文档文本内容
专题 1.4 全等三角形的判定（一）（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 “(cid:22)(cid:23)(cid:22)”(cid:24)SAS(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19).....................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 “(cid:23)(cid:22)(cid:23)”(cid:24)ASA(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19).....................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 “(cid:23)(cid:23)(cid:22)”(cid:24)AAS(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19).....................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 “(cid:22)(cid:22)(cid:22)”(cid:24)SSS(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19)....................................................................................................11
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:19)..................................................................................................................................14
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:36)(cid:22)(cid:37)(cid:38)(cid:23)(cid:22)(cid:34)(cid:39)(cid:24)HL(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19).....................................................................................15
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19)..........................................................................................................18
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:46)(cid:47)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19)..........................................................................................................................24
知识点1 基本事实“边角边”（SAS） +
A
A
科
全
★
1. (cid:48)(cid:22)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:31)(cid:32)(cid:48)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)“(cid:22)众(cid:23)(cid:22) 号 ”(cid:60)“SAS”(cid:56)
公
注
关
，
资 源 = ，
辅
2. (cid:61)(cid:11)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:10)(cid:66)教(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70) (cid:71) (cid:72)(cid:69) = (cid:69)
𝐴𝐵= 𝐷𝐸(cid:69)
△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹 ∠𝐴 ∠𝐷
SAS)(cid:56) 𝐴𝐶 𝐷𝐹
∴ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(
知识点2 基本事实“角边角”（ASA）
1. (cid:48)(cid:22)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:31)(cid:32)(cid:48)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)“(cid:23)(cid:22)(cid:23)”(cid:60)“ASA”(cid:56)
= (cid:69)
2. (cid:61)(cid:11)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:10)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70) (cid:71) (cid:72)(cid:69) = (cid:69)
∠𝐴 =∠𝐷(cid:69)
△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐷𝐸
ASA)(cid:56) ∠𝐵 ∠𝐸
∴ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(
知识点3 “角边角”的推论“角角边”（AAS）
1. (cid:48)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:31)(cid:73)(cid:50)(cid:72)(cid:74)(cid:75)(cid:31)(cid:23)(cid:32)(cid:76)(cid:22)(cid:54)(cid:31)(cid:32)(cid:48)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)“(cid:23)(cid:23)(cid:22)”(cid:60)“AAS”(cid:56)
= (cid:69)
2. (cid:61)(cid:11)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:10)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70) (cid:71) (cid:72)(cid:69) = (cid:69)
∠𝐴 =∠𝐷(cid:69)
△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹 ∠𝐵 ∠𝐸
𝐵𝐶 𝐸𝐹AAS)(cid:56)
∴ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(
知识点4 基本事实“边边边”（SSS）
1. (cid:28)(cid:22)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:31)(cid:32)(cid:48)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)“(cid:22)(cid:22)(cid:22)”(cid:60)“SSS”(cid:56)
= (cid:69)
2. (cid:61)(cid:11)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:10)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70) (cid:71) (cid:72)(cid:69) = (cid:69)
𝐴𝐵= 𝐷𝐸(cid:69)
△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹 𝐵𝐶 𝐸𝐹
AAS)(cid:56) 𝐴𝐶 𝐷𝐹
∴ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(
知识点5 三角形的稳定性
(cid:77)(cid:41)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:69)(cid:66)(cid:84)(cid:74)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:28)(cid:22)(cid:32)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:34)(cid:69)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:29)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:30)(cid:87)(cid:34)(cid:69)(cid:28)(cid:23)(cid:29)
(cid:32)(cid:90)(cid:55)(cid:35)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:56)
(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:70)(cid:77)(cid:41)(cid:92)(cid:77)(cid:100)(cid:72)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:32)(cid:105)(cid:43)(cid:56)(cid:106)(cid:66)(cid:10)(cid:107)(cid:108)(cid:32)(cid:109)(cid:110)(cid:29)(cid:111)(cid:112)(cid:37)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:111)(cid:112)(cid:37)(cid:36)(cid:116)(cid:117)(cid:112)(cid:31)(cid:69)
(cid:118)(cid:43)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:69)(cid:119)(cid:77)(cid:41)(cid:72)(cid:32)(cid:120)(cid:121)(cid:78)(cid:122)(cid:123)(cid:43)(cid:56)
知识点6 斜边、直角边定理（HL）
+
A
A
科
1. (cid:36)(cid:22)(cid:92)(cid:74)(cid:124)(cid:38)(cid:23)(cid:22)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:31)(cid:32)(cid:48)(cid:55)(cid:38)(cid:23)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:125)(cid:126)(cid:57)(cid:58)★(cid:59)全“(cid:36)(cid:22)(cid:37)(cid:38)(cid:23)(cid:22)”(cid:60)“HL”(cid:25)(cid:56)
号
众
公
注
关
， = ，
2. (cid:61)(cid:11)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65):(cid:66)(cid:68) 教 (cid:69)(cid:70) 辅 Rt资 源(cid:71)Rt (cid:72)(cid:24) (cid:71) (cid:127)(cid:38)(cid:23)(cid:25)(cid:69) = ′ ′ ，
′ ′ ′ ′ 𝐴𝐵 𝐴′𝐵′
△𝐴𝐵𝐶 △𝐴 𝐵 𝐶 ∠𝐶 ∠𝐶 𝐵𝐶 𝐵 𝐶
Rt Rt (HL)(cid:56)
′ ′ ′
∴ △𝐴𝐵𝐶≌ △𝐴 𝐵 𝐶
【题型1 “边角边”（SAS）证明三角形全等】
(cid:15)(cid:106)1(cid:19)(cid:24)24-25(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)·(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:135)·(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:56) (cid:72)(cid:56) = (cid:69) (cid:140)(cid:52) (cid:56)(cid:141) (cid:127) (cid:131)(cid:74)
(cid:141)(cid:56)(cid:142)(cid:68)(cid:72)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:101) (cid:76)(cid:56) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐸 𝐴𝐷
(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19)3(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)(cid:146)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:69)(cid:150)(cid:138)(cid:151)(cid:152)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:153)(cid:3)(cid:154)(cid:56)(cid:155)(cid:156)(cid:118)(cid:43)(cid:23)(cid:140)(cid:52)(cid:114)(cid:34)(cid:157)(cid:125)
(cid:158) = (cid:69)(cid:159)(cid:160)(cid:118)(cid:43)SAS(cid:125)(cid:149)(cid:34) (cid:69)(cid:161)(cid:162)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:35)(cid:97)(cid:125)(cid:158) = (cid:69)
∠𝐵𝐴=𝐷 ∠𝐶𝐴(cid:69)𝐷(cid:163)(cid:149)(cid:34) △(cid:69)𝐴(cid:164)𝐵𝐷(cid:160)≌(cid:26)△(cid:27)𝐴𝐶𝐷 (cid:165)(cid:125)(cid:56) 𝐵𝐷 𝐶𝐷
∠(cid:15)𝐴(cid:166)𝐷𝐵(cid:167)(cid:19)∠(cid:167)𝐴(cid:10)𝐷𝐶 (cid:140)(cid:52)△𝐵𝐷𝐸(cid:69)≌△𝐶𝐷𝐸 △𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐸
= ∵ 𝐴(cid:69)𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
∴(cid:70)∠𝐵𝐴𝐷 (cid:92)∠𝐶𝐴𝐷 (cid:72)(cid:69)
∴ △𝐴=𝐵𝐷 △𝐴𝐶𝐷
= (cid:69)
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐷
𝐴𝐷 𝐴𝐷 (SAS)(cid:69)
∴ △𝐴=𝐵𝐷≌(cid:69)△𝐴𝐶𝐷 = (cid:69)
(cid:70)∴ 𝐵𝐷 𝐶(cid:92)𝐷 ∠𝐴𝐷(cid:72)𝐵 (cid:69)∠𝐴𝐷𝐶
△𝐵𝐸=𝐷 △𝐶𝐸𝐷
= (cid:69)
𝐵𝐷= 𝐶𝐷
∠𝐴𝐷𝐵 ∠𝐴𝐷𝐶
+
A
𝐷𝐸 𝐷𝐸 (SAS)(cid:69) 科 A
全
★
号
众
(cid:70)∴ △𝐵𝐷𝐸(cid:92)≌△𝐶𝐷𝐸(cid:72)(cid:69) 公
注
关
，
源
△𝐴𝐵=𝐸 △𝐴𝐶𝐸 辅 资
教
= (cid:69)
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐸 𝐴𝐸 (SAS)(cid:69)
∴(cid:168)△3(cid:76)𝐴𝐵(cid:30)𝐸(cid:31)≌(cid:28)△(cid:23)𝐴𝐶(cid:29)𝐸(cid:69)
(cid:169)∴(cid:143)(cid:144)(cid:127)3(cid:56)
(cid:15)(cid:170)(cid:171)1-1(cid:19)(cid:24)24-25(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)·(cid:172)(cid:120)(cid:173)(cid:174)·(cid:175)(cid:176)(cid:25)(cid:61)(cid:11)(cid:177)(cid:131)(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:182)“(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:29)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:32)(cid:189)(cid:190)”(cid:32)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:69)
(cid:195)(cid:196)(cid:94)(cid:75)(cid:197)(cid:198)(cid:182)(cid:126)(cid:67)(cid:44)(cid:144)(cid:10)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:43)(cid:199)(cid:200)(cid:201)(cid:202)(cid:48)(cid:161)(cid:94)(cid:203) (cid:69) (cid:32)(cid:72)(cid:141) (cid:204)(cid:34)(cid:69)(cid:205)(cid:206)(cid:183)(cid:158) (cid:69) (cid:207)(cid:208)(cid:32)(cid:209)(cid:210)(cid:69)
(cid:95)(cid:125)(cid:211)(cid:212)(cid:189)(cid:190) (cid:32)(cid:85)(cid:86)(cid:69)(cid:213)(cid:44)(cid:144)(cid:214)(cid:162)(cid:32)(cid:61)(cid:11)(cid:34)(cid:39)(cid:60)(cid:215)(cid:146)𝐴(cid:216)𝐷(cid:217)(cid:153)𝐵𝐶(cid:24) (cid:25)𝑂 𝐶 𝐷
𝐴𝐵A(cid:56)SAS B(cid:56)ASA C(cid:56)AAS D(cid:56)HL
(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19)A
(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)(cid:146)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:32)(cid:153)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:105)(cid:43)(cid:69)(cid:150)(cid:138)(cid:151)(cid:152)(cid:126)(cid:131)(cid:211)(cid:218)(cid:141)(cid:153)(cid:167)(cid:143)(cid:146)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:154)(cid:56)
(cid:161)(cid:162)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:34)(cid:39)“SAS”(cid:167)(cid:143)(cid:165)(cid:125)(cid:56)
(cid:15)(cid:166)(cid:167)(cid:19)(cid:167)(cid:10)(cid:70) (cid:92) (cid:72)(cid:69)
= △𝐴𝑂𝐵 𝐷𝑂𝐶
= (cid:69)
𝑂𝐴 =𝑂𝐷
∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐷𝑂𝐶
𝑂𝐵 𝑂𝐶 (SAS)(cid:69)
∴△𝐴𝑂=𝐵≌△(cid:69)𝐷𝑂𝐶
∴𝐴(cid:213)𝐵(cid:44)(cid:144)𝐶(cid:214)𝐷(cid:162)(cid:32)(cid:61)(cid:11)(cid:34)(cid:39)(cid:60)(cid:215)(cid:146)(cid:216)(cid:217)(cid:153)“SAS”(cid:69)
(cid:169)∴(cid:42)(cid:10)A(cid:56)
(cid:15)(cid:170)(cid:171)1-2(cid:19)(cid:24)2025(cid:219)(cid:129)(cid:130)(cid:67)·(cid:220)(cid:221)·(cid:11)(cid:222)(cid:147)(cid:223)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:70) (cid:92) (cid:72)(cid:69) = (cid:69) = (cid:69) =
(cid:24)(cid:141) (cid:69) (cid:69) (cid:69) (cid:70)(cid:224)(cid:74)(cid:124)(cid:38)(cid:114)(cid:131)(cid:25)(cid:56)(cid:225)(cid:26)(cid:10) △𝐴𝐵(cid:56)𝐶 △𝐷𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐷𝐸 𝐵𝐸 𝐶𝐹 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐷𝐸𝐹
+
A
𝐵 𝐸 𝐶 𝐹 △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹 科 A
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19)(cid:226)(cid:167)(cid:145)
(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)(cid:146)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:182)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:69)(cid:150)(cid:138)(cid:151)(cid:152)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:153)(cid:167)(cid:143)(cid:146)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:154)(cid:56)(cid:161)(cid:162)“SAS”(cid:149)
(cid:34)(cid:165)(cid:125)(cid:56)
(cid:15)(cid:166)(cid:167)(cid:19)(cid:26)(cid:27)(cid:10) = (cid:69)
+ = ∵+𝐵𝐸 (cid:69)𝐶𝐹
(cid:165)∴𝐵𝐸=𝐸𝐶(cid:69)𝐶𝐹 𝐸𝐶
(cid:70)𝐵𝐶 𝐸(cid:92)𝐹 (cid:72)(cid:69)
△𝐴𝐵=𝐶 △𝐷𝐸𝐹
= (cid:69)
𝐴𝐵 =𝐷𝐸
∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐷𝐸𝐹
𝐵𝐶 𝐸𝐹 (SAS)(cid:56)
(cid:15)∴△(cid:170)𝐴(cid:171)𝐵𝐶1≌-3(cid:19)△(cid:24)𝐷2𝐸0𝐹25·(cid:227)(cid:228)·(cid:74)(cid:229)(cid:25)(cid:70) (cid:72)(cid:69) (cid:140)(cid:52) (cid:69) = (cid:69) =3(cid:69) =6(cid:69)(cid:142) = (cid:56)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐵 2∠𝐴𝐷𝐵 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐶(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19)9
(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)(cid:146)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:182)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:92)(cid:35)(cid:97)(cid:230)(cid:213)(cid:20)(cid:118)(cid:43)(cid:182)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:72)(cid:231)(cid:43)(cid:232)(cid:233)(cid:114)(cid:234)(cid:235)(cid:85)(cid:236)(cid:237)(cid:45)(cid:238)(cid:239)(cid:30)
(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:69)(cid:159)(cid:160)(cid:118)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:167)(cid:20)(cid:69)(cid:90)(cid:153)(cid:167)(cid:240)(cid:114)(cid:137)(cid:92)(cid:241)(cid:242)(cid:20)(cid:164)(cid:231)(cid:43)(cid:32)(cid:44)(cid:45)(cid:69)(cid:4)(cid:243)(cid:151)(cid:152)(cid:56)
(cid:70) (cid:131)(cid:235)(cid:244) = (cid:69)(cid:245)(cid:246) (cid:69)(cid:26)(cid:27) (cid:69)(cid:158)(cid:198) = (cid:69)(cid:163)(cid:26)(cid:27) = (cid:69)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:250)(cid:61)(cid:251)
(cid:167)𝐴(cid:143)𝐶(cid:165)(cid:125)(cid:56)𝐴𝐸 𝐴𝐵 𝐷𝐸 △𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐸𝐷 ∠𝐵 ∠𝐴𝐸𝐷 𝐸𝐷 𝐸𝐶
(cid:15)(cid:166)(cid:167)(cid:19)(cid:167)(cid:10)(cid:70) (cid:131)(cid:235)(cid:244) = =3(cid:69)(cid:245)(cid:246) (cid:69)(cid:66)(cid:68)(cid:10)
𝐴𝐶 𝐴𝐸 𝐴𝐵 𝐷𝐸
(cid:140)(cid:52) (cid:69)
∵𝐴𝐷 =∠𝐵𝐴𝐶 (cid:69)
∴(cid:70)∠𝐵𝐴𝐷 (cid:92)∠𝐶𝐴𝐷 (cid:72)(cid:69)
A
+
△𝐴𝐵=𝐷 △𝐴𝐸𝐷 科 A
全
= (cid:69) 号 ★
众
𝐴𝐸 =𝐴𝐵 注 公
关
∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐸𝐴𝐷 ，
源
𝐴𝐷 𝐴𝐷 (SAS)(cid:69)辅 资
教
∴△𝐴=𝐵𝐷≌△(cid:69)𝐴𝐸𝐷 = (cid:69)
∴(cid:252)∠(cid:248)𝐵 ∠𝐴𝐸=𝐷 ∠𝐴𝐷𝐵(cid:69) ∠𝐴𝐷𝐸
(cid:253) ∠=𝐵𝐷𝐸 2∠(cid:69)𝐴𝐷𝐵
∠𝐵 =2∠𝐴𝐷𝐵 (cid:69)(cid:252)(cid:248) = (cid:69)
∴∠𝐴𝐸=𝐷 ∠=𝐵6𝐷(cid:69)𝐸 ∠𝐶𝐸𝐷 ∠𝐶𝐷𝐸
∴𝐶𝐸 =𝐶𝐷+ =3+6=9(cid:69)
(cid:169)∴𝐴(cid:143)𝐶(cid:144)(cid:127)𝐴𝐸(cid:10)9(cid:56)𝐶𝐸
【题型2 “角边角”（ASA）证明三角形全等】
(cid:15)(cid:106)2(cid:19)(cid:24)22-23(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)·(cid:103)(cid:254)(cid:255)(cid:256)·(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:257)(cid:211) 3= 4(cid:69)(cid:206)(cid:258)(cid:27) (cid:69)(cid:259)(cid:126)“ASA”(cid:127)
(cid:214)(cid:162)(cid:69)(cid:142)(cid:260)(cid:261)(cid:262)(cid:74)(cid:55)(cid:124)(cid:263)(cid:153) (cid:56) ∠ ∠ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐵(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19) =
(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)∠(cid:161)𝐴(cid:162)𝐵𝐶ASA(cid:26)∠𝐵(cid:27)𝐶𝐷 (cid:69)(cid:165)(cid:125)(cid:56)
(cid:15)(cid:166)(cid:167)(cid:19)(cid:167)(cid:10)(cid:261)(cid:262) △=𝐴𝐵𝐶≌△(cid:69)𝐷(cid:39)𝐶𝐵(cid:264)(cid:66)(cid:67)(cid:10)
3= 4(cid:69) = ∠(cid:69)𝐴𝐵𝐶 ∠=𝐵𝐶𝐷 (cid:69)
∵∠ ∠ 𝐵𝐶 𝐶(cid:56)𝐵 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐶𝐷
∴(cid:169)△(cid:143)𝐴(cid:144)𝐵(cid:127)𝐶≌(cid:10)△𝐷𝐶𝐵=
(cid:15)(cid:141)(cid:265)(cid:19)(cid:146)∠(cid:20)𝐴(cid:266)𝐵𝐶(cid:206)(cid:147)∠(cid:148)𝐵(cid:182)𝐶𝐷(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:69)(cid:150)(cid:138)(cid:151)(cid:152)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:34)(cid:39)(cid:153)(cid:167)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:154)(cid:56)
(cid:15)(cid:170)(cid:171)2-1(cid:19)(cid:24)2025(cid:267)(cid:129)(cid:130)(cid:67)·(cid:30)(cid:268)·(cid:269)(cid:20)(cid:138)(cid:139)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:94)(cid:27)(cid:270)(cid:131)(cid:32)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:271)(cid:272)(cid:273)(cid:274)(cid:275)(cid:182)(cid:74)(cid:276)(cid:52)(cid:69)(cid:277)(cid:161)(cid:162)(cid:278)(cid:11)
(cid:32)(cid:211)(cid:218)(cid:279)(cid:280)(cid:95)(cid:281)(cid:282)(cid:182)(cid:74)(cid:55)(cid:71)(cid:270)(cid:131)(cid:96)(cid:30)(cid:74)(cid:283)(cid:32)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:69)(cid:88)(cid:89)(cid:94)(cid:27)(cid:281)(cid:68)(cid:32)(cid:214)(cid:162)(cid:153)(cid:24) (cid:25)
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
A(cid:56)SSS B(cid:56)SAS C(cid:56)AAS D(cid:56)ASA
(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19)D
(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)(cid:146)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:230)
(cid:161)(cid:162)ASA(cid:165)(cid:125)(cid:167)(cid:143)(cid:56)
(cid:15)(cid:166)(cid:167)(cid:19)(cid:167)(cid:10)(cid:101)(cid:68)(cid:29)(cid:125)(cid:126)(cid:284)(cid:198)(cid:90)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:285)(cid:286)(cid:27)(cid:287)(cid:284)(cid:198)(cid:32)(cid:124)(cid:263)(cid:127)(cid:48)(cid:55)(cid:23)(cid:92)(cid:74)(cid:124)(cid:22)(cid:69)(cid:73)(cid:153)(cid:48)(cid:23)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:69)(cid:288)
(cid:213)(cid:289)(cid:290)ASA(cid:56)
(cid:169)(cid:42)D(cid:56)
(cid:15)(cid:170)(cid:171)2-2(cid:19)(cid:24)24-25(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)·(cid:220)(cid:221)(cid:291)(cid:292)·(cid:175)(cid:176)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:70) (cid:92) (cid:72)(cid:69) = (cid:69) = (cid:69)
= (cid:56)(cid:225)(cid:26)(cid:10) (cid:56) △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐷𝐸 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐷
∠𝐵 ∠𝐷 △𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19)(cid:226)(cid:167)(cid:145)
(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)(cid:146)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:182)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:230)
(cid:156)(cid:225)(cid:282) = (cid:69)(cid:163)(cid:161)(cid:162)ASA(cid:165)(cid:125)(cid:26)(cid:158)(cid:293)(cid:294)(cid:56)
(cid:15)(cid:166)(cid:167)∠(cid:19)𝐵(cid:26)𝐴𝐶(cid:27)(cid:10)∠𝐷𝐴𝐸 = (cid:69)
+ ∵=∠𝐵𝐴𝐷 +∠𝐶𝐴𝐸 (cid:69)(cid:165) = (cid:69)
∴(cid:70)∠𝐵𝐴𝐷 (cid:92)∠𝐶𝐴𝐷 ∠(cid:72)𝐶(cid:69)𝐴𝐸 ∠𝐶𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐸
△𝐴𝐵=𝐶 △𝐴𝐷𝐸
= (cid:69)
∠𝐵𝐴𝐶 =∠𝐷𝐴𝐸
𝐴𝐵 𝐴𝐷
∠𝐵 ∠𝐷 (ASA)(cid:56)
A
+
A
科
全
★
∴(cid:15)△(cid:170)𝐴(cid:171)𝐵𝐶2≌-3(cid:19)△(cid:24)𝐴𝐷23𝐸-24(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)·(cid:227)(cid:228)(cid:295)(cid:174)·(cid:175)(cid:176)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:206)
众
(cid:183)号(cid:184)(cid:296)(cid:297)(cid:48)(cid:298)M(cid:37)N(cid:48)(cid:141)(cid:208)(cid:32)(cid:209)(cid:210)(cid:69)(cid:125)(cid:126)(cid:70)(cid:38)(cid:114)
公
注
关
(cid:131)(cid:244)A(cid:69)B(cid:48)(cid:141)(cid:69)(cid:163)(cid:70)(cid:296)(cid:297)(cid:299)(cid:244) 源(cid:32)(cid:300)，(cid:114) (cid:131)(cid:32)(cid:48)(cid:141)C(cid:69)D(cid:69)(cid:119) = (cid:69)(cid:301)(cid:141) (cid:163)(cid:281)(cid:282) (cid:32)(cid:300)(cid:114) (cid:69)(cid:119)𝑀𝑁
资
辅
教
(cid:141) (cid:71)A(cid:69)C(cid:70)(cid:74)(cid:124)(cid:38)(cid:114)(cid:131)(cid:69)(cid:259)(cid:213)𝐴𝐵(cid:302)(cid:183)(cid:158) 𝐵𝐹=16m(cid:69) =0.5m(cid:69)𝐵𝐶 𝐶=𝐷1.5m(cid:69)(cid:142)𝐷(cid:296)(cid:297)(cid:48)𝐵(cid:298)𝐹M(cid:69)N𝐷(cid:48)𝐸(cid:141)(cid:208)(cid:32)
(cid:209)𝐸(cid:210)(cid:127) m(cid:56) 𝐷𝐸 𝐴𝑀 𝐵𝑁
(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19)14
(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)(cid:146)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:182)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:105)(cid:43)(cid:69)(cid:118)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:34)(cid:39)ASA(cid:26)(cid:282) (cid:153)(cid:167)(cid:20)(cid:32)(cid:3)
(cid:154)(cid:56)(cid:264)(cid:300)(cid:114)(cid:32)(cid:34)(cid:157)(cid:125)(cid:158)(cid:282) = =90°(cid:69)(cid:293)(cid:290) = (cid:69) = (cid:69)△(cid:165)𝐴(cid:125)𝐵(cid:26)𝐶≌(cid:282)△𝐸𝐷𝐶
(ASA)(cid:69)(cid:118)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)∠(cid:35)𝐵(cid:97)(cid:125)∠𝐸(cid:158)𝐷(cid:282)𝐶 (cid:56) 𝐵𝐶 𝐷𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐸𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐷𝐶
(cid:15)(cid:166)(cid:167)(cid:19)(cid:167)(cid:10) (cid:69)
∵𝐴𝐵⊥𝐵𝐹,𝐷𝐸⊥𝐵𝐹= =90°(cid:56)
(cid:70)∴∠𝐵 ∠(cid:92)𝐸𝐷𝐶 (cid:72)(cid:69)
△𝐴=𝐵𝐶 △𝐸𝐷𝐶
=
∠𝐵 =∠𝐸𝐷𝐶
𝐵𝐶 𝐷𝐶
∠𝐵𝐶𝐴 ∠𝐷𝐶𝐸 (ASA)(cid:69)
∴△𝐴𝐵=𝐶≌△=𝐸1𝐷6𝐶m(cid:69)
∴𝐴𝐵 =𝐸0𝐷.5m =1.5m(cid:69)
∵𝐴𝑀 = ,𝐵𝑁 =14m(cid:69)
(cid:169)∴(cid:143)𝑀𝑁(cid:144)(cid:127)1(cid:10)61−40(cid:56).5−1.5
【题型3 “角角边”（AAS）证明三角形全等】
(cid:15)(cid:106)3(cid:19)(cid:24)24-25(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)·(cid:303)(cid:304)(cid:305)(cid:306)·(cid:175)(cid:176)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69) =90°(cid:69) = (cid:69)(cid:52)(cid:53)(cid:301)(cid:141)A(cid:69)B(cid:307)(cid:301)(cid:141)C(cid:32)(cid:38)
(cid:114)(cid:32)(cid:300)(cid:114) (cid:69) (cid:56)(cid:259) =3cm(cid:69) =5cm(cid:69)(cid:142)∠𝐴𝐶(cid:32)𝐵(cid:85)(cid:127)(cid:24) 𝐶𝐴(cid:25) 𝐶𝐵
𝐴𝑀 𝐵𝑁 𝐴𝑀 𝐵𝑁 𝑀𝑁
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
A(cid:56)7cm B(cid:56)8cm C(cid:56)9cm D(cid:56)10cm
(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19)B
(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)(cid:146)(cid:20)(cid:266)(cid:206)(cid:147)(cid:148)(cid:182)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:92)(cid:35)(cid:97)(cid:69)(cid:74)(cid:308)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:101)SAS(cid:37)ASA(cid:37)AAS(cid:69)SSS(cid:69)
(cid:38)(cid:23)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:285)(cid:101)HL(cid:69)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:76)(cid:105)(cid:22)(cid:54)(cid:31)(cid:69)(cid:76)(cid:105)(cid:23)(cid:54)(cid:31)(cid:56)(cid:150)(cid:138)(cid:151)(cid:152)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:92)(cid:35)(cid:97)
(cid:153)(cid:167)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:154)(cid:56)
(cid:264) (cid:69) (cid:125)(cid:158) = =90°(cid:69)(cid:247)(cid:248)(cid:125)(cid:158) + =90°(cid:56)(cid:253)(cid:264) =90°(cid:125)(cid:158)
𝐴𝑀⊥+𝑀𝑁 𝐵𝑁=⊥90𝑀°(cid:69)𝑁(cid:247)(cid:248)∠(cid:125)𝑀(cid:158) ∠𝑁= (cid:56)(cid:163)(cid:161)(cid:162)AA∠S𝐴(cid:125)(cid:158)∠𝐴𝐶𝑀 (cid:69)∠(cid:142)𝐴𝐶(cid:125)𝐵(cid:158) = =3cm(cid:69)
∠𝐴𝐶=𝑀 ∠=𝐵𝐶5𝑁cm(cid:69)(cid:247)(cid:248)(cid:125)(cid:225)(cid:158) ∠(cid:32)𝐴(cid:85)(cid:56)∠𝐵𝐶𝑁 △𝐴𝐶𝑀≌△𝐶𝐵𝑁 𝐴𝑀 𝐶𝑁
(cid:15)𝐵𝑁(cid:166)(cid:167)𝐶(cid:19)𝑀(cid:167)(cid:10) (cid:69) 𝑀𝑁 (cid:69)
= =∵9𝐴0°𝑀(cid:69)⊥𝑀𝑁 𝐵𝑁⊥𝑀𝑁
∴∠𝑀+ ∠𝑁 =90°(cid:69)
∴∠𝐴 ∠=𝐴𝐶9𝑀0°(cid:69)
∵∠𝐴𝐶𝐵 + =90°(cid:69)
∴∠𝐴𝐶𝑀 ∠𝐵𝐶𝑁= (cid:56)
(cid:70)∴∠𝐴 ∠𝐵(cid:92)𝐶𝑁 (cid:72)(cid:69)
△𝐴=𝐶𝑀 △𝐵𝐶𝑁
= (cid:69)
∠𝑀= ∠𝑁
∠𝐴 ∠𝐵𝐶𝑁
𝐴𝐶 𝐶𝐵 AAS)(cid:69)
∴△𝐴𝐶=𝑀≌△=𝐶3𝐵c𝑁m((cid:69) = =5cm(cid:69)
∴𝐴𝑀 =𝐶𝑁 + =5𝐵𝑁+3=𝐶𝑀8cm(cid:56)
(cid:169)∴(cid:42)𝑀𝑁(cid:10)B(cid:56)𝐶𝑀 𝐶𝑁
(cid:15)(cid:170)(cid:171)3-1(cid:19)(cid:24)24-25(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)·(cid:309)(cid:310)(cid:311)(cid:174)·(cid:175)(cid:72)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69) (cid:69)(cid:206)(cid:119) (cid:69)(cid:260)(cid:206)(cid:261)(cid:262)
(cid:32)(cid:124)(cid:263)(cid:125)(cid:126)(cid:153)(cid:67)(cid:312)(cid:42)(cid:313)(cid:72)(cid:32)(cid:24) (cid:25) 𝐴𝐸∥𝐹𝐷,𝐶𝐸∥𝐹𝐵 △𝐸𝐴𝐶≌△𝐹𝐷𝐵
+
A
A
科
A(cid:56) = B(cid:56) = C(cid:56) = ★ 全D(cid:56) =
号
众
公
注
(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19)𝐴𝐵D 𝐵𝐶 ∠𝐸 ∠𝐹 关 ∠𝐴 ∠𝐷 𝐴𝐸 𝐷𝐹
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)(cid:213)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:182)(cid:30)教(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:69)(cid:161)(cid:162)(cid:257)(cid:211)(cid:158)(cid:198) = (cid:69) = (cid:69)(cid:163)(cid:161)(cid:162)(cid:42)(cid:313)(cid:247)(cid:314)(cid:149)(cid:315)(cid:165)
(cid:125)(cid:56) ∠𝐴 ∠𝐷 ∠𝐴𝐶𝐸 ∠𝐷𝐵𝐹
(cid:15)(cid:166)(cid:167)(cid:19)(cid:167)(cid:10) (cid:69)
= (cid:69) ∵𝐴𝐸∥=𝐹𝐷,𝐶𝐸∥(cid:69)𝐹𝐵
∴(cid:42)∠(cid:313)𝐴(cid:72)(cid:205)∠𝐷(cid:101)(cid:316)∠𝐴𝐶𝐸= ∠(cid:302)𝐷𝐵(cid:69)𝐹 (AAS)(cid:69)(cid:261)(cid:262)(cid:50)(cid:317)(cid:42)(cid:313)(cid:318)(cid:319)(cid:286)(cid:26)(cid:27) (cid:56)
(cid:169)(cid:42)(cid:10)D(cid:56) 𝐴𝐸 𝐷𝐹 △𝐸𝐴𝐶≌△𝐹𝐷𝐵 △𝐸𝐴𝐶≌△𝐹𝐷𝐵
(cid:15)(cid:170)(cid:171)3-2(cid:19)(cid:24)24-25(cid:267)(cid:129)(cid:130)(cid:67)·(cid:131)(cid:320)(cid:321)(cid:255)·(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:56)(cid:257)(cid:211) (cid:153) (cid:22) (cid:32)(cid:72)(cid:114)(cid:56) (cid:69) (cid:37)
(cid:71)(cid:38)(cid:114) (cid:32)(cid:322)(cid:141)(cid:52)(cid:53)(cid:127)(cid:141) (cid:37) (cid:69)(cid:323)(cid:258)(cid:27) (cid:71) (cid:30)(cid:31)(cid:32)𝐴(cid:39)𝐷(cid:264)(cid:56)△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐶𝐸∥𝐵𝐹 𝐶𝐸 𝐵𝐹
𝐴𝐷 𝐸 𝐹 △𝐶𝐷𝐸 △𝐵𝐷𝐹
(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19)(cid:39)(cid:264)(cid:226)(cid:167)(cid:145)
(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)(cid:146)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:69)(cid:150)(cid:138)(cid:151)(cid:152)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:69)(cid:153)(cid:167)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:154)(cid:10)(cid:72)(cid:114)(cid:158)(cid:198)= (cid:69)(cid:140)(cid:314)(cid:158)(cid:198) = = (cid:69)(cid:118)(cid:43)AAS(cid:69)(cid:165)(cid:125)(cid:158)(cid:26)(cid:56)
𝐶(cid:15)𝐷(cid:166)(cid:167)𝐵(cid:19)𝐷(cid:167)(cid:10) ∠(cid:71)𝐹 ∠𝐶𝐸𝐷(cid:30),∠(cid:31)𝐷(cid:32)𝐶𝐸(cid:39)(cid:264)∠(cid:66)𝐷(cid:67)𝐵𝐹(cid:10)
(cid:153) (cid:22)△𝐶𝐷(cid:32)𝐸(cid:72)(cid:114)△(cid:69)𝐵𝐷𝐹
∵𝐴𝐷=△𝐴(cid:69)𝐵𝐶 𝐵𝐶
∴𝐶𝐷 𝐵𝐷(cid:69)
∵𝐶𝐸∥=𝐵𝐹 = (cid:69)
∴∠𝐹 ∠𝐶𝐸𝐷,∠𝐷𝐶(𝐸AAS∠)(cid:56)𝐷𝐵𝐹
∴(cid:15)△(cid:170)𝐶(cid:171)𝐷𝐸3-≌3(cid:19)△(cid:66)𝐵𝐷(cid:68)𝐹(cid:69) =90°(cid:69) = (cid:69) (cid:324) (cid:69) (cid:324) (cid:56)(cid:67)(cid:188)(cid:303)(cid:55)(cid:293)(cid:294)(cid:10)
= (cid:230) ∠𝐴𝐶𝐵 𝐴𝐶(cid:230) 𝐵𝐶 =𝐵𝐸⊥(cid:230)𝐶𝐸 𝐸 𝐴𝐷⊥=𝐶𝐸 (cid:69)𝐷(cid:50)(cid:72)(cid:325)(cid:87)(cid:32)(cid:101) (cid:56)①
∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐵𝐴𝐷 ②△𝐶𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷 ③𝐴𝐵 𝐶𝐸 ④𝐴𝐷−𝐵𝐸 𝐷𝐸
+
A
(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19) 科 A
全
★
号
众
(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)①(cid:264)②④ (cid:324) (cid:69) (cid:324) (cid:69)(cid:158) 公(cid:69)(cid:142) = (cid:69)(cid:125)(cid:149)(cid:315) (cid:325)(cid:87)(cid:230)(cid:161)(cid:162)“(cid:224)(cid:23)(cid:32)(cid:326)(cid:23)
注
关
，
源
(cid:54)(cid:31)”(cid:327)(cid:328)(cid:282)𝐵𝐸⊥𝐶𝐸= 𝐸 辅𝐴(cid:69)𝐷资(cid:165)⊥(cid:125)𝐶𝐸(cid:26)(cid:27)𝐷 𝐵𝐸∥𝐴𝐷 (cid:69)∠𝐴 𝐵(cid:125)𝐸(cid:149)(cid:315)∠𝐵𝐴(cid:325)𝐷(cid:87)(cid:230)(cid:264)(cid:300)①(cid:114)(cid:137)(cid:164)(cid:237)(cid:125)(cid:26)(cid:27) > (cid:69)
教
> (cid:69)(cid:142)∠𝐵𝐶>𝐸 ∠(cid:69)𝐶(cid:125)𝐴𝐷(cid:149)(cid:315) (cid:329)(cid:330)(cid:230)△(cid:264)𝐶𝐵𝐸≌=△𝐴(cid:69)𝐶𝐷 = (cid:69)②(cid:73) = (cid:69)(cid:158) =𝐴𝐵 (cid:69)𝐵(cid:125)𝐶(cid:149)
𝐵(cid:315)𝐶 (cid:325)𝐶𝐸(cid:87)(cid:69)(cid:324)𝐴(cid:153)𝐵(cid:158)(cid:198)𝐶𝐸(cid:242)(cid:20)(cid:32)(cid:143)(cid:144)③(cid:56) 𝐶𝐸 𝐴𝐷 𝐵𝐸 𝐶𝐷 𝐶𝐸−𝐶𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐷−𝐵𝐸 𝐷𝐸
(cid:15)④(cid:166)(cid:167)(cid:19) (cid:69) (cid:69)
∵(cid:69)𝐵𝐸⊥𝐶𝐸 𝐴𝐷⊥𝐶𝐸
∴𝐴𝐷∥𝐵=𝐸 (cid:69)(cid:169) (cid:325)(cid:87)(cid:230)
∴∠𝐴𝐵=𝐸 ∠𝐵𝐴=𝐷 ①=90°(cid:69)
∵∠𝐸 ∠=𝐴𝐷𝐶 ∠=𝐴𝐶𝐵 (cid:69)
∴(cid:70)∠𝐵𝐶𝐸 (cid:92)∠𝐶𝐴𝐷 9(cid:72)0(cid:69)°−∠𝐴𝐶𝐷
△𝐶=𝐵𝐸 △𝐴𝐶𝐷
= (cid:69)
∠𝐸 =∠𝐴𝐷𝐶
∠𝐵𝐶𝐸 ∠𝐶𝐴𝐷
𝐵𝐶 𝐶𝐴 (AAS)(cid:69)(cid:169) (cid:325)(cid:87)(cid:230)
∴△𝐶𝐵𝐸≌(cid:69)△𝐴𝐶𝐷 (cid:69) ②
∵𝐵𝐶⊥>𝐴𝐶(cid:69)𝐶𝐸⊥>𝐵𝐸 (cid:69)
∴𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐶𝐸> (cid:69)(cid:169) (cid:329)(cid:330)(cid:230)
∴𝐴𝐵 𝐶𝐸 ③(cid:69)
∵△𝐶=𝐵𝐸≌(cid:69)△𝐴𝐶𝐷= (cid:69)
∴𝐶𝐸 𝐴𝐷= 𝐵𝐸(cid:69) 𝐶𝐷
∵𝐶𝐸−𝐶𝐷 =𝐷𝐸(cid:69)(cid:169) (cid:325)(cid:87)(cid:230)
∴(cid:169)𝐴(cid:143)𝐷−(cid:144)𝐵(cid:127)𝐸(cid:10) 𝐷𝐸 ④(cid:56)
(cid:15)(cid:141)(cid:265)(cid:19)(cid:213)(cid:20)①(cid:147)②(cid:148)④(cid:182)(cid:224)(cid:23)(cid:32)(cid:326)(cid:23)(cid:54)(cid:31)(cid:37)(cid:300)(cid:114)(cid:137)(cid:164)(cid:237)(cid:37)(cid:140)(cid:314)(cid:114)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:71)(cid:35)(cid:97)(cid:37)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:71)(cid:35)(cid:97)(cid:31)(cid:211)
(cid:218)(cid:69)(cid:26)(cid:27) = (cid:49) (cid:153)(cid:167)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:154)(cid:56)
【题型4 ∠ 𝐵“边 𝐶𝐸 边边 ∠”𝐶 （ 𝐴𝐷SSS） △ 证 𝐶𝐵 明 𝐸 三 ≌ 角 △ 形 𝐴𝐶 全 𝐷 等】
(cid:15)(cid:106)4(cid:19)(cid:66)(cid:68)(cid:69)AD(cid:331)CB(cid:69)E(cid:69)F(cid:153)AC(cid:131)(cid:48)(cid:332)(cid:141)(cid:69)(cid:73)(cid:101)DE(cid:331)BF
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
(1)(cid:259)E(cid:69)F(cid:333)(cid:332)(cid:66)(cid:68) (cid:278)(cid:334)(cid:32)(cid:335)(cid:181)(cid:69)(cid:73)(cid:101)A关F(cid:331)CE(cid:69)(cid:225)(cid:26)(cid:10) ADE CBF(cid:230)
，
源
资
辅
(2)(cid:259)E(cid:69)F(cid:333)(cid:332)(cid:66)(cid:68)①教(cid:278)(cid:334)(cid:32)(cid:335)(cid:181)(cid:69)(cid:336)(cid:101)AF(cid:331)CE(cid:69)(cid:88)(cid:89) A△DE ≌C△BF(cid:285)(cid:59)(cid:337)(cid:338)(cid:339)(cid:127)(cid:340)(cid:89)(cid:339)
(3)(cid:259)E(cid:69)F(cid:319)(cid:309)(cid:290)(cid:69)A②D(cid:92)CB(cid:140)(cid:314)(cid:338)(cid:339)(cid:258)(cid:27)(cid:39)(cid:264)(cid:56) △ ≌△
(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19)(cid:24)1(cid:25)(cid:166)(cid:226)(cid:167)(cid:145)(cid:230)(cid:24)2(cid:25)(cid:59)(cid:337)(cid:69)(cid:26)(cid:27)(cid:166)(cid:226)(cid:167)(cid:145)(cid:230)(cid:24)3(cid:25)AD(cid:71)CB(cid:319)(cid:74)(cid:34)(cid:140)(cid:314)(cid:69)(cid:39)(cid:264)(cid:166)(cid:226)(cid:167)(cid:145).
(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)(cid:24)1(cid:25)(cid:161)(cid:162)AF=CE(cid:125)(cid:158)AF+EF=CE+EF(cid:69)(cid:165)AE=CF(cid:69)(cid:118)(cid:43)SSS(cid:165)(cid:125)(cid:26)(cid:27) ADE CBF(cid:230)(cid:24)2(cid:25)(cid:161)
(cid:162)AF=CE(cid:125)(cid:158)AF-EF=CE-EF(cid:69)(cid:165)AE=CF(cid:69)(cid:118)(cid:43)SSS(cid:165)(cid:125)(cid:26)(cid:27) ADE CBF(cid:230)(cid:24)△3(cid:25)(cid:161)≌(cid:162)△(cid:257)(cid:211)(cid:48)(cid:55)(cid:124)(cid:263)(cid:69)
(cid:319)(cid:286)(cid:149)(cid:34) ADE CBF(cid:69)(cid:319)(cid:286)(cid:87)(cid:34) A= C(cid:69)(cid:165)(cid:125)(cid:158)AD(cid:92)CB(cid:319)△(cid:74)(cid:34)(cid:140)≌△(cid:314).
(cid:15)(cid:166)(cid:167)(cid:19)△(cid:24)1(cid:25) ≌A△F=CE(cid:69) ∠ ∠
AF+EF=CE+E∵F(cid:69)(cid:165)AE=CF(cid:69)
∴ =
(cid:70) ADE(cid:92) CBF(cid:72) = (cid:69)
𝐴𝐷= 𝐶𝐵
△ △ 𝐷𝐸 𝐵𝐹
ADE CBF. 𝐴𝐸 𝐶𝐹
(cid:24)∴△2(cid:25)(cid:59)≌(cid:337)△.(cid:39)(cid:264)(cid:66)(cid:67)(cid:10)
AF=CE(cid:69)
∵AF-EF=CE-EF(cid:69)(cid:165)AE=CF(cid:69)
∴=
(cid:70) ADE(cid:92) CBF(cid:72) = (cid:69)
𝐴𝐷= 𝐶𝐵
△ △ 𝐷𝐸 𝐵𝐹
ADE CBF. 𝐴𝐸 𝐶𝐹
(cid:24)∴△3(cid:25)AD≌(cid:71)△ CB(cid:319)(cid:74)(cid:34)(cid:140)(cid:314)(cid:69)(cid:39)(cid:264)(cid:66)(cid:67)(cid:10)
(cid:205)(cid:341)(cid:182)(cid:48)(cid:75)(cid:76)(cid:105)(cid:54)(cid:31)(cid:32)(cid:22)(cid:69)
∵(cid:319)(cid:286)(cid:149)(cid:34) ADE CBF(cid:69)
∴(cid:319)(cid:286)(cid:149)(cid:34)△A(cid:71)≌C△(cid:32)(cid:93)(cid:94)(cid:3)(cid:342)(cid:69)
∴AD(cid:71)CB∠(cid:319)(cid:74)(cid:34)∠(cid:140)(cid:314)(cid:69)
∴(cid:15)(cid:141)(cid:265)(cid:19)(cid:146)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:69)(cid:149)(cid:34)(cid:48)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:74)(cid:308)(cid:44)(cid:45)(cid:101)(cid:10)SSS(cid:37)SAS(cid:37)ASA(cid:37)AAS(cid:37)
HL(cid:56)(cid:4)(cid:243)(cid:10)AAA(cid:37)SSA(cid:319)(cid:286)(cid:149)(cid:34)(cid:48)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:69)(cid:149)(cid:34)(cid:48)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:302)(cid:69)(cid:343)(cid:344)(cid:101)(cid:22)(cid:32)(cid:345)(cid:71)(cid:69)(cid:259)(cid:101)(cid:48)(cid:22)(cid:74)
(cid:23)(cid:76)(cid:105)(cid:54)(cid:31)(cid:302)(cid:69)(cid:23)(cid:343)(cid:344)(cid:153)(cid:48)(cid:22)(cid:32)(cid:51)(cid:23).
(cid:15)(cid:170)(cid:171)4-1(cid:19)(cid:24)24-25(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)·(cid:303)(cid:304)(cid:346)(cid:174)·(cid:175)(cid:176)(cid:25)(cid:52)(cid:347)(cid:348)(cid:349)(cid:350)(cid:153)(cid:346)(cid:174)(cid:351)(cid:255)(cid:352)(cid:353)(cid:52)(cid:347)(cid:354)(cid:355)(cid:356)(cid:100)(cid:69)(cid:72)(cid:268)(cid:268)(cid:357)(cid:358)(cid:39)(cid:359)
(cid:360)(cid:100)(cid:361)(cid:69)(cid:268)(cid:357)(cid:130)(cid:362)(cid:363)(cid:97)(cid:364)(cid:365)(cid:366)(cid:100)(cid:56)(cid:348)(cid:349)(cid:350)(cid:367)(cid:307)(cid:362)(cid:231)(cid:368)(cid:369)(cid:69)(cid:50)(cid:72)(cid:370)(cid:371)(cid:102)(cid:372)(cid:373)(cid:61)(cid:11)(cid:211)(cid:218)(cid:56)(cid:66)(cid:68)(cid:153)(cid:348)(cid:349)(cid:350)(cid:32)(cid:374)(cid:375)
+
A
(cid:334)(cid:243)(cid:68)(cid:69) = (cid:69) = (cid:69)(cid:142) (cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:214)(cid:162)(cid:153)(cid:24) (cid:25) 科 A
全
★
号
众
𝐴𝐸 𝐴𝐹 𝐺𝐸 𝐺𝐹 △𝐴𝐸𝐺≌△𝐴𝐹𝐺 公
注
关
，
源
资
辅
教
A(cid:56)SAS B(cid:56)ASA C(cid:56)AAS D(cid:56)SSS
(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19)D
(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)(cid:146)(cid:20)(cid:266)(cid:206)(cid:147)(cid:148)(cid:182)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:69)(cid:40)(cid:41)(cid:333)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:34)(cid:39)(cid:153)(cid:167)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:154)(cid:56)
(cid:161)(cid:162)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:34)(cid:39)(cid:327)(cid:282)(cid:165)(cid:125)(cid:167)(cid:143)(cid:56)
(cid:15)(cid:166)(cid:167)(cid:19)(cid:167)(cid:10)(cid:70) (cid:92) (cid:72)(cid:69)
= △𝐴𝐸𝐺 △𝐴𝐹𝐺
= (cid:69)
𝐴𝐸=𝐴𝐹
𝐴𝐺 𝐴𝐺
𝐸𝐺 𝐹𝐺 (SSS)(cid:56)
(cid:169)∴△(cid:42)𝐴(cid:10)𝐸D𝐺(cid:56)≌△𝐴𝐹𝐺
(cid:15)(cid:170)(cid:171)4-2(cid:19)(cid:24)2025(cid:267)(cid:129)(cid:130)(cid:67)·(cid:30)(cid:268)·(cid:269)(cid:20)(cid:138)(cid:139)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69)D(cid:153) (cid:131)(cid:74)(cid:141)(cid:69) = (cid:69) = (cid:69) = (cid:56)(cid:225)
(cid:26)(cid:10) (cid:56) 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐸
△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19)(cid:226)(cid:167)(cid:145)
(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)(cid:146)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:182)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:92)(cid:35)(cid:97)(cid:69)(cid:150)(cid:138)(cid:333)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:35)(cid:97)(cid:153)(cid:146)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:154)(cid:56)
(cid:264)SSS(cid:165)(cid:125)(cid:26)(cid:27)(cid:165)(cid:125)(cid:56)
(cid:15)(cid:166)(cid:167)(cid:19)(cid:26)(cid:27)(cid:10)(cid:70) (cid:92) (cid:72)(cid:69)
= △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐷𝐸
=
𝐴𝐵=𝐴𝐷
𝐵𝐶 𝐷𝐸
𝐴𝐶 𝐴𝐸 (SSS)(cid:56)
(cid:15)∴△(cid:170)𝐴(cid:171)𝐵𝐶4≌-3(cid:19)△(cid:24)𝐷𝐸24𝐹-25(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:67)·(cid:376)(cid:377)(cid:255)(cid:378)(cid:365)·(cid:175)(cid:72)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:70) (cid:72)(cid:69) = (cid:69) = (cid:69) =20°(cid:69)
(cid:324) (cid:69)(cid:225) (cid:32)(cid:86)(cid:61)(cid:56) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷
+
A
𝐷𝐸⊥𝐴𝐶 𝐸 ∠𝐸𝐷𝐶 科 A
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19)20°
(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)(cid:146)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:182)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:92)(cid:35)(cid:97)(cid:69)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:189)(cid:23)(cid:92)(cid:34)(cid:39)(cid:32)(cid:105)(cid:43)(cid:69)(cid:167)(cid:213)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:154)(cid:153)(cid:286)(cid:161)(cid:162)(cid:35)(cid:97)
(cid:225)(cid:282) (cid:32)(cid:86)(cid:61)(cid:56)
(cid:26)(cid:27)∠𝐴𝐷𝐶 (cid:69)(cid:125)(cid:158) = = = =90°(cid:69)(cid:264) (cid:92)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:189)(cid:23)(cid:92)(cid:34)(cid:39)
(cid:225)(cid:282)△𝐴𝐷𝐵=≌7△0°𝐴(cid:69)𝐷(cid:165)𝐶(cid:125)(cid:225)(cid:167)∠(cid:56)𝐶𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷 20°,∠𝐴𝐷𝐵 ∠𝐴𝐷𝐶 𝐷𝐸⊥𝐴𝐶
(cid:15)(cid:166)∠(cid:167)𝐴(cid:19)𝐷𝐸(cid:167)(cid:10) = = = (cid:69)
∵𝐴𝐵 SS𝐴S)𝐶(cid:69),𝐵𝐷 𝐶𝐷,𝐴𝐷 𝐴𝐷
∴△𝐴𝐷𝐵≌=△𝐴𝐷𝐶(= = =90°(cid:69)
∴∠𝐶𝐴𝐷 (cid:69)∠𝐵𝐴𝐷 20°,∠𝐴𝐷𝐵 ∠𝐴𝐷𝐶
∵𝐷𝐸⊥𝐴=𝐶 =70°(cid:69)
∴∠𝐴𝐷𝐸= 90°−∠𝐶𝐴𝐷 = =20°(cid:56)
∴∠EDC ∠ADC−∠ADE 90°−70°【题型5 三角形的稳定性】
(cid:15)(cid:106)5(cid:19)(cid:24)24-25(cid:267)(cid:129)(cid:130)(cid:67)·(cid:306)(cid:379)(cid:380)(cid:381)·(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:82)(cid:83)(cid:125)(cid:126)(cid:284)(cid:198)(cid:382)(cid:383)(cid:384)(cid:385)(cid:32)(cid:332)(cid:307)(cid:69)(cid:264)(cid:386)(cid:387)(cid:37)(cid:386)(cid:388)(cid:37)(cid:386)
(cid:389)(cid:238)(cid:59)(cid:32)(cid:390)(cid:391)(cid:383)(cid:392)(cid:125)(cid:126)(cid:119)(cid:384)(cid:385)(cid:393)(cid:70)(cid:384)(cid:385)(cid:301)(cid:394)(cid:72)(cid:395)(cid:396)(cid:391)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:90)(cid:397)(cid:370)(cid:371)(cid:32)(cid:61)(cid:11)(cid:212)(cid:39)(cid:153)(cid:24) (cid:25)
A(cid:56)(cid:48)(cid:141)(cid:207)(cid:208)(cid:69)(cid:114)(cid:137)(cid:164)(cid:237)
B(cid:56)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:193)(cid:243)(cid:48)(cid:22)(cid:207)(cid:92)(cid:93)(cid:324)(cid:398)(cid:28)(cid:22)
C(cid:56)(cid:48)(cid:141)(cid:87)(cid:34)(cid:74)(cid:124)(cid:38)(cid:114)
D(cid:56)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)
(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19)D
(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)(cid:146)(cid:20)(cid:266)(cid:206)(cid:147)(cid:148)(cid:182)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:69)(cid:161)(cid:162)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:399)(cid:101)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:165)(cid:125)(cid:158)(cid:198)(cid:143)(cid:144)(cid:56)
+
A
A
科
(cid:15)(cid:166)(cid:167)(cid:19)(cid:167)(cid:10)(cid:264)(cid:20)(cid:243)(cid:158)(cid:90)(cid:28)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:125)(cid:126)(cid:119)(cid:384)(cid:385)(cid:393)(cid:70)(cid:384)(cid:385)(cid:301)(cid:394)(cid:72)(cid:395)(cid:396)全(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:50)(cid:72)(cid:69)(cid:370)(cid:371)(cid:32)(cid:61)(cid:11)(cid:212)(cid:39)(cid:153)(cid:28)(cid:23)
★
号
众
公
注
(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:230) 关
，
源
资
辅
(cid:169)(cid:42)(cid:10)D(cid:56) 教
(cid:15)(cid:170)(cid:171)5-1(cid:19)(cid:24)2025·(cid:400)(cid:133)(cid:292)(cid:174)·(cid:229)(cid:401)(cid:402)(cid:183)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:94)(cid:27)(cid:202)(cid:74)(cid:161)(cid:403)(cid:404)(cid:405)(cid:406)(cid:160)(cid:69)(cid:407)(cid:250)(cid:74)(cid:55)(cid:408)(cid:409)(cid:410)(cid:186)(cid:72)(cid:69)(cid:119)(cid:403)(cid:404)(cid:74)
(cid:411)(cid:412)(cid:413)(cid:186)(cid:414)(cid:69)(cid:163)(cid:415)(cid:415)(cid:74)(cid:416)(cid:69)(cid:186)(cid:417)(cid:95)(cid:271)(cid:416)(cid:418)(cid:419)(cid:182)(cid:56)(cid:90)(cid:50)(cid:72)(cid:43)(cid:198)(cid:32)(cid:61)(cid:11)(cid:381)(cid:39)(cid:153)(cid:24) (cid:25)
A(cid:56)(cid:48)(cid:141)(cid:87)(cid:34)(cid:74)(cid:124)(cid:38)(cid:114) B(cid:56)(cid:48)(cid:141)(cid:207)(cid:208)(cid:69)(cid:114)(cid:137)(cid:164)(cid:237)
C(cid:56)(cid:300)(cid:114)(cid:137)(cid:164)(cid:237) D(cid:56)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:399)(cid:101)(cid:33)(cid:34)(cid:35)
(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19)D
(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)(cid:146)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:182)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:56)(cid:161)(cid:162)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:399)(cid:101)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:307)(cid:143)(cid:165)(cid:125)(cid:56)
(cid:15)(cid:166)(cid:167)(cid:19)(cid:167)(cid:10)(cid:403)(cid:404)(cid:74)(cid:411)(cid:412)(cid:413)(cid:186)(cid:414)(cid:69)(cid:125)(cid:126)(cid:238)(cid:239)(cid:74)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:69)(cid:90)(cid:50)(cid:72)(cid:43)(cid:198)(cid:32)(cid:61)(cid:11)(cid:381)(cid:39)(cid:153)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:399)(cid:101)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:56)
∴(cid:169)(cid:42)(cid:10)D(cid:56)
(cid:15)(cid:170)(cid:171)5-2(cid:19)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:94)(cid:27)(cid:99)(cid:182)(cid:74)(cid:55)(cid:85)(cid:44)(cid:29)(cid:420)(cid:112)(cid:69)(cid:421)(cid:422)(cid:279)(cid:423)(cid:424)(cid:170)(cid:29)(cid:69)(cid:323)(cid:425)(cid:426)(cid:277)(cid:42)(cid:427)(cid:74)(cid:55)(cid:164)(cid:428)(cid:32)(cid:262)(cid:204)(cid:44)(cid:144)(cid:153) (cid:56)
(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19)
(cid:15)(cid:166)(cid:167)(cid:19)③(cid:161)(cid:162)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:399)(cid:101)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:69)(cid:303)(cid:22)(cid:29)(cid:319)(cid:399)(cid:101)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:125)(cid:211)(cid:164)(cid:428)(cid:32)(cid:262)(cid:204)(cid:44)(cid:144)(cid:153) (cid:56)
(cid:15)(cid:170)(cid:171)5-3(cid:19)(cid:24)2025·(cid:103)(cid:254)(cid:255)(cid:256)·(cid:74)(cid:229)(cid:25)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:399)(cid:101)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:69)(cid:278)(cid:126)(cid:206)(cid:119)(cid:66)(cid:68)(cid:278)(cid:334)(cid:32)③(cid:429)(cid:22)(cid:29)(cid:430)(cid:112)(cid:319)(cid:170)(cid:29)(cid:69)(cid:431)(cid:432)(cid:206)
(cid:201)(cid:131) (cid:161)(cid:430)(cid:124)(cid:56)
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19)2 辅 资
教
(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)(cid:146)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:399)(cid:101)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:69)(cid:373)(cid:22)(cid:29)(cid:32)(cid:76)(cid:23)(cid:114)．(cid:206)(cid:119)(cid:429)(cid:22)(cid:29)(cid:430)(cid:112)(cid:319)(cid:170)(cid:29)(cid:260)(cid:433)(cid:317)(cid:52)(cid:59)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:69)(cid:165)(cid:301)
(cid:429)(cid:22)(cid:29)(cid:32)(cid:74)(cid:55)(cid:412)(cid:141)(cid:307)(cid:76)(cid:23)(cid:114)(cid:69)(cid:101)(cid:434)(cid:124)(cid:76)(cid:23)(cid:114)(cid:69)(cid:95)(cid:431)(cid:432)(cid:206)(cid:201)(cid:131)(cid:434)(cid:161)(cid:430)(cid:124)．
(cid:15)(cid:166)(cid:167)(cid:19)解： (cid:301)(cid:429)(cid:22)(cid:29)(cid:32)(cid:74)(cid:55)(cid:412)(cid:141)(cid:307)(cid:76)(cid:23)(cid:114)(cid:69)(cid:101)2(cid:124)(cid:76)(cid:23)(cid:114)(cid:69)
至少要钉上2∵根木条，
故∴ 答案为：2．
【题型6 斜边、直角边定理（HL）证明三角形全等】
(cid:15)(cid:106)6(cid:19)(cid:24)24-25(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)·(cid:131)(cid:320)(cid:85)(cid:435)·(cid:175)(cid:176)(cid:25)(cid:94)(cid:27)(cid:224)(cid:11)(cid:416)(cid:282)(cid:10)(cid:43)(cid:74)(cid:433)(cid:38)(cid:436)(cid:95)(cid:125)(cid:126)(cid:281)(cid:282)(cid:74)(cid:55)(cid:23)(cid:32)(cid:140)(cid:52)(cid:114)(cid:56)(cid:399)(cid:437)
(cid:438)(cid:307)(cid:66)(cid:67)(cid:10)(cid:155)(cid:156)(cid:433)(cid:38)(cid:436)(cid:32)(cid:74)(cid:22)(cid:71) (cid:32)(cid:74)(cid:22) (cid:439)(cid:290)(cid:69)(cid:440)(cid:102)(cid:38)(cid:436)(cid:32)(cid:441)(cid:74)(cid:22)(cid:281)(cid:38)(cid:114)l(cid:24)(cid:66)(cid:68)1(cid:25)(cid:230)(cid:442)(cid:160)(cid:443)(cid:332)(cid:444)
(cid:38)(cid:436)(cid:69)(cid:433)(cid:38)(cid:436)(cid:32)(cid:74)(cid:22)(cid:71) (cid:32)(cid:74)∠(cid:22)𝐴𝑂𝐵(cid:439)(cid:290)(cid:69)𝑂(cid:440)𝐵(cid:102)(cid:38)(cid:436)(cid:32)(cid:441)(cid:74)(cid:22)(cid:281)(cid:38)(cid:114)m(cid:24)(cid:66)(cid:68)2(cid:25)(cid:69)(cid:38)(cid:114)l(cid:71)(cid:38)(cid:114)m(cid:322)(cid:324)
(cid:141)P(cid:69)(cid:142)(cid:384)(cid:114) (cid:95)(cid:153) ∠𝐴𝑂(cid:32)𝐵(cid:140)(cid:52)(cid:114)𝑂(cid:56)𝐴(cid:323)(cid:445)(cid:282)(cid:90)(cid:446)(cid:281)(cid:45)(cid:32)(cid:214)(cid:162)(cid:153)(cid:24)(cid:323)(cid:58)(cid:146)(cid:11)(cid:175)(cid:278)(cid:11)(cid:32)(cid:61)(cid:11)(cid:211)(cid:218)(cid:25)(cid:10) (cid:56)
𝑂𝑃 ∠𝐴𝑂𝐵(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19)HL
(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)(cid:146)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:23)(cid:140)(cid:52)(cid:114)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:126)(cid:49)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:34)(cid:39)(cid:69)(cid:167)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:154)(cid:153)(cid:118)(cid:43)(cid:38)(cid:436)(cid:447)(cid:86)(cid:54)(cid:31)(cid:238)(cid:239)(cid:30)(cid:31)
(cid:38)(cid:23)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:69)(cid:247)(cid:248)(cid:158)(cid:282)(cid:23)(cid:140)(cid:52)(cid:114)(cid:56)
(cid:301)(cid:141) (cid:307) (cid:324)(cid:141) (cid:324)(cid:141) (cid:56)(cid:288)(cid:127)(cid:38)(cid:436)(cid:32)(cid:447)(cid:86)(cid:54)(cid:31)(cid:69)(cid:278)(cid:126) = (cid:69)(cid:224)(cid:302) = (cid:24)(cid:7)(cid:168)(cid:22)(cid:25)(cid:69)
𝑃 =𝑃𝑀⊥𝑂𝐴=90°𝑀(cid:69),𝑃(cid:26)𝑁(cid:27)⊥R𝑂t𝐵 𝑁 Rt HL)(cid:69) 𝑃𝑀 𝑃𝑁 𝑂𝑃 𝑂𝑃
∠(cid:125)𝑃(cid:158)𝑀𝑂 ∠𝑃=𝑁𝑂 (cid:69)(cid:165) (cid:140)(cid:52)△𝑂𝑃𝑀(cid:69)≌(cid:288)(cid:213)△(cid:90)𝑂(cid:446)𝑃𝑁(cid:281)((cid:45)(cid:32)(cid:214)(cid:162)(cid:153)HL(cid:56)
(cid:15)(cid:166)∠(cid:167)𝐴(cid:19)𝑂𝑃(cid:167)(cid:10)∠(cid:66)𝐵(cid:68)𝑂𝑃2(cid:72)(cid:69)𝑂(cid:301)𝑃(cid:141)P∠(cid:307)𝐴𝑂𝐵 (cid:324)(cid:141)M(cid:69) (cid:324)(cid:141)N(cid:56)
𝑃𝑀⊥𝑂𝐴 𝑃𝑁⊥𝑂𝐵
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:436)(cid:32)(cid:447)(cid:86)(cid:54)(cid:31)(cid:69)
∵ = (cid:69)
∴𝑃𝑀 𝑃𝑁 (cid:69)
∵𝑃𝑀⊥𝑂=𝐴.𝑃𝑁⊥𝑂=𝐵90°(cid:69)
(cid:70)∴R∠t𝑃𝑀𝑂 ∠(cid:92)𝑃R𝑁t𝑂 (cid:72)(cid:69)
=△𝑂𝑃𝑀 △𝑂𝑃𝑁
(cid:69)
=
𝑂𝑃 𝑂𝑃
𝑃R𝑀t 𝑃𝑁 Rt HL)(cid:69)
∴ △𝑂𝑃=𝑀≌ △(cid:69)𝑂𝑃𝑁(
∴∠𝑃(cid:140)𝑂(cid:52)𝑀 ∠𝑃𝑂(cid:69)𝑁
(cid:281)∴𝑂(cid:45)𝑃(cid:32)(cid:214)∠(cid:162)𝐴(cid:153)𝑂𝐵(cid:10)HL(cid:56)
(cid:169)(cid:143)(cid:144)(cid:127)(cid:10)HL(cid:56)
(cid:15)(cid:170)(cid:171)6-1(cid:19)(cid:24)2023(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)·(cid:30)(cid:268)·(cid:269)(cid:20)(cid:138)(cid:139)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69) (cid:69)(cid:300)(cid:448)(cid:127) (cid:69)(cid:73) = (cid:69)(cid:141) (cid:70) (cid:131)(cid:69)(cid:259)(cid:43)
𝐷𝐶⊥𝐴𝐸 𝐶 𝐴𝐶 𝐶𝐷 𝐵 𝐶𝐷“HL”(cid:26)(cid:27) (cid:69)(cid:142)(cid:260)(cid:261)(cid:262)(cid:32)(cid:124)(cid:263)(cid:153)(cid:24) (cid:25)
△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶
A(cid:56) = B(cid:56) =
C(cid:56)𝐶𝐸 =𝐵𝐶 D(cid:56)𝐴𝐵 𝐷=𝐸
(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19)∠𝐴B ∠𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐸
(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)(cid:146)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:333)(cid:43)“HL”(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:69)(cid:161)(cid:162)“HL”(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:124)(cid:263)(cid:165)(cid:125)(cid:167)(cid:143)(cid:56)
(cid:15)(cid:166)(cid:167)(cid:19)(cid:167)(cid:10) (cid:69)
= ∵𝐷𝐶=⊥90𝐴°𝐸(cid:69)
(cid:316)∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠(cid:302)𝐷𝐶(cid:69)𝐸
(cid:70)𝐴Rt𝐵 𝐷𝐸(cid:92)Rt (cid:72)
A
+
A
科
全
★
= =△𝐴𝐵𝐶 (cid:69) △𝐷𝐸𝐶 注 公 众 号
关
𝐴𝐵 𝐷𝐸 源 ，
𝐴R𝐶t 𝐷𝐶 Rt (HL辅)(cid:56)资
教
(cid:169)∴ (cid:42)△(cid:10)𝐴B𝐵𝐶≌ △𝐷𝐸𝐶
(cid:15)(cid:170)(cid:171)6-2(cid:19)(cid:24)24-25(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:67)·(cid:400)(cid:221)(cid:449)(cid:450)·(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:70) (cid:72)(cid:69) =90°(cid:69) = (cid:69)
(cid:127)(cid:22) (cid:451)(cid:85)(cid:114)(cid:131)(cid:32)(cid:74)(cid:141)(cid:69)(cid:141) (cid:70) (cid:131)(cid:69)(cid:73) = (cid:56)(cid:225)(cid:26)(cid:10)Rt△𝐴𝐵𝐶 Rt∠𝐴𝐵𝐶 (cid:56) ∠𝐵𝐶𝐴 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐹
𝐴𝐵 𝐸 𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐶𝐹 △𝐴𝐵𝐸≌ △𝐶𝐵𝐹
(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19)(cid:226)(cid:167)(cid:145)
(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)(cid:146)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:182)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:69)(cid:31)(cid:452)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:35)(cid:97)(cid:69)(cid:150)(cid:138)(cid:151)(cid:152)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:153)(cid:167)(cid:20)(cid:32)(cid:3)
(cid:154)(cid:56)
(cid:161)(cid:162)(cid:20)(cid:243)(cid:158)(cid:198) = =90°(cid:69) = (cid:69)(cid:165)(cid:125)(cid:26)(cid:27)Rt Rt HL)(cid:56)
(cid:15)(cid:166)(cid:167)(cid:19)(cid:26)(cid:27)(cid:10)∠𝐶𝐵𝐹 ∠𝐴𝐵=𝐶90°(cid:69) (cid:127)𝐴(cid:22)𝐵 (cid:451)𝐵𝐶(cid:85)(cid:114)(cid:131)(cid:32)(cid:74)(cid:141)(cid:69)△𝐴𝐵𝐸≌ △𝐶𝐵𝐹(
= ∵=∠9𝐴0°𝐵(cid:69)𝐶 𝐹 𝐴𝐵
∴∠𝐶𝐵𝐹 ∠𝐴𝐵𝐶= (cid:69)
∵∠ 𝐵𝐶𝐴= ∠(cid:56)𝐵𝐴𝐶
∴ 𝐴𝐵 𝐵𝐶 =
(cid:70)Rt (cid:92)Rt (cid:72)(cid:69)
=
(cid:69)
𝐴𝐵 𝐴𝐶
Rt△𝐴𝐵𝐸 Rt△𝐶𝐵𝐹 HL)(cid:56)𝐴𝐸 𝐶𝐹
(cid:15)∴(cid:170)(cid:171)△6𝐴-3𝐵(cid:19)𝐸(cid:24)≌24-△25𝐶(cid:128)𝐵𝐹(cid:129)((cid:130)(cid:67)·(cid:103)(cid:254)(cid:453)(cid:174)·(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:141)C(cid:69)D(cid:454)(cid:70)(cid:114)(cid:137) (cid:131)(cid:69)(cid:73) = (cid:69)(cid:52)(cid:53)(cid:301)(cid:141)
C(cid:69)D (cid:70) (cid:32)(cid:455)(cid:456)(cid:307) (cid:69) (cid:69)(cid:245)(cid:246) (cid:322) (cid:324)(cid:141)G(cid:69) = (cid:56) 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐶
𝐴𝐵 𝐹𝐶⊥𝐴𝐵 𝐸𝐷⊥𝐴𝐵 𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐵𝐹
(1)(cid:225)(cid:26)(cid:10) = (cid:56)
(2)(cid:225)(cid:26)(cid:10)G𝐷𝐸(cid:153)(cid:114)𝐶(cid:137)𝐹 (cid:32)(cid:72)(cid:141)(cid:56)
+
A
(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19)(1)(cid:226)(cid:167)(cid:145)𝐴𝐵 科 A
全
★
号
众
(2)(cid:226)(cid:167)(cid:145) 公
注
关
，
源
(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)(cid:146)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:182)(cid:30)(cid:31)辅(cid:28)(cid:23)资(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:92)(cid:35)(cid:97)(cid:56)
教
(cid:24)1(cid:25)(cid:264) (cid:69) (cid:158) =90°(cid:69) =90°(cid:69)(cid:26)(cid:27) (HL)(cid:69)(cid:165)(cid:125)(cid:26)(cid:27) = (cid:230)
(cid:24)2(cid:25)(cid:26)𝐹(cid:27)𝐶⊥𝐴𝐵 𝐸𝐷⊥𝐴𝐵(AA∠S𝐹)𝐶(cid:69)𝐵(cid:158)(cid:198) =∠𝐸𝐷(cid:165)𝐴(cid:125)(cid:56) △𝐹𝐶𝐵≌△𝐸𝐷𝐴 𝐷𝐸 𝐶𝐹
(cid:15)(cid:166)(cid:167)(cid:19)(cid:24)△1(cid:25)𝐹𝐶𝐺≌△𝐸𝐷(cid:69)𝐺 (cid:69) 𝐶𝐺 𝐷𝐺
=90°(cid:69)∵𝐹𝐶⊥𝐴=𝐵90𝐸°(cid:69)𝐷⊥𝐴𝐵
∴∠𝐹𝐶=𝐵 (cid:69) ∠=𝐸𝐷𝐴(cid:69)
∵𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐸 (𝐵H𝐹L)(cid:69)
∴△𝐹=𝐶𝐵≌(cid:230)△𝐸𝐷𝐴
∴(cid:24)𝐷2𝐸(cid:25) 𝐶𝐹= (cid:69) = =90°(cid:69) = (cid:69)
∵𝐷𝐸 𝐶𝐹 (∠A𝐹A𝐶S𝐺)(cid:69) ∠𝐸𝐷𝐺 ∠𝐹𝐺𝐶 ∠𝐸𝐺𝐷
∴△𝐹=𝐶𝐺≌(cid:69)△𝐸𝐷𝐺
∴(cid:165)𝐶𝐺G(cid:153)𝐷(cid:114)𝐺(cid:137) (cid:32)(cid:72)(cid:141)(cid:56)
【题型7 灵 𝐴 活 𝐵 选用方法证明三角形全等】
(cid:15)(cid:106)7(cid:19)(cid:24)24-25(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)·(cid:400)(cid:221)(cid:6)(cid:352)·(cid:175)(cid:176)(cid:25)(cid:15)(cid:242)(cid:20)(cid:416)(cid:282)(cid:19)(cid:82)(cid:83)(cid:211)(cid:212)(cid:10)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:101)(cid:10)“SSS(cid:69)SAS(cid:69)ASA(cid:69)AAS”(cid:69)(cid:188)(cid:76)(cid:324)“SSA”(cid:69)(cid:177)(cid:146)(cid:398)38(cid:457)(cid:416)(cid:458)(cid:182)(cid:66)(cid:67)(cid:459)
(cid:460)(cid:10)
(cid:196)(cid:147)(cid:10)(cid:66)(cid:68)1(cid:69)(cid:433)(cid:74)(cid:85)(cid:74)(cid:237)(cid:32)(cid:48)(cid:161)(cid:430)(cid:461)(cid:32)(cid:74)(cid:411)(cid:204)(cid:34)(cid:70)(cid:74)(cid:418)(cid:69)(cid:462)(cid:282) (cid:56)(cid:204)(cid:34)(cid:413)(cid:85)(cid:430)(cid:461)(cid:69)(cid:463)(cid:332)(cid:237)(cid:430)(cid:461)(cid:69)(cid:158)(cid:198)
(cid:69)(cid:90)(cid:55)(cid:217)(cid:79)(cid:258)(cid:27)(cid:182)(cid:340)(cid:89)(cid:339) △𝐴𝐵𝐶
△𝐴𝐵𝐷
(cid:90)(cid:55)(cid:217)(cid:79)(cid:258)(cid:27)(cid:10)(cid:101)(cid:48)(cid:22)(cid:92)(cid:50)(cid:72)(cid:74)(cid:22)(cid:32)(cid:76)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:31)(cid:32)(cid:48)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:319)(cid:74)(cid:34)(cid:30)(cid:31)(cid:69)(cid:165)“SSA”(cid:319)(cid:74)(cid:34)(cid:59)(cid:337)(cid:56)(cid:88)(cid:89)(cid:69)
(cid:340)(cid:89)(cid:464)(cid:465)(cid:67)(cid:69)“SSA”(cid:59)(cid:337)(cid:466)(cid:339)(cid:61)(cid:11)(cid:467)(cid:468)(cid:94)(cid:75)(cid:76)(cid:48)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:469)(cid:23)(cid:247)(cid:314)(cid:52)(cid:470)(cid:69)(cid:471)(cid:375)(cid:182)(cid:126)(cid:67)(cid:191)(cid:192)(cid:56)
(cid:15)(cid:472)(cid:473)(cid:196)(cid:147)(cid:19)
(cid:82)(cid:83)(cid:319)(cid:474)(cid:475)(cid:90)(cid:55)(cid:76)(cid:105)(cid:23)(cid:127) (cid:69)(cid:159)(cid:160)(cid:76) (cid:247)(cid:314)(cid:52)(cid:470)(cid:69)(cid:125)(cid:52)(cid:127)“ (cid:153)(cid:38)(cid:23)(cid:37)(cid:476)(cid:23)(cid:37)(cid:477)(cid:23)”(cid:28)(cid:446)(cid:464)(cid:465)(cid:247)(cid:314)(cid:191)(cid:192)(cid:56)
(cid:15)(cid:478)(cid:250)(cid:191)(cid:192)(cid:19) ∠𝐵 ∠𝐵 ∠𝐵
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(1)(cid:398)(cid:74)(cid:446)(cid:464)(cid:465)(cid:10)(cid:316) (cid:153)(cid:38)(cid:23)(cid:302)(cid:69) (cid:56)
(cid:66)(cid:68)2(cid:69)(cid:70) (cid:92)∠𝐵 (cid:72)(cid:69) △=𝐴𝐵𝐶(cid:69)≌△=𝐷𝐸𝐹(cid:69) = =90°(cid:69)(cid:161)(cid:162) (cid:69)(cid:125)(cid:126)(cid:211)(cid:212)Rt Rt (cid:56)
(2)(cid:398)(cid:46)(cid:446)(cid:464)△(cid:465)𝐴(cid:10)𝐵𝐶(cid:316) △(cid:153)𝐷(cid:476)𝐸𝐹(cid:23)(cid:302)𝐴(cid:69)𝐶 𝐷𝐹 𝐵𝐶 𝐸𝐹(cid:56)∠𝐵 ∠𝐸 △𝐴𝐵𝐶≌ △𝐷𝐸𝐹
(cid:66)(cid:68)3(cid:69)(cid:70) (cid:92)∠𝐵 (cid:72)(cid:69) △=𝐴𝐵𝐶≌(cid:69)△𝐷𝐸=𝐹 (cid:69) = (cid:69)(cid:73) (cid:37) (cid:318)(cid:153)(cid:476)(cid:23)(cid:69)(cid:479)(cid:27)(cid:264)(cid:24)1(cid:25)(cid:480)(cid:198)(cid:182)
(cid:481)(cid:421)(cid:69)(cid:279)(cid:280)△(cid:26)(cid:282)𝐴𝐵(cid:182)𝐶 △𝐷𝐸𝐹 𝐴𝐶(cid:56)(cid:323)𝐷(cid:482)𝐹(cid:27)𝐵(cid:32)𝐶(cid:425)(cid:96)𝐸(cid:59)𝐹 (cid:479)∠(cid:27)𝐵(cid:32)(cid:327)∠𝐸(cid:39)(cid:301)(cid:394)∠(cid:230)𝐵 ∠𝐸
(3)(cid:398)(cid:28)(cid:446)(cid:464)(cid:465)(cid:10)(cid:316)△𝐴(cid:153)𝐵(cid:477)𝐶≌(cid:23)△(cid:302)𝐷(cid:69)𝐸𝐹 (cid:92) (cid:319)(cid:74)(cid:34)(cid:30)(cid:31)(cid:56)
(cid:66)(cid:68)4(cid:69)(cid:70) ∠𝐵(cid:92) (cid:72)(cid:69)△𝐴𝐵=𝐶 △(cid:69)𝐷𝐸𝐹= (cid:69) = (cid:69)(cid:73) (cid:37) (cid:318)(cid:153)(cid:477)(cid:23)(cid:69)(cid:142)
(cid:32)①(cid:293)(cid:294)(cid:153)(cid:483)(cid:336)(cid:159)△(cid:59)𝐴𝐵(cid:337)𝐶(cid:230)(cid:323)△(cid:258)𝐷(cid:27)𝐸𝐹(cid:59)(cid:337)(cid:32)𝐴𝐶(cid:39)(cid:264)𝐷(cid:230)𝐹 𝐵𝐶 𝐸𝐹 ∠𝐵 ∠𝐸 ∠𝐵 ∠𝐸 △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹
(cid:66)(cid:68)4(cid:69) (cid:92) (cid:153)(cid:319)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:69) (cid:285)(cid:206)(cid:484)(cid:448)(cid:340)(cid:89)(cid:124)(cid:263)(cid:69)(cid:95)(cid:125)(cid:126)(cid:119) (cid:339)(cid:323)(cid:38)(cid:246)(cid:58)(cid:282)(cid:293)
②(cid:294)(cid:10) (cid:56) △𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹 ∠𝐵 △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹
(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19)(1)HL
(2)(cid:226)(cid:167)(cid:145)
(3) (cid:226)(cid:167)(cid:145)(cid:230) (cid:60) + =90°
① ②∠𝐵≥∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)(cid:24)1(cid:25)(cid:38)(cid:246)(cid:118)(cid:43)HL(cid:34)(cid:39)(cid:158)(cid:282) Rt Rt (cid:230)
(cid:24)2(cid:25)(cid:155)(cid:156)(cid:158)(cid:282) (cid:69)(cid:142) =△𝐴(cid:69)𝐵𝐶(cid:247)≌(cid:248)(cid:158)(cid:282)△R𝐷t 𝐸𝐹 Rt (cid:69)(cid:163)(cid:225)(cid:282) (cid:230)
(cid:24)3(cid:25) (cid:118)(cid:43)(cid:257)(cid:211)△(cid:68)𝐶𝐵(cid:29)𝐺≌(cid:163)△(cid:99)𝐹(cid:74)𝐸(cid:55)𝐻(cid:476)(cid:23)𝐶(cid:28)𝐺(cid:23)(cid:29)𝐹(cid:165)𝐻(cid:125)(cid:158)(cid:282)(cid:143)(cid:144)(cid:230) △𝐴𝐶𝐺≌ △𝐷𝐹𝐻 △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹
(cid:118)(cid:43)① (cid:72)(cid:44)(cid:45)(cid:125)(cid:158)(cid:282)(cid:316) (cid:60) + =90°
②(cid:15)(cid:166)(cid:167)(cid:19)①(cid:24)1(cid:25)(cid:167)(cid:10) =∠𝐵≥=∠9𝐴0°(cid:69)∠𝐵 ∠𝐶
(cid:92) (cid:153)∵(cid:38)∠𝐵(cid:23)(cid:28)∠(cid:23)𝐸(cid:29)(cid:69)
∴(cid:70)△Rt𝐴𝐵𝐶 △(cid:92)𝐷R𝐸t𝐹 (cid:72)(cid:69)
=△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹
=
𝐴𝐶 𝐷𝐹
𝐵R𝐶t 𝐸𝐹 Rt
(cid:169)∴(cid:143)(cid:144)△(cid:127)𝐴(cid:10)𝐵H𝐶≌L(cid:230) △𝐷𝐸𝐹,
(cid:24)2(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:10)(cid:70) (cid:92) = = = (cid:69)(cid:73) (cid:318)(cid:153)(cid:476)(cid:23)(cid:69)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:301)(cid:141) (cid:307)
(cid:322) (cid:32)(cid:451)(cid:85)(cid:114)(cid:324)△𝐴(cid:69)𝐵(cid:301)𝐶(cid:141)△(cid:307)𝐷𝐸𝐹, 𝐴𝐶 (cid:322)𝐷𝐹,(cid:32)𝐵𝐶(cid:451)(cid:85)𝐸(cid:114)𝐹,(cid:324)∠𝐵 (cid:69)∠𝐸 ∠𝐵,∠𝐸 𝐶 𝐶𝐺⊥𝐴𝐵
𝐴𝐵 𝐺 𝐹 𝐹𝐻⊥𝐷𝐸 𝐷𝐸 𝐻
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，= (cid:73) (cid:318)(cid:153)(cid:476)(cid:23)(cid:69)
源
资
辅
教
= ∵∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐷𝐸𝐹, ∠𝐴𝐵𝐶,∠𝐷𝐸𝐹
∴180°−∠=𝐴𝐵𝐶 180°−∠𝐷𝐸𝐹,
∴(cid:70)∠𝐶𝐵𝐺 (cid:92)∠𝐹𝐸𝐻, (cid:72)
△𝐶𝐵𝐺= △𝐹𝐸𝐻
= =90°,
∠𝐶𝐵𝐺 =∠𝐹𝐸𝐻
∠𝐺 ∠𝐻
𝐵𝐶 𝐸𝐹
∴△𝐶𝐵=𝐺≌△𝐹𝐸𝐻
∴(cid:70)𝐶R𝐺t 𝐹𝐻, (cid:92)Rt
=△𝐴𝐶𝐺 △𝐷𝐹𝐻
=
𝐴𝐶 𝐷𝐹
𝐶R𝐺t 𝐹𝐻 Rt
∴ =△𝐴𝐶𝐺≌ △𝐷𝐹𝐻
∴(cid:70)∠𝐴 ∠𝐷(cid:92), (cid:72)
△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹=
=
∠𝐴= ∠𝐷
∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐷𝐸𝐹
𝐴𝐶 𝐷𝐹 (cid:230)
(cid:24)∴△3(cid:25)𝐴𝐵(cid:167)𝐶(cid:10)≌△(cid:70)𝐷𝐸𝐹 (cid:92) (cid:72)(cid:69) = = = (cid:69)(cid:73) (cid:318)(cid:153)(cid:477)(cid:23)(cid:69)(cid:66)(cid:68)(cid:69) (cid:92)
(cid:319)(cid:30)(cid:31)(cid:230) ① △𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹 𝐴𝐶 𝐷𝐹,𝐵𝐶 𝐸𝐹,∠𝐵 ∠𝐸 ∠𝐵,∠𝐸 △𝐷𝐸𝐹 △𝐴𝐵𝐶
(cid:264) (cid:68)(cid:125)(cid:211)(cid:69) = = + (cid:69)
② ①> (cid:69) ∠𝐴 ∠𝐶𝐷𝐴 ∠𝐵 ∠𝐵𝐶𝐷
∴(cid:316)∠𝐴 ∠𝐵 (cid:302)(cid:69) (cid:95)(cid:485)(cid:74)(cid:87)(cid:34)(cid:182)(cid:69)
(cid:142)∴ ∠𝐵≥∠𝐴 △(cid:56)𝐴𝐵𝐶
(cid:316)△𝐴+𝐵𝐶≌=△9𝐷0𝐸°𝐹(cid:69) + =90°(cid:302)(cid:69)
+
A
A
科
(cid:165)∠𝐵=∠𝐶 =90°(cid:69)∠𝐸 ∠𝐹 ★ 全
号
众
公
注
(cid:70)∠Rt𝐴 ∠𝐷(cid:92)Rt (cid:72)(cid:69) 关
，
源
资
辅
=△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐸教𝐹
=
𝐴𝐶 𝐷𝐹
𝐵𝐶Rt 𝐸𝐹 Rt (cid:69)
(cid:169)∴(cid:143)(cid:144)(cid:127)△(cid:10)𝐴𝐵𝐶≌ (cid:60)△𝐷𝐸𝐹+ =90°(cid:56)
(cid:15)(cid:141)(cid:265)(cid:19)(cid:146)∠(cid:20)𝐵(cid:153)≥(cid:28)∠(cid:23)𝐴(cid:29)∠(cid:32)𝐵(cid:486)(cid:290)∠(cid:20)𝐶 (cid:69)(cid:266)(cid:206)(cid:147)(cid:148)(cid:182)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:71)(cid:35)(cid:97)(cid:69)(cid:105)(cid:43)(cid:71)(cid:475)(cid:487)(cid:307)(cid:68)(cid:69)(cid:150)(cid:138)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:23)
(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:44)(cid:171)(cid:167)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:154)(cid:56)
(cid:15)(cid:170)(cid:171)7-1(cid:19)(cid:24)24-25(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)·(cid:306)(cid:379)(cid:488)(cid:489)·(cid:175)(cid:176)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:257)(cid:211) (cid:490)(cid:189)(cid:23)(cid:32)(cid:86)(cid:61)(cid:92)(cid:490)(cid:22)(cid:32)(cid:85)(cid:86)(cid:56)(cid:67)(cid:188)(cid:153)(cid:224)
(cid:11)(cid:83)(cid:43)(cid:319)(cid:224)(cid:32)(cid:44)(cid:45)(cid:281)(cid:282)(cid:32)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:69)(cid:491)(cid:202)(cid:278)(cid:281)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:28)(cid:55)(cid:492)(cid:493)△(cid:359)𝐴𝐵(cid:282)𝐶(cid:69)(cid:142)(cid:278)(cid:281)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:319)(cid:74)(cid:34)(cid:71) (cid:30)(cid:31)(cid:32)
(cid:153)(cid:24) (cid:25) △𝐴𝐵𝐶A(cid:56) B(cid:56)
C(cid:56) D(cid:56)
(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19)D
(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)(cid:146)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:34)(cid:39)(cid:69)(cid:39)(cid:167)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:34)(cid:39)(cid:153)(cid:167)(cid:20)(cid:3)(cid:154)(cid:56)
(cid:161)(cid:162)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:124)(cid:263)(cid:247)(cid:314)(cid:494)(cid:313)(cid:52)(cid:145)(cid:165)(cid:125)(cid:56)
(cid:15)(cid:166)(cid:167)(cid:19)(cid:167)(cid:10)A(cid:37)(cid:161)(cid:162)“ASA”(cid:125)(cid:26)(cid:27)(cid:71)(cid:381)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:69)(cid:319)(cid:289)(cid:290)(cid:20)(cid:243)(cid:230)
B(cid:37)(cid:161)(cid:162)“SAS”(cid:125)(cid:26)(cid:27)(cid:71)(cid:381)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:69)(cid:319)(cid:289)(cid:290)(cid:20)(cid:243)(cid:230)
C(cid:37)(cid:161)(cid:162)“SSS”(cid:125)(cid:26)(cid:27)(cid:71)(cid:381)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:69)(cid:319)(cid:289)(cid:290)(cid:20)(cid:243)(cid:230)
D(cid:37)(cid:71)(cid:381)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:29)(cid:59)(cid:28)(cid:55)(cid:189)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:31)(cid:69)(cid:48)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:319)(cid:74)(cid:34)(cid:30)(cid:31)(cid:69)(cid:289)(cid:290)(cid:20)(cid:243)(cid:230)
A
+
A
科
全
★
(cid:169)(cid:42)(cid:10)D(cid:56)
众
号
公
注
关
(cid:15)(cid:170)(cid:171)7-2(cid:19)(cid:24)24-25(cid:267)(cid:129)(cid:130)(cid:67)·(cid:133)(cid:495)源·(cid:175)，(cid:72)(cid:25)(cid:67)(cid:312)(cid:124)(cid:263)(cid:72)(cid:286)(cid:87)(cid:34) (cid:32)(cid:29)(cid:91)(cid:71)(cid:93)(cid:94)(cid:32)(cid:101) (cid:56)
资
辅
教
=3(cid:69) =7(cid:69) =11(cid:69) △𝐴𝐵𝐶
①𝐴𝐵=30°(cid:69)𝐵𝐶 =70𝐶°𝐴(cid:69) =3(cid:230)
②∠𝐴=30°(cid:69)∠𝐵=7(cid:69) 𝐴=𝐶 11(cid:230)
③∠𝐴=30°(cid:69)𝐴𝐵=14(cid:69)𝐵𝐶 =9(cid:56)
④(cid:15)(cid:143)∠𝐴(cid:144)(cid:19) 𝐴𝐵 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)②(cid:146)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:182)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:92)(cid:35)(cid:97)(cid:69)(cid:167)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:154)(cid:153)(cid:39)(cid:167)(cid:20)(cid:243)(cid:69)(cid:40)(cid:41)(cid:333)(cid:43)(cid:278)(cid:11)(cid:211)(cid:218)(cid:167)(cid:240)(cid:242)(cid:20)(cid:56)(cid:161)
(cid:162)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:92)(cid:35)(cid:97)(cid:247)(cid:314)(cid:149)(cid:34)(cid:165)(cid:125)(cid:225)(cid:167)(cid:56)
(cid:15)(cid:166)(cid:167)(cid:19)(cid:167)(cid:10) =3(cid:69) =7(cid:69) =11(cid:69)3+7<11(cid:69)(cid:319)(cid:286)(cid:281)(cid:282)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:230)
=30°(cid:69)①𝐴𝐵=70°(cid:69)𝐵𝐶 =3(cid:69)𝐶(cid:161)𝐴(cid:162)“AAS”(cid:286)(cid:281)(cid:282)(cid:485)(cid:74)(cid:32) (cid:230)
②∠𝐴=30°(cid:69)∠𝐵=7(cid:69) 𝐴=𝐶 11(cid:69)“SSA”(cid:319)(cid:286)(cid:87)(cid:34)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:35)△(cid:97)𝐴(cid:69)𝐵(cid:165)𝐶 (cid:319)(cid:286)(cid:281)(cid:282)(cid:485)(cid:74)(cid:32) (cid:230)
③∠𝐴=30°(cid:69)𝐴𝐵=14(cid:69)𝐵𝐶 =9(cid:69)“SSA”(cid:319)(cid:286)(cid:87)(cid:34)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:35)(cid:97)(cid:69)(cid:165)(cid:319)(cid:286)(cid:281)(cid:282)(cid:485)(cid:74)(cid:32)△𝐴𝐵𝐶(cid:230)
④(cid:486)(cid:131)∠𝐴(cid:278)(cid:496)(cid:69)(cid:286)(cid:281)𝐴𝐵(cid:282)(cid:485)(cid:74)(cid:32)𝐵𝐶 (cid:32)(cid:101) (cid:69) △𝐴𝐵𝐶
(cid:169)(cid:143)(cid:144)(cid:127)(cid:10) (cid:56) △𝐴𝐵𝐶 ②
②(cid:15)(cid:170)(cid:171)7-3(cid:19)(cid:24)24-25(cid:219)(cid:129)(cid:130)(cid:131)·(cid:497)(cid:174)(cid:498)(cid:157)·(cid:175)(cid:72)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:141) (cid:69) (cid:69) (cid:69) (cid:70)(cid:224)(cid:74)(cid:124)(cid:38)(cid:114)(cid:131)(cid:69) = (cid:69)
= (cid:69)(cid:323)(cid:252)(cid:126)(cid:67)(cid:28)(cid:55)(cid:42)(cid:313)(cid:72) = (cid:69) 𝐴= 𝐷 𝐶(cid:69)𝐹 = (cid:69)(cid:42)(cid:427)(cid:74)𝐴𝐷(cid:55)(cid:42)𝐹(cid:313)𝐶(cid:307)(cid:127)(cid:257)(cid:211)
∠(cid:124)𝐴(cid:263)(cid:69)∠(cid:119)𝐸𝐷(cid:158)𝐹 (cid:56) ①𝐴𝐵 𝐷𝐸 ②∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐷𝐹𝐸 ③∠𝐵 ∠𝐸
△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹
(1)(cid:425)(cid:42)(cid:427)(cid:261)(cid:262)(cid:32)(cid:42)(cid:313)(cid:153)______(cid:24)(cid:499)(cid:500)(cid:9)(cid:25)(cid:230)
(2)(cid:261)(cid:262)(cid:124)(cid:263)(cid:160)(cid:69)(cid:323)(cid:26)(cid:27) (cid:56)
(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19)(1) (cid:60) (cid:60) △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹
(2)(cid:226)(cid:166)(cid:167) ① ② ③
(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)(cid:146)(cid:20)(cid:266)(cid:206)(cid:147)(cid:148)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:92)(cid:35)(cid:97)(cid:126)(cid:49)(cid:140)(cid:314)(cid:114)(cid:32)(cid:35)(cid:97)(cid:69)
(cid:24)1(cid:25)(cid:261)(cid:262) (cid:60) (cid:60) (cid:454)(cid:125)(cid:26)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:230)
(cid:24)2(cid:25)(cid:264)(cid:140)(cid:314)①(cid:114)(cid:32)②(cid:35)(cid:97)③(cid:125)(cid:158) = (cid:69)(cid:66)(cid:84)(cid:42)(cid:427) (cid:118)(cid:43)(cid:22)(cid:23)(cid:22)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:69)(cid:66)(cid:84)(cid:42)(cid:427) (cid:43)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
+
A
A
科
(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:69)(cid:66)(cid:84)(cid:42)(cid:427) (cid:23)(cid:23)∠𝐷(cid:22)(cid:26)∠(cid:27)𝐴(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)①(cid:56) ★ 全 ②
号
众
公
注
(cid:15)(cid:166)(cid:167)(cid:19)(cid:24)1(cid:25)(cid:167)(cid:10)(cid:42)③(cid:427) (cid:60) (cid:60) 关
，
源
资
辅
(cid:24)2(cid:25)(cid:42)(cid:427) (cid:69)(cid:26)(cid:27)(cid:66)教(cid:67)①(cid:10) ② ③
= (cid:69)①
∵𝐴𝐷+ 𝐹𝐶= + (cid:165) = (cid:69)
∴(cid:70)𝐴𝐷 𝐷𝐶(cid:92) 𝐷𝐶 𝐶(cid:72)𝐹 𝐴𝐶 𝐷𝐹
△𝐴=𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹
= (cid:69)
𝐴𝐶 =𝐷𝐹
∠𝐴 ∠𝐸𝐷𝐹
𝐴𝐵 𝐷𝐸 (SAS)(cid:56)
∴(cid:42)△(cid:427)𝐴𝐵𝐶(cid:69)≌(cid:26)△(cid:27)𝐷(cid:66)𝐸𝐹(cid:67)(cid:10)
②= (cid:69)
∵𝐴𝐷+ 𝐹𝐶= + (cid:165) = (cid:69)
∴(cid:70)𝐴𝐷 𝐷𝐶(cid:92) 𝐷𝐶 𝐶(cid:72)𝐹 𝐴𝐶 𝐷𝐹
△𝐴=𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹
= (cid:69)
∠𝐴 =∠𝐸𝐷𝐹
∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐷𝐹𝐸
𝐴𝐶 𝐷𝐹 (ASA)(cid:56)
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(cid:42)(cid:427) (cid:69)(cid:26)(cid:27)(cid:66)(cid:67)(cid:10)
③= (cid:69)
∵𝐴𝐷+ 𝐹𝐶= + (cid:165) = (cid:69)
∴(cid:70)𝐴𝐷 𝐷𝐶(cid:92) 𝐷𝐶 𝐶(cid:72)𝐹 𝐴𝐶 𝐷𝐹
△=𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹
= (cid:69)
∠𝐴 =∠𝐸𝐷𝐹
∠𝐵 ∠𝐸
𝐴𝐶 𝐷𝐹 (AAS)(cid:56)
∴
【
△
题
𝐴
型
𝐵𝐶8≌ △
二次
𝐷𝐸
证
𝐹
明三角形全等】
(cid:15)(cid:106)8(cid:19)(cid:24)24-25(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)·(cid:400)(cid:221)(cid:501)(cid:400)·(cid:175)(cid:176)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:303)(cid:22)(cid:29) (cid:72)(cid:69) (cid:153)(cid:76)(cid:23)(cid:114) (cid:131)(cid:74)(cid:141)(cid:69) = (cid:69)
= (cid:69)(cid:225)(cid:26)(cid:10) (cid:56) 𝐴𝐶𝐵𝐷 𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷
𝐵𝐶 𝐵𝐷 △𝐴𝐸𝐶≌△𝐴𝐸𝐷
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19)(cid:26)(cid:27)(cid:226)(cid:167)(cid:145) 关
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)(cid:146)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:30)(cid:31)教(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:71)(cid:35)(cid:97)(cid:69)(cid:150)(cid:138)(cid:151)(cid:152)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:153)(cid:167)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:154)(cid:56)(cid:156)(cid:26)(cid:27)
(SSS)(cid:158)(cid:282) = (cid:69)(cid:163)(cid:26)(cid:27) (cid:56)
(cid:15)△(cid:166)𝐴𝐵(cid:167)𝐶(cid:19)≌(cid:26)△(cid:27)𝐴𝐵(cid:10)𝐷(cid:70) (cid:92)∠𝐶𝐴𝐵 ∠(cid:72)𝐷(cid:69)𝐴𝐵 △𝐴𝐸𝐶≌△𝐴𝐸𝐷
= △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐷
= (cid:69)
𝐴𝐶 =𝐴𝐷
𝐵𝐶 𝐵𝐷
𝐴𝐵 𝐴𝐵 (SSS)(cid:69)
∴△𝐴𝐵𝐶=≌△𝐴𝐵𝐷(cid:69)
(cid:70)∴∠𝐶𝐴𝐵 (cid:92)∠𝐷𝐴𝐵 (cid:72)(cid:69)
△𝐴𝐸=𝐶 △𝐴𝐸𝐷
= (cid:69)
𝐴𝐶 =𝐴𝐷
∠𝐶𝐴𝐸 ∠𝐷𝐴𝐸
𝐴𝐸 𝐴𝐸AED(SAS)(cid:56)
∴(cid:15)△(cid:170)A(cid:171)EC8≌-1△(cid:19)(cid:24)24-25(cid:267)(cid:129)(cid:130)(cid:67)·(cid:30)(cid:268)·(cid:442)(cid:502)(cid:138)(cid:139)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69) (cid:92) (cid:32)(cid:412)(cid:141)A(cid:92)D(cid:70) (cid:32)(cid:224)(cid:456)(cid:69)
= (cid:69) = (cid:69) (cid:322) (cid:324)(cid:141)O(cid:69)(cid:223)(cid:258)(cid:27)(cid:10) △𝐴𝐵𝐶 △(cid:56)𝐷𝐶𝐵 𝐵𝐶
(cid:67)𝐴𝐵(cid:188)(cid:153)𝐷(cid:94)𝐶(cid:27)𝐴(cid:32)𝐶(cid:167)(cid:143)𝐷(cid:301)𝐵(cid:394)𝐴(cid:10)𝐶 𝐷𝐵 △𝐴𝐵𝑂≌△𝐷𝐶𝑂(cid:167)(cid:10)(cid:70) (cid:92) (cid:72)(cid:69)(cid:288)(cid:127) = (cid:69) = (cid:69) = (cid:69)(cid:278)(cid:126) (cid:69)(cid:278)(cid:126)
△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐶𝐵 𝐴𝐵(cid:69)(cid:278)𝐷(cid:126)𝐶 𝐴𝐶 𝐷𝐵 𝐵𝐶(cid:56) 𝐶𝐵 △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐵
(cid:323)△(cid:242)𝐴𝐵(cid:94)𝐶(cid:27)−(cid:32)△(cid:167)𝑂𝐵(cid:45)𝐶(cid:325)≌(cid:87)△(cid:338)𝐷𝐶(cid:339)𝐵(cid:66)−(cid:84)△(cid:319)𝑂𝐵(cid:325)𝐶(cid:87)(cid:69)(cid:323)(cid:503)△(cid:325)𝐴𝐵(cid:301)𝑂(cid:419)≌(cid:56)△𝐷𝐶𝑂
(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19)(cid:319)(cid:325)(cid:87)(cid:69)(cid:226)(cid:167)(cid:145)
(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)(cid:146)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:182)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:69)(cid:40)(cid:41)(cid:333)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:153)(cid:167)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:154)(cid:230)
(cid:161)(cid:162)(cid:257)(cid:211)(cid:124)(cid:263)(cid:158)(cid:282) (cid:69)(cid:158) = (cid:69)(cid:70) (cid:92) (cid:72)(cid:69)(cid:118)(cid:43)AAS(cid:165)(cid:125)(cid:158)(cid:282)(cid:293)(cid:294).
(cid:15)(cid:166)(cid:167)(cid:19)(cid:167)(cid:10)(cid:319)(cid:325)(cid:87)△(cid:69)𝐴𝐵(cid:325)𝐶(cid:87)≌(cid:473)△(cid:504)𝐷𝐶(cid:127)𝐵(cid:10) ∠𝐴 ∠𝐷 △𝐴𝐵𝑂 △𝐷𝐶𝑂
(cid:70) (cid:92) (cid:72)(cid:69)
△=𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐶𝐵
= (cid:69)
𝐴𝐵=𝐷𝐶
+
𝐴𝐶 𝐷𝐵 A A
科
𝐵𝐶 𝐶𝐵 (SSS)(cid:69)
★
全
号
众
公
注
∴△𝐴=𝐵𝐶≌(cid:56)△𝐷𝐶𝐵 关
，
源
资
辅
∴(cid:70)∠𝐴 ∠𝐷(cid:92) (cid:72)教(cid:69)
△𝐴𝐵=𝑂 △𝐷𝐶𝑂
= (cid:69)
∠𝐴 =∠𝐷
∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐷𝑂𝐶
𝐴𝐵 𝐷𝐶 (AAS)(cid:56)
∴(cid:15)∠(cid:170)𝐴𝐵(cid:171)𝑂≌8-∠2(cid:19)𝐷𝐶(cid:66)𝑂(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:303)(cid:22)(cid:29) (cid:72)(cid:69) = (cid:69) > (cid:69) = (cid:56)(cid:225)(cid:26)(cid:10) = (cid:56)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵 ∠𝐶 ∠𝐴 ∠𝐷
(cid:15)(cid:143)(cid:144)(cid:19)(cid:26)(cid:27)(cid:226)(cid:167)(cid:145)(cid:56)
(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)(cid:245)(cid:246) (cid:69)(cid:26)(cid:27) (cid:69)(cid:158)(cid:282) = (cid:69)
(cid:163)(cid:26)(cid:69)(cid:165)(cid:125) 𝐴𝐶 △𝐴𝐵𝐶≌△(cid:56)𝐷𝐶𝐵(𝑆𝐴𝑆) 𝐵𝐷 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:166)(cid:167)(cid:19)(cid:245)(cid:246)△𝐴𝐵(cid:69)𝐷B≌D△𝐷𝐶𝐴(𝑆𝑆𝑆)
𝐴𝐶=
(cid:70) (cid:71) (cid:72)(cid:69){ = (cid:69)
𝐴𝐵=𝐶𝐷
△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐶𝐵 (cid:69) ∠𝐵 ∠𝐶
𝐵𝐶 𝐵𝐶
∴△=𝐴𝐵𝐶≌(cid:69)△𝐷𝐶𝐵(𝑆𝐴𝑆)
=
𝐵𝐷 𝐴𝐶
(cid:70) (cid:71) (cid:72)(cid:69){ = (cid:69)
𝐴𝐵=𝐷𝐶
△𝐴𝐵𝐷 △𝐷𝐶𝐴 (cid:69) 𝐵𝐷 𝐴𝐶
𝐴𝐷 𝐴𝐷
∴△𝐴𝐵𝐷=≌△𝐷𝐶(cid:56)𝐴(𝑆𝑆𝑆)
∴(cid:15)∠(cid:141)𝐵𝐴(cid:265)𝐷(cid:19)(cid:146)∠(cid:20)𝐶𝐷(cid:147)𝐴(cid:148)(cid:182)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:35)(cid:97)(cid:92)(cid:149)(cid:34)(cid:69)(cid:151)(cid:152)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:35)(cid:97)(cid:92)(cid:149)(cid:34)(cid:153)(cid:167)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:154)(cid:56)
(cid:15)(cid:170)(cid:171)8-3(cid:19)(cid:24)23-24(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)·(cid:172)(cid:120)(cid:377)(cid:505)·(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:25)(cid:70)(cid:167)(cid:240)(cid:114)(cid:137)(cid:61)(cid:184)(cid:3)(cid:342)(cid:242)(cid:20)(cid:72)(cid:69)(cid:66)(cid:84)(cid:124)(cid:263)(cid:72)(cid:101)(cid:23)(cid:140)(cid:52)(cid:114)(cid:69)
+
A
A
科
(cid:78)(cid:231)(cid:506)(cid:43)(cid:67)(cid:188)(cid:238)(cid:239)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:167)(cid:240)(cid:196)(cid:507)(cid:56) 全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:66)(cid:10)(cid:70)(cid:68)1(cid:72)(cid:69)(cid:259)C(cid:153) (cid:32)(cid:140)(cid:52)(cid:114) (cid:131)(cid:74)(cid:141)(cid:69)(cid:141)A(cid:70) (cid:131)(cid:69)(cid:213)(cid:302)(cid:69)(cid:70)(cid:384)(cid:114) (cid:131)(cid:235)(cid:244) = (cid:69)(cid:245)(cid:293)
(cid:69)(cid:161)(cid:162)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)∠(cid:149)𝑀(cid:34)𝑂(cid:44)𝑁(cid:45)______𝑂(cid:24)𝑃(cid:57)(cid:508)(cid:25)(cid:69)(cid:423)(cid:424)(cid:238)(cid:239)𝑂𝑀(cid:282)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29) 𝑂(cid:92)𝑁 𝑂(cid:69)𝐵(cid:345)(cid:147)𝑂(cid:131)𝐴(cid:188)(cid:32)(cid:44)
(cid:45)𝐵𝐶(cid:69)(cid:167)(cid:143)(cid:67)(cid:312)(cid:242)(cid:20)(cid:10) △𝑂𝐵𝐶 △𝑂𝐴𝐶
(cid:24)1(cid:25)(cid:66)(cid:68)2(cid:69)(cid:70) (cid:72)(cid:69) (cid:153) (cid:32)(cid:140)(cid:52)(cid:114)(cid:69)E(cid:37)F(cid:52)(cid:53)(cid:127) (cid:69) (cid:131)(cid:32)(cid:141)(cid:69)(cid:73)
+ =△18𝐴0𝐵°(cid:56)𝐶 (cid:225)(cid:26)𝐴(cid:10)𝐷 ∠=𝐵𝐴𝐶 (cid:56)(cid:24)(cid:48)(cid:55)(cid:189)(cid:23)(cid:54)(cid:31)(cid:32)(cid:28)(cid:23)𝐴𝐵(cid:29)(cid:153)𝐴(cid:31)𝐶 (cid:452)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:25)
(cid:24)∠𝐴2𝐸(cid:25)𝐷(cid:66)(cid:68)∠𝐴3𝐹(cid:69)𝐷(cid:70)(cid:362)(cid:31)(cid:22) (cid:72)𝐷(cid:69)𝐸 𝐷=𝐹60°(cid:69) (cid:37) (cid:52)(cid:53)(cid:153) (cid:37) (cid:32)(cid:140)(cid:52)(cid:114)(cid:69)(cid:73) (cid:37) (cid:322)(cid:324)(cid:141)F(cid:69)
(cid:225)(cid:26)(cid:10) = + (cid:56)△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵 𝐴𝐷 𝐶𝐸 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐵𝐶𝐴 𝐴𝐷 𝐶𝐸
(cid:15)(cid:143)(cid:144)𝐴(cid:19)𝐶SAS𝐴(cid:24)𝐸1(cid:25)𝐶(cid:226)𝐷(cid:167)(cid:145)(cid:230)(2)(cid:226)(cid:167)(cid:145)
(cid:15)(cid:52)(cid:145)(cid:19)(cid:146)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:182)(cid:23)(cid:32)(cid:140)(cid:314)(cid:114)(cid:69)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:92)(cid:35)(cid:97)(cid:69)(cid:191)(cid:509)(cid:114)(cid:137)(cid:207)(cid:208)(cid:32)(cid:3)(cid:342)(cid:56)
(cid:510)(cid:511)(cid:72)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:127)SAS(1)(cid:70) (cid:131)(cid:235)(cid:244) = (cid:69)(cid:245)(cid:293) (cid:69)(cid:26)(cid:27) (cid:69)(cid:163)(cid:118)(cid:43)(cid:31)(cid:452)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:149)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:165)(cid:125)(cid:56)
(2)(cid:70)𝐴𝐸(cid:131)(cid:235)(cid:244)𝐴𝑃 =𝐴𝐹(cid:69)(cid:245)(cid:293)𝐷𝑃 (cid:69)(cid:26)(cid:27)△𝐴𝐷𝑃≌△𝐴𝐷𝐹 (cid:69) (cid:165)(cid:125)(cid:56)
(cid:15)(cid:166)(cid:167)𝐴𝐶(cid:19)(cid:161)(cid:162)(cid:20)𝐴(cid:243)𝑀(cid:69)(cid:158)𝐴𝐸(cid:149)(cid:34)(cid:44)(cid:45)𝑀(cid:127)𝐹SAS(cid:69) △𝐴𝐹𝐸≌△𝐴𝐹𝑀 △𝐶𝐹𝐷≌△𝐶𝐹𝑀
(cid:169)(cid:143)(cid:144)(cid:127)(cid:10)SAS(cid:56)
(1)(cid:70) (cid:131)(cid:235)(cid:244) = (cid:69)(cid:245)(cid:293) (cid:69)
𝐴𝐸 𝐴𝑃 𝐴𝐹 𝐷𝑃
=
= (cid:69)
𝐴𝑃=𝐴𝐹
∵ ∠1 ∠2
𝐴𝐷 𝐴𝐷 (SAS)(cid:69)
∴△𝐴𝐷𝑃=≌△𝐴𝐷𝐹 = (cid:69)
∴∠𝐴𝑃𝐷 ∠𝐴𝐹=𝐷,𝐷𝑃 𝐷𝐹 (cid:69)
+
A
A
科
∴180°−∠+𝐴𝑃𝐷 =18108°−0°∠(cid:69)𝐴𝐹𝐷 + =180°(cid:69) ★ 全
号
众
公
注
∵∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐴𝐹𝐷(cid:69) ∠𝐷𝑃𝐸 ∠𝐴𝑃𝐷 关
，
源
资
辅
∴∠𝐴𝐸=𝐷 ∠(cid:69)𝐷𝑃𝐸 教
∴𝐷𝐸=𝐷𝑃(cid:56)
(cid:24)∴𝐷2𝐸(cid:25)(cid:70)𝐷𝐹(cid:131)(cid:235)(cid:244) = (cid:69)(cid:245)(cid:293) (cid:69)
=𝐴𝐶 𝐴𝑀 𝐴𝐸 𝑀𝐹
= (cid:69)
𝐴𝑀= 𝐴𝐸
∵ ∠3 ∠4
𝐴𝐹 𝐴𝐹 (SAS)(cid:69)
∴△𝐴=𝐹𝐸≌(cid:69)△𝐴𝐹𝑀 = (cid:69)
∴𝐴𝐸=6𝐴0°𝑀(cid:69) ∠𝐴(cid:37)𝐹𝐸 (cid:52)∠(cid:53)𝐴(cid:153)𝐹𝑀 (cid:37) (cid:32)(cid:140)(cid:52)(cid:114)(cid:69)(cid:73) (cid:37) (cid:322)(cid:324)(cid:141)F(cid:69)
∵∠𝐵
+ =
𝐴1𝐷
(
𝐶𝐸
+
∠𝐵
)
𝐴
=
𝐶1
(
∠𝐵𝐶𝐴
)=60°(cid:69)
𝐴𝐷 𝐶𝐸
2 2
∴∠4 ∠6 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐵𝐶𝐴 180°−∠𝐵
=120°(cid:69)
∴∠𝐴𝐹𝐶 = + (cid:69)
∵∠𝐴𝐹𝐸=∠4 ∠=6 60°(cid:69)
∴∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐴𝐹𝑀=60°(cid:69) =60°(cid:69)
∴∠𝐴𝐹𝐸 ∠𝐷𝐹𝐶 ∠𝑀𝐹𝐶= (cid:69)
∴∠𝑀𝐹𝐶 =∠𝐷𝐹𝐶
= (cid:69)
∠𝑀𝐹𝐶= ∠𝐷𝐹𝐶
∵ 𝐹𝐶 𝐹𝐶
∠6 ∠5 (ASA)(cid:69)
∴△𝐶𝐹𝐷≌△𝐶𝐹𝑀
= (cid:69)
∴𝐶𝐷= 𝐶𝑀+
∵𝐴𝐶=𝐴𝑀+ 𝐶𝑀(cid:56)
∴𝐴𝐶 𝐴𝐸 𝐶𝐷
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
