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11.1.2三角形的高、中线与角平分线
一、单选题
1．如图， 中， 、 分别是 、 的中点，若 的面积是10，则 的面积是（
）
A． B． C．5 D．10
【答案】B
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可求出△ABE的面积.
【详解】∵AD是BC上的中线，
∴ S =S = S ，
△ABD △ACD △ABC
∵BE是△ABD中AD边上的中线，
∴ S =S = S ，
△ABE △BED △ABD
∴ S = S ，
△ABE ΔABC
∵△ABC的面积是10，
∴ S = ×10= .
△ABE
故选:B.
【点评】本题考查的是三角形的中线的性质，三角形一边上的中线把原三角形分成的两个三角形的面积相
等.2．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘
米，则△ABC的面积为（ ）平方厘米
A．8 B．12 C．16 D．18
【答案】C
【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形进行解答即可．
【详解】∵F是EC的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ E是BD的中点 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的中线与三角形的面积关系，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的
两个三角形是解答的关键．
3．三角形三条中线的交点叫做三角形的（ ）．
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】C
【分析】根据三角形的重心概念作出回答，结合选项得出结果．
【详解】三角形的重心是三角形三条中线的交点．
【点评】考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点．
4．下列说法正确的个数有（ ）
①三角形的高、中线、角平分线都是线段；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；
③三角形的三条高都在三角形内部；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高
可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上即可作答．
【详解】①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，故正确；
③钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，故正确．
所以正确的有3个．
故选：C．
【点评】本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解，熟练掌握三角形的中线、角平分线、高的
概念是解决本题的关键．
5．能把一个三角形的面积平均分成两个面积相等的三角形，这条线一定是这个三角形的一条（ ）
A．角平分线 B．高 C．中线 D．一条边的垂直平分线
【答案】C
【分析】根据中线的性质即可求解．
【详解】三角形的一条中线将三角形的面积平均分成两个面积相等的三角形，
故选：C
【点评】本题主要考查的是中线的性质，正确的掌握中线的性质是解题的关键．
6．下面四个图形中，线段 是 的高的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形高的定义进行判断．
【详解】线段AD是△ABC的高，则过点A作对边BC的垂线，则垂线段AD为△ABC的高．
选项A、B、C错误，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的高：三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之
间的线段．
7．如图所示，在 中， 与 的平分线交于点 ，过点 作 交 于点 ，
交 于点 ，那么下列结论：① ；② ；③ 和 都是等腰三角形；
④ 的周长等于 与 的和，其中正确的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】通过平行线和角平分线得到相等的角，再根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质解答即可．
【详解】∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠MBP=∠PBC，∠PCN=∠PCB，
又∵MN∥BC，
∴∠PBC=∠MPB，∠NPC=∠PCB，
∴∠MBP=∠MPB，∠NPC=∠PCN，
∴BM=MP，PN=CN，
∴MN=MP+PN=BM+CN，故②正确，
△BMP和△CNP都是等腰三角形，故③正确，∵△AMN的周长=AM+AN+MN，MN=BM+CN，
∴△AMN的周长等于AB与AC的和，故④正确，
不能说明 ，故①错误；
故答案为B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质和平行线的性质等知识，通过平行线和角平分线
得到相等的角是解答本题的关键．
8．如图，在△ABC中，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点．若∠A＝60°，则∠BMN的度数为(
)
A．45° B．50° C．60° D．65°
【答案】B
【解析】
分析：过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可
得NE=NG=NF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出MN平分∠BMC，然后根据三角形
内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根据角的三等分求出∠MBC+∠MCB的度数，然后利用三角形内角和
定理求出∠BMC的度数，从而得解．
详解：如图，过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，
∵∠ABC的三等分线与∠ACB的三等分线分别交于点M、N，
∴BN平分∠MBC，CN平分∠MCB，
∴NE=NG，NF=NG，
∴NE=NF，
∴MN平分∠BMC，∴∠BMN= ∠BMC，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−60°=120°，
根据三等分,∠MBC+∠MCB= (∠ABC+∠ACB)= ×120°=80°.
在△BMC中,∠BMC=180°−(∠MBC+∠MCB)=180°−80°=100°.
∴∠BMN= ×100°=50°；
故选：B.
点睛：本题考查了三角形的内角和定理：三角形内角和为180°；角平分线的性质：角平分线上的点到角两
边的距离相等.熟记性质和定理是解本题的关键.
二、填空题
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C＝26°，则∠DAE
的度数为_____．
【答案】14°
【分析】利用垂直的定义得到∠ADC＝90°，再根据三角形内角和计算出∠CAD＝64°，接着利用角平分线的
定义得到∠CAE＝50°，然后计算∠CAD﹣∠CAE即可．
【详解】∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝64°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝ ∠BAC＝ ×100°＝50°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝64°﹣50°＝14°．故答案为14°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、垂线的定义，解题关键是熟练运用相关性质求
角．
10．如图，在△ABC中E是BC上的一点，BC=3BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分
别为S ，S ，S ，且S =12，则S ﹣S =____．
△ABC △ADF △BEF △ABC △ADF △BEF
【答案】2
【分析】S -S =S -S ，所以求出三角形ABD的面积和三角形ABE的面积即可，因为BC=3BE，点D
△ADF △BEF △ABD △ABE
是AC的中点，且S =12，就可以求出三角形ABD的面积和三角形ABE的面积．
△ABC
【详解】∵点D是AC的中点，
∴AD= AC，
∵S =12，
△ABC
∴S = S = ×12=6．
△ABD △ABC
∵BC=3BE，
∴S = S = ×12=4，
△ABE △ABC
∵S -S =（S +S ）-（S +S ）=S -S ，
△ABD △ABE △ADF △ABF △ABF △BEF △ADF △BEF
即S -S =S -S =6-4=2，
△ADF △BEF △ABD △ABE
故答案为：2．
【点评】本题考查三角形的面积，解题的关键是要能根据已知条件求出三角形的面积并对要求的两个三角
形的面积之差进行变化．
11．如图，△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）AB，BC，CA得到△A B C ，再分别倍长A B ，B C ，
1 1 1 1 1 1 1
C A 得到△A B C ．…按此规律，倍长2020次后得到的△A B C 的面积为_____．
1 1 2 2 2 2020 2020 2020【答案】72020
【分析】连接AB 、BC 、CA ，根据等底等高的三角形面积相等，可得 ＝7S ，由此即可解题．
1 1 1 △ABC
【详解】连接AB 、BC 、CA ，根据等底等高的三角形面积相等，
1 1 1
△A BC、△A B C、△AB C、△AB C 、△ABC 、△A BC 、△ABC的面积都相等，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以， ＝7S ，
△ABC
同理 ＝7 ＝72S ，
△ABC
依此类推，△A B C 的面积为＝72020S ，
2020 2020 2020 △ABC∵△ABC的面积为1，
∴ ＝72020．
故答案为：72020．
【点评】本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面
积等于原三角形的面积的7倍是解题的关键．
12． 为 的中线， 为 的高， 的面积为14， 则 的长为
_________．
【答案】2或6
【分析】利用面积法求出BD，即可求得CD，再分AE在 内部和外部，求出DE即可．
【详解】 为 的高，△ABD的面积为14，AE=7，
，
∴
∵ 为 的中线，
∴CD=BD=4，
当AE在 内部时
∵CE=2，
∴DE=CD-CE=2，
当AE在 外部时∵CE=2，
∴DE=CD+CE=6，
故答案为：2或6
【点评】本题考查三角形的高、中线和面积，注意高可在三角形的内部和外部是解题的关键．
三、解答题
13．如图，点 ， ， 都落在网格的格点上．
（1）写出点 ， ， 的坐标；
（2）求 的面积：
（3）把 先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，得 ，画出 ．
【答案】（1）点 ， ， 的坐标分别是 ， ， ；（2）3；（3）见解析
【分析】（1）根据点 ， ， 所在位置直接写出的坐标即可；（2）先求出BC，点A到BC边的距离，利用面积公式 BC边上的高求即可；
（3）先求A′（-4，-4），B（-3，-2），C（0，-2）三点坐标，再描出A′、B′、C′三点坐标，连结A′B′、
B′C′、C′A′即可．
【详解】（1）点 ， ， 的坐标分别是 ， ， ；
（2）BC=4-1=3，点A到BC边的距离为：3-1=2，
∴ BC边上的高= ；
（3）先把A、B、C三点向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到A′（-4，-4），B（-3，-
2），C（0，-2）三点坐标，再描出A′、B′、C′三点坐标，连结A′B′、B′C′、C′A′，
则 为所求如图所示．
【点评】本题考查点的坐标，三角形面积，平移性质，掌握点的坐标，三角形面积，平移性质，作图先平
移点，再连线得图是解题关键．
14．已知 的周长为 ， 是 边上的中线， ．
（1）如图，当 时，求 的长．（2）若 ，能否求出 的长？为什么？
【答案】（1）6cm；（2）不能求出 的长，理由见解析
【分析】（1）根据 ， 及 的周长为 ，可求得BC，再根据三角形中线
的性质解答即可；
（2）利用（1）中的方法，求得BC的长度，然后根据构成三角形的条件，可判断出△ABC不存在，进而可
知没法求DC的长．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ，
又∵ 的周长为 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 是 边上的中线，
∴ ；
（2）不能，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
又∵ 的周长为 ，
∴ ，
∴ ，
∴BC+AC=16
