文档文本内容
专题 1.3 三角形的内角（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:25)(cid:19)................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:19)............................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:39)(cid:40)(cid:19)............................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:38)(cid:32)(cid:39)(cid:40)(cid:19)......................................................................................................12
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:32)(cid:25)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:19)......................................................................................17
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:42)(cid:43)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:46)(cid:32)(cid:25)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:19)..................................................................................21
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:29)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:19)..............................................................................................................................26
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:29)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:53)(cid:54)(cid:19)..............................................................................................................................29
知识点1 三角形内角和定理 +
A
A
科
全
★
定义：三角形三个内角的和等于 180°. 众 号
公
注
关
，
如图所示，在 ABC 中， A+ B+源C=180°.
资
辅
教
△ ∠ ∠ ∠
图 (1) 图 (2)
【拓展】三角形内角和的倒角模型：
由三角形的内角和定理易得 1+ 2= 3+ 4.
∠ ∠ ∠ ∠
由三角形的内角和定理易得 A+ B= C+ D.
∠ ∠ ∠ ∠知识点2 直角三角形的性质及判定
1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.
在 ABC 中， C=90°, A+ B=90° .
2.直角△三角形的判∵定∠：有两∴个∠角互∠余的三角形是直角三角形.
在 ABC中， A+ B=90°, C=90°，即 ABC是直角三角形 .
△ ∵∠ ∠ ∴∠ △
【题型1 利用三角形内角和直接求角】
+
A
A
科
(cid:15)(cid:55)1(cid:19)(cid:56)24-25(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)·(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)·(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:54)(cid:70)(cid:10)(cid:71)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
★
(cid:46)(cid:72)全(cid:46)(cid:73)(cid:74)(cid:27)(cid:25)(cid:75)(cid:76)(cid:73)(cid:74)(cid:27)(cid:25)(cid:32)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)
号
众
公
注
(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:85)“(cid:78)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)”(cid:86)(cid:87)(cid:73)(cid:74)“(cid:78)关(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)”(cid:32)(cid:72)(cid:46)(cid:73)(cid:74)(cid:27)(cid:25)(cid:85)48°(cid:80)(cid:88)(cid:89)(cid:74)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:46)(cid:90)(cid:91)(cid:32)(cid:27)(cid:25)
，
源
资
辅
(cid:47)(cid:92)(cid:85) (cid:86) 教
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19)96°(cid:95)108°(cid:95)88°
(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:98)(cid:99)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:86)(cid:101)(cid:102)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:85)180°(cid:80)(cid:75)(cid:42)(cid:43)(cid:103)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:104)(cid:86)
(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:107)(cid:108)180°(cid:80)(cid:109)(cid:110)(cid:73)(cid:74)“(cid:78)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)”(cid:111)(cid:73)(cid:74)(cid:25)(cid:85)48°(cid:80)(cid:112)(cid:113)(cid:76)(cid:77)(cid:74)(cid:25)(cid:32)(cid:28)(cid:85)132°(cid:80)(cid:105)(cid:106)(cid:114)(cid:24)
(cid:25)(cid:26)(cid:46)(cid:73)(cid:74)(cid:27)(cid:25)(cid:75)(cid:76)(cid:73)(cid:74)(cid:27)(cid:25)(cid:32)2(cid:78)(cid:41)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:80)(cid:112)(cid:118)(cid:41)(cid:119)(cid:31)(cid:113)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:27)(cid:25)(cid:80)(cid:114)(cid:84)(cid:120)(cid:121)(cid:113)(cid:122)(cid:93)(cid:94)(cid:123)(cid:112)(cid:86)
(cid:15)(cid:124)(cid:42)(cid:19)(cid:42)(cid:10)(cid:71)48°(cid:32)(cid:25)(cid:75)(cid:76)(cid:73)(cid:74)(cid:27)(cid:25)(cid:32)2(cid:78)(cid:79)(cid:80)
(cid:24)(cid:74)(cid:25)(cid:41)(cid:119)(cid:85)(cid:10)24°(cid:80)48°(cid:80)108°(cid:125)(cid:126)
(cid:71)(cid:73)(cid:74)(cid:27)(cid:25)(cid:75)48°(cid:32)(cid:25)(cid:32)2(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:24)(cid:74)(cid:25)(cid:41)(cid:119)(cid:85)(cid:10)48°(cid:80)96°(cid:80)36°(cid:125)
(cid:71)(cid:76)(cid:127)(cid:77)(cid:74)(cid:25)(cid:75)(cid:77)(cid:78)(cid:3)(cid:128)(cid:79)(cid:80)
(cid:129)(cid:89)(cid:77)(cid:74)(cid:25)(cid:41)(cid:119)(cid:75) (cid:80) (cid:80)
(cid:88) + +48=18𝑥0°(cid:80)2𝑥°
(cid:42)𝑥(cid:113) 2=𝑥44(cid:80)
=𝑥 88(cid:80)
∴(cid:24)2𝑥(cid:74)(cid:25)(cid:41)(cid:119)(cid:85)(cid:10)48°(cid:80)44°(cid:80)88° (cid:125)
∴(cid:130)(cid:84)(cid:80)(cid:89)(cid:74)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:46)(cid:90)(cid:91)(cid:32)(cid:27)(cid:25)(cid:47)(cid:92)(cid:85)96°(cid:95)108°(cid:95)88°(cid:86)
(cid:131)(cid:93)(cid:94)(cid:85)(cid:10)96°(cid:95)108°(cid:95)88°(cid:86)
(cid:15)(cid:132)(cid:133)1-1(cid:19)(cid:56)24-25(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)·(cid:134)(cid:135)·(cid:136)(cid:46)(cid:69)(cid:137) (cid:46)(cid:80)(cid:87) = 1 = 1 (cid:80)(cid:88)(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:138)(cid:25)(cid:41)(cid:115)(cid:75)
2 2
△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:86)
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19)(cid:139)(cid:25)
(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:140)(cid:141)(cid:98)(cid:99)(cid:142)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:80)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:41)(cid:115)(cid:80)(cid:105)(cid:106)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:31)(cid:122)(cid:89)(cid:74)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:24)(cid:74)(cid:27)(cid:25)(cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:123)(cid:112)(cid:113)(cid:147)(cid:93)(cid:94)(cid:86)
(cid:15)(cid:124)(cid:42)(cid:19)(cid:42)(cid:10) (cid:137) (cid:46)(cid:80) = 1 = 1 (cid:80) + + =180°(cid:80)
2 2
∵ △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶 ∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶
1 + + =180°(cid:80)
2
∴ ∠𝐵 ∠𝐵 ∠𝐵
=72°(cid:80)
∴∠𝐵=36°(cid:80) =72°(cid:80)
∴(cid:148)∠𝐴(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:75)(cid:139)∠𝐶(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:80)
+
A
∴(cid:131)(cid:93)(cid:94)(cid:85)(cid:10)(cid:139)(cid:25)(cid:86) 科 A
全
★
号
众
(cid:15)(cid:132)(cid:133)1-2(cid:19)(cid:56)24-25(cid:149)(cid:58)(cid:59)(cid:60)·(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)·(cid:136)(cid:46)(cid:69)(cid:154)(cid:155)公(cid:86) (cid:36)(cid:156)(cid:157)(cid:113)(cid:158) (cid:80) =55°(cid:80) =50°(cid:80)
注
关
，
源
(cid:88) (cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:75) (cid:86)辅 资 △𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹 ∠𝐴 ∠𝐵
教
∠𝐷𝐹𝐸
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19)75°/75(cid:47)
(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:98)(cid:99)(cid:142)(cid:36)(cid:156)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:80)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:32)(cid:159)(cid:23)(cid:86)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:113)(cid:147) =75°(cid:80)(cid:160)
(cid:105)(cid:106)(cid:36)(cid:156)(cid:113)(cid:147) = =75°(cid:80)(cid:123)(cid:112)(cid:31)(cid:42)(cid:86) ∠𝐴𝐶𝐵
(cid:15)(cid:124)(cid:42)(cid:19)(cid:42)(cid:10)∠(cid:137)𝐷𝐹𝐸 ∠(cid:46)𝐴(cid:80)𝐶𝐵 =55°(cid:80) =50°(cid:80)
= △𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐴 ∠𝐵=75°(cid:80)
∴∠𝐴𝐶𝐵 (cid:36)1(cid:156)80(cid:157)°−(cid:113)∠(cid:147)𝐴−∠𝐵 1(cid:80)80°−55°−50°
∵△𝐴𝐵𝐶= =75△°(cid:80)𝐷𝐸𝐹
(cid:131)∴∠(cid:93)DF(cid:94)E(cid:85)(cid:10)∠A75C°B(cid:86)
(cid:15)(cid:132)(cid:133)1-3(cid:19)(cid:56)24-25(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)·(cid:61)(cid:62)(cid:161)(cid:61)·(cid:136)(cid:46)(cid:69)(cid:73)(cid:74)(cid:64)(cid:162)(cid:23)(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:109)(cid:155) (cid:166)(cid:167)(cid:80)(cid:84)(cid:164)(cid:165)(cid:112)(cid:118)(cid:168)(cid:169)(cid:85)(cid:155) (cid:46)
① ②(cid:32)(cid:170)(cid:171)(cid:155)(cid:26)(cid:80)(cid:72)(cid:46) (cid:80) (cid:80)(cid:172)E(cid:80)F(cid:137)(cid:38)(cid:66) (cid:134)(cid:86)(cid:87) =13°(cid:80) = =50°(cid:80)(cid:88) (cid:32)(cid:47)(cid:92)
(cid:85) (cid:86) 𝐴𝐵∥𝐶𝐷 𝐸𝐷∥𝐵𝐹 𝐴𝐶 ∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐷 ∠𝐴𝐸𝐷
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19)63°
(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:140)(cid:141)(cid:98)(cid:99)(cid:142)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:80)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:80)(cid:114)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:112)(cid:113) (cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:80)(cid:160)(cid:114)
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:112)(cid:113) (cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:80)(cid:106)(cid:84)(cid:105)(cid:106)(cid:36)(cid:25)(cid:32)(cid:54)(cid:70)(cid:112)(cid:113)(cid:93)(cid:94)(cid:86) ∠𝐴𝐹𝐵
(cid:15)(cid:124)(cid:42)(cid:19)(cid:42)(cid:10) ∠=𝐷1𝐸3𝐶°(cid:80) =50°(cid:80)
= ∵∠𝐴 =∠1𝐵17°(cid:80)
∴∠𝐴𝐹𝐵 (cid:80)180°−∠𝐴−∠𝐵
∵𝐸𝐷∥𝐵𝐹= =117°(cid:80) A +
A
科
全
★
∴∠𝐷𝐸𝐶 =∠𝐴𝐹𝐵 =63°(cid:80) 众 号
公
注
关
(cid:131)∴∠(cid:93)𝐴𝐸(cid:94)𝐷(cid:85)(cid:10)16830°°(cid:86)−∠𝐷𝐸𝐶 源 ，
资
辅
教
【题型2 三角形内角和的证明】
(cid:15)(cid:55)2(cid:19)(cid:56)24-25(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)·(cid:150)(cid:151)(cid:173)(cid:64)·(cid:136)(cid:46)(cid:69)(cid:137)(cid:174)(cid:175)(cid:33)(cid:34)“(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:75)180°”(cid:79)(cid:80)(cid:39)(cid:40)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:179)(cid:32)(cid:180)(cid:11)(cid:181)
(cid:142)(cid:109)(cid:60)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:38)(cid:80)(cid:72)(cid:46)(cid:186)(cid:187)(cid:33)(cid:34)“(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:75)180°”(cid:32)(cid:75)(cid:56) (cid:69)
A(cid:86)(cid:109)(cid:155) (cid:166)(cid:167)(cid:80)(cid:188)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:73)(cid:189)(cid:134)(cid:172)D(cid:181)
B(cid:86)(cid:109)(cid:155)①(cid:166)(cid:167)(cid:80)(cid:188)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:190)(cid:73)(cid:172)P(cid:181)𝐸𝐷∥𝐶𝐵, 𝐷𝐹∥𝐴𝐶
C(cid:86)(cid:109)(cid:155)②(cid:166)(cid:167)(cid:80)(cid:188)(cid:172)C(cid:181) (cid:108)(cid:172)D𝑄𝑅∥𝐵𝐶,𝑆𝑇∥𝐴𝐶,𝑀𝑁∥𝐴𝐵
D(cid:86)(cid:109)(cid:155)③(cid:166)(cid:167)(cid:80)(cid:188)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:127)𝐶𝐷(cid:190)⊥(cid:73)𝐴(cid:172)𝐵 P(cid:181)
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19)C ④ 𝑄𝑅∥𝐵𝐶,𝑆𝑇∥𝐴𝐶,𝑀𝑁∥𝐴𝐵(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:140)(cid:141)(cid:98)(cid:99)(cid:142)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:80)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:80)(cid:114)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:112)(cid:113) = (cid:80)
= (cid:80) = (cid:80) = (cid:80)(cid:88) = (cid:80)(cid:114)(cid:36)(cid:25)(cid:32)(cid:54)(cid:70)(cid:113)(cid:147) ∠𝐵𝐷𝐹 ∠𝐴
∠𝐸𝐷𝐴+ ∠𝐵 ∠+𝐶 ∠𝐴𝐸=𝐷18∠0𝐴°(cid:80)𝐸𝐷(cid:88) ∠𝐸+𝐷𝐹 + ∠𝐶=1∠8𝐸0°𝐷(cid:80)𝐹(cid:106)(cid:84)(cid:112)(cid:53)(cid:191)A(cid:125)(cid:114)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:112)(cid:113)
∠𝐸𝐷𝐹 =∠𝐴𝐷(cid:80)𝐸 ∠𝐵𝐷=𝐹 (cid:80)(cid:180)(cid:100)(cid:112)(cid:113)∠𝐴 +∠𝐵 ∠𝐶+ =180°(cid:80)(cid:106)(cid:84)(cid:112)(cid:53)(cid:191)B(cid:125)(cid:129) (cid:80) (cid:192)(cid:108)O(cid:80)(cid:105)
∠(cid:106)𝐴(cid:36)𝑄𝑅(cid:37)(cid:38)∠(cid:32)𝐵(cid:51)(cid:52)∠𝐴(cid:112)𝑅(cid:113)𝑄 ∠𝐶 = (cid:80) ∠𝐴 =∠𝐴𝑅(cid:80)𝑄 ∠𝐴𝑄=𝑅 (cid:80) = (cid:80) 𝑄=𝑅 𝐴𝐵 (cid:80)
= (cid:80)(cid:160)(cid:114)∠𝑄𝑂𝐵 +∠𝐵 ∠+𝐴𝑅𝑂 ∠=𝐶18∠0𝐴°𝑅(cid:80)𝑂(cid:123)(cid:112)∠(cid:53)𝑇𝑃(cid:191)𝑂D(cid:125)∠𝐴C𝑂(cid:46)𝑅(cid:105)(cid:106)∠𝑂(cid:193)𝑃(cid:111)𝑁(cid:145)∠(cid:146)𝐴(cid:194)(cid:195)∠(cid:33)𝐴𝑇(cid:34)𝑆
∠𝐴𝑇+𝑆 ∠+𝑆𝑃𝑁=180°∠(cid:86)𝑆𝑃𝑁 ∠𝑂𝑃𝑁 ∠𝑇𝑃𝑂
(cid:15)∠𝐴(cid:124)(cid:42)∠(cid:19)𝐵(cid:42)∠(cid:10)𝐶A(cid:196) (cid:80)
= (cid:80) ∵𝐸𝐷=∥𝐶𝐵, (cid:80)𝐷𝐹∥=𝐴𝐶 (cid:80) = (cid:80)
∴∠𝐵𝐷=𝐹 ∠𝐴(cid:80)∠𝐸𝐷𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶 ∠𝐴𝐸𝐷 ∠𝐴𝐸𝐷 ∠𝐸𝐷𝐹
∴∠𝐶 ∠+𝐸𝐷𝐹 + =180°(cid:80)
∵∠𝐸𝐷+𝐹 ∠+𝐴𝐷𝐸=1∠8𝐵0𝐷°𝐹(cid:80)(cid:131)A(cid:186)(cid:197)(cid:40)(cid:20)(cid:198)(cid:125)
∴B∠(cid:196)𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶
+
A
∵𝑄𝑅=∥𝐵𝐶(cid:80) = (cid:80) 科 A
全
★
号
众
∴∠𝐴𝑄𝑅 ∠𝐵 ∠𝐴(cid:80)𝑅𝑄 ∠𝐶 公
注
关
，
源
∵(cid:180)𝑆𝑇A∥𝐴(cid:199)𝐶(cid:200),𝑀(cid:46)𝑁(cid:32)∥𝐴(cid:33)𝐵(cid:34)(cid:201)(cid:195)(cid:112)辅(cid:113)资+ + =180°(cid:80)
教
∴ + + =180°(cid:80)(cid:131)B∠(cid:186)𝐴(cid:197)∠(cid:40)𝐴(cid:20)𝑅𝑄(cid:198)(cid:125)∠𝐴𝑄𝑅
∴C∠(cid:196)𝐴(cid:105)(cid:106)∠(cid:193)𝐵 (cid:111)∠(cid:145)𝐶(cid:146)(cid:194)(cid:195)(cid:33)(cid:34) + + =180°(cid:80)(cid:131)C(cid:197)(cid:40)(cid:20)(cid:198)(cid:125)
D(cid:196)(cid:129) (cid:80) (cid:192)(cid:108)O(cid:80) ∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶
𝑄𝑅 𝐴𝐵
(cid:80)
∵𝑄𝑅∥𝐵𝐶= (cid:80) = (cid:80)
∴∠𝐴𝑂𝑅 (cid:80)∠𝐵 ∠𝐴𝑅𝑂 ∠𝐶
∵𝑆𝑇∥𝐴𝐶= (cid:80) = (cid:80) = (cid:80)
∴∠𝐴𝑅𝑂 (cid:80)∠𝑇𝑃𝑂 ∠𝐴𝑂𝑅 ∠𝑂𝑃𝑁 ∠𝐴 ∠𝐴𝑇𝑆
∵𝑀𝑁∥𝐴=𝐵 (cid:80)
∴∠𝐴𝑇𝑆 ∠𝑆𝑃𝑁+ + =180°(cid:80)
∵∠𝑆𝑃+𝑁 ∠+𝑂𝑃𝑁=1∠8𝑇0𝑃°𝑂(cid:80)(cid:131)D(cid:186)(cid:197)(cid:40)(cid:20)(cid:198)(cid:125)
∴(cid:131)∠(cid:199)𝐴(cid:125)C∠(cid:86)𝐵 ∠𝐶
(cid:15)(cid:132)(cid:133)2-1(cid:19)(cid:109)(cid:155),(cid:202)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:206)(cid:137)(cid:24)(cid:25)(cid:26) ABC (cid:32)(cid:189) AB (cid:134)(cid:80)(cid:204)(cid:207)(cid:201)(cid:208)(cid:85)(cid:172) A (cid:147)(cid:172) B (cid:32)(cid:201)(cid:208)(cid:80)(cid:209)(cid:203)(cid:204)(cid:210)(cid:211)(cid:212)
(cid:172) A(cid:196)(cid:172) C(cid:196)(cid:172) B (cid:138)(cid:213)(cid:79)(cid:214)(cid:201)(cid:208)(cid:215)(cid:216) A(cid:196) C(cid:196) B (cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:80)(cid:217)(cid:218)(cid:204)(cid:207)(cid:201)(cid:208)(cid:32)(cid:132)(cid:219)(cid:80)(cid:148)(cid:220)(cid:181)(cid:221)(cid:34)(cid:142) (cid:86)
∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:107)(cid:108)180°
(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)(cid:105)(cid:106)(cid:215)(cid:216)(cid:157)(cid:222)(cid:201)(cid:208)(cid:221)(cid:34)(cid:215)(cid:216)(cid:47)(cid:92)(cid:107)(cid:108)180°(cid:42)(cid:93)(cid:86)
(cid:15)(cid:124)(cid:42)(cid:19)(cid:42)(cid:10)(cid:204)(cid:207)(cid:201)(cid:208)(cid:223)(cid:224)(cid:142)(cid:114)(cid:172)B(cid:147)(cid:172)A(cid:32)(cid:201)(cid:208)(cid:80)
(cid:203)(cid:204)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:172)A(cid:196)(cid:172)C(cid:196)(cid:172)B(cid:138)(cid:213)(cid:79)(cid:214)(cid:201)(cid:208)(cid:215)(cid:216) A(cid:196) C(cid:196) B(cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:80)
∵(cid:215)(cid:216)(cid:25)(cid:47)(cid:225)(cid:28)(cid:85) A(cid:226) B(cid:226) C(cid:80) ∠ ∠ ∠
+
A
A
科
∴(cid:204)(cid:207)(cid:201)(cid:208)(cid:132)(cid:85)(cid:172)∠B(cid:147)(cid:172)∠ A(cid:32)∠(cid:201)(cid:208)(cid:80)
★
全
号
众
公
注
∵(cid:215)(cid:216)(cid:25)(cid:47)(cid:225)(cid:28)(cid:85)180°(cid:80) 关
，
源
资
辅
∴(cid:89)(cid:183)(cid:132)(cid:219)(cid:221)(cid:34)(cid:24)(cid:25)(cid:26)教(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:107)(cid:108)180°(cid:86)
∴(cid:131)(cid:93)(cid:94)(cid:85)(cid:10)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:107)(cid:108)180°(cid:86)
(cid:15)(cid:172)(cid:227)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:98)(cid:99)(cid:142)(cid:36)(cid:25)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:80)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:80)(cid:100)(cid:42)(cid:215)(cid:216)(cid:47)(cid:92)(cid:225)(cid:28)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:32)(cid:3)(cid:128)(cid:75)(cid:42)
(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:104)(cid:86)
(cid:15)(cid:132)(cid:133)2-2(cid:19)(cid:56)23-24(cid:149)(cid:58)(cid:59)(cid:134)·(cid:27)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:28)(cid:231)(cid:232)·(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:81)(cid:82)(cid:137)(cid:178)(cid:11)(cid:233)(cid:143)(cid:234)(cid:144)(cid:235)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:107)(cid:108)180(cid:47)(cid:80)
(cid:75)(cid:236)(cid:188)(cid:47)(cid:237)(cid:95)(cid:238)(cid:239)(cid:113)(cid:122)(cid:89)(cid:73)(cid:240)(cid:117)(cid:32)(cid:80)(cid:241)(cid:75)(cid:80)(cid:114)(cid:108)(cid:242)(cid:237)(cid:28)(cid:238)(cid:239)(cid:243)(cid:243)(cid:111)(cid:244)(cid:245)(cid:80)(cid:89)(cid:183)(cid:246)(cid:33)(cid:186)(cid:75)(cid:92)(cid:11)(cid:33)(cid:34)(cid:80)(cid:186)(cid:187)(cid:247)
(cid:162)(cid:248)(cid:249)(cid:6)(cid:250)(cid:86)(cid:166)(cid:118)(cid:80)(cid:251)(cid:141)(cid:236)(cid:188)(cid:252)(cid:100)(cid:32)(cid:201)(cid:195)(cid:253)(cid:33)(cid:34)(cid:10)(cid:254)(cid:198)(cid:73)(cid:74)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:73)(cid:54)(cid:107)(cid:108)180°(cid:86)(cid:255)(cid:247)(cid:256)(cid:60)(cid:257)(cid:33)
(cid:34)(cid:188)(cid:258)(cid:86)
(cid:143)(cid:144)(cid:10)(cid:109)(cid:155)(cid:254)(cid:198)(cid:259)(cid:73)(cid:74) (cid:86)
△𝐴𝐵𝐶
(cid:31)(cid:33)(cid:10) + + =180°(cid:86)
(cid:33)(cid:34)(cid:10)∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19)(cid:260)(cid:42)(cid:96)
(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:98)(cid:99)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:80)(cid:42)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:104)(cid:75)(cid:101)(cid:102)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:54)(cid:100)(cid:196)(cid:53)(cid:54)(cid:54)(cid:100)(cid:86)(cid:188)(cid:172) (cid:181)(cid:29)
(cid:38) (cid:80)(cid:114)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:112)(cid:113) = (cid:80) = (cid:80)(cid:160)(cid:114)(cid:36)(cid:25)(cid:32)(cid:54)(cid:70)(cid:80)(cid:236)(cid:188)(cid:107)(cid:237)(cid:261)(cid:262)(cid:112)(cid:113) 𝐴
𝐷+𝐸∥𝐵𝐶 + =180°(cid:86) ∠𝐵 ∠𝐷𝐴𝐵 ∠𝐶 ∠𝐸𝐴𝐶
∠(cid:15)𝐵(cid:124)(cid:42)∠(cid:19)𝐵𝐴(cid:33)𝐶(cid:34)(cid:10)∠𝐶(cid:109)(cid:155)(cid:80)(cid:188)(cid:172) (cid:181)(cid:29)(cid:38) (cid:80)
𝐴 𝐷𝐸∥𝐵𝐶
(cid:80)
= (cid:80) = ∵ 𝐷(cid:80)𝐸∥𝐵𝐶
∴ ∠𝐵 ∠+𝐷𝐴𝐵 ∠+𝐶 ∠𝐸𝐴=𝐶180°(cid:80)
∵ ∠𝐷𝐴+𝐸 ∠𝐵𝐴+𝐶 ∠=𝐸1𝐴8𝐶0°(cid:80)(cid:123)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:107)(cid:108)180°(cid:86)
(cid:15)∴(cid:132)∠(cid:133)𝐵 2-∠3(cid:19)𝐵𝐴(cid:56)𝐶24-2∠5𝐶(cid:149)(cid:58)(cid:59)(cid:134)·(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:266)·(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:178)(cid:34)(cid:267)(cid:174)(cid:175)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:80)(cid:60)(cid:257)(cid:75)(cid:268)(cid:32)(cid:174)(cid:175)(cid:188)(cid:258)(cid:80)
(cid:255)(cid:269)(cid:270)(cid:268)(cid:209)(cid:174)(cid:175)(cid:188)(cid:258)(cid:271)(cid:272)(cid:247)(cid:273)(cid:86)
+
A
A
科
(cid:137) (cid:189) (cid:134)(cid:254)(cid:274)(cid:73)(cid:172)E(cid:80)(cid:181) (cid:192) (cid:108)(cid:172)D(cid:80)(cid:181)
★
全(cid:192) (cid:108)(cid:172)F(cid:86)
号
众
公
注
△𝐴 𝐵𝐶 𝐵(cid:80)𝐶 𝐷𝐸 ∥ 𝐴𝐶关𝐴𝐵 𝐸𝐹 ∥ 𝐴𝐵 𝐴𝐶
，
源
资
辅
∵𝐷𝐸=∥__𝐴_𝐶___𝐴_(cid:80)𝐵 ∥3教=𝐸𝐹_______(cid:86)
∴∠1 (cid:80) ∠
∵𝐴𝐵=∥𝐸_𝐹______(cid:86)
∴∠4 (cid:80)
∵𝐷𝐸=∥𝐴_𝐶______(cid:80)
∴∠42=_______(cid:86)
∴∠ + + =180°(cid:80)
∵∠1 +∠2 +∠3 =_______(cid:86)
∴∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19) (cid:125) (cid:125) (cid:125) (cid:125) (cid:125)180°
(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)∠(cid:97)𝐶(cid:20)(cid:140)∠𝐵(cid:141)(cid:98)∠(cid:99)𝐴(cid:142)∠(cid:24)2(cid:25)(cid:26)∠𝐴(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:80)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:80)(cid:105)(cid:106)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:28)(cid:143)(cid:275)(cid:252)(cid:100)(cid:188)(cid:258)(cid:276)(cid:37)(cid:33)(cid:34)(cid:123)(cid:112)(cid:86)
(cid:15)(cid:124)(cid:42)(cid:19)(cid:42)(cid:125) (cid:80)
= (cid:80) ∵3𝐷=𝐸 ∥(cid:86)𝐴𝐶 𝐴𝐵 ∥ 𝐸𝐹
∴∠1 ∠𝐶(cid:80) ∠ ∠𝐵
∵𝐴𝐵=∥𝐸𝐹 (cid:86)
∴∠4 ∠𝐴(cid:80)
∵𝐷𝐸=∥𝐴𝐶(cid:80)
∴∠42=∠2(cid:86)
∴∠ + ∠𝐴+ =180°(cid:80)
∵∠1 +∠2 +∠3 =180°(cid:86)
【
∴
题
∠𝐴 型3∠ 𝐵
三角
∠𝐶
形内角和与平行线的综合】
(cid:15)(cid:55)3(cid:19)(cid:56)24-25(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)·(cid:63)(cid:277)(cid:278)(cid:279)·(cid:136)(cid:46)(cid:69)(cid:137)(cid:29)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26) (cid:46)(cid:80) =90°(cid:80) (cid:36)(cid:41) (cid:192) (cid:108)(cid:172) (cid:80)
(cid:36)(cid:41) (cid:192) (cid:108)(cid:172) (cid:80) (cid:196) (cid:280)(cid:192)(cid:108)(cid:172) (cid:80)(cid:188)(cid:172) (cid:181) (cid:36)𝐴(cid:37)𝐵𝐶 (cid:80)(cid:188)∠𝐶(cid:172) (cid:181) 𝐴𝐷 (cid:192)∠𝐵𝐴(cid:108)𝐶(cid:172)𝐵𝐶(cid:86)(cid:60)(cid:158)𝐷(cid:240)(cid:117)𝐵𝐸(cid:10)
+
A
A
科
∠(cid:36)𝐴𝐵(cid:41)𝐶 𝐴𝐶(cid:125) 𝐸 𝐴𝐷 =𝐵𝐸 (cid:125) 𝐹 =𝐷13𝐷5𝐺°(cid:125) 𝐴𝐵★ 全= 𝐵 𝐵(cid:86)𝐺⊥(cid:281)𝐷(cid:282)𝐺(cid:240)(cid:117)𝐷𝐺(cid:32)(cid:283)(cid:9)𝐺(cid:111) (cid:86)
号
众
公
注
①𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐺 ②∠𝐵𝐷𝐺 2∠𝐶𝐵𝐸 ③关∠𝐴𝐹𝐵 ④∠𝐵𝐸𝐶 ∠𝐹𝐵𝐺
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19)
(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)②(cid:97)(cid:20)③(cid:98)④(cid:99)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:80)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:80)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:38)(cid:32)(cid:54)(cid:70)(cid:284)(cid:107)(cid:25)(cid:32)(cid:285)(cid:25)(cid:280)(cid:107)(cid:86)(cid:105)(cid:106)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:38)
(cid:32)(cid:54)(cid:70)(cid:284)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:123)(cid:112)(cid:53)(cid:191) (cid:281)(cid:282)(cid:125)(cid:114)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:284)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:38)(cid:32)(cid:54)(cid:70)(cid:123)(cid:112)(cid:53)(cid:191) (cid:281)(cid:282)(cid:125)(cid:105)(cid:106)(cid:107)
(cid:25)(cid:32)(cid:285)(cid:25)(cid:280)(cid:107)(cid:123)(cid:112)(cid:53)(cid:191) (cid:281)(cid:282)(cid:125)(cid:105)(cid:106)③(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:194)(cid:195)(cid:53)(cid:191) (cid:80)(cid:166)(cid:118)(cid:286)(cid:244)(cid:80)(cid:39)(cid:134)(cid:166)(cid:287)(cid:123)(cid:112)(cid:113)(cid:122)②(cid:93)(cid:94)(cid:86)
(cid:15)(cid:124)(cid:42)(cid:19)(cid:42)(cid:10)(cid:137)(cid:29)(cid:25)(cid:24)(cid:25)④(cid:26) (cid:46)(cid:80) =90°(cid:80) ①
+ =90°(cid:80) 𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶
∴∠𝐵𝐴(cid:36)𝐶(cid:41) ∠𝐴𝐵𝐶(cid:80) (cid:36)(cid:41) (cid:80)
∵𝐴𝐷 = ∠1𝐵𝐴𝐶 (cid:80) 𝐵𝐸 ∠ = 𝐴𝐵𝐶 = 1 (cid:80)
2 2
∴∠𝐹𝐴𝐵 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐸𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶
+ = 1 ( + )=45°(cid:80)
2
∴∠𝐹𝐴𝐵 ∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶
= + = =135°(cid:80)
∴∠𝐴(cid:281)𝐹𝐵(cid:282)(cid:125)180−(∠𝐹𝐴𝐵 ∠𝐴𝐵𝐹) 180°−45°
∴③(cid:80)
∵𝐷𝐺∥𝐴𝐵=
∴∠𝐵𝐷𝐺
=
1∠𝐴𝐵𝐶
(cid:80)
2
∵∠𝐸𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶
= 1 (cid:80)
2
∴∠𝐸𝐵𝐶 ∠𝐵𝐷𝐺
= (cid:80)
∴∠𝐵(cid:281)𝐷𝐺(cid:282)(cid:125)2∠𝐶𝐵𝐸
∴② (cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:186)(cid:282)(cid:54)(cid:80)
∵(cid:105)∠𝐴(cid:106)𝐵𝐶(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:194)(cid:195)(cid:33)(cid:34) (cid:36)(cid:41) (cid:80)
∴ (cid:186)(cid:281)(cid:282)(cid:125) 𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐺
∴① (cid:80) =90°(cid:80)
∵𝐵𝐺⊥𝐷=𝐺90∠°𝐶(cid:80) + =90°(cid:80)
∴∠𝐵𝐺𝐷+ ∠=𝐶𝐴9𝐵0°(cid:80)∠𝐴𝐵𝐶
(cid:288)∴∠𝐵𝐷𝐺 ∠(cid:80)𝐷𝐵𝐺
A
+
A
科
全
★
∵𝐷𝐺∥𝐴=𝐵 (cid:80) 众 号
公
注
关
∴∠𝐵𝐷𝐺=∠𝐴𝐵𝐶(cid:80) 源 ，
资
辅
教
∴(cid:288)∠𝐷𝐵𝐺 =∠𝐶𝐴𝐵 + (cid:80)
∵∠𝐵𝐸=𝐶 ∠𝐸𝐴+𝐵 𝐴𝐵𝐸(cid:80)
∴(cid:288)∠𝐵𝐸𝐶(cid:36)(cid:41)∠𝐷𝐵𝐺 (cid:80)∠𝐴𝐵𝐸
∵𝐵𝐸 = ∠𝐴𝐵 𝐶
∴∠𝐴𝐵𝐸+𝐸𝐵𝐶 = + = (cid:80)
∴(cid:123)∠𝐷𝐵𝐺 =∠𝐴𝐵𝐸 (cid:80)∠𝐷𝐵𝐺 ∠𝐸𝐵𝐶 ∠𝐸𝐵𝐺
∠𝐵(cid:281)𝐸(cid:282)𝐶(cid:125)∠𝐹𝐵𝐺
∴(cid:39)④(cid:134)(cid:80)(cid:281)(cid:282)(cid:32)(cid:240)(cid:117)(cid:85) (cid:80)
(cid:131)(cid:93)(cid:94)(cid:85)(cid:10) (cid:86)②③④
(cid:15)(cid:132)(cid:133)3-1(cid:19)②(cid:56)③24④-25(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)·(cid:16)(cid:61)(cid:289)(cid:290)·(cid:136)(cid:46)(cid:69)(cid:109)(cid:155)(cid:80) (cid:46)(cid:80) (cid:41)(cid:119)(cid:75) (cid:134)(cid:32)(cid:172)(cid:80)(cid:291)(cid:292)
+ + =180°(cid:86) △𝐴𝐵𝐶 𝐷, 𝐸 𝐵𝐴, 𝐵𝐶
∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐵 ∠𝐵𝐷𝐸(1) (cid:80) (cid:75)(cid:293)(cid:36)(cid:37)(cid:294)(cid:221)(cid:34)(cid:100)(cid:114)(cid:86)
(2)(cid:87)𝐴𝐶 𝐷(cid:36)𝐸(cid:41) (cid:80) =35°(cid:80)(cid:31) (cid:47)(cid:92)(cid:86)
(cid:15)(cid:93)(cid:94)𝐶𝐷(cid:19)(1)(cid:36)∠𝐴(cid:37)𝐶𝐵 ∠1 ∠2
(2)70°
(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:98)(cid:99)(cid:142)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:80)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:53)(cid:54)(cid:107)(cid:144)(cid:165)(cid:172)(cid:86)
(cid:56)1(cid:69)(cid:114)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:85)180°(cid:80)(cid:240)(cid:40)(cid:143)(cid:144)(cid:112)(cid:113) = (cid:80)(cid:114)(cid:180)(cid:295)(cid:25)(cid:280)(cid:107)(cid:77)(cid:29)(cid:38)(cid:36)(cid:37)(cid:123)(cid:112)(cid:113)(cid:122)(cid:240)(cid:117)(cid:125)
(cid:56)2(cid:69)(cid:105)(cid:106)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:38)(cid:54)(cid:70)(cid:112)(cid:113) = =7∠0𝐴°(cid:80)(cid:240)∠𝐵(cid:40)𝐷𝐸 (cid:112)(cid:113) = =70°(cid:86)
(cid:15)(cid:124)(cid:42)(cid:19)(cid:56)1(cid:69)(cid:240)(cid:117)(cid:10)(cid:36)(cid:37)(cid:80)∠𝐴𝐶𝐵 2∠1 𝐴𝐶∥𝐷𝐸 ∠2 ∠𝐴𝐶𝐵
+ + =180°(cid:80)
+
A
∵∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵+ ∠𝐵=𝐷𝐸180°(cid:80) 科 A
全
★
号
众
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵 (cid:80)∠𝐴 公
注
关
，
源
∴∠𝐴 ∠𝐵(cid:86)𝐷𝐸 辅 资
教
∴(cid:56)𝐴2𝐶(cid:69)∥𝐷𝐸 (cid:36)(cid:41) (cid:80)
∵𝐶=𝐷 ∠=𝐴7𝐶0𝐵°(cid:80)
∴∠𝐴𝐶𝐵 (cid:80)2∠1
∵𝐴𝐶∥=𝐷𝐸 =70°(cid:86)
∴(cid:15)∠(cid:132)2(cid:133)∠3-A2C(cid:19)B(cid:56)24-25(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)·(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)·(cid:136)(cid:46)(cid:69)(cid:109)(cid:155)(cid:80)(cid:182)(cid:189)(cid:26) (cid:46)(cid:80)(cid:172) (cid:75) (cid:134)(cid:73)(cid:172)(cid:80)(cid:188)(cid:172) (cid:181)
(cid:80)(cid:87) + =123°(cid:80)(cid:88) = °𝐴(cid:86)𝐵𝐶𝐷 𝐺 𝐵𝐶 𝐺
𝐺𝐸∥𝐴𝐵,𝐺𝐹∥𝐶𝐷 ∠𝐴 ∠𝐷 ∠𝐸𝐺𝐹
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19)57
(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:98)(cid:99)(cid:142)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:80)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:80)(cid:42)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:104)(cid:75)(cid:101)(cid:102)(cid:77)(cid:29)(cid:38)(cid:36)(cid:37)(cid:180)(cid:295)(cid:25)(cid:280)(cid:107)(cid:86)
(cid:296)(cid:297)(cid:105)(cid:106)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:113)(cid:147) = (cid:80) = (cid:80)(cid:298)(cid:157)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:31)(cid:42)(cid:123)(cid:112)(cid:86)
∠𝐺𝐸𝐹 ∠𝐴 ∠𝐺𝐹𝐸 ∠𝐷(cid:15)(cid:124)(cid:42)(cid:19)(cid:42)(cid:10) (cid:80) (cid:80)
= (cid:80)∵𝐺𝐸∥𝐴𝐵= 𝐺𝐹(cid:80)∥𝐶𝐷
∴∠𝐺𝐸+𝐹 ∠=𝐴12∠3𝐺°(cid:80)𝐹𝐸 ∠𝐷
∵∠𝐴 ∠+𝐷 = + =123°(cid:80)
∴∠𝐺𝐸𝐹=∠𝐺𝐹𝐸 ( ∠𝐴 +∠𝐷 )= =57°(cid:86)
∴(cid:131)∠(cid:93)𝐸𝐺(cid:94)𝐹(cid:85)(cid:10)18570(cid:86)°− ∠𝐺𝐸𝐹 ∠𝐺𝐹𝐸 180°−123°
(cid:15)(cid:132)(cid:133)3-3(cid:19)(cid:56)23-24(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)·(cid:182)(cid:299)(cid:300)(cid:301)·(cid:136)(cid:302)(cid:69)(cid:109)(cid:155)(cid:80) (cid:80) = 1 (cid:80) = 1 (cid:80)(cid:88)
4 4
𝐴𝐵∥𝐶𝐷 ∠𝐸𝐴𝐹 ∠𝐸𝐴𝐵 ∠𝐸𝐶𝐹 ∠𝐸𝐶𝐷
= (cid:86)
∠𝐴𝐹𝐶 ∠𝐴𝐸𝐶
3
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19) +
4 A A
科
全
★
(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:140)(cid:141)(cid:98)(cid:99)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:118)(cid:284)(cid:25)(cid:32)(cid:28)(cid:245)(cid:48)(cid:49)(cid:80)(cid:303) 众 (cid:30) 号(cid:80)(cid:129) = (cid:80) = (cid:80) = (cid:80)
公
注
关
= (cid:80)(cid:114)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:113) 源 ， + =180°(cid:80)𝐴(cid:276)𝐶(cid:73)(cid:304)(cid:113)∠𝐸(cid:122)𝐴𝐹 𝑥°=4∠(𝐸𝐶𝐹+ 𝑦),° ∠𝐸𝐴𝐵=34𝑥°
资
辅
教
∠(𝐸𝐶+𝐷 )(cid:80)4𝑦(cid:305)° (cid:306)(cid:112)(cid:113)(cid:240)(cid:117) ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐴𝐸𝐶 𝑥° 𝑦° ∠𝐴𝐹𝐶
(cid:15)𝑥°(cid:124)(cid:42)𝑦(cid:19)° (cid:42)(cid:10)(cid:303)(cid:30) (cid:80)(cid:109)(cid:155)(cid:80)
𝐴𝐶
(cid:80)
(cid:129) = (cid:80) = (cid:80) = (cid:80) = (cid:80)
∠𝐸𝐴𝐹 𝑥° ∠𝐸𝐶𝐹 𝑦° ∠𝐸𝐴𝐵 4𝑥° ∠𝐸𝐶𝐷 4𝑦°
∵𝐴𝐵∥𝐶+𝐷 =180°(cid:80)
∴∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐴𝐶+𝐷 + =180°(cid:80)
∴∠𝐶𝐴𝐸+4𝑥° ∠=𝐴𝐶𝐸 4(𝑦° + )(cid:80)
∴∠𝐶𝐴𝐸+∠𝐴𝐶𝐸= 180°−(4𝑥°+4𝑦°)(cid:80)
∴∠𝐹𝐴𝐶 =∠𝐹𝐶𝐴 ( 180°−+3𝑥° )3𝑦°
∴∠𝐴𝐸𝐶 180°− ∠𝐶𝐴𝐸 ∠𝐴𝐶𝐸= ( + )
=180°+− 180°− 4𝑥° 4𝑦°
=44𝑥(° +4𝑦°)(cid:125)
𝑥=° 𝑦° ( + )
∠=𝐴𝐹𝐶 180°− (∠𝐹𝐴𝐶+ ∠𝐹)𝐶𝐴
=180°+− 180°− 3𝑥° 3𝑦°
=33𝑥(° +3𝑦°)(cid:80)
𝑥° 𝑦3°
=
4
∴∠𝐴𝐹𝐶 ∠𝐴𝐸𝐶
3
(cid:131)(cid:93)(cid:94)(cid:85)(cid:10)
4
【题型4 三角形内角和与角平分线的综合】
(cid:15)(cid:55)4(cid:19)(cid:56)24-25(cid:149)(cid:58)(cid:59)(cid:134)·(cid:307)(cid:151)(cid:307)(cid:290)·(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:109)(cid:155)(cid:80)(cid:137) (cid:46)(cid:80) (cid:196) (cid:41)(cid:119)(cid:36)(cid:41) (cid:28) (cid:80)(cid:303)
(cid:30) (cid:80)(cid:143)(cid:144) =25°(cid:80) =30°(cid:80)(cid:88) (cid:32)(cid:47)(cid:92)△(cid:85)𝐴(cid:56)𝐵 𝐶 (cid:69) 𝐵𝑀 𝐶𝑀 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵
+
A
𝐴𝑀 ∠𝑀𝐵𝐶 ∠𝑀𝐶𝐴 ∠𝑀𝐴𝐵 科 A
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
A(cid:86)25° B(cid:86)30° C(cid:86)35° D(cid:86)40°
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19)C
(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:140)(cid:141)(cid:98)(cid:99)(cid:142)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:284)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:80)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:24)(cid:145)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:38)(cid:280)(cid:192)(cid:108)
(cid:180)(cid:73)(cid:172)(cid:80)(cid:113)(cid:122) (cid:36)(cid:41) (cid:75)(cid:42)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:104)(cid:86)(cid:297)(cid:114)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:38)(cid:32)(cid:54)(cid:70)(cid:113)(cid:122) =50°(cid:80) =60°(cid:80)
(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝐴(cid:25)𝑀(cid:28)(cid:54)(cid:100)∠(cid:113)𝐵𝐴(cid:122)𝐶 =70°(cid:80)(cid:160)(cid:114)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:24)(cid:145)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:38)(cid:280)(cid:192)(cid:108)(cid:180)∠(cid:73)𝐴𝐵(cid:172)𝐶(cid:80)(cid:112)(cid:144) ∠(cid:36)𝐴𝐶(cid:41)𝐵 (cid:80)
(cid:276)(cid:306)(cid:112)(cid:31)(cid:122)(cid:93)(cid:94)(cid:86) ∠𝐵𝐴𝐶 𝐴𝑀 ∠𝐵𝐴𝐶
(cid:15)(cid:124)(cid:42)(cid:19)(cid:42)(cid:10) (cid:36)(cid:41) (cid:80) =25°(cid:80)
= ∵ 𝐵𝑀=50∠°(cid:80)𝐴𝐵𝐶 ∠𝑀𝐵𝐶
∴ ∠𝐴𝐵(cid:36)𝐶(cid:41) 2∠𝑀𝐵(cid:80)𝐶 =30°(cid:80)
∵ 𝐶𝑀 =∠𝐴𝐶𝐵 ∠=𝑀6𝐶0𝐴°(cid:80)
∴ ∠𝐴𝐶𝐵=2∠𝑀𝐶𝐴 =70°(cid:86)
∴(cid:137)∠𝐵𝐴𝐶 (cid:46)18(cid:80)0°−∠(cid:196)𝐴𝐵𝐶−(cid:41)∠𝐵(cid:119)𝐶(cid:36)𝐴(cid:41) (cid:28) (cid:80)
∵ △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝑀 𝐶𝑀 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵(cid:36)(cid:41) (cid:80)
∴ 𝐴𝑀
=
∠1𝐵𝐴𝐶
=35°(cid:80)
2
∴ ∠𝑀𝐴𝐵 ∠𝐵𝐴𝐶
(cid:131)(cid:199)(cid:10)C(cid:86)
(cid:15)(cid:132)(cid:133)4-1(cid:19)(cid:56)24-25(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)·(cid:308)(cid:153)(cid:309)(cid:310)(cid:311)·(cid:136)(cid:46)(cid:69)(cid:109)(cid:155)(cid:80)(cid:137) (cid:46)(cid:80) (cid:75) (cid:32)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:38)(cid:80)F(cid:75) (cid:134)
(cid:73)(cid:312)(cid:172)(cid:80) (cid:108)(cid:172)D(cid:80) =60°(cid:80) =70°(cid:80)(cid:88) △(cid:32)𝐴(cid:47)𝐵𝐶(cid:92)(cid:85)(cid:56)𝐴 𝐸 (cid:69)△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐸
𝐹𝐷⊥𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐶 ∠𝐷𝐹𝐸
A(cid:86)15° B(cid:86)8° C(cid:86)10° D(cid:86)12°
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19)C
(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:140)(cid:141)(cid:98)(cid:99)(cid:142)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:38)(cid:196)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:107)(cid:144)(cid:165)(cid:80)(cid:100)(cid:42)(cid:313)(cid:101)(cid:102)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:75)(cid:42)
(cid:20)(cid:3)(cid:104)(cid:86)(cid:296)(cid:297)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:38)(cid:32)(cid:54)(cid:70)(cid:112)(cid:113) =30°(cid:80)(cid:160)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:282)(cid:54) =80°(cid:80)(cid:298)
+
A
A
科
(cid:157)(cid:137) (cid:46)(cid:80)(cid:114) = ∠𝐸(cid:31)𝐴(cid:42)𝐶(cid:123)(cid:112)(cid:86) ★ 全 ∠𝐴𝐸𝐶
号
众
公
注
(cid:15)(cid:124)(cid:42)△(cid:19)𝐸𝐷(cid:42)𝐹(cid:10) ∠𝐷=𝐹𝐸60°(cid:80)180°−(cid:75)∠𝐸𝐷𝐹−∠(cid:32)关𝐴(cid:25)𝐸𝐶(cid:36)(cid:41)(cid:38)(cid:80)
，
源
资
辅
= 1 ∵∠𝐵 = 𝐴𝐶 3 教 0°(cid:80) 𝐴𝐸 △𝐴𝐵𝐶
2
∴∠𝐸𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶
=70°(cid:80)
∵∠𝐶 = =80°(cid:80)
∴∠𝐴𝐸𝐶 (cid:80)180°−∠𝐶−∠𝐸𝐴𝐶
∵𝐹𝐷⊥𝐵=𝐶90°(cid:80)
∴∠𝐸𝐷𝐹= =10°(cid:86)
(cid:131)∴∠(cid:199)𝐷𝐹(cid:10)𝐸C(cid:86)180°−∠𝐸𝐷𝐹−∠𝐴𝐸𝐶
(cid:15)(cid:132)(cid:133)4-2(cid:19)(cid:56)24-25(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)·(cid:264)(cid:314)·(cid:136)(cid:46)(cid:69)(cid:109)(cid:155)(cid:80) (cid:80)(cid:172) (cid:75)(cid:36)(cid:257)(cid:27)(cid:73)(cid:172)(cid:80)(cid:303)(cid:30) (cid:80) (cid:80) (cid:32)(cid:36)
(cid:41)(cid:38)(cid:35) (cid:32)(cid:36)(cid:41)(cid:38)(cid:192)(cid:108)(cid:172) (cid:86)(cid:87) = (cid:80)(cid:88) 𝐴𝐵∥=𝐶 𝐷 𝐸°(cid:56)(cid:23)(cid:315) (cid:32)(cid:261)(cid:92)(cid:133)(cid:316)(cid:167)𝐸𝐵(cid:69)(cid:86)𝐸𝐶 ∠𝐷𝐶𝐸
∠𝐴𝐵𝐸 𝑃 ∠𝐸 𝛼° ∠𝐵𝑃𝐶 𝛼(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19)90°+ 1
2
𝛼
(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:140)(cid:141)(cid:98)(cid:99)(cid:142)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:80)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:80)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:80)(cid:42)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:104)(cid:75)(cid:317)(cid:67)(cid:101)(cid:102)
(cid:118)(cid:134)(cid:51)(cid:52)(cid:80)(cid:313)(cid:181)(cid:184)(cid:185)(cid:38)(cid:318)(cid:319)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:86)
(cid:320)(cid:278) (cid:192)(cid:108)(cid:172) (cid:80) (cid:280)(cid:192)(cid:108)(cid:172) (cid:80)(cid:22)(cid:23)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:28)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:113)(cid:122) = = 1
2
𝐸𝐵,𝐶𝐷 𝐹 𝐴𝐵,𝑃𝐶 𝐺 ∠𝑃𝐵𝐸 ∠𝐴𝐵𝑃
(cid:80) = 1 (cid:80)(cid:113)(cid:122) = ( + )(cid:80)(cid:276)(cid:37)(cid:273)(cid:100)(cid:31)(cid:42)(cid:123)(cid:112)(cid:86)
2
∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝑃𝐺𝐵 ∠𝐸𝐶𝐷 ∠𝐵𝑃𝐶 180°− ∠𝑃𝐺𝐵 ∠𝐴𝐵𝑃
(cid:15)(cid:124)(cid:42)(cid:19)(cid:42)(cid:10)(cid:109)(cid:155)(cid:80)(cid:320)(cid:278) (cid:192)(cid:108)(cid:172) (cid:80) (cid:280)(cid:192)(cid:108)(cid:172) (cid:80)
𝐸𝐵,𝐶𝐷 𝐹 𝐴𝐵,𝑃𝐶 𝐺
(cid:36)(cid:41) (cid:80) (cid:36)(cid:41) (cid:80)
∵𝐶𝑃 ∠
=
𝐸𝐶𝐷 𝐵
=
𝑃1 ∠𝐴
(cid:80)
𝐵𝐸
2
+
A
A
∴∠𝐸𝐶 = 𝑃 ∠𝐷𝐶 = 𝑃 1 ∠𝐸𝐶 (cid:80) 𝐷 号 ★ 全 科
2 众
公
注
关
∠𝑃𝐵𝐸 ∠ (cid:80) 𝐴𝐵𝑃 ∠𝐴𝐵𝐸 源 ，
资
辅
教
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷 = = 1 (cid:80) = (cid:80)
2
∴∠𝐴𝐺𝐶 ∠𝐷𝐶𝑃 ∠𝐸𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐹
= = 1 (cid:80)
2
∴∠𝑃𝐺𝐵 ∠𝐴𝐺𝐶 ∠𝐸𝐶𝐷
1 1 1 1
= ( + )= + = ( + ) =
2 2 2 2
∴∠𝐵𝑃𝐶 180°− ∠𝑃𝐺𝐵 ∠𝐴𝐵𝑃 180°− ∠𝐸𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐸 180°− ∠𝐸𝐶𝐷 ∠𝐹 180°−
( )=90°+ 1 (cid:80)
2
180°−∠𝐸 𝛼°
(cid:131)(cid:93)(cid:94)(cid:85)(cid:10)90°+ 1 (cid:86)
2
𝛼
(cid:15)(cid:132)(cid:133)4-3(cid:19)(cid:56)22-23(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)·(cid:61)(cid:321)(cid:321)(cid:290)·(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:109)(cid:155)(cid:80)(cid:137) (cid:46)(cid:80)(cid:172) (cid:137) (cid:134)(cid:80)(cid:188)(cid:172) (cid:181) (cid:80)(cid:192)
(cid:108)(cid:172) (cid:80) (cid:36)(cid:41) (cid:80)(cid:192) (cid:32)(cid:36)(cid:41)(cid:38)(cid:108)(cid:172) (cid:80) (cid:35) (cid:280)(cid:192)△(cid:108)𝐴𝐵(cid:172)𝐶 (cid:80) 𝐷(cid:32)𝐴(cid:36)𝐵(cid:41)(cid:38) (cid:35)𝐷 (cid:280)𝐷(cid:192)𝐸∥(cid:108)𝐵𝐶(cid:172) (cid:86)
𝐴𝐶 𝐸 𝐷𝑃 ∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐴𝐶𝐵 𝑃 𝐶𝑃 𝐷𝐸 𝐺 ∠𝐴𝐶𝐹 𝐶𝑄 𝐷𝑃 𝑄(1)(cid:87) =50°(cid:80) =60°(cid:80)(cid:88) =______°(cid:80) ______°(cid:125)
(2)(cid:87)∠𝐴=50°(cid:80)∠(cid:71)𝐵 (cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:223)∠(cid:224)𝐷(cid:132)𝑃𝐶(cid:219)(cid:79)(cid:80) (cid:196)∠𝑄 (cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:75)(cid:293)(cid:223)(cid:224)(cid:132)(cid:219)(cid:294)(cid:313)(cid:221)(cid:34)(cid:100)(cid:114)(cid:125)
(3)(cid:87)∠𝐴 (cid:46)(cid:322)(cid:137)∠(cid:73)𝐵(cid:74)(cid:27)(cid:25)(cid:107)(cid:108)(cid:76)(cid:73)(cid:74)(cid:27)(cid:25)∠𝐷(cid:32)𝑃(cid:24)𝐶(cid:78)∠(cid:80)𝑄(cid:255)(cid:29)(cid:30)(cid:323)(cid:122)(cid:166)(cid:111)(cid:197)(cid:40)(cid:145)(cid:146)(cid:32) (cid:32)(cid:47)(cid:92)______(cid:86)
(cid:15)(cid:93)(cid:94)△(cid:19)𝑃(𝐶1𝑄)115(cid:80)25 ∠𝐴
(2)(cid:186)(cid:324)(cid:223)(cid:224)(cid:132)(cid:219)(cid:80)(cid:100)(cid:114)(cid:260)(cid:42)(cid:96)
(3) =45°(cid:95)60°(cid:95)120°(cid:95)135°
(cid:15)(cid:41)∠𝐴(cid:96)(cid:19)(cid:56)1(cid:69)(cid:114)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:80)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:38)(cid:32)(cid:54)(cid:70)(cid:240)(cid:40)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:123)(cid:112)(cid:31)(cid:42)(cid:125)
(cid:56)2(cid:69)(cid:180)(cid:100)(cid:114)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:80)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:38)(cid:32)(cid:54)(cid:70)(cid:240)(cid:40)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:123)(cid:112)(cid:31)(cid:42)(cid:125)
+
A
A
科
(cid:56)3(cid:69)(cid:129) = (cid:80)(cid:88) = 1 (cid:80)(cid:160)(cid:114) =90°(cid:186)(cid:132)(cid:80)(cid:123)(cid:112)(cid:41)号(cid:115)(cid:116)★(cid:117) 全 (cid:10) (cid:71) = (cid:79)(cid:80) (cid:71) =
2 众
公
注
关
(cid:79)(cid:80) (cid:71)
∠𝐴 𝑥
=
∠𝑄
(cid:79)(cid:80)
𝑥
(cid:71) 源
∠𝑃𝐶，
=
𝑄
(cid:79)(cid:80)(cid:41)(cid:119)(cid:158)(cid:122)(cid:3)(cid:108) (cid:32)
①
(cid:107)(cid:133)(cid:80)
∠𝑄
(cid:42)(cid:122)
3∠
(cid:123)
𝑄
(cid:112)
𝑃𝐶
(cid:86)
② ∠𝑄𝑃𝐶 3∠𝑄
资
辅
教
(cid:15)(cid:124)③(cid:42)(cid:19)(cid:56)∠𝑃1𝐶(cid:69)𝑄(cid:42)(cid:10)3∠𝑄 =④50°(cid:80)∠𝑃𝐶𝑄=603°∠(cid:80)𝑄𝑃𝐶 𝑥 𝑥
= ∵∠𝐴 =70°(cid:86)∠𝐵
∴ ∠𝐴(cid:36)𝐶𝐵(cid:41) 180°(cid:80)−∠𝐴−∠𝐵
∵ 𝐶𝑃 = ∠𝐴𝐶𝐵 = 1 =35°(cid:86)
2
∴ ∠𝐵𝐶𝑃 ∠𝐴𝐶𝑃 ∠𝐴𝐶𝐵
(cid:80)
∵ 𝐷𝐸∥𝐵𝐶= =60°(cid:80) = =35°(cid:86)
∴ ∠𝐴𝐷(cid:36)𝐸(cid:41) ∠𝐵 (cid:80) ∠𝑃𝐺𝐷 ∠𝐵𝐶𝑃
∵ 𝐷𝑃
=
∠1𝐴𝐷𝐸
=30°(cid:86)
2
∴ ∠𝑃𝐷𝐺 ∠𝐴𝐷𝐸
= =115°(cid:125)
∴ ∠𝐷𝑃𝐶=118105°°(cid:80)−∠𝑃𝐷𝐺−∠𝑃𝐺𝐷
∵ ∠𝐷𝑃𝐶= =65°(cid:86)
∴ ∠𝑄(cid:36)𝑃𝐶(cid:41) 180°(cid:80)−115(cid:36)° (cid:41) (cid:80)
∵ 𝐶𝑃 ∠𝐴𝐶𝐵 𝐶𝑄 ∠𝐴𝐶𝐹= 1 (cid:80) = 1 (cid:86)
2 2
∴ ∠𝐴𝐶𝑃 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐶𝑄 ∠𝐴𝐶𝐹
+ =180°(cid:80)
∵ ∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐴𝐶𝐹 =90°(cid:80)(cid:123) =90°(cid:80)
∴ ∠𝐴𝐶=𝑃 ∠𝐴𝐶𝑄 =25°(cid:86)∠𝑃𝐶𝑄
(cid:131)∴(cid:93)∠(cid:94)𝑄(cid:85)(cid:10)901°1−5∠(cid:80)𝑄2𝑃5𝐶(cid:125)
(cid:56)2(cid:69)(cid:42)(cid:10)(cid:186)(cid:324)(cid:223)(cid:224)(cid:132)(cid:219)(cid:80)(cid:100)(cid:114)(cid:109)(cid:60)(cid:10)
=50°(cid:80)
∵ ∠𝐴 + =130°(cid:86)
∴ ∠𝐴𝐶𝐵 (cid:80)∠𝐵
∵ 𝐷𝐸∥𝐵𝐶= (cid:80) = (cid:86)
∴ ∠𝐴𝐷(cid:36)𝐸(cid:41) ∠𝐵 (cid:80)∠𝑃𝐺(cid:36)𝐷 (cid:41)∠𝑃𝐶𝐵(cid:80)
∵ 𝐷𝑃 = ∠1𝐴𝐷𝐸 𝐶 = 𝑃1 (cid:80) ∠𝐴𝐶𝐵 = 1 = (cid:86)
2 2 2
∴ ∠𝑃𝐷𝐸 ∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐵 ∠𝑃𝐶𝐵 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝑃𝐺𝐷
= ( + ) A +
A
科
全
= ∴ ∠𝐷𝑃𝐶1 ( 180 + °− ∠𝑃𝐷 ) 𝐸 ∠𝑃𝐺𝐷 公 众 号 ★
2 注
关
，
源
180°−1 ∠𝐵 ∠𝐴𝐶𝐵 资
辅
= ×130° 教
2
=
1
1
8
1
0
5
°
°
−(cid:86)
=65°(cid:80)
∴ ∠𝑄𝑃𝐶+ =180°(cid:80)
∵ ∠𝐴𝐶𝐵
=
∠1
(
𝐴𝐶𝐹
+ )=90°(cid:80)
2
∴ ∠𝑃𝐶𝑄 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐶𝐹
= =25°(cid:86)
∴(cid:71)∠𝑄 (cid:32)9(cid:47)0°(cid:92)−(cid:223)∠𝑄(cid:224)𝑃(cid:132)𝐶 (cid:219)(cid:79)(cid:80) (cid:196) (cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:186)(cid:223)(cid:224)(cid:132)(cid:219)(cid:125)
(cid:56)∴3(cid:69)∠(cid:42)𝐵(cid:10)(cid:129) = (cid:80) ∠𝐷𝑃𝐶 ∠𝑄
+ ∠𝐴= 𝑥 (cid:86)
∴ ∠𝐴𝐶𝐵 (cid:80)∠𝐵 180°−𝑥
∵ 𝐷𝐸∥𝐵𝐶= (cid:80) = (cid:80)
∴ ∠𝐴𝐷(cid:36)𝐸(cid:41) ∠𝐵 (cid:80)∠𝑃𝐺(cid:36)𝐷 (cid:41)∠𝑃𝐶𝐵(cid:80)
∵ 𝐷𝑃 = ∠1𝐴𝐷𝐸 𝐶 = 𝑃1 (cid:80) ∠𝐴𝐶𝐵 = 1 = (cid:80)
2 2 2
∴ ∠𝑃𝐷𝐸 ∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐵 ∠𝑃𝐶𝐵 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝑃𝐺𝐷= ( + )
∴ ∠𝐷𝑃𝐶1 180°− ∠𝑃𝐷𝐸 ∠𝑃𝐺𝐷
= ( + )
2
180°−1 ∠𝐵 ∠𝐴𝐶𝐵
= ×( )
2
180°− 180°−𝑥
=90°+ 1 (cid:86)
2
𝑥
= 90°+ 1 = 1 (cid:86)
2 2
∴ ∠𝑄(cid:36)𝑃𝐶(cid:41) 180°(cid:80)− (cid:36)(cid:41) 𝑥 (cid:80)90°− 𝑥
∵ 𝐶𝑃
=
∠1𝐴𝐶𝐵
(cid:80)
𝐶𝑄 ∠
=
𝐴1𝐶𝐹
(cid:80)
2 2
∴∠𝐴𝐶𝑃 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐶𝑄 ∠𝐴𝐶𝐹
= 1 ( + )=90°(cid:80)
2
∴ ∠𝑃𝐶𝑄 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐶𝐹
= = 1 = 1 (cid:80)
2 2
∴∠ 𝑄 90(cid:46)°−(cid:322)∠𝑄(cid:137)𝑃(cid:73)𝐶(cid:74)(cid:27)90(cid:25)°−(cid:107)9(cid:108)0°(cid:76)−(cid:73)𝑥(cid:74)(cid:27)(cid:25)𝑥(cid:32)(cid:24)(cid:78)(cid:80)
∵ △𝑃𝐶𝑄 1 1
(cid:71) = (cid:79)(cid:80) =3 (cid:80) +
2 2 A A
科
全
(cid:42)∴(cid:113)①(cid:10)∠=𝑄 1335∠° 𝑄𝑃𝐶 𝑥 90°− 𝑥
众
号 ★
公
注
关
，
(cid:71) 𝑥 = (cid:79)(cid:80) 1 资=3源× 1 (cid:80)
辅2 2
教
② ∠𝑄𝑃𝐶 3∠𝑄 90°− 𝑥 𝑥
(cid:42)(cid:113)(cid:10) =45°
(cid:71) 𝑥 = (cid:79)(cid:80)90°=3× 1 (cid:80)
2
③ ∠𝑃𝐶𝑄 3∠𝑄 𝑥
(cid:42)(cid:113)(cid:10) =60°
𝑥 1
(cid:71) = (cid:79)(cid:80)90°=3× (cid:80)
2
(cid:42)④(cid:113)(cid:10)∠𝑃𝐶=𝑄1203°∠ 𝑄𝑃𝐶 90°− 𝑥
(cid:39)(cid:134)(cid:112)𝑥(cid:144)(cid:80) =45°(cid:95)60°(cid:95)120°(cid:95)135°(cid:86)
(cid:15)(cid:172)(cid:227)(cid:19)(cid:97)∠(cid:20)𝐴(cid:98)(cid:99)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:80)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:38)(cid:32)(cid:54)(cid:70)(cid:80)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:107)(cid:144)(cid:165)(cid:86)(cid:317)(cid:67)(cid:159)(cid:23)(cid:92)(cid:26)(cid:240)(cid:40)(cid:28)(cid:41)(cid:115)
(cid:116)(cid:117)(cid:32)(cid:325)(cid:267)(cid:75)(cid:42)(cid:20)(cid:3)(cid:104)(cid:86)
【题型5 利用三角形内角和解决折叠中的角度计算】
(cid:15)(cid:55)5(cid:19)(cid:56)24-25(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)·(cid:63)(cid:277)(cid:278)(cid:279)·(cid:136)(cid:46)(cid:69)(cid:109)(cid:155)(cid:80)(cid:137) (cid:46)(cid:80) (cid:196) (cid:32)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:38)(cid:192)(cid:108)(cid:172) (cid:80)(cid:202)
(cid:326) (cid:44)(cid:45)(cid:327)(cid:113)(cid:172) (cid:35)(cid:172) (cid:328)(cid:40)(cid:80)(cid:87) + =80°(cid:80)(cid:88)△𝐴𝐵𝐶(cid:32)(cid:47)(cid:92)∠(cid:75)𝐴𝐵(cid:56)𝐶 ∠(cid:69)𝐴𝐶𝐵 𝑃 △𝐴𝐵𝐶
𝐷𝐸 𝐴 𝑃 ∠1 ∠2 ∠𝐵𝑃𝐶A(cid:86)100° B(cid:86)110° C(cid:86)120° D(cid:86)130°
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19)B
(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:98)(cid:99)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:284)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:38)(cid:32)(cid:54)(cid:70)(cid:80)(cid:317)(cid:67)(cid:101)(cid:102)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:75)180°(cid:75)(cid:42)(cid:20)(cid:3)(cid:104)(cid:86)(cid:105)
(cid:106)(cid:44)(cid:45)(cid:113)(cid:122) = (cid:80) = (cid:80)(cid:160)(cid:114)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:28)(cid:36)(cid:25)(cid:54)(cid:70)(cid:31)(cid:122) = 1 + =40°(cid:86)(cid:105)
2
∠𝑃𝐷𝐸 ∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝑃𝐸𝐷 ∠𝐴𝐸𝐷 ∠𝐴 (∠1 ∠2)
(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:112)(cid:113) + = (cid:80)(cid:105)(cid:106)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:38)(cid:32)(cid:54)(cid:70)(cid:112)(cid:113)
= + ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠ 9 𝐴 0 𝐶 ° 𝐵 + 1 18 (cid:114) 0° (cid:84) −∠ (cid:123) 𝐴 (cid:112)(cid:113)(cid:93)(cid:94)(cid:86)
2
∠𝐵𝑃𝐶 180°−(∠𝐹𝐵𝐶 ∠𝐹𝐶𝐵) ∠𝐴
(cid:15)(cid:124)(cid:42)(cid:19)(cid:42)(cid:10)(cid:114)(cid:44)(cid:45)(cid:112)(cid:144)(cid:10) = (cid:80) = (cid:80)
+ =180°(cid:80) +∠𝑃𝐷𝐸 ∠=𝐴𝐷1𝐸80°(cid:86)∠𝑃𝐸𝐷 ∠𝐴𝐸𝐷
∴∠1+2∠𝐴+𝐷𝐸 + ∠2 2∠=𝐴3𝐸6𝐷0°(cid:80) A +
A
科
全
★
∴(cid:288)∠1 ∠2+2(∠𝐴𝐷=𝐸 ∠𝐴𝐸𝐷)(cid:80) 众 号
公
注
关
，
∵∠ + 𝐴𝐷𝐸 + ∠𝐴𝐸𝐷 180° = −∠ 36 𝐴 资0°(cid:80)源(cid:123) = 1 + =40°(cid:80)
辅 2
教
∴∠1 ∠2 2(180°−∠𝐴) ∠𝐴 (∠1 ∠2)
= 1 (cid:80) = 1 (cid:80) + = (cid:80)
2 2
∵∠𝑃𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝑃𝐶𝐵 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 180°−∠𝐴
+ = 1 + = 1 (cid:80)
2 2
∴∠𝑃𝐵𝐶 ∠𝑃𝐶𝐵 (∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵) (180°−∠𝐴)
= + =90°+ 1 (cid:80)
2
∴∠𝐵𝑃𝐶 180°−(∠𝐹𝐵𝐶 ∠𝐹𝐶𝐵) ∠𝐴
=90°+ 1 ×40°=110°(cid:86)
2
∴∠𝐵𝑃𝐶
(cid:131)(cid:199)(cid:10)B(cid:86)
(cid:15)(cid:132)(cid:133)5-1(cid:19)(cid:56)24-25(cid:149)(cid:58)(cid:59)(cid:134)·(cid:61)(cid:321)(cid:153)(cid:314)·(cid:136)(cid:46)(cid:69)(cid:109)(cid:155)(cid:80)(cid:202)(cid:73)(cid:145)(cid:77)(cid:189)(cid:326)(cid:329)(cid:280)(cid:36)(cid:37)(cid:32)(cid:330)(cid:331)(cid:44)(cid:45)(cid:80)(cid:87) (cid:120) (cid:91)
12°(cid:80)(cid:88) (cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:85) (cid:86) ∠1 ∠2
∠1
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19)68°/68(cid:47)(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:98)(cid:99)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:196)(cid:44)(cid:45)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:80)(cid:105)(cid:106)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:196)(cid:44)(cid:45)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:80)(cid:112)(cid:118)(cid:48)(cid:49)(cid:122) (cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:80)
(cid:298)(cid:157)(cid:123)(cid:112)(cid:48)(cid:49)(cid:122) (cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:86) ∠2
(cid:15)(cid:124)(cid:42)(cid:19)(cid:42)(cid:10)(cid:109)∠(cid:155)1(cid:166)(cid:167)(cid:80)
(cid:86)
(cid:114)(cid:20)(cid:198)(cid:112)(cid:113)(cid:10) = (cid:80)
(cid:80) ∠3 ∠4
∵𝐴𝐵∥=𝐶𝐷 (cid:80)
∴∠2=∠3(cid:80)
∴(cid:114)∠(cid:155)2(cid:112)(cid:113)∠4(cid:80) + + =180°(cid:80)
(cid:120) (cid:91)1∠21°(cid:80)∠2 ∠4
+
A
∵∠(1 +∠122°)+ + =180°(cid:80) 科 A
全
★
号
众
∴(cid:42)∠(cid:113)2 =56°(cid:80)∠2 ∠2 公
注
关
，
源
∠=2 +12°=56°+1辅2°=资68°(cid:80)
教
(cid:131)∴∠(cid:93)1(cid:94)(cid:85)∠2(cid:10)68°(cid:86)
(cid:15)(cid:132)(cid:133)5-2(cid:19)(cid:56)24-25(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)·(cid:332)(cid:153)(cid:333)(cid:236)·(cid:136)(cid:46)(cid:69)(cid:109)(cid:155)(cid:80)(cid:202)(cid:278)(cid:201)(cid:26) (cid:326) (cid:44)(cid:45)(cid:80)(cid:327)(cid:172) (cid:334)(cid:137) (cid:189)(cid:134)(cid:32)(cid:172) (cid:80)
(cid:87) =38°(cid:86)(cid:88) = (cid:47)(cid:86) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐸 𝐷 𝐵𝐶 𝐹
∠𝐵𝐹𝐴 ∠𝐷𝐸𝐴
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19)71
(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:98)(cid:99)(cid:142)(cid:335)(cid:26)(cid:44)(cid:45)(cid:86)(cid:317)(cid:67)(cid:101)(cid:102)(cid:335)(cid:26)(cid:51)(cid:52) (cid:44)(cid:45)(cid:51)(cid:52)(cid:80)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:80)(cid:29)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:80)(cid:75)(cid:42)(cid:43)
(cid:97)(cid:20)(cid:32)(cid:328)(cid:172)(cid:86)
(cid:296)(cid:297)(cid:105)(cid:106)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:113)(cid:147) (cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:80)(cid:160)(cid:105)(cid:106)(cid:336)(cid:44)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:31)(cid:122) (cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:80)(cid:123)(cid:112)(cid:31)(cid:122) (cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:86)
(cid:15)(cid:124)(cid:42)(cid:19)(cid:42)(cid:10) (cid:278)(cid:201)(cid:26) ∠(cid:46)𝐷𝐴𝐹 (cid:80) ∠𝐷𝐴𝐸 ∠𝐷𝐸𝐴
= ∵ =38°𝐴(cid:80)𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶
∴∠𝐷𝐴𝐹 ∠𝐴𝐹𝐵(cid:114)(cid:44)(cid:45)(cid:144)(cid:80) = = 1 =19°(cid:80)
2
∠𝐷𝐴𝐸 ∠𝐹𝐴𝐸 ∠𝐷𝐴𝐹
=90°(cid:80)
∵∠𝐷 = =71°(cid:86)
∴(cid:131)∠(cid:93)𝐷𝐸(cid:94)𝐴(cid:85)(cid:10)9701°−(cid:86)∠𝐷𝐴𝐸
(cid:15)(cid:132)(cid:133)5-3(cid:19)(cid:56)24-25(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)·(cid:61)(cid:321)(cid:194)(cid:337)·(cid:136)(cid:46)(cid:69)(cid:109)(cid:155)(cid:80)(cid:137) (cid:46)(cid:80) = =30°(cid:86)(cid:338)(cid:73)(cid:304)(cid:80)(cid:202)(cid:330)
(cid:339)(cid:44)(cid:45)(cid:80)(cid:327)(cid:172)A(cid:35)(cid:172)B(cid:328)(cid:40)(cid:80)(cid:44)(cid:340)(cid:35)(cid:189) (cid:32)(cid:192)(cid:172)(cid:85)(cid:172)D(cid:125)△(cid:338)𝐴(cid:341)𝐵𝐶(cid:304)(cid:80)(cid:137)∠𝐴𝐵(cid:189)𝐶(cid:134)(cid:342)90(cid:73)°,∠(cid:172)𝐴E(cid:80)(cid:202)(cid:330)(cid:339)(cid:326) (cid:44)(cid:45)(cid:80)
(cid:172)A(cid:334)(cid:137) (cid:343)(cid:125)(cid:338)(cid:24)(cid:304)(cid:80)(cid:202)(cid:330)(cid:339)(cid:326) (cid:44)𝐴(cid:45)𝐵(cid:80)(cid:172)E(cid:334)(cid:137) (cid:343)(cid:80)(cid:71)(cid:172) (cid:344)𝐴(cid:345)𝐶(cid:137)(cid:346)(cid:29)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:330)(cid:339)(cid:32)(cid:189)𝐸(cid:134)𝐷(cid:79)(cid:80)
′ ′ ′ ′
(cid:32)(cid:47)𝐴(cid:92)(cid:85) °(cid:86) 𝐷𝐴 𝐸 𝐸
′
∠𝐴𝐷𝐴
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19)60°(cid:95)120
+
A
A
科
(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:98)(cid:99)(cid:142)(cid:44)(cid:45)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:80)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:80)(cid:209)(cid:102)(cid:44)(cid:45)(cid:32)全(cid:186)(cid:132)(cid:51)(cid:75)(cid:42)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:104)(cid:86)
★
号
众
公
注
(cid:41)(cid:77)(cid:183)(cid:347)(cid:348)(cid:116)(cid:117)(cid:80)(cid:259)(cid:122)(cid:167)(cid:198)(cid:155)(cid:80)(cid:105)(cid:106)(cid:44)(cid:45)(cid:32)关(cid:51)(cid:52)(cid:118)(cid:284)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:123)(cid:112)(cid:31)(cid:42)(cid:86)
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:124)(cid:42)(cid:19)(cid:42)(cid:10)(cid:71)(cid:172) (cid:137)教(cid:134)(cid:79)(cid:80)
′
𝐸 𝐴𝐶
(cid:114)(cid:44)(cid:45)(cid:113)(cid:80) (cid:80)
′ ′
(cid:349)(cid:350)(cid:84)(cid:79) 𝐴 𝐷⊥(cid:80)𝐸𝐸(cid:351) (cid:35) (cid:192)(cid:108)(cid:172)G(cid:80)
′ ′
=𝐴9𝐷0°⊥(cid:80)𝐴𝐶 𝐴 𝐷 𝐴𝐶
∴∠𝐷𝐺=𝐴30°(cid:80)
∵∠𝐴 = =60°(cid:125)
′
(cid:71)∴∠(cid:172)𝐴𝐷𝐴(cid:137) 1(cid:134)80(cid:79)°−(cid:80)∠𝐴−∠𝐷𝐺𝐴
′
𝐸 𝐴𝐵(cid:114)(cid:44)(cid:45)(cid:144) = = (cid:80)
′ ′ ′
(cid:71)(cid:172) (cid:137)∠𝐴(cid:134)𝐷𝐸(cid:79)(cid:80)∠(cid:88)𝐴 𝐷𝐸 +∠𝐴 𝐷𝐸 + =180°(cid:80)
′ ′ ′ ′
𝐸 =𝐴6𝐵0°(cid:80) ∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐴 𝐷𝐸 ∠𝐴 𝐷𝐸
∴∠𝐴𝐷𝐸 = =120°(cid:80)
′
(cid:39)∴∠(cid:134)𝐴𝐷(cid:10)𝐴(cid:71)(cid:172)2∠(cid:344)𝐴𝐷(cid:345)𝐸(cid:137)(cid:346)(cid:29)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:330)(cid:339)(cid:32)(cid:189)(cid:134)(cid:79)(cid:80) (cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:85)60°(cid:95)120°(cid:80)
′ ′
(cid:131)(cid:93)(cid:94)(cid:85)(cid:10)𝐸60°(cid:95)120(cid:86) ∠𝐴𝐷𝐴
【题型6 利用三角形内角和解决三角板中的角度计算】
(cid:15)(cid:55)6(cid:19)(cid:56)24-25(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)·(cid:61)(cid:321)(cid:303)(cid:332)(cid:352)·(cid:136)(cid:46)(cid:69)(cid:109)(cid:155)(cid:80)(cid:209)(cid:73)(cid:353)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:109)(cid:155)(cid:354)(cid:205)(cid:80)(cid:172)E(cid:137)(cid:189) (cid:134)(cid:80)(cid:202)(cid:155)(cid:46)(cid:32)
+
A
(cid:212)(cid:172)A(cid:138)(cid:355)(cid:356)5°(cid:357)(cid:47)(cid:326)(cid:358)(cid:79)(cid:214)(cid:201)(cid:208)(cid:215)(cid:216)(cid:73)(cid:359)(cid:80)(cid:137)(cid:215)(cid:216)(cid:32)(cid:188)(cid:258)(cid:46)(cid:80)(cid:137)(cid:338) 科 (cid:356)A(cid:79)(cid:80)(cid:189) (cid:344)𝐴𝐶(cid:345)(cid:35)(cid:189) (cid:36)(cid:37)(cid:86)△𝐴𝐵𝐶
全
★
号
众
公 𝐵𝐶 𝐷𝐸
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19)21(cid:95)57
(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:98)(cid:99)(cid:142)(cid:215)(cid:216)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:196)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:196)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:107)(cid:144)(cid:165)(cid:172)(cid:80)(cid:210)(cid:106)(cid:20)(cid:198)(cid:80)(cid:281)(cid:282)(cid:41)(cid:77)(cid:183)(cid:347)
(cid:348)(cid:116)(cid:117)(cid:75)(cid:42)(cid:20)(cid:3)(cid:104)(cid:86)
(cid:297)(cid:105)(cid:106)(cid:215)(cid:216)(cid:32)(cid:54)(cid:70)(cid:259)(cid:122)(cid:155)(cid:26)(cid:80)(cid:160)(cid:105)(cid:106)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:28)(cid:215)(cid:216)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:31)(cid:122)(cid:215)(cid:216)(cid:25)(cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:80)(cid:114)(cid:84)(cid:123)(cid:112)(cid:113)(cid:122)(cid:93)(cid:94)(cid:86)
(cid:15)(cid:124)(cid:42)(cid:19)(cid:42)(cid:10)(cid:109)(cid:155)1(cid:166)(cid:167)(cid:10)(cid:71) (cid:79)(cid:80)
′ ′
𝐵 𝐶 ∥𝐷𝐸(cid:114)(cid:20)(cid:198)(cid:112)(cid:113)(cid:10) = =60°(cid:80) =45°(cid:80)
′
(cid:88) = ∠𝐵 ∠𝐷𝐹𝐴 =75°(cid:80)∠𝐷
(cid:131)∠𝐹𝐴𝐷= 180°−∠𝐷=−∠15𝐷°𝐹(cid:80)𝐴
(cid:88)∠𝐶𝐴𝐹 =9900°°−+7155°°=105°(cid:80)
∠𝐵𝐴𝐹 105
(cid:131)(cid:189) (cid:344)(cid:345)(cid:35)(cid:189) (cid:36)(cid:37)(cid:79)(cid:80)(cid:215)(cid:216)(cid:32)(cid:79)(cid:360)(cid:85)(cid:10) =21(cid:56)(cid:356)(cid:69)(cid:80)
5
(cid:109)(cid:155)𝐵 2 𝐶(cid:80)(cid:71) 𝐷𝐸 (cid:79)(cid:80)
″ ″
𝐵 𝐶 ∥𝐷𝐸
(cid:114)(cid:56)1(cid:69)(cid:180)(cid:100)(cid:112)(cid:113)(cid:10) =75°(cid:80)
+
A
″ 科 A
(cid:88) (cid:212)(cid:172) (cid:358)(cid:79)(cid:214)(cid:215)∠(cid:216)𝐵𝐴(cid:142)𝐵 =285°(cid:80) ★ 全
号
众
公
注
𝐵𝐴 𝐴 285 360°−75° 关
(cid:137)(cid:215)(cid:216)(cid:32)(cid:188)(cid:258)(cid:46)(cid:10)(cid:338) =57(cid:56)(cid:356)(cid:69)(cid:79)，(cid:80)(cid:189) (cid:344)(cid:345)(cid:35)(cid:189) (cid:36)(cid:37)(cid:86)
5 资 源
辅
教
(cid:39)(cid:134)(cid:166)(cid:287)(cid:10)(cid:137)(cid:338)21(cid:95)57(cid:356)(cid:79)(cid:80)(cid:189) (cid:344)(cid:345)(cid:35)𝐵(cid:189)𝐶 (cid:36)(cid:37)(cid:86)𝐷 𝐸
(cid:131)(cid:93)(cid:94)(cid:85)(cid:10)21(cid:95)57(cid:86) 𝐵𝐶 𝐷𝐸
(cid:15)(cid:132)(cid:133)6-1(cid:19)(cid:56)24-25(cid:149)(cid:58)(cid:59)(cid:134)·(cid:307)(cid:151)(cid:151)(cid:361)·(cid:136)(cid:46)(cid:69)(cid:73)(cid:353)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:80)(cid:138)(cid:109)(cid:155)(cid:166)(cid:167)(cid:45)(cid:205)(cid:137)(cid:73)(cid:362)(cid:80)(cid:88)(cid:155)(cid:46) (cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:75)
(cid:56) (cid:69) ∠𝛼
A(cid:86)75° B(cid:86)65° C(cid:86)60° D(cid:86)55°
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19)A
(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:98)(cid:99)(cid:142)(cid:236)(cid:188)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:31)(cid:25)(cid:47)(cid:80)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:80)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:46)(cid:232)(cid:363)(cid:25)(cid:47)(cid:80)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:27)(cid:25)
(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:42)(cid:93)(cid:123)(cid:112)(cid:80)(cid:101)(cid:102)(cid:144)(cid:165)(cid:172)(cid:32)(cid:364)(cid:23)(cid:75)(cid:42)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:104)(cid:86)
(cid:15)(cid:124)(cid:42)(cid:19)(cid:42)(cid:10)(cid:109)(cid:155)(cid:80)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:25)(cid:47)(cid:32)(cid:232)(cid:363)(cid:51)(cid:112)(cid:144) =45°(cid:80) =60°(cid:80)
∠𝐴𝐸𝐵 ∠𝐵+ + =180°(cid:80)
∵∠𝛼=∠𝐴𝐸𝐵 ∠𝐵 =75°(cid:80)
∴(cid:131)∠(cid:199)𝛼(cid:10)A1(cid:86)80°−45°−60°
(cid:15)(cid:132)(cid:133)6-2(cid:19)(cid:56)24-25(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)·(cid:16)(cid:61)·(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:202)(cid:73)(cid:353)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:109)(cid:155)(cid:205)(cid:206)(cid:80)(cid:189) (cid:35)(cid:189) (cid:137)(cid:180)(cid:73)(cid:145)(cid:29)(cid:38)(cid:134)(cid:80)
= = =60°(cid:80) =45°(cid:86)(cid:24)(cid:25)(cid:50) (cid:365)(cid:366)(cid:186)(cid:312)(cid:80)(cid:202)(cid:24)(cid:25)(cid:50)𝐵𝐶 (cid:212)𝐸(cid:172)𝐹 (cid:213)(cid:79)(cid:214)(cid:215)(cid:216)
∠(0𝐶°<∠𝐷<𝐹𝐸180°9)0(cid:86)°,(cid:71)∠𝐴𝐵=𝐶 (cid:79)(cid:80)∠𝐸 (cid:86) 𝐷𝐸𝐹 𝐴𝐵𝐶 𝐵 𝛼
𝛼 𝛼 𝐴𝐵⊥𝐷𝐸
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19)75° 教
(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:98)(cid:99)(cid:367)(cid:29)(cid:32)(cid:54)(cid:70)(cid:80)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:80)(cid:25)(cid:32)(cid:28)(cid:245)(cid:86)(cid:71) (cid:79)(cid:80)(cid:123) =90°(cid:80)(cid:240)(cid:40)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)
(cid:113) =45°(cid:80)(cid:114)(cid:215)(cid:216)(cid:51)(cid:52)(cid:113) = =60°(cid:80)(cid:160)(cid:105)(cid:106)(cid:25)(cid:32)𝐴𝐵(cid:28)⊥(cid:245)𝐷(cid:3)𝐸(cid:128)(cid:276)(cid:37)∠(cid:158)1(cid:133)(cid:48)(cid:49)(cid:80)(cid:123)(cid:112)(cid:181)(cid:93)(cid:86)
′ ′
(cid:15)∠(cid:124)2(cid:42)(cid:19)(cid:42)(cid:10)(cid:109)(cid:155)(cid:80) ∠𝐴 𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶
(cid:24)(cid:25)(cid:50) (cid:365)(cid:366)(cid:186)(cid:312)(cid:80)(cid:202)(cid:24)(cid:25)(cid:50) (cid:212)(cid:172) (cid:213)(cid:79)(cid:214)(cid:215)(cid:216) (0°< <180°)(cid:80)(cid:368) (cid:80)
∵ =9𝐷0°𝐸(cid:80)𝐹 𝐴𝐵𝐶 𝐵 𝛼 𝛼 𝐴𝐵⊥𝐷𝐸
∴∠1 = = =60°(cid:80) =45°(cid:86)
∵∠𝐶= ∠𝐷𝐹𝐸 =904°5,∠°𝐴(cid:80)𝐵𝐶 = ∠𝐸 =60°(cid:80)
′ ′
∴∠2 90°−∠𝐸 ∠𝐴 𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶(cid:88) = =75°(cid:80)
′
(cid:24)∠(cid:25)𝐶 (cid:50)𝐵𝐶 1(cid:212)80(cid:172)°−4(cid:358)5°(cid:79)−(cid:214)60(cid:215)° (cid:216)75(cid:47)(cid:80)
∴(cid:123) =75𝐴°𝐵(cid:80)𝐶 𝐵
(cid:131)𝛼(cid:93)(cid:94)(cid:85)(cid:10)75°(cid:86)
(cid:15)(cid:132)(cid:133)6-3(cid:19)(cid:56)24-25(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)·(cid:369)(cid:370)(cid:371)(cid:290)·(cid:136)(cid:46)(cid:69)(cid:143)(cid:144)(cid:73)(cid:372)(cid:24)(cid:25)(cid:50) = = =
(0°< <90°)(cid:80)(cid:202)(cid:24)(cid:25)(cid:50) (cid:109)(cid:155)(cid:166)(cid:167)(cid:205)(cid:206)(cid:80)(cid:327)(cid:373)(cid:172) (cid:334)(cid:137) (cid:189)𝐶(cid:134)𝐷𝐸(cid:80),∠(cid:234)𝐶𝐸(cid:188)𝐷(cid:172) 9(cid:181)0°(cid:29),∠(cid:38)𝐶𝐷𝐸 30°(cid:192),∠𝐴𝑂𝐵(cid:189)(cid:108)𝛼(cid:172)
(cid:80)(cid:368)𝛼(cid:172) (cid:137)(cid:172) (cid:32)(cid:374)(cid:375)(cid:86)(cid:87)𝐶𝐷𝐸 (cid:32)(cid:36)(cid:41)(cid:38) (cid:192) (cid:189)𝐶(cid:108)(cid:172)𝑂(cid:80)𝐵(cid:118)(cid:60)(cid:240)(cid:117)(cid:46) 𝐷 𝑀𝑁∥𝑂𝐵 𝑂𝐴
𝑀 (cid:71) =𝑀60°(cid:368)𝐷 (cid:79)(cid:80) ∠𝑀𝐷𝐶 (cid:125) 𝐷𝐹 𝑂𝐵 𝐹
①
(cid:71)
𝛼
(cid:79)
𝐷
(cid:80)
𝐹∥𝑂𝐴
+
1𝐶𝐸
=
∥
1
𝑂
50
𝐴
°(cid:125)
2
② 𝐶𝐸∥𝑂𝐴 ∠𝑂𝐹𝐷 𝛼
(cid:71) + =150°(cid:79)(cid:80) (cid:86)(cid:281)(cid:282)(cid:32)(cid:111)(cid:56) (cid:69)
③ ∠𝑂𝐹𝐷 𝛼 𝐷𝐸⊥𝑂𝐴
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
A(cid:86) B(cid:86) 关C(cid:86) D(cid:86)
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19)②B 教①② ①③ ①②③
(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:140)(cid:141)(cid:99)(cid:142)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:53)(cid:54)(cid:28)(cid:51)(cid:52)(cid:80)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:80)(cid:317)(cid:67)(cid:101)(cid:102)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:53)(cid:54)(cid:28)(cid:51)(cid:52)(cid:80)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:75)(cid:42)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:104)(cid:86)
(cid:105)(cid:106) (cid:80)(cid:112)(cid:113) = = =60°(cid:80)(cid:160)(cid:114) (cid:118)(cid:284) (cid:36)(cid:41) (cid:80)(cid:112)(cid:113)
𝐷𝐹=∥𝑂𝐴 =6∠0°𝐷(cid:80)𝐹(cid:298)𝐶 (cid:157)∠(cid:105)𝐴(cid:106)𝑂𝐵 𝛼 =60°(cid:80)(cid:112)(cid:113)𝑀𝑁∥𝑂=𝐵 𝐷𝐹(cid:80)(cid:305)(cid:306)∠(cid:113)𝑀(cid:147)𝐷𝐶 (cid:80)(cid:112)(cid:53)(cid:191) (cid:125)(cid:105)(cid:106)
∠𝐶𝐷𝐹 (cid:80)∠(cid:112)𝑀(cid:113)𝐷𝐹 = = ∠(cid:80)𝐷(cid:305)𝐶(cid:306)𝐸 (cid:113)(cid:147) =∠𝐶𝐷𝐹 ∠𝐷𝐶𝐸 = 𝐶𝐸∥𝐷(cid:80)𝐹(cid:160)(cid:114) ①(cid:118)(cid:284)
𝐶
(cid:36)
𝐸
(cid:41)
∥𝑂𝐴
(cid:80)(cid:112)
∠
(cid:113)
𝐵𝐶𝐸 ∠
=
𝐴𝑂𝐵 𝛼
= (cid:80)(cid:298)
∠𝐷
(cid:157)
𝐶
(cid:105)
𝐹
(cid:106)
1
(cid:24)
8
(cid:25)
0°
(cid:26)
−∠
(cid:27)
𝐷
(cid:25)
𝐶𝐸
(cid:28)
−
(cid:54)
∠𝐵
(cid:100)
𝐶𝐸
(cid:112)(cid:113)
120°−𝛼
=30°+
𝑀1𝑁
(cid:80)
∥
(cid:112)
𝑂𝐵
(cid:53)(cid:191)
𝐷𝐹
(cid:125)
2
∠𝑀𝐷𝐶 ∠𝐶𝐷𝐹 ∠𝑀𝐷𝐹 ∠𝐶𝐹𝐷 ∠𝐶𝐹𝐷 𝛼 ②
(cid:105)(cid:106) + =150°(cid:80)(cid:112)(cid:113) =30°+ (cid:80)(cid:160)(cid:114) (cid:118)(cid:284) (cid:36)(cid:41) (cid:80)(cid:112)(cid:113)
∠𝑂=𝐹𝐷 𝛼 = =30∠°𝐶+𝐹𝐷(cid:80)(cid:298)(cid:157)(cid:105)(cid:106)𝛼(cid:24)(cid:25)(cid:26)𝑀(cid:27)𝑁(cid:25)∥(cid:28)𝑂𝐵(cid:54)(cid:100)(cid:112)𝐷(cid:113)𝐹 ∠𝑀=𝐷𝐶 (cid:80)(cid:305)(cid:306)(cid:113)(cid:147)
∠𝐶𝐷𝐹= ∠𝑀𝐷𝐹 ∠𝐶𝐹𝐷 = 𝛼(cid:80)(cid:194)(cid:195)(cid:113)(cid:147) (cid:35) (cid:36)(cid:37)(cid:80)(cid:112)(cid:53)(cid:191) ∠(cid:86)𝐷𝐶𝐹 120°−2𝛼
(cid:15)∠𝐵(cid:124)𝐶𝐸(cid:42)(cid:19)1(cid:42)80(cid:10)°−(cid:109)∠(cid:155)𝐷𝐶(cid:80)𝐸−∠𝐷𝐶𝐹 2𝛼 𝑂𝐴 𝐶𝐸 ③(cid:80)
∵𝐷𝐹∥𝑂=𝐴 = =60°(cid:80)
∴∠𝐷𝐹𝐶 (cid:80)∠𝐴𝑂𝐵 𝛼
∵𝑀𝑁∥𝑂=𝐵 =60°(cid:80)
∴∠𝑀(cid:36)𝐷𝐹(cid:41) ∠𝐷𝐹𝐶(cid:80)
∵𝐷𝐹 =∠𝑀𝐷𝐶 =60°(cid:80)
∴(cid:137)∠R𝐶t𝐷𝐹 ∠𝑀(cid:46)𝐷(cid:80)𝐹 =60°(cid:80)
△𝐷=𝐶𝐸 (cid:80)∠𝐷𝐶𝐸
∴∠𝐶𝐷𝐹 (cid:80)∠𝐷𝐶𝐸
+
A
∴𝐶𝐸∥𝐷𝐹(cid:80) 科 A
全
★
号
众
∵𝐷𝐹∥𝑂𝐴(cid:80)(cid:131) (cid:281)(cid:282)(cid:125) 公
注
关
，
源
∴𝐶𝐸∥𝑂𝐴(cid:80) ① 辅 资
教
∵𝐶𝐸∥𝑂𝐴= = (cid:80)
∴∠𝐵𝐶𝐸 =∠60𝐴°𝑂(cid:80)𝐵 𝛼
∵∠𝐷𝐶𝐸= = (cid:80)
∴∠𝐷𝐶𝐹 (cid:80)180°−∠𝐷𝐶𝐸−∠𝐵𝐶𝐸 120°−𝛼
∵𝑀𝑁∥𝑂=𝐵 (cid:80)
∴∠𝑀(cid:36)𝐷𝐹(cid:41) ∠𝐷𝐹𝐶(cid:80)
∵𝐷𝐹 =∠𝑀𝐷𝐶 = (cid:80)
∴∠𝐶𝐷𝐹+ ∠𝑀𝐷𝐹+ ∠𝐶𝐹𝐷=180°(cid:80)
∵∠𝐶𝐷𝐹
=
∠
3
𝐶
0°
𝐹
+
𝐷1 ∠
(cid:80)
𝐷𝐶𝐹
2
∴∠𝐶𝐹𝐷 𝛼
+ 1 = + 1 = 30°+ 1 + 1 =150°(cid:80)(cid:131) (cid:281)(cid:282)(cid:125)
2 2 2 2
∴∠𝑂𝐹𝐷
+
𝛼
=1
1
5
8
0
0 °(cid:80)°−∠𝐶𝐹𝐷 𝛼 180°− 𝛼 𝛼 ②
∵∠𝑂𝐹𝐷=𝛼 (cid:80)
∴∠𝑂𝐹𝐷 150°−𝛼+ =180°(cid:80)
∵∠𝑂𝐹𝐷 +∠𝐶𝐹𝐷 =180°(cid:80)
∴150°−𝛼=30∠°𝐶+𝐹𝐷(cid:80)
∴∠𝐶𝐹𝐷 (cid:80) 𝛼
∵𝑀𝑁∥𝑂=𝐵 (cid:80)
∴∠𝑀(cid:36)𝐷𝐹(cid:41) ∠𝐷𝐹𝐶(cid:80)
∵𝐷𝐹 =∠𝑀𝐷𝐶 = =30°+ (cid:80)
∴∠𝐶𝐷𝐹+ ∠𝑀𝐷𝐹+ ∠𝐶𝐹𝐷=180°(cid:80)𝛼
∵∠30𝐶°𝐷+𝐹 +∠𝐶3𝐹0°𝐷+ ∠+𝐷𝐶𝐹 =180°(cid:80)
∴ 𝛼= 𝛼(cid:80)∠𝐷𝐶𝐹
∴∠𝐷𝐶𝐹 =16200°(cid:80)°−2𝛼
∵∠𝐷𝐶𝐸= = (cid:80)
∴∠𝐵𝐶𝐸 180°−(cid:80)∠𝐷𝐶𝐸−∠𝐷𝐶𝐹 2𝛼
+
A
∴(cid:194)∠𝐵(cid:195)𝐶𝐸(cid:113)≠(cid:147)∠𝐴𝑂(cid:35)𝐵 (cid:36)(cid:37)(cid:80) 科 A
全
★
号
众
∴ =9𝑂0𝐴°(cid:80)𝐶(cid:123)𝐸 (cid:80) 公
注
关
，
源
∵(cid:194)∠𝐶(cid:195)𝐸𝐷(cid:113)(cid:147) 𝐷(cid:80)𝐸(cid:131)⊥𝐶𝐸辅(cid:286)(cid:244)资(cid:86)
教
∴(cid:131)(cid:199)(cid:10)B 𝐷𝐸⊥𝑂𝐴 ③
【题型7 直角三角形的性质】
(cid:15)(cid:55)7(cid:19)(cid:56)24-25(cid:149)(cid:58)(cid:59)(cid:134)·(cid:64)(cid:376)(cid:377)(cid:264)·(cid:136)(cid:46)(cid:69)(cid:29)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26) (cid:46)(cid:80) =90°(cid:80) (cid:75)(cid:378)(cid:189) (cid:134)(cid:32)(cid:379)(cid:80)
=35°(cid:80)(cid:255)(cid:31)(cid:122)(cid:155)(cid:46)(cid:166)(cid:111)(cid:139)(cid:25)(cid:32)(cid:380)(cid:80)(cid:313)(cid:342)(cid:122)(cid:72)(cid:46)(cid:166)(cid:111)𝐴(cid:280)𝐵(cid:107)𝐶(cid:32)(cid:139)∠(cid:25)𝐴(cid:381)𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐶
∠𝐴
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19) = =35° = =55°(cid:125)(cid:280)(cid:107)(cid:32)(cid:139)(cid:25)(cid:111)(cid:10) = =
(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)∠(cid:97)𝐴(cid:20)(cid:140)∠(cid:141)𝐶𝐵(cid:98)𝐷(cid:99)(cid:29)(cid:25)(cid:24)∠(cid:25)𝐶(cid:26)(cid:77)∠𝐴(cid:139)𝐵(cid:25)𝐷 (cid:329)(cid:285)(cid:80)(cid:29)(cid:30)(cid:105)(cid:106)(cid:29)(cid:25)(cid:24)(cid:25)∠(cid:26)𝐴(cid:77)(cid:139)∠𝐶(cid:25)𝐵𝐷(cid:329),(cid:285)∠(cid:276)𝐶 (cid:37)∠(cid:42)𝐴(cid:93)𝐵𝐷(cid:123)(cid:112)(cid:86)
(cid:15)(cid:124)(cid:42)(cid:19)(cid:42)(cid:10)(cid:137)Rt (cid:46)(cid:80) =90°(cid:80)
+ =90°(cid:80)△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶
∴∠𝐴=∠3𝐶5°(cid:80)
∵∠𝐴= = =55°(cid:125)
(cid:137)∴∠R𝐶t 90°−(cid:46)∠𝐴(cid:80) 90°−35°(cid:80)(cid:123) =90°(cid:80)
+△𝐴𝐵𝐷 =9∵0𝐵°𝐷(cid:80)⊥𝐴𝐶 ∠𝐴𝐷𝐵
∴∠𝐴=∠3𝐴5°𝐵(cid:80)𝐷
∵∠𝐴 = = =55°(cid:125)
(cid:137)∴∠R𝐴t𝐵𝐷 90(cid:46)°−(cid:80)∠𝐴 90°−(cid:80)35(cid:123)° =90°(cid:80)
+△𝐷𝐵𝐶 =9∵0𝐵°(cid:80)𝐷⊥𝐴𝐶 ∠𝐴𝐷𝐶
∴∠𝐶=∠5𝐶5°𝐵(cid:80)𝐷
∵∠𝐶 = = =35°(cid:125)
∴(cid:280)∠𝐶(cid:107)𝐵𝐷(cid:32)(cid:139)9(cid:25)0(cid:111)°−(cid:10)∠𝐶 =90°−55° = (cid:86)
∴(cid:15)(cid:132)(cid:133)7-1(cid:19)(cid:56)24∠-2𝐴5(cid:149)(cid:58)∠𝐶(cid:59)𝐵𝐷(cid:60),·∠(cid:308)𝐶(cid:264)(cid:382)∠(cid:383)𝐴𝐵(cid:384)𝐷·(cid:136)(cid:46)(cid:69)(cid:109)(cid:155)(cid:80)(cid:202)(cid:29)(cid:385)(cid:35)30°(cid:25)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:385)(cid:45)(cid:205)(cid:137)(cid:73)(cid:362)(cid:80)(cid:87)
=65°(cid:80)(cid:88) (cid:32)(cid:91)(cid:178)(cid:75) °(cid:86)
∠1 ∠2
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19)55
(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:140)(cid:141)(cid:98)(cid:99)(cid:142)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:80)(cid:114)30°(cid:24)(cid:25)(cid:385)(cid:112)(cid:144) =60°(cid:80)(cid:114)(cid:36)(cid:25)(cid:112)(cid:31) (cid:80)(cid:160)(cid:105)(cid:106)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)
(cid:112)(cid:144) = (cid:86) ∠3 ∠4
(cid:15)(cid:124)∠(cid:42)2(cid:19)(cid:42)∠(cid:10)4(cid:109)(cid:155)(cid:10)
(cid:114)30°(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:385)(cid:112)(cid:144) =60°(cid:80)
= ∠3= =55°(cid:86)
∴(cid:114)∠(cid:36)4(cid:37)(cid:38)18(cid:32)0°(cid:51)−∠(cid:52)1(cid:112)−∠(cid:144)3 1=80°−=655°5−°6(cid:86)0°
(cid:131)(cid:93)(cid:94)(cid:85)(cid:10)55(cid:86) ∠2 ∠4
(cid:15)(cid:132)(cid:133)7-2(cid:19)(cid:56)24-25(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)·(cid:162)(cid:386)·(cid:136)(cid:302)(cid:69)(cid:109)(cid:155)(cid:80) (cid:46)(cid:80) (cid:75) (cid:134)(cid:32)(cid:379)(cid:80) (cid:36)(cid:41) (cid:80)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐶= =40°(cid:80)(cid:88) = (cid:47)(cid:86)
∠𝐵 60°,∠𝐶 ∠𝐷𝐴𝐸
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19)10
(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:98)(cid:99)(cid:32)(cid:75)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:80)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:38)(cid:32)(cid:54)(cid:70)(cid:80)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:379)(cid:32)(cid:315)(cid:70)(cid:86)(cid:297)(cid:114)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:27)
(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:31)(cid:42) (cid:32)(cid:91)(cid:178)(cid:80)(cid:160)(cid:114)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:38)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:31)(cid:42) (cid:32)(cid:91)(cid:178)(cid:80)(cid:160)(cid:22)(cid:23)(cid:29)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:77)(cid:139)(cid:25)(cid:329)(cid:285)(cid:31)(cid:122)
(cid:80)(cid:90)(cid:157)(cid:22)∠(cid:23)𝐵𝐴(cid:25)𝐶(cid:32)(cid:28)(cid:245)(cid:3)(cid:128)(cid:112)(cid:113)(cid:93)(cid:94)(cid:86) ∠𝐵𝐴𝐸
(cid:15)∠𝐵(cid:124)𝐴𝐷(cid:42)(cid:19)(cid:42)(cid:10)(cid:137) (cid:46)(cid:80) = =40°(cid:80)
= △𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐵 60°,∠𝐶 =80°(cid:80)
∴∠𝐵(cid:36)𝐴𝐶(cid:41) 180°(cid:80)−∠𝐵−∠𝐶 180°−60°−40°
∵ (cid:86) 𝐴𝐸 ∠ = 𝐵𝐴1𝐶 = 1 ×80°=40°(cid:80)
2 2
∴ ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐶
(cid:75) (cid:134)(cid:32)(cid:379)(cid:80) +
A
A
科
全
★
∵𝐴𝐷 𝐵=𝐶 90°(cid:80) 众 号
公
注
关
∴∠𝐴𝐷𝐵= =
=3源0°(cid:80)，
资
辅
教
∴∠𝐵𝐴𝐷= 90°−∠𝐵 90°=−60° =10°(cid:86)
∴(cid:131)∠(cid:93)𝐷𝐴(cid:94)𝐸(cid:85)(cid:10)∠1𝐵0𝐴(cid:86)𝐸−∠𝐵𝐴𝐷 40°−30°
(cid:15)(cid:132)(cid:133)7-3(cid:19)(cid:56)24-25(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)·(cid:308)(cid:153)(cid:36)(cid:373)(cid:150)·(cid:136)(cid:46)(cid:69)(cid:109)(cid:155)(cid:80)(cid:144) (cid:80) (cid:80) =90°(cid:80) (cid:86)(cid:88)
(cid:60)(cid:158)(cid:240)(cid:117)(cid:10) (cid:125) (cid:36)(cid:41) (cid:125) = (cid:125)𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 +𝐹𝐺⊥𝐵𝐶=∠9𝐵0𝐴°(cid:86)𝐶(cid:281)(cid:282)(cid:240)(cid:117)𝐷(cid:32)𝐸(cid:74)∥𝐴(cid:92)𝐶(cid:75)
(cid:56) (cid:69) ①𝐹𝐺∥𝐴𝐷 ②𝐷𝐸 ∠𝐴𝐷𝐵 ③∠𝐵 ∠𝐶𝐴𝐷 ④∠𝐶𝐹𝐺 ∠𝐵𝐷𝐸
A(cid:86)4(cid:74) B(cid:86)3(cid:74) C(cid:86)2(cid:74) D(cid:86)1(cid:74)
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19)B
(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:98)(cid:99)(cid:142)(cid:367)(cid:29)(cid:32)(cid:54)(cid:70)(cid:80)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:53)(cid:54)(cid:28)(cid:51)(cid:52)(cid:80)(cid:29)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:77)(cid:139)(cid:25)(cid:329)(cid:285)(cid:107)(cid:144)(cid:165)(cid:32)(cid:53)(cid:54)(cid:80)(cid:101)(cid:102)(cid:118)(cid:134)
(cid:144)(cid:165)(cid:75)(cid:3)(cid:104)(cid:86)(cid:105)(cid:106)(cid:367)(cid:38)(cid:32)(cid:54)(cid:70)(cid:80)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:53)(cid:54)(cid:28)(cid:51)(cid:52)(cid:80)(cid:240)(cid:40)(cid:155)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:123)(cid:112)(cid:86)(cid:15)(cid:124)(cid:42)(cid:19)(cid:42)(cid:10) (cid:80)
(cid:80)(cid:131)∵𝐴𝐷(cid:281)⊥(cid:282)𝐵(cid:125)𝐶,𝐹𝐺⊥𝐵𝐶
∴𝐹𝐺∥𝐴𝐷(cid:80) ①
∵𝐷𝐸=∥𝐴𝐶 = (cid:80)
∴∠𝐶(cid:35) ∠𝐵𝐷𝐸(cid:32),∠(cid:92)𝐶𝐴(cid:237)𝐷(cid:194)(cid:195)∠(cid:282)𝐴𝐷(cid:54)𝐸(cid:80)(cid:123) (cid:35) (cid:186)(cid:73)(cid:54)(cid:280)(cid:107)(cid:80)
∵(cid:186)∠𝐶(cid:187)(cid:53)∠𝐶(cid:54)𝐴𝐷 (cid:36)(cid:41) (cid:80)(cid:131) (cid:286)(cid:244)∠𝐶(cid:125) ∠𝐶𝐴𝐷
∴ (cid:80)𝐷𝐸 𝐴𝐷𝐵 ②
∵𝐴𝐷+⊥𝐵𝐶 =90°(cid:80)
∴∠𝐵 ∠=𝐵𝐴𝐷 + =90°(cid:80)
∵∠𝐵𝐴=𝐶 ∠𝐵𝐴(cid:80)𝐷(cid:131) ∠𝐶(cid:281)𝐴(cid:282)𝐷(cid:125)
∴∠𝐵 ∠𝐶(cid:80)𝐴𝐷 ③
∵𝐹𝐺⊥+𝐵𝐶 =90°(cid:80)
∴∠𝐶 ∠𝐶(cid:80)𝐹𝐺
+
A
∵𝐷𝐸=∥𝐴𝐶 (cid:80) 科 A
全
★
号
众
∴∠𝐶 ∠+𝐵𝐷𝐸 =90°(cid:80)(cid:131) (cid:281)(cid:282)(cid:125) 公
注
关
，
源
∴(cid:39)∠(cid:134)𝐶𝐹(cid:166)𝐺(cid:287)(cid:80)∠𝐵(cid:281)𝐷(cid:282)𝐸(cid:32)(cid:111) 辅④(cid:80)资(cid:387)3(cid:74)(cid:80)
教
(cid:131)(cid:199)(cid:10)B(cid:86) ①③④
【题型8 直角三角形的判定】
(cid:15)(cid:55)8(cid:19)(cid:56)24-25(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)·(cid:150)(cid:62)(cid:388)(cid:346)·(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:137)(cid:60)(cid:158)(cid:145)(cid:146)(cid:125) + = (cid:125) =1:2:3(cid:125)
= = (cid:125) = 1 = 1 (cid:125) = = ① (cid:46) ∠ (cid:80) 𝐴 (cid:187)(cid:282) ∠𝐵 (cid:54) ∠𝐶 ② (cid:85)(cid:29) ∠𝐴 (cid:25) :∠ (cid:24) 𝐵: (cid:25) ∠𝐶 (cid:26)(cid:32)(cid:145)(cid:146)(cid:111)
2 3
③∠𝐴 ∠𝐵 2∠𝐶 ④∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶 ⑤∠𝐴 2∠𝐵 3∠𝐶 △𝐴𝐵𝐶
(cid:56) (cid:69)
A(cid:86)5(cid:74) B(cid:86)4(cid:74) C(cid:86)3(cid:74) D(cid:86)2(cid:74)
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19)C
(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:98)(cid:99)(cid:142)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:80)(cid:29)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:54)(cid:70)(cid:80)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:31)(cid:122)(cid:25)(cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:80)
(cid:123)(cid:112)(cid:41)(cid:119)(cid:276)(cid:37)(cid:53)(cid:191)(cid:86)
(cid:15)(cid:124)(cid:42)(cid:19)(cid:42)(cid:10) (cid:114) + + =180°(cid:113)(cid:147) =180°(cid:80)(cid:123) =90°(cid:80)(cid:75)(cid:29)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:125)
(cid:114)(cid:20)(cid:112)(cid:113)
①
=1
∠
8
𝐴
0°×
∠𝐵3 ∠
=
𝐶
90°(cid:80)(cid:75)(cid:29)(cid:25)
2
(cid:24)
∠𝐶
(cid:25)(cid:26)(cid:125)
∠𝐶
1 2 3
② (cid:114) + ∠𝐶 + =180 + °(cid:113)+(cid:147)2 + + =180°(cid:80)(cid:42)(cid:113) =36°(cid:80) = =72°(cid:80)(cid:186)(cid:75)(cid:29)(cid:25)(cid:24)(cid:25)
③ ∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶 ∠𝐶 2∠𝐶 ∠𝐶 ∠𝐶 ∠𝐴 ∠𝐵(cid:26)(cid:125)
(cid:114) + + =180°(cid:113)(cid:147) + + =180°(cid:80)(cid:42)(cid:113) =30°(cid:80) =60°(cid:80) =90°(cid:80)(cid:75)(cid:29)(cid:25)(cid:24)
(cid:25)④(cid:26)(cid:125)∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶 ∠𝐴 2∠𝐴 3∠𝐴 ∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶
(cid:114) + + =180°(cid:113)(cid:147) + 1 + 1 =180°(cid:80)(cid:42)(cid:113) =( 1080 )°(cid:80)(cid:186)(cid:75)(cid:29)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:125)
2 3 11
⑤ ∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶 ∠𝐴 ∠𝐴 ∠𝐴 ∠𝐴
(cid:131)(cid:199)(cid:10)C(cid:86)
(cid:15)(cid:132)(cid:133)8-1(cid:19)(cid:56)24-25(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)·(cid:134)(cid:135)·(cid:136)(cid:46)(cid:69)(cid:87) (cid:32)(cid:24)(cid:74)(cid:27)(cid:25)(cid:32)(cid:120)(cid:85)2:5:3(cid:80)(cid:88) (cid:32)(cid:26)(cid:389)(cid:75) (cid:24)(cid:25)
(cid:26)(cid:86)(cid:56)(cid:390)(cid:139)(cid:25)(cid:196)(cid:29)(cid:25)(cid:196)(cid:391)(cid:25)(cid:46)(cid:32)(cid:73)(cid:74)(cid:69) △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19)(cid:29)(cid:25)
(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:98)(cid:99)(cid:142)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:118)(cid:284)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:41)(cid:115)(cid:80)(cid:297)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:31)(cid:122) (cid:46)(cid:90)
(cid:91)(cid:25)(cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:80)(cid:298)(cid:157)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:41)(cid:115)(cid:31)(cid:42)(cid:123)(cid:112)(cid:86) △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:124)(cid:42)(cid:19)(cid:42)(cid:10) (cid:32)(cid:24)(cid:74)(cid:27)(cid:25)(cid:32)(cid:120)(cid:85)2:5:3(cid:80)
∵△𝐴𝐵𝐶5
(cid:46)(cid:90)(cid:91)(cid:25)(cid:85) ×180°=90°(cid:80)
2 3 5
∴△𝐴𝐵𝐶(cid:32)(cid:26)(cid:389)(cid:75)(cid:29)(cid:25)+(cid:24)+(cid:25)(cid:26)(cid:80) +
A
A
科
全
★
∴(cid:131)△(cid:93)𝐴(cid:94)𝐵(cid:85)𝐶(cid:10)(cid:29)(cid:25)(cid:86)
众
号
公
注
关
(cid:15)(cid:132)(cid:133)8-2(cid:19)(cid:56)22-23(cid:149)(cid:58)(cid:59)(cid:134)·(cid:162)(cid:386)源·(cid:392)，(cid:157)(cid:181)(cid:393)(cid:69)(cid:143)(cid:144)(cid:10)(cid:109)(cid:155)(cid:80)(cid:137) (cid:46)(cid:80)D(cid:75)AB(cid:134)(cid:73)(cid:172)(cid:80) = (cid:80)
资
辅
教
= (cid:86)(cid:31)(cid:33)(cid:10) (cid:75)(cid:29)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:86) △𝐴𝐵𝐶 ∠1 ∠𝐵
∠𝐴 ∠2 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19)(cid:260)(cid:42)(cid:96)
(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:112)(cid:113) + =90°(cid:80)(cid:106)(cid:84)(cid:123)(cid:112)(cid:33)(cid:34) (cid:75)(cid:29)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:86)
(cid:15)(cid:124)(cid:42)(cid:19)(cid:42)(cid:10)(cid:137) (cid:46)(cid:80)D(cid:75)AB(cid:134)∠1(cid:73)(cid:172)∠(cid:80)2 = (cid:80) = (cid:80)△𝐴𝐵𝐶
+ + +△𝐴𝐵=𝐶 180°(cid:80) ∠1 ∠𝐵 ∠𝐴 ∠2
∵∠𝐴 +∠2 ∠=1180∠°𝐵(cid:80)(cid:123) + =90°(cid:80)
∴2∠1 =2∠920°(cid:80) ∠1 ∠2
∴∠𝐴𝐶𝐵 (cid:75)(cid:29)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:86)
∴(cid:15)△(cid:172)𝐴(cid:227)𝐵(cid:19)𝐶(cid:97)(cid:20)(cid:98)(cid:99)(cid:142)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:100)(cid:80)(cid:101)(cid:102)“(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:24)(cid:74)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:107)(cid:108)180°”(cid:75)(cid:42)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:104)(cid:86)(cid:15)(cid:132)(cid:133)8-3(cid:19)(cid:56)22-23(cid:149)(cid:58)(cid:59)·(cid:162)(cid:386)·(cid:392)(cid:394)(cid:55)(cid:20)(cid:69)(cid:109)(cid:155)(cid:80)(cid:137) (cid:46)(cid:80) (cid:75) (cid:189)(cid:134)(cid:32)(cid:379)(cid:80)E(cid:75) (cid:189)(cid:134)(cid:73)(cid:172)(cid:80)
(cid:192) (cid:108)(cid:172)M(cid:80)(cid:368) = (cid:86)(cid:31)(cid:33)(cid:10) (cid:75)(cid:29)(cid:25)△(cid:24)𝐴(cid:25)𝐵𝐶(cid:26)(cid:86) 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐸
𝐴𝐷 ∠𝐷𝐶𝑀 ∠𝑀𝐴𝐸 △𝐴𝐸𝑀
(cid:15)(cid:93)(cid:94)(cid:19)(cid:260)(cid:42)(cid:96)
(cid:15)(cid:41)(cid:96)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:98)(cid:99)(cid:142)(cid:29)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:35)(cid:53)(cid:54)(cid:125)(cid:114) (cid:75) (cid:189)(cid:134)(cid:32)(cid:379)(cid:80)(cid:113) + =90°(cid:125)(cid:160)(cid:114)
= (cid:80) = (cid:80)(cid:123)(cid:112)(cid:113)(cid:240)(cid:117)(cid:256)(cid:395)𝐴𝐷(cid:86) 𝐵𝐶 ∠𝐷𝑀𝐶 ∠𝐷𝐶𝑀
(cid:15)∠𝐷(cid:124)𝐶𝑀(cid:42)(cid:19)(cid:42)∠𝑀(cid:10)𝐴𝐸 ∠(cid:75)𝐷𝑀𝐶(cid:189)(cid:134)∠(cid:32)𝐴(cid:379)𝑀𝐸(cid:80)
=90°(cid:80)∵𝐴𝐷 𝐵𝐶
∴∠𝐴𝐷𝐶 + =90°(cid:86)
∴∠𝐷𝑀𝐶=∠𝐷𝐶𝑀(cid:80) = (cid:80)
+
A
∵∠𝐷𝐶𝑀+ ∠𝑀𝐴𝐸=∠9𝐷0°𝑀(cid:80)𝐶 ∠𝐴𝑀𝐸 科 A
全
★
号
众
∴∠𝐴𝑀𝐸 (cid:75)∠(cid:29)𝑀(cid:25)𝐴𝐸(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:86) 公
注
关
，
源
∴△𝐴𝐸𝑀 辅 资
教
