文档文本内容
专题 23.4 相似三角形的性质（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)
(cid:15)(cid:22)(cid:23)1 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:21)................................................................................................................1
(cid:15)(cid:22)(cid:23)2 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:21)....................................................................................................2
(cid:15)(cid:22)(cid:23)3 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:21)....................................................................................................3
(cid:15)(cid:22)(cid:23)4 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:3)(cid:46)(cid:21)................................................................................5
(cid:15)(cid:22)(cid:23)5 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:21)....................................................................................6
(cid:15)(cid:22)(cid:23)6 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:51)(cid:22)(cid:21)............................................................................7
(cid:15)(cid:22)(cid:23)7 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:56)(cid:57)(cid:51)(cid:22)(cid:21)....................................................................................9
(cid:15)(cid:22)(cid:23)8 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:58)(cid:59)(cid:51)(cid:22)(cid:21)..................................................................................11
(cid:15)(cid:22)(cid:23)9 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:51)(cid:22)(cid:21)..............................................................................12
(cid:15)(cid:22)(cid:23)10 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:63)(cid:35)(cid:51)(cid:22)(cid:21)..................................................................................13
知识点1 相似三角形中对应高、角平分线、中线的比
1. (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:31)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:26)(cid:27)(cid:67)(cid:70)
2. (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:64)(cid:65)(cid:29)(cid:71)(cid:72)(cid:43)(cid:31)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:26)(cid:27)(cid:67)(cid:70)
3. (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:64)(cid:65)(cid:73)(cid:43)(cid:31)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:26)(cid:27)(cid:67)(cid:70)
知识点2 相似三角形的周长比、面积比
1. (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:74)(cid:75)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:26)(cid:27)(cid:67)(cid:70)
2. (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:76)(cid:77)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:26)(cid:27)(cid:67)(cid:31)(cid:71)(cid:78)(cid:70)
【题型1 利用相似三角形的性质求值】
(cid:15)(cid:79)1(cid:21)(cid:80)2025·(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)·(cid:73)(cid:86)(cid:87)(cid:22)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:75)(cid:91)(cid:72)(cid:92)(cid:93)10cm(cid:94)6cm(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:31)(cid:74)(cid:75)(cid:100)(cid:94)
(cid:101)48cm(cid:95)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:74)(cid:75)(cid:93)(cid:80) (cid:88)
A(cid:70)14cm B(cid:70)18cm C(cid:70)30cm D(cid:70)34cm
(cid:15)(cid:106)(cid:107)1-1(cid:21)(cid:108)ΔABC ΔDEF,(cid:109)(cid:110)A(cid:111)B(cid:111)C(cid:72)(cid:92)(cid:38)D(cid:111)E(cid:111)F(cid:64)(cid:65)(cid:95)(cid:97)AB:DE=1:4(cid:95)(cid:112)(cid:113)(cid:89)(cid:90)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:65)
(cid:73)(cid:43)(cid:100)(cid:67)(cid:101)(cid:80) (cid:88) ∼
A(cid:70)1:2 B(cid:70)1:4 C(cid:70)1:8 D(cid:70)1:16(cid:15)(cid:106)(cid:107)1-2(cid:21)(cid:80)24-25(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)·(cid:83)(cid:118)(cid:117)(cid:119)·(cid:120)(cid:121)(cid:88)(cid:108) ABC DEF(cid:95)AB=6,DE=4(cid:95)(cid:112)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:31)(cid:93)(cid:80) (cid:88)
A(cid:70) B= E B(cid:70)D △ F= 2 AC ∽△
3
∠ ∠
C(cid:70)S = 9 S D(cid:70)BC= 9 EF
ABC 4 DEF 4
△ △
(cid:15)(cid:106)(cid:107)1-3(cid:21)(cid:80)2025·(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)·(cid:132)(cid:133)(cid:88)(cid:134)(cid:55)(cid:95)(cid:135)(cid:136)(cid:95)Rt ABC(cid:73)(cid:95) ACB=90°(cid:95)AC=BC(cid:95)(cid:110)D(cid:137)AB(cid:117)(cid:95)(cid:97)AD=
AC(cid:95)(cid:110)E(cid:101) ABC(cid:138)(cid:139)(cid:110)(cid:95)(cid:140)(cid:141)DE(cid:111)AE(cid:95)(cid:108) ADE △CDB(cid:95)(cid:112)∠CDE(cid:31)(cid:142)(cid:57)(cid:93)(cid:80) (cid:88)
△ △ ∽△ ∠
A(cid:70)45° B(cid:70)36° C(cid:70)30° D(cid:70)22.5°
【题型2 利用相似三角形的判定与性质求值】
(cid:15)(cid:79)2(cid:21)(cid:137) ABC(cid:73)(cid:95)D(cid:95)E(cid:72)(cid:92)(cid:101)AB(cid:95)AC(cid:117)(cid:139)(cid:110)(cid:95)BE(cid:95)CD(cid:143)(cid:69)(cid:110)F(cid:70)
△
(1)(cid:144) ABE(cid:31)(cid:76)(cid:77)(cid:101)S (cid:95) ACD(cid:31)(cid:76)(cid:77)(cid:101)S (cid:95)(cid:97)S =S (cid:70)
1 2 1 2
(cid:134)△(cid:55) (cid:95)(cid:140)(cid:141)DE(cid:70)(cid:108)△A=90°(cid:95)(cid:34)(cid:39)(cid:10)DE BC(cid:145)
① ① ∠ EF∥
(cid:134)(cid:55) (cid:95)(cid:108) FBC=45°(cid:95) FCB=30°(cid:95)(cid:34) (cid:31)(cid:35)(cid:70)
DF
② (2)(cid:134)(cid:55)②(cid:95)(cid:108) ∠ A=90°(cid:95)CE= ∠ kAB(cid:95)BD=kAE(cid:95)DC=2BE(cid:95)(cid:146)(cid:141)(cid:147)(cid:148)k(cid:31)(cid:35)(cid:70)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)③2-1(cid:21)(cid:80)∠24-25(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)·(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:85)·(cid:120)(cid:121)(cid:88)(cid:134)(cid:55)(cid:95)(cid:152)(cid:91)(cid:30)ABCD(cid:101)(cid:71)(cid:153)(cid:152)(cid:91)(cid:30)(cid:95)CE:EF:FD=1:2:3(cid:95)AE(cid:95)BF
(cid:26)(cid:143)(cid:69)(cid:110)G(cid:70)(cid:144) EFG(cid:94) ABG(cid:31)(cid:76)(cid:77)(cid:72)(cid:92)(cid:101)S (cid:95)S (cid:95)(cid:108)S =3(cid:95)(cid:112)S =(cid:80) (cid:88)
1 2 1 2
△ △A(cid:70)6 B(cid:70)9 C(cid:70)18 D(cid:70)27
(cid:15)(cid:106)(cid:107)2-2(cid:21)(cid:134)(cid:55)(cid:95)(cid:137)(cid:154)(cid:78)(cid:30)(cid:155)(cid:156)(cid:73)(cid:95) ABC(cid:111) EDF(cid:31)(cid:109)(cid:110)(cid:157)(cid:137)(cid:154)(cid:78)(cid:30)(cid:155)(cid:156)(cid:31)(cid:156)(cid:110)(cid:117)(cid:95) ABC EDF(cid:95)(cid:112)
ABC+ ACB(cid:31)(cid:142)(cid:57)(cid:101)(cid:80) (cid:88) △ △ △ ∽△
∠ ∠
A(cid:70)75° B(cid:70)60° C(cid:70)55° D(cid:70)45°
(cid:15)(cid:106)(cid:107)2-3(cid:21)(cid:134)(cid:55) (cid:95)(cid:137)Rt ABC(cid:73)(cid:95)AC=BC(cid:95) ACB=90°(cid:95)(cid:110)D(cid:101)BC(cid:91)(cid:117)(cid:31)(cid:139)(cid:110)(cid:95)(cid:140)(cid:141)AD(cid:95)(cid:158)(cid:110)C(cid:54)
CE AD(cid:69)(cid:110)F(cid:95)(cid:143)①AB(cid:69)(cid:110)E△(cid:95)(cid:140)(cid:141)DE(cid:70) ∠
⊥
(1)(cid:108)AE=2BE(cid:95)(cid:34)(cid:39)(cid:10)AF=2CF(cid:145)
BE
(2)(cid:134)(cid:55) (cid:95)(cid:108)AB= 2(cid:95)DE BC(cid:95)(cid:34) (cid:31)(cid:35)(cid:70)
AE
② ⊥
【题型3 利用相似三角形的判定与性质证明】
(cid:15)(cid:79)3(cid:21)(cid:80)2025·(cid:128)(cid:129)(cid:159)(cid:128)·(cid:28)(cid:133)(cid:88)O(cid:101)(cid:152)(cid:91)(cid:30)ABCD(cid:160)(cid:139)(cid:110)(cid:95)OA=OD(cid:95)OB=OC(cid:95) AOD+ BOC=180°(cid:70)
∠ ∠
(1)(cid:134)(cid:55)1(cid:95) AOB=90°(cid:95)(cid:34)(cid:39)(cid:10)AB=CD(cid:70)
(2)(cid:134)(cid:55)2(cid:95)E∠(cid:101)CD(cid:31)(cid:73)(cid:110)(cid:95)(cid:97) OED= AOB(cid:70)
∠ ∠OC
(cid:80)i(cid:88)(cid:34) (cid:31)(cid:35)(cid:145)
CD
AB OD
(cid:80)ii(cid:88)(cid:34)(cid:39)(cid:10) = (cid:70)
CD OC
(cid:15)(cid:106)(cid:107)3-1(cid:21)(cid:134)(cid:55)(cid:95)(cid:135)(cid:136)(cid:161)(cid:30)ABCD(cid:73)(cid:95)AD BC(cid:70)E(cid:93)(cid:91)AB(cid:117)(cid:139)(cid:110)(cid:95)CE(cid:38)(cid:64)(cid:29)(cid:43)BD(cid:143)(cid:69)(cid:110)F(cid:95)(cid:97)BE2=EFEC(cid:70)
∥ ⋅
(cid:34)(cid:39)(cid:10)
(1) ABD FCB(cid:145)
(2)B△DBE∼=A△DCE(cid:70)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)⋅ 3-2(cid:21)(cid:80)⋅ 24-25(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:122)·(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:150)·(cid:120)(cid:73)(cid:88)(cid:134)(cid:55)(cid:95)(cid:165)(cid:30)ABCD(cid:73)P(cid:101)(cid:64)(cid:29)(cid:43)BD(cid:117)(cid:139)(cid:58)(cid:110)(cid:95)(cid:158)P(cid:110)(cid:54)PE
CD(cid:143)AC(cid:69)(cid:69)(cid:110)E(cid:95)(cid:54)PF AC(cid:143)AD(cid:69)(cid:110)F(cid:95)(cid:140)(cid:141)DE(cid:111)BE(cid:70) ∥
∥
(1)(cid:108)FP=EP(cid:95)
(cid:34)(cid:39)(cid:10)DE(cid:71)(cid:72) BDC(cid:145)
① (cid:34)(cid:39)(cid:10) 1 + 1 = ∠1(cid:145)
AB AO FP
②
(2)(cid:135)(cid:136)DO=DE=4(cid:95) (cid:97)P(cid:101)DO(cid:31)(cid:73)(cid:110)(cid:95) (cid:34)(cid:165)(cid:30)ABCD(cid:31)(cid:74)(cid:75)(cid:70)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)3-3(cid:21)(cid:80)2025·(cid:166)(cid:167)(cid:118)(cid:168)·(cid:139)(cid:133)(cid:88)(cid:169)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:10)(cid:173)(cid:174)(cid:55)(cid:30)(cid:73)(cid:175)(cid:176)(cid:60)(cid:175)(cid:177)(cid:31)(cid:133)(cid:23)(cid:95)“(cid:139)(cid:43)(cid:28)(cid:68)(cid:29)”(cid:93)(cid:178)(cid:73)(cid:179)(cid:180)
(cid:173)(cid:174)(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:31)(cid:185)(cid:79)(cid:95)(cid:135)(cid:136)A,E,B(cid:28)(cid:110)(cid:186)(cid:43)(cid:95)(cid:97) A= DEC= B(cid:31)(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:100)(cid:101)“(cid:139)(cid:43)(cid:28)(cid:68)(cid:29)”(cid:145)(cid:191)(cid:192)(cid:99)(cid:139)(cid:193)(cid:194)
(cid:41)(cid:42)(cid:98)(cid:195)(cid:175)(cid:196)(cid:197)(cid:173)(cid:174)(cid:55)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:198)(cid:199) ∠ ∠ ∠(1)(cid:15)(cid:200)(cid:79)(cid:41)(cid:42)(cid:21)(cid:134)(cid:55)(cid:95)(cid:135)(cid:136)A,E,B(cid:28)(cid:110)(cid:137)(cid:201)(cid:139)(cid:202)(cid:146)(cid:43)(cid:117)(cid:95) A= B= DEC=90°(cid:95)(cid:34)(cid:39)(cid:10)Rt ADE Rt BEC
(2)(cid:15)(cid:53)(cid:203)(cid:204)(cid:61)(cid:21)(cid:134)(cid:205) A= B= DEC(cid:95)(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:39)(cid:40)(cid:113)(cid:89)(cid:90)(cid:28)∠ (cid:29)∠(cid:30)(cid:26)∠(cid:27)(cid:209)(cid:199)(cid:34)(cid:39)(cid:10) ADE △ BEC∽ △
(3)(cid:15)(cid:210)(cid:79)(cid:65)(cid:25)(cid:21)(cid:134)(cid:205)∠A=∠B=∠DEC(cid:95)(cid:108)(cid:110)E(cid:93)AB(cid:31)(cid:73)(cid:110)(cid:95)(cid:34)(cid:39)(cid:10)DE2=ADDC △ ∽△
∠ ∠ ∠ ⋅
【题型4 利用相似三角形的判定与性质探究线段间关系】
(cid:15)(cid:79)4(cid:21)(cid:134)(cid:55)1(cid:95)(cid:137)Rt ABC(cid:94)Rt ADE(cid:73)(cid:95) BAC= DAE=90°(cid:95)AC= 21(cid:95)AB= 7(cid:95) AE= 3(cid:95)AD=1(cid:95)(cid:211) DAE
(cid:212)(cid:110)A(cid:137)(cid:71)(cid:76)(cid:160)(cid:213)(cid:214)(cid:215)△(cid:216)(cid:217)α(0°≤△α≤360°)(cid:95)(cid:140)∠ (cid:141)CE∠(cid:95)BD(cid:70) △
(1)(cid:34)(cid:39)(cid:10) ADB AEC(cid:145)
(2)(cid:218)(cid:36)(cid:219)△(cid:43)(cid:44)CE∽(cid:94)△BD(cid:31)(cid:3)(cid:46)(cid:95)(cid:96)(cid:124)(cid:40)(cid:184)(cid:220)(cid:145)
(3)(cid:221)(cid:110)B(cid:111)D(cid:111)E(cid:137)(cid:201)(cid:139)(cid:202)(cid:146)(cid:43)(cid:117)(cid:214)(cid:95)(cid:146)(cid:141)(cid:147)(cid:148)(cid:43)(cid:44)CE(cid:31)(cid:75)(cid:145)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)4-1(cid:21)(cid:222)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:80)(cid:223)(cid:93)(cid:68)(cid:224)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:88)(cid:139)(cid:90)(cid:109)(cid:110)(cid:225)(cid:139)(cid:202)(cid:226)(cid:43)(cid:38)(cid:64)(cid:91)(cid:26)(cid:143)(cid:95)(cid:109)(cid:110)(cid:38)(cid:143)(cid:110)(cid:100)(cid:45)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:227)(cid:113)(cid:90)
(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:72)(cid:228)(cid:229)(cid:89)(cid:90)(cid:105)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:95)(cid:134)(cid:205)(cid:72)(cid:230)(cid:31)(cid:89)(cid:90)(cid:105)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:73)(cid:139)(cid:90)(cid:101)(cid:68)(cid:224)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:95)(cid:231)(cid:139)(cid:90)(cid:38)(cid:232)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:26)(cid:27)(cid:95)(cid:192)
(cid:99)(cid:227)(cid:113)(cid:202)(cid:43)(cid:44)(cid:233)(cid:234)(cid:113)(cid:90)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:235)(cid:236)(cid:72)(cid:228)(cid:43)(cid:70)
(1)(cid:134)(cid:55)1(cid:95)(cid:137)ΔABC(cid:73)(cid:95) A=46°(cid:95)CD(cid:93)ΔABC(cid:31)(cid:235)(cid:236)(cid:72)(cid:228)(cid:43)(cid:95)(cid:97)AD=CD(cid:95)(cid:34) ACB(cid:31)(cid:142)(cid:57)(cid:70)
(2)(cid:134)(cid:55)2(cid:95)(cid:137)ΔABC(cid:73)(cid:95)A∠C=3(cid:95)BC= 2(cid:95)CD(cid:93)ΔABC(cid:31)(cid:235)(cid:236)(cid:72)(cid:228)(cid:43)(cid:95)(cid:97)ΔACD∠(cid:93)(cid:237)CD(cid:101)(cid:238)(cid:91)(cid:31)(cid:68)(cid:224)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:95)
(cid:239)(cid:148)CD(cid:38)BD(cid:31)(cid:3)(cid:46)(cid:70)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)4-2(cid:21)(cid:134)(cid:55)(cid:95)(cid:227)(cid:165)(cid:30)ABCD(cid:240)(cid:241)GE(cid:111)EC(cid:111)GF(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:242)(cid:230)(cid:110)A(cid:111)B(cid:111)D(cid:243)(cid:244)(cid:157)(cid:245)(cid:137)(cid:110)O(cid:246)(cid:95)(cid:97)(cid:110)G(cid:111)O(cid:111)C
(cid:137)(cid:201)(cid:139)(cid:202)(cid:146)(cid:43)(cid:117)(cid:95)(cid:201)(cid:214)(cid:110)E(cid:111)O(cid:111)F(cid:137)(cid:231)(cid:139)(cid:202)(cid:146)(cid:43)(cid:117)(cid:70)(cid:223)(cid:247)(cid:248)AD=m(cid:111)AB=n(cid:95)(cid:218)(cid:147)(cid:148)m(cid:111)n(cid:100)(cid:45)(cid:31)(cid:68)(cid:249)(cid:3)
(cid:46) (cid:70)(cid:15)(cid:106)(cid:107)4-3(cid:21)(cid:250)(cid:130)(cid:210)(cid:251)(cid:252)(cid:117)(cid:95)(cid:105)(cid:253)(cid:227)(cid:139)(cid:254)(cid:75)(cid:78)(cid:30)(cid:255)(cid:256)ABCD(cid:240)(cid:241)(cid:257)(cid:43)EB(cid:258)(cid:259)(cid:95)(cid:134)(cid:55) (cid:260)(cid:261)(cid:95)(cid:255)(cid:256)Rt CB′E′(cid:104)
(cid:105)(cid:262)(cid:29)(cid:31)(cid:109)(cid:110)E′(cid:137)DE(cid:117)(cid:95)(cid:104)(cid:75)(cid:146)(cid:29)(cid:91)(cid:38)(cid:263)(cid:91)(cid:72)(cid:92)(cid:143)(cid:91)AB(cid:69)(cid:110)G(cid:95)(cid:97)B′E′ AB(cid:101)(cid:264)(cid:265)①(cid:266)(cid:267)(cid:95)(cid:227)Rt CB△′E′(cid:240)(cid:241)DE
(cid:78)(cid:268)(cid:71)(cid:269)(cid:95)(cid:221)(cid:110)E′(cid:270)(cid:271)(cid:110)E(cid:272)(cid:273)(cid:274)(cid:212)(cid:110)E(cid:275)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:95)(cid:134)(cid:55) (cid:95)(cid:146)(cid:270)(cid:110)H⊥(cid:38)(cid:110)B(cid:276)(cid:130)(cid:277)(cid:278)(cid:70)(cid:101)(cid:279)(cid:41)△(cid:34)BH(cid:38)AG
(cid:100)(cid:45)(cid:31)(cid:106)(cid:85)(cid:3)(cid:46)(cid:95)(cid:144)AG=m(cid:95)(cid:218)(cid:25)(cid:280)m(cid:31)(cid:281)(cid:57)(cid:107)(cid:282)(cid:261)BH(cid:70) ③
(cid:80)1(cid:88)(cid:137)(cid:71)(cid:269)(cid:158)(cid:283)(cid:73)(cid:95)BH= (cid:95)
(cid:80)2(cid:88)(cid:137)(cid:216)(cid:217)(cid:158)(cid:283)(cid:73)(cid:95)BH= (cid:70)
【题型5 利用相似三角形的判定与性质解决翻折问题】
(cid:15)(cid:79)5(cid:21)(cid:80)2025·(cid:149)(cid:284)(cid:285)(cid:286)·(cid:133)(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:88)(cid:137)(cid:165)(cid:30)ABCD(cid:31)(cid:64)(cid:29)(cid:43)BD(cid:117)(cid:290)(cid:139)(cid:110)E(cid:95)(cid:242)(cid:230)DE=2BE(cid:95)(cid:140)(cid:141)CE(cid:95)(cid:211) CEB
(cid:240)CE(cid:49)(cid:50)(cid:230)(cid:270) CEF(cid:95)(cid:140)(cid:141)AF,BF(cid:70) △
△
(cid:80)1(cid:88) AFB= (cid:145)
(cid:80)2(cid:88)∠(cid:108)AB=6,BC=9(cid:95)(cid:112)AF= (cid:70)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)5-1(cid:21)(cid:80)2025·(cid:83)(cid:291)(cid:292)(cid:293)·(cid:139)(cid:133)(cid:88)(cid:134)(cid:55)(cid:95) ABC(cid:31)(cid:73)(cid:266)(cid:43)DE=5cm(cid:95)(cid:227) ABC(cid:240)DE(cid:50)(cid:294)(cid:95)(cid:242)(cid:110)A(cid:245)(cid:137)(cid:91)BC
(cid:117)(cid:31)(cid:110)F(cid:246)(cid:95)(cid:108)A(cid:111)F(cid:89)(cid:110)(cid:45)(cid:31)(cid:295)(cid:296)(cid:93)8cm(cid:95)△(cid:112) DEF(cid:31)(cid:76)(cid:77)(cid:101)(cid:80) (cid:88) △
△A(cid:70)5cm2 B(cid:70)10cm2 C(cid:70)20cm2 D(cid:70)40cm2
(cid:15)(cid:106)(cid:107)5-2(cid:21)(cid:80)2025·(cid:149)(cid:284)(cid:297)(cid:298)·(cid:139)(cid:133)(cid:88)(cid:134)(cid:55)(cid:95)(cid:165)(cid:30)ABCD(cid:73)(cid:95)AB<BC(cid:95)AB=4(cid:95)E(cid:101)BC(cid:91)(cid:117)(cid:139)(cid:110)(cid:95)(cid:97)BE=2(cid:95)(cid:211)
ABE(cid:240)(cid:146)(cid:43)AE(cid:49)(cid:50)(cid:272)(cid:95)(cid:110)B(cid:245)(cid:137)(cid:110)F(cid:246)(cid:95) ABC(cid:31)(cid:29)(cid:71)(cid:72)(cid:43)(cid:143)(cid:43)(cid:44)AF(cid:95)AD(cid:72)(cid:92)(cid:69)(cid:110)H(cid:95)G(cid:95)(cid:112)(cid:43)(cid:44)FH(cid:31)
△(cid:75)(cid:101) (cid:70) ∠
(cid:15)(cid:106)(cid:107)5-3(cid:21)(cid:80)2025·(cid:299)(cid:168)(cid:300)(cid:301)·(cid:132)(cid:133)(cid:88)(cid:134)(cid:55)(cid:95)(cid:137) ABC(cid:73)(cid:95) BAC=90°(cid:95)AD(cid:101)BC(cid:117)(cid:31)(cid:73)(cid:43)(cid:95)(cid:211) ADC(cid:240)(cid:146)(cid:43)AD
△ ∠ BE 2 △
(cid:49)(cid:50)(cid:230)(cid:270) ADC′(cid:95)C′D(cid:38)AB(cid:143)(cid:69)(cid:110)F(cid:95)(cid:140)(cid:141)C′C(cid:38)AB,AD(cid:72)(cid:92)(cid:143)(cid:69)(cid:110)E,O(cid:95)(cid:140)(cid:141)C′B(cid:95)(cid:108) = (cid:95)(cid:112)(cid:122)(cid:123)(cid:61)(cid:62)(cid:154)
AE 3
△
(cid:302)(cid:31)(cid:93)(cid:80) (cid:88)
A(cid:70)AF=2BF B(cid:70)(cid:108)AD=2(cid:95)(cid:112) ADC=60°
C(cid:70)2S =S D(cid:70)CC′(cid:303)(cid:146)(cid:71)(cid:72)∠AD
BFC′ ADF
△ △
【题型6 利用相似三角形的判定与性质解决尺规作图问题】
(cid:15)(cid:79)6(cid:21)(cid:80)2025·(cid:304)(cid:305)(cid:168)(cid:306)·(cid:132)(cid:133)(cid:88)(cid:134)(cid:55)(cid:95)(cid:135)(cid:136)(cid:165)(cid:30)ABCD(cid:95)AB=a(cid:95)BC=b(cid:95)(cid:139)(cid:307)(cid:308)(cid:43)(cid:222)AB(cid:91)(cid:117)(cid:31)(cid:110)E(cid:148)(cid:309)(cid:95)(cid:240)
EP(cid:31)(cid:78)(cid:268)(cid:226)(cid:148)(cid:95)(cid:310)BC(cid:91)(cid:311)(cid:226)(cid:272)(cid:95)(cid:230)(cid:270)(cid:311)(cid:226)(cid:308)(cid:43)PQ(cid:95)(cid:312)(cid:310)CD(cid:91)(cid:311)(cid:226)(cid:272)(cid:95)(cid:230)(cid:270)(cid:311)(cid:226)(cid:308)(cid:43)QK…(cid:313)(cid:314)(cid:308)(cid:31)(cid:311)(cid:226)(cid:232)
(cid:184)(cid:95)(cid:315)(cid:139)(cid:316)(cid:31)(cid:311)(cid:226)(cid:95)(cid:311)(cid:226)(cid:31)(cid:29)(cid:142)(cid:68)(cid:69)(cid:317)(cid:226)(cid:31)(cid:29)(cid:142)(cid:95)(cid:79)(cid:134)(cid:10) QPC= EPB(cid:70)
∠ ∠(1)(cid:134)(cid:55)1(cid:95)(cid:223)(cid:318)(cid:309)(cid:180)(cid:10)(cid:308)(cid:43)EP(cid:310)(cid:158)(cid:89)(cid:316)(cid:311)(cid:226)(cid:272)(cid:95)(cid:230)(cid:270)(cid:311)(cid:226)(cid:308)(cid:43)QK(cid:38)(cid:232)(cid:317)(cid:226)(cid:308)(cid:43)EP(cid:71)(cid:153)(cid:70)(cid:218)(cid:319)(cid:237)(cid:39)(cid:40)(cid:145)
(2)(cid:218)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:137)(cid:55)2(cid:54)(cid:148)(cid:311)(cid:226)(cid:110)F(cid:95)(cid:242)(cid:230)(cid:308)(cid:43)EF(cid:310)BC(cid:91)(cid:311)(cid:226)(cid:272)(cid:230)(cid:270)(cid:31)(cid:311)(cid:226)(cid:308)(cid:43)(cid:208)(cid:310)(cid:158)CD(cid:91)(cid:117)(cid:31)(cid:110)G(cid:145)(cid:80)(cid:320)(cid:321)
(cid:54)(cid:55)(cid:322)(cid:323)(cid:95)(cid:223)(cid:147)(cid:54)(cid:125)(cid:88)
(3)(cid:134)(cid:205)(cid:324)(cid:191)(cid:308)(cid:43)EF(cid:325)(cid:316)(cid:310)BC(cid:95)CD(cid:95)AD(cid:91)(cid:28)(cid:316)(cid:311)(cid:226)(cid:272)(cid:326)(cid:270)(cid:148)(cid:309)(cid:110)E(cid:95)(cid:112)(cid:317)(cid:226)(cid:308)(cid:43)(cid:31)(cid:29)(cid:142)(cid:65)(cid:327)(cid:328)(cid:329)(cid:330)(cid:31)(cid:202)
(cid:331)(cid:199)(cid:218)(cid:124)(cid:40)(cid:184)(cid:220)(cid:70)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)6-1(cid:21)(cid:80)24-25(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:122)·(cid:304)(cid:305)(cid:332)(cid:333)·(cid:334)(cid:44)(cid:335)(cid:336)(cid:88)(cid:134)(cid:55)(cid:95)(cid:137) ABC(cid:73)(cid:95) ACB(cid:31)(cid:71)(cid:72)(cid:43)(cid:143)AB(cid:69)(cid:110)D(cid:70)
△ ∠
(1)(cid:218)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:137)AC(cid:91)(cid:117)(cid:34)(cid:54)(cid:110)E(cid:95)(cid:242)(cid:230)EC=ED(cid:80)(cid:223)(cid:147)(cid:54)(cid:125)(cid:95)(cid:320)(cid:321)(cid:54)(cid:55)(cid:322)(cid:323)(cid:88)(cid:145)
(2)(cid:137)(cid:80)1(cid:88)(cid:31)(cid:202)(cid:331)(cid:122)(cid:95)(cid:108) AD = 1(cid:95)BC=10(cid:95)(cid:34)DE(cid:31)(cid:75)(cid:70)
BD 3
(cid:15)(cid:106)(cid:107)6-2(cid:21)(cid:80)24-25(cid:337)(cid:115)(cid:116)(cid:122)·(cid:276)(cid:338)·(cid:120)(cid:121)(cid:88)(cid:105)(cid:339)(cid:137)(cid:11)(cid:336)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:214)(cid:95)(cid:340)(cid:148)(cid:51)(cid:22)(cid:10)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:139)(cid:202)(cid:160)(cid:29)(cid:29)(cid:71)(cid:72)
(cid:43)(cid:95)(cid:211)(cid:178)(cid:64)(cid:91)(cid:260)(cid:72)(cid:229)(cid:31)(cid:89)(cid:202)(cid:43)(cid:44)(cid:38)(cid:113)(cid:90)(cid:29)(cid:31)(cid:89)(cid:91)(cid:93)(cid:341)(cid:64)(cid:65)(cid:229)(cid:67)(cid:79)(cid:199)(cid:101)(cid:279)(cid:47)(cid:48)(cid:51)(cid:22)(cid:95)(cid:342)(cid:343)(cid:259)(cid:279)(cid:237)(cid:122)(cid:41)(cid:42)(cid:70)
(1)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:235)(cid:229)(cid:237)(cid:122)(cid:344)(cid:300)(cid:54)(cid:55)(cid:10)(cid:54) ABC(cid:31)(cid:29)(cid:71)(cid:72)(cid:43)BM(cid:143)AC(cid:69)(cid:110)D(cid:95)(cid:137)(cid:226)(cid:43)BM(cid:117)(cid:290)(cid:139)(cid:110)E(cid:95)(cid:242)(cid:230)AE=AB(cid:95)(cid:140)
(cid:141)AE(cid:80)(cid:320)(cid:321)(cid:54)(cid:55)(cid:322)(cid:323)(cid:95)(cid:223)(cid:147)(cid:54)(cid:125)△(cid:95)(cid:223)(cid:122)(cid:61)(cid:62)(cid:88)(cid:70)
(2)(cid:34)(cid:39)(cid:10) AD = AB
CD CB
(cid:39)(cid:40)(cid:10)BM(cid:71)(cid:72) ABC
∠ (cid:145)
①(cid:312) AE=AB
∵AEB= ABE
∴∠ ∠ (cid:145)
②AE BC
∴ A∥ED CBD
∴△AD AE∽△
=
CD CB
∵
(cid:312) AE=AB
∵ (cid:145)
③(cid:325)(cid:314)(cid:117)(cid:345)(cid:39)(cid:40)(cid:95)(cid:105)(cid:339)(cid:346)(cid:237)(cid:230)(cid:148)(cid:61)(cid:62)(cid:10) (cid:70)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)6-3(cid:21)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:73)(cid:95)(cid:109)(cid:29)(cid:68)(cid:69)36 (cid:31)④(cid:68)(cid:224)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:190)(cid:101)(cid:285)(cid:347)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:95)(cid:134)(cid:55)1(cid:95)(cid:137) ABC(cid:73)(cid:95)(cid:135)(cid:136)(cid:10)AB=AC(cid:95)
∘
(cid:97) A=36 ． △
∘
(1)∠(cid:137)(cid:55)1(cid:73)(cid:95)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:54)AB(cid:31)(cid:303)(cid:146)(cid:71)(cid:72)(cid:43)(cid:143)AC(cid:69)D(cid:95)(cid:96)(cid:140)(cid:141)BD(cid:80)(cid:320)(cid:321)(cid:54)(cid:55)(cid:322)(cid:323)(cid:95)(cid:223)(cid:147)(cid:54)(cid:125)(cid:88)(cid:145)
(2) BCD(cid:93)(cid:223)(cid:93)(cid:285)(cid:347)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:199)(cid:134)(cid:205)(cid:93)(cid:95)(cid:218)(cid:348)(cid:148)(cid:39)(cid:40)(cid:145)(cid:134)(cid:205)(cid:223)(cid:93)(cid:95)(cid:218)(cid:124)(cid:40)(cid:184)(cid:220)(cid:145)
△BC
(3)(cid:144) =k(cid:95)(cid:349)(cid:34)k(cid:31)(cid:35)(cid:145)
AC
BC
(4)(cid:134)(cid:55)2(cid:95)(cid:137) A B C (cid:73)(cid:95)(cid:135)(cid:136)A B =A C ， A =108 (cid:95)(cid:97)A B =AB(cid:95)(cid:218)(cid:146)(cid:141)(cid:147)(cid:148) (cid:31)(cid:35)(cid:70)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B C
1 1
∘
△ ∠
【题型7 利用相似三角形的判定与性质解决函数问题】
(cid:15)(cid:79)7(cid:21)(cid:80)24-25(cid:337)(cid:115)(cid:116)(cid:122)·(cid:350)(cid:17)(cid:351)(cid:352)·(cid:259)(cid:11)(cid:86)(cid:349)(cid:88)(cid:134)(cid:55)(cid:95)(cid:137)Rt ABC(cid:73)(cid:95)AB=3,BC=4(cid:95)(cid:110)D(cid:222)(cid:110)C(cid:148)(cid:309)(cid:240)CB
(cid:78)(cid:268)(cid:237)1cm/s(cid:268)(cid:110)B(cid:353)(cid:354)(cid:355)(cid:58)(cid:95)(cid:158)(cid:110)D(cid:54)DE BC(cid:69)(cid:110)D(cid:70)(cid:237)△DE(cid:260)(cid:137)(cid:146)(cid:43)(cid:101)(cid:64)(cid:190)(cid:356)(cid:95)(cid:211) CDE(cid:50)(cid:294)(cid:95)(cid:110)C(cid:31)
(cid:64)(cid:65)(cid:110)(cid:101)C′(cid:95)(cid:269)(cid:58)(cid:158)(cid:283)(cid:73) EDC′(cid:38) ABC(cid:276)(cid:294)⊥(cid:357)(cid:72)(cid:31)(cid:76)(cid:77)(cid:101)S(cm2)(cid:95)(cid:355)(cid:58)(cid:214)(cid:45)t(s)(cid:95)(cid:112)△S(cid:38)t(cid:100)(cid:45)(cid:56)(cid:57)(cid:3)(cid:46)
(cid:31)(cid:55)(cid:358)(cid:19)(cid:359)(cid:93)(cid:80)(cid:360)(cid:360)(cid:88) △ △A(cid:70) B(cid:70)
C(cid:70) D(cid:70)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)7-1(cid:21)(cid:134)(cid:55)1(cid:95)(cid:137)(cid:165)(cid:30)ABCD(cid:73)(cid:95)(cid:58)(cid:110)E(cid:222)(cid:110)A(cid:148)(cid:309)(cid:95)(cid:240)AB→BC(cid:78)(cid:268)(cid:355)(cid:58)(cid:95)(cid:221)(cid:110)E(cid:270)(cid:271)(cid:110)C(cid:214)(cid:277)(cid:278)
(cid:355)(cid:58)(cid:95)(cid:158)(cid:110)E(cid:54)FE AE(cid:95)(cid:143)CD(cid:69)(cid:110)F(cid:95)(cid:144)(cid:110)E(cid:31)(cid:355)(cid:58)(cid:361)(cid:283)(cid:101)x(cid:95)FC=y(cid:95)(cid:134)(cid:55)2(cid:260)(cid:282)(cid:261)(cid:31)(cid:93)y(cid:38)x(cid:31)(cid:56)(cid:57)(cid:3)
⊥ 4
(cid:46)(cid:31)(cid:19)(cid:359)(cid:55)(cid:358)(cid:95)(cid:221)(cid:110)E(cid:137)BC(cid:117)(cid:355)(cid:58)(cid:214)(cid:95)FC(cid:31)(cid:63)(cid:19)(cid:75)(cid:142)(cid:93) (cid:95)(cid:112)(cid:165)(cid:30)ABCD(cid:31)(cid:76)(cid:77)(cid:93)(cid:80) (cid:88)
5
A(cid:70)20 B(cid:70)16 C(cid:70)6 5 D(cid:70)8 5
(cid:15)(cid:106)(cid:107)7-2(cid:21)(cid:134)(cid:55)1(cid:95)(cid:137)Rt ABC(cid:73)(cid:95) C=90°(cid:95)BC=8(cid:95)(cid:110)D(cid:93)BC(cid:117)(cid:139)(cid:110)(cid:95)(cid:178)(cid:73) ACD BCA(cid:70)(cid:110)P(cid:240)BC(cid:222)(cid:110)
C(cid:355)(cid:58)(cid:270)(cid:110)B(cid:95)(cid:144)CP(cid:31)(cid:75)(cid:142)△(cid:101)x(cid:95)PA+P∠D=y(cid:95)(cid:55)2(cid:93)(cid:110)P(cid:355)(cid:58)(cid:214)y(cid:362)x(cid:106)(cid:85)(cid:31)(cid:3)(cid:46)(cid:55)△(cid:358)(cid:95)∽(cid:112)△(cid:55)2(cid:73)(cid:63)(cid:363)(cid:110)M(cid:31)(cid:364)
(cid:365)(cid:101)(cid:80) (cid:88)
A(cid:70)(3,4) B(cid:70)(2,2 5) C(cid:70)(3,2 5) D(cid:70)(2,4)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)7-3(cid:21)(cid:134)(cid:55)(cid:95)(cid:161)(cid:30)ABCD(cid:73)(cid:95)AB DC(cid:95)DE AB(cid:95)CF AB(cid:95)(cid:303)(cid:328)(cid:72)(cid:92)(cid:101)E(cid:111)F(cid:95)(cid:97)AE=EF=FB=5(cid:95)DE
=12(cid:95)(cid:58)(cid:110)P(cid:222)(cid:110)C(cid:148)(cid:309)(cid:95)(cid:240)C→B→A∥→D(cid:31)(cid:78)(cid:268)⊥(cid:237)(cid:315)(cid:366)1⊥(cid:90)(cid:367)(cid:266)(cid:75)(cid:142)(cid:31)(cid:354)(cid:142)(cid:355)(cid:58)(cid:270)(cid:110)D(cid:277)(cid:278)(cid:95)(cid:144)(cid:355)(cid:58)(cid:214)(cid:45)
(cid:101)t(cid:366)(cid:95)y=S (cid:95)(cid:112)y(cid:38)t(cid:100)(cid:45)(cid:31)(cid:56)(cid:57)(cid:55)(cid:358)(cid:19)(cid:359)(cid:93)(cid:80) (cid:88)
CDP
△A． B(cid:70)
C(cid:70) D(cid:70)
【题型8 利用相似三角形的判定与性质解决动态问题】
(cid:15)(cid:79)8(cid:21)2025·(cid:350)(cid:118)·(cid:132)(cid:133)(cid:88)(cid:134)(cid:55)(cid:70)(cid:137)(cid:165)(cid:30)ABCD(cid:73)(cid:95)AB=6cm(cid:95)BC=8cm(cid:95)(cid:64)(cid:29)(cid:43)AC(cid:111)BD(cid:143)(cid:69)(cid:110)O(cid:70)(cid:110)P(cid:222)(cid:110)A
(cid:148)(cid:309)(cid:95)(cid:240)AD(cid:78)(cid:268)(cid:353)(cid:354)(cid:355)(cid:58)(cid:95)(cid:354)(cid:142)(cid:101)1cm/s(cid:145)(cid:201)(cid:214)(cid:110)Q(cid:222)(cid:110)D(cid:148)(cid:309)(cid:240)DC(cid:78)(cid:268)(cid:353)(cid:354)(cid:355)(cid:58)(cid:95)(cid:354)(cid:142)(cid:101)1cm/s(cid:70)(cid:221)(cid:139)(cid:90)
(cid:110)(cid:277)(cid:278)(cid:355)(cid:58)(cid:214)(cid:95)(cid:231)(cid:139)(cid:90)(cid:110)(cid:368)(cid:277)(cid:278)(cid:355)(cid:58)(cid:70)(cid:140)(cid:141)PO(cid:96)(cid:369)(cid:75)(cid:143)BC(cid:69)(cid:110)E(cid:95)(cid:158)(cid:110)Q(cid:54)QF AC(cid:95)(cid:143)BD(cid:69)(cid:110)F(cid:70)(cid:144)(cid:355)(cid:58)
(cid:214)(cid:45)(cid:101)t(s)(0<t<6)(cid:70)(cid:108)(cid:370)(cid:91)(cid:30)OECQF(cid:31)(cid:76)(cid:77)(cid:38)(cid:28)(cid:29)(cid:30)ACD(cid:31)(cid:76)(cid:77)(cid:100)(cid:67)(cid:101)9:16(cid:95)(cid:112)∥t=
(cid:15)(cid:106)(cid:107)8-1(cid:21)(cid:80)2025·(cid:371)(cid:83)(cid:372)(cid:373)·(cid:133)(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:88)(cid:134)(cid:55)(cid:95)(cid:137)(cid:68)(cid:224)(cid:146)(cid:29)(cid:28)(cid:29)(cid:30)ABC(cid:73)(cid:95)BC=8(cid:95)D(cid:93)BC(cid:117)(cid:139)(cid:110)(cid:95)BD<
CD(cid:95)(cid:140)(cid:61)(cid:141)AD(cid:95)(cid:54)DE AD(cid:95)(cid:143)BC(cid:31)(cid:303)(cid:43)CE(cid:69)(cid:110)E(cid:70)(cid:140)(cid:141)AE(cid:95)(cid:143)BC(cid:69)F(cid:95)(cid:108)(cid:144)CF=x, CE=y(cid:95)(cid:137)D(cid:31)(cid:355)(cid:58)(cid:158)
(cid:283)(cid:73)(cid:95)(cid:122)(cid:123)(cid:281)(cid:57)(cid:107)(cid:31)(cid:35)(cid:223)⊥(cid:106)(cid:31)(cid:93)(cid:80) (cid:88)
A(cid:70)x+y B(cid:70)xy C(cid:70)x2+y2 D(cid:70) 1 − 1
x y
(cid:15)(cid:106)(cid:107)8-2(cid:21)(cid:80)2025·(cid:83)(cid:291)(cid:374)(cid:373)·(cid:28)(cid:133)(cid:88)(cid:134)(cid:55)(cid:95)(cid:135)(cid:136) ABC(cid:73)(cid:95) ACB=90°(cid:95)AC=8(cid:95)BC=6(cid:95)(cid:110)M(cid:93)(cid:43)(cid:44)CB(cid:117)(cid:139)
(cid:58)(cid:110)(cid:95)(cid:158)(cid:110)M(cid:54)MN AM(cid:143)AB(cid:69)(cid:110)N(cid:95)(cid:221)(cid:110)M(cid:222)(cid:110)C△(cid:355)(cid:58)(cid:270)(cid:110)B∠(cid:31)(cid:158)(cid:283)(cid:73)(cid:95)(cid:110)N(cid:310)(cid:158)(cid:31)(cid:361)(cid:375)(cid:75)(cid:93) (cid:70)
⊥(cid:15)(cid:106)(cid:107)8-3(cid:21)(cid:80)24-25(cid:337)(cid:115)(cid:116)(cid:122)·(cid:371)(cid:83)(cid:347)(cid:16)·(cid:120)(cid:73)(cid:88)(cid:134)(cid:55)(cid:95)(cid:137)Rt ABC(cid:73)(cid:95) ACB=90°(cid:95) B=30°(cid:95)AB=20(cid:70)(cid:110)P
(cid:222)(cid:110)B(cid:148)(cid:309)(cid:95)(cid:237)(cid:315)(cid:366)2 3(cid:90)(cid:367)(cid:266)(cid:75)(cid:142)(cid:31)(cid:354)(cid:142)(cid:240)BC(cid:268)(cid:376)(cid:110)C(cid:355)△(cid:58)(cid:95)(cid:201)(cid:214)(cid:110)∠M(cid:222)(cid:110)A(cid:148)∠(cid:309)(cid:95)(cid:237)(cid:315)(cid:366)4(cid:90)(cid:367)(cid:266)(cid:31)
(cid:354)(cid:142)(cid:240)AB(cid:268)(cid:376)(cid:110)B(cid:355)(cid:58)(cid:95)(cid:158)(cid:110)P(cid:54)PQ AB(cid:69)(cid:110)Q(cid:95)(cid:140)(cid:61)PQ(cid:95)(cid:237)PQ(cid:111)MQ(cid:101)(cid:377)(cid:91)(cid:54)(cid:165)(cid:30)PQMN(cid:95)(cid:221)(cid:110)P(cid:355)(cid:58)
(cid:270)(cid:376)(cid:110)(cid:214)(cid:95)(cid:378)(cid:90)(cid:355)(cid:58)(cid:277)(cid:278)(cid:95)(cid:110)P(cid:31)(cid:355)(cid:58)⊥(cid:214)(cid:45)(cid:101)t(cid:366)(cid:70)(cid:221)(cid:158)(cid:110)Q(cid:94)(cid:110)N(cid:31)(cid:146)(cid:43)(cid:303)(cid:146)(cid:69)Rt ABC(cid:31)(cid:139)(cid:91)(cid:214)(cid:95)t
= (cid:70) △
【题型9 利用相似三角形的判定与性质解决多结论问题】
(cid:15)(cid:79)9(cid:21)(cid:80)2025·(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:379)(cid:380)(cid:83)·(cid:132)(cid:133)(cid:88)(cid:134)(cid:55)(cid:95)(cid:137)Rt ABC(cid:73)(cid:95)AB=AC, BAC=90°(cid:95)M(cid:93)AC(cid:91)(cid:369)(cid:75)(cid:43)(cid:117)(cid:139)(cid:110)(cid:95)
CD BM(cid:143)BM(cid:31)(cid:69)(cid:110)D(cid:95)E(cid:101)DC(cid:369)(cid:75)(cid:43)(cid:117)(cid:139)(cid:110)(cid:95)(cid:97)△CE=BD(cid:95)N(cid:93)BE(cid:73)∠(cid:110)(cid:95)(cid:140)(cid:141)AE,AN(cid:95)(cid:122)(cid:123)(cid:61)(cid:62)(cid:73)(cid:10) CEA
=45⊥°(cid:145) AN BD(cid:145) (cid:108)AC=CM(cid:95)(cid:112)AE=2 2CD(cid:145) CD=2AN(cid:145) AC2=AEAF(cid:95)(cid:154)(cid:302)(cid:61)(cid:62)(cid:31)(cid:381)(cid:9)(cid:93)①(cid:80) ∠ (cid:88)
② ∥ ③ ④ ⑤ ⋅
A(cid:70) B(cid:70) C(cid:70) D(cid:70)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)①9-1②(cid:21)(cid:80)③2④02⑤5·(cid:81)(cid:82)(cid:83)①(cid:382)②(cid:383)(cid:384)⑤·(cid:28)(cid:133)(cid:88)(cid:134)(cid:55)(cid:95)(cid:137)③(cid:165)④(cid:30)⑤ABCD(cid:73)(cid:95)AB:BC=①2:3②(cid:95)④(cid:110)⑤E(cid:95)F(cid:72)(cid:92)(cid:137)(cid:91)AB(cid:95)BC(cid:117)(cid:95)
EF(cid:143)(cid:69)(cid:110)G(cid:95)(cid:108)G(cid:93)EF(cid:31)(cid:73)(cid:110)(cid:95)(cid:122)(cid:123)(cid:152)(cid:90)(cid:61)(cid:62)(cid:73)(cid:10) AB2+BC2=BD2(cid:145) BG= 1 EF(cid:145) ADB= BFE(cid:145) AE
2
① ② ③∠ ∠ ④
:CF=2:3(cid:95)(cid:154)(cid:302)(cid:31)(cid:93) (cid:80)(cid:385)(cid:381)(cid:9)(cid:386)(cid:346)(cid:88)(cid:15)(cid:106)(cid:107)9-2(cid:21)(cid:80)2025·(cid:387)(cid:388)(cid:75)(cid:389)·(cid:132)(cid:133)(cid:88)(cid:134)(cid:55)(cid:95)(cid:137)(cid:71)(cid:153)(cid:152)(cid:91)(cid:30)ABCD(cid:73)(cid:95) DBC=45°(cid:95)DE BC(cid:69)(cid:110)E(cid:95)BF CD(cid:69)
(cid:110)F(cid:95)(cid:97)DE(cid:111)BF(cid:143)(cid:69)(cid:110)H(cid:95)AD(cid:111)BF(cid:31)(cid:369)(cid:75)(cid:43)(cid:143)(cid:69)(cid:110)G(cid:70) ∠ ⊥ ⊥
A+ EDC=90°(cid:145) BG(cid:71)(cid:72) DBC(cid:145) ABG HEB(cid:95) (cid:108)FC=2DF(cid:95)(cid:112)S =11S (cid:95) (cid:108)(cid:110)F
四边形ABCD DFG
①(cid:101)D∠C(cid:73)∠(cid:110)(cid:95)(cid:112)BE=(②2+1)CE ∠ ③△ ∽△ ④ △ ⑤
(cid:112)(cid:117)(cid:345)(cid:61)(cid:62)(cid:154)(cid:302)(cid:31)(cid:93) (cid:70)(cid:80)(cid:385)(cid:381)(cid:9)(cid:386)(cid:346)(cid:88)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)9-3(cid:21)(cid:80)2025·(cid:390)(cid:17)(cid:166)(cid:391)·(cid:133)(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:88)(cid:134)(cid:55)(cid:95)(cid:137)(cid:154)(cid:78)(cid:30)ABCD(cid:73)(cid:95)AD=6,E(cid:101)AD(cid:91)(cid:117)(cid:139)(cid:110)(cid:95)DE= 1 AD,F(cid:101)AB
3
(cid:369)(cid:75)(cid:43)(cid:117)(cid:139)(cid:110)(cid:95)BF=DE(cid:95)(cid:140)(cid:141)EF(cid:95)(cid:143)(cid:64)(cid:29)(cid:43)BD(cid:69)(cid:110)O(cid:70)(cid:237)(cid:122)(cid:61)(cid:62)(cid:10) CEF(cid:93)(cid:68)(cid:224)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:145) OED
OFB(cid:145) OD=2OB(cid:145) OC=2 5(cid:70)(cid:178)(cid:73)(cid:95)(cid:154)(cid:302)(cid:61)(cid:62)(cid:31)(cid:90)(cid:57)(cid:93)(cid:80) (cid:88) ①△ ②△ ∽△
③ ⑤
A(cid:70)1 B(cid:70)2 C(cid:70)3 D(cid:70)4
【题型10 利用相似三角形的判定与性质解决最值问题】
(cid:15)(cid:79)10(cid:21)(cid:80)2025·(cid:128)(cid:129)(cid:392)(cid:284)·(cid:132)(cid:133)(cid:88)(cid:134)(cid:55)(cid:95) ABC ADE, BAC= DAE=90°,AB=6,AC=8,F(cid:101)DE(cid:31)(cid:73)(cid:110)(cid:95)(cid:108)(cid:110)D
(cid:137)(cid:146)(cid:43)BC(cid:117)(cid:355)(cid:58)(cid:95)(cid:140)(cid:141)CF(cid:95)(cid:112)(cid:137)(cid:110)D(cid:355)△(cid:58)(cid:158)(cid:283)∽(cid:73)△(cid:95)(cid:43)(cid:44)∠CF(cid:31)∠(cid:63)(cid:105)(cid:35)(cid:93)(cid:80) (cid:88)A(cid:70)2.4 B(cid:70)3 C(cid:70)4 D(cid:70)4.8
(cid:15)(cid:106)(cid:107)10-1(cid:21)(cid:80)2025·(cid:83)(cid:291)(cid:393)(cid:394)·(cid:139)(cid:133)(cid:88)(cid:134)(cid:55)(cid:95)(cid:137) ABC(cid:73)(cid:95) ABC=90°(cid:95)AB=BC=8(cid:95)P(cid:93)(cid:43)(cid:44)BC(cid:138)(cid:139)(cid:58)(cid:110)(cid:95)
BP=6(cid:95)(cid:140)(cid:141)CP(cid:95)(cid:211)(cid:43)(cid:44)CP(cid:212)(cid:110)P(cid:275)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:217)90°△(cid:230)(cid:270)(cid:43)(cid:44)D∠P(cid:95)(cid:140)(cid:141)BD(cid:95)(cid:112)BD(cid:31)(cid:75)(cid:63)(cid:19)(cid:35)(cid:101) (cid:70)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)10-2(cid:21)(cid:80)24-25(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)·(cid:390)(cid:17)(cid:395)(cid:394)·(cid:120)(cid:73)(cid:88)(cid:134)(cid:55)(cid:95) ABC ADE(cid:95) BAC= DAE=90°(cid:95)AB=2(cid:95)AC=
5(cid:95)(cid:110)D(cid:137)(cid:43)(cid:44)BC(cid:117)(cid:355)(cid:58)(cid:95)(cid:110)P(cid:101)(cid:43)(cid:44)DE(cid:31)(cid:73)(cid:110)(cid:95)(cid:137)(cid:110)D△(cid:31)(cid:355)(cid:58)∽△(cid:158)(cid:283)(cid:73)(cid:95)∠CP(cid:31)(cid:63)∠(cid:105)(cid:35)(cid:93)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)10-3(cid:21)(cid:80)2025·(cid:396)(cid:118)(cid:397)(cid:298)·(cid:139)(cid:133)(cid:88)(cid:134)(cid:55)(cid:95)(cid:137) ABC(cid:73)(cid:95)AC=3(cid:95)BC=6(cid:95)(cid:237)AB(cid:101)(cid:91)(cid:268)(cid:117)(cid:54)(cid:165)(cid:30)ABDE(cid:95)(cid:64)(cid:29)
(cid:43)AD(cid:38)BE(cid:26)(cid:143)(cid:69)(cid:110)O(cid:95)(cid:97) AOE=60°(cid:95)(cid:140)(cid:141)OC(cid:95)△(cid:112)OC(cid:31)(cid:63)(cid:19)(cid:35)(cid:101) (cid:70)
∠
