专题1.2三角形的中线、角平分线、高(讲义)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》8上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》8上(苏科)

专题 1.2 三角形的中线、角平分线、高（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:24)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:19)............................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:19)....................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:38)(cid:41)(cid:42)(cid:19)....................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:43)(cid:44)(cid:28)(cid:37)(cid:45)(cid:46)(cid:27)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:38)(cid:25)(cid:40)(cid:19)..........................................................................................................12
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:50)(cid:42)(cid:51)(cid:38)(cid:52)(cid:19)..........................................................................................................................................16
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:53)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:54)(cid:3)(cid:37)(cid:38)(cid:52)(cid:19)......................................................................................................................19
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:53)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:54)(cid:3)(cid:37)(cid:55)(cid:56)(cid:19)......................................................................................................................25
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:57)(cid:58)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:59)(cid:24)(cid:25)(cid:24)(cid:23)(cid:19)..................................................................................................................29
+
A
A
科
知识点1 三角形的中线 ★ 全
号
众
公
注
(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
，
(cid:20)(cid:21)关(cid:10)(cid:17)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:22)(cid:10)(cid:23). (cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:22)(cid:7)(cid:27)(cid:10)(cid:23)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:14)(cid:17).
源
资
辅
(cid:29)(cid:17)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:31)(cid:32). 教
知识点2 三角形的角平分线
(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:22)(cid:14)(cid:15)(cid:8)(cid:22)(cid:33)(cid:34)(cid:23)(cid:35)(cid:36)(cid:15)(cid:8)(cid:22)(cid:20)(cid:21)(cid:28)(cid:29)(cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:36)(cid:15)(cid:8)(cid:22)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:29)(cid:17)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:22)(cid:8)(cid:33)
(cid:34)(cid:23).(cid:37)(cid:38)(cid:14)(cid:15)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:39)(cid:40)(cid:7)(cid:27)(cid:8)(cid:33)(cid:34)(cid:23)(cid:11)(cid:7)(cid:27)(cid:8)(cid:33)(cid:34)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:14)(cid:17)(cid:11)(cid:41)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:22)(cid:31)(cid:32).
知识点3 三角形的高
1.(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:42)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:22)(cid:14)(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:43)(cid:19)(cid:22)(cid:20)(cid:21)(cid:44)(cid:6)(cid:45)(cid:23)(cid:46)(cid:47)(cid:23)(cid:11)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:22)(cid:50).
2.(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:22)(cid:7)(cid:27)(cid:50)(cid:22)(cid:51)(cid:52)
(cid:53)(cid:54) (cid:55)(cid:8)(cid:7)(cid:8)(cid:9) (cid:45)(cid:8)(cid:7)(cid:8)(cid:9) (cid:56)(cid:8)(cid:7)(cid:8)(cid:9)
(cid:57)(cid:58)
(cid:50)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:31)(cid:32)(cid:22)(cid:59)(cid:60) 3 1 1(cid:50)(cid:79)(cid:49)(cid:67)(cid:109)(cid:28)(cid:29) (cid:28)(cid:29) (cid:28)(cid:29) (cid:105)(cid:28)(cid:29)
(cid:50)(cid:44)(cid:6)(cid:22)(cid:45)(cid:23)(cid:67)(cid:109)(cid:28)(cid:29) (cid:28)(cid:29) (cid:28)(cid:29) (cid:28)(cid:29)
(cid:7)(cid:27)(cid:50)(cid:44)(cid:6)(cid:45)(cid:23)(cid:22)(cid:29)(cid:17)(cid:22)(cid:110)(cid:111) (cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:31)(cid:32) (cid:45)(cid:8)(cid:16)(cid:17) (cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:112)(cid:32)
【题型1 中线、
角平分线、高概念辨析】
(cid:15)(cid:60)1(cid:19)(cid:61)24-25(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)·(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:61)(cid:57)(cid:11)(cid:6) (cid:10)(cid:11)(cid:62)(cid:30)(cid:50)(cid:22)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:22)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:69)(cid:70)
△𝐴𝐵𝐶
A(cid:72)(cid:23)(cid:24) (cid:67) (cid:21)(cid:71)(cid:22)(cid:50) B(cid:72)(cid:23)(cid:24) (cid:67) (cid:21)(cid:71)(cid:22)(cid:50)
+
C(cid:72)(cid:23)(cid:24)𝐴𝐷(cid:67)𝐴𝐵(cid:21)(cid:71)(cid:22)(cid:50) D(cid:72)(cid:23)(cid:24)𝐵𝐸(cid:67)𝐴𝐶(cid:21)(cid:71)(cid:22)(cid:50) A A
科
全
★
号
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:19)B 𝐶𝐹 𝐴𝐶
公
𝐶众𝐹 𝐵𝐶
注
关
，
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:22)资(cid:8)(cid:33)源(cid:34)(cid:23)(cid:77)(cid:10)(cid:23)(cid:77)(cid:50)(cid:22)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:42)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:22)(cid:14)(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:43)(cid:19)(cid:22)(cid:20)(cid:21)(cid:78)(cid:47)(cid:23)(cid:11)(cid:47)(cid:48)
辅
教
(cid:35)(cid:16)(cid:17)(cid:79)(cid:49)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:22)(cid:50)(cid:11)(cid:67)(cid:80)(cid:81)(cid:73)(cid:11)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:67)(cid:86)(cid:73)(cid:22)(cid:62)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:22)(cid:14)(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:91)(cid:20)(cid:21)(cid:22)
(cid:47)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:22)(cid:50)(cid:20)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:34)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:64)(cid:103)(cid:86)(cid:88)
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(cid:86)(cid:5) (cid:30)(cid:17) (cid:11)
(cid:10)(cid:11) ∵𝐴(cid:67)𝐷⊥(cid:21)𝐵𝐶(cid:71)(cid:22)(cid:50)𝐷(cid:11)(cid:104)A(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:73)(cid:38)(cid:11)
∴△𝐴𝐵𝐶 (cid:11)(cid:23)𝐴𝐷(cid:24) 𝐵𝐶(cid:67) (cid:21)(cid:71)(cid:22)(cid:50)(cid:11)B(cid:93)(cid:94)(cid:106)(cid:107)(cid:73)(cid:38)(cid:108)
∵𝐵𝐸⊥𝐴𝐶(cid:30)(cid:17) (cid:11)𝐵𝐸 𝐴𝐶
∵𝐶𝐹(cid:67)⊥𝐴𝐵(cid:21)(cid:71)(cid:22)𝐹(cid:50)(cid:11)(cid:104)C(cid:93)(cid:94)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:73)(cid:38)(cid:11)D(cid:93)(cid:94)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:73)(cid:38)(cid:88)
(cid:104)∴(cid:93)𝐶𝐹(cid:5)B𝐴(cid:88)𝐵
(cid:15)(cid:77)(cid:78)1-1(cid:19)(cid:61)24-25(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)·(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)·(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:71)(cid:65)(cid:87)(cid:88)(cid:51)(cid:22)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:37)(cid:92)(cid:61)(cid:93)(cid:93)(cid:71)
A(cid:72)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:92)(cid:23)(cid:84)(cid:89)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:92)(cid:94)(cid:23)
B(cid:72)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:95)(cid:28)(cid:22)(cid:89)(cid:96)(cid:97)(cid:54)(cid:98)(cid:95)(cid:99)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:100)(cid:101)
C(cid:72)(cid:102)(cid:25)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:95)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:99)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:103)(cid:101)
D(cid:72)(cid:99)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:22)(cid:89)(cid:104)(cid:105)(cid:98)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:59)(cid:22)(cid:108)(cid:37)(cid:112)(cid:23)(cid:113)(cid:114)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:19)B
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:53)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:54)(cid:3)(cid:37)(cid:23)(cid:84)(cid:89)(cid:76)(cid:20)(cid:37)(cid:3)(cid:118)(cid:92)(cid:119)(cid:76)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:120)(cid:121)(cid:89)(cid:44)(cid:122)(cid:27)
(cid:32)(cid:123)(cid:124)(cid:72)
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(cid:76)(cid:10)A(cid:72)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:125)(cid:92)(cid:23)(cid:84)(cid:89)(cid:126)(cid:122)(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:20)(cid:132)(cid:133)
B(cid:72)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:95)(cid:28)(cid:22)(cid:89)(cid:96)(cid:97)(cid:54)(cid:98)(cid:95)(cid:99)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:100)(cid:101)(cid:89)(cid:126)(cid:134)(cid:127)(cid:128)(cid:130)(cid:131)(cid:20)(cid:132)(cid:133)
C(cid:72)(cid:102)(cid:25)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:95)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:125)(cid:99)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:100)(cid:101)(cid:89)(cid:126)(cid:122)(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:20)(cid:132)(cid:133)
D(cid:72)(cid:99)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:22)(cid:89)(cid:104)(cid:105)(cid:98)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:59)(cid:22)(cid:108)(cid:37)(cid:23)(cid:84)(cid:113)(cid:135)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:89)(cid:126)(cid:122)(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:20)(cid:132)(cid:72)
(cid:126)(cid:127)(cid:10)B(cid:72)
(cid:15)(cid:77)(cid:78)1-2(cid:19)(cid:61)2025·(cid:136)(cid:137)(cid:39)(cid:138)·(cid:139)(cid:140)(cid:71)(cid:141)(cid:142)(cid:89)(cid:143)(cid:44)(cid:65)(cid:87)(cid:142)(cid:36)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:37)(cid:147)(cid:148)(cid:89)(cid:124)(cid:149)(cid:150)(cid:120) (cid:92) (cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)
(cid:37)(cid:92)(cid:61) (cid:71) 𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:72) B(cid:72)
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
C(cid:72) D(cid:72)
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:19)B
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:151)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:109)(cid:152)(cid:144)(cid:37)(cid:153)(cid:154)(cid:89)(cid:76)(cid:20)(cid:37)(cid:3)(cid:118)(cid:99)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:142)(cid:36)(cid:89)(cid:143)(cid:44) (cid:92) (cid:37)(cid:25)(cid:26)
(cid:27)(cid:23)(cid:89)(cid:124)(cid:158)(cid:159) (cid:92) (cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:89)(cid:160)(cid:143)(cid:44)(cid:152)(cid:144)(cid:124)(cid:161)(cid:162) (cid:53) (cid:92)(cid:111)(cid:163)(cid:108)(cid:89)(cid:123)(cid:124)(cid:38)(cid:159)(cid:73)𝐴𝐷(cid:74)(cid:72)△𝐴𝐵𝐶
′
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(cid:76)(cid:10)(cid:164)𝐴𝐷(cid:142)(cid:36)∠(cid:124)𝐵𝐴(cid:161)𝐶(cid:89)(cid:165) (cid:92) (cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:89)(cid:143)(cid:44)𝐶(cid:144)(cid:145)𝐶(cid:3)(cid:166)(cid:124)(cid:167) = (cid:89)(cid:127)(cid:128)(cid:22)(cid:130)(cid:131)(cid:168)
′
(cid:98)(cid:95)(cid:169)(cid:170)(cid:54)B(cid:72) 𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐷
(cid:126)(cid:127)(cid:10)B(cid:72)
(cid:15)(cid:77)(cid:78)1-3(cid:19)(cid:61)24-25(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)·(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:174)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:141)(cid:142)(cid:89)(cid:99) (cid:22)(cid:89) =90°(cid:89)(cid:175) (cid:89) (cid:89) (cid:27)(cid:176)(cid:92)
(cid:37)(cid:28)(cid:23)(cid:89)(cid:22)(cid:23)(cid:109)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:89)(cid:175) (cid:53) (cid:177)(cid:178)(cid:155)(cid:108) (cid:89)(cid:65)(cid:87)(cid:179)(cid:49)(cid:129)(cid:98)(cid:120)(cid:90)(cid:91)(cid:37)(cid:92)(cid:61) (cid:71)
△𝐴𝐵𝐶．．．∠𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐵𝐹 △𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐷 𝐵𝐹 𝐺A(cid:72) = B(cid:72) = C(cid:72) = D(cid:72) <
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:19)∠𝐵D𝐴𝐷 ∠𝐶 ∠𝐴𝐺𝐹 ∠𝐴𝐹𝐺 𝑆△𝐴𝐵𝐸 𝑆△𝐴𝐸𝐶 𝐴𝐶−𝐴𝐸 𝐷𝐸
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:109)(cid:28)(cid:89)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:89)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:100)(cid:25)(cid:109)(cid:120)(cid:119)(cid:89)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:23)(cid:37)(cid:120)(cid:121)(cid:167)
(cid:159) (cid:89)(cid:167)(cid:159) + =90°(cid:89)(cid:160)(cid:179)(cid:131) =90°(cid:89)(cid:123)(cid:124)(cid:150)(cid:180)(cid:127)(cid:128)A(cid:133)(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:120)(cid:121)(cid:150)(cid:180)
(cid:127)(cid:128)𝐴𝐷B⊥(cid:133)𝐵(cid:33)𝐶(cid:34)(cid:22)(cid:23)∠(cid:120)𝐴(cid:121)𝐵𝐶(cid:167)(cid:159)∠𝐵𝐴𝐷= (cid:89)(cid:123)(cid:124)(cid:150)(cid:180)(cid:127)∠𝐵(cid:128)𝐴𝐶C(cid:133)(cid:181)(cid:51)(cid:167)(cid:159)(cid:127)(cid:128)D(cid:72)
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(cid:76)(cid:10)A(cid:24) (cid:92) 𝐵𝐸 (cid:37)𝐶(cid:28)𝐸(cid:23)(cid:89)
(cid:89) ∵𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶
∴𝐴𝐷⊥𝐵=𝐶90°(cid:89)
∴∠𝐴𝐷𝐶+ + =180°(cid:89)
∵∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐶𝐴𝐷 =∠9𝐴0°𝐷(cid:89)𝐶
∴∠𝐴𝐶𝐷=∠90𝐴°𝐷(cid:89)𝐶
∵∠𝐵𝐴𝐶 + =90°(cid:89)
∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴(cid:89)𝐷
+
A
∴(cid:179)∠𝐵(cid:49)𝐴𝐷A(cid:90)∠(cid:91)𝐶(cid:89)(cid:126)(cid:182)(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:20)(cid:132)(cid:133) 科 A
全
★
号
众
∴B(cid:24) (cid:92) (cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:89) 公
注
关
，
源
∵𝐵𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶(cid:89) 辅 资
教
∴∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐶𝐵𝐹 =90°(cid:89)
∵∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐵= + (cid:89)
∴∠𝐴𝐵𝐹 =∠𝐴𝐹𝐵(cid:89)∠𝐷𝐵𝐺 ∠𝐵𝐺𝐷
∴∠𝐵𝐺𝐷=∠𝐴𝐺𝐹(cid:89)
∵∠𝐵𝐺𝐷= ∠𝐴𝐺𝐹(cid:89)
∴(cid:179)∠𝐴(cid:49)𝐺𝐹B(cid:90)∠(cid:91)𝐴𝐹(cid:89)𝐺(cid:126)(cid:182)(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:20)(cid:132)(cid:133)
C∴(cid:24) (cid:92) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:89)
∵=𝐴𝐸 (cid:89)△𝐴𝐵𝐶
∴𝐵1𝐸 𝐶𝐸 = 1 (cid:89)
2 2
∴ 𝐵𝐸⋅𝐴𝐷 𝐶𝐸⋅𝐴𝐷
(cid:123) = (cid:89)
(cid:179)𝑆△(cid:49)𝐴𝐵C𝐸(cid:90)(cid:91)𝑆△(cid:89)𝐴𝐸(cid:126)𝐶 (cid:182)(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:20)(cid:132)(cid:133)
∴D(cid:24) < (cid:89)(cid:183)(cid:129)(cid:98)(cid:120)(cid:184)(cid:155) (cid:89)
(cid:126)(cid:127)∵(cid:128)𝐴𝐶D−(cid:185)𝐴𝐸(cid:186)(cid:89)𝐶(cid:130)𝐸(cid:131)(cid:20)(cid:132)(cid:89) 𝐷𝐸(cid:126)(cid:127)(cid:10)D(cid:72)
【题型2 利用三角形的中线求长度】
(cid:15)(cid:60)2(cid:19)(cid:61)24-25(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)·(cid:187)(cid:188)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:99) (cid:22)(cid:89) = (cid:59)(cid:79)(cid:37)(cid:22)(cid:23) (cid:189) (cid:37)(cid:190)(cid:39)(cid:27)(cid:191)24(cid:109)
12(cid:37)(cid:192)(cid:101)(cid:27)(cid:89)(cid:193) (cid:37)(cid:39)(cid:92)(cid:61) (cid:71) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶,𝐴𝐵 𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:72)16 𝐴𝐵 B(cid:72)8 C(cid:72)16(cid:194)8 D(cid:72)8(cid:194)4
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:19)A
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:195)(cid:196)(cid:116)(cid:117)(cid:151)(cid:98)(cid:197)(cid:98)(cid:198)(cid:199)(cid:200)(cid:37)(cid:201)(cid:34)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:37)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:59)(cid:3)(cid:166)(cid:50)(cid:161)(cid:202)(cid:108)(cid:89)(cid:203)(cid:204)(cid:27)(cid:47)(cid:48)(cid:49)
(cid:205)(cid:206)(cid:92)(cid:76)(cid:20)(cid:37)(cid:3)(cid:118)(cid:72)
(cid:207) = = (cid:89) = (cid:89)(cid:193) = = 1 (cid:89)(cid:160)(cid:27) + =24(cid:175) + =12(cid:109) + =12(cid:175)
2
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝑥 𝐵𝐶 𝑦 𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝑥 𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐶
+ =24(cid:192)(cid:208)(cid:147)(cid:148)(cid:27)(cid:176)(cid:87)(cid:159)(cid:98)(cid:197)(cid:98)(cid:198)(cid:199)(cid:200)(cid:38)(cid:76)(cid:209)(cid:210)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:59)(cid:3)(cid:166)(cid:150)(cid:180)(cid:123)(cid:124)(cid:76)(cid:73)(cid:72)
𝐵 (cid:15) 𝐷 (cid:75)(cid:76) 𝐵 (cid:19) 𝐶 (cid:76)(cid:10)(cid:207) = = (cid:89) = (cid:193) = = 1 (cid:89)
2
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝑥 𝐵𝐶 𝑦 𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝑥
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
1
+ =24 =16
(cid:211) + =24(cid:175) + =12(cid:212)(cid:89)(cid:123) 1 2 + =12 (cid:89)(cid:76)(cid:167)(cid:10) =4 (cid:89)
2𝑥 𝑥 𝑥
𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐶 𝑥 𝑦 𝑦
= =16(cid:89) =4(cid:89)
∴𝐴16𝐵+4𝐴𝐶 16(cid:89) 𝐵𝐶
∵(cid:213)(cid:214)(cid:191)(cid:35)≥(cid:25)(cid:36)(cid:89)(cid:123) =16(cid:130)(cid:131)(cid:20)(cid:132)(cid:133)
∴ 𝐴𝐵 1
+ =12 =8
(cid:211) + =12(cid:175) + =24(cid:212)(cid:89)(cid:123) 1 2 + =24 (cid:89)(cid:76)(cid:167)(cid:10) =20 (cid:133)
2𝑥 𝑥 𝑥
𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐶 𝑥 𝑦 𝑦
= =8(cid:89) =20(cid:89)
∴𝐴8𝐵+8=𝐴𝐶16<20𝐵(cid:89)𝐶
∵(cid:35)(cid:59)(cid:129)(cid:213)(cid:214)(cid:191)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:89)(cid:123) =8(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:20)(cid:132)(cid:133)
∴(cid:215)(cid:79)(cid:89) (cid:37)(cid:39)(cid:92)16(cid:72) 𝐴𝐵
(cid:126)(cid:127)A(cid:72)𝐴𝐵
(cid:15)(cid:77)(cid:78)2-1(cid:19)(cid:61)24-25(cid:216)(cid:63)(cid:64)(cid:79)·(cid:171)(cid:172)(cid:217)(cid:218)·(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:71)(cid:141)(cid:142)(cid:89) (cid:92) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:89) (cid:92) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:89)(cid:165)
𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐸 △𝐴𝐵𝐷=9cm(cid:89)(cid:193) = (cid:72)
𝐶𝐸 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:19)12
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:143)(cid:44) (cid:92) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:89) (cid:92) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:89)(cid:167)(cid:219) = = 1 (cid:89) = 1 (cid:89)(cid:160)(cid:143)(cid:44)
2 2
𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐸 △𝐴𝐵𝐷 𝐶𝐷 𝐵𝐷 𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐵𝐷
= + = 3 (cid:89)(cid:123)(cid:124)(cid:167)(cid:219)(cid:73)(cid:74)(cid:72)
4
𝐶𝐸 𝐷𝐸 𝐶𝐷 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(cid:76)(cid:10) (cid:92) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:89) (cid:92) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:89)
= =
1∵𝐴𝐷
(cid:89)
△
=
𝐴𝐵1𝐶
(cid:89)
𝐴𝐸 △𝐴𝐵𝐷
2 2
∴𝐶𝐷 𝐵𝐷 𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐵𝐷
= + = 1 + 1 = 3 (cid:72)
4 2 4
+
∴𝐶𝐸 = 𝐷 9c 𝐸 m(cid:89) 𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐵𝐶 科 A A
全
★
号
众
∵𝐶𝐸 4 公
=9× =12cm 注
关
3 ，
源
资
∴ (cid:126) 𝐵 (cid:73) 𝐶 (cid:74)(cid:220)(cid:10)12(cid:72) 教 辅
(cid:15)(cid:108)(cid:221)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:22)(cid:23)(cid:37)(cid:153)(cid:154)(cid:89)(cid:76)(cid:20)(cid:37)(cid:3)(cid:118)(cid:92)(cid:222)(cid:85)(cid:203)(cid:204)(cid:22)(cid:23)(cid:37)(cid:177)(cid:3)(cid:161)(cid:202)(cid:72)
(cid:15)(cid:77)(cid:78)2-2(cid:19)(cid:61)24-25(cid:216)(cid:63)(cid:64)(cid:79)·(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)·(cid:70)(cid:227)(cid:71)(cid:141)(cid:142)(cid:89) (cid:22)(cid:89) = =8(cid:89) (cid:220) (cid:59)(cid:79)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:89)
(cid:165) (cid:37)(cid:190)(cid:39)(cid:220)22(cid:89)(cid:193) (cid:37)(cid:190)(cid:39)(cid:92) (cid:72) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 10,𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶
△𝐴𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐷
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:19)24
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:37)(cid:92)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:89)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:98)(cid:59)(cid:37)(cid:22)(cid:108)(cid:53)(cid:122)(cid:59)(cid:228)(cid:111)(cid:107)(cid:108)(cid:37)(cid:104)(cid:23)(cid:113)(cid:135)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:72)(cid:143)(cid:44)
(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:37)(cid:29)(cid:30)(cid:167)(cid:219) = (cid:89)(cid:160)(cid:143)(cid:44)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:190)(cid:39)(cid:7)(cid:78)(cid:229)(cid:230)(cid:123)(cid:124)(cid:72)
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(cid:76)(cid:10) (cid:220) (cid:59)𝐵(cid:79)𝐷(cid:37)(cid:22)𝐷(cid:23)𝐶(cid:89)
= (cid:89) ∵𝐴𝐷 𝐵𝐶
∴𝐵𝐷 𝐷(cid:37)𝐶(cid:190)(cid:39)(cid:220)22(cid:89)
∵△𝐴𝐶𝐷+ + =22(cid:89)
∴𝐴𝐶+𝐴𝐷+𝐶𝐷 =22(cid:89)
∴𝐴𝐶=𝐴8𝐷(cid:89) 𝐵𝐷
∵𝐴𝐶 + =14(cid:89)
∴𝐴𝐷=𝐵10𝐷(cid:89)
∵𝐴𝐵 (cid:37)(cid:190)(cid:39)= + + =10+14=24(cid:89)
∴(cid:126)△(cid:73)𝐴(cid:74)𝐵(cid:220)𝐷(cid:10)24(cid:72) 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐷
(cid:15)(cid:77)(cid:78)2-3(cid:19)(cid:61)24-25(cid:216)(cid:63)(cid:64)(cid:79)·(cid:231)(cid:172)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:141)(cid:142) (cid:92)(cid:98)(cid:232)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:233)(cid:234) (cid:89)(cid:235) (cid:111)(cid:144)(cid:236)(cid:108)C(cid:53)(cid:108)B(cid:187)(cid:131)(cid:89)
(cid:141)(cid:142) (cid:228)(cid:237)(cid:89)(cid:144)(cid:238)(cid:53) (cid:37)(cid:178)(cid:108)(cid:239)(cid:220)D(cid:72) ① 𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶
② 𝐵𝐶
+
A
A
科
全
★
(1)(cid:240)(cid:99)(cid:142) (cid:22)(cid:241)(cid:159) (cid:59) (cid:79)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:133)
众
号
公
注
关
(2)(cid:165) =②10cm(cid:89) △𝐴=𝐵1𝐶5cm𝐵(cid:89)𝐶(cid:38)源 ，(cid:53) (cid:37)(cid:190)(cid:39)(cid:242)(cid:72)
资
辅
教
(cid:15)(cid:73)(cid:74)𝐴𝐵(cid:19)(1)(cid:243)(cid:76)(cid:32)𝐴𝐶 △𝐴𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐷
(2)5cm
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:195)(cid:196)(cid:116)(cid:117)(cid:37)(cid:92)(cid:152)(cid:144)(cid:37)(cid:153)(cid:154)(cid:89)(cid:164)(cid:152)(cid:144)(cid:37)(cid:153)(cid:154)(cid:167)(cid:219) = (cid:92)(cid:76)(cid:20)(cid:37)(cid:3)(cid:118)(cid:72)
(cid:61)1(cid:71)(cid:164)(cid:152)(cid:144)(cid:37)(cid:153)(cid:154)(cid:124)(cid:161) = (cid:89)(cid:244)(cid:146)(cid:104)(cid:105) (cid:123)(cid:124)(cid:133) 𝐵𝐷 𝐷𝐶
(cid:61)2(cid:71)(cid:164) = (cid:124)(cid:161) 𝐵𝐷 (cid:53)𝐷𝐶 (cid:37)(cid:190)(cid:39)𝐴(cid:242)𝐷(cid:50)(cid:155) (cid:53) (cid:37)(cid:242)(cid:72)
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)𝐵(cid:61)𝐷1(cid:71)𝐷(cid:76)𝐶(cid:10)(cid:104)(cid:105)△𝐴𝐵(cid:89)𝐷(cid:141)(cid:142)△(cid:228)𝐴𝐶(cid:237)𝐷(cid:89)(cid:59) (cid:79)(cid:37)(cid:22)𝐴(cid:23)𝐵 𝐴(cid:220)𝐶(cid:228)(cid:38)(cid:133)
𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷
(cid:61)2(cid:71)(cid:76)(cid:10) (cid:190)(cid:39)(cid:50)(cid:155) + + (cid:89) (cid:190)(cid:39)(cid:50)(cid:155) + + (cid:89)
(cid:164)(cid:20)(cid:132)(cid:167)(cid:89)∵△𝐴=𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐷
(cid:53) 𝐵𝐷 (cid:37)𝐶𝐷(cid:190)(cid:39)(cid:242)(cid:50)(cid:155)( + + ) ( + + )
△𝐴𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐷 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐶𝐷 − 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐷= = =5(cm)
𝐴𝐶A−C𝐴D𝐵(cid:53) 1A5B−D1(cid:37)0 (cid:190)(cid:39)(cid:242)5cm(cid:72)
【 ∴△ 题型3 利 △ 用三角形的中线求面积】
(cid:15)(cid:60)3(cid:19)(cid:61)24-25(cid:216)(cid:63)(cid:64)(cid:79)·(cid:245)(cid:246)(cid:247)(cid:248)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:141)(cid:142)(cid:89)(cid:249)(cid:161) (cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:220)36(cid:89)(cid:108) (cid:27)(cid:176)(cid:99)(cid:59) (cid:89) (cid:79)(cid:89)(cid:175)
= (cid:89) = (cid:89) (cid:53) (cid:177)(cid:178)(cid:155)(cid:108)F(cid:89)(cid:165) (cid:37)△(cid:41)𝐴(cid:42)𝐵𝐶(cid:220)3(cid:89)(cid:193)(cid:142)(cid:22)(cid:250)(cid:251)𝐷(cid:101),𝐸(cid:27)(cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:220)𝐵𝐶(cid:61) 𝐴 (cid:71)𝐶
𝐵𝐷 𝐶𝐷 𝐶𝐸 2𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐵𝐸 △𝐴𝐸𝐹
A(cid:72)7 B(cid:72)8 C(cid:72)9 D(cid:72)10
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:19)C
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:195)(cid:196)(cid:116)(cid:117)(cid:151)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:42)(cid:37)(cid:229)(cid:230)(cid:89)(cid:109)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:22)(cid:23)(cid:37)(cid:153)(cid:154)(cid:89)(cid:114)(cid:159)(cid:90)(cid:91)(cid:37)(cid:252)(cid:253)(cid:23)(cid:92)(cid:76)(cid:122)(cid:20)(cid:37)(cid:3)(cid:118)(cid:72)(cid:104)
(cid:105) (cid:89)(cid:164) (cid:53) (cid:50)(cid:28)(cid:89) = (cid:89)(cid:124)(cid:167)(cid:219) =2 (cid:72)(cid:254)(cid:255)(cid:220) (cid:53) (cid:50)(cid:256)(cid:50)(cid:28)(cid:89)
+
A
A
科
(cid:126)
𝐶
(cid:124)
𝐹
(cid:167)
△𝐴
=
𝐸𝐹 △𝐶
=
𝐸𝐹1
=
𝐶𝐸
18(cid:89)
2
(cid:257)
𝐴𝐸
(cid:258) =
𝑆△𝐶𝐸𝐹
号=
𝑆★ △
9
𝐴
(cid:89)
𝐸全𝐹
(cid:254) (cid:53)
△𝐴𝐵𝐷
(cid:50)
△
(cid:256)
𝐴𝐶
(cid:50)
𝐷
(cid:28)(cid:89)(cid:123)(cid:124)(cid:167)
2 众
公
注
(cid:159)(cid:250)(cid:251) 𝑆 (cid:101) △ (cid:27) 𝐴𝐵 (cid:37) 𝐷 (cid:41) 𝑆 (cid:42) △ (cid:72) 𝐴𝐶𝐷 𝑆△𝐴𝐵𝐶 源 ， 关 𝑆△𝐶𝐹𝐷 18−3−6 △𝐵𝐹𝐷 △𝐶𝐹𝐷
资
辅
教
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(cid:104)(cid:105) (cid:89)
𝐶𝐹
= (cid:89) (cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:220)3
∵ 𝐶𝐸 2=𝐴𝐸2 △𝐴=𝐸𝐹6(cid:89)
∴ 𝑆△𝐶𝐸=𝐹 (cid:89)𝑆△𝐴𝐸𝐹 (cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:220)36(cid:89)
∵ 𝐵𝐷 𝐶
=
𝐷 △𝐴
=
𝐵𝐶1
=18(cid:89)
2
∴ 𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝑆△𝐴𝐶𝐷 𝑆△𝐴𝐵𝐶
= =9(cid:89)
∴ 𝑆△𝐶𝐹𝐷 (cid:53)18−3−6(cid:50)(cid:256)(cid:50)(cid:28)(cid:89)
∵ △𝐵𝐹𝐷= △𝐶𝐹𝐷=9(cid:89)
∴(cid:142)𝑆(cid:22)△𝐵(cid:250)𝐹𝐷(cid:251)(cid:101)𝑆△(cid:27)𝐶𝐹(cid:37)𝐷(cid:41)(cid:42)(cid:220)9(cid:89)
(cid:126)∴(cid:127)(cid:10)C(cid:72)(cid:15)(cid:77)(cid:78)3-1(cid:19)(cid:61)24-25(cid:216)(cid:63)(cid:64)(cid:79)·(cid:259)(cid:218)(cid:260)(cid:56)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:141)(cid:142)(cid:228)(cid:237)(cid:89) (cid:92) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:89) (cid:92) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:72)
𝐴𝑀 △𝐴𝐵𝐶 𝐶𝑁 △𝐴𝐶𝑀
(1)(cid:99) (cid:22)(cid:114) (cid:59)(cid:79)(cid:37)(cid:28)(cid:133)
(2)(cid:165)△𝐶𝑀𝑁(cid:37)(cid:41)(cid:42)𝐶𝑀(cid:220)36(cid:89) =6(cid:89)(cid:193)(cid:108) (cid:219) (cid:59)(cid:37)(cid:261)(cid:262)(cid:92)(cid:263)(cid:97)(cid:264)
(cid:15)(cid:73)(cid:74)△(cid:19)𝐴(𝐵1𝐶)(cid:243)(cid:76)(cid:32) 𝐶𝑀 𝑁 𝐵𝐶
(2)3
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:195)(cid:196)(cid:116)(cid:117)(cid:151)(cid:114)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:89)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:22)(cid:23)(cid:37)(cid:153)(cid:154)(cid:10)
(cid:61)1(cid:71)(cid:143)(cid:44)(cid:265)(cid:112)(cid:23)(cid:103)(cid:98)(cid:108)(cid:114)(cid:249)(cid:161)(cid:112)(cid:23)(cid:37)(cid:266)(cid:23)(cid:37)(cid:199)(cid:51)(cid:114)(cid:142)(cid:123)(cid:124)(cid:133)
(cid:61)2(cid:71)(cid:267)(cid:268)(cid:143)(cid:44)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:189)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:27)(cid:191)(cid:177)(cid:50)(cid:37)(cid:192)(cid:101)(cid:27)(cid:124)(cid:167)(cid:159) = 1 = 1 ×36(cid:89)(cid:160)(cid:33)(cid:34)(cid:35)
4 4
𝑆△𝐶𝑀𝑁 𝑆△𝐴𝐵𝐶
(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:7)(cid:78)(cid:269)(cid:258)(cid:167)(cid:219)(cid:108) (cid:219) (cid:59)(cid:37)(cid:261)(cid:262)(cid:72)
+
A
A
科
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(cid:61)1(cid:71)(cid:76)(cid:10)(cid:141)(cid:142)(cid:228)(cid:237)𝑁(cid:89)𝐵𝐶(cid:220) (cid:59)(cid:79)(cid:37)(cid:28)(cid:133)
★
全
号
众
公
注
𝑁𝐺 𝐶𝑀 关
，
源
资
辅
教
(cid:61)2(cid:71)(cid:76)(cid:10) (cid:92) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:89) (cid:92) (cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:89)
= ∵1𝐴𝑀 (cid:89) △𝐴𝐵𝐶 = 1 𝐶𝑁 (cid:89) △𝐴𝐶𝑀
2 2
∴𝑆△𝐴𝐶𝑀 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝐶𝑀𝑁 𝑆△𝐴𝐶𝑀
= 1 (cid:89)
4
∴𝑆△𝐶𝑀𝑁 𝑆△𝐴𝐵𝐶
(cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:220)36(cid:89) =6(cid:89)
∵△𝐴𝐵𝐶 = 1 = 𝐶1𝑀 × = 1 ×36(cid:89)
2 2 4
∴𝑆△𝐶𝑀𝑁 𝐶𝑀⋅𝑁𝐺 6𝑁𝐺
(cid:76)(cid:167) =3(cid:89)
(cid:123)(cid:108)𝑁𝐺(cid:219) (cid:59)(cid:37)(cid:261)(cid:262)(cid:220)3(cid:72)
(cid:15)(cid:77)𝑁(cid:78)3𝐵-2𝐶(cid:19)(cid:61)24-25(cid:216)(cid:63)(cid:64)(cid:79)·(cid:270)(cid:271)(cid:246)(cid:272)(cid:272)(cid:273)(cid:274)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:141)(cid:142)(cid:89) (cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:220)S(cid:89)(cid:114) (cid:37)(cid:22)(cid:23) (cid:89)(cid:275)
(cid:37)(cid:22)(cid:108) (cid:89)(cid:104)(cid:105) (cid:167)(cid:219)(cid:276)(cid:98)(cid:106) (cid:133)(cid:114) (cid:37)(cid:22)△(cid:23)𝐴𝐵𝐶 (cid:89)(cid:275) (cid:37)(cid:22)(cid:108)△𝐴(cid:89)𝐵𝐶(cid:104)(cid:105) 𝐴𝐶(cid:167)1(cid:219)(cid:276)
𝐴(cid:98)𝐵(cid:106) 𝐴1 …(cid:133)(cid:187)𝐴1(cid:277)𝐶1(cid:168)(cid:278)(cid:37)(cid:279)(cid:114)(cid:89)△(cid:193)𝐴(cid:276)1𝐵2𝐶0124(cid:106)△𝐴1𝐵𝐶1 (cid:37)𝐴1(cid:41)𝐶(cid:42)2 (cid:220) 𝐴 1 𝐵 (cid:72)𝐴2 𝐴2𝐶2
△𝐴2𝐵𝐶2 △𝐴2024𝐵𝐶20241
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:19)
4
2024
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:115)(cid:20)𝑆(cid:195)(cid:196)(cid:116)(cid:117)(cid:151)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:37)(cid:153)(cid:154)(cid:89)(cid:222)(cid:85)(cid:203)(cid:204)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:27)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:42)(cid:92)(cid:3)(cid:118)(cid:72)(cid:164)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)
(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:27)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:167)(cid:10) (cid:37)(cid:41)(cid:42)= 1 (cid:89)(cid:280)(cid:119)(cid:22)(cid:23) (cid:167)(cid:10) (cid:37)(cid:41)(cid:42)= 1 × 1 = 1 (cid:89)……(cid:187)
2 2 2 4
△𝐴𝐵𝐶1 𝑆 𝐴1𝐶1 △𝐴1𝐵𝐶1 𝑆 𝑆
(cid:277)(cid:168)(cid:278)(cid:37)(cid:265)(cid:200)(cid:89)(cid:124)(cid:167)(cid:179)(cid:49)(cid:72)
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(cid:76)(cid:10) (cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:220) (cid:89) (cid:59)(cid:22)(cid:23) (cid:89)
(cid:37)(cid:41)
∵
(cid:42)
△
=
𝐴𝐵1𝐶
(cid:89)
𝑆 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶1
2
∴△𝐴𝐵𝐶1 𝑆
(cid:275) (cid:37)(cid:22)(cid:108) (cid:89)
∵ 𝐴𝐵 (cid:37) 𝐴 (cid:41) 1 (cid:42)= 1 × 1 = 1 (cid:89) A A +
2 2 4 全 科
★
号
∴ △𝐴1𝐵𝐶1 𝑆 𝑆 众
(cid:280)(cid:119)(cid:167) (cid:37)(cid:41)(cid:42)= 1 × 1 = 1 = 1 (cid:89) 注 公
关
4 4 16 ，4
源
… △2𝐵𝐶2 教 辅𝑆 资 𝑆 2 𝑆
1
(cid:193)2024(cid:106)(cid:35)(cid:25)(cid:36) (cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:220) (cid:133)
4
2024
△𝐴2024𝐵𝐶2024 𝑆
1
(cid:126)(cid:73)(cid:74)(cid:220)(cid:10) (cid:72)
4
2024
(cid:15)(cid:77)(cid:78)3-3(cid:19)(cid:61)2 𝑆 4-25(cid:216)(cid:63)(cid:64)(cid:79)·(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:284)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:15)(cid:285)(cid:20)(cid:286)(cid:287)(cid:19)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:189)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:27)(cid:191)(cid:41)(cid:42)(cid:177)(cid:50)(cid:37)(cid:192)(cid:101)(cid:27)(cid:72)
(cid:249)(cid:161)(cid:10)(cid:141)(cid:142)1(cid:89)(cid:99) (cid:22)(cid:89)(cid:108)D(cid:92)(cid:59) (cid:79)(cid:37)(cid:22)(cid:108)(cid:89)(cid:104)(cid:105) (cid:72)(cid:38)(cid:55)(cid:10) = (cid:72)
(cid:55)(cid:56)(cid:10)(cid:265)(cid:108)A(cid:114) △𝐴𝐵𝐶(cid:155)E(cid:89) 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝑆△𝐴𝐶𝐷
(cid:108)D(cid:92)(cid:59) (cid:79)(cid:37)𝐴𝐸(cid:22)⊥(cid:108)𝐵(cid:89)𝐶
∵ = (cid:89)𝐵𝐶
∴𝐵𝐷 𝐶 = 𝐷1 (cid:89) = 1 (cid:89)
2 2
∵𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝐵𝐷⋅𝐴𝐸 𝑆△𝐴𝐶𝐷 𝐶𝐷⋅𝐴𝐸
= (cid:72)
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝑆△𝐴𝐶𝐷(cid:15)(cid:288)(cid:289)(cid:57)(cid:58)(cid:19)
(cid:61)1(cid:71)(cid:141)(cid:142)2(cid:89)(cid:99) (cid:22)(cid:89)(cid:108)D(cid:92) (cid:59)(cid:79)(cid:37)(cid:22)(cid:108)(cid:89)(cid:165) =6(cid:89)(cid:193) =_____(cid:133)
△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐷
(cid:61)2(cid:71)(cid:141)(cid:142)3(cid:89)(cid:99) (cid:22)(cid:89)(cid:108)D(cid:92) (cid:59)(cid:79)(cid:37)(cid:108)(cid:89)(cid:175) = (cid:89)(cid:38) (cid:37)(cid:52)(cid:133)
𝑆△𝐴𝐵𝐷
△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐶𝐷 2𝐵𝐷 𝑆△𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:285)(cid:20)(cid:76)(cid:290)(cid:19)
(cid:61)3(cid:71)(cid:287)(cid:99)(cid:54)(cid:98)(cid:291)(cid:66)(cid:59)(cid:36)(cid:292)(cid:293) (cid:89)(cid:141)(cid:142)4(cid:89)(cid:294)(cid:24)(cid:295)(cid:192)(cid:296)(cid:196)(cid:297)(cid:27)(cid:168)(cid:291)(cid:292)(cid:293)(cid:89)(cid:240)(cid:298)(cid:265)(cid:114)(cid:142)(cid:297)(cid:27)(cid:66)(cid:59)(cid:36) (cid:37)
(cid:41)(cid:42)(cid:72) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:61)(cid:196)(cid:38)(cid:10)(cid:34)(cid:129)(cid:299)(cid:265)(cid:35)(cid:95)(cid:37)(cid:23)(cid:84)(cid:241)(cid:159)(cid:26)(cid:27)(cid:199)(cid:51)(cid:89)(cid:209)(cid:111)(cid:114)(cid:51)(cid:269)(cid:300)(cid:88)(cid:56)(cid:89)(cid:124)(cid:33)(cid:34)(cid:301)(cid:302)(cid:40)(cid:37)(cid:112)(cid:303)(cid:72)(cid:71)
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
1
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:19)(cid:61)1(cid:71)3(cid:133)(cid:61)2(cid:71) = (cid:89)(cid:119)(cid:164)(cid:243)(cid:76)(cid:32)(cid:133)(cid:61)3(cid:71)(cid:243)(cid:76)(cid:32)(cid:72)
3
𝑆△𝐴𝐵𝐷
𝑆△𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:151)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:22)(cid:23)(cid:37)(cid:153)(cid:154)(cid:10)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:27)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:133)
(cid:61)1(cid:71)(cid:143)(cid:44) = 1 (cid:123)(cid:124)(cid:38)(cid:76)(cid:133)
2
𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝑆△𝐴𝐵𝐶
(cid:61)2(cid:71)(cid:275) (cid:22)(cid:108)E(cid:89)(cid:104)(cid:105) (cid:89)(cid:193) = = (cid:89)(cid:257)(cid:258)(cid:167) = = (cid:89)(cid:164)(cid:122)(cid:124)(cid:38)(cid:167)(cid:179)(cid:304)(cid:133)
(cid:61)3(cid:71)(cid:104)(cid:105)𝐶𝐷 (cid:89)(cid:275) (cid:22)(cid:108)𝐴𝐸E(cid:89)(cid:104)𝐶(cid:105)𝐸 (cid:89)𝐷𝐸 (cid:89)𝐵(cid:193)𝐷 = 𝑆△𝐴𝐶𝐸 (cid:89) 𝑆△𝐴𝐷𝐸= 𝑆△𝐴𝐵𝐷(cid:89)(cid:257)(cid:258)(cid:297)(cid:27)(cid:151)(cid:66)(cid:59)(cid:36) (cid:72)
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(cid:76)𝐴(cid:10)𝐷(cid:61)1(cid:71)𝐴𝐷(cid:108)D(cid:92) (cid:59)(cid:79)𝐴(cid:37)𝐸 (cid:22)𝐶(cid:108)𝐸(cid:89) 𝑆△𝐴𝐷𝐸 𝑆△𝐴𝐵𝐸 𝑆△𝐶𝐷𝐸 𝑆△𝐶𝐵𝐸 𝐴𝐵𝐶𝐷
= (cid:89) ∵ 𝐵𝐶
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷 = 𝑆1 △𝐴𝐶𝐷 = 1 ×6=3(cid:133)
2 2
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝑆△𝐴𝐵𝐶
(cid:126)(cid:73)(cid:74)(cid:220)(cid:10)3(cid:133)
(cid:61)2(cid:71)(cid:275) (cid:22)(cid:108)E(cid:89)(cid:104)(cid:105) (cid:89)(cid:193) = (cid:89)
=𝐶𝐷 (cid:133) 𝐴𝐸 𝐶𝐸 𝐷𝐸
∴𝑆△𝐴𝐶𝐸 𝑆△𝐴𝐷𝐸= (cid:89)
∵𝐶𝐷 =2𝐵𝐷= (cid:89)
∴𝐷𝐸 𝐵=𝐷 𝐶𝐸(cid:89)
∴𝑆△𝐴𝐷𝐸= 𝑆△𝐴𝐵𝐷= (cid:89)
∴𝑆△𝐴𝐶𝐸 1𝑆△𝐴𝐷𝐸 𝑆△𝐴𝐵𝐷
= (cid:133)
3
𝑆△𝐴𝐵𝐷
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶
(cid:61)3(cid:71)(cid:104)(cid:105) (cid:89)(cid:275) (cid:22)(cid:108)E(cid:89)(cid:104)(cid:105) (cid:89) (cid:89)
(cid:193) =𝐴𝐷 (cid:89)𝐴𝐷 = (cid:89)𝐴𝐸 𝐶𝐸
𝑆△𝐴𝐷𝐸+ 𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐶𝐷𝐸+ 𝑆△𝐶𝐵𝐸(cid:89)
A
+
A
科
全
(cid:123)∴𝑆△
四
𝐴𝐷
边
𝐸
形
𝑆△𝐶=𝐷𝐸
四边
𝑆△
形
𝐴𝐵𝐸 (cid:89)𝑆△𝐶𝐵𝐸
公 众
号 ★
注
关
(cid:66)𝑆(cid:59)(cid:36)𝐴𝐷𝐶𝐸 (cid:305)𝑆(cid:26)(cid:297)(cid:27)𝐴𝐵(cid:72)𝐶𝐸
源
，
资
辅
教
∴ 𝐴𝐵𝐶𝐷
【题型4 依据高的位置分类讨论求角度】
(cid:15)(cid:60)4(cid:19)(cid:61)24-25(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)·(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:120)·(cid:70)(cid:227)(cid:71)(cid:54)(cid:98)(cid:162)(cid:20)(cid:309)“(cid:99) (cid:22)(cid:89) (cid:92)(cid:59) (cid:79)(cid:37)(cid:28)(cid:89) (cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:53)
(cid:59) (cid:178)(cid:155)(cid:108)F(cid:72)(cid:165) =50°(cid:89) =20°(cid:89)(cid:38) (cid:37)(cid:40)△(cid:310)𝐴(cid:72)𝐵𝐶”(cid:111)(cid:155)(cid:311)𝐴𝐷(cid:73)(cid:74)(cid:72)𝐵(cid:294)𝐶(cid:73)(cid:10) ∠𝐴=𝐵𝐶110°(cid:72)(cid:295)(cid:73)(cid:10)
𝐴𝐶 =95°(cid:72)(cid:312)(cid:73)∠(cid:10)𝐴𝐵𝐶 =13∠5𝐶°(cid:72)𝐴𝐷(cid:193)(cid:90)(cid:91)(cid:37)(cid:92)(cid:61)∠𝐵 𝐹 (cid:71)𝐴 ∠𝐵𝐹𝐴
∠𝐵𝐹A𝐴(cid:72)(cid:294)(cid:109)(cid:295) ∠B𝐵(cid:72)𝐹𝐴(cid:295)(cid:109)(cid:312) C(cid:72)(cid:294)(cid:109)(cid:312) D(cid:72)(cid:170)(cid:54)(cid:295)
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:19)B
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:195)(cid:196)(cid:116)(cid:117)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:100)(cid:25)(cid:109)(cid:120)(cid:119)(cid:89)(cid:28)(cid:37)(cid:153)(cid:154)(cid:149)(cid:313)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:153)(cid:154)(cid:89)(cid:222)(cid:85)(cid:203)(cid:204)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:153)(cid:154)(cid:123)(cid:124)
(cid:167)(cid:219)(cid:73)(cid:74)(cid:72)(cid:143)(cid:44)(cid:20)(cid:132)(cid:241)(cid:159)(cid:142)(cid:36)(cid:269)(cid:300)(cid:229)(cid:230)(cid:123)(cid:124)(cid:72)
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(cid:76)(cid:10) =50°(cid:89)
①∵ ∠𝐴𝐵𝐶(cid:92)(cid:59) (cid:79)(cid:37)(cid:28)(cid:89) (cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:53)(cid:59) (cid:178)(cid:155)(cid:108)F(cid:89)
𝐴𝐷 𝐵=𝐶 =2∠5𝐴°𝐵𝐶 𝐴𝐶
∴∠𝐴𝐵𝐹=90∠°𝐶𝐵𝐹
∠𝐴 𝐷𝐶 =20°
∵ ∠𝐶=𝐴7𝐷0°
∴∠𝐶 = + =25°+70°=95°(cid:89)(cid:295)(cid:280)(cid:11)(cid:90)(cid:91)(cid:89)
∴∠𝐵𝐹𝐴 ∠𝐶𝐵𝐹 ∠𝐶
=50°(cid:89)
②(cid:92)∵ (cid:59)∠𝐴𝐵(cid:79)𝐶 (cid:37)(cid:28)(cid:89) (cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:53)(cid:59) (cid:178)(cid:155)(cid:108)F(cid:89)
+
A
A
科
𝐴𝐷 𝐵=𝐶 =2∠5𝐴°𝐵𝐶 𝐴𝐶 ★ 全
号
众
公
注
∴∠𝐴𝐵𝐹=90∠°𝐶𝐵𝐹 关
，
源
资
辅
∠𝐴 𝐷𝐶 =20° 教
∵ ∠𝐶𝐴𝐷=70°
∴∠𝐴𝐶𝐷=110°
∴∠𝐴𝐶𝐵 = + =25°+110°=135°(cid:89)(cid:312)(cid:280)(cid:11)(cid:90)(cid:91)(cid:72)
∴∠𝐵𝐹𝐴 ∠𝐶𝐵𝐹 ∠𝐴𝐶𝐵
(cid:126)(cid:127)B(cid:72)
(cid:15)(cid:77)(cid:78)4-1(cid:19)(cid:61)24-25(cid:216)(cid:63)(cid:64)(cid:79)·(cid:314)(cid:315)(cid:316)(cid:317)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:249)(cid:161)AD(cid:92) ABC(cid:37)(cid:28)(cid:89) BAD(cid:318)70°(cid:89) CAD(cid:318)20°(cid:89)(cid:38) BAC
(cid:37)(cid:40)(cid:310)(cid:72) △ ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:19)90°(cid:194)50°(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:27)(cid:28)AD(cid:99) ABC(cid:37)(cid:100)(cid:101)(cid:109)(cid:103)(cid:101)(cid:192)(cid:208)(cid:147)(cid:148)(cid:48)(cid:49)(cid:38)(cid:76)(cid:123)(cid:124)(cid:72)
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(cid:211)(cid:28)AD(cid:99)△ABC(cid:37)(cid:100)(cid:101)(cid:212)(cid:89)(cid:141)(cid:142)1(cid:89)
BAD(cid:318)70°(cid:89) CAD△(cid:318)20°(cid:89)
∵∠BAC= BAD+∠ CAD=70°+20°=90°(cid:133)
∴(cid:211)∠(cid:28)AD∠(cid:99) ABC∠(cid:37)(cid:103)(cid:101)(cid:212)(cid:89)(cid:141)(cid:142)2(cid:89)
BAC= BA△D- CAD=70°﹣20°=50°(cid:89)
∠(cid:215)(cid:79)(cid:89)∠BAC(cid:37)∠(cid:40)(cid:310)(cid:220)90°(cid:194)50°(cid:72)
∠
(cid:15)(cid:108)(cid:221)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:151)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:89)(cid:27)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:99)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:103)(cid:101)(cid:319)(cid:92)(cid:100)(cid:101)(cid:212)(cid:76)(cid:73)(cid:37)(cid:3)(cid:118)(cid:72)
(cid:15)(cid:77)(cid:78)4-2(cid:19)(cid:61)24-25(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)·(cid:307)(cid:320)·(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:71)(cid:99) (cid:22)(cid:89) =35°(cid:89) (cid:92) (cid:59)(cid:79)(cid:37)(cid:28)(cid:175) = (cid:89)
+
A
(cid:193) (cid:37)(cid:40)(cid:310)(cid:92) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵 科𝐴𝐷A𝐵𝐶 ∠𝐶𝐴𝐷 ∠𝐵
全
★
号
众
(cid:15)∠(cid:73)𝐵(cid:74)𝐶𝐴(cid:19)55°(cid:194)125° 公
注
关
，
源
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:122)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:151)(cid:35)(cid:25)(cid:36)辅(cid:100)资(cid:25)(cid:109)(cid:120)(cid:119)(cid:89)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:37)(cid:321)(cid:121)(cid:89)(cid:76)(cid:20)(cid:37)(cid:3)(cid:118)(cid:92)(cid:222)(cid:85)(cid:203)(cid:204)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:100)(cid:25)(cid:109)(cid:120)(cid:119)(cid:72)(cid:143)
教
(cid:44)(cid:20)(cid:132)(cid:27)(cid:192)(cid:208)(cid:147)(cid:148)(cid:10)(cid:28) (cid:99) (cid:100)(cid:101)(cid:109)(cid:28) (cid:99) (cid:103)(cid:101)(cid:89)(cid:244)(cid:146)(cid:143)(cid:44)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:100)(cid:25)(cid:109)(cid:89)(cid:179)(cid:131)(cid:25)(cid:37)(cid:109)(cid:242)
(cid:38)(cid:76)(cid:123)(cid:124)(cid:72) 𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(cid:76)(cid:10)(cid:141)(cid:142)(cid:228)(cid:237)(cid:89)(cid:211)(cid:28) (cid:99) (cid:100)(cid:101)(cid:212)(cid:89)
𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶
(cid:92) (cid:59)(cid:79)(cid:37)(cid:28)(cid:89)
∵𝐴𝐷 𝐵𝐶(cid:89)
∴𝐴𝐷⊥𝐵=𝐶90°= (cid:89)
∴∠𝐴𝐷=𝐵35°(cid:89) ∠𝐴=𝐷𝐶 =35°(cid:89)
∵∠𝐵 = ∠𝐶𝐴𝐷 =∠𝐵55°(cid:72)
∴(cid:141)∠(cid:142)𝐵𝐶(cid:228)𝐴(cid:237)(cid:89)90(cid:211)°−(cid:28)∠𝐶𝐴(cid:99)𝐷 (cid:103)(cid:101)(cid:212)(cid:89)
𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶(cid:92) (cid:59)(cid:79)(cid:37)(cid:28)(cid:89)
∵𝐴𝐷 𝐵𝐶(cid:89)
∴𝐴𝐷⊥𝐵=𝐶90°(cid:89)
∴∠𝐴𝐷=𝐵35°(cid:89)
∵∠𝐵 = =55°(cid:89)
∴∠𝐵𝐴𝐷= 180=°−3∠5𝐵°(cid:89)−∠𝐴𝐷𝐵
∵∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵 = =20°(cid:89)
∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐶𝐴𝐷 5=5°−35° =125°.
(cid:215)∴∠(cid:79)𝐵𝐶(cid:228)𝐴(cid:322)(cid:89)180°−∠=𝐵−5∠5𝐵°(cid:194)𝐴𝐶125°1(cid:72)80°−35°−20°
(cid:126)(cid:73)(cid:74)(cid:220)(cid:10)∠55𝐵°𝐶(cid:194)𝐴125°(cid:72)
+
A
A
科
(cid:15)(cid:77)(cid:78)4-3(cid:19)(cid:61)24-25(cid:216)(cid:63)(cid:64)(cid:79)·(cid:66)(cid:67)(cid:218)(cid:323)·(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:71)(cid:249)(cid:161)(cid:10) (cid:24)★ 全(cid:92) (cid:37)(cid:28)(cid:89)(cid:112)(cid:23) (cid:24) (cid:177)(cid:178)(cid:228)(cid:191)
号
众
公
注
(cid:37)(cid:25)(cid:22)(cid:54)(cid:98)(cid:106)(cid:25)(cid:220)56°(cid:89)(cid:193) (cid:37)(cid:40)(cid:310)(cid:220) 关 (cid:72)(cid:61)(cid:324)𝐵(cid:237)𝐷(cid:10)𝐶(cid:66)𝐸(cid:59)(cid:36)△(cid:100)𝐴(cid:25)𝐵𝐶(cid:109)(cid:220)360°(cid:71)𝐵𝐷 𝐶𝐸
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:19)56°(cid:194)124° 教∠𝐵𝐴𝐶
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:151)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:28)(cid:37)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:66)(cid:59)(cid:36)(cid:37)(cid:100)(cid:25)(cid:109)(cid:50)(cid:161)(cid:202)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:27)(cid:47)(cid:209)(cid:241)(cid:159)(cid:142)(cid:36)(cid:92)(cid:76)(cid:20)(cid:37)(cid:3)(cid:118)(cid:133)
(cid:27)(cid:192)(cid:208)(cid:147)(cid:148)(cid:10) (cid:220)(cid:325)(cid:25)(cid:53) (cid:220)(cid:102)(cid:25)(cid:89)(cid:27)(cid:176)(cid:241)(cid:159)(cid:142)(cid:36)(cid:89)(cid:33)(cid:34)(cid:66)(cid:59)(cid:36)(cid:37)(cid:100)(cid:25)(cid:109)(cid:38)(cid:76)(cid:123)(cid:124)(cid:72)
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(cid:76)(cid:10)∠(cid:211)𝐴 (cid:220)(cid:325)(cid:25)∠(cid:212)𝐵(cid:89)𝐴𝐶(cid:141)(cid:142)(cid:89)(cid:207)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:192)(cid:95)(cid:28) (cid:178)(cid:155)(cid:108)O(cid:89)
(cid:193) =56°(cid:89)∠𝐴 = =90°(cid:89) 𝐵𝐷,𝐶𝐸
∠𝐷𝑂𝐶=124°(cid:89)∠𝐴𝐸𝐶 ∠𝐴𝐷𝐵
∴∠𝐷𝑂=𝐸 =56°(cid:133)
∴∠𝐴 360°−90°−90°−124°
(cid:211) (cid:220)(cid:102)(cid:25)(cid:212)(cid:89)(cid:141)(cid:142)(cid:89)(cid:207)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:192)(cid:95)(cid:28) (cid:228)(cid:99)(cid:37)(cid:112)(cid:23)(cid:178)(cid:155)(cid:108)O(cid:89)
(cid:193)∠𝐵𝐴𝐶 =56°(cid:89) = =90°(cid:89) 𝐵𝐷,𝐶𝐸
∠𝐷𝑂𝐶 ∠𝐴𝐸𝑂 ∠𝐴𝐷𝑂= = =124°(cid:133)
∴∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐸 360°−90°−90°−56°
(cid:126)(cid:73)(cid:74)(cid:220)(cid:10)56°(cid:194)124°(cid:72)
【题型5 等积法求值】
(cid:15)(cid:60)5(cid:19)(cid:61)24-25(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:79)·(cid:66)(cid:67)(cid:326)(cid:327)·(cid:70)(cid:227)(cid:71)(cid:141)(cid:142)(cid:89)(cid:112)(cid:25)(cid:35)(cid:25)(cid:36) (cid:22)(cid:89) =90°(cid:89) =10(cid:89) =8(cid:89)
=6(cid:89)(cid:108)D(cid:92)(cid:59) (cid:79)(cid:98)(cid:328)(cid:108)(cid:89)(cid:114)(cid:112)(cid:23) (cid:329)(cid:265)(cid:108)C(cid:24)(cid:108)D(cid:89)𝐴(cid:27)𝐵(cid:176)𝐶(cid:265)(cid:108)∠A𝐴(cid:89)𝐶𝐵B(cid:114) (cid:53)𝐴𝐵(cid:266)(cid:112)(cid:89) 𝐴𝐶(cid:53) (cid:266)
(cid:112)𝐵𝐶(cid:89)(cid:266)(cid:330)(cid:27)(cid:176)(cid:220)(cid:108)F𝐴(cid:89)𝐵E(cid:72)(cid:207)(cid:23)(cid:84) (cid:89) 𝑀(cid:37)𝑁(cid:39)(cid:40)(cid:27)(cid:176)(cid:220) (cid:89) (cid:89)(cid:193) + (cid:37)(cid:331)(cid:332)𝐴(cid:52)𝐹 (cid:220)𝑀 𝑁 (cid:72)𝐵𝐸 𝑀𝑁
𝐵𝐸 𝐴𝐹 𝑑1 𝑑2 𝑑1 𝑑2
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:19)10
×
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:122)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:151)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:42)(cid:37)(cid:38)(cid:76)(cid:89)(cid:266)(cid:23)(cid:84)(cid:331)(cid:333)(cid:89)(cid:76)(cid:20)(cid:37)(cid:3)(cid:118)(cid:92)(cid:167)(cid:159) + = (cid:89)(cid:91)(cid:120) + (cid:275)
𝐴𝐶 𝐵𝐶
(cid:331)(cid:332)(cid:52)(cid:212)(cid:89) (cid:275)(cid:331)(cid:184)(cid:52)(cid:89)(cid:209)(cid:203)(cid:204)(cid:266)(cid:23)(cid:84)(cid:331)(cid:333)(cid:37)(cid:153)(cid:154)(cid:72) 𝑑1 𝑑2 𝐶𝐷 𝑑1 𝑑2
(cid:143)(cid:44) = 𝐶𝐷 + (cid:89)(cid:123) 1 × = 1 × + 1 × (cid:167)(cid:219) + = × (cid:89)(cid:193) + (cid:37)(cid:331)(cid:332)
2 2 2
𝐴𝐶 𝐵𝐶
(cid:52)(cid:334)𝑆(cid:92) △𝐴𝐵𝐶 (cid:37)(cid:331)𝑆(cid:184) △𝐴 (cid:52) 𝐶𝐷 (cid:89)(cid:164)𝑆△ (cid:266) 𝐵𝐶 (cid:23) 𝐷 (cid:84)(cid:331)(cid:333)𝐴(cid:124)𝐶 (cid:167)𝐵(cid:211)𝐶 𝐶𝐷 (cid:212)𝐴(cid:89)𝐹 (cid:331)𝐶𝐷(cid:184)(cid:89)𝐵(cid:123)𝐸(cid:124)(cid:38)𝑑(cid:76) 1 (cid:72)𝑑2 𝐶𝐷 𝑑1 𝑑2
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19) 𝐶𝐷 (cid:76)(cid:10)(cid:164)(cid:20)(cid:132)(cid:124)(cid:167)(cid:10) = 𝐶 + 𝐷⊥𝐴𝐵 (cid:89)(cid:123) 𝐶1𝐷 × = 1 × + 1 ×
2 2 2
(cid:335)(cid:336)(cid:124)(cid:167)(cid:10) ×( + )= 𝑆△𝐴𝐵𝐶 × 𝑆△𝐴𝐶𝐷 𝑆△𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐹 𝐶𝐷 𝐵𝐸
𝐶𝐷 ×𝑑1 𝑑2 𝐴𝐶 𝐵𝐶
(cid:76)(cid:167) + = (cid:89)
𝐴𝐶 𝐵𝐶
(cid:193) 𝑑 + 1 𝑑(cid:275) 2 (cid:331)(cid:332)(cid:52)𝐶𝐷(cid:212)(cid:89) (cid:275)(cid:331)(cid:184)(cid:52)(cid:89)
(cid:164)𝑑(cid:266)1(cid:23)(cid:84)𝑑2(cid:331)(cid:333)(cid:124)(cid:167)(cid:211) 𝐶𝐷 (cid:212)(cid:89) (cid:331)(cid:184)(cid:89)
(cid:164) = 1 × 𝐶 = 𝐷1⊥𝐴𝐵 × (cid:124) 𝐶𝐷 (cid:167)(cid:89) = ×
2 2
𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐵×
+ (cid:37)(cid:331)(cid:332)(cid:52)(cid:220) = =10(cid:72)
×
𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝐴𝐶 𝐵𝐶
∴𝑑1 𝑑2 𝐴𝐵 𝐴𝐵
(cid:126)(cid:73)(cid:74)(cid:220)(cid:10)10(cid:72)
(cid:15)(cid:77)(cid:78)5-1(cid:19)(cid:61)24-25(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)·(cid:171)(cid:172)(cid:172)(cid:281)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:141)(cid:142)(cid:89) (cid:89)(cid:266)(cid:330)(cid:220) (cid:89) =15(cid:89) =20(cid:89)
=25(cid:72) (cid:92)(cid:23)(cid:84) (cid:79)(cid:37)(cid:337)(cid:132)(cid:98)(cid:108)(cid:89)(cid:104)(cid:105) (cid:89) (cid:37)(cid:39)
𝐴
(cid:129)
．𝐶
(cid:124)
⊥．
(cid:213)
𝐵．𝐶
(cid:92)(cid:61) (cid:71)
𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝐴𝐵 𝑃 𝐴𝐵 𝑃𝐶 𝑃𝐶
A(cid:72)11 B(cid:72)12 C(cid:72)13 D(cid:72)16
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:19)A
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:151)(cid:266)(cid:23)(cid:84)(cid:37)(cid:153)(cid:154)(cid:89)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:22)(cid:37)(cid:50)(cid:41)(cid:42)(cid:51)(cid:89)(cid:222)(cid:85)(cid:203)(cid:204)(cid:149)(cid:79)(cid:161)(cid:202)(cid:108)(cid:92)(cid:76)(cid:20)(cid:37)(cid:3)(cid:118)(cid:72)(cid:143)(cid:44)(cid:266)(cid:23)
(cid:84)(cid:331)(cid:333)(cid:124)(cid:161)(cid:89)(cid:211) (cid:212)(cid:89) (cid:275)(cid:167)(cid:331)(cid:184)(cid:52)(cid:89)(cid:33)(cid:34)(cid:50)(cid:41)(cid:42)(cid:51)(cid:38)(cid:159) (cid:37)(cid:331)(cid:184)(cid:52)(cid:89)(cid:123)(cid:124)(cid:257)(cid:127)(cid:128)(cid:22)(cid:338)(cid:159)(cid:73)(cid:74)(cid:72)
+
A
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(cid:76)(cid:10)(cid:114)𝑃𝐶⊥𝐴𝐵(cid:155)(cid:108)𝑃𝐶(cid:89) 𝑃𝐶 科 A
全
★
号
众
(cid:141)(cid:142)(cid:89) 𝐶𝐷⊥𝐴𝐵 𝐷 公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:89)(cid:266)(cid:330)(cid:220) (cid:89) =15(cid:89) =20(cid:89) =25(cid:89)
∵ 𝐴𝐶⊥𝐵
=
𝐶1
=
𝐶1 𝐴𝐶
(cid:89)(cid:123)
𝐵
1
𝐶
5×20=
𝐴
2
𝐵
5× (cid:89)
2 2
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶 𝐴𝐵⋅𝐶𝐷 𝐶𝐷
=12(cid:89)
∴𝐶 𝐷(cid:92)(cid:23)(cid:84) (cid:79)(cid:37)(cid:337)(cid:132)(cid:98)(cid:108)(cid:89)(cid:104)(cid:105) (cid:89)
∵(cid:211)𝑃(cid:108) (cid:53)(cid:108)𝐴𝐵(cid:187)(cid:145)(cid:212)(cid:275)(cid:167)(cid:331)(cid:184)(cid:52)(cid:89)(cid:331)𝑃𝐶(cid:184)(cid:52)(cid:220)12(cid:89)
∴ (cid:37)𝑃(cid:39)(cid:129)(cid:124)𝐷(cid:213)(cid:92)11(cid:89)
(cid:126)∴(cid:127)𝑃𝐶(cid:10)A(cid:72)
(cid:15)(cid:77)(cid:78)5-2(cid:19)(cid:61)24-25(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)·(cid:66)(cid:67)(cid:191)(cid:125)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:141)(cid:142)(cid:89)(cid:99) (cid:22)(cid:89) =90°( < )(cid:89)(cid:108)D(cid:89)P(cid:27)(cid:176)
(cid:99)(cid:59) (cid:89) (cid:79)(cid:89)(cid:175) = (cid:89) (cid:89) (cid:89)(cid:266)(cid:330)(cid:27)(cid:176)△(cid:220)𝐴𝐵(cid:108)𝐶E(cid:72)F∠(cid:72)𝐶(cid:165) ∠=𝐴24∠(cid:89)𝐴𝐵𝐶=8(cid:89)(cid:193) +
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝑃 𝐴𝑃 𝐷𝐸⊥𝐵𝑃 𝐷𝐹⊥𝐴𝑃 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐷𝐸 𝐷𝐹(cid:37)(cid:52) (cid:72)
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:19)6
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:195)(cid:196)(cid:116)(cid:117)(cid:151)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:72)(cid:143)(cid:44)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:42)(cid:7)(cid:78)(cid:167)(cid:159) = 1 (cid:89)(cid:160)(cid:143)(cid:44) =
2
𝑆△𝐴𝐵𝑃 𝐴𝑃⋅𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝑃 𝑆△𝐴𝐷𝑃
+ (cid:89)(cid:167)(cid:159) = 1 ( + )(cid:89)(cid:123)(cid:124)(cid:167)(cid:159) + = =6(cid:72)
2
𝑆△𝐵𝐷𝑃 𝑆△𝐴𝐵𝑃 𝐴𝑃 𝐷𝐸 𝐷𝐹 𝐷𝐸 𝐷𝐹 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(cid:76)(cid:10) =90°(cid:89) =24(cid:89) =8(cid:89)
= 1 ∵∠𝐶 (cid:89) 𝑆 = △𝐴 1 𝐵𝐶 (cid:89) 𝐴𝐶
2 2
∴𝑆△𝐴𝐵𝑃 𝐴𝑃⋅𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶
24= 1 ×8 (cid:89)
2
+
∴ =6(cid:89) ⋅𝐵𝐶 科 A A
全
★
号
众
∴𝐵𝐶 (cid:89) (cid:89) 公
注
关
，
源
∵𝐷𝐸⊥𝐵 = 𝑃 𝐷𝐹⊥ + 𝐴𝑃 教 辅= 1资 + 1 (cid:89)
2 2
∴𝑆△𝐴𝐵𝑃 𝑆△𝐴𝐷𝑃 𝑆△𝐵𝐷𝑃 𝐴𝑃⋅𝐷𝐹 𝐵𝑃⋅𝐷𝐸
= (cid:89)
∵𝐵𝑃 𝐴 = 𝑃1 + 1 = 1 ( + )(cid:89)
2 2 2
∴𝑆△𝐴𝐵𝑃 𝐴𝑃⋅𝐷𝐹 𝐴𝑃⋅𝐷𝐸 𝐴𝑃 𝐷𝐸 𝐷𝐹
1 ( + )= 1 (cid:89)(cid:193) + = =6(cid:89)
2 2
∴ 𝐴𝑃 𝐷𝐸 𝐷𝐹 𝐴𝑃⋅𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐷𝐹 𝐵𝐶
(cid:126)(cid:73)(cid:74)(cid:220)(cid:10)6(cid:72)
(cid:15)(cid:77)(cid:78)5-3(cid:19)(cid:61)24-25(cid:216)(cid:63)(cid:64)(cid:79)·(cid:231)(cid:172)(cid:218)(cid:315)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:141)(cid:142)(cid:89)(cid:99) (cid:22)(cid:89) = (cid:89)D(cid:220) (cid:22)(cid:108)(cid:89)(cid:265)(cid:108)D(cid:114)
(cid:89) =3(cid:89)E(cid:220) (cid:79)(cid:98)(cid:108)(cid:89)(cid:265)(cid:108)E(cid:114) (cid:89)△𝐴𝐵𝐶 (cid:89) 𝐴𝐵=4𝐴.2𝐶(cid:89)(cid:193) 𝐵=𝐶 (cid:72)
𝐷𝑃⊥𝐴𝐵 𝐷𝑃 𝐵𝐶 𝐸𝑀⊥𝐴𝐵 𝐸𝑁⊥𝐴𝐶 𝐸𝑀 𝐸𝑁
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:19)1.8(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:151)(cid:53)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:54)(cid:3)(cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:229)(cid:230)(cid:89)(cid:339)(cid:340)(cid:341)(cid:211)(cid:37)(cid:252)(cid:253)(cid:23)(cid:89)(cid:143)(cid:44)(cid:20)(cid:132)(cid:167)(cid:159) = +
= 1 + 1 (cid:92)(cid:76)(cid:122)(cid:20)(cid:37)(cid:3)(cid:118)(cid:72)(cid:104)(cid:105) (cid:89) (cid:89)(cid:143)(cid:44)D(cid:220) (cid:22)(cid:108)(cid:89)(cid:167)(cid:159)
𝑆△𝐴𝐵𝐶
=
𝑆△𝐴𝐵𝐹
= 1
2 2 2
𝑆△𝐴𝐶𝐹 𝐴𝐵⋅𝐷𝐹 𝐴𝐶⋅𝐸𝐹 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝑆△𝐴𝐶𝐷
(cid:89)(cid:257)(cid:258)(cid:167)(cid:159) = + =2 = (cid:89)(cid:143)(cid:44)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:42)(cid:167)(cid:159) = +
𝐴𝐵⋅𝐷𝑃 = 1 + 𝑆△ 1 𝐴𝐵𝐶 𝑆 (cid:89) △𝐴 (cid:257) 𝐵𝐷 (cid:258)(cid:167) 𝑆△ (cid:159) 𝐴𝐶𝐷 𝑆△ = 𝐴𝐵 1 𝐷 𝐴𝐵⋅ + 𝐷𝑃1 (cid:89)(cid:342)(cid:343)(cid:310)(cid:44)(cid:229)(cid:230) 𝑆 (cid:123) △𝐴 (cid:124) 𝐵𝐶 (cid:72) 𝑆△𝐴𝐵𝐸
2 2 2 2
𝑆△𝐴𝐶𝐸 𝐴𝐵⋅𝐸𝑀 𝐴𝐶⋅𝐸𝑁 𝐴𝐵⋅𝐷𝑃 𝐴𝐵⋅𝐸𝑀 𝐴𝐵⋅𝐸𝑁
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(cid:76)(cid:10)(cid:141)(cid:142)(cid:89)(cid:104)(cid:105) (cid:89) (cid:89)
𝐴𝐷 𝐴𝐸
(cid:89) D(cid:220) (cid:22)(cid:108)(cid:89)
= = 1∵ 𝐵𝐶(cid:89)
2
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝑆△𝐴𝐶𝐷 𝐴𝐵⋅𝐷𝑃
= + =2 = (cid:89)
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶 (cid:89)𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝑆△(cid:89)𝐴𝐶𝐷 𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝐴𝐵⋅𝐷𝑃 A +
A
科
全
★
∵𝐸𝑀⊥𝐴𝐵 = 𝐸𝑁⊥ + 𝐴𝐶 = 1 + 1 (cid:89) 众 号
公
2 2 注
关
，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶
=
𝑆
1
△𝐴𝐵𝐸 𝑆
教
△
+
𝐴𝐶
1
𝐸
辅
资𝐴𝐵
(cid:89)
⋅源𝐸𝑀 𝐴𝐶⋅𝐸𝑁
2 2
∴𝐴𝐵⋅𝐷𝑃 𝐴𝐵⋅𝐸𝑀 𝐴𝐵⋅𝐸𝑁
=3(cid:89) =4.2(cid:89)
∵𝐷𝑃 = 1 × 𝐸 4 𝑀 .2× + 1 (cid:89)
2 2
∴3𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐵⋅𝐸𝑁
(cid:76)(cid:167)(cid:10) =1.8(cid:72)
(cid:126)(cid:73)(cid:74)𝐸(cid:220)𝑁(cid:10)1.8(cid:72)
【题型6 与角平分线有关的求值】
(cid:15)(cid:60)6(cid:19)(cid:61)24-25(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)·(cid:246)(cid:16)(cid:16)(cid:344)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:141)(cid:142)(cid:89)(cid:99) (cid:22)(cid:89) (cid:26)(cid:27) (cid:89) (cid:155)(cid:108) (cid:72) (cid:37)
(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23) (cid:228)(cid:99)(cid:112)(cid:23)(cid:53)(cid:94)(cid:23) (cid:177)(cid:178)(cid:155)(cid:108) (cid:89)(cid:165) =△𝐴𝐵𝐶(cid:89)(cid:175) 𝐴𝐸=20∠°(cid:89)𝐵𝐴(cid:193)𝐶 𝐴𝐷⊥(cid:37)𝐵(cid:40)𝐶(cid:310)(cid:220)(𝐷(cid:93)(cid:93)∠)𝐴𝐵𝐷
𝐵𝐹 𝐴𝐸 𝐺 ∠𝐴𝐵𝐶 3∠𝐶 ∠𝐺 ∠𝐷𝐹𝐵A(cid:72)50° B(cid:72)55° C(cid:72)60° D(cid:72)65°
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:19)C
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:100)(cid:25)(cid:109)(cid:120)(cid:119)(cid:89)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:103)(cid:25)(cid:37)(cid:153)(cid:154)(cid:50)(cid:161)(cid:202)(cid:89)(cid:164)(cid:20)(cid:132) (cid:26)(cid:27) (cid:89) (cid:26)(cid:27) (cid:89)(cid:158)
(cid:159) = (cid:89) = (cid:89)(cid:207) = = (cid:89)(cid:207) = (cid:89) 𝐴𝐸 = ∠𝐵(cid:89)𝐴𝐶(cid:34)(cid:321)𝐵𝐹(cid:109) (cid:37)∠(cid:342)𝐴𝐵(cid:310)𝐷(cid:78)(cid:345)
(cid:237)∠𝐶𝐴𝐸(cid:109)∠𝐵𝐴𝐸(cid:123)(cid:124)∠𝐴(cid:76)𝐵(cid:290)𝐹(cid:285)(cid:20)∠𝐷(cid:72)𝐵𝐹 ∠𝐶𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐸 𝑥 ∠𝐶 𝑦 ∠𝐴𝐵𝐶 3𝑦 𝑥 𝑦
(cid:15)∠(cid:75)𝐴(cid:76)𝐵𝐹(cid:19)(cid:76)∠(cid:10)𝐷𝐵(cid:141)𝐹(cid:142)(cid:10)
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:26)(cid:27) (cid:89) (cid:26)(cid:27) (cid:89)
= (cid:89) = (cid:89)∵𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐵𝐹 ∠𝐴𝐵𝐷
(cid:207)∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐸=∠1(cid:89) ∠2= (cid:89) = (cid:89)
(cid:164)∠(cid:103)𝐶(cid:25)𝐴𝐸(cid:37)(cid:153)∠(cid:154)𝐵(cid:167)𝐴𝐸(cid:10) 𝑥 ∠𝐶 𝑦 ∠𝐴𝐵𝐶 3𝑦
= + = +20°(cid:89) = 1 = 1 + = + 1 (cid:89)
2 2 2
∠1 ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐺 𝑥 ∠2 ∠𝐴𝐵𝐷 (2𝑥 𝑦) 𝑥 𝑦
+20°= + 1 (cid:89)(cid:76)(cid:167) =40°(cid:89)
2
∴𝑥 𝑥 𝑦 𝑦
= = 1 = 1 × =30°(cid:89)
2 2
∴∠1 ∠2 (180°−∠𝐴𝐵𝐶) (180°−120°)
=60°(cid:72)
(cid:126)∴(cid:127)∠𝐷(cid:10)𝐹𝐵C(cid:72)
(cid:15)(cid:77)(cid:78)6-1(cid:19)(cid:61)24-25(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)·(cid:66)(cid:67)(cid:191)(cid:125)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:141)(cid:142)(cid:89)(cid:99) (cid:22)(cid:89)(cid:249)(cid:161) =60°(cid:89)(cid:108)O(cid:220) (cid:100)(cid:98)(cid:108)(cid:89)
(cid:175) =140°(cid:89)(cid:311)(cid:22) (cid:26)(cid:27) (cid:89) (cid:26)(cid:27) (cid:89)△𝐴(cid:26)𝐵𝐶(cid:27) (cid:89)∠𝐴 (cid:26)(cid:27) △𝐴𝐵(cid:26)𝐶 (cid:27)
∠𝐵𝑂𝐶 𝐵𝑂1 ∠𝐴𝐵𝑂 𝐶𝑂1 ∠𝐴𝐶𝑂 𝐵𝑂2 ∠𝐴𝐵𝑂1 𝐶𝑂2 ∠𝐴𝐶𝑂1,⋯,𝐵𝑂𝑛 ∠𝐴𝐵(cid:89) (cid:26)(cid:27) (cid:89)…(cid:89)(cid:149)(cid:122)(cid:47)(cid:158)(cid:89)(cid:193) = (cid:89) = (cid:72)
𝑂𝑛−1 𝐶𝑂𝑛 ∠𝐴𝐶𝑂𝑛−1,⋯ ∠𝐵𝑂1𝐶 ∠𝐵𝑂2025𝐶
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:19) 100° 60°+ 80°
2
2025
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:151)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:100)(cid:25)(cid:109)(cid:120)(cid:119)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:346)(cid:347)(cid:47)(cid:158)(cid:159)(cid:98)(cid:348)(cid:349)(cid:350)(cid:92)(cid:76)(cid:20)(cid:3)(cid:118)(cid:72)
(cid:268)(cid:143)(cid:44)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:100)(cid:25)(cid:109)(cid:120)(cid:119)(cid:124)(cid:167) + (cid:37)(cid:40)(cid:310)(cid:89)(cid:160)(cid:143)(cid:44)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:100)(cid:25)(cid:109)(cid:120)(cid:119)(cid:123)(cid:124)(cid:38)
(cid:159) (cid:37)(cid:40)(cid:310)(cid:89)(cid:280)(cid:278)(cid:37)(cid:199)(cid:51)(cid:38)∠(cid:159)𝐴𝐵𝑂 ∠(cid:37)𝐴(cid:40)𝐶𝑂(cid:310)(cid:89)(cid:244)(cid:146)(cid:346)(cid:347)(cid:47)(cid:158)(cid:159)(cid:98)(cid:348)(cid:349)(cid:350)(cid:89)(cid:164)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:167)(cid:159)(cid:73)(cid:74)(cid:72)
(cid:15)∠(cid:75)𝐵(cid:76)𝑂1(cid:19)𝐶(cid:76)(cid:10) =140°(cid:89) ∠𝐵𝑂2𝐶
+ = ∵∠𝐵𝑂𝐶 =40°(cid:89)
∴∠1 =∠620°(cid:89)180°−∠𝐵𝑂𝐶
+
A
∵∠𝐴 + = =120°(cid:89) 科 A
全
★
号
众
∴∠𝐴𝐵𝐶 +∠𝐴𝐶𝐵 =180°−∠+𝐴 =80°(cid:89)公
注
关
，
源
∴∠𝐴𝐵(cid:26)𝑂(cid:27)∠𝐴𝐶𝑂(cid:89)∠𝐴𝐵(cid:26)𝐶辅(cid:27)∠资𝐴𝐶𝐵(cid:89)−∠1−∠2
教
∵𝑂1𝐵
=
∠1𝐴𝐵𝑂 𝑂
(cid:89)
1𝐶 ∠
=
𝐴𝐶1𝑂
(cid:89)
2 2
∴∠𝐴𝐵𝑂1 ∠𝐴𝐵𝑂 ∠𝐴𝐶𝑂1 ∠𝐴𝐶𝑂
= ( + )(cid:89)
∴=∠𝐵𝑂1𝐶( 180°+− ∠𝑂1𝐵𝐶 ∠𝑂1𝐶𝐵 )(cid:89)
180°− ∠𝐴𝐵𝐶 1∠𝐴𝐶𝐵−∠1𝐴𝐵𝑂1−∠𝐴𝐶𝑂1
= (cid:89)
2 2
= 180°− 120° + − 1 ( ∠𝐴𝐵𝑂− + ∠𝐴𝐶𝑂 )(cid:89)
2
180°−120° ∠𝐴𝐵𝑂 ∠𝐴𝐶𝑂
=60°+ 1 ×80°(cid:89)
2
=100°(cid:89)
(cid:280)(cid:119)(cid:124)(cid:167)(cid:10) = ( + )(cid:89)
= ( ∠𝐵𝑂2+𝐶 180°− ∠𝑂2𝐵𝐶 ∠𝑂2)𝐶(cid:89)𝐵
180°− ∠𝐴𝐵𝐶 1∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐴1𝐵𝑂2−∠𝐴𝐶𝑂2
= (cid:89)
2 2
=
1
6
8
0
0
°
°
+
−1
(
120°−
+
∠𝐴𝐵𝑂1−
)(cid:89)
∠𝐴𝐶𝑂1
2
∠𝐴𝐵𝑂1 ∠𝐴𝐶𝑂1=60°+ 1 × 1 ( + )(cid:89)
2 2
∠𝐴𝐵𝑂 ∠𝐴𝐶𝑂
=60°+ 1 ×80°(cid:89)
2
2
=80°(cid:89)
(cid:346)(cid:347)(cid:47)(cid:158)(cid:167)(cid:10) =60°+ 1 ×80°(cid:89)(cid:311)(cid:22) (cid:220)(cid:90)(cid:351)(cid:310)(cid:89)
2
∠𝐵𝑂𝑛𝐶 𝑛 𝑛
80°
=60°+ (cid:89)
2
∴∠𝐵𝑂2025𝐶 2025
80°
(cid:126)(cid:73)(cid:74)(cid:220)(cid:10)100°(cid:133)60°+ (cid:72)
2
2025
(cid:15)(cid:77)(cid:78)6-2(cid:19)(cid:61)24-25(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)·(cid:187)(cid:188)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:141)(cid:142)(cid:89)(cid:99) (cid:22)(cid:89)(cid:108) (cid:220) (cid:109) (cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:178)(cid:108)(cid:89)(cid:104)
(cid:105) (cid:89)(cid:114) (cid:37)(cid:98)(cid:95)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23) (cid:72)(cid:165) △𝐴=𝐵𝐶(cid:89)(cid:193) 𝑂+ ∠𝐴(cid:37)𝐵(cid:40)𝐶 (cid:310)∠(cid:220)𝐴(cid:61)𝐶𝐵 (cid:71)
𝑂𝐴, 𝑂𝐵, 𝑂𝐶 △𝐴𝑂𝐵 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 𝛼 ∠1 ∠2
+
A
A
科
全
★
A(cid:72)90°+ 3 B(cid:72)120°+ 1 C(cid:72)160° 众 号 D(cid:72) 1
公
4 2 注 4
关
，
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:19)A 𝛼 辅 资 源𝛼 180°− 𝛼
教
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:195)(cid:196)(cid:116)(cid:117)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:100)(cid:25)(cid:109)(cid:120)(cid:119)(cid:89)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:120)(cid:121)(cid:50)(cid:161)(cid:202)(cid:89)(cid:143)(cid:44)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:120)(cid:121)(cid:124)(cid:167) =90°+
∠2
(cid:89) = (cid:89)(cid:257)(cid:258)(cid:124)(cid:38)(cid:159) + (cid:72)
2 4
𝛼 𝛼
∠1 ∠1 ∠2
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(cid:76)(cid:10) + + = = (cid:89)
+ ∵∠=𝐵𝐴𝐶 ∠𝐴(cid:89)𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 180°,∠𝐵𝐴𝐶 𝛼
∴∠𝐴𝐵(cid:92)𝐶 ∠𝐴(cid:37)𝐶𝐵(cid:26)(cid:27)1(cid:23)80(cid:89)°−𝛼(cid:92) (cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:89)
∵𝐵𝑂 ∠
=
𝐴𝐵1𝐶 𝐶
=
𝑂1 ∠𝐴𝐶
(cid:89)
𝐵
2 2
∴∠𝐶𝐵𝑂 ∠𝐴𝐵𝐶,∠𝐵𝐶𝑂 ∠𝐴𝐶𝐵
+ = 1 + 1 = 1 ( + )= 1 ( )= (cid:89)
2 2 2 2 2
𝛼
∴∠𝐶𝐵𝑂 ∠𝐵𝐶𝑂 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 180°−𝛼 90°−
+ + =180°(cid:89)
∵∠𝑂𝐶𝐵 ∠𝑂𝐵𝐶 ∠2
= ( + )= =90°+ (cid:89)
2 2
𝛼 𝛼
∴∠2(cid:92)180°−(cid:109)∠(cid:26)𝑂(cid:27)𝐶𝐵(cid:23)(cid:89)∠𝑂𝐵𝐶 180°− 90°−
∵𝐴𝑂 ∠ = 𝐵𝐴1𝐶 = 1 (cid:89)
2 2
∴∠𝐵𝐴𝑂 ∠𝐵𝐴𝐶 𝛼(cid:92) (cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:89)
∵𝐴𝐷 = ∠1𝐵𝐴𝑂 = 1 × 1 = 1 (cid:89)
2 2 2 4
∴∠1 ∠𝐵𝐴𝑂 𝛼 𝛼
1 1 3
+ = +90°+ =90°+ ,
4 2 4
∴∠1 ∠2 𝛼 𝛼 𝛼
(cid:126)(cid:127)(cid:10)A(cid:72)
(cid:15)(cid:77)(cid:78)6-3(cid:19)(cid:61)24-25(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:79)·(cid:66)(cid:67)(cid:326)(cid:327)·(cid:70)(cid:227)(cid:71)(cid:141)(cid:142)(cid:89) (cid:89) (cid:89) (cid:26)(cid:27) (cid:178) (cid:155)(cid:108) (cid:89)(cid:108)
(cid:92)(cid:94)(cid:23) (cid:79)(cid:337)(cid:98)(cid:108)(cid:89)(cid:104)(cid:179) (cid:24) (cid:89)(cid:165) = (cid:89)𝑀𝑁∥𝑃𝑄 𝐴𝐵∥=𝐶𝐷60°(cid:89)𝐶𝐸(cid:193) ∠𝐷(cid:37)𝐶𝑁(cid:332)(cid:184)𝑃(cid:220)𝑄(cid:61) 𝐸 (cid:71) 𝐹
𝐴𝐵 𝐶𝐹 𝐷𝐹 ∠𝐵𝐹𝐷 ∠𝐵𝐷𝐹 ∠𝐸𝐶𝐹−∠𝐷𝐹𝐶 ∠𝐷𝐹𝐶
A(cid:72)60° B(cid:72)15° C(cid:72)60°(cid:194)15° D(cid:72)15°(cid:194)70°
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:19)C
+
A
A
科
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:27)(cid:192)(cid:208)(cid:147)(cid:148)(cid:48)(cid:49)(cid:10) (cid:211)(cid:108)F(cid:99)(cid:23)(cid:84) (cid:79)(cid:212)(cid:89)(cid:164)(cid:26)(cid:300)(cid:23)
★
(cid:37)(cid:153)全(cid:154)(cid:109)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:120)(cid:121)(cid:124)(cid:167)
号
众
公
注
= (cid:89)(cid:193)(cid:124)(cid:167) ①(cid:89)(cid:269)(cid:258)(cid:124)(cid:167)关𝐴𝐵+ =180°(cid:89)(cid:160)(cid:179)(cid:131) =60°(cid:123)(cid:124)(cid:38)(cid:159)
，
源
资
辅
∠(cid:37)𝐷(cid:40)𝐶𝐸(cid:310)(cid:72)∠𝐹𝐷(cid:211)𝐶(cid:108)F(cid:99)教(cid:23)𝐶(cid:84)𝐸∥𝐷(cid:37)𝐹(cid:352)(cid:39)(cid:23)(cid:79)(cid:212)∠(cid:89)𝐸𝐶(cid:352)𝐹(cid:39)(cid:23)∠𝐷(cid:84)𝐹𝐶 (cid:178) (cid:155)G(cid:108)(cid:89)∠(cid:164)𝐸(cid:26)𝐶𝐹(cid:300)−(cid:23)∠𝐷(cid:37)𝐹(cid:153)𝐶(cid:154)(cid:109)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)∠(cid:120)𝐷𝐹(cid:121)𝐶
(cid:124)(cid:167) ②+ =90°(cid:89)𝐴𝐵(cid:160)(cid:143)(cid:44)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:100)(cid:25)(cid:109)(cid:120)(cid:119)(cid:124)𝐴(cid:167)𝐵 𝐶𝐸 =90°(cid:89) + =90°(cid:89)(cid:160)(cid:179)(cid:131)
∠𝐶𝐷𝐺 ∠=𝐷6𝐶0𝐸°(cid:123)(cid:124)(cid:38)(cid:159)(cid:37)(cid:40)(cid:310)(cid:72) ∠𝐶𝐺𝐷 ∠𝐸𝐶𝐹 ∠𝐷𝐹𝐶
∠(cid:115)𝐸(cid:20)𝐶𝐹(cid:195)−(cid:196)∠𝐷(cid:116)𝐹(cid:117)𝐶(cid:151)(cid:26)(cid:300)(cid:23)(cid:37)(cid:153)(cid:154)(cid:89)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:120)(cid:121)(cid:149)(cid:313)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:100)(cid:25)(cid:109)(cid:120)(cid:119)(cid:89)(cid:222)(cid:85)(cid:203)(cid:204)(cid:149)(cid:79)(cid:161)(cid:202)(cid:89)(cid:209)(cid:175)(cid:27)(cid:47)(cid:48)
(cid:49)(cid:92)(cid:76)(cid:20)(cid:37)(cid:3)(cid:118)(cid:72)
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(cid:76)(cid:10) (cid:141)(cid:142)(cid:89)(cid:211)(cid:108)F(cid:99)(cid:23)(cid:84) (cid:79)(cid:212)(cid:89)
① 𝐴𝐵
(cid:89)
∵𝑀𝑁∥𝑃=𝑄 (cid:89)
∴∠𝐷(cid:26)𝐶(cid:27)𝑁 ∠𝑃𝐷𝐶
∵𝐶𝐸 ∠𝐷𝐶𝑁= 1 (cid:89)
2
∴∠𝐷𝐶𝐸 ∠𝐷𝐶𝑁
(cid:89)
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷= (cid:89)
∴∠𝐵𝐹𝐷=∠𝐹𝐷𝐶(cid:89)
∵∠𝐵𝐹𝐷 = ∠𝐵𝐷𝐹 = 1 (cid:89)
2
∴∠𝐹𝐷𝐶 ∠𝐵𝐷𝐹 ∠𝑃𝐷𝐶
= (cid:89)
∴∠𝐷𝐶𝐸 (cid:89)∠𝐹𝐷𝐶
∴𝐶𝐸∥𝐷+𝐹 =180°(cid:89)
∴∠𝐸𝐶𝐹 ∠𝐷𝐹𝐶=60°(cid:89)
(cid:76)∵(cid:167)∠𝐸𝐶𝐹−∠=𝐷𝐹6𝐶0°(cid:133)
(cid:141)∠(cid:142)𝐷(cid:89)𝐹𝐶(cid:211)(cid:108)F(cid:99)(cid:23)(cid:84) (cid:37)(cid:352)(cid:39)(cid:23)(cid:79)(cid:212)(cid:89)(cid:352)(cid:39)(cid:23)(cid:84) (cid:178) (cid:155)G(cid:108)(cid:89)
② 𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐶𝐸
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:89)
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷= (cid:89)
(cid:254)∴∠𝐵𝐹𝐷 =∠𝐶𝐷𝐺 (cid:89) = (cid:89)
∵∠𝐵𝐹
=
𝐷 ∠𝐵𝐷
=
𝐹1 ∠𝐵𝐷𝐹
(cid:89)
∠𝐺𝐷𝐸
2
∴∠𝐶𝐷𝐺 ∠𝐺𝐷𝐸 ∠𝐶𝐷𝐸
(cid:26)(cid:27) (cid:89)
∵𝐶𝐸 ∠
=
𝐷1𝐶𝑁
(cid:89)
2
∴∠𝐷𝐶𝐸 ∠𝐷𝐶𝑁
(cid:89)
∵𝑀𝑁∥𝑃+𝑄 =180°(cid:89)
∴∠𝐶𝐷𝐸 + ∠𝐷𝐶𝑁 = 1 + 1 =90°(cid:89)
2 2
∴∠𝐶𝐷𝐺 ∠𝐷𝐶𝐸 ∠𝐶𝐷𝐸 ∠𝐷𝐶𝑁
(cid:22)(cid:89) = =90°(cid:89)
∴△𝐶𝐷𝐺 ∠𝐶𝐺𝐷 180°−∠𝐶𝐷𝐺−∠𝐷𝐶𝐸(cid:22)(cid:89) + =90°(cid:89)
(cid:254)∴△𝐶𝐹𝐺 ∠𝐸𝐶𝐹=6∠0𝐷°(cid:89)𝐹𝐶
(cid:76)(cid:167)∵∠𝐸𝐶𝐹−=∠1𝐷5𝐹°𝐶(cid:72)
(cid:126)(cid:127)∠(cid:10)𝐷C𝐹(cid:72)𝐶
【题型7 与角平分线有关的证明】
(cid:15)(cid:60)7(cid:19)(cid:61)24-25(cid:216)(cid:63)(cid:64)(cid:79)·(cid:223)(cid:224)(cid:271)(cid:353)·(cid:70)(cid:227)(cid:71)(cid:141)(cid:142)(cid:89) (cid:22)(cid:89) (cid:92)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:89) (cid:89)(cid:266)(cid:330)(cid:220) (cid:72)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐸⊥𝐴𝐷 𝐸
(1)(cid:249)(cid:161) =70°(cid:89) =30°(cid:89)(cid:38) (cid:37)(cid:40)(cid:310)(cid:133)
(2)(cid:165) ∠𝐴𝐵=𝐶 (cid:89)(cid:38)∠(cid:55)𝐶(cid:10) =∠𝐴𝐷(cid:72)𝐵
(cid:15)(cid:73)(cid:74)∠𝐴(cid:19)𝐵(𝐶1)703°∠𝐶 ∠𝐷𝐵𝐸 ∠𝐶
(2)(cid:243)(cid:76)(cid:32)
A
+
A
科
全
★
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:195)(cid:196)(cid:116)(cid:117)(cid:151)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:100)(cid:25)(cid:109)(cid:120)(cid:119)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:120)号(cid:121)(cid:89)(cid:222)(cid:85)(cid:203)(cid:204)(cid:149)(cid:79)(cid:161)(cid:202)(cid:108)(cid:209)(cid:354)(cid:355)(cid:210)(cid:34)(cid:92)(cid:76)(cid:122)(cid:20)
众
公
注
关
(cid:37)(cid:3)(cid:118)(cid:72) 源 ，
资
辅
教
(cid:61)1(cid:71)(cid:164)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:100)(cid:25)(cid:109)(cid:120)(cid:119)(cid:167)(cid:159) =80°(cid:89)(cid:164)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:120)(cid:121)(cid:167)(cid:159) =40°(cid:89)(cid:331)(cid:146)(cid:160)(cid:164)
= + (cid:89)(cid:269)(cid:300)(cid:229)(cid:230)∠(cid:123)𝐵𝐴(cid:124)𝐶(cid:167)(cid:159)(cid:73)(cid:74)(cid:133) ∠𝐷𝐴𝐶
(cid:61)∠𝐴2𝐷(cid:71)𝐵(cid:207) ∠𝐷=𝐴𝐶(cid:89)(cid:193)∠𝐶 = (cid:89)(cid:164)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:100)(cid:25)(cid:109)(cid:120)(cid:119)(cid:167)(cid:159) = (cid:89)(cid:160)(cid:164)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:120)(cid:121)(cid:167)(cid:159)
=
∠1𝐶 𝑥
=
∠𝐴𝐵𝐶
(cid:89)
3
(cid:229)
𝑥
(cid:230)(cid:159) = =
∠𝐵
(cid:89)
𝐴𝐶 180
=
°−4𝑥
= (cid:89)(cid:123)(cid:124)(cid:167)(cid:55)(cid:72)
2
∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 90°−2𝑥 ∠𝐴𝐵𝐸 90°−∠𝐵𝐴𝐸 2𝑥 ∠𝐷𝐵𝐸 ∠𝐴𝐵𝐷−∠𝐴𝐵𝐸 𝑥
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(cid:61)1(cid:71)(cid:76)(cid:10) =70°(cid:89) =30°(cid:89)
= ∵∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐶 =80°(cid:89)
∴∠𝐵𝐴(cid:92)𝐶(cid:25)(cid:26)1(cid:27)80(cid:23)°−(cid:89)∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐶 180°−70°−30°
∵𝐴𝐷 = 1 = 1 ×80°=40°(cid:89)
2 2
∴∠𝐷𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶
= + =40°+30°=70°(cid:133)
(cid:61)∴2∠(cid:71)𝐴𝐷(cid:55)𝐵(cid:56)(cid:10)∠(cid:207)𝐷𝐴𝐶 =∠𝐶(cid:89)(cid:193) = (cid:89)
= ∠𝐶 𝑥 ∠𝐴=𝐵𝐶 3𝑥 (cid:89)
∴∠𝐵𝐴(cid:92)𝐶(cid:25)(cid:26)1(cid:27)80(cid:23)°−(cid:89)∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐶 180°−4𝑥
∵𝐴𝐷= 1 = (cid:89)
2
∴∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 90°−2𝑥
(cid:254) (cid:89)
∵𝐵𝐸⊥=𝐴9𝐷0°(cid:89)
∴∠𝐴𝐸𝐵= = (cid:89)
∴∠𝐴𝐵𝐸 =90°−∠𝐵𝐴𝐸 2=𝑥 = (cid:89)
∴∠𝐷𝐵𝐸=∠𝐴(cid:72)𝐵𝐷−∠𝐴𝐵𝐸 3𝑥−2𝑥 𝑥
(cid:15)∴(cid:77)∠𝐷(cid:78)𝐵𝐸7-1(cid:19)∠(cid:61)𝐶 24-25(cid:216)(cid:63)(cid:64)(cid:79)·(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:120)·(cid:70)(cid:227)(cid:71)(cid:141)(cid:142)(cid:89)(cid:99) (cid:22)(cid:89) =46°(cid:89) =54°(cid:89) (cid:26)(cid:27)
(cid:178) (cid:155)(cid:108) (cid:89)(cid:108) (cid:92)(cid:59) (cid:79)(cid:98)(cid:108)(cid:89)(cid:165) =40°(cid:89)(cid:38)(cid:55)(cid:10)△𝐴𝐵𝐶 (cid:72)∠𝐵 ∠𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
𝐵𝐶 𝐷 𝐸 𝐴𝐶 ∠𝐴𝐷𝐸 𝐷𝐸∥𝐴𝐵
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:19)(cid:243)(cid:76)(cid:32)
+
A
A
科
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:151)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:100)(cid:25)(cid:109)(cid:120)(cid:119)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:26)(cid:300)(cid:23)(cid:37)全(cid:150)(cid:120)(cid:89)(cid:164)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:100)(cid:25)(cid:109)(cid:120)(cid:119)(cid:167)(cid:159)
★
号
众
公
注
=80°(cid:89)(cid:164)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:120)(cid:121)(cid:167)(cid:159)， 关 = 1 =40°(cid:89)(cid:257)(cid:258)(cid:167)(cid:159) = =40°(cid:89)(cid:123)(cid:124)(cid:167)(cid:55)(cid:72)
资 源 2
辅
教
∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐵𝐴𝐷
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(cid:55)(cid:56)(cid:10) (cid:99) (cid:22)(cid:89) =46°(cid:89) =54°(cid:89)
= ∵ △𝐴𝐵𝐶=80°(cid:72)∠𝐵 ∠𝐶
∴∠𝐵𝐴(cid:26)𝐶(cid:27) 180°(cid:89)−46°−54°
∵𝐴𝐷
=
∠1𝐵𝐴𝐶
=40°(cid:72)
2
∴∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
= =40°(cid:72)
∵∠𝐴𝐷𝐸 (cid:72)∠𝐵𝐴𝐷
∴(cid:15)𝐷(cid:77)𝐸(cid:78)∥𝐴7𝐵-2(cid:19)(cid:61)24-25(cid:216)(cid:63)(cid:64)(cid:79)·(cid:356)(cid:344)(cid:357)(cid:218)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:99) (cid:22)(cid:89) =90°(cid:89) (cid:155) (cid:89) (cid:92) (cid:37)(cid:26)
(cid:27)(cid:23)(cid:89)(cid:178) (cid:155) (cid:89)(cid:178) (cid:155) (cid:89)(cid:38)(cid:55)(cid:10) = △(cid:72)𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐷 𝐶𝐹 ∠𝐴𝐶𝐵
𝐴𝐷 𝐸 𝐴𝐵 𝐹 ∠𝐴𝐸𝐹 ∠𝐴𝐹𝐸
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:19)(cid:55)(cid:56)(cid:243)(cid:76)(cid:32)
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:151)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:89)(cid:358)(cid:25)(cid:153)(cid:154)(cid:89)(cid:112)(cid:25)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:192)(cid:325)(cid:25)(cid:359)(cid:358)(cid:89)(cid:164) =90°(cid:89)
∠𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶(cid:124)(cid:167) + =90°(cid:89) + =90°(cid:89)(cid:269)(cid:258)(cid:164)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:120)(cid:121)(cid:109)(cid:358)(cid:25)(cid:153)(cid:154)(cid:124)(cid:167) = (cid:89)
(cid:160)(cid:143)∠(cid:44)𝐴(cid:111)𝐶𝐹(cid:107)(cid:25)∠(cid:177)𝐴𝐹(cid:50)𝐸(cid:123)(cid:124)(cid:38)(cid:55)(cid:89)∠𝐵(cid:203)𝐶𝐹(cid:204)(cid:149)∠(cid:79)𝐶𝐸(cid:161)𝐷(cid:202)(cid:108)(cid:92)(cid:76)(cid:20)(cid:37)(cid:3)(cid:118)(cid:72) ∠𝐴𝐹𝐸 ∠𝐶𝐸𝐷
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(cid:55)(cid:56)(cid:10) =90°(cid:89)
+ ∵=∠9𝐵0𝐴°𝐶(cid:89)
∴∠𝐴𝐶𝐹 (cid:89)∠𝐴𝐹𝐸
∵𝐴𝐷⊥𝐵=𝐶90°(cid:89)
∴∠𝐴𝐷𝐶+ =90°(cid:89)
∴∠𝐵(cid:92)𝐶𝐹 ∠𝐶(cid:37)𝐸𝐷(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:89)
∵𝐶𝐹 ∠=𝐴𝐶𝐵 (cid:89)
∴∠𝐴𝐶𝐹 =∠𝐵𝐶𝐹(cid:89)
∴∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐶𝐸𝐷(cid:89)
∵∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐶𝐸𝐷(cid:72)
∴(cid:15)∠(cid:77)𝐴𝐸(cid:78)𝐹7-3∠(cid:19)𝐴(cid:61)𝐹𝐸24-25(cid:216)(cid:63)(cid:64)(cid:79)·(cid:270)(cid:271)(cid:246)(cid:273)(cid:274)(cid:360)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:249)(cid:161)(cid:10)(cid:141)(cid:142)(cid:89) (cid:89)(cid:112)(cid:23) (cid:27)(cid:176)(cid:178) (cid:89) (cid:155)(cid:108)G(cid:89)
+
A
H(cid:89)(cid:108)P(cid:220)(cid:112)(cid:23) (cid:79)(cid:37)(cid:108)(cid:89)(cid:104)(cid:105) (cid:89) (cid:72) 𝐴𝐵∥𝐶科𝐷 A 𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐶𝐷
全
★
号
众
𝐸𝐹 𝐴𝑃 𝐶𝑃 公
注
关
，
源
资
辅
教
(1)(cid:141)(cid:142)1(cid:89)(cid:108)P(cid:99)(cid:23)(cid:84) (cid:79)(cid:212)(cid:89)(cid:240)(cid:361)(cid:112)(cid:105)(cid:362)(cid:159) (cid:89) (cid:89) (cid:37)(cid:310)(cid:363)(cid:3)(cid:166)(cid:133)
(2)(cid:141)(cid:142)2(cid:89)(cid:108)P(cid:99) (cid:37)𝐺(cid:352)𝐻(cid:39)(cid:23)(cid:79)(cid:212)(cid:89)(cid:104)(cid:105) (cid:178)∠𝐵(cid:155)𝐴𝑃(cid:108)Q∠(cid:89)𝐷𝐶(cid:104)𝑃(cid:105)∠𝐴(cid:89)𝑃𝐶 (cid:89)(cid:165) + = (cid:89)(cid:38)(cid:55)(cid:10)
(cid:133) 𝐻𝐺 𝐶𝑃 𝐴𝐵 𝐻𝑄 𝐴𝐶 ∠𝐴𝐶𝑃 ∠𝑃𝐻𝑄 ∠𝐶𝑄𝐻
𝐴(3𝐶)(cid:99)∥𝐸(cid:61)𝐹2(cid:71)(cid:37)(cid:95)(cid:169)(cid:65)(cid:89)(cid:141)(cid:142)3(cid:89) (cid:26)(cid:27) (cid:89) (cid:26)(cid:27) (cid:89) (cid:53) (cid:178)(cid:108)K(cid:89)(cid:104)(cid:105) (cid:89)(cid:165)
= + (cid:89) 𝐶𝐾 = ∠𝐴𝐶𝑃(cid:89)𝐺𝐾 +∠𝐴𝐺𝑃 =𝐺𝐾159𝐶°(cid:89)𝐾(cid:38) (cid:37)(cid:332)(cid:184)𝐴𝐾(cid:72)
∠(cid:15)𝑃(cid:73)𝑄𝐻(cid:74)(cid:19)4(1∠)𝑃𝐶𝐾 =2∠𝑃𝐻𝑄+∠𝐶𝐾𝐺 ∠𝐶𝐻𝑄 ∠𝐴𝐾𝐶 ∠𝐾𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶
(2)(cid:243)(cid:76)(cid:32) ∠𝐴𝑃𝐶 ∠𝐵𝐴𝑃 ∠𝐷𝐶𝑃
(3)78°
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:61)1(cid:71)(cid:141)(cid:142)1(cid:89)(cid:265)P(cid:114) (cid:89)(cid:143)(cid:44)(cid:26)(cid:300)(cid:23)(cid:37)(cid:364)(cid:365)(cid:153)(cid:167)(cid:159) (cid:89)(cid:160)(cid:143)(cid:44)(cid:192)(cid:112)(cid:23)(cid:26)(cid:300)(cid:89)(cid:100)(cid:185)(cid:25)(cid:177)
𝑃𝑁∥𝐴𝐵 𝑃𝑁∥𝐶𝐷(cid:50)(cid:123)(cid:124)(cid:76)(cid:73)(cid:133)
(cid:61)2(cid:71)(cid:141)(cid:142)2(cid:89)(cid:265)(cid:108)Q(cid:114) (cid:89)(cid:55)(cid:159) = (cid:89)(cid:143)(cid:44)(cid:26)(cid:300)(cid:23)(cid:37)(cid:364)(cid:365)(cid:153)(cid:123)(cid:124)(cid:55)(cid:56)(cid:133)
(cid:61)3(cid:71)(cid:141)(cid:142)3(cid:89)(cid:143)(cid:44)(cid:35)(cid:25)(cid:36)𝑄𝑁(cid:100)∥(cid:25)𝐴(cid:109)𝐶(cid:123)(cid:124)(cid:167)∠𝑃𝐻=𝑄21°∠(cid:89)2(cid:160)(cid:143)(cid:44)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:120)(cid:121)(cid:149)(cid:313)(cid:249)(cid:161)(cid:95)(cid:169)(cid:123)(cid:124)(cid:167)(cid:159)
= + =84°+ (cid:89)(cid:179)(cid:131)∠(cid:61)12(cid:71)(cid:123)(cid:124)(cid:76)(cid:159) =18°(cid:89)(cid:265)K(cid:114) (cid:89)(cid:55)(cid:159)
∠𝑃𝑄𝐻= 4∠2+ 2∠=521°+ 2(cid:89)∠(cid:143)5(cid:44)(cid:26)(cid:300)(cid:23)(cid:153)(cid:154)(cid:167)(cid:159) ∠5= (cid:89)(cid:123)(cid:124)(cid:167)𝐾𝑀∥=𝐴𝐶 +21°=39°(cid:89)(cid:269)(cid:258)(cid:124)
(cid:38)∠𝐶𝐾𝐺 (cid:37)∠(cid:332)1 (cid:184)∠(cid:72)3 ∠3 ∠𝐸𝐺𝐴 ∠𝐸𝐻𝐶 ∠3 ∠5°
(cid:15)∠(cid:75)𝐵(cid:76)𝐴𝐶(cid:19)(cid:61)1(cid:71)(cid:76)(cid:10)(cid:141)(cid:142)1(cid:89)(cid:265)P(cid:114) (cid:89)
𝑃𝑁∥𝐴𝐵
(cid:89) = (cid:89)
+
A
A
科
∴𝑃𝑁∥𝐶=𝐷 ∠(cid:89)𝐵𝐴𝑃 ∠1 ★ 全
号
众
公
注
∴∠𝐷𝐶𝑃= ∠2+ = + (cid:89) 关
，
源
资
辅
∴∠𝐴𝑃𝐶=∠1 ∠+2 教∠𝐵𝐴(cid:133)𝑃 ∠𝐷𝐶𝑃
∴(cid:61)∠2𝐴(cid:71)𝑃𝐶(cid:55)(cid:56)∠(cid:10)𝐵(cid:141)𝐴𝑃(cid:142)2∠(cid:89)𝐷(cid:265)𝐶𝑃(cid:108)Q(cid:114) (cid:89)
𝑄𝑁∥𝐴𝐶
= (cid:89)
∴∠𝐴𝐶𝑃+ ∠1 = (cid:89) + = (cid:89)
∵∠𝐴𝐶𝑃 =∠𝑃𝐻(cid:89)𝑄 ∠𝐶𝑄𝐻 ∠1 ∠2 ∠𝐶𝑄𝐻
∴∠𝑃𝐻𝑄 (cid:89)∠2
∴𝑄𝑁∥𝐸𝐹(cid:133)
∴(cid:61)𝐴3𝐶(cid:71)∥(cid:76)𝐸𝐹(cid:10)(cid:141)(cid:142)3(cid:89)(cid:26)(cid:27) (cid:89) (cid:26)(cid:27) (cid:89)
∵𝐶𝐾= ∠(cid:89)𝐴𝐶𝑃 =𝐺𝐾 (cid:89) ∠𝐴𝐺𝑃
∴∠1 ∠+2 ∠3 =∠1459°(cid:89)
∵∠𝐴𝐾=𝐶 ∠𝐾𝐴𝐶 =21°(cid:89)
∵∠1 1=80°−159°+ = + =84°+ (cid:89)
∴(cid:164)∠(cid:61)𝑃𝑄2(cid:71)𝐻(cid:161)4∠𝑃𝐶𝐾+ 2∠𝑃𝐻=𝑄 4∠2(cid:89)(cid:123)24∠25°+ = 2∠5 (cid:89)
84°+ ∠𝐴=𝐶𝑃 ∠𝑃𝐻𝑄 ∠(cid:89)𝐶𝑄𝐻 ∠5 180°−∠𝑃𝑄𝐻
+
A
∴(cid:76)(cid:167) 2=∠518°(cid:89)180°−42°−∠5 科 A
全
★
号
众
(cid:141)(cid:142)∠35(cid:89)(cid:265)K(cid:114) (cid:89) 公
注
关
，
源
(cid:89) 𝐾𝑀∥𝐴𝐶 辅 资
教
∵𝐴𝐶∥𝐸𝐹 (cid:89)
∴𝐾𝑀∥𝐴=𝐶∥𝐸𝐹(cid:89) = (cid:89)
∴∠𝐶𝐾𝑀= ∠1+∠𝐺𝐾=𝑀21°∠+3 (cid:72)
∴∠𝐶𝐾𝐺 (cid:89)∠1 ∠3= (cid:89)∠3
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷= ∠𝐶𝐾𝐺(cid:89)(cid:123)∠𝐶𝐻𝑄= + = + = + +21°(cid:89)
∴∠𝐸𝐺=𝐴 ∠+𝐸𝐻21𝐶°=128∠°3+21∠°5=3∠9𝐶°(cid:89)𝐻𝑄 ∠5 ∠𝐶𝐾𝐺 ∠5 ∠3
∴∠3 ∠5(cid:89)°
∵𝐴𝐶∥𝐸𝐹= = =78°(cid:72)
∴∠𝐵𝐴𝐶(cid:37)(cid:332)∠𝐸(cid:184)𝐺(cid:220)𝐴78°2(cid:72)∠3
∴(cid:15)∠(cid:108)𝐵𝐴(cid:221)𝐶(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:151)(cid:26)(cid:300)(cid:23)(cid:37)(cid:150)(cid:120)(cid:53)(cid:153)(cid:154)(cid:89)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:100)(cid:25)(cid:109)(cid:120)(cid:119)(cid:89)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:50)(cid:161)(cid:202)(cid:72)(cid:222)(cid:85)(cid:203)(cid:204)(cid:26)(cid:300)(cid:23)(cid:37)(cid:150)(cid:120)
(cid:53)(cid:153)(cid:154)(cid:89)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:100)(cid:25)(cid:109)(cid:120)(cid:119)(cid:89)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:92)(cid:76)(cid:20)(cid:37)(cid:3)(cid:118)(cid:72)
【题型8 探究三角形的边、角、线】
(cid:15)(cid:60)8(cid:19)(cid:61)24-25(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)·(cid:245)(cid:246)(cid:366)(cid:344)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:141)(cid:142)1(cid:89) (cid:89) (cid:26)(cid:27) (cid:178) (cid:155)(cid:108) (cid:89)(cid:175)
𝐴𝐶∥𝐵𝐷 𝐴𝐻 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐻=
∠𝐴𝐵𝐷 𝑚∠𝐴𝐸𝐵
(1)(cid:165) =20°(cid:89)(cid:175) =3(cid:89)(cid:38) (cid:37)(cid:40)(cid:310)(cid:72)
(2)(cid:265)∠(cid:108)𝐴𝐸(cid:114)𝐵 (cid:37)(cid:25)(cid:26)𝑚(cid:27)(cid:23)(cid:89)(cid:25)∠(cid:26)𝐴(cid:27)𝑂𝐵(cid:23)(cid:228)(cid:99)(cid:37)(cid:112)(cid:23)(cid:53) (cid:228)(cid:99)(cid:112)(cid:23)(cid:178)(cid:155)(cid:108) (cid:72)
(cid:141)(cid:142)𝐵2(cid:89)∠(cid:165)𝐸𝐵𝐹=2(cid:89)(cid:57)(cid:58) (cid:53) (cid:37)(cid:310)(cid:363)(cid:3)(cid:166)(cid:209)𝐴(cid:88)𝐻(cid:56)(cid:119)(cid:164)(cid:72) 𝐺
①(cid:165) (cid:220)(cid:112)(cid:23)𝑚(cid:79)(cid:37)(cid:98)(cid:106)(cid:328)∠(cid:108)𝐵𝐺(cid:61)𝐻 (cid:129)∠(cid:53)𝐴𝐸𝐵(cid:187)(cid:131)(cid:71)(cid:89)(cid:57)(cid:58) (cid:53) (cid:37)(cid:310)(cid:363)(cid:3)(cid:166)(cid:61)(cid:240)(cid:112)(cid:105)(cid:362)(cid:159)(cid:73)(cid:74)(cid:71)
(cid:15)②(cid:73)(cid:74)𝐸(cid:19)(1) 𝐴𝐶 =80°(cid:133) 𝐸 𝐴 ∠𝐵𝐺𝐻 ∠𝐴𝐸𝐵
(2) ∠ = 𝐴1𝑂𝐵 (cid:89)(cid:119)(cid:164)(cid:243)(cid:76)(cid:32)(cid:133) = 1 (cid:194) = (cid:72)
2 2 2
𝑚+ 𝑚−1
①∠𝐵𝐺𝐻 ∠𝐴𝐸𝐵 ②∠𝐵𝐺𝐻 90°− ∠𝐴𝐸𝐵 ∠𝐵𝐺𝐻 ∠𝐴𝐸𝐵
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:151)(cid:26)(cid:300)(cid:23)(cid:37)(cid:153)(cid:154)(cid:89)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:153)(cid:154)(cid:89)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:100)(cid:25)(cid:109)(cid:120)(cid:119)(cid:50)(cid:161)(cid:202)(cid:89)(cid:203)(cid:204)(cid:177)(cid:3)(cid:161)(cid:202)(cid:92)(cid:76)(cid:20)(cid:37)
+
A
(cid:3)(cid:118)(cid:72) 科 A
全
★
号
众
(cid:61)1(cid:71)(cid:164)(cid:20)(cid:132)(cid:167) = =60°(cid:89)(cid:143)(cid:44)(cid:26)(cid:300)(cid:23)公(cid:37)(cid:153)(cid:154)(cid:167) = =20°(cid:89)
注
关
，
源
+
∠
=
𝐴
1
𝐵
8
𝐷
0教°(cid:89)
3 (cid:160)辅∠𝐴
(cid:143)
𝐸
(cid:44)
资𝐵
(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:153)(cid:154)(cid:167) =
1∠𝐴𝐸𝐵
=6
∠
0
𝐸
°(cid:89)
𝐵𝐻
(cid:123)(cid:124)(cid:38)(cid:76)(cid:133)
2
∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐴𝐵𝐻 ∠𝐵𝐴𝐻 ∠𝐵𝐴𝐶
(cid:61)2(cid:71) (cid:207) = (cid:89)(cid:193) = (cid:89)(cid:143)(cid:44)(cid:26)(cid:300)(cid:23)(cid:37)(cid:153)(cid:154)(cid:167) = = (cid:89) + =180°(cid:89)
(cid:143)(cid:44)(cid:25) ① (cid:26)(cid:27) ∠ (cid:23) 𝐴𝐸 (cid:37) 𝐵 (cid:153)(cid:154) 𝛼 (cid:167) ∠𝐴𝐵 = 𝐷 2𝛼 (cid:89) = 1 (cid:89)(cid:265) ∠ (cid:108) 𝐴𝐸𝐵 (cid:114)(cid:112) ∠ (cid:23) 𝐸𝐵𝐷 𝛼 (cid:89) ∠ (cid:167) 𝐵𝐴 (cid:219) 𝐶 ∠𝐴𝐵 = 𝐷1 (cid:89)(cid:123)(cid:124)
2 2
∠𝐶𝐴𝐻 90°−𝛼 ∠𝐺𝐵𝐹 90°− 𝛼 𝐺 𝑀𝑁∥𝐵𝐷 ∠𝐵𝐺𝐻 𝛼
(cid:167)(cid:159)(cid:179)(cid:49)(cid:133)
(cid:27)(cid:192)(cid:208)(cid:147)(cid:148)(cid:10)(cid:211)(cid:108) (cid:99)(cid:108) (cid:367)(cid:368)(cid:212)(cid:89) (cid:211)(cid:108) (cid:99)(cid:108) (cid:369)(cid:368)(cid:212)(cid:89)(cid:27)(cid:176)(cid:38)(cid:76)(cid:123)(cid:124)(cid:72)
(cid:15)②(cid:75)(cid:76)(cid:19)(cid:61)1(cid:71)(cid:76)(cid:10) 𝐸 𝐴=20°(cid:89) =3(cid:89)𝐸 𝐴
= =∵∠6𝐴0𝐸°(cid:89)𝐵 𝑚
∴∠𝐴𝐵𝐷 (cid:89)3∠𝐴𝐸𝐵
∵𝐴𝐶∥𝐵𝐷= =20°(cid:89) + =180°(cid:89)
∴∠𝐴𝐸𝐵=1∠2𝐸0𝐵°𝐻(cid:89) =∠4𝐵0𝐴°(cid:89)𝐶 ∠𝐴𝐵𝐻
∴∠𝐵(cid:26)𝐴(cid:27)𝐶 (cid:89) ∠𝐴𝐵𝐸
∵𝐴𝐻 ∠
=
𝐵1𝐴𝐶
=60°(cid:89)
2
∴∠𝐵𝐴𝐻 ∠𝐵𝐴𝐶
= = =80°(cid:133)
∴∠𝐴𝑂𝐵 180°−∠𝐵𝐴𝐻−∠𝐴𝐵𝐸 180°−60°−40°(cid:61)2(cid:71)(cid:76)(cid:10) = 1 (cid:89)(cid:119)(cid:164)(cid:141)(cid:65)(cid:10)
2
①∠𝐵𝐺𝐻 ∠𝐴𝐸𝐵
=2(cid:89)
∵𝑚 = (cid:89)
(cid:207)∴∠𝐴𝐵𝐷 =2∠(cid:89)𝐴𝐸(cid:193)𝐵 = (cid:89)
∠𝐴𝐸𝐵(cid:89)𝛼 ∠𝐴𝐵𝐷 2𝛼
∵𝐴𝐶∥𝐵𝐷= = (cid:89) + =180°(cid:89)
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐸𝐵𝐷 (cid:89)𝛼 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐴𝐵𝐷
∴(cid:254)∠𝐵𝐴𝐶(cid:26)(cid:27)180°−2(cid:89)𝛼
∵𝐴𝐻 = ∠𝐵𝐴𝐶(cid:89)
∴∠𝐶𝐴𝐻 (cid:89)90°−𝛼
∵𝐴𝐶∥𝐵𝐷= = (cid:89)
∴∠𝐴(cid:26)𝐻𝐵(cid:27) ∠𝐶𝐴(cid:89)𝐻 90°−𝛼
∵𝐵𝐺 = ∠𝐸1𝐵𝐹 = 1 ( )= 1 (cid:89)
+
2 2 2 A A
科
全
(cid:265) ∴ (cid:108) ∠𝐺𝐵 (cid:114) 𝐹 (cid:112)(cid:23) ∠𝐸𝐵𝐹 (cid:89) 1 (cid:141) 80 (cid:142) °− (cid:10) 𝛼 90°− 𝛼 号 ★
众
公
注
关
，
𝐺 𝑀𝑁∥𝐵𝐷 源
资
辅
教
= = 1 (cid:89) = = (cid:89)
2
∴∠𝐵𝐺𝑁 ∠𝐺𝐵𝐹 90°− 𝛼 ∠𝐴𝐺𝑁 ∠𝐴𝐻𝐵 90°−𝛼
= = 1 ( )= 1 (cid:89)
2 2
∴∠𝐵𝐺𝐻 ∠𝐵𝐺𝑁−∠𝐴𝐺𝑁 90°− 𝛼− 90°−𝛼 𝛼
= (cid:89)
∵∠𝐴𝐸𝐵
=
𝛼1
(cid:133)
2
∴∠𝐵𝐺𝐻 ∠𝐴𝐸𝐵
(cid:211)(cid:108) (cid:99)(cid:108) (cid:367)(cid:368)(cid:212)(cid:89)(cid:265)(cid:108) (cid:114) (cid:89)(cid:141)(cid:142)(cid:10)
② 𝐸 𝐴 𝐺 𝑀𝑁∥𝐵𝐷(cid:207) = (cid:89)(cid:193) = (cid:89)
∠𝐴𝐸𝐵 (cid:89)𝛼 ∠𝐴𝐵𝐷 𝑚𝛼
∵𝐴𝐶∥𝐵𝐷= = (cid:89) + =180°(cid:89)
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐸𝐵𝐷 𝛼(cid:89) ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐴𝐵𝐷
∴(cid:254)∠𝐵𝐴𝐶(cid:26)(cid:27)180°−𝑚(cid:89)𝛼
∵𝐴𝐻 = ∠𝐵𝐴𝐶 (cid:89)
2
𝑚
∴∠𝐶𝐴𝐻 90°− 𝛼
(cid:89)
∵𝐴𝐶∥𝐵𝐷 = = (cid:89)
2
𝑚
∴∠𝐴𝐻𝐵 ∠𝐶𝐴𝐻 90°− 𝛼
(cid:26)(cid:27) (cid:89)
∵𝐵𝐺 = ∠𝐸1𝐵𝐹 = 1 ( )= 1 (cid:89)
2 2 2
∴∠𝐺𝐵𝐹 ∠𝐸𝐵𝐹 180°−𝛼 90°− 𝛼
= = 1 (cid:89) = = (cid:89)
2 2
𝑚
∴∠𝐵𝐺𝑁 ∠𝐺𝐵𝐹 90°− 𝛼 ∠𝐴𝐺𝑁 ∠𝐴𝐻𝐵 90°− 𝛼
= = 1 = (cid:89) +
2 2 2 A A
𝑚 𝑚−1 科
全
∴∠𝐵𝐺𝐻 = ∠(cid:89)𝐵𝐺𝑁−∠𝐴𝐺𝑁 90°− 𝛼− 90°− 𝛼 众 𝛼 号 ★
公
注
关
，
∵∠𝐴𝐸𝐵 = 𝛼 (cid:133) 资 源
2 辅
𝑚−1 教
∴∠𝐵𝐺𝐻 ∠𝐴𝐸𝐵
(cid:211)(cid:108) (cid:99)(cid:108) (cid:369)(cid:368)(cid:212)(cid:89)(cid:141)(cid:142)(cid:10)
𝐸 𝐴
(cid:207) = (cid:89)(cid:193) = (cid:89)
∠𝐴𝐸𝐵 (cid:89)𝛼 ∠𝐴𝐵𝐷 𝑚𝛼
∵𝐴𝐶∥𝐵𝐷= = (cid:89) + =180°(cid:89)
∴∠𝐸𝐵𝐹=∠𝐴𝐸𝐵 𝛼(cid:89)∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐴𝐵𝐷
∴(cid:254)∠𝐵𝐴𝐶(cid:26)(cid:27)180°−𝑚(cid:89)𝛼
∵𝐴𝐻 = ∠𝐵𝐴𝐶 (cid:89)
2
𝑚
∴∠𝐶𝐴𝐻 90°− 𝛼
(cid:89)
∵𝐴𝐶∥𝐵𝐷= = (cid:89)
2
𝑚
∴∠𝐴𝐻𝐵 ∠𝐶𝐴𝐻 90°− 𝛼
(cid:26)(cid:27) (cid:89)
∵𝐵𝐾 = ∠𝐸1𝐵𝐹 = 1 (cid:89)
2 2
∴∠𝐹𝐵𝐾 ∠𝐸𝐵𝐹 𝛼
= = 1 (cid:89)
2
∴∠𝐺𝐵𝐻 ∠𝐹𝐵𝐾 𝛼
= = 1 = 1 (cid:89)
2 2 2
𝑚 𝑚+
∴∠𝐵𝐺𝐻 ∠𝐴𝐻𝐵−∠𝐺𝐵𝐻 90°− 𝛼− 𝛼 90°− 𝛼
= (cid:89)
∵∠𝐴𝐸𝐵 = 𝛼 1 (cid:89)
2
𝑚+
∠𝐵𝐺𝐻 90°− ∠𝐴𝐸𝐵
(cid:215)(cid:79)(cid:89) = 1 (cid:194) = (cid:72)
2 2
𝑚+ 𝑚−1
∠𝐵𝐺𝐻 90°− ∠𝐴𝐸𝐵 ∠𝐵𝐺𝐻 ∠𝐴𝐸𝐵
(cid:15)(cid:77)(cid:78)8-1(cid:19)(cid:61)24-25(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)·(cid:370)(cid:371)(cid:372)(cid:281)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:141)(cid:142)(cid:89)(cid:99) (cid:22)(cid:89)AE(cid:92) (cid:37)(cid:28)(cid:89) =38°(cid:89) =62°(cid:89)
△𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵 ∠𝐴𝐶𝐵
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:57)(cid:58)(cid:373)(cid:287)(cid:19)
(cid:61)1(cid:71)(cid:141)(cid:142)1(cid:89)(cid:165)AD(cid:92) (cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:89)(cid:38) (cid:37)(cid:40)(cid:310)(cid:133)
(cid:15)(cid:374)(cid:375)(cid:288)(cid:289)(cid:19) ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐸
(cid:61)2(cid:71)(cid:141)(cid:142)2(cid:89)(cid:352)(cid:39)AC(cid:219)(cid:108)F(cid:89) (cid:109) (cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:178)(cid:155)(cid:108)G(cid:89)(cid:38) (cid:37)(cid:40)(cid:310)(cid:72)
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:19)(cid:61)1(cid:71)12°(cid:133)(cid:61)2(cid:71)45° ∠𝐶𝐴𝐸 ∠𝐵𝐶𝐹 ∠𝐺
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:61)1(cid:71)(cid:143)(cid:44)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:100)(cid:25)(cid:109)(cid:120)(cid:119)(cid:124)(cid:38)(cid:167) =80°(cid:89)(cid:164)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:120)(cid:121)(cid:124)(cid:167) (cid:37)(cid:40)(cid:310)(cid:89)(cid:33)(cid:34)(cid:35)
(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:23)(cid:124)(cid:38) (cid:167)(cid:40)(cid:310)(cid:89)(cid:269)(cid:258)(cid:38)(cid:76)(cid:123)(cid:124)(cid:167)∠(cid:159)𝐵(cid:179)𝐴𝐶(cid:49)(cid:133) ∠𝐶𝐴𝐷
(cid:61)2(cid:71)(cid:164)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:103)∠(cid:25)𝐶𝐴(cid:37)𝐸(cid:153)(cid:154)(cid:179)(cid:131)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:37)(cid:120)(cid:121)(cid:124)(cid:38)(cid:76) = (cid:89)(cid:143)(cid:44)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:23)(cid:124)(cid:38)(cid:76) (cid:37)(cid:40)(cid:310)(cid:72)
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(cid:76)(cid:10)(cid:61)1(cid:71) =38°(cid:89) =62°(cid:89) + ∠𝐴𝐸+𝐶 2=∠1𝐺80°(cid:89) ∠𝐺
=80°(cid:89) ∵∠𝐵 ∠𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐵 ∠𝐶
∴∠𝐵𝐴(cid:92)𝐶 (cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:89)
∵𝐴𝐷 ∠ = 𝐵𝐴𝐶 = 1 =40°(cid:89)
2
∴∠𝐶𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶(cid:92) (cid:37)(cid:28)(cid:89)
∵𝐴𝐸 △=𝐴9𝐵0𝐶°(cid:89)
∴∠𝐴𝐸=𝐶62°(cid:89)
∵∠𝐶 = =28°(cid:89)
∴∠𝐶𝐴𝐸 =90°−62° =12°(cid:133)
(cid:61)∴2∠(cid:71)𝐷𝐴𝐸 ∠𝐶(cid:109)𝐴𝐷−∠𝐶𝐴(cid:37)𝐸(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:178)(cid:155)(cid:108)G(cid:89)
∵∠=𝐶𝐴𝐸 ∠𝐵(cid:89)𝐶𝐹 = (cid:89)
∴∠𝐶𝐴𝐸=2∠𝐶𝐴𝐺 ∠𝐹𝐶(cid:89)𝐵 2∠𝐹=𝐶𝐺 (cid:89)
∵∠𝐶𝐴𝐸 ∠𝐹𝐶𝐵−=∠𝐴𝐸𝐶 ∠𝐶𝐴𝐺 =∠𝐹𝐶𝐺−∠𝐺 (cid:89)
(cid:123)∴2∠𝐹𝐶𝐺=−∠𝐴𝐸(cid:89)𝐶 2(∠𝐹𝐶𝐺−∠𝐺) 2∠𝐹𝐶𝐺−2∠𝐺
∠𝐴(cid:92)𝐸𝐶 2∠𝐺(cid:37)(cid:28)(cid:89)
∵𝐴𝐸 △=𝐴9𝐵0𝐶°(cid:89)
∴∠𝐴𝐸=𝐶45°(cid:72)
+
A
(cid:15)∴(cid:108)∠𝐺(cid:221)(cid:19)(cid:72)(cid:73)(cid:113)(cid:114)(cid:74)(cid:75)(cid:8)(cid:33)(cid:34)(cid:23)(cid:22)(cid:3)(cid:4)(cid:11)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:112)(cid:8)(cid:22)(cid:52)(cid:115)(cid:11)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:22)科(cid:31)(cid:8)A(cid:18)(cid:3)(cid:116)(cid:11)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:22)(cid:50)(cid:23)(cid:11)(cid:8)(cid:33)
全
★
号
众
(cid:34)(cid:23)(cid:11)(cid:117)(cid:118)(cid:28)(cid:62)(cid:52)(cid:115)(cid:119)(cid:120)(cid:3)(cid:4)(cid:67)(cid:86)(cid:73)(cid:22)(cid:62)(cid:87)(cid:88) 公
注
关
，
源
(cid:15)(cid:77)(cid:78)8-2(cid:19)(cid:61)24-25(cid:216)(cid:63)辅(cid:64)(cid:79)资·(cid:246)(cid:16)(cid:16)(cid:344)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:141)(cid:142) (cid:89)(cid:376)(cid:66)(cid:59)(cid:36) (cid:36)(cid:377)(cid:378)(cid:349)(cid:89)(cid:168)(cid:278)(cid:37)(cid:66)(cid:59)(cid:36)(cid:163)(cid:220)“(cid:349)
教
(cid:36)”(cid:72) ① 𝐴𝐵𝐷𝐶
(1)(cid:141)(cid:142) (cid:89)(cid:99)(cid:349)(cid:36) (cid:22)(cid:89)(cid:165) =80°(cid:89) =130°(cid:89) =30°(cid:89)(cid:38) (cid:37)(cid:40)(cid:310)(cid:133)
(2)(cid:141)(cid:142)①(cid:89)(cid:99)(cid:349)(cid:36)𝐴𝐵𝐷𝐶(cid:22)(cid:89) ∠𝐴(cid:109) (cid:37)∠(cid:25)𝐵𝐷(cid:26)𝐶(cid:27)(cid:23) (cid:89)∠𝐶(cid:178)(cid:155)(cid:108)E(cid:89)(cid:175)∠𝐵 > (cid:89)(cid:379)(cid:57)(cid:58) (cid:89) (cid:89)
(cid:380)(cid:381)(cid:37)(cid:310)②(cid:363)(cid:3)(cid:166)(cid:89)(cid:209)𝐴𝐵(cid:88)𝐷(cid:56)𝐶(cid:119)(cid:164)∠(cid:72)𝐵𝐴𝐶 ∠𝐵𝐷𝐶 𝐴𝐸 𝐷𝐸 ∠𝐵 ∠𝐶 ∠𝐵 ∠𝐶 ∠𝐸
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:19)(1)20°
(2) = 1 1 (cid:89)(cid:119)(cid:164)(cid:243)(cid:76)(cid:32)
2 2
∠𝐸 ∠𝐵− ∠𝐶
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:151)(cid:103)(cid:25)(cid:37)(cid:153)(cid:154)(cid:89)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:72)(cid:56)(cid:91)(cid:25)(cid:40)(cid:380)(cid:381)(cid:37)(cid:310)(cid:363)(cid:3)(cid:166)(cid:92)(cid:76)(cid:20)(cid:37)(cid:3)(cid:118)(cid:72)(cid:61)1(cid:71)(cid:141)(cid:142)1(cid:89)(cid:352)(cid:39) (cid:178) (cid:155) (cid:89)(cid:193) = + =110°(cid:89)(cid:143)(cid:44) = (cid:89)(cid:229)(cid:230)(cid:38)(cid:76)(cid:123)(cid:124)(cid:133)
(cid:61)2(cid:71)(cid:141)(cid:142)2(cid:89)(cid:352)(cid:39)𝐶𝐷(cid:178)𝐴𝐵(cid:155)𝐺(cid:89)(cid:239)∠𝐵𝐺(cid:24)𝐶 (cid:37)∠𝐴(cid:382)(cid:25)∠(cid:220)𝐶 (cid:89)(cid:164) (cid:89) ∠(cid:27)𝐵 (cid:176)∠(cid:92)𝐵𝐷𝐶−∠(cid:109)𝐵𝐺𝐶 (cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:89)(cid:124)
(cid:167) = (cid:89)𝐸𝐷 𝐴𝐶= 𝑀 (cid:89)𝐵(cid:123)𝐷 𝐴=𝐸 (cid:89) =∠5 (cid:89)(cid:164)𝐴𝐸(cid:20)(cid:132)𝐷(cid:161)𝐸 (cid:89) =∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵=𝐷𝐶 + (cid:89)
∠
=
𝐵𝐴𝐸
+
∠𝐶𝐴𝐸
=
∠𝐵𝐷𝐸
+
∠
+
𝐶𝐷𝐸
(cid:89)(cid:193)
∠ 1
+
∠2
=
∠3
(
∠
+
4
+ )+
∠
(cid:89)
5
(cid:269)(cid:258)
∠1
(cid:124)(cid:167)
∠𝐵
=
∠13 ∠1𝐸
(cid:72)
2 2
∠4 ∠𝐶 ∠𝐶𝑀𝐸 ∠𝐶 ∠1 ∠𝐸 ∠1 ∠𝐵 ∠𝐶 ∠1 ∠𝐸 ∠𝐸 ∠𝐸 ∠𝐵− ∠𝐶
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(cid:61)1(cid:71)(cid:76)(cid:10)(cid:141)(cid:142)1(cid:89)(cid:352)(cid:39) (cid:178) (cid:155) (cid:89)
𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐺
= + =110°(cid:89)
∴∠𝐵𝐺=𝐶 ∠𝐴 ∠𝐶 =20°(cid:89)
∴∠𝐵(cid:37)(cid:40)∠𝐵(cid:310)𝐷(cid:220)𝐶−20∠°𝐵(cid:133)𝐺𝐶
+
A
(cid:61) ∴∠ 2 𝐵 (cid:71)(cid:76)(cid:10) = 1 1 (cid:89)(cid:119)(cid:164)(cid:141)(cid:65)(cid:133) 全 科 A
2 2 号 ★
众
公
∠𝐸 ∠𝐵− ∠𝐶 注
(cid:141)(cid:142)2(cid:89)(cid:352)(cid:39) (cid:178) (cid:155) (cid:89)(cid:239) (cid:24) (cid:37)(cid:382)关(cid:25)(cid:220) (cid:89)
，
源
资
辅
𝐸𝐷 𝐴𝐶教𝑀 𝐵𝐷 𝐴𝐸 ∠5
(cid:89) (cid:27)(cid:176)(cid:92) (cid:109) (cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:89)
∵𝐴𝐸 𝐷=𝐸 (cid:89)∠𝐵𝐴𝐶 ∠=𝐵𝐷𝐶 (cid:89)(cid:123) = (cid:89) = (cid:89)
(cid:164)∴∠(cid:20)𝐵𝐴(cid:132)𝐸(cid:161)(cid:89)∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵+𝐷𝐸 =∠𝐶𝐷𝐸+ (cid:89)∠1 =∠2 ∠+3 ∠4= + + = + + (cid:89)
+ =
∠
(
5
+
∠1
+
∠𝐵
)
∠
+
3
(cid:89)
∠𝐸
(cid:123)
∠4
=
1∠𝐶 1∠𝐶𝑀
(cid:72)
𝐸 ∠𝐶 ∠2 ∠𝐸 ∠𝐶 ∠1 ∠𝐸
2 2
∴∠1 ∠𝐵 ∠𝐶 ∠1 ∠𝐸 ∠𝐸 ∠𝐸 ∠𝐵− ∠𝐶
(cid:15)(cid:77)(cid:78)8-3(cid:19)(cid:61)24-25(cid:216)(cid:63)(cid:64)(cid:79)·(cid:231)(cid:371)(cid:383)(cid:384)·(cid:70)(cid:22)(cid:71)(cid:310)(cid:11)(cid:385)(cid:17)(cid:386)(cid:22)(cid:57)(cid:58)(cid:151)“(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:22)(cid:59)(cid:53)(cid:25)(cid:380)(cid:381)(cid:37)(cid:129)(cid:50)(cid:3)(cid:166)”.(cid:141)(cid:142)1(cid:89)(cid:99) (cid:22)(cid:89)(cid:141)(cid:304) > (cid:89)(cid:387)(cid:388)(cid:389)(cid:390)(cid:124)(cid:149)(cid:235) (cid:144)(cid:145)(cid:89)(cid:236)(cid:59) (cid:391)(cid:99) (cid:79)(cid:89)(cid:108)C(cid:391)(cid:99) (cid:79)(cid:37)D
(cid:108)(cid:89)(cid:144)(cid:23)(cid:178)△𝐴(cid:155)𝐵𝐶(cid:108)E(cid:89)(cid:193) 𝐴𝐵= 𝐴𝐶 (cid:72) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐵
> 𝐵𝐶(cid:61)(cid:206)(cid:98)(cid:206)(cid:220)(cid:392)∠𝐶(cid:388)(cid:362)∠(cid:159)𝐴(cid:119)𝐷𝐸(cid:164)(cid:71)(cid:89)
∵∠𝐴𝐷>𝐸 (cid:72)∠𝐵
∴(cid:61)∠1𝐶(cid:71)(cid:141)∠(cid:142)𝐵 2(cid:89)(cid:99) (cid:22)(cid:89)(cid:141)(cid:304) > (cid:89)(cid:213)(cid:393)(cid:55)(cid:56) > ?
(cid:280)(cid:11)(cid:184)(cid:394)(cid:324)(cid:395)(cid:151)(cid:98)△(cid:208)𝐴(cid:199)𝐵𝐶(cid:51)(cid:10)(cid:235) ∠𝐴𝐶(cid:144)𝐵(cid:145)(cid:89)∠𝐵(cid:236)(cid:108)B(cid:391)(cid:99)(cid:108)𝐴𝐵C(cid:79)𝐴(cid:89)𝐶(cid:144)(cid:23)(cid:178) (cid:155)(cid:108)F(cid:89)(cid:178) (cid:155)(cid:108)G(cid:89)(cid:160)(cid:210)(cid:34)(cid:35)
(cid:25)(cid:36)(cid:35)(cid:59)(cid:3)(cid:166)(cid:123)(cid:124)(cid:55)(cid:56)(cid:89)(cid:240)(cid:361)(cid:396)△(cid:397)𝐴𝐵(cid:184)𝐶(cid:394)(cid:37)(cid:199)(cid:51)(cid:398)(cid:191)(cid:55)(cid:56)(cid:133) 𝐴𝐵 𝐵𝐶
(cid:61)2(cid:71)(cid:141)(cid:142)3(cid:89)(cid:99) (cid:22)(cid:89) = (cid:89)(cid:396)(cid:397)(cid:142)1(cid:37)(cid:199)(cid:78)(cid:269)(cid:300)(cid:144)(cid:145)(cid:89)(cid:167)(cid:219)(cid:144)(cid:238) (cid:89)(cid:265)(cid:108)E(cid:114) (cid:37)(cid:26)(cid:300)(cid:23)(cid:178)
(cid:155)(cid:108)M(cid:89)(cid:165) △=𝐴𝐵11𝐶0°(cid:89)𝐷(cid:38)𝐸 𝐷𝐵(cid:37)(cid:40)(cid:310)(cid:72) 𝐴𝐸A + 𝐴𝐶 𝐴𝐵
A
科
全
★
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:19)(cid:243)(cid:76)∠𝐵(cid:32)𝐸(cid:133)𝐴 (cid:61)1(cid:71)(cid:243)(cid:76)(cid:32)∠(cid:133)𝐷𝐸(cid:61)𝑀2(cid:71)40°
众
号
公
注
关
(cid:15)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:122)(cid:20)(cid:92)(cid:399)(cid:400)(cid:77)(cid:401)(cid:215)(cid:131)(cid:20)(cid:89)源(cid:195)(cid:196)，(cid:116)(cid:117)(cid:151)(cid:144)(cid:145)(cid:37)(cid:153)(cid:154)(cid:89)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:103)(cid:25)(cid:37)(cid:153)(cid:154)(cid:89)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:100)(cid:25)(cid:109)(cid:120)(cid:119)(cid:89)(cid:50)
资
辅
教
(cid:59)(cid:111)(cid:50)(cid:25)(cid:72)
(cid:61)1(cid:71)(cid:268)(cid:164)(cid:144)(cid:145)(cid:167)(cid:159) = (cid:89)(cid:160)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:59)(cid:3)(cid:166)(cid:89)(cid:123)(cid:124)(cid:167)(cid:159)(cid:179)(cid:49)(cid:133)
(cid:61)2(cid:71)(cid:268)(cid:150)(cid:180)(cid:159) =𝐵𝐹 𝐶𝐹(cid:89)(cid:160)(cid:150)(cid:180)(cid:159) = (cid:89)(cid:269)(cid:258)(cid:38)(cid:159) + =70°(cid:89)(cid:123)(cid:124)(cid:167)(cid:159)(cid:179)(cid:49)(cid:72)
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(cid:76)(cid:10) ∠𝐵 ∠=𝐵𝐸𝐷+ (cid:89)∠𝑀𝐴𝐸 ∠𝑀𝐸𝐴 ∠𝐵 ∠𝐵𝐴𝑀
> (cid:133)∵∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐵 ∠𝐵𝐸𝐷
∴(cid:61)∠1𝐴(cid:71)𝐷(cid:55)𝐸 (cid:56)∠(cid:10)𝐵(cid:164)(cid:144)(cid:145)(cid:161)(cid:89) = (cid:89)
(cid:99) (cid:22)(cid:89) + >𝐵𝐹 (cid:89)𝐶𝐹
△+𝐴𝐶𝐹 > 𝐴𝐹(cid:89) 𝐹𝐶 𝐴𝐶
∴𝐴𝐹 >𝐵𝐹(cid:133)𝐴𝐶
∴(cid:61)𝐴2𝐵(cid:71)(cid:76)𝐴(cid:10)𝐶(cid:164)(cid:144)(cid:145)(cid:161)(cid:89) = (cid:89) = (cid:89)
= (cid:89) ∠𝑀𝐴𝐸 ∠𝐸𝐴𝐶 ∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐶
∵𝐷𝐸=𝐷𝐵 (cid:89)
∴∠𝐵 ∠(cid:89)𝐵𝐸𝐷
∵𝑀𝐸∥𝐴𝐶= (cid:89)
∴∠𝑀𝐸𝐴=∠𝐸𝐴𝐶(cid:89)
∵∠𝑀𝐴𝐸=∠𝐸𝐴𝐶(cid:89)
∴∠𝑀𝐴𝐸=1∠1𝑀0°𝐸(cid:89)𝐴
∵∠𝐵𝐸+𝐴 = = =70°(cid:89)
∴∠𝐵 ∠+𝐵𝐴𝐸 1=80°−∠+𝐵𝐸𝐴 1=807°0−°1(cid:89)10°
∴∠𝐵𝐸𝐷 =∠𝑀𝐸𝐴 (∠𝐵 ∠+𝐵𝐴𝑀 )= =40°(cid:72)
∴∠𝐷𝐸𝑀 ∠𝐵𝐸𝐴− ∠𝐵𝐸𝐷 ∠𝑀𝐸𝐴 110°−70°
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教