文档文本内容
专题 22.3 相似三角形的判定（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:19)................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:32)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:19)........................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:31)(cid:28)(cid:32)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:19)........................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:41)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:19)............................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:30)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:19)........................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:51)(cid:52)(cid:49)(cid:30)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:19)............................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:49)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:19)................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:58)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:34)(cid:58)(cid:19)..........................................................................................................................10
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:19)..................................................................................................................................11
知识点1 相似三角形
1. (cid:27)(cid:62)(cid:10)(cid:41)(cid:31)(cid:63)(cid:64)(cid:28)(cid:32)(cid:65)(cid:41)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:59)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:66)(cid:67)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:68) ABC(cid:69) A B C (cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:71)(cid:55) ABC
1 1 1
A B C (cid:68) △ △ △ ∽
1 1 1
△2. (cid:72)(cid:32)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:37)(cid:74)
(cid:72)(cid:32)(cid:41)(cid:31)(cid:50) (cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)
(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:72)(cid:78)(cid:79)(cid:59)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:66)(cid:67)(cid:72)(cid:32)(cid:41) (cid:41)(cid:31)(cid:63)(cid:64)(cid:28)(cid:32)(cid:65)(cid:41)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:59)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)
(cid:27)(cid:62)
(cid:31)(cid:50) (cid:50)(cid:66)(cid:67)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)
(cid:80)(cid:81) (cid:50)(cid:82)(cid:28)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:28)(cid:32) (cid:50)(cid:82)(cid:28)(cid:83)(cid:87)(cid:85)(cid:86)(cid:88)(cid:89)(cid:27)(cid:28)(cid:32)
(cid:56)(cid:50)(cid:90)(cid:91)
(cid:34)(cid:35)(cid:33) (cid:28)(cid:32) (cid:36)(cid:37)(cid:38)
(cid:34)(cid:35)(cid:31) (cid:28)(cid:32) (cid:28)(cid:32)
(cid:28)(cid:29)(cid:37) 1 (cid:92)(cid:93)(cid:94)1(cid:70)(cid:95)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:58)知识点2 三角形相似的判定
(cid:100)(cid:101)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:63)(cid:64)(cid:73)(cid:83)(cid:89)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:95)(cid:28)(cid:29)(cid:68)
(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:105)(cid:106)(cid:27)(cid:107)(cid:10)(cid:24)(cid:25)(cid:108)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:89)(cid:33)(cid:59)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:96)(cid:97)(cid:30)(cid:33)(cid:112)(cid:61)(cid:59)(cid:109)(cid:110),(cid:111)(cid:113)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73)(cid:114)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:68)
1. (cid:27)(cid:107)1(cid:10)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:64)(cid:34)(cid:35)(cid:28)(cid:32)(cid:59)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:68)
(cid:115)(cid:116) ABC(cid:69)(cid:69) A′B′C′(cid:69)(cid:70)(cid:117) A= A′(cid:70) B= B′(cid:70)(cid:118) ABC A′B′C′(cid:68)
2. (cid:27)△(cid:107)2(cid:10)(cid:30)(cid:33)△(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:84)(cid:40)∠(cid:31)(cid:28)∠ (cid:32)(cid:59)∠(cid:30)(cid:57)∠(cid:41)(cid:31)(cid:50)△(cid:28)(cid:29)(cid:68)∽△
AB AC
(cid:115)(cid:116) ABC(cid:69)(cid:69) A′B′C′(cid:70)(cid:117) = (cid:70) A= A′(cid:70)(cid:118) ABC A′B′C′(cid:68)
A′B′ A′C′
3. (cid:27)△(cid:107)3(cid:10)(cid:41)(cid:33)△(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:59)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31) ∠ (cid:50)(cid:28) ∠ (cid:29)(cid:68) △ ∽△
(cid:115)(cid:116) ABC(cid:69)(cid:69) A′B′C′(cid:70)(cid:117) AB = BC = AC (cid:70)(cid:118) ABC A′B′C′(cid:68)
A′B′ B′C′ A′C′
△ △ △ ∽△
(cid:109)(cid:31)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:27)(cid:107)(cid:10)(cid:100)(cid:101)(cid:89)(cid:57)(cid:109)(cid:31)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:119)(cid:33)(cid:39)(cid:89)(cid:47)(cid:109)(cid:31)(cid:33)(cid:73)(cid:120)(cid:89)(cid:57)(cid:109)(cid:31)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:119)(cid:33)(cid:39)(cid:89)(cid:47)
(cid:109)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:70)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:30)(cid:57)(cid:109)(cid:31)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:68)
4. (cid:121)(cid:3)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:122)(cid:123)(cid:56)(cid:50)
(cid:56)(cid:50)(cid:80)(cid:81) (cid:112)(cid:124)(cid:47)(cid:48) (cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)
(cid:115)(cid:116) DE // BC(cid:70)(cid:112)(cid:93) (cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:64)(cid:28)(cid:32)(cid:59)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)
(cid:24)(cid:25)(cid:110)(cid:21)
(cid:83)(cid:129)(cid:31)(cid:65)(cid:130)(cid:131)(cid:31)(cid:28)(cid:32) (cid:29)(cid:68) ADE ABC
(cid:121)(cid:7)(cid:132)(cid:31)(cid:44)(cid:34)(cid:133)(cid:31)(cid:70) (cid:30)(cid:31)△(cid:63)(cid:64)(cid:28)∽(cid:32)△(cid:59)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)
B= AED (cid:29)(cid:68) ADE ACB
(cid:119)(cid:134)(cid:21)
∠(cid:7)(cid:132)∠(cid:31)(cid:59)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36) △ ∽△
(cid:30)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:70)(cid:84)(cid:40)(cid:31)(cid:28)(cid:32)(cid:59)(cid:30)(cid:57)
AB AC
(cid:37)(cid:38)(cid:70) = (cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:68) ACB AED
AD AE
△ ∽△
(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:64)(cid:28)(cid:32)(cid:59)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)
(cid:135)(cid:136)(cid:21) 1= 2
(cid:29)(cid:68) ACD ABC
∠ ∠
△ ∽△
(cid:121)(cid:89)(cid:139)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:28)(cid:32)(cid:70)
(cid:7)(cid:132)(cid:31)(cid:140)(cid:34)(cid:35)(cid:31)(cid:141)(cid:59)
(cid:30)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:70)(cid:84)(cid:40)(cid:31)(cid:28)(cid:32)(cid:59)(cid:30)(cid:57)
(cid:137)(cid:138)(cid:21)
(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:70) (cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:68) ABC A′B′C′
1= 2(cid:70) AB = AC ∠ △ ∽△
A′B′ A′C′
∠
【题型1 利用平行判定相似】
(cid:15)(cid:38)1(cid:19)(cid:100)(cid:56)(cid:70)AB //CD //EF(cid:70)(cid:118)(cid:56)(cid:142)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:34)(cid:58)(cid:143)( )A. 4(cid:34) B. 3(cid:34) C. 2(cid:34) D. 1(cid:34)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)1-1(cid:19)(cid:100)(cid:56)(cid:70)AB(cid:70)CD(cid:28)(cid:134)(cid:108)(cid:146)O(cid:70)AC//BD.(cid:147)(cid:125)(cid:10) OAC OBD(cid:68)
△ ∽△
(cid:15)(cid:144)(cid:145)1-2(cid:19)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:61) ABC(cid:142)(cid:70)(cid:146)D(cid:65)M(cid:61)AB(cid:148)(cid:70)(cid:146)E(cid:65)N(cid:63)(cid:64)(cid:61)BC(cid:65)AC(cid:148)(cid:70)(cid:84)DE//AC(cid:70)MN//BC(cid:70)DE(cid:134)MN
(cid:108)(cid:146)O.(cid:56)(cid:142)(cid:73) ABC(cid:28)△(cid:29)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:121)(cid:149)(cid:150)(cid:57)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:90)(cid:91)(cid:155)(cid:156)(cid:70)(cid:157)(cid:158)(cid:126)(cid:107)(cid:159)(cid:68)
△
(cid:15)(cid:144)(cid:145)1-3(cid:19)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:61)(cid:24)(cid:25)(cid:160)(cid:33)(cid:50)ABCD(cid:142)(cid:70)F(cid:94)AD(cid:161)(cid:162)(cid:110)(cid:148)(cid:89)(cid:146)(cid:70)(cid:163)(cid:164)BF(cid:134)DC(cid:108)(cid:146)E(cid:70)(cid:118)(cid:56)(cid:142)(cid:59)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)
(cid:50)(cid:132)(cid:121) (cid:34).
【题型2 利用两角相等判定相似】
(cid:15)(cid:38)2(cid:19)(cid:140)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:148)·(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:171)·(cid:172)(cid:173)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)D(cid:94) ABC(cid:33)BC(cid:148)(cid:59)(cid:89)(cid:146)(cid:70) BAD= C(cid:70) ABC(cid:59)(cid:24)(cid:63)(cid:110)
(cid:134)(cid:33)AC(cid:108)(cid:146)E(cid:70)(cid:134)AD(cid:108)(cid:146)F(cid:70)(cid:118)(cid:61)(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:155)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:142)△(cid:70)(cid:73) BDF(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:94)(cid:140)∠ (cid:141) ∠ ∠
△
A(cid:68) BFA B(cid:68) BAE C(cid:68) BEC D(cid:68) AEF
△ △ △ △(cid:15)(cid:144)(cid:145)2-1(cid:19)(cid:140)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:148)·(cid:177)(cid:178)(cid:179)(cid:180)·(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:159)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:185)(cid:186)(cid:92)(cid:116)(cid:70)(cid:174)(cid:175)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:89)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
(cid:59)(cid:94)(cid:140) (cid:141)
A(cid:68) BCD ACD B(cid:68) BCD ABC
C(cid:68)△ACD∽△ABC D(cid:68)△(cid:93)(cid:148)(cid:187)∽(cid:88)△(cid:34)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)△2-2(cid:19)(cid:140)∽2△4-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:148)·(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:191)·(cid:172)(cid:142)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)AB BC(cid:70)BD CD(cid:70) ACD=90°(cid:70)(cid:147)(cid:125)(cid:10) ABC CDB(cid:68)
⊥ ⊥ ∠ △ ∽△
(cid:15)(cid:144)(cid:145)2-3(cid:19)(cid:140)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:174)·(cid:148)(cid:192)·(cid:193)(cid:172)(cid:55)(cid:194)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:61) ABC(cid:142)(cid:70) ACB=90°(cid:70)AC=BC(cid:70)P(cid:94) ABC(cid:130)(cid:89)(cid:146)(cid:70)
(cid:84) APB= APC=135°(cid:68)(cid:147)(cid:125)(cid:10) CPA APB(cid:68) △ ∠ △
∠ ∠ △ ∽△
【题型3 利用两边对应成比例及夹角相等判定相似】
(cid:15)(cid:38)3(cid:19)(cid:140)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:148)·(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:191)·(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:61)(cid:98)(cid:127)(cid:50)ABCD(cid:142)(cid:70)(cid:146)F(cid:94)BC(cid:33)(cid:148)(cid:89)(cid:146)(cid:70)(cid:163)(cid:195)AF(cid:70)(cid:93)
AF(cid:143)(cid:34)(cid:31)(cid:110)(cid:55)(cid:98)(cid:127)(cid:50)AEFG(cid:70)(cid:163)(cid:195)AC(cid:65)DG(cid:70)(cid:147)(cid:125)(cid:10) AFC AGD(cid:68)
△ ∽△
(cid:15)(cid:144)(cid:145)3-1(cid:19)(cid:140)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:148)·(cid:169)(cid:196)(cid:197)(cid:171)·(cid:172)(cid:142)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:146)E,F(cid:63)(cid:64)(cid:61)(cid:98)(cid:127)(cid:50)ABCD(cid:59)(cid:33)AD(cid:70)CD(cid:148)(cid:70)(cid:163)(cid:195)BE(cid:69)
EF(cid:70)AB=9(cid:70)AE=3(cid:70)DF=2(cid:68)(cid:147)(cid:125)(cid:10) ABE DEF(cid:68)
△ ∽△(cid:15)(cid:144)(cid:145)3-2(cid:19)(cid:140)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:148)·(cid:198)(cid:199)(cid:200)(cid:201)·(cid:172)(cid:173)(cid:141)(cid:115)(cid:116)(cid:10)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:146)C(cid:70)D(cid:61)(cid:110)(cid:182)AB(cid:148)(cid:70) PCD(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:70)
(cid:84)AC=1(cid:70)CD=2(cid:70)DB=4(cid:68)(cid:147)(cid:125)(cid:10) ACP PDB(cid:68) △
△ ∽△
(cid:15)(cid:144)(cid:145)3-3(cid:19)(cid:140)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:148)·(cid:202)(cid:203)(cid:204)(cid:205)·(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:141)(cid:160)(cid:33)(cid:50)ABCD(cid:143)(cid:24)(cid:25)(cid:160)(cid:33)(cid:50)(cid:70)(cid:146)E(cid:69)(cid:146)F(cid:63)(cid:64)(cid:143)(cid:33)AD(cid:70)AB
(cid:59)(cid:142)(cid:146)(cid:70)(cid:163)(cid:195)EF(cid:65)CF(cid:70)EF(cid:134)(cid:34)(cid:31)(cid:110)AC(cid:108)(cid:146)G(cid:68)
(1)(cid:117)AC=8(cid:70)(cid:147)AG(cid:59)(cid:162)(cid:206)
(2)(cid:100)(cid:101)AB=AC(cid:70)(cid:147)(cid:125)(cid:10) AFG ACF(cid:68)
△ ∽△
【题型4 利用三边对应成比例判定相似】
(cid:15)(cid:38)4(cid:19)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:148)·(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:199)·(cid:172)(cid:173)(cid:141)(cid:115)(cid:116)(cid:10)(cid:100)(cid:56)(cid:70) ABE=90°(cid:70)(cid:84)AB=BC=CD=DE=1(cid:70)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:214)(cid:56)(cid:50)
(cid:73)(cid:112)(cid:176)(cid:47)(cid:48)(cid:70)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:155)(cid:89)(cid:34)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:70)(cid:157)(cid:125)(cid:126)(cid:218)(cid:59)∠(cid:219)(cid:220)(cid:68)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)4-1(cid:19)(cid:140)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:148)·(cid:198)(cid:199)(cid:221)(cid:222)·(cid:172)(cid:142)(cid:141)(cid:115)(cid:116) ABC(cid:69) DEF(cid:59)(cid:41)(cid:33)(cid:162)(cid:70)(cid:174)(cid:175)(cid:47)(cid:48)(cid:75)(cid:26)(cid:223)(cid:153)(cid:154)(cid:28)(cid:29)(cid:59)
(cid:94)(cid:140) (cid:141) △ △
A(cid:68)AB=4(cid:70)BC=8(cid:70)AC=10(cid:206) DE=20(cid:70)EF=16(cid:70)DF=8B(cid:68)AB=3(cid:70)BC=4(cid:70)AC=6(cid:206) DE=6(cid:70)EF=8(cid:70)DF=9
C(cid:68)AB=12(cid:70)BC=15(cid:70)AC=24(cid:206) DE=16(cid:70)EF=30(cid:70)DF=20
D(cid:68)AB=3k(cid:70)BC=4k(cid:70)AC=5k(cid:206) DE=6k(cid:70)EF=7k(cid:70)DF=8k(k>0)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)4-2(cid:19)(cid:140)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:174)·(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:227)·(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:61)4×1(cid:59)(cid:127)(cid:228)(cid:142)(cid:70)(cid:229)(cid:89)(cid:57)(cid:86)(cid:98)(cid:127)(cid:50)(cid:59)(cid:133)(cid:146)(cid:66)(cid:67)(cid:228)(cid:146)(cid:70)
(cid:93)(cid:96)(cid:142)(cid:41)(cid:57)(cid:228)(cid:146)(cid:143)(cid:133)(cid:146)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:230)(cid:143)(cid:228)(cid:146)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:70) ABC(cid:231)(cid:94)(cid:89)(cid:57)(cid:228)(cid:146)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:70)(cid:232)(cid:233)(cid:228)(cid:146)D(cid:65)E(cid:65)F(cid:65)G(cid:142)(cid:42)
(cid:234)(cid:89)(cid:57)(cid:228)(cid:146)(cid:73)(cid:146)B(cid:65)C(cid:163)(cid:195)(cid:36)(cid:228)(cid:146)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:70)(cid:75)(cid:49)(cid:235)(cid:228)△(cid:146) ABC(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:228)(cid:146)(cid:94)(cid:140) (cid:141)
△
A(cid:68)(cid:146)D B(cid:68)(cid:146)E C(cid:68)(cid:146)F D(cid:68)(cid:146)G
(cid:15)(cid:144)(cid:145)4-3(cid:19)(cid:140)23-24(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:174)·(cid:72)(cid:236)·(cid:172)(cid:142)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:237)(cid:57)(cid:77)(cid:72)(cid:28)(cid:83)(cid:59)(cid:86)(cid:162)(cid:127)(cid:50)(cid:238)(cid:36)(cid:89)(cid:57)(cid:98)(cid:127)(cid:50)(cid:239)(cid:228)(cid:70)(cid:86)(cid:240)(cid:65)(cid:86)
(cid:241)(cid:65)(cid:86)(cid:242)(cid:65)(cid:86)(cid:243)(cid:160)(cid:129)(cid:83)(cid:11)(cid:23)(cid:244)(cid:245)(cid:246)(cid:59)(cid:109)(cid:53)(cid:61)(cid:239)(cid:228)(cid:142)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:89)(cid:57)(cid:250)(cid:31)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:70)(cid:96)(cid:142)(cid:251)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:94)(cid:140)(cid:252)(cid:252)(cid:141)
A(cid:68) (cid:69) B(cid:68) (cid:69) C(cid:68) (cid:69) D(cid:68) (cid:69)
【题型
①5
选
②
择或补充条件
②
使两三
③
角形相似】
① ③ ① ④
(cid:15)(cid:38)5(cid:19)(cid:140)22-23(cid:237)(cid:166)(cid:167)(cid:174)·(cid:168)(cid:169)(cid:253)(cid:254)·(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:61) ABC(cid:142)(cid:70)(cid:146)D(cid:143)(cid:33)AC(cid:148)(cid:59)(cid:89)(cid:146)(cid:70)(cid:42)(cid:43)(cid:174)(cid:175)(cid:47)(cid:48)(cid:10)
2= A(cid:206) 1= CBA(cid:206) BC = CD (cid:206) BC = DB (cid:142)(cid:59)(cid:89)(cid:57)(cid:70) △ (cid:75)(cid:113)(cid:155) ABC(cid:69) BCD(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:94)(cid:10) (cid:140)(cid:255)(cid:256)
AC BC AC AB
①∠ ∠ ②∠ ∠ ③ ④ △ △
(cid:9)(cid:141)(cid:68)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)5-1(cid:19)(cid:140)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:148)·(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:260)·(cid:172)(cid:173)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:61)(cid:160)(cid:33)(cid:50)ABCD(cid:142)(cid:70)(cid:34)(cid:31)(cid:110)AC(cid:24)(cid:63) BAD(cid:70)AB=9(cid:70)
AC=6(cid:70)(cid:118)(cid:261)(cid:49) ABC ACD(cid:70)(cid:262)(cid:261)AD= (cid:68) ∠
△ ∽△(cid:15)(cid:144)(cid:145)5-2(cid:19)(cid:140)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:148)·(cid:148)(cid:192)·(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:115)(cid:116)(cid:61)(cid:263)(cid:50)ABCD(cid:142)(cid:70)AD BC(cid:70)(cid:261)(cid:49) BAD(cid:73) DBC
(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:264)(cid:124)(cid:265)(cid:266)(cid:89)(cid:57)(cid:47)(cid:48)(cid:70)(cid:104)(cid:57)(cid:47)(cid:48)(cid:92)(cid:93)(cid:94) (cid:140)(cid:262)(cid:124)(cid:255)(cid:89)(cid:57)(cid:47)(cid:48)(cid:141)(cid:68) ∥ △ △
(cid:15)(cid:144)(cid:145)5-3(cid:19)(cid:140)2025·(cid:177)(cid:178)·(cid:142)(cid:267)(cid:212)(cid:20)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:61)(cid:268)(cid:33)(cid:50)ABCDE(cid:142)(cid:70)AE BC(cid:70)(cid:161)(cid:162)BA(cid:70)BC(cid:70)(cid:63)(cid:64)(cid:134)(cid:109)(cid:110)DE(cid:108)
(cid:146)M(cid:70)N(cid:68)(cid:117)(cid:265)(cid:266)(cid:174)(cid:175)(cid:89)(cid:57)(cid:47)(cid:48)(cid:216)(cid:70)(cid:269)(cid:244)(cid:128)(cid:26)(cid:27) MAE DCN(cid:70)(cid:118)(cid:104)∥(cid:57)(cid:47)(cid:48)(cid:94)(cid:140) (cid:141)
△ ∽△
A(cid:68) B+ 4=180° B(cid:68)CD AB C(cid:68) 1= 4 D(cid:68) 2= 3
【题型 ∠ 6 裁 ∠ 剪使两三角形相似】 ∥ ∠ ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:38)6(cid:19)(cid:140)23-24(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:148)·(cid:168)(cid:169)(cid:270)(cid:171)·(cid:172)(cid:173)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:61) ABC(cid:271)(cid:272)(cid:142)(cid:70) A=72°, B=38°(cid:70)(cid:273) ABC(cid:271)(cid:272)(cid:274)(cid:275)(cid:109)
(cid:110)(cid:52)(cid:276)(cid:70)(cid:174)(cid:175)(cid:160)(cid:277)(cid:127)(cid:145)(cid:142)(cid:52)(cid:174)(cid:59)(cid:278)(cid:279)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73) ABC(cid:28)△(cid:29)(cid:59)(cid:94)(cid:140) (cid:141)∠ ∠ △
△
A(cid:68) B(cid:68) C(cid:68) D(cid:68)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)①6-1②(cid:19)(cid:140)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)②(cid:148)④·(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:191)·(cid:172)(cid:142)(cid:141)(cid:100)③(cid:56)④(cid:70)(cid:61) ABC(cid:142)(cid:70) A=7①8°③(cid:70)AB=6(cid:70)AC=9(cid:68)(cid:273) ABC(cid:274)(cid:56)
(cid:91)(cid:142)(cid:59)(cid:280)(cid:110)(cid:52)(cid:276)(cid:70)(cid:52)(cid:174)(cid:59)(cid:278)(cid:279)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73)(cid:114)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:88)(cid:28)(cid:29)(cid:59)△(cid:94)(cid:140) (cid:141) ∠ △A(cid:68) B(cid:68)
C(cid:68) D(cid:68)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)6-2(cid:19)(cid:140)23-24(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:148)·(cid:281)(cid:189)(cid:282)(cid:283)·(cid:172)(cid:173)(cid:141)(cid:58)(cid:11)(cid:99)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:287)(cid:148)(cid:70)(cid:86)(cid:126)(cid:69)(cid:86)(cid:243)(cid:63)(cid:64)(cid:52)(cid:249)(cid:89)(cid:34)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:70)(cid:97)(cid:154)
(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:291)(cid:113)(cid:292)(cid:28)(cid:3)(cid:58)(cid:293)(cid:70)(cid:157)(cid:294)(cid:71)(cid:61)(cid:56)(cid:50)(cid:148)(cid:68)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:34)(cid:108)(cid:97)(cid:154)(cid:52)(cid:59)(cid:30)(cid:139)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:158)(cid:128)(cid:70)(cid:98)(cid:295)(cid:59)(cid:94)(cid:140) (cid:141)
A(cid:68)(cid:187)(cid:28)(cid:29) B(cid:68)(cid:262)(cid:121)(cid:56) (cid:28)(cid:29) C(cid:68)(cid:262)(cid:121)(cid:56) (cid:28)(cid:29) D(cid:68)(cid:187)(cid:88)(cid:28)(cid:29)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)6-3(cid:19)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:61)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:271)(cid:272)①ABC(cid:142)(cid:70)AB=6(cid:70)AC=4(cid:70)②BC=8(cid:70)(cid:274)(cid:280)(cid:110)(cid:52)(cid:174)(cid:59)(cid:296)(cid:297)(cid:298)(cid:63)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73) ABC
(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:94)(cid:140) (cid:141) △
A(cid:68) B(cid:68)
C(cid:68) D(cid:68)
【题型7 尺规作图使两个三角形相似】
(cid:15)(cid:38)7(cid:19)(cid:140)2025·(cid:168)(cid:169)(cid:299)(cid:300)·(cid:301)(cid:302)(cid:141)(cid:23)“(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)”(cid:273)(cid:89)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:63)(cid:303)(cid:36)(cid:89)(cid:57)(cid:86)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:69)(cid:89)(cid:57)(cid:160)(cid:33)(cid:50)(cid:70)(cid:118)(cid:174)(cid:175)(cid:56)
(cid:50)(cid:142)(cid:70)(cid:63)(cid:303)(cid:155)(cid:156)(cid:59)(cid:86)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73)(cid:114)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:88)(cid:89)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:94)(cid:140) (cid:141)A(cid:68) B(cid:68)
C(cid:68) D(cid:68)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)7-1(cid:19)(cid:140)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:148)·(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:171)·(cid:172)(cid:173)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:115)(cid:116)(cid:32)(cid:304) ABC(cid:142)(cid:70)BA=BC(cid:70) B=108°(cid:70)(cid:210)(cid:23)(cid:53)(cid:54)(cid:61)AC
(cid:148)(cid:147)(cid:55)(cid:89)(cid:146)D(cid:70)(cid:49)(cid:113) ABD ACB(cid:68)(cid:140)(cid:305)(cid:306)(cid:55)(cid:56)(cid:185)(cid:186)(cid:70)(cid:88)(cid:307)(cid:55)△(cid:128)(cid:141) ∠
△ ∽ △
(cid:15)(cid:144)(cid:145)7-2(cid:19)(cid:140)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:148)·(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:191)·(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:61)(cid:160)(cid:33)(cid:50)ABCD(cid:142)(cid:70)ABCD(cid:70)(cid:163)(cid:195)BD(cid:70)(cid:210)(cid:23)(cid:53)(cid:54)
(cid:55)(cid:56)(cid:128)(cid:61)BD(cid:148)(cid:217)(cid:89)(cid:146)P(cid:70)(cid:49)(cid:113) ABD PCB(cid:68)(cid:140)(cid:305)(cid:306)(cid:55)(cid:56)(cid:185)(cid:186)(cid:70)(cid:88)(cid:307)(cid:55)(cid:128)(cid:141)
△ ∽△
(cid:15)(cid:144)(cid:145)7-3(cid:19)(cid:61) ABC(cid:142)(cid:70) ABC=90°(cid:70)(cid:23)(cid:109)(cid:53)(cid:69)(cid:308)(cid:54)(cid:61)AC(cid:148)(cid:295)(cid:27)(cid:146)D(cid:70)(cid:49) BAD CBD(cid:70)(cid:309)(cid:293)(cid:55)(cid:56)(cid:185)(cid:186)(cid:26)
(cid:223)(cid:70)(cid:98)(cid:295)(cid:59)(cid:94)(cid:140)△ (cid:141) ∠ △ ∽△
A(cid:68) B(cid:68)C(cid:68) D(cid:68)
【题型8 数相似三角形的对数】
(cid:15)(cid:38)8(cid:19)(cid:140)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:148)·(cid:207)(cid:208)(cid:310)(cid:171)·(cid:172)(cid:142)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)AC BC(cid:70)CD AB(cid:70)DE BC(cid:70)(cid:118)(cid:56)(cid:142)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:121)(cid:140) (cid:141)
⊥ ⊥ ⊥
A(cid:68)5(cid:34) B(cid:68)6(cid:34) C(cid:68)10(cid:34) D(cid:68)20(cid:34)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)8-1(cid:19)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:61)(cid:98)(cid:127)(cid:50)ABCD(cid:142)(cid:70)E(cid:94)AD(cid:59)(cid:142)(cid:146)(cid:70)F(cid:94)CD(cid:148)(cid:89)(cid:146)(cid:70)(cid:84)CF=3FD(cid:68)(cid:118)(cid:56)(cid:142)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)
(cid:50)(cid:59)(cid:34)(cid:58)(cid:94)(cid:140)(cid:252)(cid:252)(cid:141)
A(cid:68)1 B(cid:68) 2 C(cid:68)3 D(cid:68))4
(cid:15)(cid:144)(cid:145)8-2(cid:19)(cid:140)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:148)·(cid:148)(cid:192)(cid:311)(cid:225)(cid:312)·(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:115)(cid:116) ABC(cid:65) DEF(cid:187)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:70)(cid:146)D(cid:65)E
(cid:63)(cid:64)(cid:61)AB(cid:65)BC(cid:148)(cid:70)(cid:56)(cid:142)(cid:59)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:132)(cid:121)(cid:140) (cid:141)(cid:34)(cid:68) △ △
A(cid:68)3(cid:34) B(cid:68)4(cid:34) C(cid:68)6(cid:34) D(cid:68)7(cid:34)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)8-3(cid:19)(cid:140)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:148)·(cid:177)(cid:178)(cid:305)(cid:27)·(cid:172)(cid:142)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)E(cid:94)(cid:313)(cid:50)ABCD(cid:59)(cid:33)CD(cid:59)(cid:142)(cid:146)(cid:70)(cid:163)(cid:195)BE,AF BE(cid:108)(cid:146)
F,AF(cid:59)(cid:161)(cid:162)(cid:110)(cid:134)BC(cid:108)(cid:146)G(cid:70)(cid:163)(cid:195)DF(cid:70)(cid:118)(cid:56)(cid:142)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:121)(cid:140) (cid:141) ⊥A(cid:68)4(cid:34) B(cid:68)6(cid:34) C(cid:68)8(cid:34) D(cid:68)5(cid:34)
【题型9 存在相似三角形】
(cid:15)(cid:38)9(cid:19)(cid:140)23-24(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:148)·(cid:207)(cid:208)(cid:314)(cid:315)(cid:281)·(cid:172)(cid:142)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:115)(cid:116)AB BC(cid:108)(cid:146)B(cid:70)CD BC(cid:108)(cid:146)C(cid:70)AB=4(cid:70)CD=6(cid:70)
BC=14(cid:70)P(cid:143)(cid:109)(cid:110)BC(cid:148)(cid:89)(cid:146)(cid:70)(cid:117)(cid:93)A(cid:65)B(cid:65)P(cid:143)(cid:133)(cid:146)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73)⊥(cid:93)P(cid:65)C(cid:65)D(cid:143)(cid:133)⊥(cid:146)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:118)(cid:104)(cid:316)(cid:59)P
(cid:146)(cid:121) (cid:57)(cid:68)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)9-1(cid:19)(cid:61)(cid:317)(cid:294)(cid:318)(cid:142)(cid:70)(cid:115)(cid:116)A(cid:140)﹣3(cid:70)0(cid:141)(cid:70)B(cid:140)0(cid:70)﹣4(cid:141)(cid:70)C(cid:140)0(cid:70)1(cid:141)(cid:70)(cid:289)(cid:146)C(cid:55)(cid:109)(cid:110)L(cid:134)x(cid:319)(cid:108)(cid:146)D(cid:70)
(cid:49)(cid:113)(cid:93)(cid:146)D(cid:70)C(cid:70)O(cid:143)(cid:133)(cid:146)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73) AOB(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:104)(cid:316)(cid:59)(cid:109)(cid:110)(cid:89)(cid:132)(cid:92)(cid:93)(cid:55)(cid:155)(cid:140)(cid:252)(cid:252)(cid:141)
A(cid:68)6(cid:47) B(cid:68)3(cid:47) △ C(cid:68)4(cid:47) D(cid:68)5(cid:47)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)9-2(cid:19)(cid:140)22-23(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:174)·(cid:72)(cid:236)·(cid:287)(cid:216)(cid:55)(cid:194)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:61)(cid:313)(cid:50)ABCD(cid:142)(cid:70)AB=7.5,BC=8(cid:70)(cid:146)E(cid:94)AB(cid:148)(cid:89)(cid:146)(cid:70)
BE=2(cid:70)(cid:146)P(cid:94)(cid:33)BC(cid:148)(cid:59)(cid:89)(cid:57)(cid:286)(cid:146)(cid:70)(cid:117)(cid:49)(cid:113)(cid:93)P(cid:65)C(cid:65)D(cid:143)(cid:133)(cid:146)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73) EBP(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:118)(cid:104)(cid:316)(cid:59)(cid:146)P(cid:121)
(cid:57)(cid:68) △
(cid:15)(cid:144)(cid:145)9-3(cid:19)(cid:140)23-24(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:148)·(cid:224)(cid:225)(cid:320)(cid:321)·(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70) ABO(cid:59)(cid:133)(cid:146)(cid:317)(cid:294)(cid:94)A(2,6)(cid:70)B(3,1)(cid:70)O(0,0)(cid:70)(cid:24)
(cid:322)(cid:130)(cid:146)P(cid:49)(cid:113) ABP(cid:73) ABO(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:118)(cid:88)(cid:73)(cid:146)O(cid:78)(cid:79)(cid:59)(cid:146)P(cid:121) △ (cid:57)(cid:68)
△ △
