文档文本内容
专题 14.2 全等三角形的判定（一）（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 “(cid:22)(cid:23)(cid:22)”(cid:24)SAS(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19).....................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 “(cid:23)(cid:22)(cid:23)”(cid:24)ASA(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19).....................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 “(cid:23)(cid:23)(cid:22)”(cid:24)AAS(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19).....................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 “(cid:22)(cid:22)(cid:22)”(cid:24)SSS(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19)....................................................................................................11
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:19)..................................................................................................................................14
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:36)(cid:22)(cid:37)(cid:38)(cid:23)(cid:22)(cid:34)(cid:39)(cid:24)HL(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19).....................................................................................15
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19)..........................................................................................................18
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:46)(cid:47)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19)..........................................................................................................................24
知识点1 基本事实“边角边”（SAS）
科AA+
全
1. (cid:48)(cid:22)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:31)(cid:32)(cid:48)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)“(cid:22)众(cid:23)号(cid:22)” ★ (cid:60)“SAS”(cid:56)
公
注
关
，
源
资 = ，
辅
2. (cid:61)(cid:11)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:10)(cid:66)(cid:67)(cid:68) 教 (cid:69)(cid:70) (cid:71) (cid:72)(cid:69) = (cid:69)
𝐴𝐵= 𝐷𝐸(cid:69)
△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹 ∠𝐴 ∠𝐷
SAS)(cid:56) 𝐴𝐶 𝐷𝐹
∴ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(
知识点2 基本事实“角边角”（ASA）
1. (cid:48)(cid:22)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:31)(cid:32)(cid:48)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)“(cid:23)(cid:22)(cid:23)”(cid:60)“ASA”(cid:56)
= (cid:69)
2. (cid:61)(cid:11)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:10)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70) (cid:71) (cid:72)(cid:69) = (cid:69)
∠𝐴 =∠𝐷(cid:69)
△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐷𝐸
ASA)(cid:56) ∠𝐵 ∠𝐸
∴ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(
知识点3 “角边角”的推论“角角边”（AAS）
1. (cid:48)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:31)(cid:73)(cid:50)(cid:72)(cid:74)(cid:75)(cid:31)(cid:23)(cid:32)(cid:76)(cid:22)(cid:54)(cid:31)(cid:32)(cid:48)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)“(cid:23)(cid:23)(cid:22)”(cid:60)“AAS”(cid:56)
= (cid:69)
2. (cid:61)(cid:11)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:10)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70) (cid:71) (cid:72)(cid:69) = (cid:69)
∠𝐴 =∠𝐷(cid:69)
△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹 ∠𝐵 ∠𝐸
𝐵𝐶 𝐸𝐹AAS)(cid:56)
∴ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(
知识点4 基本事实“边边边”（SSS）
1. (cid:28)(cid:22)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:31)(cid:32)(cid:48)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)“(cid:22)(cid:22)(cid:22)”(cid:60)“SSS”(cid:56)
= (cid:69)
2. (cid:61)(cid:11)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:10)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70) (cid:71) (cid:72)(cid:69) = (cid:69)
𝐴𝐵= 𝐷𝐸(cid:69)
△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹 𝐵𝐶 𝐸𝐹
AAS)(cid:56) 𝐴𝐶 𝐷𝐹
∴ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(
知识点5 三角形的稳定性
(cid:77)(cid:41)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:69)(cid:66)(cid:84)(cid:74)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:28)(cid:22)(cid:32)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:34)(cid:69)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:29)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:30)(cid:87)(cid:34)(cid:69)(cid:28)(cid:23)(cid:29)
(cid:32)(cid:90)(cid:55)(cid:35)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:56)
(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:70)(cid:77)(cid:41)(cid:92)(cid:77)(cid:100)(cid:72)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:32)(cid:105)(cid:43)(cid:56)(cid:106)(cid:66)(cid:10)(cid:107)(cid:108)(cid:32)(cid:16)(cid:109)(cid:29)(cid:110)(cid:111)(cid:37)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:110)(cid:111)(cid:37)(cid:36)(cid:115)(cid:116)(cid:111)(cid:31)(cid:69)
(cid:117)(cid:43)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:69)(cid:118)(cid:77)(cid:41)(cid:72)(cid:32)(cid:119)(cid:120)(cid:78)(cid:121)(cid:122)(cid:43)(cid:56)
知识点6 斜边、直角边定理（HL）
1. (cid:36)(cid:22)(cid:92)(cid:74)(cid:123)(cid:38)(cid:23)(cid:22)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:31)(cid:32)(cid:48)(cid:55)(cid:38)(cid:23)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:124)(cid:125)(cid:57)(cid:58)(cid:59)全“(cid:36)科(cid:22) A (cid:37)(cid:38) A (cid:23) + (cid:22)”(cid:60)“HL”(cid:25)(cid:56)
★
号
众
公
注
关
2. (cid:61)(cid:11)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65):(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:70)R 辅 t 资 源 (cid:71)R ， t (cid:72)(cid:24) (cid:71) (cid:126)(cid:38)(cid:23)(cid:25)(cid:69) = = ， ，
教 ′ ′
′ ′ ′ ′ 𝐴𝐵 𝐴′𝐵′
△𝐴𝐵𝐶 △𝐴 𝐵 𝐶 ∠𝐶 ∠𝐶 𝐵𝐶 𝐵 𝐶
Rt Rt (HL)(cid:56)
′ ′ ′
∴ △𝐴𝐵𝐶≌ △𝐴 𝐵 𝐶
【题型1 “边角边”（SAS）证明三角形全等】
(cid:15)(cid:106)1(cid:19)(cid:24)24-25(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)·(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:134)·(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:56) (cid:72)(cid:56) = (cid:69) (cid:139)(cid:52) (cid:56)(cid:140) (cid:126) (cid:130)(cid:74)
(cid:140)(cid:56)(cid:141)(cid:68)(cid:72)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:101) (cid:76)(cid:56) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐸 𝐴𝐷
(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19)3(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)(cid:145)(cid:20)(cid:146)(cid:147)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:69)(cid:149)(cid:137)(cid:150)(cid:151)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:152)(cid:3)(cid:153)(cid:56)(cid:154)(cid:155)(cid:117)(cid:43)(cid:23)(cid:139)(cid:52)(cid:113)(cid:34)(cid:156)(cid:124)
(cid:157) = (cid:69)(cid:158)(cid:159)(cid:117)(cid:43)SAS(cid:124)(cid:148)(cid:34) (cid:69)(cid:160)(cid:161)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:35)(cid:97)(cid:124)(cid:157) = (cid:69)
∠𝐵𝐴=𝐷 ∠𝐶𝐴(cid:69)𝐷(cid:162)(cid:148)(cid:34) △(cid:69)𝐴(cid:163)𝐵𝐷(cid:159)≌(cid:26)△(cid:27)𝐴𝐶𝐷 (cid:164)(cid:124)(cid:56) 𝐵𝐷 𝐶𝐷
∠(cid:15)𝐴(cid:165)𝐷𝐵(cid:166)(cid:19)∠(cid:166)𝐴(cid:10)𝐷𝐶 (cid:139)(cid:52)△𝐵𝐷𝐸(cid:69)≌△𝐶𝐷𝐸 △𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐸
= ∵ 𝐴(cid:69)𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
∴(cid:70)∠𝐵𝐴𝐷 (cid:92)∠𝐶𝐴𝐷 (cid:72)(cid:69)
∴ △𝐴=𝐵𝐷 △𝐴𝐶𝐷
= (cid:69)
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐷
𝐴𝐷 𝐴𝐷 (SAS)(cid:69)
∴ △𝐴=𝐵𝐷≌(cid:69)△𝐴𝐶𝐷 = (cid:69)
(cid:70)∴ 𝐵𝐷 𝐶(cid:92)𝐷 ∠𝐴𝐷(cid:72)𝐵 (cid:69)∠𝐴𝐷𝐶
△𝐵𝐸=𝐷 △𝐶𝐸𝐷
= (cid:69)
𝐵𝐷= 𝐶𝐷
∠𝐴𝐷𝐵 ∠𝐴𝐷𝐶
𝐷𝐸 𝐷𝐸 (SAS)(cid:69) 科AA+
全
★
号
(cid:70)∴ △𝐵𝐷𝐸(cid:92)≌△𝐶𝐷𝐸(cid:72)(cid:69) 公 众
注
关
，
资
源
△𝐴𝐵=𝐸 △𝐴𝐶𝐸
教
辅
= (cid:69)
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐸 𝐴𝐸 (SAS)(cid:69)
∴(cid:167)△3(cid:76)𝐴𝐵(cid:30)𝐸(cid:31)≌(cid:28)△(cid:23)𝐴𝐶(cid:29)𝐸(cid:69)
(cid:168)∴(cid:142)(cid:143)(cid:126)3(cid:56)
(cid:15)(cid:169)(cid:170)1-1(cid:19)(cid:24)24-25(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)·(cid:171)(cid:119)(cid:172)(cid:173)·(cid:174)(cid:175)(cid:25)(cid:61)(cid:11)(cid:176)(cid:130)(cid:177)(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:181)“(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:29)(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:32)(cid:188)(cid:189)”(cid:32)(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:69)
(cid:194)(cid:195)(cid:94)(cid:75)(cid:196)(cid:197)(cid:181)(cid:125)(cid:67)(cid:44)(cid:143)(cid:10)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:43)(cid:198)(cid:199)(cid:200)(cid:201)(cid:48)(cid:160)(cid:94)(cid:202) (cid:69) (cid:32)(cid:72)(cid:140) (cid:203)(cid:34)(cid:69)(cid:204)(cid:205)(cid:182)(cid:157) (cid:69) (cid:206)(cid:207)(cid:32)(cid:208)(cid:209)(cid:69)
(cid:95)(cid:124)(cid:210)(cid:211)(cid:188)(cid:189) (cid:32)(cid:85)(cid:86)(cid:69)(cid:212)(cid:44)(cid:143)(cid:213)(cid:161)(cid:32)(cid:61)(cid:11)(cid:34)(cid:39)(cid:60)(cid:214)(cid:145)𝐴(cid:215)𝐷(cid:216)(cid:152)𝐵𝐶(cid:24) (cid:25)𝑂 𝐶 𝐷
𝐴𝐵A(cid:56)SAS B(cid:56)ASA C(cid:56)AAS D(cid:56)HL
(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19)A
(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)(cid:145)(cid:20)(cid:146)(cid:147)(cid:32)(cid:152)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:105)(cid:43)(cid:69)(cid:149)(cid:137)(cid:150)(cid:151)(cid:125)(cid:130)(cid:210)(cid:217)(cid:140)(cid:152)(cid:166)(cid:142)(cid:145)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:153)(cid:56)
(cid:160)(cid:161)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:34)(cid:39)“SAS”(cid:166)(cid:142)(cid:164)(cid:124)(cid:56)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(cid:166)(cid:10)(cid:70) (cid:92) (cid:72)(cid:69)
= △𝐴𝑂𝐵 𝐷𝑂𝐶
= (cid:69)
𝑂𝐴 =𝑂𝐷
∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐷𝑂𝐶
𝑂𝐵 𝑂𝐶 (SAS)(cid:69)
∴△𝐴𝑂=𝐵≌△(cid:69)𝐷𝑂𝐶
∴𝐴(cid:212)𝐵(cid:44)(cid:143)𝐶(cid:213)𝐷(cid:161)(cid:32)(cid:61)(cid:11)(cid:34)(cid:39)(cid:60)(cid:214)(cid:145)(cid:215)(cid:216)(cid:152)“SAS”(cid:69)
(cid:168)∴(cid:42)(cid:10)A(cid:56)
(cid:15)(cid:169)(cid:170)1-2(cid:19)(cid:24)2025(cid:218)(cid:128)(cid:129)(cid:67)·(cid:219)(cid:220)·(cid:11)(cid:221)(cid:146)(cid:222)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:70) (cid:92) (cid:72)(cid:69) = (cid:69) = (cid:69) =
(cid:24)(cid:140) (cid:69) (cid:69) (cid:69) (cid:70)(cid:223)(cid:74)(cid:123)(cid:38)(cid:113)(cid:130)(cid:25)(cid:56)(cid:224)(cid:26)(cid:10) △𝐴𝐵(cid:56)𝐶 △𝐷𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐷𝐸 𝐵𝐸 𝐶𝐹 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐷𝐸𝐹
𝐵 𝐸 𝐶 𝐹 △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹
科AA+
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19)(cid:225)(cid:166)(cid:144)
(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)(cid:145)(cid:20)(cid:146)(cid:147)(cid:181)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:69)(cid:149)(cid:137)(cid:150)(cid:151)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:152)(cid:166)(cid:142)(cid:145)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:153)(cid:56)(cid:160)(cid:161)“SAS”(cid:148)
(cid:34)(cid:164)(cid:124)(cid:56)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(cid:26)(cid:27)(cid:10) = (cid:69)
+ = ∵+𝐵𝐸 (cid:69)𝐶𝐹
(cid:164)∴𝐵𝐸=𝐸𝐶(cid:69)𝐶𝐹 𝐸𝐶
(cid:70)𝐵𝐶 𝐸(cid:92)𝐹 (cid:72)(cid:69)
△𝐴𝐵=𝐶 △𝐷𝐸𝐹
= (cid:69)
𝐴𝐵 =𝐷𝐸
∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐷𝐸𝐹
𝐵𝐶 𝐸𝐹 (SAS)(cid:56)
(cid:15)∴△(cid:169)𝐴(cid:170)𝐵𝐶1≌-3(cid:19)△(cid:24)𝐷2𝐸0𝐹25·(cid:226)(cid:227)·(cid:74)(cid:228)(cid:25)(cid:70) (cid:72)(cid:69) (cid:139)(cid:52) (cid:69) = (cid:69) =3(cid:69) =6(cid:69)(cid:141) = (cid:56)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐵 2∠𝐴𝐷𝐵 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐶(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19)9
(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)(cid:145)(cid:20)(cid:146)(cid:147)(cid:181)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:92)(cid:35)(cid:97)(cid:229)(cid:212)(cid:20)(cid:117)(cid:43)(cid:181)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:72)(cid:230)(cid:43)(cid:231)(cid:232)(cid:113)(cid:233)(cid:234)(cid:85)(cid:235)(cid:236)(cid:45)(cid:237)(cid:238)(cid:30)
(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:69)(cid:158)(cid:159)(cid:117)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:166)(cid:20)(cid:69)(cid:90)(cid:152)(cid:166)(cid:239)(cid:113)(cid:136)(cid:92)(cid:240)(cid:241)(cid:20)(cid:163)(cid:230)(cid:43)(cid:32)(cid:44)(cid:45)(cid:69)(cid:4)(cid:242)(cid:150)(cid:151)(cid:56)
(cid:70) (cid:130)(cid:234)(cid:243) = (cid:69)(cid:244)(cid:245) (cid:69)(cid:26)(cid:27) (cid:69)(cid:157)(cid:197) = (cid:69)(cid:162)(cid:26)(cid:27) = (cid:69)(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:61)(cid:250)
(cid:166)𝐴(cid:142)𝐶(cid:164)(cid:124)(cid:56)𝐴𝐸 𝐴𝐵 𝐷𝐸 △𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐸𝐷 ∠𝐵 ∠𝐴𝐸𝐷 𝐸𝐷 𝐸𝐶
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(cid:166)(cid:10)(cid:70) (cid:130)(cid:234)(cid:243) = =3(cid:69)(cid:244)(cid:245) (cid:69)(cid:66)(cid:68)(cid:10)
𝐴𝐶 𝐴𝐸 𝐴𝐵 𝐷𝐸
(cid:139)(cid:52) (cid:69)
∵𝐴𝐷 =∠𝐵𝐴𝐶 (cid:69)
∴(cid:70)∠𝐵𝐴𝐷 (cid:92)∠𝐶𝐴𝐷 (cid:72)(cid:69)
△𝐴𝐵=𝐷 △𝐴 𝐸𝐷
科AA+
= (cid:69) 号 ★ 全
𝐴𝐸 =𝐴𝐵 公 众
注
关
∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐸𝐴𝐷 ，
源
𝐴𝐷 𝐴𝐷 (SAS)(cid:69) 辅 资
教
∴△𝐴=𝐵𝐷≌△(cid:69)𝐴𝐸𝐷 = (cid:69)
∴(cid:251)∠(cid:247)𝐵 ∠𝐴𝐸=𝐷 ∠𝐴𝐷𝐵(cid:69) ∠𝐴𝐷𝐸
(cid:252) ∠=𝐵𝐷𝐸 2∠(cid:69)𝐴𝐷𝐵
∠𝐵 =2∠𝐴𝐷𝐵 (cid:69)(cid:251)(cid:247) = (cid:69)
∴∠𝐴𝐸=𝐷 ∠=𝐵6𝐷(cid:69)𝐸 ∠𝐶𝐸𝐷 ∠𝐶𝐷𝐸
∴𝐶𝐸 =𝐶𝐷+ =3+6=9(cid:69)
(cid:168)∴𝐴(cid:142)𝐶(cid:143)(cid:126)𝐴𝐸(cid:10)9(cid:56)𝐶𝐸
【题型2 “角边角”（ASA）证明三角形全等】
(cid:15)(cid:106)2(cid:19)(cid:24)22-23(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)·(cid:103)(cid:253)(cid:254)(cid:255)·(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:256)(cid:210) 3= 4(cid:69)(cid:205)(cid:257)(cid:27) (cid:69)(cid:258)(cid:125)“ASA”(cid:126)
(cid:213)(cid:161)(cid:69)(cid:141)(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:74)(cid:55)(cid:123)(cid:262)(cid:152) (cid:56) ∠ ∠ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐵(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19) =
(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)∠(cid:160)𝐴(cid:161)𝐵𝐶ASA(cid:26)∠𝐵(cid:27)𝐶𝐷 (cid:69)(cid:164)(cid:124)(cid:56)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(cid:166)(cid:10)(cid:260)(cid:261) △=𝐴𝐵𝐶≌△(cid:69)𝐷(cid:39)𝐶𝐵(cid:263)(cid:66)(cid:67)(cid:10)
3= 4(cid:69) = ∠(cid:69)𝐴𝐵𝐶 ∠=𝐵𝐶𝐷 (cid:69)
∵∠ ∠ 𝐵𝐶 𝐶(cid:56)𝐵 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐶𝐷
∴(cid:168)△(cid:142)𝐴(cid:143)𝐵(cid:126)𝐶≌(cid:10)△𝐷𝐶𝐵=
(cid:15)(cid:140)(cid:264)(cid:19)(cid:145)∠(cid:20)𝐴(cid:265)𝐵𝐶(cid:205)(cid:146)∠(cid:147)𝐵(cid:181)𝐶𝐷(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:69)(cid:149)(cid:137)(cid:150)(cid:151)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:34)(cid:39)(cid:152)(cid:166)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:153)(cid:56)
(cid:15)(cid:169)(cid:170)2-1(cid:19)(cid:24)2025(cid:266)(cid:128)(cid:129)(cid:67)·(cid:30)(cid:267)·(cid:268)(cid:20)(cid:137)(cid:138)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:94)(cid:27)(cid:269)(cid:130)(cid:32)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:270)(cid:271)(cid:272)(cid:273)(cid:274)(cid:181)(cid:74)(cid:275)(cid:52)(cid:69)(cid:276)(cid:160)(cid:161)(cid:277)(cid:11)
(cid:32)(cid:210)(cid:217)(cid:278)(cid:279)(cid:95)(cid:280)(cid:281)(cid:181)(cid:74)(cid:55)(cid:71)(cid:269)(cid:130)(cid:96)(cid:30)(cid:74)(cid:282)(cid:32)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:69)(cid:88)(cid:89)(cid:94)(cid:27)(cid:280)(cid:68)(cid:32)(cid:213)(cid:161)(cid:152)(cid:24) (cid:25)
科AA+
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
A(cid:56)SSS B(cid:56)SAS C(cid:56)AAS D(cid:56)ASA
(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19)D
(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)(cid:145)(cid:20)(cid:146)(cid:147)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:229)
(cid:160)(cid:161)ASA(cid:164)(cid:124)(cid:166)(cid:142)(cid:56)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(cid:166)(cid:10)(cid:101)(cid:68)(cid:29)(cid:124)(cid:125)(cid:283)(cid:197)(cid:90)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:284)(cid:285)(cid:27)(cid:286)(cid:283)(cid:197)(cid:32)(cid:123)(cid:262)(cid:126)(cid:48)(cid:55)(cid:23)(cid:92)(cid:74)(cid:123)(cid:22)(cid:69)(cid:73)(cid:152)(cid:48)(cid:23)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:69)(cid:287)
(cid:212)(cid:288)(cid:289)ASA(cid:56)
(cid:168)(cid:42)D(cid:56)
(cid:15)(cid:169)(cid:170)2-2(cid:19)(cid:24)24-25(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)·(cid:219)(cid:220)(cid:290)(cid:291)·(cid:174)(cid:175)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:70) (cid:92) (cid:72)(cid:69) = (cid:69) = (cid:69)
= (cid:56)(cid:224)(cid:26)(cid:10) (cid:56) △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐷𝐸 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐷
∠𝐵 ∠𝐷 △𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19)(cid:225)(cid:166)(cid:144)
(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)(cid:145)(cid:20)(cid:146)(cid:147)(cid:181)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:229)
(cid:155)(cid:224)(cid:281) = (cid:69)(cid:162)(cid:160)(cid:161)ASA(cid:164)(cid:124)(cid:26)(cid:157)(cid:292)(cid:293)(cid:56)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)∠(cid:19)𝐵(cid:26)𝐴𝐶(cid:27)(cid:10)∠𝐷𝐴𝐸 = (cid:69)
+ ∵=∠𝐵𝐴𝐷 +∠𝐶𝐴𝐸 (cid:69)(cid:164) = (cid:69)
∴(cid:70)∠𝐵𝐴𝐷 (cid:92)∠𝐶𝐴𝐷 ∠(cid:72)𝐶(cid:69)𝐴𝐸 ∠𝐶𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐸
△𝐴𝐵=𝐶 △𝐴𝐷𝐸
= (cid:69)
∠𝐵𝐴𝐶 =∠𝐷𝐴𝐸
𝐴𝐵 𝐴𝐷
∠𝐵 ∠𝐷 (ASA)(cid:56)
科AA+
全
∴(cid:15)△(cid:169)𝐴(cid:170)𝐵𝐶2≌-3(cid:19)△(cid:24)𝐴𝐷23𝐸-24(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)·(cid:226)(cid:227)(cid:294)(cid:173)·(cid:174)(cid:175)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:205)(cid:182)号(cid:183)(cid:295)★(cid:296)(cid:48)(cid:297)M(cid:37)N(cid:48)(cid:140)(cid:207)(cid:32)(cid:208)(cid:209)(cid:69)(cid:124)(cid:125)(cid:70)(cid:38)(cid:113)
众
公
注
关
(cid:130)(cid:243)A(cid:69)B(cid:48)(cid:140)(cid:69)(cid:162)(cid:70)(cid:295)(cid:296)(cid:298)(cid:243) (cid:32)源(cid:299)(cid:113) ， (cid:130)(cid:32)(cid:48)(cid:140)C(cid:69)D(cid:69)(cid:118) = (cid:69)(cid:300)(cid:140) (cid:162)(cid:280)(cid:281) (cid:32)(cid:299)(cid:113) (cid:69)(cid:118)𝑀𝑁
资
辅
教
(cid:140) (cid:71)A(cid:69)C(cid:70)(cid:74)(cid:123)(cid:38)(cid:113)(cid:130)(cid:69)(cid:258)(cid:212)𝐴𝐵(cid:301)(cid:182)(cid:157) 𝐵𝐹=16m(cid:69) =0.5m(cid:69)𝐵𝐶 𝐶=𝐷1.5m(cid:69)(cid:141)𝐷(cid:295)(cid:296)(cid:48)𝐵(cid:297)𝐹M(cid:69)N𝐷(cid:48)𝐸(cid:140)(cid:207)(cid:32)
(cid:208)𝐸(cid:209)(cid:126) m(cid:56) 𝐷𝐸 𝐴𝑀 𝐵𝑁
(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19)14
(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)(cid:145)(cid:20)(cid:146)(cid:147)(cid:181)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:105)(cid:43)(cid:69)(cid:117)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:34)(cid:39)ASA(cid:26)(cid:281) (cid:152)(cid:166)(cid:20)(cid:32)(cid:3)
(cid:153)(cid:56)(cid:263)(cid:299)(cid:113)(cid:32)(cid:34)(cid:156)(cid:124)(cid:157)(cid:281) = =90°(cid:69)(cid:292)(cid:289) = (cid:69) = (cid:69)△(cid:164)𝐴(cid:124)𝐵(cid:26)𝐶≌(cid:281)△𝐸𝐷𝐶
(ASA)(cid:69)(cid:117)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)∠(cid:35)𝐵(cid:97)(cid:124)∠𝐸(cid:157)𝐷(cid:281)𝐶 (cid:56) 𝐵𝐶 𝐷𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐸𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐷𝐶
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(cid:166)(cid:10) (cid:69)
∵𝐴𝐵⊥𝐵𝐹,𝐷𝐸⊥𝐵𝐹= =90°(cid:56)
(cid:70)∴∠𝐵 ∠(cid:92)𝐸𝐷𝐶 (cid:72)(cid:69)
△𝐴=𝐵𝐶 △𝐸𝐷𝐶
=
∠𝐵 =∠𝐸𝐷𝐶
𝐵𝐶 𝐷𝐶
∠𝐵𝐶𝐴 ∠𝐷𝐶𝐸 (ASA)(cid:69)
∴△𝐴𝐵=𝐶≌△=𝐸1𝐷6𝐶m(cid:69)
∴𝐴𝐵 =𝐸0𝐷.5m =1.5m(cid:69)
∵𝐴𝑀 = ,𝐵𝑁 =14m(cid:69)
(cid:168)∴(cid:142)𝑀𝑁(cid:143)(cid:126)1(cid:10)61−40(cid:56).5−1.5
【题型3 “角角边”（AAS）证明三角形全等】
(cid:15)(cid:106)3(cid:19)(cid:24)24-25(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)·(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:305)·(cid:174)(cid:175)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69) =90°(cid:69) = (cid:69)(cid:52)(cid:53)(cid:300)(cid:140)A(cid:69)B(cid:306)(cid:300)(cid:140)C(cid:32)(cid:38)
(cid:113)(cid:32)(cid:299)(cid:113) (cid:69) (cid:56)(cid:258) =3cm(cid:69) =5cm(cid:69)(cid:141)∠𝐴𝐶(cid:32)𝐵(cid:85)(cid:126)(cid:24) 𝐶𝐴(cid:25) 𝐶𝐵
𝐴𝑀 𝐵𝑁 𝐴𝑀 𝐵𝑁 𝑀𝑁
科AA+
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
A(cid:56)7cm B(cid:56)8cm C(cid:56)9cm D(cid:56)10cm
(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19)B
(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)(cid:145)(cid:20)(cid:265)(cid:205)(cid:146)(cid:147)(cid:181)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:92)(cid:35)(cid:97)(cid:69)(cid:74)(cid:307)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:101)SAS(cid:37)ASA(cid:37)AAS(cid:69)SSS(cid:69)
(cid:38)(cid:23)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:284)(cid:101)HL(cid:69)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:76)(cid:105)(cid:22)(cid:54)(cid:31)(cid:69)(cid:76)(cid:105)(cid:23)(cid:54)(cid:31)(cid:56)(cid:149)(cid:137)(cid:150)(cid:151)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:92)(cid:35)(cid:97)
(cid:152)(cid:166)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:153)(cid:56)
(cid:263) (cid:69) (cid:124)(cid:157) = =90°(cid:69)(cid:246)(cid:247)(cid:124)(cid:157) + =90°(cid:56)(cid:252)(cid:263) =90°(cid:124)(cid:157)
𝐴𝑀⊥+𝑀𝑁 𝐵𝑁=⊥90𝑀°(cid:69)𝑁(cid:246)(cid:247)∠(cid:124)𝑀(cid:157) ∠𝑁= (cid:56)(cid:162)(cid:160)(cid:161)AA∠S𝐴(cid:124)(cid:157)∠𝐴𝐶𝑀 (cid:69)∠(cid:141)𝐴𝐶(cid:124)𝐵(cid:157) = =3cm(cid:69)
∠𝐴𝐶=𝑀 ∠=𝐵𝐶5𝑁cm(cid:69)(cid:246)(cid:247)(cid:124)(cid:224)(cid:157) ∠(cid:32)𝐴(cid:85)(cid:56)∠𝐵𝐶𝑁 △𝐴𝐶𝑀≌△𝐶𝐵𝑁 𝐴𝑀 𝐶𝑁
(cid:15)𝐵𝑁(cid:165)(cid:166)𝐶(cid:19)𝑀(cid:166)(cid:10) (cid:69) 𝑀𝑁 (cid:69)
= =∵9𝐴0°𝑀(cid:69)⊥𝑀𝑁 𝐵𝑁⊥𝑀𝑁
∴∠𝑀+ ∠𝑁 =90°(cid:69)
∴∠𝐴 ∠=𝐴𝐶9𝑀0°(cid:69)
∵∠𝐴𝐶𝐵 + =90°(cid:69)
∴∠𝐴𝐶𝑀 ∠𝐵𝐶𝑁= (cid:56)
(cid:70)∴∠𝐴 ∠𝐵(cid:92)𝐶𝑁 (cid:72)(cid:69)
△𝐴=𝐶𝑀 △𝐵𝐶𝑁
= (cid:69)
∠𝑀= ∠𝑁
∠𝐴 ∠𝐵𝐶𝑁
𝐴𝐶 𝐶𝐵 AAS)(cid:69)
∴△𝐴𝐶=𝑀≌△=𝐶3𝐵c𝑁m((cid:69) = =5cm(cid:69)
∴𝐴𝑀 =𝐶𝑁 + =5𝐵𝑁+3=𝐶𝑀8cm(cid:56)
(cid:168)∴(cid:42)𝑀𝑁(cid:10)B(cid:56)𝐶𝑀 𝐶𝑁
(cid:15)(cid:169)(cid:170)3-1(cid:19)(cid:24)24-25(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)·(cid:308)(cid:309)(cid:310)(cid:173)·(cid:174)(cid:72)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69) (cid:69)(cid:205)(cid:118) (cid:69)(cid:259)(cid:205)(cid:260)(cid:261)
(cid:32)(cid:123)(cid:262)(cid:124)(cid:125)(cid:152)(cid:67)(cid:311)(cid:42)(cid:312)(cid:72)(cid:32)(cid:24) (cid:25) 𝐴𝐸∥𝐹𝐷,𝐶𝐸∥𝐹𝐵 △𝐸𝐴𝐶≌△𝐹𝐷𝐵
A(cid:56) = B(cid:56) = C(cid:56) = 全D科(cid:56)
AA
=
+
★
号
众
公
注
(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19)𝐴𝐵D 𝐵𝐶 ∠𝐸 ∠𝐹 关 ∠𝐴 ∠𝐷 𝐴𝐸 𝐷𝐹
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)(cid:212)(cid:20)(cid:146)(cid:147)(cid:181)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:69)(cid:160)(cid:161)(cid:256)(cid:210)(cid:157)(cid:197) = (cid:69) = (cid:69)(cid:162)(cid:160)(cid:161)(cid:42)(cid:312)(cid:246)(cid:313)(cid:148)(cid:314)(cid:164)
(cid:124)(cid:56) ∠𝐴 ∠𝐷 ∠𝐴𝐶𝐸 ∠𝐷𝐵𝐹
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(cid:166)(cid:10) (cid:69)
= (cid:69) ∵𝐴𝐸∥=𝐹𝐷,𝐶𝐸∥(cid:69)𝐹𝐵
∴(cid:42)∠(cid:312)𝐴(cid:72)(cid:204)∠𝐷(cid:101)(cid:315)∠𝐴𝐶𝐸= ∠(cid:301)𝐷𝐵(cid:69)𝐹 (AAS)(cid:69)(cid:260)(cid:261)(cid:50)(cid:316)(cid:42)(cid:312)(cid:317)(cid:318)(cid:285)(cid:26)(cid:27) (cid:56)
(cid:168)(cid:42)(cid:10)D(cid:56) 𝐴𝐸 𝐷𝐹 △𝐸𝐴𝐶≌△𝐹𝐷𝐵 △𝐸𝐴𝐶≌△𝐹𝐷𝐵
(cid:15)(cid:169)(cid:170)3-2(cid:19)(cid:24)24-25(cid:266)(cid:128)(cid:129)(cid:67)·(cid:130)(cid:319)(cid:320)(cid:254)·(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:56)(cid:256)(cid:210) (cid:152) (cid:22) (cid:32)(cid:72)(cid:113)(cid:56) (cid:69) (cid:37)
(cid:71)(cid:38)(cid:113) (cid:32)(cid:321)(cid:140)(cid:52)(cid:53)(cid:126)(cid:140) (cid:37) (cid:69)(cid:322)(cid:257)(cid:27) (cid:71) (cid:30)(cid:31)(cid:32)𝐴(cid:39)𝐷(cid:263)(cid:56)△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐶𝐸∥𝐵𝐹 𝐶𝐸 𝐵𝐹
𝐴𝐷 𝐸 𝐹 △𝐶𝐷𝐸 △𝐵𝐷𝐹
(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19)(cid:39)(cid:263)(cid:225)(cid:166)(cid:144)
(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)(cid:145)(cid:20)(cid:146)(cid:147)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:69)(cid:149)(cid:137)(cid:150)(cid:151)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:69)(cid:152)(cid:166)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:153)(cid:10)(cid:72)(cid:113)(cid:157)(cid:197)= (cid:69)(cid:139)(cid:313)(cid:157)(cid:197) = = (cid:69)(cid:117)(cid:43)AAS(cid:69)(cid:164)(cid:124)(cid:157)(cid:26)(cid:56)
𝐶(cid:15)𝐷(cid:165)(cid:166)𝐵(cid:19)𝐷(cid:166)(cid:10) ∠(cid:71)𝐹 ∠𝐶𝐸𝐷(cid:30),∠(cid:31)𝐷(cid:32)𝐶𝐸(cid:39)(cid:263)∠(cid:66)𝐷(cid:67)𝐵𝐹(cid:10)
(cid:152) (cid:22)△𝐶𝐷(cid:32)𝐸(cid:72)(cid:113)△(cid:69)𝐵𝐷𝐹
∵𝐴𝐷=△𝐴(cid:69)𝐵𝐶 𝐵𝐶
∴𝐶𝐷 𝐵𝐷(cid:69)
∵𝐶𝐸∥=𝐵𝐹 = (cid:69)
∴∠𝐹 ∠𝐶𝐸𝐷,∠𝐷𝐶(𝐸AAS∠)(cid:56)𝐷𝐵𝐹
∴(cid:15)△(cid:169)𝐶(cid:170)𝐷𝐸3-≌3(cid:19)△(cid:66)𝐵𝐷(cid:68)𝐹(cid:69) =90°(cid:69) = (cid:69) (cid:323) (cid:69) (cid:323) (cid:56)(cid:67)(cid:187)(cid:302)(cid:55)(cid:292)(cid:293)(cid:10)
= (cid:229) ∠𝐴𝐶𝐵 𝐴𝐶(cid:229) 𝐵𝐶 =𝐵𝐸⊥(cid:229)𝐶𝐸 𝐸 𝐴𝐷⊥=𝐶𝐸 (cid:69)𝐷(cid:50)(cid:72)(cid:324)(cid:87)(cid:32)(cid:101) (cid:56)①
∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐵𝐴𝐷 ②△𝐶𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷 ③𝐴𝐵 𝐶𝐸 ④𝐴𝐷−𝐵𝐸 𝐷𝐸
(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19)
科AA+
全
★
号
(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)①(cid:263)②④ (cid:323) (cid:69) (cid:323) (cid:69)(cid:157) (cid:69)公(cid:141)众 = (cid:69)(cid:124)(cid:148)(cid:314) (cid:324)(cid:87)(cid:229)(cid:160)(cid:161)“(cid:223)(cid:23)(cid:32)(cid:325)(cid:23)
注
关
，
源
资
(cid:54)(cid:31)”(cid:326)(cid:327)(cid:281)𝐵𝐸⊥𝐶𝐸= 𝐸 𝐴(cid:69)𝐷辅(cid:164)⊥(cid:124)𝐶𝐸(cid:26)(cid:27)𝐷 𝐵𝐸∥𝐴𝐷 (cid:69)∠𝐴 𝐵(cid:124)𝐸(cid:148)(cid:314)∠𝐵𝐴(cid:324)𝐷(cid:87)(cid:229)(cid:263)(cid:299)①(cid:113)(cid:136)(cid:163)(cid:236)(cid:124)(cid:26)(cid:27) > (cid:69)
教
> (cid:69)(cid:141)∠𝐵𝐶>𝐸 ∠(cid:69)𝐶(cid:124)𝐴𝐷(cid:148)(cid:314) (cid:328)(cid:329)(cid:229)△(cid:263)𝐶𝐵𝐸≌=△𝐴(cid:69)𝐶𝐷 = (cid:69)②(cid:73) = (cid:69)(cid:157) =𝐴𝐵 (cid:69)𝐵(cid:124)𝐶(cid:148)
𝐵(cid:314)𝐶 (cid:324)𝐶𝐸(cid:87)(cid:69)(cid:323)𝐴(cid:152)𝐵(cid:157)(cid:197)𝐶𝐸(cid:241)(cid:20)(cid:32)(cid:142)(cid:143)③(cid:56) 𝐶𝐸 𝐴𝐷 𝐵𝐸 𝐶𝐷 𝐶𝐸−𝐶𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐷−𝐵𝐸 𝐷𝐸
(cid:15)④(cid:165)(cid:166)(cid:19) (cid:69) (cid:69)
∵(cid:69)𝐵𝐸⊥𝐶𝐸 𝐴𝐷⊥𝐶𝐸
∴𝐴𝐷∥𝐵=𝐸 (cid:69)(cid:168) (cid:324)(cid:87)(cid:229)
∴∠𝐴𝐵=𝐸 ∠𝐵𝐴=𝐷 ①=90°(cid:69)
∵∠𝐸 ∠=𝐴𝐷𝐶 ∠=𝐴𝐶𝐵 (cid:69)
∴(cid:70)∠𝐵𝐶𝐸 (cid:92)∠𝐶𝐴𝐷 9(cid:72)0(cid:69)°−∠𝐴𝐶𝐷
△𝐶=𝐵𝐸 △𝐴𝐶𝐷
= (cid:69)
∠𝐸 =∠𝐴𝐷𝐶
∠𝐵𝐶𝐸 ∠𝐶𝐴𝐷
𝐵𝐶 𝐶𝐴 (AAS)(cid:69)(cid:168) (cid:324)(cid:87)(cid:229)
∴△𝐶𝐵𝐸≌(cid:69)△𝐴𝐶𝐷 (cid:69) ②
∵𝐵𝐶⊥>𝐴𝐶(cid:69)𝐶𝐸⊥>𝐵𝐸 (cid:69)
∴𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐶𝐸> (cid:69)(cid:168) (cid:328)(cid:329)(cid:229)
∴𝐴𝐵 𝐶𝐸 ③(cid:69)
∵△𝐶=𝐵𝐸≌(cid:69)△𝐴𝐶𝐷= (cid:69)
∴𝐶𝐸 𝐴𝐷= 𝐵𝐸(cid:69) 𝐶𝐷
∵𝐶𝐸−𝐶𝐷 =𝐷𝐸(cid:69)(cid:168) (cid:324)(cid:87)(cid:229)
∴(cid:168)𝐴(cid:142)𝐷−(cid:143)𝐵(cid:126)𝐸(cid:10) 𝐷𝐸 ④(cid:56)
(cid:15)(cid:140)(cid:264)(cid:19)(cid:212)(cid:20)①(cid:146)②(cid:147)④(cid:181)(cid:223)(cid:23)(cid:32)(cid:325)(cid:23)(cid:54)(cid:31)(cid:37)(cid:299)(cid:113)(cid:136)(cid:163)(cid:236)(cid:37)(cid:139)(cid:313)(cid:113)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:71)(cid:35)(cid:97)(cid:37)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:71)(cid:35)(cid:97)(cid:31)(cid:210)
(cid:217)(cid:69)(cid:26)(cid:27) = (cid:49) (cid:152)(cid:166)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:153)(cid:56)
【题型4 ∠ 𝐵“边 𝐶𝐸 边边 ∠”𝐶 （ 𝐴𝐷SSS） △ 证 𝐶𝐵 明 𝐸 三 ≌ 角 △ 形 𝐴𝐶 全 𝐷 等】
(cid:15)(cid:106)4(cid:19)(cid:66)(cid:68)(cid:69)AD(cid:330)CB(cid:69)E(cid:69)F(cid:152)AC(cid:130)(cid:48)(cid:331)(cid:140)(cid:69)(cid:73)(cid:101)DE(cid:330)BF
科AA+
全
★
号
众
公
注
(1)(cid:258)E(cid:69)F(cid:332)(cid:331)(cid:66)(cid:68) (cid:277)(cid:333)(cid:32)(cid:334)(cid:180)(cid:69)(cid:73)(cid:101)A关F(cid:330)CE(cid:69)(cid:224)(cid:26)(cid:10) ADE CBF(cid:229)
，
源
资
辅
教
(2)(cid:258)E(cid:69)F(cid:332)(cid:331)(cid:66)(cid:68)①(cid:277)(cid:333)(cid:32)(cid:334)(cid:180)(cid:69)(cid:335)(cid:101)AF(cid:330)CE(cid:69)(cid:88)(cid:89) A△DE ≌C△BF(cid:284)(cid:59)(cid:336)(cid:337)(cid:338)(cid:126)(cid:339)(cid:89)(cid:338)
(3)(cid:258)E(cid:69)F(cid:318)(cid:308)(cid:289)(cid:69)A②D(cid:92)CB(cid:139)(cid:313)(cid:337)(cid:338)(cid:257)(cid:27)(cid:39)(cid:263)(cid:56) △ ≌△
(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19)(cid:24)1(cid:25)(cid:165)(cid:225)(cid:166)(cid:144)(cid:229)(cid:24)2(cid:25)(cid:59)(cid:336)(cid:69)(cid:26)(cid:27)(cid:165)(cid:225)(cid:166)(cid:144)(cid:229)(cid:24)3(cid:25)AD(cid:71)CB(cid:318)(cid:74)(cid:34)(cid:139)(cid:313)(cid:69)(cid:39)(cid:263)(cid:165)(cid:225)(cid:166)(cid:144).
(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)(cid:24)1(cid:25)(cid:160)(cid:161)AF=CE(cid:124)(cid:157)AF+EF=CE+EF(cid:69)(cid:164)AE=CF(cid:69)(cid:117)(cid:43)SSS(cid:164)(cid:124)(cid:26)(cid:27) ADE CBF(cid:229)(cid:24)2(cid:25)(cid:160)
(cid:161)AF=CE(cid:124)(cid:157)AF-EF=CE-EF(cid:69)(cid:164)AE=CF(cid:69)(cid:117)(cid:43)SSS(cid:164)(cid:124)(cid:26)(cid:27) ADE CBF(cid:229)(cid:24)△3(cid:25)(cid:160)≌(cid:161)△(cid:256)(cid:210)(cid:48)(cid:55)(cid:123)(cid:262)(cid:69)
(cid:318)(cid:285)(cid:148)(cid:34) ADE CBF(cid:69)(cid:318)(cid:285)(cid:87)(cid:34) A= C(cid:69)(cid:164)(cid:124)(cid:157)AD(cid:92)CB(cid:318)△(cid:74)(cid:34)(cid:139)≌△(cid:313).
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)△(cid:24)1(cid:25) ≌A△F=CE(cid:69) ∠ ∠
AF+EF=CE+E∵F(cid:69)(cid:164)AE=CF(cid:69)
∴ =
(cid:70) ADE(cid:92) CBF(cid:72) = (cid:69)
𝐴𝐷= 𝐶𝐵
△ △ 𝐷𝐸 𝐵𝐹
ADE CBF. 𝐴𝐸 𝐶𝐹
(cid:24)∴△2(cid:25)(cid:59)≌(cid:336)△.(cid:39)(cid:263)(cid:66)(cid:67)(cid:10)
AF=CE(cid:69)
∵AF-EF=CE-EF(cid:69)(cid:164)AE=CF(cid:69)
∴=
(cid:70) ADE(cid:92) CBF(cid:72) = (cid:69)
𝐴𝐷= 𝐶𝐵
△ △ 𝐷𝐸 𝐵𝐹
ADE CBF. 𝐴𝐸 𝐶𝐹
(cid:24)∴△3(cid:25)AD≌(cid:71)△ CB(cid:318)(cid:74)(cid:34)(cid:139)(cid:313)(cid:69)(cid:39)(cid:263)(cid:66)(cid:67)(cid:10)
(cid:204)(cid:340)(cid:181)(cid:48)(cid:75)(cid:76)(cid:105)(cid:54)(cid:31)(cid:32)(cid:22)(cid:69)
∵(cid:318)(cid:285)(cid:148)(cid:34) ADE CBF(cid:69)
∴(cid:318)(cid:285)(cid:148)(cid:34)△A(cid:71)≌C△(cid:32)(cid:93)(cid:94)(cid:3)(cid:341)(cid:69)
∴AD(cid:71)CB∠(cid:318)(cid:74)(cid:34)∠(cid:139)(cid:313)(cid:69)
∴(cid:15)(cid:140)(cid:264)(cid:19)(cid:145)(cid:20)(cid:146)(cid:147)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:69)(cid:148)(cid:34)(cid:48)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:74)(cid:307)(cid:44)(cid:45)(cid:101)(cid:10)SSS(cid:37)SAS(cid:37)ASA(cid:37)AAS(cid:37)
HL(cid:56)(cid:4)(cid:242)(cid:10)AAA(cid:37)SSA(cid:318)(cid:285)(cid:148)(cid:34)(cid:48)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:69)(cid:148)(cid:34)(cid:48)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:301)(cid:69)(cid:342)(cid:343)(cid:101)(cid:22)(cid:32)(cid:344)(cid:71)(cid:69)(cid:258)(cid:101)(cid:48)(cid:22)(cid:74)
(cid:23)(cid:76)(cid:105)(cid:54)(cid:31)(cid:301)(cid:69)(cid:23)(cid:342)(cid:343)(cid:152)(cid:48)(cid:22)(cid:32)(cid:51)(cid:23).
(cid:15)(cid:169)(cid:170)4-1(cid:19)(cid:24)24-25(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)·(cid:302)(cid:303)(cid:345)(cid:173)·(cid:174)(cid:175)(cid:25)(cid:52)(cid:346)(cid:347)(cid:348)(cid:349)(cid:152)(cid:345)(cid:173)(cid:350)(cid:254)(cid:351)(cid:352)(cid:52)(cid:346)(cid:353)(cid:354)(cid:355)(cid:100)(cid:69)(cid:72)(cid:267)(cid:267)(cid:356)(cid:357)(cid:39)(cid:358)
(cid:359)(cid:100)(cid:360)(cid:69)(cid:267)(cid:356)(cid:129)(cid:361)(cid:362)(cid:97)(cid:363)(cid:364)(cid:365)(cid:100)(cid:56)(cid:347)(cid:348)(cid:349)(cid:366)(cid:306)(cid:361)(cid:230)(cid:367)(cid:368)(cid:69)(cid:50)(cid:72)(cid:369)(cid:370)(cid:102)(cid:371)(cid:372)(cid:61)(cid:11)(cid:210)(cid:217)(cid:56)(cid:66)(cid:68)(cid:152)(cid:347)(cid:348)(cid:349)(cid:32)(cid:373)(cid:374)
(cid:333)(cid:242)(cid:68)(cid:69) = (cid:69) = (cid:69)(cid:141) (cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:213)(cid:161)(cid:152)(cid:24) (cid:25)
科AA+
全
★
号
众
𝐴𝐸 𝐴𝐹 𝐺𝐸 𝐺𝐹 △𝐴𝐸𝐺≌△𝐴𝐹𝐺 公
注
关
，
源
资
辅
教
A(cid:56)SAS B(cid:56)ASA C(cid:56)AAS D(cid:56)SSS
(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19)D
(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)(cid:145)(cid:20)(cid:265)(cid:205)(cid:146)(cid:147)(cid:181)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:69)(cid:40)(cid:41)(cid:332)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:34)(cid:39)(cid:152)(cid:166)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:153)(cid:56)
(cid:160)(cid:161)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:34)(cid:39)(cid:326)(cid:281)(cid:164)(cid:124)(cid:166)(cid:142)(cid:56)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(cid:166)(cid:10)(cid:70) (cid:92) (cid:72)(cid:69)
= △𝐴𝐸𝐺 △𝐴𝐹𝐺
= (cid:69)
𝐴𝐸=𝐴𝐹
𝐴𝐺 𝐴𝐺
𝐸𝐺 𝐹𝐺 (SSS)(cid:56)
(cid:168)∴△(cid:42)𝐴(cid:10)𝐸D𝐺(cid:56)≌△𝐴𝐹𝐺
(cid:15)(cid:169)(cid:170)4-2(cid:19)(cid:24)2025(cid:266)(cid:128)(cid:129)(cid:67)·(cid:30)(cid:267)·(cid:268)(cid:20)(cid:137)(cid:138)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69)D(cid:152) (cid:130)(cid:74)(cid:140)(cid:69) = (cid:69) = (cid:69) = (cid:56)(cid:224)
(cid:26)(cid:10) (cid:56) 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐸
△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19)(cid:225)(cid:166)(cid:144)
(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)(cid:145)(cid:20)(cid:146)(cid:147)(cid:181)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:92)(cid:35)(cid:97)(cid:69)(cid:149)(cid:137)(cid:332)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:35)(cid:97)(cid:152)(cid:145)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:153)(cid:56)
(cid:263)SSS(cid:164)(cid:124)(cid:26)(cid:27)(cid:164)(cid:124)(cid:56)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(cid:26)(cid:27)(cid:10)(cid:70) (cid:92) (cid:72)(cid:69)
= △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐷𝐸
=
𝐴𝐵=𝐴𝐷
𝐵𝐶 𝐷𝐸
𝐴𝐶 𝐴𝐸 (SSS)(cid:56)
(cid:15)∴△(cid:169)𝐴(cid:170)𝐵𝐶4≌-3(cid:19)△(cid:24)𝐷𝐸24𝐹-25(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:67)·(cid:375)(cid:376)(cid:254)(cid:377)(cid:364)·(cid:174)(cid:72)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:70) (cid:72)(cid:69) = (cid:69) = (cid:69) =20°(cid:69)
(cid:323) (cid:69)(cid:224) (cid:32)(cid:86)(cid:61)(cid:56) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷
𝐷𝐸⊥𝐴𝐶 𝐸 ∠𝐸𝐷𝐶
科AA+
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19)20°
(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)(cid:145)(cid:20)(cid:146)(cid:147)(cid:181)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:92)(cid:35)(cid:97)(cid:69)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:188)(cid:23)(cid:92)(cid:34)(cid:39)(cid:32)(cid:105)(cid:43)(cid:69)(cid:166)(cid:212)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:153)(cid:152)(cid:285)(cid:160)(cid:161)(cid:35)(cid:97)
(cid:224)(cid:281) (cid:32)(cid:86)(cid:61)(cid:56)
(cid:26)(cid:27)∠𝐴𝐷𝐶 (cid:69)(cid:124)(cid:157) = = = =90°(cid:69)(cid:263) (cid:92)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:188)(cid:23)(cid:92)(cid:34)(cid:39)
(cid:224)(cid:281)△𝐴𝐷𝐵=≌7△0°𝐴(cid:69)𝐷(cid:164)𝐶(cid:124)(cid:224)(cid:166)∠(cid:56)𝐶𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷 20°,∠𝐴𝐷𝐵 ∠𝐴𝐷𝐶 𝐷𝐸⊥𝐴𝐶
(cid:15)(cid:165)∠(cid:166)𝐴(cid:19)𝐷𝐸(cid:166)(cid:10) = = = (cid:69)
∵𝐴𝐵 SS𝐴S)𝐶(cid:69),𝐵𝐷 𝐶𝐷,𝐴𝐷 𝐴𝐷
∴△𝐴𝐷𝐵≌=△𝐴𝐷𝐶(= = =90°(cid:69)
∴∠𝐶𝐴𝐷 (cid:69)∠𝐵𝐴𝐷 20°,∠𝐴𝐷𝐵 ∠𝐴𝐷𝐶
∵𝐷𝐸⊥𝐴=𝐶 =70°(cid:69)
∴∠𝐴𝐷𝐸= 90°−∠𝐶𝐴𝐷 = =20°(cid:56)
∴∠EDC ∠ADC−∠ADE 90°−70°【题型5 三角形的稳定性】
(cid:15)(cid:106)5(cid:19)(cid:24)24-25(cid:266)(cid:128)(cid:129)(cid:67)·(cid:305)(cid:378)(cid:379)(cid:380)·(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:82)(cid:83)(cid:124)(cid:125)(cid:283)(cid:197)(cid:381)(cid:382)(cid:383)(cid:384)(cid:32)(cid:331)(cid:306)(cid:69)(cid:263)(cid:385)(cid:386)(cid:37)(cid:385)(cid:387)(cid:37)(cid:385)
(cid:388)(cid:237)(cid:59)(cid:32)(cid:389)(cid:390)(cid:382)(cid:391)(cid:124)(cid:125)(cid:118)(cid:383)(cid:384)(cid:392)(cid:70)(cid:383)(cid:384)(cid:300)(cid:393)(cid:72)(cid:394)(cid:395)(cid:390)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:90)(cid:396)(cid:369)(cid:370)(cid:32)(cid:61)(cid:11)(cid:211)(cid:39)(cid:152)(cid:24) (cid:25)
A(cid:56)(cid:48)(cid:140)(cid:206)(cid:207)(cid:69)(cid:113)(cid:136)(cid:163)(cid:236)
B(cid:56)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:192)(cid:242)(cid:48)(cid:22)(cid:206)(cid:92)(cid:93)(cid:323)(cid:397)(cid:28)(cid:22)
C(cid:56)(cid:48)(cid:140)(cid:87)(cid:34)(cid:74)(cid:123)(cid:38)(cid:113)
D(cid:56)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)
(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19)D
(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)(cid:145)(cid:20)(cid:265)(cid:205)(cid:146)(cid:147)(cid:181)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:69)(cid:160)(cid:161)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:398)(cid:101)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:164)(cid:124)(cid:157)(cid:197)(cid:142)(cid:143)(cid:56)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(cid:166)(cid:10)(cid:263)(cid:20)(cid:242)(cid:157)(cid:90)(cid:28)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:124)(cid:125)(cid:118)(cid:383)(cid:384)(cid:392)(cid:70)(cid:383)(cid:384)(cid:300)(cid:393)(cid:72)(cid:394)全(cid:395)(cid:33)科(cid:34) A (cid:69) A (cid:50)(cid:72) + (cid:69)(cid:369)(cid:370)(cid:32)(cid:61)(cid:11)(cid:211)(cid:39)(cid:152)(cid:28)(cid:23)
★
号
众
公
注
(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:229) 关
，
源
资
辅
教
(cid:168)(cid:42)(cid:10)D(cid:56)
(cid:15)(cid:169)(cid:170)5-1(cid:19)(cid:24)2025·(cid:399)(cid:132)(cid:291)(cid:173)·(cid:228)(cid:400)(cid:401)(cid:182)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:94)(cid:27)(cid:201)(cid:74)(cid:160)(cid:402)(cid:403)(cid:404)(cid:405)(cid:159)(cid:69)(cid:406)(cid:249)(cid:74)(cid:55)(cid:407)(cid:408)(cid:409)(cid:185)(cid:72)(cid:69)(cid:118)(cid:402)(cid:403)(cid:74)
(cid:410)(cid:411)(cid:412)(cid:185)(cid:413)(cid:69)(cid:162)(cid:414)(cid:414)(cid:74)(cid:415)(cid:69)(cid:185)(cid:416)(cid:95)(cid:270)(cid:415)(cid:417)(cid:418)(cid:181)(cid:56)(cid:90)(cid:50)(cid:72)(cid:43)(cid:197)(cid:32)(cid:61)(cid:11)(cid:380)(cid:39)(cid:152)(cid:24) (cid:25)
A(cid:56)(cid:48)(cid:140)(cid:87)(cid:34)(cid:74)(cid:123)(cid:38)(cid:113) B(cid:56)(cid:48)(cid:140)(cid:206)(cid:207)(cid:69)(cid:113)(cid:136)(cid:163)(cid:236)
C(cid:56)(cid:299)(cid:113)(cid:136)(cid:163)(cid:236) D(cid:56)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:398)(cid:101)(cid:33)(cid:34)(cid:35)
(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19)D
(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)(cid:145)(cid:20)(cid:146)(cid:147)(cid:181)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:56)(cid:160)(cid:161)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:398)(cid:101)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:306)(cid:142)(cid:164)(cid:124)(cid:56)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(cid:166)(cid:10)(cid:402)(cid:403)(cid:74)(cid:410)(cid:411)(cid:412)(cid:185)(cid:413)(cid:69)(cid:124)(cid:125)(cid:237)(cid:238)(cid:74)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:69)(cid:90)(cid:50)(cid:72)(cid:43)(cid:197)(cid:32)(cid:61)(cid:11)(cid:380)(cid:39)(cid:152)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:398)(cid:101)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:56)
∴(cid:168)(cid:42)(cid:10)D(cid:56)
(cid:15)(cid:169)(cid:170)5-2(cid:19)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:94)(cid:27)(cid:99)(cid:181)(cid:74)(cid:55)(cid:85)(cid:44)(cid:29)(cid:419)(cid:111)(cid:69)(cid:420)(cid:421)(cid:278)(cid:422)(cid:423)(cid:169)(cid:29)(cid:69)(cid:322)(cid:424)(cid:425)(cid:276)(cid:42)(cid:426)(cid:74)(cid:55)(cid:163)(cid:427)(cid:32)(cid:261)(cid:203)(cid:44)(cid:143)(cid:152) (cid:56)
(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)③(cid:160)(cid:161)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:398)(cid:101)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:69)(cid:302)(cid:22)(cid:29)(cid:318)(cid:398)(cid:101)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:124)(cid:210)(cid:163)(cid:427)(cid:32)(cid:261)(cid:203)(cid:44)(cid:143)(cid:152) (cid:56)
(cid:15)(cid:169)(cid:170)5-3(cid:19)(cid:24)2025·(cid:103)(cid:253)(cid:254)(cid:255)·(cid:74)(cid:228)(cid:25)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:398)(cid:101)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:69)(cid:277)(cid:125)(cid:205)(cid:118)(cid:66)(cid:68)(cid:277)(cid:333)(cid:32)③(cid:428)(cid:22)(cid:29)(cid:429)(cid:111)(cid:318)(cid:169)(cid:29)(cid:69)(cid:430)(cid:431)(cid:205)
(cid:200)(cid:130) (cid:160)(cid:429)(cid:123)(cid:56)
科AA+
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19)2 辅
教
(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)(cid:145)(cid:20)(cid:146)(cid:147)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:398)(cid:101)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:69)(cid:372)(cid:22)(cid:29)(cid:32)(cid:76)(cid:23)(cid:113)．(cid:205)(cid:118)(cid:428)(cid:22)(cid:29)(cid:429)(cid:111)(cid:318)(cid:169)(cid:29)(cid:259)(cid:432)(cid:316)(cid:52)(cid:59)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:69)(cid:164)(cid:300)
(cid:428)(cid:22)(cid:29)(cid:32)(cid:74)(cid:55)(cid:411)(cid:140)(cid:306)(cid:76)(cid:23)(cid:113)(cid:69)(cid:101)(cid:433)(cid:123)(cid:76)(cid:23)(cid:113)(cid:69)(cid:95)(cid:430)(cid:431)(cid:205)(cid:200)(cid:130)(cid:433)(cid:160)(cid:429)(cid:123)．
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)解： (cid:300)(cid:428)(cid:22)(cid:29)(cid:32)(cid:74)(cid:55)(cid:411)(cid:140)(cid:306)(cid:76)(cid:23)(cid:113)(cid:69)(cid:101)2(cid:123)(cid:76)(cid:23)(cid:113)(cid:69)
至少要钉上2∵根木条，
故∴ 答案为：2．
【题型6 斜边、直角边定理（HL）证明三角形全等】
(cid:15)(cid:106)6(cid:19)(cid:24)24-25(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)·(cid:130)(cid:319)(cid:85)(cid:434)·(cid:174)(cid:175)(cid:25)(cid:94)(cid:27)(cid:223)(cid:11)(cid:415)(cid:281)(cid:10)(cid:43)(cid:74)(cid:432)(cid:38)(cid:435)(cid:95)(cid:124)(cid:125)(cid:280)(cid:281)(cid:74)(cid:55)(cid:23)(cid:32)(cid:139)(cid:52)(cid:113)(cid:56)(cid:398)(cid:436)
(cid:437)(cid:306)(cid:66)(cid:67)(cid:10)(cid:154)(cid:155)(cid:432)(cid:38)(cid:435)(cid:32)(cid:74)(cid:22)(cid:71) (cid:32)(cid:74)(cid:22) (cid:438)(cid:289)(cid:69)(cid:439)(cid:102)(cid:38)(cid:435)(cid:32)(cid:440)(cid:74)(cid:22)(cid:280)(cid:38)(cid:113)l(cid:24)(cid:66)(cid:68)1(cid:25)(cid:229)(cid:441)(cid:159)(cid:442)(cid:331)(cid:443)
(cid:38)(cid:435)(cid:69)(cid:432)(cid:38)(cid:435)(cid:32)(cid:74)(cid:22)(cid:71) (cid:32)(cid:74)∠(cid:22)𝐴𝑂𝐵(cid:438)(cid:289)(cid:69)𝑂(cid:439)𝐵(cid:102)(cid:38)(cid:435)(cid:32)(cid:440)(cid:74)(cid:22)(cid:280)(cid:38)(cid:113)m(cid:24)(cid:66)(cid:68)2(cid:25)(cid:69)(cid:38)(cid:113)l(cid:71)(cid:38)(cid:113)m(cid:321)(cid:323)
(cid:140)P(cid:69)(cid:141)(cid:383)(cid:113) (cid:95)(cid:152) ∠𝐴𝑂(cid:32)𝐵(cid:139)(cid:52)(cid:113)𝑂(cid:56)𝐴(cid:322)(cid:444)(cid:281)(cid:90)(cid:445)(cid:280)(cid:45)(cid:32)(cid:213)(cid:161)(cid:152)(cid:24)(cid:322)(cid:58)(cid:145)(cid:11)(cid:174)(cid:277)(cid:11)(cid:32)(cid:61)(cid:11)(cid:210)(cid:217)(cid:25)(cid:10) (cid:56)
𝑂𝑃 ∠𝐴𝑂𝐵(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19)HL
(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)(cid:145)(cid:20)(cid:146)(cid:147)(cid:23)(cid:139)(cid:52)(cid:113)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:125)(cid:49)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:34)(cid:39)(cid:69)(cid:166)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:153)(cid:152)(cid:117)(cid:43)(cid:38)(cid:435)(cid:446)(cid:86)(cid:54)(cid:31)(cid:237)(cid:238)(cid:30)(cid:31)
(cid:38)(cid:23)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:69)(cid:246)(cid:247)(cid:157)(cid:281)(cid:23)(cid:139)(cid:52)(cid:113)(cid:56)
(cid:300)(cid:140) (cid:306) (cid:323)(cid:140) (cid:323)(cid:140) (cid:56)(cid:287)(cid:126)(cid:38)(cid:435)(cid:32)(cid:446)(cid:86)(cid:54)(cid:31)(cid:69)(cid:277)(cid:125) = (cid:69)(cid:223)(cid:301) = (cid:24)(cid:7)(cid:167)(cid:22)(cid:25)(cid:69)
𝑃 =𝑃𝑀⊥𝑂𝐴=90°𝑀(cid:69),𝑃(cid:26)𝑁(cid:27)⊥R𝑂t𝐵 𝑁 Rt HL)(cid:69) 𝑃𝑀 𝑃𝑁 𝑂𝑃 𝑂𝑃
∠(cid:124)𝑃(cid:157)𝑀𝑂 ∠𝑃=𝑁𝑂 (cid:69)(cid:164) (cid:139)(cid:52)△𝑂𝑃𝑀(cid:69)≌(cid:287)(cid:212)△(cid:90)𝑂(cid:445)𝑃𝑁(cid:280)((cid:45)(cid:32)(cid:213)(cid:161)(cid:152)HL(cid:56)
(cid:15)(cid:165)∠(cid:166)𝐴(cid:19)𝑂𝑃(cid:166)(cid:10)∠(cid:66)𝐵(cid:68)𝑂𝑃2(cid:72)(cid:69)𝑂(cid:300)𝑃(cid:140)P∠(cid:306)𝐴𝑂𝐵 (cid:323)(cid:140)M(cid:69) (cid:323)(cid:140)N(cid:56)
𝑃𝑀⊥𝑂𝐴 𝑃𝑁⊥𝑂𝐵
科AA+
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:435)(cid:32)(cid:446)(cid:86)(cid:54)(cid:31)(cid:69)
∵ = (cid:69)
∴𝑃𝑀 𝑃𝑁 (cid:69)
∵𝑃𝑀⊥𝑂=𝐴.𝑃𝑁⊥𝑂=𝐵90°(cid:69)
(cid:70)∴R∠t𝑃𝑀𝑂 ∠(cid:92)𝑃R𝑁t𝑂 (cid:72)(cid:69)
=△𝑂𝑃𝑀 △𝑂𝑃𝑁
(cid:69)
=
𝑂𝑃 𝑂𝑃
𝑃R𝑀t 𝑃𝑁 Rt HL)(cid:69)
∴ △𝑂𝑃=𝑀≌ △(cid:69)𝑂𝑃𝑁(
∴∠𝑃(cid:139)𝑂(cid:52)𝑀 ∠𝑃𝑂(cid:69)𝑁
(cid:280)∴𝑂(cid:45)𝑃(cid:32)(cid:213)∠(cid:161)𝐴(cid:152)𝑂𝐵(cid:10)HL(cid:56)
(cid:168)(cid:142)(cid:143)(cid:126)(cid:10)HL(cid:56)
(cid:15)(cid:169)(cid:170)6-1(cid:19)(cid:24)2023(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)·(cid:30)(cid:267)·(cid:268)(cid:20)(cid:137)(cid:138)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69) (cid:69)(cid:299)(cid:447)(cid:126) (cid:69)(cid:73) = (cid:69)(cid:140) (cid:70) (cid:130)(cid:69)(cid:258)(cid:43)
𝐷𝐶⊥𝐴𝐸 𝐶 𝐴𝐶 𝐶𝐷 𝐵 𝐶𝐷“HL”(cid:26)(cid:27) (cid:69)(cid:141)(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:32)(cid:123)(cid:262)(cid:152)(cid:24) (cid:25)
△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶
A(cid:56) = B(cid:56) =
C(cid:56)𝐶𝐸 =𝐵𝐶 D(cid:56)𝐴𝐵 𝐷=𝐸
(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19)∠𝐴B ∠𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐸
(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)(cid:145)(cid:20)(cid:146)(cid:147)(cid:332)(cid:43)“HL”(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:69)(cid:160)(cid:161)“HL”(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:123)(cid:262)(cid:164)(cid:124)(cid:166)(cid:142)(cid:56)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(cid:166)(cid:10) (cid:69)
= ∵𝐷𝐶=⊥90𝐴°𝐸(cid:69)
(cid:315)∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠(cid:301)𝐷𝐶(cid:69)𝐸
(cid:70)𝐴Rt𝐵 𝐷𝐸(cid:92)Rt (cid:72)
全
科AA+
=△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐶 号 ★
= (cid:69) 注 公 众
关
𝐴𝐵 𝐷𝐸 源 ，
资
𝐴R𝐶t 𝐷𝐶 Rt (HL)(cid:56)辅
教
(cid:168)∴ (cid:42)△(cid:10)𝐴B𝐵𝐶≌ △𝐷𝐸𝐶
(cid:15)(cid:169)(cid:170)6-2(cid:19)(cid:24)24-25(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:67)·(cid:399)(cid:220)(cid:448)(cid:449)·(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:70) (cid:72)(cid:69) =90°(cid:69) = (cid:69)
(cid:126)(cid:22) (cid:450)(cid:85)(cid:113)(cid:130)(cid:32)(cid:74)(cid:140)(cid:69)(cid:140) (cid:70) (cid:130)(cid:69)(cid:73) = (cid:56)(cid:224)(cid:26)(cid:10)Rt△𝐴𝐵𝐶 Rt∠𝐴𝐵𝐶 (cid:56) ∠𝐵𝐶𝐴 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐹
𝐴𝐵 𝐸 𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐶𝐹 △𝐴𝐵𝐸≌ △𝐶𝐵𝐹
(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19)(cid:225)(cid:166)(cid:144)
(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)(cid:145)(cid:20)(cid:146)(cid:147)(cid:181)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:69)(cid:31)(cid:451)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:35)(cid:97)(cid:69)(cid:149)(cid:137)(cid:150)(cid:151)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:152)(cid:166)(cid:20)(cid:32)(cid:3)
(cid:153)(cid:56)
(cid:160)(cid:161)(cid:20)(cid:242)(cid:157)(cid:197) = =90°(cid:69) = (cid:69)(cid:164)(cid:124)(cid:26)(cid:27)Rt Rt HL)(cid:56)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(cid:26)(cid:27)(cid:10)∠𝐶𝐵𝐹 ∠𝐴𝐵=𝐶90°(cid:69) (cid:126)𝐴(cid:22)𝐵 (cid:450)𝐵𝐶(cid:85)(cid:113)(cid:130)(cid:32)(cid:74)(cid:140)(cid:69)△𝐴𝐵𝐸≌ △𝐶𝐵𝐹(
= ∵=∠9𝐴0°𝐵(cid:69)𝐶 𝐹 𝐴𝐵
∴∠𝐶𝐵𝐹 ∠𝐴𝐵𝐶= (cid:69)
∵∠ 𝐵𝐶𝐴= ∠(cid:56)𝐵𝐴𝐶
∴ 𝐴𝐵 𝐵𝐶 =
(cid:70)Rt (cid:92)Rt (cid:72)(cid:69)
=
(cid:69)
𝐴𝐵 𝐴𝐶
Rt△𝐴𝐵𝐸 Rt△𝐶𝐵𝐹 HL)(cid:56)𝐴𝐸 𝐶𝐹
(cid:15)∴(cid:169)(cid:170)△6𝐴-3𝐵(cid:19)𝐸(cid:24)≌24-△25𝐶(cid:127)𝐵𝐹(cid:128)((cid:129)(cid:67)·(cid:103)(cid:253)(cid:452)(cid:173)·(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:140)C(cid:69)D(cid:453)(cid:70)(cid:113)(cid:136) (cid:130)(cid:69)(cid:73) = (cid:69)(cid:52)(cid:53)(cid:300)(cid:140)
C(cid:69)D (cid:70) (cid:32)(cid:454)(cid:455)(cid:306) (cid:69) (cid:69)(cid:244)(cid:245) (cid:321) (cid:323)(cid:140)G(cid:69) = (cid:56) 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐶
𝐴𝐵 𝐹𝐶⊥𝐴𝐵 𝐸𝐷⊥𝐴𝐵 𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐵𝐹
(1)(cid:224)(cid:26)(cid:10) = (cid:56)
(2)(cid:224)(cid:26)(cid:10)G𝐷𝐸(cid:152)(cid:113)𝐶(cid:136)𝐹 (cid:32)(cid:72)(cid:140)(cid:56)
(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19)(1)(cid:225)(cid:166)(cid:144)𝐴𝐵
科AA+
全
★
号
(2)(cid:225)(cid:166)(cid:144) 公 众
注
关
，
源
资
(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)(cid:145)(cid:20)(cid:146)(cid:147)(cid:181)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)辅(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:92)(cid:35)(cid:97)(cid:56)
教
(cid:24)1(cid:25)(cid:263) (cid:69) (cid:157) =90°(cid:69) =90°(cid:69)(cid:26)(cid:27) (HL)(cid:69)(cid:164)(cid:124)(cid:26)(cid:27) = (cid:229)
(cid:24)2(cid:25)(cid:26)𝐹(cid:27)𝐶⊥𝐴𝐵 𝐸𝐷⊥𝐴𝐵(AA∠S𝐹)𝐶(cid:69)𝐵(cid:157)(cid:197) =∠𝐸𝐷(cid:164)𝐴(cid:124)(cid:56) △𝐹𝐶𝐵≌△𝐸𝐷𝐴 𝐷𝐸 𝐶𝐹
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(cid:24)△1(cid:25)𝐹𝐶𝐺≌△𝐸𝐷(cid:69)𝐺 (cid:69) 𝐶𝐺 𝐷𝐺
=90°(cid:69)∵𝐹𝐶⊥𝐴=𝐵90𝐸°(cid:69)𝐷⊥𝐴𝐵
∴∠𝐹𝐶=𝐵 (cid:69) ∠=𝐸𝐷𝐴(cid:69)
∵𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐸 (𝐵H𝐹L)(cid:69)
∴△𝐹=𝐶𝐵≌(cid:229)△𝐸𝐷𝐴
∴(cid:24)𝐷2𝐸(cid:25) 𝐶𝐹= (cid:69) = =90°(cid:69) = (cid:69)
∵𝐷𝐸 𝐶𝐹 (∠A𝐹A𝐶S𝐺)(cid:69) ∠𝐸𝐷𝐺 ∠𝐹𝐺𝐶 ∠𝐸𝐺𝐷
∴△𝐹=𝐶𝐺≌(cid:69)△𝐸𝐷𝐺
∴(cid:164)𝐶𝐺G(cid:152)𝐷(cid:113)𝐺(cid:136) (cid:32)(cid:72)(cid:140)(cid:56)
【题型7 灵 𝐴 活 𝐵 选用方法证明三角形全等】
(cid:15)(cid:106)7(cid:19)(cid:24)24-25(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)·(cid:399)(cid:220)(cid:6)(cid:351)·(cid:174)(cid:175)(cid:25)(cid:15)(cid:241)(cid:20)(cid:415)(cid:281)(cid:19)(cid:82)(cid:83)(cid:210)(cid:211)(cid:10)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:101)(cid:10)“SSS(cid:69)SAS(cid:69)ASA(cid:69)AAS”(cid:69)(cid:187)(cid:76)(cid:323)“SSA”(cid:69)(cid:176)(cid:145)(cid:397)38(cid:456)(cid:415)(cid:457)(cid:181)(cid:66)(cid:67)(cid:458)
(cid:459)(cid:10)
(cid:195)(cid:146)(cid:10)(cid:66)(cid:68)1(cid:69)(cid:432)(cid:74)(cid:85)(cid:74)(cid:236)(cid:32)(cid:48)(cid:160)(cid:429)(cid:460)(cid:32)(cid:74)(cid:410)(cid:203)(cid:34)(cid:70)(cid:74)(cid:417)(cid:69)(cid:461)(cid:281) (cid:56)(cid:203)(cid:34)(cid:412)(cid:85)(cid:429)(cid:460)(cid:69)(cid:462)(cid:331)(cid:236)(cid:429)(cid:460)(cid:69)(cid:157)(cid:197)
(cid:69)(cid:90)(cid:55)(cid:216)(cid:79)(cid:257)(cid:27)(cid:181)(cid:339)(cid:89)(cid:338) △𝐴𝐵𝐶
△𝐴𝐵𝐷
(cid:90)(cid:55)(cid:216)(cid:79)(cid:257)(cid:27)(cid:10)(cid:101)(cid:48)(cid:22)(cid:92)(cid:50)(cid:72)(cid:74)(cid:22)(cid:32)(cid:76)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:31)(cid:32)(cid:48)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:318)(cid:74)(cid:34)(cid:30)(cid:31)(cid:69)(cid:164)“SSA”(cid:318)(cid:74)(cid:34)(cid:59)(cid:336)(cid:56)(cid:88)(cid:89)(cid:69)
(cid:339)(cid:89)(cid:463)(cid:464)(cid:67)(cid:69)“SSA”(cid:59)(cid:336)(cid:465)(cid:338)(cid:61)(cid:11)(cid:466)(cid:467)(cid:94)(cid:75)(cid:76)(cid:48)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:468)(cid:23)(cid:246)(cid:313)(cid:52)(cid:469)(cid:69)(cid:470)(cid:374)(cid:181)(cid:125)(cid:67)(cid:190)(cid:191)(cid:56)
(cid:15)(cid:471)(cid:472)(cid:195)(cid:146)(cid:19)
(cid:82)(cid:83)(cid:318)(cid:473)(cid:474)(cid:90)(cid:55)(cid:76)(cid:105)(cid:23)(cid:126) (cid:69)(cid:158)(cid:159)(cid:76) (cid:246)(cid:313)(cid:52)(cid:469)(cid:69)(cid:124)(cid:52)(cid:126)“ (cid:152)(cid:38)(cid:23)(cid:37)(cid:475)(cid:23)(cid:37)(cid:476)(cid:23)”(cid:28)(cid:445)(cid:463)(cid:464)(cid:246)(cid:313)(cid:190)(cid:191)(cid:56)
(cid:15)(cid:477)(cid:249)(cid:190)(cid:191)(cid:19) ∠𝐵 ∠𝐵 ∠𝐵
科AA+
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(1)(cid:397)(cid:74)(cid:445)(cid:463)(cid:464)(cid:10)(cid:315) (cid:152)(cid:38)(cid:23)(cid:301)(cid:69) (cid:56)
(cid:66)(cid:68)2(cid:69)(cid:70) (cid:92)∠𝐵 (cid:72)(cid:69) △=𝐴𝐵𝐶(cid:69)≌△=𝐷𝐸𝐹(cid:69) = =90°(cid:69)(cid:160)(cid:161) (cid:69)(cid:124)(cid:125)(cid:210)(cid:211)Rt Rt (cid:56)
(2)(cid:397)(cid:46)(cid:445)(cid:463)△(cid:464)𝐴(cid:10)𝐵𝐶(cid:315) △(cid:152)𝐷(cid:475)𝐸𝐹(cid:23)(cid:301)𝐴(cid:69)𝐶 𝐷𝐹 𝐵𝐶 𝐸𝐹(cid:56)∠𝐵 ∠𝐸 △𝐴𝐵𝐶≌ △𝐷𝐸𝐹
(cid:66)(cid:68)3(cid:69)(cid:70) (cid:92)∠𝐵 (cid:72)(cid:69) △=𝐴𝐵𝐶≌(cid:69)△𝐷𝐸=𝐹 (cid:69) = (cid:69)(cid:73) (cid:37) (cid:317)(cid:152)(cid:475)(cid:23)(cid:69)(cid:478)(cid:27)(cid:263)(cid:24)1(cid:25)(cid:479)(cid:197)(cid:181)
(cid:480)(cid:420)(cid:69)(cid:278)(cid:279)△(cid:26)(cid:281)𝐴𝐵(cid:181)𝐶 △𝐷𝐸𝐹 𝐴𝐶(cid:56)(cid:322)𝐷(cid:481)𝐹(cid:27)𝐵(cid:32)𝐶(cid:424)(cid:96)𝐸(cid:59)𝐹 (cid:478)∠(cid:27)𝐵(cid:32)(cid:326)∠𝐸(cid:39)(cid:300)(cid:393)∠(cid:229)𝐵 ∠𝐸
(3)(cid:397)(cid:28)(cid:445)(cid:463)(cid:464)(cid:10)(cid:315)△𝐴(cid:152)𝐵(cid:476)𝐶≌(cid:23)△(cid:301)𝐷(cid:69)𝐸𝐹 (cid:92) (cid:318)(cid:74)(cid:34)(cid:30)(cid:31)(cid:56)
(cid:66)(cid:68)4(cid:69)(cid:70) ∠𝐵(cid:92) (cid:72)(cid:69)△𝐴𝐵=𝐶 △(cid:69)𝐷𝐸𝐹= (cid:69) = (cid:69)(cid:73) (cid:37) (cid:317)(cid:152)(cid:476)(cid:23)(cid:69)(cid:141)
(cid:32)①(cid:292)(cid:293)(cid:152)(cid:482)(cid:335)(cid:158)△(cid:59)𝐴𝐵(cid:336)𝐶(cid:229)(cid:322)△(cid:257)𝐷(cid:27)𝐸𝐹(cid:59)(cid:336)(cid:32)𝐴𝐶(cid:39)(cid:263)𝐷(cid:229)𝐹 𝐵𝐶 𝐸𝐹 ∠𝐵 ∠𝐸 ∠𝐵 ∠𝐸 △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹
(cid:66)(cid:68)4(cid:69) (cid:92) (cid:152)(cid:318)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:69) (cid:284)(cid:205)(cid:483)(cid:447)(cid:339)(cid:89)(cid:123)(cid:262)(cid:69)(cid:95)(cid:124)(cid:125)(cid:118) (cid:338)(cid:322)(cid:38)(cid:245)(cid:58)(cid:281)(cid:292)
②(cid:293)(cid:10) (cid:56) △𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹 ∠𝐵 △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹
(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19)(1)HL
(2)(cid:225)(cid:166)(cid:144)
(3) (cid:225)(cid:166)(cid:144)(cid:229) (cid:60) + =90°
① ②∠𝐵≥∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)(cid:24)1(cid:25)(cid:38)(cid:245)(cid:117)(cid:43)HL(cid:34)(cid:39)(cid:157)(cid:281) Rt Rt (cid:229)
(cid:24)2(cid:25)(cid:154)(cid:155)(cid:157)(cid:281) (cid:69)(cid:141) =△𝐴(cid:69)𝐵𝐶(cid:246)≌(cid:247)(cid:157)(cid:281)△R𝐷t 𝐸𝐹 Rt (cid:69)(cid:162)(cid:224)(cid:281) (cid:229)
(cid:24)3(cid:25) (cid:117)(cid:43)(cid:256)(cid:210)△(cid:68)𝐶𝐵(cid:29)𝐺≌(cid:162)△(cid:99)𝐹(cid:74)𝐸(cid:55)𝐻(cid:475)(cid:23)𝐶(cid:28)𝐺(cid:23)(cid:29)𝐹(cid:164)𝐻(cid:124)(cid:157)(cid:281)(cid:142)(cid:143)(cid:229) △𝐴𝐶𝐺≌ △𝐷𝐹𝐻 △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹
(cid:117)(cid:43)① (cid:72)(cid:44)(cid:45)(cid:124)(cid:157)(cid:281)(cid:315) (cid:60) + =90°
②(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)①(cid:24)1(cid:25)(cid:166)(cid:10) =∠𝐵≥=∠9𝐴0°(cid:69)∠𝐵 ∠𝐶
(cid:92) (cid:152)∵(cid:38)∠𝐵(cid:23)(cid:28)∠(cid:23)𝐸(cid:29)(cid:69)
∴(cid:70)△Rt𝐴𝐵𝐶 △(cid:92)𝐷R𝐸t𝐹 (cid:72)(cid:69)
=△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹
=
𝐴𝐶 𝐷𝐹
𝐵R𝐶t 𝐸𝐹 Rt
(cid:168)∴(cid:142)(cid:143)△(cid:126)𝐴(cid:10)𝐵H𝐶≌L(cid:229) △𝐷𝐸𝐹,
(cid:24)2(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:10)(cid:70) (cid:92) = = = (cid:69)(cid:73) (cid:317)(cid:152)(cid:475)(cid:23)(cid:69)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:300)(cid:140) (cid:306)
(cid:321) (cid:32)(cid:450)(cid:85)(cid:113)(cid:323)△𝐴(cid:69)𝐵(cid:300)𝐶(cid:140)△(cid:306)𝐷𝐸𝐹, 𝐴𝐶 (cid:321)𝐷𝐹,(cid:32)𝐵𝐶(cid:450)(cid:85)𝐸(cid:113)𝐹,(cid:323)∠𝐵 (cid:69)∠𝐸 ∠𝐵,∠𝐸 𝐶 𝐶𝐺⊥𝐴𝐵
𝐴𝐵 𝐺 𝐹 𝐹𝐻⊥𝐷𝐸 𝐷𝐸 𝐻
科AA+
全
★
号
众
公
注
关
源
，= (cid:73) (cid:317)(cid:152)(cid:475)(cid:23)(cid:69)
资
辅
教
= ∵∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐷𝐸𝐹, ∠𝐴𝐵𝐶,∠𝐷𝐸𝐹
∴180°−∠=𝐴𝐵𝐶 180°−∠𝐷𝐸𝐹,
∴(cid:70)∠𝐶𝐵𝐺 (cid:92)∠𝐹𝐸𝐻, (cid:72)
△𝐶𝐵𝐺= △𝐹𝐸𝐻
= =90°,
∠𝐶𝐵𝐺 =∠𝐹𝐸𝐻
∠𝐺 ∠𝐻
𝐵𝐶 𝐸𝐹
∴△𝐶𝐵=𝐺≌△𝐹𝐸𝐻
∴(cid:70)𝐶R𝐺t 𝐹𝐻, (cid:92)Rt
=△𝐴𝐶𝐺 △𝐷𝐹𝐻
=
𝐴𝐶 𝐷𝐹
𝐶R𝐺t 𝐹𝐻 Rt
∴ =△𝐴𝐶𝐺≌ △𝐷𝐹𝐻
∴(cid:70)∠𝐴 ∠𝐷(cid:92), (cid:72)
△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹=
=
∠𝐴= ∠𝐷
∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐷𝐸𝐹
𝐴𝐶 𝐷𝐹 (cid:229)
(cid:24)∴△3(cid:25)𝐴𝐵(cid:166)𝐶(cid:10)≌△(cid:70)𝐷𝐸𝐹 (cid:92) (cid:72)(cid:69) = = = (cid:69)(cid:73) (cid:317)(cid:152)(cid:476)(cid:23)(cid:69)(cid:66)(cid:68)(cid:69) (cid:92)
(cid:318)(cid:30)(cid:31)(cid:229) ① △𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹 𝐴𝐶 𝐷𝐹,𝐵𝐶 𝐸𝐹,∠𝐵 ∠𝐸 ∠𝐵,∠𝐸 △𝐷𝐸𝐹 △𝐴𝐵𝐶
(cid:263) (cid:68)(cid:124)(cid:210)(cid:69) = = + (cid:69)
② ①> (cid:69) ∠𝐴 ∠𝐶𝐷𝐴 ∠𝐵 ∠𝐵𝐶𝐷
∴(cid:315)∠𝐴 ∠𝐵 (cid:301)(cid:69) (cid:95)(cid:484)(cid:74)(cid:87)(cid:34)(cid:181)(cid:69)
(cid:141)∴ ∠𝐵≥∠𝐴 △(cid:56)𝐴𝐵𝐶
(cid:315)△𝐴+𝐵𝐶≌=△9𝐷0𝐸°𝐹(cid:69) + =90°(cid:301)(cid:69)
(cid:164)∠𝐵=∠𝐶 =90°(cid:69)∠𝐸 ∠𝐹 全
科AA+
★
号
众
公
注
(cid:70)∠Rt𝐴 ∠𝐷(cid:92)Rt (cid:72)(cid:69) 关
，
源
辅
资
=△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹 教
=
𝐴𝐶 𝐷𝐹
𝐵𝐶Rt 𝐸𝐹 Rt (cid:69)
(cid:168)∴(cid:142)(cid:143)(cid:126)△(cid:10)𝐴𝐵𝐶≌ (cid:60)△𝐷𝐸𝐹+ =90°(cid:56)
(cid:15)(cid:140)(cid:264)(cid:19)(cid:145)∠(cid:20)𝐵(cid:152)≥(cid:28)∠(cid:23)𝐴(cid:29)∠(cid:32)𝐵(cid:485)(cid:289)∠(cid:20)𝐶 (cid:69)(cid:265)(cid:205)(cid:146)(cid:147)(cid:181)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:71)(cid:35)(cid:97)(cid:69)(cid:105)(cid:43)(cid:71)(cid:474)(cid:486)(cid:306)(cid:68)(cid:69)(cid:149)(cid:137)(cid:150)(cid:151)(cid:28)(cid:23)
(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:44)(cid:170)(cid:166)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:153)(cid:56)
(cid:15)(cid:169)(cid:170)7-1(cid:19)(cid:24)24-25(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)·(cid:305)(cid:378)(cid:487)(cid:488)·(cid:174)(cid:175)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:256)(cid:210) (cid:489)(cid:188)(cid:23)(cid:32)(cid:86)(cid:61)(cid:92)(cid:489)(cid:22)(cid:32)(cid:85)(cid:86)(cid:56)(cid:67)(cid:187)(cid:152)(cid:223)
(cid:11)(cid:83)(cid:43)(cid:318)(cid:223)(cid:32)(cid:44)(cid:45)(cid:280)(cid:281)(cid:32)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:69)(cid:490)(cid:201)(cid:277)(cid:280)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:28)(cid:55)(cid:491)(cid:492)△(cid:358)𝐴𝐵(cid:281)𝐶(cid:69)(cid:141)(cid:277)(cid:280)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:318)(cid:74)(cid:34)(cid:71) (cid:30)(cid:31)(cid:32)
(cid:152)(cid:24) (cid:25) △𝐴𝐵𝐶A(cid:56) B(cid:56)
C(cid:56) D(cid:56)
(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19)D
(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)(cid:145)(cid:20)(cid:146)(cid:147)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:34)(cid:39)(cid:69)(cid:39)(cid:166)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:34)(cid:39)(cid:152)(cid:166)(cid:20)(cid:3)(cid:153)(cid:56)
(cid:160)(cid:161)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:123)(cid:262)(cid:246)(cid:313)(cid:493)(cid:312)(cid:52)(cid:144)(cid:164)(cid:124)(cid:56)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(cid:166)(cid:10)A(cid:37)(cid:160)(cid:161)“ASA”(cid:124)(cid:26)(cid:27)(cid:71)(cid:380)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:69)(cid:318)(cid:288)(cid:289)(cid:20)(cid:242)(cid:229)
B(cid:37)(cid:160)(cid:161)“SAS”(cid:124)(cid:26)(cid:27)(cid:71)(cid:380)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:69)(cid:318)(cid:288)(cid:289)(cid:20)(cid:242)(cid:229)
C(cid:37)(cid:160)(cid:161)“SSS”(cid:124)(cid:26)(cid:27)(cid:71)(cid:380)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:69)(cid:318)(cid:288)(cid:289)(cid:20)(cid:242)(cid:229)
D(cid:37)(cid:71)(cid:380)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:29)(cid:59)(cid:28)(cid:55)(cid:188)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:31)(cid:69)(cid:48)(cid:55)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:318)(cid:74)(cid:34)(cid:30)(cid:31)(cid:69)(cid:288)(cid:289)(cid:20)(cid:242)(cid:229)
科AA+
全
(cid:168)(cid:42)(cid:10)D(cid:56) 号 ★
众
公
注
关
，
(cid:15)(cid:169)(cid:170)7-2(cid:19)(cid:24)24-25(cid:266)(cid:128)(cid:129)(cid:67)·(cid:132)(cid:494)·源(cid:174)(cid:72)(cid:25)(cid:67)(cid:311)(cid:123)(cid:262)(cid:72)(cid:285)(cid:87)(cid:34) (cid:32)(cid:29)(cid:91)(cid:71)(cid:93)(cid:94)(cid:32)(cid:101) (cid:56)
资
辅
教
=3(cid:69) =7(cid:69) =11(cid:69) △𝐴𝐵𝐶
①𝐴𝐵=30°(cid:69)𝐵𝐶 =70𝐶°𝐴(cid:69) =3(cid:229)
②∠𝐴=30°(cid:69)∠𝐵=7(cid:69) 𝐴=𝐶 11(cid:229)
③∠𝐴=30°(cid:69)𝐴𝐵=14(cid:69)𝐵𝐶 =9(cid:56)
④(cid:15)(cid:142)∠𝐴(cid:143)(cid:19) 𝐴𝐵 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)②(cid:145)(cid:20)(cid:146)(cid:147)(cid:181)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:92)(cid:35)(cid:97)(cid:69)(cid:166)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:153)(cid:152)(cid:39)(cid:166)(cid:20)(cid:242)(cid:69)(cid:40)(cid:41)(cid:332)(cid:43)(cid:277)(cid:11)(cid:210)(cid:217)(cid:166)(cid:239)(cid:241)(cid:20)(cid:56)(cid:160)
(cid:161)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:92)(cid:35)(cid:97)(cid:246)(cid:313)(cid:148)(cid:34)(cid:164)(cid:124)(cid:224)(cid:166)(cid:56)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(cid:166)(cid:10) =3(cid:69) =7(cid:69) =11(cid:69)3+7<11(cid:69)(cid:318)(cid:285)(cid:280)(cid:281)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:229)
=30°(cid:69)①𝐴𝐵=70°(cid:69)𝐵𝐶 =3(cid:69)𝐶(cid:160)𝐴(cid:161)“AAS”(cid:285)(cid:280)(cid:281)(cid:484)(cid:74)(cid:32) (cid:229)
②∠𝐴=30°(cid:69)∠𝐵=7(cid:69) 𝐴=𝐶 11(cid:69)“SSA”(cid:318)(cid:285)(cid:87)(cid:34)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:35)△(cid:97)𝐴(cid:69)𝐵(cid:164)𝐶 (cid:318)(cid:285)(cid:280)(cid:281)(cid:484)(cid:74)(cid:32) (cid:229)
③∠𝐴=30°(cid:69)𝐴𝐵=14(cid:69)𝐵𝐶 =9(cid:69)“SSA”(cid:318)(cid:285)(cid:87)(cid:34)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:35)(cid:97)(cid:69)(cid:164)(cid:318)(cid:285)(cid:280)(cid:281)(cid:484)(cid:74)(cid:32)△𝐴𝐵𝐶(cid:229)
④(cid:485)(cid:130)∠𝐴(cid:277)(cid:495)(cid:69)(cid:285)(cid:280)𝐴𝐵(cid:281)(cid:484)(cid:74)(cid:32)𝐵𝐶 (cid:32)(cid:101) (cid:69) △𝐴𝐵𝐶
(cid:168)(cid:142)(cid:143)(cid:126)(cid:10) (cid:56) △𝐴𝐵𝐶 ②
②(cid:15)(cid:169)(cid:170)7-3(cid:19)(cid:24)24-25(cid:218)(cid:128)(cid:129)(cid:130)·(cid:496)(cid:173)(cid:497)(cid:156)·(cid:174)(cid:72)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:140) (cid:69) (cid:69) (cid:69) (cid:70)(cid:223)(cid:74)(cid:123)(cid:38)(cid:113)(cid:130)(cid:69) = (cid:69)
= (cid:69)(cid:322)(cid:251)(cid:125)(cid:67)(cid:28)(cid:55)(cid:42)(cid:312)(cid:72) = (cid:69) 𝐴= 𝐷 𝐶(cid:69)𝐹 = (cid:69)(cid:42)(cid:426)(cid:74)𝐴𝐷(cid:55)(cid:42)𝐹(cid:312)𝐶(cid:306)(cid:126)(cid:256)(cid:210)
∠(cid:123)𝐴(cid:262)(cid:69)∠(cid:118)𝐸𝐷(cid:157)𝐹 (cid:56) ①𝐴𝐵 𝐷𝐸 ②∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐷𝐹𝐸 ③∠𝐵 ∠𝐸
△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹
(1)(cid:424)(cid:42)(cid:426)(cid:260)(cid:261)(cid:32)(cid:42)(cid:312)(cid:152)______(cid:24)(cid:498)(cid:499)(cid:9)(cid:25)(cid:229)
(2)(cid:260)(cid:261)(cid:123)(cid:262)(cid:159)(cid:69)(cid:322)(cid:26)(cid:27) (cid:56)
(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19)(1) (cid:60) (cid:60) △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹
(2)(cid:225)(cid:165)(cid:166) ① ② ③
(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)(cid:145)(cid:20)(cid:265)(cid:205)(cid:146)(cid:147)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:92)(cid:35)(cid:97)(cid:125)(cid:49)(cid:139)(cid:313)(cid:113)(cid:32)(cid:35)(cid:97)(cid:69)
(cid:24)1(cid:25)(cid:260)(cid:261) (cid:60) (cid:60) (cid:453)(cid:124)(cid:26)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:229)
(cid:24)2(cid:25)(cid:263)(cid:139)(cid:313)①(cid:113)(cid:32)②(cid:35)(cid:97)③(cid:124)(cid:157) = (cid:69)(cid:66)(cid:84)(cid:42)(cid:426) (cid:117)(cid:43)(cid:22)(cid:23)(cid:22)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:69)(cid:66)(cid:84)(cid:42)(cid:426) (cid:43)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:69)(cid:66)(cid:84)(cid:42)(cid:426) (cid:23)(cid:23)∠𝐷(cid:22)(cid:26)∠(cid:27)𝐴(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)①(cid:56) 全
科AA+
②
★
号
众
公
注
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(cid:24)1(cid:25)(cid:166)(cid:10)(cid:42)③(cid:426) (cid:60) (cid:60) 关
，
源
资
辅
教
(cid:24)2(cid:25)(cid:42)(cid:426) (cid:69)(cid:26)(cid:27)(cid:66)(cid:67)①(cid:10) ② ③
= (cid:69)①
∵𝐴𝐷+ 𝐹𝐶= + (cid:164) = (cid:69)
∴(cid:70)𝐴𝐷 𝐷𝐶(cid:92) 𝐷𝐶 𝐶(cid:72)𝐹 𝐴𝐶 𝐷𝐹
△𝐴=𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹
= (cid:69)
𝐴𝐶 =𝐷𝐹
∠𝐴 ∠𝐸𝐷𝐹
𝐴𝐵 𝐷𝐸 (SAS)(cid:56)
∴(cid:42)△(cid:426)𝐴𝐵𝐶(cid:69)≌(cid:26)△(cid:27)𝐷(cid:66)𝐸𝐹(cid:67)(cid:10)
②= (cid:69)
∵𝐴𝐷+ 𝐹𝐶= + (cid:164) = (cid:69)
∴(cid:70)𝐴𝐷 𝐷𝐶(cid:92) 𝐷𝐶 𝐶(cid:72)𝐹 𝐴𝐶 𝐷𝐹
△𝐴=𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹
= (cid:69)
∠𝐴 =∠𝐸𝐷𝐹
∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐷𝐹𝐸
𝐴𝐶 𝐷𝐹 (ASA)(cid:56)
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(cid:42)(cid:426) (cid:69)(cid:26)(cid:27)(cid:66)(cid:67)(cid:10)
③= (cid:69)
∵𝐴𝐷+ 𝐹𝐶= + (cid:164) = (cid:69)
∴(cid:70)𝐴𝐷 𝐷𝐶(cid:92) 𝐷𝐶 𝐶(cid:72)𝐹 𝐴𝐶 𝐷𝐹
△=𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹
= (cid:69)
∠𝐴 =∠𝐸𝐷𝐹
∠𝐵 ∠𝐸
𝐴𝐶 𝐷𝐹 (AAS)(cid:56)
∴
【
△
题
𝐴
型
𝐵𝐶8≌ △
二次
𝐷𝐸
证
𝐹
明三角形全等】
(cid:15)(cid:106)8(cid:19)(cid:24)24-25(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)·(cid:399)(cid:220)(cid:500)(cid:399)·(cid:174)(cid:175)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:302)(cid:22)(cid:29) (cid:72)(cid:69) (cid:152)(cid:76)(cid:23)(cid:113) (cid:130)(cid:74)(cid:140)(cid:69) = (cid:69)
= (cid:69)(cid:224)(cid:26)(cid:10) (cid:56) 𝐴𝐶𝐵𝐷 𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷
𝐵𝐶 𝐵𝐷 △𝐴𝐸𝐶≌△𝐴𝐸𝐷
科AA+
全
★
号
众
公
注
(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19)(cid:26)(cid:27)(cid:225)(cid:166)(cid:144) 关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)(cid:145)(cid:20)(cid:146)(cid:147)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:71)(cid:35)(cid:97)(cid:69)(cid:149)(cid:137)(cid:150)(cid:151)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:152)(cid:166)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:153)(cid:56)(cid:155)(cid:26)(cid:27)
(SSS)(cid:157)(cid:281) = (cid:69)(cid:162)(cid:26)(cid:27) (cid:56)
(cid:15)△(cid:165)𝐴𝐵(cid:166)𝐶(cid:19)≌(cid:26)△(cid:27)𝐴𝐵(cid:10)𝐷(cid:70) (cid:92)∠𝐶𝐴𝐵 ∠(cid:72)𝐷(cid:69)𝐴𝐵 △𝐴𝐸𝐶≌△𝐴𝐸𝐷
= △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐷
= (cid:69)
𝐴𝐶 =𝐴𝐷
𝐵𝐶 𝐵𝐷
𝐴𝐵 𝐴𝐵 (SSS)(cid:69)
∴△𝐴𝐵𝐶=≌△𝐴𝐵𝐷(cid:69)
(cid:70)∴∠𝐶𝐴𝐵 (cid:92)∠𝐷𝐴𝐵 (cid:72)(cid:69)
△𝐴𝐸=𝐶 △𝐴𝐸𝐷
= (cid:69)
𝐴𝐶 =𝐴𝐷
∠𝐶𝐴𝐸 ∠𝐷𝐴𝐸
𝐴𝐸 𝐴𝐸AED(SAS)(cid:56)
∴(cid:15)△(cid:169)A(cid:170)EC8≌-1△(cid:19)(cid:24)24-25(cid:266)(cid:128)(cid:129)(cid:67)·(cid:30)(cid:267)·(cid:441)(cid:501)(cid:137)(cid:138)(cid:25)(cid:66)(cid:68)(cid:69) (cid:92) (cid:32)(cid:411)(cid:140)A(cid:92)D(cid:70) (cid:32)(cid:223)(cid:455)(cid:69)
= (cid:69) = (cid:69) (cid:321) (cid:323)(cid:140)O(cid:69)(cid:222)(cid:257)(cid:27)(cid:10) △𝐴𝐵𝐶 △(cid:56)𝐷𝐶𝐵 𝐵𝐶
(cid:67)𝐴𝐵(cid:187)(cid:152)𝐷(cid:94)𝐶(cid:27)𝐴(cid:32)𝐶(cid:166)(cid:142)𝐷(cid:300)𝐵(cid:393)𝐴(cid:10)𝐶 𝐷𝐵 △𝐴𝐵𝑂≌△𝐷𝐶𝑂(cid:166)(cid:10)(cid:70) (cid:92) (cid:72)(cid:69)(cid:287)(cid:126) = (cid:69) = (cid:69) = (cid:69)(cid:277)(cid:125) (cid:69)(cid:277)(cid:125)
△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐶𝐵 𝐴𝐵(cid:69)(cid:277)𝐷(cid:125)𝐶 𝐴𝐶 𝐷𝐵 𝐵𝐶(cid:56) 𝐶𝐵 △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐵
(cid:322)△(cid:241)𝐴𝐵(cid:94)𝐶(cid:27)−(cid:32)△(cid:166)𝑂𝐵(cid:45)𝐶(cid:324)≌(cid:87)△(cid:337)𝐷𝐶(cid:338)𝐵(cid:66)−(cid:84)△(cid:318)𝑂𝐵(cid:324)𝐶(cid:87)(cid:69)(cid:322)(cid:502)△(cid:324)𝐴𝐵(cid:300)𝑂(cid:418)≌(cid:56)△𝐷𝐶𝑂
(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19)(cid:318)(cid:324)(cid:87)(cid:69)(cid:225)(cid:166)(cid:144)
(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)(cid:145)(cid:20)(cid:146)(cid:147)(cid:181)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:69)(cid:40)(cid:41)(cid:332)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:152)(cid:166)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:153)(cid:229)
(cid:160)(cid:161)(cid:256)(cid:210)(cid:123)(cid:262)(cid:157)(cid:281) (cid:69)(cid:157) = (cid:69)(cid:70) (cid:92) (cid:72)(cid:69)(cid:117)(cid:43)AAS(cid:164)(cid:124)(cid:157)(cid:281)(cid:292)(cid:293).
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(cid:166)(cid:10)(cid:318)(cid:324)(cid:87)△(cid:69)𝐴𝐵(cid:324)𝐶(cid:87)≌(cid:472)△(cid:503)𝐷𝐶(cid:126)𝐵(cid:10) ∠𝐴 ∠𝐷 △𝐴𝐵𝑂 △𝐷𝐶𝑂
(cid:70) (cid:92) (cid:72)(cid:69)
△=𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐶𝐵
= (cid:69)
𝐴𝐵=𝐷𝐶
𝐴
𝐵
𝐶
𝐶
𝐷
𝐶𝐵
𝐵
(SSS)(cid:69) 全
科AA+
★
号
众
公
注
∴△𝐴=𝐵𝐶≌(cid:56)△𝐷𝐶𝐵 关
，
源
资
辅
教
∴(cid:70)∠𝐴 ∠𝐷(cid:92) (cid:72)(cid:69)
△𝐴𝐵=𝑂 △𝐷𝐶𝑂
= (cid:69)
∠𝐴 =∠𝐷
∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐷𝑂𝐶
𝐴𝐵 𝐷𝐶 (AAS)(cid:56)
∴(cid:15)∠(cid:169)𝐴𝐵(cid:170)𝑂≌8-∠2(cid:19)𝐷𝐶(cid:66)𝑂(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:302)(cid:22)(cid:29) (cid:72)(cid:69) = (cid:69) > (cid:69) = (cid:56)(cid:224)(cid:26)(cid:10) = (cid:56)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵 ∠𝐶 ∠𝐴 ∠𝐷
(cid:15)(cid:142)(cid:143)(cid:19)(cid:26)(cid:27)(cid:225)(cid:166)(cid:144)(cid:56)
(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)(cid:244)(cid:245) (cid:69)(cid:26)(cid:27) (cid:69)(cid:157)(cid:281) = (cid:69)
(cid:162)(cid:26)(cid:69)(cid:164)(cid:124) 𝐴𝐶 △𝐴𝐵𝐶≌△(cid:56)𝐷𝐶𝐵(𝑆𝐴𝑆) 𝐵𝐷 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(cid:244)(cid:245)△𝐴𝐵(cid:69)𝐷B≌D△𝐷𝐶𝐴(𝑆𝑆𝑆)
𝐴𝐶=
(cid:70) (cid:71) (cid:72)(cid:69){ = (cid:69)
𝐴𝐵=𝐶𝐷
△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐶𝐵 (cid:69) ∠𝐵 ∠𝐶
𝐵𝐶 𝐵𝐶
∴△=𝐴𝐵𝐶≌(cid:69)△𝐷𝐶𝐵(𝑆𝐴𝑆)
=
𝐵𝐷 𝐴𝐶
(cid:70) (cid:71) (cid:72)(cid:69){ = (cid:69)
𝐴𝐵=𝐷𝐶
△𝐴𝐵𝐷 △𝐷𝐶𝐴 (cid:69) 𝐵𝐷 𝐴𝐶
𝐴𝐷 𝐴𝐷
∴△𝐴𝐵𝐷=≌△𝐷𝐶(cid:56)𝐴(𝑆𝑆𝑆)
∴(cid:15)∠(cid:140)𝐵𝐴(cid:264)𝐷(cid:19)(cid:145)∠(cid:20)𝐶𝐷(cid:146)𝐴(cid:147)(cid:181)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:35)(cid:97)(cid:92)(cid:148)(cid:34)(cid:69)(cid:150)(cid:151)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:35)(cid:97)(cid:92)(cid:148)(cid:34)(cid:152)(cid:166)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:153)(cid:56)
(cid:15)(cid:169)(cid:170)8-3(cid:19)(cid:24)23-24(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)·(cid:171)(cid:119)(cid:376)(cid:504)·(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:25)(cid:70)(cid:166)(cid:239)(cid:113)(cid:136)(cid:61)(cid:183)(cid:3)(cid:341)(cid:241)(cid:20)(cid:72)(cid:69)(cid:66)(cid:84)(cid:123)(cid:262)(cid:72)(cid:101)(cid:23)(cid:139)(cid:52)(cid:113)(cid:69)
(cid:78)(cid:230)(cid:505)(cid:43)(cid:67)(cid:187)(cid:237)(cid:238)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:166)(cid:239)(cid:195)(cid:506)(cid:56) 全
科AA+
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:66)(cid:10)(cid:70)(cid:68)1(cid:72)(cid:69)(cid:258)C(cid:152) (cid:32)(cid:139)(cid:52)(cid:113) (cid:130)(cid:74)(cid:140)(cid:69)(cid:140)A(cid:70) (cid:130)(cid:69)(cid:212)(cid:301)(cid:69)(cid:70)(cid:383)(cid:113) (cid:130)(cid:234)(cid:243) = (cid:69)(cid:244)(cid:292)
(cid:69)(cid:160)(cid:161)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)∠(cid:148)𝑀(cid:34)𝑂(cid:44)𝑁(cid:45)______𝑂(cid:24)𝑃(cid:57)(cid:507)(cid:25)(cid:69)(cid:422)(cid:423)(cid:237)(cid:238)𝑂(cid:281)𝑀(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29) 𝑂(cid:92)𝑁 𝑂(cid:69)𝐵(cid:344)(cid:146)𝑂(cid:130)𝐴(cid:187)(cid:32)(cid:44)
𝐵(cid:45)𝐶(cid:69)(cid:166)(cid:142)(cid:67)(cid:311)(cid:241)(cid:20)(cid:10) △𝑂𝐵𝐶 △𝑂𝐴𝐶
(cid:24)1(cid:25)(cid:66)(cid:68)2(cid:69)(cid:70) (cid:72)(cid:69) (cid:152) (cid:32)(cid:139)(cid:52)(cid:113)(cid:69)E(cid:37)F(cid:52)(cid:53)(cid:126) (cid:69) (cid:130)(cid:32)(cid:140)(cid:69)(cid:73)
+ =△18𝐴0𝐵°(cid:56)𝐶 (cid:224)(cid:26)𝐴(cid:10)𝐷 ∠=𝐵𝐴𝐶 (cid:56)(cid:24)(cid:48)(cid:55)(cid:188)(cid:23)(cid:54)(cid:31)(cid:32)(cid:28)(cid:23)𝐴𝐵(cid:29)(cid:152)𝐴(cid:31)𝐶 (cid:451)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:25)
(cid:24)∠𝐴2𝐸(cid:25)𝐷(cid:66)(cid:68)∠𝐴3𝐹(cid:69)𝐷(cid:70)(cid:361)(cid:31)(cid:22) (cid:72)𝐷(cid:69)𝐸 𝐷=𝐹60°(cid:69) (cid:37) (cid:52)(cid:53)(cid:152) (cid:37) (cid:32)(cid:139)(cid:52)(cid:113)(cid:69)(cid:73) (cid:37) (cid:321)(cid:323)(cid:140)F(cid:69)
(cid:224)(cid:26)(cid:10) = + (cid:56)△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵 𝐴𝐷 𝐶𝐸 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐵𝐶𝐴 𝐴𝐷 𝐶𝐸
(cid:15)(cid:142)(cid:143)𝐴(cid:19)𝐶SAS𝐴(cid:24)𝐸1(cid:25)𝐶(cid:225)𝐷(cid:166)(cid:144)(cid:229)(2)(cid:225)(cid:166)(cid:144)
(cid:15)(cid:52)(cid:144)(cid:19)(cid:145)(cid:20)(cid:146)(cid:147)(cid:181)(cid:23)(cid:32)(cid:139)(cid:313)(cid:113)(cid:69)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:92)(cid:35)(cid:97)(cid:69)(cid:190)(cid:508)(cid:113)(cid:136)(cid:206)(cid:207)(cid:32)(cid:3)(cid:341)(cid:56)
(cid:509)(cid:510)(cid:72)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:126)SAS(1)(cid:70) (cid:130)(cid:234)(cid:243) = (cid:69)(cid:244)(cid:292) (cid:69)(cid:26)(cid:27) (cid:69)(cid:162)(cid:117)(cid:43)(cid:31)(cid:451)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:148)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:164)(cid:124)(cid:56)
(2)(cid:70)𝐴𝐸(cid:130)(cid:234)(cid:243)𝐴𝑃 =𝐴𝐹(cid:69)(cid:244)(cid:292)𝐷𝑃 (cid:69)(cid:26)(cid:27)△𝐴𝐷𝑃≌△𝐴𝐷𝐹 (cid:69) (cid:164)(cid:124)(cid:56)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)𝐴𝐶(cid:19)(cid:160)(cid:161)(cid:20)𝐴(cid:242)𝑀(cid:69)(cid:157)𝐴𝐸(cid:148)(cid:34)(cid:44)(cid:45)𝑀(cid:126)𝐹SAS(cid:69) △𝐴𝐹𝐸≌△𝐴𝐹𝑀 △𝐶𝐹𝐷≌△𝐶𝐹𝑀
(cid:168)(cid:142)(cid:143)(cid:126)(cid:10)SAS(cid:56)
(1)(cid:70) (cid:130)(cid:234)(cid:243) = (cid:69)(cid:244)(cid:292) (cid:69)
𝐴𝐸 𝐴𝑃 𝐴𝐹 𝐷𝑃
=
= (cid:69)
𝐴𝑃=𝐴𝐹
∵ ∠1 ∠2
𝐴𝐷 𝐴𝐷 (SAS)(cid:69)
∴△𝐴𝐷𝑃=≌△𝐴𝐷𝐹 = (cid:69)
∴∠𝐴𝑃𝐷 ∠𝐴𝐹=𝐷,𝐷𝑃 𝐷𝐹 (cid:69)
∴180°−∠+𝐴𝑃𝐷 =18108°−0°∠(cid:69)𝐴𝐹𝐷 + =180°(cid:69) 全
科AA+
★
号
众
公
注
∵∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐴𝐹𝐷(cid:69) ∠𝐷𝑃𝐸 ∠𝐴𝑃𝐷 关
，
源
资
辅
教
∴∠𝐴𝐸=𝐷 ∠(cid:69)𝐷𝑃𝐸
∴𝐷𝐸=𝐷𝑃(cid:56)
(cid:24)∴𝐷2𝐸(cid:25)(cid:70)𝐷𝐹(cid:130)(cid:234)(cid:243) = (cid:69)(cid:244)(cid:292) (cid:69)
=𝐴𝐶 𝐴𝑀 𝐴𝐸 𝑀𝐹
= (cid:69)
𝐴𝑀= 𝐴𝐸
∵ ∠3 ∠4
𝐴𝐹 𝐴𝐹 (SAS)(cid:69)
∴△𝐴=𝐹𝐸≌(cid:69)△𝐴𝐹𝑀 = (cid:69)
∴𝐴𝐸=6𝐴0°𝑀(cid:69) ∠𝐴(cid:37)𝐹𝐸 (cid:52)∠(cid:53)𝐴(cid:152)𝐹𝑀 (cid:37) (cid:32)(cid:139)(cid:52)(cid:113)(cid:69)(cid:73) (cid:37) (cid:321)(cid:323)(cid:140)F(cid:69)
∵∠𝐵
+ =
𝐴1𝐷
(
𝐶𝐸
+
∠𝐵
)
𝐴
=
𝐶1
(
∠𝐵𝐶𝐴
)=60°(cid:69)
𝐴𝐷 𝐶𝐸
2 2
∴∠4 ∠6 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐵𝐶𝐴 180°−∠𝐵
=120°(cid:69)
∴∠𝐴𝐹𝐶 = + (cid:69)
∵∠𝐴𝐹𝐸=∠4 ∠=6 60°(cid:69)
∴∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐴𝐹𝑀=60°(cid:69) =60°(cid:69)
∴∠𝐴𝐹𝐸 ∠𝐷𝐹𝐶 ∠𝑀𝐹𝐶= (cid:69)
∴∠𝑀𝐹𝐶 =∠𝐷𝐹𝐶
= (cid:69)
∠𝑀𝐹𝐶= ∠𝐷𝐹𝐶
∵ 𝐹𝐶 𝐹𝐶
∠6 ∠5 (ASA)(cid:69)
∴△𝐶𝐹𝐷≌△𝐶𝐹𝑀
= (cid:69)
∴𝐶𝐷= 𝐶𝑀+
∵𝐴𝐶=𝐴𝑀+ 𝐶𝑀(cid:56)
∴𝐴𝐶 𝐴𝐸 𝐶𝐷
科AA+
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
