专题23.3相似图形、相似三角形的判定(讲义)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上(华东师大)

专题 23.3 相似图形、相似三角形的判定（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)
(cid:15)(cid:22)(cid:23)1 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:21)........................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:22)(cid:23)2 (cid:30)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:21)........................................................................................................................5
(cid:15)(cid:22)(cid:23)3 (cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:26)(cid:27)(cid:21)................................................................................................................................7
(cid:15)(cid:22)(cid:23)4 (cid:36)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:26)(cid:44)(cid:40)(cid:41)(cid:26)(cid:27)(cid:21)........................................................................................................................9
(cid:15)(cid:22)(cid:23)5 (cid:36)(cid:37)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:26)(cid:44)(cid:40)(cid:41)(cid:26)(cid:27)(cid:21)......................................................................................11
(cid:15)(cid:22)(cid:23)6 (cid:36)(cid:37)(cid:53)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:40)(cid:41)(cid:26)(cid:27)(cid:21)..........................................................................................................14
(cid:15)(cid:22)(cid:23)7 (cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:42)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:21)......................................................................................................17
(cid:15)(cid:22)(cid:23)8 (cid:62)(cid:63)(cid:61)(cid:42)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:21)..........................................................................................................................20
(cid:15)(cid:22)(cid:23)9 (cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:61)(cid:42)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:21)..............................................................................................................23
(cid:15)(cid:22)(cid:23)10 (cid:68)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:46)(cid:68)(cid:21)........................................................................................................................27
(cid:15)(cid:22)(cid:23)11 (cid:69)(cid:70)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:21)................................................................................................................................30
知识点1 相似图形
1.定义：把一个图形放大(或缩小)得到的图形与原图形是相似的.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，
或者说是相似形. 两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形
叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比.
知识点2 相似三角形
1. (cid:41)(cid:71)(cid:10)(cid:53)(cid:43)(cid:72)(cid:25)(cid:26)(cid:44)(cid:73)(cid:53)(cid:45)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:42)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:74)(cid:75)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:76) ABC(cid:77) A B C (cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:79)(cid:66) ABC
1 1 1
A B C (cid:76) △ △ △ ∽
1 1 1
△2. (cid:80)(cid:44)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:81)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:49)(cid:82)
(cid:80)(cid:44)(cid:53)(cid:43)(cid:29) (cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)
(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:87)(cid:31)(cid:42)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:74)(cid:75)(cid:80)(cid:44)(cid:53) (cid:53)(cid:43)(cid:72)(cid:25)(cid:26)(cid:44)(cid:73)(cid:53)(cid:45)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:42)(cid:67)(cid:53)(cid:43)
(cid:41)(cid:71)
(cid:43)(cid:29) (cid:29)(cid:74)(cid:75)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)
(cid:88)(cid:89) (cid:29)(cid:90)(cid:26)(cid:91)(cid:92)(cid:19)(cid:93)(cid:26)(cid:44) (cid:29)(cid:90)(cid:26)(cid:91)(cid:94)(cid:19)(cid:93)(cid:95)(cid:96)(cid:41)(cid:26)(cid:44)
(cid:28)(cid:29)(cid:97)(cid:98)(cid:46)(cid:47)(cid:45) (cid:26)(cid:44) (cid:48)(cid:49)(cid:50)
(cid:46)(cid:47)(cid:43) (cid:26)(cid:44) (cid:26)(cid:44)
(cid:26)(cid:27)(cid:49) 1 (cid:99)(cid:100)(cid:101)1(cid:78)(cid:102)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:68)
知识点3 三角形相似的判定
(cid:107)(cid:108)(cid:42)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:72)(cid:25)(cid:81)(cid:91)(cid:96)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:42)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:102)(cid:26)(cid:27)(cid:76)
(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:112)(cid:113)(cid:41)(cid:114)(cid:10)(cid:38)(cid:39)(cid:115)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:96)(cid:45)(cid:31)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:103)(cid:104)(cid:42)(cid:45)(cid:119)(cid:70)(cid:31)(cid:116)(cid:117),(cid:118)(cid:120)(cid:31)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:81)(cid:121)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:76)
1. (cid:41)(cid:114)1(cid:10)(cid:42)(cid:43)(cid:72)(cid:25)(cid:46)(cid:47)(cid:26)(cid:44)(cid:31)(cid:42)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:76)
(cid:122)(cid:123) ABC(cid:77)(cid:77) A′B′C′(cid:77)(cid:78)(cid:124) A= A′(cid:78) B= B′(cid:78)(cid:125) ABC A′B′C′(cid:76)
2. (cid:41)△(cid:114)2(cid:10)(cid:42)(cid:45)△(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:92)(cid:52)∠(cid:43)(cid:26)∠ (cid:44)(cid:31)∠(cid:42)(cid:67)∠(cid:53)(cid:43)(cid:29)△(cid:26)(cid:27)(cid:76)∽△
AB AC
(cid:122)(cid:123) ABC(cid:77)(cid:77) A′B′C′(cid:78)(cid:124) = (cid:78) A= A′(cid:78)(cid:125) ABC A′B′C′(cid:76)
A′B′ A′C′
3. (cid:41)△(cid:114)3(cid:10)(cid:53)(cid:45)△(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:42)(cid:67)(cid:53)(cid:43) ∠ (cid:29)(cid:26) ∠ (cid:27)(cid:76) △ ∽△
(cid:122)(cid:123) ABC(cid:77)(cid:77) A′B′C′(cid:78)(cid:124) AB = BC = AC (cid:78)(cid:125) ABC A′B′C′(cid:76)
A′B′ B′C′ A′C′
△ △ △ ∽△
(cid:116)(cid:43)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:41)(cid:114)(cid:10)(cid:107)(cid:108)(cid:96)(cid:67)(cid:116)(cid:43)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:126)(cid:45)(cid:51)(cid:96)(cid:59)(cid:116)(cid:43)(cid:45)(cid:81)(cid:127)(cid:96)(cid:67)(cid:116)(cid:43)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:126)(cid:45)(cid:51)(cid:96)(cid:59)
(cid:116)(cid:43)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:78)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:42)(cid:67)(cid:116)(cid:43)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:76)
4. (cid:128)(cid:3)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:129)(cid:130)(cid:28)(cid:29)
(cid:28)(cid:29)(cid:88)(cid:89) (cid:119)(cid:131)(cid:59)(cid:60) (cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:135)
(cid:122)(cid:123) DE // BC(cid:78)(cid:119)(cid:100) (cid:42)(cid:43)(cid:72)(cid:25)(cid:26)(cid:44)(cid:31)(cid:42)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)
(cid:38)(cid:39)(cid:117)(cid:23)
(cid:91)(cid:136)(cid:43)(cid:73)(cid:137)(cid:138)(cid:43)(cid:26)(cid:44) (cid:27)(cid:76) ADE ABC
(cid:128)(cid:7)(cid:139)(cid:43)(cid:56)(cid:46)(cid:140)(cid:43)(cid:78) (cid:42)(cid:43)△(cid:72)(cid:25)(cid:26)∽(cid:44)△(cid:31)(cid:42)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)
B= AED (cid:27)(cid:76) ADE ACB
(cid:126)(cid:141)(cid:23)
∠(cid:7)(cid:139)∠(cid:43)(cid:31)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48) △ ∽△
(cid:42)(cid:45)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:78)(cid:92)(cid:52)(cid:43)(cid:26)(cid:44)(cid:31)(cid:42)(cid:67)
AB AC
(cid:49)(cid:50)(cid:78) = (cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:76) ACB AED
AD AE
△ ∽△
(cid:42)(cid:43)(cid:72)(cid:25)(cid:26)(cid:44)(cid:31)(cid:42)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)
(cid:142)(cid:143)(cid:23) 1= 2
(cid:27)(cid:76) ACD ABC
∠ ∠
△ ∽△(cid:128)(cid:96)(cid:146)(cid:43)(cid:46)(cid:47)(cid:26)(cid:44)(cid:78)
(cid:7)(cid:139)(cid:43)(cid:147)(cid:46)(cid:47)(cid:43)(cid:148)(cid:31)
(cid:42)(cid:45)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:78)(cid:92)(cid:52)(cid:43)(cid:26)(cid:44)(cid:31)(cid:42)(cid:67)
(cid:144)(cid:145)(cid:23)
(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:78) (cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:76) ABC A′B′C′
1= 2(cid:78) AB = AC ∠ △ ∽△
A′B′ A′C′
∠
【题型1 识别相似图形】
(cid:15)(cid:50)1(cid:21)(cid:147)24-25(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152)·(cid:86)(cid:153)(cid:154)(cid:155)·(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:148)(cid:152)(cid:160)(cid:54)(cid:161)(cid:162)(cid:78)(cid:101)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:31)(cid:101)(cid:147) (cid:148)
A(cid:76) B(cid:76) C(cid:76) D(cid:76)
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)A
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:166)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:31)(cid:101)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:31)(cid:41)(cid:71)(cid:78)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:31)(cid:29)(cid:90)(cid:169)(cid:170)(cid:85)(cid:80)(cid:26)(cid:91)(cid:171)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:31)(cid:19)(cid:93)(cid:95)(cid:96)(cid:41)(cid:26)(cid:91)(cid:76)(cid:172)(cid:173)
(cid:29)(cid:90)(cid:26)(cid:91)(cid:31)(cid:28)(cid:29)(cid:174)(cid:175)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:76)(cid:176)(cid:87)(cid:28)(cid:29)(cid:78)(cid:46)(cid:54)(cid:161)(cid:96)(cid:96)(cid:72)(cid:165)(cid:78)(cid:177)(cid:178)(cid:138)(cid:179)(cid:163)(cid:164)(cid:180)(cid:99)(cid:76)
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182)(cid:10)A(cid:73)(cid:42)(cid:67)(cid:28)(cid:29)(cid:29)(cid:90)(cid:26)(cid:91)(cid:78)(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:171)
B(cid:73)(cid:42)(cid:67)(cid:28)(cid:29)(cid:29)(cid:90)(cid:95)(cid:26)(cid:91)(cid:78)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:95)(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:171)
C(cid:73)(cid:42)(cid:67)(cid:28)(cid:29)(cid:29)(cid:90)(cid:95)(cid:26)(cid:91)(cid:78)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:95)(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:171)
D(cid:73)(cid:42)(cid:67)(cid:28)(cid:29)(cid:29)(cid:90)(cid:95)(cid:26)(cid:91)(cid:78)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:95)(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:185)
(cid:186)(cid:54)(cid:10)A(cid:76)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)1-1(cid:21)(cid:147)2025(cid:189)(cid:150)(cid:151)(cid:152)·(cid:80)(cid:190)·(cid:191)(cid:22)(cid:158)(cid:159)(cid:148)(cid:107)(cid:28)(cid:78)(cid:37)(cid:192)(cid:19)(cid:193)(cid:194)(cid:38)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:199)(cid:28)(cid:200)(cid:192)(cid:19)(cid:78)(cid:125)(cid:192)(cid:19)(cid:201)(cid:202)(cid:42)(cid:67)
(cid:28)(cid:29)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:115)(cid:28)(cid:29)(cid:31) (cid:76)(cid:147)(cid:206)(cid:38)(cid:207)(cid:73)(cid:208)(cid:46)(cid:174)(cid:73)(cid:26)(cid:27)(cid:73)(cid:144)(cid:145)(cid:162)(cid:54)(cid:148)
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)(cid:26)(cid:27)
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:166)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:47)(cid:37)(cid:78)(cid:172)(cid:173)(cid:22)(cid:184)(cid:99)(cid:123)(cid:78)(cid:194)(cid:28)(cid:200)(cid:192)(cid:19)(cid:78)(cid:28)(cid:29)(cid:19)(cid:93)(cid:209)(cid:210)(cid:211)(cid:187)(cid:212)(cid:78)(cid:176)(cid:87)(cid:38)(cid:207)(cid:73)(cid:208)(cid:46)(cid:174)(cid:77)
(cid:144)(cid:145)(cid:95)(cid:213)(cid:187)(cid:28)(cid:29)(cid:19)(cid:93)(cid:99)(cid:100)(cid:214)(cid:41)(cid:78)(cid:111)(cid:42)(cid:67)(cid:28)(cid:101)(cid:26)(cid:27)(cid:3)(cid:215)(cid:78)(cid:206)(cid:216)(cid:120)(cid:217)(cid:163)(cid:164)(cid:76)
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182)(cid:10)(cid:172)(cid:173)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:41)(cid:71)(cid:51)(cid:32)(cid:33)(cid:99)(cid:123)(cid:78)(cid:37)(cid:192)(cid:19)(cid:193)(cid:194)(cid:38)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:199)(cid:28)(cid:200)(cid:192)(cid:19)(cid:78)(cid:42)(cid:67)(cid:28)(cid:29)(cid:31)(cid:29)(cid:90)(cid:26)(cid:91)(cid:78)(cid:19)
(cid:93)(cid:95)(cid:91)(cid:78)(cid:218)(cid:219)(cid:111)(cid:42)(cid:67)(cid:28)(cid:29)(cid:31)(cid:3)(cid:215)(cid:101)(cid:26)(cid:27)(cid:78)
(cid:186)(cid:163)(cid:164)(cid:175)(cid:10)(cid:26)(cid:27)(cid:76)(cid:15)(cid:187)(cid:188)1-2(cid:21)(cid:147)24-25(cid:189)(cid:150)(cid:151)(cid:220)·(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:224)·(cid:225)(cid:226)(cid:148)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:39)(cid:134)(cid:188)(cid:230)(cid:231)(cid:230)(cid:232)(cid:233)(cid:78)(cid:100)(cid:152)(cid:234)(cid:146) (cid:162)(cid:78)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:96)
(cid:146)(cid:101)(cid:147) (cid:148) 𝐿𝑂𝐺𝑂
A(cid:76) B(cid:76)
C(cid:76) D(cid:76)
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)D
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:166)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:31)(cid:123)(cid:24)(cid:235)(cid:101)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:31)(cid:41)(cid:71)(cid:78)(cid:182)(cid:22)(cid:3)(cid:236)(cid:101)(cid:237)(cid:158)(cid:238)(cid:239)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:31)(cid:41)(cid:71)(cid:76)
(cid:176)(cid:87)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:31)(cid:41)(cid:71)(cid:46)(cid:54)(cid:161)(cid:240)(cid:39)(cid:241)(cid:96)(cid:40)(cid:242)(cid:180)(cid:99)(cid:76)
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182)(cid:10)A(cid:54)(cid:161)(cid:78)(cid:42)(cid:67)(cid:28)(cid:29)(cid:29)(cid:90)(cid:26)(cid:91)(cid:78)(cid:183)(cid:87)(cid:26)(cid:27)(cid:41)(cid:71)(cid:78)(cid:95)(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:78)A(cid:54)(cid:161)(cid:138)(cid:179)(cid:171)
B(cid:54)(cid:161)(cid:78)(cid:42)(cid:67)(cid:28)(cid:29)(cid:29)(cid:90)(cid:26)(cid:91)(cid:78)(cid:183)(cid:87)(cid:26)(cid:27)(cid:41)(cid:71)(cid:78)(cid:95)(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:78)B(cid:54)(cid:161)(cid:138)(cid:179)(cid:171)
C(cid:54)(cid:161)(cid:78)(cid:42)(cid:67)(cid:28)(cid:29)(cid:29)(cid:90)(cid:26)(cid:91)(cid:78)(cid:183)(cid:87)(cid:26)(cid:27)(cid:41)(cid:71)(cid:78)(cid:95)(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:78)C(cid:54)(cid:161)(cid:138)(cid:179)(cid:171)
D(cid:54)(cid:161)(cid:78)(cid:42)(cid:67)(cid:28)(cid:29)(cid:29)(cid:90)(cid:95)(cid:91)(cid:78)(cid:95)(cid:183)(cid:87)(cid:26)(cid:27)(cid:41)(cid:71)(cid:78)(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:78)D(cid:54)(cid:161)(cid:105)(cid:214)(cid:76)
(cid:186)(cid:54)(cid:10)D(cid:76)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)1-3(cid:21)(cid:147)24-25(cid:189)(cid:150)(cid:151)(cid:220)·(cid:221)(cid:155)(cid:243)(cid:244)·(cid:225)(cid:226)(cid:148)(cid:152)(cid:160)(cid:245)(cid:54)(cid:161)(cid:162)(cid:78)(cid:38)(cid:39)(cid:115)(cid:121)(cid:105)(cid:246)(cid:45)(cid:29)(cid:96)(cid:45)(cid:31)(cid:116)(cid:117)(cid:194)(cid:103)(cid:72)(cid:48)(cid:42)(cid:247)
(cid:72)(cid:78)(cid:103)(cid:162)(cid:248)(cid:249)(cid:247)(cid:72)(cid:246)(cid:45)(cid:29)(cid:81)(cid:121)(cid:246)(cid:45)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:101)(cid:147) (cid:148)
A(cid:76) B(cid:76) C(cid:76) D(cid:76)
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)A
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:166)(cid:22)(cid:250)(cid:251)(cid:167)(cid:168)(cid:211)(cid:26)(cid:27)(cid:246)(cid:45)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:78)(cid:172)(cid:173)(cid:26)(cid:27)(cid:246)(cid:45)(cid:29)(cid:31)(cid:41)(cid:71)(cid:241)(cid:161)(cid:240)(cid:39)(cid:40)(cid:242)(cid:180)(cid:99)(cid:76)
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182)(cid:10)A(cid:73)(cid:248)(cid:249)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:81)(cid:121)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:46)(cid:47)(cid:43)(cid:26)(cid:44)(cid:73)(cid:46)(cid:47)(cid:45)(cid:31)(cid:49)(cid:26)(cid:44)(cid:78)(cid:183)(cid:87)(cid:26)(cid:27)(cid:246)(cid:45)(cid:29)(cid:31)(cid:41)(cid:71)(cid:78)(cid:183)(cid:87)(cid:22)
(cid:184)(cid:171)
B(cid:73)(cid:248)(cid:249)(cid:252)(cid:29)(cid:81)(cid:121)(cid:252)(cid:29)(cid:31)(cid:46)(cid:47)(cid:43)(cid:26)(cid:44)(cid:78)(cid:94)(cid:46)(cid:47)(cid:45)(cid:31)(cid:49)(cid:95)(cid:26)(cid:44)(cid:78)(cid:95)(cid:183)(cid:87)(cid:26)(cid:27)(cid:246)(cid:45)(cid:29)(cid:31)(cid:41)(cid:71)(cid:78)(cid:95)(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:171)
C(cid:73)(cid:248)(cid:249)(cid:253)(cid:45)(cid:29)(cid:81)(cid:121)(cid:253)(cid:45)(cid:29)(cid:31)(cid:46)(cid:47)(cid:43)(cid:26)(cid:44)(cid:78)(cid:94)(cid:46)(cid:47)(cid:45)(cid:31)(cid:49)(cid:95)(cid:26)(cid:44)(cid:78)(cid:95)(cid:183)(cid:87)(cid:26)(cid:27)(cid:246)(cid:45)(cid:29)(cid:31)(cid:41)(cid:71)(cid:78)(cid:95)(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:171)
D(cid:73)(cid:248)(cid:249)(cid:254)(cid:45)(cid:29)(cid:81)(cid:121)(cid:254)(cid:45)(cid:29)(cid:31)(cid:46)(cid:47)(cid:43)(cid:26)(cid:44)(cid:78)(cid:94)(cid:46)(cid:47)(cid:45)(cid:31)(cid:49)(cid:95)(cid:26)(cid:44)(cid:78)(cid:95)(cid:183)(cid:87)(cid:26)(cid:27)(cid:246)(cid:45)(cid:29)(cid:31)(cid:41)(cid:71)(cid:78)(cid:95)(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:171)
(cid:186)(cid:54)(cid:10)A(cid:76)【题型2 由相似图形的性质求值】
(cid:15)(cid:50)2(cid:21)(cid:147)24-25(cid:189)(cid:150)(cid:151)(cid:220)·(cid:80)(cid:190)·(cid:255)(cid:225)(cid:66)(cid:256)(cid:148)(cid:70)(cid:11)(cid:257)(cid:31)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:162)(cid:78)(cid:91)(cid:11)(cid:228)(cid:61)(cid:37)(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:192)(cid:19)(cid:28)(cid:265)(cid:76)(cid:107)(cid:28)(cid:78)(cid:93)
(cid:266)(cid:194)(cid:96)(cid:267)(cid:268)(cid:175)5cm(cid:78)(cid:269)(cid:175)3cm(cid:31)(cid:252)(cid:29)(cid:28)(cid:265)(cid:192)(cid:19)(cid:78)(cid:103)(cid:162)(cid:192)(cid:19)(cid:202)(cid:31)(cid:252)(cid:29)(cid:31)(cid:269)(cid:175)9cm(cid:78)(cid:109)(cid:110)(cid:192)(cid:19)(cid:202)(cid:31)(cid:252)(cid:29)(cid:31)(cid:268)(cid:175)
(cid:147) (cid:148)
A(cid:76)15cm B(cid:76)18cm C(cid:76)20cm D(cid:76)25cm
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)A
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:166)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:26)(cid:27)(cid:246)(cid:45)(cid:29)(cid:78)(cid:237)(cid:158)(cid:238)(cid:239)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:44)(cid:269)(cid:31)(cid:49)(cid:73)(cid:268)(cid:31)(cid:49)(cid:101)(cid:182)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:236)(cid:76)
(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:246)(cid:45)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:182)(cid:76)
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182)(cid:10)(cid:270)(cid:192)(cid:19)(cid:202)(cid:31)(cid:268)(cid:175) cm(cid:76)
9 𝑥
(cid:30)(cid:22)(cid:184)(cid:10) = (cid:78)
3 5
𝑥
(cid:182)(cid:120)(cid:10) =15(cid:76)
(cid:119)(cid:100)(cid:192)𝑥(cid:19)(cid:202)(cid:31)(cid:252)(cid:29)(cid:31)(cid:268)(cid:175)15cm(cid:76)
(cid:186)(cid:54)(cid:10)A(cid:76)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)2-1(cid:21)(cid:147)24-25(cid:189)(cid:150)(cid:151)(cid:220)·(cid:271)(cid:17)(cid:272)(cid:273)·(cid:225)(cid:226)(cid:148)(cid:107)(cid:28)(cid:78)(cid:37)(cid:192)(cid:19)(cid:193)(cid:274)(cid:217)(cid:31)(cid:246)(cid:45)(cid:29)(cid:81)(cid:121)(cid:246)(cid:45)(cid:29)(cid:26)(cid:49)(cid:82)(cid:78)(cid:95)(cid:187)(cid:31)(cid:101)
(cid:147) (cid:148)
A(cid:76)(cid:275)(cid:59)(cid:45)(cid:31)(cid:268)(cid:276) B(cid:76)(cid:275)(cid:67)(cid:137)(cid:43)(cid:31)(cid:276)(cid:68) C(cid:76)(cid:277)(cid:278) D(cid:76)(cid:279)(cid:268)
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)B
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:166)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:31)(cid:123)(cid:24)(cid:235)(cid:101)(cid:26)(cid:27)(cid:246)(cid:45)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:182)(cid:22)(cid:3)(cid:236)(cid:101)(cid:237)(cid:158)(cid:238)(cid:239)(cid:26)(cid:27)(cid:246)(cid:45)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:172)(cid:173)(cid:26)(cid:27)(cid:246)(cid:45)
(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:180)(cid:99)(cid:120)(cid:182)(cid:76)
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182)(cid:10)(cid:30)(cid:22)(cid:184)(cid:120)(cid:10)(cid:37)(cid:192)(cid:19)(cid:193)(cid:274)(cid:217)(cid:31)(cid:246)(cid:45)(cid:29)(cid:81)(cid:121)(cid:246)(cid:45)(cid:29)(cid:26)(cid:49)(cid:82)(cid:101)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:3)(cid:215)(cid:78)
(cid:37)(cid:192)(cid:19)(cid:193)(cid:274)(cid:217)(cid:31)(cid:246)(cid:45)(cid:29)(cid:81)(cid:121)(cid:246)(cid:45)(cid:29)(cid:26)(cid:49)(cid:82)(cid:78)(cid:279)(cid:268)(cid:73)(cid:277)(cid:278)(cid:73)(cid:275)(cid:59)(cid:45)(cid:31)(cid:268)(cid:276)(cid:31)(cid:268)(cid:276)(cid:280)(cid:281)(cid:19)(cid:211)(cid:78)(cid:94)(cid:275)(cid:67)(cid:137)(cid:43)(cid:31)(cid:276)(cid:68)(cid:282)(cid:283)(cid:95)(cid:187)(cid:76)
(cid:186)(cid:54)(cid:10)B(cid:76)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)2-2(cid:21)(cid:147)24-25(cid:189)(cid:150)(cid:151)(cid:220)·(cid:284)(cid:285)(cid:222)(cid:286)·(cid:225)(cid:226)(cid:148)(cid:107)(cid:28)(cid:78)(cid:234)(cid:45)(cid:29) (cid:77)(cid:234)(cid:45)(cid:29) (cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:235) (cid:31)(cid:46)(cid:47)
(cid:235)(cid:72)(cid:25)(cid:175) (cid:78)(cid:125)(cid:152)(cid:160)(cid:176)(cid:287)(cid:105)(cid:214)(cid:31)(cid:101)(cid:147) (cid:148) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸𝐹𝐺𝐻 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷
𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐻
A(cid:76) =81° B(cid:76) =83° C(cid:76) =78° D(cid:76) =91°
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)∠𝐷A ∠𝐹 ∠𝐺 ∠𝐻
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:166)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:211)(cid:26)(cid:27)(cid:246)(cid:45)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:237)(cid:158)(cid:238)(cid:239)(cid:26)(cid:27)(cid:246)(cid:45)(cid:29)(cid:46)(cid:47)(cid:43)(cid:26)(cid:44)(cid:101)(cid:182)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:236)(cid:76)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:246)(cid:45)(cid:29)
(cid:31)(cid:46)(cid:47)(cid:43)(cid:26)(cid:44)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:288)(cid:176)(cid:87)(cid:234)(cid:45)(cid:29)(cid:31)(cid:137)(cid:43)(cid:77)(cid:175)360°(cid:78)(cid:34)(cid:229)(cid:275)(cid:96)(cid:67)(cid:137)(cid:43)(cid:31)(cid:43)(cid:276)(cid:78)(cid:180)(cid:99)(cid:120)(cid:229)(cid:176)(cid:287)(cid:76)
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182)(cid:10) (cid:234)(cid:45)(cid:29) (cid:77)(cid:234)(cid:45)(cid:29) (cid:26)(cid:27)(cid:78)
= =7∵8°(cid:78) 𝐴=𝐵𝐶𝐷=83°(cid:78)𝐸𝐹𝐺=𝐻 =118°(cid:78) = (cid:78)
(cid:289)∴∠𝐹 +∠𝐵 + +∠𝐺 =∠𝐶360°(cid:78) ∠𝐴 ∠𝐸 ∠𝐷 ∠𝐻
∵∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐶 ∠𝐷 =81°(cid:76)
(cid:186)∴(cid:54)∠𝐻(cid:10)A∠(cid:76)𝐷 360°−∠𝐴−∠𝐵−∠𝐶
(cid:15)(cid:187)(cid:188)2-3(cid:21)(cid:147)2025(cid:189)(cid:150)(cid:151)(cid:152)·(cid:80)(cid:190)·(cid:191)(cid:22)(cid:158)(cid:159)(cid:148)2024(cid:150)10(cid:290)1(cid:291)(cid:78)(cid:101)(cid:292)(cid:19)(cid:293)(cid:190)75(cid:279)(cid:150)(cid:16)(cid:294)(cid:78)(cid:80)(cid:190)(cid:245)(cid:295)(cid:296)(cid:297)
(cid:298)(cid:211)(cid:299)(cid:300)(cid:31)(cid:253)(cid:301)(cid:302)(cid:303)——(cid:190)(cid:303)(cid:76)(cid:190)(cid:303)(cid:135)(cid:65)(cid:41)(cid:10)(cid:119)(cid:128)(cid:190)(cid:303)(cid:280)(cid:175)(cid:26)(cid:27)(cid:252)(cid:29)(cid:78)(cid:70)(cid:152)(cid:160)(cid:234)(cid:277)(cid:190)(cid:303)(cid:162)(cid:78)(cid:103)(cid:162)(cid:304)(cid:128)(cid:96)(cid:277)
(cid:95)(cid:183)(cid:87)(cid:200)(cid:305)(cid:78)(cid:111)(cid:277)(cid:190)(cid:303)(cid:101) (cid:76)
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)(cid:147)2(cid:148)
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:166)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:211)(cid:26)(cid:27)(cid:246)(cid:45)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:237)(cid:123)(cid:27)(cid:246)(cid:45)(cid:29)(cid:46)(cid:47)(cid:45)(cid:31)(cid:49)(cid:26)(cid:44)(cid:101)(cid:182)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:236)(cid:76)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:246)(cid:45)(cid:29)(cid:46)
(cid:47)(cid:45)(cid:31)(cid:49)(cid:26)(cid:44)(cid:34)(cid:182)(cid:180)(cid:99)(cid:76)
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182) 160 = 2 (cid:78) 120 = 3 (cid:78) 96 = 2 (cid:78) 64 = 2 (cid:78)
240 3 160 4 144 3 96 3
∶∵160 = 96 = 64 120 (cid:78)
240 144 96 160
∴ ≠
(cid:125)(cid:147)2(cid:148)(cid:95)(cid:183)(cid:87)(cid:200)(cid:305)(cid:78)
(cid:186)(cid:163)(cid:164)(cid:175) (cid:147)2(cid:148)(cid:76)
【题型3 ∶ 利用平行判定相似】
(cid:15)(cid:50)3(cid:21)(cid:107)(cid:28)(cid:78)AB //CD //EF(cid:78)(cid:125)(cid:28)(cid:162)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:46)(cid:68)(cid:175)( )
A. 4(cid:46) B. 3(cid:46) C. 2(cid:46) D. 1(cid:46)
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)B
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:219)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:211)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:10)(cid:38)(cid:39)(cid:115)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:96)(cid:45)(cid:31)(cid:116)(cid:117)(cid:81)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:127)(cid:42)(cid:45)(cid:56)(cid:127)(cid:42)(cid:45)(cid:31)(cid:306)(cid:268)(cid:117)(cid:119)(cid:307)
(cid:48)(cid:31)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:76)(cid:182)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:236)(cid:101)(cid:4)(cid:184)(cid:24)(cid:28)(cid:78)(cid:4)(cid:184)(cid:75)(cid:217)(cid:95)(cid:86)(cid:95)(cid:308)(cid:76)
(cid:30)AB//CD//EF(cid:78)(cid:172)(cid:173)(cid:38)(cid:39)(cid:115)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:96)(cid:45)(cid:31)(cid:116)(cid:117)(cid:81)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:127)(cid:42)(cid:45)(cid:56)(cid:127)(cid:42)(cid:45)(cid:31)(cid:306)(cid:268)(cid:117)(cid:119)(cid:307)(cid:48)(cid:31)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:99)
(cid:120) ACD AEF(cid:78) ECD EAB(cid:78) ADB FDE.(cid:119)(cid:100)(cid:28)(cid:162)(cid:139)(cid:128)3(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:76)
(cid:15)△(cid:181)(cid:182)(cid:21)∽△ △ ∽△ △ ∽△
(cid:182)(cid:10) AB//CD//EF(cid:78)
A∵CD AEF(cid:78) ECD EAB(cid:78) ADB FDE(cid:76)
∴△(cid:28)(cid:162)(cid:139)∽(cid:128)△3(cid:46)(cid:26)(cid:27)△(cid:53)(cid:43)(cid:29)∽(cid:76)△ △ ∽△
(cid:186)∴ (cid:54)B(cid:76)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)3-1(cid:21)(cid:107)(cid:28)(cid:78)AB(cid:78)CD(cid:26)(cid:141)(cid:115)(cid:235)O(cid:78)AC//BD.(cid:34)(cid:132)(cid:10) OAC OBD(cid:76)
△ ∽△
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)(cid:132)(cid:133)(cid:10)AC//BD(cid:78)
OAC OBD(cid:76)
∴(cid:15)△(cid:182)(cid:165)(cid:21)∽(cid:166)△(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:76)(cid:172)(cid:173)(cid:38)(cid:39)(cid:115)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:96)(cid:45)(cid:31)(cid:116)(cid:117)(cid:81)(cid:103)(cid:104)(cid:42)(cid:45)(cid:26)(cid:141)(cid:78)(cid:119)(cid:307)(cid:48)(cid:31)(cid:53)(cid:43)(cid:29)
(cid:81)(cid:121)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:30)(cid:219)(cid:180)(cid:99)(cid:132)(cid:133)(cid:309)(cid:22)(cid:76)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)3-2(cid:21)(cid:107)(cid:28)(cid:78)(cid:70) ABC(cid:162)(cid:78)(cid:235)D(cid:73)M(cid:70)AB(cid:220)(cid:78)(cid:235)E(cid:73)N(cid:72)(cid:25)(cid:70)BC(cid:73)AC(cid:220)(cid:78)(cid:92)DE//AC(cid:78)MN//BC(cid:78)DE(cid:141)MN
△(cid:115)(cid:235)O.(cid:28)(cid:162)(cid:81) ABC(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:128)(cid:246)(cid:310)(cid:67)(cid:311)(cid:312)(cid:313)(cid:228)(cid:97)(cid:98)(cid:229)(cid:231)(cid:78)(cid:314)(cid:315)(cid:133)(cid:114)(cid:30)(cid:76)
△
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)(cid:182)(cid:10)(cid:28)(cid:162)(cid:81) ABC(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:128)3(cid:67)(cid:78) AMN ABC(cid:78) DBE ABC(cid:78) DM ABC(cid:78)
(cid:114)(cid:30)(cid:10) MN//BC(cid:78) △ △ ∽△ △ ∽△ △ ∽△
AM∵N ABC(cid:78) DBE DMO(cid:78)
∴△DE//AC∽(cid:78)△ △ ∽△
∵ DBE ABC(cid:78)
∴△DMO∽△ ABC(cid:76)
∴(cid:15)△(cid:182)(cid:165)(cid:21)∽(cid:166)△(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:211)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:47)(cid:37)(cid:78)(cid:4)(cid:184)(cid:10)(cid:38)(cid:39)(cid:115)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:96)(cid:45)(cid:31)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:103)(cid:313)(cid:42)(cid:45)(cid:78)(cid:119)(cid:118)(cid:120)(cid:31)
(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:81)(cid:121)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:76)
(cid:172)(cid:173)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:10)(cid:38)(cid:39)(cid:115)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:96)(cid:45)(cid:31)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:103)(cid:313)(cid:42)(cid:45)(cid:78)(cid:119)(cid:118)(cid:120)(cid:31)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:81)(cid:121)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:180)(cid:99)(cid:316)
(cid:229)(cid:163)(cid:164)(cid:76)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)3-3(cid:21)(cid:107)(cid:28)(cid:78)(cid:70)(cid:38)(cid:39)(cid:234)(cid:45)(cid:29)ABCD(cid:162)(cid:78)F(cid:101)AD(cid:306)(cid:268)(cid:117)(cid:220)(cid:96)(cid:235)(cid:78)(cid:317)(cid:176)BF(cid:141)DC(cid:115)(cid:235)E(cid:78)(cid:125)(cid:28)(cid:162)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)
(cid:29)(cid:139)(cid:128) (cid:46).
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)3
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)
(cid:219)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:211)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:100)(cid:51)(cid:38)(cid:39)(cid:234)(cid:45)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:4)(cid:184)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:318)(cid:166)(cid:28)(cid:29)(cid:99)(cid:72)(cid:25)(cid:79)(cid:175)“A”(cid:23)(cid:77)“X”(cid:23)(cid:76)
(cid:30)(cid:234)(cid:45)(cid:29)ABCD(cid:101)(cid:38)(cid:39)(cid:234)(cid:45)(cid:29)(cid:78)(cid:172)(cid:173)(cid:38)(cid:39)(cid:115)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:96)(cid:45)(cid:31)(cid:116)(cid:117)(cid:81)(cid:103)(cid:104)(cid:42)(cid:45)(cid:26)(cid:141)(cid:78)(cid:119)(cid:307)(cid:48)(cid:31)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:81)(cid:121)(cid:53)(cid:43)
(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:99)(cid:120) BCE FDE(cid:78) FDE FAB(cid:78)(cid:125)(cid:99)(cid:120) BCE FAB(cid:76)
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21) △ ∽△ △ ∽△ △ ∽△
(cid:182)(cid:10) (cid:234)(cid:45)(cid:29)ABCD(cid:101)(cid:38)(cid:39)(cid:234)(cid:45)(cid:29)(cid:78)
AD∵//BC(cid:78)AB//CD(cid:78)
∴BCE FDE(cid:78) FDE FAB(cid:78)
∴△BCE∽△FAB(cid:76)△ ∽△
∴(cid:186)△(cid:26)(cid:27)(cid:53)∽(cid:43)△(cid:29)(cid:139)(cid:128)3(cid:46)(cid:76)
【题型4 利用两角相等判定相似】
(cid:15)(cid:50)4(cid:21)(cid:147)24-25(cid:189)(cid:150)(cid:151)(cid:220)·(cid:319)(cid:154)(cid:320)(cid:224)·(cid:225)(cid:226)(cid:148)(cid:107)(cid:28)(cid:78)D(cid:101) ABC(cid:45)BC(cid:220)(cid:31)(cid:96)(cid:235)(cid:78) BAD= C(cid:78) ABC(cid:31)(cid:38)(cid:72)(cid:117)
(cid:141)(cid:45)AC(cid:115)(cid:235)E(cid:78)(cid:141)AD(cid:115)(cid:235)F(cid:78)(cid:125)(cid:70)(cid:152)(cid:160)(cid:321)(cid:229)(cid:31)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:162)△(cid:78)(cid:81) BDF(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:101)(cid:147)∠ (cid:148) ∠ ∠
△
A(cid:76) BFA B(cid:76) BAE C(cid:76) BEC D(cid:76) AEF
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)△B △ △ △
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:166)(cid:22)(cid:250)(cid:251)(cid:167)(cid:168)(cid:211)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:43)(cid:38)(cid:72)(cid:117)(cid:31)(cid:41)(cid:71)(cid:78)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:322)(cid:43)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:44)(cid:123)(cid:24)(cid:235)(cid:78)(cid:237)(cid:158)
(cid:238)(cid:239)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:101)(cid:182)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:236)(cid:76)
(cid:30)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:43)(cid:38)(cid:72)(cid:117)(cid:31)(cid:41)(cid:71)(cid:99)(cid:120) CBE= ABE(cid:78)(cid:180) DBF= ABE(cid:78)(cid:30)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:322)(cid:43)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:99)(cid:316)(cid:229) BFD= BEA(cid:78)(cid:115)
(cid:101)(cid:99)(cid:132)(cid:120) BDF BAE(cid:78)(cid:92)(cid:323)∠(cid:173)(cid:122)(cid:123)∠(cid:59)(cid:60)(cid:78)(cid:324)(cid:135)∠(cid:132)(cid:133) ∠BFA(cid:73) BEC(cid:73) AEF(cid:81) BDF(cid:26)(cid:27)(cid:78)∠(cid:325)(cid:220)(cid:78)∠(cid:180)(cid:99)(cid:120)
(cid:229)(cid:163)(cid:164)(cid:76)△ ∽△ △ △ △ △
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182)(cid:10) BE(cid:101) ABC(cid:31)(cid:38)(cid:72)(cid:117)(cid:78)
CBE= ABE∵(cid:78) ∠
(cid:180)∴∠(cid:10) DB∠F= ABE(cid:78)
(cid:289) ∠BAD= ∠C(cid:78)
∵B∠FD= B∠AD+ ABE= C+ CBE= BEA(cid:78)
∴∠BDF ∠ BAE(cid:78)∠ ∠ ∠ ∠
∴(cid:92)△(cid:323)(cid:173)(cid:122)∽(cid:123)△(cid:59)(cid:60)(cid:78)(cid:324)(cid:135)(cid:132)(cid:133) BFA(cid:73) BEC(cid:73) AEF(cid:81) BDF(cid:26)(cid:27)(cid:78)
(cid:186)(cid:54)(cid:10)B(cid:76) △ △ △ △
(cid:15)(cid:187)(cid:188)4-1(cid:21)(cid:147)24-25(cid:189)(cid:150)(cid:151)(cid:220)·(cid:221)(cid:155)(cid:326)(cid:327)·(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:148)(cid:107)(cid:28)(cid:78)(cid:30)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:328)(cid:329)(cid:99)(cid:123)(cid:78)(cid:152)(cid:160)(cid:42)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:96)(cid:41)(cid:26)(cid:27)
(cid:31)(cid:101)(cid:147) (cid:148)A(cid:76) BCD ACD B(cid:76) BCD ABC
C(cid:76)△ACD∽△ABC D(cid:76)△(cid:100)(cid:220)(cid:296)∽(cid:95)△(cid:46)
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)△C ∽△
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:330)(cid:22)(cid:250)(cid:251)(cid:167)(cid:168)(cid:211)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:26)(cid:44)(cid:43)(cid:73)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:78)(cid:182)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:236)(cid:101)(cid:238)(cid:239)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:76)
(cid:172)(cid:173)(cid:66)(cid:28)(cid:99)(cid:123) ACD= ABC(cid:78)(cid:180)(cid:99)(cid:132)(cid:133) ACD ABC(cid:76)
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182)(cid:10)∠(cid:172)(cid:173)(cid:66)(cid:28)∠(cid:99)(cid:123) ACD= AB△C(cid:78) ∽△
(cid:289) CAD= BAC(cid:78) ∠ ∠
∠ACD ∠ABC(cid:78)
∴(cid:186)△(cid:54)(cid:10)C∽(cid:76)△
(cid:15)(cid:187)(cid:188)4-2(cid:21)(cid:147)24-25(cid:189)(cid:150)(cid:151)(cid:220)·(cid:331)(cid:332)(cid:333)(cid:334)·(cid:225)(cid:162)(cid:148)(cid:107)(cid:28)(cid:78)AB BC(cid:78)BD CD(cid:78) ACD=90°(cid:78)(cid:34)(cid:132)(cid:10) ABC CDB(cid:76)
⊥ ⊥ ∠ △ ∽△
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)(cid:130)(cid:182)(cid:165)
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:166)(cid:22)(cid:250)(cid:251)(cid:167)(cid:168)(cid:211)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:78)(cid:172)(cid:173)(cid:335)(cid:43)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:120)(cid:229) A= BCD(cid:76)(cid:172)(cid:173) ABC= CDB=90°(cid:78)(cid:180)
(cid:99)(cid:132)(cid:133)(cid:176)(cid:287)(cid:76) ∠ ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:132)(cid:133)(cid:10) ACD=90°(cid:78)AB BC(cid:78)
A+ ACB=90°(cid:78)∵∠ BCD+ ACB=9⊥0°(cid:78)
∴∠A=∠BCD(cid:76) ∠ ∠
∴A∠B ∠BC(cid:78)BD CD(cid:78)
∵ A⊥BC= CDB⊥=90°(cid:76)
∴∠ABC ∠ CDB(cid:76)
∴(cid:15)△(cid:187)(cid:188)4∽-△3(cid:21)(cid:147)24-25(cid:189)(cid:150)(cid:151)(cid:152)·(cid:220)(cid:336)·(cid:255)(cid:225)(cid:66)(cid:256)(cid:148)(cid:107)(cid:28)(cid:78)(cid:70) ABC(cid:162)(cid:78) ACB=90°(cid:78)AC=BC(cid:78)P(cid:101) ABC(cid:137)(cid:96)(cid:235)(cid:78)
(cid:92) APB= APC=135°(cid:76)(cid:34)(cid:132)(cid:10) CPA APB(cid:76) △ ∠ △
∠ ∠ △ ∽△(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)(cid:130)(cid:182)(cid:165)
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:166)(cid:22)(cid:250)(cid:251)(cid:167)(cid:168)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:78)(cid:237)(cid:158)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:137)(cid:43)(cid:77)(cid:41)(cid:114)(cid:78)(cid:44)(cid:337)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:81)(cid:32)(cid:33)(cid:44)(cid:123)(cid:24)(cid:235)(cid:76)(cid:176)
(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:78)(cid:99)(cid:120) CAB=45°(cid:78)(cid:206)(cid:216)(cid:99)(cid:120)(cid:229) CAP+ PAB=45°(cid:78)(cid:289) APC=135°(cid:78)(cid:120)(cid:229) ACP= PAB(cid:78)(cid:180)(cid:99)(cid:132)(cid:133) CPA
APB(cid:76) ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ △
∽(cid:15)△(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:132)(cid:133)(cid:10) ACB=90°(cid:78)AC=BC(cid:78)
CAB=45°(cid:76) ∵ ∠
∴(cid:180)∠ CAP+ PAB=45°(cid:76)
∠APC=∠135°(cid:78)
∵∠CAP+ ACP=45°(cid:76)
∴∠ACP=∠PAB(cid:76)
∴∠ APB=∠ APC=135°(cid:78)
∵ ∠CPA ∠ APB(cid:76)
∴ △ ∽△
【题型5 利用两边对应成比例及夹角相等判定相似】
(cid:15)(cid:50)5(cid:21)(cid:147)24-25(cid:189)(cid:150)(cid:151)(cid:220)·(cid:331)(cid:332)(cid:333)(cid:334)·(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:148)(cid:107)(cid:28)(cid:78)(cid:70)(cid:105)(cid:134)(cid:29)ABCD(cid:162)(cid:78)(cid:235)F(cid:101)BC(cid:45)(cid:220)(cid:96)(cid:235)(cid:78)(cid:317)(cid:338)AF(cid:78)(cid:100)
AF(cid:175)(cid:46)(cid:43)(cid:117)(cid:66)(cid:105)(cid:134)(cid:29)AEFG(cid:78)(cid:317)(cid:338)AC(cid:73)DG(cid:78)(cid:34)(cid:132)(cid:10) AFC AGD(cid:76)
△ ∽△
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)(cid:130)(cid:182)(cid:165)
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:166)(cid:22)(cid:250)(cid:251)(cid:167)(cid:168)(cid:211)(cid:105)(cid:134)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:78)(cid:44)(cid:337)(cid:116)(cid:43)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)
(cid:339)(cid:172)(cid:173)(cid:105)(cid:134)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:120) ADC(cid:77) AGF(cid:296)(cid:101)(cid:44)(cid:337)(cid:116)(cid:43)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:78)(cid:288)(cid:172)(cid:173)(cid:44)(cid:337)(cid:116)(cid:43)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:120) DAC= GAF
AD AG 2 △ △ ∠ ∠
=45°(cid:78) = = (cid:78)(cid:340)(cid:202)(cid:172)(cid:173)(cid:42)(cid:45)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:92)(cid:52)(cid:43)(cid:26)(cid:44)(cid:31)(cid:42)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27).
AC AF 2
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:132)(cid:133)(cid:10) AC(cid:78)AF(cid:72)(cid:25)(cid:101)(cid:105)(cid:134)(cid:29)ABCD(cid:77)(cid:105)(cid:134)(cid:29)AEFC(cid:31)(cid:46)(cid:43)(cid:117)(cid:78)
∵ADC(cid:77) AGF(cid:296)(cid:101)(cid:44)(cid:337)(cid:116)(cid:43)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:78)
∴△ DAC= △ GAF=45°(cid:78) AD = AG = 2 (cid:78)
AC AF 2
∴∠DAG+ ∠CAG= CAF+ CAG(cid:78)
∴∠DAG=∠CAF(cid:78)∠ ∠
∴∠AFC ∠ AGD(cid:76)
∴(cid:15)△(cid:187)(cid:188)5∽-△1(cid:21)(cid:147)24-25(cid:189)(cid:150)(cid:151)(cid:220)·(cid:154)(cid:341)(cid:342)(cid:224)·(cid:225)(cid:162)(cid:148)(cid:107)(cid:28)(cid:78)(cid:235)E,F(cid:72)(cid:25)(cid:70)(cid:105)(cid:134)(cid:29)ABCD(cid:31)(cid:45)AD(cid:78)CD(cid:220)(cid:78)(cid:317)(cid:338)BE(cid:77)
EF(cid:78)AB=9(cid:78)AE=3(cid:78)DF=2(cid:76)(cid:34)(cid:132)(cid:10) ABE DEF(cid:76)
△ ∽△
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)(cid:130)(cid:182)(cid:165)
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相关性质和判定是解题的关键．根据已知条件
AB AE
求出DE，再证明 = ，又由正方形的性质，得 A= D，根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相
DE DF
∠ ∠
似”即可证明出结论．
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)证明： 四边形ABCD是正方形，AB=9，
AD=AB=9， A∵= D，
∴AE=3， ∠ ∠
∵DE=AD
−
AE=9−3=6，
∴ AB = 9 = 3 ，
DE 6 2
∴
DF=2，
∵ AE 3
= ，
DF 2
∴
AB AE
= ，
DE DF
∴
ABE DEF．
∴(cid:15)△(cid:187)(cid:188)∽5-△2(cid:21)(cid:147)24-25(cid:189)(cid:150)(cid:151)(cid:220)·(cid:343)(cid:222)(cid:344)(cid:345)·(cid:225)(cid:226)(cid:148)(cid:122)(cid:123)(cid:10)(cid:107)(cid:28)(cid:78)(cid:235)C(cid:78)D(cid:70)(cid:117)(cid:157)AB(cid:220)(cid:78) PCD(cid:101)(cid:44)(cid:45)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:78)
(cid:92)AC=1(cid:78)CD=2(cid:78)DB=4(cid:76)(cid:34)(cid:132)(cid:10) ACP PDB(cid:76) △
△ ∽△(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)(cid:130)(cid:182)(cid:165)
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:219)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:77)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:44)(cid:45)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:172)(cid:173)(cid:44)(cid:45)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:120)(cid:217) PCD= PDC
=60°(cid:78)PC=CD=PD=2(cid:78)(cid:172)(cid:173)(cid:42)(cid:45)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:52)(cid:43)(cid:26)(cid:44)(cid:132)(cid:120) ACP PDB(cid:76) ∠ ∠
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:132)(cid:133)(cid:10) PCD(cid:101)(cid:44)(cid:45)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:78) △ ∽△
PCD= PDC=∵60△°(cid:78)PC=CD=PD=2(cid:76)
∴∠PCA=∠PDB=120°(cid:76)
∴(cid:289)∠ AC=1∠(cid:78)BD=4(cid:78)
A∵C PC 1
= = (cid:78)
PD BD 2
∴
ACP PDB(cid:76)
∴(cid:15)△(cid:187)(cid:188)5∽-△3(cid:21)(cid:147)24-25(cid:189)(cid:150)(cid:151)(cid:220)·(cid:346)(cid:347)(cid:348)(cid:349)·(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:148)(cid:234)(cid:45)(cid:29)ABCD(cid:175)(cid:38)(cid:39)(cid:234)(cid:45)(cid:29)(cid:78)(cid:235)E(cid:77)(cid:235)F(cid:72)(cid:25)(cid:175)(cid:45)AD(cid:78)AB
(cid:31)(cid:162)(cid:235)(cid:78)(cid:317)(cid:338)EF(cid:73)CF(cid:78)EF(cid:141)(cid:46)(cid:43)(cid:117)AC(cid:115)(cid:235)G(cid:76)
(1)(cid:124)AC=8(cid:78)(cid:34)AG(cid:31)(cid:268)(cid:171)
(2)(cid:107)(cid:108)AB=AC(cid:78)(cid:34)(cid:132)(cid:10) AFG ACF(cid:76)
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)(1)2 △ ∽△
(2)(cid:132)(cid:133)(cid:130)(cid:182)(cid:165)
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:147)1(cid:148)(cid:172)(cid:173)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:162)(cid:136)(cid:117)(cid:41)(cid:114)(cid:120)EF BD(cid:78)(cid:30)(cid:38)(cid:39)(cid:117)(cid:72)(cid:117)(cid:157)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:114)(cid:120) AG = AF =1(cid:78)(cid:350)(cid:216)(cid:120)(cid:217)AG=
GO FB
∥
GO(cid:78)(cid:172)(cid:173)(cid:38)(cid:39)(cid:234)(cid:45)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:120)AO=OC(cid:78)(cid:316)(cid:229)AG= 1AC(cid:78)(cid:99)(cid:120)(cid:176)(cid:287)(cid:171)
4
(cid:147)2(cid:148)(cid:172)(cid:173)(cid:162)(cid:235)(cid:31)(cid:41)(cid:71)(cid:51)(cid:122)(cid:123)(cid:120) AF = 1 (cid:78)(cid:30)(cid:147)1(cid:148)(cid:123)AG= 1AC(cid:78)(cid:316)(cid:229) AG = 1 (cid:78)(cid:180)(cid:99)(cid:120)(cid:132)(cid:76)
AC 2 4 AF 2
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:147)1(cid:148)(cid:182)(cid:10)(cid:107)(cid:28)(cid:78)(cid:317)(cid:338)BD(cid:141)AC(cid:115)(cid:235)O(cid:78)(cid:235)E(cid:77)(cid:235)F(cid:72)(cid:25)(cid:175)(cid:45)AD(cid:78)AB(cid:31)(cid:162)(cid:235)(cid:78)
∵EF(cid:101) ABD(cid:31)(cid:162)(cid:136)(cid:117)(cid:78)AF=FB
∴EF B△D(cid:78)
∴AG
=
∥AF
=1(cid:78)
GO FB
∴AG=GO(cid:78)
∴(cid:234)(cid:45)(cid:29)ABCD(cid:175)(cid:38)(cid:39)(cid:234)(cid:45)(cid:29)(cid:78)AC=8(cid:78)
∵AO=OC(cid:78)
∴AG= 1AO= 1 × 1AC= 1 ×8=2(cid:78)
2 2 2 4
∴AG(cid:31)(cid:268)(cid:175)2(cid:171)
∴(cid:147)2(cid:148)(cid:132)(cid:133)(cid:10) F(cid:175)(cid:45)AB(cid:31)(cid:162)(cid:235)(cid:78)
AF= 1AB(cid:78) ∵
2
∴AB=AC(cid:78)
∵AF 1
= (cid:78)
AC 2
∴
AG= 1AC
4
∵ AG 1AC AC 1
=4 = = (cid:78)
AF 1AB 2AC 2
2
∴ AF AG
= (cid:78)
AC AF
∴ FAG= CAF(cid:78)
∵∠AFG ∠ ACF(cid:76)
(cid:15)∴△(cid:235)(cid:351)(cid:21)∽(cid:166)△(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:162)(cid:136)(cid:117)(cid:41)(cid:114)(cid:78)(cid:38)(cid:39)(cid:234)(cid:45)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:38)(cid:39)(cid:117)(cid:72)(cid:117)(cid:157)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:114)(cid:78)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)
(cid:44)(cid:123)(cid:24)(cid:235)(cid:76)(cid:238)(cid:239)(cid:38)(cid:39)(cid:117)(cid:72)(cid:117)(cid:157)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:114)(cid:77)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:101)(cid:182)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:236)(cid:76)
【题型6 利用三边对应成比例判定相似】
(cid:15)(cid:50)6(cid:21)24-25(cid:189)(cid:150)(cid:151)(cid:220)·(cid:352)(cid:353)(cid:354)(cid:222)·(cid:225)(cid:226)(cid:148)(cid:122)(cid:123)(cid:10)(cid:107)(cid:28)(cid:78) ABE=90°(cid:78)(cid:92)AB=BC=CD=DE=1(cid:78)(cid:355)(cid:356)(cid:357)(cid:358)(cid:359)(cid:28)(cid:29)
∠(cid:81)(cid:119)(cid:321)(cid:59)(cid:60)(cid:78)(cid:340)(cid:202)(cid:360)(cid:229)(cid:96)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:78)(cid:314)(cid:132)(cid:133)(cid:361)(cid:31)(cid:362)(cid:363)(cid:76)
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21) ACD ECA(cid:171)(cid:130)(cid:182)(cid:165)
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)△(cid:166)(cid:22)(cid:250)∽(cid:251)△(cid:167)(cid:168)(cid:211)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:78)(cid:364)(cid:365)(cid:41)(cid:114)(cid:78)(cid:339)(cid:172)(cid:173)(cid:364)(cid:365)(cid:41)(cid:114)(cid:34)(cid:229)AC= 2,AD= 5,AE= 10(cid:78)(cid:120)
(cid:229) AC = DC = AD (cid:78)(cid:172)(cid:173)(cid:53)(cid:59)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:42)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:120)(cid:229) ACD ECA(cid:76)
EC AC EA
△ ∽△
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:132)(cid:133)(cid:10) ACD ECA(cid:76)
(cid:30)(cid:364)(cid:365)(cid:41)(cid:114)AC=△2,AD=∽△5,AE= 10(cid:78)
AC = 2, DC = 1 = 2, AD = 5= 2 (cid:78)
EC 2 AC 2 2 EA 10 2
AC DC AD
= = (cid:78)
EC AC EA
∴ ACD ECA(cid:76)
∴(cid:15)△(cid:187)(cid:188)6∽-1△(cid:21)(cid:147)24-25(cid:189)(cid:150)(cid:151)(cid:220)·(cid:343)(cid:222)(cid:366)(cid:367)·(cid:225)(cid:162)(cid:148)(cid:122)(cid:123) ABC(cid:77) DEF(cid:31)(cid:53)(cid:45)(cid:268)(cid:78)(cid:152)(cid:160)(cid:59)(cid:60)(cid:83)(cid:40)(cid:242)(cid:313)(cid:228)(cid:26)(cid:27)(cid:31)
(cid:101)(cid:147) (cid:148) △ △
A(cid:76)AB=4(cid:78)BC=8(cid:78)AC=10(cid:171) DE=20(cid:78)EF=16(cid:78)DF=8
B(cid:76)AB=3(cid:78)BC=4(cid:78)AC=6(cid:171) DE=6(cid:78)EF=8(cid:78)DF=9
C(cid:76)AB=12(cid:78)BC=15(cid:78)AC=24(cid:171) DE=16(cid:78)EF=30(cid:78)DF=20
D(cid:76)AB=3k(cid:78)BC=4k(cid:78)AC=5k(cid:171) DE=6k(cid:78)EF=7k(cid:78)DF=8k(k>0)
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)A
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:166)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:211)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:78)(cid:172)(cid:173)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:41)(cid:114)(cid:241)(cid:96)(cid:40)(cid:242)(cid:180)(cid:99)(cid:76)
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182)(cid:10)A(cid:73) AB = 1 = BC = 1 = AC = 1 (cid:78)
DF 2 EF 2 DE 2
∵
(cid:42)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:53)(cid:45)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:78)(cid:186)(cid:42)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:171)
B ∴ (cid:73) AB = 1 = BC = 1 ≠ AC = 2 (cid:78)
DE 2 EF 2 DF 3
∵
(cid:42)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:53)(cid:45)(cid:95)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:78)(cid:186)(cid:42)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:171)
C ∴ (cid:73) AB = 3 = BC = 3 ≠ AC = 4 (cid:78)
DE 4 DF 4 EF 5
∵
(cid:42)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:53)(cid:45)(cid:95)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:78)(cid:186)(cid:42)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:171)
∴D(cid:73) AB = 1 ≠ BC = 4 ≠ AC = 5 (cid:78)
DE 2 EF 7 DF 8
∵
(cid:42)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:53)(cid:45)(cid:95)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:78)(cid:186)(cid:42)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:171)
(cid:186)∴ (cid:54)(cid:10)A(cid:76)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)6-2(cid:21)(cid:147)24-25(cid:189)(cid:150)(cid:151)(cid:152)·(cid:271)(cid:17)(cid:368)(cid:369)·(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:148)(cid:107)(cid:28)(cid:70)4×1(cid:31)(cid:134)(cid:370)(cid:162)(cid:78)(cid:275)(cid:96)(cid:67)(cid:93)(cid:105)(cid:134)(cid:29)(cid:31)(cid:140)(cid:235)(cid:74)(cid:75)(cid:370)(cid:235)(cid:78)
(cid:100)(cid:103)(cid:162)(cid:53)(cid:67)(cid:370)(cid:235)(cid:175)(cid:140)(cid:235)(cid:31)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:174)(cid:175)(cid:370)(cid:235)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:78) ABC(cid:371)(cid:101)(cid:96)(cid:67)(cid:370)(cid:235)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:78)(cid:372)(cid:206)(cid:370)(cid:235)D(cid:73)E(cid:73)F(cid:73)G(cid:162)(cid:54)
(cid:373)(cid:96)(cid:67)(cid:370)(cid:235)(cid:81)(cid:235)B(cid:73)C(cid:317)(cid:338)(cid:48)(cid:370)(cid:235)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:78)(cid:83)(cid:61)(cid:330)(cid:370)△(cid:235) ABC(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:81)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:370)(cid:235)(cid:101)(cid:147) (cid:148)
△
A(cid:76)(cid:235)D B(cid:76)(cid:235)E C(cid:76)(cid:235)F D(cid:76)(cid:235)G
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)C
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:166)(cid:22)(cid:250)(cid:251)(cid:167)(cid:168)(cid:211)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:78)(cid:364)(cid:365)(cid:41)(cid:114)(cid:78)(cid:172)(cid:173)(cid:53)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:240)(cid:39)(cid:34)(cid:182)(cid:180)(cid:99)(cid:76)
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182)(cid:10)(cid:317)(cid:338)BF(cid:78)(cid:107)(cid:28)(cid:78)
(cid:374)(cid:370)(cid:31)(cid:88)(cid:235)(cid:99)(cid:123)AB=2(cid:78)BC= 12+12= 2(cid:78)AC= 12+32= 10(cid:78)
CF=1,BF= 5
BC AB AC
= = = 2
CF BC BF
∴ ABC BCF
∴(cid:186)△(cid:54)(cid:10)C∽(cid:76)△
(cid:15)(cid:187)(cid:188)6-3(cid:21)(cid:107)(cid:28)(cid:78)(cid:149)(cid:67)(cid:85)(cid:80)(cid:26)(cid:91)(cid:31)(cid:93)(cid:268)(cid:134)(cid:29)(cid:375)(cid:48)(cid:96)(cid:67)(cid:105)(cid:134)(cid:29)(cid:374)(cid:370)(cid:78)(cid:93)(cid:376)(cid:73)(cid:93)(cid:377)(cid:73)(cid:93)(cid:378)(cid:73)(cid:93)(cid:379)(cid:234)(cid:136)(cid:91)(cid:11)(cid:37)(cid:324)
(cid:380)(cid:276)(cid:31)(cid:116)(cid:64)(cid:70)(cid:374)(cid:370)(cid:162)(cid:245)(cid:381)(cid:211)(cid:96)(cid:67)(cid:382)(cid:43)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:78)(cid:103)(cid:162)(cid:383)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:101)(cid:147)(cid:384)(cid:384)(cid:148)A(cid:76) (cid:77) B(cid:76) (cid:77) C(cid:76) (cid:77) D(cid:76) (cid:77)
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)①D ② ② ③ ① ③ ① ④
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:166)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:374)(cid:370)(cid:162)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:78)(cid:385)(cid:386)(cid:28)(cid:29)(cid:99)(cid:123)(cid:93)(cid:268)(cid:134)(cid:29)(cid:31)(cid:268)(cid:101)(cid:269)(cid:31)2(cid:387)(cid:78)(cid:270)(cid:93)(cid:268)(cid:134)(cid:29)(cid:31)(cid:269)(cid:175)a(cid:78)(cid:125)
(cid:93)(cid:268)(cid:134)(cid:29)(cid:31)(cid:268)(cid:175)2a(cid:78)(cid:105)(cid:134)(cid:29)(cid:31)(cid:45)(cid:268)(cid:175)4a(cid:78)(cid:72)(cid:25)(cid:34)(cid:229)(cid:275)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:45)(cid:268)(cid:78)(cid:172)(cid:173)(cid:53)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:42)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)
(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:240)(cid:39)(cid:40)(cid:242)(cid:180)(cid:99)(cid:76)
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182)(cid:10)(cid:385)(cid:386)(cid:28)(cid:29)(cid:99)(cid:123)(cid:10)(cid:93)(cid:268)(cid:134)(cid:29)(cid:31)(cid:268)(cid:101)(cid:269)(cid:31)2(cid:387)(cid:78)(cid:270)(cid:93)(cid:268)(cid:134)(cid:29)(cid:31)(cid:269)(cid:175)a(cid:78)(cid:125)(cid:93)(cid:268)(cid:134)(cid:29)(cid:31)(cid:268)(cid:175)2a(cid:78)(cid:105)(cid:134)
(cid:29)(cid:31)(cid:45)(cid:268)(cid:175)4a(cid:78)
(cid:28) (cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:53)(cid:59)(cid:45)(cid:268)(cid:72)(cid:25)(cid:175)(cid:10)2a, (2a)2+(2a)2=2 2a, (2a)2+(4a)2=2 5a(cid:78)
①
(cid:28) (cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:53)(cid:59)(cid:45)(cid:268)(cid:72)(cid:25)(cid:175)(cid:10)2a, (2a)2+(3a)2= 13a, (3a)2+(4a)2=5a(cid:78)
②
(cid:28) (cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:53)(cid:59)(cid:45)(cid:268)(cid:72)(cid:25)(cid:175)(cid:10)2a, (2a)2+(4a)2=2 5a, (4a)2+(4a)2=4 2a(cid:78)
③
(cid:28) (cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:53)(cid:59)(cid:45)(cid:268)(cid:72)(cid:25)(cid:175)(cid:10) (2a)2+(a)2= 5a, (a)2+(3a)2= 10a, (3a)2+(4a)2=5a(cid:78)
2 ④a =2 2a =2 5a = 2 (cid:78)
5a 10 5a 5
∵
(cid:28) (cid:77)(cid:28) (cid:31)(cid:42)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:171)
(cid:186)∴ (cid:54)①D(cid:76) ④
【题型7 选择或补充条件使两三角形相似】
(cid:15)(cid:50)7(cid:21)(cid:107)(cid:28)(cid:78)(cid:70) ABC(cid:162)(cid:78)(cid:235)D(cid:175)(cid:45)AC(cid:220)(cid:31)(cid:96)(cid:235)(cid:78)(cid:54)(cid:55)(cid:152)(cid:160)(cid:59)(cid:60)(cid:10) 2= A(cid:171) 1= CBA(cid:171) BC = CD (cid:171)
AC BC
BC = DB (cid:162)(cid:31)(cid:96)(cid:67) △ (cid:78)(cid:83)(cid:120)(cid:229) ABC(cid:77) BCD(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:101)(cid:10) (cid:147)(cid:388)(cid:389) ① (cid:9)(cid:148) ∠ (cid:76) ∠ ②∠ ∠ ③
AC AB
④ △ △
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)①(cid:172)(cid:173)②(cid:26)③(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:41)(cid:114)(cid:99)(cid:120)(cid:176)(cid:287)(cid:76)
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182)(cid:10) 2= A(cid:78) C= C(cid:390)(cid:78) ABC BDC(cid:78)(cid:186) (cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:171)
1= CBA(cid:78)①C∠= ∠C(cid:390)(cid:78)∠ A∠BC B△DC(cid:78)(cid:186)∽△ (cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)①(cid:171)
②B∠C = C∠D (cid:78) C= ∠ C(cid:390) ∠ (cid:78) A △ BC ∽ B △ DC(cid:78)(cid:186) ② (cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:171)
AC BC
③ ∠ ∠ △ ∽△ ③BC = DB (cid:78) C= C(cid:390)(cid:78)(cid:95)(cid:83)(cid:316)(cid:229) ABC BDC(cid:78)(cid:186) (cid:95)(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:78)
AC AB
④ ∠ ∠ △ ∽△ ④
(cid:186)(cid:163)(cid:164)(cid:175)(cid:10) (cid:76)
(cid:15)(cid:235)(cid:351)(cid:21)(cid:166)①(cid:22)(cid:167)②(cid:168)③(cid:211)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:78)(cid:182)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:236)(cid:101)(cid:238)(cid:239)(cid:42)(cid:146)(cid:46)(cid:47)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:92)(cid:52)(cid:43)(cid:26)(cid:44)(cid:31)(cid:42)(cid:67)(cid:53)(cid:43)
(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:171)(cid:128)(cid:42)(cid:43)(cid:46)(cid:47)(cid:26)(cid:44)(cid:31)(cid:42)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:76)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)7-1(cid:21)(cid:147)24-25(cid:189)(cid:150)(cid:151)(cid:220)·(cid:391)(cid:392)(cid:393)(cid:394)·(cid:225)(cid:226)(cid:148)(cid:107)(cid:28)(cid:78)(cid:70)(cid:234)(cid:45)(cid:29)ABCD(cid:162)(cid:78)(cid:46)(cid:43)(cid:117)AC(cid:38)(cid:72) BAD(cid:78)AB=9(cid:78)
AC=6(cid:78)(cid:125)(cid:251)(cid:61) ABC ACD(cid:78)(cid:304)(cid:251)AD= (cid:76) ∠
△ ∽△
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)4
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:166)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:78)(cid:172)(cid:173)(cid:42)(cid:146)(cid:46)(cid:47)(cid:45)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:78)(cid:92)(cid:52)(cid:43)(cid:26)(cid:44)(cid:31)(cid:42)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:240)(cid:39)(cid:34)(cid:182)
(cid:180)(cid:99)(cid:76)
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182)(cid:10) AC(cid:38)(cid:72) BAD(cid:78)
BAC= DAC∵(cid:78) ∠
(cid:395)
∴∠AB
=
AC
(cid:390)
∠
(cid:78) ABC ACD(cid:78)
AC AD
(cid:180)(cid:10)AC2=AB△AD(cid:78) ∽△
AB=9(cid:78)AC=⋅6(cid:78)
∵62=9AD(cid:78)
∴AD=4(cid:78)
∴(cid:186)(cid:163)(cid:164)(cid:175)(cid:10)4(cid:76)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)7-2(cid:21)(cid:147)24-25(cid:189)(cid:150)(cid:151)(cid:220)·(cid:220)(cid:336)·(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:148)(cid:107)(cid:28)(cid:78)(cid:122)(cid:123)(cid:70)(cid:396)(cid:29)ABCD(cid:162)(cid:78)AD BC(cid:78)(cid:251)(cid:61) BAD(cid:81) DBC
(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:397)(cid:131)(cid:398)(cid:399)(cid:96)(cid:67)(cid:59)(cid:60)(cid:78)(cid:111)(cid:67)(cid:59)(cid:60)(cid:99)(cid:100)(cid:101) (cid:147)(cid:304)(cid:131)(cid:388)(cid:96)(cid:67)(cid:59)(cid:60)(cid:148)(cid:76) ∥ △ △
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21) A= BDC(cid:147)(cid:163)(cid:164)(cid:95)(cid:400)(cid:96)(cid:148)
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)∠(cid:166)(cid:22)∠(cid:167)(cid:168)(cid:38)(cid:39)(cid:117)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:78)(cid:238)(cid:239)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:41)(cid:114)(cid:101)(cid:182)(cid:22)(cid:3)(cid:236)(cid:76)(cid:172)(cid:173)(cid:22)(cid:184)
(cid:99)(cid:132) ADB= DBC(cid:78)(cid:176)(cid:87)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:41)(cid:114)(cid:398)(cid:399)(cid:59)(cid:60)(cid:180)(cid:99)(cid:76)
∠ ∠(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182)(cid:10) AD BC(cid:78)
ADB= DBC∵(cid:78) ∥
∴ (cid:395) ∠ A= ∠ BDC(cid:56) ABD= DCB(cid:390)(cid:56) AD = BD (cid:390)(cid:78) BAD(cid:81) DBC(cid:26)(cid:27)(cid:76)
BD BC
∴(cid:186)(cid:163) ∠ (cid:164)(cid:175) ∠ (cid:10) A= ∠BDC(cid:147) ∠ (cid:163)(cid:164)(cid:95)(cid:400)(cid:96)(cid:148)(cid:76) △ △
(cid:15)(cid:187)(cid:188)7-3(cid:21)∠(cid:147)2∠025·(cid:221)(cid:155)·(cid:162)(cid:167)(cid:357)(cid:22)(cid:148)(cid:107)(cid:28)(cid:78)(cid:70)(cid:253)(cid:45)(cid:29)ABCDE(cid:162)(cid:78)AE BC(cid:78)(cid:306)(cid:268)BA(cid:78)BC(cid:78)(cid:72)(cid:25)(cid:141)(cid:116)(cid:117)DE(cid:115)
(cid:235)M(cid:78)N(cid:76)(cid:124)(cid:398)(cid:399)(cid:152)(cid:160)(cid:96)(cid:67)(cid:59)(cid:60)(cid:202)(cid:78)(cid:401)(cid:324)(cid:135)(cid:40)(cid:41) MAE DCN(cid:78)(cid:125)(cid:111)∥(cid:67)(cid:59)(cid:60)(cid:101)(cid:147) (cid:148)
△ ∽△
A(cid:76) B+ 4=180° B(cid:76)CD AB C(cid:76) 1= 4 D(cid:76) 2= 3
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)∠D∠ ∥ ∠ ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:166)(cid:22)(cid:250)(cid:251)(cid:167)(cid:168)(cid:211)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:78)(cid:38)(cid:39)(cid:117)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:81)(cid:40)(cid:41)(cid:78)(cid:395) B+ 4=180°(cid:390)(cid:78)(cid:99)(cid:132)(cid:133)CD BM(cid:78)(cid:30)
(cid:38)(cid:39)(cid:117)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:120)(cid:217) CDN= AME(cid:78) AEM= CND(cid:78)(cid:125)(cid:99)(cid:132)(cid:133) MAE D∠CN(cid:78)∠(cid:173)(cid:219)(cid:99)(cid:40)(cid:242)A(cid:73)B(cid:171)(cid:30)∥(cid:38)(cid:39)(cid:117)
(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:99)(cid:120) 1+ B=∠180°(cid:78)∠(cid:125) B+ 4∠=180°(cid:78)∠(cid:91)(cid:114)(cid:99)(cid:40)(cid:242)C(cid:171)D△(cid:162)(cid:59)(cid:60)∽(cid:176)△(cid:87)(cid:122)(cid:321)(cid:59)(cid:60)(cid:95)(cid:83)(cid:132)(cid:133) MAE DCN(cid:76)
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182)∠(cid:10)A(cid:73)∠ B+ 4=1∠80°(cid:78)∠ △ ∽△
CD BM(cid:78) ∵∠ ∠
∴ CD∥N= AME(cid:78)
∴A∠E BC(cid:78)∠
∵ A∥EM= CND(cid:78)
∴∠MAE ∠ DCN(cid:78)(cid:186)A(cid:95)(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:171)
B∴△(cid:73) CD∽A△B(cid:78)
C∵DN=∥ AME(cid:78)
∴A∠E BC(cid:78)∠
∵ A∥EM= CND(cid:78)
∴∠MAE ∠ DCN(cid:78)(cid:186)B(cid:95)(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:171)
C∴△(cid:73) AE∽B△C(cid:78)
1∵+ B∥=180°(cid:78)
∴∠ ∠1= 4(cid:78)
∵∠B+∠4=180°(cid:78)
∴∠CD ∠BM(cid:78)
∴ CD∥N= AME(cid:78)
∴A∠E BC(cid:78)∠
∵ A∥EM= CND(cid:78)
∴∠MAE ∠ DCN(cid:78)(cid:186)C(cid:95)(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:171)
D∴△(cid:73)(cid:172)(cid:173)∽△2= 3(cid:176)(cid:87)(cid:122)(cid:123)(cid:59)(cid:60)(cid:95)(cid:83)(cid:132)(cid:133) MAE DCN(cid:78)(cid:186)D(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:171)
(cid:186)(cid:54)(cid:10)D(cid:76)∠ ∠ △ ∽△
【题型8 裁剪使两三角形相似】
(cid:15)(cid:50)8(cid:21)(cid:107)(cid:28)(cid:78)(cid:70) ABC(cid:402)(cid:265)(cid:162)(cid:78) A=72°, B=38°(cid:78)(cid:194) ABC(cid:402)(cid:265)(cid:403)(cid:404)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:286)(cid:78)(cid:152)(cid:160)(cid:234)(cid:405)(cid:134)(cid:188)(cid:162)(cid:63)(cid:152)(cid:31)(cid:248)(cid:249)
(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:81) ABC(cid:26)(cid:27)△(cid:31)(cid:101)(cid:147) (cid:148) ∠ ∠ △
△
A(cid:76) B(cid:76) C(cid:76) D(cid:76)
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)①D② ②④ ③④ ①③
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:166)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:211)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:76)(cid:172)(cid:173)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:41)(cid:114)(cid:241)(cid:67)(cid:40)(cid:242)(cid:180)(cid:99)(cid:76)
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182)(cid:10)(cid:28) (cid:162)(cid:78) B= B(cid:78) A= BDE=72°(cid:78)
BDE BAC(cid:26)①(cid:27)(cid:171) ∵∠ ∠ ∠ ∠
(cid:28)∴△ (cid:162)(cid:78)∽△(cid:304)(cid:128) B= B(cid:78)(cid:95)(cid:183)(cid:87)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:78)(cid:95)(cid:83)(cid:316)(cid:229) BCD(cid:77) ABC(cid:26)(cid:27)(cid:171)
(cid:28)②(cid:162)(cid:78) C=∠C(cid:78)∠ CED= B(cid:78) △ △
③CDE ∠CA∠B(cid:171) ∠ ∠
∴(cid:28)△ (cid:162)(cid:78)∽△(cid:304)(cid:128) C= C(cid:78)(cid:95)(cid:183)(cid:87)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:78)
(cid:95)(cid:83)④(cid:316)(cid:229) CD∠E(cid:77)∠ABC(cid:26)(cid:27)(cid:171)
(cid:325)(cid:220)(cid:119)(cid:406)△(cid:78)(cid:248)(cid:249)(cid:53)△(cid:43)(cid:29)(cid:81)(cid:121)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:128) (cid:78)(cid:186)D(cid:105)(cid:214)(cid:76)
(cid:186)(cid:54)(cid:10)D(cid:76) ①③
(cid:15)(cid:187)(cid:188)8-1(cid:21)(cid:147)24-25(cid:189)(cid:150)(cid:151)(cid:220)·(cid:331)(cid:332)(cid:333)(cid:334)·(cid:225)(cid:162)(cid:148)(cid:107)(cid:28)(cid:78)(cid:70) ABC(cid:162)(cid:78) A=78°(cid:78)AB=6(cid:78)AC=9(cid:76)(cid:194) ABC(cid:403)(cid:28)
△ ∠ △(cid:98)(cid:162)(cid:31)(cid:407)(cid:117)(cid:63)(cid:286)(cid:78)(cid:63)(cid:152)(cid:31)(cid:248)(cid:249)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:81)(cid:121)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:101)(cid:147) (cid:148)
A(cid:76) B(cid:76)
C(cid:76) D(cid:76)
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)D
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:166)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:31)(cid:123)(cid:24)(cid:235)(cid:101)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:76)(cid:172)(cid:173)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:134)(cid:135)(cid:46)(cid:54)(cid:161)(cid:240)(cid:39)(cid:241)(cid:96)(cid:40)(cid:242)(cid:180)(cid:99)(cid:76)
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182)(cid:10)A(cid:73)(cid:248)(cid:249)(cid:247)(cid:72)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:81)(cid:121)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:128)(cid:42)(cid:67)(cid:43)(cid:26)(cid:44)(cid:78)(cid:186)(cid:42)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:166)(cid:54)(cid:161)(cid:95)(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:171)
B(cid:73)(cid:248)(cid:249)(cid:247)(cid:72)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:81)(cid:121)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:128)(cid:42)(cid:67)(cid:43)(cid:26)(cid:44)(cid:78)(cid:186)(cid:42)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:166)(cid:54)(cid:161)(cid:95)(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:171)
C(cid:73) 6−3 = 3 = 9 = AC (cid:78) A= A(cid:78)(cid:42)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:128)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:92)(cid:52)(cid:43)(cid:26)(cid:44)(cid:78)(cid:186)(cid:42)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:166)(cid:54)(cid:161)(cid:95)(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:171)
9−7 2 6 AB
∠ ∠
D(cid:73)(cid:52)(cid:43)(cid:26)(cid:44)(cid:94)(cid:52)(cid:43)(cid:42)(cid:46)(cid:47)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:26)(cid:44)(cid:78)(cid:186)(cid:42)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:166)(cid:54)(cid:161)(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:76)
(cid:186)(cid:54)(cid:10)D(cid:76)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)8-2(cid:21)(cid:68)(cid:11)(cid:106)(cid:408)(cid:260)(cid:261)(cid:409)(cid:220)(cid:78)(cid:93)(cid:133)(cid:77)(cid:93)(cid:379)(cid:72)(cid:25)(cid:63)(cid:211)(cid:96)(cid:46)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:78)(cid:104)(cid:228)(cid:410)(cid:411)(cid:412)(cid:413)(cid:120)(cid:217)(cid:26)(cid:3)(cid:68)(cid:173)(cid:78)(cid:314)(cid:200)(cid:79)(cid:70)
(cid:28)(cid:29)(cid:220)(cid:76)(cid:107)(cid:28)(cid:78)(cid:46)(cid:115)(cid:104)(cid:228)(cid:63)(cid:31)(cid:42)(cid:146)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:315)(cid:135)(cid:78)(cid:105)(cid:214)(cid:31)(cid:101)(cid:147) (cid:148)
A(cid:76)(cid:296)(cid:26)(cid:27) B(cid:76)(cid:304)(cid:128)(cid:28) (cid:26)(cid:27) C(cid:76)(cid:304)(cid:128)(cid:28) (cid:26)(cid:27) D(cid:76)(cid:296)(cid:95)(cid:26)(cid:27)
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)A ① ②
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:219)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:211)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:76)(cid:28)(cid:147)1(cid:148)(cid:172)(cid:173)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:137)(cid:43)(cid:77)(cid:41)(cid:114)(cid:78)(cid:180)(cid:99)(cid:34)(cid:120)(cid:245)(cid:414)(cid:31)(cid:415)(cid:53)(cid:43)(cid:78)(cid:30)(cid:128)(cid:42)(cid:43)(cid:46)(cid:47)(cid:26)(cid:44)(cid:31)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:180)(cid:99)(cid:40)(cid:41)(cid:147)1(cid:148)(cid:162)(cid:31)(cid:42)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:171)(cid:28)(cid:147)2(cid:148)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:29)(cid:162)(cid:31)(cid:122)(cid:123)(cid:68)(cid:173)(cid:180)(cid:99)(cid:132)
OA OD
(cid:120) = (cid:78)(cid:289)(cid:128)(cid:46)(cid:140)(cid:43)(cid:26)(cid:44)(cid:78)(cid:180)(cid:99)(cid:172)(cid:173)(cid:46)(cid:47)(cid:45)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:92)(cid:52)(cid:43)(cid:26)(cid:44)(cid:31)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:132)(cid:120)(cid:26)(cid:27)(cid:76)
OC OB
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182)(cid:10)(cid:28)(cid:147)1(cid:148)(cid:30)35°(cid:77)75°(cid:120)(cid:127)(cid:96)(cid:67)(cid:43)(cid:175)180°−35°−75°=70°(cid:78)(cid:30)75°(cid:77)70°(cid:120)(cid:127)(cid:96)(cid:67)(cid:43)(cid:175)
180°−70°−75°=35°(cid:78)(cid:125)(cid:42)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:80)(cid:44)(cid:171)
(cid:28)(cid:147)2(cid:148) OA=4(cid:78)OD=3(cid:78)OC=8(cid:78)OB=6(cid:78)
OA OD∵1
= = (cid:78)
OC OB 2
∴ AOC= DOB(cid:78)
∵∠AOC ∠ DOB(cid:76)
∴(cid:186)△(cid:54)(cid:10)A∽(cid:76)△
(cid:15)(cid:187)(cid:188)8-3(cid:21)(cid:107)(cid:28)(cid:78)(cid:70)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:402)(cid:265)ABC(cid:162)(cid:78)AB=6(cid:78)AC=4(cid:78)BC=8(cid:78)(cid:403)(cid:407)(cid:117)(cid:63)(cid:152)(cid:31)(cid:416)(cid:417)(cid:247)(cid:72)(cid:31)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:81) ABC
(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:101)(cid:147) (cid:148) △
A(cid:76) B(cid:76)
C(cid:76) D(cid:76)
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)A
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:219)(cid:22)(cid:250)(cid:251)(cid:167)(cid:168)(cid:211)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:78)(cid:105)(cid:214)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:42)(cid:45)(cid:49)(cid:35)(cid:26)(cid:44)(cid:92)(cid:52)(cid:43)(cid:26)(cid:44)(cid:31)(cid:42)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)
(cid:27)(cid:101)(cid:182)(cid:22)(cid:3)(cid:236)(cid:76)
(cid:172)(cid:173)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:72)(cid:25)(cid:240)(cid:39)(cid:40)(cid:242)(cid:180)(cid:99)(cid:120)(cid:229)(cid:163)(cid:164)(cid:180)(cid:99)(cid:76)
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182)(cid:10)(cid:70)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:402)(cid:265)ABC(cid:162)(cid:78)AB=6(cid:78)AC=4(cid:78)BC=8(cid:76)
A(cid:76)(cid:218)(cid:175) DC = 2 = 1 , AC = 4 = 1 (cid:78)(cid:125) DC = AC (cid:78)(cid:289)(cid:30) C= C(cid:78)(cid:186)(cid:403)(cid:407)(cid:117)(cid:63)(cid:152)(cid:31)(cid:416)(cid:417)(cid:247)(cid:72)(cid:31)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:81) ABC(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:186)(cid:219)(cid:54)
AC 4 2BC 8 2 AC BC
∠ ∠ △
(cid:161)(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:171)
B(cid:76)(cid:218)(cid:175) AD = 3 = 1 (cid:78) AB = 6 = 3 (cid:78) 3 ≠ 1 (cid:78)(cid:186)(cid:403)(cid:407)(cid:117)(cid:63)(cid:152)(cid:31)(cid:416)(cid:417)(cid:247)(cid:72)(cid:31)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:81) ABC(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:186)(cid:219)(cid:54)(cid:161)(cid:95)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:171)
AB 6 2 AC 8 4 4 2
C(cid:76)(cid:218)(cid:175) BD = 2 (cid:78) AB = 6 = 3 (cid:78)(cid:180)(cid:10) 2 ≠ 3 (cid:78)(cid:186)(cid:403)(cid:407)(cid:117)(cid:63)(cid:152)(cid:31)(cid:416)(cid:417)(cid:247)(cid:72)(cid:31)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:81) △ ABC(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:186)(cid:219)(cid:54)(cid:161)(cid:95)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:171)
AB 3 BC 8 4 3 4
△D(cid:73)(cid:218)(cid:175) BD = 1 (cid:78) BC = 4 (cid:78) 4 ≠ 1 (cid:78)(cid:186)(cid:403)(cid:407)(cid:117)(cid:63)(cid:152)(cid:31)(cid:416)(cid:417)(cid:247)(cid:72)(cid:31)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:81) ABC(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:186)(cid:219)(cid:54)(cid:161)(cid:95)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:171)
BC 2 AB 3 3 2
(cid:186)(cid:54)(cid:10)A(cid:76) △
【题型9 尺规作图使两个三角形相似】
(cid:15)(cid:50)9(cid:21)(cid:147)2025·(cid:319)(cid:154)(cid:418)(cid:419)·(cid:420)(cid:421)(cid:148)(cid:37)“(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:28)”(cid:194)(cid:96)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:72)(cid:422)(cid:48)(cid:96)(cid:67)(cid:93)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:77)(cid:96)(cid:67)(cid:234)(cid:45)(cid:29)(cid:78)(cid:125)(cid:152)(cid:160)(cid:28)
(cid:29)(cid:162)(cid:78)(cid:72)(cid:422)(cid:229)(cid:231)(cid:31)(cid:93)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:81)(cid:121)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:95)(cid:96)(cid:41)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:101)(cid:147) (cid:148)
A(cid:76) B(cid:76)
C(cid:76) D(cid:76)
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)A
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:166)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:211)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:78)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:78)(cid:423)(cid:137)(cid:338)(cid:234)(cid:45)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:162)(cid:136)(cid:117)(cid:41)(cid:114)(cid:76)(cid:72)(cid:25)(cid:172)(cid:173)
(cid:66)(cid:28)(cid:328)(cid:329)(cid:78)(cid:323)(cid:173)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:41)(cid:114)(cid:78)(cid:180)(cid:99)(cid:40)(cid:242)(cid:76)
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182)(cid:10)B(cid:73)(cid:30)(cid:66)(cid:28)(cid:123)(cid:78)DE BC(cid:78)
ADE ABC(cid:78)(cid:186)(cid:166)(cid:54)(cid:161)(cid:95)(cid:183)(cid:87)∥ (cid:22)(cid:184)(cid:171)
∴△ ∽△
C(cid:73)(cid:30)(cid:66)(cid:28)(cid:123)(cid:78)(cid:234)(cid:45)(cid:29)BDEC(cid:101)(cid:423)(cid:137)(cid:338)(cid:234)(cid:45)(cid:29)(cid:78)
ADE=180°− BDE= ACB(cid:78)
∴∠A= A(cid:78) ∠ ∠
∵∠AD∠E ACB(cid:78)(cid:186)(cid:166)(cid:54)(cid:161)(cid:95)(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:171)
∴△ ∽△D(cid:73)(cid:30)(cid:66)(cid:28)(cid:123)(cid:78)(cid:235)D(cid:77)(cid:235)E(cid:72)(cid:25)(cid:101)AB(cid:77)AC(cid:31)(cid:162)(cid:235)(cid:78)
DE BC(cid:78)
∴ A∥DE ABC(cid:78)(cid:186)(cid:166)(cid:54)(cid:161)(cid:95)(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:171)
∴△ ∽△
A(cid:73)(cid:30)(cid:66)(cid:28)(cid:123)(cid:78)CD(cid:77)BE(cid:72)(cid:25)(cid:101) ABC(cid:31)(cid:43)(cid:38)(cid:72)(cid:117)(cid:78)(cid:95)(cid:83)(cid:315)(cid:133) ADE(cid:77) ABC(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:186)(cid:166)(cid:54)(cid:161)(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:171)
△ △ △
(cid:186)(cid:54)(cid:10)A(cid:76)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)9-1(cid:21)(cid:147)24-25(cid:189)(cid:150)(cid:151)(cid:220)·(cid:319)(cid:154)(cid:320)(cid:224)·(cid:225)(cid:226)(cid:148)(cid:107)(cid:28)(cid:78)(cid:122)(cid:123)(cid:44)(cid:337) ABC(cid:162)(cid:78)BA=BC(cid:78) B=108°(cid:78)(cid:355)(cid:37)(cid:64)(cid:65)(cid:70)AC
(cid:220)(cid:34)(cid:66)(cid:96)(cid:235)D(cid:78)(cid:61)(cid:120) ABD ACB(cid:76)(cid:147)(cid:282)(cid:424)(cid:66)(cid:28)(cid:328)(cid:329)(cid:78)(cid:95)(cid:425)(cid:66)(cid:135)△(cid:148) ∠
△ ∽ △
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)(cid:130)(cid:182)(cid:165)
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:166)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:211)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:73)(cid:117)(cid:157)(cid:426)(cid:116)(cid:38)(cid:72)(cid:117)(cid:31)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:78)(cid:237)(cid:158)(cid:238)(cid:239)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:101)(cid:182)(cid:22)
(cid:3)(cid:236)(cid:76)(cid:66)AB(cid:31)(cid:426)(cid:116)(cid:38)(cid:72)(cid:117)(cid:78)(cid:141)AC(cid:115)(cid:235)D(cid:78)(cid:317)(cid:338)BD(cid:78)(cid:30)(cid:219)(cid:180)(cid:99)(cid:120)(cid:76)
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182)(cid:10)(cid:107)(cid:28)(cid:78)(cid:235)D(cid:180)(cid:175)(cid:119)(cid:34)(cid:76)
(cid:114)(cid:30)(cid:10)(cid:30)(cid:117)(cid:157)(cid:426)(cid:116)(cid:38)(cid:72)(cid:117)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:120)(cid:10)AD=BD(cid:78)
A= ABD(cid:78)
∴B∠A=B∠C(cid:78)
∵ A= C(cid:78)
∴∠AB∠D= C(cid:78)
(cid:70)∴∠ ABD∠(cid:77) ACB(cid:162)(cid:78)
△ABD= C△
A= A (cid:78)
∠ ∠
∠
ABD
∠
ACB(cid:76)
∴(cid:15)△(cid:187)(cid:188)9∽-2△(cid:21)(cid:147)24-25(cid:189)(cid:150)(cid:151)(cid:220)·(cid:331)(cid:332)(cid:333)(cid:334)·(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:148)(cid:107)(cid:28)(cid:78)(cid:70)(cid:234)(cid:45)(cid:29)ABCD(cid:162)(cid:78)ABCD(cid:78)(cid:317)(cid:338)BD(cid:78)(cid:355)(cid:37)(cid:64)(cid:65)
(cid:66)(cid:28)(cid:135)(cid:70)BD(cid:220)(cid:360)(cid:96)(cid:235)P(cid:78)(cid:61)(cid:120) ABD PCB(cid:76)(cid:147)(cid:282)(cid:424)(cid:66)(cid:28)(cid:328)(cid:329)(cid:78)(cid:95)(cid:425)(cid:66)(cid:135)(cid:148)
△ ∽△
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)(cid:130)(cid:182)(cid:165)
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:166)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:31)(cid:101)(cid:66)(cid:96)(cid:67)(cid:43)(cid:44)(cid:115)(cid:122)(cid:123)(cid:43)(cid:78)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:78)(cid:339)(cid:70) BCD(cid:31)(cid:137)(cid:247)(cid:66) ABP= BCP(cid:78)(cid:288)(cid:176)
(cid:87)(cid:38)(cid:39)(cid:117)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:99)(cid:120) ABD PCB(cid:76) ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182)(cid:10)(cid:107)(cid:28)(cid:78)△(cid:235)P(cid:180)∽(cid:175)△(cid:119)(cid:34)(cid:76)
(cid:114)(cid:30)(cid:10) AD BC(cid:78)
ADB∵= D∥BC(cid:78)
∴∠ ∠(cid:30)(cid:66)(cid:28)(cid:99)(cid:120)(cid:10) ABP= BCP(cid:78)
ABD PC∠B(cid:76) ∠
∴(cid:15)△(cid:187)(cid:188)9∽-3△(cid:21)(cid:70) ABC(cid:162)(cid:78) ABC=90°(cid:78)(cid:37)(cid:116)(cid:64)(cid:77)(cid:423)(cid:65)(cid:70)AC(cid:220)(cid:214)(cid:41)(cid:235)D(cid:78)(cid:61) BAD CBD(cid:78)(cid:172)(cid:173)(cid:66)(cid:28)(cid:328)(cid:329)(cid:40)
(cid:242)(cid:78)(cid:105)(cid:214)(cid:31)(cid:101)(cid:147)△ (cid:148) ∠ △ ∽△
A(cid:76) B(cid:76)
C(cid:76) D(cid:76)
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)B
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:30)(cid:22)(cid:184)(cid:51)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:41)(cid:114)(cid:99)(cid:123)(cid:78)(cid:395)BD(cid:101)AC(cid:31)(cid:426)(cid:117)(cid:390)(cid:78)(cid:180)BD AC(cid:390)(cid:78) BAD CBD(cid:78)(cid:340)(cid:202)
(cid:172)(cid:173)(cid:66)(cid:28)(cid:328)(cid:329)(cid:241)(cid:161)(cid:72)(cid:165)(cid:40)(cid:242)(cid:180)(cid:99)(cid:120)(cid:229)(cid:163)(cid:164)(cid:76) ⊥ △ ∽△
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182)(cid:10)(cid:395)BD(cid:101)AC(cid:31)(cid:426)(cid:117)(cid:390)(cid:78)(cid:180)BD AC(cid:390)(cid:78) BAD CBD(cid:78)(cid:114)(cid:30)(cid:107)(cid:152)(cid:10)
BD AC(cid:78) ⊥ △ ∽△
∵ AD⊥B= BDC=90°(cid:78)
∴∠BAD+∠ABD=90°(cid:78)
∴∠ABC=9∠0°(cid:78)
∵∠ABD+ CBD=90°(cid:78)
∴∠BAD=∠CBD(cid:78)
∴∠BAD ∠ CBD(cid:78)
∴(cid:172)△(cid:173)(cid:66)(cid:28)∽(cid:328)△(cid:329)(cid:99)(cid:123)(cid:10)
A(cid:54)(cid:161)(cid:162)(cid:78)BD(cid:101)AC(cid:45)(cid:31)(cid:162)(cid:117)(cid:78)(cid:95)(cid:81)AC(cid:426)(cid:116)(cid:78)(cid:186)(cid:54)(cid:161)A(cid:95)(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:171)
B(cid:54)(cid:161)(cid:162)(cid:78)BD(cid:101)AC(cid:31)(cid:426)(cid:117)(cid:78)(cid:186)(cid:54)(cid:161)B(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:171)
C(cid:54)(cid:161)(cid:162)(cid:78)BD(cid:101) ABC(cid:31)(cid:38)(cid:72)(cid:117)(cid:78)(cid:95)(cid:81)AC(cid:426)(cid:116)(cid:78)(cid:186)(cid:54)(cid:161)C(cid:95)(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:171)
D(cid:54)(cid:161)(cid:162)(cid:78)BD(cid:95)∠(cid:81)AC(cid:426)(cid:116)(cid:78)(cid:186)(cid:54)(cid:161)D(cid:95)(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:171)
(cid:186)(cid:54)(cid:10)B(cid:76)(cid:15)(cid:235)(cid:351)(cid:21)(cid:166)(cid:22)(cid:250)(cid:251)(cid:167)(cid:168)(cid:211)(cid:426)(cid:117)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:116)(cid:43)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:42)(cid:67)(cid:427)(cid:43)(cid:428)(cid:335)(cid:78)(cid:44)(cid:188)(cid:31)(cid:32)(cid:33)1(cid:78)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:78)(cid:66)
(cid:426)(cid:117)(cid:147)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:148)(cid:78)(cid:66)(cid:43)(cid:38)(cid:72)(cid:117)(cid:147)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:148)(cid:44)(cid:123)(cid:24)(cid:235)(cid:78)(cid:237)(cid:158)(cid:238)(cid:239)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:41)(cid:114)(cid:51)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:31)(cid:134)
(cid:135)(cid:101)(cid:182)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:236)(cid:76)
【题型10 数相似三角形的对数】
(cid:15)(cid:50)10(cid:21)(cid:147)24-25(cid:189)(cid:150)(cid:151)(cid:220)·(cid:352)(cid:353)(cid:429)(cid:224)·(cid:225)(cid:162)(cid:148)(cid:107)(cid:28)(cid:78)AC BC(cid:78)CD AB(cid:78)DE BC(cid:78)(cid:125)(cid:28)(cid:162)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:128)(cid:147) (cid:148)
⊥ ⊥ ⊥
A(cid:76)5(cid:46) B(cid:76)6(cid:46) C(cid:76)10(cid:46) D(cid:76)20(cid:46)
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)C
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:166)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:78)(cid:237)(cid:158)(cid:238)(cid:239)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:41)(cid:114)(cid:101)(cid:182)(cid:22)(cid:3)(cid:236)(cid:171)
(cid:172)(cid:173)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:41)(cid:114)(cid:72)(cid:165)(cid:180)(cid:99)(cid:34)(cid:182)(cid:171)
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182)(cid:10)(cid:28)(cid:162)(cid:128)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:78)(cid:72)(cid:25)(cid:101)(cid:10) ABC(cid:73) BDE(cid:73) DEC(cid:73) ADC(cid:77) BDC(cid:171)
AC BC(cid:78)CD AB(cid:78)DE BC(cid:78) △ △ △ △ △
∵ BE⊥D= CED⊥= BDC=⊥ADC= ACB=90°(cid:78)
∴A∠C DE(cid:78)∠ ∠ ∠ ∠
∴ A∥BC BDE(cid:171)
∴△B= B∽(cid:78)△ BED= BDC(cid:78)
∵∠BD∠E ∠BDC(cid:171)∠
∴△ABC∽△BDC(cid:171)
∴△A= A∽(cid:78)△ ADC= ACB(cid:78)
∵∠AB∠C ∠ADC(cid:171)∠
∴A△C DE∽(cid:78)△
∵ C∥DE= DCA(cid:78)
∴∠CED=∠ADC(cid:78)
∵∠DEC ∠ ADC(cid:171)
(cid:325)∴△(cid:220)(cid:119)(cid:406)∽(cid:10)△ ABC DBE CDE ACD CBD(cid:78)
△ ∽△ ∽△ ∽△ ∽△(cid:180)(cid:10) ABC DBE(cid:78) ABC CDE(cid:78) ABC ACD(cid:78) ABC CBD(cid:78)
DB△E C∽D△E(cid:78) DB△E A∽C△D(cid:78) DB△E C∽B△D(cid:78) CD△E A∽C△D(cid:78) CDE CBD(cid:78) ACD CBD(cid:78)(cid:186)(cid:28)
△(cid:162)(cid:26)(cid:27)∽(cid:53)△(cid:43)(cid:29)(cid:128)1△0(cid:46)(cid:171)∽△ △ ∽△ △ ∽△ △ ∽△ △ ∽△
(cid:186)(cid:54)(cid:10)C(cid:76)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)10-1(cid:21)(cid:107)(cid:28)(cid:78)(cid:70)(cid:105)(cid:134)(cid:29)ABCD(cid:162)(cid:78)E(cid:101)AD(cid:31)(cid:162)(cid:235)(cid:78)F(cid:101)CD(cid:220)(cid:96)(cid:235)(cid:78)(cid:92)CF=3FD(cid:76)(cid:125)(cid:28)(cid:162)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)
(cid:29)(cid:31)(cid:46)(cid:68)(cid:101)(cid:147)(cid:384)(cid:384)(cid:148)
A(cid:76)1 B(cid:76) 2 C(cid:76)3 D(cid:76))4
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)C
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)FD=k,CF=3k,DE=AE=2k
(cid:70)Rt BCF (cid:162)(cid:78)CF=3k,BC=4k,BF=5k
(cid:70)Rt△DEF (cid:162)(cid:78)DF=k,DE=2k,EF= 5k
(cid:70)Rt△ABE (cid:162)(cid:78)AE=2k,AB=4k,BE=2 5k
(cid:70)Rt△BEF (cid:162)(cid:78)EF= 5k,BE=2 5k,BF=5k
(cid:172)(cid:173)△(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:78)
RtΔDEF RtΔABE
RtΔEBF,(cid:186)(cid:54)C.
(cid:15)(cid:187)(cid:188)10-2(cid:21)(cid:147)24-25(cid:189)(cid:150)(cid:151)(cid:220)·(cid:220)(cid:336)(cid:430)∼(cid:17)(cid:431)·(cid:156)(cid:157)(cid:158)∼(cid:159)(cid:148)(cid:107)(cid:28)(cid:78)(cid:122)(cid:123) ABC(cid:73) DEF(cid:296)(cid:101)(cid:44)(cid:45)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:78)(cid:235)D(cid:73)E
(cid:72)(cid:25)(cid:70)AB(cid:73)BC(cid:220)(cid:78)(cid:28)(cid:162)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:139)(cid:128)(cid:147) (cid:148)(cid:46)(cid:76) △ △
A(cid:76)3(cid:46) B(cid:76)4(cid:46) C(cid:76)6(cid:46) D(cid:76)7(cid:46)
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)D
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:166)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:211)(cid:44)(cid:45)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:78)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:137)(cid:43)(cid:77)(cid:41)(cid:114)(cid:78)(cid:172)(cid:173)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)
(cid:41)(cid:114)(cid:180)(cid:99)(cid:120)(cid:229)(cid:163)(cid:164)(cid:78)(cid:238)(cid:239)(cid:26)(cid:3)(cid:123)(cid:24)(cid:101)(cid:182)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:236)(cid:76)
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182)(cid:10)(cid:107)(cid:28)(cid:10)ABC(cid:73) DEF(cid:296)(cid:101)(cid:44)(cid:45)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:78)
∵△A= B=△C= DEF= EFD= FDE=60°(cid:78)
∴∠AB∠C ∠DE∠F(cid:78) ∠ ∠
∴△A= F∽(cid:78)△ AGD= FGH(cid:78)
∵∠AD∠G ∠FHG(cid:78)∠
∴△F= C∽(cid:78)△ FHG= CHE(cid:78)
∵∠FH∠G ∠CHE(cid:78)∠
∴△ADG∽△CHE(cid:78)
∴△ADG+∽△AGD=180°− A=120°(cid:78)
∵∠ADG+ ∠BDE=180°− E∠DF=120°(cid:78)
∠ AGD∠= BDE(cid:78) ∠
∴(cid:289)∠ A= ∠B(cid:78)
∵A∠DG∠ BED(cid:78)
∴△BED∽△FHG(cid:78)
∴△BED ∽△CHE(cid:78)
(cid:325)△(cid:220)(cid:78)∽(cid:26)△(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:139)(cid:128)7(cid:46)(cid:78)
(cid:186)(cid:54)(cid:10)D(cid:76)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)10-3(cid:21)(cid:147)24-25(cid:189)(cid:150)(cid:151)(cid:220)·(cid:221)(cid:155)(cid:282)(cid:41)·(cid:225)(cid:162)(cid:148)(cid:107)(cid:28)(cid:78)E(cid:101)(cid:252)(cid:29)ABCD(cid:31)(cid:45)CD(cid:31)(cid:162)(cid:235)(cid:78)(cid:317)(cid:338)BE,AF BE(cid:115)(cid:235)
F,AF(cid:31)(cid:306)(cid:268)(cid:117)(cid:141)BC(cid:115)(cid:235)G(cid:78)(cid:317)(cid:338)DF(cid:78)(cid:125)(cid:28)(cid:162)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:128)(cid:147) (cid:148) ⊥
A(cid:76)4(cid:46) B(cid:76)6(cid:46) C(cid:76)8(cid:46) D(cid:76)5(cid:46)(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)B
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:166)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:211)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:78)(cid:252)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:172)(cid:173)(cid:252)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:100)(cid:51)AF BE(cid:120)(cid:217) ABC= C= AFB= BFG
=90°(cid:78)(cid:216) 1= 1(cid:78) 2= 2(cid:78) 1= 2(cid:78)(cid:180)(cid:99)(cid:132)(cid:133) AFB ABG, AFB BFG,⊥ AFB ∠BCE, ∠ABG∠ BF∠G, ABG
BCE,∠BF∠G ∠BCE∠(cid:76) ∠ ∠ △ ∽△ △ ∽△ △ ∽△ △ ∽△ △
∽(cid:15)△(cid:181)(cid:182)(cid:21)△(cid:182)(cid:10)(cid:107)∽(cid:28)△(cid:78)
(cid:234)(cid:45)(cid:29)ABCD(cid:175)(cid:252)(cid:29)(cid:78)AF BE(cid:78)
∵ ABC= C= AFB= BFG=⊥90°(cid:78)
∴∠1= 1(cid:78)∠ 2∠= 2, ∠
∵∠AF∠B ∠ABG∠, BFG BCE(cid:78)
∴△1+ A∽B△F=90°=△2+ A∽B△F(cid:78)
∵∠1=∠2 ∠ ∠
∴∠AF∠B BFG(cid:78)
∴△AFB∽△ABG BFG BCE(cid:78)
∴(cid:172)△(cid:173)(cid:26)∽(cid:27)△(cid:31)(cid:432)(cid:433)∽△(cid:32)(cid:99)(cid:120)∽(cid:10)△ AFB ABG, AFB BFG, AFB BCE, ABG BFG, ABG BCE, BFG
∴ BCE(cid:78) △ ∽△ △ ∽△ △ ∽△ △ ∽△ △ ∽△ △
∽(cid:128)△6(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:78)
∴(cid:186)(cid:54)(cid:10)B(cid:76)
【题型11 存在相似三角形】
(cid:15)(cid:50)11(cid:21)(cid:107)(cid:28)(cid:78)(cid:122)(cid:123)AB BC(cid:115)(cid:235)B(cid:78)CD BC(cid:115)(cid:235)C(cid:78)AB=4(cid:78)CD=6(cid:78)BC=14(cid:78)P(cid:175)(cid:116)(cid:117)BC(cid:220)(cid:96)(cid:235)(cid:78)(cid:124)(cid:100)A(cid:73)
B(cid:73)P(cid:175)(cid:140)(cid:235)(cid:31)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:81)(cid:100)⊥P(cid:73)C(cid:73)D(cid:175)(cid:140)(cid:235)⊥(cid:31)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:125)(cid:111)(cid:434)(cid:31)P(cid:235)(cid:128) (cid:67)(cid:76)(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)6
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:166)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:211)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:78)(cid:237)(cid:158)(cid:238)(cid:239)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:81)(cid:32)(cid:33)(cid:101)(cid:182)(cid:163)(cid:166)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:236)(cid:76)
(cid:72)3(cid:405)(cid:435)(cid:436)(cid:34)(cid:182)(cid:180)(cid:99)(cid:10) (cid:395)(cid:235)P(cid:70)(cid:117)(cid:157)BC(cid:220)(cid:437)(cid:261)(cid:390)(cid:78) (cid:395)(cid:235)P(cid:70)B(cid:31)(cid:438)(cid:439)(cid:437)(cid:261)(cid:390)(cid:78) (cid:395)(cid:235)P(cid:70)(cid:235)C(cid:31)(cid:440)
(cid:439)(cid:437)(cid:261)(cid:390)(cid:76) ① ② ③
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182)(cid:10) AB DB,CD DB(cid:78)
C= B=90°(cid:78)∵(cid:270)B⊥P=x(cid:78) ⊥
∴∠(cid:395)(cid:235)∠ P(cid:70)(cid:117)(cid:157)BC(cid:220)(cid:437)(cid:261)(cid:390)(cid:78)
①
(cid:395)PB:DC=AB:PC(cid:390)(cid:78) PAB DPC(cid:78)
x 4 △ ∽△
= (cid:78)
6 14−x
∴x =2(cid:78)x =12(cid:171)
1 2
(cid:395)∴ PB:PC=AB:DC(cid:390)(cid:78) PAB PDC(cid:78)
x 4 △ ∽△
= (cid:78)
14−x 6
∴ (cid:182)(cid:120)(cid:10)x=5.6(cid:171)
(cid:395)(cid:235)P(cid:70)B(cid:31)(cid:438)(cid:439)(cid:437)(cid:261)(cid:390)(cid:78)
②
(cid:395)PB:DC=AB:PC(cid:390)(cid:78) PAB DPC(cid:78)
x 4 △ ∽△
= (cid:78)
6 14 x
∴x =− + 7+7 2(cid:78)x =−7−7 2(cid:147)(cid:441)(cid:442)(cid:148)(cid:171)
1 1
∴(cid:395)PB:PC=AB:DC(cid:390)(cid:78) PAB PDC(cid:78)
x 4 △ ∽△
= (cid:78)
14 x 6
∴ (cid:182)(cid:120) + (cid:10)x=28(cid:171)
(cid:395)(cid:235)P(cid:70)(cid:235)C(cid:31)(cid:440)(cid:439)(cid:437)(cid:261)(cid:390)(cid:78)
③(cid:395)PB:DC=AB:PC(cid:390)(cid:78) PAB DPC(cid:78)
x 4 △ ∽△
= (cid:78)
6 x−14
∴x =7+7 2(cid:78)x =7−7 2(cid:147)(cid:441)(cid:442)(cid:148)(cid:171)
1 1
∴(cid:395)PB:PC=AB:DC(cid:390)(cid:78) PAB PDC(cid:78)
x 4 △ ∽△
= (cid:78)
x−14 6
∴ (cid:182)(cid:120)(cid:10)x=−28(cid:147)(cid:441)(cid:442)(cid:148)(cid:171)
(cid:325)(cid:220)(cid:99)(cid:123)(cid:78)(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:31)x(cid:31)(cid:35)(cid:128)6(cid:67)(cid:78)(cid:180)(cid:111)(cid:434)(cid:31)P(cid:235)(cid:128)6(cid:67)(cid:76)
(cid:186)(cid:163)(cid:164)(cid:175)(cid:10)6(cid:76)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)11-1(cid:21)(cid:70)(cid:443)(cid:200)(cid:215)(cid:162)(cid:78)(cid:122)(cid:123)A(cid:147)﹣3(cid:78)0(cid:148)(cid:78)B(cid:147)0(cid:78)﹣4(cid:148)(cid:78)C(cid:147)0(cid:78)1(cid:148)(cid:78)(cid:411)(cid:235)C(cid:66)(cid:116)(cid:117)L(cid:141)x(cid:208)(cid:115)(cid:235)
D(cid:78)(cid:61)(cid:120)(cid:100)(cid:235)D(cid:78)C(cid:78)O(cid:175)(cid:140)(cid:235)(cid:31)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:81) AOB(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:111)(cid:434)(cid:31)(cid:116)(cid:117)(cid:96)(cid:139)(cid:99)(cid:100)(cid:66)(cid:229)(cid:147)(cid:384)(cid:384)(cid:148)
A(cid:76)6(cid:59) B(cid:76)3(cid:59) △ C(cid:76)4(cid:59) D(cid:76)5(cid:59)
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)C
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21) AOB(cid:101)(cid:116)(cid:43)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:78)(cid:119)(cid:66)(cid:31)(cid:100)(cid:235)D(cid:78)C(cid:78)O(cid:175)(cid:140)(cid:235)(cid:31)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:162) COD=90(cid:276)(cid:78)OC(cid:81)AD(cid:99)(cid:83)(cid:101)
(cid:46)(cid:47)(cid:45)(cid:78)△(cid:111)(cid:434)(cid:371)(cid:99)(cid:100)(cid:34)(cid:229)CD(cid:31)(cid:268)(cid:276)(cid:78)(cid:100)C(cid:175)(cid:423)(cid:444)(cid:78)(cid:100)(cid:119)(cid:34)(cid:31)(cid:268)(cid:276)(cid:175)(cid:445)(cid:446)∠(cid:66)(cid:423)(cid:78)(cid:423)(cid:81)x(cid:208)(cid:128)(cid:42)(cid:67)(cid:141)(cid:235)(cid:78)(cid:218)
(cid:216)(cid:111)(cid:434)(cid:31)(cid:116)(cid:117)(cid:371)(cid:101)(cid:42)(cid:59)(cid:76)(cid:91)(cid:114)(cid:78)(cid:395)OC(cid:81)BD(cid:101)(cid:46)(cid:47)(cid:45)(cid:390)(cid:78)(cid:289)(cid:128)(cid:42)(cid:59)(cid:447)(cid:448)(cid:59)(cid:60)(cid:31)(cid:116)(cid:117)(cid:78)(cid:139)(cid:128)(cid:234)(cid:59)(cid:76)
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182)(cid:10)(cid:100)(cid:235)D(cid:78)C(cid:78)O(cid:175)(cid:140)(cid:235)(cid:31)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:162) COD=90(cid:276)(cid:78)
(cid:395)OC(cid:81)AO(cid:101)(cid:46)(cid:47)(cid:45)(cid:78)(cid:100)C(cid:175)(cid:423)(cid:444)(cid:78)(cid:100)CD(cid:31)∠(cid:268)(cid:276)(cid:175)(cid:445)(cid:446)(cid:66)(cid:423)(cid:78)(cid:423)(cid:81)x(cid:208)(cid:128)(cid:42)(cid:67)(cid:141)(cid:235)(cid:78)(cid:218)(cid:216)(cid:111)(cid:434)(cid:31)(cid:116)(cid:117)(cid:371)
(cid:101)(cid:42)(cid:59)(cid:76)
(cid:91)(cid:114)(cid:78)(cid:395)OC(cid:81)BO(cid:101)(cid:46)(cid:47)(cid:45)(cid:390)(cid:78)(cid:289)(cid:128)(cid:42)(cid:59)(cid:447)(cid:448)(cid:59)(cid:60)(cid:31)(cid:116)(cid:117)(cid:78)
(cid:119)(cid:100)(cid:139)(cid:128)(cid:234)(cid:59)(cid:76)
(cid:186)(cid:54)C(cid:76)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)11-2(cid:21)(cid:107)(cid:28)(cid:78)(cid:70)(cid:252)(cid:29)ABCD(cid:162)(cid:78)AB=7.5,BC=8(cid:78)(cid:235)E(cid:101)AB(cid:220)(cid:96)(cid:235)(cid:78)BE=2(cid:78)(cid:235)P(cid:101)(cid:45)BC(cid:220)(cid:31)(cid:96)(cid:67)(cid:261)(cid:235)(cid:78)
(cid:124)(cid:61)(cid:120)(cid:100)P(cid:73)C(cid:73)D(cid:175)(cid:140)(cid:235)(cid:31)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:81) EBP(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:125)(cid:111)(cid:434)(cid:31)(cid:235)P(cid:128) (cid:67)(cid:76)
△(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)3
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:270)BP=x(cid:76)
(cid:70)(cid:252)(cid:29)ABCD(cid:162)(cid:78) B= C=90°(cid:78)
EB BP ∠ ∠
(cid:395) = (cid:390)(cid:78) EBP PCD(cid:76)
PC CD
△ ∽△
(cid:180) 2 = x ,x =3,x =5(cid:76)
8−x 7.5 1 2
EB BP
(cid:395) = (cid:390)(cid:78) EBP DCP(cid:78)
DC CP
△ ∽△
(cid:180) 2 = x ,x= 32 (cid:76)(cid:325)(cid:220)(cid:119)(cid:406)(cid:78)
7.5 8−x 19
(cid:61)(cid:120)(cid:100)P(cid:73)C(cid:73)D(cid:175)(cid:140)(cid:235)(cid:31)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:81) EBP(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:111)(cid:434)(cid:31)(cid:235)P(cid:128)3(cid:67)(cid:76)
(cid:15)(cid:449)(cid:138)(cid:235)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:42)(cid:67)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:122)(cid:410)(cid:128)△(cid:96)(cid:46)(cid:43)(cid:26)(cid:44)(cid:78)(cid:52)(cid:111)(cid:67)(cid:43)(cid:31)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:3)(cid:215)(cid:47)(cid:330)(cid:167)(cid:450)(cid:42)(cid:405)(cid:435)(cid:436)(cid:78)(cid:128)(cid:31)(cid:91)(cid:11)(cid:99)
(cid:83)(cid:304)(cid:167)(cid:450)(cid:211)(cid:96)(cid:405)(cid:78)(cid:397)(cid:128)(cid:31)(cid:91)(cid:11)(cid:167)(cid:450)(cid:42)(cid:405)(cid:435)(cid:436)(cid:203)(cid:202)(cid:78)(cid:383)(cid:356)(cid:175)(cid:451)(cid:340)(cid:101)(cid:42)(cid:405)(cid:435)(cid:436)(cid:78)(cid:371)(cid:47)(cid:330)(cid:128)(cid:42)(cid:67)(cid:235)P(cid:78)(cid:106)(cid:452)(cid:182)(cid:229)(cid:231)
(cid:453)(cid:95)(cid:96)(cid:41)(cid:76)(cid:119)(cid:100)(cid:95)(cid:34)(cid:229)(cid:454)(cid:202)(cid:176)(cid:108)(cid:101)(cid:455)(cid:456)(cid:40)(cid:242)(cid:305)(cid:214)(cid:31)(cid:76)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)11-3(cid:21)(cid:107)(cid:28)(cid:78) ABO(cid:31)(cid:140)(cid:235)(cid:443)(cid:200)(cid:101)A(2,6)(cid:78)B(3,1)(cid:78)O(0,0)(cid:78)(cid:38)(cid:277)(cid:137)(cid:235)P(cid:61)(cid:120) ABP(cid:81) ABO(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:125)(cid:95)
(cid:81)(cid:235)O(cid:86)(cid:87)(cid:31)(cid:235)P(cid:128) △ (cid:67)(cid:76) △ △
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:21)11
(cid:15)(cid:72)(cid:165)(cid:21)(cid:166)(cid:22)(cid:167)(cid:168)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:43)(cid:29)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:76)(cid:172)(cid:173)(cid:38)(cid:277)(cid:137)(cid:235)P(cid:61)(cid:120) ABP(cid:81) ABO(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:180)(cid:99)(cid:120)(cid:217)(cid:95)(cid:81)(cid:235)O(cid:86)(cid:87)(cid:31)(cid:235)
P(cid:31)(cid:67)(cid:68)(cid:76) △ △
(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:182)(cid:10)(cid:107)(cid:28)(cid:119)(cid:98)(cid:78)(cid:395) ABP= AOB(cid:390)(cid:78) ABP AOB(cid:147)(cid:395)(cid:235)P(cid:70)AB(cid:127)(cid:96)(cid:439)(cid:390)(cid:78)(cid:102)(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:78)(cid:152)(cid:91)(cid:148)(cid:171)
∠ ∠ △ ∽△(cid:107)(cid:28)(cid:119)(cid:98)(cid:78)(cid:395) BAP= AOB(cid:78) ABP= BAO(cid:390)(cid:78) ABP OAB(cid:171)
∠ ∠ ∠ ∠ △ ∽△
(cid:107)(cid:28)(cid:119)(cid:98)(cid:78)(cid:395) P= AOB(cid:78) ABP= BAO(cid:390)(cid:78) ABO BAP(cid:171)
∠ ∠ ∠ ∠ △ ∽△
(cid:107)(cid:28)(cid:119)(cid:98)(cid:78)(cid:395) BAO= BAP(cid:78) AOB= P(cid:390)(cid:78) ABO ABP(cid:147)(cid:235)P(cid:81)(cid:235)O(cid:86)(cid:87)(cid:390)(cid:95)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:148)(cid:76)
∠ ∠ ∠ ∠ △ ∽△
(cid:107)(cid:28)(cid:119)(cid:98)(cid:78)(cid:395) P= BAO(cid:78) ABO= PBA(cid:390)(cid:78) ABO PBA(cid:171)
∠ ∠ ∠ ∠ △ ∽△(cid:107)(cid:28)(cid:119)(cid:98)(cid:78)(cid:395) BAP= ABO(cid:78) ABP= AOB(cid:390)(cid:78) ABO PAB(cid:171)
∠ ∠ ∠ ∠ △ ∽△
(cid:325)(cid:220)(cid:119)(cid:406)(cid:78)(cid:183)(cid:87)(cid:22)(cid:184)(cid:31)(cid:235)P(cid:31)(cid:136)(cid:457)(cid:128)11(cid:67)(cid:76)
(cid:186)(cid:163)(cid:164)(cid:175)(cid:10)11(cid:76)