(cid:114)3(cid:19)(cid:83)2025(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:108)·(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:209)·(cid:210)(cid:20)(cid:175)(cid:176)(cid:84)(cid:107)(cid:37)(cid:56)(cid:78)(cid:138)(cid:25) (cid:41)(cid:56)(cid:52)E(cid:56)F(cid:78)(cid:25) (cid:118)(cid:56)
=30°(cid:56) (cid:211) (cid:25)(cid:118)(cid:34)(cid:196)(cid:56)(cid:179) =5 3(cid:56)tan =
1
(cid:56)
△
(cid:161)
𝐴𝐵𝐶
=( )
𝐵𝐶
5
∠𝐸𝐴𝐹 𝐴𝐻 𝐵𝐶 𝐴𝐻 ∠𝐵𝐴𝐸 𝐶𝐹
A(cid:67)5 3 B(cid:67) 3 C(cid:67) 3 D(cid:67) 3
(cid:15)(cid:163)(cid:164)3-1(cid:19)−(cid:83)12025·(cid:212)(cid:213)(cid:213)1(cid:214)0−·(cid:185)(cid:215)(cid:216)(cid:189)(cid:84)(cid:107)(cid:37)(cid:56)(cid:78)10−2 (cid:41)(cid:56) (cid:56)5−(cid:217)(cid:218)(cid:82) (cid:56) (cid:82) (cid:34)(cid:41)(cid:52)(cid:56)(cid:219)(cid:220)
(cid:67)(cid:179) = =6,sin =
5
(cid:56)(cid:161) (cid:34)(cid:146)(cid:82)(cid:83)
△
(cid:84)
𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐷 𝐸 𝐴𝐶
13
𝐷𝐸 𝐴𝐵 26,𝐶𝐷 𝐵 𝐷𝐸
A(cid:67) 34 B(cid:67)2 34 C(cid:67)4 D(cid:67)8
(cid:15)(cid:163)(cid:164)3-2(cid:19)(cid:83)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:221)(cid:170)(cid:222)(cid:223)·(cid:123)(cid:124)(cid:84)(cid:107)(cid:37)(cid:56)(cid:52)P(cid:78)(cid:204)(cid:147) (cid:118)(cid:56) (cid:56) (cid:56) (cid:56)
1 𝐵𝐶 𝐴𝐵⊥𝐵𝐶 𝐴𝑃⊥𝐷𝑃 𝐶𝐷⊥𝐷𝑃
(cid:179) =18(cid:56) =4(cid:56)tan = (cid:56)(cid:161) (cid:34)(cid:146)(cid:211) (cid:67)
2
𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐷𝑃
(cid:15)(cid:163)(cid:164)3-3(cid:19)(cid:83)2024·(cid:165)(cid:166)(cid:224)(cid:225)·(cid:29)(cid:185)(cid:84)(cid:107)(cid:37)(cid:56)(cid:78)Rt (cid:41)(cid:56) =90°(cid:56) (cid:211)(cid:41)(cid:204)(cid:56)(cid:74)(cid:52)A(cid:226) (cid:34)(cid:217)(cid:204)(cid:56)
(cid:80)(cid:81)(cid:227) (cid:111) (cid:162)(cid:52)E(cid:111)F(cid:67)(cid:179)tan =
2
(cid:56)
△
=2
𝐴
6
𝐵
(cid:56)
𝐶
(cid:161)
∠
(cid:34)
𝐴𝐶
(cid:146)
𝐵
(cid:82)(cid:83) (cid:84)
𝐶𝐷 𝐶𝐷
3
𝐵𝐶 𝐶𝐷 ∠𝐶𝐴𝐸 𝐴𝐸 𝐶𝐷
A(cid:67)39 B(cid:67)8 13 C(cid:67)6 13 D(cid:67)19.5
【题型4 解一图多三角形的直角三角形】
(cid:15)(cid:114)4(cid:19)(cid:83)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:108)·(cid:119)(cid:120)(cid:228)(cid:122)·(cid:123)(cid:41)(cid:84)(cid:107)(cid:37)(cid:56)(cid:78) (cid:41)(cid:56) =90°(cid:56) =30°(cid:56) (cid:211)(cid:138)(cid:25)
△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐶𝐴𝐵 △𝐴𝐵𝐷(cid:29)(cid:28)(cid:30)(cid:67)(cid:107)(cid:37)(cid:56)(cid:229)(cid:40)(cid:25)(cid:30) (cid:230)(cid:231)(cid:56)(cid:232)D(cid:47)C(cid:233)(cid:234)(cid:56) (cid:82)(cid:230)(cid:235)(cid:56)(cid:161) (cid:34)(cid:72)(cid:236)(cid:36)(cid:82)(cid:83) (cid:84)
𝐴𝐶𝐵𝐷 𝐸𝐹 ∠𝐴𝐶𝐸
3 1 1 4 3
A(cid:67) B(cid:67) C(cid:67) D(cid:67)
7 2 7 7
−1
(cid:15)(cid:163)(cid:164)4-1(cid:19)(cid:107)(cid:37)(cid:56)(cid:78) (cid:41)(cid:56) =90°(cid:56) =3(cid:56) =5(cid:56) (cid:33) (cid:34)(cid:237)(cid:80)(cid:204)(cid:238)(cid:227)(cid:162)(cid:52) (cid:56)(cid:74)
(cid:52) (cid:226) // (cid:227) (cid:162)(cid:52)𝑅𝑡𝛥(cid:56)𝐴𝐵(cid:200)𝐶(cid:201) ∠(cid:34)𝐴𝐵(cid:146)𝐶(cid:82) 𝐴(cid:67)𝐵 𝐴𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 𝐷
𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐸 𝐷𝐸
(cid:15)(cid:163)(cid:164)4-2(cid:19)(cid:83)2025·(cid:40)(cid:177)(cid:239)(cid:240)·(cid:29)(cid:185)(cid:84)(cid:78)Rt (cid:41)(cid:56) =90°(cid:56) =8(cid:56)(cid:52)D(cid:82) (cid:41)(cid:52)(cid:56)(cid:74)(cid:52)D(cid:226)
(cid:56)(cid:47) (cid:227)(cid:162)(cid:52)E(cid:56)(cid:219)(cid:220) (cid:56)(cid:194)sin
△𝐴𝐵𝐶
=
7
(cid:56)
∠𝐶
(cid:161) (cid:34)(cid:146)
𝐴
(cid:197)
𝐶
(cid:211)(cid:83) (cid:84)
𝐴𝐵
25
𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐶𝐷 ∠𝐶𝐷𝐸 𝐷𝐸
3 34 15
A(cid:67) B(cid:67) C(cid:67)3 D(cid:67)4
5 4
(cid:15)(cid:163)(cid:164)4-3(cid:19)(cid:83)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:108)·(cid:241)(cid:242)(cid:170)(cid:243)(cid:244)(cid:245)·(cid:123)(cid:41)(cid:84)(cid:107)(cid:37)(cid:56)(cid:78) (cid:41)(cid:56) =90°(cid:56) =8(cid:56) =6(cid:56) (cid:211)
(cid:34)(cid:41)(cid:52)(cid:56)(cid:52) (cid:78)(cid:25) (cid:118)(cid:56)(cid:229) (cid:246) (cid:247)(cid:230)(cid:56)(cid:232)(cid:112)(cid:52) (cid:248)(cid:78)△(cid:52)𝐴𝐵𝐶(cid:188)(cid:56)(cid:179)∠𝐶 (cid:56)𝐴(cid:161)𝐶 (cid:34)(cid:146)𝐵(cid:82)𝐶(cid:83) (cid:84)𝐷
′ ′
𝐴𝐵 𝐸 𝐴𝐶 △𝐴𝐷𝐸 𝐷𝐸 𝐴 𝐴 𝐴 𝐸∥𝐵𝐶 𝐴𝐸5 5
A(cid:67) B(cid:67)7 C(cid:67) D(cid:67)5
3 2
【题型5 解非直角三角形】
1
(cid:15)(cid:114)5(cid:19)(cid:83)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:249)(cid:250)(cid:251)(cid:219)·(cid:174)(cid:147)(cid:175)(cid:176)(cid:84)(cid:107)(cid:37)(cid:56)(cid:78) (cid:41)(cid:56)cos = (cid:56) = =4(cid:56)(cid:161)sin (cid:34)(cid:36)
4
(cid:82)(cid:83) (cid:84) △𝐴𝐵𝐶 𝐶 𝐶𝐴 𝐶𝐵 𝐵
10 15 6 10
A(cid:67) B(cid:67) C(cid:67) D(cid:67)
2 3 4 4
(cid:15)(cid:163)(cid:164)5-1(cid:19)(cid:83)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:252)(cid:172)(cid:253)(cid:254)·(cid:174)(cid:147)(cid:175)(cid:176)(cid:84)(cid:107)(cid:37)(cid:56) (cid:34)(cid:255)(cid:25) (cid:118)(cid:34)(cid:196)(cid:82) (cid:56) (cid:34)(cid:255)(cid:25)
(cid:118)(cid:34)(cid:196)(cid:82) (cid:56)(cid:161)(cid:60)(cid:83) (cid:84) △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶
ℎ1
△𝑃𝑄𝑅 𝑄𝑅
ℎ2
A(cid:67) = B(cid:67) < C(cid:67) > D(cid:67)(cid:256)(cid:118)(cid:257)(cid:60)(cid:258)(cid:259)
(cid:15)(cid:163)(cid:164)ℎ51-2(cid:19)ℎ(cid:83)224-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)ℎ1(cid:118)·(cid:233)ℎ2(cid:260)·(cid:123)(cid:41)(cid:84)(cid:107)(cid:37)(cid:56)ℎ(cid:52)1 (cid:211)ℎ2 (cid:58)(cid:31)(cid:52)(cid:56) = (cid:56) (cid:47) (cid:238)(cid:227)(cid:162)(cid:52) (cid:56)
𝐷 △𝐴𝐵𝐶1 𝐷𝐵 𝐷𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐸
= (cid:56)(cid:219)(cid:220) (cid:56)(cid:179) =4(cid:56) = 13(cid:56)tan = (cid:56)(cid:161) = (cid:67)
2
∠𝐵𝐷𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐷𝐴 𝐴𝐶 𝐷𝐴 ∠𝐷𝐵𝐴 𝐷𝐵1
(cid:15)(cid:163)(cid:164)5-3(cid:19)(cid:83)2024·(cid:118)(cid:198)(cid:261)(cid:262)·(cid:29)(cid:185)(cid:84)(cid:107)(cid:37)(cid:56)(cid:78) (cid:41)(cid:56) = =4(cid:56)cos = (cid:56) (cid:211)(cid:41)(cid:204)(cid:56)(cid:229)
4
(cid:246)(cid:27)(cid:204) (cid:247)(cid:230)(cid:263)(cid:56)(cid:52) (cid:248)(cid:78)(cid:52) (cid:56)(cid:200)(cid:201) (cid:34)(cid:146)(cid:82)△ 𝐴 𝐵 𝐶 (cid:67)𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵 𝐵𝐷 △𝐴𝐵𝐶
𝐵𝐷 𝐴 𝐸 𝐶𝐸
【题型6 四边形中解直角三角形】
(cid:15)(cid:114)6(cid:19)(cid:83)2025·(cid:182)(cid:166)(cid:264)(cid:265)·(cid:29)(cid:185)(cid:84)(cid:266)(cid:267)(cid:268)(cid:269)(cid:34)(cid:270)(cid:226)(cid:148)(cid:271)(cid:272)(cid:80)(cid:273)(cid:274)(cid:67)(cid:107)(cid:37)(cid:56)(cid:24)(cid:66)(cid:269)(cid:275)(cid:113)(cid:145)(cid:34)(cid:28) =132 (cid:56)
∘
(cid:52)D(cid:78)(cid:269)(cid:276) (cid:118)(cid:56) = = = = (cid:56)(cid:161) (cid:34)(cid:146)(cid:197)(cid:258)(cid:106)(cid:110)(cid:82)(cid:83) (cid:84) ∠𝐵𝐴𝐶
𝐴𝑃 𝐴𝐸 𝐴𝐹 𝐷𝐸 𝐷𝐹 𝑚 𝐴𝐷
A(cid:67) sin66 B(cid:67) cos66 C(cid:67) sin66 D(cid:67) cos66
∘ ∘ ∘ ∘
(cid:15)(cid:163)(cid:164)6𝑚-1(cid:19)(cid:83)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)𝑚(cid:108)·(cid:277)(cid:278)(cid:237)(cid:279)·(cid:123)(cid:41)(cid:84)(cid:107)2(cid:37)𝑚(cid:56)(cid:280)(cid:30) (cid:34)(cid:79)(cid:28)(cid:204)2𝑚 (cid:47) (cid:238)(cid:227)(cid:162)(cid:52)O(cid:56)E(cid:82) (cid:34)
(cid:41)(cid:52)(cid:56)(cid:219)(cid:220) (cid:56) =60°(cid:56) =4 3(cid:56)(cid:161) =(cid:83) (cid:84)𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐷
𝑂𝐸 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝑂𝐸
A(cid:67)4 B(cid:67)2 6 C(cid:67)2 D(cid:67) 3
(cid:15)(cid:163)(cid:164)6-2(cid:19)(cid:83)2025·(cid:252)(cid:206)·(cid:41)(cid:281)(cid:282)(cid:20)(cid:84)(cid:107)(cid:37)(cid:56)(cid:230)(cid:231)(cid:283)(cid:134)(cid:30) (cid:34)(cid:31)(cid:25) (cid:56)(cid:232)(cid:52) (cid:248)(cid:78) (cid:118)(cid:34)(cid:52) (cid:188)(cid:56)(cid:230)(cid:235)
(cid:227) (cid:162)(cid:52) (cid:67)(cid:179) =2 2(cid:56)(cid:161) (cid:34)(cid:146)(cid:211)(cid:83) (cid:84) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐶 𝐵𝐷 𝐹 𝐵𝐸
𝐴𝐶 𝐺 𝐷𝐸 𝐶𝐺A(cid:67) 2 B(cid:67)2 C(cid:67) 2+1 D(cid:67)2 2
(cid:15)(cid:163)(cid:164)6-3(cid:19)(cid:83)2025·(cid:252)(cid:172)(cid:284)(cid:255)·(cid:29)(cid:185)(cid:84)(cid:107)(cid:37)(cid:56)(cid:78)(cid:285)(cid:30) (cid:41)(cid:56) = = −1 (cid:80)(cid:81)(cid:82) (cid:25)(cid:118)(cid:34)(cid:52)(cid:56)(cid:194)
=3(cid:56)(cid:229)(cid:285)(cid:30) (cid:246)(cid:27)(cid:204) (cid:230)(cid:231)(cid:56)(cid:112)(cid:135)(cid:40)(cid:25)(cid:30)𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:56)(cid:52)𝐴𝐷(cid:34)(cid:79)2𝐴(cid:286)𝐵(cid:52)(cid:80)8,𝐸(cid:81),𝐹(cid:82)(cid:52) 𝐴(cid:83)𝐷,(cid:52)𝐵𝐶 (cid:248)(cid:78) (cid:118)
𝐵(cid:134)𝐹(cid:84)(cid:56)(cid:219)(cid:220) (cid:56)𝐴(cid:287)𝐵𝐶𝐷 (cid:29)(cid:52)𝐸(cid:59)𝐹(cid:204)(cid:151)(cid:56) (cid:34)(cid:146)(cid:82)(cid:83)𝐸 𝐹 𝑁(cid:84)𝑀 𝐴,𝐵 𝑀,𝑁 𝑀 𝐴𝐷
𝐶𝑁 𝐶,𝑁,𝑀 𝐴𝐸
4 16
A(cid:67)2 B(cid:67) C(cid:67) D(cid:67)1
3 3
【题型7 网格中解直角三角形】
(cid:15)(cid:114)7(cid:19)(cid:83)2025·(cid:252)(cid:206)·(cid:29)(cid:185)(cid:84)(cid:107)(cid:37)(cid:56)(cid:68)7(cid:62)(cid:30)(cid:288)(cid:111)(cid:251)(cid:186)(cid:289)(cid:290)(cid:238)(cid:150)(cid:34)(cid:283)(cid:291)(cid:25)(cid:30)(cid:292)(cid:145)(cid:34)(cid:42)(cid:43)(cid:56)(cid:283)(cid:291)(cid:25)(cid:30)(cid:34)(cid:191)(cid:52)(cid:293)
(cid:82)(cid:43)(cid:52)(cid:67)(cid:179)(cid:294)(cid:62)(cid:283)(cid:291)(cid:25)(cid:30)(cid:34)(cid:25)(cid:146)(cid:82)1(cid:56) (cid:34)(cid:191)(cid:52)(cid:257)(cid:78)(cid:43)(cid:52)(cid:118)(cid:56)(cid:161) (cid:34)(cid:133)(cid:295)(cid:211)(cid:83)(cid:296)(cid:296)(cid:84)
△𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:67)2 B(cid:67)2 3 C(cid:67)4 D(cid:67)4 3
(cid:15)(cid:163)(cid:164)7-1(cid:19)(cid:83)2024·(cid:233)(cid:260)(cid:115)(cid:242)(cid:297)·(cid:185)(cid:215)(cid:216)(cid:189)(cid:84)(cid:78)(cid:25)(cid:146)(cid:238)(cid:138)(cid:34)(cid:186)(cid:283)(cid:134)(cid:30)(cid:292)(cid:145)(cid:34)(cid:42)(cid:43)(cid:41)(cid:56)(cid:52) (cid:56) (cid:56) (cid:257)(cid:78)(cid:43)(cid:52)(cid:118)(cid:56)
(cid:200)(cid:201)sin (cid:34)(cid:36)(cid:82)(cid:83)(cid:296)(cid:296)(cid:84) 𝐴 𝐵 𝐶
∠𝐴𝐶𝐵5 5 2 5 1
A(cid:67) B(cid:67) C(cid:67) D(cid:67)
2 5 5 3
(cid:15)(cid:163)(cid:164)7-2(cid:19)(cid:83)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:228)(cid:122)·(cid:123)(cid:124)(cid:84)(cid:107)(cid:37)(cid:56)(cid:78)(cid:283)(cid:134)(cid:30)(cid:134)(cid:43)(cid:268)(cid:41)(cid:56)(cid:294)(cid:62)(cid:186)(cid:283)(cid:134)(cid:30)(cid:34)(cid:25)(cid:146)(cid:257)(cid:82)1(cid:56)(cid:22)
(cid:23)(cid:52)A(cid:56)B(cid:56)C(cid:56)D(cid:257)(cid:78)(cid:43)(cid:52)(cid:83)(cid:42)(cid:43)(cid:204)(cid:34)(cid:227)(cid:52)(cid:84)(cid:118)(cid:56) (cid:47) (cid:238)(cid:227)(cid:162)(cid:52)P(cid:56)(cid:161)sin (cid:34)(cid:36)(cid:82)(cid:83) (cid:84)
𝐴𝐵 𝐶𝐷 ∠𝐴𝑃𝐶
5 2 5 2 3
A(cid:67) B(cid:67) C(cid:67) D(cid:67)
5 5 5 5
(cid:15)(cid:163)(cid:164)7-3(cid:19)(cid:83)2023·(cid:40)(cid:177)(cid:182)(cid:63)·(cid:298)(cid:185)(cid:84)(cid:107)(cid:37)(cid:56)(cid:78)(cid:68)10(cid:62)(cid:289)(cid:290)(cid:238)(cid:150)(cid:34)(cid:283)(cid:29)(cid:28)(cid:30)(cid:299)(cid:145)(cid:34)(cid:42)(cid:43)(cid:37)(cid:41)(cid:56) (cid:111) (cid:107)(cid:37)
(cid:113)(cid:110)(cid:56)(cid:161)sin + =(cid:83) (cid:84) ∠𝛼 ∠𝛽
(𝛼 𝛽)
2 7 7 2 3
A(cid:67) B(cid:67) C(cid:67) D(cid:67)
7 7 2 2
【题型8 坐标系中解直角三角形】
(cid:15)(cid:114)8(cid:19)(cid:83)2025·(cid:205)(cid:172)(cid:300)(cid:301)·(cid:298)(cid:185)(cid:84)(cid:107)(cid:37)(cid:56)(cid:78)(cid:237)(cid:133)(cid:27)(cid:28)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:41)(cid:56)(cid:285)(cid:30) (cid:34)(cid:25) (cid:56) (cid:80)(cid:81)(cid:78) (cid:302)(cid:56) (cid:302)(cid:118)(cid:56)
(cid:82)(cid:25) (cid:118)(cid:31)(cid:52)(cid:56)(cid:194) = (cid:56) (cid:82)(cid:25) (cid:118)(cid:31)(cid:52)(cid:56)(cid:229)(cid:40)(cid:25)(cid:30) (cid:246)𝑂𝐴𝐵(cid:230)𝐶(cid:231)(cid:56)(cid:52)𝑂𝐴 (cid:34)𝑂(cid:79)𝐶(cid:286)(cid:52)(cid:303)𝑥(cid:304)(cid:47)(cid:305)𝑦(cid:52)(cid:233)(cid:234)𝐷(cid:56)
(cid:179) 𝐵=𝐶 3(cid:56)(cid:161) (cid:34)𝐵(cid:79)𝐷(cid:286)(cid:52)2𝐶𝐷(cid:34)(cid:44)𝑀(cid:45)(cid:82)(cid:83)𝑂𝐴 (cid:84) 𝐴𝐵𝐷𝑀 𝐷𝑀 𝐵
𝑂𝐶 𝐴 𝑁
3 3 3 3 6 6
A(cid:67) B(cid:67) C(cid:67) 2 D(cid:67)
2 2 2 2 2 2
,− ,− ,1−1 ,−
(cid:15)(cid:163)(cid:164)8-1(cid:19)(cid:83)2025·(cid:249)(cid:250)(cid:306)(cid:307)·(cid:29)(cid:185)(cid:84)(cid:107)(cid:37)(cid:56)(cid:27)(cid:204) = +4(cid:47)x(cid:302)(cid:111)y(cid:302)(cid:80)(cid:81)(cid:227)(cid:162)A(cid:111)B(cid:24)(cid:52)(cid:56)(cid:52)C(cid:82)x(cid:34)
2
𝑦 𝑥(cid:308)(cid:309)(cid:302)(cid:118)(cid:34)(cid:31)(cid:52)(cid:56)(cid:219)(cid:220) (cid:56)(cid:74)(cid:52)C(cid:226) (cid:56)(cid:47)(cid:204)(cid:147) (cid:227)(cid:162)(cid:52)D(cid:56)(cid:179) = (cid:56)(cid:161)(cid:52)D(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:82)(cid:83) (cid:84)
𝐵𝐶 𝐶𝐷⊥𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐶𝐵
1 14 5 3 16 4
A(cid:67) ,1 B(cid:67) , C(cid:67) D(cid:67) ,
3 3 3 2 3 3
(cid:15)(cid:163)(cid:164)8-−2(cid:19)(cid:83)2025·(cid:165)(cid:213)(cid:310)(cid:225)−·(cid:29)(cid:185)(cid:84)(cid:107)(cid:37)(cid:56)(cid:78)(cid:237)(cid:133)−(cid:27)5(cid:28), (cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:41)(cid:56)(cid:280)(cid:30) − (cid:34)(cid:191)(cid:52) (cid:78) (cid:302)(cid:118)(cid:56)(cid:219)(cid:220)(cid:79)(cid:28)(cid:204)
(cid:56) (cid:211) (cid:118)(cid:31)(cid:52)(cid:56)(cid:22)(cid:23)(cid:52) (cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:82)(3,4)(cid:56)(cid:179)(cid:229)(cid:204)(cid:147) (cid:311)(cid:52) (cid:312)(cid:151)(cid:313)(cid:314)𝑂𝐴(cid:315)𝐵9𝐶0°(cid:56)(cid:52)𝐴(cid:303)(cid:304)𝑥(cid:248)(cid:78) (cid:302)(cid:118)(cid:56)(cid:161)(cid:52)
𝑂(cid:34)𝐵 (cid:44)𝑃(cid:45)(cid:82)𝑂(cid:83)𝐵 (cid:84) 𝐶 𝐵𝑃 𝑃 𝐵 𝑥
𝑃
4 8 8 4 8 16 16 8
A(cid:67) , B(cid:67) , C(cid:67) , D(cid:67) ,
3 3 3 3 3 3 3 3
(cid:15)(cid:163)(cid:164)8-3(cid:19)(cid:83)2025·(cid:241)(cid:242)(cid:170)(cid:316)(cid:316)(cid:317)(cid:318)·(cid:185)(cid:215)(cid:216)(cid:189)(cid:84)(cid:107)(cid:37)(cid:56)(cid:78)(cid:237)(cid:133)(cid:27)(cid:28)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:41)(cid:56)(cid:60)(cid:31)(cid:62)Rt (cid:56)
=90°(cid:56) =30°(cid:56)(cid:27)(cid:28)(cid:25)OB(cid:78)y(cid:302)(cid:283)(cid:309)(cid:302)(cid:118)(cid:56)(cid:52)A(cid:78)(cid:154)(cid:31)(cid:319)(cid:320)(cid:56)(cid:194) =1(cid:56)△(cid:229)𝑂R𝐴t𝐵 (cid:311)(cid:305)
∠(cid:52)𝐴(cid:321)𝐵𝑂(cid:151)(cid:313)(cid:314)(cid:315)3∠0𝐴°(cid:56)𝑂𝐵(cid:150)(cid:151)(cid:141)(cid:322)(cid:25)(cid:146)(cid:323)(cid:251)(cid:82)(cid:305)(cid:324)(cid:34)(cid:24)(cid:325)(cid:65)(cid:83) = (cid:84)(cid:67)(cid:112)(cid:135)Rt 𝑂𝐴 (cid:56)(cid:150)(cid:90)△(cid:56)𝑂(cid:229)𝐴𝐵Rt
(cid:311)(cid:305)(cid:52)O(cid:321)(cid:151)(cid:313)(cid:314)(cid:315)30°(cid:56)(cid:150)(cid:151)(cid:141)(cid:322)(cid:25)(cid:146)(cid:323)(cid:251)(cid:82)(cid:305)(cid:324)𝑂(cid:34)𝐴1(cid:24)(cid:325)2(cid:56)𝑂𝐴(cid:112)(cid:135)Rt △𝑂(cid:56)𝐴1…𝐵(cid:56) 1 (cid:326)(cid:327)(cid:328)(cid:329)(cid:56)(cid:112)△(cid:135)(cid:29)𝑂
(cid:28)𝐴1(cid:30)𝐵1
Rt (cid:56)(cid:161) (cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:82) (cid:67)
△𝑂𝐴2𝐵2
△𝑂𝐴2024𝐵2024 𝐵2025
【题型9 解直角三角形与函数】
(cid:15)(cid:114)9(cid:19)(cid:83)2025·(cid:205)(cid:206)(cid:330)(cid:122)·(cid:185)(cid:215)(cid:216)(cid:189)(cid:84)(cid:107)(cid:37)(cid:211)(cid:31)(cid:62)(cid:283)(cid:291)(cid:25)(cid:30)(cid:331)(cid:332)(cid:110)(cid:333)(cid:37)(cid:56)(cid:334)(cid:335)(cid:130)P(cid:83)(cid:336)(cid:145)(cid:52)(cid:84)(cid:337)(cid:191)(cid:52)B(cid:70)(cid:338)(cid:56)(cid:246)(cid:339)(cid:331)(cid:332)(cid:340)(cid:321)(cid:151)(cid:313)(cid:134)(cid:341)(cid:342)(cid:343)(cid:344)(cid:51)(cid:56)(cid:71)(cid:345)(cid:204)(cid:82) (cid:67)(cid:179)(cid:344)(cid:51)(cid:151)(cid:86)(cid:82)x(cid:56)(cid:68)A(cid:56)B(cid:56)P(cid:29)(cid:62)(cid:52)(cid:346)(cid:145)
(cid:34)(cid:29)(cid:28)(cid:30)(cid:83)(cid:347)(cid:348)(cid:349)(cid:80)(cid:84)(cid:34)(cid:133)(cid:295)(cid:82)y(cid:56)(cid:161)y(cid:47)x𝐵(cid:3)→𝐶(cid:46)→(cid:34)𝐷(cid:37)→𝐸(cid:319)→(cid:251)𝐹→(cid:350)𝐴(cid:211)(cid:83) (cid:84)
A(cid:67) B(cid:67)
C(cid:67) D(cid:67)
(cid:15)(cid:163)(cid:164)9-1(cid:19)(cid:83)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:108)·(cid:205)(cid:172)(cid:172)(cid:240)·(cid:123)(cid:41)(cid:84)(cid:107)(cid:37)1(cid:56)(cid:78)(cid:285)(cid:30) (cid:41)(cid:56)(cid:52) (cid:337)(cid:52) (cid:70)(cid:338)(cid:56)(cid:246)(cid:230)(cid:204) (cid:341)
(cid:52) (cid:342)(cid:343)(cid:351)(cid:51)(cid:67)(cid:74)(cid:52) (cid:226)(cid:79)(cid:28)(cid:204) (cid:34)(cid:217)(cid:204)(cid:56)(cid:227)(cid:285)(cid:30) (cid:34)(cid:25)(cid:162)(cid:52)𝐴𝐵𝐶(cid:67)𝐷(cid:352)(cid:52) (cid:351)𝑃(cid:51)(cid:34)(cid:345)𝐴(cid:75)(cid:82) (cid:34)(cid:146)𝐴(cid:82)−𝐷(cid:67)−(cid:71)𝐶(cid:41)
(cid:3)𝐶(cid:162) (cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:37)(cid:319)(cid:251)𝑃(cid:350)(cid:107)(cid:37)2(cid:113)𝐴𝐶(cid:110)(cid:56)(cid:161) (cid:34)(cid:36)(cid:82)(cid:83)𝐴 𝐵 𝐶(cid:84)𝐷 𝑄 𝑃 𝑥,𝐴𝑄 𝑦
𝑦 𝑥 𝑚
A(cid:67)3 B(cid:67) 11 C(cid:67) 13 D(cid:67) 15
(cid:15)(cid:163)(cid:164)9-2(cid:19)(cid:83)2025·(cid:205)(cid:172)(cid:353)(cid:226)·(cid:31)(cid:185)(cid:84)(cid:107)(cid:37)(cid:83)1(cid:84)(cid:56)(cid:78)(cid:285)(cid:30) (cid:41)(cid:56) (cid:211)(cid:79)(cid:28)(cid:204)(cid:56)(cid:51)(cid:52) (cid:337)(cid:52) (cid:70)(cid:338)(cid:56)(cid:246)(cid:230)(cid:204)
(cid:351)(cid:51)(cid:135)(cid:52) (cid:354)(cid:355)(cid:56)(cid:74)(cid:52) (cid:226) (cid:162)(cid:52) (cid:67)(cid:352)(cid:52) (cid:351)(cid:51)𝐴(cid:34)𝐵𝐶(cid:345)𝐷(cid:75)(cid:82)𝐴(cid:56)𝐶 = (cid:83)(cid:287)𝑃(cid:52) (cid:56)𝐶(cid:180) (cid:56) (cid:233)(cid:234)
𝐶(cid:151)𝐴(cid:56)𝐵(cid:352) =0𝐵(cid:180) =0(cid:84)𝑃(cid:56) (cid:47)𝑃𝐸⊥ (cid:34)𝐵𝐶(cid:48)(cid:49)(cid:3)𝐸(cid:46)(cid:34)(cid:37)(cid:319)𝑃(cid:107)(cid:37)(cid:83)2(cid:84)(cid:113)(cid:110)𝑥(cid:56)𝑃(cid:161)𝐸−(cid:34)𝐶𝐸(cid:36)(cid:82)𝑦 (cid:67)𝑃 𝐸 𝐶 𝐸
𝑃𝐸 𝐶𝐸 𝑦 𝑥 𝑚(cid:15)(cid:163)(cid:164)9-3(cid:19)(cid:83)2023·(cid:165)(cid:166)(cid:356)(cid:357)·(cid:298)(cid:185)(cid:84)(cid:107)(cid:37)1(cid:56)(cid:78)(cid:237)(cid:358)(cid:40)(cid:25)(cid:30) (cid:41)(cid:56) =60°(cid:56) = (cid:56)(cid:51)(cid:52) (cid:337)(cid:52) (cid:70)
(cid:338)(cid:56)(cid:256)(cid:294)(cid:359)1(cid:62)(cid:360)(cid:361)(cid:34)(cid:343)(cid:197)(cid:246)(cid:204)(cid:147) (cid:351)(cid:51)(cid:135)(cid:52) (cid:354)(cid:355)(cid:56)(cid:150)(cid:151)𝐴(cid:51)𝐵(cid:52)𝐶𝐷(cid:337)(cid:52)∠𝐵(cid:70)(cid:338)(cid:56)(cid:256)𝐵(cid:294)𝐶(cid:359)24𝐴(cid:62)𝐵(cid:360)(cid:361)(cid:34)(cid:343)𝑃 (cid:197)(cid:246)𝐴(cid:230)
(cid:204) (cid:351)(cid:51)(cid:135)(cid:52) (cid:354)(cid:355)(cid:67)(cid:37)2(cid:211)𝐴(cid:52)𝐵 (cid:111) (cid:351)(cid:51)𝐵(cid:151)(cid:56) (cid:34)(cid:133)(cid:295)𝑄 (cid:47)(cid:351)𝐵(cid:51)(cid:151)(cid:86) (cid:48)(cid:49)(cid:3)(cid:46)(cid:34)(cid:37)(cid:319)(cid:56)(cid:161) (cid:34)(cid:36)
(cid:211)𝐵 − 𝐶−(cid:67)𝐷 𝐷 𝑃 𝑄 △𝐵𝑃𝑄 𝑆 𝑡 𝑎
【题型10 解直角三角形解决动点问题】
(cid:15)(cid:114)10(cid:19)(cid:83)2025·(cid:205)(cid:172)(cid:172)(cid:240)·(cid:185)(cid:215)(cid:216)(cid:189)(cid:84)(cid:107)(cid:37)(cid:56)(cid:22)(cid:23)(cid:52)A(cid:337)(cid:52)(1,0)(cid:70)(cid:338)(cid:56)(cid:256)(cid:294)(cid:359)1(cid:62)(cid:360)(cid:361)(cid:146)(cid:197)(cid:34)(cid:343)(cid:197)(cid:246)x(cid:302)
(cid:341)(cid:283)(cid:134)(cid:341)(cid:351)(cid:51)(cid:56)(cid:256)O(cid:56)A(cid:82)(cid:191)(cid:52)(cid:226)(cid:280)(cid:30) (cid:56)(cid:232)(cid:52)B(cid:56)C(cid:78)(cid:154)(cid:31)(cid:319)(cid:320)(cid:362)(cid:56)(cid:194) =60°(cid:56)(cid:52)P(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:82)
(0,3)(cid:56)(cid:352)(cid:52)A(cid:351)(cid:51)(cid:363) s(cid:56)(cid:161)(cid:78)(cid:52)A(cid:34)(cid:351)𝑂(cid:51)𝐴𝐵(cid:74)𝐶(cid:75)(cid:41)(cid:56)(cid:287) = (cid:151)(cid:56) ∠(cid:82)𝐴(cid:138)𝑂𝐶(cid:364)(cid:29)(cid:28)(cid:30)(cid:67)
𝑡 𝑡 △𝑂𝐶𝑃
(cid:15)(cid:163)(cid:164)10-1(cid:19)(cid:83)2025·(cid:205)(cid:206)(cid:365)(cid:366)·(cid:31)(cid:185)(cid:84)(cid:107)(cid:37)(cid:56)(cid:27)(cid:204) (cid:56) (cid:82) (cid:118)(cid:34)(cid:31)(cid:89)(cid:52)(cid:56) (cid:82) (cid:118)(cid:34)(cid:31)(cid:51)(cid:52)(cid:56) (cid:82)(cid:237)
(cid:133)(cid:362)(cid:27)(cid:204) (cid:47) (cid:85)(cid:86)(cid:34)(cid:31)(cid:52)(cid:83)(cid:52) (cid:367)(cid:78)(cid:27)(cid:204) (cid:33)(cid:27)𝐴𝐵(cid:204)∥𝐶𝐷(cid:118)𝐸(cid:84)(cid:56)𝐴(cid:219)𝐵(cid:220) (cid:56) (cid:67)(cid:78)𝑃(cid:52)𝐶𝐷(cid:34)(cid:351)(cid:51)(cid:74)(cid:75)(cid:41)(cid:56)𝑄(cid:179)(cid:368)
(cid:369)(cid:60) 𝐴𝐵= 𝐶𝐷 = (cid:83) (cid:82)(cid:89)(cid:36)𝑄(cid:84)(cid:56)(cid:161)(cid:108)(cid:105)𝐴𝐵(cid:126)(cid:102)(cid:283)(cid:370)𝐶(cid:34)𝐷(cid:211)(cid:83) (cid:84) 𝐸𝑄 𝑃𝑄 𝑃
∠𝐵𝐸𝑄 ∠𝐷𝑃𝑄 𝛼 𝛼(cid:140)(cid:371)I(cid:10) + (cid:82)(cid:89)(cid:36)(cid:67)
(cid:140)(cid:371)II(cid:10)𝐸𝑄 𝑃𝑄(cid:34)(cid:133)(cid:295)(cid:82)(cid:89)(cid:36)(cid:67)
A(cid:67)(cid:372)△(cid:60)(cid:140)𝐸𝑃(cid:371)𝑄 I(cid:283)(cid:370) B(cid:67)(cid:372)(cid:60)(cid:140)(cid:371)II(cid:283)(cid:370)
C(cid:67)(cid:140)(cid:371)I(cid:111)II(cid:257)(cid:283)(cid:370) D(cid:67)(cid:140)(cid:371)I(cid:111)II(cid:257)(cid:367)(cid:283)(cid:370)
(cid:15)(cid:163)(cid:164)10-2(cid:19)(cid:83)2025·(cid:214)(cid:373)(cid:234)(cid:374)·(cid:29)(cid:185)(cid:84)(cid:107)(cid:37)(cid:56)(cid:285)(cid:30) (cid:41)(cid:56) =6(cid:56) =10 3(cid:56)(cid:52) (cid:78)(cid:204)(cid:147) (cid:118)(cid:351)(cid:51)(cid:83)(cid:375)
(cid:56) (cid:24)(cid:52)(cid:84)(cid:56)(cid:219)(cid:220) (cid:56)(cid:256)(cid:52) (cid:82)(cid:314)(cid:315)(cid:41)(cid:376)(cid:56)(cid:229)(cid:204)(cid:147)𝐴𝐵𝐶(cid:321)𝐷(cid:151)(cid:313)𝐴(cid:314)𝐵(cid:315)60 (cid:135)𝐵𝐶 (cid:56)(cid:219)(cid:220) (cid:56)𝐸 (cid:56)(cid:161)(cid:204)𝐵𝐶(cid:147) (cid:34)(cid:377)
∘
𝐵(cid:186)(cid:36)𝐶(cid:82)(cid:83)(cid:296)(cid:296)(cid:84) 𝐴𝐸 𝐴 𝐴𝐸 𝐴𝐹 𝐸𝐹 𝐷𝐹 𝐷𝐹
A(cid:67)6 B(cid:67)9 C(cid:67)5 3 D(cid:67)9 3
(cid:15)(cid:163)(cid:164)10-3(cid:19)(cid:83)2025·(cid:214)(cid:373)(cid:234)(cid:374)·(cid:29)(cid:185)(cid:84)(cid:78) (cid:41)(cid:56) =6(cid:56) = (cid:56) =120°(cid:56)(cid:51)(cid:52) (cid:337)(cid:52) (cid:70)(cid:338)(cid:56)
(cid:246) (cid:351)(cid:51)(cid:135)(cid:52) (cid:354)(cid:355)(cid:56) =60°(cid:56) =△𝐴𝐵(cid:56)𝐶 (cid:52) (cid:47)𝐵𝐶(cid:52) (cid:361)(cid:162)𝐴𝐵 (cid:34)𝐴(cid:150)𝐶(cid:31)(cid:378)∠𝐵(cid:56)𝐴(cid:219)𝐶 (cid:220) (cid:67) 𝑃 𝐵
(cid:83)𝐵1(cid:84)𝐶(cid:287) =2𝐶(cid:151)(cid:56) ∠=𝑃𝐴 𝑄 (cid:67) 𝐴𝑃 𝐴𝑄 𝑄 𝐶 𝐴𝑃 𝑃𝑄
(cid:83)2(cid:84)(cid:219)𝐵(cid:220)𝑃 (cid:56)(cid:161)(cid:78)𝑃(cid:52)𝑄 (cid:351)(cid:51)(cid:34)(cid:379)(cid:62)(cid:74)(cid:75)(cid:41)(cid:56)(cid:204)(cid:147) (cid:146)(cid:34)(cid:377)(cid:186)(cid:36)(cid:82) (cid:67)
𝐶𝑄 𝑃 𝐶𝑄
